2017年上海浦东新区高考数学二模
2017浦东高三数学二模
又 是 与 之间的距离，所以 或者
……………14分
20、（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
若数列 对任意的 ，都有 ，且 ，则称数列 为“ 级创新数列”.
（1）已知数列 满足 ，且 ，试判断数列 是否为“2级创新数列”，并说明理由；
综上， .…………………………10分
（3） 的值域为 且单调递增，故对任意 ，存在唯一的 使得 .
…………11分
可设 ，下证 .
当 时，由（2）知 ,命题成立；………………………………12分
假设 时命题成立，即 ，而由 的单调性
知 ，知 ，
则当 时， 为方程 的解，故 为方程 的解，
且由单调性知 ，故 ，得 ；
方案一：围成三角形 （点 、 在直线 上），使三角形 面积最大，设其为 ；
方案二：围成弓形 （点 、 在直线 上， 是优弧所在圆的圆心且 ），其面积为 ；
试求出 的最大值和 （均精确到0.001平方千米），并指出哪一种设计方案更好.
19.已知双曲线 ，其右顶点为 .
（1）求以 为圆心，且与双曲线 的两条渐近线都相切的圆的标准方程；
同理 ，故 .……………………………………………14分
要证 是奇函数，只需证：对任意 ，都有 .
记 ，若 ，则 ， ；
……………………………………………………15分
若 ，则
， ，
而正弦函数在 上单调递增，
故由 得 .
若 ，同理可证得 .…………………17分
综上，对任意 ，都有 .故 是奇函数.……………18分
对于定义域为 的函数 ，若函数 是奇函数，则称 为正弦奇函数.已知 是单调递增的正弦奇函数，其值域为 ， .
2017年上海浦东新区高考数学二模
浦东新区2016学年度第二学期教学质量检测高三数学试卷2017.4一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知集合201x A xx ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{|04}B y y =≤<，则A B =____________.2. 若直线l 的参数方程为44,23x tt y t=-⎧∈⎨=-+⎩R ，则直线l 在y 轴上的截距是____________.3. 已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为____________.4. 抛物线214y x =的焦点到准线的距离为____________. 5. 已知关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为215120⎛⎫⎪-⎝⎭，则3x y -=____________.6. 若三个数123,,a a a 的方差为1，则12332,32,32a a a +++的方差为____________.7. 已知射手甲击中A 目标的概率为0.9，射手乙击中A 目标的概率为0.8，若甲、乙两人各向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是____________. 8. 函数3sin ,0,62y x x ππ⎛⎫⎡⎤=-∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间是____________. 9. 已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则1limnn n n S a a →∞+=____________.10. 已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()(2)0f x f x +-=；②()(2)0f x f x ---=；③在[1,1]-上的表达式为[1,0]()1,(0,1]x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数122,0()log ,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图像在区间[3,3]-上的交点的个数为____________.11. 已知各项均为正数的数列{}n a 满足：*11(2)(1)0()n n n n a a a a n ++--=∈N ，且110a a =，则首项1a 所有可能取值中的最大值为____________.12. 已知平面上三个不同的单位向量a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗满足a ⃗·b ⃗⃗=b ⃗⃗·c ⃗=12，若e ⃗为平面内的任意单位向量，则|a ⃗·e ⃗|+2|b ⃗⃗·e ⃗|+3|c ⃗·e ⃗|的最大值为____________.二、选择题(本大题共有 4 小题，满分 20 分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5 分，否则一律得零分.13、若复数z 满足2=-++i z i z ，则复数z 在平面上对应的图形是（）A.椭圆B.双曲线 C .直线 D.线段14、已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示，给出下列4个平面图：则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（）A.（1）（3）（4）B.（2）（4）（3）C.（1）（3）（2）D.（2）（4）（1）15、已知x x cos 1sin 2+=，则=2cotx（） A.2 B.2或21 C.2或0 D.21或0 16、已知等比数列1a ,2a ,3a ,4a 满足)1,0(1∈a ，)2,1(2∈a ，)4,2(3∈a ，则4a 的取值范围是（）A.)83(，B.)162(， C .)84(， D.)622(，三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）17. （本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，球O 的球心O 在空间直角坐标系O xyz -的原点，半径为1，且球O 分别与,,x y z 轴的正半轴交于,,A B C 三点.已知球面上一点10,2D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. （1）求,D C 两点在球O 上的球面距离；（2）求直线CD 与平面ABC 所成角的大小.18. （本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 某地计划在一处海滩建造一个养殖场. （1）如图，射线,OA OB 为海岸线，23AOB π∠=，现用长度为1千米的围网PQ 依托海岸线围成一个△POQ 的养殖场，问如何选取点,P Q ，才能使养殖场△POQ 的面积最大，并求其最大面积. （2）如图，直线l 为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场. 方案一：围成三角形OAB （点,A B 在直线l 上），使三角形OAB 面积最大，设其为1S ； 方案二：围成弓形CDE （点,D E 在直线l 上，C 是优弧DE ̂所在圆的圆心且23DCE π∠=），其面积为2S ；试求出1S 的最大值和2S （均精确到0.01平方千米），并指出哪一种设计方案更好.19. （本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知双曲线22:143x y C -=，其右顶点为P . （1）求以P 为圆心，且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l 过点P ，其法向量为n ⃗⃗=(1,1)-，若在双曲线C 上恰有三个点123,,P P P 到直线l 的距离均为d ，求d 的值.20、（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）若数列{}n A 对任意的*N n ∈，都有kn n A A =+1()0≠k ，且0≠n A ，则称数列{}n A 为“k 级创新数列”.（1）已知数列{}n a 满足n n n a a a 2221+=+且211=a ，试判断数列{}12+n a 是否为“2级创新数列”，并说明理由；（2）已知正数数列{}n b 为“k 级创新数列”且1≠k ，若101=b ，求数列{}n b 的前n 项积n T ; （3）设βα,是方程012=--x x 的两个实根)(βα>，令αβ=k ，在（2）的条件下，记数列{}n c 的通项n b n n T c nlog 1⋅=-β，求证：n n n c c c +=++12，*N n ∈.21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于定义域为R 的函数)(x g ，若函数[])(sin x g 是奇函数，则称)(x g 为正弦奇函数. 已知)(x f 是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，0)0(=f .（1）已知)(x g 是正弦奇函数，证明：“0u 为方程[]1)(sin =x g 的解”的充要条件是“0u -为方程[]1)(sin -=x g 的解”；（2）若2)(π=a f ，2)(π-=b f ，求b a +的值；（3）证明：)(x f 是奇函数.参考答案1. [2,4)2. 13.8π4. 25. 56.97.0.988.20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.1410. 6 11.16 13. D14. C15. C16. D17. （1）3DC π=（2）3arcsin6θ=18. （1）选取3OP OQ ==时养殖场△POQ 的面积最大，max 12S =（平方千米） （2）1max 18S =（平方千米），20.144S ≈（平方千米） 12S S <，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好19. （1）2212(2)7x y -+=（2）d =20. （1）是 （2）1*110()n k kn T n --=∈N（3）证明略21. （1）证明略 （2）0a b += （3）证明略。
2017上海浦东新区二模数学试卷
浦东新区2016学年度第二学期教学质量检测高三数学试卷2017.4一、填空题（本大题共有12 小题，满分54 分）只要求直接填写结果，1-6 题每个空格填对得4 分，7-12 题每个空格填对得5 分，否则一律得零分. 1、已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥+-=012x x xA ，集合{}40<≤=y yB ，则=B A .2、若直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+-=-=t y tx 3244，R t ∈，则直线l 在y 轴上的截距是 .3、已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为︒30，则该圆锥的侧面积为 .4、抛物线241x y =的焦点到准线的距离为 . 5、已知关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛02-1512，则=-y x 3 .6、若三个数1a ,2a ,3a 的方差为1，则231+a ,232+a ,233+a 的方差为 .7、已知射手甲击中A 目标的概率为0.9，射手乙击中A 目标的概率为0.8，若甲、乙两人各向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是 .8、函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x y 6sin π,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,0πx 的单调递减区间是 . 9、已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则=+∞→1limn n nn a a S . 10、已知定义在R 上的函数)(x f 满足：①0)2()(=-+x f x f ；②0)2()(=---x f x f ；③在[]1,1-上的表达式为⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈==]1,0(,1]0,1[,1)(2x x x x x f ，则函数)(x f 与⎪⎩⎪⎨⎧>≤=0,log 0,2)(21x x x x g x 的图像在区间[]3,3-上的交点的个数为 .11、已知各项均为正数的数列{}n a 满足0)1)(2(11=--++n n n n a a a a )(*N n ∈，且101a a =，则首项1a 所有可能取值中最大值为 .12、已知平面上三个不同的单位向量a ,b ,c 满足21=⋅=⋅→→→→c b b a ，若→e 为平面内的任意单位向量，则→→→→→→⋅+⋅+⋅e c e b e a 32的最大值为 .二、选择题(本大题共有 4 小题，满分 20 分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5 分，否则一律得零分.13、若复数z 满足2=-++i z i z ，则复数z 在平面上对应的图形是（ ）A.椭圆B.双曲线C.直线D.线段14、已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示给出下列4个平面图：则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（ ）A.（1）（3）（4）B.（2）（4）（3）C.（1）（3）（2）D.（2）（4）（1）15、已知x x cos 1sin 2+=，则=2cotx（ ） A.2 B.2或21C.2或0D.21或0 16、已知等比数列1a ,2a ,3a ,4a 满足)1,0(1∈a ，)2,1(2∈a ，)4,2(3∈a ，则4a 的取值范围是（ ）A.)83(，B.)162(，C.)84(，D.)622(，17. （本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，球O 的球心O 在空间直角坐标系O xyz -的原点，半径为1，且球O 分别与,,x y z 轴的正半轴交于,,A B C 三点.已知球面上一点10,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求,D C 两点在球O 上的球面距离； （2）求直线CD 与平面ABC 所成角的大小.18. （本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 某地计划在一处海滩建造一个养殖场. （1）如图，射线,OA OB 为海岸线，23AOB π∠=，现用长度为1千米的围网PQ 依托海岸线围成一个△POQ 的养殖场，问如何选取点,P Q ，才能使养殖场△POQ 的面积最大，并求其最大面积.（2）如图，直线l 为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场.方案一：围成三角形OAB （点,A B 在直线l 上），使三角形OAB 面积最大，设其为1S ；方案二：围成弓形CDE （点,D E 在直线l 上，C 是优弧所在圆的圆心且23DCE π∠=），其面积为2S ； 试求出1S 的最大值和2S （均精确到0.01平方千米），并指出哪一种设计方案更好.19. （本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知双曲线22:143x y C -=，其右顶点为P . （1）求以P 为圆心，且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l 过点P ，其法向量为=(1,1)-，若在双曲线C 上恰有三个点123,,P P P 到直线l 的距离均为d ，求d 的值.20、（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）若数列{}n A 对任意的*N n ∈，都有knn A A =+1()0≠k ，且0≠n A ，则称数列{}n A 为“k 级创新数列”.（1）已知数列{}n a 满足n n n a a a 2221+=+且211=a ，试判断数列{}12+n a 是否为“2级创新数列”，并说明理由；（2）已知正数数列{}n b 为“k 级创新数列”且1≠k ，若101=b ，求数列{}n b 的前n 项积n T ;（3）设βα,是方程012=--x x 的两个实根)(βα>，令αβ=k ，在（2）的条件下，记数列{}n c 的通项n b n n T c n log 1⋅=-β，求证：n n n c c c +=++12，*N n ∈.21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于定义域为R 的函数)(x g ，若函数[])(sin x g 是奇函数，则称)(x g 为正弦奇函数。
2017年上海浦东新区高考数学二模
浦东新区2016学年度第二学期教学质量检测高三数学试卷一、填空题〔本大题共有12小题，总分值54分〕只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知集合201x A xx ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{|04}B y y =≤<，则A B =____________.2. 假设直线l 的参数方程为44,23x tt y t=-⎧∈⎨=-+⎩R ，则直线l 在y 轴上的截距是____________.3. 已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为____________.4. 抛物线214y x =的焦点到准线的距离为____________. 5. 已知关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为215120⎛⎫⎪-⎝⎭，则3x y -=____________.6. 假设三个数123,,a a a 的方差为1，则12332,32,32a a a +++的方差为____________.7. 已知射手甲击中A 目标的概率为，射手乙击中A 目标的概率为，假设甲、乙两人各向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是____________. 8. 函数3sin ,0,62y x x ππ⎛⎫⎡⎤=-∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间是____________. 9. 已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则1limnn n n S a a →∞+=____________.10. 已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()(2)0f x f x +-=；②()(2)0f x f x ---=；③在[1,1]-上的表达式为[1,0]()1,(0,1]x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数122,0()log ,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图像在区间[3,3]-上的交点的个数为____________.11. 已知各项均为正数的数列{}n a 满足：*11(2)(1)0()n n n n a a a a n ++--=∈N ，且110a a =，则首项1a 所有可能取值中的最大值为____________.12. 已知平面上三个不同的单位向量a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗满足a ⃗·b ⃗⃗=b ⃗⃗·c ⃗=12，假设e ⃗为平面内的任意单位向量，则|a ⃗·e ⃗|+2|b ⃗⃗·e ⃗|+3|c ⃗·e ⃗|的最大值为____________.二、选择题(本大题共有 4 小题，总分值 20 分) 每题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5 分，否则一律得零分.13、假设复数z 满足2=-++i z i z ，则复数z 在平面上对应的图形是〔 〕A.椭圆B.双曲线C.直线D.线段14、已知长方体切去一个角的几何体直观图如下图，给出以下4个平面图：则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是〔〕A.〔1〕〔3〕〔4〕B.〔2〕〔4〕〔3〕C.〔1〕〔3〕〔2〕D.〔2〕〔4〕〔1〕15、已知x x cos 1sin 2+=，则=2cotx〔 〕或21 或0D.21或0 16、已知等比数列1a ,2a ,3a ,4a 满足)1,0(1∈a ，)2,1(2∈a ，)4,2(3∈a ，则4a 的取值范围是〔 〕A.)83(，B.)162(，C.)84(，D.)622(，三、解答题〔本大题共有5小题，总分值76分〕17. 〔本小题总分值14分，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分〕如下图，球O 的球心O 在空间直角坐标系O xyz -的原点，半径为1，且球O 分别与,,x y z 轴的正半轴交于,,A B C 三点.已知球面上一点310,,2D ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭. 〔1〕求,D C 两点在球O 上的球面距离；〔2〕求直线CD 与平面ABC 所成角的大小.18. 〔本小题总分值14分，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分〕 某地计划在一处海滩建造一个养殖场. 〔1〕如图，射线,OA OB 为海岸线，23AOB π∠=，现用长度为1千米的围网PQ 依托海岸线围成一个△POQ 的养殖场，问如何选取点,P Q ，才能使养殖场△POQ 的面积最大，并求其最大面积. 〔2〕如图，直线l 为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场. 方案一：围成三角形OAB 〔点,A B 在直线l 上〕，使三角形OAB 面积最大，设其为1S ； 方案二：围成弓形CDE 〔点,D E 在直线l 上，C 是优弧DE ̂所在圆的圆心且23DCE π∠=〕，其面积为2S ；试求出1S 的最大值和2S 〔均精确到平方千米〕，并指出哪一种设计方案更好.19. 〔本小题总分值14分，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分〕已知双曲线22:143x y C -=，其右顶点为P . 〔1〕求以P 为圆心，且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程；〔2〕设直线l 过点P ，其法向量为n ⃗⃗=(1,1)-，假设在双曲线C 上恰有三个点123,,P P P 到直线l 的距离均为d ，求d 的值.20、〔本小题总分值16分，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值6分〕假设数列{}n A 对任意的*N n ∈，都有kn n A A =+1()0≠k ，且0≠n A ，则称数列{}n A 为“k 级创新数列”.〔1〕已知数列{}n a 满足n n n a a a 2221+=+且211=a ，试判断数列{}12+n a 是否为“2级创新数列”，并说明理由；〔2〕已知正数数列{}n b 为“k 级创新数列”且1≠k ，假设101=b ，求数列{}n b 的前n 项积n T ; 〔3〕设βα,是方程012=--x x 的两个实根)(βα>，令αβ=k ，在〔2〕的条件下，记数列{}n c 的通项n b n n T c nlog 1⋅=-β，求证：n n n c c c +=++12，*N n ∈.21、〔此题总分值18分，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值8分〕对于定义域为R 的函数)(x g ，假设函数[])(sin x g 是奇函数，则称)(x g 为正弦奇函数. 已知)(x f 是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，0)0(=f .〔1〕已知)(x g 是正弦奇函数，证明：“0u 为方程[]1)(sin =x g 的解”的充要条件是“0u -为方程[]1)(sin -=x g 的解”；〔2〕假设2)(π=a f ，2)(π-=b f ，求b a +的值；〔3〕证明：)(x f 是奇函数.参考答案1. [2,4)2. 13. 8π4. 25. 56. 97.8. 20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.1410. 6 11. 16 12. 13. D14. C15. C16. D17. 〔1〕3DC π=〔2〕θ=18. 〔1〕选取OP OQ ==时养殖场△POQ 的面积最大，max S = 〔2〕1max 18S =〔平方千米〕，20.144S ≈〔平方千米〕 12S S <，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好19. 〔1〕2212(2)7x y -+=〔2〕2d =220. 〔1〕是 〔2〕1*110()n k kn T n --=∈N〔3〕证明略21. 〔1〕证明略 〔2〕0a b += 〔3〕证明略。
上海市浦东新区2017届高三数学4月教学质量检测(二模)试题
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！上海市浦东新区2017届高三数学4月教学质量检测（二模）试题注意：1．答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚．2．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1、已知集合201x A x x ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{}04B y y =≤<，则A B =____________．2、若直线l 的参数方程为44,23R x t t y t=-⎧∈⎨=-+⎩，则直线l 在y 轴上的截距是____________．3、已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30︒，则该圆锥的侧面积为____________．4、抛物线214y x =的焦点到准线的距离为____________．5、已知关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为215120⎛⎫ ⎪-⎝⎭，则3x y -=____________．6、若三个数123,,a a a 的方差为1，则12332,32,32a a a +++的方差为____________．7、已知射手甲击中A 目标的概率为0．9，射手乙击中A 目标的概率为0．8，若甲、乙两人各向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是____________．8、函数π3sin ,0,π62y x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间是____________．9、已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则1lim n n n n S a a →∞+=____________．10、已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]1,01,0,1x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()122,0log ,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图像在区间[]3,3-上的交点的个数为____________．11、已知各项均为正数的数列{}n a 满足：()()()11210N n n n n a a a a n *++--=∈，且110a a =,则首项1a 所有可能取值中的最大值为____________．12、已知平面上三个不同的单位向量,,a b c 满足12a b b c ⋅=⋅= ，若e 为平面内的任意单位向量，则23a e b e c e ⋅+⋅+⋅ 的最大值为____________．二、选择题(本大题共有4小题，满分20分)每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分．13、若复数z 满足2z i z i ++-=，则复数z 在复平面上所对应的图形是（）A、椭圆；B、双曲线；C、直线；D、线段．14、已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示给出下列4个平面图：则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（）A、(1)(3)(4)；B、(2)(4)(3)；C、(1)(3)(2)；D、(2)(4)(1)．15、已知2sin 1cos x x =+，则cot 2x =（）A、2；B、2或12；C、2或0；D、12或0．16、已知等比数列1234,,,a a a a 满足()10,1a ∈，()21,2a ∈，()32,4a ∈，则4a 的取值范围是（）A、()3,8；B、()2,16；C、()4,8；D、()．三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，球O 的球心O 在空间直角坐标系O xyz -的原点，半径为1，且球O 分别与,,x y z 轴的正半轴交于,,A B C 三点．已知球面上一点10,,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求,D C 两点在球O 上的球面距离；（2）求直线CD 与平面ABC 所成角的大小．18、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某地计划在一处海滩建造一个养殖场．（1）如图，射线,OA OB 为海岸线，2π3AOB ∠=，现用长度为1千米的围网PQ 依托海岸线围成一个△POQ 的养殖场，问如何选取点,P Q ，才能使养殖场△POQ 的面积最大，并求其最大面积．（2）如图，直线l 为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场．方案一：围成三角形OAB （点,A B 在直线l 上），使三角形OAB 面积最大，设其为1S ；方案二：围成弓形CDE （点,D E 在直线l 上，C 是优弧 DE 所在圆的圆心且2π3DCE ∠=），其面积为2S ；试求出1S 的最大值和2S （均精确到0．001平方千米），并指出哪一种设计方案更好．19、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知双曲线22:143x y C -=，其右顶点为P ．（1）求以P 为圆心，且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l 过点P ，其法向量为(1,1)n =- ，若在双曲线C 上恰有三个点123,,P P P 到直线l 的距离均为d ，求d 的值．O A BP Q20、（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）若数列{}n A 对任意的*N n ∈，都有()+10k n nA A k =≠，且0n A ≠，则称数列{}n A 为“k 级创新数列”．（1）已知数列{}n a 满足2122n n n a a a +=+，且112a =，试判断数列{}21n a +是否为“2级创新数列”，并说明理由；（2）已知正数数列{}n b 为“k 级创新数列”且1k ≠，若110b =，求数列{}n b 的前n 项积．n T ；（3）设,αβ是方程210x x --=的两个实根（αβ>），令k βα=，在（2）的条件下，记数列{}n c 的通项1log n n n b n c T β-=⋅，求证：21n n n c c c ++=+，*N n ∈．21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于定义域为R 的函数()g x ，若函数()sin g x ⎡⎤⎣⎦是奇函数，则称()g x 为正弦奇函数．已知()f x 是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，()00f =．（1）已知()g x 是正弦奇函数，证明：“0u 为方程()sin 1g x =⎡⎤⎣⎦的解”的充要条件是“0u -为方程()sin 1g x =-⎡⎤⎣⎦的解”；（2）若()()ππ,22f a f b ==-，求a b +的值；（3）证明：()f x 是奇函数．浦东新区2016-2017学年度第二学期质量抽测高三数学试卷2017.4注意：1.答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚.2.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1、已知集合201x A x x ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{}04B y y =≤<，则A B =____[2,4)________.2、若直线l 的参数方程为44,23R x t t y t=-⎧∈⎨=-+⎩，则直线l 在y 轴上的截距是_____1______.3、已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30︒，则该圆锥的侧面积为____8π______.4、抛物线214y x =的焦点到准线的距离为______2_______.5、已知关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为215120⎛⎫ ⎪-⎝⎭，则3x y -=___5_______.6、若三个数123,,a a a 的方差为1，则12332,32,32a a a +++的方差为9.7、已知射手甲击中A 目标的概率为0.9，射手乙击中A 目标的概率为0.8，若甲、乙两人各向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是___0.98________.8、函数π3sin ,0,π62y x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间是_____20,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦__________.9、已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则1lim n n n n S a a →∞+=___14______.10、已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]1,01,0,1x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()122,0log ,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图象在区间[]3,3-上的交点的个数为6.11、已知各项均为正数的数列{}n a 满足：()()()11210N n n n n a a a a n *++--=∈，且110a a =,则首项1a 所有可能取值中的最大值为16.12、已知平面上三个不同的单位向量,,a b c 满足12a b b c ⋅=⋅= ，若e 为平面内的任意单位向量，则23a e b e c e ⋅+⋅+⋅__________.二、选择题(本大题共有4小题，满分20分)每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.13、若复数z 满足2z i z i ++-=，则复数z 在复平面上所对应的图形是（D ）A、椭圆；B、双曲线；C、直线；D、线段.14、（C ）15、已知2sin 1cos x x =+，则cot 2x =（C ）A、2；B、2或12；C、2或0；D、12或0.16、已知等比数列1234,,,a a a a 满足()10,1a ∈，()21,2a ∈，()32,4a ∈，则4a 的取值范围是（D ）A、()3,8；B、()2,16；C、()4,8；D、()22,16.三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，球O 的球心O 在空间直角坐标系O xyz -的原点，半径为1，且球O 分别与,,x y z 轴的正半轴交于,,A B C 三点.已知球面上一点310,,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求,D C 两点在球O 上的球面距离；（2）求直线CD 与平面ABC 所成角的大小．解：（1）由题意：()()()311,0,0,0,1,0,0,0,1,0,,22A B C D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭则310,,22CD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，……………………………………………………2分所以1CD = ，即OCD ∆为等边三角形，所以π3DOC ∠=，…………4分则 ππ133DC =⨯=…………………………6分O（2）设直线CD 与平面ABC 所成角为θ，易得平面ABC 的一个法向量()1,1,1n = ，…………………………11分则1322sin 6CD n CD nθ+⋅+===⋅ ，…………………………13分即直线CD 与平面ABC 所成角33arcsin 6θ+=…………………………14分18、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某地计划在一处海滩建造一个养殖场.（1）如图，射线,OA OB 为海岸线，2π3AOB ∠=，现用长度为1千米的围网PQ 依托海岸线围成一个POQ ∆的养殖场，问如何选取点,P Q ，才能使养殖场POQ ∆的面积最大，并求其最大面积.（2）如图，直线l 为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场.方案一：围成三角形OAB （点,A B 在直线l 上），使三角形OAB 面积最大，设其为1S ；方案二：围成弓形CDE （点,D E 在直线l 上，C 是优弧 DE 所在圆的圆心且2π3DCE ∠=），其面积为2S ；试求出1S 的最大值和2S （均精确到0.001平方千米），并指出哪一种设计方案更好.O A BP Q解：（1）设,OP x OQ y==由余弦定理得222211232x y xy x y xy xy ⎛⎫=+-⋅-=++≥ ⎪⎝⎭，13xy ∴≤…4分则1211sin π2323212S xy =≤⨯⨯=，max 12S =（平方千米）即选取33OP OQ ==时养殖场POQ ∆的面积最大.…………6分（2）方案一：围成三角形OAB设AOB θ∠=，由21124OA OB OA OB OA OB +⎛⎫+=⇒⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12OA OB ==时取等号.所以，11111sin 12248S OA OB θ=⋅≤⋅⋅=（平方千米），当且仅当1π,22OA OB θ===时取等号.……………9分方案二：围成弓形CDE设弓形中扇形所在圆C 的半径为r ，而扇形圆心角为4π3、弧长为1千米，故14433ππr ==.…………10分于是22112π1sin 223S r r =⋅⋅+ (11)分23190.1448π216π=+⋅⋅（平方千米）…………13分即12S S <，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好.……………14分19、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知双曲线22:143x y C -=，其右顶点为P .（1）求以P 为圆心，且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l 过点P ，其法向量为(1,1)n =- ，若在双曲线C 上恰有三个点123,,P P P 到直线l 的距离均为d ，求d 的值.解：（1）由题意，(2,0)P ，渐近线方程：2y x =±20y ±=……………2分则半径7r d ===，……………4分所以圆方程为：()221227x y -+=……………6分（2）若在双曲线C 上恰有三个点123,,P P P 到直线l 的距离均为d ，则其中一点必定是与直线:2l y x =-平行的直线与双曲线其中一支的切点……………8分设直线'l 与双曲线C 相切，并且与直线l 平行，则':l y x b =+，即有223412y x b x y =+⎧⎨-=⎩，消去y ，得到2281240x bx b +++=……………10分则226416(3)0b b ∆=-+=，解得1b =±，所以':1l y x =±…………12分又d 是l 与'l 之间的距离，所以322d ==或者22d ==……………14分20、（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）若数列{}n A 对任意的*N n ∈，都有()+10k n nA A k =≠，且0n A ≠，则称数列{}n A 为“k 级创新数列”.（1）已知数列{}n a 满足2122n n n a a a +=+，且112a =，试判断数列{}21n a +是否为“2级创新数列”，并说明理由；（2）已知正数数列{}n b 为“k 级创新数列”且1k ≠，若110b =，求数列{}n b 的前n 项积．n T ；（3）设,αβ是方程210x x --=的两个实根（αβ>），令k βα=，在（2）的条件下，记数列{}n c 的通项1log n n n b n c T β-=⋅，求证：21n n n c c c ++=+，*N n ∈.解：（1）由2122n n n a a a +=+，∴212+144+1n n n a a a +=+，即()212121n n a a ++=+，……………………2分且12120a +=≠，………………………3分∴{}21n a +是“2级创新数列”………………………4分（2）由正数数列{}n b 是“k 级创新数列”，得()+10,1k n n b b k =≠，且0n b >∴+1lg lg n n b k b =，………………………6分∴{}lg n b 是等比数列，且首项1lg 1b =，公比q k =；∴111lg lg n n n b b q k --=⋅=；………………………7分由1212lg lg lg lg n n n n T b b b T b b b =⇒=+++ ………………………9分21111nn k k k k k --=++++=- ，∴()1110N nkk n T n -*-=∈……………………10分（3）由k βα=，11111lg 1log lg n n n n n nn b n n n k T kc T b k βββ------===111111nn n n n n n n k k k ββαβββαα----⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦==-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n nαβαβ-=-；……………………12分由,αβ是方程210x x --=的两根，∴2211ααββ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩；……………………14分∴()111111n n n nn n n n n n c c αβαβαβαβαβαβαβ+++++--+=+=-+----()()222111n n n n n c αβααββαβαβ+++-⎡⎤=+-+==⎣⎦--.…………………16分21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于定义域为R 的函数()g x ，若函数()sin g x ⎡⎤⎣⎦是奇函数，则称()g x 为正弦奇函数.已知()f x 是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，()00f =.（1）已知()g x 是正弦奇函数，证明：“0u 为方程()sin 1g x =⎡⎤⎣⎦的解”的充要条件是“0u -为方程()sin 1g x =-⎡⎤⎣⎦的解”；（2）若()()ππ,22f a f b ==-，求a b +的值；（3）证明：()f x 是奇函数.证明：（1）必要性：0u 为方程()sin 1g x =⎡⎤⎣⎦的解，即()0sin 1g u ⎡⎤=⎣⎦，故()()00sin sin 1g u g u ⎡⎤⎡⎤-=-=-⎣⎦⎣⎦，即0u -为方程()sin 1g x =-⎡⎤⎣⎦的解.…………………………………………………2分充分性：0u -为方程()sin 1g x =-⎡⎤⎣⎦的解，即()0sin 1g u ⎡⎤-=-⎣⎦，故()0sin 1g u ⎡⎤-=-⎣⎦，()0sin 1g u ⎡⎤=⎣⎦，即0u 为方程()sin 1g x =⎡⎤⎣⎦的解.………………………………4分（2）因为()()()0f b f f a <<，由()f x 单调递增，可知0b a <<.……………………5分由（1）可知，若函数()f x 是正弦奇函数，则当a 为方程()sin 1f x =⎡⎤⎣⎦的解，必有a -为方程()sin 1f x =-⎡⎤⎣⎦的解，()sin 1f a ∴-=-⎡⎤⎣⎦，即()π2π2f a m -=-()Z m ∈，而0a -<，故()()00f a f -<=，从而()()π2f a f b a b -≤-=⇒-≤，即0a b +≥；……………………7分同理()π2π2f b n -=+()()(),0Z n f b f ∈->，故()()π2f b f a b a -≥=⇒-≥，即0a b +≤；…………………………9分综上，0a b +=.…………………………10分（3）()f x 的值域为R 且单调递增，故对任意R c ∈，存在唯一的0,x 使得()0f x c =.…………11分可设()()πππ,π22n n f a n f b n ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()*N n ∈，下证()*0N n n a b n +=∈.当1n =时，由（2）知110a b +=,命题成立；………………………………12分假设n k ≤时命题成立，即110,,0k k a b a b +=+= ，而由()f x 的单调性知11110k k k k b b b a a a ++<<<<<<<< ，知11,k k k k a b b a ++-<->，则当1n k =+时，1k a +为方程()sin 1f x =±的解，故1k a +-为方程()sin 1f x = 的解，且由单调性知()()1k k f a f b +-<，故()()11k k f a f b ++-≤，得11k k a b ++-≤；同理11k k b a ++-≥，故110k k a b +++=.……………………………………………14分要证()f x 是奇函数，只需证：对任意0x >，都有()()f x f x -=-.记000a b ==，若()*N n x a n =∈，则n x b -=，()()()2n f x n f a f x ππ⎛⎫-=--=-=- ⎪⎝⎭；……………………………………………………15分若()()221,N n n x a a n +∈∈，则()ππ2,2,22f x n n ππ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭()ππ2π,2π22f x n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∈-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()212ππ,,2π,2π22n n x b b f x n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∈-∈-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而正弦函数在ππ2,222n n ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭上单调递增，故由()()()()sin sin sin f x f x f x -=-=-得()()f x f x -=-.若()()2122,N n n x a a n ++∈∈，同理可证得()()f x f x -=-.…………………17分综上，对任意0x >，都有()()f x f x -=-.故()f x 是奇函数.……………18分。
2017年上海浦东新区高考数学二模
浦东新区2016学年度第二学期教学质量检测高三数学试卷2017.4一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知集合201x A xx ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{|04}B y y =≤<，则A B =I ____________.2. 若直线l 的参数方程为44,23x tt y t=-⎧∈⎨=-+⎩R ，则直线l 在y 轴上的截距是____________.3. 已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为____________.4. 抛物线214y x =的焦点到准线的距离为____________. 5. 已知关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为215120⎛⎫⎪-⎝⎭，则3x y -=____________.6. 若三个数123,,a a a 的方差为1，则12332,32,32a a a +++的方差为____________.7. 已知射手甲击中A 目标的概率为0.9，射手乙击中A 目标的概率为0.8，若甲、乙两人各向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是____________. 8. 函数3sin ,0,62y x x ππ⎛⎫⎡⎤=-∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间是____________. 9. 已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则1limnn n n S a a →∞+=____________.10. 已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()(2)0f x f x +-=；②()(2)0f x f x ---=；③在[1,1]-上的表达式为[1,0]()1,(0,1]x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数122,0()log ,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图像在区间[3,3]-上的交点的个数为____________.11. 已知各项均为正数的数列{}n a 满足：*11(2)(1)0()n n n n a a a a n ++--=∈N ，且110a a =，则首项1a 所有可能取值中的最大值为____________.12. 已知平面上三个不同的单位向量a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗满足a ⃗·b ⃗⃗=b ⃗⃗·c ⃗=12，若e ⃗为平面内的任意单位向量，则|a ⃗·e ⃗|+2|b ⃗⃗·e ⃗|+3|c ⃗·e ⃗|的最大值为____________.二、选择题(本大题共有 4 小题，满分 20 分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5 分，否则一律得零分.13、若复数z 满足2=-++i z i z ，则复数z 在平面上对应的图形是（ ）A.椭圆B.双曲线C.直线D.线段14、已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示，给出下列4个平面图：则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（）A.（1）（3）（4）B.（2）（4）（3）C.（1）（3）（2）D.（2）（4）（1）15、已知x x cos 1sin 2+=，则=2cotx（ ） A.2B.2或21C.2或0D.21或0 16、已知等比数列1a ,2a ,3a ,4a 满足)1,0(1∈a ，)2,1(2∈a ，)4,2(3∈a ，则4a 的取值范围是（ ）A.)83(，B.)162(，C.)84(，D.)622(，三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）17. （本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，球O 的球心O 在空间直角坐标系O xyz -的原点，半径为1，且球O 分别与,,x y z 轴的正半轴交于,,A B C 三点.已知球面上一点310,,22D ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭. （1）求,D C 两点在球O 上的球面距离；（2）求直线CD 与平面ABC 所成角的大小.18. （本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 某地计划在一处海滩建造一个养殖场. （1）如图，射线,OA OB 为海岸线，23AOB π∠=，现用长度为1千米的围网PQ 依托海岸线围成一个△POQ 的养殖场，问如何选取点,P Q ，才能使养殖场△POQ 的面积最大，并求其最大面积.（2）如图，直线l 为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场. 方案一：围成三角形OAB （点,A B 在直线l 上），使三角形OAB 面积最大，设其为1S ；方案二：围成弓形CDE （点,D E 在直线l 上，C 是优弧DE ̂所在圆的圆心且23DCE π∠=），其面积为2S ；试求出1S 的最大值和2S （均精确到0.01平方千米），并指出哪一种设计方案更好. 19. （本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知双曲线22:143x y C -=，其右顶点为P . （1）求以P 为圆心，且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l 过点P ，其法向量为n ⃗⃗=(1,1)-，若在双曲线C 上恰有三个点123,,P P P 到直线l 的距离均为d ，求d 的值.20、（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）若数列{}n A 对任意的*N n ∈，都有kn n A A =+1()0≠k ，且0≠n A ，则称数列{}n A 为“k 级创新数列”.（1）已知数列{}n a 满足n n n a a a 2221+=+且211=a ，试判断数列{}12+n a 是否为“2级创新数列”，并说明理由；（2）已知正数数列{}n b 为“k 级创新数列”且1≠k ，若101=b ，求数列{}n b 的前n 项积n T ; （3）设βα,是方程012=--x x 的两个实根)(βα>，令αβ=k ，在（2）的条件下，记数列{}n c 的通项n b n n T c nlog 1⋅=-β，求证：n n n c c c +=++12，*N n ∈.21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于定义域为R 的函数)(x g ，若函数[])(sin x g 是奇函数，则称)(x g 为正弦奇函数. 已知)(x f 是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，0)0(=f .（1）已知)(x g 是正弦奇函数，证明：“0u 为方程[]1)(sin =x g 的解”的充要条件是“0u -为方程[]1)(sin -=x g 的解”；（2）若2)(π=a f ，2)(π-=b f ，求b a +的值；（3）证明：)(x f 是奇函数.参考答案1. [2,4)2. 13. 8π4. 25. 56. 97. 0.988. 20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.1410. 6 11. 16 12. 13. D14. C15. C16. D17. （1）3DC π=（2）θ=18. （1）选取3OP OQ ==时养殖场△POQ 的面积最大，max 12S =（平方千米） （2）1max 18S =（平方千米），20.144S ≈（平方千米） 12S S <，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好19. （1）2212(2)7x y -+=（2）d =20. （1）是 （2）1*110()n k kn T n --=∈N（3）证明略 21. （1）证明略 （2）0a b += （3）证明略。
上海市浦东新区2017届高三数学4月教学质量检测(二模)试题
上海市浦东新区2017届高三数学4月教学质量检测（二模）试题注意：1． 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚．2． 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1、已知集合201x A x x ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{}04B y y =≤<，则A B =____________．2、若直线l 的参数方程为44,23R x tt y t =-⎧∈⎨=-+⎩，则直线l 在y 轴上的截距是____________． 3、已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30︒，则该圆锥的侧面积为____________． 4、抛物线214y x =的焦点到准线的距离为____________． 5、已知关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为215120⎛⎫⎪-⎝⎭，则3x y -=____________．6、若三个数123,,a a a 的方差为1，则12332,32,32a a a +++的方差为____________．7、已知射手甲击中A 目标的概率为0．9，射手乙击中A 目标的概率为0．8，若甲、乙两人各向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是____________． 8、函数π3sin ,0,π62y x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间是____________．9、已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则1limnn n n S a a →∞+=____________．10、已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]1,01,0,1x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()122,0log ,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 的图像在区间[]3,3-上的交点的个数为____________．11、已知各项均为正数的数列{}n a 满足：()()()11210N n n n n a a a a n *++--=∈，且110a a =, 则首项1a 所有可能取值中的最大值为____________．12、已知平面上三个不同的单位向量,,a b c 满足12a b b c ⋅=⋅= ，若e 为平面内的任意单位向量，则23a e b e c e ⋅+⋅+⋅的最大值为____________．二、选择题(本大题共有4小题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分．13、若复数z 满足2z i z i ++-=，则复数z 在复平面上所对应的图形是（ ）A 、椭圆；B 、双曲线；C 、直线；D 、线段． 14、已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示给出下列4个平面图：则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（ ）A 、(1)(3)(4)；B 、(2)(4)(3)；C 、(1)(3)(2)；D 、(2)(4)(1)． 15、已知2sin 1cos x x =+，则cot2x=（ ） A 、2； B 、2或12； C 、2或0； D 、12或0． 16、已知等比数列1234,,,a a a a 满足()10,1a ∈，()21,2a ∈，()32,4a ∈，则4a 的取值范围 是（ ）A 、()3,8；B 、()2,16；C 、()4,8；D 、()．三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，球O 的球心O 在空间直角坐标系O xyz -的原点，半径为1，且球O 分别与,,x y z 轴的正半轴交于,,A B C三点．已知球面上一点10,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． （1）求,D C 两点在球O 上的球面距离； （2）求直线CD 与平面ABC 所成角的大小．18、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某地计划在一处海滩建造一个养殖场． （1） 如图，射线,OA OB 为海岸线，2π3AOB ∠=，现用长度为1千米的围网PQ 依托海岸线围成一个△POQ 的养殖场，问如OABPQ何选取点,P Q ，才能使养殖场△POQ 的面积最大，并求其最大面积．（2）如图，直线l 为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场．方案一：围成三角形OAB （点,A B 在直线l 上），使三角形OAB 面积最大，设其为1S ； 方案二：围成弓形CDE （点,D E 在直线l 上，C 是优弧 DE所在圆的圆心且2π3DCE ∠=），其面积为2S ；试求出1S 的最大值和2S （均精确到0．001平方千米），并指出哪一种设计方案更好．19、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知双曲线22:143x y C -=，其右顶点为P ． （1）求以P 为圆心，且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l 过点P ，其法向量为(1,1)n =-，若在双曲线C 上恰有三个点123,,P P P到直线l 的距离均为d ，求d 的值．20、（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）若数列{}n A 对任意的*N n ∈，都有()+10kn nA A k =≠，且0n A ≠，则称数列{}n A 为“k 级创新数列”．（1是否为“列”，并说明理由；（2） 已知正数数列{}n b 为“k 级创新数列”且1k ≠，若110b =，求数列{}n b 的前n 项积．n T ；（3）（2）的条件下，记数列{}n c 的通项1log n n n b n c T β-=⋅， 求证：21n n n c c c ++=+，*N n ∈．21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于定义域为R 的函数()g x ，若函数()sin g x ⎡⎤⎣⎦是奇函数，则称()g x 为正弦奇函数． 已知()f x 是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，()00f =．（1）已知()g x 是正弦奇函数，证明：“0u 为方程()sin 1g x =⎡⎤⎣⎦的解”的充要条件是“0u -为方程()sin 1g x =-⎡⎤⎣⎦的解”； （2）若()()ππ,22f a f b ==-，求a b +的值；（3）证明：()f x 是奇函数．浦东新区2016-2017学年度第二学期质量抽测高三数学试卷 2017.4注意：1. 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚.2. 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1、已知集合201x A xx ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{}04B y y =≤<，则A B =____[2,4)________. 2、若直线l 的参数方程为44,23R x tt y t =-⎧∈⎨=-+⎩，则直线l 在y 轴上的截距是_____1______. 3、已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30︒，则该圆锥的侧面积为____8π______. 4、抛物线214y x =的焦点到准线的距离为______2_______.5、已知关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为215120⎛⎫⎪-⎝⎭，则3x y -=___5_______.6、若三个数123,,a a a 的方差为1，则12332,32,32a a a +++的方差为 9 .7、已知射手甲击中A 目标的概率为0.9，射手乙击中A 目标的概率为0.8，若甲、乙两人各 向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是___0.98________.8、函数π3sin ,0,π62y x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间是_____20,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦__________.9、已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则1limnn n n S a a →∞+=___14______.10、已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]1,01,0,1x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()122,0log ,0xx g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 的图象在区间[]3,3-上的交点的个数为 6 .11、已知各项均为正数的数列{}n a 满足：()()()11210N n n n n a a a a n *++--=∈，且110a a =, 则首项1a 所有可能取值中的最大值为 16 .12、已知平面上三个不同的单位向量,,a b c 满足12a b b c ⋅=⋅= ，若e 为平面内的任意单位向量，则23a e b e c e ⋅+⋅+⋅的最大值为二、选择题(本大题共有4小题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.13、若复数z 满足2z i z i ++-=，则复数z 在复平面上所对应的图形是 （ D ）A 、椭圆；B 、双曲线；C 、直线；D 、线段. 14、 （ C ）15、已知2sin 1cos x x =+，则cot2x= （ C ） A 、2； B 、2或12； C 、2或0； D 、12或0.16、已知等比数列1234,,,a a a a 满足()10,1a ∈，()21,2a ∈，()32,4a ∈，则4a 的取值范围是 （ D ）A 、()3,8；B 、()2,16；C 、()4,8； D、(). 三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，球O 的球心O 在空间直角坐标系O xyz -的原点，半径为1， 且球O 分别与,,x y z 轴的正半轴交于,,A B C 三点.已知球面上一点10,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求,D C 两点在球O 上的球面距离； （2）求直线CD 与平面ABC 所成角的大小．解：（1）由题意：()()()11,0,0,0,1,0,0,0,1,0,2A B C D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭则10,2CD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，……………………………………………………2分 所以1CD = ，即OCD ∆为等边三角形，所以π3DOC ∠=， …………4分则 ππ133DC=⨯= …………………………6分 （2）设直线CD 与平面ABC 所成角为θ，易得平面ABC 的一个法向量()1,1,1n =， …………………………11分则1sin CD nCD n θ⋅===⋅ ， …………………………13分 即直线CD 与平面ABC所成角3arcsin6θ+= …………………………14分ABOCED18、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某地计划在一处海滩建造一个养殖场. （1） 如图，射线,OA OB 为海岸线，2π3AOB ∠=，现用长度为1千米的围网PQ 依托海岸线围成一个POQ ∆的养殖场，问如何选取点,P Q ，才能使养殖场POQ ∆的面积最大，并求其最大面积.（2）如图，直线l 为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场.方案一：围成三角形OAB （点,A B 在直线l 上），使三角形OAB 面积最大，设其为1S ； 方案二：围成弓形CDE （点,D E 在直线l 上，C 是优弧 DE所在圆的圆心且2π3DCE ∠=），其面积为2S ；试求出1S 的最大值和2S （均精确到0.001平方千米），并指出哪一种设计方案更好.解：（1）设,OP x OQ y ==由余弦定理得222211232x y xy x y xy xy ⎛⎫=+-⋅-=++≥ ⎪⎝⎭，13xy ∴≤…4分则1211sin π2323212S xy =≤⨯⨯=，max 12S =（平方千米）OABPQ即选取OP OQ ==POQ ∆的面积最大. …………6分（2）方案一：围成三角形OAB设AOB θ∠=，由21124OA OB OA OB OA OB +⎛⎫+=⇒⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12OA OB ==时取等号. 所以，11111sin 12248S OA OB θ=⋅≤⋅⋅=（平方千米）， 当且仅当1π,22OA OB θ===时取等号.……………9分方案二：围成弓形CDE设弓形中扇形所在圆C 的半径为r ，而扇形圆心角为4π3、弧长为1千米， 故14433ππr ==. …………10分 于是22112π1sin 223S r r =⋅⋅+ …………11分23190.1448π216π=+⋅≈（平方千米） …………13分 即12S S <，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好. ……………14分19、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知双曲线22:143x y C -=，其右顶点为P . （1）求以P 为圆心，且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l 过点P ，其法向量为(1,1)n =-，若在双曲线C 上恰有三个点123,,P P P到直线l 的距离均为d ，求d 的值. 解：（1）由题意，(2,0)P，渐近线方程：2y x =±20y ±=……………2分则半径7r d ===， ……………4分 所以圆方程为：()221227x y -+=……………6分（2）若在双曲线C 上恰有三个点123,,P P P 到直线l 的距离均为d ，则其中一点必定是与直线:2l y x =-平行的直线与双曲线其中一支的切点 ……………8分 设直线'l 与双曲线C 相切，并且与直线l 平行，则':l y x b =+，即有223412y x b x y =+⎧⎨-=⎩，消去y ，得到2281240x bx b +++= ……………10分 则226416(3)0b b ∆=-+=，解得1b =±，所以':1l y x =±…………12分又d 是l 与'l 之间的距离，所以d ==或者d ==……………14分20、（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）若数列{}n A 对任意的*N n ∈，都有()+10kn nA A k =≠，且0n A ≠，则称数列{}n A 为“k 级创新数列”.（1列”，并说明理由；（2） 已知正数数列{}n b 为“k 级创新数列”且1k ≠，若110b =，求数列{}n b 的前n 项积．n T ；（3）（2）的条件下，记数列{}n c 的通项1log n n n b n c T β-=⋅， 求证：21n n n c c c ++=+，*N n ∈.解：（1）由2122n n n a a a +=+，∴212+144+1n n n a a a +=+，即()212121n n a a ++=+，……………………2分且12120a +=≠， ………………………3分 ∴{}21n a +是“2级创新数列” ………………………4分 （2）由正数数列{}n b 是“k 级创新数列”，得()+10,1kn nb b k =≠，且0n b >∴+1lg lg n n b k b =， ………………………6分 ∴{}lg n b 是等比数列，且首项1lg 1b =，公比q k =； ∴111lg lg n n n b b qk --=⋅=； ………………………7分由1212lg lg lg lg n n n nT bb b T b b b =⇒=+++………………………9分10分（311111lg 1log lg n nn n n n n b n n n k T k c T b kβββ------=== 111111n n nn n n n n k k k ββαβββαα----⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦==-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n αβαβ-=-； ……………………12分 由,αβ是方程210x x --=的两根，∴2211ααββ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩；……………………14分()()222111n n n nn c αβααββαβαβ+++-⎡⎤=+-+==⎣⎦--.…………………16分21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于定义域为R 的函数()g x ，若函数()sin g x ⎡⎤⎣⎦是奇函数，则称()g x 为正弦奇函数. 已知()f x 是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，()00f =.（1）已知()g x 是正弦奇函数，证明：“0u 为方程()sin 1g x =⎡⎤⎣⎦的解”的充要条件是“0u -为方程()sin 1g x =-⎡⎤⎣⎦的解”； （2）若()()ππ,22f a f b ==-，求a b +的值；（3）证明：()f x 是奇函数. 证明：（1） 必要性：0u 为方程()sin 1g x =⎡⎤⎣⎦的解，即()0sin 1g u ⎡⎤=⎣⎦，故()()00sin sin 1g u g u ⎡⎤⎡⎤-=-=-⎣⎦⎣⎦，即0u -为方程()sin 1g x =-⎡⎤⎣⎦的解.…………………………………………………2分充分性：0u -为方程()sin 1g x =-⎡⎤⎣⎦的解，即()0sin 1g u ⎡⎤-=-⎣⎦，故()0sin 1g u ⎡⎤-=-⎣⎦，()0sin 1g u ⎡⎤=⎣⎦，即0u 为方程()sin 1g x =⎡⎤⎣⎦的解. ………………………………4分（2）因为()()()0f b f f a <<，由()f x 单调递增，可知0b a <<. ……………………5分由（1）可知，若函数()f x 是正弦奇函数，则当a 为方程()sin 1f x =⎡⎤⎣⎦的解，必有a -为方程()sin 1f x =-⎡⎤⎣⎦的解，()sin 1f a ∴-=-⎡⎤⎣⎦，即()π2π2f a m -=-()Z m ∈， 而0a -<，故()()00f a f -<=，从而()()π2f a f b a b -≤-=⇒-≤， 即0a b +≥； ……………………7分 同理()π2π2f b n -=+()()(),0Z n f b f ∈->，故()()π2f b f a b a -≥=⇒-≥， 即0a b +≤； …………………………9分 综上，0a b +=. …………………………10分（3）()f x 的值域为R 且单调递增，故对任意R c ∈，存在唯一的0,x 使得()0f x c =.…………11分可设()()πππ,π22n n f a n f b n ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()*N n ∈，下证()*0N n n a b n +=∈.当1n =时，由（2）知110a b +=,命题成立； ………………………………12分 假设n k ≤时命题成立，即110,,0k k a b a b +=+= ，而由()f x 的单调性 知11110k k k k b b b a a a ++<<<<<<<< ，知11,k k k k a b b a ++-<->，则当1n k =+时，1k a +为方程()sin 1f x =±的解，故1k a +-为方程()sin 1f x = 的解， 且由单调性知()()1k k f a f b +-<，故()()11k k f a f b ++-≤，得11k k a b ++-≤；同理11k k b a ++-≥，故110k k a b +++=. ……………………………………………14分 要证()f x 是奇函数，只需证：对任意0x >，都有()()f x f x -=-.记000a b ==，若()*N n x a n =∈，则n x b -=，()()()2n f x n f a f x ππ⎛⎫-=--=-=- ⎪⎝⎭；……………………………………………………15分若()()221,N n n x a a n +∈∈，则()ππ2,2,22f x n n ππ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭()ππ2π,2π22f x n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∈-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()212ππ,,2π,2π22n n x b b f x n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∈-∈-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而正弦函数在ππ2,222n n ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭上单调递增，故由()()()()sin sin sin f x f x f x -=-=-得()()f x f x -=-.若()()2122,N n n x a a n ++∈∈，同理可证得()()f x f x -=-. …………………17分 综上，对任意0x >，都有()()f x f x -=-.故()f x 是奇函数. ……………18分。
2017年上海浦东新区高考数学二模
8. 函数 y sin 6 x , x
0, 3 2
的单调递减区间是____________.
9.
已知等差数列{an}
的公差为
2，前
n
项和为
Sn
，则
lim
n
Sn an an
1
____________.
10. 已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足：① f (x) f (2 x) 0 ；② f (x) f ( 2 x) 0 ；③在
5. 5
6. 9
7. 0.98
8. 0, 2
9.
1 4
10. 6
11. 16
12. 21
3
13. D
14. C
15. C
16. D
17. （1） DC 3
（2） arcsin 3 3 6
18. （1）选取OP OQ
3 时养殖场△ POQ 的面积最大， Smax 3
（2） S1max
1 8
（平方千米），
已知双曲线C : x2 y 2 1，其右顶点为 P . 43
（1）求以 P 为圆心，且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程； （2）设直线 l 过点 P ，其法向量为푛= (1, 1) ，若在双曲线 C 上恰有三个点 P1, P2, P3到直线 l 的距 离均为 d ，求 d 的值.
20、（本小题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）
若数列 An 对任意的 n
新数列”.
N * ，都有 A
n1
Ank k
0 ，且 An
0 ，则称数列 An 为“ k 级创
（1）已知数列 an 满足 an 1
2017年浦东区高考数学二模试卷含答案
2017年浦东新区高考数学二模试卷含答案2017.4一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知集合201x A xx ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{|04}B y y =≤<，则A B =____________.2. 若直线l 的参数方程为44,23x tt y t =-⎧∈⎨=-+⎩R ，则直线l 在y 轴上的截距是____________.3. 已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为____________.4. 抛物线214y x =的焦点到准线的距离为____________. 5. 已知关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为215120⎛⎫⎪-⎝⎭，则3x y -=____________.6. 若三个数123,,a a a 的方差为1，则12332,32,32a a a +++的方差为____________.7. 已知射手甲击中A 目标的概率为0.9，射手乙击中A 目标的概率为0.8，若甲、乙两人各向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是____________. 8. 函数3sin ,0,62y x x ππ⎛⎫⎡⎤=-∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间是____________. 9. 已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则1limnn n n S a a →∞+=____________.10. 已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()(2)0f x f x +-=；②()(2)0f x f x ---=；③在[1,1]-上的表达式为21,[1,0]()1,(0,1]x x f x x x ⎧⎪-∈-=⎨-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数122,0()log ,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图像在区间[3,3]-上的交点的个数为____________.11. 已知各项均为正数的数列{}n a 满足：*11(2)(1)0()n n n n a a a a n ++--=∈N ，且110a a =，则首项1a 所有可能取值中的最大值为____________.12. 已知平面上三个不同的单位向量，，满足·=·=12，若为平面内的任意单位向量，则的最大值为____________.二、选择题(本大题共有 4 小题，满分 20 分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5 分，否则一律得零分.13、若复数z 满足2=-++i z i z ，则复数z 在平面上对应的图形是（ ）A.椭圆B.双曲线C.直线D.线段14、已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示，给出下列4个平面图：则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（）A.（1）（3）（4）B.（2）（4）（3）C.（1）（3）（2）D.（2）（4）（1）15、已知x x cos 1sin 2+=，则=2cotx（ ） A.2B.2或21C.2或0D.21或0 16、已知等比数列1a ,2a ,3a ,4a 满足)1,0(1∈a ，)2,1(2∈a ，)4,2(3∈a ，则4a 的取值范围是（ ）A.)83(，B.)162(，C.)84(，D.(226)，1三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）17. （本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，球O 的球心O 在空间直角坐标系O xyz -的原点，半径为1，且球O 分别与,,x y z 轴的正半轴交于,,A B C 三点.已知球面上一点310,,22D ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭.（1）求,D C 两点在球O 上的球面距离；（2）求直线CD 与平面ABC 所成角的大小.18. （本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 某地计划在一处海滩建造一个养殖场. （1）如图，射线,OA OB 为海岸线，23AOB π∠=，现用长度为1千米的围网PQ 依托海岸线围成一个△POQ 的养殖场，问如何选取点,P Q ，才能使养殖场△POQ 的面积最大，并求其最大面积. （2）如图，直线l 为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场. 方案一：围成三角形OAB （点,A B 在直线l 上），使三角形OAB 面积最大，设其为1S ； 方案二：围成弓形CDE （点,D E 在直线l 上，C 是优弧所在圆的圆心且23DCE π∠=），其面积为2S ；试求出1S 的最大值和2S （均精确到0.01平方千米），并指出哪一种设计方案更好.19. （本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知双曲线22:143x y C -=，其右顶点为P . （1）求以P 为圆心，且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l 过点P ，其法向量为=(1,1)-，若在双曲线C 上恰有三个点123,,P P P 到直线l 的距离均为d ，求d 的值. 20、（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）若数列{}n A 对任意的*N n ∈，都有kn n A A =+1()0≠k ，且0≠n A ，则称数列{}n A 为“k 级创新数列”.（1）已知数列{}n a 满足n n n a a a 2221+=+且211=a ，试判断数列{}12+n a 是否为“2级创新数列”，并说明理由；（2）已知正数数列{}n b 为“k 级创新数列”且1≠k ，若101=b ，求数列{}n b 的前n 项积n T ; （3）设βα,是方程012=--x x 的两个实根)(βα>，令αβ=k ，在（2）的条件下，记数列{}n c 的通项n b n n T c nlog 1⋅=-β，求证：n n n c c c +=++12，*N n ∈.21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于定义域为R 的函数)(x g ，若函数[])(sin x g 是奇函数，则称)(x g 为正弦奇函数. 已知)(x f 是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，0)0(=f .（1）已知)(x g 是正弦奇函数，证明：“0u 为方程[]1)(sin =x g 的解”的充要条件是“0u -为方程[]1)(sin -=x g 的解”；（2）若2)(π=a f ，2)(π-=b f ，求b a +的值；（3）证明：)(x f 是奇函数.参考答案1. [2,4)2. 13. 8π4. 25. 56. 97. 0.988. 20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.1410. 6 11. 16 12.13. D14. C15. C16. D17. （1）3DC π=（2）arcsinθ=18. （1）选取3OP OQ ==时养殖场△POQ 的面积最大，max 12S =（平方千米） （2）1max 18S =（平方千米），20.144S ≈（平方千米） 12S S <，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好19. （1）2212(2)7x y -+=（2）2d =220. （1）是 （2）1*110()n k kn T n --=∈N（3）证明略21. （1）证明略 （2）0a b += （3）证明略。
2017年上海市浦东新区高三二模数学试卷
2017年上海市浦东新区高三二模数学试卷一、填空题（共12小题；共60分）1. 已知集合，集合，则．2. 若直线的参数方程为，则直线在轴上的截距是．3. 已知圆锥的母线长为，母线与旋转轴的夹角为，则该圆锥的侧面积为．4. 抛物线的焦点和准线的距离是．5. 已知关于，的二元一次方程组的增广矩阵为，则．6. 若三个数，，的方差为，则，，的方差为．7. 已知射手甲击中A目标的概率为，射手乙击中A目标的概率为，若甲、乙两人各向A目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A目标的概率是．8. 函数，的单调递减区间是．9. 已知等差数列的公差为，前项和为，则．10. 已知定义在上的函数满足①；②；③在上的表达式为，则函数与函数的图象在区间上的交点个数为．11. 已知各项均为正数的数列满足，且，则首项所有可能取值中最大值为．12. 在直角坐标系中，，分别是与轴，轴平行的单位向量，若直角三角形中，，，则实数．二、选择题（共4小题；共20分）13. 若复数满足，则复数在平面上对应的图形是A. 椭圆B. 双曲线C. 直线D. 线段14. 已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示，给出下列个平面图如图：则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是A. （）（）（）B. （）（）（）C. （）（）（）D. （）（）（）15. 已知，则A. B. 或 C. 或 D. 或16. 已知等比数列，，，满足，，，则的取值范围是A. B. C. D.三、解答题（共5小题；共65分）17. 如图所示，球的球心在空间直角坐标系的原点，半径为，且球分别与，，轴的正半轴交于，，三点．已知球面上一点．（1）求，两点在球上的球面距离；（2）求直线与平面所成角的大小．18. 某地计划在一处海滩建造一个养殖场．（1）如图，射线，为海岸线，，现用长度为千米的围网依托海岸线围成一个的养殖场，问如何选取点，，才能使养殖场的面积最大，并求其最大面积．（2）如图，直线为海岸线，现用长度为千米的围网依托海岸线围成一个养殖场．方案一：围成三角形（点，在直线上），使三角形面积最大，设其为；方案二：围成弓形（点，在直线上，是优弧所在圆的圆心且），其面积为；试求出的最大值和（均精确到平方千米），并指出哪一种设计方案更好．19. 已知双曲线，其右顶点为．（1）求以为圆心，且与双曲线的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线过点，其法向量为，若在双曲线上恰有三个点，，到直线的距离均为，求的值．20. 若数列对任意的，都有，且，则称数列为“级创新数列”．（1）已知数列满足且，试判断数列是否为“级创新数列”，并说明理由；（2）已知正数数列为“级创新数列”且，若，求数列的前项积；（3）设，是方程的两个实根，令，在（）的条件下，记数列的通项，求证：，．21. 对于定义域为的函数，若函数是奇函数，则称为正弦奇函数．已知是单调递增的正弦奇函数，其值域为，．（1）已知是正弦奇函数，证明：“为方程的解”的充要条件是“为方程的解”；（2）若，，求的值；（3）证明：是奇函数．答案第一部分1.【解析】由，解得或，即，集合，则．2.【解析】令，可得，，所以直线在轴上的截距是．3.【解析】由题意得，底面的半径，所以该圆锥的侧面积．4.【解析】化抛物线为标准方程形式：，所以抛物线开口向上，满足，因为，焦点为，所以抛物线的焦点坐标为，又因为抛物线准线方程为，即，所以抛物线的焦点和准线的距离为．5.【解析】由二元一次方程组的增广矩阵为，得二元一次方程组为：两式相加得：，所以．6.【解析】因为三个数，，的方差为，设三个数的平均数是，则，，的平均数是，有，所以，，的方差是7.【解析】射手甲击中A目标的概率为，射手乙击中A目标的概率为，甲、乙两人各向A目标射击一次，射手甲或射手乙击中A目标的概率：．8.【解析】函数，令，，得：，，因为，所以当时，可得单调递减区间为．9.【解析】由于数列是公差为的等差数列，是的前项和，则，，则．10. 略11.【解析】因为各项均为正数的数列满足，所以或，又，，应该使得取得最小值．根据，可得数列为等比数列，公比为．取，．又，所以，解得．所以的最大值是．12. 或【解析】提示：分别讨论、、是直角的情况．第二部分13. D 【解析】，在复平面上，复数对应的点的集合表示的是：到两个定点，的距离之和为定值的点的集合，而，因此在复平面上，满足的复数对应的点的集合表示的是：线段，所以复数在平面上对应的图形是线段．14. C 【解析】由于几何体被切去一个角，所以正视图、俯视图以及侧视图的矩形都有对角线；根据放置的位置得到C．15. A【解析】因为，所以，，所以当时，，无解；当时，．16. D 【解析】设公比为，则因为，，，所以所以：：或由可得：，所以，所以．第三部分17. （1）由题意，，所以，所以，两点在球上的球面距离为．（2），，，重心坐标为，所以平面的法向量为，因为，所以直线与平面所成角的正弦为，所以直线与平面所成角的大小为．18. （1）设，，则，可得，当且仅当时取等号．，所以当且仅当时，养殖场的面积最大，（平方千米）．（2）方案一：设，则，则，当且仅当时取等号．所以（平方千米）．方案二：设半径为，则．解得，所以（平方千米），所以，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好．19. （1）由题意，，双曲线的渐近线方程为，到渐近线的距离，所以圆的标准方程为．（2）由题意，直线的斜率为，设与直线平行的直线方程为，代入双曲线方程整理可得，，可得，与直线的距离分别为或，即或．20. （1）数列是“级创新数列”，下面给出证明：因为，所以，所以数列是“级创新数列”．（2）因为正数数列为“级创新数列”且，所以．所以．又，所以数列的前项积．（3），是方程的两个实根，所以，．在（）的条件下，记数列的通项所以，．所以．所以．21. （1）因为是正弦奇函数，故是奇函数，当：“为方程的解”时，，则，即“为方程的解”；故：“为方程的解”的必要条件是“为方程的解”；当：“为方程的解”时，，则，即“为方程的解”；故：“为方程的解”的充分条件是“为方程的解”；综上可得：“为方程的解”的充要条件是“为方程的解”．（2）因为是单调递增的正弦奇函数，，，则，则，则．（3）因为是单调递增的正弦奇函数，其值域为，．故，即，，故是奇函数．。
上海市浦东新区2017届高三数学4月教学质量检测二模试题
上海市浦东新区2017届高三数学4月教学质量检测（二模）试题注意：1． 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚．2． 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1、已知集合201x A xx ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{}04B y y =≤<，则A B =____________．2、若直线l 的参数方程为44,23R x tt y t=-⎧∈⎨=-+⎩，则直线l 在y 轴上的截距是____________． 3、已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30︒，则该圆锥的侧面积为____________． 4、抛物线214y x =的焦点到准线的距离为____________． 5、已知关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为215120⎛⎫⎪-⎝⎭，则3x y -=____________．6、若三个数123,,a a a 的方差为1，则12332,32,32a a a +++的方差为____________．7、已知射手甲击中A 目标的概率为0．9，射手乙击中A 目标的概率为0．8，若甲、乙两人各向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是____________．8、函数π3sin ,0,π62y x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间是____________．9、已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则1limnn n n S a a →∞+=____________．10、已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]21,1,01,0,1x x f x x x -∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()122,0log ,0xx g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 的图像在区间[]3,3-上的交点的个数为____________．11、已知各项均为正数的数列{}n a 满足：()()()11210N n n n n a a a a n *++--=∈，且110a a =, 则首项1a 所有可能取值中的最大值为____________． 12、已知平面上三个不同的单位向量,,a b c 满足12a b b c ⋅=⋅=，若e 为平面内的任意单位向量，则23a e b e c e ⋅+⋅+⋅的最大值为____________．二、选择题(本大题共有4小题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分．13、若复数z 满足2z i z i ++-=，则复数z 在复平面上所对应的图形是（ ）A 、椭圆；B 、双曲线；C 、直线；D 、线段． 14、已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示 给出下列4个平面图：则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（ ）A 、(1)(3)(4)；B 、(2)(4)(3)；C 、(1)(3)(2)；D 、(2)(4)(1)． 15、已知2sin 1cos x x =+，则cot2x=（ ） A 、2； B 、2或12； C 、2或0； D 、12或0． 16、已知等比数列1234,,,a a a a 满足()10,1a ∈，()21,2a ∈，()32,4a ∈，则4a 的取值范围 是（ ）A 、()3,8；B 、()2,16；C 、()4,8；D 、()． 三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，球O 的球心O 在空间直角坐标系O xyz -的原点，半径为1，且球O 分别与,,x y z 轴的正半轴交于,,A B C 三点．已知球面上一点10,,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． （1）求,D C 两点在球O 上的球面距离； （2）求直线CD 与平面ABC 所成角的大小．18、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某地计划在一处海滩建造一个养殖场． （1） 如图，射线,OA OB 为海岸线，2π3AOB ∠=，现用长度 AP为1千米的围网PQ 依托海岸线围成一个△POQ 的养殖场，问如何选取点,P Q ，才能使养殖场△POQ 的面积最大，并求其最大面积．（2）如图，直线l 为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场．方案一：围成三角形OAB （点,A B 在直线l 上），使三角形OAB 面积最大，设其为1S ； 方案二：围成弓形CDE （点,D E 在直线l 上，C 是优弧DE 所在圆的圆心且2π3DCE ∠=），其面积为2S ；试求出1S 的最大值和2S （均精确到0．001平方千米），并指出哪一种设计方案更好． 19、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知双曲线22:143x y C -=，其右顶点为P ． （1）求以P 为圆心，且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程； （2）设直线l 过点P ，其法向量为(1,1)n =-，若在双曲线C 上恰有三个点123,,P P P到直线l 的距离均为d ，求d 的值．20、（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）若数列{}n A 对任意的*N n ∈，都有()+10kn nA A k =≠，且0n A ≠，则称数列{}n A 为“k 级创新数列”． （1）已知数列{}n a 满足2122n n n a a a +=+，且112a =，试判断数列{}21n a +是否为“2级创新数列”，并说明理由；（2） 已知正数数列{}n b 为“k 级创新数列”且1k ≠，若110b =，求数列{}n b 的前n 项积．n T ；（3）设,αβ是方程210x x --=的两个实根（αβ>），令k βα=，在（2）的条件下，记数列{}n c 的通项1log n n n b n c T β-=⋅， 求证：21n n n c c c ++=+，*N n ∈．21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于定义域为R 的函数()g x ，若函数()sin g x ⎡⎤⎣⎦是奇函数，则称()g x 为正弦奇函数．已知()f x 是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，()00f =．（1）已知()g x 是正弦奇函数，证明：“0u 为方程()sin 1g x =⎡⎤⎣⎦的解”的充要条件是“0u -为方程()sin 1g x =-⎡⎤⎣⎦的解”； （2）若()()ππ,22f a f b ==-，求a b +的值；（3）证明：()f x 是奇函数．浦东新区2016-2017学年度第二学期质量抽测高三数学试卷 2017.4注意：1. 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚.2. 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1、已知集合201x A xx ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{}04B y y =≤<，则A B =____[2,4)________.2、若直线l 的参数方程为44,23R x tt y t =-⎧∈⎨=-+⎩，则直线l 在y 轴上的截距是_____1______. 3、已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30︒，则该圆锥的侧面积为____8π______. 4、抛物线214y x =的焦点到准线的距离为______2_______. 5、已知关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为215120⎛⎫⎪-⎝⎭，则3x y -=___5_______.6、若三个数123,,a a a 的方差为1，则12332,32,32a a a +++的方差为 9 .7、已知射手甲击中A 目标的概率为0.9，射手乙击中A 目标的概率为0.8，若甲、乙两人各 向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是___0.98________.8、函数π3sin ,0,π62y x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间是_____20,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦__________.9、已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则1limnn n n S a a →∞+=___14______.10、已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]21,1,01,0,1x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()122,0log ,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 的图象在区间[]3,3-上的交点的个数为 6 .11、已知各项均为正数的数列{}n a 满足：()()()11210N n n n n a a a a n *++--=∈，且110a a =, 则首项1a 所有可能取值中的最大值为 16 . 12、已知平面上三个不同的单位向量,,a b c 满足12a b b c ⋅=⋅=，若e 为平面内的任意单位向量，则23a e b e c e ⋅+⋅+⋅的最大值为_______21__________.二、选择题(本大题共有4小题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.13、若复数z 满足2z i z i ++-=，则复数z 在复平面上所对应的图形是 （ D ）A 、椭圆；B 、双曲线；C 、直线；D 、线段. 14、 （ C ）15、已知2sin 1cos x x =+，则cot2x= （ C ） A 、2； B 、2或12； C 、2或0； D 、12或0. 16、已知等比数列1234,,,a a a a 满足()10,1a ∈，()21,2a ∈，()32,4a ∈，则4a 的取值范围是 （ D ）A 、()3,8；B 、()2,16；C 、()4,8；D 、()22,16. 三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，球O 的球心O 在空间直角坐标系O xyz -的原点，半径为1， 且球O 分别与,,x y z 轴的正半轴交于,,A B C 三点.已知球面上一点310,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求,D C 两点在球O 上的球面距离； （2）求直线CD 与平面ABC 所成角的大小．解：（1）由题意：()()()311,0,0,0,1,0,0,0,1,0,,22A B C D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭则310,,22CD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，……………………………………………………2分所以1CD =，即OCD ∆为等边三角形，所以π3DOC ∠=， …………4分 则ππ133DC =⨯= …………………………6分 （2）设直线CD 与平面ABC 所成角为θ，易得平面ABC 的一个法向量()1,1,1n =， …………………………11分则313322sin 13CD nCD nθ+⋅+===⨯⋅， …………………………13分 即直线CD 与平面ABC 所成角33arcsin6θ+= …………………………14分 18、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某地计划在一处海滩建造一个养殖场. （1） 如图，射线,OA OB 为海岸线，2π3AOB ∠=，现用长度为1千米的围网PQ 依托海岸线围成一个POQ ∆的养殖场，问如何选取点,P Q ，才能使养殖场POQ ∆的面积最大，并求其最大面积.（2）如图，直线l 为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场.方案一：围成三角形OAB （点,A B 在直线l 上），使三角形OAB 面积最大，设其为1S ； 方案二：围成弓形CDE （点,D E 在直线l 上，C 是优弧DE 所在圆的圆心且2π3DCE ∠=），其面积为2S ；OABPQABOCED试求出1S 的最大值和2S （均精确到0.001平方千米），并指出哪一种设计方案更好.解：（1）设,OP x OQ y ==由余弦定理得222211232x y xy x y xy xy ⎛⎫=+-⋅-=++≥ ⎪⎝⎭，13xy ∴≤…4分 则121133sin π2323212S xy =≤⨯⨯=，max 312S =（平方千米）即选取33OP OQ ==时养殖场POQ ∆的面积最大. …………6分 （2）方案一：围成三角形OAB设AOB θ∠=，由21124OA OB OA OB OA OB +⎛⎫+=⇒⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12OA OB ==时取等号. 所以，11111sin 12248S OA OB θ=⋅≤⋅⋅=（平方千米）， 当且仅当1π,22OA OB θ===时取等号.……………9分方案二：围成弓形CDE设弓形中扇形所在圆C 的半径为r ，而扇形圆心角为4π3、弧长为1千米， 故14433ππr ==. …………10分 于是22112π1sin 223S r r =⋅⋅+ …………11分 231930.1448π216π2=+⋅⋅≈（平方千米） …………13分即12S S <，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好. ……………14分 19、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知双曲线22:143x y C -=，其右顶点为P . （1）求以P 为圆心，且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程； （2）设直线l 过点P ，其法向量为(1,1)n =-，若在双曲线C 上恰有三个点123,,P P P到直线l 的距离均为d ，求d 的值. 解：（1）由题意，(2,0)P ，渐近线方程：32y x =±，即320x y ±=……………2分 则半径23221734r d ===+， ……………4分 所以圆方程为：()221227x y -+=……………6分（2）若在双曲线C 上恰有三个点123,,P P P 到直线l 的距离均为d ，则其中一点必定是与直线:2l y x =-平行的直线与双曲线其中一支的切点 ……………8分 设直线'l 与双曲线C 相切，并且与直线l 平行，则':l y x b =+，即有223412y x b x y =+⎧⎨-=⎩，消去y ，得到2281240x bx b +++= ……………10分 则226416(3)0b b ∆=-+=，解得1b =±，所以':1l y x =±…………12分 又d 是l 与'l 之间的距离，所以123222d +==或者12222d -==……………14分20、（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）若数列{}n A 对任意的*N n ∈，都有()+10kn nA A k =≠，且0n A ≠，则称数列{}n A 为“k 级创新数列”. （1）已知数列{}n a 满足2122n n n a a a +=+，且112a =，试判断数列{}21n a +是否为“2级创新数列”，并说明理由；（2） 已知正数数列{}n b 为“k 级创新数列”且1k ≠，若110b =，求数列{}n b 的前n 项积．n T ；（3）设,αβ是方程210x x --=的两个实根（αβ>），令k βα=，在（2）的条件下，记数列{}n c 的通项1log n n n b n c T β-=⋅， 求证：21n n n c c c ++=+，*N n ∈.解：（1）由2122n n n a a a +=+，∴212+144+1n n n a a a +=+，即()212121n n a a ++=+，……………………2分且12120a +=≠， ………………………3分 ∴{}21n a +是“2级创新数列” ………………………4分 （2）由正数数列{}n b 是“k 级创新数列”，得()+10,1kn nb b k =≠，且0n b >∴+1lg lg n n b k b =， ………………………6分 ∴{}lg n b 是等比数列，且首项1lg 1b =，公比q k =； ∴111lg lg n n n b b q k --=⋅=； ………………………7分由1212lg lg lg lg n n n nT b b b T b b b =⇒=+++………………………9分21111n n k k k k k--=++++=-，∴()1110N nk k n T n -*-=∈ ……………………10分（3）由k βα=，11111lg 1log lg n nn n n n n b n n n k T k c T b k βββ------=== 111111nn nn n n n n k k k ββαβββαα----⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦==-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n αβαβ-=-； ……………………12分 由,αβ是方程210x x --=的两根，∴2211ααββ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩；……………………14分∴()111111n n n n n n n n n n c c αβαβαβαβαβαβαβ+++++--+=+=-+----()()222111n n n nn c αβααββαβαβ+++-⎡⎤=+-+==⎣⎦--.…………………16分 21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于定义域为R 的函数()g x ，若函数()sin g x ⎡⎤⎣⎦是奇函数，则称()g x 为正弦奇函数. 已知()f x 是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，()00f =.（1）已知()g x 是正弦奇函数，证明：“0u 为方程()sin 1g x =⎡⎤⎣⎦的解”的充要条件是“0u -为方程()sin 1g x =-⎡⎤⎣⎦的解”； （2）若()()ππ,22f a f b ==-，求a b +的值；（3）证明：()f x 是奇函数. 证明：（1） 必要性：0u 为方程()sin 1g x =⎡⎤⎣⎦的解，即()0sin 1g u ⎡⎤=⎣⎦，故()()00sin sin 1g u g u ⎡⎤⎡⎤-=-=-⎣⎦⎣⎦，即0u -为方程()sin 1g x =-⎡⎤⎣⎦的解.…………………………………………………2分充分性：0u -为方程()sin 1g x =-⎡⎤⎣⎦的解，即()0sin 1g u ⎡⎤-=-⎣⎦，故()0sin 1g u ⎡⎤-=-⎣⎦，()0sin 1g u ⎡⎤=⎣⎦，即0u 为方程()sin 1g x =⎡⎤⎣⎦的解. ………………………………4分 （2）因为()()()0f b f f a <<，由()f x 单调递增，可知0b a <<. ……………………5分由（1）可知，若函数()f x 是正弦奇函数，则当a 为方程()sin 1f x =⎡⎤⎣⎦的解，必有a -为方程()sin 1f x =-⎡⎤⎣⎦的解，()sin 1f a ∴-=-⎡⎤⎣⎦，即()π2π2f a m -=-()Z m ∈，而0a -<，故()()00f a f -<=，从而()()π2f a f b a b -≤-=⇒-≤， 即0a b +≥； ……………………7分 同理()π2π2f b n -=+()()(),0Z n f b f ∈->，故()()π2f b f a b a -≥=⇒-≥， 即0a b +≤； …………………………9分 综上，0a b +=. …………………………10分文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.11文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.（3）()f x 的值域为R 且单调递增，故对任意R c ∈，存在唯一的0,x 使得()0f x c =.…………11分可设()()πππ,π22n n f a n f b n ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()*N n ∈，下证()*0N n n a b n +=∈.当1n =时，由（2）知110a b +=,命题成立； ………………………………12分 假设n k ≤时命题成立，即110,,0k k a b a b +=+=，而由()f x 的单调性知11110k k k k b b b a a a ++<<<<<<<<，知11,k k k k a b b a ++-<->，则当1n k =+时，1k a +为方程()sin 1f x =±的解，故1k a +-为方程()sin 1f x =的解， 且由单调性知()()1k k f a f b +-<，故()()11k k f a f b ++-≤，得11k k a b ++-≤；同理11k k b a ++-≥，故110k k a b +++=. ……………………………………………14分 要证()f x 是奇函数，只需证：对任意0x >，都有()()f x f x -=-.记000a b ==，若()*N n x a n =∈，则n x b -=，()()()2n f x n f a f x ππ⎛⎫-=--=-=- ⎪⎝⎭；……………………………………………………15分若()()221,N n n x a a n +∈∈，则()ππ2,2,22f x n n ππ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭()ππ2π,2π22f x n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∈-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()212ππ,,2π,2π22n n x b b f x n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∈-∈-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而正弦函数在ππ2,222n n ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭上单调递增，故由()()()()sin sin sin f x f x f x -=-=-得()()f x f x -=-.若()()2122,N n n x a a n ++∈∈，同理可证得()()f x f x -=-. …………………17分 综上，对任意0x >，都有()()f x f x -=-.故()f x 是奇函数. ……………18分。
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2017年上海浦东新区高考数学二模
D
18. （本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
某地计划在一处海滩建造一个养殖场.
（1）如图，射线,OA OB 为海岸线，23AOB π
∠=，现用长度
为1千米的围网PQ 依托海岸线围成一个△POQ 的养殖场，问如何选取点,P Q ，才能使养殖场△POQ 的面积最大，并求其最大面积.
（2）如图，直线l 为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场.
方案一：围成三角形OAB （点,A B 在直线l 上），使三角形OAB 面积最大，设其为1
S ；
方案二：围成弓形CDE （点,D E 在直线l 上，C 是优弧
所在圆的圆心且23DCE π∠=），其面积为2
S ；
试求出1
S 的最大值和2
S （均精确到0.01平方千米），并
指出哪一种设计方案更好.
19. （本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知双曲线
22:1
43
x y C -=，其右顶点为P .
（1）求以P 为圆心，且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程；
（2）设直线l 过点P ，其法向量为=(1,1)-，若在双曲线C 上恰有三个点1
2
3
,,P P P 到直线l 的距离均为d ，求d 的
值.
20、（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 若数列{}n A 对任意的*
N n ∈，都有k
n n A A
=+1
()
0≠k ，且0
≠n
A
，
则称数列{}n
A 为“k 级创新数列”.
（1）已知数列{}n
a 满足n
n n a a a
222
1+=+且2
11
=
a
，试判断数
列{}
12+n
a
是否为“2级创新数列”，并说明理由；
（2）已知正数数列{}n
b 为“k 级创新数列”且1≠k ，若
10
1=b ，求数列{}n
b 的前n 项积n
T ;
（3）设βα,是方程0
12
=--x x
的两个实根)(βα>，令αβ
=k ，
在（2）的条件下，记数列{}n
c 的通项n
b n n
T c
n log 1⋅=-β，求证：
n
n n c c c +=++12，*
N n ∈.
21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
对于定义域为R 的函数)(x g ，若函数[])(sin x g 是奇函数，则称)(x g 为正弦奇函数.
已知)(x f 是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，
)0(=f .
（1）已知)(x g 是正弦奇函数，证明：“0
u 为方程[]1)(sin =x g 的解”的充要条件是“0
u -为方程[]1)(sin -=x g 的解”；
（2）若2)(π=a f ，2
)(π
-=b f ，求b a +的值； （3）证明：)(x f 是奇函数.
参考答案
1. [2,4)
2. 1
3. 8π
4. 2
5. 5
6. 9
7.
0.98 8.
20,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
9. 1
4 10. 6 11. 16 12.
13. D 14. C 15. C 16. D
17. （1）3DC π=
（2）3arcsin 6θ=
18. （1）选取3
OP OQ ==
时养殖场△POQ 的面积最大，
max S =
（平方千米）
（2）1max
18
S
=
（平方千米），2
0.144
S
≈（平方千米）
12
S S <，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好
19. （1）2212(2)7x y -+= （2）3
22d =或
22 20. （1）是
（2）1*110()n
k k n
T n --=∈N
（3）证明略
21. （1）证明略（2）0
+=
a b
（3）证明略。