实数与向量的乘积

实数与向量的乘积

1.实数与向量的乘积：设λ为任意实数，a r 为任意的非零向量。λ与a r

的乘积是一个向量，

记作______

模：a λr 的模等于||a r 的_____倍，即||a λ=r

_____

方向：（1）当0λ>时，规定a λr 与a r

的方向______ （2） 当0λ=时，规定a λ=r ______

（3）当0λ<时，规定a λr 与a r

的方向______

由于规定了a λr 的模||a λr

与a λr 的方向，这样a λr 就能确定了。 4.根据实数与向量的乘积的定义，可知a λr 与a r

是____________的向量 5.两个非零向量a r 与b r 平行的充要条件是：存在非零实数λ，使b =r

______

6. 实数与向量的乘积满足以下运算律：

设,R λμ∈，则（1）()a a a λμλμ+=+r r r （2）()()a a λμλμ=r r （3）()a b a b λλλ+=+r r r r

7.已知非零向量a r 的单位向量0a =u u r ______，方向与向量a r

______

例2下列结论中

⑴,a b r r 是两向量，则a b r r 与的关系必为,,a b a b a b >=

三者中的一个．

⑵两个相等的向量，当它们的起点不同时，终点也一定不同． ⑶平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量． ⑷温度有零上与零下，因此温度是向量． 其中正确的序号为__________

实数与向量的乘积 教学目标：

1.理解实数与向量乘积的意义，知道λa ρ的大小、方向与a ρ

的大小、方向之

间的关系。

2.掌握实数与向量积的结合律和两条分配律。

3.掌握两个非零向量a ，b 平行的充要条件是a =λb ，解决简单的几何问题。

4.掌握两个向量a ，b 平行的充要条件是λa +μb =0

教学重点：

1.理解实数与向量乘积的意义，知道λa ρ的大小、方向与a ρ

的大小、方向之

间的关系。

2.掌握实数与向量积的结合律和两条分配律。

3.掌握两个非零向量a ，b 平行的充要条件是a =λb ，解决简单的几何问题。

教学难点：对向量平行的充要条件的理解和运用 教学过程：

一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。

二、1．引入新课：已知非零向量a ρ 作出a ρ+a ρ+a ρ和(-a ρ)+(-a ρ)+(-a ρ

)

OC =++=a ρ+a ρ+a ρ=3a ρ

=MN QM PQ ++=(-a ρ)+(-a ρ)+(-a ρ)=-3a ρ

讨论：1︒3a ρ与a ρ方向相同且|3a ρ|=3|a ρ

| 2︒-3a ρ与a ρ方向相反且|-3a ρ|=3|a ρ

|

2．从而提出课题：实数与向量的积

实数λ与向量a ρ的积，记作：λa ρ

a ρ

a ρ

a ρ

a ρ

O

A

B

C

a -

a ρ-a ρ-a

ρ

-N

M

Q

P

定义：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ

1︒|λa ρ|=|λ||a ρ

|

2︒λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ

=0 3．特别地，当0a =r r 时，我们规定R λ∈，都有0a λ=r r

当1λ=时，规定1a a =r r ；当1λ=-时，规定(1)a -r

与向量a r 的大小相等且方向相反，

即(1)a a -=-r r

4．运算定律：结合律：λ(μa ρ)=(λμ)a ρ

①

第一分配律：(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ

②

第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=λa ρ

+λb ρ ③

结合律证明：

如果λ=0，μ=0，a ρ

=0至少有一个成立，则①式成立

如果λ≠0，μ≠0，a ρ≠有：|λ(μa ρ)|=|λ||μa ρ|=|λ||μ||a ρ

|

|(λμ)a ρ|=|λμ|| a ρ|=|λ||μ||a ρ| ∴|λ(μa ρ)|=|(λμ)a ρ

|

如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a ρ

同向； 如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a ρ

反向。 从而λ(μa ρ)=(λμ)a ρ

第一分配律证明：

如果λ=0，μ=0，a ρ

=0至少有一个成立，则②式显然成立 如果λ≠0，μ≠0，a ρ

≠

当λ、μ同号时，则λa ρ和μa ρ

同向， ∴|(λ+μ)a ρ|=|λ+μ||a ρ|=(|λ|+|μ|)|a ρ

|

|λa ρ+μa ρ|=|λa ρ|+|μa ρ|=|λ||a ρ|+|μ||a ρ|=(|λ|+|μ|)|a ρ| ∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a ρ

同向 即：|(λ+μ)a ρ|=|λa ρ+μa ρ

|

当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa ρ

同向 当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa ρ

同向

还可证：|(λ+μ)a ρ|=|λa ρ+μa ρ

|

∴②式成立 第二分配律证明：

如果a ρ

=0，b ρ=0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立 当a ρ

≠，b ρ≠且λ≠0，λ≠1时

1︒当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ，

作=OA a ρ =AB b ρ =1OA λa ρ

=11B A λb ρ 则=OB

a ρ+

b ρ =1OB λa ρ

+λb ρ

由作法知：AB ∥11B A 有∠OAB=∠OA 1B 1 ||=λ|11B A | ==111λ ∴△OAB ∽△OA 1B 1

=|

|1OB λ ∠AOB=∠ A 1OB 1

因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λ| 1OB 与λ方向也相同

λ(a ρ+b ρ)=λa ρ

+λb ρ

当λ<0时 可类似证明：λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λ∴ ③式成立

例1、计算

（1）（-3）×4a （2） O

A

B

B 1

A 1

1

()()

a

b a b a ---+23