整式的乘除与因式分解培优练习复习过程

整式的乘除与因式分解培优练习

一、逆用幂的运算性质

4．已知：2,3==n m x x ，求n m x 23+、n m x 23-的值。 5．已知：a m =2，b n =32，则n m 1032+=________。

二、式子变形求值

3．已知0132=+-x x ，求2

21

x x +

的值。 4．已知：()()212

-=---y x x x ，则

xy y x -+2

22= . 5．24(21)(21)(21)+++的结果为 .

7．已知：20072008+=x a ，20082008+=x b ，20092008+=x c ， 求ac bc ab c b a ---++222的值。 8．若210,n n +-=则3222008_______.n n ++=

9．已知：0106222=+++-y y x x ，则=x _________，=y _________。

10．已知0258622=+--+b a b a ，则代数式b

a

a b -的值是_______________。

三、式子变形判断三角形的形状

1．已知：a 、b 、c 是三角形的三边，且满足0222=---++ac bc ab c b a ，则该三角形的形状是_________________________.

2．若三角形的三边长分别为a 、b 、c ，满足03222=-+-b c b c a b a ，则这个三角形是___________________。

3．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足关系式222222b ac ab c a -+=+，试判断△ABC 的形状。

四、简答题

6．为促进节约用水和保障城市供水行业健康发展，某市将实施阶梯式计量水价．该市在五个区内选取了近10万户居民，进行阶梯式计量水价的“模拟操作”，对自来水用户按如下标准收费： 第一等级是每月每户用水不超过a 吨，水价是每吨m 元；

第二等级是月用水量超过a 吨，但不超过30吨的部分，水价每吨2m 元； 第三等级是月用水量超过30吨，超过30吨的部分水价为每吨3m 元． 现有一居民本月用水x 吨，则应交水费多少元?

7．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式： a 2

+b 2

+c 2

-ab-bc-ac=

2

1 [(a-b) 2+(b-c) 2+(c-a) 2

]．该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． (1)请你检验这个等式的正确性；

(2)若a=2006，b=2008，c=2010，你能很快求出a 2+b 2+c 2

-ab-bc-ac 的值吗?

8. （4分）（1）阅读下列解答过程 （1） 问：求y 2+4y+8的最小值.

（2）模仿（1）的解答过程，求m 2+m+4的最小值

(3)求2

4127x x -+的最大值

9、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”。如4=22-0，12=42-22，20=62-42 ，因此 4，12，20这三个数都是神秘数。 （1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k （其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？

（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？

（3）由（2）知，神秘数可表示成4（2k+1），因为2k+1是奇数，因此神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数。

另一方面，设两个连续奇数为2n+1，2n-1，则 即两个连续奇数的平方差是8的倍数， 因此两个连续奇数的平方差不是神秘数。

因式分解的方法

一、用提公因式法把多项式进行因式分解

1. 在多项式恒等变形中的应用

例：不解方程组23

532

x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。

2. 在代数证明题中的应用

例：证明：对于任意自然数n ，323222n n n n ++-+-一定是5的倍数。

题型展示：

例1. 计算：200020012001200120002000⨯-⨯ 精析与解答：

设2000=a ，则20011=+a

∴⨯-⨯200020012001200120002000

=+++-++=+⨯-+⨯=+⨯-=a a a a a a a a a a a a [()()]()()()()()()1000011110000110001110001110001100010

说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中2000、2001重复出现，又有200120001=+的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。

例3. 设x 为整数，试判断1052+++x x x ()是质数还是合数，请说明理由。 解：1052+++x x x ()

=+++=++52225()()

()()

x x x x x

Θx x ++25，都是大于1的自然数 ∴++()()x x 25是合数

说明：在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被1和本身整除的数叫质数。

【实战模拟】

1. 证明：812797913--能被45整除。

2. 化简：11112

1995

+++++++x x x x x x x ()()()

…，且当x =0时，求原式的值。

二、运用公式法进行因式分解

1. 在几何题中的应用。

例：已知a b c 、、是∆ABC 的三条边，且满足a b c ab bc ac 2

2

2

0++---=，试判断∆ABC 的形状。

2. 在代数证明题中应用

例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。 题型展示： 例1. 已知：a m b m c m =

+=+=+1211221

2

3，，， 求a ab b ac c bc 2

2

2

222++-+-的值。

例2. 已知a b c a b c ++=++=003

3

3

，， 求证：a b c 555

0++=

例3. 若x y x xy y 3

3

2

2

279+=-+=，，求x y 2

2

+的值。 解：Θx y x y x xy y 3

3

2

2

27+=+-+=()()