高考数学概率知识点讲解

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2023新高考数学专题概率(知识点讲解)

2023新高考数学专题概率(知识点讲解)
以下为2023年新高考数学中概率知识点讲解，包括概率、数学期望和独立事件的定义与计算，以及确定性现象与随机现象的概念等。

一、概率的定义和性质
1. 确定性现象：在自然界中一定发生的现象称为确定性现象。

2. 样本点：构成样本空间的元素，即e中的每个结果，称为样本点。

3. 频数：事件a发生的次数。

4. 频率：频数/总数。

5. 概率：当重复试验的次数n逐渐增大，频率值就会趋于某一稳定值，这
个值就是概率。

概率的特点有：非负性、规范性和可列可加性。

6. 概率性质：p（空集）=0，有限可加性，加法公式：p（a+b）=p（a）
+p（b）-p（ab）。

7. 条件概率：a事件发生条件下b发生的概率p（ba）=p（ab）/p（a）。

8. 独立事件：设 a、b是两事件，如果满足等式p（ab）=p（a）p（b）则称事件a、b相互独立，简称a、b独立。

二、数学期望的含义和计算
数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平。

数学期望又简称期望。

若离散型随机变量ξ的概率分布为则称Eξ为ξ的数学期望或平均数、均值。

数学期望的计算方式如下：
1. 当0=a时，bE=,即常数的数学期望就是这个常数本身。

2. 当1=a时, bEbE+=+ξξ), 即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与常数的和。

以上内容仅供参考，建议查阅新高考数学专题复习资料获取更全面和准确的信息，以适应新高考的题型变化。

高考数学知识点之概率

高考数学知识点之概率概率作为高考数学中的重要知识点，是我们日常生活中经常遇到的一个概念。

它与我们的决策、预测、判断等各种活动息息相关。

下面我将从概率的定义、计算方法、应用场景等方面进行探讨，帮助大家更好地理解和应用概率知识。

1. 概率的定义和计算方法概率是描述事件发生可能性大小的数值，它的取值范围为0到1之间。

当事件发生的可能性为0时，我们称其为不可能事件；而当事件发生的可能性为1时，我们称其为必然事件。

对于介于0和1之间的概率，我们可以根据事件的性质和已知条件进行计算。

概率的计算方法有两种常见的形式：经典概率和统计概率。

经典概率是基于理论计算的，它假定所有可能发生的事件是等可能的，根据事件的数量来计算概率。

而统计概率则是基于实验结果进行计算的，通过实际观察和统计分析来得到事件发生的概率。

2. 概率的应用场景概率的应用非常广泛，涵盖了各个领域。

在日常生活中，我们常常用概率来做出决策。

例如，买彩票时，我们可以计算中奖的概率，从而判断是否购买。

在金融投资领域，概率也扮演着重要的角色。

投资者可以根据历史数据和趋势来计算不同投资方案的回报率概率，从而进行风险评估和选择。

在科学研究中，概率也是非常重要的。

例如，在医学研究中，概率可以用于计算疾病的发病率和治愈率等。

在物理学研究中，概率可以用于计算粒子的位置和运动状态等。

此外，概率在概论中也是一个重要的概念。

概论是研究基本难题的一门学科，它研究的是未知问题的可能解答。

在概论中，概率可以用来描述一个问题的可能性和合理性。

例如，在猜谜题中，我们可以利用概率来计算每个答案的可能性，从而筛选出最有可能的解答。

3. 概率的实际问题在概率的学习过程中，我们常常会遇到一些实际问题，需要利用概率知识进行求解。

下面我们就以几个具体的问题为例，来讨论如何应用概率知识进行解答。

问题一：某班有40个学生，其中20个是男生。

如果从这40个学生中随机选取一个学生，那么他是男生的概率是多少？解答：根据问题可以得知男生数目是20，总人数是40。

高三数学知识点归纳概率

高三数学知识点归纳概率概率是数学中一个非常重要的分支，它可以帮助我们理解事件发生的可能性。

在高三数学中，概率是一个必学的知识点。

本文将对高三数学概率知识点进行归纳总结，旨在帮助高三学生加深对概率的理解和掌握。

一、基础概念概率是指事件发生的可能性，用来表征事件的随机性。

它的取值范围是0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。

常用的求概率的方法有频率法、几何法和古典概型法等。

二、事件的概率计算1.频率法频率法是通过实验的次数和结果的出现次数来计算概率的方法。

当实验的次数足够多时，事件发生的频率将逼近其概率。

2.几何法几何法是通过对样本空间的几何图形进行面积比较来计算概率。

对于连续型随机事件，可以使用几何法计算概率。

3.古典概型法古典概型法适用于样本空间元素个数有限且等可能的随机事件。

通过计算事件的有利结果个数与总结果个数之比来计算概率。

三、概率的性质与公式1.加法公式对于两个互斥事件A和B，其概率之和等于两个事件分别发生的概率之和。

2.乘法公式对于两个独立事件A和B，其同时发生的概率等于两个事件分别发生的概率之积。

3.全概率公式全概率公式是在事件A的基础上，将样本空间划分为若干互斥事件，并计算这些事件的概率之和等于事件A的概率。

4.条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

通过条件概率，我们可以计算两个事件的相关性。

四、排列与组合排列与组合是概率中常见的计数方法。

排列是指从n个不同元素中选取m个元素按照一定顺序排列的方法数，计算公式为P(n,m)=n!/(n-m)!。

组合是指从n个不同元素中选取m个元素并不考虑顺序的方法数，计算公式为C(n,m)=n!/[(n-m)!m!]。

五、常见的概率模型1.简单随机抽样简单随机抽样是指从总体中随机选择样本的抽样方法，其样本容量n较小时，可以近似认为是简单随机抽样，使用古典概型法计算概率。

2.二项分布二项分布是一种离散型概率分布，适用于只有两种可能结果的重复试验。

高考五三数学概率知识点

高考五三数学概率知识点前言：高考是每个学生都必须面对的一项重要考试，而数学是让很多学生头疼的科目之一。

其中，概率是数学中的一项重要内容，也是高考数学中常考的知识点之一。

本文将重点介绍高考数学中的五三概率知识点，希望能够帮助同学们更好地准备高考。

一、基本概念：概率是指某一事件发生的可能性大小。

在数学中，概率由一个介于0和1之间的数字表示，其中0表示不可能发生，1表示必然发生。

在实际应用中，概率通常用百分比或分数的形式表示。

二、事件的分类：在概率中，事件可以分为两类：必然事件和不可能事件。

必然事件是指一定会发生的事件，概率为1；不可能事件是指一定不会发生的事件，概率为0。

三、概率计算：概率的计算可以通过多种方法实现，其中最常用的方法是利用频率来计算概率。

频率是指在大量的试验中，某一事件发生的次数与总试验次数之比。

当试验次数足够多时，频率逼近于概率。

因此，通过频率来计算概率是一种较为常用的方法。

四、互斥事件：在概率中，互斥事件指的是两个事件不可能同时发生的情况。

对于互斥事件来说，它们的概率之和等于两个事件单独发生的概率之和。

例如，掷硬币的结果只可能是正面或反面，两者不可能同时出现。

五、独立事件：独立事件指的是两个事件之间互不影响的情况。

对于独立事件来说，它们的概率乘积等于两个事件单独发生的概率之积。

例如，两个骰子同时掷出的点数之和为7的概率为1/6 * 1/6 = 1/36。

六、条件概率：条件概率指的是在已知某一事件发生的情况下，另一事件发生的概率。

条件概率可以通过利用“事件A与事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B在事件A发生的条件下发生的概率”来计算。

七、贝叶斯定理：贝叶斯定理是利用条件概率来反推事件发生的可能性。

贝叶斯定理的公式为：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)，其中P(A|B)表示在B发生的条件下A发生的概率，P(B|A)表示在A发生的条件下B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示A和B的独立发生的概率。

高考概率知识点总结

高考概率知识点总结高考概率是高考数学中的一个重要知识点，它是数学中的一个分支，研究事件发生的可能性及其数量关系。

在高中数学课程中，概率以概念的形式出现，而高考则要求学生具备对概率进行运算和推理的能力。

下面我将对高考概率知识点进行总结。

1. 概率的基本概念概率是用数字表示事件发生的可能性大小的数值，其取值范围为0到1之间。

0表示不可能事件，1表示必然事件。

事件的概率等于有利的结果数目与所有结果数目之比。

2. 概率的计算计算概率有两种基本的方法，分别是古典概率和频率概率。

古典概率适用于条件相同且有限个数的事件，其计算公式为：P(A) = n(A) / n(S)，其中P(A)表示事件A的概率，n(A)表示事件A发生的次数，n(S)表示样本空间中的总次数。

频率概率适用于统计实际发生次数，其计算公式为：P(A) =n(A) / N，其中P(A)表示事件A的概率，n(A)表示事件A发生的次数，N表示试验的总次数。

3. 互斥事件和对立事件互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，即它们的交集为空。

计算互斥事件的概率时，可通过概率的加法法则进行计算：P(A∪B) = P(A) + P(B)。

对立事件指的是两个事件中至少有一个发生的情况，即它们的交集不为空。

计算对立事件的概率时，可通过概率的减法法则进行计算：P(A') = 1 - P(A)。

4. 事件的独立性和相关性独立事件指的是两个事件发生与否相互独立，即一个事件的发生不受另一个事件的影响。

对于独立事件来说，两个事件的概率可以互相相乘：P(A∩B) = P(A) × P(B)。

相关事件指的是两个事件发生与否存在一定关联，即一个事件的发生会影响另一个事件的概率。

对于相关事件来说，要计算事件的交集概率时，需要考虑条件概率：P(A∩B) = P(A) ×P(B|A)。

5. 抽样与排列组合在概率的计算中，经常会遇到抽样和排列组合的问题。

抽样问题指的是从一组对象中随机地选取若干个对象，排列组合问题指的是对已知对象进行不同排列的方式。

高考数学中的概率知识点总结

高考数学中的概率知识点总结概率是高中数学中的一个重要知识点，也是高考数学题中的常见考点。

要想在高考中拿到好成绩，掌握概率知识点是必不可少的。

本文将从概率的基本概念、概率的分类、概率的基本性质、条件概率、独立性等方面进行总结。

一、概率的基本概念概率是指某种事件发生的可能性大小。

在数学上，概率可以用一个介于0和1的数来表示，其中0表示不可能发生，1表示一定会发生。

如果一个事件发生的概率为p，那么其对立事件不发生的概率为1-p。

二、概率的分类在概率中，事件可以分为等可能事件和不等可能事件。

等可能事件是指在所有可能发生的情况下，每种情况发生的可能性相等。

例如，掷一枚硬币的正反面就是等可能事件。

而不等可能事件则是指每种情况发生的可能性不相等，例如抽奖等。

三、概率的基本性质概率具有以下几个基本性质：1. 非负性：任何事件的概率都不会是负数。

2. 规范性：所有可能发生事件的概率之和为1。

3. 加法性：对于两个不相交事件A和B，它们的联合概率就是它们各自的概率之和。

四、条件概率条件概率是指在一个事件已经发生的条件下，其他事件发生的概率。

在数学上，条件概率可以用P(A|B)来表示，其中A和B均为事件，而P(A|B)表示在B发生的条件下，A发生的概率。

五、独立性在概率中，独立性是指事件A和事件B的发生互相独立，即事件A的发生不会影响事件B的发生，反之亦然。

在数学上，如果事件A和事件B是独立的，则有P(A∩B) = P(A)P(B)。

六、概率的应用概率的应用非常广泛，主要包括以下几个方面：1. 投资决策：在投资决策中，需要根据不同投资方案的预期收益和风险概率来进行决策。

2. 保险与风险管理：保险公司需要根据不同客户的风险概率来确定保险金额和保险费用，减少损失。

3. 统计学：在统计学中，概率是一种重要的工具，被广泛应用于抽样、调查和数据分析等领域。

综上所述，概率是高考数学中的一个重要知识点。

掌握概率的基本概念、分类、基本性质、条件概率和独立性，能够帮助我们更好地理解各种概率题目，并在高考数学考试中取得更好的成绩。

2024高考数学概率统计知识点总结与题型分析

2024高考数学概率统计知识点总结与题型分析概率统计作为数学课程的一个重要分支，在高考中占有重要的一席之地。

它是一个与现实生活息息相关的学科，旨在通过收集、整理和分析数据，帮助我们做出正确的判断和决策。

本文对2024高考数学概率统计的知识点进行了总结，并对可能出现的题型进行了分析。

一、基本概念和公式1. 随机事件：指在一次试验中可能发生也可能不发生的事件。

2. 样本空间：指一个试验所有可能结果的集合。

3. 必然事件：指在一次试验中一定会发生的事件。

4. 不可能事件：指在一次试验中一定不会发生的事件。

5. 事件的概率：指随机事件发生的可能性大小。

6. 加法原理：对于两个互不相容的事件A和B，它们的和事件A∪B的概率等于各个事件的概率之和。

P(A∪B) = P(A) + P(B)7. 乘法原理：对于两个相互独立的事件A和B，它们的积事件A∩B的概率等于各个事件的概率之积。

P(A∩B) = P(A) × P(B)二、概率计算1. 事件的概率计算：对于离散型随机事件，概率可通过频率估计和计数原理计算。

对于连续型随机事件，概率可通过定积分计算。

2. 事件的互斥与独立：如果两个事件A和B互斥（即不能同时发生），则它们的和事件A∪B的概率等于各自事件的概率之和。

如果两个事件A和B相互独立（即一个事件的发生不受另一个事件发生与否的影响），则它们的积事件A∩B的概率等于各自事件的概率之积。

三、排列组合与概率计算1. 排列：排列是从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），并有顺序地排成一列的方式。

排列的计算公式为：A(n,m) = n! / (n-m)!2. 组合：组合是从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），不考虑顺序地组成一个集合的方式。

组合的计算公式为：C(n,m) = n! / [m! × (n-m)!]3. 概率计算中的排列组合：当事件A与某个事件B相关时，在计算A的概率时，需要考虑B 发生的不同排列组合情况。

高考数学概率论知识点汇总

高考数学概率论知识点汇总一、概率的基本概念概率是用来描述某个事件发生的可能性大小的数值，通常用P(A)表示事件A发生的概率。

概率的取值范围是0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。

二、事件的互斥与独立互斥事件是指两个事件不能同时发生，例如抛一枚硬币正反面的事件就是互斥事件。

而独立事件是指一个事件的发生不会影响另一个事件的发生概率，例如抛两个硬币正面向上的事件是独立事件。

三、全概率公式与贝叶斯定理全概率公式是用来计算复合事件的概率的公式。

假设事件B1、B2、B3、...都是互斥事件，它们的并集构成了全集Ω，且事件A和事件B1、B2、B3、...满足独立性，那么根据全概率公式可以得到P(A) = P(A|B1)×P(B1) + P(A|B2)×P(B2) + P(A|B3)×P(B3) + ...贝叶斯定理可以用来计算已知某事件发生的条件下其它事件发生的概率。

而组合是指从n个不同元素中取出m个元素进行组合，组合的计算公式为C(n,m) = n! / [(n-m)! ×m!]。

五、随机变量与概率分布随机变量是指在随机试验中可能取不同值的量，分为离散随机变量和连续随机变量两种。

离散随机变量的取值是有限或可列无限个，例如抛一枚硬币正反面的结果就是离散随机变量。

而连续随机变量的取值是在一定范围内的任意值，例如人的身高就是连续随机变量。

高考统计概率知识点归纳总结大全

高考统计概率知识点归纳总结大全统计概率是高考数学中的重要知识点，也是考查学生逻辑思维和数据分析能力的一种方式。

掌握统计概率的基本概念和计算方法对于解题至关重要。

本文将对高考统计概率的相关知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地复习和应对考试。

一、基本概念1. 实验与事件：实验是指进行一次观察或测量的过程，事件是实验的结果。

2. 样本空间：样本空间是指实验中所有可能的结果的集合。

3. 事件的概率：事件的概率是指事件在随机试验中发生的可能性大小，用P(A)表示。

4. 必然事件和不可能事件：必然事件是指在每次实验中都会发生的事件，概率为1；不可能事件是指在每次实验中都不会发生的事件，概率为0。

二、概率的计算方法1. 频率与概率：频率指某个事件在实验中发生的次数与实验总次数之比，频率接近一个值时，该值即为事件的概率。

2. 古典概型：对于样本空间中的每一个结果，概率是相等的，可以用总事件数与有利事件数之比来计算概率。

3. 几何概率：对于几何概型，可以根据几何图形的面积或长度比例来计算概率。

4. 概率的运算：并、交、差、余等运算。

三、条件概率1. 条件概率的定义：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率记作P(A|B)，表示已知事件B发生的前提下，事件A发生的概率。

2. 乘法定理：P(AB) = P(A|B) × P(B)，即事件A和事件B同时发生的概率等于事件B发生的概率乘以事件A在事件B发生的条件下发生的概率。

3. 全概率公式：设B1，B2，...，Bn为一组互不相容的事件且构成对空间Ω的一个分割，即它们的并为Ω，且Bi ∩ Bj = ∅ (i ≠ j)，则对于任意事件A，有P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ... +P(A|Bn)P(Bn)。

高考数学知识点归纳概率

高考数学知识点归纳概率：概率概率是数学中一个重要的概念，它刻画了随机事件发生的可能性大小。

在高考数学中，概率是一个必考的知识点。

理解和掌握概率的基本概念和计算方法，至关重要。

在本文中，我们将对高考数学中的概率知识点进行归纳和概述，帮助同学们更好地准备和应对考试。

一、基本概念1. 随机事件：概率与随机事件密切相关。

随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。

例如，在掷一个骰子的过程中，出现点数为6的情况就是一个随机事件。

2. 样本空间：样本空间是指所进行的随机实验中，所有可能结果的集合。

对于掷骰子的实验，样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。

3. 事件：事件是样本空间的一个子集，表示我们感兴趣的结果。

例如，掷骰子的事件可以是“出现点数为偶数”。

4. 基本事件：样本空间中的元素就是基本事件。

例如，在掷骰子的样本空间{1, 2, 3, 4, 5, 6}中，每一个点数就是一个基本事件。

二、概率的计算1. 经典概型：当样本空间中的每个基本事件发生的可能性相等时，我们称之为经典概型。

在这种情况下，事件A发生的概率可以通过计算A包含的基本事件数目与样本空间中基本事件的总数目之比来确定。

例如，一枚硬币正反面的基本事件总数为2，当我们关心硬币正面朝上的事件时，概率为1/2。

2. 相对频率概率：通过实验的方法，进行多次重复试验，统计事件A发生的次数与总实验次数的比值，作为事件A发生的概率。

例如，我们可以通过多次掷骰子实验来确定出现点数为5的概率。

3. 几何概型：当事件的发生与空间中的几何结构有关时，我们可以使用几何概型来计算概率。

例如，在一个单位正方形中，以均匀分布随机选择的点落在某一子集内的概率可以通过计算两个集合的面积之比来确定。

4. 条件概率：当一个事件的发生受到已知信息的影响时，我们可以使用条件概率来计算事件发生的概率。

例如，已知某个学生乘坐校车迟到的概率为1/4，而他忘带雨伞的概率为1/3，那么已知他迟到的情况下忘带雨伞的概率为多少？5. 独立事件：如果事件A的发生与事件B的发生不相关，则两个事件是独立的。

高考概率知识点及答案

高考概率知识点及答案概率是数学中一个有趣而重要的概念，它可以帮助我们了解事物发展的趋势和规律。

在高考数学中，也会涉及到一些与概率有关的知识点。

在本文中，我们将分享一些高考概率的知识点，并给出相应的答案。

1. 相对频率和概率的关系相对频率是指某个事件发生的次数与总试验次数的比值。

概率则是对相对频率的一种理论上的估计。

简单来说，相对频率是通过实验得到的结果，而概率则是通过理论计算得到的结果。

例如，如果我们投掷一枚硬币，出现正面的次数为50次，总投掷次数为100次，那么正面出现的相对频率为0.5。

根据概率的定义，我们可以推断出正面朝上的概率为0.5。

2. 互斥事件和对立事件互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况，常常用符号“∪”表示。

对立事件是指两个事件只能发生一个的情况，常常用符号“∩”表示。

例如，抛掷一枚硬币，出现正面和出现反面就是两个互斥事件。

而生男孩和生女孩则是两个对立事件，因为一个家庭同时不可能同时生男孩和女孩。

3. 条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

条件概率可以通过公式P(A|B) = P(A∩B)/P(B)计算得出。

其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

通过条件概率，我们可以解决一些实际问题，例如生男孩的概率在一个家庭已经有两个孩子的条件下是多少。

4. 独立事件独立事件是指两个事件之间的发生没有相互影响的情况。

如果事件A和事件B是独立事件，那么它们的概率的乘积等于它们分别的概率的乘积，即P(A∩B) = P(A) * P(B)。

例如，抛掷一枚硬币和掷一个骰子，出现正面和出现一个偶数是独立事件。

5. 事件的并、交和余事件的并是指两个事件至少有一个发生的情况，用符号“∪”表示。

事件的交是指两个事件同时发生的情况，用符号“∩”表示。

事件的余是指某个事件不发生的情况，用符号“¬”或“C”表示。

高考概率知识点归纳总结

高考概率知识点归纳总结概率作为数学中的一个重要分支，在高考数学中占据着不可忽视的地位。

因此，对于概率的学习和掌握将对高考成绩起到至关重要的作用。

为了帮助同学们全面了解和掌握高考概率知识，本文将对概率的相关知识点进行归纳总结，希望能够对广大考生有所帮助。

一、基本概念1. 概率的定义：指某一事件发生的可能性大小。

2. 样本空间：表示一个随机试验中所有可能结果的集合，用S表示。

3. 事件：样本空间中的一个子集，用A、B、C等表示。

二、概率的计算方法1. 古典概型：a. 确定性试验：样本空间中只有一个元素的试验。

b. 等可能性原理：在随机试验中，每个基本事件发生的可能性均相等。

c. 概率计算公式：P(A) = n(A) / n(S)，其中n(A)表示事件A中元素的个数，n(S)表示样本空间S中元素的个数。

2. 几何概型：a. 几何概率：通过几何方法计算概率。

b. 概率计算公式：P(A) = S(A) / S(S)，其中S(A)表示事件A的面积，S(S)表示样本空间S的面积。

3. 组合概型：a. 事件的互斥与独立性：两个事件互斥指它们不可能同时发生，独立性指一个事件的发生不影响另一个事件的发生。

b. 加法法则：（1）互斥事件的概率：P(A∪B) = P(A) + P(B)。

（2）非互斥事件的概率：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。

c. 乘法法则：独立事件的概率：P(A∩B) = P(A) × P(B)。

三、条件概率1. 条件概率的概念：指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，用P(A|B)表示。

2. 条件概率的计算公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率。

四、贝叶斯定理1. 贝叶斯定理的应用场景：用于求解逆条件概率问题。

2. 贝叶斯定理的公式：P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

高考数学概率知识点整理总结

高考数学概率知识点整理总结高考数学概率知识点整理一、事件1.在条件SS的必然事件.2.在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件.3.在条件SS的随机事件.二、概率和频率1.用概率度量随机事件发生的可能性大小能为我们决策提供关键性依据.2.在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nAnA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率.3.对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)P(A)，P(A).三、事件的关系与运算四、概率的几个基本性质1.概率的取值范围：2.必然事件的概率P(E)=3.不可能事件的概率P(F)=4.概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(AB)=P(A)+P(B).5.对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必然事件.P(AB)=1，P(A)=1-P(B).高中数学概率性质与公式(1)加法公式：P(A+B)=p(A)+P(B)-P(AB)，特别地，如果A与B互不相容，则P(A+B)=P(A)+P(B);(2)差：P(A-B)=P(A)-P(AB)，特别地，如果B包含于A，则P(A-B)=P(A)-P(B);(3)乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(A|B)P(B)，特别地，如果A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B);(4)全概率公式：P(B)=∑P(Ai)P(B|Ai).它是由因求果，贝叶斯公式：P(Aj|B)=P(Aj)P(B|Aj)/∑P(Ai)P(B|Ai).它是由果索因;如果一个事件B可以在多种情形(原因)A1,A2,....,An下发生，则用全概率公式求B发生的概率;如果事件B已经发生，要求它是由Aj引起的概率，则用贝叶斯公式.(5)二项概率公式：Pn(k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k),k=0,1,2,....,n. 当一个问题可以看成n重贝努力试验(三个条件：n次重复，每次只有A与A的逆可能发生，各次试验结果相互独立)时，要考虑二项概率公式.高中数学古典概率公式P(A)=A所含样本点数/总体所含样本点数实用中经常采用“排列组合”的方法计算附：由概率定义得出的几个性质：1、02、P(Ω)=1，P(φ) =0[1]概率的加法法则定理：设A、B是互不相容事件(AB=φ)，则：P(A∪B)=P(A)+P(B)推论1：设A1、 A2、…、 An互不相容，则：P(A1+A2+...+ An)= P(A1) +P(A2) +…+ P(An)推论2：设A1、 A2、…、 An构成完备事件组，则：P(A1+A2+...+An)=1 推论3： P(A)=1-P(A)推论4：若B包含A，则P(B-A)= P(B)-P(A)推论5(广义加法公式)：对任意两个事件A与B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)[1]条件概率条件概率：已知事件B出现的条件下A出现的概率，称为条件概率，记作：P(A|B)条件概率计算公式：当P(A)0，P(B|A)=P(AB)/P(A)当P(B)0，P(A|B)=P(AB)/P(B)[1]乘法公式P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)×P(A|B)推广：P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)[1]全概率公式设：若事件A1，A2，…，An互不相容，且A1+A2+…+An=Ω，则称A1，A2，…，An构成一个完备事件组。

2025年高考数学概率知识点与考点全解析

2025年高考数学概率知识点与考点全解析高考数学中的概率部分一直是重点和难点，对于 2025 年的高考考生来说，深入理解和掌握概率的知识点与考点至关重要。

本文将对概率的相关内容进行全面解析，帮助同学们更好地应对高考。

一、概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性大小的数值。

在概率的学习中，首先要理解随机事件、必然事件和不可能事件的概念。

随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。

比如掷骰子出现的点数就是随机事件。

必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件。

例如，太阳从东方升起就是必然事件。

不可能事件是指在一定条件下不可能发生的事件。

比如在标准大气压下，水在 0 摄氏度时结冰但不沸腾就是不可能事件。

概率的取值范围在 0 到 1 之间。

如果一个事件发生的概率为 0，则该事件为不可能事件；如果概率为 1，则为必然事件；如果概率在 0 到1 之间，则为随机事件。

二、古典概型古典概型是概率中最基本的模型之一。

具有以下两个特点：1、试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。

2、每个基本事件出现的可能性相等。

在古典概型中，事件 A 的概率计算公式为：P(A) ＝ A 包含的基本事件个数／基本事件的总数。

例如，从装有 5 个红球和 3 个白球的袋子中随机取出一个球，求取出红球的概率。

基本事件的总数为 8，取出红球包含的基本事件个数为5，所以取出红球的概率为 5/8。

解决古典概型问题时，关键是要正确确定基本事件的总数和所求事件包含的基本事件个数。

三、几何概型几何概型是另一类重要的概率模型。

与古典概型不同的是，几何概型中的基本事件个数是无限的。

其特点是：每个基本事件发生的概率只与构成该事件区域的长度、面积或体积成比例。

例如，在一个边长为 1 的正方形区域内随机投点，求点落在其内切圆内的概率。

正方形的面积为 1，内切圆的面积为π/4，所以点落在内切圆内的概率为π/4。

四、条件概率条件概率是在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

数学概率高考知识点

数学概率高考知识点一、概率的基本概念概率是研究随机现象发生的可能性大小的数学分支，是现代统计学的核心概念之一。

在高考中，概率相关的知识点主要包括实验、随机事件、样本空间、事件的概率等。

1. 实验与随机事件实验是对随机现象的一种模拟或观察，例如掷一个骰子、抽一张扑克牌等。

而随机事件则是实验中可能发生或者不发生的结果，通常用大写字母表示，如A、B、C等。

2. 样本空间与样本点样本空间是指实验的所有可能结果所组成的集合，用Ω表示。

而样本点则是样本空间中的一个具体结果，用ω表示。

3. 事件的概率事件的概率是指某个事件发生的可能性大小，用P(A)表示，其中A 为某个事件。

概率的取值范围在0到1之间，且概率之和为1。

二、概率的计算与性质1. 频率与概率频率是通过实验进行统计得到的某个事件发生的次数与实验总次数之比，频率逼近概率。

2. 等可能性原则如果样本空间Ω中的每个样本点发生的可能性相同，即各个样本点发生的概率相等，那么事件A含有的样本点数与Ω中的样本点数之比即为事件A发生的概率。

3. 加法定理对于两个事件A和B，它们同时发生的概率为P(A∪B) = P(A) +P(B) - P(A∩B)。

4. 减法定理对于两个事件A和B，当A发生时，B发生的概率为P(A-B) = P(A) - P(A∩B)。

5. 乘法定理对于两个独立事件A和B，它们同时发生的概率为P(A∩B) = P(A) × P(B)。

三、排列与组合1. 排列排列是从n个不同元素中取出m个元素进行有序排列的方式。

排列的计算公式为P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n!表示n的阶乘。

2. 组合组合是从n个不同元素中取出m个元素进行无序组合的方式。

组合的计算公式为C(n, m) = n! / (m! × (n-m)!)。

四、条件概率和独立事件1. 条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。

文科数学高考知识点概率

文科数学高考知识点概率概率是数学中的一个重要分支，也是文科数学高考中的一个重要考点。

概率可以说是一种描述随机性的工具，它可以帮助我们分析和预测各种事件的发生可能性。

在高考中，概率常常和统计一起出现，共同构成了数学的一大门类。

一、概率的基本概念在学习概率之前，我们首先需要了解一些基本的概念。

概率的基本单位是事件，而事件是指某件事情发生或者不发生。

在概率的计算中，我们通常使用事件发生的可能性大小来描述概率的大小。

概率的取值范围是0到1之间，其中0表示不可能事件，而1表示必然事件。

二、概率的计算方法1.古典概型古典概型是最简单的概率计算方法之一。

在古典概型中，我们假设每个样本点出现的机会是相等的，然后通过计算有利事件出现的样本点数目与总样本点数目的比值来计算概率。

2.频率概率频率概率是根据事件发生的频率来计算概率。

通过大量的实验或观察，我们可以统计出事件发生的次数，然后计算事件发生的频率作为概率的近似值。

3.几何概型在几何概型中，我们通常是通过计算几何图形的面积或者长度来求解概率。

几何概型常常应用在正方形、圆形、三角形等几何图形的计算中。

4.条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的前提下，另一个事件发生的概率。

条件概率的计算对于解决一些实际问题非常有用，它能够帮助我们预测在特定条件下事件发生的可能性。

5.全概率全概率是利用分区思想来计算概率的一种方法。

通过将一个事件分解成若干个互斥且穷尽的事件，然后计算各个事件发生的概率并相加，就可以得到整个事件发生的概率。

三、概率的应用概率在现实生活中有着广泛的应用。

在商业领域中，概率可以用于市场调研、销售预测等方面。

在医学领域中，概率可以帮助医生分析疾病的风险和预后。

在金融领域中，概率可以用于投资决策和风险控制。

在运输和物流领域中，概率可以帮助我们进行货物运输和交通流量的规划。

总之，概率在各个领域中都发挥着重要的作用。

结语概率作为一门重要的数学学科，是文科数学高考中的重要考点之一。

高考关于概率的知识点

高考关于概率的知识点在高考数学中，概率是一个非常重要的内容，它常常出现在选择题、填空题和解答题中。

概率作为一门数学分支，研究的是随机现象发生的可能性。

掌握概率的基本知识点不仅可以帮助我们解决高考数学题目，更能拓宽我们的思维方式和情境分析能力。

一、概率的基本概念概率是数学中研究随机现象的分支，它的基本概念主要有事件、样本空间和概率三者组成。

事件是随机现象中一些特定结果的集合，样本空间是随机现象所有可能结果的集合，而概率则是事件发生的可能性。

二、概率的计算方法概率的计算方法分为经典概型和几何概率。

经典概型是指样本空间中每个事件发生的可能性相等，即每个事件发生的概率均为1/n。

例如，一个六面骰子投掷，每个面出现的概率都是1/6。

几何概率则是指事件发生的概率与事件发生的空间大小有关，概率等于事件发生的空间面积除以样本空间的面积。

三、概率的加法定理与乘法定理概率的加法定理指的是两个事件的并事件发生的概率等于两个事件各自发生的概率之和减去两个事件同时发生的概率。

例如，求得事件A和事件B的概率之和，我们可以利用加法定理来求解。

概率的乘法定理则是指两个事件同时发生的概率等于两个事件分别发生的概率相乘。

在高考中，我们常常需要利用乘法定理解决问题。

四、排列组合与概率在概率计算过程中，排列组合是一个常常涉及到的概念。

排列指的是从n个不同元素中取出m个进行排列，组合则是从n个不同元素中取出m个进行组合。

排列和组合的计算公式可以帮助我们计算出样本空间的大小，从而计算出事件发生的概率。

五、条件概率与独立事件条件概率指的是，在已知事件A发生条件下，事件B发生的概率。

条件概率的计算公式是在P(A)不为0的情况下，P(A与B)除以P(A)。

例如，在一组数据中，已知男生人数和女生人数的条件下，求某个孩子是男生的概率。

独立事件则是指事件A的发生与事件B的发生没有任何关联，两者之间的发生概率是相互独立的。

六、贝叶斯定理贝叶斯定理是概率学中的重要定理之一，用于计算逆概率。

高考概率题知识点总结

高考概率题知识点总结高考数学中，概率题是一个常见而且重要的考点。

掌握概率的基本概念和计算方法，对于解题和应对高考数学考试至关重要。

本文将对高考概率题的一些重要知识点进行总结，帮助考生更好地备考。

一、概率的基本概念概率是数学中的一个重要分支，它研究事件发生可能性的大小。

在高考中，我们常见的概率题目多以抛硬币、掷骰子等为基础，通过求解概率来得出某种情况的可能性。

在概率计算中，事件的发生可以用分数形式表示，范围在0到1之间，其中1代表必然事件，0代表不可能事件。

二、概率的计算方法在概率的计算过程中，有两种常见的方法：古典概率和统计概率。

1.古典概率古典概率是指通过计算所有可能结果的大小，来推断某一结果发生的可能性大小。

典型的例子就是抛掷硬币和掷骰子。

例如，掷一枚硬币，正反两面各出现的概率都是1/2。

2.统计概率统计概率是指通过实验和试验数据，来推测某一事件发生的可能性。

这种方法一般需要大量的数据支撑，通过频率来求解概率。

例如，通过大量的实验数据统计，我们可以推测扔一颗骰子出现点数1的概率是1/6。

三、概率的性质概率具有一些重要的性质，掌握这些性质可以帮助我们更好地解题。

1.加法性对于两个互斥事件A和B，它们的概率可以通过求和来计算。

即P(A∪B) = P(A) + P(B)。

2.减法性对于事件A，我们可以通过事件B的概率计算出A与B同时发生的概率。

即P(A∩B) = P(A) - P(A∪B)。

3.乘法性对于两个独立事件A和B，它们同时发生的概率等于各自的概率的乘积。

即P(A∩B) = P(A) * P(B)。

四、排列组合与概率问题在高考概率题中，经常涉及到排列组合的知识。

1.排列排列是指从一组对象中选取若干个进行排列。

对于n个不相同的对象，从中选取m个进行排列，共有A(n, m) = n!/(n-m)!种排列方式。

2.组合组合是指从一组对象中选取若干个进行组合。

对于n个不相同的对象，从中选取m个进行组合，共有C(n, m) = n!/(m!(n-m)!)种组合方式。

高考数学概率统计知识点(大全)

高考数学概率统计知识点（大全）高考数学概率统计知识点一、随机事件(1)事件的三种运算：并(和)、交(积)、差;注意差A—B可以表示成A与B 的逆的积。

(2)四种运算律：交换律、结合律、分配律、德莫根律。

(3)事件的五种关系：包含、相等、互斥(互不相容)、对立、相互独立。

二、概率定义(1)统计定义：频率稳定在一个数附近，这个数称为事件的概率;(2)古典定义：要求样本空间只有有限个基本事件，每个基本事件出现的可能性相等，则事件A所含基本事件个数与样本空间所含基本事件个数的比称为事件的古典概率;(3)几何概率：样本空间中的元素有无穷多个，每个元素出现的可能性相等，则可以将样本空间看成一个几何图形，事件A看成这个图形的子集，它的概率通过子集图形的大小与样本空间图形的大小的比来计算;(4)公理化定义：满足三条公理的任何从样本空间的子集集合到[0，1]的映射。

三、概率性质与公式(1)加法公式：P(A+B)=p(A)+P(B)—P(AB)，特别地，如果A与B互不相容，则P(A+B)=P(A)+P(B);(2)差：P(A—B)=P(A)—P(AB)，特别地，如果B包含于A，则P(A—B)=P(A)—P(B);(3)乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(A|B)P(B)，特别地，如果A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B);(4)全概率公式：P(B)=∑P(Ai)P(B|Ai)。

它是由因求果，贝叶斯公式：P(Aj|B)=P(Aj)P(B|Aj)/∑P(Ai)P(B|Ai)。

它是由果索因;如果一个事件B可以在多种情形(原因)A1，A2，...，An下发生，则用全概率公式求B发生的概率;如果事件B已经发生，要求它是由Aj引起的概率，则用贝叶斯公式。

(5)二项概率公式：Pn(k)=C(n，k)p^k(1—p)^(n—k)，k=0，1，2，...，n。

当一个问题可以看成n重贝努力试验(三个条件：n次重复，每次只有A与A的逆可能发生，各次试验结果相互独立)时，要考虑二项概率公式。

高考数学概率知识点总结及解题思路方法

高考数学概率知识点总结及解题思路方法测试内容：随机事件的概率.等可能性事件的概率.互斥事件有一个发生的概率.相互独立事件同时发生的概率.独立重复试验.测试要求：(1)了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.(2)了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的根本公式计算一些等可能性事件的概率.(3)了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.(4)会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生6次的概率.§11.概率知识要点1.概率：随机事件A的概率是频率的稳定值,反之,频率是概率的近似值.2.等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n个,且所有结果出现的可能性都相等, 那么,每一个根本领件的概率都是工,如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率P(A)=m. n n 3.①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.如果事件A、B互斥,那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率,等于事件A、B分别发生的概率和,即P(A+B)=P(A)+P(B),推广：P(A i A2*-F A n) =P(A i) P(A2)+-F P(A n).②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.例如：从1〜52张扑克牌中任取一张抽到红桃〞与抽到黑璘：耳为互斥事旦不件,由于其中一个不可能同时发生,但又不能保证其中一个必仁故不是对立事件.而抽到红色牌〞与抽到黑色牌互为对立事件,由于其中一个必发生.注意：i.对立事件的概率和等于1：P(A)+P(A)=P(A+M=1.ii.互为对立的两个事件一定互斥,但互斥不一定是对立事件.③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件.如果两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即P(A B)=P(A) P(B).由此,当两个事件同时发生的概率P (AB)等于这两个事件发生概率之和,这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌(52张)中任抽一张设A:抽到老K" ；B:抽到红牌〞那么A应与B互为独立事件［看上去A与B有关系很有可能不是独立事件,但P(A)=&=」P(B)=26 J,P(A) P(B)=」.又事件AB表示既52 13 52 2 26抽到老K对抽到红牌〞即抽到红桃老K或方块老K〞有P(A B)=Z=」, 52 26因止匕有P(A) P(B) =P(A B).推广：假设事件A I,A2,…,A n相互独立,那么P(A i A2…A n)=P(A i) P(A2)…P(A n). 注意：i. 一般地,如果事件A与B相互独立,那么A与B,A与B, A 与B也都相互独立.ii.必然事件与任何事件都是相互独立的iii.独立事件是对任意多个事件来讲,而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件,且这多个事件不能同时发生,故这些事件相互之间必然影响,因此互斥事件一定不是独立事件.④独立重复试验：假设n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,那么称这n次试验是独立的.如果在一次试验中某事件发生的概率为P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率：P n(k) Cp k(1—P)n£4.对任何两个事件都有P(A +B) =P(A) +P(B) -P(A B)第十二章-概率与统计测试内容：抽样方法.总体分布的估计.总体期望值和方差的估计.测试要求：(1) 了解随机抽样了解分层抽样的意义,会用它们对简单实际问题进行抽样.(2)会用样本频率分布估计总体分布.(3)会用样本估计总体期望值和方差.国2.概率与统计知识要点一、随机变量.1.随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个, 但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.2.离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量 .假设E是一个随机变量,a, b是常数.那么n=a2+b也是一个随机变量.一般地,假设已是随机变量,f(x)是连续函数或单调函数,那么f©也是随机变量也就是说, 随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量已可能取的值为：X1,X2,…,X i,…E取每一个值X i(i=l,2,…)的概率P( j)=P i,那么表称为随机变量E的概率分布,简称E 的分布列.有性质①PiM=1,2,…；②P1+P2什+Pi l =1 .注意：假设随机变量可以取某一区间内的一切值, 这样的变量叫做连续型随机变量.例如:3[0,5]即E可以取0〜5之间的一切数,包括整数、小数、无理数.3.⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是巳那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：P(E =k) =c n P k q n〞[其中k =0,1,…,n, q =1 — P]于是得到随机变量2的概率分布如下：我们称这样的随机变量已服从二项分布,记作七~B (np),其中n, P为参数,并记Ckp k q n*=b(k;n P). ⑵二项分布的判断与应用.①二项分布,实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复,且每次试验只有两种结果,如果不满足此两条件, 随机变量就不服从二项分布.②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比拟小,而每次抽取时又只有两种试验结果, 此时可以把它看作独立重复试验,利用二项分布求其分布列.4.几何分布：2=k 〞表示在第k次独立重复试验时,事件第一次发生, 如果把k 次试验时事件A发生记为A k ,事A不发生记为A k,P(A k)=q , 那么P(\k) =P(8?…A；1AJ .根据相互独立事件的概率乘法分式：P(甘)=P(A I)P(A2)…P(A k^P(A k)才与(k =1,2,3,…)于是得到随机变量已的概率分布列.5.⑴超几何分布：一批产品共有N件,其中有M (M<N)件次品,今抽取n(1 WnEN)件,那么其中的次品数已是一离散型随机变量,分布列k n -k为P k) =£里1 (04MM,0 Mn _k MN _M).〔分子是从M件次品中取k件, C N从N-M件正品中取n-k件的取法数,如果规定m<r时C m r=0,那么k的范围可以写为k=0, 1,…,n.〕⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由a件次品、b件正品组成,k n _k今抽取n件(1WnWa+b那么次品数E的分布列为P&=k)=c a c b k=0,1,…,n.. C a b⑶超几何分布与二项分布的关系.设一批产品由a件次品、b件正品组成,不放回抽取n件时,其中次品数.艮从超几何分布.假设放回式抽取,那么其中次品数〞的分布列可如下求得：把a 他个产品编号,那么抽取n次共有(a+b)n个可能结果,等可能：W=k) 含c n a k b n」个结果, 故k k. n k i -PS =k 〕 =Cna b n- Hk 〔W 〕k 〔1—W 〕n ,k =0,12 …,n,即〞~ B 〔n,a 〕.［我们先为 k 〔a,b 〕a b a- b a b个次品选定位置,共c k 种选法；然后每个次品位置有a 种选法,每个正品位置有b 种选法］可以证实：当产品总数很大而抽取个数不多时, p 〔、k 〕5t pW=k 〕,因此二项分布可作为超几何分布的近似,无放回抽样可近似看作放回抽样. 二、数学期望与方差.1.期望的含义：一般地,假设离散型随机变量E 的概率分布为那么称MWP 1%2P 2+…以n P nA 为的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平 2 .⑴随机变量〞=a U+b 的数学期望：E 〞 =E 〔a ：+b 〕 =aE 巴+b ①当a=0时,E 〔b 〕 =b ,即常数的数学期望就是这个常数本身. ②当a=1时,E ^+b 〕=E C+b ,即随机变量已与常数之和的期望等于已的期望与这个常数的和.③当b=0时,E 〔a 与=aEj 即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积为：(p + q = 1)⑷二项分布：E F.就/飞〞二印其分布列为'~B 〔n ,P 〕.〔P 为发⑵单点分布:P 〔 =1〕 =c .⑶两点分布: Et=c M1 =c其分布列为:E £=0M q +1M p =p ,其分布列生之的概率)⑸几何分布：E』1其分布列为一q(k,p). (P为发生E的概率) P3.方差、标准差的定义：当随机变量E的分布列为P(£=X k) =P k(k =1,2,…)时,那么称2小1上自、1十X2-EE)2P2平-十X n_E〞Pn +•为E的方差. 显然D U之0,故也=乒.v为E的根方差或标准差.随机变量E的方差与标准差都反映了随机变量E取值的稳定与波动,集中与离散的程度.D?越小,稳定性越高,波动越小.4.方差的性质.⑴随机变量〞=a£+b的方差D(n)=D(aE+b) =a2Dj (a、b均为常数) ⑵单点分布：D^=0其分布列为Array P( =1)=P⑶两点分布：D t = Pq其分布列为：(P+ q = 1)⑷二项分布：D ?'；=nPq⑸几何分布：D = q2 P5.期望与方差的关系.⑴如果E U和E"者B存在,贝u E(t±n)=E t±E n⑵设已和“是互相独立的两个随机变量, 那么E(5)=E J E B D代+") = D t + D"⑶期望与方差的转化：D U E&(4)E(t-E it)=E(t)-E(E^)(由于E^为一常数)=E -E =0.三、正态分布.(根本不列入测试范围)1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量总位于X轴上方,S落在任一区间［a,b)内的概率等于它与X轴.直线x=a与直线x=b所围成的曲边梯形的面积图像的函数f(x)叫做E 的密度函数,由于X"芭q ,+a c )b是必然事件,故密度曲线与x 轴所夹局部面积等于1. 2 .⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量 S 的概率密度为：(X十)2f(x) = ^― e 24.(x w R, R ,o ■为常数,且仃为0),称E 服从参数为R ,o '的■. 2 二二正态分布,用0〜N(%r 2)表示.f(x)的表达式可简记为N(R Q 2),它的密度曲线简称为正态曲线.⑵正态分布的期望与方差：假设七〜N(N/),那么已的期望与方差分别为: E -」,D -：,-2. ⑶正态曲线的性质.①曲线在x 轴上方,与x 轴不相交. ②曲线关于直线x "对称.③当x =N 时曲线处于最高点,当x 向左、向右远离时,曲线不断地降低,呈现出中间高、两边低〞的钟形曲线.④当x <N 时,曲线上升；当x>N 时,曲线下降,并且当曲线向左、向右两边无限延伸时,以x 轴为渐近线,向x 轴无限的靠近.⑤当N 一定时,曲线的形状由.确定,.越大,曲线越矮胖〞表示总体的分布越分散；灯越小,曲线越瘦高〞,表示总体的分布越集中. 3 .⑴标准正态分布：如果随机变量 s 的概率函数为x 2平(x)Jr Y x y 妁,那么称已服从标准正态分布.即.〜N(0,i)有2 二y=f(x)(如图阴影局部)的曲线叫E 的密度曲线,力么其僦 xy邛(x)=p(£wx),中(x)=i_%»)求出,而 P (a< ^Wb)的计算那么是P(a Mb) =④(b) _^(a).注意：当标准正态分布的6(x)的X 取0时,有①(x)=0.5当①(x)的X 取大于 0 的数时,有二(x) A0.5.比方曲0.5-N ) =0.0793Y0.5 贝U 0.5-. 如图.⑵正态分布与标准正态分布间的关系：假设之〜用乩仃2)那么E 的分布通ISgg =0.5 Sa=0.5+S常用 F(x)表示,且有 p(?x) =F(x)=5(x -〃).(T4.⑴“金〞原那么.假设检验是就正态总体而言的,进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设,统计假设里的变量服从正态分布 N(N Q 2).②确定一次试验中的取值a 是否落入范围串-3G T , N+3m .③做出判断：如果 a W (N —3仃,N+3⑴,接受统计假设.如果a a (2—3仃,r+刘,由于这是小概率事件,就拒绝统计假设.⑵“女〞原那么的应用：假设随机变量已服从正态分布N (依2)那么已落在 (N-3Q ,N+3⑴内的概率为 99.7% 亦即落在(良-3G出+即之外的概率为 0.3%,此为小概率事件,如果此事件发生了,就说明此种产品不合格(即E 不服从正态分布).▲必然小于0妗x线。