电磁场的边值条件公式
1-5电磁场边值关系
若界面上的电流可以看成面电流， 则
于是有
∫α
S
f
⋅ dS = α f ⋅ b ∆l
t ⋅ ( H 2 − H1 )∆l = α f ⋅ b ∆l
考虑到 t=b×n, 得
(b × n ) ⋅ ( H 2 − H1 ) = α f ⋅ b
使用矢量恒等式
( A × B) ⋅ C = ( B × C ) ⋅ A
§ 5 电磁场边值关系
静电场的边界条件
图 1 -12 法向边界条件
D2 ⋅ n∆S − D1 ⋅ n∆S = q = σ f ∆S n ⋅ ( D2 − D1 ) = σ f
或
D2 n − D1n = σ f
n ⋅ ( D2 − D1 ) = 0
如果界面上无自由电荷分布，即在σ f =0时，ห้องสมุดไป่ตู้界条件变为
n × ( H 2 − H1 ) = α f
n ⋅ ( D2 − D1 ) = σ f
n ⋅ ( B2 − B1 ) = 0
或
D2 n − D1n = 0
D1n = ε 0 E1n + P n 1 D2 n = ε 0 E2 n + P2 n P2 n − P n = −σ p 1
∴ ε 0 ( E2 n − E1n ) = σ f + σ p
图 1 - 14 切向边界条件
E ⋅ dl = E1 ⋅ ∆l1 + E2 ⋅ ∆l2 = 0 ∫
l
因为∆l2= t∆l，∆l1= -t∆l, t是单位矢量，上式变为
( E2 − E1 ) ⋅ t = 0
注意到n⊥t，故有
n × ( E2 − E1 ) = 0 E2 t = E1t
电磁场数值计算边值问题ppt课件
电磁场数值计算
2
1 0
n
2
0
0
混合边值问题包含了前面三种边值问题。
边值问题就是带有边界条件的偏微分方程
求解问题。
电磁场数值计算
静电场边值问题的三个要素是场源、材料和边 界条件。
静电场求解区域的外边界，一般是导体表面、 对称面或人工边界。
若已知导体电位，则导体表面是第一类边界条 件；
电磁场数值计算
在平行平面静电场中，拉普拉斯算子表示为
2 2 2 x2 y2
平行平面静电场若为开域且正负电荷数量相等， 则在远离源区中心的位置构造圆形人工边界。
在人工边界上将电场看做由相互靠近的两条正 负线电荷产生。
电磁场数值计算
设线电荷密度为 ，正负线电荷距离矢量为 d , 在圆柱坐标系中， d 方向 0 ，则人工边界上电位
电磁场数值计算
其求解区域代表面为 z 轴右侧 r ，z 坐标系的平
面区域。在轴对称静电场中，拉普拉斯算子表示为
2
1 r
r
r
r
2 z 2
在三维坐标系中，如果材料和边界条件沿两个
坐标方向都不变化，则恒定电流场可进一步简化为
一维场。
人工边界和第三类边界条件，参照静电场进行 设置。
电磁场数值计算
2.3 恒定磁场的边值问题
2 n 0
已知求解区域内部的自由电荷分布，给定
求解区域边界 上电位的法向导数与电位之
间的线性关系，计算求解区域中的电位和电场 强度分布，这类问题通常称为第三类边值问 题，又叫做劳平问题。
电磁场数值计算
相应的边界条件称为第三类边界条件。
第三类边值问题表述为
2
n
0 0
电磁场的边界条件
1)麦克斯韦方程组可以应用于任何连续的介质内部。
2)在两种介质界面上，介质性质有突变，电磁场也会突变。
3)分界面两边按照某种规律突变，称这种突变关系为电磁场的边值关系或边界条件。
4)推导边界条件的依据是麦克斯韦方程组的积分形式。
一、边界条件的一般形式 1、B 的边界条件:2、D 的边界条件结论：电位移矢量 在不同媒质分界面两侧的法向分量不连续，其差值等于分界面上自由电荷面密度。
3. H 的边界条件h∆→n-2B11220B dS B dS ⇒⋅+⋅=120B n B n ⇒⋅-⋅=210lim S h D H l H l J sl t→∂⇒⋅-⋅=⋅-⋅∂2t t SH H J⇒-=12()S n H H J⇒⨯-=21,S H l H l J s l n s⇒⋅-⋅=⋅=⨯()C sD H dl J dSt∂=+∂⎰⎰μ1μ2Hn1Hh →ls12()S n H H J⨯-=12()D D n σ-⋅=⇒2εε2D 1D n S∆n-n12n n D D σ⇔-=0S B dS ⋅=⎰12()0n B B ⋅-=21n nB B⇒=SD dS q =⋅⎰⇒⇒式中： S J 为介质分界面上的自由电流面密度。
结论：磁场强度 D 在不同媒质分界面两侧的切向分量不连续，其差值等于分界面上的电流面密度S J4.E 的边界条件结论：电场强度E 在不同每只分界面两侧的切向分量连续。
二、理想介质是指电导率为零的媒质，0=γ2)在理想介质内部和表面上，不存在自由电荷和自由电流。
结论：在理想介质分界面上，E 、H 矢量切向连续； 在理想介质分界面上，B 、D 矢量法向连续。
三、理想导体表面上的边界条件1)理想介质是指电导率为无穷大的导体，12t t E E⇒=12()0n E E ⇒⨯-= 2ε1ε2En1E2θl sl S BE dl d St∂⋅=-⋅∂⎰⎰12()0n E E ⨯-=⇒12t t EE=0s J =0ρ=12t t H H =⇒12n n D D=12()0n D D ⋅-=⇒12()0n B B ⋅-=12n n B B=⇒12()0n H H ⨯-=2)电场强度和磁感应强度均为零。
电磁场理论第24讲-磁位及其边值问题
N1 = 0
M1
=
4H0
µ
2r
(
ρ
2 1
ρ22
−1)
磁位
ϕm1
=
4H0ρ
µ2r
(
ρ12 ρ22
−1)
cosφ
=
4H0x
µ2r
(
ρ12 ρ22
−1)
磁场强度
H1
=
−∇ϕm1
=
−
∂ϕm1 ∂x
ex
=
−
4H0
µ2r
(1 −
ρ12
ρ
2 2
)
ex
长直磁场屏蔽管内外磁场分布
屏蔽管内磁场 H1 分布均匀，且与 H0 的方向一致。屏蔽系数
m2 ρ=ρ2
ϕ = ϕ m1 ρ=ρ1
m2 ρ =ρ1
ϕm3 ρ→∞ = −H0x = −H0ρ cosφ
µ0
∂ϕm3 ∂ρ
ρ =ρ 2
=µ2
∂ϕm2 ∂ρ
ρ=ρ2
µ0
∂ϕ m1 ∂ρ
ρ =ρ1
=µ2
∂ϕ m 2 ∂ρ
ρ =ρ1
采用分离变量法，利用场的对称性及边界条件得
ϕ
m
1
ϕ m 2
ϕm′ A = ϕm′′A + kI
为为了了克克服服多多值值性性，，规规定定积积分分路路径径不不得得穿穿过过从从电电流流回回路路为为周周界界 的的 SS 面面（（磁磁屏屏障障面面））。。ϕϕmm成成为为单单值值函函数数，，两两点点之之间间的的磁磁压压 与与积积分分路路径径无无关关。。
磁位ϕm的边值问题
分界面上的衔接条件，推导方法与静电场类似
HB11nt
电磁场理论
1 ( x ) 2 ( x)
o
b
a
x
两块无限大平行板
9
已知电场分布
将 E 两端点乘 dl，则有
E dl dl ( dx dy dy ) d x y y
上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得
1 2
2 n
媒质1 1
媒质2 2
1 2
P1
l
2
1
1 n
S
P2
6
位函数的计算
已知电荷分布
已知电场分布
7
对于连续的体分布电荷，由
E (r ) 1 4
R r r
1 4
( r ) R R
3
dV 1 R
V
V
1 (r )( )dV R
[
1 4
(r )(
)dV ]
V
故得
(r )
1 4
R 面电荷的电位： (r ) 线电荷的电位： (r )
(r )
(
1 R
)
R R
3
dV C 1 4 1 4 q 4 R
αi j 只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质 参数有关，而与各导体的电位和带电量无关； αi j > 0 ； 具有对称性，即αi j = αj i 。
18
电容系数 若已知各导体的电位，则各导体的电量可表示为
q1 111 12 2 133 q2 211 22 2 233 q1 311 32 2 333 qi i j j (i 1, 2 , , N )
电磁场公式整理
第一章标量三重积： 矢量三重积方向导：梯度：计算公式：矢量线方程:通量：散度：散度计算公式： 散度定理（高斯定理）： 旋度：斯托克斯定理： 拉普拉斯运算：第二章电流连续性方程微分形式：对于恒定电流场： )()()(B A C A C B C B A⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅CB A BC A C B A )()()(⋅-⋅=⨯⨯grad nu u en∂=∂zy x x y x∂∂+∂∂+∂∂=∇e e e ),,(d ),,(d ),,(d z y x F zz y x F y z y x F x z y x ==00cos cos cos |lim M l u u u u ul lx y z αβγ∆→∂∆∂∂∂==++∂∆∂∂∂d d d n SSψψF S F e S==⋅=⋅⎰⎰⎰ττ∆⋅=⎰→∆SSd F div F lim 0z F y F x F Sd F div z y x S ⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂=∆⋅=⎰→∆ττF lim⎰⎰⋅∇=⋅VSVF S F d dmax ]rot [F e F n n =⨯∇zy x z y xF F F z y xe e e F ∂∂∂∂∂∂=⨯∇=⎰⎰⋅⨯∇=⋅SCS F l F d d )()(2F F F ⨯∇⨯∇-⋅∇∇=∇uu 2)(∇=∇⋅∇0d ⎰=⋅SS J 、0=⋅∇JtJ ∂∂-=⋅∇ρ静电场散度：高斯定理的积分形式： 静电场旋度：毕奥萨法尔定律：任意电流回路 C 产生的磁感应强度恒定磁场散度： 恒定磁场是无散场恒定磁场旋度： 恒定磁场是有旋场，它在任意点的旋度与该点的电流密度成正比，电流是磁 场的旋涡源。
极化强度：----------电介质的电极化率电位移矢量：电介质中高斯定理的积分形式： 磁化强度矢量： 磁化电流体密度： 真空中安培环路定理推广到磁介质中： 磁场强度 ：M B H-=0μ麦克斯韦方程组的微分形式传导电流和变化的电场都能产生涡旋磁场。
第3章 静态电磁场及其边值问题的解剖析
ε
(Poisson方程)
（2）
该式即为静电位满足的微分方程— Poisson方程。Poisson 方程和上述方程组等价，故它也唯一确定了静电场。
在无电荷分布区域
2 r 0
(Laplace方程)
求解Poisson方程或Laplace方程时，解电位中的积分常 数需要应用电位的边界条件确定：
第三章 静态电磁场及其 边值问题的解
3.1 静电场分析
1. 基本方程
微
D ρ
分
形
或
积 分
SD dS V ρdV
形
式 E 0
式 l E dl 0
这组方程揭示静电场的基本性质：有散、无旋、保守性
2. 边界条件
eˆn E1 E2 0 或
E1t E2t
eˆn D1 D2 S
1 r2
d dr
r2
d
dr
0
r
c1 r
c2
c
c1、c2待定积分常数。
边界条件：
求解区域的边界是r=a
和r=的两闭合球面
① r a, U
② r , 0
利用条件 1得 c1 aU 利用条件 2得 c2 0
故解 r aU
r
5. 导体系统的电容
电容是导体系统的一种基本属性，它是 描述导体系统储存电荷能力的物理量。任何导体和导体之 间以及导体和大地之间都存在电容。
-E0
r
eˆz
rE0
E0r cosθ
在柱坐标系中，取x轴与电场方向一致，则
P
-E0
r
eˆx E0
eˆρ ρ eˆzz
E0 cos
o
E0
在坐
点
电动力学-第一章-1.5 电磁场边值关系
j
0
t
2、库仑定律
F
1
4 0
V1 V2
12
r3
rd1d 2
1 Q1Q2 r.
40 r3
3、毕奥——萨伐尔定律
r B
xr
0 4
V
Jr
xr ' rr
r3
dV
'
4、法拉第定律
L
E
dl
S
B ds t
5、洛仑兹力
F Fe Fm q(E v B)
整体
f
(
E
v
B)
4
3
r23 r13
f
D
r23 r13 3
f
1 r2
,
r
r2
ÑS E dS V f dV
P e0E
D 1 e 0E E
4 r2D 4 3
r3 r13
f
D
r3 r13 3
f
1 r2
, r2
r
r1
E D
P
1
0
D
注意球内球外的ε不同
D 0,r r1
r
f
0
P
理想导体表面边界条件σ=∞
• 设介质1为理想导体,理想导体内电场为 0(否则J为∞),对应的磁场也为0
• 介质2边界上的场强满足
en H ar en E 0
en D f
en B 0
理想介质σ=0
• 如果媒质1和2为理想介质,在求时变场时 认为表面不存在自由面电荷和面电流
D 0E P P e0E
H B M
0
M
D
mH
0
1
e
17_电磁场边值关系重点课件
这组方程和麦氏方程积分式一一对应。边值关系表示界面两 侧的场以及界面上电荷电流的制约关系，它们实质上是边界 上的场方程。
15
例: 无穷大平行板电容器内有两层介质(如图)，极板 上面电荷密度±σf，求电场和束缚电荷分布。
解: 由对称性可知，电场沿垂直于平板的方向，把边 值关系应用于下板与介质1界面上，因导体内场强 为零，故得 同样，把边值关系应用到上板与介质2界面上得
由此可得： 束缚电荷分布于介质表面上。在两介质界面处, σf= 0，由ε0(E2n−E1n) = σ f + σ p 得：
16
在介质1与下板分界处，由ε0(E2n−E1n) =σf+σp得
在介质2与上板分界处， 容易验证 说明介质整体是电中性的。
17
8
3. 关于磁场强度的边值关系： 面电荷分布使界面两侧电场法向分量发生跃变， 我们可以证明面电流分布使界面两侧磁场切向 分量生跃变。我们先说明表 面电流分布的概念。
☺面电流分布:
面电流实际上是在靠近表 面的相当多分子层内电流 的平均宏观效应。
9
定义电流线密度α，其大小等于垂 直通过单位横截线的电流。 图示为界面的一部分，其上有面 电流，其线密度为α，∆l为横截 线，垂直流过∆l段的电流为:
下面我们分别求出场量的法向分量和切向分量 的跃变。
2
麦氏方程组的积分形式为： (1) (2) (3) (4)
我们先从最简单的开始。在分界面上化简
3
1. 关于磁感强度的边值关系：
将方程
应用到两介质
分界面上的一个扁平状柱体表面。 上式左边的面积分遍及柱体的上 下底和侧面。 当柱体的厚度趋于零时,对侧面 的积分趋于零,对上下底面积分 得(B2n−B1n) ∆S=0 。
电磁场边值关系
S
t (E2 E1) 0
E1//
E2
n21
t
E2 //
2
1
或者
t (E2// E1// ) 0
E1
17
由于 t 是分界面上的任意一个
单位矢量，因此
E2 // E1//
——在界面处电场的切向分 量是连续的；
E1//
上式也可以写成
n21
D2 D1
f
n
由高斯定理可得，交界面上自由 电荷量的面密度为
f D2n D1n
（注：由于此处 n 法向矢量定 义成是从介质1指向介质2的）
2 E2n 1E1n
28
14
2010-9-9
f 2 E2n 1E1n
又根据欧姆定律：
n21
D2
2
1
D1
7
假设：交界面上的有自由电荷面分布
D S
dS
Qf
Qf f S
Q f D2 n21S D1 n21S
D dS S侧
根据 D dS 0 ，得到 S侧
D2
n21
D1
n21
f
——（5.5）
④ 电场法向和磁感应强度的切 向在边界上一般会有跃变。
25
H
Jf
D t
H
L
dl
If
d dt
D dS
S
电磁场边界条件
解：（1）磁场强度
r
Q
r E
0
H t
ex
E y z
ez
Ey x
0
H t
可求得
r
H t
E0
0
r [ex
d
cos(
d
z)
cos(t
kx)
r ez
k
sin(
d
z)sin(t kx)]
r H
r ex
0d
E0
cos(
d
z) sin(t
r kx) ez
k
0
E0
sin(
d
z) cos(t
kx)
2）两导体表面的面电流密度
D2 )
0
s
相应的标量形式为
H1t H2t B1n B2n
E1t E2t D1n D2n
2.7.2 两种特殊情况的边界条件
1、理想导体表面上的边界条件
理想导体是指σ→∞，所以在理想导体内部不存在电场
。此外，理想导体内部也不存在磁场。理想导体内部不存 在电磁场，即所有场量为零。设 e是n 理想导体的外法向矢
θ1=1.09°，B1 / B2=0.052。由此可见，铁磁材料内部的磁感应强 度远大于外部的磁感应强度，同时外部的磁感应线几乎与铁磁 材料表面垂直。
例1、在两导体平板（z=0和z=d）之间的空气中传播的
电磁波，已知其电场强度为
r E
ery E0
sin(
d
z) cos(t
kx)
式中k为常数，求：（1）磁场强度；（2）两导体表面的面电流 密度和面电荷密度。
s
en
D |zd
ez
D |zd
§1-6电磁场的边值关系
§1－6电磁场的边值关系
由于界面两侧的电磁场在介面上并不连续， 因此不能从麦克斯韦方程的微分形式出发来 推导，而应从积分形式出发来讨论： 积分形式的麦克斯韦方程 ： ∫∫ D dσ = Q ∫∫ B dσ = 0
B d σ t D H l = I + ∫∫ d d σ ∫ t
∫ E dl = ∫∫
[C (r vt) +C (r + vt)]
1 2
§1－6电磁场的边值关系
三种基本形式的简谐表达： 三种基本形式的简谐表达： π 2 E = Acos (z vt) 平面波简谐表达： λ
E = Aex i(k r ωt) p
[
]
球面波简谐表达： 柱面波简谐表达：
A(r, t) =
A cos[kr ωt + ]
1
r
0
A E = 1 exp i(kr ωt) + r
[
]
0
A A(r, t) = cos[kr ωt +0 ] r
A E= exp i(kr ωt) + r
[
]
0
§1－6电磁场的边值关系
（3）从表达式中可以获得的信息： 介质折射率： 传播速度与方向： 偏振方向： 周期、频率、角频率： 空间周期、空间频率、空间角频率： 平面电磁波的性质：
§1－6电磁场的边值关系
1.前面内容回顾： 1.前面内容回顾： 2.分界面上电磁场法向分量的关系： 2.分界面上电磁场法向分量的关系： 3.分界面上电磁场切向分量的关系： 3.分界面上电磁场切向分量的关系：
§1－6电磁场的边值关系
一、内容回顾： 1.对已讲内容的要求： 1.对已讲内容的要求： （1）.了解光的电磁理论、电磁场的波动性； （2）.彻底掌握光波在介质中的传播速率、介 质折射率的物理意义及其表达式； （3）.深入理解平面、球面、柱面简谐光波场 的时间、空间特性，以及描述平面、球面、 柱面简谐光波的数学表达式中各项参数的物 理意义；
1.5 电磁场边值关系
D dS Q
f
( D2n D1n )S f S
D2n D1n f
规定 n 的方向由介质1指向介质2的法向（本教材）
D2n D1n f
D1n 0 E1n P n 1
D2n 0 E2n P2n
p ( P2n P n ) 1
式中If为通过曲面S的总传导电流，Qf为闭 合曲面内的总自由电荷．
（1）电场的法向分量
模型： 在分界面两侧取一个底面积为 △S的扁 平状柱体。Qf 和Qp 分别为柱体内的总自 由电荷和总束缚电荷，它们等于相应的电 荷面密度 f 和p乘以底面积△S.
把麦氏方程 S 应用到扁平状区域上，当 柱体的厚度趋于零时，对 侧面的积分趋于零，得
1.5 电磁场边值关系
•麦克斯韦方程组可用于任何连续介质内部． •在两介质分界面上，由于一般出现面电荷或面 电流分布，使物理量发生跃变，微分形式的麦 氏方程组不再适用．界面两侧的场强以及界面
上电荷电流的关系?
1. 法向分量的跃变
2. 切向分量的跃变
1. 法向分量的跃变 用积分形式的麦氏方程组研究边值关系
式中
f
为传导电流线密度。当回路
短边的长度趋于零时，回路所围面积 趋于零，而 D t 为有限值，因而
d D dS 0 dt
d D dS 0 dt
由此可得
(H2 H1) l f l
(H2 H1) t f
(H2 H1) t l f l
t n
n (H2 H1 ) f
磁场切向分量的边值关系．
（2）电场场切向分量
电磁场的边值关系
电磁场的边值关系
§5 电磁场的边值关系
内容提要： 一、法线分量的边值关系 二、切向分量的边值关系
机动
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一、法线方向分量的边值关系
D ds dV
s V
h 0
lim h
侧 D1 sn D2 sn sh
机动
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3、无限大平行板电容器内有两层介质，板上面 电荷分为 f ，求电场和束缚电荷分布。
ez f
解： （1）根据对称性，电场沿 n
方向，且为
2
1 f
导体
均匀场，极板为导体，在表面处， f f n D2 D1 E1 ez E2 e z 1 2 （2）两介质分界面上电荷分布
n ( H 2 H1 )
H 2t H1t f
B E t
n E2 E1 0 E2t E1t
电磁场边值关系一般 表达式
n ˆ ( D2 D1 ) ˆ ( B2 B1 ) 0 n ˆ E2 E1 0 n n ˆ H 2 H p f 由n E2 E1 ，在这里 f 0 0
2
2 E2 n f
f f 0 0 p 0 E2 n E1n 0 f 1 2 1 2 1） （2） ( 3) 介质整个是电中性的。 （ p p p 0
n D2 D1 f