考研数学三(无穷级数)模拟试卷1(题后含答案及解析)

合集下载

2024考研(数学三)真题答案及解析完整版

2024考研(数学三)真题答案及解析完整版2024年全国硕士研究生入学考试数学(三)真题及参考答案考研数学三考什么内容?数学三在高等数学这一部分因为要求的内容相对较少，所以很多学校经济类、管理类专业在本科期间所用教材并非理工类专业通常会使用的《高等数学》同济大学版，更多的学校本科阶段的教材是中国人民大学版《微积分》。

而考数学三的同学中在实际复习过程中使用哪一本教材的都有)(函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程);线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。

考研的考试内容有哪些一、考研公共课：政治、英语一、英语二、俄语、日语、数学一、数学二、数学三，考研公共课由国家教育部统一命题。

各科的考试时间均为3小时。

考研的政治理论课(马原22分、毛中特30分、史纲14分、思修18分、形势与政策16分)。

考研的英语满分各为100分(完型10分、阅读理解60分、小作文10分、大作文20分)。

数学(其中理工科考数一、工科考数二、经管类考数三)满分为150分。

数一的考试内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分);数二的内容分布：高数78%(117分)、线代22%(33分);数三的内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分)。

这些科目的考试知识点和考试范围在各科考试大纲上有详细规定，一般变动不大，因此可以参照前一年的大纲，对一些变动较大的科目，必须以新大纲为准进行复习。

二、考研专业课统考专业课：由国家教育部考试中心统一命题，科目包括：西医综合、中医综合、计算机、法硕、历史学、心理学、教育学、农学。

其中报考教育学、历史学、医学门类者，考专业基础综合(满分为300分);报考农学门类者，考农学门类公共基础(满分150分)。

考研数学三模试题及答案

考研数学三模试题及答案一、选择题（每题3分，共36分）1. 下列函数中，满足条件f(-x) + f(x) = 0的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(x)D. f(x) = e^x2. 已知函数f(x)在区间(a, b)内可导，且f'(x) > 0，则f(x)在该区间内：A. 单调递增B. 单调递减C. 常数函数D. 无单调性3. 设曲线C：y^2 = 4x与直线l：x = 2 + t，y = 3 - 2t相切，则实数t的值为：A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知函数f(x) = 2x - 3，g(x) = x^2 + 1，若f[g(x)] = 9x^2 - 6x，则x的取值范围是：A. x > 1B. x < 1C. x > 0D. x < 05-10. （略，类似结构）二、填空题（每题4分，共24分）11. 若函数f(x) = √x在区间[0, 4]上的最大值为M，则M的值为________。

12. 设等比数列{an}的首项为1，公比为2，其前n项和为S_n，则S_5的值为________。

13. 若矩阵A = [1, 2; 3, 4]，则|A| =________。

14. 设双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的离心率为2，且过点(1, √3)，则a的值为________。

15-16. （略，类似结构）三、解答题（共40分）17. （12分）设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且∫[a, b] f(x) dx = 3，证明对于任意的m，n ∈ [a, b]，都有∫[a, b] f(x) dx ≥(1/(b-a)) * (m - n)^2。

18. （14分）已知某工厂生产商品x件的总成本为C(x) = 2000 +50x，销售每件商品的收入为p(x) = 110x - x^2，求该工厂的月利润最大值。

2023年全国硕士研究生招生考试试题及答案解析(数学三)

2023年全国硕士研究生招生考试数学试题（数学三）一、选择题:1～10小题,每小题5分,共50分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置．(1)已知函数(,)ln(sin )f x y y x y =+，则()(A)(0,1)(0,1)f fx y ∂∂∂∂不存在，存在(B)(0,1)(0,1)f fx y ∂∂∂∂存在，不存在(C)(0,1)(0,1)f fx y ∂∂∂∂，均存在(D)(0,1)(0,1)f fx y ∂∂∂∂，均不存在(2)函数0()(1)cos ,0x f x x x x⎧≤⎪=⎨⎪+>⎩的原函数为()(A)),0()(1)cos sin ,0x x F x x x xx ⎧⎪-≤=⎨+->⎪⎩(B))+1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x⎧⎪-≤=⎨+->⎪⎩(C)),0()(1)sin cos ,0x x F x x xx x ⎧⎪≤=⎨++>⎪⎩(D))+1,0()(1)sin +cos ,0x x F x x x x x ⎧⎪≤=⎨+>⎪⎩(3)已知微分方程式0y ay by '''++=的解在(,)-∞∞上有界，则()(A)0,0a b <>(B)0,0a b >>(C)0,0a b =>(D)0,0a b =<(4)已知(1,2,)n n a b n <=L ，若级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑均收敛，则“级数1nn a∞=∑绝对收敛”是“级数1nn b∞=∑绝对收敛”的()(A)充分必要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件(5)设,A B 为n 阶可逆矩阵，E 为阶单位矩阵，*M 为矩阵M 的伴随矩阵，则*0A E B ⎛⎫= ⎪⎝⎭()(A)***0*A B B A B A ⎛-⎫⎪⎝⎭(B)***0*B A A B A B ⎛-⎫⎪⎝⎭(C)***0*B A B A A B ⎛-⎫⎪⎝⎭(D)***0*A B A B B A ⎛-⎫⎪⎝⎭(6)二次型()()()222123121323(,,)4f x x x x x x x x x =+++--的规范形为()(A)2212y y +(B)2212y y -(C)2221234y y y +-(D)222123y y y +-(7)已知向量1123α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2211α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1259β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101β⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若γ既可由12,αα线性表示，也可由与12,ββ线性表示，则γ=()(A)33,4k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭(B)35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭(C)11,2k k R -⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭(D)15,8k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭(8)设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则()E X EX -=()(A)1e(B)12(C)2e(D)1(9)设12,,,n X X X L 为来自总体21(,)N μσ的简单随机样本，12,,,m Y Y Y L 为来自总体22(,2)N μσ的简单随机样本，且两样本相互独立，记11n i i X X n ==∑，11m i i Y Y m ==∑，22111(1n i i S X X n ==--∑，22211(1mi i S Y Y m ==--∑，则()(A)2122(,)S F n m S :(B)2122(1,1)S F n m S --:(C)21222(,)S F n m S :(D)21222(1,1)S F n m S --:(10)设12,X X 为来自总体()2,Nμσ的简单随机样本，其中()0σσ>是未知参数，记12ˆa x x σ=-，若()ˆE σσ=，则a =()(A)2(B)2(C)(D)二、填空题:11～16小题，每小题5分，共30分．(11)2_11l _im o ____(2si s __nc x x x x x→∞--=.(12)已知函数os p 满足22(,)xdy ydx df x y x y -=+,()1,14f π=,则)f =.(13)()2n=02!nx n ∞=∑.(14)设某公司在t 时刻的资产为()f t ，从0时刻到t 时刻的平均资产等于()f t t t-.假设()f t 连续且()00f =，则()f t =.(15)已知线性方程组13123123121202ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩有解，其中,a b 为常数，若0111412a a a=,则11120a a ab =.(16)设随机变量X 与Y 相互独立，且()1,X B p :，()2,Y B p :，(0,1)p ∈,则X Y +与X Y -的相关系数为.三、解答题:17～22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本题满分10分)已知可导函数()y y x =满足2ln(1)cos 0,xae y y x y b ++-++=且(0)0,(0)0y y '==.（Ⅰ）求,a b 的值.（Ⅱ）判断0x =是否为()y x 的极值点.(18)（12分）已知平面区域(),01D x y y x ⎧⎫⎪⎪=≤≤≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭（Ⅰ）求D 的面积.（Ⅱ）求D 绕x 轴旋转所成旋转体的体积.(19)（12分）已知平面区域22{(,)(1)1}D x y x y =-+≤，计算二重积分1Ddxdy .(20)（12分）设函数()f x 在[],a a -上具有2阶连续倒数，证明：(Ⅰ)若(0)0f =，则存在(,)a a ξ∈-，使得[]21()()()ξ''=+-f f a f a a.(Ⅱ)若()f x 在(,)a a -内取得极值，则存在(,)a a η∈-使得21()()()2f f a f a aη''≥--.(21)（12分）设矩阵A 满足对任意123,,x x x 均有112321233232--x x x x A x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(I)求A .(II)求可逆矩阵P 与对角矩阵Λ，使得1-=ΛP AP .(22)（12分）设随机变量X 的概率密度为2(),,(1)xx e f x x e =-<<+∞+∞令.x Y e =（Ⅰ）求X 的分布函数（Ⅱ）求Y 的概率密度（Ⅲ）Y 的期望是否存在？2023年答案及解析（数学三）一、选择题:1～10小题,每小题5分,共50分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置．(1)【答案】(A)【解析】(0,1)0=f ，由偏导数的定义000(0,1)ln(1sin1)(,1)(0,1)lim lim sin1lim →→→+∂-===∂x x x x x f f x f x x xx ，因为0lim 1+→=x x x，0lim 1-→=-x x x ，所以(0,1)∂∂fx 不存在，111(0,1)(0,)(0,1)ln 1lim lim lim 1111→→→∂--====∂---y y y f f y f y y y y y y ，所以(0,1)∂∂fy 存在.(2)【答案】(D)【解析】当0≤x时，1()ln(==+⎰f x dx x C 当0>x 时，()(1)cos (1)sin (1)sin sin =+=+=+-⎰⎰⎰⎰f x dx x xdx x d x x x xdx2(1)sin cos =+++x x x C 原函数在(,)-∞+∞内连续，则在0=x处110lim ln(-→++=x x C C ，22lim(1)sin cos 1+→+++=+x x x x C C 所以121=+C C ，令2=C C ，则11=+C C，故ln(1,0()(1)sin cos ,0⎧⎪++≤=⎨+++>⎪⎩⎰x C x f x dx x x x C x ，结合选项，令0=C ，则()f x的一个原函数为)1,0().(1)sin cos ,0⎧⎪++≤=⎨++>⎪⎩x x F x x x x x (3)【答案】(C)【解析】微分方程0'''++=y ay by 的特征方程为20++=a b λλ，当240∆=->a b 时，特征方程有两个不同的实根12,λλ，则12,λλ至少有一个不等于零，若12,C C 都不为零，则微分方程的解1212--=+xx y C eC e λλ在(,)-∞+∞无界；当240∆=-=a b 时，特征方程有两个相同的实根，1,22=-aλ，若20≠C ，则微分方程的解2212--=+a x a x y C eC xe 在(,)-∞+∞无界；当240∆=-<a b时，特征方程的根为1,222=-±a i λ，则通解为212(cos sin )22-=+a x y eC x C x ，此时，要使微分方程的解在(,)-∞+∞有界，则0=a ，再由240∆=-<a b ，知0.>b (4)【答案】(A)【解析】由条件知1()nn n ba ∞=-∑为收敛的正项级数，进而绝对收敛；设1nn a∞=∑绝对收敛，则由n n n n n n n b b a a b a a =-+≤-+与比较判别法，得1nn b∞=∑绝对收敛；设1nn b∞=∑绝对收敛，则由n n n n n n n a a b b b a b =-+≤-+与比较判别法，得1nn a∞=∑绝对收敛.(5)【答案】(B)【解析】结合伴随矩阵的核心公式，代入(B)计算知*********A EB A A B B AA AA B A B O B OA B O A BB ⎛⎫⎛⎫--+⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭**B A EOB A E A B A B A B E OA B E OA B E ⎛⎫⎛⎫-+=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故(B)正确.(6)【答案】(B)【解析】由已知()222123123121323,,233228f x x x x x x x x x x x x =--+++，则其对应的矩阵211134143A ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭由()()211134730143E A λλλλλλλ----=-+-=+-=--+,得A 的特征值为3,7,0-故选(B).(7)【答案】(D)【解析】设11221122r x x y y ααββ=+=+则112211220x x y y ααββ+--=又()121212211003,,,2150010131910011ααββ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--=-→- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭故()()1212,,,3,1,1,1,TTx x y y c c R=--∈所以()()()121,5,81,5,81,5,8,TTTr c c c c k k R ββ=-+=---=-=∈(8)【答案】(C)【解析】法一：由题可知1EX =，所以1,0||1,1,2,X X EX X X =⎧-=⎨-=⎩L，故，1||1{0}(1){}k E X EX P X k P X k ∞=-=⋅=+-=∑01(1){}(01){0}k k P X k P X e ∞==+-=--=∑112(1)(01)E X e e e=+---=，选（C ）法二：随机变量X 服从参数为1泊松分布，即()()110,1,2,...!P X k e k k -===期望()1E X =()()()()111111111101...1..0!1!2!!E X E X E X e e k e k -----=-=⋅+⋅+⋅++-⋅+()()111111112222211111!!!1!!k k k k k k e k e e e e e e e k k k k k ∞∞∞∞∞--------======+-⋅=+-=+--∑∑∑∑∑()()11111112e e e e e e ----=+----=选(C).(9)【答案】(D)【解析】12,,...,n X X X 的样本方差()221111n i i S X Xn ==--∑12,,...,n Y Y Y 的样本方差()222111mi i S Y Y m ==--∑则()()221211n S n χσ--:()()2222112m S m χσ--:，两个样本相互独立所以()()()()()21222211222212221121,11212n S n S S F n m m S S S m σσσσ--==----:选择(D).(10)【答案】(A)【解析】由题可知212~(0,2)X X N σ-.令12Y X X =-，则Y 的概率密度为2222()y f y σ-⋅=.22222240(||)||y y E Y y dy yedy σσ--+∞+∞⋅-∞===⎰⎰，12(||)(||)E a X X aE Y -==.由ˆ()E σσ=，得2a =.选(A).二、填空题:11～16小题，每小题5分，共30分．(11)【答案】23.【解析】2233221111111lim (2sincos 2(())(1())62x x x x x x x x x x x x οο→∞⎡⎤--=--+--+⎢⎥⎣⎦22221112(623x x xx ο⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦.(12)【答案】3π.【解析】由题意可得22(,),x y f x y x y -'=+则1(,)arctan ()arctan ()x xf x y y c y c y y y y=-⋅⋅+=-+,又因为22(,)y x f x y x y '=+可得()c y c '=，由(1,1)4f π=可得2c π=，即(,)arctan 2xf x y y π=-+，即3f π=.(13)【答案】1122x xe e -+【解析】令20()(2)!n n x s x n ∞==∑,则211()(21)!n n x s x n -∞='=-∑,22210()()(22)!(2)!n nn n x x s x s x n n -∞∞==''===-∑∑.即有()()0s x s x ''-=,解得12()x x s x C e C e -=+.又由(0)1,(0)0s s '==有121C C +=,120C C -=,解得1212C C ==.故11()22x x s x e e -=+.(14)【答案】222te t --【解析】由题意可得方程()()tf x dx f t t tt=-⎰，即20()()t f x dx f t t =-⎰.两边同时t 对求导得()()2f t f t t '=-,即()()2f t f t t '-=.由一阶线性微分方程通解公式有：11()2dt dtf t e te dt C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰()2tte tedt C-=+⎰()22t te t e C -⎡⎤=-++⎣⎦22t Ce t =--.又由于(0)0f =,则20C -=，即2C =.故()222tf t e t =--.(15)【答案】8【解析】由已知()(),34r A r A b =≤<，故,0A b =即()()1444011110111110,1112211112240120012002a a a a a Ab a a a a a baa ba b++==⋅-+⋅-=-+⋅=故111280a a a b=.(16)【答案】13-【解析】因为()1,X B p ~，所以(1)DX p p =-.因为()2,Y B p ~，所以2(1)DY p p =-.ov(,)ov(,)ov(,)C X Y X Y C X Y X C X Y Y +-=+-+ov(,)ov(,)ov(,)ov(,)C X X C Y X C X Y C Y Y =+--(1)2(1)(1)DX DY p p p p p p =-=---=--因为X 与Y 相互独立,所以()3(1)D X Y DX DY p p +=+=-,()3(1)D X Y DX DY p p -=+=-故13ρ==-三、解答题:17～22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)【解析】（1）在题设方程两边同时对x 求导得，cos 2ln(1)sin 01x yae y y y x y y x'''+⋅+-++⋅⋅=+①将0x =，0y =代入题设方程得，0a b +=；将0x =，0y =，(0)0y '=代入①式得，10a -=综上：1a =，1b =-.（2）在等式①两边再对x 求导得，()22sin (1)cos 2()2ln(1)sin 0(1)x y y x yae y y y y x y y x '-⋅⋅+-'''''''++⋅+-++⋅⋅=+②将0x =，0y =，(0)0y '=代入②式得，(0)12y a ''=--=-.由于(0)0y '=，(0)2y ''=-，故0x =是()y x 的极大值点.(18)【解析】（1）面积2tan 2221444sec csc ln csc cot ln(1tan sec x ttS dt tdt t tt t ππππππ=+∞====-=+⋅⎰⎰⎰.（2）旋转体体积为2222211111111arctan (1)(1)14x V y dx dx dx x x x x x x ππππππ+∞+∞+∞+∞⎛⎫⎛⎫===-=--=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰.(19)【解析】本题目先利用奇偶对称性化简，再切割积分区域，把积分区域分为三块，分别采用极坐标进行计算：σσσσσd y x d y x d y x d y x d y x D D D D D D D 1212121213213212222222222-+++-++-=-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++分别采用极坐标进行计算：18613)1(13010221ππθσπ=⋅=-=+-⎰⎰⎰⎰dr r r d d y x D 3439166cos 38cos 2)1(1233223cos 20222+-=-=-=+-⎰⎰⎰⎰⎰ππππθπθθθθσd dr r r d d y x D 18334361cos 2cos 38)1(1302330cos 21223ππθθθθσππθ+-=+-=-=-+⎰⎰⎰⎰⎰d dr r r d d y x D 所以：33932121212132122222222++-=-+++-++-=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰πσσσσd y x d y x d y x d y x D D D D (20)【解析】（1）证明：22()()()(0)(0)(0),02!2!f f f x f f x x f x x x ηηη''''''=++=+介于与之间，则211()()(0),02!f f a f a a a ηη'''=+<<①()222()()(0),02!f f a f a a a ηη'''-=-+-<<②①+②得：[]212()()()()2a f a f a f f ηη''''+-=+③又()f x ''在[]21,ηη上连续，则必有最大值M 与最小值m ，即()()12;;m f M m f M ηη''''≤≤≤≤从而()()12;2f f m M ηη''''+≤≤由介值定理得：存在[]()21,,a a ξηη∈⊂-，有()()()122f f f ηηξ''''+''=，代入③得：()2()(),f a f a a f ξ''+-=即()2()()f a f a f aξ+-''=.（2）证明：设()0(),f x x x a a =∈-在取极值，且0()f x x x =在可导，则0()0f x '=.又()()()22000000()()()()()(),02!2!f f f x f x f x x x x x f x x x x γγγ'''''=+-+-=+-介于与之间，则()21001()()(),02!f f a f x a x a γγ''-=+---<<()22002()()(),02!f f a f x a x aγγ''=+-<<从而()()()()22020111()()22f a f a a x f a x f γγ''''--=--+()()()()2202011122a x f a x f γγ''''≤-++又()f x ''连续，设(){}()12max ,M f f γγ''''=，则()()()222200011()()22f a f a M a x M a x M a x --≤++-=+又()0,x a a ∈-，则()2220()()2f a f a M a x Ma --≤+≤，则21()()2M f a f a a ≥--，即存在()12,a a ηγηγ==∈-或，有()21()()2f f a f a a η''≥--(21)【解析】(I)因为112312123232331112211011x x x x x A x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭对任意的1x ，2x ，3x 均成立，所以111211011A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭(II)1111111211(1)21111011E A λλλλλλλλ---+----=-+-=-⋅+⋅-+-+-+2(1)(2)2(2)(2)(2)(1)0λλλλλλλ=-+-+=+-+=.所以A 的特征值为1232,2,1λλλ=-==-.12λ=-时，1311100211011011000E A λ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=---→ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，可得特征向量1(0,1,1)Tα=-；22λ=时，2111104231013013000E A λ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，可得特征向量2(4,3,1)T α=；31λ=-时，3211201201010010000E A λ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，可得特征向量3(1,0,2)T α=-；令123041(,,)130112P ααα⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭，则1200020001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.(22)【解析】（I ）21(),(1)11xx x x x x x e e F x dx x R e e e -∞-∞==-=∈+++⎰（II ）【法一】分布函数法(){}{}X Y F y P Y y P e y =≤=≤当0y <时，()0Y F y =；当0y ≥时，(){ln }(ln )1Y y F y P X y F y y=≤==+；所以Y 的概率密度为21,0(1)()0,Y y y f y ⎧>⎪+=⎨⎪⎩其他.【法二】公式法因为xy e =在(,)-∞+∞上单调且处处可导，当(,)x ∈-∞+∞，0y >，此时ln x y =，所以Y 的概率密度为ln 2ln 211,0,0(ln )(ln ),0(1)()(1)0,0,0,y y Y e y y f y y y y f y e y ⎧⎧>'⋅>>⎧⎪⎪+===+⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎩其他其他其他.（III ）2001ln(1)(1)1y EY dy y y y +∞+∞⎛⎫==++=∞ ⎪++⎝⎭⎰，所以不存在.。

考研数学三试题讲解及答案

考研数学三试题讲解及答案模拟试题：考研数学三一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x) > 0，则f(x)在该区间内是：A. 单调递增B. 单调递减C. 常数函数D. 无单调性2. 假设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=k)等于：A. λ^k * e^(-λ) / k!B. λ^k * e^(-λ) * k!C. e^(-λ) * λ^k / k!D. e^(-λ) * k * λ^k3. 对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)的下列性质中，错误的是：A. f(x) ≥ 0B. ∫[-∞, +∞] f(x) dx = 1C. P(a < X ≤ b) = ∫[a, b] f(x) dxD. E(X) = ∫[-∞, +∞] x * f(x) dx4. 设矩阵A为n阶可逆矩阵，且B=2A，则矩阵B的行列式|B|等于：A. |A|B. 2 * |A|C. 4 * |A|D. 2^n * |A|5. 设曲线C1: y = x^2 和曲线C2: y = 1/x 在它们交点处的切线方程分别为l1和l2，若l1与l2关于y轴对称，则交点的横坐标为：A. 1B. -1C. 2D. -26. 已知函数F(x) = ∫[a, x] f(t) dt，其中f(x)为连续函数，则F(x)是：A. 单调递增函数B. 单调递减函数C. 常数函数D. 既不是单调递增也不是单调递减函数7. 设数列{an}满足an+1 = 1/3an + 2/3，证明数列{an}是单调递增数列，需要使用：A. 作差法B. 作商法C. 定义法D. 放缩法8. 对于函数y = ln(cos x)，在区间(0, π/2)内：A. 单调递增B. 单调递减C. 先递增后递减D. 先递减后递增9. 设f(x)在区间[a, b]上连续，如果对于任意的x∈[a, b]，都有f(x) ≥ 1/x，则：A. f(x)在[a, b]上一定存在零点B. f(x)在[a, b]上一定存在最大值C. f(x)在[a, b]上一定存在最小值D. f(x)在[a, b]上不一定存在最小值10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，当x > 1时，f(x)的最小值是：A. -2B. 0C. 2D. 3答案：1. A2. C3. B4. D5. A6. D7. A8. B9. C10. A二、填空题（每题4分，共20分）11. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 6，当x ∈ [1, +∞)时，f(x)的最大值是________。

考研数3试题及答案

考研数3试题及答案试题：一、选择题（每题3分，共36分）1. 下列函数中，满足条件f(-x) + f(x) = 0的函数是（）。

A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = cos(x)2. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=k)等于（）。

A. λ^k / k!B. e^(-λ) * λ^k / k!C. (λ^k / k!) * e^(-λ)D. k * e^(-λ) * λ^(k-1)3. 以下哪个选项是利用导数定义的极限形式（）。

A. lim (x->0) [sin(x)/x]B. lim (x->0) [tan(x)/x]C. lim (x->0) [1 - cos(x)]/x^2D. lim (x->0) [x/sinx]4. 设函数f(x)在点x=a处可导，那么f'(a)等于（）。

A. lim (h->0) [f(a+h) - f(a)]/hB. lim (h->0) [f(a) - f(a-h)]/hC. lim (h->0) [f(a+h) - f(a-h)]/2hD. lim (h->0) [f(a+2h) - f(a)]/2h5-10. （略，类似结构的选择题）二、填空题（每题4分，共20分）11. 若函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5在x=1处取得极小值，则f'(1)等于_________。

12. 设等比数列的首项a1=2，公比q=3，那么该数列的第5项a5等于_________。

13. 曲线y = x^3 - 6x^2 + 12x上点P(2,8)的切线斜率k等于_________。

14. 一个工厂有5台机器，其中3台机器运行正常，2台机器出现故障，那么从这5台机器中随机抽取2台，恰好抽到1台正常和1台故障机器的概率为_________。

15. 从1到100的整数中随机抽取一个数，这个数是3的倍数的概率为_________。

2023年考研数学三真题及答案解析

（1）若
f
0
0 ，则存在
a, a ，使得
f
1 a2
f
a
f
a
.
（2）若 f x 在 a, a 内取得极值，则存在 a, a ，使得
f
1 2a2
f a f a .
21.（本题满分 12 分）
x1 x1 x2 x3
设矩阵
Α
满足对任意
x1,
x2
,
x3
均有
A
x2
2
x1
x2
x3
1
7.D.
k
5
,
k
R
8
8.C. 2 e
9.D.
2S12 S22
~
F n 1, m 1
10.A.
2
二、填空题
2
11. .
3 14. 2et 2t 2 .
三、解答题
12. .
3 15. 8 .
13. 1 (ex ex ) . 2
16. 1 . 3
17.（1） a 1, b 1 .（2） x 0 是 y(x) 的极大值点.
1
, x 1 .
x x2 1
（1）求 D 的面积；
（2）求 D 绕 x 轴旋转所得旋转体的体积.
19.（本题满分 12 分）
已知平面区域 D (x, y) (x 1)2 y2 1 ，计算二重积分 x2 y2 1dxdy .
D
20.（本题满分 12 分）
已知 f x 在a, a上具有二阶连续导数.证明：
x3 0, ax3 0,
ax1 bx2 2
有解，其中
a,b
为常数，若
a 1 1
0 a 2

考研数学三试题及答案

考研数学三试题及答案考研数学三模拟试题一、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分。

在每小题的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母标号涂在答题卡上。

）1. 设函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，则方程 \( f(x) = 0 \) 的实根个数为（）。

A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，求\( \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} \) 的值是（）。

A. -1B. 0C. 1D. 23. 设 \( A \) 和 \( B \) 是两个事件，若 \( P(A) = 0.4 \)，\( P(B) = 0.5 \)，且 \( A \) 与 \( B \) 互斥，则 \( P(A \cup B) \) 等于（）。

A. 0.4B. 0.5C. 0.9D. 0.84. 曲线 \( y = x^2 \) 与直线 \( y = 2x \) 在第一象限内的围成图形的面积是（）。

A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( 1 \)D. \( \frac{4}{3} \)5. 设 \( a \)、\( b \)、\( c \) 是互不相等的实数，若 \( ax^3+ bx^2 + cx + 1 = 0 \) 有三个实根 \( x_1 \)，\( x_2 \)，\( x_3 \)，则 \( (x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2 \) 的值为（）。

A. \( -\frac{b}{a} \)B. \( -\frac{c}{a} \)C. \( -\frac{b^2}{a} \)D. \( -\frac{c^2}{a} \)二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。

请在每小题的答题位置直接填写答案。

考研数学三经济ch8各章复习题目及答案

考研数学三经济ch8各章复习题目及答案第八章无穷级数一. 填空题(1) 设有级数∑∞=??? ??+121n nn x a , 若31lim 1=+∞→n n n a a , 则该级数的收敛半径为______. 解. 收敛半径R =3222||lim 11=++∞→n n n n n a . 答案为32.(2) 幂级数∑∞=--+112)3(2n n nn x n 的收敛半径为______. 解. 13||)3(2)3(21lim 2121211<=-+-++-+++∞→x xn x n n nn n n n n , 所以3||<="">(3) 幂级数∑∞=+11n nn x 的收敛区间为______. 解. 11121limlim1=++=∞→+∞→n n a a n nn n , 所以收敛半径为1. 当x = 1时, 得级数∑∞=+111n n 发散, 当x = －1时, 得级数∑∞=+-11)1(n nn 收敛. 于是收敛区域为[－1, 1).(4) 幂级数∑∞=-112n n n n x 的收敛区间为______.解. 21212)1(1lim lim11=+=+∞→+∞→n n n nn n n n a a , 所以收敛半径为2. 当x = 2时, 得级数∑∞=121n n 发散, 当x = －2时, 得级数∑∞=--112)1(n n n 收敛. 于是收敛区域为[－2, 2).(5) 幂级数∑∞=-1)1(n nxn 的和函数为______.解.∑∑∑∞=∞=--∞=-=??? ??-=??=-=-222'2'212221)1(1)1()1(n n n n n nx x x x x x x xn xxn . 该等式在(－1, 1)中成立. 当x = ±1时, 得到的数项级数的通项不趋于0. 所以221)1()1(x x x n n n-=-∑∞=, (－1, 1).二. 单项选择题(1) 设∑∞==>1),2,1(0n n n a n a ，且收敛, 常数)2,0(πλ∈, 则级数∑∞=-12)tan ()1(n n n a n n λ(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与λ有关解. 因为∑∞=1n na收敛, 所以∑∞=12n na收敛. λλ=∞→n n n a a n n 22)(tan lim. 所以∑∞=12)t an (n n a n n λ和∑∞=12n na有相同的敛散性. 所以原级数绝对收敛.(2) 设)11ln()1(nu n-=, 则 (A) ∑∞=1n nu与∑∞=12n nu都收敛. (B) ∑∞=1n nu与∑∞=12n nu都发散. (C) ∑∞=1n nu收敛, 而∑∞=12n nu(D)∑∞=1n nu发散,∑∞=12n nu收敛.解. 由莱布尼兹判别法∑∞=1n nu收敛,∑∑∞=∞=+=1212)11(ln n n nnu. 因为1)11(ln lim2=+∞n n ,∑∞=11n n 发散, 所以∑∞=12n n u 发散. ( C)是答案. (3) 下列各选项正确的是 (A) 若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛, 则∑∞=+12)(n n nv u收敛(B) 若||1nn n vu ∑∞=收敛, 则∑∞=12n n u 与∑∞=12n nv 都收敛 (C) 若正项级数∑∞=1n n u 发散,则nu n 1≥(D) 若级数∑∞=1n nu收敛, 且),2,1( =≥n v u n n , 则级数∑∞=1n nv收敛.解. )(22)(2222n n n n n n n n n v u v v u u v u +≤++=+. 所以(A)是答案.(4) 设α为常数, 则级数∑∞=-121sin n n n n α(A) 绝对收敛. (B) 发散. (C) 条件收敛. (D) 敛散性与α取值有关. 解. ∑∞=12sin n n n α绝对收敛, ∑∞=11n n 发散, 所以∑∞=-121sin n n nn α发散. (B)是答案三. 判断下列级数的敛散性: (1)∑∞=+11sin )2ln(1n n n 解. 因为1ln 11sin )2ln(1lim =+∞→n n nn n , 所以∑∞=+11sin )2ln(1n n n 和∑∞=1ln 1n n n 有相同的敛散性. 又因为∞+2ln 1dx x x 发散, 由积分判别法知∑∞=1ln 1n n n 发散. 所以原级数发散. (2))0()1)()(1(11≠+++-+∑∞=a n a n a n a n解. 因为11)1)()(1(1lim 3=+++-+∞→n n a n a n a n , 所以)0()1)()(1(11≠+++-+∑∞=a n a n a n a n 和∑∞=131n n 有相同的敛散性. ∑∞=131n n 收敛, 所以原级数收敛. (3) ∑∞=1!3n n n nn解. 13!3)1()!1(3lim lim111>=++=++∞→+∞→en n n n u u nn n n n nn n , 所以级数发散. (4) ∑∞=+12)/1(n nn n n 解. 10/1)(lim )/1(lim 22<=+=+∞→∞→n n n n n n n n n n n , 所以级数收敛. (5) ∑∞=12)!2()!(n n n解. 141)12)(22()1(lim )!22()!1()!1(lim lim21<=+++=+++=∞→∞→+∞→n n n n n n n n n u u n n nn n ，所以级数收敛. (6)∑∞=-1)ln 1(n nnn 解. 考察极限yy y n y nn n y y nn 10)ln 1(lim 11)ln 1(lim+=-+→∞→令令yy y u y1)ln 1(+=, y y y y y u ln )ln 1ln(ln -+=11ln ln 11ln lim ln )ln 1ln(lim lim ln ln lim 0000--++=-+==++++→→→→y yy y y y y y y u u y y y y =0ln 1ln 1ln ln 1ln lim 20=+----++→y y y y y y y y y所以1lim 0==+→e u y , 即原极限为1. 原级数和∑∞1n n 有相同的敛散性. 原级数发散.四. 判断下列级数的敛散性(1) ∑∞=++-11312)1(n nnn n解. 因为321312lim =??? ??++∞→n n n n n , 所以∑∞=??++11312n nn n 收敛, 原级数绝对收敛. (2)∑∞=-+++-111)1(1)1(n nn n n解. 011)1(1lim=-+++∞→n n n n , 令11)1(1)(-+++=x x x x f 当x > 0时, 0]11)1[(1121)1()('22<-++-++-=x x x x x f , 所以数列?-+++11)1(1n n n 单减. 根据莱布尼兹判别法级数收敛. 因为1111)1(1lim =-+++∞→nn n n n , 而∑∞=11n n 发散, 所以∑∞=-+++111)1(1n n n n 发散. 原级数条件收敛. (3)∑∞=+1)sin(n nn ππ解.∑∑∞=∞=-=+11sin)1()sin(n nn nn n πππ.因为ππ=∞→nn n 1sin, 又因为∑∞=-11)1(n n n , 条件收敛, 所以原级数条件收敛.(4)∑∞=--111tan)1(n n nn解. ∞→n limnn n n 11tan=1, ∑∞=11n nn收敛, 原级数绝对收敛.五. 求下列级数的收敛域:(1) ∑∞=+++12)1()1(n nn n x x解. 11)1(|1|lim 22<++=+++∞→x x n n x x n n n , 01<<-x当x =－1, 0时, 都得数项级数∑∞)1(1n n n , 收敛, 所以原级数的收敛域为[－1, 0]. (2) ∑∞=++-11212)1(n n nn x解. 1||12||lim 212<=++∞→x n x n n n , 于是1||<="" bdsfid="493" p=""> 当1=x 时, 得∑∞=+-1121)1(n nn , 收敛;当1-=x 时, 得∑∞=++-11121)1(n n n , 收敛. 于是原级数的收敛区域为[－1, 1]. (3)∑∞=--112212n n nx n解. 2||12||||212lim 212<<=--∞→x x x n n n n n ，. 当2±=x 时, 得数项级数∑∞=-1212n n 及∑∞=--1212n n , 通项都不趋于0, 发散. 该级数的收敛区域为)2,2(-. (4) ∑∞=?-129)1(n nnn x 解. 19|1|9|1|lim 22<-=?-∞→x n x n n n n . 当31±=-x 时得数项级数∑∞=11n n, 发散. 该级数的收敛区域为(－2, 4).六. 求下列级数的和: (1)∑∞=----112112)1(n n n n x 解. 1||12||lim 212<=--∞→x n x n n n 级数收敛, 所以收敛半径为1. 当1±=x 时都得到交错级数. 由莱布尼兹判别法知收敛. 所以收敛区域为[－1, 1].令 =)(x s ∑∞=----112112)1(n n n n x .=)('x s 2122111)1(x x n n n +=-∑∞所以x dx x dx x s x s xxarctan 11)(')(02=+==, [－1, 1]. (2)∑∞=+1)1(n n x n n 解. 1||||)1(lim <=+∞→x x n n n nn 收敛. 当1±=x 得∑∞=+1)1(n n n 及∑∞=+-1)1()1(n nn n 都发散.所以收敛区域为(－1, 1).∑∞==+1)1(n nx x n n 3''21''111)1(21)1(x x x x x x x x n n n n n n += +=??? ??+∑∑∞=∞=+-积分二次,(－1, 1)(3) ∑∞2)1(n nnn x 解. 12|1|2|1|lim <+=+∞→x n x n n n n , 所以当13<<-x 时收敛. 当1=x 时得数项级数∑∞=11n n , 发散; 当3-=x 时得数项级数∑∞=-11)1(n n n , 收敛. 于是收敛区域为[－3, 1).∑?∑∑--∞=--∞=∞=-=+=???? ??+=+x x n n x n n nn n n dx xdx x dx n x n x 1111'111122121212)1(2)1(=xx -=--12ln )1ln(2ln , [－3, 1).七. 把下列级数展成x 的幂级数: (1) x x x x f arctan 2111ln 21)(+-+=解. 由第六题第3小题知∑∞=----=112112)1(a r c t a n n n n n x x 所以 x x x x x x x f arctan 21)]1ln()1[ln(41arctan 2111ln 21)(+--+=+-+==∑∑∑∑∞=-∞=--∞=∞=--=--++-134********412)1(21)1(41n n n n n n n n n n n x n x n x n x , (－1, 1) (2) ? +=xdx xx x f 0)1ln()( 解. x x )1ln(+=∑∑∞=--∞=--=-11111)1()1(1n n n n n n nx n x x , (－1, 1] ∑?∑?∞=-∞=---=-=+=12101110)1()1()1ln()(n n n x n n n xn x dx n x dx x x x f由于∑∞=121n n收敛, 所以当1±=x 时上述级数都收敛. 所以∑?∞=--=+=1210)1()1ln()(n n n xn x dx x x x f , [－1, 1]。

考研数学专题—无穷级数自测题(3套)

考研数学专题-无穷级数自测题（1）一、选择题：1．下列级数中，收敛的是( )。

A ． ∑∞=11n n B ． ∑∞=11n n n C ． ∑∞=1321n n D ． ∑∞=-1)1(n n2．下列级数中，收敛的是( )。

A ． 11)45(-∞=∑n n B ． 11)54(-∞=∑n n C ． 111)45()1(-∞=-∑-n n n D ． ∑∞=-+11)5445(n n3．下列级数中，收敛的是( )。

A ． ∑∞=1222)!(n n n B ． ∑∞=1!3n n n n n C ． 21sin ππ∞=∑nn n D ． ∑∞=++1)2(1n n n n 4．部分和数列{}n s 有界是正项级数∑∞=1n n u 收敛的( )。

A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 5．设a 为非零常数,则当( )时,级数∑∞=1n nra收敛。

A ． 1<r B ． 1≤r C ． a r < D ． 1>r06.(3)1,6.....n n n a x x x A B C D ∞=-=-=∑若级数在处收敛则此级数在处（）绝对收敛发散条件收敛敛散性不定二、填空题：1．设级数∑∞=-12)1(n nn na 收敛，则级数∑∞=1n n a 。

2．设级数∑∞=12n n u ，∑∞=12n n v 收敛，则级数∑∞=1n n n v u 。

3．若级数∑∞=1n n u 的前n 项和)12(2121+-=n s n ，则=n u ，∑∞=1n n u = 。

4．函数 f(x)=lnx 在 x=1 处的幂级数展开式为__________。

5．级数11n n nx ∞-=∑的和为__________ .(ln 3)6.2级数的和为nnn ∞=∑ .三、判别下列级数的收敛性:1．∑∞=1222)!(n n n 2．∑∞=1223cos n nn n π3．判别级数∑∞=+-11ln)1(n n nn 的敛散性。

2023年全国硕士研究生招生考试数学试题(数学三)真题解析

2023 考研数学三真题及解析一、选择题：1~10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1．已知函数 f( ,x y ) = ln ( y + x sin y )，则（）.（A ）()0,1f x ∂∂不存在，()0,1fy∂∂存在（B ）()0,1f x∂∂存在，()0,1fy ∂∂不存在（C ）()0,1f x∂∂()0,1f y∂∂均存在（D ）()0,1f x∂∂()0,1f y∂∂均不存在【答案】（A ）【解析】本题考查具体点偏导数的存在性，直接用定义处理，()0,10f =()()()()0,1000ln 1sin1sin1,10,1sin1,0lim lim limsin1,0x x x x x f x f x fx x x x x +−→→→+ −→∂=== ∂−→ 故()0,1f x∂∂不存在()()()0,1110,0,1ln lim lim 111y y f y f f y y y y →→−∂===∂−−，()0,1f y∂∂存在，选（A ）2.函数() 0,()1cos ,0.x f x x x x ≤=+>的一个原函数是( )(A)), 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x −≤= +−>(B))1, 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x +≤=+−>(C)), 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −≤= ++>(D))1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x +≤=++> 【答案】(D) .【分析】本题主要考查原函数的概念,分段函数不定积分的求法以及函数可导与连续的关系.【详解】由于当0x <时，)1()lnF xx x C==+∫当0x >时，()()2()1cos d 1sin cos F x x x x x x x C =+=+++∫由于()F x 在0x =处可导性，故()F x 在0x =处必连续因此，有00lim ()lim ()x x F x F x −+→→=，即 121C C =+.取20C =得)1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −+≤= ++> 应选(D) .【评注】此题考查分段函数的不定积分，属于常规题，与2016年真题的完全类似，在《真题精讲班》系统讲解过. 原题为已知函数2(1),1,()ln , 1.x x f x x x −< = ≥则()f x 的一个原函数是( )(A) 2(1),1,()(ln 1), 1.x x F x x x x −<= −≥ (B) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<=+−≥ (C) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= ++≥ (D) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= −+≥3．若微分方程0y ay by ′′′++=的解在(,)−∞+∞上有界，则（）（A ）00a b <>，（B ）00a b >>，（C ）00a b =>，（D ）00a b =<，【答案】（C ）【解析】特征方程为20r ar b ++=，解得1,2r =．记24a b ∆=−当0∆>时，方程的通解为1212()e e r x r x yx c c ⋅⋅=+，当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆=时，1202ar r −=<=，方程的通解为1112()e e r x r x yx c c x =+，当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆<时，1,22a r i β=−±,方程的通解为()212()e cos sin axy x c x c x ββ−=+．只有当0a =，且240a b ∆=−<，即0b >时，lim ()lim ()0x x y x y x →+∞→−∞==，此时方程的解在(,)−∞+∞上有界. 故选（C ）【评注】此题关于x →+∞方向的讨论，在《基础班》习题课上讲解过，见《基础班》习题课第八讲《常微分方程》第15题.4.已知()1,2,n n a b n <=，若1nn a∞=∑与1n n b ∞=∑均收敛.则1nn a∞=∑绝对收敛是1n n b ∞=∑绝对收敛的（）（A ）充分必要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既非充分也非必要条件【答案】（A ）【解析】由题设条件知()1nn n ba ∞=−∑为收敛的正项级数，故()1n n n b a ∞=−∑也是绝对收敛的若1nn a∞=∑绝对收敛，则n n n n n n n b b a a b a a =−+≤−+，由比较判别法知，1n n b ∞=∑绝对收敛；若1n n b ∞=∑绝对收敛，则则nn n n n n n aa b b a b b =−+≤−+，由比较判别法知，1n n a ∞=∑绝对收敛；故应选（A ）【评注】本题考查正项级数的比较判别法，及基本不等式放缩.关于上述不等式《基础班》第一讲在讲解数列极限定义时就反复强调过.5.设A,B 分别为n 阶可逆矩阵，E 是n 阶单位矩阵，*M 为M 的伴随矩阵，则AE OB 为（）（A ）*****−A B B A O A B （B ）****− A B A B OB A（C ）****−B A B A OA B （D ）****−B A A B OA B 【答案】（D ）【解析】由分块矩阵求逆与行列式的公式，结合1∗−=A A A 得11111∗−−−−− −==A E A E A E E A A AB B O B O B O B O B ∗∗∗∗−=B O A A A B B 选（D ）【评注】这钟类型的题在02年，09年均考过完全类似的题，《基础班》第二讲也讲过，原题为【例1】设,A B ∗∗分别为n 阶可逆矩阵,A B 对应的伴随矩阵，∗∗=A O C O B6.二次型()()()222123121323(,,)4f x x x x x x x x x =+++−−的规范形为（）. （A ）2212y y + （B ）2212y y −（C ）222123y y y −−（D ）222123y y y +−【答案】（B ）【详解】因为123(,,)f x x x 222123121323233228x x x x x x x x x =−−+++方法1.二次型的矩阵为 211134143 =− −A , 由()()211134730143λλλλλλλ−−−−=−+−=+−=−−+E A ，得特征值为0,7,3−，故选（B ）方法2.()222123123121323,,233228f x x x x x x x x x x x x =−−+++()()()22232322211232323233842x x x x x x x x x x x x ++=+++−−−+ 222222322332323126616222x x x x x x x x x x x +++++−=+−()22231237222x x x x x +=+−− 故所求规范形为()2212312,,f x x x y y =−【评注】本题考查二次型的规范形，与考查正负惯性指数是同一类题，在《基础班》《强化班》均讲过. 《解题模板班》类似例题为【11】设123123(,,),(,,)T T a a a b b b αβ==，,αβ线性无关，则二次型123112233112233(,,)()()f x x x a x a x a x b x b x b x =++++的规范型为( )．(A)21y (B) 2212y y + (C) 2212y y − (D) 222123y y y ++7．已知向量12121,,1222150390,1====ααββ，若γ既可由12,αα表示，也由与12,ββ表示，则=γ（）.（A ）334k （B ）3510k（C ）112k − （D ）158k【答案】（D ）【解析】由题意可设11212212x y x y +==+γααββ，只需求出21,x x 即可即解方程组112112220x y y x +−−=ααββ()121212211003,,2150010131910011,−−−−=−→− −−ααββ 得()()2211,,1,3,,1,1TTx k x y y =−−，k 为任意常数11221212133215318x k k k k k x+=−+=−+=−=γαααα，故选（D ）【评注】1.此题与《强化班》讲义第三讲练习第12题完全类似，原题为【12】(1)设21,αα，21,ββ均是三维列向量，且21,αα线性无关, 21,ββ线性无关，证明存在非零向量ξ，使得ξ既可由21,αα线性表出，又可由21,ββ线性表出．(2)当 =4311α，=5522α：1231β= − ，2343β−=−时，求所有既可由21,αα线性表出，又可21,ββ线性表出的向量。

考研数学模拟卷数三答案

考研数学模拟卷数三答案关建字摘要：线性，收敛，级数，驻点，特征值，无关，矩阵，发散，题意，不等价竭诚为您提供优质文档，本文为收集整理修正，共8页，请先行预览，如有帮助感谢下载支持2021考研数学模拟试卷一【数三】解析一、选择题(1) D解：lim α=limx →0βx →05⋅sin 5x5x cos x (1+sin x )1sin x=5≠1.e〔2〕B解：由limf (x )-1=0，lim(1-cos x )=0，得lim(f (x )-1)=0，而由f ''(x )连续知f (x )连续，所以x →01-cos x x →0x →0lim f (x )=f (0)=1.x →0f (x )-f (0)f (x )-11-cos x x 2=lim ⋅⋅=0，于是f '(0)=lim2x →0x →0x 1-cos xx x 所以x =0是f (x )的驻点.又由limx →0f ''(x )-11+x 2-1=1，lim(1+x 2-1)=0，x →0得lim(f ''(x )-1)=f ''(0)-1=0，即f ''(0)=1>0，x →0所以f (x )在点x =0处有f '(0)=0，f ''(0)=1>0，故点x =0是f (x )的极小值.应选〔B).〔3〕B解：当0<p ≤1时，由积分中值定理得⎰所以|n +1nn +1sin(πx )12(-1)n ，ξn ∈(n ,n +1)，dx =p sin(πx )dx =p p ⎰n x +1ξn+1π(ξn+1)⎰n +1nsin(πx )22dx |=>，ξn ∈(n ,n +1)，p p p x +1π(ξn+1)π((n +1)+1)∞222~(n →∞)而，发散，所以原级数非绝对收敛.∑p p pπ((n +1)+1)πn n =1πn 又|⎰n +1nsin(πx )2dx |=→0(n →∞)，x p +1π(ξnp +1)而ξn∈(n ,n +1)，即|⎰n +1nsin(πx )dx |单调减少.x p +1由莱布尼茨判别法知原级数收敛，故级数是条件收敛的，应选〔B 〕.(4)D解：记A =⎰2f (x )dx 为常数，于是有Af '(x )=8，即f '(x )=8，两边积分得A 88x +C ，由f (0)=0得C =0，从而f (x )=xA A228216于是A =⎰f (x )dx =⎰xdx =，即A =±4，故⎰f (x )dx =A =±4选〔D 〕00A 0A f (x )=〔5〕A解：易知Bx =0的解是ABx =0的解。

(完整版)无穷级数习题及答案.doc

第十一章无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1． n 2n 1；．1；3． 11 。

2n 1 2n 2n2n 13 n5 nn 1判断下列正项级数的敛散性．n! ；5． n e； 6．n 1；7． 2n 3；8． n 4 ；n 1 e n1 2nn 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n nn nn1 n9．；10．3n n 12n。

n 11求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛．1n 1n 1 ； 12．1n1； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；112 nln nn 1n 214．122 2 3 1 4 1 ；21 32 4 2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间．3n x n；16．1 n x n ； 17．n! xn；．1 n；n n n 1 2n n n 1 n n 1n 119．1 2n 1； 20． n 2n；1 2 n 1xn 1 3 n xn求下列级数的和函数21． n 1 nxn 1； 22． n 1 21n 1 x2n 1；将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数23． shx e xe x ， x 00 ；24． cos 2 x ， x 00 ；225． 1 x ln 1 x ， x 00 ； 26． 1， x 0 3 ；x将下列函数在区间, 上展开为付里叶级数27． A xcos x，x。

28． f x 2t ， x22x , 3x t 029．将函数 f x, 0 t 3 展开成付里叶级数。

xx, 0 xl2分别展开成正弦级数和余弦级数。

30．将函数 f xllx , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1．1；2．1； 3．n 2 2 n 2n 03n 1 3n4n 1n n 1 n2n 1判断下列正项级数的敛散性2n n!2n2n3n na n．； 5．；6．，( a 0 )；4n3n 12n nn 1nn1n 11nb7．，其中 a na ( n)， a n ， b ， a 均为正数；n 1a n11x8．n，( a 0)；9． n 42x ；1 n 1 0 1 x n 1 1判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛n 12 n 2n 1ln 2110．1；11．n 1；12．1n 1 nn!12 n 13n 2 3nn 1n 1nn 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域．nx 2 n；14．x n ，( a 0 ,b 0 )； 1312n!n 1 anb nn 115．n12 n 1； 16． 3n2 nn；12 n4 n x 5x 1 n 1n 1n求下列级数的和函数17． nx 2n ；18．2n 1x 2 n ； 19． n 2 x n ；n 1n 1n ! n 120．求证： ln 21；n ；； 2将下列函数展开成 xx 0 的幂的级数21．f x21，x 0 0 ；22．f x12 ，x 01；23． x ，x 0 0 ； 2x3x 1x1 x 224．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25．写出函数 f x1 x 2k ， x2k 1 , 2k1 ， k 0, 1, 2,的2付里叶级数，并讨论收敛情况。

考研数学三无穷级数-试卷1_真题-无答案

考研数学三（无穷级数）-试卷1(总分48,考试时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1. 级数(a＞0)( )．A. 发散B. 条件收敛C. 绝对收敛D. 收敛性与a有关2. 设常数k＞0，则级数( )．A. 发散B. 绝对收敛C. 条件收敛D. 敛散性与k有关3. 设收敛，则下列级数必收敛的是( )．A. B.C. D.4. 设级数都发散，则( )．A. B.C. D.5. 下列叙述正确的是( )．A. B.C. D.6. 设幂级数的收敛半径分别为R1，R2，且R1＜R2，设(an+bn)xn的收敛半径为R0，则有( )．A. R0=R2B. R0=R1C. R0＜R2D. R0＞R22. 填空题1. 设f(x)=，则f(n)(0)=________．2. 幂级数的收敛半径为________．．3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1. 判断级数的敛散性．2. 判断级数的敛散性．3. 判断级数的敛散性．4. 判断级数的敛散性．5. 设级数收敛，又an≤bn≤cn(n=1，2，…)．证明：级数收敛．设a1=2，an+1=(n=1，2，…)．证明：6. 存在；7. 级数收敛．8. 设un＞0(n=1，2，…)，Sn=u1+u2+…+un．证明：收敛．9. 求幂级数的收敛域．10. 求幂级数的收敛域．11. 求幂级数的和函数．12. 求幂级数的和函数．13. 求级数的收敛域与和函数．14. 求级数y=x+的和函数．15. 将f(x)=1nx展开成x一2的幂级数．。

2022考研数学三真题及答案解析(数三)

2022年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题及参考答案一、选择题：1~10题，每小题5分，共50分.1、当0→x 时，)()(x x βα、是非零无穷小量，给出以下四个命题 ① 若)(~)(x x βα，则)(~)(22x x βα； ② 若)(~)(22x x βα，则)(~)(x x βα； ③ 若)(~)(x x βα，则))(()()(x o x x αβα=-； ④ 若))(()()(x o x x αβα=-，则)(~)(x x βα. 其中正确的序号是（）A ：①②；B ：①④；C ：①③④；D ：②③④. 答案：C .解析：当0→x 时，若)(~)(x x βα，则1)()(lim 0=→x x x βα，故1)()(lim )()(lim 20220=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=→→x x x x x x βαβα，即)(~)(22x x βα，且011)()()(lim0=-=-→x x x x αβα，故))(()()(x o x x αβα=-.所以①③正确.当0→x 时，)(~)(22x x βα，则1)()(lim 220=→x x x βα，此时1)()(lim 0±=→x x x βα，而1)()(lim 0-=→x x x βα时，)(x α与)(x β不是等价无穷小，故 ②不正确.当0→x 时，若))(()()(x o x x αβα=-，1)()(lim ))(()()(lim )()(lim000==-=→→→x x x o x x x x x x x αααααβα，所以)(~)(x x βα，④正确.综上，C 为选项.2 、已知),2,1()1( =--=n nn a nnn ，则}{n a （） A ：有最大值，有最小值； B ：有最大值，没有最小值； C ：没有最大值，有最小值； D ：没有最大值，没有最小值. 答案：A .解析：1212,1221<-=>=a a ，又1lim =∞→n n a ，故存在0>N ，当N n >时，12a a a n <<，所以}{n a 有最大值和最小值，选项A 正确.3、设函数)(t f 连续，令⎰---=y x dt t f t y x y x F 0)()(),(，则（）A ：2222y F x F y F x F ∂∂=∂∂∂∂=∂∂，； B ：2222y Fx F y F x F ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂，； C ：2222y F x F y F x F ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂，； D ：2222yF x F y F x F ∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂，. 答案：C .解析：⎰⎰⎰-----=--=y x y x y x dt t tf dt t f y x dt t f t y x y x F 0)()()()()(),(，⎰⎰--=-----+=∂∂y x y x dt t f y x f y x y x f y x dt t f x F 00)()()()()()(，)(22y x f x F -=∂∂，同理⎰⎰---=--+----=∂∂y x y x dt t f y x f y x y x f y x dt t f yF00)()()()()()(，)(22y x f y F -=∂∂，综上2222yF x F y F x F ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂，，选项C 正确. 4、已知⎰⎰⎰+=++=+=101031021sin 12,cos 1)1ln(,)cos 1(2dx x xI dx x x I dx x x I ，则（） A ：321I I I <<； B ：312I I I <<； C ：231I I I <<； D ：123I I I <<. 答案：A .解析：⎰⎰⎰+=++=+=1010310212sin 1,cos 1)1ln(,)cos 1(2dx xx I dx x x I dx x xI ，先比较21,I I 的大小，令)1,0()1ln(2)(∈+-=x x xx f ，此时0)0(=f ，此时0)1(211121)(<+-=+-='x x x x f ，即)(x f 单调递减，从而0)0()(=<f x f ，可得)1,0()1ln(2∈+x x x《，从而21I I <.再比较23,I I 的大小，因)1,0(,cos 12sin 1,)1ln(∈+<+<+x x x x x ，则2sin 1cos 1)1ln(x xxx +<++，从而23I I >.综上，可得A 正确.5、设A 为3阶矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ000010001，则A 的特征值为011，，-的充分必要条件是（）A ：存在可逆矩阵Q P ,，使得Q P A Λ=；B ：存在可逆矩阵P ，使得1-Λ=P P A ； C ：存在正交矩阵Q ，使得1-Λ=Q Q A ； D ：存在可逆矩阵P ，使得TP P A Λ=；答案：B解析：3阶A 有011，，-三个不同的特征值，所以A 可以相似对角化，故存在可逆矩阵P ，使得1-Λ=P P A ；若存在可逆矩阵P ，使得1-Λ=P P A ，即A 相似与Λ，而相似矩阵具有相同的特征值，而Λ的特征值为011，，-，故A 的特征值为011，，-.因此选B . 6、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=421,1111122b b b a a A ，则线性方程组b Ax =解的情况为（）A ：无解； B: 有解； C:有无穷多解或无解； D: 有唯一解或无解；答案：D .解析：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→31101110111141211111)|2222b b a a b b a a b A （（1）当1=a 或1=b 时，)|()(b A r A r ≠，方程无解（2）当1≠a 且1≠b 时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+→11130011110111113110111101111)|a b a b a a b b a a b A （（i ）当b a ≠时，3)|()(==b A r A r ，方程有唯一解（ii ）当b a =时，3)|(2)(==b A r A r ，，方程无解；综述：方程有唯一解或无解，选D .7、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=243211,11,11,11λλαλαλαλα，若向量组321,,ααα与421,,ααα等价，则λ的取值范围（）A ：}1,0{ ； B:}2,|{-≠∈λλλR ；C:}2,1,|{-≠-≠∈λλλλR ； D:}1,|{-≠∈λλλR . 答案：C解析：向量组321,,ααα与421,,ααα等价的充要条件是()),,.,,(,,),,(421321421321ααααααααααααr r r ==，而),,,(),,.,,(4321421321αααααααααα，r r =()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→λλλλλλλλλλλλαααα2222431201101101111111111,,,（1）当1=λ时，()1).,,(,,),,(4321421321===ααααααααααr r r ，此时向量组等价（2）当1≠λ时()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++---→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++→24312)1(2001110111111001101110110110111,,,λλλλλλλλλλλαααα（i ）当2-=λ时，3).,,(),,(2),,(4321421321===ααααααααααr r r ，，此时向量组不等价（ii ）当1,2-=-≠λλ时，3).,,(2),,(3),,(4321421321===ααααααααααr r r ，，，此时向量组不等价（iii ）当1,2-≠-≠λλ时，3).,,(),,(),,(4321421321===ααααααααααr r r ，此时向量组等价综上，当1,2-≠-≠λλ时，向量组321,,ααα与421,,ααα等价；选C8、随机变量)4,0(~N X ，随机变量⎪⎭⎫⎝⎛31,3~B Y ，且X 与Y 不相关，则=+-)13(Y X D （）A: 2； B: 4； C: 6； D: 10. 答案：D .解析：由题意知，0),(32)(,4)(===Y X Cov Y D X D ，； 10)(9)()3()13(=+=-=+-Y D X D Y X D Y X D ，故选D .9、设随机变量序列 ,,,21n X X X 独立同分布，且i X 的概率密度为⎩⎨⎧<-=其他11)(x xx f 则当∞→n 时，∑=n i i X n 121依概率收敛于（）A :81； B : 61； C: 31； D: 21. 答案：B .解析：61)1(2)1()()(1211222=-=-==⎰⎰⎰-+∞∞-dx x x dx x x dx x f x X E i ，从而∑∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛n i i n i i X E n X n E 121261)(11，由辛钦大数定律可得，∑=n i i X n 121依概率收敛于⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=n i i X n E 121，从而选B .10、设二维随机变量),(Y X 的概率分布若事件}2},{max{==Y X A 与事件}1},{min{==Y X B 相互独立，则=),(Y X Cov （）A ：6.0- ； B: 36.0-； C: 0； D: 48.0. 答案：B .解析：1.0}2,1{)(,2.0)(,1.0)(=====+=Y X P AB P B P b A P ，由B A ,相互独立，故)()()(B P A P AB P =，解得4.0=b ，由分布律的性质得2.0=a ，6.0)(,2.1)(,2.0)(-==-=XY E Y E X E从而36.0)()()(),(-=-=Y E X E XY E Y X Cov ，故选B . 二、填空题：11~16题，每题5分，共30分.11、若=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→xx x e cot 021lim .答案：21e .解析：21tan 21lim21ln cot lim cot 00021lim e eeex e e x xxx x x xx ===⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→→.12、⎰=++-2024242dx x x x .答案：333ln π-. 解析：原式⎰⎰++-+++=2022024*******dx x x dx x x x ⎰⎰++-++++=20222022)3()1(1642)42(dx x x x x x d 20202|31arctan 36|)42ln(+-++=x x x 333ln π-=.13、已知函数x xe e xf sin sin )(-+=，则=''')2(πf .答案：0.解析：方法一：x xxe xex f sin sin cos cos )(--='，x x e x x e x x x f sin 2sin 2)sin (cos )sin (cos )(-++-='',)cos sin cos 2()sin (cos cos )sin (cos cos )cos sin cos 2()(sin sin 2sin 2sin x x x eex x x e x x x e x x x x f xxxx +-++--+--='''--从而01111)2(=+--='''πf . 方法二：x xe ex f sin sin )(-+=，显然)()(sin sin x f e e x f x x=+=--，故)(x f 为偶函数，且周期π2=T ，于是)(x f '为奇函数，)(x f ''为偶函数，)(x f '''为奇函数，从而0)0(='''f ，而0)0()2(='''='''f f π.14、已知⎩⎨⎧≤≤=其他,010,)(x e x f x ，则=-⎰⎰∞+∞-∞+∞-dy x y f x f dx )()( .答案：2)1(-e .解析：记}10,10|),{(≤-≤≤≤=x y x y x D ，原式⎰⎰⎰⎰-=-=Dx y x Ddxdy e e dxdy x y f x f )()(，2111)1()1(-=-==⎰⎰⎰+-e dy e e dy edx e x x xxy x.15、设A 为3阶矩阵，交换A 的第2行和第3行，再将第2列的1-倍加到第一列，得到矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=001011112B ，则1-A 的迹=-)(1A tr .答案：-1.解析：令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100011001,010********P P ，则B AP P =21 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--0100011111000110010010111120101000011211BP P A 0)1)(1(1011112=++-=-------=-λλλλλλE A ，解得i i -==-=321,,1λλλ 故1-A 的特征值为i i =-=-=321,,1λλλ，从而1)(1-=-A tr16、设C B A ,,为随机事件，且A 与B 互不相容，A 与C 互不相容，B 与C 相互独立，31)()()(===C P B P A P ，则=)|(C B A C B P .答案：85. 解析：()C B A P C B P C B A C B P )()|(=()98)()())(()()(95)()()()()()()()(=+=-+==-+=-+=C B P A P C B A P C B P A P C B A P C P B P C P B P BC P C P B P C B P从而85)|(=C B A C B P . 三、解答题：17~22小题，共94分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、（本题满分10分）设函数)(x y 是微分方程x y xy +=+'221满足条件3)1(=y 的解，求曲线)(x y y =的渐近线.解：])2([)(2121C dx ex ex y dxxdxx+⎰+⎰=⎰-])2([C dx e x e x x ++=⎰-]2[C xee xx +=-xCe x -+=2，其中C 为任意常数，又3)1(=y ，得e C =，即xe x x y -+=12)(.22limlim 1=+==-+∞→+∞→xe x x y a xx x ，0lim )2(lim 1==-=-+∞→+∞→xx x e x y b ，故x y 2=为曲线)(x y y =的斜渐近线.18、（本题满分12分）设某产品的产量Q 由资本投入量x 和劳动投入量y 决定，生产函数为612112y x Q =，该产品的销售单价P 与Q 的关系为Q P 5.11160-=，若单位资本投入量和单位蓝洞投入量的价格分别为6和8，求利润最大时的产量.解：利润y x xy y x y x Q Q y x PQ L 862161392086)6.11160(86316121---=---=--=令⎪⎩⎪⎨⎧=--=--='=--=--='--------08)722320(872232006)722320(362166960612132326521612131316121y x xy xy y x L y x y y y x L yx，得驻点)64,256(，此时38464256126=⨯⨯=Q ，在实际问题中由于驻点唯一，故利润L 在384=Q 处取到最大值. 19、（本题满分12分）已知平面区域}20,42|),{(2≤≤-≤≤-=y y x y y x D ，计算⎰⎰+-=Ddxdy y x y x I 222)(. 解：⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+-=+-=ππϕϕπρρϕϕϕρρϕϕϕ2cos sin 20220202222)sin (cos )sin (cos )(d d d d dxdy y x y x I D⎰⎰+-=πππϕϕϕϕ2202)cos sin 21(2d d 22)12(2|)sin (2202-=+-=+-=ππππϕϕπ. 20、（本题满分12分）求幂级数∑∞=++-02)12(41)4(n nnn x n 的收敛域及和函数)(x S . 解：1)12(41)4()32(41)4(lim 22211n <++-++-+++∞→nnn n n n x n xn ，解得1||<x ，从而1=R ，收敛区间)1,1(-，当1±=x 时，∑∞=++-0)12(41)4(n nn n 收敛，故收敛域为]1,1[-. 当]1,1[-∈x ，令∑∑∞=∞=+++-=012)12(412)1()(n n n nn n n x x n x S ，令∑∑∞=+∞=≠+-=+-=0120210,12)1(112)1()(n n n n n n x n x x n x x S ，此时∑∑∞=∞=++=-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-02201211)1(12)1(n nn n n n x x n x ，x dx x n x x n n n arctan 1112)1(0202=+=+-⎰∑∞=，故0,arctan 1)(1≠=x x xx S .∑∑∞=+∞=≠+=+=0120220,1241)12(4)(n n n n n n x n x x n x x S ）（，此时2202012444114124x x x n x n n nn n n -=-=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∞=∞=+）（，0,22ln 4412402012≠-+=-=+⎰∑∞=+x x x dx x n x x n n n ）（，故0,22ln 1)(2≠-+=x xx x x S .0=x 时，2)0(=S .综上当]1,1[-∈x ，⎪⎩⎪⎨⎧=-∈-++=0,2]1,0)0,1[,22ln1arctan 1)(x x xx x x x x S （ . 21、（本题满分12分）已知二次型312322213212343),,(x x x x x x x x f +++=，（1）求正交变换Qy x =将),,(321x x x f 化为标准形；（2）证明：2)(min=≠xx x f T x . 解：（1）二次型对应矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=301040103A ，0)2()4(3010401032=---=---=-λλλλλλE A ，解得4,2321===λλλ21=λ对应特征向量满足0)2(=-x E A ，解得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1011ξ432==λλ对应特征向量满足0)4(=-x E A ，解得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1013ξ321,,ξξξ已经两两正交，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22022,010,22022321ηηη，故存在正交矩阵),,(321ηηη=Q ，当Qy x =时232221321442),,(y y y y y y f ++=.（2）2322212322232221232221222442)()()(y y y y y y y y y y y y y y f Qy Q y y f x x x f T T T Qy x T ++++=++++==== 当0≠x 时，由Qy x =得0≠y ，当0,0132≠==y y y 时，2322212322222y y y y y ++++的最小值为2，故2)(min=≠xx x f Tx . 22、（本题12分）设n X X X ,,,21 为来自均值为θ的指数分布总体X 的简单随机样本，m Y Y Y ,,,21 为来自均值为θ2的指数分布总体Y 的简单随机样本，且两样本相互独立，其中)0(>θθ是未知参数，利用样本n X X X ,,,21 ，m Y Y Y ,,,21 ，求θ的最大似然估计量θˆ，并求)ˆ(θD . 解：由题知：总体Y X ,的概率密度为,0021)(,0001)(2⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--y y ey f x x ex f y YxX θθθθ令θθθθθθθθθ21211111121211),(),(∑∑=⋅=⋅===--+=-=-==∏∏∏∏mj j ni ij iy x n m m mj y ni x m j j Y ni i Xee e ey f x fLθθθ2ln )(2ln ln 11∑∑==--+--=mj jni i yx n m m L02ln 2121=+++-=∑∑==θθθθmj jni i yx n m d L d 解得⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=∑∑==m j j n i i y x n m 11211ˆθ故θ的最大似然估计量⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=∑∑==m j j n i i Y X n m 11211ˆθ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∑∑∑∑====m j j n i i m j j n i i Y D X D n m Y X n m D D 11211)(41)()(1211)ˆ(θ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=)(4)()(12j i Y D m X nD n m 而224)(,)(θθ==j i Y D X D ，从而n m m n n m D +=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++=222244)(1)ˆ(θθθθ。

[考研类试卷]考研数学三(无穷级数)模拟试卷1.doc

（C） anan+1收敛
（D） (an+an+1)/2收敛
5设{un}是数列，则下列命题正确的是
（A）若 un收敛，则（u2n-1+u2n）收敛.
（B）若 (u2n-1+u2n)收敛，则 un收敛.
（C）若 un收敛，则 (u2n-1-u2n)收敛.
（D）若 (u2n-1-u2n)收敛，则 un收敛.
22幂级数 xn的收敛半径为_________.
23幂级数 x2n-1的收敛半径为_________.
24求幂级数 xn/n的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性.
25求幂级数 x2n的收敛域和函数.
26将函数f(x)=x/(2+x-x2)展开成x的幂级数.
27将函数y=ln(1-x-2x2)展开成x的幂级数，并指出其收敛区间.
（C）(-2,3）
（D）(-2,1）
13设β，α1，α2线性相关，β，α2，α3线性无关，则( )．
（A）α1，α2，α3线性相关
（B）α1，α2，α3线性无关
（C）α1可用β，α2，α3线性表示
（D）β可用α1,α2线性表示
二、ห้องสมุดไป่ตู้空题
14已知幂级数 an(x+2)n在x=0处收敛，在x=-4处发散，则幂级数 an(x-3)n的收敛域为______.
[考研类试卷]考研数学三（无穷级数）模拟试卷1
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1设pn=(an+丨an丨）/2，qn=(an-丨an丨）/2，n=1,2,…,则下列命题正确的是
（A）若 an条件收敛，则 pn与 qn都收敛
（B）若 an绝对收敛，则 pn与 qn都收敛

考研数学(数学三)模拟试卷369(题后含答案及解析)

考研数学（数学三）模拟试卷369(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)是(一∞，＋∞)内以T为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )．A．f(t)dtB．f(t)dtC．f(t)dtD．tf(t)dt正确答案：D解析：因f(x)是周期为T的连续周期奇函数，则其原函数也是周期函数．据此，可知(A)、(B)、(C)中的函数都是周期函数．但(D)中变项积分不是f(x)的原函数，因而不是周期函数．解一(D)中函数不是周期函数．事实上，令φ(x)＝tf(t)dt，则故(D)中函数不是周期函数．解二下证(A)、(B)、(C)中函数均是周期函数．对于(A)，令g(x)＝f(t)dt，则对于(B)，令h(x)＝f(t)dt，则故h(x)＝h(x＋T)．同法可证均是周期为T的周期函数，故其差也是周期为T的周期函数．仅(D)入选．2．若直线y＝x与对数曲线y＝logax相切，则a＝( )．A．eB．1／eC．eeD．ee－1正确答案：D解析：两曲线相切即两曲线相交且相切，而两曲线相切就是在切点导数值相等，相交就是在交点(切点)其函数值相等．据此可建立两个方程求解未知参数．由y′＝1＝(logax)＝该点也在曲线y＝logax上，于是有故＝lna，所以a＝ee －1．仅(D)入选．3．设f(x)g(x)在点x＝0的某邻域内连续，且f(x)具有一阶连续导数，满足＝0，f′(x)＝一2x2＋g(x一t)dt，则( )．A．x＝0为f(x)的极小值点B．x＝0为f(x)的极大值点C．(0，f(0))为曲线y＝f(x)的拐点D．x＝0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是曲线y＝f(x)的拐点正确答案：C解析：由f′(x)的表示式易知f′(0)＝0，为判定选项的正确性，只需考察．f″(0)的符号的有关情况，为此计算，看其是否等于非零常数．由有f″(x)＝－4x＋g(x)，则＝－4＋0＝－4，可见在x＝0的两侧因x变号，f″(x)也变号，因而(0，f(0))为曲线y＝f(x)的拐点．仅(C)入选．4．计算二重积分I＝＝( )．A．π2／32B．－π2／32C．π／16D．π／4正确答案：A解析：由所给的二次积分易求出其积分区域如下图所示．由于积分区域为圆域的一部分，且被积函数又为f(x2＋y2)，应使用极坐标求此二重积分．所给曲线为(y＋1)2＋x2＝1的上半圆周，区域D如下图所示，其直角坐标方程为(y＋1)2＋x2≤1，即y2＋x2≤一2y，将x＝rcosθ，y＝rsinθ代入得到极坐标系下的方程r2≤一2rsinθ，即r≤一2sinθ．于是D＝｛(r，θ)｜－π／4≤θ≤0，0≤r≤一2sinθ｝，则仅(A)入选．5．设四阶行列式D＝，则第3列各元素的代数余子式之和A13＋A23＋A33＋A34＝( )．A．3B．一3C．2D．1正确答案：B解析：尽管直接求出每个代数余子式的值，再求其和也是可行的，但较繁，一般不用此法．因行列式D中元素aij的代数余子式Aij与aij的值无关，仅与其所在位置有关．常用此性质构成新行列式，利用行列式性质求出各元素的代数余子式的线性组合的值．将行列式D的第3列元素换为1，1，1，1，则6．设A是四阶方阵，A*是A的伴随矩阵，其特征值为1，一1，2，4，则下列矩阵中为可逆矩阵的是( )．A．A—EB．2A—EC．A＋2ED．A一4E正确答案：A解析：利用矩阵行列式与其矩阵特征值的关系：｜A｜＝λ1λ2…λn判别之，其中λi为A的特征值．解一设A*的特征值为，则于是｜A*｜＝1.(－1).2.4＝－8，因而｜A｜4－1＝｜A*｜，故｜A｜3＝－8，即｜A｜＝－2，所以A的特征值为因而A－E的特征值为μ1＝－2－1＝－3，μ2＝2－1＝1，μ3＝－1－1＝－2，μ4＝－1／2－1＝－3／2，故｜A－E｜＝μ1.μ2.μ3.μ4＝－9≠0，所以A－E可逆．解二由A的特征值易求得其他矩阵2A＋E，A＋2E，A－2E的特征值分别都含有零特征值，因而其行列式等于0，它们均不可逆．仅(A)入选．7．已知随机变量(X，Y) 的联合密度函数为则t的二次方程t2一2Xt＋Y ＝0有实根的概率为( )．A．eB．e－1C．e－2D．e2正确答案：B解析：先找出有实根的X与Y所满足的条件，再在此条件范围内求出其概率．因二次方程t2一2Xt＋Y＝0有实根的充要条件为4X2一4Y≥0，即X2≥Y，如下图所示，故所求概率为8．设X1，X2，…，Xn，…是相互独立的随机变量序列，Xn服从参数为n(n＝1，2，…)的指数分布，则下列不服从切比雪夫大数定律的随机变量序列是( )．A．X1，X2，…，Xn，…B．X1，22X2，…，n2Xn，…C．X1，X2／2，…，Xn／n，…D．X1，2X2，…，nXn，…正确答案：B解析：根据切比雪夫大数定律所要求的条件判别．切比雪夫大数定律要求三个条件：首先是要求X1，X2，…，Xn相互独立；其次是要求Xn(n＝1，2，…)的期望和方差都存在；最后还要求方差一致有界，即对任何正整数n，D(Xn)＜L，其中L是与n无关的一个常数．题中四个随机变量序列显然全满足前两个条件，由于对于(A)，有对于(B)，有E(n2Xn)＝n2E(Xn)＝n2.＝n，D(n2Xn)＝n4D(Xn)＝n4.＝n2；对于(C)，有对于(D)，有E(nXn)＝nE(Xn)＝n.＝1，D(nXn)＝n2D(Xn)＝n2.＝1．显然(B)序列的方差D(n2Xn)不能对所有n均小于一个共同常数，因此不满足切比雪夫大数定律．综上分析，仅(B)入选．填空题9．若函数y＝[f(x2)，其中f为可微的正值函数，则dy＝_________．正确答案：解析：y为幂指函数，为求其导数，可先用取对数法或换底法处理，再用复合函数求导法则求之．因为y＝，于是故dy＝y′dx＝[2f′(x2)(f(x2)lnf(x2))]dx．10．＝_________．正确答案：arctane—π／4解析：分母提取因子n，再使用定积分定义求之．原式＝＝arctanex＝arctane—π／4．11．e－y2dy＝___________．正确答案：解析：直接先求内层积分无法求出．可变更积分次序，再用Γ函数计算较简；也可用分部积分法求之．解—解二12．差分方程yx＋1一的通解是___________．正确答案：解析：先求对应的齐次差分方程的通解，再求特解．齐次差分方程yx＋1－yx＝0的特征方程为λ－＝0，解得特征根λ＝，故齐次差分方程的通解为C()x 因a＝(特征根不等于底数)，故其特解为，代入原方程得A＝．故所求通解为13．设随机变量X和Y的联合概率分布为则X和Y的协方差cov(X，Y)＝_________．正确答案：0．056解析：由定义或同一表格法分别求出X，Y与XY的分布，再求其期望．解一由表易知因此E(X)＝0×0．40＋1×0．60＝0．60，E(Y)＝(一1)×0．18＋0×0．50＋1×0．32＝0．14．E(XY)＝(－1)×0．08＋0×0．70＋1×0．22＝0．14．从而cov(X，Y)＝E(XY)－E(X)E(Y)＝0．056．解二用同一表格法求之．为此将所给的联合分布改写成下表，并在同一表格中求出X，Y及XY的分布．故下同解一．14．设X1，X2，…，Xn是取自正态总体N(0，σ2)(σ＞0)的简单随机样本，Xi(1≤k≤n)，则cov()＝___________．正确答案：解析：利用协方差的有关性质，特别是线性性质求之．由于Xi，Xj(i≠j)独立，cov(Xi，Xj)＝0，又cov(Xi，Xj)＝D(Xi)＝σ2，则解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一(无穷级数)模拟试卷3(题后含答案及解析)

考研数学一（无穷级数）模拟试卷3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．级数( )A．收敛B．发散C．条件收敛D．绝对收敛正确答案：C解析：知识模块：无穷级数2．当｜x｜＜1时，级数的和函数是( )A．ln(1-x)B．C．ln(x-1)D．--ln(x一1)正确答案：B解析：知识模块：无穷级数3．函数展成余弦级数时，应对f(x)进行( )A．周期为2l的延拓B．偶延拓C．周期为l的延拓D．奇延拓正确答案：B解析：当f(x)在[-l，l]上为偶函数，且满足收敛定理的条件时，则f(x)可在[一l，l]上的连续区间上展开成余弦级数，故对[0，l]上的f(x)要进行偶延拓．知识模块：无穷级数4．函数项级数的收敛域为( )A．(-1，1)B．(-1，0)C．[一1，0]D．[一1，0)正确答案：D解析：知识模块：无穷级数5．设f(x)=x2(0＜x＜1)，而其中bn=( )A．B．C．D．正确答案：A解析：由表达式可知，bn是将f(x)进行奇延拓后的函数按周期为2展开的傅里叶系数，S(x)是其相应的傅里叶级数的和函数，将f(x)进行周期为2的奇延拓得F(x)，S(x)为F(x)的傅里叶级数的和函数．因处F(x)连续，故由狄利克雷定理可知知识模块：无穷级数6．已知级数(1)和级数(2)则( )A．级数(1)收敛，级数(2)发散B．级数(1)发散，级数(2)收敛C．两级数都收敛D．两级数都发散正确答案：D解析：设则{u2n}为单调增数列，故≠0，从而级数(1)发散，由级数发散的定义可知，级数(2)一般项极限不为零，故发散．知识模块：无穷级数7．当级数( )A．一定条件收敛B．一定绝对收敛C．一定发散D．可能收敛，也可能发散正确答案：B解析：因级数都为正项级数，且收敛，又由比较审敛法绝对收敛．知识模块：无穷级数8．级数( )A．绝对收敛B．条件收敛C．发散D．敛散性与a有关正确答案：D解析：当a=0时，为交错级数，当n＞3时满足莱布尼茨定理，所以收敛．当a=1时，的一般项不趋于零，发散，所以，敛散性与a有关．知识模块：无穷级数9．若正项级数发散，则( )A．必收敛B．必发散C．必收敛D．必发散正确答案：C解析：级数存在N，当n＞N时，an2≤an，由比较审敛法，必收敛．知识模块：无穷级数10．设数列{an}单调减少，无界，则幂级数的收敛域为( )A．(-1，1]B．[一1，1)C．[0，2)D．(0，2]正确答案：C解析：本题主要考查交错级数的莱布尼茨判别法和幂级数的收敛区间、收敛域的概念，是一道综合了多个知识点的考题．因数列{an}单调减少，,故根据莱布尼茨判别法知，交错级数收敛，即幂级数在x=0处条件收敛；又在x=2处发散；综上，幂级数的收敛域为[0，2)，故答案应选C．知识模块：无穷级数11．设un≠0(n=1，2，…)，且( )A．发散B．绝对收敛C．条件收敛D．敛散性由所给条件无法确定正确答案：C解析：由所考查级数为交错级数，但不能保证的单调性，不满足莱布尼茨定理的条件，于是按定义考查部分和知识模块：无穷级数填空题12．若将在[0，2]上展开成正弦级数，则该级数的和函数S(x)为________．正确答案：解析：根据狄利克雷收敛定理(需进行奇延拓)，知识模块：无穷级数13．设的敛散性为_______．正确答案：发散解析：知识模块：无穷级数14．正项级数收敛的充分必要条件为其部分和数列{Sn}____________．正确答案：有界(或有上界)解析：级数收敛等价于{Sn}收敛．对于正项级数为单调递增数列．由数列极限存在准则与数列收敛的必要条件可知，单调递增数列{Sn}收敛等价于{Sn}有界(或有上界)．知识模块：无穷级数15．幂级数的收敛域为________．正确答案：[一1，1]解析：知识模块：无穷级数16．ex展开成x-3的幂级数为__________．正确答案：解析：e=e3+(x-3)=e3.e-3，因知识模块：无穷级数17．设则其以2π为周期的傅里叶级数在x=±π处收敛于______．正确答案：解析：由狄利克雷收敛定理及f(x)的周期性可知，不管f(x)在x=±π处是连续还是间断，其傅里叶级数的和S(±π)都可用统一表示．因f(π)-=一5，f(一π+)=｜x=-x=π2故知识模块：无穷级数18．级数当________时绝对收敛；当________时条件收敛；当________时发散．正确答案：p＞1；0＜p≤1；p≤0解析：知识模块：无穷级数19．若在x=一3处为条件收敛，则其收敛半径R=________．正确答案：3解析：因在x=一3收敛，故由阿贝尔定理，｜x｜＜3时，绝对收敛．又因在x=一3条件收敛，故｜x｜＞3时，发散．如若不然，必存在x1，使｜x1｜＞3且有在x=x1处收敛．由阿贝尔定理便可推出｜x｜＜｜x1｜时，特别是x=一3时绝对收敛．这与题设在x=一3处条件收敛相矛盾．综上，由收敛半径的定义便有R=3．知识模块：无穷级数20．幂级数在收敛域(一1，1)内的和函数S(x)为__________．正确答案：解析：知识模块：无穷级数21．函数在[-π，π]上展开傅里叶级数则an=_________，bn=________，和函数S(x)=_________．正确答案：解析：f(x)在[一π，π]上满足狄利克雷收敛定理条件，进行周期延拓得F(x)，有F(x)≡f(x)，x∈[-π，π]．由收敛定理可知：知识模块：无穷级数22．设则其以2π为周期的傅里叶级数在点x=π处收敛于_______．正确答案：解析：知识模块：无穷级数23．设f(x)在区间[一π，π]上连续且满足f(x+π)=一f(x)，则f(x)的傅里叶系数a2n=_________.正确答案：0解析：知识模块：无穷级数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

考研数学三（无穷级数）模拟试卷1(题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设pn=(an+丨an丨）/2，qn=(an-丨an丨）/2，n=1,2,…,则下列命题正确的是
A．若an条件收敛，则pn与qn都收敛
B．若an绝对收敛，则pn与qn都收敛
C．若an条件收敛，则pn与qn的敛散性都不定
D．若an绝对收敛，则pn与qn的敛散性都不定
正确答案：B 涉及知识点：无穷级数
2．设一下命题：①若(u2n-1+u2n)收敛，则un收敛.②若un收敛，则un+1000收敛.③若un+1/un＞1，则un发散.④若(un+vn)收敛，则un，vn都收敛.则以上命题中正确的是
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
正确答案：B 涉及知识点：无穷级数
3．设an＞0，n=1,2,…,若an发散，（-1）n-1an收敛，则下列结论正确的是A．a2n-1收敛，a2n发散.
B．a2n收敛，a2n-1发散.
C．(a2n-1+a2n)收敛.
D．(a2n-1-a2n)收敛.
正确答案：D 涉及知识点：无穷级数
4．若an收敛，则级数
A．丨an丨收敛
B．（-1）nan收敛
C．anan+1收敛
D．(an+an+1)/2收敛
正确答案：D 涉及知识点：无穷级数
5．设{un}是数列，则下列命题正确的是
A．若un收敛，则（u2n-1+u2n）收敛.
B．若(u2n-1+u2n)收敛，则un收敛.
C．若un收敛，则(u2n-1-u2n)收敛.
D．若(u2n-1-u2n)收敛，则un收敛.
正确答案：A 涉及知识点：无穷级数
6．已知级数据对收敛，级数条件收敛，则
A．0＜a≤1/2
B．1/2＜a≤1
C．1＜a≤3/2
D．3/2＜a＜2
正确答案：D 涉及知识点：无穷级数
7．下列各项正确的是
A．
B．
C．
D．
正确答案：A 涉及知识点：无穷级数
8．设un=（-1）2ln，则级数
A．
B．
C．
D．
正确答案：C 涉及知识点：无穷级数
9．设an＞0（n=1，2，…，且an收敛，常数λ∈（0，π/2),则级数（-1）n(ntanλ/n)a2n
A．绝对收敛
B．条件收敛
C．发散
D．敛散性与λ有关
正确答案：A 涉及知识点：无穷级数
10．设un≠0（n=1,2，…），且
A．发散
B．绝对收敛
C．条件收敛
D．收敛性根据所给的条件不能判定
正确答案：C 涉及知识点：无穷级数
11．的收敛半径为
A．5
B．4
C．3
D．2
正确答案：A 涉及知识点：无穷级数
12．设幂级数anxn的收敛半径为3，则幂级数nan(x-1)n+1的收敛区间是A．(-2,4）
B．(-2,5）
C．(-2,3）
D．(-2,1）
正确答案：A 涉及知识点：无穷级数
13．设β，α1，α2线性相关，β，α2，α3线性无关，则( )．
A．α1，α2，α3线性相关
B．α1，α2，α3线性无关
C．α1可用β，α2，α3线性表示
D．β可用α1,α2线性表示
正确答案：C 涉及知识点：无穷级数
填空题
14．已知幂级数an(x+2)n在x=0处收敛，在x=-4处发散，则幂级数an(x-3)n 的收敛域为______.
正确答案：(1,5] 涉及知识点：无穷级数
15．设{an}单调减少，an=0，Sn=ak(n=1,2,…)无界，则幂级数an（x-1)n的收敛域为_______.
正确答案：[0,2) 涉及知识点：无穷级数
16．已知二次型f(x1，x2，x3)=x12+ax22+x32+2x1x2-2ax1x3-2x2x3的正、负惯性指数都是1，则a=_________．
正确答案：-2 涉及知识点：无穷级数
17．设向量组α1，α2，α3线性无关，问常数a，b，c满足什么条件时，aα1-α2，bα2-α3，cα3-α1线性相关?
正确答案：abc=1．涉及知识点：无穷级数
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．已知f(x)满足f’n(x)=fn(x)+xn-1ex(n为正整数)，且fn(1)=e/n，求函数项级数fn(x)之和．
正确答案：由已知条件可知fn(x)满足f’n(x)-fn(x)=xn-1ex其通解为fn(x)=ex （xn/n+C）.由条件f1(x)=e/n,可确定常数C=0，故fn(x)=ex（xn/n+C）.从而涉及知识点：无穷级数
19．求幂级数的和函数f(x)及其极值。

正确答案：涉及知识点：无穷级数
20．求幂级数x2n在区间（-1,1）内的和函数S（x）.
正确答案：涉及知识点：无穷级数
21．设银行存款的年利率为r=0．05，并依年复利计算．某基金会希望通过存款A万元实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取(10+9n)万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元?
正确答案：涉及知识点：无穷级数
22．幂级数xn的收敛半径为_________.
正确答案：1/e 涉及知识点：无穷级数
23．幂级数x2n-1的收敛半径为_________.
正确答案：涉及知识点：无穷级数
24．求幂级数xn/n的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性.
正确答案：时，愿幂级数收敛. 涉及知识点：无穷级数
25．求幂级数x2n的收敛域和函数.
正确答案：涉及知识点：无穷级数
26．将函数f(x)=x/(2+x-x2)展开成x的幂级数.
正确答案：涉及知识点：无穷级数
27．将函数y=ln(1-x-2x2)展开成x的幂级数，并指出其收敛区间.
正确答案：1-x-2x2=(1-2x)(1+x)可知，ln(1-x-2x2)=ln(1+x)+ln(1-2x) 涉及知识点：无穷级数
28．将函数f(x)=1/(x2-3x-4)展开成x-1的幂级数，并指出其收敛区间.
正确答案：涉及知识点：无穷级数
29．
正确答案：涉及知识点：无穷级数
30．有k个坛子，每一个装有n个球，分别编号为1至n，今从每个坛子中任取一球，求m是所取的球中的最大编号的概率．
正确答案：每次取球编号有n种可能，k次取球共有nk种可能，而“取得号码不超过m”的可能取法有mk，类似地，“取得号码不超过m-1”的可能取法有(m-1)k，故“m为最大号码”的取法有mk- (m-1)k种，则P(m为最大号码)=[mk-(m-1)k]/nk．涉及知识点：无穷级数
31．已知P(A)=0．4，P(B)=0．25，P(A-B)=0．25，求P(AB)，P(A∪B)，P(B-A)
正确答案：利用概率性质P(A-B)=P(A)-P(AB)，有P(AB)=P(A)-P(A-B)=0．4-0．25=0．15；根据加法公式，得P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0．4+0．25-0．15=0．5；根据减法公式，有P(B-A)=P(B)-P(AB)=0．25-0．15=0．1；涉及知识点：无穷级数32．将13个分别写有A、A、A、C、E、H、I、I、M、M、N、T、T的卡片随意地排成一行，求恰好排单词“MATHEMATICIAN”的概率．
正确答案：P(13个卡片排成单词“MATHEMATICIAN”)=(3!×1×1×1×2!×2!×1×2!)/13!=48/13!．涉及知识点：无穷级数
33．一个均匀的四面体，其第一面染红色，第二面染白色，第三面染黑色，而第四面染红、白、黑三种颜色，以A、B、C分别记投掷一次四面体，底面出现红、白、黑的三个事件，判断A、B、C是否两两独立，是否相互独立．
正确答案：根据题意，有P(A)=P(B)=P(C)=1/2，P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/4，P(ABC)=1/4，因此P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，A，B，C两两独立，而P(ABC)=1/4≠1/8=P(A)P(B)P(C)，故A，B，C不相互独立．涉及知识点：无穷级数
34．设α1，α2，…,αr，β都是n维向量，β可由α1，α2，…,αr线性表示，但β不能由α1，α2，…,αr-1线性表示，证明：αr可由α1，α2，…,αr-1，β线性表示．
正确答案：因为β可由α1，α2，…,αr线性表示，设β=k1α1+k2α2+…+kr-1αr-1+krαr，又因为β不能由α1，α2，…,αr-1线性表示，所以kr ≠0，故αr=(1/kr)(p - k1α1-k2α2-…-kr-1αr-1)，即αr可由α1，α2，…,αr-1，β线性表示．涉及知识点：无穷级数。