2017年上海浦东新区高考数学二模

2017年上海浦东新区高考数学二模

D

18. （本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

某地计划在一处海滩建造一个养殖场.

（1）如图，射线,OA OB 为海岸线，23AOB π

∠=，现用长度

为1千米的围网PQ 依托海岸线围成一个△POQ 的养殖场，问如何选取点,P Q ，才能使养殖场△POQ 的面积最大，并求其最大面积.

（2）如图，直线l 为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场.

方案一：围成三角形OAB （点,A B 在直线l 上），使三角形OAB 面积最大，设其为1

S ；

方案二：围成弓形CDE （点,D E 在直线l 上，C 是优弧

所在圆的圆心且23DCE π∠=），其面积为2

S ；

试求出1

S 的最大值和2

S （均精确到0.01平方千米），并

指出哪一种设计方案更好.

19. （本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知双曲线

22:1

43

x y C -=，其右顶点为P .

（1）求以P 为圆心，且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程；

（2）设直线l 过点P ，其法向量为=(1,1)-，若在双曲线C 上恰有三个点1

2

3

,,P P P 到直线l 的距离均为d ，求d 的

值.

20、（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 若数列{}n A 对任意的*

N n ∈，都有k

n n A A

=+1

()

0≠k ，且0

≠n

A

，

则称数列{}n

A 为“k 级创新数列”.

（1）已知数列{}n

a 满足n

n n a a a

222

1+=+且2

11

=

a

，试判断数

列{}

12+n

a

是否为“2级创新数列”，并说明理由；

（2）已知正数数列{}n

b 为“k 级创新数列”且1≠k ，若

10

1=b ，求数列{}n

b 的前n 项积n

T ;

（3）设βα,是方程0

12

=--x x

的两个实根)(βα>，令αβ

=k ，

在（2）的条件下，记数列{}n

c 的通项n

b n n

T c

n log 1⋅=-β，求证：

n

n n c c c +=++12，*

N n ∈.

21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

对于定义域为R 的函数)(x g ，若函数[])(sin x g 是奇函数，则称)(x g 为正弦奇函数.

已知)(x f 是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，

)0(=f .

（1）已知)(x g 是正弦奇函数，证明：“0

u 为方程[]1)(sin =x g 的解”的充要条件是“0

u -为方程[]1)(sin -=x g 的解”；

（2）若2)(π=a f ，2

)(π

-=b f ，求b a +的值； （3）证明：)(x f 是奇函数.

参考答案

1. [2,4)

2. 1

3. 8π

4. 2

5. 5

6. 9

7.

0.98 8.

20,3π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

9. 1

4 10. 6 11. 16 12.

13. D 14. C 15. C 16. D

17. （1）3DC π=

（2）3arcsin 6θ=

18. （1）选取3

OP OQ ==

时养殖场△POQ 的面积最大，

max S =

（平方千米）

（2）1max

18

S

=

（平方千米），2

0.144

S

≈（平方千米）

12

S S <，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好

19. （1）2212(2)7x y -+= （2）3

22d =或

22 20. （1）是

（2）1*110()n

k k n

T n --=∈N

（3）证明略

21. （1）证明略（2）0

+=

a b

（3）证明略