应用多元统计分析-第八章 列联与对应分析

a. 0 cells (.0%) have e xpe cte d co unt less than 5. The minim um expected count is 10.33 .
H0:观点和收入这两个变量不相关;H1:这两个变量相关。
列联表中的相关测量
利用检验对列联表中变量之间的相互关 系进行检验之后，如果认为拒绝原假设， 变量之间存在联系， 那么，接下来的问题就是它们之间的相 关程度有多大？
35 39
女：观察值 期望值
18 22
47 43
期望值的分布
如果男女性别对该性政策的观点相同， 就应有：
H 0 :P男 P女
那么表8.4中，观察值和期望值就应当非 常接近。 2 对于这个假设的检验，可以采用 分布 进行 2 检验。

2
分布与 检验
2

2
统计量
用f0表示观察值频数，fe表示期望值 的频数，则 2 统计量为：
X2分布的期望值准则
例如表8.5中的数据可以计算，因为6个单 元中只有1个单元的期望频数小于5。
类别
A B C D E F
f0
28 49 18 6 92 20 213
fe
26 47 23 4 88 25 213
合计
X2分布的期望值准则
但是表8.6中的数据不能应用检验。
类别
A B C D E F G
列联表中的相关测量
SPSS中提供了多种相关检验的方法： 定距变量与定距变量相关的检验 名义变量与名义变量相关的检验 序次变量与序次变量相关的检验
Symmetric M easures Va lue No minal by Ph i .408 No minal Cramer's V .408 Co ntingency Co efficient .378 Ordinal b y Gamma -.641 Ordinal Sp earman Correlati on -.407 Interval b y In terval Pe arson's R -.408 N of Valid Cases 123 a. No t assuming th e null hypothe sis. b. Using the asymptoti c standard error assuming the null h ypo thesis. c. Ba sed on normal ap proximation. Asymp. a b Std. Error Ap prox. T Ap prox. Sig. .000 .000 .000 .101 -4.935 .000 .079 -4.898 .000 c .080 -4.913 .000 c
列联表
一般将横向变量的划分类别视为R，纵
向变量的划分类别视为C,则可以将列 联表称为R×C列联表。上表即为2×2 列联表。 在SPSS数据中，收入的“低”、 “中”、“高”用代码1、2、3代表； 性别的“女”、“男”用代码0、1代 表；观点“赞成”和“不赞成”用1、 0代表。
列联表的分布
列联表有两个分布： 一个是观察值的分布； 一个是期望值的分布；
我们以上介绍的是列联表中一致性的检验， 但是列联表分析中用的更多的是检验变量 之间是否存在相关关系，即独立性检验。 我们仍用table7.sav的例子：
观 点 * 收 入 Crosstabulation Co unt 1 观点 To tal 不赞成 赞成 7 45 52 收入 2 15 25 40 3 19 12 31 To tal 41 82 123
f0
30 110 86 23 5 5 4 263
fe
32 113 87 24 2 4 1 263
合计
X2分布的期望值准则
如果我们仔细观察会发现，表8.6中的f0与fe 非常接近，最大的差别只是3，应当说期望 值与观察值拟合得很好，它们之间并无显 著差别。 然而，用X2检验得到的结果却是拒绝原假设， 差异显著。 解决的方法是：将小单元合并，使得fe大于 5。
1 2
m
如何得到过渡矩阵Z?
设有n个样品,每个样品有p个指标,原始资料阵为:
x11 x 21 X xn1
x12 x22 xn 2
x1 p x2 p xnp
假定矩阵X的元素都>0
如何得到过渡矩阵Z?
x11 x21 xn1 x.1 x12 x1 p x22 x2 p x.2 x. p xn 2 xnp x1. x2. xn . x..
SPSS选项： Analyze——Descriptive Statistics— Crosstabs 然后选择statistics，再选 2 检验即可。
检验结果
2
Chi-Squa re Tests Va lue Pe arson Chi-Square 1.974 b a Co ntinuity Co rrection 1.472 Likelihood Ratio 1.975 Fisher's Exact T est Linea r-by-Linear 1.958 Associatio n N of Valid Cases 123 a. Co mputed on ly for a 2x2 table b. 0 cells (.0%) have expected cou nt less than 5. The mi nimum expected coun t is 19. 33. df 1 1 1 Asymp. Sig. (2-sided) .160 .225 .160 Exact Sig. Exact Sig. (2-sided) (1-sided)
观点与收入是否相关的检验
Chi-Squa re Tests Va lue 20.45 6 a 21.19 0 20.29 0 123 df 2 2 1 Asymp. Sig. (2-sided) .000 .000 .000
Pe arson Chi-Square Likelihood Ratio Linea r-by-Linear Associati on N of Vali d Cases
对应分析
行和列变量的相关问题
在因子分析中，或者对指标（列中的变 量）进行分析，或者对样品（观测值或 行中的变量）进行分析。 另外，在处理实际问题中，样品的个数 远远大于指标个数。如有100个样品，每 个样品测10个指标，要做样品的因子分 析，就要计算（100×100）阶相似系数阵 的特征根和特征向量，这对于计算机来 说也是一想耗时费力的事情。
X2分布的期望值准则
利用X2分布进行检验时，要求样本容量必须 足够大，特别是每个单元中的期望频数不 能过小，否则应用X2检验可能会得出错误的 结论。 一项准则是：如果只有两个单元，每个单 元的期望频数必须是5或以上。 另一准则是：如果有两个以上的单元，如 果20%的单元期望频数小于5，则不能应用 X2检验。
例7.1—数据文件：ChMath.sav
这项研究是为了考察汉字具有的抽 象图形符号的特性能否会促进儿童 空间和抽象思维能力。 该数据以列联表形式展示在表中：
人们可以对这个列联表进行前面所说的X2检验来考 察行变量和列变量是否独立。结果在下面表 （通过Analyze-Descriptive Statistics-Crosstabs）
sex * opinion Crosstabulation
opinion
不赞成
sex 女 % within sex 男 Count % within sex Total Count
赞成
18
27.69 23 39.66
47
35
65
58
72.31 100.00% 60.34 100.00%
41
33.33
2
2 ( 0 fe) f fe
2 值的大小与观察值与期望值的配 由于 2 对数，即R×C有关，所以， 统计量的 分布与自由度有关。自由度=(R-1)(C-1)

0.4 0.5
(2)
2
2
分布
0.2
0.3
(3)
2百度文库
0.1
(5)
2
0.0
0
2
4
6
8
10

2
检验
2 检验可在交叉汇总分析中进行：
对列 应联 分分 析析 与
第八章 ——列联分析与 对应分析
列 联 分析
二维列联表
例8.1关于某项政策调查所得结果:table7.sav
表8.1
男 女 合计
观点： 不赞成 23 18 41
观点： 赞成 35 47 82
合计 58 65 123
列联表
前面就是一个所谓的二维列联表 (contingency table). 列联表是由两个或两个以上的变量 进行交叉分类的频数分布表。 这些变量中每个都有两个或更多的 可能取值。这些取值也称为水平； 比如观点有两个水平，性别有两个 水平等。
对应分析
它是从指标型因子分析出发，而直接获 得样品因子分析的结果。 概括起来，因子分析可以提供三方面的 信息： 指标之间的关系； 样品之间的关系； 指标与样品之间的关系。
对应分析的基本思想
由于指标型的因子分析和样品型的因子 分析都是反映一个整体的不同侧面，以 它们之间一定存在内在的联系。 对应分析就是通过一个过渡矩阵Z将两者 有机的结合起来： 即：首先给出指标变量点的协差阵A=Z’Z 和样品点的协差阵B=ZZ’，由于两者有相 同的非零特征根，记为：
.183 1 .162
.113

2
检验
实际上有不止一个X2检验统计量。包括 Pearson X2统计量和似然比 （likelihood ratio）X2统计量；它们 都有渐近的X2分布。
根据计算可以得到（对于这两个统计量 均有）p-值大于0.05。
此外还有精确的统计量——Fisher精确检 验；它不是X2分布，而是超几何分布。 对本问题,计算Fisher统计量得到的p-值也 大于0.05。 聪明的同学必然会问，既然有精确检验为 什么还要用近似的X2检验呢？ 这是因为当数目很大时，超几何分布计算 相当缓慢（比近似计算会差很多倍的时 间）；而且在计算机速度不快时，根本无 法计算。因此人们多用大样本近似的X2统计 量。
行和列变量的相关问题
然而，在很多情况下，所关心的不 仅仅是行或列本身变量之间的关系， 而是行变量和列变量的相互关系； 这就是因子分析等方法所没有说明 的了。先看一个例子。
例7.1—数据文件：ChMath.sav
在研究读写汉字能力与数学的关系的研 究时，人们取得了232个美国亚裔学生的 数学成绩和汉字读写能力的数据。 关于汉字读写能力的变量有三个水平： “纯汉字”——可以完全自由使用纯汉 字读写， “半汉字”——读写中只有部分汉字 （比如日文）， “纯英文”——只能够读写英文而不会 汉字。 而数学成绩有4个水平（A、B、C、D）。
82
123
% within sex
66.67 100.00%
观察值的分布
事实上，表8.2就是一个最简单的观察值 的分布。 观察值分布虽然反映了数据的分布，但 因为基数不同，不适合于进行对比。 为了能在此相统的基数上比较，使列联 表中的数据提供更多的信息，可以计算 相应的百分比。
期望值的分布
如果我们想进一步了解不同性别的人对 这项政策的观点是否存在着显著的差异， 就要进行检验。 从逻辑上讲，如果男女性别的人对这项 政策的看法相同，那么男性不赞同方案 的人应为：58×33.3%=19人，女性不赞同 方案的人应为：65×33.3%=22人。 这19人和22人就是本例中的期望值，由 此可以计算出期望值的分布。
对应分析
由于所有的检验都很显著，看来两个变 量的确不独立。 但是如何用象因子分析的载荷图那样的 直观方法来展示这两个变量各个水平之 间的关系呢？这就是本章要介绍的对应 分析（correspondence analysis）方法。 对应分析是将指标型的因子分析与样品 型的因子分析结合起来进行的统计分析。
期望值的分布
表8.3 期望值分布表
观点： 不赞成 男 女 合计
58¬33.3%=19 65¬33.3%=22 41
观点： 赞成
58 ¬66.7%=39 65 ¬66.7%=43 82
合计
58 65
对比分布表
表8.4 观察值与期望值频数对比分布表
观点： 不赞成
男：观察值 期望值 23 19
观点： 赞成