正态分布公式推导

正态分布公式推导

正态分布是一种常见的概率分布，其概率密度函数可以通过公式推导而得。下面将介绍正态分布的起源以及其推导过程。

正态分布在19世纪由高斯（Gauss）引入，也因此被称为高斯分布。高斯分布具有许多重要的性质，因此在统计学和自然科学中得到了广泛的应用。

正态分布的概率密度函数可以表示为：

f(x)=(1/√(2πσ²))*e^((-(x-μ)²)/(2σ²))

其中，f(x)是随机变量X的概率密度函数，x是变量的取值，μ是分布的均值，σ²是方差，e是自然对数的底。

下面将推导正态分布的概率密度函数。

首先，考虑标准正态分布，即均值为0，方差为1的正态分布。其概率密度函数为：

f(x)=1/√(2π)*e^(-x²/2)

为了将概率密度函数推广到一般的正态分布，我们引入变量Z，用来表示标准正态分布的随机变量。假设X是一个正态分布的随机变量，其均值为μ，方差为σ²。我们可以将X表示为：

X=μ+σZ

其中，Z是标准正态分布的随机变量。将X的表达式代入概率密度函数，我们得到：

f(x)=1/(√(2π)σ)*e^(-((x-μ)/σ)²/2)

通过这个表达式，我们可以看出，X是一个以μ为均值，以σ²为方

差的正态分布。

为了进一步推导正态分布的公式，我们需要理解正态分布的性质。具

体来说，在正态分布中，68%的观测值位于均值加减1个标准差之间，95%

的观测值位于均值加减2个标准差之间，99.7%的观测值位于均值加减3

个标准差之间。这些性质称为“三个标准差法则”或“68-95-99.7法则”。

基于这些性质，我们可以通过对概率密度函数进行适当的变换得到正

态分布的常用公式。首先，我们对标准正态分布的概率密度函数进行变换，得到：

∫(-∞, x) (1/√(2π) * e^(-t²/2)) dt = ∫(-∞, (x-μ)/σ) (1/√(2π) * e^(-t²/2)) dt

其中，左侧是标准正态分布的累积概率密度函数（CDF），右侧是一

般正态分布的CDF。

接下来，我们使用一个重要的积分恒等式，即高斯积分的结果：

∫(-∞, ∞) e^(-t²) dt = √π

将这个积分恒等式代入前面的变换式

∫(-∞, x) (1/√(2π) * e^(-t²/2)) dt = ∫(-∞, (x-μ)/σ) (1/√(2π) * e^(-t²/2)) dt = Φ((x-μ)/σ)

其中，Φ表示一般正态分布的累积概率密度函数。因此，我们得到

一般正态分布的CDF的表达式为：

Φ((x-μ)/σ) = ∫(-∞, x) (1/√(2π)σ) * e^(-(t-

μ)²/(2σ²)) dt

然后，我们对CDF进行导数运算，得到一般正态分布的概率密度函数：d/dx Φ((x-μ)/σ) = (1/√(2π)σ) * e^(-(x-μ)²/(2σ²)) =

f(x)

至此，我们推导出了一般正态分布的概率密度函数的公式：

f(x)=(1/√(2π)σ)*e^(-(x-μ)²/(2σ²))

这个公式被广泛应用于统计学和自然科学中，可以用来计算正态分布

的概率以及进行相关的统计分析。

总结起来，我们通过将一般正态分布表示为标准正态分布的线性变换，以及利用高斯积分的结果，推导出了一般正态分布的概率密度函数的公式。这个推导过程基于数学的积分和变换理论，可以帮助我们更好地理解正态

分布及其应用。