实变函数练习题A

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实变函数测试题与答案范本

实变函数测试题与答案范本一、选择题1. 下列函数中，是实变函数的是：A. f(x) = √(x^2 - 1)B. f(x) = log(x)C. f(x) = cos(x)D. f(x) = 1/x答案：C. f(x) = cos(x)2. 设函数 f(x) 的定义域为 (-∞, 4]，则下列函数定义中错误的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = √(4 - x)C. f(x) = 1/(x - 3)D. f(x) = 2^x答案：C. f(x) = 1/(x - 3)3. 函数 f(x) = |x - 2| 的图像在 x = 2 处是否存在间断点？A. 存在间断点B. 不存在间断点答案：B. 不存在间断点二、计算题1. 求函数 f(x) = x^3 + 2x^2 - x 的零点。

解答：将 f(x) = 0，得到方程 x^3 + 2x^2 - x = 0。

对该方程进行因式分解得：x(x + 1)(x - 1) = 0。

解得 x = 0，x = -1，x = 1 为函数 f(x) 的零点。

2. 计算函数 f(x) = log(x^2 + 3x) 的导数。

解答：对 f(x) = log(x^2 + 3x) 进行求导。

使用链式法则，有 f'(x) = [1/(x^2 + 3x)] * (2x + 3)。

化简得到：f'(x) = (2x + 3)/(x^2 + 3x)。

三、证明题证明：若函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续且单调递增，那么 f(x) 在 [a, b] 上存在唯一的反函数。

解答：首先证明 f(x) 在 [a, b] 上是单射。

假设存在x1 ≠ x2，但 f(x1) = f(x2)。

由于 f(x) 在 [a, b] 上单调递增，可推出x1 ≠ x2，矛盾。

因此，f(x)在 [a, b] 上是单射。

接下来证明 f(x) 在 [a, b] 上是满射。

由于 f(x) 在 [a, b] 上连续，根据介值定理，f(x) 在 [a, b] 上取得最大值 M 和最小值 m。

实变函数试题库参考答案

《实变函数》试题库及参考答案（完整版）选择题1,下列对象不能构成集合的是:（）A 、全体自然数B 、0,1 之间的实数全体C 、[0, 1]上的实函数全体D 、全体大个子2、下列对象不能构成集合的是:（）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{全体小个子}D 、{x ：x>1}3、下列对象不能构成集合的是:（）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体胖子}4、下列对象不能构成集合的是:（）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体瘦子}5、下列对象不能构成集合的是:（）A 、{全体小孩子}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体实数}6、下列对象不能构成集合的是:（）A 、{全体实数}B 、{全体大人}C 、{x ：x>1}D 、{全体整数}7、设}1:{ααα≤<-=x x A , I 为全体实数, 则ααA I∈⋃= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、(-∞, +∞) D 、(1,+∞)8、设}1111:{ix i x A i -≤≤+-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、[0, 1]D 、[-1, 1]9、设}110:{ix x A i +≤≤=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(0, 1) B 、[0, 1] C 、[0, 1] D 、(0, +∞)10、设}1211:{ix i x A i +<<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A 、[1, 2] B 、(1, 2) C 、 (0, 3) D 、(1, 2)11、设}23:{+≤≤=i x i x A i , N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0}12、设}11:{ix i x A i <<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0}13、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈,则=∞→n n A lim ( )A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0, 1]14、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0,1]15、设),0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、[0, n]C 、RD 、(0, ∞)16、设)1,0(nA n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、(0, 1)B 、(0, n1) C 、{0} D 、Φ 17、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、(0, n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 18、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、ΦB 、(0, n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 19、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(A-B)= ( )A 、B B 、AC 、A ⋂BD 、A ⋃B20、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B ⋃C)= ( )A 、(A-B)⋂(A-C)B 、(A-B)⋃(A-C)C 、A ⋂BD 、A ⋂C21、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B ⋂C)= ( )A 、(A-B)⋂(A-C)B 、(A-B)⋃(A-C)C 、A ⋂BD 、A ⋂C22、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s -= ( )A 、BC A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B A C s ⋂23、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s ⋃= ( )A 、BC A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B C A s ⋃24、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B-C) = ( )A 、 A ⋃C-B B 、 A-B-C C 、 (A-B)⋃(A ⋂C)D 、 C-(B-A)25、集合E 的全体内点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包26、集合E 的全体聚点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包27、集合E 的全体边界点和内点所成的集合是E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包28、E-E ＇所成的集合是 ( )A 、开核B 、边界C 、外点D 、{E 的全体孤立点}29、E 的全体边界点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包30、设点P 是集合E 的边界点, 则 ( )A 、P 是E 的聚点B 、P 是E 的孤立点C 、P 是E 的内点D 、P 是CE 的边界点31、设)3,2()1,0(⋃=G , 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(21, 1) C 、[0, 1] D 、(0, 2) 32、设)1,0(1=G , )2,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(-1, 21) D 、(-1, 2) 33、设)4,0(1=G , )4,3()1,0(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(3, 4)C 、(0, 4)D 、 (1, 4)34、设)1,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 3)C 、(0, 4)D 、(1, 4)35、设)2,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(1, 2)D 、(1, 4)36、设)2,1()1,0(1⋃=G , )23,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(21, 23) B 、(1, 2) C 、(0, 1) D 、(-1, 0) 37、若B A ⊂ ，则下列命题错误的是： ( )A 、B A ⊂ B 、A ＇⊂B ＇C 、B A ∂⊂∂D 、B A ⊂38、若C B A =⋃, 则下列命题正确的是：（）A 、 CB A =⋃ B 、 A ＇⋃B ＇=C ＇ C 、C B A ∂=∂⋃∂D 、{A 的孤立点}⋃{B 的孤立点}={C 的孤立点}39、若C B A =⋂, 则下列命题错误的是：（）A 、 CB A =⋂ B 、C ＇⊂ A ＇⋂B ＇ C 、C B A =⋂D 、{A 的孤立点}⋂{B 的孤立点}={C 的孤立点}40、设CA 是A 的余集，则下列命题正确的是：（）A 、 )()(CA A C =B 、)(CA A ∂=∂C 、C(A ＇)＝（CA ）＇D 、CA A C =)(41、设A －B=C, 则下列命题正确的是：（）A 、CB A ∂=∂-∂ B 、C B A =- C 、A ＇－B ＇＝C ＇D 、{A 的孤立点}－{B 的孤立点}={C 的孤立点}42、 (2-4-1-2) 下列命题错误的是：（）A 、A 是闭集B 、A ＇是闭集C 、A ∂是闭集D 、 A 是闭集43、若A 是闭集，B 是开集，则A －B 是：（）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 44、若A 是开集，B 是闭集，则A －B 是：（）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 45、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋃1是：（）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 46、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋂1是：（）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 47、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋃1是：（）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 48、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋂1是：（）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 49、若]1,0[ QE =，则=mE （）A 、0B 、1C 、2D 、350、下述结论（）正确.A 、E m E m **>B 、E m E m *≥*C 、E m E m **<D 、E m E m **≤51、下列说法正确的是（）A 、x x f 1)(=在（0，1）有限B 、x x f 1)(=在)1,21(无界 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(x x x x f ，在[0，1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]1,0(,1)(x x x x f ，在[0，1]有界 52、函数列n n x x f =)(在[0，1]上（）于0.A 、a ，e 一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、基本上一致收敛53、设E 是[0，1]中的不可测集，⎩⎨⎧-∈-∈=Ex E x x f ]1,0[,1,1)( 则下列函数在[0，1]上可测的是（）.A 、)(x fB 、)(x f +C 、|)(|x fD 、)(x f -54、若)(x f 可测，则它必是（）.A 、连续函数B 、单调函数C 、简单函数D 、简单函数列的极限55、若Q E -=]1,0[，则=mE （）A 、0B 、1C 、2D 、356、下列说法不正确的是（）A 、E 的测度有限，则E 必有界B 、E 的测度无限，则E 必无界C 、有界点集的测度有限D 、n R 的测度无限57、（4-4-2-1）下述论断正确的是（）A 、x x f tg )(=在)4,0(π无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2,)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有限 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=2,1)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有界 D 、x x f tg )(=在)2,0(π有限58、函数列n n x x f )21()(=在[0, 2]上（）于0. A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、a.e.一致收敛59、设⎩⎨⎧-∈-∈=E x x E x x x f ]1,0[,,)(其中E 是[0,1]的不可测集，则下列函数在[0, 1]可测的是（）.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f -60、一个函数在其定义域中的（）点处都是连续的.A 、边界点B 、内点C 、聚点D 、孤立点.61、0P 是康托尔（cantor ）集，则=0mP （）A 、0B 、1C 、2D 、362、设A 是B 的真子集，则（）A 、B m A m **< B 、B m A m **≤C 、B m A m **>D 、B m A m **≥63、下列说法正确的是（）A 、x x f ctg )(=在)2,4(ππ无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]2,0(ctg )(x x x x f π在]2,0[π有限 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]2,0(ctg )(x x xx f π在]2,0[π有界 D 、x x f ctg )(=在)2,0(π有限64、函数列n n n x x f 2)(=在]21,0[上（）于0. A 、收敛 B 、一致收敛、 C 、基本上一致收敛 D 、a. e.一致收敛65、设E 是[0, 1]上的不可测集，⎩⎨⎧-∈-∈=E x xE x x x f ]1,0[)(22则下列函数在[0, 1]可测的是（）. A 、)(x f B 、)(x f + C 、|)(|x f D 、)(x f -66、设E 为可测集，则下列结论中正确的是（）A 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 一致收敛于)(x fB 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 基本上一致收敛于)(x fC 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n ⇒)(x fD 、若)}({x f n 在E 上基本上一致收敛于)(x f ，则)(x f n a , e 收敛于)(x f67、G 表示康托尔（cantor ）集在[0,1]中的余集，则mG=（）A 、0B 、1C 、2D 、368、设21,S S 都可测，则21S S （）A 、可测B 、不可测C 、可能可测也可能不可测D 、以上都不对69、下列说法正确的是（）A 、x x f sec )(=在)4,0(π上无界 B 、x x f sec )(=在)4,0(π上有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2)2,0[sec )(ππx x x x f 在]2,0[π上有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=21)2,0[sec )(ππx x x x f 在]2,0[π上有界 70、函数列n n n x x f 3)(=在]31,0[上（）于0 A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、a. e.一致收敛71、设⎩⎨⎧-∈∈-=Ex x E x x x f ]1,0[,,)(33，其中E 是[0, 1]上的不可测集，则（）在[0, 1]可测.A 、)(x f 、B 、)(x f +C 、)(x f -D 、|)(|x f72、关于连续函数与可测函数，下列论述中正确的是（）A 、它们是同一概念B 、a , e 有限的可测函数是连续函数C 、a , e 有限的可测函数是基本上连续的函数D 、a , e 有限的可测函数是a , e 连续的函数73、()=-)2,1()1,0( m ( )A 、1、B 、2C 、3D 、474、A 可测，B 是A 的真子集，则（）A 、mB mA ≥ B 、B m mA *≥C 、B m mA *=D 、以上都不对75、下列说法正确的是（）A 、21)(x x f =在(0, 1)有限、B 、21)(xx f =在]1,21[无界 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(2x x x x f 在[0, 1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=1,1]1,0(,1)(2x x x x f 在[0, 1]有界76、函数列x x f n n sin )(=在]2,0[π上（）于0.A 、收敛B 、基本上一致收敛C 、一致收敛D 、a. e.一致收敛77、设⎩⎨⎧-∈∈-=Ex x E x x x f ]1,0[,,)(22其中E 是[0, 1]上的不可测集，则（）在[0, 1]上是可测的.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f -78、关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是（）A 、简单函数一定是可测函数B 、简单函数列的极限是可测函数C 、简单函数与可测函数是同一概念D 、简单函数列的极限与可测函数是同一概念79、()=-]3,2()1,1[ m （）A 、1B 、2C 、3D 、480、L 可测集类，对运算（）不封闭.A 、可数和B 、有限交C 、单调集列的极限D 、任意和.81、下列说法正确的是（）A 、31)(x x f =在)1,21(无界B 、31)(xx f =在)1,0(有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0]1,0(1)(3x x x x f 在[0, 1]有限D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=01]1,0(1)(3x x x x f 在[0, 1]有界82、函数列x x f n n cos )(=在]2,0[π上（）于0.A 、基本一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、a. e.一致收敛83、设E 是]2,0[π中的不可测集，⎪⎩⎪⎨⎧-∈-∈=E x x E x x x f ]2,0[,sin ,sin )(π 则下列函数在]2,0[π上可测的是（）.A 、)(x fB 、|)(|x fC 、)(x f +D 、)(x f -84、关于依测度收敛，下列说法中不正确的是（）A 、依测度收敛不一定一致收敛B 、依测度收敛不一定收敛C 、若)}({x f n 在E 上 a.e.收敛于 a.e.有限的可测函数)(x f ，则)()(x f x f n ⇒D 、若)()(x f x f n ⇒，则存在子列)}({x f i n a. e.收敛于)(x f85、设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数，则)(x f （）A 、必可积B 、必几乎处处有限C 、必积分确定D 、不一定积分确定86、设)(x f 在可测集E 上可积，则在E 上（）A 、)(x f +与)(x f -只有一个可积B 、)(x f +与)(x f -皆可积C 、)(x f +与)(x f -不一定可积D 、)(x f +与)(x f -至少有一个不可积87、设0=mE （Φ≠E ），)(x f 是E 上的实函数，则下面叙述正确的是（）A 、)(x f 在E 上不一定可测B 、)(x f 在E 上可测但不一定可积C 、)(x f 在E 上可积且积分值为0D 、)(x f 在E 上不可积88、)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是，)(x f 为（）A 、连续函数B 、几乎处处连续函数C 、单调函数D 、几乎处处有限的可测函数89、设)(x D 为狄立克雷函数，则⎰=10)()(dx x D L （） A 、 0 B 、 1 C 、1/2 D 、不存在90、设)(x f 为Cantor 集的特征函数，则⎰=10)()(dx x f L （） A 、 0 B 、 1/3 C 、2/3 D 、 1填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A =n, 则B =2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集, 则B =3、若c A =, c B =, 则=⋃B A4、若c A =, B 是一可数集, 则=⋃B A5、若c A =, n B =, 则=⋃B A6、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =⋃∞=n n A 1 7、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, 则ααA I∈⋂=8、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, 则ααA I∈⋃= 9、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, S 是一集合, 则)(ααA C IS ∈⋂= 10、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, S 是一集合, 则)(ααA C IS ∈⋃= 11、若}{n A 是任意一个集合列, 则=∞→n n A lim 12、若}{n A 是任意一个集合列, 则=∞→n n A lim13、欧氏空间n R 中, 任意两点),,(21n x x x x =, ),,(21n y y y y =的距离d(x, y)=14、C[a, b]空间中,任意两元素x(t), y(t) 的距离 d(x, y)= 15、2l 空间中, 任意两元素 ),,,(21 n x x x x =, ),,(21 n y y y y =的距离 d(x, y)=16、欧氏空间2R 中, 任意两点),(21x x x =, ),(21y y y =的距离 d(x, y)=17、欧氏空间3R 中, 任意两点),,(321x x x x =, ),,(321y y y y =的距离d(x, y)=18、欧氏空间4R 中, 任意两点),,,(4321x x x x x =, ),,,(4321y y y y y =的距离d(x,y)=19、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E =20、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则E =21、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E ∂=22、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E ＇=23、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则 E ∂=24、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则E ＇=25、设A= [0, 1] , B = [3, 4] , 则 d(A, B) =26、设C 是康托完备集, G= [0, 1]－C , 则d (C, G) =27、设C 是康托完备集, 则C 的半径)(C δ=28、两个非空集合A, B 距离的定义为 d (A, B ) =29、一个非空集合A 的直径的定义为)(A δ=30、设A = [0, 1] ⋂Q, 则)(A δ=31、n R E ⊂，对每一列覆盖E 的开区间 ∞=⊃1i i E I ，定义=E m *________。

实变函数综合练习题

实变函数综合练习题《实变函数》综合训练题（一）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（ A ）（A ）(\)A B B A B ⋃=⋃ （B ）(\)A B B A ⋃= （C ）(\)B A A A ⋃⊆ （D ）(\)B A A ⊆ 2、若n E R ⊂是开集，则（ B ）（A ）E E '⊂ （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ）（A ）P 是可数集（B ）P 是开集（C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ϕ是E 上的简单函数，则（ D ）（A ）()x ϕ是E 上的连续函数（B ）()x ϕ是E 上的单调函数（C ）()x ϕ在E 上一定不L 可积（D ）()x ϕ是E 上的可测函数5、设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0Ef x x =⎰，则（ A ）（A ）在E 上，()f z 不一定恒为零（B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ）（A ）E 是可数集（B ）E 是闭集（C ）E 中的每一点都是聚点（D ）0mE > 2、若1E R ⊂至少有一个内点，则（ B 、D ）（A ）*m E 可以等于零（B ）*0m E >（C ）E 可能是可数集（D ）E 是不可数集3、设[,]E a b ⊂是可测集，则E 的特征函数()E X x 是（A 、B 、C ）（A ）[,]a b 上的简单函数（B ）[,]a b 上的可测函数（C ）E 上的连续函数（D ）[,]a b 上的连续函数4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ）（A ）()f z +和()f z -有且仅有一个在E 上L 可积（B ）()f z +和()f z -都在E 上L 可积（C ）()f z 在E 上不一定L 可积（D ）()f z 在E 上一定L 可积5、设()f z 是[,]a b 的单调函数，则（ A 、C 、D ）（A ）()f z 是[,]a b 的有界变差函数（B ）()f z 是[,]a b 的绝对连续函数（C ）()f z 在[,]a b 上几乎处处连续（D ）()f z 在[,]a b 上几乎处处可导三、填空题（将正确的答案填在横线上）1、设X 为全集，A ，B 为X 的两个子集，则\A B=C A B ⋂ 。

实变函数A卷(解答).docx

华屮师范大学2002——2003学年第二学期期（中、末）考试试卷（A、R卷）课程名称实变函数课程编号42111300 任课教师_________题型判断题叙述题简答题解答题总分分值151********得分一、判断题（判断正确、错课，并改正。

共5题，共5X3=15分）1、可数个冇限集的并集是可数集。

.（X ）改正：可数个有限集的并集不一定是可数集。

2、存在开集使具余集仍为开集。

（V ）co3、若可测集列E“单调递减，则m A E n = limrnE, o( X )n=\ ns改正：若可测集列乞单调递减，且存在〃0,使加£心<008则m A E n = lim mE n <>n=\n—4、若E是可测集，/（兀）是£上的实函数，则/（x）在E上可测的充要条件是：0 实数a,b（a<b） , E[x\a<f<b]都是可测集。

（X ）改正：若£是可测集，/（Q是E上的实函数，则/（x）在E上可测的充耍条件是: 0实数a, E[x\f>a]都是可测集。

5、若E是可测集, /（兀）是E上的非负可测函数,则于（兀）在E上一定可积。

改正：若E是可测集, /（X）是E上的非负可测函数，则/（x）在E上不一定可积。

二.叙述题（共5题，共5X3=15分）1、集合的对等。

答：设A、B是两个集合，若A、BZ间存在一一对应，则称A与B对等。

2、可测集。

答：设E u R”,如果对任意T uR”,总有mV=/77*（Tn£） + m*（Tn£c）,则称E为可测集。

3、可测集与几型集的关系。

答：设E为可测集，则存在人型集F,使F uE且加E二加F、加（E — F） = O。

4、叶果洛夫定理。

答：设mE < +oo , { f n（x））为E上儿乎处处有限的可测函数列，/（兀）也为E上儿乎处处有限的可测函数，如果AU）^/（x） a.e.于E,则对任意£>0,存在可测了集E£^E 使在E&上,f n （兀）一致收敛于/*（兀），而m{E-E G）< 8 o5、九（兀）在可测集E上依测度收敛于/（兀）的定义。

实变函数期末考试卷A卷

实变函数一、判断题（每题2分，共20分）1.若A 是B 的真子集，则必有B A <。

（×）2.必有比a 小的基数。

（√）3.一个点不是E 的聚点必不是E 的内点。

（√）4.无限个开集的交必是开集。

（×）5.若φ≠E ，则0*>E m 。

（×）6.任何集n R E ⊂都有外测度。

（√）7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。

（×）8.可测集的所有子集都可测。

（×）9.若)(x f 在可测集E 上可测，则)(x f 在E 的任意子集上也可测。

（×）10.)(x f 在E 上可积必积分存在。

（×）1.设E 为点集，E P ∉，则P 是E 的外点.（ × ）2.不可数个闭集的交集仍是闭集. （ × ）3.设{}n E 是一列可测集,且1,1,2,,n n E E n +⊂=则1()lim().n n n n m E m E ∞→∞==（× ）4.单调集列一定收敛. （√ ）5.若()f x 在E 上可测,则存在F σ型集,()0F E m E F ⊂-=,()f x 在F 上连续.（ × ）二、填空题（每空2分，共20分）1.设B 是1R 中无理数集，则=B c 。

2.设1,1,,31,21,1R n A ⊂⎭⎬⎫⎩⎨⎧= ，则=0A φ ，='A }0{ 。

3.设 ,2,1,0),11,11(=++-=n n n A n ，则=⋃∞=n n A 0 )1,1(- ，=⋂∞=n n A 1 }0{ 。

4.有界变差函数的不连续点构成的点集是至多可列集。

5.设E 是]1,0[上的Cantor 集，则mE 0 。

6.设A 是闭集，B 是开集，则B A \是闭集。

7.闭区间],[b a 上的有界函数)(x f Rimann 可积的充要条件是 )(x f 是],[b a 上的几乎处处的连续函数。

实变函数题库集答案

实变函数试题库及参考答案本科一、题1．设,A B 为集合，则()\A B B =A B （用描述集合间关系的符号填写）2．设A 是B 的子集，则A ≤B （用描述集合间关系的符号填写）3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是闭集4．有限个开集的交是开集5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E ≤12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ⊂是可数集，则*m E =07．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈，()E x f x a ⎡⎤≥⎣⎦是可测集，则称()f x 在E 上可测8．可测函数列的上极限也是可测函数 9．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x +⇒()()f x g x +10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上可积11．设,A B 为集合，则()\B A A ⊃A （用描述集合间关系的符号填写） 12．设{}211,2,A k k =-=，则A =a （其中a 表示自然数集N 的基数） 13．设n E ⊂，如果E 中没有不属于E ，则称E 是闭集14．任意个开集的并是开集15．设1E 、2E 是可测集，且12E E ⊂，则1mE ≤2mE16．设E 中只有孤立点，则*m E =0 17．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈，()E x f x a ⎡⎤<⎣⎦是可测，则称()f x 在E 上可测18．可测函数列的下极限也是可测函数 19．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x ⇒()()f x g x20．设()n x ϕ是E 上的单调增收敛于()f x 的非负简单函数列，则()E f x dx =⎰()lim nE n x dx ϕ→∞⎰ 21．设,A B 为集合，则()\A B B ⊃B22．设A 为有理数集，则A =a （其中a 表示自然数集N 的基数）23．设n E ⊂，如果E 中的每个点都是内点，则称E 是开集24．有限个闭集的交是闭集25．设n E ⊂，则*m E ≥0 26．设E 是n 中的区间，则*m E =E 的体积27．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈，()E x f x a ⎡⎤≤⎣⎦是可测集，则称()f x 在E 上可测28．可测函数列的极限也是可测函数 29．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒..a e ，则()n f x ⇒()g x30．设()n f x 是E 上的非负可测函数列，且单调增收敛于()f x ，由勒维定理，有()E f x dx =⎰()lim n E n f x dx →∞⎰31．设,A B 为集合，则()\B A B A =A B32．设A 为无理数集，则A =c （其中c 表示自然数集[]0,1的基数）33．设n E ⊂，如果E 中没有不是内点的点，则称E 是开集34．任意个闭集的交是闭集35．设n E ⊂，称E 是可测集，如果n T ∀⊂，()**m T m TE =+()*c m T E 36．设E 是外测度为零的集合，且F E ⊂，则*m F =037．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈，()E x a f x b ⎡⎤≤<⎣⎦是可测，（a b ≤）则称()f x 在E 上可测38．可测函数列的上确界也是可测函数39．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒..a e ，则()()n n f x g x ⇒()()f x g x40．设()()n f x f x ⇒，那么由黎斯定理，(){}n f x 有子列()k n f x ，使()()k n f x f x →..a e 于E 41.设,A B 为两个集合,则__c A B AB -.（等于） 42.设n E R ⊂,如果E 满足E E '⊆(其中E '表示E 的导集),则E 是闭.43.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i)(a,b)G ⊆ (ii),a G b G ∉∉44.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 答案：≥45.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 答案：≥46.设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,若对任意实数a ,都有[()]E xf x a >是可测集E 上的可测函数.47.设x 是E (R ⊆)的内点,则*__0m E . 答案>48.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ⇒∈,则由____黎斯__定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()()()k a e n f x f x x E →∈. 49.设()f x 为可测集E (n R ⊆)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值不一定存在且|()|f x 在E 上不一定L 可积.50.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有界变差函数.51．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A 答案=52．设n E R ⊂，如果E 满足0E E =（其中0E 表示E 的内部），则E 是开集53．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ⊆且,a G b G ∉∉，则(,)a b 必为G 的构成区间54．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数=a (其中a 表示自然数集N 的基数)55．设,A B 为可测集，B A ⊆且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 答案 =56．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是可测集57．若()E R ⊆是可数集，则__0mE 答案=58．设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果.()()()a e n f x f x x E →∈，则()()n f x f x ⇒x E ∈不一定成立59．设()f x 为可测集()nE R ⊆上的非负可测函数，则()f x 在E 上的L 积分值一定存在 60．若()f x 是[,]a b 上的有界变差函数，则()f x 必可表示成两个递增函数的差（或递减函数的差）多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ACD ）A E 是不可数集B E 是闭集C E 中没有内点D 1mE = 2．设n E ⊂是无限集，则（ AB ）A E 可以和自身的某个真子集对等B E a ≥（a 为自然数集的基数）C E '≠∅D *0mE >3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ABD ）A 函数()f x 在E 上可测B ()f x 在E 的可测子集上可测C ()f x 是有界的D ()f x 是简单函数的极限4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ABC ）A ()f x 在[],a b 上可测B ()f x 在[],a b 上L 可积C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数5．设n E ⊂，如果E 至少有一个内点，则（ BD ）A *m E 可以等于0B *0m E >C E 可能是可数集DE 不可能是可数集6．设n E ⊂是无限集，则（ AB ）A E 含有可数子集B E 不一定有聚点C E 含有内点DE 是无界的7．设()f x 是E 上的可测函数，则（ BD ）A 函数()f x 在E 上可测B ()f x 是非负简单函数列的极限C ()f x 是有界的D ()f x 在E 的可测子集上可测8．设()f x 是[],a b 上的连续函数，则（ ABD ）A ()f x 在[],a b 上可测B ()f x 在[],a b 上L 可积，且()()()()[],ba ab R f x dx L f x dx =⎰⎰C ()f x 在[],a b 上L 可积，但()()()()[],ba ab R f x dx L f x dx ≠⎰⎰D ()f x 在[],a b 上有界9．设()D x 是狄利克莱函数，即()[][]10,100,1x D x x ⎧⎪=⎨为中有理数为中无理数，则（ BCD ）A ()D x 几乎处处等于1B ()D x 几乎处处等于0C ()D x 是非负可测函数 D ()D x 是L 可积函数10．设n E ⊂，*0m E =，则（ ABD ）A E 是可测集B E 的任何子集是可测集C E 是可数集DE 不一定是可数集11．设n E ⊂，()10E cx Ex x E χ∈⎧=⎨∈⎩，则（ AB ） A 当E 是可测集时，()E x χ是可测函数B 当()E x χ是可测函数时，E 是可测集C 当E 是不可测集时，()E x χ可以是可测函数D 当()E x χ是不是可测函数时，E 不一定是可测集12．设()f x 是(),a b 上的连续函数，则（BD ）A ()f x 在(),a b 上有界B ()f x 在(),a b 上可测C ()f x 在(),a b 上L 可积D ()f x 在(),a b 上不一定L 可积13．设()f x 在可测集E 上L 可积，则（AC ）A ()f x +，()f x -都是E 上的非负可积函数B ()f x +和()f x -有一个在E 上的非负可积C ()f x 在E 上L 可积D ()f x 在E 上不一定L 可积14．设n E ⊂是可测集，则（ AD ）A c E 是可测集B mE <+∞C E 的子集是可测集DE 的可数子集是可测集15．设()()n f x f x ⇒，则（ CD ）A ()f x 几乎处处收敛于()f xB ()n f x 一致收敛于()f xC ()n f x 有子列()n f x ，使()()n f x f x →..a e 于ED ()n f x 可能几乎处处收敛于()f x16．设()f x 是[],a b 上有界函数，且L 可积，则（BD ）A ()f x 在[],a b 上黎曼可积B ()f x 在[],a b 上可测C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续D ()f x 在[],a b 上不一定连续17. 设{[0,1]}E =中的无理点,则(CD)（A ）E 是可数集（B ）E 是闭集（C ）E 中的每个点均是聚点（D ）0mE >18. 若E (R ⊆)至少有一个内点，则（BD ）（A ）*m E 可以等于０（B ）*0m E = （C ）E 可能是可数集（D ）E 不可能是可数集19．设[,]E a b ⊆是可测集，则E 的特征函数()E x χ是（ABC ）（A ）[,]a b 上的符号函数（C ）E 上的连续函数（B ）[,]a b 上的可测函数（D ）[,]a b 上的连续函数20．设()f x 是[,]a b 上的单调函数，则（ACD ）（A ）()f x 是[,]a b 上的有界变差函数（B ）()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数（C ）()f x 在[,]a b 上几乎处处收敛（D ）()f x 在[,]a b 上几乎处处可导21．设{[0,1]}E =中的有理点，则（ AC ）（A ）E 是可数集（B ）E 是闭集（C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点22．若()E R ⊆的外测度为0，则（ AB ）（A ）E 是可测集（B ）0mE =（C ）E 一定是可数集（D ）E 一定不是可数集23．设mE <+∞，{}()n f x 为E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 为E 上几乎处处有限的可测函数，如果()(),()f x f x x E ⇒∈，则下列哪些结果不一定成立（ ABCD ）（A ）()E f x dx ⎰存在（B ）()f x 在E 上L -可积（C ）.()()()a en f x f x x E →∈（D ）lim ()()n E E n f x dx f x dx →∞=⎰⎰24．若可测集E 上的可测函数()f x 在E 上有L 积分值，则（ AD ）（A ）()()f x L E +∈与()()f x L E -∈至少有一个成立（B ）()()f x L E +∈且()()f x L E -∈（C ）|()|f x 在E 上也有L -积分值（D ）|()|()f x L E ∈三、单项选择1．下列集合关系成立的是（ A ）A ()\B A A =∅B ()\A B A =∅C ()\A B B A =D ()\B A A B =2．若n R E ⊂是开集，则（ B ）A E E '⊂B 0E E =C E E =DE E '=4．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ B ） A ()()lim lim n n E E n n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰ B ()()lim lim n n E E n n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰ C ()()lim lim n n E E n n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰ D ()()lim lim n n E E n n f x dx f x →∞→∞≤⎰⎰5．下列集合关系成立的是（ A ）A c c A A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ccA A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭C c c A A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭D c cA A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．若n R E ⊂是闭集，则（ C ）A E E '=B E E '⊂C E E '⊂D 0E E =A E 为闭集B E 是不可测集C mE =+∞D 0mE =9．下列集合关系成立的是（B ）A c c A A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭BccA A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭C c c A A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D cc cA A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫=⎪⎝⎭10．设n R E ⊂，则( A ) A E E ⊃B E E '⊂C E E '⊂D E E =11．设P 为康托集，则（ B ）A P 是可数集B 0mP =C P 是不可数集D P 是开集13．下列集合关系成立的是（ A ）A 若AB ⊂则c c B A ⊂B 若A B ⊂则c c A B ⊂C 若A B ⊂则A B B =D 若A B ⊂则A B B =14．设n R E ⊂，则（ A ） A ()E E =B 0E E ⊃C E E '⊂D E E '⊂15．设(){},001E x x =≤≤，则（ B ）A 1mE =B 0mE =C E 是2R 中闭集DE 是2R 中完备集16．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（ B ）A ()()E x f x g x ⎡⎤≥⎣⎦不一定是可测集B ()()E x f x g x ⎡⎤≠⎣⎦是可测集C ()()E x f x g x ⎡⎤≤⎣⎦是不可测集D ()()E x f x g x ⎡⎤=⎣⎦不一定是可测集１7．下列集合关系成立的是（A ）（A ）(\)A B B A B = （B ）(\)A B B A =（C ）(\)B A A A ⊆ （D ）\B A A ⊆18. 若()n E R ⊆是开集，则（ B ）（A ）E 的导集E ⊆ （B ）E 的开核E =（C ）E E = （D ）E 的导集E =..19. 设P 的康托集，则(C)（A ）P 为可数集（B ）P 为开集（C ）0mP = （D ）1mP =20、设E 是1R 中的可测集，()x ϕ是E 上的简单函数，则（ D ）（A ）()x ϕ是E 上的连续函数（B ）()x ϕ是E 上的单调函数（C ）()x ϕ在E 上一定不L 可积（D ）()x ϕ是E 上的可测函数21．下列集合关系成立的是（ A ）（A ）()()()A B C A B A C = （B ）(\)A B A =∅（C ）(\)B A A =∅ （D ）A B A B ⊆22. 若()n E R ⊆是闭集，则（ B ）（A ）0E E = （B ）E E =（C ）E E '⊆ （D ）E E '=23. 设Q 的有理数集，则（ C ）（A ）0mQ > （B ）Q 为闭集（C ）0mQ = （D ）Q 为不可测集24.设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()0Ef x dx =⎰，则（ A ）（A ）在E 上，()f x 不一定恒为零（B ）在E 上，()0f x ≥（C ）在E 上，()0f x ≡ （D ）在E 上，()0f x ≠四、判断题1. 可数个闭集的并是闭集. （ × ）2. 可数个可测集的并是可测集. （ √ ）3. 相等的集合是对等的. （ √ ）4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ √ ）5. 可数个F σ集的交是F σ集. （ × ）6. 可数个可测函数的和使可测函数. （ √ ）7. 对等的集合是相等的. (× )8. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x =的x 全体是零测集. （ × ）9. 可数个G σ集的并是G σ集. （ √ ）..11. 对等的集合不一定相等. （ √ ）12. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是零测集.（ √ ）13. 可数个开集的交是开集（ × ）14. 可测函数不一定是连续函数. （ √ ）15. 对等的集合有相同的基数. （ √ ）16. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体的测度大于0 （ × ）17. 可列个闭集的并集仍为闭集（ × ）18. 任何无限集均含有一个可列子集（ √ ）19. 设E 为可测集，则一定存在G σ集G ，使E G ⊆，且()\0m G E =. （ √ ）20. 设E 为零测集，()f x 为E 上的实函数，则()f x 不一定是E 上的可测函数（ × ）21. 设()f x 为可测集E 上的非负可测函数，则()()f x L E ∈ （ × ）22. 可列个开集的交集仍为开集（× ）23. 任何无限集均是可列集（ × ）24. 设E 为可测集，则一定存在F σ集F ，使F E ⊆，且()\0m E F =. （ √ ）25. 设E 为零测集，则()f x 为E 上的可测函数的充要条件是：∀实数a 都有()E xf x a ⎡≥⎤⎣⎦是可测集（ √ ）26. 设()f x 为可测集E 上的可测函数，则()Ef x dx ⎰一定存在. （ × ）五、简答题1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合.答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合A ，A 的幂集2A的基数大于A 的基数. 2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系.答: 内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点.3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差.5. 简述集合对等的基本性质.答：A A ；若A B ，则B A ；若A B ，且B C ，则A C .6. 简述点集的内点、聚点、边界点和孤立点之间关系.答：内点一定是聚点，内点不是孤立点，边界点由点集的孤立点和聚点组成.7. 可测集与开集、G σ集有什么关系？答：设E 是可测集，则0ε∀>，∃开集G ，使G E ⊃，使()\m G E ε<，或∃G 集G ，使G E ⊃，且()\0m G E =.8. [],a b 上单调函数、有界变差函数与绝对连续函数有什么关系？答：绝对连续函数是有界变差函数，反之不然；有界变差函数是单调增函数的差，而单调函数是有界变差函数. 9. 简述证明集合对等的伯恩斯坦定理. 答：若AB B *⊂，又B A A *⊂，则A B10. 简述1R 中开集的结构.答: 设G 为1R 中开集，则G 可表示成1R 中至多可数个互不相交的开区间的并. 11. 可测集与闭集、F σ集有什么关系？答：设E 是可测集，则0ε∀>，∃闭集F E ⊂，使()\m E F ε<或∃F σ集F E ⊂，使()\0m E F =.12. 为什么说绝对连续函数几乎处处可微？答：因为绝对连续函数是有界变差，由若当分解定理，它可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处有有限的导数，所以绝对连续函数几乎处处可微.13. 简述连续集的基数大于可数集的基数的理由.答:连续集是无限集，因而包含可数子集，又连续集是不可数集，所以连续集的基数大于可数集的基数. 14. 简述nR 中开集的结构.答：nR 中开集可表示成可数个互不相交的半开半闭区间的并 15. 可测函数列几乎处处收敛、依测度收敛和近一致收敛的关系？答：设()(),n f x f x 是可测集E 上的一列可测函数，那当mE <+∞时，()(),.n f x f x a e →于E ，必有()()n f x f x ⇒.反之不成立，但不论mE <+∞还是mE =+∞，(){}n f x 存在子列(){}k n f x ，使()(),.k n f x f x a e →于E .当mE <+∞时，()(),.n f x f x a e →于E ，由Egoroff 定理可得()n f x 近一致收敛于()f x ，反之，无需条件mE <+∞，结论也成立.16. 为什么说有界变差函数几乎处处可微？答：由若当分解定理，有界变差函数可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处可微，所以有界变差函数几乎处处可微.17. 简述无穷多个开集的交集是否必为开集？答：不一定，如[]1111,11,1n n n +∞=⎛⎫---+=- ⎪⎝⎭18. 可测集E 上的可测函数与简单函数有什么关系？答：简单函数必是可测函数但可测函数不一定是简单函数，可测函数一定可表示成简单函数列的极限形式. 19.[],a b 上的有界变差函数与单调函数有什么关系？答：单调函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为单调函数，有界变差函数可表示成单调函数之差. 20. 简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？答：不一定如()1111,11,1n n n +∞=⎡⎤---+=-⎢⎥⎣⎦ 21. 可测集E 上的可测函数与连续函数有什么关系？答：E 上连续函数必为可测函数但E 上的可测函数不一定时连续函数，E 上可测函数在E 上是“基本上”连续的函数 22.[],a b 上的绝对连续函数与有界变差函数有什么关系？答：绝对连续函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为绝对连续函数六、计算题1. 设()[]230,1\xx E f x xx E⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，其中E 为[]0,1中有理数集，求()[]0,1f x dx ⎰.解：因为0mE =，所以()3,.f x x a e =于[]0,1，于是()[][]30,10,1f x dx x dx =⎰⎰，而3x 在[]0,1上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系，[]()41331000,11|44x x dx R x dx ===⎰⎰ 因此()[]0,114f x dx =⎰. 2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，求()[]0,1lim n n f x dx →∞⎰.解：显然()n f x 在[]0,1上可测，另外由()n f x 定义知，()0,.n f x a e =于[]0,1()1n ≥ 所以()[][]0,10,100nf x dx dx ==⎰⎰因此()[]0,1lim0nn f x dx →∞=⎰.3. 设()[]2sin 0,1\xx P f x x x P ∈⎧=⎨∈⎩，P 为康托集，求()[]0,1f x dx ⎰.解：因为0mP =，所以()2,.f x x a e =于[]0,1于是()[][]20,10,1f x dx x dx =⎰⎰而2x 在[]0,1上连续，所以[]()31221000,11|33x x dx R x dx ===⎰⎰ 因此()[]0,113f x dx =⎰.4. 设()()[]22sin ,0,11n nx nx f x x n x =∈+，求()[]0,1lim n n f x dx →∞⎰. 解：因为()n f x 在[]0,1上连续，所以可测()1,2,n =又()()[]2222sin 1,0,1,1,2,1122n nx nx nx nx f x x n n x n x nx =≤≤=∈=++而22lim01n nxn x →∞=+，所以()lim 0n n f x →∞=.因此由有界控制收敛定理()[]()[][]0,10,10,1limlim 00nnn n f x dx f x dx dx →∞→∞===⎰⎰⎰5. 设()3cos 0,\2x x E f x x x E π⎧∈⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎩，E 为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦中有理数集，求()0,2f x dx π⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰. 解：因为0mE =，所以()cos ,.f x x a e =于[]0,1 于是()0,0,22cos f x dx xdx ππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=⎰⎰而cos x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，所以黎曼可积，由牛顿莱布尼公式 []()22000,1cos cos sin |1xdx R xdx x ππ===⎰⎰因此()0,21f x dx π⎡⎤⎢⎥⎣⎦=⎰6. 设()()[]22cos ,0,11n nx nx f x x n x =∈+，求()[]0,1lim n n f x dx →∞⎰.解：因为()n f x 在[]0,1上连续，所以可测()1,2,n =又()()[]2222cos 1,0,1,1,2,1122n nx nx nx nx f x x n n x n x nx =≤≤=∈=++而22lim01n nxn x →∞=+，所以()lim 0n n f x →∞=.因此由有界控制收敛定理()[]()[][]0,10,10,1limlim 00nnn n f x dx f x dx dx →∞→∞===⎰⎰⎰7. 设()[]3sin 0,1\xx P f x xx P⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，P 为康托集，求()[]0,1f x dx ⎰.解：因为0mP =，所以(),.f x x a e =于[]0,1 于是()[][]0,10,1f x dx xdx =⎰⎰而x 在[]0,1上连续，所以[]()2121000,11|22x xdx R x dx ===⎰⎰ 因此()[]0,112f x dx =⎰. 8. 求()()0,ln limcos xn n x n e xdx n -→∞+⎰.解：令()()()()0,ln cos xn n x n f x x e x nχ-+= 显然()n f x 在()0,+∞上可测，且()()()()0,0,ln cos xn n x n e xdx f x dx n -+∞+=⎰⎰ 因为()()()()ln ln cos ,0,,1,2,x n x n x n f x e x x n n n-++≤≤∀∈+∞=不难验证()()ln n x n g x n+=，当n 足够大时，是单调递减非负函数，且 ()lim 0n n g x →∞=，所以()()()()()()0,0,0,ln limlim lim n n n n n x n dx g x dx g x n →∞→∞→∞+∞+∞+∞+==⎰⎰⎰()0,00dx +∞==⎰由勒贝格控制收敛定理()()0,lim0n n f x dx →∞+∞=⎰故()()0,ln lim cos 0x n n x n e xdx n -→∞+=⎰. 9. 设()[][]101001x D x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为，上的有理点为，上的无理点，求()[]01D x dx ⎰，.证明记1E 是[]0,1中有理数集，2E 是[]0,1中无理数集，则[]12120,1,E E E E ==∅，120,1mE mE ==，且()1210E E D x χχ=+，所以()[]120,1100D x dx mE mE =+=⎰.10 求()0ln limcos xn x n e xdx n+∞-→∞+⎰. 证明易知()ln limcos 0xn x n e x n-→∞+=对任意0,1x n ≥≥，()()ln ln cos x x n x n e x n n-++≤ 设()ln ()x y f y y +=，0y >，则()2ln ()yx y x yf y y -++'=，当3y ≥时，()1ln yx y x y<<++，()0f y '<. 则()ln ()x n f n n+=是单调减函数且非负（3n ≥）；又()ln 1limlim 0n n x n nx n →∞→∞+==+，由Levi 单调收敛定理得()()00ln ln lim lim 00n n x n x n dx dx dx n n+∞+∞+∞→∞→∞++===⎰⎰⎰，即()ln ()x n L E n +∈，再由Lebsgue 控制收敛定理得()()000ln ln lim cos lim cos 00x xn n x n x n e xdx e xdx dx n n+∞+∞+∞--→∞→∞++===⎰⎰⎰11. 设()[]230,1xx Pf x xx P ⎧∈⎪=⎨∈-⎪⎩，其中P 为康托集，求()[]01f x dx ⎰，.解：因为P 为康托集，故0mP =，[]()0,1\1m P = 所以()[]320,1P P f x x x χχ-=+ 所以()[][]()2330,10,1f x dx x mP x m P x=+-=⎰12. 求()[]22,0,11n nxf x E n x ==+，求()lim n n Ef x dx →∞⎰.解：易知：[]()22lim00,11n nxx n x →∞=∈+令()()2221,1n nx f x g x n x x ==+，则()()()22232222222221110111n nx n x nx n x nx g x f x nx nx x n x x x n x n x+-+--=-==≥+++ 所以()()[]()00,1,1n f x g x x n ≤≤∈≥ 又因为()g x 在[]0,1上Lebesgue 可积，所以由控制收敛定理，得 22lim 001n E Enxdx dx n x →∞==+⎰⎰七、证明题1．证明集合等式：(\)A B B A B =证明(\)()c A B B A B B =()()()c c A B A B B A BB B A B ===2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE =证明设F 是[0,1]中的有理数集，则F 是可数集，从而*0m F =，因此F 是可测集，从而cF 可测，又[0,1]\[0,1]c E F F ==，故E 是可测集.由于EF =∅，所以1[0,1]()0m m E F mE mF mF ===+=+，故1mF =3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集证明设{}n r 为全体有理数所成之集，则()11[|()()][|()()][|()][|()]n n n n n E x f x g x E x f x r g x E x f x r E x g x r ∞∞==>=≥>=≥<因为(),()f x g x 是E 上的可测函数，所以[|()]n E x f x r ≥，[|()]n E x g x r <是可测集，1,2,n =，于是由可测集性质知[|()()]E x f x g x >是可测集4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1[|()|]|()|EmE x f x a f x dx a ≥≤⎰ 证明因为()f x 在E 上可测，所以|()|f x 在E 上非负可测，由非负可测函数积分性质，[|()|][|()|]|()||()|E x f x a E x f x a Eadx f x dx f x dx ≥≥≤≤⎰⎰⎰而[|()|][|()|]E x f x a adx a mE x f x a ≥=⋅≥⎰，所以1[|()|]|()|E mE x f x a f x dx a≥≤⎰ 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞=，则lim ()0nE n f x dx →∞=⎰证明因为lim 0n n mE →∞=，所以0,1N δ∀>∃≥，当n N ≥时，n mE δ<，又()f x 在E 上L -可积，所以由积分的绝对连续性，0,0,εδ∀>∃>当,e E me δ⊂<时|()|ef x dx ε<⎰于是当n N ≥时，n mE δ<，因此|()|nE f x dx ε<⎰，即lim ()0nE n f x dx →∞=⎰6．证明集合等式：A A B A B =证明 ()(())()c c cc c cA AB AA B A A B A A B ===()()c AA AB A B ==7．设12,A A 是[0,1]的可测子集，且121mA mA +>，则12()0m A A >证明因为12[0,1],[0,1]A A ⊂⊂，所以12[0,1]A A ⊂，于是12()[0,1]1m A A m ≤=另一方面，121122[\()]A A A A A A =，所以()12112211221122()[\()][\()]()m A A m A A A A m A A A mA mA m A A mA ==+=-+ 于是121212()()0m A A mA mA m A A =+->8．设()f x 是定义在可测集nE R ⊂上的实函数，n E 为E 的可测子集（1,2,n =），且1n n E E ∞==，则()f x 在E 上可测的充要条件是()f x 在每个n E 上可测证明对任何实数a ，因为11[|()][|()]([|()])n nn n E x f x a E x f x a E E x f x a ∞∞==>=>=>所以()f x 在E 上可测的充要条件是对每个1,2,n =，()f x 在每个n E 上可测9．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有()[|()]af x EmE x f x a e e dx -≥≤⎰证明因为()f x 在E 上可测，所以()f x e是非负可测函数，于是由非负可测函数积分性质，()()[|()][|()]a f x f x E x f x a E x f x a Ee dx e dx e dx ≥≥≤≤⎰⎰⎰而[|()][|()]a a E x f x a e dx e mE x f x a ≥=⋅≥⎰，所以 ()[|()]af x EmE x f x a ee dx -≥≤⎰10．设()f x 是E 上的可积函数，{}n E 为E 的一列可测子集，mE <+∞，如果lim n n mE mE →∞= 则lim()()nE En f x dx f x dx →∞=⎰⎰证明因()f x 在E 上L -可积，由积分的绝对连续性知，对任意0ε>，存在0δ>，对任何A E ⊆，当mA δ<时有|()|Af x dx ε<⎰，由于lim n n mE mE →∞=<+∞，故对上述的0δ>，存在0k ，当0n k >时n E E ⊆，且有()n n mE mE m E E δ-=-<，于是|()()||()|nnEE E E f x dx f x dx f x dx ε--=<⎰⎰⎰，即 lim()()nE En f x dx f x dx →∞=⎰⎰11．证明集合等式：()(\)A B C A C B C =证明 ()$)()()($(\)c c c AB C A B C A C B C A C B C ===12．设nE R ⊂是零测集，则E 的任何子集F 是可测集，且0mF =证明设F E ⊂，*0m E =，由外测度的单调性和非负性，*00m F mE ≤≤=，所以*0m F =，于是由卡氏条件易知F 是可测集13．设(),(),(),()n n f x g x f x g x 是E 上几乎处处有限的可测函数，且()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()()()n n f x g x f x g x +⇒+.证明对任何正数0σ>，由于|(()())(()())||()()||()()|n n n n f x g x f x g x f x f x g x g x +-+≤-+-所以[|(()())(()())|]n n E x f x g x f x g x σ+-+≥[|()()|][|()()|]22n n E x f x f x E x g x g x σσ⊂-≥-≥于是[|(()())(()())|]n n mE x f x g x f x g x σ+-+≥[|()()|][|()()|]22n n mE x f x f x mE x g x g x σσ≤-≥+-≥0()n →→∞故()()()()n n f xg x f x g x +⇒+ 14．设(),()f x g x 是E 上L -E 上也是L -可积的证明因(),()f x g x 是E 上L -可积，所以|()|,|()|f x gx 在E 上L -可积，从而|()||()|f x g x +L -可积，|()||()|f x g x ≤=+ E 上L -可积15．设()f x 是可测集E 上的非负可测函数，如果()0Ef x dx =⎰，则()0.f x a e =于E证明反证，令[|()0]A E x f x =>，则由()f x 的可测性知，A 是可测集.下证0mA =，若不然，则0mA >由于11[|()0][|()]n A E x f x E x f x n ∞==>=≥，所以存在1N ≥，使1[|()]0mE x f x d N≥=> 于是11[|()][|()]111()()[|()]0EE x f x E x f x NNd f x dx f x dx dx mE x f x N N N N ≥≥≥≥=≥=>⎰⎰⎰因此()0Ef x dx >⎰，矛盾，故()0.f x a e =于E16．证明等式：$)($(\)A B C A B A C =证明$)()()()()($(\)c cc c c A B C A B C A B C A B A C A B A C ====17．设n E R ⊂是有界集，则*m E <+∞.证明因为E 是有界集，所以存在开区间I ，使E I ⊂由外测度的单调性，**m E m I ≤，而*||m I I =<+∞（其中||I 表示区间I 的体积），所以*m E <+∞18．1R 上的实值连续函数()f x 是可测函数证明因为()f x 连续，所以对任何实数a ，{|()}x f x a >是开集，而开集为可测集，因此()f x 是可测函数 19．设mE <+∞，函数()f x 在E 上有界可测，则()f x 在E 上L -可积，从而[,]a b 上的连续函数是L -可积的证明因为()f x 在E 上有界可测，所以存在0M >，使|()|f x M <，x E ∈，|()|f x 是非负可测函数，由非负可测函数的积分单调性，|()|EEf x dx Mdx M mE <=⋅<+∞⎰⎰故|()|f x 在E 上L -可积，从而()f x 在E 上L -可积因为[,]a b 上的连续函数是有界可测函数，所以L -可积的 20．设()n f x （1,2,n =）是E 上的L -可积函数，如果lim|()|0nn E n f x dx →∞=⎰，则()0n f x ⇒证明对任何常数0σ>，[|()|][|()|]|()|n n n E x f x mE x f x f x dx σσσ≥⋅≥≤⎰所以 [|()|]1[|()|]|()|n n n E x f x mE x f x f x dx σσσ≥≥≤⎰1|()|0()nEfx dx n σ≤→→∞⎰因此 ()0n f x ⇒ 21. 证明集合等式：()()()\\\A B C A C B C =.证明 ()()()()()()\\\c c c A B C A B C A C BC A C B C ===22. 设[]{}00,1E =中的有理点，则0E为可测集且00mE =.证明因为0E 为可数集，记为{}012,,,n E r r r =，0ε∀>，取()11,1,2,22n n n n n I r r n εε++⎛⎫=--= ⎪⎝⎭ 显然 01n n E I +∞=⊂，所以0011102n n n n n n E I m E I εε+∞+∞+∞*===⊂≤≤==∑∑，让0ε→，得00m E *=.n T R ∀∈，由于()()00c T TE T E = 所以()()00c m T m TE m T E ***≤+. 又00,0c T E T m E *⊆=，所以()()()000c c m T m T E m T E m T E ****≥=+.故()()00c m T m T E m T E ***=+故0E 为可测集，且00mE =23. 证明：1R 上的实值连续函数()f x 必为1R 上的可测函数证明 1,a b R ∀∈，不妨假设a b <，因为()f x 是1R 上的连续函数，故()f x 是[],a b 上的连续函数，记[],F a b =，由()f x 在F 上连续，则(),M m m M ∃<，使()m f x M ≤≤，则显然易证，()1,R F f αα∀∈≥是闭集，即()f x 为[],a b 上的可测函数，由,a b 的任意性可知，()f x 是1R 上的可测函数. 24. 设()()f x L E ∈，{}n E 为E 的一列可测子集，mE <+∞ ，如果lim n n mE mE →∞=，则()()lim n n E Ef x dx f x dx →∞=⎰⎰. 证明因()f x 在E 上L 可积，由积分的绝对连续性知，对任意0ε>，存在0δ>，对任何A E ⊆，当mA δ<时有|()|A f x dx ε<⎰，由于lim n n mE mE →∞=<+∞，故对上述的0δ>，存在0k ，当0n k >时n E E ⊆，且有()n n mE mE m E E δ-=-<，于是\|()()||()|nn E E E E f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰⎰⎰，即 lim ()()n E En f x dx f x dx →∞=⎰⎰ 25. 证明集合等式：()()()\\\A BC A B A C =.证明()()()()()()()\\\c c c c c A B C AB C A B C A B A C A B A C ====26. 设1E R ⊆，且0m E *=，则E 为可测集. 证明 n T R ∀∈，由于()()n c T R T TE T E ∀∈= 所以()()c m T m TE m T E ***≤+. 又,0c T E T m E *⊆=，所以()()()c c m T m T E m T E m T E ****≥=+.故()()c m T m TE m T E ***=+所以E 为可测集 27. 证明：1R 上的单调函数()f x 必为可测函数.证明 1,a b R ∀∈，不妨假设a b <，因为()f x 是1R 上的单调函数，不妨设()f x 为单调增函数，故()f x 是[],a b 上的单调增函数，即()()121212,,,x x E x x f x f x ∀∈<≤，则1R α∀∈，有1）当()sup x E f x α∈≤时，();E xf x α⎡>⎤=∅⎣⎦2）当()inf x E f x α∈>时，();E x f x E α⎡>⎤=⎣⎦3）当()()inf sup x E x E f x f x α∈∈≤<时，必有10x ER ∈，使 ()()000,f x f x αα+>≤或()()000,0f x f x αα+≥-<.由()f x 的单调增知，()0(),E xf x E x α⎡>⎤=+∞⎣⎦或[)0,E x +∞. 在所有情况下，()E x f x α⎡>⎤⎣⎦都可测.即()f x 是[],a b 上的可测函数.由由,a b 的任意性可知，()f x 是1R 上的可测函数. 28. 设()f x 为可测集nE R ⊆上的可测函数，则()()f x L E ∈的充要条件()()f x L E ∈. 证明必要性若()()f x L E ∈，因为()()()f x fx f x +-=+，且()()f x L E ∈ 所以()(),E E f x dx f x dx +-⎰⎰中至少有一个是有限值，故()()()EE E f x dx f x dx f x dx +-=+⎰⎰⎰即()()f x L E ∈充分性若()()f x L E ∈因为()()()f x f x f x +-=-，且()()f x L E ∈所以()(),E E f x dx f x dx +-⎰⎰中至少有一个是有限值，故()()()E EE f x dx f x dx f x dx +-=-⎰⎰⎰，即()()f x L E ∈.。

实变函数(复习资料_带答案)资料

集。
0, 开集 G E,使 m* (G E)
，则 E 是可测
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3. （6 分）在 a, b 上的任一有界变差函数 f ( x) 都可以表示为两个增函数之差。
5. （8 分）设 f ( x) 在 E a,b 上可积，则对任何 0 ，必存
b
在 E 上的连续函数 ( x) ，使 | f ( x) (x) | dx . a
E
四、解答题（8 分× 2=16 分） .
1、（8分）设 f (x)
x2, x为无理数，则 f ( x) 在 0,1 上是否 R
1, x为有理数
可积，是否 L 可积，若可积，求出积分值。
五、证明题（6 分× 4+10=34 分） . 1、（6 分）证明 0,1 上的全体无理数作成的集其势为 c
可测集；
二. 填空题 (3 分× 5=15 分)
1、设 An
11 [ , 2 ], n 1,2,
，则 lim An
_________。
nn
n
2、设 P 为 Cantor 集，则 P
o
，mP _____，P =________。
3、设 Si 是一列可测集，则 m i 1 Si ______ mSi i1 4、鲁津定理：
4.（8 分）设函数列 fn (x) ( n 1,2, ) 在有界集 E 上“基本上” 一致收敛于 f ( x) ，证明： fn (x) a.e.收敛于 f ( x) 。
2． x
E , 则存在 E中的互异点列
{
xn },
使 lim n
xn
x ……… .2
分
xn E, f ( xn ) a ………………… .3 分

实变函数练习题

实变函数练习题一、选择题1．)0(=z z 的辐射角情况为（）。

A 有无穷多个B 有限个C 可能无穷可能有限D 不存在 2．如果21z z e e =则（）。

A 21z z =B i z z π221+=C i z z π221-=D i k z z π221+= 3．设}{k a 为复数列，k k k k z b z a Im ,Re ==，则（）。

A 级数∑+∞=1k k a 收敛而级数∑+∞=1k k b 不收敛B 级数∑+∞=1k k a 不收敛而级数∑+∞=1k k b 收敛C 级数∑+∞=1k k a 和∑+∞=1k k b 均收敛D 级数∑+∞=1k k a 和∑+∞=1k k b 均不收敛4．nz w =4的支点是（）。

A 0B ∞C 0及∞D 不确定5．设f (z)及g (z)都在区域D 内解析，且在D 内的某一段曲线上的值相同，则这两个函数在D 内（）。

A 不恒等B 恒等C 相差个非零常数D 不确定 6．方程1Re 2=z 所表示的平面曲线为（）。

A 园B 直线C 椭圆D 双曲线 7．设i z cos =，则（）。

A 0Im =zB π=z ReC 0=zD π=z arg 8．设W=Ln(1-I)则Imw 等于（）。

A 4π- B ,1,0,42±=-k k ππ C4πD ,1,0,42±=+k k ππ9．解析函数的幂级数展式有（）。

A 唯一一个B 无穷多个C 不一定存在D 可数个10．同一函数在不同的圆环内的洛朗展式（）。

A 相同B 不同C 不一定唯一D 以上均错 11．若a 是E 的聚点，则（）。

A E a ∈B E a ∉C a 是E 内点D A 、B 均对 12．设C 为正向圆周1=z ，则积分zdzc⎰等于（）。

A 0B i π2C π2D π2- 13．3π=z 是函数ππ--=z z z f 3)sin()(3的（）。

(完整版)实变函数(复习资料_带答案)

《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο3、下列说法不正确的是（）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集（D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。

实变函数测试题与答案

实变函数测试题与答案实变函数测试题一、填空题1.设 $A_n=\begin{pmatrix} 1/n \\ 1/(n+1) \\ \cdots \\ 1/(2n) \end{pmatrix}$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}A_n=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \cdots \\ 0 \end{pmatrix}$。

2.$(a,b)$ 与 $(-\infty,+\infty)$ 之间存在两个集合之间的一一映射，因此它们的基数相同。

3.设 $E$ 是函数 $y=f(x)$ 的图形上的点所组成的集合，则$E=\{(x,f(x)):x\in\mathbb{R}\}$。

4.若集合 $E\subset\mathbb{R}$ 满足 $E'\subset E$，则$E$ 是闭集。

5.若 $(\alpha,\beta)$ 是直线上开集 $G$ 的一个构成区间，则 $(\alpha,\beta)$ 是连通集。

6.设 $E$ 是闭区间 $[a,b]$ 中的全体无理数集，则$m(E)=b-a$。

7.若 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测，$f(x)$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测，并且$\lim\limits_{n\to\infty} f_n(x)=f(x)$，则 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上依测度收敛于 $f(x)$。

8.XXX{R}$，$x$ 是 $E$ 的聚点，$f(x)$ 是实变函数，则存在 $\{x_n\}\subset E$，使得 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x$ 且 $\lim\limits_{n\to\infty} f(x_n)$ 存在。

9.若 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测，$f(x)$ 在 $E$ 上几乎处处有限且可测，并且对于任意$\sigma>0$，都有 $\lim\limits_{n\to\infty} m\{x\in E:|f_n(x)-f(x)|\geq\sigma\}=0$，则 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上依测度收敛于$f(x)$。

实变函数练习及答案

实变函数练习及答案实变函数练习及答案一、选择题1、以下集合，（）是不可数集合。

.A 所有系数为有理数的多项式集合； .B [0,1]中的无理数集合；.C 单调函数的不连续点所成集合； .D 以直线上互不相交的开区间为元素的集。

2、设E 是可测集，A 是不可测集，0mE =，则EA 是（）.A 可测集且测度为零； .B 可测集但测度未必为零； .C 不可测集； .D 以上都不对。

3、下列说法正确的是（）.A ()f x 在[,]a b L —可积?()f x 在[,]a b L —可积； .B ()f x 在[,]a b R —可积?()f x 在[,]a b R —可积；.C ()f x 在[,]a b L —可积?()f x 在[,]a b R —可积； .D ()f x 在(],a +∞R —广义可积?()f x 在[,]a b L —可积4、设{}n E 是一列可测集，12......,n E E E 则有（） .A 1()lim n n n n m E mE ∞→∞=>； .B 1()lim n n n n m E mE ∞→∞==；.C 1()lim n n n n m E mE ∞→∞==； .D 以上都不对。

5、()()\\\A B C A B C =成立的充分必要条件是（）.A A B ?； .B B A ?； .C A C ?； .D C A ?。

6、设E 是闭区间[]0,1中的无理点集，则（）.A 1mE =； .B 0mE =； .C E 是不可测集； .D E 是闭集。

7、设mE <+∞，(){}nf x 是E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 是E 上几乎处处有限的可测函数，则(){}nf x 几乎处处收敛于()f x 是(){}n f x 依测度收敛于()f x 的（）.A 必要条件； .B 充分条件； .C 充分必要条件； .D 无关条件。

8、设()f x 是E 上的可测函数，则（）.A ()f x 是E 上的连续函数； .B ()f x 是E 上的勒贝格可积函数； .C ()f x 是E 上的简单函数； .D ()f x 可表示为一列简单函数的极限。

实变函数期末考试卷A及参考答卷

实变函数期末考试卷A及参考答卷Prepared on 22 November 20202011—2012学年第1学期数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班) 《实变函数》期末考试卷（A）试卷共 8 页第 1 页考生考试诚信承诺书在我填写考生信息后，表示我已阅读和理解《龙岩学院考试纪律与违纪处分办法》的有关规定，承诺在考试中自觉遵规守纪，如有违反将接受处理；我保证在本科目考试中，本人所提供的个人信息是真实、准确的。

考生签名：实变函数期末考试卷(A )2009级本科1、2班用考试时间2012年01月 04日一填空题（每小题3分，满分24分） 1 我们将定义在可测集qE ⊂上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈，都可以确定两个非负可测函数：()()()(),0,0,0.f x x E f fx x E f +∈>⎧=⎨∈≤⎩当时当时和()()()()0,0,,0.x E f fx f x x E f -∈>⎧=⎨-∈≤⎩当时当时分别称为f 的正部和负部。

请你写出()()(),,f x fx f x +-和()f x 之间的关系：()f x =，()f x =。

2 上题()M E 中有些元素ϕ被称为非负简单函数，指的是：12k E E E E =是有限个互不相交的可测集的并集，在i E 上()i x c ϕ≡（非负常数）（1,2,,i k =）.ϕ在E 上的L 积分定义为：()Ex dx ϕ=⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说ϕ是L 可积的。

3 若()f M E ∈是非负函数，则它的L 积分定义为：()Ef x dx =⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说f是L 可积的。

4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的，如果f +和f -，即()Efx dx +⎰和()E f x dx -⎰的值；但只有当时才能说f 是L 可积的，这时将它的积分定义为：()Ef x dx =⎰。

《实变函数》习题库参考答案

《实变函数》习题库参考答案一、判断题 1、( √ )理由:由内点定义知，存在A P U ⊂),(0δ，从而对任意的)(0P U ，必含有A 中无穷多个点。

满足聚点定义 2、( √ )理由:[法一]:都具有连续基数,故对等 [法二]:可建立一个映射)2tan()(ππ-⋅--=a b a x x f ,则f(x)为),(b a 到R 的一一映射.3、( √ )理由:由B A ⊂知, A A B B )(-=,从而由有限可加性知，mA A B m mB +-=)(，又由 +∞<mB 知，+∞<-+∞<)(,A B m mA 。

从而移项可得结论。

4、( √ )理由:f(x)在区间[0,5)及[5,10]上均为连续函数，故分别在2个区间上是可测函数，从而再其和集上也是可测函数。

5、( × )理由:例如有理数集Q ，无理数2是Q 的聚点，但不是其内点。

6、( √ )理由:[法一]:都是可数集,故有相同的基数,即对等。

[法二]:可建立一个映射⎪⎩⎪⎨⎧==+==...2,1,1,11,0,1)(n n x n x x f ,则f(x)为集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ,1,,31,21,1,0n 到集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ,1,,31,21,1n 的一一映射。

7、( √ )理由:由B A ⊂知A A B B )(-=,且φ=-A A B )(，故mA mA A B m mB =+-=)(8、( √ )理由:狄利克莱函数⎩⎨⎧-∈∈=.]1,0[,0]1,0[,1)(Q x Qx x D 是[0,1]上的简单函数，故可测。

9、( √ )理由:由于E E ⊆Φ='，所以.}3,2,1{为闭集=E 10、( × )理由:如无界。

，但，则N mN N E +∞<==0 11、( √ )理由:由于可测。

在连续，从而在]2,1[2)(]2,1[2)(-=-=x f x f 12、( √ ) 理由:事实上：)()(***CE T m E T m T m T E +=∀⇔：可测]([)(**CE C T m CE T m +=可测。

实变函数期末考试卷A

实变函数期末考试卷A附件一东南大学考试卷（A 卷）课程名称实变函数考试学期 11-12-2 得分适用专业数学系考试形式闭卷考试时间长度 120分钟（开卷、半开卷请在此写明考试可带哪些资料）卷无一. (10分)试叙述可数集的定义，并分别给出一个可数集合和一个不可数集的例子。

二. (10 分)叙述勒贝格外测度的定义，并证明可数集的外测度为零.三. (10分)设E 是可测集，证明存在E 的一列单调增加的闭子集列1E,n n F F +⊂⊂n 1,∀≥ 使得 n mE=lim nmF →∞.四. (10 分)(1)试给出有界闭区间上有界函数Riemann 可积的充分必要条件。

(2)给出一个Lebesgue 可积但Riemann 不可积的例子。

五. (10分)(1) 叙述依测度收敛的定义。

(2) 若在E 上，()()n f x f x ⇒, ()()n g x g x ⇒, 证明()f x 和()g x 在E 上几乎处处相等。

六.(10分)叙述有界变差函数和绝对连续函数的定义，并分别给出一个例子。

七.(10分)设n f (x)在 E 上Lebesgue 可积。

如果lim |()|0nE n f x dx →∞→⎰, 证明存在子列kn {f }在E 上几乎处处收敛于零。

八. (10分)(1)试叙述Fatou 引理;(2)求下列极限： 20arctan()lim 1n nx dxx +∞→∞+⎰九．设()f x 在[,]a b 上Lebesgue 可积。

(1) 若()x φ是[,]a b 上的有界可测函数，证明()()f x x φ在[,]a b 上是Lebesgue 可积的。

(2) 如果对[,]a b 上的任意有界可测函数()x φ，总有()()0baf x x dx φ=⎰成立. 证明()f x 在[,]a b 上几乎处处为零。

(3) 如果对任意连续函数()x φ总有 ()()0b a f x x dx φ=⎰成立，证明上述(2)中结论仍然成立。

实变函数参考答案

习题1解答（A 组题）一、选择题1、C ；2、A ；3、D ；4、C ；5、C ；6、A ；7、A ；8、B ；9、D ；10、C 二、判断题1、×；2、×；3、×；4、×；5、√；6、×；7、×；8、×；9、×； 10、× 三、填空题1、＝；2、∅；3、()0,1；4、[]1,1-；5、,EF EF ；6、()2,3-；7、≥；8、c9、设有两个集合A 和B ，若≤A B ，≥A B ，则=A B 。

四、证明题1、（1）()()()()()\\====C C CC A A B A A B AAB A A AB A B ；（2）()()()()()()\\==C C CC A B CD A B CD A C B D()()()()\==CA C BD A C BD 。

2、111\lim \∞∞∞∞∞∞→∞======⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C Cn n n n n N n N N n N N n N A B A B A B AB ()111lim(\)∞∞∞∞∞∞→∞======⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C C C n n n n n N n N N n N N n N A B A B A B A B 。

同理可证第2个集合等式。

3、当A =∅时，{}∅张成的环和σ-环均为它自身；张成的代数和σ-代数均为{},X ∅。

当A X =时，{}X张成的环、σ-环、代数和σ-代数均为{},X ∅。

当A 为X 的非空真子集时，{}A 张成的环和σ-环均为{},A ∅；张成的代数和σ-代数均为{},,,cA A X∅。

4、首先，令()()tan 12π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦f x x ，由于()f x 是()0,1上的严格单调递减的连续函数，且()()()0,10,=+∞f，所以()f x 是()0,1到()0,+∞的一一映射。

实变函数测试题与答案

实变函数测试题与答案实变函数试题一，填空题1. 设1,2n A n ??=,1,2n =, 则lim n n A →∞= . 2. ()(),,a b -∞+∞,因为存在两个集合之间的一一映射为3. 设E 是2R 中函数1cos ,00,0x y x x ?≠?=?? =?的图形上的点所组成的集合，则E '= ，E ?= .4. 若集合nE R ?满足E E '?, 则E 为集. 5. 若(),αβ是直线上开集G 的一个构成区间, 则(),αβ满足:, .6. 设E 使闭区间[],a b 中的全体无理数集, 则mE = .7. 若()n mE f x →()0f x ??=??, 则说{}()n f x 在E 上 . 8. 设nE R ?, 0nx R ∈,若 ,则称0x 是E 的聚点.9. 设{}()n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列, ()f x 是E 上几乎处处有限的可测函数, 若0σ?>, 有 , 则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x . 10. 设()()n f x f x ?,x E ∈, 则?{}()n f x 的子列{}()jn f x , 使得.二, 判断题. 正确的证明, 错误的举反例. 1. 若,A B 可测, A B ?且AB ≠,则mA mB <.2. 设E 为点集, P E ?, 则P 是E 的外点.3. 点集11,2,,E n=的闭集. 4. 任意多个闭集的并集是闭集.5. 若nE R ?,满足*m E =+∞, 则E 为无限集合. 三, 计算证明题1. 证明:()()()A B C A B A C --=-2. 设M 是3R 空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明M 为可数集.3. 设nE R ?,i E B ?且i B 为可测集, 1,2i =.根据题意, 若有()()*0,i m B E i -→ →∞, 证明E 是可测集.4. 设P 是Cantor 集, ()[]32ln 1,(),0,1x x P f x x x P+ ∈?=? ∈-??.求10(L)()f x dx ?.5. 设函数()f x 在Cantor 集0P 中点x 上取值为3x , 而在0P 的余集中长为13n 的构成区间上取值为16n , ()1,2n =, 求1()f x dx ?.6. 求极限: 13230lim(R)sin 1n nx nxdx n x →∞+?.实变函数试题解答一填空题 1. []0,2.2. {}1(,)cos ,0(0,)1x y y x y y x ??=≠≤; ?.3. 闭集.4. b a -.5. 几乎处处收敛于()f x 或 a.e.收敛于()f x .6. 对000,(,)U x δδ?> 有{}()0E x -=?.7. ()()n f x f x → a.e.于E . 二判断题1. F . 例如, (0,1)A =, []0,1B =, 则A B ?且A B ≠,但1mA mB ==.2. F . 例如, 0(0,1)?, 但0不是(0,1)的外点.3. F . 由于{}0E E '=?.4. F . 例如, 在1R 中, 11,1n F n n ??=-, 3,4n =是一系列的闭集, 但是3(0,1)n n F ∞==不是闭集.5. T . 因为若E 为有界集合, 则存在有限区间I , I <+∞, 使得E I ?,则**,m E m I I ≤=<+∞ 于*m E =+∞ .三, 计算证明题. 1. 证明如下:2. M 中任何一个元素可以由球心(,,)x y z , 半径为r 唯一确定, x ,y ,z 跑遍所有的正有理数, r 跑遍所有的有理数. 因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故M 为可数集.3. 令1i i B B ∞==, 则i E B B ??且B 为可测集, 于是对于i ?, 都有i B E B E -?-, 故()()**0i m B E m B E ≤-≤-,令i →∞, 得到()*0m B E -=, 故B E -可测. 从而()E B B E =--可测.4. 已知0mP =, 令[]0,1G P =-, 则()1320221130(L)()(L)ln 1(L)(L)()(L)(L)(R)()133PGGPGf x dx x dx x dxf x dxx dx x dxf x dxx =++ =0+ =+ = ==.5. 将积分区间[]0,1分为两两不相交的集合: 0P , 1G , 2G , 其中0P 为Cantor 集, n G 是0P 的余集中一切长为13n 的构成区间(共有12n -个)之并.由L 积分的可数可加性, 并且注意到题中的00mP =, 可得6. 因为323sin 1nx nx n x+在[]0,1上连续, 13230(R)sin 1nx nxdx n x +?存在且与13230(L)sin 1nx nxdx n x +?的值相等. 易知由于12x 在()0,1上非负可测，且广义积分1012dx x ?收敛，则 12x在()0,1上(L)可积，由于323lim sin 01n nx nx n x →∞=+，()0,1x ∈，于是根据勒贝格控制收敛定理，得到1133232300132301lim(R)sin lim(L)sin 11lim sin 100n n n nx nx nxdx nxdx n x n x nx nx dxn x dx →∞→∞→∞=++?? = ?+?? ==.一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)（15分，每小题3分） 1. 非可数的无限集为c 势集 2. 开集的余集为闭集。

实变函数模拟试题及答案

实变函数模拟试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项不是实变函数的基本概念？A. 极限B. 连续性C. 微分D. 积分答案：C2. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 有界但无界D. 无界答案：A3. 如果函数f(x)在点x=a处连续，则下列哪个条件一定成立？A. f(a)存在B. f(a)=0C. f(a)=aD. f(a)=f'(a)答案：A4. 函数f(x)=|x|在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 不可导答案：A5. 函数f(x)=sin(1/x)在x=0处：A. 连续B. 有界C. 不连续D. 无界答案：C6. 黎曼积分存在的条件是：A. 函数在积分区间上单调B. 函数在积分区间上连续C. 函数在积分区间上的不连续点构成一个零测集D. 函数在积分区间上的不连续点是可数的答案：C7. 函数f(x)=x^3在区间[-1,1]上的积分是：A. 0B. 1/4C. 1/3D. 2/3答案：A8. 若f(x)在[a,b]上可积，则下列哪个选项是正确的？A. f(x)在[a,b]上连续B. f(x)在[a,b]上单调C. f(x)在[a,b]上几乎处处连续D. f(x)在[a,b]上几乎处处有界答案：C9. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的原函数是：A. x^3/3B. x^3C. 2x^3D. 3x^2答案：A10. 函数f(x)=x^(-1)在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 无界答案：C二、填空题（每空2分，共20分）1. 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在该区间上________。

答案：可积2. 函数f(x)=x^2的原函数是________。

答案：x^3/3 + C3. 函数f(x)=1/x在区间(0,1)上的积分是________。

答案：无穷大4. 函数f(x)=sin(x)在区间[0,π]上的积分是________。

实变函数(复习资料_带答案)

《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的是（）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集（D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是nR 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。

实变函数试题库参考答案

实变函数试题库参考答案(共37页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《实变函数》试题库及参考答案（完整版）选择题1,下列对象不能构成集合的是:（）A 、全体自然数B 、0,1 之间的实数全体C 、[0, 1]上的实函数全体D 、全体大个子2、下列对象不能构成集合的是:（）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{全体小个子}D 、{x ：x>1}3、下列对象不能构成集合的是:（）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体胖子}4、下列对象不能构成集合的是:（）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体瘦子}5、下列对象不能构成集合的是:（）A 、{全体小孩子}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体实数}6、下列对象不能构成集合的是:（）A 、{全体实数}B 、{全体大人}C 、{x ：x>1}D 、{全体整数}7、设}1:{ααα≤<-=x x A , I 为全体实数, 则ααA I∈⋃= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、(-∞, +∞) D 、(1, +∞)8、设}1111:{ix i x A i -≤≤+-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、[0, 1] D 、[-1, 1]9、设}110:{ix x A i +≤≤=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(0, 1) B 、[0, 1] C 、[0, 1] D 、(0, +∞)10、设}1211:{ix i x A i +<<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A 、[1, 2] B 、(1, 2) C 、 (0, 3) D 、(1, 2)11、设}23:{+≤≤=i x i x A i , N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0}12、设}11:{ix i x A i <<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0}13、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈,则=∞→n n A lim ( )A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0, 1]14、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0, 1]15、设),0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、[0, n]C 、RD 、(0, ∞)16、设)1,0(nA n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、(0, 1)B 、(0, n1) C 、{0} D 、Φ 17、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、(0, n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 18、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、(0, n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 19、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(A-B)= ( )A 、B B 、AC 、A ⋂BD 、A ⋃B20、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B ⋃C)= ( )A 、(A-B)⋂(A-C)B 、(A-B)⋃(A-C)C 、A ⋂BD 、A ⋂C21、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B ⋂C)= ( )A 、(A-B)⋂(A-C)B 、(A-B)⋃(A-C)C 、A ⋂BD 、A ⋂C22、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s -= ( )A 、BC A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B A C s ⋂23、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s ⋃= ( )A 、BC A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B C A s ⋃24、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B-C) = ( )A 、 A ⋃C-B B 、 A-B-C C 、 (A-B)⋃(A ⋂C)D 、 C-(B-A)25、集合E 的全体内点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包26、集合E 的全体聚点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包27、集合E 的全体边界点和内点所成的集合是E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包28、E-E ＇所成的集合是 ( )A 、开核B 、边界C 、外点D 、{E 的全体孤立点}29、E 的全体边界点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包30、设点P 是集合E 的边界点, 则 ( )A 、P 是E 的聚点B 、P 是E 的孤立点C 、P 是E 的内点D 、P 是CE 的边界点31、设)3,2()1,0(⋃=G , 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(21, 1) C 、[0, 1] D 、(0, 2) 32、设)1,0(1=G , )2,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(-1, 21) D 、(-1, 2) 33、设)4,0(1=G , )4,3()1,0(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(3, 4)C 、(0, 4)D 、 (1, 4)34、设)1,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 3)C 、(0, 4)D 、(1, 4)35、设)2,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(1, 2)D 、(1, 4)36、设)2,1()1,0(1⋃=G , )23,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(21, 23) B 、(1, 2) C 、(0, 1) D 、(-1, 0) 37、若B A ⊂ ，则下列命题错误的是： ( )A 、B A ⊂ B 、A ＇⊂B ＇C 、B A ∂⊂∂D 、B A ⊂38、若C B A =⋃, 则下列命题正确的是：（）A 、 CB A =⋃ B 、 A ＇⋃B ＇=C ＇ C 、C B A ∂=∂⋃∂D 、{A 的孤立点}⋃{B 的孤立点}={C 的孤立点}39、若C B A =⋂, 则下列命题错误的是：（）A 、 CB A =⋂ B 、C ＇⊂ A ＇⋂B ＇ C 、C B A =⋂D 、{A 的孤立点}⋂{B 的孤立点}={C 的孤立点}40、设CA 是A 的余集，则下列命题正确的是：（）A 、 )()(CA A C =B 、)(CA A ∂=∂C 、C(A ＇)＝（CA ）＇D 、CA A C =)(41、设A －B=C, 则下列命题正确的是：（）A 、CB A ∂=∂-∂ B 、C B A =- C 、A ＇－B ＇＝C ＇D 、{A 的孤立点}－{B 的孤立点}={C 的孤立点}42、 (2-4-1-2) 下列命题错误的是：（）A 、A 是闭集B 、A ＇是闭集C 、A ∂是闭集D 、 A 是闭集43、若A 是闭集，B 是开集，则A －B 是：（）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断44、若A 是开集，B 是闭集，则A －B 是：（）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断45、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋃1是：（） A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断46、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋂1是：（） A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断47、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋃1是：（） A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断48、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋂1是：（） A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断49、若]1,0[ Q E =，则=mE （）A 、0B 、1C 、2D 、350、下述结论（）正确.A 、E m E m **>B 、E m E m *≥*C 、E m E m **<D 、E m E m **≤51、下列说法正确的是（）A 、xx f 1)(=在（0，1）有限 B 、xx f 1)(=在)1,21(无界 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(x x x x f ，在[0，1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]1,0(,1)(x x x x f ，在[0，1]有界 52、函数列n n x x f =)(在[0，1]上（）于0.A 、a ，e 一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、基本上一致收敛53、设E 是[0，1]中的不可测集，⎩⎨⎧-∈-∈=E x E x x f ]1,0[,1,1)( 则下列函数在[0，1]上可测的是（）.A 、)(x fB 、)(x f +C 、|)(|x fD 、)(x f -54、若)(x f 可测，则它必是（）.A 、连续函数B 、单调函数C 、简单函数D 、简单函数列的极限55、若Q E -=]1,0[，则=mE （）A 、0B 、1C 、2D 、356、下列说法不正确的是（）A 、E 的测度有限，则E 必有界B 、E 的测度无限，则E 必无界C 、有界点集的测度有限D 、n R 的测度无限57、（4-4-2-1）下述论断正确的是（）A 、x x f tg )(=在)4,0(π无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2,)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有限 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=2,1)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有界 D 、x x f tg )(=在)2,0(π有限58、函数列n n x x f )21()(=在[0, 2]上（）于0. A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、.一致收敛59、设⎩⎨⎧-∈-∈=Ex x E x x x f ]1,0[,,)(其中E 是[0,1]的不可测集，则下列函数在[0, 1]可测的是（）.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f -60、一个函数在其定义域中的（）点处都是连续的.A 、边界点B 、内点C 、聚点D 、孤立点.61、0P 是康托尔（cantor ）集，则=0mP （）A 、0B 、1C 、2D 、362、设A 是B 的真子集，则（）A 、B m A m **< B 、B m A m **≤C 、B m A m **>D 、B m A m **≥63、下列说法正确的是（）A 、x x f ctg )(=在)2,4(ππ无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]2,0(ctg )(x x x x f π在]2,0[π有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]2,0(ctg )(x x xx f π在]2,0[π有界 D 、x x f ctg )(=在)2,0(π有限64、函数列n n n x x f 2)(=在]21,0[上（）于0. A 、收敛 B 、一致收敛、 C 、基本上一致收敛 D 、a. e.一致收敛65、设E 是[0, 1]上的不可测集，⎩⎨⎧-∈-∈=Ex xE x x x f ]1,0[)(22则下列函数在[0, 1]可测的是（）. A 、)(x f B 、)(x f + C 、|)(|x f D 、)(x f -66、设E 为可测集，则下列结论中正确的是（）A 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 一致收敛于)(x fB 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 基本上一致收敛于)(x fC 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n ⇒)(x fD 、若)}({x f n 在E 上基本上一致收敛于)(x f ，则)(x f n a , e 收敛于)(x f67、G 表示康托尔（cantor ）集在[0,1]中的余集，则mG=（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、368、设21,S S 都可测，则21S S （）A 、可测B 、不可测C 、可能可测也可能不可测D 、以上都不对 69、下列说法正确的是（） A 、x x f sec )(=在)4,0(π上无界B 、x x f sec )(=在)4,0(π上有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2)2,0[sec )(ππx x xx f 在]2,0[π上有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=21)2,0[sec )(ππx x x x f 在]2,0[π上有界 70、函数列n n n x x f 3)(=在]31,0[上（）于0 A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、a. e.一致收敛71、设⎩⎨⎧-∈∈-=E x x Ex x x f ]1,0[,,)(33，其中E 是[0, 1]上的不可测集，则（）在[0, 1]可测.A 、)(x f 、B 、)(x f +C 、)(x f -D 、|)(|x f 72、关于连续函数与可测函数，下列论述中正确的是（）A 、它们是同一概念B 、a , e 有限的可测函数是连续函数C 、a , e 有限的可测函数是基本上连续的函数D 、a , e 有限的可测函数是a , e 连续的函数 73、()=-)2,1()1,0( m ( ) A 、1、 B 、2 C 、3 D 、4 74、A 可测，B 是A 的真子集，则（）A 、mB mA ≥ B 、B m mA *≥C 、B m mA *=D 、以上都不对 75、下列说法正确的是（） A 、21)(x x f =在(0, 1)有限、 B 、21)(xx f =在]1,21[无界C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(2x x x x f 在[0, 1]有限D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=1,1]1,0(,1)(2x x x x f 在[0, 1]有界76、函数列x x f n n sin )(=在]2,0[π上（）于0.A 、收敛B 、基本上一致收敛C 、一致收敛D 、a. e.一致收敛77、设⎩⎨⎧-∈∈-=Ex x Ex x x f ]1,0[,,)(22其中E 是[0, 1]上的不可测集，则（）在[0, 1]上是可测的.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f - 78、关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是（）A 、简单函数一定是可测函数B 、简单函数列的极限是可测函数C 、简单函数与可测函数是同一概念D 、简单函数列的极限与可测函数是同一概念79、()=-]3,2()1,1[ m （） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 80、L 可测集类，对运算（）不封闭.A 、可数和B 、有限交C 、单调集列的极限D 、任意和. 81、下列说法正确的是（） A 、31)(x x f =在)1,21(无界 B 、31)(xx f =在)1,0(有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0]1,0(1)(3x x xx f 在[0, 1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=01]1,0(1)(3x x xx f 在[0, 1]有界82、函数列x x f n n cos )(=在]2,0[π上（）于0.A 、基本一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、a. e.一致收敛83、设E 是]2,0[π中的不可测集，⎪⎩⎪⎨⎧-∈-∈=E x x E x x x f ]2,0[,sin ,sin )(π则下列函数在]2,0[π上可测的是（）.A 、)(x fB 、|)(|x fC 、)(x f +D 、)(x f - 84、关于依测度收敛，下列说法中不正确的是（）A 、依测度收敛不一定一致收敛B 、依测度收敛不一定收敛C 、若)}({x f n 在E 上.收敛于.有限的可测函数)(x f ，则)()(x f x f n ⇒D 、若)()(x f x f n ⇒，则存在子列)}({x f i n a. e.收敛于)(x f85、设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数，则)(x f （）A 、必可积B 、必几乎处处有限C 、必积分确定D 、不一定积分确定 86、设)(x f 在可测集E 上可积，则在E 上（）A 、)(x f +与)(x f -只有一个可积B 、)(x f +与)(x f -皆可积C 、)(x f +与)(x f -不一定可积D 、)(x f +与)(x f -至少有一个不可积 87、设0=mE （Φ≠E ），)(x f 是E 上的实函数，则下面叙述正确的是（）A 、)(x f 在E 上不一定可测B 、)(x f 在E 上可测但不一定可积C 、)(x f 在E 上可积且积分值为0D 、)(x f 在E 上不可积 88、)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是，)(x f 为（）A 、连续函数B 、几乎处处连续函数C 、单调函数D 、几乎处处有限的可测函数89、设)(x D 为狄立克雷函数，则⎰=10)()(dx x D L （）A 、 0B 、 1C 、1/2D 、不存在 90、设)(x f 为Cantor 集的特征函数，则⎰=10)()(dx x f L （）A 、 0B 、 1/3C 、2/3D 、 1 填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A =n, 则B =2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集, 则B =3、若c A =, c B =, 则=⋃B A4、若c A =, B 是一可数集, 则=⋃B A5、若c A =, n B =, 则=⋃B A6、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =⋃∞=n n A 17、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, 则ααA I∈⋂=8、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, 则ααA I∈⋃=9、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, S 是一集合, 则)(ααA C IS ∈⋂=10、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, S 是一集合, 则)(ααA C IS ∈⋃=11、若}{n A 是任意一个集合列, 则=∞→n n A lim12、若}{n A 是任意一个集合列, 则=∞→n n A lim13、欧氏空间n R 中, 任意两点),,(21n x x x x =, ),,(21n y y y y =的距离d(x, y)=14、C[a, b]空间中,任意两元素x(t), y(t) 的距离 d(x, y)= 15、2l 空间中, 任意两元素 ),,,(21 n x x x x =, ),,(21 n y y y y =的距离 d(x, y)=16、欧氏空间2R 中, 任意两点),(21x x x =, ),(21y y y =的距离 d(x, y)= 17、欧氏空间3R 中, 任意两点),,(321x x x x =, ),,(321y y y y =的距离d(x, y)=18、欧氏空间4R 中, 任意两点),,,(4321x x x x x =, ),,,(4321y y y y y =的距离d(x,y)=19、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E =20、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则E =21、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E ∂= 22、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E ＇=23、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则 E ∂= 24、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则E ＇= 25、设A= [0, 1] , B = [3, 4] , 则 d(A, B) = 26、设C 是康托完备集, G= [0, 1]－C , 则d (C, G) = 27、设C 是康托完备集, 则C 的半径)(C δ=28、两个非空集合A, B 距离的定义为 d (A, B ) = 29、一个非空集合A 的直径的定义为)(A δ= 30、设A = [0, 1] ⋂Q, 则)(A δ=31、nR E ⊂，对每一列覆盖E 的开区间 ∞=⊃1i i E I ，定义=E m *________。

实变函数A--2010

⎧0, 解： ∀n≥1, 令 f n ( x) = ⎨ −α ⎩x , x ∈ (0,1/ n) x ∈ [1/ n,1]
. 则∀x∈(0, 1], fn(x)单增收敛于 f(x), 即 fn→f,
a.e. 由 Levi 单调收敛定理得
∫
[0,1]
x − α dx = ∫
(0,1]
x −α dx = lim ∫
∩a∈F{a}c = (∪a∈F {a})c =Fc.
由于 F 是不可测集, 故 Fc 也是不可测集, 进而∩a∈F{a}c 不可测, 但对任意 a∈F, {a}c 可测.
3. 设 D 上的可测函数列{fn}n≥1 几乎(近乎)一致收敛于 f，即∀δ>0，∃可测子集 E⊂D s.t.
m(D−E)<δ且{fn}在 E 上一致收敛于 f。则 fn→f, a.e.
上海海事大学试卷
2010 — 2011 学年第一学期期终考试《实变函数》（A 卷）
班级题得目分参考答案学号姓名总分
阅卷人
一、选择题（共 12 题，每题 3 分，共 36 分）请将正确答案写在题目后面的括号内。 1. 对于论域 X 的任意子集 A, A1, A2, B1, B2, An(n≥1), 必有（ B ）。 A.
n →∞
3. 下列集合不是可数集的是（ D ）。 A. 整数集 A. E°=(0, 1) B. 自然数集 B. E′=(0, 1] C. [−1, 1]中的有理数集 C. E°=[0, 1] D. E′=(0, 1) D. [0, 1]中的无理数集 4. 设 E=(0, 1]，则（ A ）。 5. 关于[0, 1]上的 Cantor 集，下列说法错误的是（ C ）。 A. Cantor 集是闭集 C. Cantor 集的测度是 1 A. 空集既是开集又是闭集 C. 任意多个闭集的并是闭集 B. Cantor 集是完备集 D. Cantor 集的内核是空集 B. 任意多个开集的交是开集 D. 不是开集必是闭集