《等比数列》第一课时教学设计

《等比数列 (第一课时)》教学设计
一、教学任务和目标
（一）教学任务分析：通过观察、分析、归纳、猜想、类比等思维活动，展示等比数列概念的形成与指数函数的对应等的深化过程；体会研究等比数列通项公式简单归纳方法：特殊到一般的过程。

（二）教学目标
知识与技能：理解并掌握等比数列的定义和通项公式，并加以初步应用。

过程与方法：通过概念、公式和例题的教学，渗透类比思想、方程思想、函数思想以及从特殊到一般的数学思想，培养观察、分析、归纳、猜想、概括等思维能力。

情感、态度与价值观：培养勇于探索、大胆尝试与创新的精神，养成科学、良好的学习习惯和品质。

（三）教学重、难点
教学重点：等比数列概念的形成与深化，等比数列通项公式的推导与应用
教学难点：等比数列概念的深化，等比数列的判定、证明和应用二、教法与学法
（一）教学方法分析：本节课是《等比数列》第一课时，核心任务是概念的本质理解，而概念教学应注重概念的形成过程，引导学生主动探索、发现、类比和归纳，因此本节课采用教为主导、学为主体、
练为主线的教学方法，培养学生的学习热情，发挥学生的主动性和创造性。

（二）学法分析：一方面，学生领会数学概念学习的一般过程，并主动探索概念的形成；另一方面，由于等比数列与等差数列在内容上是完全平行的，因此，学生可以将类比等差数列的概念形成和拓展过程，来构建等比数列的知识系统。

三、教学过程
（一）复习引新
等差数列与等比数列的内容平行，因此类比法是本节课学生学习过程中采用的主要数学方法。

学生已经学习过等差数列相关内容和思想方法，因此本节课先复习等差数列知识点，为类比思想的应用提供基础。

问题1：等差数列的定义是什么？
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

问题2：等差数列的通项公式是什么？如何推导该公式？
等差数列通项公式：1(1)
n
a a n d
推广公式：()
n m
a a n m d
推导过程：方法一：不完全归纳法：归纳、猜想。

方法二：累加法
问题3：等差数列的通项公式与相应的一次函数解析式之间有何
区别和联系？
等差数列通项公式是数列的项n a 关于项数n 的一次函数，它的定义域是正整数集或其子集，其图像是对应的一次函数图像上孤立的一群点。

（二）新课教学
1、等比数列概念的形成
教师呈现：在日常生活中，我们还会遇上下面一些特殊的数列： （1）2，4，8，16, 32… （2）1，111,,,24
8
（3）-1，2，-4，8，… （4）2,2,2,2,2，…
问题1：以上四个数列有什么共同特点？
从第2项起，每一项与前一项的比分别等于2，12
，-2，1，归纳为从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数。

问题2：类比等差数列的定义，试归纳出等比数列的定义？ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示。

问题3：用数学符号语言怎么表示等比数列的定义呢？
1
2n
n a q n
a 或
11n n
a q n a
利用定义式可以证明或者判断一个数列是否为等比数列。

问题4：从上面具体的等比数列中我们看到公比q 可以为正数，
可以为负数，那么可以q=0吗？
不可以，因为q=0时，则根据定义，数列中必然会有0这一项，而这一项0又会做分母，导致没有意义，因此q ≠0，等比数列任意一项都不会为0.
问题5：既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？ 存在，非零常数列既是等差数列又是等比数列。

2、等比中项的概念
问题1：求下列各组数中插入怎样的数后是等比数列。

（1）1， ____ ， 9 （2）-1，____ ，-4 （3）-12，____ ，-3 （4）1， _____ ，1
像这样，在两数之间插入一个数，使得这三个数成等比数列，我们把插入的这个数叫做这两个数的等比中项。

例如：在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。

由此大家能够得到它们的数量关系：2
G ab ，所以G
ab ，显然a 与b 必定同号。

3、等比数列的通项公式
问题1：试写出案例中前三个等比数列的通项公式，并猜想等比数列通项公式的一般表达式？
（1）
11
2
12
n n
n a （2）
1
1
12
11
2
n n
n a （3）
1
1
121
2
n
n n
n a
因此等比数列n a 首项为1a ，公比为q ，猜想通项公式为11n n a a q 问题2：除了用不完全归纳法猜想得到通项公式外，你还有其他
办法来推导通项公式吗？可以类比等差数列的通项公式的推导过程。

等比数列{n a }首项为1a ，公比为q ，根据等比数列的定义，有：
2
1
a q a ，
32
a q a ，
43
a q a ，……，
1
n n a q a
类比累加的过程，我们可以将上式累乘得到：11
n n a q a
因此得到等比数列的通项公式11n n a a q 4、从函数角度理解等比数列的通项公式
问题1：完成教材50页探究中的（2）、（3），联系等差数列通项公式1
1n a a n d 与一次函数的关系，
来发现等比数列通项公式与我们学过的哪个函数模型有关系？
等比数列通项公式11n n a a q 与指数型函数x y c a 有关系。

（三）例题讲练
例1、已知在数列n a 中，1a =2，12n n a a ，求100a 的值。

证明或判断一个数列为等比数列，采用定义法即： 判断
1
2n
n a q n
a 或者
11n n
a q n a ，q 为与n 无关的非零常数。

例2、
（1）在等比数列n a 中，427a ，q=-3，求数列通项公式及7a 的值 （2）在等比数列n a 中，3620,120a a ，求n a
突出解决通项公式时方程思想的应用。

（四）应用与深化
学生完成教材53页1题4个小题，请四位同学板演，教师巡视其他同学的情况，然后由同学讲解过程，教师点评和纠错，强调解题的规范性。

（五）课堂小结
知识：等比数列的概念、通项公式及其应用
方法：类比思想、函数思想、方程思想的应用
（六）作业布置4
《导学案》等比数列第一课时
四、板书设计
五、教学反思
本堂课自我感到成功之处有：首先我自始至终坚持以学生为主体，除了课前的精心设计，在课堂上都由学生来完成，学生的配合度好，发言踊跃，体现了学生是课堂中学习的主体。

其次在整个课堂教学过程中，突出了对学生的思维训练和思维品质的培养，如对等比数列的定义的教学进行六个环节的深化，极大地训练了学生思维的全面性与深刻性。