解析几何 第四版 课后答案

（4） a,b 反向时有 a − b = a + b ;
（5） a,b 同向，且 a ≥ b 时有 a − b = a − b.
2. 设 L、M、N 分别是ΔABC 的三边 BC、CA、AB 的中点，证明：三中线矢量 AL , BM , CN 可 以构成一个三角形.
[证明]：
∵ AL = 1 ( AB + AC) 2
(λ－2)( OA1 + OA2 +…+ OAn )＝ 0 . λ≠2, 即 λ－2≠0.
所以
OA1 + OA2 +…+ OAn ＝ 0 .
§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解
1. 设一直线上三点 A, B, P 满足 AP ＝λ PB (λ≠－1),O 是空间任意一点，求证：
OP ＝ OA + λOB 1+ λ
(2) AE 、 CG ;
(3) AC 、 EG ; (4) AD 、 GF ;
(5) BE 、 CH . [解]：相等的矢量对是
图 1—3
（2）、（3）和（5）；
互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。
§1.3 数量乘矢量
1.要使下列各式成立，矢量 a,b 应满足什么条件？ （1） a + b = a − b ; （2） a + b = a + b ;
BM = 1 (BA + BC) 2
CN = 1 (CA + CB) 2
∴ AL + BM + CN = 1 ( AB + AC + BA + BC + CA + CB) = 0 2
从而三中线矢量 AL, BM ,CN 构成一个三角形。
3. 设 L、M、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明
第 1 章 矢量与坐标
§1.1 矢量的概念
1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？
（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；
（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；
（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；
（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.
[解]：（1）单位球面； （2）单位圆
（3）直线；
（4）相距为 2 的两点
2. 设点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，
A
F
在矢量 OA 、 OB 、 OC 、 OD 、 OE 、
OF 、 AB 、 BC 、 CD 、 DE 、 EF
B
O
D
和 FA 中，哪些矢量是相等的？
E
[解]：如图 1-1，在正六边形 ABCDEF 中， 相等的矢量对是：
[证明]：如图 1-7，因为
AP ＝ OP － OA ,
PB ＝ OB － OP ,
所以 OP － OA ＝λ ( OB － OP ),
(1+λ) OP ＝ OA +λ OB ,
图 1-7
从而
OP ＝ OA + λOB . 1+ λ
2. 在△ABC 中，设 AB ＝ e1 ， AC ＝ e2 ，AT 是角 A 的平
由上题结论知： AL + BM + CN = 0
∴OA + OB + OC = OL + OM + ON
4. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分. [证明]：如图 1-4，在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线 AC，BD 的交点
∵ AD = OD − OA
BC = OC − OB
但 AD = BC
∴OD − OA = OC − OB
图 1-4
OA + OC = OD + OB
由于 (OA + OC) ∥ AC, (OB + OD) ∥ BD, 而 AC 不平行于 BD ，
∴ OA + OC = OD + OB = 0 ，
从而 OA=OC，OB=OD。 5. 如图 1-5，设 M 是平行四边形 ABCD 的中心，O 是任意一点，证明
（3） a + b = a − b ; （4） a − b = a + b ;
（5） a − b = a − b.
[解]：（1） a,b 所在的直线垂直时有 a + b = a − b ；
（2） a,b 同向时有 a + b = a + b ;
பைடு நூலகம்
（3） a ≥ b , 且 a,b 反向时有 a + b = a − b ;
OA + OB + OC = OL + OM + ON . [证明] ∵OA = OL + LA
OB = OM + MB OC = ON + NC ∴OA + OB + OC = OL + OM + ON + (LA + MB + NC)
= OL + OM + ON − ( AL + BM + CN )
分线（它与 BC 交于 T 点），试将 AT 分解为 e1 , e2 的线性 组合.
[解]：因为 | BT | ＝ | e1 | , | TC | | e1 |
且 BT 与 TC 方向相同， 所以 BT ＝ | e1 | TC .
[证明]：因为
OA1 + OA2 +…+ OAn ＝ 0 .
OA1 ＋ OA3 ＝λ OA2 ,
OA2 ＋ OA4 ＝λ OA3 , ……
所以
所以 显然
OAn−1 + OA1 ＝λ OAn , OAn ＋ OA2 ＝λ OA1 , 2( OA1 + OA2 +…+ OAn ) ＝λ( OA1 + OA2 +…+ OAn ),
中，NM 1 AC. NM 与 AC 方向相同，从而 2
KL＝NM 且 KL 与 NM 方向相同，所以 KL ＝ NM .
1 AC. KL 与 AC 方向相同；在ΔDAC 2
4. 如图 1-3，设 ABCD-EFGH 是一个平行六面 体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互 为相反矢量的矢量：
(1) AB 、 CD ;
OA + OB + OC + OD ＝4 OM .
[证明]：因为 OM ＝ 1 ( OA + OC ), OM ＝ 2 1 ( OB + OD ), 2
所以
2 OM ＝
1 ( OA + OB + OC + OD ) 2
所以 OA + OB + OC + OD ＝4 OM .
图 1-5
6. 设点 O 是平面上正多边形 A1A2…An 的中心，证明:
E
C
图 1-1
OA和EF；OB和FA；OC和AB；OE和CD；OF和DE.
3. 设在平面上给了一个四边形 ABCD，点 K、L、M、N 分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、
ＤＡ的中点，求证： KL ＝ NM . 当 ABCD 是空间四边形时，这等式是否也成立？
[证明]：如图 1-2，连结 AC, 则在ΔBAC 中， KL