电动力学 第2章 2-6

对电偶极矩的讨论： 对于分立的点电荷组成的电荷体系，电偶极矩为
v v P = ∑ Qi xi′
i
课本以电偶极子所产生的电势为例加以了讨论。 若体系的电荷分布满足中心对 称， ，则 因此电偶极矩反映了电荷分布是否具有原点对称性。 1 1 ∂ 1 = ϕ D （3） ∑ ∂x ∂x R 由电四极矩 D ij 产生的 4πε 6 势 电四极矩Dij是对称张量，它有六个分量 D11，D 22， D33， D12＝D21， D23＝ D32， D31＝D13，因此有 6个分量。下面讨论各个分量的物理意义。
2
结论：尽管两种定义得到的电四极矩不同，但它们给 出的电势是相同的。
例2: 均匀带电的长形旋转椭球体半长袖为a，半短轴为 b，带总电荷Q，求它的电四极矩和远处的电势。 解： 取z轴为旋转轴，椭球方程为
x +y z + =1 b a
2 2 2 2 2
椭球所带电荷密度为
ij
3Q ρ= 4πab
i
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利用电四极矩的定义 D = ρ ∫ (3x x − r δ )dV
二、 电多极矩的概念
下面讨论展开式中各项的物理意义： （1） ϕ
(0)
=
Q 4πε 0 R
代表原点处点电荷Q激发的电势，即整个体系在远 点产生的势相当于把整个体系的电荷都集中于原点 处的贡献。
(1) ϕ （2）
v v v 1 1 P⋅R =− P ⋅∇ = 4πε 0 R 4πε 0 R 3
代表放于原点处的电偶极矩P在远处产生的电势，即 体系产生的电偶极矩P放在原点处时产生的势。
i i j
r r x − x' 为
r x' = 0 的任一函数，
r r r 1 r r 2 = f ( x ) − x '•∇f ( x ) + ( x '•∇ ) f ( x ) + L 2! 1 1 r r 取 f ( x − x ' ) = r r = ，有 | x − x '| r
1 1 r 1 1 ∂2 1 = − x '•∇ + ∑ x'i x' j +L r R R 2! i , j ∂xi ∂x j R
三、小区域电荷体系在外电场中的能量 设外电场电势为φe，具有电荷分布ρ(x)的体系在外电 场中的能量为 W = ∫ ρϕ e dV 设电荷分布于小区域内，取区域内适当点为坐标原点， 把φe对原点展开
∂ ∂ 1 r ϕ ( x ) = ϕ ( 0 ) + ∑ x ϕ ( 0) + ∑ x x ϕ ( 0) + L ∂x 2! ∂x ∂x
l 0
当l为偶数 当l为奇数
同理可以得到
小区域电四极矩与外场的相互作用能
例题1：求图中所示电荷系统的电偶极矩和电四极矩， 并求出远处的电势(精确到四极势)。 解：系统的总电荷为Σqk=0,所以
ϕ =0
(0)
系统电偶极矩的三个分量为
p = ∑ q x = 0,
x k k
p = ∑ q y = 0,
y k k
p = ∑q z = 0
z k k
3 3 2 e e i =1 i e i , j =1 i j e i i j
⎤ 1 ∂ ∂2 r ⎡ W = ∫ ρ ( x ) ⎢ϕ e (0) + ∑ xi ϕ e ( 0 ) + ∑ xi x j ϕ e (0) + L⎥dV i 2! i , j ∂x i ∂x i ∂x j ⎦ ⎣ ∂ ∂2 1 = Q ϕ e (0) + ∑ pi ϕ e (0) + ∑ Dij ϕ e (0) + L i ∂xi ∂xi ∂x j 6 i, j = W (0) + W (1) + W (2) + L
与φ(2)中的33分量相同。 同理，11和22分量的最简单电荷体系分别由x轴和y轴 上两对正负电荷组成；12分量的电荷体系由 xy平面上 两对正负电荷组成；13和23分量也类似。
如果我们重新定义电四极矩Dij
' ' '2
r Dij = ∫ (3 xi x j − r δ ij ) ρ ( x ' )dV '
2 j ij
⎡ 1 0 ⎢− 5 (a − b )Q ⎢ 1 D=⎢ 0 − (a − b )Q 5 ⎢ ⎢ 0 0 ⎢ ⎣
2 2 2 2
⎤ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 2 (a − b )Q ⎥ ⎥ 5 ⎦ 0
2 2
电四极矩产生的势为
同理利用电偶极矩的计算公式可以计算电偶极矩
r p=0
考虑到椭球的总电荷为Q，于是远处准确至四极的势为
（2）
ϕ =ϕ
( 2)
∂2 1 ∂2 1 ∂2 1 1 = [ D11 2 + D22 2 + D33 2 ] 24πε 0 ∂z R ∂y R ∂z R
∂2 1 ∂2 ∂2 1 ∂2 1 1 2 2 = 6a q 2 − 2a q[ 2 + 2 + 2 ] 24πε 0 ∂z R 24πε 0 ∂x ∂y ∂z R ∂2 1 = a q 2 4πε 0 ∂z R 1
1 ∇ =0 R
2
由于
，此时φ(2)形式不变，仍为
2 i, j ij
1 1 ∂ 1 ϕ = ∑D ∂x ∂x R 4πε 6
(2) 0 i j
但是电四极矩满足 D11 + D22 + D33 = 0 ，对 只有5个独立分量。以后我们也将沿用此定义形式。 可以验证：球对称电荷分布没有电四极矩；反过来， 电荷分布偏离球对称性，电四极矩不为零。 因此电四极矩反映了电荷分布是否具有球对称性。
2 (2) ij 0 ij i j
v' v' ρ ( x ) = ρ (− x )
v P=0
分量的物理意义： Z 轴上一对正电荷和一对负电荷组成的 体系。这体系可以看作由一对电偶极子 +P和-P组成。设正电荷位于±b，负电 荷位于±a 。这体系的总电荷和总电偶 极矩都为零，但它的电四极矩为
D33 = ∑i3Qi z 'i = 6Q(b − a ) = 6Q(b + a )(b − a ) = 6 Pl
电四极矩，则上式可以改写为 2 r ⎡ ⎤ ∂ 1 Q 1 1 1 r + L⎥ ϕ (x) = Dij ⎢ − P•∇ + ∑ ∂xi ∂x j R 4πε 0 ⎣ R R 6 i, j ⎦ (0) r (1 ) r (2) r = ϕ (x) + ϕ (x) + ϕ ( x) + L 从展开式来看，每项比前一项多1/R数量级，因此贡献 最大的项为φ (1) ，其次为φ(1)，再次为φ(2)，可根据实际 问题的要求精度确定展开项数。因此这个展开称作电荷 体系激发的电势在远处的多极展开。
展开式中各项的意义:
W (0) = Qϕe (0)
小区域电荷集中于原点时与外场的相互作用能
v v v W = P⋅∇ϕe (0) =−P⋅ Ee (0)
(1)
体系电偶极矩与外场相互作用能
W ( 2) r ∂2 1 t 1 ϕ e (0) = D : ∇Ee (0) = ∑ Dij ∂xi ∂x j 6 6 i, j
2 2 2
其中: P=Q(b-a)是其中两对电荷的电偶极矩，l=a+b是 两个电偶极子中心的距离。因此电四极矩的Z分量可以 看作是由Z轴上的一对反向的电偶极矩（两对正负电荷） 构成，其产生的电势为两对电偶极矩产生的电势的叠加
∂ ⎛1 1⎞ 1 ∂2 1 1 1 ∂2 1 − ⎟ ϕ≈− P ⎜ ≈ Pl 2 = D33 2 ⎜ ⎟ 4πε 0 ∂z ⎝ r+ r− ⎠ 4πε 0 ∂z R 4πε 0 6 ∂z R 1
§2.6 矩 一、电势的多极展开
v ϕ (x) =
电 多 极
v
' ρ ( x ) 真空中给定电荷分布
激发的电势为
的距离。
v v 式中体积分遍及电荷分布区域，r为场点 x 和源点 x′
V
∫
ρ ( x ' ) dV ' 4πε 0 r
v
v v r = x − x'
在区域V内取一点O作为坐标原点，以R表示由原点 到场点P的距离，有 r 2 2 2 R =| x |= x + y + z r r 2 2 2 r =| x − x '|= ( x − x' ) + ( y − y ' ) + ( z − z ' )
将此式代入电势的表达式中得
⎤ 1 1 1 ∂2 1 r r ⎡1 r ϕ ( x) = x 'i x ' j + L⎥dV ' ∫V ρ ( x ' ) ⎢ − x '•∇ + ∑ 4πε 0 R 2! i , j ∂xi ∂x j R ⎦ ⎣R r r r r r 令 Q ≡ ∫V ρ ( x ' )dV ', P ≡ ∫V x ' ρ ( x ' )dV ', Dij ≡ ∫V 3x'i x' j ρ ( x ' )dV ' 即Q为体系的总电量，P为体系的电偶极矩，D为体系的
v 当电荷分布区域的线度远小于R时，可以把 x′ 各分量
r r f (x − x')
看 作小参量。设 2 则在 3 3 1 ∂ ∂ r r r r r f ( x − x ' ) = f ( x ) − ∑ xi ' f ( x ) + ∑ xi ' x j ' f (x) + L 附近的泰勒展开式为 i =1 ∂x 2! i , j =1 ∂x ∂x
球面镜像： 平面镜像：
解：方程和已知条件如下
方程的解：
球内展开系数的确定：
利用 可得
2l + 1 1 2l + 1 π Al R = ϕ内 |R 0 Pl (cos θ )d cos θ = ϕ内 |R 0 Pl (cos θ ) sin θ dθ ∫ ∫ 1 0 − 2 2 π 2l + 1 ⎛ π / 2 = φ0 Pl (cos θ ) sin θ dθ − ∫ φ0 Pl (cos θ ) sin θ dθ ⎞ ⎟ ⎜ ∫0 / 2 π ⎠ 2 ⎝ 0 2l + 1 ⎛ 1 = φ0 ⎜ ∫ Pl ( x)dx − ∫ Pl ( x)dx ⎞ ⎟ 0 1 − ⎝ ⎠ 2 1 2l + 1 ⎛ 1 l = φ0 ⎜ ∫ Pl ( x)dx − (−1) ∫ Pl ( x)dx ⎞ ⎟ 0 0 ⎝ ⎠ 2 l为偶数 ⎧0 ⎪ l −1 1× 3 × L × (l − 2) =⎨ 2 φ （ ） (2l + 1) l为奇数 0 -1 ⎪ 2 × 4 × L× (l + 1) ⎩
ϕ =0
(1)
下面我们讨论电四极矩的贡献。由于电四极矩有 两种定义形式，分别考虑
′ x′ 3Qk xki （1） D ij = ∑ kj k
ϕ =ϕ
( 2)
0 ⎤ ⎡0 0 0 ⎥ D = ⎢0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣0 0 6 a q ⎥
2
∂2 1 ∂2 1 1 1 2 = D33 2 = a q 2 24πε 0 ∂z R 4πε 0 ∂z R