整式的乘除与因式分解培优练习复习过程

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整式的乘除与因式分解培优练习

一、逆用幂的运算性质

4.已知:2,3==n m x x ,求n m x 23+、n m x 23-的值。 5.已知:a m =2,b n =32,则n m 1032+=________。

二、式子变形求值

3.已知0132=+-x x ,求2

21

x x +

的值。 4.已知:()()212

-=---y x x x ,则

xy y x -+2

22= . 5.24(21)(21)(21)+++的结果为 .

7.已知:20072008+=x a ,20082008+=x b ,20092008+=x c , 求ac bc ab c b a ---++222的值。 8.若210,n n +-=则3222008_______.n n ++=

9.已知:0106222=+++-y y x x ,则=x _________,=y _________。

10.已知0258622=+--+b a b a ,则代数式b

a

a b -的值是_______________。

三、式子变形判断三角形的形状

1.已知:a 、b 、c 是三角形的三边,且满足0222=---++ac bc ab c b a ,则该三角形的形状是_________________________.

2.若三角形的三边长分别为a 、b 、c ,满足03222=-+-b c b c a b a ,则这个三角形是___________________。

3.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边,且满足关系式222222b ac ab c a -+=+,试判断△ABC 的形状。

四、简答题

6.为促进节约用水和保障城市供水行业健康发展,某市将实施阶梯式计量水价.该市在五个区内选取了近10万户居民,进行阶梯式计量水价的“模拟操作”,对自来水用户按如下标准收费: 第一等级是每月每户用水不超过a 吨,水价是每吨m 元;

第二等级是月用水量超过a 吨,但不超过30吨的部分,水价每吨2m 元; 第三等级是月用水量超过30吨,超过30吨的部分水价为每吨3m 元. 现有一居民本月用水x 吨,则应交水费多少元?

7.利用我们学过的知识,可以导出下面这个形式优美的等式: a 2

+b 2

+c 2

-ab-bc-ac=

2

1 [(a-b) 2+(b-c) 2+(c-a) 2

].该等式从左到右的变形,不仅保持了结构的对称性,还体现了数学的和谐、简洁美. (1)请你检验这个等式的正确性;

(2)若a=2006,b=2008,c=2010,你能很快求出a 2+b 2+c 2

-ab-bc-ac 的值吗?

8. (4分)(1)阅读下列解答过程 (1) 问:求y 2+4y+8的最小值.

(2)模仿(1)的解答过程,求m 2+m+4的最小值

(3)求2

4127x x -+的最大值

9、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”。如4=22-0,12=42-22,20=62-42 ,因此 4,12,20这三个数都是神秘数。 (1)28和2012这两个数是神秘数吗?为什么?

(2)设两个连续偶数为2k+2和2k (其中k 取非负整数),由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?

(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗?为什么?

(3)由(2)知,神秘数可表示成4(2k+1),因为2k+1是奇数,因此神秘数是4的倍数,但一定不是8的倍数。

另一方面,设两个连续奇数为2n+1,2n-1,则 即两个连续奇数的平方差是8的倍数, 因此两个连续奇数的平方差不是神秘数。

因式分解的方法

一、用提公因式法把多项式进行因式分解

1. 在多项式恒等变形中的应用

例:不解方程组23

532

x y x y +=-=-⎧⎨⎩,求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。

2. 在代数证明题中的应用

例:证明:对于任意自然数n ,323222n n n n ++-+-一定是5的倍数。

题型展示:

例1. 计算:200020012001200120002000⨯-⨯ 精析与解答:

设2000=a ,则20011=+a

∴⨯-⨯200020012001200120002000

=+++-++=+⨯-+⨯=+⨯-=a a a a a a a a a a a a [()()]()()()()()()1000011110000110001110001110001100010

说明:此题是一个有规律的大数字的运算,若直接计算,运算量必然很大。其中2000、2001重复出现,又有200120001=+的特点,可通过设未知数,将复杂数字间的运算转化为代数式,再利用多项式的因式分解化简求值,从而简化计算。

例3. 设x 为整数,试判断1052+++x x x ()是质数还是合数,请说明理由。 解:1052+++x x x ()

=+++=++52225()()

()()

x x x x x

Θx x ++25,都是大于1的自然数 ∴++()()x x 25是合数

说明:在大于1的正数中,除了1和这个数本身,还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被1和本身整除的数叫质数。

【实战模拟】

1. 证明:812797913--能被45整除。

2. 化简:11112

1995

+++++++x x x x x x x ()()()

…,且当x =0时,求原式的值。

二、运用公式法进行因式分解

1. 在几何题中的应用。

例:已知a b c 、、是∆ABC 的三条边,且满足a b c ab bc ac 2

2

2

0++---=,试判断∆ABC 的形状。

2. 在代数证明题中应用

例:两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。 题型展示: 例1. 已知:a m b m c m =

+=+=+1211221

2

3,,, 求a ab b ac c bc 2

2

2

222++-+-的值。

例2. 已知a b c a b c ++=++=003

3

3

,, 求证:a b c 555

0++=

例3. 若x y x xy y 3

3

2

2

279+=-+=,,求x y 2

2

+的值。 解:Θx y x y x xy y 3

3

2

2

27+=+-+=()()

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