专题07 数列与不等式相结合问题(第二篇)(原卷版)

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第二篇 数列与不等式

专题07 数列与不等式相结合问题

【典例1】【2020届安徽省亳州市高三上学期期末教学质量检测】 记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知12n n S a +=. （1）求{}n a 的通项公式；

（2）求使得22020n n a S >+的n 的取值范围. 【思路引导】 （1）根据11,1

,2

n n n S n a S S n -=⎧=⎨

-≥⎩计算可得；

（2）由（1）可得2122n n a -=，21n

n S =-，从而得到不等式解得.

【典例2】【2020届重庆西南大学附属中学校高三第五次月考】

已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且当*n N ∈时，n S 是12n +与2m 的等差中项(m 为实数). （1）求m 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）令(

)*

21log n n b a n N

=+∈，是否存在正整数k ，使得1111

210n n n k

b

b b n ++⋅⋅⋅+>+++对任意正整数

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n 均成立？若存在，求出k 的最大值；若不存在，说明理由. 【思路引导】

（1）根据等差中项的性质列方程，求得n S 的表达式.利用11,1

,2n n

n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，结合{}n a 是等比数列，

求得m 的值及数列{}n a 的通项公式. （2）由（1）求得n b 的表达式，将不等式

1111210

n n n k

b b b n ++⋅⋅⋅+>+++左边看成()f n ，利用差比较法判断出()f n 的单调性，由此求得()f n 的最小值，进而求得k 的最大值.

【典例3】【2020湖北省武汉华中师大附中高三5月考试】

已知等差数列{}n a 中，公差0d ≠，735S =，且2a ，5a ，11a 成等比数列．

()1求数列{}n a 的通项公式；

()2若n T 为数列11n n a a +⎧⎫

⎨⎬⎩⎭的前n 项和，且存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立，求实数λ的取值范围．

【思路引导】（1）由题意可得()()()121

1176735,2410,

a d a d a d a d ⨯⎧

+=⎪⎨⎪+=++⎩解得1a d ，即可求得通项公式；(2)

1111

12

n n a a n n +=-++,裂项相消求和n T = ()112222n n n -=++，因为存在*N n ∈，使得10n n T a λ--≥成

立，所以存在*

N n ∈，使得()()2022n n n λ-+≥+成立，即存在*N n ∈，使得()

222n n λ≤+成立.求出

()

2

22n n +的最大值即可解得λ的取值范围.

【典例4】【2020届江西省南昌市上学期期末考试】

已知{}n a 是递增的等比数列，若3520a a +=，且1235

4

a a a ，，成等差数列.

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（1）求{}n a 的前n 项和n S ； （2）设12n n b S =

+，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1

13

n T ≤<. 【思路引导】 （1）利用等差中项可得2135

2

a a a =+,再利用等比数列的通项公式代入求得q ,可代回3520a a +=中求得1a ,进而由公式求解即可； （2）由（1）可得121n n

b =-,则11

32n

n

b ≤<,从而求和即可证明

【典例5】【陕西省安康市2019-2020学年高三上学期12月阶段性】 已知数列{}n a 为等差数列. （1）求证：()

2

12n n n a a a ++；

（2）设21n a n =-，且其前n 项和n S ，1n S ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

的前n 项和为n T ，求证：2n T <.

【思路引导】

(1)利用等差数列的性质122n n n a a a ++=+,再根据基本不等式即可证明. (2)由等差数列的求和公式求解n S ,再由裂项相消的缩放法求证即可.

【典例6】【2020届天津市第一中学高三上学期第二次月考】

已知等比数列{}n a 的各项均为正数，5462,,4a a a 成等差数列，且满足2

434a a =，数列{}n b 的前n 项和

(1)

2

n n n S b +=

，*n N ∈，且11b =. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；

（2）设,,n n n

b n

c a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数

为偶数，求数列{}n c 的前n 项和n P .

（3）设25

2123n n n n n b d a b b +++=

，*n N ∈，{}n d 的前n 项和n T ，求证：13

n T <.

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【思路引导】

(1)根据题意列出方程组，求出1a 、q ，从而得到{}n a 的通项公式，当2n ≥时，

111

22n n n n n nb n b S S b --+=-=

-，化简可得{}n b n

是首项为1的常数列，即可求得{}n b 的通项公式； (2)分类讨论，当n 为偶数时，()()13124n n n p b b b a a a -=++⋯++++⋯+，分别利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和即可，当n 为奇数时，由1n n n P P b -=+可求得结果；(3)裂项法可得

【典例7】【河北省石家庄二中2019-2020学年高三年级上学期12月月考】 已知数列{}n a 满足125

a =

，且*

113220,N n n n n a a a a n ++-+=∈，数列{}n b 为正项等比数列，且123b b +=，34b =.

（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令2n

n n

b c a =

，12n n S c c c =+++，求证：1

01n

S <

<. 【思路引导】

（1）变形已知等式得数列2n a ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

为等差数列，从而可求通项公式，数列{}n b 是等比数列，用基本量法可求得通项公式；

（2）用错位相减法求得和n S ，即可证结论成立．

1. 【2020届北京市昌平区高三上学期期末数学试题】 已知等差数列{}n a 满足13428,4a a a a +=-=. （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）记数列1

{

}n S 的前n 项和为n T ，若99100

n T >，求n 的最小值.