托勒密定理
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托勒密定理Last revision on 21 December 2020
托
勒密定理
【定理内容】
圆内接四边形中,两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和. 即:若四边形ABCD 内接于圆,
则有BD AC BC AD CD AB ⋅=⋅+⋅. [评]等价叙述:四边形的两组对边之积的和
等于两对角线
之积的充要条件是四顶点共圆。 【证法欣赏】
证明:如图,过C 作CP 交BD 于P ,使21∠=∠,
∵43∠=∠,∴ACD ∆∽BCP ∆, ∴
BP
AD
BC AC =
,即AD BC BP AC ⋅=⋅ ① 又DCP ACB ∠=∠,65∠=∠,∴ACB ∆∽DCP ∆,
∴
DP
AB
DC AC =
,即DC AB DP AC ⋅=⋅ ② ∴①+②得:DC AB AD BC DP BP AC ⋅+⋅=+⋅)( 即BD AC BC AD CD AB ⋅=⋅+⋅ 【定理推广】 托勒密定理的推广:
在四边形ABCD 中,有BD AC BC AD CD AB ⋅≥⋅+⋅;当且仅当四边形ABCD 内接于圆时,等式成立。
[证] 在四边形ABCD 内取点E ,使CAD BAE ∠=∠,ACD ABE ∠=∠
则ABE ∆∽ACD ∆ ∴
AD
AE
CD BE AC AB ==, ∴BE AC CD AB ⋅=⋅; ∵
AD
AE
AC AB =,且EAD BAC ∠=∠ C
D
A
B
E B
C
D
∴ABC ∆∽AED ∆ ∴
AD
ED
AC BC =
,即ED AC BC AD ⋅=⋅; ∴)(ED BE AC BC AD CD AB +⋅=⋅+⋅ ∴BD AC BC AD CD AB ⋅≥⋅+⋅ 当且仅当E 在BD 上时“=”成立,
即四点共圆时成立;、、、当且仅当D C B A
【定理推广】 托勒密定理的推论:
等腰梯形一条对角线的平方等于一腰的平方加上两底之积. 即:若四边形ABCD 是等腰梯形,且BC AD //, 则BC AD AB AC ⋅+=22.
分析:因为等腰梯形必内接于圆,符合托勒密定理的条件,其对角线相等,两腰相等,结论显然成立。 【定理应用】
【例1】 如图,P 是正ABC ∆外接圆的劣弧BC 上任一点(不与B 、C 重合),
求证:PC PB PA +=. 证明:由托勒密定理得: ∵CA BC AB == ∴PC PB PA +=.
[注]此例证法甚多,如“截长”、“补短”等,详情参看《初中
数学一
题多解欣赏》.
【定理应用】
【例2】 证明“勾股定理”:
已知:在ABC Rt ∆中,︒=∠90B , 求证:222BC AB AC +=。
证明:如图,以ABC Rt ∆的斜边AC 为对角
B
C
线作矩形ABCD ,则ABCD 是圆内接四边形. 由托勒密定理,得
BC AD CD AB BD AC ⋅+⋅=⋅ ① ∵ABCD 是矩形,
∴CD AB =,BC AD =,BD AC = ② 把②代人①,得:222BC AB AC +=.
【定理应用】
【例3】 如图,在ABC ∆中,A ∠的平分线交外接圆于D ,连结BD ,
求证:)(AC AB BD BC AD +=⋅. 证明:连结CD ,由托勒密定理,得
BD AC CD AB BC AD ⋅+⋅=⋅. ∵CAD BAD ∠=∠,∴CD BD =. 故)(AC AB BD BC AD +=⋅.
【定理应用】
【例4】 若a 、b 、x 、y 是实数,且122=+b a ,122=+y x .
求证:1≤+by ax .
证明:如图,作直径1=AB 的圆,在AB 两侧任作ACB Rt ∆和ADB Rt ∆, 使a AC =,b BC =,x BD =,y AD =. 由勾股定理知a 、b 、x 、y 是满足题设条件的. 据托勒密定理,有CD AB BC AD BD AC ⋅=⋅+⋅. ∵1=≤AB CD ,
∴1≤⋅=⋅+⋅CD AB BC AD BD AC ,即1≤+by ax .
【定理应用】
【例5】 已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边,且)(2c b b a +=,
求证:B A ∠=∠2.
证明:∵)(2c b b a +=,∴c b b b a a ⋅+⋅=⋅, 由托勒密定理,构造圆内接四边形。
如图 ,作ABC ∆的外接圆,以A 为圆心,BC 为半径作弧交圆于D ,连结
BD 、CD 、AD .
∵BC AD =,∴BAC ABD ∠=∠,则21∠=∠, ∴b AC BD ==
由托勒密定理得:AC BD CD AB AD BC ⋅+⋅=⋅ 即b b DC c a a ⋅+⋅=⋅①
又∵)(2c b b a +=,∴c b b b a a ⋅+⋅=⋅, ② 比较①②得b BD CD ==,则213∠=∠=∠, ∴ABC BAC ∠=∠2
【定理应用】
【例6】 在ABC ∆中,已知4:2:1::=∠∠∠C B A ,求证:
BC
AC AB 1
11=
+. 证明:如图,作ABC ∆的外接圆,作弦BC BD =,连结AD 、CD . ∵4:2:1::=∠∠∠C B A ,
∴CDA CBA CAD ∠=∠=∠,CAB ADB ABD ∠=∠=∠3 ∴AD AB =,AC CD =,
在圆内接四边形ADBC 中,由托勒密定理,得: ∴AC AB AB BC BC AC ⋅=⋅+⋅, 则
BC
AC AB 1
11=
+. 【定理应用】
【例7】 由ABC ∆外接圆的弧BC 上一点P 分别向边BC 、AC 与AB 作垂线PK 、PL 和
PN ,求证:
PM
AB
PL AC PK BC +=. 证:连接PA 、PB 、PC ,
四边形ABPC ,由托勒密定理得: 即
PM CP PM
AB
PL BP PL AC PK AP PK BC ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅ ①