专题02 垂线-人教版七年级下册数学常考题专练(解析版)

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人教七年级数学下册-垂线(附习题)

人教七年级数学下册-垂线(附习题)

垂线性质2:连接直线外一点与直线上各点的所 有线段中,垂线段最短. 简单说成:垂线段最短.
点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线 段的长度,叫做点到直线的距离.
(5)如果图中的比例尺为 1:100 000,水渠 大约要挖多长?
(6)你能列举生活中类似的实例吗?
练习
如图,三角形 ABC 中,∠C=90°. (1)分别指出点 A 到直 线 BC,点 B 到直线 AC 的距离 是哪些线段的长?
C
A
B
D
(2)当汽车从 A 出发向 B 行驶时,在公路 AB 的哪一段路上距离 C、D 两加油站都越来越近? 在哪一段路上距离加油站 D 越来越近,而离加油 站 C 却越来越远?
解: (1)如图.
C
AM
N B
D
(2)在公路 AB 的 AM 段距离 C、D 两加油 站都越来越近,在 MN 段距离加油站 D 越来越近, 而加油站 C 却越来越远.
度是这点到已知直线的距离
C. 画出直线外一点到已知直线的距离
D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,
垂线段最短 错 解 A 或 B 或 C
正解 D
错因分析 本题错在将“垂线段”与“点到直线 的距离”的概念混淆.选项 A 中垂线段与点到直线 的距离是不同的概念;选项 B 中垂线是直线,没 有长度;选项 C 中点到直线的距离是数量,数量 不能画出.
解:(1)∵两点之间线段最短, ∴连接AD,BC 交于 H ,则 H 为蓄水池位 置,它到四个村庄距离之和最小.
H
(2)过 H 作 HG⊥EF ,垂足为 G . H
G
“过直线外一点与直线各点的连线中,垂线段 最短”是把河水引入蓄水池 H 中开渠最短的根据.

5.1.2 垂线 人教版七年级数学下册重难点专项练习(含答案)

5.1.2 垂线 人教版七年级数学下册重难点专项练习(含答案)

5.1.2《垂线》重难点题型专项练习考查题型一垂线的定义典例1.(2022秋·北京·七年级北京市第一六一中学校考期末)如图,O是上一点,于点O,直线经过O点,,则的度数为( )A.100°B.105°C.115°D.125°【答案】C【分析】由,可得,由对顶角相等可得,根据角的和差即可解答.【详解】解:∵,∴,∵,∴.故选:C.【点睛】此题考查垂直的定义以及对顶角,题目很简单,解题时要仔细识图.变式1-1.(2022秋·四川泸州·七年级统考期末)已知:如图,于点O,c为经过点O的任意一条直线,那么与的关系是()A.互余B.互补C.互为对顶角D.相等【答案】A【分析】根据对顶角相等得到,利用,得到,即可推出.【详解】解:由题意得,∵,∴,∴,故选:A.【点睛】此题考查了对顶角相等,垂直的定义,余角的定义,熟记各定义是解题的关键.变式1-2.(2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨风华中学校考期中)如图,,直线BD 经过点O,则的度数为( )A.B.C.D.【答案】B【分析】先利用垂直的含义求解再利用邻补角的含义求解即可.【详解】解:∵,∴∵直线BD经过点O,∴故选B.【点睛】本题考查的是垂直的含义,邻补角的含义,熟练的利用垂直与邻补角的定义求解角的度数是解本变式1-3.(2022秋·辽宁本溪·七年级统考期末)如图,,,垂足为点O,,垂足为点O,则等于()A.24°B.42°C.48°D.64°【答案】B【分析】根据,,可得∠BOD=∠AOC=90°,再由,可得∠AOB=48°,即可求解.【详解】解:∵,,∴∠BOD=∠AOC=90°,∵,∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=48°,∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=42°.故选:B【点睛】本题主要考查了角与角间的和与差,垂直的性质,明确题意,准确得到角与角之间的关系是解题的关键.考查题型二作已知直线的垂线典例2.(2021秋·广东珠海·七年级统考期中)过点C向AB边作垂线段,下列画法中正确的是( )A.B.C.D.【分析】根据垂线段的定义逐个判断即可得出正确结论.【详解】解:A.此选项是过点A作BC边的垂线段,故错误;B.此选项是过点B作AB边的垂线段,故错误;C.此选项是过点C作AB边的垂线段,故此项正确;D.此选项是过点B作CA边的垂线段,故错误.故选:C.【点睛】本题考查了垂线段的定义及作法,是一道基础题,解题时要善于观察,准确理解垂线段的定义是解题的关键.变式2-1.(2022秋·河北承德·七年级统考期末)下列选项中,过点P画AB的垂线CD,三角尺放法正确的是( )A.B.C.D.【答案】C【分析】根据P点在CD上,CD⊥AB进行判断.【详解】解:过点P画AB的垂线CD,则P点在CD上,CD⊥AB,所以三角尺放法正确的为【点睛】本题考查了作图-基本作图,熟练掌握基本作图(过一点画已知直线的垂线)是解决问题的关键.变式2-2.(2022秋·河北石家庄·七年级校联考期中)下列各图中,过直线外的点画直线的垂线,三角尺操作正确的是()A.B.C.D.【答案】C【分析】根据垂线的作法,用直角三角板的一条直角边与l重合,另一条直角边过点P后沿直角边画直线即可;【详解】根据分析可得C的画法正确;故答案选C.【点睛】本题主要考查了垂线的作法,准确理解是解题的关键.变式2-3.(2020秋·广西·七年级广西大学附属中学校考阶段练习)下列用三角板过点P画AB的垂线CD,正确的是()A.B.C.D.【答案】D【分析】根据垂线的作法,用直角三角板的一条直角边与重合,另一条直角边过点后沿直角边画直线即可.【详解】解:根据分析可得,用直角三角板的一条直角边与重合,另一条直角边过点后沿直角边画直线,选项的画法正确,故选:.【点睛】此题主要考查了垂线的画法,在平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.考查题型三垂线的性质的应用典例3.(2022秋·重庆云阳·七年级校考阶段练习)春节过后,某村计划挖一条水渠将不远处的河水引到农田(记作点O),以便对农田的小麦进行灌溉,现设计了四条路段,,,,如图所示,其中最短的一条路线是( )A.OA B.OB C.OC D.OD【答案】B【分析】根据垂线段的性质:垂线段最短,可得答案.【详解】由垂线段最短,得四条线段,,,,如图所示,其中最短的一条路线是,故选:B.【点睛】本题考查了垂线段的的性质,熟记性质是解题关键.变式3-1.(2022·江苏盐城·校考三模)如图,是测量学生跳远成绩的示意图,即的长为某同学的跳远成绩,其依据是( )A.两点之间线段最短B.两点确定一条直线C.垂线段最短D.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】C【分析】由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则作出判断.【详解】解:能正确解释这一现象的数学知识是垂线段最短,故选:C.【点睛】此题考查了垂线段最短的性质的运用,解答此题的关键是熟练掌握由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则.变式3-2.(2022秋·河北保定·七年级校考期中)如图,某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处.他们的做法是:过点C作于点D,将水泵房建在了D处.这样做最节省水管长度,其数学道理是()A.两点确定一条直线B.两点之间,直线最短C.两点之间,线段最短D.垂线段最短【答案】D【分析】根据垂线段最短解答即可.【详解】解:过点C作于点D,将水泵房建在了D处.这样做最节省水管长度,其数学道理是:垂线段最短.故选D.【点睛】本题考查了垂线段的性质,熟练掌握垂线段性质是解答本题的关键.从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短.变式3-3.(2022秋·河南安阳·七年级统考期末)如图,从位置O到直线公路l有四条小道,其中路程最短的是()A.OA B.OB C.OC D.OD【答案】C【分析】根据垂线的性质即可得到结论.【详解】解:根据垂线段最短得,能最快到达公路l的小道是OC,故选C.【点睛】本题考查了垂线段最短,熟记垂线的性质是解题的关键.考查题型四点到直线的距离典例4.(2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十九中学校校考阶段练习)如图,直角三角形中,,,垂足是点,则下列说法正确的是()A.线段的长表示点到的距离B.线段的长表示点到的距离C.线段的长表示点到的距离D.线段的长表示点到的距离【答案】C【分析】根据直线外一点,到这条直线的垂线段的长度是这点到直线的距离判断即可.【详解】解:A.线段的长度表示点A到的距离,说法错误,不符合题意;B.线段的长度表示点C到的距离,说法错误,不符合题意;C.线段的长度表示点B到的距离,说法正确,符合题意;D.线段的长度表示点B到的距离,说法错误,不符合题意;故选C.【点睛】本题考查了点到直线的距离,解题关键是准确识图,正确进行判断.变式4-1.如图,P为直线l外一点,A,B,C在l上,且PB⊥l,下列说法中,正确的个数是()①PA,PB,PC三条线段中,PB最短;②线段PB叫做点P到直线l的距离;③线段AB的长是点A到PB 的距离;④线段AC的长是点A到PC的距离.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离;从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短.逐一判断.【详解】解:①线段BP是点P到直线l的垂线段,根据垂线段最短可知,PA,PB,PC三条线段中,PB最短;故原说法正确;②线段BP是点P到直线l的垂线段,故线段BP的长度叫做点P到直线l的距离,故原说法错误;③线段AB是点A到直线PB的垂线段,故线段AB的长度叫做点P到直线l的距离,故故原说法正确;④由题意及图形无法判断线段AC的长是点A到PC的距离,故原说法错误;综上所述,正确的说法有①③;故选:B.【点睛】本题主要考查了垂线段最短的性质和点到直线的距离的概念.垂线的两条性质:①从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.②从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短.变式4-2.(2022春·广东梅州·七年级校考阶段练习)如图,已知三角形ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,则表示点A到直线CD距离的是( )A.线段CD的长度B.线段AC的长度C.线段AD的长度D.线段BC的长度【答案】C【分析】根据点到直线的距离的概念:直线外一点到这条直线的垂线段的长度即为该点到这条直线的距离作答即可.【详解】解:点A到CD的距离是线段AD的长度.故选C.【点睛】本题主要考查了点到直线的距离的概念,解题的关键是熟练掌握并理解点到直线的距离的概念.变式4-3.(2022秋·山东济宁·七年级统考期末)如图,点A在直线l1上,点B,C在直线l2上,AB⊥l2于点B,AC⊥11于点A,AB=4,AC=5,则下列说法正确的是( )A.点B到直线l1的距离等于4B.点A到直线l2的距离等于5C.点B到直线l1的距离等于5D.点C到直线l1的距离等于5【答案】D【分析】根据点到直线的距离的定义求解即可.【详解】解:∵AB⊥于点B,AC⊥于点A,AB=4,AC=5,∴点A到直线的距离等于4,点C到直线的距离等于5,故选:D.【点睛】本题考查了点到直线的距离,利用点到直线的距离定义是解题关键.。

5.1.2垂线-2020-2021学年七年级下学期数学考点各个击破(人教版)(解析版)

5.1.2垂线-2020-2021学年七年级下学期数学考点各个击破(人教版)(解析版)

5.1.2垂线一、单选题1.如图,AC ⊥BC ,直线EF 经过点C ,若∠1=35°,则∠2的大小为( )A .65°B .55°C .45°D .35°【答案】B【分析】由垂线的性质可得∠ACB =90°,由平角的性质可求解.【解答】解:∵AC ⊥BC ,∴∠ACB =90°,∵∠1+∠ACB +∠2=180°,∴∠2=180°﹣90°﹣35°=55°,故选:B .【点评】本题考查了垂线的定义和平角的定义,根据垂直的定义求出∠ACB =90°是解答本题的关键. 2.如图,在ABC 中,90ACB ∠=︒,CD AB ⊥于点D ,则图中能表示点B 到直线AC 的距离的是()A .CD 的长度B .BC 的长度 C .BD 的长度 D .AD 的长度【答案】B【分析】根据点到直线的距离的概念可直接进行求解.【解答】由在ABC 中,90ACB ∠=︒,CD AB ⊥于点D ,可得:能表示点B 到直线AC 的距离的是BC 的长度;故选B .【点评】本题主要考查点到直线的距离,正确理解点到直线的距离是解题的关键.3.如图,直线AB 与CD 相交于点O ,OM AB ⊥,若55DOM ∠=︒,则AOC ∠等于( )A.20°B.30°C.35°D.45°【答案】C【分析】由题意易得∠BOD=35°,然后根据对顶角相等可求解.⊥,【解答】解:OM AB∴∠MOB=90°,55∠=︒,DOM∴∠BOD=35°,∠BOD=∠AOC,∴∠AOC=35°;故选C.【点评】本题主要考查垂直的定义及对顶角相等,熟练掌握垂直的定义及对顶角相等是解题的关键.4.如图,立定跳远比赛时,小明从点A起跳落在沙坑内P处.若AP=2.3米,则这次小明跳远成绩A.小于2.3米B.等于2.3米C.大于2.3米D.不能确定【答案】A【分析】直接利用垂线段最短即可得出小明的跳远成绩.【解答】如图,过点P作PE⊥AC,垂足为E,∴PE<PA,∵PA=2.3米,∴这次小明跳远成绩小于2.3米,故选A.【点评】本题考查了垂线段最短的性质,熟悉测量跳远成绩的方法是解题的关键.5.如图,测量运动员跳远成绩选取的是AB 的长度,其依据是( )A .两点确定一条直线B .垂线段最短C .两点之间线段最短D .两点之间直线最短【答案】B【分析】根据垂线的定义即可求解.【解答】由图可知,依据是垂线段最短,故选B. 【点评】此题主要考查垂线段的性质,解题的关键是熟知垂线段最短.二、填空题6.两条直线相交所成的四个角都相等,这两条直线的位置关系是____________.【答案】垂直【分析】两条直线相交所成的四个角都相等时,根据这四个角的和为360°,得出这四个角都是90°,由垂直的定义即可得出这两条直线互相垂直.【解答】解:两条直线相交所成的四个角都相等时,则每一个角都为90°,所以这两条直线垂直. 故答案为:垂直.【点评】本题考查了垂直的定义,解题的关键是知道两直线相交所成的四个角中,若有一个角为直角,则这两条直线互相垂直.7.如图,关于线段,,,,,AB BC CD DE EF AE 的位置关系:①AE BC ⊥;②AB DC ⊥;③DE AC ⊥;④DE EF ⊥;其中正确的是______________________(填序号)【答案】①②③【分析】根据垂直的定义逐一进行判断即可.【解答】如图,延长DE 交AC 于点G ,由图可知,AE BC ⊥,AB DC ⊥,故①②正确;,90DEB ACB DEB EDB ∠=∠∠+∠=︒,90ACB EDB ∴∠+∠=︒,90DGC ∴∠=︒,DE AC ∴⊥,故③正确;,90EDB BEF DEB EDB ∠≠∠∠+∠=︒,90DEB BEF ∴∠+∠≠︒,90DEF ∴∠≠︒,故④错误;故答案为:①②③.【点评】本题主要考查垂直,掌握垂直的定义是解题的关键.8.如图,三条直线相交于点O ,若CO ⊥AB ,∠COF=62°,则∠AOE 等于_______.【答案】28︒【分析】首先根据垂直定义可得∠AOC=∠BOC=90°,再由∠COF=62°可得∠BOF 的度数,然后根据对顶角相等求解即可.【解答】解:∵CO ⊥AB ,∴∠AOC=∠BOC=90°,∵∠COF=62°,∴∠AOE=∠BOF=90°-62°=28° 故答案为:28°.【点评】本题主要考查了垂直定义,关键是掌握当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,这两条直线互相垂直.9.已知,OA OB ⊥,垂足为点O ,若:2:3AOC AOB ∠∠=,则BOC ∠=___.【答案】30°或 150° 【分析】根据垂直关系可得∠AOB =90°,而∠AOC 的位置有两种:一种是∠AOC 在∠AOB 内,一种是在∠AOB 外,然后根据∠AOC :∠AOB =2:3,可求得∠AOC 的度数,再根据角的和差关系计算即可.【解答】解:如图,∠AOC 的位置有两种:一种是∠AOC 在∠AOB 内,一种是在∠AOB 外.∵OA ⊥OB ,∴∠AOB =90°;①当∠AOC 在∠AOB 内,∵∠AOC :∠AOB =2:3,∴∠AOC =23AOB ∠=60°, ∴∠BOC =90°﹣∠AOC =30°;②当∠AOC 在∠AOB 外,∵∠AOC :∠AOB =2:3, ∴∠AOC =23AOB ∠=60°, ∴∠BOC =90°+∠AOC =150°.故答案为:30°或150°.【点评】本题主要考查了垂直的定义和角的和差计算,正确分类、熟练掌握基本知识是解题的关键.10.如图,CD⊥AB,垂足是点D,AC=7,BC=5,CD=4,点E是线段AB上的一个动点(包括端点),连接CE,那么CE长的范围是___________________.【答案】4≤CE≤7【分析】根据垂线段最短解答即可.【解答】解:∵CD⊥AB,垂足是点D,AC=7,BC=5,CD=4,∴CE长的范围是4≤CE≤7,故答案为:4≤CE≤7.【点评】此题考查垂线段最短,关键是根据垂线段最短解答.三、解答题11.(如图,已知在△ABC中,∠ABC=90°.尺规作图:(要求:保留作图痕迹,不必写作法和证明)(1)过点C作射线CD⊥BC,且使点D和点A在直线BC的同侧;(2)在CD上作线段CE=2AB.【答案】(1)见解析;(2)见解析【分析】(1)根据垂线的做法作图即可;(2)用圆规截取AB的长度两次即可得出答案.【解答】解:(1)如图所示,射线CD即为所求(2)如图所示,线段CE即为所求【点评】本题主要考查尺规作图,掌握垂线的作法及线段的作法是解题的关键.中,点P在边OB上,12.作图并填空:如图,在AOB、;(1)过点P分别作直线OB、直线OA的垂线,交直线OA于点M N(2)点P到直线OA的距离是线段_________的长度;(3)点O到直线PN的距离是线段_________的长度.【答案】(1)图见解析;(2)PN;(3)ON【分析】(1)利用直尺和三角板画垂线,然后标上垂直符号和垂足即可;(2)根据点到直线的距离的定义即可得出结论;(3)根据点到直线的距离的定义即可得出结论.、,如图所示,PM和【解答】解:(1)过点P分别作直线OB、直线OA的垂线,交直线OA于点M NPN即为所求;(2)根据点到直线的距离的定义:点P到直线OA的距离是线段PN的长故答案为:PN;(3)根据点到直线的距离的定义:点O到直线PN的距离是线段ON的长故答案为:ON.【点评】此题考查的是垂线的画法和点到直线的距离,掌握点到直线的距离的定义是解题关键.13.如图,AB、CD、NE相交于点O,OM平分∠BOD,∠MON=90°,∠AOC=50°.(1)线段的长度表示点M到NE的距离;(2)比较MN与MO的大小(用“<”号连接):,并说明理由:;(3)求∠AON的度数.<,垂线段最短;(3)65°.【答案】(1)MO;(2)MO MN【分析】(1)根据点到直线的距离解答即可;(2)根据垂线段最短解答即可;(3)根据垂直的定义和角之间的关系解答即可.【解答】解:(1)线段MO的长度表示点M到NE的距离;故答案为:MO;(2)比较MN与MO的大小为:MO<MN,是因为垂线段最短;故答案为:MO<MN;垂线段最短.(3)∵∠BOD=∠AOC=50°,OM平分∠BOD,∴∠BOM=25°,∴∠AON=180°﹣∠BOM﹣∠MON=180°﹣25°﹣90°=65°.故答案为:MO;MO<MN;垂线段最短.【点评】本题考查了点到直线的距离,掌握点到直线的距离是解题的关键.14.读语句作图:(1)作直线AB;(2)过点P作直线AB的垂线,垂足M;(3)连结PA;(4)画射线PB.根据所作图填空:①点A与点P的距离是图中线段的长度.②点P到直线AB的距离是的长度.③若Q为直线AB上任一点,则PQ与PM的关系是.其数学原理是.【答案】见解析.【分析】由直线、线段、射线的定义画图即可完成(1)(3)(4),根据垂线的画法即可完成(2);根据两点之间的距离的概念即可解答①、根据点到直线的距离的定义即可解答②、根据垂线段最短的性质即可解答③.【解答】解:(1)直线AB如图所示;(2)直线PM如图所示;(3)线段P A如图所示;(4)射线PB如图所示.①点A与点P的距离是图中线段AP的长度;②点P到直线AB的距离是PM的长度;③若Q为直线AB上任一点,则PQ与PM的关系是PQ≥PM,其数学原理是直线外一点到直线的距离中,垂线段最短.故答案为:AP,PM,PQ≥PM,直线外一点到直线的距离中,垂线段最短.【点评】本题主要考查了直线、射线和线段的相关内容以及两点间的距离、垂线段最短和点到直线的距离等知识,熟练掌握上述基本知识是解题的关键.15.如图,已知OD 是∠AOB 的角平分线,C 为OD 上一点.(1)过点C 画直线CE∥OB,交OA 于E;(2)过点C 画直线CF∥OA,交OB 于F;(3)过点C 画线段CG⊥OA,垂足为G.根据画图回答问题:①线段______的长度就是点C到OA的距离;②比较大小:CE______CG(填“>”或“=”或“<”);③通过度量比较∠AOD与∠ECO的关系是:∠AOD______∠ECO(填“>”或“=”或“<”);【答案】①CG;②>;③=【解析】试题分析:根据已知条件呼出图形,然后根据图形即可得到结论.试题解析:①线段CG长就是点C到OA的距离;②比较大小:CE>CG(填“>”或“=”或“<”);③通过度量比较∠AOD与∠ECO的关系是:∠AOD=∠ECO.11。

人教版七年级数学下册《5.1.2第2课时垂线段》同步练习(含答案)

人教版七年级数学下册《5.1.2第2课时垂线段》同步练习(含答案)

第2课时垂线段最短关键问答①将直线外一点与直线上各点连接,所得线段中最短的线段一定是什么线段?②点到直线的距离是一个几何图形,还是一个正数?它与垂线段有什么区别?1.①如图5-1-29,P是直线a外一点,PB⊥a,点A,B,C,D都在直线a上,下列线段中最短的是()图5-1-29A.P A B.PBC.PC D.PD2.②如图5-1-30,OA⊥AB于点A,点O到直线AB的距离是()图5-1-30A.线段OA B.线段OA的长度C.线段OB的长度D.线段AB的长度命题点1垂线段最短[热度:92%]3.如图5-1-31,要把河中的水引到水池A中,应在河岸B处(AB⊥CD)开始挖渠才能使水渠的长度最短,这样做的依据是()图5-1-31A.两点之间线段最短B.点到直线的距离C.两点确定一条直线D.垂线段最短4.③如图5-1-32,在铁路旁有一村庄,现要建一火车站,为了使村庄里的人乘车最方便,请你在铁路线上选一点来建火车站,应建在()图5-1-32A.A点B.B点C.C点D.D点解题突破③选一点建火车站可以转化为确定垂线段的垂足.5.2018·秦皇岛月考如图5-1-33,已知A,B,C,D是某公园内的四个凉亭,图中的连线是甬道,且∠D=90°,∠BAC=90°,若AC=100米,则下列判断中不正确的是()图5-1-33A.甬道AD可能为100米B.甬道CD可能为60米C.甬道AD可能为80米D.甬道BC可能为140米6.④如图5-1-34,BD⊥AC于点D,DE⊥BC于点E.若DE=9,AB=12,不考虑点与点重合的情况,则线段BD的长度的取值范围是____________.图5-1-34解题突破④BD的长既是点B到AC的距离,又是点D到直线BC上一点B的距离.7.⑤如图5-1-35,码头、火车站分别位于A,B两点,直线a和b分别表示铁路与河流.图5-1-35(1)从火车站到码头怎样走最近?画图并说明理由;(2)从码头到铁路怎样走最近?画图并说明理由;(3)从火车站到河流怎样走最近?画图并说明理由.方法点拨⑤最短路线问题往往转化为点与点的距离或点到直线的距离问题.命题点2点到直线的距离[热度:90%]8.⑥如图5-1-36,AB⊥AC,AD⊥BC,垂足分别为A,D,则图中能表示点到直线距离的线段共有()图5-1-36A.2条B.3条C.4条D.5条方法点拨⑥直角三角形的直角边长能表示点到直线的距离.9.⑦P为直线l外一点,A,B,C为直线l上三点,P A=5 cm,PB=3 cm,PC=4 cm,则点P到直线l的距离()A.等于4 cm B.等于3 cmC.小于3 cm D.不大于3 cm模型建立⑦点到直线的距离小于或等于点与直线上各点所连线段的长.10.到直线l的距离等于2 cm的点有()A.0个B.1个C.无数个D.无法确定11.下列说法正确的是()A.在同一平面内,过已知直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条B.连接直线外一点和直线上任一点,使这条线段垂直于已知直线C.作出点P到直线的距离D.连接直线外一点和直线上任一点的线段长是点到直线的距离12.⑧如图5-1-37是李晓松同学在运动会跳远比赛中最好的一跳,M,P为双脚留下的痕迹,甲、乙、丙三名同学分别测得P A=5.52米,PB=5.37米,MA=5.60米,那么他的跳远成绩应该为________米.图5-1-37解题突破⑧跳远成绩指的是两个脚印中,离踏板较近的脚的后脚跟到踏板所在直线的距离记录.13.⑨如图5-1-38,关于如何量出点C到线段AB所在直线的距离,三名同学有不同的做法.图5-1-38甲同学:只要量出线段BC的长度即可;乙同学:过点C无法向直线AB作垂线,所以无法量出点C到直线AB的距离;丙同学:过点C作直线AB的垂线,垂线和直线AB不相交,所以不能量出点C到直线AB的距离.你同意以上三名同学的做法吗?若不同意,请你写出正确的做法.解题突破⑨过点C作AB的垂线,垂足落在线段AB的延长线上.14.⑩如图5-1-39,平原上有A,B,C,D四个村庄,为解决当地缺水问题,政府准备投资修建一个蓄水池.图5-1-39(1)不考虑其他因素,请你画图确定蓄水池点H的位置,使它到四个村庄的距离之和最小;(2)计划把河水引入蓄水池H中,怎样开渠最短?画图并说明理由.模型建立⑩到四个点A,B,C,D的距离之和最小的点,是分别连接AD和BC所得的交点,可以用两点之间线段最短来解释.15.一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶,点M,N分别是位于公路AB两侧的学校,如图5-1-40所示.(1)汽车在公路上行驶时,会对两个学校的教学造成一定的影响,当汽车行驶到何处时,分别对两个学校的影响最大?并在图上标出来;(2)当汽车从A向B行驶时,在哪一段路上对两个学校的影响都逐渐增大?在哪一段路上对M学校的影响逐渐减小,而对N学校的影响逐渐增大?图5-1-40典题讲评与答案详析1.B 2.B3.D[解析] 利用垂线段最短,可知AB是点A与直线CD上各点连接得到的线段中,长度最短的线段.4.A5.A6.9<BD<12[解析]B是直线AC外一点,BA,BD是点B与直线AC上两点连接得到的线段,根据垂线段最短,可得BD<AB.D是直线BC外一点,DE,DB是点D与直线BC上两点连接得到的线段,根据垂线段最短,可得DE<BD,所以9<BD<12.7.解:如图所示.(1)沿线段BA走,两点之间线段最短.(2)沿线段AC走,垂线段最短.(3)沿线段BD走,垂线段最短.8.D[解析]AB的长表示点B到直线AC的距离,AC的长表示点C到直线AB的距离,AD的长表示点A到直线BC的距离,BD的长表示点B到直线AD的距离,CD的长表示点C到直线AD的距离.9.D[解析] 由于P为直线l外一点,A,B,C为直线上三点,由垂线段最短,可得点P到直线l的距离应该小于或等于3 cm,即不大于3 cm.10.C11.A12.5.3713.解:三名同学的做法都是错误的,所以不同意他们的做法.正确做法:延长线段AB,过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,则线段CD的长就是点C到直线AB的距离.14.解:(1)如图,因为两点之间线段最短,所以连接AD,BC,它们相交于点H,则点H为蓄水池的位置,它到四个村庄的距离之和最小.(2)如图,过点H作HG⊥EF,垂足为G,沿GH开渠最短.理由:在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.15.解:(1)如图,过点M作MC⊥AB于点C,过点N作ND⊥AB于点D.根据垂线段最短,知汽车在点C 处对M学校的影响最大,在点D处对N学校的影响最大.(2)汽车由A向C行驶时,对两个学校的影响都逐渐增大;汽车由C向D行驶时,对M 学校的影响逐渐减小,而对N学校的影响逐渐增大.【关键问答】①垂线段.②是一个正数.区别:“垂线段”是一条线段,它是一个图形;“点到直线的距离”是指垂线段的长度,它是一个数量.。

初一数学下册:垂线(含知识点、练习和答案)

初一数学下册:垂线(含知识点、练习和答案)

初一数学下册:垂线(含知识点、练习和答案)知识点总结一、定义1、垂直:两条直线相交所成的四个角中,如果如果有一个角为90度,那么这两条直线互相垂直。

2、垂线:垂直是相交的一种特殊情形,如果两条直线垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线。

3、垂足:两条垂线的交点叫垂足。

4、垂直三要素:垂直关系,垂直记号,垂足。

5、垂线特点:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

二、三角形的高1、做直角三角形的高:两条直角边即是钝角三角形的高,只要做出斜边上的高即可。

2、做钝角三角形的高:最长的边上的高只要向最长边引垂线即可,另外两条边上的高过边所对的顶点向该边的延长线做垂线。

三、垂直公理:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

四、垂线段最短;点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度。

五、点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫点到直线的距离。

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。

同步练习1、如图,OA⊥OB,若∠1=55°,则∠2的度数是( )A、35°B、40°C、45°D、60°2、如图,直线AB与直线CD相交于点O,已知OE⊥AB,∠BOD=45°,则∠COE的度数是( )A、125°B、135°C、145°D、155°3、过线段外一点,画这条线段的垂线,垂足在( )A、这条线段上B、这条线段的端点4、在数学课上,同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时,有一部分同学画出下列四种图形,请你数一数,错误的个数为( )A、1个B、2个C、3个D、4个5、下列说法正确的有( )①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;③在平面内,可以过任意一点画一条直线垂直于已知直线;④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线。

人教版初一数学7年级下册 第5章(相交线与平行线)垂线 课后练习(含解析)

人教版初一数学7年级下册 第5章(相交线与平行线)垂线 课后练习(含解析)

垂线课后练习一、选择题1.如图所示,下列说法不正确的是( )A. 线段BD是点B到AD的垂线段B. 线段AD是点D到BC的垂线段C. 点C到AB的垂线段是线段ACD. 点B到AC的垂线段是线段AB2.如图,把河AB中的水引到C,拟修水渠中最短的是( )A. CMB. CNC. CPD. CQ3.如图,E是直线CA上一点,∠FEA=40°,射线EB平分∠CEF,GE⊥EF.则∠GEB=( )A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°4.如图,直线AB、CD相交于点O,EO⊥CD.下列说法错误的是( )A. ∠AOD=∠BOCB. ∠AOE+∠BOD=90°C. ∠AOC=∠AOED. ∠AOD+∠BOD=180°5.点P为直线l外一点,点A,B在直线l上,若PA=5 cm,PB=7 cm,则点P到直线l的距离( )A. 等于5 cmB. 小于5 cmC. 不大于5 cmD. 等于6 cm6.如下图,在平面内过点P作已知直线m的垂线,可作垂线的条数有( )A. 0条B. 1条C. 2条D. 无数条7.如图,∠1=15°,AO⊥OC,点B,O,D在同一直线上,则∠2的度数为()A. 75°B. 15°C. 105°D. 165°8.点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4 cm,PB=5 cm,PC=6 cm,则点P到直线m的距离()A. 等于5 cmB. 等于4 cmC. 小于4 cmD. 不大于4 cm9.如图,OA⊥OB,若∠1=55°,则∠2的度数是()A. 35°B. 40°C. 45°D. 60°10.下列各图中,过直线l外一点P画l的垂线CD,三角板操作正确的是()A. B.C. D.11.如图,射线OC⊥直线AB于点O,∠1=∠2,则图中互为余角的共有( )A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对12.如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D,则点C到直线AB的距离是( )A. 线段CA的长B. 线段CD的长C. 线段AD的长D. 线段AB的长二、填空题13.如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB,垂足为点O,∠COE:∠BOD=2:3,则∠AOD=______.14.如下图,∠AOE=30°,OB⊥OA,OE⊥直线CD于O点,∠BOD的度数为________,∠BOC的度数为________.15.如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD,垂足为O.若∠BOE=40°,则∠AOC的度数为.16.如图,A,B,C三点在一条直线上.若CD⊥CE,∠1=23°,则∠2的度数是.三、解答题17.如下图,直线AB与CD交于点O,OE在∠AOD内,∠AOE:∠COB=2:7,OD平分∠EOB.(1)求∠AOC的度数;(2)过点O作OF⊥OE,求∠BOF的度数.18.如图,两直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,∠AOC:∠AOD=7:11.(1)求∠COE的度数;(2)若OF⊥OE,求∠COF的度数.19.如下图,直线AB,CD相交于点O,∠DOE=∠BOD,OF平分∠AOE.(1)判断OF与OD的位置关系,并说明理由;(2)若∠AOC:∠AOD=1:5,求∠EOF的度数.答案和解析1.【答案】B【解答】解:A 、线段BD 是点B 到AD 的垂线段,故A 正确;B 、线段AD 是点A 到BC 的垂线段,故B 错误;C 、点C 到AB 的垂线段是线段AC ,故C 正确;D 、点B 到AC 的垂线段是线段AB ,故D 正确;2.【答案】C【解析】解:如图,CP ⊥AB ,垂足为P ,在P 处开水渠,则水渠最短.因为直线外一点与直线上各点连线的所有线段中,垂线段最短.3.【答案】B【解析】解:∵∠FEA =40°,GE ⊥EF ,∴∠CEF =180°−∠FEA =180°−40°=140°,∠CEG =180°−∠AEF−∠GEF =180°−40°−90°=50°,∵射线EB 平分∠CEF ,∴∠CEB =12∠CEF =12×140°=70°,∴∠GEB =∠CEB−∠CEG =70°−50°=20°,4.【答案】C【解答】解:A 、∠AOD 与∠BOC 是对顶角,所以∠AOD =∠BOC ,此选项正确;B 、由EO ⊥CD 知∠DOE =90°,所以∠AOE +∠BOD =90°,此选项正确;C 、由已知条件,不能得到∠AOC 与∠AOE 相等,此选项错误;D 、∠AOD 与∠BOD 是邻补角,所以∠AOD +∠BOD =180°,此选项正确.5.【答案】C【解答】解:∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短,∵PA <PB ,∴点P 到直线l 的距离≤PA ,即点P 到直线l 的距离不大于5cm .6.【答案】B【解答】解:在平面内,过一点画已知直线的垂线,可画垂线的条数是1.故选B.7.【答案】C8.【答案】D9.【答案】A【解答】解:∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°,即∠2+∠1=90°,又∠1=55°,∴∠2=35°,10.【答案】D11.【答案】C12.【答案】B13.【答案】126°【解析】解:∵OE⊥AB,∴∠BOE=90°,∴∠COE+∠BOD=90°,∵∠COE:∠BOD=2:3,∴∠BOD=54°,∴∠AOD=126°.14.【答案】30°;150°【解析】解:由OB⊥OA,OE⊥CD得:∠AOE+∠BDE=90°,∠BOD+∠BOE=90°,∴∠BOD=∠AOE=30°;∵CD是直线,即∠COD=180°,∴∠BOC=180°−∠BOD,即∠BOC=180°−30°=150°15.【答案】50°16.【答案】67°【解答】解:∵CD⊥CE,∴∠ECD=90°,∵∠ACB=180°,∴∠2+∠1=90°,∵∠1=23°,∴∠2=90°−23°=67°,故答案为67°.17.【答案】解:(1)设∠AOE=2x,则∠AOD=∠BOC=7x,∴∠DOE=5x.∵OD平分∠EOB,∴∠DOB=∠DOE=5x,∠AOB=2x+5x+5x=180°,∴x=15°,∴∠AOC=∠DOB=5x=75°;(2)当OF在直线OE的下方时,如图所示:∵OF⊥OE,∴∠EOF=90°,∵∠AOE=2x=30°,∴∠AOF=∠EOF−∠AOE=90°−30°=60°,∠BOF=180°−∠AOF=120°;当OF在直线OE的上方时,如图所示:∵OF ⊥OE ,∴∠EOF =90°,∵∠EOB =10x =150°,∴∠BOF =∠EOB−∠EOF =150°−90°=60°.故∠BOF =120°或60°.18.【答案】解:(1)∵∠AOC :∠AOD =7:11,∠AOC +∠AOD =180°,∴∠AOC =718×180°=70°,∴∠DOB =∠AOC =70°,又∵OE 平分∠BOD ,∴∠DOE =12∠DOB =12×70°=35°,∴∠COE =180°−∠DOE =180°−35°=145°,(2)∵OF ⊥OE ,∴∠EOF =90°,∴∠FOD =90°−∠DOE =90°−35°=55°,∴∠COF =180°−∠FOD =180°−55°=125°.19.【答案】解:(1)OF 与OD 的位置关系:互相垂直;理由:∵OF 平分∠AOE ,∴∠AOF =∠FOE ,∵∠DOE =∠BOD ,∴∠AOF +∠BOD =∠FOE +∠DOE =12×180°=90°,∴OF 与OD 的位置关系:互相垂直;(2)∵∠AOC :∠AOD =1:5,∴∠AOC =16×180°=30°,∴∠EOD =∠BOD =∠AOC =30°,∴∠AOE =120°,∴∠EOF =12∠AOE =60°.。

人教版数学七年级下册垂线同步练习题含答案

人教版数学七年级下册垂线同步练习题含答案

人教版数学七年级下册垂线同步练习题学校:___________姓名:___________班级:___________一、单选题1.如图,AB ⊥CD ,垂足为O ,EF 是过点O 的一条直线,已知⊥1=40°,则⊥2=( )A .40°B .45°C .50°D .60°2.入射光线和平面镜的夹角为40︒,转动平面镜,使入射角减小10︒,反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将( ) A .减小40︒B .减小10︒C .减小20︒D .不变3.如图所示,已知:,1:23:2CD AB ⊥∠∠=,则FDC ∠=( )A .120︒B .126︒C .135︒D .144︒4.过一条线段外一点,作这条线段的垂线,垂足在( ) A .这条线段上 B .这条线段的端点处 C .这条线段的延长线上D .以上都有可能5.数学课上,同学们在练习过点B 作线段AC 所在直线的垂线段,正确的是( )A .AB .BC .CD .D6.如图,O 是直线AD 上一点,射线,OC OE 分别平分,AOB BOD ∠∠,则COE ∠的大小为( )A.120°B.60°C.90°D.150°7.如图,AB⊥AC于A,AD⊥BC于D,DE⊥AC于E,下列说法错误的是()A.点A到BC的距离是AD的长度B.点B到AD的距离是BD的长度C.点C到AD的距离是DE的长度D.点B到AC的距离是AB的长度DE=,点F是射线OB上的任意一点,8.如图,OD平分AOB∠,DE AO⊥于点E,5则DF的长度不可能是()A.4B.5C.6D.79.如图,△ABC中,CD是AB边上的高,CM是AB边上的中线,点C到边AB所在直线的距离是()A.线段CA的长度B.线段CM的长度C.线段CD的长度D.线段CB的长度10.如图,在直角三角形ABC中,⊥BAC=90°,AD⊥BC于点D,则下列说法错误的是()A .线段AC 的长度表示点C 到AB 的距离 B .线段AD 的长度表示点A 到BC 的距离 C .线段CD 的长度表示点C 到AD 的距离 D .线段BD 的长度表示点A 到BD 的距离 11.下列命题是真命题的是( )A .过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B .从直线外一点到这条直线的垂线段,叫做这点到这条直线的距离C .互相垂直的两条线段一定相交D .直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短12.平面直角坐标系中,点()1,2A -,()2,1B ,经过点A 的直线a x ∥轴,点C 是直线a 上的一个动点,当线段BC 的长度最短时,点C 的坐标为( ). A .()1,1- B .()1,2-C .()2,1D .()2,2二、填空题13.如图,当直线AB 与CD 相交于O 点,⊥AOD =______时,那么AB 与CD 垂直,记作:AB ______CD . 符号语言:因为⊥AOD =90°(已知) , 所以AB ⊥CD ( ) .14.如图,直线AB 和CD 交于O 点,OD 平分⊥BOF ,OE ⊥CD 于点O ,⊥AOC =40︒,则⊥EOF =_______.15.如图, 直线AB , CD , EF 相交于点O , 若:1:2AOE COE ∠∠=, AB CD ⊥, 则COF ∠=______度.16.如图,已知CF AB ⊥于C ,DC CE ⊥,则ACD ∠的余角是__.17.如图,直线AB 、CD 相交于点O ,⊥BOC =α,点F 在直线AB 上且在点O 的右侧,点E 在射线OC 上,连接EF ,直线EM 、FN 交于点G .若⊥MEF =n ⊥CEF ,⊥NFE =(1﹣2n )⊥AFE ,且⊥EGF 的度数与⊥AFE 的度数无关,则⊥EGF=__.(用含有α的代数式表示)18.如图所示,⊥AOC 与⊥BOD 都是直角,且⊥AOB :⊥AOD =2:11,则⊥AOB =_______.三、解答题19.如图,已知⊥AOB =20°.(1)若射线OC ⊥OA ,射线OD ⊥OB ,请你在图中画出所有符合要求的图形; (2)请根据(1)所画出的图形,求⊥COD 的度数.20.如图1,1A BC ∠、1ACM ∠的角平分线2BA 、2CA 相交于点2A ,(1)如果164A ∠=︒,那么2A ∠的度数是多少,试说明理由并完成填空; 解:(1)结论:2∠=A ______度.说理如下:因为2BA 、2CA 平分1A BC ∠和1ACM ∠(已知), 所以121A BC ∠=∠,122A CM ∠=∠(角平分线的意义). 因为111ACM A BC A ∠=∠+∠,221A ∠=∠+∠( ) (完成以下说理过程)(2)如图2,164A ∠=︒,如果2A BC ∠、2A CM ∠的角平分线3BA 、3CA 相交于点3A ,请直接写出3A ∠度数;(3)如图2,重复上述过程,1n A BC -∠、1n A CM -∠的角平分线n BA 、n CA 相交于点n A 得到n A ∠,设1A θ∠=︒,请用θ表示n A ∠的度数(直接写出答案)21.如图,CE 是ABC 的外角ACD ∠的平分线,且CE 交BA 的延长线于点E .(1)求证:2BAC B E ∠=∠+∠.(2)若CA BE ⊥,30ECD ACB ∠-∠=︒时,求E ∠的度数.22.直线AB ,CD 相交于点O ,OF CD ⊥于点O ,作射线OE ,且OC 在AOE ∠的内部.(1)当点E ,F 在直线AB 的同侧;⊥如图1,若15BOD ∠=︒,120BOE ∠=︒,求EOF ∠的度数;⊥如图2,若OF 平分∠BOE ,请判断OC 是否平分AOE ∠,并说明理由; (2)若2AOF COE ∠=∠,请直接写出∠BOE 与AOC ∠之间的数量关系.23.如图所示,一辆汽车在直线形公路AB 上由A 向B 行驶,M 、N 分别是位于公路两侧的村庄.(1)设汽车行驶到公路AB 上点P 位置时,距离村庄M 最近;行驶到点Q 位置时,距离村庄N 最近,请在图中的公路AB 上分别画出点P 和点Q 的位置(保留作图痕迹). (2)当汽车从A 出发向B 行驶时,在公路AB 的哪一段路上距离M 、N 两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N 越来越近,而离村庄M 越来越远?(分别用文字表述你的结论,不必说明)24.如图,所有小正方形的边长都是1个单位,A 、B 、C 均在格点上仅用无刻度直尺画图:(1)过点A 画线段BC 的平行线AD ; (2)过点B 画线段BC 的垂线,垂足为B ; (3)过点C 画线段AB 的垂线,垂足为E ;(4)线段CE 的长度是点C 到直线________的距离;(5)线段CA 、CE 的大小关系是_________(用“<”连接),理由是__________________.参考答案:1.C【分析】根据垂直得到⊥BOD =90°,然后平角的性质求解即可. 【详解】⊥AB ⊥CD , ⊥⊥BOD =90°,⊥⊥1+⊥BOD +⊥2=180°,⊥1=40°, ⊥40°+90°+⊥2=180°, ⊥⊥2=50°, 故选:C .【点睛】此题考查了直角和平角的性质,解题的关键是熟练掌握直角和平角的性质. 2.C【分析】要知道入射角和反射角的概念:入射光线与法线的夹角,反射角是反射光线与法线的夹角,在光反射时,反射角等于入射角.【详解】解:入射光线与平面镜的夹角是40︒,所以入射角为904050︒-︒=︒.根据光的反射定律,反射角等于入射角,反射角也为50︒,所以入射光线与反射光线的夹角是100︒.入射角减小10︒,变为501040︒-︒=︒,所以反射角也变为40︒,此时入射光线与法线的夹角为80︒.则反射光线与入射光线间的夹角和原来比较将减小20︒. 故选:C .【点睛】本题考查了有关角的计算,首先要熟记光的反射定律的内容,搞清反射角与入射角的关系,特别要掌握反射角与入射角的概念,它们都是反射光线和入射光线与法线的夹角. 3.B【分析】根据CD AB ⊥,可得⊥ADC =⊥BDC =90°可得⊥1+⊥2=90°,由1:23:2∠∠=,可求⊥1=54︒,⊥2=36︒,由对顶角性质可得⊥ADF =⊥2=36°,利用角的和可得⊥FDC =⊥ADC +⊥ADF =126°. 【详解】解:⊥CD AB ⊥ ⊥⊥ADC =⊥BDC =90° ⊥⊥1+⊥2=90°, ⊥1:23:2∠∠=,设⊥1=3x ︒,⊥2=2x ︒, ⊥3x +2x =90, 解得18x =,⊥⊥1=54︒,⊥2=36︒, ⊥⊥ADF =⊥2=36°,⊥⊥FDC =⊥ADC +⊥ADF =90°+36°=126°. 故选:B .【点睛】本题考查垂直定义,角的和与比例,掌握垂直定义,根据角的和与比例建构方程,会解方程是解题关键. 4.D【分析】画一条线段的垂线,就是画线段所在的直线的垂线,进而得出答案.【详解】作一条线段的垂线,实际上是作线段所在直线的垂线,垂足可能在这条线段上,可能在端点处,也可能在线段的延长线上. 故选:D .【点睛】本题考查线段垂线的画法.正确把握垂线的定义是解题关键. 5.A【详解】A.根据垂线段的定义,故A 正确; B.BD 不垂直AC ,所以错误;C.是过点D 作的AC 的垂线,所以错误;D.过点C 作的BD 的垂线,也错误. 故选:A. 6.C【分析】根据平角的概念结合角平分线的定义列式求解. 【详解】解:⊥O 是直线AD 上一点 ⊥180AOD ∠=︒⊥射线,OC OE 分别平分,AOB BOD ∠∠ ⊥12COB AOB ∠=∠,12EOB BOD ∠=∠⊥1111=()902222COE COB EOB AOB BOD AOB BOD AOD ∠∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒故选:C .【点睛】本题考查平角及角平分线的概念,正确理解相关概念列出角的和差关系是解题关键. 7.C【分析】根据点到直线的距离的定义判断各选项即可.【详解】A 、点A 到BC 的距离是AD 的长度,本选项正确,不符合题意; B 、点B 到AD 的距离是BD 的长度,本选项正确,不符合题意; C 、点C 到AD 的距离是DE 的长度,故本选项错误,符合题意; D 、点B 到AC 的距离是AB 的长度,本选项正确,不符合题意. 故选C .【点睛】本题考查了点到直线的距离,关键是对点到直线的距离的意义的掌握. 8.A【分析】根据角平分线的性质,可知点D 到OB 和OA 的距离相等,并且点到直线的线段中,垂线段最短,最短距离为5,即可判断.【详解】⊥OD 平分AOB ∠,DE AO ⊥于点E ,5DE =, ⊥D 到OB 的距离等于5, ⊥5DF ≥故DF 的长度不可能为4,故选A .【点睛】本题考查了角平分线的性质,点到直线的线段中,垂线段最短,熟练掌握性质是本题的关键. 9.C【分析】根据点C 到边AB 所在直线的距离是点C 到直线AB 的垂线段的长度进行求解即可.【详解】点C 到边AB 所在直线的距离是点C 到直线AB 的垂线段的长度,而CD 是点C 到直线AB 的垂线段, 故选C.【点睛】本题考查了点到直线的距离,熟知点到直线的距离的概念是解题的关键. 10.D【分析】根据直线外一点,到这条直线的垂线段的长度是这点到直线的距离判断即可. 【详解】解:A. 线段AC 的长度表示点C 到AB 的距离,说法正确,不符合题意; B. 线段AD 的长度表示点A 到BC 的距离,说法正确,不符合题意; C. 线段CD 的长度表示点C 到AD 的距离,说法正确,不符合题意;D. 线段BD的长度表示点B到AD的距离,原说法错误,符合题意;故选:D.【点睛】本题考查了点到直线的距离,解题关键是准确识图,正确进行判断.11.D【详解】在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,A没有告知在同一平面内,是假命题;从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做这点到这条直线的距离,B 是假命题;互相垂直的两条线段不一定相交,C是假命题;直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短,D是真命题.答案:D题型解法:命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫假命题,确定假命题可举反例证明.12.D【分析】根据题意画出图形,根据直线a//x轴,得到直线a为直线y= 2,根据垂线段最短即可得出答案.【详解】如图,⊥直线a// x轴,⊥直线a为直线y= 2,当BC⊥a时,线段BC最短,⊥点C的坐标为(2,2).故选:D.【点睛】本题考查了坐标与图形性质,掌握平行于x轴的坐标的特点,以及垂线段最短是解题的关键.13.90°⊥垂直的定义【解析】略14.130°【分析】根据对顶角性质可得⊥BOD =⊥AOC=40°.根据OD 平分⊥BOF ,可得⊥DOF =⊥BOD =40°,根据OE ⊥CD ,得出⊥EOD =90°,利用两角和得出⊥EOF =⊥EOD +⊥DOF =130°即可.【详解】解:⊥AB 、CD 相交于点O ,⊥⊥BOD =⊥AOC=40°.⊥OD 平分⊥BOF ,⊥⊥DOF =⊥BOD =40°,⊥OE ⊥CD ,⊥⊥EOD =90°,⊥⊥EOF =⊥EOD +⊥DOF =130°.故答案为130°.【点睛】本题考查相交线对顶角性质,角平分线定义,垂直定义,掌握对顶角性质,角平分线定义,垂直定义是解题关键.15.120【分析】根据垂直的定义和对顶角相等的性质可得答案.【详解】解:AB CD ⊥,90AOC BOC ∴∠=∠=︒,又:1:2AOE COE ∠∠=,119030123AOE AOC ∴∠=∠=︒⨯=︒+, AOE BOF ∠=∠,3090120COF BOF BOC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒,故答案为:120.【点睛】本题考查垂直的定义,对顶角相等的性质,解题的关键是掌握垂直的定义. 16.DCF ∠,ECB ∠【分析】根据垂直的定义和余角的定义,找和ACD ∠相加得90°的角即可.【详解】解:CF AB ⊥于C ,DC CE ⊥,90ACF BCF DCE ∴∠=∠=∠=︒,90ACD DCF∴∠+∠=︒,18090ACD BCE DCE∠+∠=︒-∠=︒ACD∴∠的余角是:DCF∠,ECB∠.答案:DCF∠,ECB∠.【点睛】本题考查了垂直的定义和余角的定义,解题关键是准确识图,找出图中90°角,准确进行推理判断.17.13α##α3【分析】利用三角形外角的性质:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和,以及三角形内角和定理求解.【详解】解:⊥⊥CEF=⊥AFE+⊥BOC,⊥BOC=α,⊥⊥CEF=α+⊥AFE,⊥⊥MEF=n⊥CEF,⊥⊥MEF=n(α+⊥AFE),⊥⊥EGF=⊥MEF﹣⊥NFE,⊥⊥EGF=n(α+⊥AFE)﹣(1﹣2n)⊥AFE=nα+(3n﹣1)⊥AFE,⊥⊥EGF的度数与⊥AFE的度数无关,⊥3n﹣1=0,即n=13,⊥⊥EGF=13α;故答案为:13α.【点睛】此题考查了三角形外角的性质及角度计算,解题的关键是理解⊥EGF的度数与⊥AFE 的度数无关的含义.18.20°【分析】由⊥AOB+⊥BOC=⊥BOC+⊥COD知⊥AOB=⊥COD,设⊥AOB=2α,则⊥AOD=11α,故⊥AOB+⊥BOC=5α=90°,解得α即可.【详解】解:⊥⊥AOB+⊥BOC=⊥BOC+⊥COD,⊥⊥AOB=⊥COD,设⊥AOB=2α,⊥⊥AOB:⊥AOD=2:11,⊥⊥AOB+⊥BOC=9α=90°,解得α=10°,⊥⊥AOB =20°.故答案为20°.【点睛】此题主要考查了角的计算以及余角和补角,正确表示出各角度数是解题关键. 19.(1)见解析;(2)⊥COD=20°或160°.【分析】(1)根据垂直的定义画射线OC ⊥OA ,射线OD ⊥OB ;(2)如图1,由于OC ⊥OA ,OD (或OD’)⊥OB ,则⊥BOD =⊥BOD’=⊥AOC =90°,于是利用周角的定义可计算出⊥COD =160°,利用⊥COD ′=⊥BOC ﹣⊥BOD’可得到⊥COD ′=20°,如图2,同理可得⊥COD =160°,⊥COD ′=20°.【详解】解:(1)如图1、如图2,OC 、OD (或OD ′)为所作;(2)如图1,⊥OC ⊥OA ,OD ⊥OB ,⊥⊥BOD =⊥BOD’=⊥AOC =90°,⊥⊥COD =360°﹣90°﹣90°﹣20°=160°,⊥COD ′=⊥BOC ﹣⊥BOD’=90°+20°﹣90°=20°,如图2,同理可得⊥COD =160°,⊥COD ′=20°,⊥⊥COD =20°或160°.【点睛】本题考查了基本作图—过一点作已知直线的垂线,分情况作出图形是解决此题的关键.20.(1)32;三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;过程见解析(2)16° (3)1()2n θ︒-【分析】(1)利用角平分线的定义和三角形的外角的性质即可求解;(2)根据(1)的解法即可直接求解;(3)利用(1)的结论求解.(1)解:结论:⊥A 2=32度.说理如下:因为BA 2、CA 2平分⊥A 1BC 和⊥A 1CM (已知),所以⊥A 1BC =2⊥1,⊥A 1CM =2⊥2(角平分线的意义).因为⊥A 1CM =⊥A 1BC +⊥A 1,⊥2=⊥1+⊥A 2(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).所以⊥A 1CM =⊥A 1BC +⊥A 1=2⊥1+⊥A 1=2(⊥1+⊥A 2),所以⊥A 1=2⊥A 2,因为⊥A 1=64°,所以⊥A 2=32°.故答案为:32,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.(2)由(1)得:⊥A 1=2⊥A 2,⊥A 2=2⊥A 3,⊥⊥A 1=4⊥A 3,⊥⊥A 3=14⊥A 1=16°. (3)由(1)得:⊥A 1=2⊥A 2,⊥A 2=2⊥A 3,…,⊥An ﹣1=2⊥An ,⊥⊥A 1=2⊥A 2,⊥A 1=4⊥A 3,⊥A 1=8⊥A 4,…,⊥A 1=2n ﹣1•⊥An ,⊥⊥A 1=2n ﹣1•⊥An ,⊥⊥An =112n A -∠=1()2n θ-︒. 【点睛】本题考查了角的平分线的定义以及三角形的外角的性质:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,正确解决(1),读懂题意是关键.21.(1)见解析(2)20︒【分析】(1)利用外角的性质,BAC E ACE ∠=∠+∠,ECD E B ∠=∠+∠,再利用角平分线的定义推出ACE ECD ∠=∠,通过等量代换即可求证;(2)先利用30ECD ACB ∠-∠=︒,180ACD ACB ∠+∠=︒,求出40ACB ∠=︒,进而求出B ,再代入(1)中结论即可求解.(1)证明:⊥BAC ∠是ACE ∆的外角,⊥BAC E ACE ∠=∠+∠,⊥ECD ∠是BCE ∆的外角,⊥ECD E B ∠=∠+∠,⊥CE 是ACD ∠的平分线,⊥ACE ECD E B ∠=∠=∠+∠,⊥2BAC E ACE E B E B E ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠;(2)解:⊥30ECD ACB ∠-∠=︒,⊥30ECD ACB ∠=∠+︒,⊥2260ACD ECD ACB ∠=∠=∠+︒,⊥180ACD ACB ∠+∠=︒,⊥260180ACB ACB ∠+︒+∠=︒,解得40ACB ∠=︒.⊥CA BE ⊥,⊥90BAC ∠=︒,⊥18050B BAC ACB ∠=︒-∠-∠=︒,由(1)知2BAC B E ∠=∠+∠,⊥90502E ︒=︒+∠,解得20E ∠=︒.【点睛】本题考查三角形外角的性质,三角形内角和定理,垂直的定义,角平分线的定义等,牢固掌握上述知识并灵活运用是解题的关键.22.(1)⊥45︒;⊥平分,理由见解析(2)32270AOC BOE ∠+∠=︒或2270AOC BOE ∠+∠=︒【分析】(1)⊥先利用角度的和差关系求得COE ∠,再根据90EOF COE ∠=︒-∠,可得EOF∠的度数;⊥先根据角平分线定义EOF FOB ∠=∠,再结合余角定义和对顶角相等可得结论; (2)需要分类讨论,当点E ,F 在直线AB 的同侧,当点E ,F 在直线AB 的异侧;设COE α∠=,再分别表示AOC ∠、∠BOE ,再消去α即可.(1)解:⊥⊥OF CD ⊥于点O ,⊥90COF ∠=︒,⊥15BOD ∠=︒,120BOE ∠=︒,⊥1801801201545COE BOE BOD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒,⊥904545EOF COF COE ∠=∠-∠=︒-︒=︒,⊥EOF ∠的度数为45︒;⊥平分.理由如下:⊥OF 平分∠BOE , ⊥12EOF FOB EOB ∠=∠=∠, ⊥OF CD ⊥,⊥90COF ∠=︒,⊥90COE EOF FOB BOD ∠+∠=∠+∠=︒,⊥COE BOD ∠=∠,⊥AOC BOD ∠=∠,⊥COE AOC ∠=∠,⊥OC 平分AOE ∠.(2)如图,当点E ,F 在直线AB 的同侧,设COE α∠=,⊥2AOF COE ∠=∠,⊥22AOF COE α∠=∠=,⊥OF CD ⊥,⊥90COF ∠=︒,⊥290AOC AOF COF α∠=∠-∠=-︒⊥,⊥()1801802902703BOE AOC COE ααα∠=︒-∠-∠=︒--︒-=︒-⊥,⊥×3+⊥×2得,32270AOC BOE ∠+∠=︒;如图,当点E ,F 在直线AB 的异侧;设COE α∠=,⊥2AOF COE ∠=∠,⊥22AOF COE α∠=∠=,⊥OF CD ⊥,⊥90COF ∠=︒,⊥902AOC COF AOF α∠=∠-∠=︒-⊥,⊥()180********BOE AOC COE ααα∠=︒-∠-∠=︒-︒--=︒+⊥,⊥+⊥×2得,2270AOC BOE ∠+∠=︒.综上所述,∠BOE 与AOC ∠之间的数量关系:32270AOC BOE ∠+∠=︒或2270AOC BOE ∠+∠=︒.【点睛】本题考查了角平分线定义,对顶角相等,垂直的定义,平角的定义,等式的恒等变形等知识,主要考查学生的计算能力,并注意数形结合.分类讨论是解题的关键. 23.(1)作图见解析;(2)当汽车从A 向B 行驶时,在AP 这段路上,离两个村庄越来越近;在PQ 这段路上,离村庄M 越来越远,离村庄N 越来越近.【分析】(1)点与直线的连线中,垂线段最短,所以MP AB ⊥,NQ AB ⊥.(2)观察图形可以得到在AP 这段路上,离两个村庄越来越近;在PQ 这段路上,离村庄M越来越远,离村庄N越来越近.⊥,垂足为Q,点P、Q 【详解】解:(1)过点M作MP AB⊥,垂足为P,过点N作NQ AB就是要画的两点,如图所示.(2)当汽车从A向B行驶时,在AP这段路上,离两个村庄越来越近;在PQ这段路上,离村庄M越来越远,离村庄N越来越近.【点睛】本题主要考查了点与直线距离以及尺规作图相关知识,熟练掌握点与直线的距离和尺规作图是解决本题的关键.<;垂线段最短.24.(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析;(4)AB;(5)CE CA【分析】(1)(2)(3)利用网格的特点直接作出平行线及垂线即可;(4)利用垂线段的性质直接回答即可;(5)利用垂线段最短比较两条线段的大小即可.【详解】(1)如图,直线AD即为所求;(2)如图,直线BF即为所求(3)如图,直线CE即为所求;(4)AB<;垂线段最短.(5)CE CA【点睛】本题考查了垂线段最短和点到直线的距离的知识,解题的关键是理解有关垂线段的性质及能进行简单的基本作图.。

人教版七年级数学下册垂线练习题答案

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人教版七年级数学下册《垂线》练习题(检测时间50分钟满分100分)班级___________________ 姓名_______________ 得分____一、选择题:(每小题3分,共18分)1.如图1所示,下列说法不正确的是( c )A.点B到AC的垂线段是线段AB;B.点C到AB的垂线段是线段ACC.线段AD是点D到BC的垂线段;D.线段BD是点B到AD的垂线段D CB ADCBAO DCBA(1) (2) (3)2.如图1所示,能表示点到直线(线段)的距离的线段有( b )A.2条B.3条C.4条D.5条3.下列说法正确的有( a )①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图2所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=acm,BC=bcm,则BD的范围是( d )A.大于acmB.小于bcmC.大于acm或小于bcmD.大于bcm且小于acm5.到直线L的距离等于2cm的点有(c )A.0个B.1个;C.无数个D.无法确定6.点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线m的距离为( d )A.4cmB.2cm;C.小于2cmD.不大于2cm二、填空题:(每小题3分,共12分)1.如图3所示,直线AB与直线CD的位置关系是___相互垂直____,记作_AB⊥CD______,此时,•∠AO D=∠___DOB____=∠___BPC____=∠_____AOC__=90°.2.过一点有且只有___1条_____直线与已知直线垂直.(此问题有错误!!未曾说明在同一平面内)3.画一条线段或射线的垂线,就是画它们_____正反向延长线___的垂线.4.直线外一点到这条直线的____垂直距离_____,叫做点到直线的距离.三、训练平台:(共15分)如图所示,直线AB,CD,EF 交于点O,OG 平分∠BOF,且CD ⊥EF,∠AOE=70°,•求∠DOG 的度数.∵∠AOE=70°,∠AOB=180°∴∠EOB=∠AOB-∠EOB=180°-70°=110° ∵CD ⊥EF ∴∠EOD=90° ∵∠EOD=90°∴∠DOB=∠EOD-∠DOB=110°-90°=20° ∵∠DOF=90°,∠DOB=20°∴∠BOF=∠DOF-∠DOB=90°-20°=70° ∵OG 平分∠BOF∴∠BOG=∠GOF=1/2∠BOF=35°GOFEDCBA四、提高训练:(共15分)如图所示,村庄A 要从河流L 引水入庄, 需修筑一水渠,请你画出修筑水渠的路线图.五、探索发现:(共20分)如图6所示,O 为直线AB 上一点,∠AOC=13∠BOC,OC 是∠AOD 的平分线. (1) 求∠COD 的度数;(2)判断OD 与AB 的位置关系,并说明理由. ∵∠AOB=180,∠AOC=1/3BOC ∴∠AOB=AOC+BOC=(1+3)BOC ∴∠BOC:∠AOC=3:1 ∴∠AOC=180÷4=45 ∵OC 平分∠DOC ∴∠DOC=∠AOC=45lAODC BA2.OD 与AB 相互垂直因为它们相交且有一角,成90°,所以他们相互垂直!!。

人教版七年级数学下册5-1-2 垂线 习题(含答案及解析)(2)

人教版七年级数学下册5-1-2 垂线 习题(含答案及解析)(2)
故答案为垂线段最短.
4.BN 垂线段最短
解析:试题分析:根据生活实际,确定量取的位置,然后根据点到直线的距离确定跳远的成绩BN,因此明确理论依据为:垂线段最短.
故答案为:(1)BN(2)垂线段最短
5.有且只有
解析:试题
根据垂线的性质:平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
故答案为有且只有.
三、解答题
∵CD⊥OB,
∴∠AOB+∠ODC=90°,
∴与∠AOB互余的角是∠OCE与∠ODC.
点睛:
本题考查的是作图-基本作图,熟知垂线的作法是解答此题的关键.
4.(1)画图见解析;(2)OA;(3)CP;(4) .
解析:试题分析:(1)画出图形如图所示;(2)线段PH的长度是点P到直线OA的距离;(3)线段PC的长度是点C到直线OB的距离.(4)根据点到直线的距离垂线段最短可得线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是PH<PC<OC.
4.D
解析:详解:
∵PO丄OR, OQ丄PR,
∴PO是点P到线段OR的距离,OQ是点O到PR的距离,OR是点R到线段PO的距离,PQ是P到线段OQ的距离,RQ是R到OQ的距离
∴共计有5条.
故选D.
5.A
解析:过直线外一点作直线的垂线,这一点与垂足之间的线段就是垂线段,且垂线段最短.
详解:
根据垂线段定理,连接直线外一点与直线上所有点的连线中,垂线段最短,
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.如图,P是直线l外一点,A,B,C三点在直线l上,且PB⊥l于点B,∠APC=90°,则下列结论:①线段AP是点A到直线PC的距离;②线段BP的长是点P到直线l的距离;③PA,PB,PC三条线段中,PB最短;④线段PC的长是点P到直线l的距离,其中,正确的是( )

垂线的专项练习30题有答案ok

垂线的专项练习30题有答案ok
● A.$\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$ B.$\left(-\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right)$ C.$\left(\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)$ D.$\left(-\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)$
垂线在平面几何中的应用
第六章
垂线在三角形中的应用
定义:垂线是指与给定直线垂直的直线 性质:垂线与给定直线相交于一点,这一点称为垂足 判定:在同一平面内,过一点与给直线垂直的直线有且仅有一条 应用:在三角形中,垂线可以用于证明角平分线、高线、中线等性质
垂线在四边形中的应用
垂线在矩形中的应用:利用垂线性质证明矩形的性质和定理。 垂线在菱形中的应用:利用垂线性质证明菱形的性质和定理。 垂线在正方形中的应用:利用垂线性质证明正方形的性质和定理。 垂线在等腰梯形中的应用:利用垂线性质证明等腰梯形的性质和定理。
● 答案:$\frac{y-1}{x-1} = \frac{0-1}{2-1} \Rightarrow y = -x + 2$
● 题目:已知直线$l$经过点$A(3,0)$和点$B(4,5)$,则直线$l$的方程为多少? 答案:$\frac{y0}{x-3} = \frac{5-0}{4-3} \Rightarrow y = 5x - 15$
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汇报人:XX
● A.$\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$ B.$\left(-\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)$ C.$\left(\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)$ D.$\left(-3,-4\right)$

新人教版数学七年级下《垂线》课时练习含答案解析

新人教版数学七年级下《垂线》课时练习含答案解析

新人教版数学七年级下《垂线》课时练习含答案解析一、填空题(共15小题)1.下面说法中错误的是()A.两条直线相交,有一个角是直角,则这两条直线互相垂直B.若两对顶角之和为1800,则两条直线互相垂直C.两条直线相交,所构成的四个角中,若有两个角相等,则两条直线互相垂直D.两条直线相交,所构成的四个角中,若有三个角相等,则两条直线互相垂直答案:C知识点:垂线对顶角邻补角解析:解答:垂线的概念是:当两条直线相交,有一个角是直角时,即两条直线互相平行.依据此概念,我们能够判定,选项A正确.选项B中,两对顶角之和为180°,则说明两对顶角均为90°,选项B 也正确.在选项D中,两条直线相交,所构成的四个角中,若有三个角相等,依照对顶角的性质,说明四个角都相等,又因为四个角的度数和为360°,则说明四个角差不多上90°,选项D也正确.因为两条直线相交,形成两对对顶角,对顶角是相等的,然而不能说明该角一定是90°,因此选项C 错误.分析:把握相交线形成的对顶角知识,以及垂线的概念,就能轻松解答本题.本题考查垂线.2.如图所示,AB⊥CD,垂足为D,AC⊥BC,垂足为C,那么图中的直角一共有()A.2个B.3个C.4个D.1个答案:B知识点:垂线解析:解答:两条直线互相垂直,其所形成的夹角差不多上直角.依照题意,AB⊥CD,则∠ADC和∠BDC 差不多上直角;同时,AC⊥BC,因此∠ACB也是直角.为此,图形中一共有3个直角.分析:把握垂线的概念,就能轻松解答本题.本题考查垂线.3.如图所示,直线EO⊥CD,垂足为点O,AB平分∠EOD,则∠BOD的度数为()A.120°B.130°C.135°D.140°答案:C知识点:垂线角平分线解析:解答:两条直线互相垂直,其所形成的夹角差不多上直角.依照题意,EO⊥CD,则∠EOD和∠EOC 差不多上直角;又因为AB平分∠EOD,因此∠AOD为45°.∠AOD与∠COB是对顶角,因此∠COB 也是45°.因为∠COB与∠BOD互补,因此∠BOD=180°-45°=135°.分析:把握垂线的概念,以及角平分线和对顶角的性质,就能轻松解答本题.本题考查垂线.4.点P为直线l外一点,点A、B、C为直线l上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线l的距离为()A.4cm B.5cm C.小于2cm D.不大于2cm答案:D知识点:点到直线的距离垂线段最短解析:解答:点到直线的最短距离为过点作出的与已知直线的垂线段.在题干中,已知的最短距离为2cm,则选项A和选项B差不多上不正确的.又因为题干中没有明确告诉PC是否垂直于直线l,当两线垂直时,则点P到直线l的距离为2cm;若两直线不垂直,则点P到直线l的距离为小于2cm.因此,只能选D.分析:点到直线的最短距离为过点作出的与已知直线的垂线段,是解答本题的关键.本题考查点垂线段最短.5.如图所示,OA⊥OC,OB⊥OD,下面结论中,其中说法正确的是()①∠AOB=∠COD;②∠AOB+∠COD=90°;③∠BOC+∠AOD=180°;④∠AOC-∠COD=∠BOC.A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④答案:C知识点:垂线解析:解答:由题意可知,OA⊥OC,因此∠AOC=90°,即∠AOB+∠BOC=90°.同时,OB⊥OD,因此∠BOD=90°,即∠COD+∠BOC=90°.依次,能够判定∠AOB=∠COD,因此①正确.又因为不能推断出∠AOB与∠COD的具体角度,因此②不正确.∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD,因此∠BOC+∠AOD=∠BOC+∠AOB+∠BOC+∠COD=90°+90°=180°.因为∠AOB=∠COD,因此∠AOC-∠COD=∠AOC-∠AOB=∠BOC,因此④正确.为此,选C.分析:在把握两直线相互垂直,夹角为直角的基础上,学会角度转换,就能轻松找到正确答案.本题考查垂线.6.如图所示,直线AB⊥CD于点O,直线EF通过点O,若∠1=26°,则∠2的度数是(•).A.26°B.64°C.54°D.以上答案都不对答案:B知识点:垂线对顶角解析:解答:由题意可知,AB⊥CD于点O,因此∠BOC=∠AOD=90°,同时,∠1与∠DOF是对顶角,∠1=26°,因此∠DOF=26°.∠AOD=∠AOF+∠DOF,因此∠AOF=∠AOD-∠DOF=90°-26°=64°.因此选B.分析:在把握两直线相互垂直,夹角为直角的基础上,学会角度转换,就能轻松找到正确答案.本题考查垂线.7.在下列语句中,正确的是().A.在平面上,一条直线只有一条垂线;B.过直线上一点的直线只有一条;C.过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条;D.垂线段确实是点到直线的距离答案:D知识点:垂线解析:解答:概念明白得型题.垂直于一条直线的垂线有许多条,因此选项A错误.两点之间才只有一条直线,过一点的直线有许多条,因此选项B错误.选项C是最容易显现混淆的地点.在概念中,同一平面内,过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条;然而,在该选项中,没有注明同一平面,因此选项C错.点到直线的距离确实是垂线段,因此选项D正确.分析:概念明白得型题,在解答时要注意对概念的正确明白得,专门是像选项C这种属于专门容易混淆的题目.本题考查垂线.8.如图所示,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,则下列结论中,正确的个数为().①AB⊥AC; ②AD与AC互相垂直; ③点C到AB的垂线段是线段AB; ④点D到BC的距离是线段AD的长度; ⑤线段AB的长度是点B到AC的距离; ⑥线段AB是点B到AC的距离;⑦AD>BD.A.2个B.4个C.7个D.0个答案:B知识点:垂线点到直线的距离解析:解答:依照题意,∠BAC=90,因此AB⊥AC,①正确.AD⊥BC于D,因此AD与AC不垂直,②不正确.点到直线的距离为垂线段,因此点C到AB的垂线段是线段AB,③正确.点D到BC 的距离应为过D点垂直于AC的垂线段,AD与AC不垂直,因此④错误.因为AB⊥AC,点B到AC的距离为AB,因此⑤⑥正确.AD与BD的具体长度无法推断,因此不能确定二者的大小关系,⑦错误.分析:概念明白得型题,把握垂直和点到直线的具体的概念,是解答本题的关键.本题考查垂线.9.如图,直线AB,CD相交于点O,射线OM平分∠AOC,ON⊥OM,若∠AOM=35°,则∠CON 的度数为()A.35°B.45°C.55°D.65°答案:C知识点:垂线对顶角邻补角解析:解答:由射线OM平分∠AOC,∠AOM=35°,得出∠MOC=35°,由ON⊥OM,得出∠CON=∠MON ﹣∠MOC得出答案.解:∵射线OM平分∠AOC,∠AOM=35°,∴∠MOC=35°,∵ON⊥OM,∴∠MON=90°,∴∠CON=∠MON﹣∠MOC=90°﹣35°=55°.故选:C.分析:本题要紧考查了垂线和角平分线,解决本题的关键是找准角的关系.10.已知在正方形网格中,每个小方格差不多上边长为1的正方形,A和B两点在小方格的顶点上,位置如图所示,点C也在小方格的顶点上,且以A,B,C•为顶点的三角形的面积为1个平方单位,则C点的个数为().A.3个B.4个C.5个D.6个答案:B知识点:垂线解析:解答:已知每个小方格的边长为1,因此每个小方格的面积为1个平方单位.要使点C也在小方格的顶点上,且以A,B,C•为顶点的三角形的面积为1个平方单位,需要从两个方面来摸索:一是以A为三角形的顶点,则A到BC是距离为1,BC的距离为2时才能使面积为1个平方单位,因此,如此的点有2个.同理,若以B为三角形的顶点,如此的点也同样有2个.因此,选B.分析:从点到直线的距离,以及三角形的面积运算方法入手,就能轻松解答.本题考查垂线.11.已知直线AB,CB,l在同一平面内,若AB⊥l,垂足为B,CB⊥l,垂足也为B,则符合题意的图形能够是()A.B.C.D.答案:A知识点:垂线;平行线解析:解答:依照题意画出图形即可.故选:C.分析:此题要紧考查了垂线,关键是把握垂线的定义:当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.12.下列语句正确的是()A.两条直线相交成四个角,假如有两个角相等,那么这两条直线互相垂直B.两条直线相交成四个角,假如有两对角相等,那么这两条直线互相垂直C.两条直线相交成四个角,假如有三个角相等,那么这两条直线互相垂直D.两条直线相交成四个角,假如有两个角互补,那么这两条直线互相垂直答案:C知识点:垂线解析:解答:概念明白得型题.两条直线相交,其中有一个夹角是直角,说明这两条直线互相垂直.同时,两条直线相交,形成四个角,分为两对对顶角,对顶角是相等的.然而,两条直线垂直必须相交,两条直线相交未必垂直,因此,能够推断出选项A、选项B都错误.在选项D中,两条直线任意相交,都能满足有两个角互补,因此D错误.在选项C中,有三个角相等,能够推导出这四个角都相等,同时差不多上直角,因此选项C正确.分析:概念明白得型题,把握垂直的概念,是解答本题的关键.本题考查垂线.13.过线段外一点画这条线段的垂线,垂足一定在()A.线段上B.线段的端点上C.线段的延长线上D.以上情形都有可能答案:D知识点:垂线解析:解答:由于线段有两个端点,所线段的长度是固定的.由于点的位置不确定,因此过线段外一点画这条线段的垂线,垂足有可能在线段上、线段的端点上和线段的延长线上.那个知识点能够从三角形的高的画法上得到验证.因此,选D.分析:概念明白得型题,把握垂直的作法,是解答本题的关键.本题考查垂线.14.如图,直线AD⊥BD,垂足为D,则点B到线段AC的距离是()A.线段AC的长B.线段AD的长C.线段BC的长D.线段BD的长答案:D知识点:点到直线的距离解析:解答:点到直线的距离为垂线段,因为直线AD⊥BD,垂足为D,因此点B到线段AC的距离是线段BD的长,因此选D.分析:概念明白得型题,把握到直线的距离为垂线段,是解答本题的关键.本题考查点到直线的距离.15.如图,OM⊥NP,ON⊥NP,因此OM和ON重合,理由是()A.两点确定一条直线B.通过一点有且只有一条直线和已知直线垂直C.过一点只能作一条垂线D.垂线段最短答案:B知识点:垂线解析:解答:概念明白得型题.通过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.因为OM⊥NP,ON⊥NP,两条通过O点的直线都垂直于NP,因此选B.分析:概念明白得型题,把握通过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,是解答本题的关键.本题考查垂线.二、填空题(共5小题)1.当两条直线相交所成的四个角中_________,叫做这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫_________,它们的交点叫_________.答案:有一个直角另一条直线的垂线垂足知识点:垂线解析:解答:概念明白得型题.两条直线相交,所形成的夹角中,有一个角为直角,说明这两条直线互相垂直.相互垂直的两条直线,其中一条直线叫另一条直线的垂线.两条直线互相垂直,它们的交点叫垂足.分析:概念明白得型题,把握垂线的概念,是解答本题的关键.本题考查垂线.2.过直线上或直线外一点,_________与已知直线垂直.答案:有且只有一条直线知识点:垂线解析:解答:概念明白得型题.过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线垂直.分析:概念明白得型题,把握垂线的概念,是解答本题的关键.本题考查垂线.3.如图所示,若AB⊥CD于O,则∠AOD=_______;若∠BOD=90°,则AB____CD.答案:90°⊥知识点:垂线解析:解答:概念明白得型题.两条直线互相垂直,所形成的夹角为直角,也确实是90°.假如两条直线相交,所形成的夹角中,有一个角为90°,则这两条直线互相垂直.分析:概念明白得型题,把握垂线的概念,是解答本题的关键.本题考查垂线.4.如图所示,已知AO⊥BC于O,那么∠1与∠2________.答案:互余知识点:垂线;余角解析:解答:概念明白得型题.两条直线互相垂直,所形成的夹角为直角,也确实是90°.因为AO⊥BC 于O,因此∠AOC=90°.因为∠1+∠2=∠AOC.因此,∠1与∠2互余.分析:概念明白得型题,把握垂线的概念,是解答本题的关键.本题考查垂线.5.假如CD⊥AB于D,自CD上任一点向AB作垂线,那么所画垂线均与CD重合,这是因为__________________________________.答案:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直知识点:垂线解析:解答:概念明白得型题.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.因为CD⊥AB于D,因此自CD上任一点向AB作垂线,那么所画垂线均与CD重合.分析:概念明白得型题,把握垂线的概念,是解答本题的关键.本题考查垂线.三、解答题(共5小题)1.如图,已知A,O,E三点在一条直线上,OB平分∠AOC,∠AOB+∠DOE=90°,试问:∠COD 与∠DOE之间有如何样的关系?说明理由.答案:相等理由:∠AOB+∠DOE=90°,且A、O、E三点共线,因此∠BOC+∠COD=90°.因为OB平分∠AOC,因此∠AOB=∠BOC,通过等量代换,能够得知∠COD与∠DOE相等.知识点:垂线解析:解答:由题意可知,∠AOB+∠DOE=90°,且A、O、E三点共线,因此∠BOC+∠COD=90°.因为OB平分∠AOC,因此∠AOB=∠BOC,通过等量代换,能够得知∠COD与∠DOE相等.分析:把握相交线相关知识,是解答本题的关键.本题考查垂线.2.如图,∠1=30°,AB⊥CD,垂足为O,EF通过点O.求∠2、∠3的度数.答案:∠2=60°,∠3=30°知识点:垂线解析:解答:因为∠1与∠3是对顶角,因此∠1=∠3,因为∠1=30°,因此∠3=30°.因为AB ⊥CD ,因此∠BOD =90°,因为∠2+∠3=∠BOD ,因此∠2=90°-∠3=60°.分析:把握相交线相关知识,是解答本题的关键.本题考查垂线.3.如图,直线AB 与CD 相交于点O ,OP 是∠BOC 的平分线,OE ⊥AB ,OF ⊥CD ,(1)图中除直角外,还有相等的角吗?请写出两对:①____________;②____________.(2)假如∠AOD =40°,则①∠BOC =_______;②OP 是∠BOC 的平分线,因此∠COP =______度; ③求∠BOF 的度数.答案:(1)∠AOD =∠BOC ∠BOP =∠COP(2)①40°②20° ③50° 知识点:垂线;相交线解析:解答:由题意可知,∠AOD 与∠BOC 是对顶角,因此二者相等.因为OP 是∠BOC 的角平分线,因此∠BOP =∠COP .由第一问得到的答案,)假如∠AOD =40°,因此∠BOC =40°.OP 是∠BOC的平分线,因此∠COP =20°.因为OF ⊥CD ,因此∠COF =90°,因此∠BOF =90°-40°=50°. 分析:把握相交线相关知识,是解答本题的关键.本题考查垂线.4.如图,已知∠AOB , OE 平分∠AOC , OF 平分∠BOC.(1)若∠AOB 是直角,∠BOC =60°,求∠EOF 的度数;(2)猜想∠EOF 与∠AOB 的数量关系;(3)若∠AOB +∠EOF =156°,则∠EOF 是多少度?FEO C BA答案:(1)∠EOF =45°(2)∠EOF =21∠AOB(3)∠EOF =52°知识点:垂线解析:解答:(1)∵∠AOC =∠AOB +∠BOC ,∴∠AOC =90°+60°=150°.∵OE 平分∠AOC ,∴∠EOC =150°÷2=75°.∵OF 平分∠BOC ,∴∠COF =60°÷2=30°.∵∠EOC =∠EOF +∠COF,∴∠EOF =75°-30°=45°. (2)∵OE 平分∠AOC ,OF 平分∠BOC .∴∠COE =21∠AOC ,∠COF =21∠BOC ∵∠AOB =∠AOC -∠BOC ∴∠EOF =∠COE -∠COF =21∠AOC -21∠BOC =21(∠AOC -∠BOC )=21∠AOB (3)∵OE 平分∠AOC ,OF 平分∠BOC ,∴∠COE =21∠AOC ,∠COF =21∠BOC , ∴∠EOF =21∠AOC -21∠BOC =21(∠AOC -∠BOC )=21∠AOB .又∵∠AOB +∠EOF =156°, ∴∠EOF =52°.分析:此题难度较大,要通过角度转换.本题考查相交线所形成的角度.5.直线AB 、CD 相交于点O.(1)OE 、OF 分别是∠AOC 、∠BOD 的平分线.画出那个图形.(2)射线OE 、OF 在同一条直线上吗?(直截了当写出结论)(3)画∠AOD 的平分线OG .OE 与OG 有什么位置关系?并说明理由.答案:(1)如图中红线所示(2)射线OE 、OF 在同一条直线上(3)OE ⊥OG 理由:∵EF 平分∠AOC 和∠BOD ,同时∠AOC =∠BOD ,∴∠AOE =∠DOF .∵OG 平分∠AOD ,∴∠AOG =∠DOG .∵∠AOE +∠DOF +∠AOG +∠DOG =180°,∴∠DOF +∠DOG =180°÷2=90°,∴OE ⊥OG .知识点:垂线;角平分线解析:解答:(1)直截了当画图即可.(2)因为∠AOC 与∠BOD 是对顶角,因此两角的角平分线是在同一直线上.(3)∵EF 平分∠AOC 和∠BOD ,同时∠AOC =∠BOD ,∴∠AOE =∠DOF .∵OG 平分∠AOD ,EF∴∠AOG=∠DOG.∵∠AOE+∠DOF+∠AOG+∠DOG=180°,∴∠DOF+∠DOG=180°÷2=90°,∴OE⊥OG.分析:此题把握了角平分的性质是解题的关键.本题考查垂线和角平分线.。

新人教版七年级数学下册同步测试 5.1.2垂线(含答案)

新人教版七年级数学下册同步测试 5.1.2垂线(含答案)

新人教版七年级数学下册同步测试5.1.2 垂线知识要点:1.垂线的定义:当两条直线相交所成的四个角中有一个角为90°时,这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.符号:如AB⊥CD.2.垂线的性质:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(基本事实).“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性,“过一点”中的这一点,可以在已知直线上,也可以在已知直线外.3.垂线的画法一落:让三角尺的一条直角边落在已知直线上,使其与已知直线重合;二移:沿直线移动三角尺,使其另一条直角边经过已知点;三画:沿此直角边画直线,则这条直线就是已知直线的垂线.4.垂线段的性质:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,出线端最短.5.点到直线的距离的定义直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.一、单选题1.如图,在立定跳远中,体育老师是这样测量运动员的成绩的,用一块直角三角板的一边附在起跳线上,另一边与拉直的皮尺重合,这样做的理由()A.垂线段最短B.过两点有且只有一条直线C .过一点可以作无数条直线D .两点之间线段最短2.如图,经过直线l 外一点A 作l 的垂线,能画出( )A .4条B .3条C .2条D .1条3.点A 在直线m 外,点B 在直线m 上,A B 、两点的距离记作a ,点A 到直线m 的距离记作b ,则a 与b 的大小关系是 ( )A .a b >B .a b ≤C .a b ≥D .a b <4.如图,直线EO ⊥CD ,垂足为点O ,AB 平分∠EOD ,则∠BOD 的度数为( )A .120°B .130°C .135°D .140°5.如图,已知点O 在直线AB 上,CO ⊥DO 于点O ,若∠1=145°,则∠3的度数为( )A .35°B .45°C .55°D .65°6.如图所示,已知AC ⊥BC ,CD ⊥AB ,垂足分别是C ,D ,那么以下线段大小的比较必定成立的是( )A .CD AD >B .AC BC < C .BC BD > D .CD BD <7.如图,直线AB 、CD 相交于点O ,下列条件中,不能说明AB ⊥CD 的是( )A .∠AOD =90°B .∠AOC =∠BOCC .∠BOC +∠BOD =180°D .∠AOC +∠BOD =180°8.如图,想在河堤两岸搭建一座桥,图中搭建方式中,最短的是( )A .PAB .PBC .PCD .PD9.如图,要把河中的水引到水池A 中,应在河岸B 处(AB ⊥CD )开始挖渠才能使水渠的长度最短,这样做依据的几何学原理是( )A .两点之间线段最短B .点到直线的距离C .两点确定一条直线D .垂线段最短二、填空题10.如图,把小河里的水引到田地A处就作AB⊥l,垂足为B,沿AB挖水沟,水沟最短. 理由是_______________________.11.如图,OC⊥AB,OE为∠COB的平分线,∠AOE的度数为_______12.如图,直线AB,CD相交于点O,射线OM平分∠AOC,ON⊥OM.若∠AOM=35°,则∠CON 的度数为_________.13.在______内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.三、解答题14.如下图,已知AB、CD、EF相交于点O,AB⊥CD,OG平分∠AOE,∠FOD=25°,求∠COE、∠AOE、∠AOG的度数。

七年级下册垂线的认识课后练习题(附答案)

七年级下册垂线的认识课后练习题(附答案)

七年级下册垂线的认识课后练习题(附答案)一、填空题1. 平面内,过一点____一条直线与已知直线垂直.2. 填空:如图所示,∠COB=90∘(1)直线____与直线____相交于点D:(2)直线____⊥直线____,垂足为____;(3)过点C有且只有____直线与直线AB垂直;3. 如图,OA⊥OC,∠1=∠3,则OB与OD的位置关系是____.4. 垂线的性质性质1:平面内,过一点____与已知直线垂直.性质2:连接直线外一点与直线上各点的____中,____最短.5. 如图,直线AB与CD相交于点O,且∠AOC=90∘,则AB____CD,图中直角共有____个.6. 若直线AB,CD相交于点O,若∠BOD=90∘,则称直线AB与CD____,直线AB是直线CD的____.7. 当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线____,其中的一条直线叫做另一条直线的____线,它们的交点叫做____.8. 点A在直线a外,直线AB⊥a,直线AC⊥a,那么直线AB,AC的关系是____.二、单选题9. 如图,经过直线l外一点画l的垂线,能画出( )A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条10. 如图,OA⊥OB,CO⊥OD,则下列叙述正确的是( )A. ∠AOC=∠AODB. ∠AOD=∠BODC. ∠AOC=∠BODD. 以上都不对11. 如图,经过直线l外一点A画l的垂线,能画出( )A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条12. 过一条线段外一点,作这条线段的垂线,垂足在( )A. 这条线段上(不包含端点)B. 这条线段的端点处C. 这条线段的延长线上D. 以上都有可能13. 如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥CD,下列说法错误的是( ).A. ∠AOD=∠BOCB. ∠AOC=∠AOEC. ∠AOE+∠BOD=90∘D. ∠AOD+∠BOD=180∘14. 如图,如果直线AB垂直于直线CD,垂足为点O,那么图中的直角有( ).A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个15. 如图,过点P作直线l的垂线和斜线,下列叙述正确的是( )A. 都能作且只能作一条B. 垂线能作且只能作一条,斜线可作无数条C. 垂线能作两条,斜线可作无数条D. 均可作无数条七年级下册垂线的认识课后练习题(附答案)答案和解析1. 【答案】有且只有2. 【答案】(1)AB CD(2)CE AB O(3)一条【解析】通过复习斜交、垂直的意义,测量CD与CO的长度,比较它们的大小,可以由此引入点到直线的距离,其实,CO即为点C到直线AB的距离.3. 【答案】OB⊥OD4. 【答案】有且只有一条直线所有线段垂线段5. 【答案】⊥46. 【答案】互相垂直垂线7. 【答案】互相垂直垂垂足8. 【答案】重合【解析】由于过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,所以直线AB,AC重合.9. 【答案】A【解析】平面内经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线,据此可得.解:经过直线l外一点画l的垂线,能画出1条垂线,故选:A.10. 【答案】C11. 【答案】A【解析】在同一平面内,过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.12. 【答案】D【解析】作一条线段的垂线,实际上是作线段所在直线的垂线,垂足可能在这条线段上(包含端点),也可能在线段的延长线上.13. 【答案】B14. 【答案】D15. 【答案】B。

人教版七年级数学下册垂线2同步练习题

人教版七年级数学下册垂线2同步练习题

5.1.2 垂线一、填空题1.当两条直线相交所成的四个角中有一个角是______时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线是另一条直线的_______,它们的交点叫做_______.垂直是相交的一种特殊情形.2.过一点___________直线与已知直线垂直.3.“神舟”六号发射塔与地平面的夹角为__________度,它与地面的位置关系为_________.4.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,__________最短,直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的________.如图,过点O 作四条与直线l 相交的直线,交点分别为点A、B、C、D,其中OC⊥l,则在OA、OB、OC、OD 这四条线段中,________最短,点O 到直线l 的距离是线段______的长.第4题图第5题图第6题图5.如图,OB⊥OA,直线CD 过点O,且∠AOC=25°,则∠BOC=______,∠BOD=_______.6.如图,AC⊥BC,CD⊥AB.(1)图中共有______个直角;(2)图中点C 到直线AB 的距离是线段______的长度,点B 到直线AC 的距离是线段_____的长度,点B 到直线CD 的距离是线段______的长度;(3)线段AD 的长表示___________的距离.7.如图,AB、CD 相交于点O,AC⊥CD 于点C.若∠BOD =38°,则∠A =__________.第7题图第8题图二、选择题8.如图,∠1+∠2等于 ( ) A.60° B.90° C.110° D.180°9.①过直线上一点作该直线的垂线不止一条;②直线a 的垂线有无数条;③相交的直线不一定垂直,但垂直的直线必定相交;④过直线外一点作已知直线的垂线有且只有一条.上述说法中不正确的有 ( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10.过一条线段外一点,画这条线段的垂线,垂足在 ( ) A.这条线段上B.这条线段的端点C.这条线段的延长线上D.这条线段上或这条线段的延长线上11.跳远比赛时,小新从点A 跳落在沙坑内B 处(如图所示),这次小新的跳远成绩是3.4m,则小新从起跳点到落脚点之间的距离 ( )A.等于3.4m B.小于3.4m C.大于3.4m D.不能确定12.如图,点P 在∠AOC 的边OA 上.(1)过点P 画OA 的垂线PB,交OC 于点B;(2)画出点P 到OC 的垂线段PM ;(3)上述作图中,哪一条线段的长表示点P 到OB 的距离?(4)比较PM 与OP 的大小,并说明理由.13.如图所示,直线AB、CD 相交于点O,OM ⊥AB.(1)若∠1=∠2,判断ON 与OD 的位置关系,并说明理由;(2)若∠1=1∠BOC,求∠AOC 和∠MOD 的度数.414.如图,A 处是某学生的家,B 处是学校,l 是一条公路,学生要去学校,如何走最近? 该学生要去公路怎样走最近? 请在图中画出相应的路线,并简述理由.15.已知线段AB 的长为acm,点A、B 到直线l 的距离分别为6cm,4cm.请画图说明在下列条件下符合条件的直线l有几条.(1)a=3;(2)a=10;(3)a=15.专项训练二概率初步一、选择题1.(徐州中考)下列事件中的不可能事件是( )A.通常加热到100℃时,水沸腾 B.抛掷2枚正方体骰子,都是6点朝上C.经过有交通信号灯的路口,遇到红灯 D.任意画一个三角形,其内角和是360°2.小张抛一枚质地均匀的硬币,出现正面朝上的可能性是( )A.25% B.50% C.75% D.85%3.(2016·贵阳中考)2016年5月,为保证“中国大数据产业峰会及中国电子商务创新发展峰会”在贵阳顺利召开,组委会决定从“神州专车”中抽调200辆车作为服务用车,其中帕萨特60辆、狮跑40辆、君越80辆、迈腾20辆,现随机从这200辆车中抽取1辆作为开幕式用车,则抽中帕萨特的概率是( )A.110B.15C.310D.254.(金华中考)小明和小华参加社会实践活动,随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项,那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为( )A.14B.13C.12D.345.在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球,它们只有颜色上的区别,随机从袋中摸出2个小球,两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为( )A.12B.13C.14D.166.现有两枚质地均匀的正方体骰子,每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6.同时投掷这两枚骰子,以朝上一面所标的数字为掷得的结果,那么所得结果之和为9的概率是( )A.13B.16C.19D.1127.分别转动图中两个转盘一次,当转盘停止转动时,两个指针分别落在某个数所表示的区域,则两个数的和是2的倍数或3的倍数的概率等于( )A.316B.38C.58D.1316第7题图 第8题图8.(2016·呼和浩特中考)如图,△ABC 是一块绿化带,将阴影部分修建为花圃,已知AB =15,AC =9,BC =12,阴影部分是△ABC 的内切圆,一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上,则小鸟落在花圃上的概率为( )A.16B.π6C.π8D.π5二、填空题9.已知四个点的坐标分别是(-1,1),(2,2),⎝ ⎛⎭⎪⎫23,32,⎝ ⎛⎭⎪⎫-5,-15,从中随机选取一个点,在反比例函数y =1x 图象上的概率是________.10.(黄石中考)如图所示,一只蚂蚁从A 点出发到D ,E ,F 处寻觅食物.假定蚂蚁在每个岔路口都可能随机选择一条向左下或右下的路径(比如A 岔路口可以向左下到达B 处,也可以向右下到达C 处,其中A ,B ,C 都是岔路口).那么,蚂蚁从A 出发到达E 处的概率是________.11.(贵阳中考)现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》任务卡片,正面朝下放置在桌面上,从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回,洗匀后再抽.通过多次试验后,发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为________.12.(荆门中考)荆楚学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况,随机选取了3名女生和2名男生,则从这5名学生中,选取2名同时跳绳,恰好选中一男一女的概率是________.13.(重庆中考)点P 的坐标是(a ,b ),从-2,-1,0,1,2这五个数中任取一个数作为a 的值,再从余下的四个数中任取一个数作为b 的值,则点P (a ,b )在平面直角坐标系中第二象限内的概率是________.14.★从-1,1,2这三个数字中,随机抽取一个数记为a ,那么,使关于x 的一次函数y =2x +a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为14,且使关于x 的不等式组⎩⎨⎧x +2≤a ,1-x ≤2a有解的概率为________.三、解答题15.(南昌中考)在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球,其中红球4个,黑球6个.(1)先从袋子中取出m (m >1)个红球,再从袋子中随机摸出1个球,将“摸出黑球”记为事件A ,请完成下列表格:(2)先从袋子中取出m 个红球,再放入m 个一样的黑球并摇匀,随机摸出1个黑球的概率等于45,求m 的值.16.(菏泽中考)锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目,答对最后两道单选题就顺利通关,第一道单选题有3个选项,第二道单选题有4个选项,这两道题锐锐都不会,不过锐锐还有两个“求助”可以用(使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项).(1)如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用,那么锐锐通关的概率是________;(2)如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用,那么锐锐通关的概率是________;(3)如果锐锐将每道题各用一次“求助”,请用树状图或者列表来分析他顺利通关的概率.17.(丹东中考)甲、乙两人进行摸牌游戏.现有三张形状大小完全相同的牌,正面分别标有数字2,3,5.将三张牌背面朝上,洗匀后放在桌子上.(1)甲从中随机抽取一张牌,记录数字后放回洗匀,乙再随机抽取一张.请用列表法或画树状图的方法,求两人抽取相同数字的概率;(2)若两人抽取的数字之和为2的倍数,则甲获胜;若抽取的数字之和为5的倍数,则乙获胜.这个游戏公平吗?请用概率的知识加以解释.18.一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球,这些小球分别标有数字3,3,5,x,甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球,并计算摸出的这2个球上数字之和,记录后将小球放回袋中搅匀,进行重复实验.实验数据如下表:(1)如果实验继续进行下去,根据上表数据,出现“和为8”的频率稳定在它的概率附近,估计出现“和为8”的概率是________;(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是13,那么x的值可以取4吗?请用列表法或画树状图法说明理由;如果x的值不可以取4,请写出一个符合要求的x的值.参考答案与解析1.D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.C 7.C8.B 解析:∵AB =15,BC =12,AC =9,∴AB 2=BC 2+AC 2,∴△ABC 为直角三角形,∴△ABC 的内切圆半径为12+9-152=3,∴S △ABC =12AC ·BC =12×12×9=54,S 圆=9π,∴小鸟落在花圃上的概率为9π54=π6.9.12 10.12 11.15 12.35 13.15 14.13 15.解:(1)4 2或3 (2)根据题意得6+m 10=45,解得m =2,所以m 的值为2. 16.解:(1)14 解析:第一道肯定能对,第二道对的概率为14,所以锐锐通关的概率为14;(2)16 解析:锐锐两次“求助”都在第二道题中使用,则第一道题对的概率为13,第二道题对的概率为12,所以锐锐能通关的概率为12×13=16;(3)锐锐将每道题各用一次“求助”,分别用A ,B 表示剩下的第一道单选题的2个选项,a ,b ,c 表示剩下的第二道单选题的3个选项,树状图如图所示.共有6种等可能的结果,锐锐顺利通关的只有1种情况,∴锐锐顺利通关的概率为16.17.解:(1)所有可能出现的结果如下表,从表格可以看出,总共有9种结果,每种结果出现的可能性相同,其中两人抽取相同数字的结果有3种,所以两人抽取相同数字的概率为13;(2)不公平.从表格可以看出,两人抽取数字之和为2的倍数有5种,两人抽取数字之和为5的倍数有3种,所以甲获胜的概率为59,乙获胜的概率为13.∵59>13,∴甲获胜的概率大,游戏不公平.2 3 52 2 23 2 5 2 3 2 3 3 3 5 3 52 53 5 5 518.解:(1)0.33(2)图略,当x 为4时,数字和为9的概率为212=16≠13,所以x 不能取4;当x =6时,摸出的两个小球上数字之和为9的概率是13.。

垂线(巩固篇)(专项练习)-七年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)

垂线(巩固篇)(专项练习)-七年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)

专题5.6垂线(巩固篇)(专项练习)一、单选题1.两条直线相交所成的四个角中,下列条件中能判定两条直线垂直的是().A.有两个角相等B.有两对角相等C.有三个角相等D.有四对邻补角2.如图,经过直线l外一点A作l的垂线,能画出()A.4条B.3条C.2条D.1条3.在数学课上,同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时,有一部分同学画出下列四种图形,正确的是()A.B.C.D.4.如图,点A在直线l1上,点B,C在直线l2上,AB⊥l2,AC⊥l1,AB=4,BC=3,则下列说法正确的是()A.点A到直线l2的距离等于4B.点C到直线l1的距离等于4C.点C到AB的距离等于4D.点B到AC的距离等于35.如图,在△ABC中,∠C=90︒,D是边BC上一点,且∠ADC=60︒,那么下列说法中错误的是()A.直线AD与直线BC的夹角为60︒B.直线AC与直线BC的夹角为90︒C .线段CD 的长是点D 到直线AC 的距离D .线段AB 的长是点B 到直线AD 的距离6.如图,已知直线AB l ⊥,BC l ⊥,则直线AB 与BC 重合,理由是()A .垂线段最短B .在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C .直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离D .在同一平面内,如果一条直线垂直于两条平行线中的一条,那么它也垂直于另一条7.如图, ,, 5, 3AD BD BC CD AB BC ⊥⊥==,则BD 的长度可能是()A .3B .5C .3或5D .4.58.如图所示,点A 到BC 所在的直线的距离是指图中线段()的长度.A .ACB .AFC .BD D .CE9.直线AB ,CD 相交于点O .OE ,OF ,OG 分别平分AOC ∠,BOC ∠,AOD ∠.下列说法正确的是()A .OE ,OF 在同一直线上B .OE ,OG 在同一直线上C .OG OF⊥D .OE OF ⊥10.如图,直线AB 、CD 相交于点O ,OE ⊥AB ,O 为垂足,如果∠EOD =38°,下列结论不正确的是()A .∠EOB =90°B .∠DOB 是∠AOE 的补角C .∠AOC =52°D .∠AOC 与∠EOD 互为余角二、填空题11.如果∠α,∠β两边分别垂直,其中∠α比∠β的2倍少30°,那么∠α=_____.12.如图,直线AB ,CD 相交于点O ,EO ⊥AB ,垂足为O ,∠AOC :∠COE =2:3,则∠AOD =______.13.如图,直线AB 、CD 相交于点O ,OE 平分BOC ∠,OF OE ⊥于点O .若80AOD ∠=︒,则AOF ∠等于____________.14.点O 为线段AB 上一点,不与点A 、B 重合,OC ⊥OD 于点O ,若∠AOC =35°,则∠BOD 的度数为___.15.如图,点C ,O ,D 在一条直线上,OA OB ⊥,OE 平分AOC BOC ∠∠,比BOD ∠大70︒,COE ∠的度数为________.16.已知点O 是直线AB 上一点,50AOC ∠=︒,OD 平分AOC ∠,90BOE ∠=︒,请写出下列正确结论的序号_____________①130BOC ∠=︒②25AOD ∠=︒③155BOD ∠=︒④45COE ∠=︒17.如图,直线AB ,CD 相交于点O ,OE CD ⊥,垂足为点O .当直线AB 绕着点O 在DOE ∠内部转动,OF 是AOC ∠的角平分线,若BOE α∠=,则AOF β∠=,则β关于α的函数关系式为______.18.100条直线两两相交于一点,则共有对顶角(不含平角)_______对,邻补角________对.三、解答题19.如图,A 、B 、C 是平面内三点.(1)按要求作图:①作射线BC ,过点B 作直线l ,使A 、C 两点在直线l 两旁;②点P 为直线l 上任意一点,点Q 为直线BC 上任意一点,连接线段AP 、PQ ;(2)在(1)所作图形中,若点A 到直线l 的距离为2,点A 到直线BC 的距离为5,点A 、B 之间的距离为8,点A 、C 之间的距离为6,则AP +PQ 的最小值为__________,依据是__________20.如图,直线AB 、CD 相交于点O ,OD 平分AOF ∠,EO OD ⊥,55EOA ∠=︒,求BOF ∠的度数.21.如图,已知OB ,OC ,OD 是AOE ∠内三条射线,OB 平分AOE ∠,OD 平分COE ∠.(1)若70AOB ∠=︒,20DOE ∠=︒,求BOC ∠的度数.(2)若136AOE ∠=︒,AO CO ⊥,求BOD ∠的度数.(3)若20DOE ∠=︒,220AOE BOD ∠+∠=︒,求BOD ∠的度数.22.如图,O 为直线AB 上一点,F 为射线OC 上一点,OE ⊥AB .(1)用量角器和直角三角尺画∠AOC 的平分线OD ,画FG ⊥OC ,FG 交AB 于点G ;(2)在(1)的条件下,比较OF 与OG 的大小,并说明理由;(3)在(1)的条件下,若∠BOC =40°,求∠AOD 与∠DOE 的度数.23.如图,用三张卡片拼成如下图①,图②所示的两个四边形,其周长分别为1C 、2C .(1)请你根据所学知识解释:在直角三角形卡片中,“n m <”的理由是_________.(填写正确选项的字母)A .两点之间线段最短;B .过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;C .垂线段最短;D .两点确定一条直线.(2)分别计算1C 、2C (用含m 、n 的代数式表示);(3)比较112C 与212C 的大小,并说明理由.24.点O 为直线l 上一点,射线OA OB 、均与直线l 重合,如图1所示,过点O 作射线OC 和射线OD ,使得100BOC ∠=︒,90COD ∠=︒,作AOC ∠的平分线OM .(1)求AOC ∠与MOD ∠的度数;(2)作射线OP ,使得90BOP AOM ∠+∠=︒,请在图2中画出图形,并求出COP ∠的度数;(3)如图3,将射线OB 从图1位置开始,绕点O 以每秒5︒的速度逆时针旋转一周,作COD ∠的平分线ON ,当20MON ∠=︒时,求旋转的时间.参考答案1.C【分析】两直线相交所成的四个角中,有一个角为90°,则这两条直线互相垂直,根据的定义判断即可.【详解】解:A、两条直线相交成四个角,如果有两个角相等,是两个对顶角相等,那么这两条直线不一定垂直,故本选项错误;B、两条直线相交成四个角,如果有两对角相等,是两对对顶角相等,那么这两条直线不一定垂直,故本选项错误;C、两条直线相交成四个角,则这四个角中有2对对顶角.如果三个角相等,则这四个角相等,都是直角,所以这两条直线垂直.故正确;D、两条直线相交成四个角,如果有四对邻补角,是四对普通的邻补角,那么这两条直线不一定垂直,故本选项错误;故选:C.【点拨】本题主要考查了垂线的定义,对顶角的定义,邻补角的定义,是基础题,熟记概念是解题的关键.2.D【分析】平面内经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线,据此可得.【详解】解:经过直线l外一点画l的垂线,能画出1条垂线,故选D.【点拨】本题主要考查垂线,解题的关键是掌握在平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.3.A【分析】满足两个条件:①经过点B.②垂直AC;由此即可判断.【详解】解:根据垂线段的定义可知,图①线段BE,是点B作线段AC所在直线的垂线段,故选A.【点拨】本题考查作图-复制作图,垂线的定义等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.4.A【分析】根据点到直线的距离的定义:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,即可得到答案.【详解】解:点A到直线l2的距离为AB的长,等于4,故A正确;点C到直线l1的距离为AC的长,大于4,故B错误;点C到AB的距离为BC的长,等于3,故C错误;同理,点B 到AC 的距离也不是3,故D 错误,故选:A【点拨】本题考查点到直线的距离,掌握定义是解题的关键.5.D【分析】根据已知角即可判断A 、B ;根据点到直线的距离的定义即可判断C 、D .【详解】解:A 、∵∠CDA =60︒,∴直线AD 与直线BC 的夹角是60︒,正确,故不符合题意;B 、∵∠ACD =90︒,∴直线AC 与直线BC 的夹角是90︒,正确,故不符合题意;C 、∵∠ACD =90︒,∴DC ⊥AC ,∴线段CD 的长是点D 到直线AC 的距离,正确,故不符合题意;D 、∵BD 和AD 不垂直,∴线段AB 的长不是点B 到直线AD 的距离,错误,故本选项符合题意;故选:D .【点拨】本题考查了点到直线的距离,以及直线与直线的夹角,注意:点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长.6.B【分析】直接利用垂线的性质进而分析得到答案.【详解】∵AB l ⊥,BC l ⊥,垂足为B ,∴AB 和BC 重合,理由是:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.故选:B .【点拨】本题考查了同一平面内直线的垂直关系及垂线段的知识点,解题的关键是熟悉对垂线段定义的理解.7.D【分析】根据垂线段最短可得3<BD <5.【详解】解:∵AD ⊥BD ,BC ⊥CD ,AB=5,BC=3,∴BC <BD <AB ,即3<BD <5.故选:D .【点拨】此题主要考查了垂线段的性质,关键是掌握垂线段最短.8.B【分析】根据点到直线的距离是垂线段的长度,可得答案.【详解】点A 到线段BC 所在直线的距离是线段AF 的长度,故选B .【点拨】本题考查了点到直线的距离,利用点到直线的距离的定义是解题关键.9.D【分析】根据角平分线的性质得到12COE AOC ∠=∠,12COF BOC ∠=∠,又因为AOC ∠与BOC ∠是互为补角,所以90COE COF ∠+∠=︒,所以OE OF ⊥,所以A 错误,D 正确;因为12AOG AOD Ð=Ð,且AOD ∠与BOC ∠互为对顶角,所以AOG BOF ∠=∠,所以OF 与OG 共线,所以OE OG ⊥,所以B ,C 均错误.【详解】解:如图,∵OE ,OF 分别是AOC ∠,BOC ∠的平分线,∴12COE AOE AOC ∠=∠=∠,12COF BOF BOC Ð=Ð=Ð,∵OG 是AOD ∠的平分线,∴12AOG DOG AOD Ð=Ð=Ð,∴1180902COE COFAOF BOF ����窗=,∴90EOF ∠=︒,∵AOC BOD ∠=∠,∴AOG BOF ∠=∠,∴90EOG AOG AOE Ð=Ð+Ð=°,∴180EOG EOF ∠+∠=︒,∴OF 与OG 共线,∴射线OE ,OF 互相垂直,故D 正确,A 错误;射线OF 与OG 互相垂直,故BC 错误.故选:D .【点拨】本题考查了垂线,对顶角,角平分线的定义,正确的识别图形是解题的关键.10.B【分析】根据垂直的定义可知90EOB ∠=︒,故A 正确;根据互补定义,由图知DOB ∠和AOD ∠互补,故B 错误;根据OE ⊥AB ,∠EOD =38°,结合对顶角定义,可得52AOC BOD ∠=∠=︒,故C 正确;根据互余定义和对顶角定义可知AOC BOD ∠=∠,90BOD EOD ∠+∠=︒即可得到∠AOC 与∠EOD 互为余角,故D 正确,从而得到结论.【详解】解:A 、由于OE ⊥AB ,则90EOB ∠=︒,故该选项不符合题意;B 、由于A O B 、、三点共线,则180AOD BOD ∠+∠=︒,即∠DOB 是∠AOE 的补角错误,故该选项符合题意;C 、由于OE ⊥AB ,则90EOB ∠=︒,再结合∠EOD =38°,根据对顶角相等可知52AOC BOD ∠=∠=︒,故该选项不符合题意;D 、由于OE ⊥AB ,则90EOB ∠=︒,从而90BOD EOD ∠+∠=︒,根据对顶角相等AOC BOD ∠=∠可得90AOC EOD ∠+∠=︒,∠AOC 与∠EOD 互为余角,故该选项不符合题意;故选:B .【点拨】本题考查垂线的定义、互余的定义、互补的定义和对顶角相等的性质等知识点,熟记概念,准确识图并找到各个相关角度之间的数量关系是解决问题的关键.11.30︒或110︒【分析】分两种情况,当αβ∠=∠时,当180αβ∠+∠=︒,然后进行计算即可解答,【详解】解:设∠β为x ︒,则()230x α∠=-︒,分两种情况:当αβ∠=∠时,如图:230x x ∴-=,解得:30x =,30α∴∠=︒,当180αβ∠+∠=︒,如图:230180x x ∴-+=,解得:70x =,110α∴∠=︒综上所述:30α∠=︒或110α∠=︒.故答案为:30︒或110︒.【点拨】本题考查了垂线,角的计算,根据题意画出图形,分两种情况讨论是解题的关键.12.144°【分析】直接利用垂直的定义得出∠AOE =90°,进而利用∠AOC :∠COE =2:3,得出∠AOC 的度数,进而得出答案.【详解】解:∵EO ⊥AB ,∴∠AOE =90°,∵∠AOC :∠COE =2:3,∴设∠AOC =2x ,∠COE =3x ,则3x +2x =90°,解得:x =18°,故∠AOC =36°,则∠AOD =180°-36°=144°.故答案为:144°.【点拨】此题主要考查了垂直的定义以及邻补角,正确得出∠AOC 度数是解题关键.13.50︒##50度【分析】根据对顶角相等可得80BOC AOD =∠=︒∠,再根据角平分线的性质得1402BOE BOC ==︒∠∠,最后根据平角的性质求解即可.【详解】解:∵80AOD ∠=︒,∴80BOC AOD =∠=︒∠.∵OE 平分∠BOC ,∴1402BOE BOC ==︒∠∠.∵OF ⊥OE ,∴90EOF ∠=︒,∴180180409050AOF BOE EOF =︒--=︒-︒-︒=︒∠∠∠.故答案为:50︒.【点拨】本题考查了角的度数问题、垂直定义以及角平分线的定义,掌握对顶角相等、平角的定义是解题的关键.14.55°或125°【分析】分OC ,OD 在AB 的同侧和异侧两种情况求解.【详解】当OC 和OD 在AB 同一侧时,如图:∵OC ⊥OD ,∴∠COD =90°,∴∠AOC +∠BOD =90°,∵∠AOC =35°,∴∠BOD =90°﹣∠AOC =90°﹣35°=55°,当OC 和OD 在AB 同异侧时,如图:∵OC ⊥OD ,∴∠COD =90°,∵∠AOC =35°,∴∠AOD =55°,∴∠BOD =180°﹣∠AOD =180°﹣55°=125°.∴∠BOD 的度数为55°或125°.故答案为:55°或125°.【点拨】本题考查了垂直的定义即两直线相交,交成的四个角中有一个是直角,理解定义,学会分类是解题的关键.15.72.5︒##72.5度【分析】根据BOC ∠比BOD ∠大70︒,BOC ∠和BOD ∠互补,即可求出55BOD ∠=︒,进而由垂直性质可求出35AOD ∠=︒,再由角平分线性质即可得出答案.【详解】解:∵BOC ∠比BOD ∠70︒,∴设BOD x ∠=,则70BOC x ∠=+︒,∵BOC ∠+180BOD ∠=︒,∴()70180x x ++︒=︒,∴55x =︒,∴55BOD ∠=︒,∵OA OB ⊥,∴90AOB ∠=︒,∴9035AOD BOD ∠=︒-∠=︒,∴180145AOC AOD ∠=︒-∠=︒,∵OE 平分AOC ∠,∴172.52COE AOC ∠=∠=︒.故答案为:72.5︒.【点拨】本题考查了垂直的性质,角平分线的性质以及角的运算,掌握以上知识是解题的关键.16.①②③【分析】根据图形的特点及角平分线的概念依次求出各角度即可解答.【详解】解:∵50AOC ∠=︒,∴∠BOC =180°-AOC ∠=130°,则①正确∵OD 平分AOC ∠,∴∠AOD =1252AOC ∠=︒,则②正确∴∠BOD =180°-∠AOD =155°,则③正确∵90BOE ∠=︒∴∠COE =90︒-AOC ∠=40°,则④错误.故答案为:①②③.【点拨】本题主要考查角平分线、垂直、邻补角的定义以及角的和差等知识点,熟知邻补角的定义及角平分线的定义成为解答本题的关键.17.()1450902β=-α+︒︒<α<︒【分析】先由角平分线定义得:22AOC AOF ∠=∠=β,由垂直定义和角的和差90BOC ∠=︒+α,再根据180AOC BOC ∠+∠=︒,得到α与β的关系,进而得解.【详解】∵OF 是AOC ∠的角平分线,AOF β∠=,∴22AOC AOF ∠=∠=β.∵OE CD ⊥,∴90COE ∠=︒,∵BOE α∠=,∴90BOC COE BOE ∠=∠+∠=︒+α.∵180AOC BOC ∠+∠=︒,∴290180β+︒+α=︒,∴()1450902β=-α+︒︒<α<︒,故答案是()1450902β=-α+︒︒<α<︒.【点拨】本题主要考查垂直的定义,角平分线的定义,补角的定义,由180AOC BOC ∠+∠=︒,90BOC ∠=︒+α,推导出β关于α的函数关系式是解本题的关键.18.990019800【详解】100条直线两两相交,最多有100(1001)49502-=个交点,每个交点处有两组对顶角,4对邻补角,故100条直线两两相交于一点共有4950×2=9900(对)对顶角,有4950×4=19800(对)邻补角,故答案为9900,19800.19.(1)①见解析;②见解析(2)5,垂线段最短【分析】(1)根据题意作出图形即可;(2)根据线段的性质即可得到结论.(1)解:①如图1所示,射线BC ,直线l 即为所求;②如图1所示,线段AP ,PQ 即为所求;;(2)解:过A 作AQ ⊥BC 交直线l 于P ,则此时,AP +PQ 的值最小,∵点A 到直线BC 的距离为5,∴AP +PQ 的最小值为5,依据是垂线段最短,故答案为:5,垂线段最短.【点拨】本题考查了点到直线的距离,直线,射线,线段的定义,正确的作出图形是解题的关键.20.110BOF ∠=︒【分析】依据EO OD ⊥,55EOA ∠=︒,可得905535AOD ∠=︒-︒=︒,再根据OD 平分AOF ∠,即可得出270AOF AOD ∠=∠=︒,依据平角定义得到BOF ∠.【详解】解:∵EO OD ⊥,∴90EOD ∠=︒.∵55EOA ∠=︒.∴1905535EOD EOA ∠=∠-∠=︒-︒=︒.∵OD 平分AOF ∠.∴11352AOF ∠=∠=︒.∴70AOF ∠=︒.∵180BOA BOF AOF ∠=∠+∠=︒∴180********BOF AOF ∠=︒-∠=︒-︒=︒.【点拨】本题主要考查了垂线的意义,角平分线的定义以及余角的综合运用,正确的识别图形是解题的关键.21.(1)30︒(2)45︒(3)60︒【分析】对于(1),由角平分线的定义求出∠BOE 和COE ∠,再根据=BOC BOE COE ∠∠-∠即可求解;对于(2),先求出COE ∠,再根据角平分线的定义求出DOE ∠和∠BOE ,然后根据=-BOD BOE DOE ∠∠∠即可求解;对于(3),由角平分线的定义得2AOE BOE ∠=∠,结合已知条件可得2220BOE BOD ∠+∠=︒,20BOE BOD ∠-∠=︒,即2240BOE BOD ∠-∠=︒,进而得出3180∠=︒BOD ,可得答案.【详解】(1)∵OB 平分AOE ∠,OD 平分COE ∠,∴70BOE AOB ∠=∠=︒,240COE DOE ∠=∠=︒,∴=704030BOC BOE COE ∠∠-∠=︒-︒=︒;(2)∵AO CO ⊥,∴=90AOC ∠︒.∵136AOE ∠=︒,∴1369046COE AOE AOC ∠=∠-∠=︒-︒=︒.∵OB 平分AOE ∠,OD 平分COE ∠,∴1682BOE AOE ∠=∠=︒,1232COE ∠=∠=︒,∴=-682345BOD BOE DOE ∠∠∠=︒-︒=︒;(3)∵OB 平分AOE ∠,∴2AOE BOE ∠=∠.∵220AOE BOD ∠+∠=︒,∴2220BOE BOD ∠+∠=︒.∵BOE BOD DOE ∠-∠=∠,∴20BOE BOD ∠-∠=︒,∴2240BOE BOD ∠-∠=︒,∴3180∠=︒BOD ,∴60BOD ∠=︒.【点拨】本题主要考查了角的和差,关键是由角平分线定义得出相关等式.22.(1)见解析;(2)OF <OG ;理由见解析;(3)∠AOD =70°,∠DOE =20°.【分析】(1)使用量角器量出AOC ∠的度数,再用直角三角尺画它的平分线,使用直角三角尺画FG OC ⊥于G ;(2)根据垂线段最短即可确定OF 和OG 的大小;(3)先利用邻补角计算出180140AOC BOC ∠=︒-∠=︒,再根据角平分线定义得70AOD ∠=°,然后利用角互余计算DOE ∠的度数.【详解】(1)先使用量角器量出AOC ∠的度数,再用直角三角尺画它的平分线;使用直角三角尺画FG OC ⊥于G ,如下图所示,OD 、FG 即为所画(2)OF OG <.理由如下:FG OC⊥ OF ∴是点O 到FG 的距离由直线外一点与直线上各点的连线中,垂线段最短可知,OF OG <;(3)40BOC ︒∠= 180140AOC BOC ∴∠=︒-∠=︒∵OD 是AOC ∠的平分线∴1702AOD AOC ∠=∠=︒∵OE AB⊥∴90AOE ∠=︒∴20DOE AOE AOD ∠=∠-∠=︒故AOD ∠的度数为70︒,DOE ∠的度数为20︒.【点拨】本题考查了角平分线和垂线的画法、垂线段最短、角互余等知识点,掌握角平分线的定义是解题关键.23.(1)C(2)124C m n =+,242C m n =+(3)121122C C <,理由见解析【分析】(1)根据垂线段最短解答;(2)根据周长公式计算即可;(3)利用作差法比较大小.(1)解:“n m <”的理由是垂线段最短,故选:C ;(2)解:1224,42C m n C m n =+=+;(3)解:()()12111124422222C C m n m n n m -=+-+=-;∵n <m ,∴n-m <0,∴1211022C C -<,∴121122C C <.【点拨】此题考查了垂线的性质,计算图形的周长,利用作差法比较两个式子的大小,整式加减的应用,正确掌握垂线的性质及作差法比较大小的方法是解题的关键.24.(1)80AOC ∠=︒,50MOD ∠=︒(2)50︒或150︒(3)6秒或62秒【分析】(1)根据180AOB ∠=︒,100BOC ∠=︒,即可得出AOC ∠的度数,根据角平分线的定义得出1402COM AOC ∠=∠=︒,然后根据90COD ∠=︒得出MOD ∠的度数;(2)根据题意得出BOP ∠的度数,然后分两种情况进行讨论:①当射线OP 在BOC ∠内部时;②当射线OP 在BOC ∠外部时;分别进行计算即可;(3)根据ON 平分COD ∠得出45CON ∠=︒,根据题意画出图形,计算∠BOE 的角度,然后计算时间即可.【详解】(1)解:由题意可知,180AOB ∠=︒,∵100BOC ∠=︒,∴80AOC AOB BOC ∠=-∠=︒,∵OM 平分AOC ∠,∴1402COM AOC ∠=∠=︒,∴50MOD COD COM ∠=∠-∠=︒;(2)由(1)知,40AOM AOC COM ∠=∠-∠=︒,∴9050BOP AOM ∠=︒-∠=︒,①当射线OP 在BOC ∠内部时,如图2(1),50COP BOC BOP ∠=∠-∠=︒;②当射线OP 在BOC ∠外部时,如图2(2),150COP BOC BOP ∠=∠+∠=︒,综上所述,COP ∠的度数为50︒或150︒;(3)∵ON 平分COD ∠,∴1452CON COD ∠=∠=︒,①如图3,25COM CON MON ∠=∠-∠=︒,∵OM 平分AOC ∠,∴250AOC COM ∠=∠=︒,∴18030BOE AOC BOC ∠=︒-∠-∠=︒,∴旋转的时间3056t =︒÷︒=(秒);②如图3(1),此时,65COM CON MON ∠=∠+∠︒,∵OM 平分AOC ∠,∴2130AOC COM ∠=∠=︒,∴18013050COE ∠=︒-︒=︒,∴1005050BOE ∠=︒-︒=︒,∴旋转的时间(36050)562=︒-︒÷︒=(秒);综上所述,旋转的时间为6秒或62秒.【点拨】本题主要考查角度的计算,角平分线的定义等内容;第(2)问进行合适的分类讨论是解题的关键;第(3)问,搞清楚在射线OB 旋转的过程中,OM 和ON 的相对位置在不断的变化,以此进行分类画图.。

2020垂线-七年级数学人教版(下册)(解析版)

2020垂线-七年级数学人教版(下册)(解析版)

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.过一条线段外一点,作这条线段的垂线,垂足在A.这条线段上B.这条线段的端点处C.这条线段的延长线上D.以上都有可能【答案】D2.过点P向线段AB所在直线引垂线,正确的是.A.B.C.D.【答案】C【解析】过点P向线段AB所在直线引垂线,根据画一条线段或射线的垂线,就是画它们所在直线的垂线,符合要求的只有选项C,故选C.3.如图所示,已知ON⊥l,OM⊥l,所以OM与ON重合,其理由是A.过两点有且只有一条直线B.过一点只能作一条直线C.在同一平面内,经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D.垂线段最短【答案】C【解析】已知ON⊥l,OM⊥l,所以OM与ON重合,理由是在同一平面内,经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,故选C.二、填空题:请将答案填在题中横线上.4.如图所示,直线AB与直线CD的位置关系是__________,记作__________,此时,∠AOD=∠__________=∠__________=∠__________=90°.【答案】垂直,AB⊥CD,DOB,BOC,COA5.如图,BO⊥AO,∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5,那么∠COA=__________,∠BOC的补角为__________度.【答案】72°,162【解析】∵BO⊥AO,∴∠AOB=90°,∵∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5,∴∠BOC=18°,∴∠COA=∠BOA–∠BOC=90°–18°=72°.∠BOC的补角为180°–18°=162°. 学科#¥网三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.6.如图,已知钝角∠AOB,点D在射线OB上.(1)作直线DE⊥OB;(2)作直线DF⊥OA,垂足为F.【解析】根据垂直的定义作图即可.如图所示:∠BOC,OC是∠AOD的7.如图所示,O是直线AB上一点,∠AOC=13平分线.(1)求∠COD的度数.(2)判断OD与AB的位置关系,并说出理由.。

人教版数学七年级下册垂线同步练习题含解析

人教版数学七年级下册垂线同步练习题含解析
A. B.
C. D.
5.下列四种基本尺规作图分别表示:①作一个角等于已知角;②作一个角的平分线;③过直线外一点作已知直线的垂线;④作一条线段的垂直平分线,则对应作法错误的是( ).
A.①B.②C.③D.④
6.已知 , , ,那么().
A.射线OB在 内B.射线OB在 外
C.射线OB与射线OA重合D.射线OB与射线OC重合
21.如图,CE是 的外角 的平分线,且CE交BA的延长线于点E.
(1)求证: .
(2)若 , 时,求 的度数.
22.【定义】如图1,OM平分∠AOB,则称射线OB,OA关于OM对称.
(1)【理解题意】如图1,射线OB,OA关于OM对称且∠AOB=45°,则∠AOM=度;
(2)【应用实际】如图2,若∠AOB=45°,OP在∠AOB内部,OP,OP1关于OB对称,OP,OP2关于OA对称,求∠P1OP2的度数;
【详解】∵OD平分 , 于点E, ,
∴D到OB的距离等于5,

故DF的长度不可能为4,故选A.
【点睛】本题考查了角平分线的性质,点到直线的线段中,垂线段最短,熟练掌握性质是本题的关键.
12.C
【分析】先证四边形AMDN是矩形,连接AD,则MN=AD,当AD最短时,MN取最小值.
【详解】解:如图,连接AD,
三、解答题
19.作图题:(只保留作图痕迹)如图,在方格纸中,有两条线段AB、BC.利用方格纸完成以下操作:
(1)过点A作BC的平行线;
(2)过点C作AB的平行线,与(1)中的平行线交于点D;
(3)过点B作AB的垂线.
20.如图,已知 , .
(1)请你判断DA与CE的位置关系,并说明理由;
(2)若DA平分 , 于点E, ,求 的度数.
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专题02垂线★知识归纳垂线1.垂线的定义:两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫垂足.要点梳理:⊥;(1)记法:直线a与b垂直,记作:a b直线AB和CD垂直于点O,记作:AB⊥CD于点O.(2) 垂直的定义具有二重性,既可以作垂直的判定,又可以作垂直的性质,即有:∠=°判定AOC90CD⊥AB.性质2.垂线的画法:过一点画已知直线的垂线,可通过直角三角板来画,具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合,沿直线左右移动三角板,使另一条直角边经过已知点,沿此直角边画直线,则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示).要点梳理:(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时,指的是它所在直线的垂线,垂足可能在射线的反向延长线上,也可能在线段的延长线上.(2)过直线外一点作已知直线的垂线,这点与垂足间的线段为垂线段.3.垂线的性质:(1)在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单说成:垂线段最短.要点梳理:(1)性质(1)成立的前提是在“同一平面内”,“有”表示存在,“只有”表示唯一,“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性.(2)性质(2)是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短.”实际上,连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条,但只有一条最短,即垂线段最短.在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题.4.点到直线的距离:定义:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.要点梳理:(1)点到直线的距离是垂线段的长度,是一个数量,不能说垂线段是距离;(2)求点到直线的距离时,要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段,然后计算或度量垂线段的长度.★实操夯实一.选择题(共11小题)1.如图,在一张透明的纸上画一条直线l,在l外任取一点Q并折出过点Q且与l垂直的直线.这样的直线能折出()A.0条B.1条C.2条D.3条【解答】解:根据垂线的性质,这样的直线只能作一条,故选:B.2.如图,在铁路旁有一李庄,现要建一火车站,为了使李庄人乘车最方便,请你在铁路线上选一点来建火车站,应建在()A.A点B.B点C.C点D.D点【解答】解:根据垂线段最短可得:应建在A处,故选:A.3.如图,若AC⊥BC于C,CD⊥AB于D,则下列结论必定成立的是()A.CD>AD B.AC<BC C.BC>BD D.CD<BD【解答】解:若AC⊥BC于C,CD⊥AB于D,得BC>BD,BC>CD,AC>AD,AC>CD,AB>AC,AB>BC,故选:C.4.点P是直线l外一点,A、B、C为直线l上的三点,P A=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线l的距离()A.小于2cm B.等于2cm C.不大于2cm D.等于4cm【解答】解:∵根据点到直线的距离为点到直线的垂线段(垂线段最短),2<4<5,∴点P到直线l的距离小于等于2,即不大于2,故选:C.5.如图,立定跳远比赛时,小明从点A起跳落在沙坑内B处,这次小明的跳远成绩是4.6米,则小明从起跳点到落脚点之间的距离是()A.大于4.6米B.等于4.6米C.小于4.6米D.不能确定【解答】解:∵根据跳远成绩为距离起跳线最近的点到起跳线的距离,即垂线段的长,又∵垂线段最短,∴小明从起跳点到落脚点之间的距离大于4.6米,故选:A.6.如图,O为直线AB上一点,OE平分∠BOC,OD⊥OE于点O,若∠BOC=80°,则∠AOD的度数是()A.70°B.50°C.40°D.35°【解答】解:∵OD⊥OE于点O,∴∠DOE=90°,∴∠AOD+∠BOE=90°,∵OE平分∠BOC,∠BOC=80°,∴∠BOE=40°,∴∠AOD=50°.故选:B.7.如图,直线BC与MN相交于点O,AO⊥BC,OE平分∠BON,若∠EON=20°,则∠AOM的度数为()A.40°B.50°C.60°D.70°【解答】解:∵OE平分∠BON,∴∠BON=2∠EON=40°,∴∠COM=∠BON=40°,∵AO⊥BC,∴∠AOC=90°,∴∠AOM=90°﹣∠COM=90°﹣40°=50°.故选:B.8.如图,现要从村庄A修建一条连接公路PQ的最短小路,过点A作AH⊥PQ于点H,沿AH修建公路,这样做的理由是()A.两点之间,线段最短B.垂线段最短C.过一点可以作无数条直线D.两点确定一条直线【解答】解:∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中,垂线段最短,∴过点A作AH⊥PQ于点H,这样做的理由是垂线段最短.故选:B.9.如图,直线AB、CD相交于点O,OD平分∠BOF,OE⊥CD于O,若∠EOF=α,下列说法①∠AOC=α﹣90°;②∠EOB=180°﹣α;③∠AOF=360°﹣2α,其中正确的是()A.①②B.①③C.②③D.①②③【解答】解:∵OE⊥CD于O,∠EOF=α,∴∠DOF=α﹣90°,∵OD平分∠BOF,∴∠BOD=∠FOD,∵∠AOC=∠BOD,∴∠AOC=∠FOD,∴∠AOC=α﹣90°,①正确;∴∠BOE=180°﹣∠COE﹣∠AOC=180°﹣90°﹣(α﹣90°)=180°﹣α,②正确;∴∠AOF=180°﹣∠AOC﹣∠DOF=180°﹣(α﹣90°)﹣(α﹣90°)=360°﹣2α,③正确;故选:D.10.已知直线AB,CB,l在同一平面内,若AB⊥l,垂足为B,CB⊥l,垂足也为B,则符合题意的图形可以是()A.B.C.D.【解答】解:根据题意可得图形,故选:C.11.下列生活实例中,数学原理解释错误的一项是()A.从一条河向一个村庄引一条最短的水渠,其中数学原理是:在同一平面内,过一点有且只有一条直线垂直于已知直线B.两个村庄之间修一条最短的公路,其中的数学原理是:两点之间线段最短C.把一个木条固定到墙上需要两颗钉子,其中的数学原理是:两点确定一条直线D.从一个货站向一条高速路修一条最短的公路,其中的数学原理是:连结直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短【解答】解:A、从一条河向一个村庄引一条最短的水渠,其中数学原理是:垂线段最短,故原命题错误;B、两个村庄之间修一条最短的公路,其中的数学原理是:两点之间线段最短,正确;C、一个木条固定到墙上需要两颗钉子,其中的数学原理是:两点确定一条直线,正确;D、从一个货站向一条高速路修一条最短的公路,其中的数学原理是:连结直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,正确.故选:A.二.填空题(共5小题)12.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10,P为直线AB上一动点,连PC,则线段PC的最小值是.【解答】解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10,∵当PC⊥AB时,PC的值最小,此时:•AB•PC=•AC•BC,∴PC=,故答案为.13.如图,直线AB与直线CD相交于O点,EO⊥AB,∠EOD=25°,则∠AOC=65°.【解答】解:∵EO⊥AB,∴∠AOE=90°,∴∠AOC=180°﹣25°﹣90°=155°﹣90°=65°,故答案为:65°.14.自来水公司为某小区A改造供水系统,如图沿路线AO铺设管道和BO主管道衔接(AO⊥BO),路线最短,工程造价最低,根据是垂线段最短.【解答】解:根据是:直线外一点与直线上各点连接而得到的所有线段中,垂线段最短.故答案为:垂线段最短.15.如图,直线AB,CD相交于O,OE⊥AB,O为垂足,∠COE=34°,则∠BOD=56度.【解答】解:∵OE⊥AB,∠COE=34°,∴∠BOD=90°﹣∠COE=90°﹣34°=56°.故答案为:56.16.如图,已知AB⊥CD,垂足为点O,直线EF经过O点,若∠1=55°,则∠COE的度数为125度.【解答】解:∵∠1=55°,∴∠COE=180°﹣55°=125°.故答案为:125.三.解答题(共2小题)17.如图,已知AC⊥AB,ED⊥AB,垂足为A、D,∠CAF=80°.求∠DGF的度数.【解答】解:∵AC⊥AB,ED⊥AB,∴AC∥DE,∴∠GAC=∠EGF=80°,∴∠DGF=180°﹣∠EGF=180°﹣80°=100°.18.如图,直线AB、CD相交于O点,∠AOC与∠AOD的度数比为4:5,OE⊥AB,OF平分∠DOB,求∠EOF 的度数.【解答】解:∵∠AOC与∠AOD的度数比为4:5,∴∠AOC=180°×=80°,∠AOD=180°×=100°,∵OE⊥AB,OF平分∠DOB,∴∠EOD=10°,∠DOF=×80°=40°,∴∠EOF的度数为:10°+40°=50°.。

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