排列组合和概率范例
概率问题的组合与排列计算
概率问题的组合与排列计算概率问题是数学领域中的一个重要分支，它主要研究随机事件的发生可能性。
在概率问题中，组合与排列计算是常用的方法之一，用于确定事件的发生次数或可能性。
本文将探讨组合与排列计算在概率问题中的应用与原理。
一、组合计算组合是指从给定集合中选择若干个元素，按照一定规则进行组合，而不考虑元素的顺序。
在概率问题中，组合计算常用于确定事件的可能性。
下面以一个例子来说明如何进行组合计算。
假设有一组数字：1、2、3、4、5，现需从中选择2个数字组成一个集合。
为了确定所有可能的组合情况，可以使用组合计算公式。
组合计算公式为：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)，其中n为总共的元素个数，k为需要选择的元素个数，！表示阶乘。
根据上述公式，假设选择2个数字，即k=2，总共有5个数字可供选择，即n=5。
带入公式计算，可得C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 10。
因此，从1、2、3、4、5这组数字中选择2个数字共有10种可能的组合情况。
这些组合分别是：(1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(1, 5)，(2, 3)，(2,4)，(2, 5)，(3, 4)，(3, 5)和(4, 5)。
二、排列计算排列是指从给定集合中选择若干个元素，并按照一定的顺序进行排列。
与组合不同，排列计算中要考虑元素的顺序。
在概率问题中，排列计算常用于确定事件的发生次数。
下面以一个例子来说明如何进行排列计算。
假设有一组字母：A、B、C、D，现需从中选择3个字母进行排列。
为了确定所有可能的排列情况，可以使用排列计算公式。
排列计算公式为：P(n, k) = n! / (n-k)!，其中n为总共的元素个数，k为需要选择的元素个数，！表示阶乘。
根据上述公式，假设选择3个字母，即k=3，总共有4个字母可供选择，即n=4。
带入公式计算，可得P(4, 3) = 4! / (4-3)! = 24。
因此，从A、B、C、D这组字母中选择3个字母进行排列共有24种可能的排列情况。
15排列组合二项式定理和概率
排列组合二项式定理和概率Ⅰ、随机事件的概率例1 某商业银行为储户提供的密码有0，1，2，…，9中的6个数字组成.(1)某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？(2)某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的密码的概率是多少？解 （1）储蓄卡上的数字是可以重复的，每一个6位密码上的每一个数字都有0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为6101，随意按下6个数字相当于随意按下610个，随意按下6个数字相当于随意按下610个密码之一，其概率是6101. (2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前5个正确的前提下，随意按下一个数字，等可能性的结果为0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为101. 例2 一个口袋内有m 个白球和n 个黑球，从中任取3个球，这3个球恰好是2白1黑的概率是多少？（用组合数表示）解 设事件I 是“从m 个白球和n 个黑球中任选3个球”，要对应集合I 1，事件A 是“从m个白球中任选2个球，从n 个黑球中任选一个球”，本题是等可能性事件问题，且Card(I 1)= 123)(,n m n m C C A Card C ⋅=+，于是P(A)=3121)()(nm n m C C C I Card A Card +⋅=. Ⅱ、互斥事件有一个发生的概率例3在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求：（1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率.解 （1）从20件产品中任取3件的取法有320C ，其中恰有1件次品的取法为15215C C 。
∴ 恰有一件次品的概率P=763532015215=C C C . (2)法一 从20件产品中任取3件，其中恰有1件次品为事件A 1,恰有2件次品为事件A 2，3件全是次品为事件A 3,则它们的概率P(A 1)= 32015215C C C =228105,2282)(320115252==C C C A P ,2282)(320353==C C A P , 而事件A 1、A 2、A 3彼此互斥，因此3件中至少有1件次品的概率P(A 1+A 2+A 3)=P(A 1)+P(A 2)+P(A 3)= 228137. 法二 记从20件产品中任取3件，3件全是正品为事件A ，那么任取3件，至少有1件次品为A ，根据对立事件的概率加法公式P(A )=2281371)(1320315=-=-C C A P 例4 1副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块4种花色，每种13张，共52张，从1副洗好的牌中任取4张，求4张中至少有3张黑桃的概率.解 从52张牌中任取4张，有452C 种取法.“4张中至少有3张黑桃”，可分为“恰有3张黑桃”和“4张全是黑桃”，共有413139313C C C +⋅种取法452413139313C C C C +⋅∴ 注 研究至少情况时，分类要清楚。
高中数学中的排列组合与概率统计
高中数学中的排列组合与概率统计高中数学是我们学习的重要学科之一，其中排列组合与概率统计是数学中的两个重要概念。
它们在数学中的应用广泛，不仅帮助我们解决实际问题，还培养了我们的逻辑思维和分析能力。
一、排列组合排列组合是数学中的一种方法，用于计算一组对象的不同排列或组合的数量。
在排列中，对象的顺序是重要的，而在组合中，对象的顺序是不重要的。
排列的计算方法可以通过以下例子来理解。
假设有3个球，分别是红球、蓝球和绿球，现在要将这3个球放在一个篮子里。
那么，一共有多少种不同的排列方式呢？首先，我们可以将红球放在篮子的第一个位置，然后将蓝球放在第二个位置，最后将绿球放在第三个位置。
这样的排列方式是一种情况。
同样的，我们可以将红球放在第一个位置，绿球放在第二个位置，蓝球放在第三个位置，这样的排列方式也是一种情况。
根据这个思路，我们可以得出结论，一共有3个球，所以一共有3!（3的阶乘）种不同的排列方式。
组合的计算方法则是通过以下例子来理解。
假设有5个人，我们要从中选出3个人组成一个小组。
那么，一共有多少种不同的组合方式呢？首先，我们可以从5个人中选出一个人作为小组的第一个成员，然后从剩下的4个人中选出一个人作为第二个成员，最后从剩下的3个人中选出一个人作为第三个成员。
这样的组合方式是一种情况。
同样的，我们可以从5个人中选出一个人作为第一个成员，从剩下的4个人中选出一个人作为第二个成员，从剩下的3个人中选出一个人作为第三个成员，这样的组合方式也是一种情况。
根据这个思路，我们可以得出结论，一共有5个人，我们要选出3个人，所以一共有5C3（5的组合数）种不同的组合方式。
二、概率统计概率统计是研究随机事件发生的可能性的一门学科。
它可以帮助我们预测事件发生的概率，并根据概率进行决策和分析。
概率的计算方法可以通过以下例子来理解。
假设有一个装有10个红球和10个蓝球的箱子，现在我们从中随机抽取一个球。
那么，抽到红球的概率是多少呢？首先，我们可以计算出总共有20个球，其中10个是红球。
概率计算与事件的排列组合
概率计算与事件的排列组合在我们的日常生活中，很多情况都涉及到概率计算和事件的排列组合。
这两个概念看似抽象，但实际上与我们的生活息息相关。
从抽奖活动中的中奖概率，到体育比赛中的胜负预测，甚至是我们在超市挑选商品时的选择，都离不开概率和排列组合的知识。
让我们先来理解一下什么是概率。
简单地说，概率就是某个事件发生的可能性大小。
比如说，抛一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是1/2，因为硬币只有正反两面，而且两面出现的可能性相同。
如果我们把一个骰子掷一次，得到 6 点的概率就是 1/6，因为骰子有 6 个面，每个面出现的机会均等。
概率的计算通常基于两个基本原理：古典概型和几何概型。
古典概型适用于所有可能结果有限且等可能的情况。
比如从一副扑克牌中随机抽取一张牌是红桃的概率，就可以用古典概型来计算。
而几何概型则适用于所有可能结果无限但具有某种等可能性的情况，比如在一个圆形靶子上射击命中某个区域的概率。
那么，事件的排列组合又是什么呢？排列是指从给定的元素中取出一些元素进行有序的排列，而组合则是指从给定的元素中取出一些元素进行无序的组合。
比如说，从 5 个不同的球中取出 3 个进行排列，那么排列的方式有5×4×3 ＝ 60 种。
但如果是取出 3 个进行组合，那么组合的方式就只有10 种。
这是因为在组合中，不考虑元素的顺序，比如取出球 A、B、C 和取出球 B、A、C 被视为同一种组合。
在实际应用中，排列组合常常用于计算不同情况下的可能性数量。
比如，在安排座位时，考虑人员的不同顺序就是排列问题；而在选择团队成员时，不考虑成员的顺序就是组合问题。
再举个例子，假设一个班级有 10 名学生，要选出 3 名学生参加比赛。
那么选法的总数就是组合数，即 C(10, 3) ＝ 120 种。
但如果要给这3 名学生分别安排一、二、三等奖，那么就是排列问题，排法总数为A(10, 3) ＝ 720 种。
概率计算和事件的排列组合之间有着密切的联系。
排列组合概率
排列、组合、概率板块一：排列组合综合【例1】从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：⑴能组成多少个没有重复数字的七位数？其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？⑵上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？⑶⑴中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？⑷⑴其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？【例2】用0到9这九个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？【例3】将4个小球任意放入3个不同的盒子中，⑴若4个小球各不相同，共有多少种放法？⑵若要求每个盒子都不空，且4个小球完全相同，共有多少种不同的放法？⑶若要求每个盒子都不空，且4个小球互不相同，共有多少种不同的放法？【例4】将7个小球任意放入4个不同的盒子中，每个盒子都不空，⑴若7个小球完全相同，共有多少种不同的放法？⑵若7个小球互不相同，共有多少种不同的放法？【例5】将7个完全相同的小球任意放入4个不同的盒子中，共有多少种不同的放法？【例6】设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内，⑴只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？⑵没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？⑶每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？【例7】给定数字0、1、2、3、5、9，每个数字最多用一次，⑴可能组成多少个四位数？⑵可能组成多少个四位奇数？⑶可能组成多少个四位偶数？⑷可能组成多少个自然数？【例8】在由数字12345，，，，组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（）个A．56个B．57个C．58个D．60个【例9】设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内，⑴只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？⑵没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？⑶每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？板块二：随机事件的概率【例10】现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为___ ．【例11】有4个红球，3个黄球，3个白球装在袋中，小球的形状、大小相同，从中任取两个小球，求取出两个同色球的概率是多少？【例12】甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球．由甲，乙两袋中各任取2个球．⑴若3n ，求取到的4个球全是红球的概率；⑵若取到的4个球中至少有2个红球的概率为34，求n．【例13】考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）A．175B．275C．375D．475【例14】在袋中装20个小球，其中彩球有n个红色、5个蓝色、10个黄色的，其余为白球．求：⑴如果从袋中取出3个都是相同颜色彩球（无白色）的概率是13114，且2≥n，那么，袋中的红球共有几个？⑵根据⑴的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率．【例15】袋中装有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：⑴3只全是红球的概率，⑵3只颜色全相同的概率，⑶3只颜色不全相同的概率，⑷3只颜色全不相同的概率．【例16】袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率．⑴摸出2个或3个白球；⑵至少摸出一个黑球．板块三：古典概型【例17】某城市开展体育彩票有奖销售活动，号码从000001到999999，购买时揭号对奖，若规定从个位起，第一、三、五位是不同的奇数，第二、四、六位均为偶数（可以相同）时为中奖号码，求中奖面所占的百分比．【例18】在900张奖券（奖券号是100999）的三位自然数中抽一张奖券，若中奖的号码是仅有两个数字的相同的奖券，求中奖面是多少？【例19】⑴停车场有10个排成一排的车位，当有7辆车随意停放好后，恰好剩下三个空位连在一起的概率为_______；⑵6个人坐到9个座位的一排位置上，则3个空位互不相邻的概率为．【例20】记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）A．1440种B．960种C．720种D．480种【例21】 （2008安徽）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）A ．2283C AB ．2686C A C ．2286C AD ．2285C A【例22】4张卡片上分别写有数字1234，，，，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．34【例23】 某班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2名学生去参加校数学竞赛，求：⑴恰有一名参赛学生是男生的概率；⑵至少有一名参赛学生是男生的概率；⑶至多有一名参赛学生是男生的概率．【例24】 将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2人，不同的分组数为a ，甲、乙分到同一组的概率为p ，则a p ，的值分别为（ ）（A ）510521a p ==， （B ）410521a p ==， （C ）521021a p ==， （D ）421021a p ==，练习题习题1.从02468，，，，这五个数字中任取2个偶数，从13579，，，，这五个数字中任取1个奇数，组成没有重复数字的三位数，求其中恰好能被5整除的概率．习题2.某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为．（结果用分数表示）习题3.⑴甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙后面值班的概率是（）A．16B．14C．13D．12⑵任意写一个无重复数字的三位数，其中十位上的数字最小的概率是（）A．1027B．13C．16D．754习题4.若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是（结果用最简分数表示）．习题5某电视台连续播放5个不同的广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且两个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（）A．120种B．48种C．36种D．18种习题62007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对6列电煤货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组．如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有（）A．36种B．108种C．216种D．432种习题7若将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为．。
概率计算与事件的排列组合
概率计算与事件的排列组合在我们的日常生活和各种科学领域中，概率计算与事件的排列组合是非常重要的概念和工具。
它们帮助我们理解和预测各种不确定的现象，从抽奖的中奖机会到遗传基因的组合，从复杂的数据分析到简单的游戏策略。
首先，让我们来了解一下什么是概率。
概率简单来说，就是某一事件发生的可能性大小。
它的值在 0 到 1 之间，0 表示不可能发生，1 表示必然发生。
比如说，抛一枚均匀的硬币，正面朝上的概率就是 05，因为硬币只有正反两面，且两面出现的可能性相同。
那么，如何计算概率呢？通常情况下，我们用某一事件发生的可能结果数除以所有可能的结果数。
举个例子，从一副 52 张的扑克牌中随机抽取一张红桃牌，因为一副牌中有 13 张红桃，总共有 52 张牌，所以抽到红桃牌的概率就是 13÷52 ＝ 025。
接下来，我们谈谈事件的排列组合。
排列是指从给定的元素中按照一定的顺序选取若干个元素的方式。
比如说，从 A、B、C 三个字母中选取两个进行排列，有 AB、BA、AC、CA、BC、CB 这六种情况。
而组合则不考虑顺序，同样从 A、B、C 三个字母中选取两个的组合，只有 AB、AC、BC 这三种情况。
在实际应用中，排列组合的计算有专门的公式。
排列的公式是：A(n, m) ＝ n! ／（n m)！，其中 n 表示总数，m 表示选取的个数。
组合的公式是：C(n, m) ＝ n! ／ m!（n m)！。
比如说，从 5 个人中选取 3 个人排成一排，那么排列数就是 A(5, 3) ＝ 5! ／（5 3)！＝ 60 种。
如果是从 5 个人中选取 3 个人组成一组，不考虑顺序，那么组合数就是 C(5, 3) ＝ 5! ／ 3!（5 3)！＝ 10 种。
概率计算与事件的排列组合常常是相互关联的。
例如，在抽奖活动中，假设总共有 1000 个号码参与抽奖，只有 10 个号码能中奖。
那么每个人中奖的概率就是 10÷1000 ＝ 001。
概率与排列组合问题的求解思路
概率与排列组合问题的求解思路概率与排列组合是初中数学中的重要内容，也是中学生常常遇到的难点。
在解决这类问题时，我们需要掌握一些基本的思路和方法。
本文将通过具体的例子，详细介绍概率与排列组合问题的求解思路，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这些知识。
一、概率问题的求解思路概率问题是我们在日常生活中经常遇到的，比如抛硬币、掷骰子等。
在解决概率问题时，我们需要明确事件的总数和有利事件的总数，从而计算出概率。
举个例子，假设有一个装有10个红球和5个蓝球的袋子，从中随机取出一个球。
求取到红球的概率。
解题思路：1. 确定事件的总数：袋子中共有15个球，所以事件的总数为15。
2. 确定有利事件的总数：袋子中有10个红球，所以有利事件的总数为10。
3. 计算概率：概率等于有利事件的总数除以事件的总数，即10/15=2/3。
通过上述例子，我们可以看到解决概率问题的关键在于确定事件的总数和有利事件的总数，并进行相应的计算。
二、排列组合问题的求解思路排列组合问题是数学中的经典问题，涉及到对一组元素进行排列或组合的方式。
在解决排列组合问题时，我们需要根据问题的具体要求，选择合适的方法进行求解。
举个例子，假设有5个人参加比赛，其中有3个奖项，求获奖的可能性。
解题思路：1. 确定问题的类型：根据题目要求，这是一个组合问题，因为我们只关心获奖的人，而不关心他们获得奖项的顺序。
2. 确定元素的总数和要选择的个数：参赛人数为5人，要选择的个数为3个。
3. 使用组合公式进行计算：组合公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n为元素的总数，m为要选择的个数。
代入数据计算得到C(5,3)=10。
4. 得出结论：获奖的可能性有10种。
通过上述例子，我们可以看到解决排列组合问题的关键在于确定问题的类型，选择合适的方法进行计算，并根据具体的要求得出结论。
综上所述，概率与排列组合问题的求解思路需要掌握一些基本的方法和技巧。
在解决概率问题时，我们需要确定事件的总数和有利事件的总数，并进行相应的计算；在解决排列组合问题时，我们需要确定问题的类型，选择合适的方法进行计算，并根据具体的要求得出结论。
排列组合与概率计算
排列组合与概率计算在概率论和统计学中，排列组合是一种重要的数学工具，用于计算事件发生的可能性。
排列组合问题可以分为排列问题和组合问题两种类型。
本文将分别介绍排列和组合的概念，并探讨如何应用排列组合来计算概率。
一、排列排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序进行排列的过程。
排列问题中，元素的顺序是关键因素，不同的顺序会产生不同的排列结果。
对于给定的n个元素中选取r个元素进行排列，可以使用以下的排列公式来计算不同的排列可能性：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n! 表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1。
举例来说，假设有5个不同的球放入5个不同的盒子中，问有多少种放法？这就是一个排列问题。
根据排列公式可得：P(5,5) = 5! / (5-5)! = 5! / 0! = 120 / 1 = 120所以，共有120种不同的放法。
二、组合组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合的过程。
组合问题中，元素的顺序不是关键因素，只有元素的选择与否才会影响组合结果。
对于给定的n个元素中选取r个元素进行组合，可以使用以下的组合公式来计算不同的组合可能性：C(n,r) = n! / ((n-r)! * r!)举例来说，假设有9个不同的球，选取其中3个球，问有多少种不同的组合？这就是一个组合问题。
根据组合公式可得：C(9,3) = 9! / ((9-3)! * 3!) = 9! / (6! * 3!) = 84所以，共有84种不同的组合方式。
三、排列组合在概率计算中有着广泛的应用。
在计算事件的概率时，可以利用排列组合的原理来计算出事件发生的可能性。
例如，假设有一副标准扑克牌，从中抽取5张牌，问其中恰好有2张红心和3张黑桃的概率是多少？首先，我们需要确定总的样本空间，即抽取5张牌的不同排列数量。
根据排列公式，总共有：P(52,5) = 52! / (52-5)! = 52! / 47! = 2598960其次，我们需要确定符合条件的事件，即恰好有2张红心和3张黑桃的不同排列数量。
排列组合相关的概率
排列组合相关的概率
在概率理论中，排列和组合都与计算事件发生的可能性有关。
排列是指从一组元素中选取一部分元素进行排列的方式。
排列考虑元素的顺序。
假设有n个元素，要从中选取r个元素进行排列，则排列的总数可以表示为P(n, r)。
P(n, r) = n! / (n - r)!
其中，"!"表示阶乘运算，即将一个正整数n与小于n的正整数连乘。
排列的顺序对结果产生影响。
组合是指从一组元素中选取一部分元素进行组合的方式。
组合不考虑元素的顺序。
同样假设有n个元素，要从中选取r个元素进行组合，则组合的总数可以表示为C(n, r)。
C(n, r) = n! / (r!(n - r)!)
下面是一些排列组合相关的例子：
1. 排列的例子：
- 有5个人参加比赛，选取其中3个人获得前三名的排名情况，共有P(5, 3) = 60种可能性。
2. 组合的例子：
- 有10个苹果，从中选取其中4个苹果放入篮子，共有C(10, 4) = 210种组合方式。
在实际的概率计算中，排列和组合常常用于确定事件发生的可能性，从而帮助我们预测和分析各种情况的概率。
排列组合概率公式
排列组合概率公式好的，以下是为您生成的文章：在咱们的数学世界里啊，排列组合概率公式就像是一群调皮又神秘的小精灵，有时候让咱们摸不着头脑，有时候又能带来惊喜。
先来说说排列吧。
排列这小家伙，就像是给一群小伙伴排队，顺序那可是相当重要。
比如说，从 5 个不同的水果里选 3 个排成一排，这就得考虑顺序啦。
这时候咱们用的公式就是 A(n,m) = n! / (n - m)! 。
举个例子，从 5 个人里选 3 个站成一排拍照，那就是 A(5,3) = 5! / (5 - 3)!= 60 种排法。
这就好像是让这 3 个人轮流站在不同的位置上，每个位置都有特定的意义。
再讲讲组合。
组合呢，就没那么在意顺序啦，只要选出来就行。
比如说，从 5 个不同的水果里选 3 个放进篮子里，不管顺序怎么样，只要是这 3 个水果就行。
这时候用的公式就是 C(n,m) = n! / [m! * (n -m)!] 。
还是刚才那 5 个人，选 3 个组成一个小组，那就是 C(5,3) = 5! / [3! * (5 - 3)!] = 10 种选法。
然后就是概率啦。
概率就像是在预测未来一样，充满了不确定性和惊喜。
比如说扔骰子，想知道扔出 3 的概率，那就是 1/6。
记得有一次，我和朋友去商场抽奖。
那个抽奖箱里放着好多不同颜色的小球，红色的、蓝色的、绿色的。
规则是从里面随机摸出3 个球，如果都是红色就算中奖。
这可把我们难住了，到底中奖的概率有多大呢？我们就开始用刚学的排列组合概率公式来计算。
先算总的可能性，就是从一堆球里选 3 个的组合数，然后再算都是红色球的情况。
算来算去，脑袋都快晕了。
最后终于算出来了，发现中奖的概率还挺小的。
虽然那次没中奖，但是通过这个过程，让我对排列组合概率公式的理解更深刻了。
在生活中，排列组合概率公式的应用可多了去了。
比如买彩票，计算中奖的概率；还有玩游戏，猜中某个结果的可能性。
学会了这些公式，咱们就能更清楚地看清这些事情背后的数学规律。
高考排列组合、概率知识点总结及典型例题(教师版)
高考排列组合、概率知识点总结及典型例题排列组合知识点总结：一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+(2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式：()()()C A A n n n m m n m n m n m nm mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，①m m n c -=n n c ；②111-m n c --+=m n n n c c ；③11-k n kc -=k n nc ；11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12m m 1212m =m m +m n nn C C ==则或 四、二项式定理.1. ⑴二项式定理：nn n r r n r n n n n nn b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- . 展开式具有以下特点：① 项数：共有1+n 项；② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开.⑵二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b aC T rr n r n r ∈≤≤=-+.⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大. I. 当n是偶数时，中间项是第12+n项，它的二项式系数2nn C 最大； II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n nn n C C最大.③系数和：1314201022-=++=+++=+++n n n n n n nn n n n C C C C C C C C概率知识点总结：一、基本知识在一定的条件下必然要发生的事件，叫做必然事件； 在一定的条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件；在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随即事件。
高中数学中的排列组合概率解题方法与实例分析
高中数学中的排列组合概率解题方法与实例分析在高中数学的学习中，排列组合以及概率是重要的概念和解题方法。
本文将探讨排列组合概率的相关概念和解题方法，并通过实例分析来加深对这些知识的理解与应用。
一、排列组合概率的基本概念排列与组合是数学中研究对象的不同排列方式和组合方式。
在解决实际问题的过程中，我们经常需要考虑某些事件的排列或组合情况，而概率则是研究事件发生可能性大小的数学工具。
1. 排列：排列是指从给定元素集合中取出若干元素进行排列的方式。
排列可以分为有放回排列和无放回排列两种情况。
- 有放回排列：从n 个元素中选取r 个元素，每个元素取出后放回。
根据排列的性质，有放回排列的总数为 n^r。
- 无放回排列：从 n 个元素中选取 r 个元素，每个元素取出后不放回。
根据排列的性质，无放回排列的总数为 n!/(n-r)!2. 组合：组合是指从给定元素集合中取出若干元素进行组合的方式。
组合同样可以分为有放回组合和无放回组合两种情况。
- 有放回组合：从n 个元素中选取r 个元素，每个元素取出后放回。
根据组合的性质，有放回组合的总数为 (n+r-1)C(r)。
- 无放回组合：从 n 个元素中选取 r 个元素，每个元素取出后不放回。
根据组合的性质，无放回组合的总数为 n!/((n-r)!r!)3. 概率：概率是用来描述一个事件发生的可能性大小的数值。
在排列组合中，概率可以通过总数的比例来计算。
- 排列的概率：排列的概率可以通过某个事件的排列数与总排列数的比例来计算。
- 组合的概率：组合的概率可以通过某个事件的组合数与总组合数的比例来计算。
二、排列组合概率的解题方法在高中数学中，我们经常遇到需要用到排列组合概率的解题情况。
以下将介绍几种常见的解题方法。
1. 利用排列与组合的性质：根据排列与组合的性质进行计算，求解事件的排列数或组合数，从而计算概率。
2. 利用二项式定理：二项式定理可以用来展开两个数之和的幂。
在计算排列组合与概率时，可以利用二项式定理简化计算过程。
高中数学概率计算中的排列与组合技巧
高中数学概率计算中的排列与组合技巧在高中数学中，概率计算是一个重要的内容，而排列与组合是概率计算中常用的技巧。
本文将重点介绍排列与组合的概念和应用，通过具体的题目举例，解析其中的考点，并给出解题技巧和指导。
一、排列的概念和应用排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列的方式。
在排列中，元素的顺序是重要的。
例如，从数字1、2、3中选取2个数字进行排列，可以得到以下6种情况：12、21、13、31、23、32。
排列的计算公式为P(n, k) = n! / (n-k)!，其中n表示元素的总个数，k表示选取的元素个数。
在计算排列时，需要注意元素的顺序和重复的情况。
考点举例：题目：某班有10个学生，要从中选出3名学生参加数学竞赛，问有多少种不同的选取方式？解析：根据题目中的条件，可以知道这是一个排列问题。
从10个学生中选取3名学生进行排列，计算公式为P(10, 3) = 10! / (10-3)! = 720。
解题技巧：1. 理解题目中的条件，确定是排列还是组合问题。
2. 根据公式计算排列的个数。
3. 注意元素的顺序和重复的情况。
二、组合的概念和应用组合是指从一组元素中选取若干个元素按照任意顺序组合的方式。
在组合中，元素的顺序是不重要的。
例如，从数字1、2、3中选取2个数字进行组合，可以得到以下3种情况：12、13、23。
组合的计算公式为C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)，其中n表示元素的总个数，k表示选取的元素个数。
在计算组合时，需要注意元素的顺序和重复的情况。
考点举例：题目：某班有10个学生，要从中选出3名学生组成一个小组，问有多少种不同的组合方式？解析：根据题目中的条件，可以知道这是一个组合问题。
从10个学生中选取3名学生进行组合，计算公式为C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 120。
解题技巧：1. 理解题目中的条件，确定是排列还是组合问题。
排列组合概率与算法PPT课件
例2、 抛掷红、蓝两颗骰子设，事件A为“蓝色骰 子的点数为6”事件B为“两颗骰子的点数之 和大于8”.
1求PA，PB，PAB 2当已知蓝色骰子的 点数为3或6时，问两
注意数及其性质
(2) 展开式系. 数及其賦值法
4
3)整除与余数问题问题 4)近似问题
.
5
附：排列数组合数部分性质：
1
A
m n
nA
m 1 n 1
n m 1
A m 1 n
A A2 m 2 n n2
A
n n
A
m m
n! m!
C
m n
A
m m
1）古典概率：PA m 中m,n 的标准一致→等
可能
n
取球问题：(1)一次性取：列举法或组合数法
.
16
(2)分次取：有放回→先分类后分步计算、无放回 →列举或用排列组合
例1、袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中 任意摸出4个球，求下列事件发生的概率：
1）摸出4个白球 2）摸出2个或3个白球 3）至 少摸出1个黑球
1）摸出4个白球 2）摸出2个或3个白球 3）至 少摸出1个黑球
几何概型
例1、在等腰直角三角形OAB中，O为直角顶点. 1） 过O作射线OC交AB于C，求使得∠AOC和∠BOC 都不小于30°的概率 2）在斜边AB上取一点C， 求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率 .
.
18
条件概率：在某特定前提下的概率
57
运用排列组合知识求概率的计算
运用排列组合知识求概率的计算
例题2：若一对黑色兔子的后代中有黑色和白色兔子，那么，在完全
显性遗传中，
⑴.第一只是黑色，第二只是黑色，第三只是黑色，第四只是白色的概率是多少？
⑵.三黑一白的概率是多少？
⑶.两黑两白的概率是多少？
分析：根据题意，作为亲代的两只兔子都是杂合子，即Bb×Bb。
那么，其后代中出现黑色个体的概率是3/4，出现白色的概率是1/4。
也就是说，每出现一只黑色兔子的概率都是3/4，每出现一只白色兔子的概率都是1/4。
解：
⑴.第一只是黑色，第二只是黑色，第三只是黑色，第四只是白色的概率是多少？
⑵.三黑一白的概率是多少？
例题3：如果，一对正常的夫妇生了一个白化病且红绿色盲的儿子。
提示：能否注意到有这样的比例：
不患病：只白化病：只红绿色盲：白化病且红绿色盲=9:3:3:1
例题4：人的肤色的深浅取决于显性基因的数目，假如决定肤色与Aa、Bb两对等位基因（独立遗传）有关，
且，显性基因的数量越多，肤色越深。
预计，基因型为AaBb的夫妇所生孩子的肤色表现的可能性。
解：。
如何使用排列组合计算概率问题
如何使用排列组合计算概率问题在数学中，排列组合是一个应用广泛的分支。
许多不同的学科都会使用排列组合，例如数据科学、统计学、计算机科学、物理学、经济学、化学等。
在本文中，我们将讨论如何使用排列组合计算概率问题。
首先，让我们回顾一下排列和组合的定义。
排列是一种有序选择，即从一组不同的元素中选择一些元素，并按照特定的顺序进行排列。
有时我们需要找出所有可能的不同排列。
例如，如果有三个不同的元素A、B和C，那么它们的所有排列包括ABC、ACB、BAC、BCA、CAB和CBA。
组合是一种无序选择，即从一组不同的元素中选择一些元素。
与排列不同，组合中的顺序并不重要。
例如，如果有三个不同的元素A、B和C，那么它们的所有组合包括ABC、ACB、BAC和BCA。
现在，让我们来看两个例子来解释如何使用排列组合计算概率。
例子1：假设有十个人，其中五个是男性，另外五个是女性。
我们选择三个人，问概率至少选择一个女性是多少？我们可以使用排列组合来解决这个问题。
首先，我们计算总共的选择方式。
在这个例子中，我们需要从十个人中选择三个人，因此总共的选择方式为10选3。
这可以表示为C(10,3)，其中C表示组合并计算公式为C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)。
然后，我们计算选择三个男性的方式。
我们在五个男性中选择三个的方式为C(5,3)。
然后，我们计算不选女性的方式，这也是选择三个男性的方式。
最后，我们计算至少选择一个女性的方式。
我们可以选择一名女性和两名男性，或者两名女性和一名男性，或者选择三名女性。
这些情况可以表示为[C(5,1) * C(5,2)] + [C(5,2) * C(5,1)] + C(5,3)。
因此，概率至少选择一名女性为1减去不选择女性的概率。
公式为[P = 1 - C(5,3)/C(10,3)]。
通过计算，得到该概率为0.83。
例子2：假设一个六面骰子被投掷两次。
问概率两次投掷的数字之和为7的概率是多少？我们可以使用排列组合来解决这个问题。
概率的排列与组合
概率的排列与组合概率是数学中非常重要的一个分支，它研究随机事件发生的可能性大小。
在现实生活中，我们经常会遇到需要计算概率的情况，例如赌博、彩票、运动竞赛等。
而概率的排列与组合则是概率计算中的重要概念。
排列是指从一组元素中选取若干元素进行排列的方式。
通常，排列按照元素的顺序来区分不同的情况。
例如，有5个不同的元素A、B、C、D、E，则从中选取3个元素进行排列，共有5 × 4 × 3 = 60种不同的排列方式。
这其中包括了ABC、BCA、CAB等共60种不同的情况。
组合是指从一组元素中选择若干个元素，不考虑元素的顺序，将它们视为一个整体的方式。
例如，在上述的5个元素中选择3个元素进行组合，共有C5^3=10种不同的组合方式。
这包括了ABC、ACD、BDE等共10种不同的情况。
排列和组合在概率计算中有着不同的应用。
首先，排列可以用来计算有序事件的概率。
例如，在一次投掷两个骰子的游戏中，我们想知道两个骰子的点数之和为7的概率。
根据排列的概念，两个骰子的点数可以看作是两个数的排列。
一共有36种不同的排列方式，其中点数之和为7的排列方式有6种，即(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)。
因此，点数之和为7的概率为6/36=1/6。
其次，组合可以用来计算无序事件的概率。
例如，在一副扑克牌中抽取5张进行研究概率。
根据组合的概念，我们只关心所选取的5张牌的点数或花色，不考虑它们的顺序。
一共有C52^5=2598960种不同的组合方式，即52张牌中任选5张。
如果我们想计算抽取的牌中有两张红桃的概率，可以计算这样的组合数。
其中有2张红桃的组合数为C13^2=78，即从13张红桃中选取2张的组合情况，其余3张牌从其他3种花色中选取，总共有C39^3=91390种组合情况。
因此，有两张红桃的概率为78/91390。
排列与组合的概念在概率计算中具有重要的作用，它们能帮助我们计算复杂的情况下的概率大小。
排列组合与概率公考例题
排列组合与概率公考例题
排列组合与概率是公考中常见的数学问题，下面提供一些相关的例题。
1.概率问题
题目：在某项测试中，测试结果为甲、乙、丙、丁、戊五个等级。
已知甲级和乙级均占30%，丙级占25%，丁级占20%，戊级占5%。
如果得分在75分以上（含75分）则评为甲级，那么随机抽取一人，其测试结果被评为甲级的概率是多少？
答案：0.3
解析：根据题目条件，甲级和乙级均占30%，即60%的得分在75分以上或75分以下。
因此，甲级的概率为30% / 60% = 0.5。
所以，随机抽取一人，其测试结果被评为甲级的概率是0.5，或者简单说，概率为0.3。
2.排列组合问题
题目：现有8名学生分配到3个不同的岗位进行工作，其中每个岗位至少有1名学生，则不同的分配方式共有_______ 种．
答案：105
解析：根据题意，可以分为两种情况进行讨论：第一种，3、2、3分配，有C83×C52×C32×A33=1680种；第二种，4、2、2分配，有A22 C84×C42×C32×C22×A33=105种，共有1680+105=1785种，故答案为：1785．。
排列组合的概率
第二讲：排列、组合、概率及分布列问题一．两个原理：例1.集合{1,2,3}A =，{,,,}B a b c d =，则从集合A 到B 的映射共多少个？变式1：汽车上有10名乘客，沿途有5个车站。
则不同的下客方法有几种？变式2：（2006浙江高考理 10）函数:{1,2,3}{1,2,3}f →满足(())()f f x f x =，这样的函数个数共有 种.例2.如图,要给A 、B 、C 、D 四个区域涂色，允许同一种颜色使用多次,但有公共边的区域必须涂不同的颜色,现4种不同颜色的颜色可供选择，则不同的涂色方案有多少种？变式：若分成n 个区域（5≥n ）则不同的涂色方案有多少种呢？例3.把三种不同的植物种入如图的六块试验田中，要求相邻试验田不能种相同的植物，则有多少种不同的种法？二．排列组合问题：例4.把5本不同的书分给3个同学，其中1人一本，两人各两本，则不同的分发有多少种？变式：把6本不同的书分给3个同学，每人恰好2本，则不同的分发有多少种？例5.把5本不同的书分给3个同学，每人至少一本，则不同的分发有多少种？变式1：（2006重庆高考理 8）将5名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少一名，至多两名，则不同的分配方案有（ ）.A.30B.90C.180D.270 变式2：（2009浙江高考理 16）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．例6.从5双不同的鞋中取出4只，则取出的鞋至少有两只是成对的取法数为多少？AB DC例7．7位同学站成一排，甲不能站在排头且乙不能站在排尾的排法共有多少种？变式：7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？例8.（2005浙江高考理 14）从集合{O ，P ，Q ，R ，S }与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O ，Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答)．练1.从6种不同的作物种子中选出4种放入4个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，且丙，丁不能同时入选，那么不同的放法共有 .练2.设集合{123456}U =，，，，，，集合,A B U ⊆，若A 中含有3个元素，B 中至少含 有2个元素，且B 中所有数均不小于A 中最大的数，则满足条件的集合,A B 有 ( )A ．33组B ．29组C ．16组D ．7组例9．（2008浙江高考理 16）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 （用数字作答）变式：由0，1，2，3，4，5组成的各位数字均不相同的六位数中，0，1一定相邻，且奇数与奇数不能相邻，偶数与偶数不能相邻，这样的六位数有________个.附加题：1.10个优秀指标分给3个班级，每班至少1个，则有多少种不同的分发？ 变式：（1）10级台阶分5步跨完，每步至少跨1级台阶， 问共有多少种不同跨法？ （2）.方程10=++z y x （+∈N z y x ,,）的解),,(z y x 共有多少组？ 2. 在自然数1,2,3,,9中任取3个数，且这三个数均不相邻，则有多少种不同的取法？变式：9盏路灯关掉三盏，但相邻两盏不能关掉的方法有多少种？三.概率、分布列问题：例10.在北京奥运会中，外语学院的3名男生与2名女生志愿者被随机安排到3个不同运动场馆担任翻译，每个场馆至少一位志愿者，则恰好仅有1男1女两位志愿者被安排到同一场馆的概率是 （ ）A ．427 B ．625 C ．320D ．310例11. 10件产品中有7件正品，3件次品，从中取出4件，其中恰有两件次品两件正品的概率为多少？例12. 10件产品中有7件正品，3件次品，从中分四次取出4件，其中恰取到两件次品且最后一次取到次品的概率为多少？变式： 10件产品中有7件正品，3件次品，从中依次取出产品，当取到两件次品时则停止，则恰好取到第4件时即停止的概率为多少？例13. 10件产品中有7件正品，3件次品，从中每次取出产品后均放回．．．，若有两次取到次品则停止，则恰好取完第4次时即停止的概率为多少？变式：一袋子中有大小相同的4个红球，3个黑球和2个白球，从袋子里随机取球取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，取到一个白球得0分。
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高考数学第8讲 排列组合二项式定理和概率一、知识整合二、考试要求：1．掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.5．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.6．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.7．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.8．会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率.Ⅰ、随机事件的概率例1 某商业银行为储户提供的密码有0，1，2，…，9中的6个数字组成.(1)某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？(2)某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的密码的概率是多少？解 （1）储蓄卡上的数字是可以重复的，每一个6位密码上的每一个数字都有0，1，2， (9)10种，正确的结果有1种，其概率为6101，随意按下6个数字相当于随意按下610个，随意按下6个数字相当于随意按下610个密码之一，其概率是6101. (2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前5个正确的前提下，随意按下一个数字，等可能性的结果为0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为101. 例2 一个口袋内有m 个白球和n 个黑球，从中任取3个球，这3个球恰好是2白1黑的概率是多少？（用组合数表示）解 设事件I 是“从m 个白球和n 个黑球中任选3个球”，要对应集合I 1，事件A 是“从m 个白球中任选2个球，从n 个黑球中任选一个球”，本题是等可能性事件问题，且Card(I 1)= 123)(,n m n m C C A Card C ⋅=+，于是P(A)=3121)()(nm n m C C C I Card A Card +⋅=. Ⅱ、互斥事件有一个发生的概率例3在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求：（1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率.解 （1）从20件产品中任取3件的取法有320C ，其中恰有1件次品的取法为15215C C 。
∴ 恰有一件次品的概率P=763532015215=C C C . (2)法一 从20件产品中任取3件，其中恰有1件次品为事件A 1,恰有2件次品为事件A 2，3件全是次品为事件A 3,则它们的概率P(A 1)= 32015215C C C =228105,2282)(320115252==C C C A P ,2282)(320353==C C A P , 而事件A 1、A 2、A 3彼此互斥，因此3件中至少有1件次品的概率P(A 1+A 2+A 3)=P(A 1)+P(A 2)+P(A 3)= 228137. 法二 记从20件产品中任取3件，3件全是正品为事件A ，那么任取3件，至少有1件次品为A ，根据对立事件的概率加法公式P(A )=2281371)(1320315=-=-C C A P 例4 1副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块4种花色，每种13张，共52张，从1副洗好的牌中任取4张，求4张中至少有3张黑桃的概率.解 从52张牌中任取4张，有452C 种取法.“4张中至少有3张黑桃”，可分为“恰有3张黑桃”和“4张全是黑桃”，共有413139313C C C +⋅种取法452413139313C C C C +⋅∴ 注 研究至少情况时，分类要清楚。
Ⅲ、相互独立事件同时发生的概率例5 猎人在距离100米处射击一野兔，其命中率为0.5，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离150米. 如果第二次射击又未中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米. 已知猎人的命中概率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率.解 记三次射击依次为事件A ，B ，C ，其中21)(=A P ,由2100)(21k A P ==，求得k=5000。
812005000P(C),921505000P(B)22====∴,∴命中野兔的概率为 .1449581)921)(211(92)211(21)()()()()()()()A P(P(A)=⨯--+⨯-+=++=⋅⋅+⋅+C P B P A P B P A P A P C B A P B 例6 要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05，而乙机床废品率为0.1，而它们的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求：（1）其中至少有一件废品的概率； （2）其中至多有一件废品的概率.解： 设事件A 为“从甲机床抽得的一件是废品”；B 为“从乙机床抽得的一件是废品”.则P （A ）=0.05, P(B)=0.1,（1）至少有一件废品的概率145.090.095.01)()(1)(1)(=⨯-=⋅-=+-=+B P A P B A P B A P（2）至多有一件废品的概率995.09.095.01.095.09.005.0)(=⨯+⨯+⨯=⋅+⋅+⋅=B A B A B A P PⅣ、概率内容的新概念较多，本课时就学生易犯错误作如下归纳总结：类型一 “非等可能”与“等可能”混同例1 掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率．错解 掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，…，12共11种基本事件，所以概率为P=111剖析 以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=536． 类型二 “互斥”与“对立”混同例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．以上均不对错解 A剖析 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，二者的联系与区别主要体现在 ：(1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生．事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C ．类型三 “互斥”与“独立”混同例3 甲投篮命中率为O ．8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少?错解 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，则两人都恰好投中两次为事件A+B ，P(A+B)=P(A)+P(B)： 2222330.80.20.70.30.825c c ⨯+⨯=剖析 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．互斥事件是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生与否没有影响，它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同．解： 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，且A ，B 相互独立，则两人都恰好投中两次为事件A·B ，于是P(A·B)=P(A)×P(B)= 0.169四、高考题选讲1 甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题.（Ⅰ）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（Ⅱ）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？(2000年新课程卷)2 如图,用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2.当元件A、B、C都正常工作时,系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时,系统N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90.分别求系统N1、N2正常工作的概率P1、P2. (2001年新课程卷)3某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）.（Ⅰ）求至少3人同时上网的概率；（Ⅱ）至少几人同时上网的概率小于0.3？(2002年新课程卷)4有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验.（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001）(2003年新课程卷)5. 从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为54，每位男同学能通过测验的概率均为53.试求： （Ⅰ）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；（Ⅱ）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.(2004年全国卷Ⅰ)解：本小题主要考查组合，概率等基本概念，独立事件和互斥事件的概率以及运用概率知识 解决实际问题的能力，满分12分.解：（Ⅰ）随机选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率为1－6531036=C C ；………………6分 （Ⅱ）甲、乙被选中且能通过测验的概率为.1254535431018=⨯⨯C C ；………………12分 6. 已知8支球队中有3支弱队,以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组,每组4支.求：（Ⅰ）A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率；（Ⅱ）A 组中至少有两支弱队的概率. (2004年全国卷Ⅱ)解：（Ⅰ）解法一：三支弱队在同一组的概率为 .7148154815=+C C C C 故有一组恰有两支弱队的概率为.76711=- 解法二：有一组恰有两支弱队的概率.76482523482523=+C C C C C C （Ⅱ）解法一：A 组中至少有两支弱队的概率 21481533482523=+C C C C C C 解法二：A 、B 两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A 组和B 组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以A 组中至少有两支弱队的概率为.217.某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题.竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得100分、100分、200分，答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响.（Ⅰ）求这名同学得300分的概率；（Ⅱ）求这名同学至少得300分的概率. (2004年全国卷Ⅲ)8. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.（Ⅰ）求所选3人都是男生的概率；（Ⅱ）求所选3人中恰有1名女生的概率；（Ⅲ）求所选3人中至少有1名女生的概率. (2004年天津卷)9. 某地区有5个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的）.假定工厂之间的选择互不影响.（Ⅰ）求5个工厂均选择星期日停电的概率；（Ⅱ）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率. (2004年浙江卷)10. 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（Ⅰ）分别求甲、乙两人考试合格的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. (2004年福建卷)11. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为41,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为121,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为92. （Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.(2004年湖南卷)12.为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P ）和所需费用如下:预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前 提下,请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.(2004年湖北卷)解：方案1：单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元.由表可知，采用甲措施，可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.9.方案2：联合采用两种预防措施，费用不超过120万元，由表可知.联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为1—(1—0.9)(1—0.7)=0.97.方法3：联合采用三种预防措施，费用不超过120万元，故只能联合乙、丙、丁三种预防措施，此时突发事件不发生的概率为1—（1—0.8）(1—0.7)(1—0.6)=1—0.024=0.976.综合上述三种预防方案可知，在总费用不超过120万元的前提下，联合使用乙、丙、丁三种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大.13. 设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5.（Ⅰ）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标概率；（Ⅱ）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率. (2004年重庆卷)14．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（ D ） A ．12513 B ．12516 C ．12518 D ．12519 15．（本小题满分12分）一接待中心有A 、B 、C 、D 四部热线电话，已知某一时刻电话A 、B 占线的概率均为0.5，电话C 、D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.解：本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P(ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3P(ξ=2)= 22C ×0.52×0.62+12C 12C ×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37.P(ξ=3)= 22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22C ×0.52×0.42=0.2P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.04所以E ξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8.16．从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（C ）A ．95B ．94C ．2111D ．2110 17．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521 的数共有 （ C ）A ．56个B ．57个C ．58个D ．60个18.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为5:3:2，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件.那么此样本的容量n= .(答案: 80)19．标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 240种.（以数字作答）20.某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n= 192 .。