《等比数列》第一课时教学设计

《等比数列 (第一课时)》教学设计

一、教学任务和目标

（一）教学任务分析：通过观察、分析、归纳、猜想、类比等思维活动，展示等比数列概念的形成与指数函数的对应等的深化过程；体会研究等比数列通项公式简单归纳方法：特殊到一般的过程。（二）教学目标

知识与技能：理解并掌握等比数列的定义和通项公式，并加以初步应用。

过程与方法：通过概念、公式和例题的教学，渗透类比思想、方程思想、函数思想以及从特殊到一般的数学思想，培养观察、分析、归纳、猜想、概括等思维能力。

情感、态度与价值观：培养勇于探索、大胆尝试与创新的精神，养成科学、良好的学习习惯和品质。

（三）教学重、难点

教学重点：等比数列概念的形成与深化，等比数列通项公式的推导与应用

教学难点：等比数列概念的深化，等比数列的判定、证明和应用二、教法与学法

（一）教学方法分析：本节课是《等比数列》第一课时，核心任务是概念的本质理解，而概念教学应注重概念的形成过程，引导学生主动探索、发现、类比和归纳，因此本节课采用教为主导、学为主体、

练为主线的教学方法，培养学生的学习热情，发挥学生的主动性和创造性。

（二）学法分析：一方面，学生领会数学概念学习的一般过程，并主动探索概念的形成；另一方面，由于等比数列与等差数列在内容上是完全平行的，因此，学生可以将类比等差数列的概念形成和拓展过程，来构建等比数列的知识系统。

三、教学过程

（一）复习引新

等差数列与等比数列的内容平行，因此类比法是本节课学生学习过程中采用的主要数学方法。学生已经学习过等差数列相关内容和思想方法，因此本节课先复习等差数列知识点，为类比思想的应用提供基础。

问题1：等差数列的定义是什么？

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

问题2：等差数列的通项公式是什么？如何推导该公式？

等差数列通项公式：1(1)

n

a a n d

推广公式：()

n m

a a n m d

推导过程：方法一：不完全归纳法：归纳、猜想。

方法二：累加法

问题3：等差数列的通项公式与相应的一次函数解析式之间有何

区别和联系？

等差数列通项公式是数列的项n a 关于项数n 的一次函数，它的定义域是正整数集或其子集，其图像是对应的一次函数图像上孤立的一群点。

（二）新课教学

1、等比数列概念的形成

教师呈现：在日常生活中，我们还会遇上下面一些特殊的数列： （1）2，4，8，16, 32… （2）1，111,,,24

8

（3）-1，2，-4，8，… （4）2,2,2,2,2，…

问题1：以上四个数列有什么共同特点？

从第2项起，每一项与前一项的比分别等于2，12

，-2，1，归纳为从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数。

问题2：类比等差数列的定义，试归纳出等比数列的定义？ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示。

问题3：用数学符号语言怎么表示等比数列的定义呢？

1

2n

n a q n

a 或

11n n

a q n a

利用定义式可以证明或者判断一个数列是否为等比数列。 问题4：从上面具体的等比数列中我们看到公比q 可以为正数，

可以为负数，那么可以q=0吗？

不可以，因为q=0时，则根据定义，数列中必然会有0这一项，而这一项0又会做分母，导致没有意义，因此q ≠0，等比数列任意一项都不会为0.

问题5：既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？ 存在，非零常数列既是等差数列又是等比数列。 2、等比中项的概念

问题1：求下列各组数中插入怎样的数后是等比数列。 （1）1， ____ ， 9 （2）-1，____ ，-4 （3）-12，____ ，-3 （4）1， _____ ，1

像这样，在两数之间插入一个数，使得这三个数成等比数列，我们把插入的这个数叫做这两个数的等比中项。例如：在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。由此大家能够得到它们的数量关系：2

G ab ，所以G

ab ，显然a 与b 必定同号。

3、等比数列的通项公式

问题1：试写出案例中前三个等比数列的通项公式，并猜想等比数列通项公式的一般表达式？

（1）

11

2

12

n n

n a （2）

1

1

12

11

2

n n

n a （3）

1

1

121

2

n

n n

n a

因此等比数列n a 首项为1a ，公比为q ，猜想通项公式为11n n a a q 问题2：除了用不完全归纳法猜想得到通项公式外，你还有其他

办法来推导通项公式吗？可以类比等差数列的通项公式的推导过程。

等比数列{n a }首项为1a ，公比为q ，根据等比数列的定义，有：

2

1

a q a ，

32

a q a ，

43

a q a ，……，

1

n n a q a

类比累加的过程，我们可以将上式累乘得到：11

n n a q a

因此得到等比数列的通项公式11n n a a q 4、从函数角度理解等比数列的通项公式

问题1：完成教材50页探究中的（2）、（3），联系等差数列通项公式1

1n a a n d 与一次函数的关系，

来发现等比数列通项公式与我们学过的哪个函数模型有关系？

等比数列通项公式11n n a a q 与指数型函数x y c a 有关系。 （三）例题讲练

例1、已知在数列n a 中，1a =2，12n n a a ，求100a 的值。

证明或判断一个数列为等比数列，采用定义法即： 判断

1

2n

n a q n

a 或者

11n n

a q n a ，q 为与n 无关的非零常数。

例2、

（1）在等比数列n a 中，427a ，q=-3，求数列通项公式及7a 的值 （2）在等比数列n a 中，3620,120a a ，求n a

突出解决通项公式时方程思想的应用。

（四）应用与深化