高中数学函数的解析式和抽象函数定义域练习题
2022届新高考数学抽象函数专题练习
专题8 抽象函数一、单选题1．函数()f x 是R 上的增函数，点()0,1A −，()3,1B 是其图象上的两点，则()11f x +<的解集为（ ） A ．()[),14,−∞−+∞ B ．()[) ,12,−∞−+∞ C ．1,2D ．()1,42．已知函数()f x 在定义域R 上单调，且(0,)x ∈+∞时均有(()2)1f f x x +=，则(2)f −的值为（ ） A ．3B ．1C ．0D ．1−3．单调增函数()f x 对任意,x y R ∈满足()()()f x y f x f y +=+，若()()33920x x xf k f ⋅+−−<恒成立，则k 的取值范围是（ ）A ．()1− B ．()1−∞C ．(1⎤⎦D ．)1,⎡+∞⎣4．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x −=，当(]0,1x ∈，()2log f x x x =−，则20212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．32B ．12C ．12−D ．32−5．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y −=−，且当0x <时，()0f x >，则关于x 的不等式()()()()2222f mx f m f m x f x +>+（其中0m << ）A ．2x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．{|x x m <或2}x m > C ．2x x m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．{|x x m >或2}x m<6．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且()f x 的图象关于点()1,0对称，当[]0,1x ∈时，()22xf x =−，则()()()()0122020f f f f ++++的值为（ ）A ．2−B ．1−C ．0D ．17．已知奇函数()f x 的定义域为R ，若()2f x +为偶函数，且()11f −=−，则()()20172016f f += A ．2−B ．1−C ．0D ．18．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x x =+，则不等式()()ln 1f x f <−的解集为（ ） A ．()0,e B ．1,e ⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭C ．(10,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、多选题9．已知函数()f x 满足x R ∀∈，有()(6)f x f x =−，且(2)(2)f x f x +=−，当[1,1]x ∈−时，)()lnf x x =，则下列说法正确的是（ ）A ．(2021)0f =B ．(2020,2022)x ∈时，()f x 单调递增C ．()f x 关于点(1010,0)对称D ．(1,11)x ∈−时，方程()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭的所有根的和为30 10．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()()11f x f x −=−+，且当[]0,1x ∈时，()22f x x x =+−，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 是以4为周期的周期函数B ．()()201820212f f +=−C ．函数()2log 1y x =+的图象与函数()f x 的图象有且仅有3个交点D ．当[]3,4x ∈时，()2918f x x x =−+11．已知函数()f x 的定义域为R ，且在R 上可导，其导函数记为()f x '.下列命题正确的有（ ） A ．若函数()f x 是奇函数，则()f x '是偶函数 B ．若函数()'f x 是偶函数，则()f x 是奇函数 C ．若函数()f x 是周期函数，则()f x '也是周期函数 D ．若函数()f x '是周期函数，则()f x 也是周期函数12．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对于任意x ∈R ，都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，当[)0,2x ∈时，()21=−x f x ，给出下列结论，其中正确的是（ ）A ．(2)0f =B ．点(4,0)是函数()y f x =的图象的一个对称中心C ．函数()y f x =在[6,2]−−上单调递增D ．函数()y f x =在[6,6]−上有3个零点 三、填空题13．写出一个满足()()2f x f x =−的奇函数()f x =______.14．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于1x =对称，当[0,1]x ∈时，()21x f x =−，计算(0)(1)(2)(3)(2021)f f f f f +++++＝________．15．函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =−，若(1)3f =，则(1)(2)(50)f f f +++=__________．16．设()f x 是定义在R 上的函数，且()()2f x f x =+，在区间[)1,1−上，(),102,015x a x f x x x +−≤<⎧⎪=⎨−≤<⎪⎩，其中a ∈R .若5922f f ⎛⎫⎛⎫−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5f a 的值是________.四、解答题17．已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足： ①()01f =；②任意的x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y g x g y −=−.（1）求()()22f xg x −的值；（2）判断并证明函数()f x 的奇偶性.18．已知函数()f x 满足对,x y R ∀∈，都有()()()f x y f x f y +=+，且(1)2f =． （1）求(0)f 与(2)f −的值；（2）写出一个符合题设条件的函数()f x 的解析式（不需说明理由），并利用该解析式解关于x 的不等式(21)1()1f x f x +≥−．19．如果存在一个非零常数T ，使得对定义域中的任意的x ，总有f x Tf x 成立，则称()f x 为周期函数且周期为T .已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线x a =（0a ≠，为常数）对称，证明：()f x 是周期函数.20．已知函数()()y f x x =∈R ．（1）若()f x 满足(1)y f x =+为R 上奇函数且(1)=−y f x 为R 上偶函数，求(3)(5)f f −+的值；（2）若函数()()y g x x =∈R 满足1(3)2g x +=x ∈R 恒成立，函数()()()h x f x g x =+，求证：函数()h x 是周期函数，并写出()h x 的一个正周期；（3）对于函数()y f x =，()()y k x x =∈R ，若(())()f k x f x =对x ∈R 恒成立，则称函数()y f x =是“广义周期函数”， ()k x 是其一个广义周期，若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的广义周期为()k x （()k x x =不恒成立），试利用广义周期函数定义证明：对任意的12,x x ∈R ，12x x ≠，()()12f x f x =成立的充要条件是12b x x a+=−．参考答案1．C【解析】解法一：因为()f x 是R 上的增函数，()0,1A −，()3,1B 是其图象上的两点，所以函数()f x 的草图如图所示.由图象得，()()11111013f x f x x +<⇔−<+<⇔<+<，即12x −<<.解法二：因为()f x 是R 上的增函数，()0,1A −，()3,1B 是其图象上的两点，所以当03x ≤≤时，()11f x −≤≤.又已知()11f x +<，即()111f x −<+<， 所以013x <+<，解得12x −<<. 故选：C2．A【解析】根据题意，函数()f x 在定义域R 上单调，且(0,)x ∈+∞时均有(()2)1f f x x +=， 则()2f x x +为常数，设()2f x x t +=，则()2f x x t =−+，则有()21f t t t =−+=，解可得1t =−，则()21f x x =−−，故(2)413f −=−=； 故选：A. 3．B【解析】因为()()()f x y f x f y +=+，所以()()3392(3392)0x x x x x xf k f f k ⋅+−−=⋅+−−<又对任意,x y R ∈满足()()()f x y f x f y +=+， 所以(0)(0)(0)f f f =+， 解得(0)0f =，由()f x 为R 上单调增函数可得33920x x x k ⋅+−−<，令30x t =>，即2(1)20k t t +−−<恒成立， 即21k t t+<+，而2t t +≥，当且仅当2t t=，即t =所以1k +<1k <， 故选：B 4．D【解析】因为()f x 满足()()2f x f x −=，所以()f x 的图像关于x=1对称. 又()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()()22f x f x f x =−=−−， 所以()()()42f x f x f x +=−+=， 所以()f x 为周期函数，且周期T =4. 所以2021552524222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而25511132log 222222f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=−=−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以20212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭32−.故选：D 5．A【解析】任取12x x <，由已知得()120f x x −>，即()()120f x f x −>，所以函数()f x 单调递减．由()()()()2222f mx f m f m x f x +>+可得()()()()2222f mx f x f m x f m −>−，即()22f mx x f −>()22m x m −，所以2222mx x m x m −<−，即()22220mx m x m −++<，即()()20mx x m −−<，又因为0m << 所以2m m>，此时原不等式解集为2x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．故选：A 6．D【解析】因为()f x 是R 上的偶函数，所以()()f x f x −=， 又()f x 的图象关于点()1,0对称，则()(2)f x f x =−−，所以()(2)f x f x −=−−，则()(2)f x f x =−+，得(4)(2)()f x f x f x +=−+=， 即(4)()f x f x +=−，所以()f x 是周期函数，且周期4T =，由[]0,1x ∈时，()22xf x =−，则(0)1,(1)0f f ==，(2)(0)1f f =−=−，(3)(3)(1)0f f f =−==，则(0)(1)(2)(3)0f f f f +++=， 则()()()()0122020f f f f ++++(0)5050(0)1f f =+⨯==故选：D 7．D【解析】奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数， (0)0f ∴=，且(2)(2)(2)f x f x f x −+=+=−−，则(4)()f x f x +=−，则(8)(4)()f x f x f x +=−+=， 则函数()f x 的周期是8，且函数关于2x =对称， 则(2017)(25281)f f f =⨯+=（1）(1)(1)1f =−−=−−=，(2016)(2528)(0)0f f f =⨯==，则(2017)(2016)011f f +=+=， 故选D ． 8．C【解析】因为当0x >时，()2f x x x =+，且函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以0x <时，()()()()22f x f x x x x x ⎡⎤=−−=−−+−=−+⎣⎦， 所以()22,0,0x x x f x x x x ⎧−+<=⎨+>⎩，作出函数图象：所以函数()f x 是()+−∞∞，上的单调递增， 又因为不等式()()ln 1f x f <−，所以ln 10x x <−⎧⎨>⎩，即10x e <<，故选：C. 9．CD【解析】由题设知：2221()ln(1)lnln(1)()1f x x x x x f x x x−=++==−+−=−+−，故()f x 在[1,1]x ∈−上为奇函数且单调递减，又(2)(4)(2)f x f x f x +=−=−，即关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且最小周期为4， A ：(2021)(50541)(1)ln(21)0f f f =⨯+==−≠，错误；B ：(2020,2022)x ∈等价于(0,2)x ∈，由上易知：(0,1)上递减，(1,2)上递增，故()f x 不单调，错误；C ：由上知：()f x 关于(2,0)k 对称且k Z ∈，所以()f x 关于(1010,0)对称，正确；D ：由题意，只需确定()f x 与sin 2xy π=在(1,11)x ∈−的交点，判断交点横坐标的对称情况即可求和，如下图示，∴共有6个交点且关于5x =对称，则16253410x x x x x x +=+=+=， ∴所有根的和为30，正确. 故选：CD 10．ACD【解析】对于A 选项，由已知条件可得()()()()1113f x f x f x f x +=−−=−−=−， 所以，函数()f x 是以4为周期的周期函数，A 选项正确；对于B 选项，()()()2018202f f f ==−=，()()202110f f ==，则()()201820212f f +=，B 选项错误；对于C 选项，作出函数()2log 1y x =+与函数()f x 的图象如下图所示：当[]0,1x ∈时，()[]221922,024f x x x x ⎛−=+⎫−=−∈− ⎪⎝⎭，结合图象可知，()22f x −≤≤.当3x >时，()2log 12x +>，即函数()2log 1y x =+与函数()f x 在()3,+∞上的图象无交点， 由图可知，函数()2log 1y x =+与函数()f x 的图象有3个交点，C 选项正确； 对于D 选项，当[]3,4x ∈时，[]41,0x −∈−，则[]40,1x −∈，所以，()()()()()2244442918f x f x f x x x x x =−=−=−+−−=−+，D 选项正确. 故选：ACD. 11．AC【解析】解：由导数的定义：()()()=lim x f x x f x f x x ∆→+∆−∆'选项A ：()()()()()()00=lim=lim=x x f x x f x f x f x x f x f x xx∆→∆→−+∆−−−−∆∆∆''−，即()f x '是偶函数，故A 正确；选项B ：如()sin 1f x x =+不是奇函数，而()cos f x x '=为偶函数；故B 错误， 选项C ：()()()()()()00=lim=limx x f x T x f x T f x x f x f x T f x xx∆→∆→++∆−++∆−=∆∆''+即()f x '也是周期函数，故C 正确；选项D ：如()sin f x x x =+不是周期函数，但()1cos f x x '=+是周期函数；故D 错误， 故选：AC. 12．AB【解析】在(4)()(2)f x f x f +=+中，令2x =−，得(2)0f −=，又函数()y f x =是R 上的奇函数，所以(2)(2)0f f =−=，(4)()f x f x +=，故()y f x =是一个周期为4的奇函数，因(0,0)是()f x 的对称中心，所以(4,0)也是函数()y f x =的图象的一个对称中心，故A 、B 正确；作出函数()f x 的部分图象如图所示，易知函数()y f x =在[6,2]−−上不具单调性，故C 不正确；函数()y f x =在[6,6]−上有7个零点，故D 不正确. 故选：AB 13．πsin2x （答案不唯一） 【解析】取()sin2f x x π=，下面为证明过程：显然，其定义域为R ； 由()sin sin ()22f x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫−=−=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()sin 2f x x π=为奇函数；又()(2)sin 2sin sin ()222f x x x x f x ππππ⎡⎤⎛⎫−=−=−== ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.故答案为：sin 2x π（答案不唯一）.14．1【解析】由题意，()()f x f x −=−且(2)()f x f x −=，∴()(2)()(2)(2)f x f x f x f x f x −=+=−=−−=−，即()(4)f x f x =+， ∴()f x 是周期为4的函数.令10x −≤<，则01x <−≤，而[0,1]x ∈时()21x f x =−，∴1()()(21)12xxf x f x −=−−=−−=−， ∴(0)(2)0,(1)1,(3)(1)1f f f f f ====−=−，即(0)(1)(2)(3)0f f f f +++=， 而(0)(1)(2)(3)(2021)505[(0)(1)(2)(3)]f f f f f f f f f +++++=⨯+++(5054)f +⨯(50541)f +⨯+(0)(1)1f f =+=.故答案为：115．3【解析】()(2)f x f x =−，(2)()f x f x ∴+=−，又()f x 为奇函数，(2)()(),(4)(2)()f x f x f x f x f x f x ∴+=−=−+=−+=()f x ∴是周期为4的周期函数，()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)0,(4)(0)0f f f ∴=∴==，(2)(0)0,(3)(1)(1)3f f f f f ===−=−=−(1)(2)(3)(4)0f f f f ∴+++=，()()()()()12...50012123f f f f f ∴+++=⨯++=.故答案为：3．16．25− 【解析】因为()()2f x f x =+， 所以511222f f a ⎛⎫⎛⎫−=−=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，9112210f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11210a −+=，解得35a =， 所以()()()25315f a f f ==−=−. 故答案为：25− 17．（1）1；（2）偶函数，证明见解析.【解析】（1）依题意，()()()()()()22f x g x f x f x g x g x −=−()()01f x x f =−==.（2）由（1）知()()22001f g −=，∴()()220010g f =−=，即()00g =，∴()()()()()()()000f x f x f f x g g x f x −=−=−=，又因为()f x 的定义域为R ，所以函数()f x 为偶函数.18．（1）(0)0f =，(2)4f −=−；（2）31(,](,)22−∞−+∞（答案不唯一）. 【解析】（1）由()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，得(0)2(0)f f =，所以(0)0f =，令1,1x y ==−，得(0)(1)(1)f f f =+−，因为(1)2f =，所以(1)2f −=−，令1x y ==−，得(2)(1)(1)4f f f −=−+−=−，（2）答案不唯一，例如：()2f x x =满足条件.由(21)1()1f x f x +≥−，得2(21)2(21)23110212121x x x x x x +++≥⇔−=≥−−−， 解得：32x ≤−或12x >， 故解集为31(,](,)22−∞−+∞ 19．证明见解析【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()()f x f x −=−，∵()y f x =的图象关于直线x a =（0a ≠，为常数）对称，所以()()f a x f a x +=−，∴(2)[()][()]()()f a x f a a x f a a x f x f x +=++=−+=−=−.从而(4)(2)()f a x f a x f x +=−+=.∴()f x 是周期函数，且周期为4a .20．（1）0；（2）证明见解析，正周期为24；（3）证明见解析．【解析】（1）因为()f x 满足(1)y f x =+为R 上奇函数，所以(1)(1)f x f x −=−+，所以()(2)0f x f x −++=，又因为()f x 满足(1)=−y f x 为R 上偶函数，所以(1)(1)f x f x −−=−，所以()(2)f x f x −=−，所以有(2)(2)0f x f x −++=，所以(2)(2)f x f x +=−−，所以(4)()f x f x +=−，所以(8)(4)()f x f x f x +=−+=，所以()f x 的一个周期为8，所以(3)(5)2(5)f f f −+=，在()(2)0f x f x −++=中令1x =−，得(1)(1)0f f +=，所以(1)0f =，在(4)()f x f x +=−中令1x =，得(5)(1)f f −=，所以(5)(1)0f f =−=，所以(3)(5)0f f −+=；（2）因为11(3)22g x +=≥，所以1(6)2g x +=12=因为[]11(3)1(3)122g x g x ⎡⎡+−+=+−⎢⎢⎣⎣ 21()()4g x g x =−+ 21()2g x ⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦，所以111(6)()222g x g x +==+−()g x =，所以函数()g x 的一个周期为6，因为()()()h x f x g x =+，所以(24)(83)(64)()()()h x f x g x f x g x h x +=+⨯++⨯=+=，所以()h x 是周期函数，一个正周期为24；（3）充分性：当12b x x a +=−时，12b x x a=−−， 此时()()221222222b b b f x f x a x b x c ax bx c f x a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−=−−+−−+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以充分性满足；必要性：因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的广义周期为()k x ，所以(())()f k x f x =，所以22(())()a k x bk x c ax bx c ++=++，所以22()[()]0a k x x b k x x ⎡⎤−+−=⎣⎦，又因为()k x x =不恒成立，所以[()]0a k x x b ++=，所以()b k x x a =−−，又因为()()12f x f x =，且()()()11f k x f x =，所以()()()21f k x f x =，因为12x x ≠，所以1212()b b k x x x x a a +=−−+≠−， 所以()12k x x =，即12b x x a −−=，也即12b x x a +=−， 所以必要性满足．所以：对任意的12,x x ∈R ，12x x ≠，()()12f x f x =成立的充要条件是12b x x a +=−．。
数学抽象函数定义域专项训练
高一数学函数抽象函数定义域专项训练（含解析）一、求定义域（共22题；共41分）1.（2020高一上·南京月考）已知函数的定义域为，则的定义域是（）A. B. C. D.2.（2020高一上·重庆月考）如果函数的定义域为，那么函数的定义域为（）A. B. C. D.3.（2020高一上·利辛期中）已知的定义域是，求函数的定义域（）A. [−1，5]B. [2，5]C. [−7，5]D. [−2，10]4.（2020高一上·定远月考）已知的定义域为，函数的定义域为（）A. B. C. D.5.（2020高一上·亳州月考）已知函数的定义域为，则的定义域为（）A. B. C. D.6.（2020高一上·蛟河月考）已知的定义域为，则的定义域为（）A. B. C. D.7.（2020高一上·福建月考）已知函数的定义域为，则的定义域为（）A. B. C. D.8.（2020高三上·哈尔滨月考）已知函数的定义域为，则的定义域为（）A. B. C. D.9.（2020高一上·上海月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（）A. B. C. D.10.（2020高一上·南阳月考）函数定义域是，则的定义域是（）A. B. C. D.11.（2020高一上·洛阳月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D.12.（2020高一上·太原月考）若函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D.13.（2020高一上·芜湖期中）已知函数的定义域是[0，2]，则函数的定义域是（）A. B. C. D. [0，2]14.（2020高一上·江西月考）已知函数的定义域为，，那么的定义域是（）A. B. C. D.15.（2020高一上·定远月考）已知函数y＝f(x＋1)的定义域是{x|－2≤x≤3}，则y＝f(2x－1)的定义域是（）A. {x|0≤x≤ }B. {x|－1≤x≤4}C. {x|－5≤x≤5}D. {x|－3≤x≤7}16.（2020高一上·项城月考）已知函数的定义域为，函数的定义域为（）A. B. C. D.17.（2020高一上·贵溪月考）若函数的定义域是，则函数的定义域是（）A. B. C. D.18.（2020高一上·杭州期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D.19.（2020高一上·蚌埠期末）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（）A. B. C. D.20.（2020高一上·百色期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为________.21.（2020高一上·四川月考）设的定义域为，则函数的定义域是________.22.（2020高一上·辽宁期中）函数的定义域为，则的定义域为________.答案解析部分一、求定义域1.【答案】C【解析】【解答】对于函数，，可得，因此，函数的定义域是.故答案为：C.【分析】由，计算出，由此可计算出函数的定义域。
抽象函数专题练习题
抽象函数专题（1）抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数 抽象函数知识点：1、抽象函数的定义域：①已知()f x 的定义域，求[]()f g x 的定义域②已知[]()f g x 的定义域，求()f x 的定义域2、抽象函数表达式与函数值3、抽象函数的模型构造①线性函数型抽象函数f （x ）＝kx （k ≠0）----f （x ±y ）＝f （x ）±f （y ）②指数函数型的抽象函数f （x ）＝a x ---- f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）；f （x －y ）＝)()(y f x f ③对数函数型的抽象函数f （x ）＝lo g a x （a >0且a ≠1）-f （x ·y ）＝f （x ）＋f （y ）；f （yx ）＝ f （x ）－f （y ） ④幂函数型的抽象函数2()f x x = ---------()()()f xy f x f y =，()()()xf x f y f y =； 练习题：1、已知函数)(x f 对任意实数x ，y ，均有)()()(y f x f y x f +=+，且当0>x 时，0)(>x f ，2)1(-=-f ，求)(x f 在区间[－2，1]上的值域。
2、定义在R 上的函数)(x f 满足：对任意实数,m n ，总有)()()(n f m f n m f ⋅=+，且当0x >时，1)(0<<x f ．（1）试求)0(f 的值；（2）判断)(x f 的单调性并证明你的结论；（3）试举出一个满足条件的函数)(x f ．3、已知函数)(x f 满足定义域在),0(+∞上的函数，对于任意的),0(,+∞∈y x ，都有)()()(y f x f xy f +=，当且仅当1>x 时，0)(<x f 成立，（1）设),0(,+∞∈y x ，求证)()()(x f y f xy f -=； （2）设),0(,21+∞∈x x ，若)()(21x f x f <，试比较1x 与2x 的大小；（3）解关于x 的不等式[]01)1(2>+++-a x a x f4.已知定义在()()-,00,+∞⋃∞上的函数f(x)对任何x,y 都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)>0,当x>1时,有f(x)<1.（1）判断f(x)的奇偶性（2）判断并证明f(x)在(0,+∞)上的单调性.（3）求解不等式f (23-4x x )≥1抽象函数问题（2）1、下列结论：①函数y =2y =是同一函数；②函数(1)f x -的定义域为[1,2]，则函数2(3)f x 的定义域为；③函数22log (23)y x x =+-的递增区间为(1,)-+∞；④若函数(21)f x -的最大值为3，那么(12)f x -的最小值就是3-其中正确的个数为 ( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2、定义在R 上的函数()f x 满足1(0)0,()(1)1,()()52xf f x f x f f x =+-==，且当1201x x ≤<≤时，12()()f x f x ≤，则1()2007f 等于（ ） A. 12 B. 116 C. 132 D. 1643、已知()f x 是定义在R 上的函数，且3()[1()]1()2f x f x f x +-=+，(2)2f =，则()2009f 值为（ ）A. 2+B. 22 D. 2-4、已知(1)(1),()(2)f x f x f x f x +=-=-+，方程()0f x =在[0,1]内有且只有一个根12x =，则()0f x =在区间[]0,2013内根的个数为（ ） A. 2011 B. 1006 C. 2013 D. 1007 5、已知函数()f x 对任意实数x ，y 满足()()()f x y f x f y +=+，且(1)2f ≥.若存在整数m ，使得2(2)40f m m ---+= ，则m 取值的集合为______.6、定义在R 上的函数()f x 满足：(2)()0f x f x ++=，且函数(1)f x +为奇函数，对于下列命题：①函数()f x 满足(4)()f x f x +=；②函数()f x 图象关于点(1,0)对称；③函数()f x 的图象关于直线2x =对称；④函数()f x 的最大值为(2)f ；⑤(2009)0f =. 其中正确的序号为_________.7、定义在R 上的函数()f x ，(0)0f ≠，当0x >时，()1f x >，且对任意实数,a b ，有()()()f a b f a f b +=⋅，求证：(1)(0)1f = (2)证明：()f x 是R 上的增函数；(3)若2()(2)1f x f x x ⋅->，求x 的取值范围.8、已知()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且满足 ()()()f xy f x f y =+， 1()12f =- (1)求证：(2)1f = (2)求不等式()(3)1f x f x -->的解集.9、已知函数f （x ）对任意实数x 、y 均有f （x ＋y ）＋2＝f （x ）＋f （y ），且当x >0时，f (x )>2，f (3)＝ 5，求不等式3)22(2<--a a f 的解.。
高考数学重难点第6讲 抽象函数及其性质8大题型(原卷版)(全国通用)(学生专用)(新高考专用)
重难点第6讲 抽象函数及其性质8大题型——每天30分钟7天掌握抽象函数及其性质8大题型问题【命题趋势】抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。
抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。
第1天 认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性；3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性；4、换x 为+x T 确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ，判断符号时要变形为：()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ，判断符号时要变形为：()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f . 三、常见的抽象函数模型1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式；2、()()()+=f x y f x f y 可看做()=x f x a 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；3、()()()=+f xy f x f y 可看做()log =a f x x 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；4、()()()=f xy f x f y 可看做()=a f x x 的抽象表达式. 四、抽象函数中的小技巧1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质；2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是解决问题的突破口；3、抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。
高一数学上册第一章函数及其表示知识点及练习题(含答案)
函数及其表示（一）知识梳理1．映射的概念设B A 、是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射,记作f(x).2．函数的概念(1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对A 中的 任意数 x ，在集合B 中都有 唯一确定 的数y 和它对应，则这样的对应关系叫做从A 到B 的一个函数，通常记为___y=f(x),x ∈A(2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， 对于的函数值的集合所有的集合构成值域。
(3)函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应法则3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
4．分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
（二）考点分析考点1：判断两函数是否为同一个函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。
考点2：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f1.2函数及其表示练习题（2）一、选择题1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x =()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f .A. ⑴、⑵B. ⑵、⑶C. ⑷D. ⑶、⑸2. 函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ）A. 1B. 0C. 0或1D. 1或23. 已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ）A. 2,3B. 3,4C. 3,5D. 2,54. 已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是（ ）A. 1B. 1或32C. 1，32或 D.5. 为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移， 这个平移是（ ）A. 沿x 轴向右平移1个单位B. 沿x 轴向右平移12个单位 C. 沿x 轴向左平移1个单位 D. 沿x 轴向左平移12个单位 6. 设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13二、填空题1. 设函数.)().0(1),0(121)(a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 . 2. 函数422--=x x y 的定义域 . 3. 若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是 .4.函数0y =_____________________. 5. 函数1)(2-+=x x x f 的最小值是_________________.三、解答题1.求函数()f x =.2. 求函数12++=x x y 的值域.3. 12,x x 是关于x 的一元二次方程22(1)10x m x m --++=的两个实根，又2212y x x =+，求()y f m =的解析式及此函数的定义域.4. 已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]有最大值5和最小值2，求a 、b 的值.参考答案（2）一、选择题 1. C 2. C 3. D 4. D∴2()3,12,f x x x x ===-<<而∴ x =5. D 平移前的“1122()2x x -=--”，平移后的“2x -”， 用“x ”代替了“12x -”，即1122x x -+→，左移 6. B [][](5)(11)(9)(15)(13)11f f f f f f f =====.二、 1.(),1-∞- 当10,()1,22a f a a a a ≥=-><-时，这是矛盾的； 当10,(),1a f a a a a<=><-时； 2. {}|2,2x x x ≠-≠且 240x -≠3. (2)(4)y x x =-+- 设(2)(4)y a x x =+-，对称轴1x =， 当1x =时，max 99,1y a a =-==-4. (),0-∞ 10,00x x x x -≠⎧⎪<⎨->⎪⎩ 5. 54- 22155()1()244f x x x x =+-=+-≥-. 三、 1. 解：∵10,10,1x x x +≠+≠≠-，∴定义域为{}|1x x ≠-2. 解： ∵221331(),244x x x ++=++≥∴y ≥，∴值域为)+∞ 3. 解：24(1)4(1)0,30m m m m ∆=--+≥≥≤得或，222121212()2y x x x x x x =+=+-224(1)2(1)4102m m m m =--+=-+∴2()4102,(03)f m m m m m =-+≤≥或.4. 解：对称轴1x =，[]1,3是()f x 的递增区间，max ()(3)5,335f x f a b ==-+=即min ()(1)2,32,f x f a b ==--+=即∴3231,.144a b a b a b -=⎧==⎨--=-⎩得。
《抽象函数的定义域》【高中数学人教版同步测试】
抽象函数的定义域类型一. 已知函数y =f (x )的定义域是（a ，b ），求f [g (x )]的定义域.1. 已知函数y =f （x ）定义域是[-2，3]，则y =f （2x -1）的定义域是（ ）.A. [0,52]B. [−1,4]C. [−12,2]D. [−5,5]2. 如果函数f(x)的定义域为，那么函数f(2x +3)的定义域为( )A. [−2,0]B. [1,9]C. [−1,3]D. [−2,9]3. 函数f （x ）的定义域为[0，2]，则函数f （x 2）的定义域是 （ ）A. [−2,2]B. [−√2,√2]C. [0,2]D. [0,4]4. 已知函数f （x ）的定义域为（0，2]，函数f （√x +1）的定义域为（ ）A. [−1,+∞)B. (−1,3]C. [√5,3)D. (0,√5)类型二. 已知函数y =f [g (x )]的定义域是（a ，b ），求f(x )的定义域.1.若函数f （2x -1）的定义域为[-3，3]，则函数f （x ）的定义域为______ ．2.已知f (2x ＋5)的定义域为[－1，4]，求函数f (x )的定义域．3.若(2)y f x =+的定义域是(1,3]，求()y f x =的定义域．4.已知的定义域为，则的定义域是 .5.已知函数32f x 的定义域为1,2，求函数f x 的定义域.)2(2-x f []2,3-)(x f类型三、 已知函数y =f (h (x ))的定义域是（a ，b ），求f [g (x )]的定义域.1. 已知函数(21)f x -的定义域为[0,1]，求函数(13)f x -的定义域.2.已知函数(1)y f x =+定义域是[2,3]-，则(21)y f x =-的定义域是（ ）A ．5[0]2， B ．[14]-，C ．[55]-，D ．[37]-，3.已知f （x 2-1）定义域为[0，3]，则f （2x -1）的定义域为（ ）A. (0,92)B. [0,92]C. (−∞,92)D. (−∞,92]4.若函数f （x 2-1）的定义域为[-1，2]，则函数f （x +1）的定义域为______．类型四、运算型的抽象函数1.若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域2.若函数y =f （x ）的定义域是（0，4]，则函数g （x ）=f （x ）+f （x 2）的定义域是（ ）A. (0,2]B. (0,4]C. (0,16]D. [−16,0)∪(0,16]3.若函数f （x ）的定义域是[0，1]，则函数f （2x ）+f （x +13）的定义域为（ ）A. [−13,23]B. [−13,12]C. [0,12]D. [0,13]4.若函数y=f（x）的定义域[0，3]，则函数g（x）=f(3x)x−1的定义域是______ ．5.若函数y=f（x）的定义域是[0，3]，则函数g（x）=f(x+1)x−2的定义域是（）A. [−1,2)B. [0,2)C. [−1,2]D. [0,2)∪(2,3]6.已知函数y=f（x）的定义域[-8，1]，则函数g（x）=f(2x+1)x+2的定义域是（）A. (−∞,−2)∪(−2,3]B. [−8,−2)∪(−2,1]C. [−92,−2)∪(−2,0] D. [−92,−2]参考答案:类型一答案1.【答案】C【解析】本题考查复合函数定义域的求解,是基础题.根据复合函数定义域之间的关系得-2≤2x-1≤3,计算得结论．【解答】解：因为函数y=f（x）定义域是[-2，3]，所以-2≤2x-1≤3，解得-≤x≤2，因此函数y=f（2x-1）的定义域为[-，2].故选C．2.【答案】A【解析】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，其中熟练掌握抽象函数定义域求解时“一不变（括号里整体的取值范围不变），应万变”的原则是解答此类问题的关键．根据函数f（x）的定义域为[-1，3]，进而求出函数f（2x+3）的定义域即可．【解答】解：∵-1≤x≤3，∴-1≤2x+3≤3，∴-2≤x≤0，故选：A．3.【答案】B【解析】解：∵f（x）的定义域为[0，2]，∴在f（x2）中0≤x2≤2，∴故选：B．要求函数的定义域，就是求函数式中x的取值范围．本题考查函数的定义域并且是抽象函数的定义域，本题解题的关键是不管所给的是函数是什么形式只要使得括号中的部分范围一致即可．4.【答案】B【解析】定义域是自变量x的取值范围所组成的集合，所以，我们要求出中x的取值范围．首先考虑要满足的条件即x+1≥0．其次x和的范围一致，即，进而求出x 的范围.复合函数的定义域是经常被考查的，所以要理解其解题时要注意的问题． 【解答】解：由函数的定义域得， 又∵要满足x+1≥0 综合得-1＜x≤3 故选B ．类型二答案1.【答案】[-7，5] 【解析】解：∵-3≤x≤3， ∴-7≤2x -1≤5，故答案为：[-7，5]．函数f （2x-1）的定义域为[-3，3]，从而求出2x-1的范围，进而得出答案． 本题考查了函数的定义域问题，是一道基础题．2.解:∵函数f （2x +5）的定义域为[-1，4]， ∴x ∈[-1，4]， ∴2x +5∈[3，13]，故函数f （x ）的定义域为：[3，13]． 【解析】由x ∈[-1，4]，可得2x+5∈[3，13]，可得答案．本题考查了函数的定义域的求法，求复合函数的定义域时，注意自变量的范围的变化，本题属于基础题3.解:(2)y f x =+的定义域是(1,3]，即13x <≤，故325x <+≤，从而()y f x =的定义域为(3,5]．4.解：∵≤≤，∴≤≤，从而≤≤，故的定义域是。
高三数学函数的定义域与值域试题答案及解析
高三数学函数的定义域与值域试题答案及解析1.已知函数f(x)＝(a≠1)．(1)若a>0，则f(x)的定义域是________；(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．【答案】(1)(－∞，](2)(－∞，0)∪(1,3]【解析】(1)当a>0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤，即此时函数f(x)的定义域是(－∞，]．(2)当a－1>0，即a>1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需3－a×1≥0，此时1<a≤3.当a－1<0，即a<1时，要使f(x)在(0,1]上为减函数，则需－a>0，此时a<0.综上a的取值范围(－∞，0)∪(1,3]．2.已知函数f(x)＝ (a是常数且a>0)．对于下列命题：①函数f(x)的最小值是－1；②函数f(x)在R上是单调函数；③若f(x)>0在[，＋∞)上恒成立，则a的取值范围是a>1；④对任意x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f()<.其中正确命题的所有序号是________．【答案】①③④【解析】作出函数f(x)的图象如图所示，显然f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的最小值为f(0)＝－1，故命题①正确；显然，函数f(x)在R上不是单调函数，②错误；因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在[，＋∞)上的最小值为f()＝2a×－1＝a－1，所以若f(x)>0在[，＋∞)上恒成立，则a－1>0，即a>1，故③正确；由图象可知，在(－∞，0)上，对任意x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f()<成立，故④正确．3.函数的定义域是________．【答案】【解析】得.【考点】函数的定义域.4. (2014·荆州模拟)函数y=ln(2-x-x2)+的定义域是()A．(-1,2)B．(-∞,-2)∪(1,+∞)C．(-2,1)D．[-2,1)【答案】C【解析】使函数有意义,则有解得-2<x<1,即定义域为(-2,1).5.某幼儿园准备建一个转盘，转盘的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算，转盘上的每个座位与支点相连的钢管的费用为3k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为k元．假设座位等距分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记转盘的总造价为y元．(1)试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；(2)当k＝50米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？【答案】（1）y＝＋，定义域（2）32个【解析】(1)设转盘上总共有n个座位，则x＝即n＝，y＝＋，定义域.(2)y＝f(x)＝k2，y′＝k2，令y′＝0得x＝.当x∈时，f′(x)＜0，即f(x)在x∈上单调递减，当x∈时，f′(x)＞0，即f(x)在x∈上单调递增，y的最小值在x＝时取到，此时座位个数为＝32个．6.设a∈，则使函数y=x a的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是（）A．1，3B．﹣1，1C．﹣1，3D．﹣1，1，3【答案】A【解析】当a=﹣1时，y=x﹣1的定义域是x|x≠0，且为奇函数；当a=1时，函数y=x的定义域是R且为奇函数；当a=时，函数y=的定义域是x|x≥0且为非奇非偶函数．当a=3时，函数y=x的定义域是R且为奇函数．故选A．7.设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝则f(x)的值域是（）A．∪(1，＋∞)B．[0，＋∞)C．D．∪(2，＋∞)【答案】D【解析】令x<g(x)，即x2－x－2>0，解得x<－1或x>2.令x≥g(x)，即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2.故函数f(x)＝当x＜－1或x＞2时，函数f(x)＞f(－1)＝2；当－1≤x≤2时，函数≤f(x)≤f(－1)，即≤f(x)≤0.故函数f(x)的值域是∪(2，＋∞)．选D.8.已知则的值为【解析】由题意有，解得，∴原式＝．【考点】函数的定义域．9.已知函数f(x)＝x3(a>0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．【答案】（1）{x|x∈R，且x≠0}（2）偶函数（3）a>1.【解析】(1)由于a x－1≠0，则a x≠1，所以x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．(2)对于定义域内任意的x，有f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－x3＝x3＝f(x)所以f(x)是偶函数．(3)①当a>1时，对x>0，所以a x>1，即a x－1>0，所以＋>0.又x>0时，x3>0，所以x3>0，即当x>0时，f(x)>0.由(2)知，f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，则当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)>0成立．综上可知，当a>1时，f(x)>0在定义域上恒成立．②当0<a<1时，f(x)＝，当x>0时，0<a x<1，此时f(x)<0，不满足题意；当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)<0，也不满足题意．综上可知，所求a的取值范围是a>110.求下列函数的值域：(1) y＝x－；(2) y＝x2－2x－3，x∈(－1，4]；(3) y＝，x∈[3，5]；(4) y＝ (x>1)．【答案】（1）（2）[－4，5]．（3）（4）[2－2，＋∞)．【解析】(1) (换元法)设＝t，t≥0，则y＝ (t2＋2)－t＝2－，当t＝时，y有最小值－，故所求函数的值域为.(2) (配方法)配方，得y＝(x－1)2－4，因为x∈(－1，4]，结合图象知，所求函数的值域为[－4，5]．(3) (解法1)由y＝＝2－，结合图象知，函数在[3，5]上是增函数，所以ymax ＝，ymin＝，故所求函数的值域是.(解法2)由y＝，得x＝.因为x∈[3，5]，所以3≤≤5，解得≤y≤，即所求函数的值域是.(4) (基本不等式法)令t＝x－1，则x＝t＋1(t>0)，所以y＝＝t＋－2(t>0)．因为t＋≥2＝2，当且仅当t＝，即x＝＋1时，等号成立，故所求函数的值域为[2－2，＋∞)．11.已知函数.（Ⅰ）当a=3时，求函数在上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数的定义域，并求函数的值域。
高考数学重难点第9讲 函数的定义域、解析式与值域8大题型(原卷版及答案)新高考用)(全国通用)
重难点第9讲函数定义域、解析式与值域8大题型——每天30分钟7天掌握函数定义域、解析式与值域8大题型【命题趋势】函数的定义域、解析式与值域问题是高考数学的必考内容。
函数问题定义域优先，在解答函数问题时切记要先考虑定义域；函数解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现；函数的值域在整个高考范畴应用的非常广泛，例如恒成立问题、有解问题、数形结合问题；基本不等式及“耐克函数”、“瘦腰函数”模型；数列的最大项、最小项；向量与复数的四则运算及模的最值；向量与复数的几何意义的最值；解析几何的函数性研究问题等；都需要转化为求最值问题。
在复习过程中，在熟练掌握基本的解题方法的同时，要多加训练综合性题目。
第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、求函数的定义域的依据函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围1、分式的分母不能为零.2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，(2,)n k k N *=∈其中中0,x ≥(21,)n k k N *=+∈其中中.3、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠.4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。
【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。
二、抽象函数及定义域求法1、已知)(x f 的定义域为A ，求))((x g f 的定义域，其实质是)(x g 的取值范围为A ，求x 的取值范围;2、已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知))((x g f 中的x 的取值范围为B ，求)(x g 的范围（值域），此范围就是)(x f 的定义域.3、已知))((x g f 的定义域，求))((x h f 的定义域，要先按（2）求出)(x f 的定义域.三、函数解析式的四种求法1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
压轴题型03 抽象函数问题(原卷版)-2023年高考数学压轴题专项训练
压轴题03抽象函数问题抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。
考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。
本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。
抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解析式及图象的函数。
由于抽象函数概念抽象，性质隐而不显，技巧性强，因此学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。
○热○点○题○型1定义域问题解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。
函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围）。
○热○点○题○型2求值问题通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，赋值法是解此类问题的常用技巧。
○热○点○题○型3值域问题○热○点○题○型4解析式问题通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。
○热○点○题○型5单调性与奇偶性问题○热○点○题○型6周期性与对称性问题○热○点○题○型7几类抽象函数解法(1)求解方法：1.借鉴函数模型进行类比探究（化抽象为具体）2.赋值法（令0=x 或1，求出)0(f 或)1(f 、令x y =或x y -=等等）（2）几种抽象函数模型：1.正比例函数：)0()(≠=k kx x f ——————————)()()(y f x f y x f ±=±；2.幂函数：2)(x x f =——————————————)()()(y f x f xy f =，)()()(y f x f y x f =；注：反比例函数：1)(-=x x f 一类的抽象函数也是如此，有部分资料将幂函数模型写成反比例函数模型。
3.指数函数：x a x f =)(———————————)()()(y f x f y x f =+，)()()(y f x f y x f =-4.对数函数：x x f a log )(=————————)()()(y f x f xy f +=，)()()(y f x f yxf -=5.三角函数：x x f tan )(=————————————)()(1)()()(y f x f y f x f y x f -+=+6.余弦函数：x x f cos )(=———————)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++一、单选题1．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()102f xy f x f y +--=，若一组平行线()1,2,...,i x x i n ==分别与()y f x =图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，...，(),n n x y ,且()2121n i i x x f -+=⎡⎤⎣⎦，其中1,2,...,i n =，则1nii y n==∑A ．1B ．12C ．2nD ．2n 2．()f x 是定义在R 上的函数，(0)2f =，且对任意R x ∈，满足(2)()2f x f x +-≤，(6)()6f x f x +-≥，则(2016)f =A ．2015B ．2016C ．2017D ．20183．已知定义域为R 的函数()f x 满足()31f x +是奇函数，()21f x -是偶函数，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的图象关于直线=1x -对称B ．()f x 的图象关于点(1,0)对称C ．()31f -=D ．()f x 的一个周期为84．已知定义在R 上的函数()f x 在(),4-∞-上是减函数，若()()4g x f x =-是奇函数，且()40g =,则不等式()0f x ≤的解集是A ．(](],84,0-∞-⋃-B ．[)[)8,40,--⋃+∞C ．[][)8,40,--⋃+∞D ．[]8,0-5．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时()()()5sin ,014211,14xx x f x x π⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()20f x af x b ⎡⎤++=⎣⎦有6个根，则实数a 的取值范围是（）A ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．9,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭9,14⎛⎫⋃-- ⎪⎝⎭D ．5,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、多选题(共0分)6．下列说法中错误的为（）A ．若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域为[]0,1B．若(121f x =+，则()[)2243,1,f x x x x ∞=++∈+C ．函数的421x x y =++值域为：1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．已知()25,1,1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是[]3,2--7．若定义在R 上的函数()f x 满足：（ⅰ）存在R a +∈，使得()0f a =；（ⅱ）存在R b ∈，使得()0f b ≠；（ⅲ）任意12,R x x ∈恒有()()()()1212122f x x f x x f x f x ++-=．则下列关于函数()f x 的叙述中正确的是（）A ．任意x ∈R 恒有()()4f x a f x +=B ．函数()f x 是偶函数C ．函数()f x 在区间[]0,a 上是减函数D ．函数()f x 最大值是1，最小值是-18．已知()y f x =的定义域为R ，且对任意,x y ∈R ，有()()()1f x f y f x y ⋅=+-，且当1x >时，()1f x >，则（）A ．()11f =B ．()f x 的图象关于点()()1,1f 中心对称C ．()f x 在R 上不单调D ．当1x <时，()01f x <<9．已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足：①()0,x ∀∈+∞，()()55f x f x =；②当(]1,5x ∈时，()5f x x =-，则（）A ．105f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．m Z ∀∈，()30mf =C ．函数()f x 的值域为[)0,∞+D ．n Z ∃∈，()512019nf +=10．已知()f x 为非常值函数，若对任意实数x ，y 均有()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+⋅，且当0x >时，()0f x >，则下列说法正确的有（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 是()0,∞+上的增函数C ．()1f x <D ．()f x 是周期函数11．定义在R 上的函数()f x 满足()()()312f x f x f +++=，()()24f x f x -=+，若1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 是周期函数B ．1(2022)2f =C ．()f x 的图象关于1x =对称D ．200111002k k f k =⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∑12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，其导函数分别为()f x '，()g x '．若()()32f x g x -+=，()()1f x g x ''=+，且()()20g x g x -+=，则（）A ．函数()2g x +为偶函数B ．函数()f x 的图像关于点()2,2对称C ．()202410i g n ==∑D ．()202414048i f n ==-∑三、填空题13．下列命题中所有正确的序号是__________.①函数1()3x f x a -=+(1a >)在R 上是增函数；②函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(2,4)；③已知53()8f x x ax bx =++-，且(2)8f -=，则(2)8f =-；④11()122x f x =--为奇函数.⑤函数()f x =[]0,414．给出下列四个命题：①函数与函数表示同一个函数；②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；③函数的图像可由的图像向上平移1个单位得到；④若函数的定义域为，则函数的定义域为；⑤设函数是在区间上图象连续的函数，且，则方程在区间上至少有一实根；其中正确命题的序号是_____________．（填上所有正确命题的序号）15．已知函数()241f x x -+-的定义域为[]0,m ，则可求得函数()21f x -的定义域为[]0,2,求实数m 的取值范围__________.16．给出下列说法：①集合{}1,2,3A =，则它的真子集有8个；②2(),((0,1))f x x x x=+∈的值域为(3,)+∞；③若函数()f x 的定义域为[0,2]，则函数(2)()2f xg x x =-的定义域为[)0,2；④函数()f x 的定义在R 上的奇函数，当0x >时，()1f x x =-+，则当0x <时，()1f x x =-⑤设53()=5f x ax bx cx +++（其中,,a b c 为常数，x R ∈），若(2012)3f -=-，则(2012)13f =；其中正确的是_______（只写序号）．17．函数()f x 满足()11f x f x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭对任意[)0,x ∈+∞都成立，其值域是f A ，已知对任何满足上述条件的()f x 都有(){},0f y y f x x a A =≤≤=，则a 的取值范围为___________.18．对任意集合M ，定义1,()0,M x M f x x M∈⎧=⎨∉⎩，已知集合S 、T X ⊆，则对任意的x X ∈，下列命题中真命题的序号是________.（1）若S T ⊆，则()()S T f x f x ≤；（2）()1()X S S f x f x =-ð；（3）()()()S T S T f x f x f x =⋅ ；（4）()()1()[]2S S T T f x f x f x ++= （其中符合[]a 表示不大于a 的最大正数）19．设()1f x -为()cos 488f x x x ππ=-+，[]0,x π∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________.20．定义在R 上的函数()f x ，对任意的x R ∈都有()()f x f x -=-且当0x ≥时，2()2f x x x =-，则不等式()0xf x <的解集为__________．21．已知函数21,0()21,0,x x f x x x x +≤⎧=⎨-+>⎩若关于x 的方程2()()0f x af x -=恰有5个不同的实数解，则实数a 的取值范围是_____．22．已知函数()f x 满足1(1)()f x f x +=-，且()f x 是偶函数，当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()log (2)a g x f x x =-+有个零点，则实数a 的取值范围是______________．四、双空题五、23．设函数()f x 是定义在整数集Z 上的函数，且满足()01f =，()10f =，对任意的x ，y ∈Z 都有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，则()3f =______；()()()()22222122023122023f f f f 2++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+______．六、解答题七、24．已知()f x 定义域为R 的函数，S ⊆R ，若对任意1212,,x x x x S ∈-∈R ，均有()()12f x f x S -∈，则称()f x 是S 关联．(1)判断函数()()12112f x xg x x =-=-、是否是[)1,+∞关联，并说明理由：(2)若()f x 是{}2关联，当[)0,2x ∈时，()2f x x x =-，解不等式：()02f x ≤≤；(3)判断“()f x 是{}2关联”是“()f x 是[]1,2关联”的什么条件?试证明你的结论．25．设函数(),,x x Pf x x x M ∈⎧=⎨-∈⎩其中P ，M 是非空数集．记f (P ）＝{y |y ＝f (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝f (x )，x ∈M }．（Ⅰ）若P ＝[0，3]，M ＝(﹣∞，﹣1)，求f (P )∪f (M )；（Ⅱ）若P ∩M ＝∅，且f (x )是定义在R 上的增函数，求集合P ，M ；（Ⅲ）判断命题“若P ∪M ≠R ，则f (P )∪f (M )≠R ”的真假，并加以证明．26．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且(1)1f =.若对任意的[],1,1m n ∈-，0m n +≠都有()()0f m f n m n+>+.（1）用函数单调性的定义证明：()f x 在定义域上为增函数；（2）若()()214f a f a +>，求a 的取值范围；（3）若不等式()()122f x a t ≤-+对所有的[]1,1x ∈-和[]1,1a ∈-都恒成立，求实数t 的取值范围.27．已知函数()f x ，若存在非零实数a ､b ，使得对定义域内任意的x ，均有()f x a +=()f x b +成立，则称该函数()f x 为阶梯周期函数.（1）判断函数()[]|sin |()f x x x x π=+∈R 是否为阶梯周期函数，请说明理由.(其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[3,5]4-=-，[2,1]2=)（2）已知函数()g x ，x ∈R 的图像既关于点(1,0)对称，又关于点(3,2)对称.①求证：函数()g x 为阶梯周期函数；②当[0,4]x ∈时，()[,]g x p q ∈(p ､q 为实数)，求函数()g x 的值域.28．已知函数()f x 对于任意的,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，且1(1)2f =-．（1）求(0)f ，(1)f -的值；（2）当34x -≤≤时，求函数()f x 的最大值和最小值；（3）设函数2()()3()g x f x m f x =--，判断函数g (x )最多有几个零点，并求出此时实数m的取值范围．29．已知函数()f x ，如果存在给定的实数对(),a b ，使得()()f a x f a x b +⋅-=恒成立，则称()f x 为“S -函数”.（1）判断函数()1f x x =，()23xf x =是否是“S -函数”；（2）若()3tan f x x =是一个“S -函数”，求出所有满足条件的有序实数对(),a b ；（3）若定义域为R 的函数()f x 是“S -函数”，且存在满足条件的有序实数对()0,1和()1,4，当[]0,1x ∈时，()f x 的值域为[]1,2，求当[]2018,2018x ∈-时函数()f x 的值域.30．设函数()f x 对任意实数x ，y 都有()()()f x y f x f y +=+，且0x <时，()0f x >，1(1)3f =-.（1）求证()f x 是奇函数；（2）求()f x 在区间[3,3]-上的最大值和最小值.31．已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足①()13f =；②()2f x ≥恒成立，③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，则有()()()12122f x x f x f x ++-≥．（1）试求函数()f x 的最大值和最小值；（2）试比较f （12n）与122n +（n ∈N ）的大小．（3）某人发现：当12n x =（n ∈N ）时，有()22f x x <+，由此他提出猜想：对一切x ∈（0，1]，都有()22f x x <+，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．32．已知{}0,1M x x x =∈≠≠R ，()()1,2,n f x n =⋅⋅⋅是定义在M 上的一系列函数，满足：()1f x x =，()()11i i x f x f i x ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭N .(1)求()()()234,,f x f x f x 的解析式；(2)若()g x 为定义在M 上的函数，且()11x g x g x x -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.①求()g x 的解析式；②若方程()()()()222121318420x m x x g x x x x x ---++++++=有且仅有一个实根，求实数m 的取值范围.33．设()y f x =是一个定义域为R 的函数.若S 是R 的一个非空子集，且对于任意的s S ∈，都有()()f x s f x s +-=，则称()y f x =是S -关联的.(1)判断函数2y x =和函数[]y x =是否是{1}-关联的，无需说明理由.（[]x 表示不超过x 的最大整数）(2)若函数()y f x =是{2}-关联的，且在[0,2)上，()2x f x =，解不等式2()4f x <<.(3)已知正实数,a b 满足a b <，且函数()y f x =是[,]a b -关联的，求()f x 的解析式.34．已知定义域为()0,∞+的函数()y f x =满足：①对()0,x ∈+∞，恒有()()22f x f x =；②当(]1,2x ∈时，()2f x x =-.(1)求18f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)求出当(12,2n n x +⎤∈⎦，Z n ∈时的函数解析式；(3)求出方程()12f x x =在(]0,100x ∈中所有解的和.35．f （x ）=x 3+2ax 2+bx+a ，g （x ）=x 2﹣3x+2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y=f （x ）与y=g （x ）在点（2，0）处有相同的切线l ．（Ⅰ）求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；（Ⅱ）若方程f （x ）+g （x ）=mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1＜x 2，且对任意的x ∈[x 1，x 2]，f （x ）+g （x ）＜m （x ﹣1）恒成立，求实数m 的取值范围．。
《抽象函数》专题练习
专题 抽象函数一、求抽象函数定义域1.已知函数f （21x -）定义域为[]1,3-, 求f （x ）的定义域2．函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(x ＋1)的定义域是________．3.已知函数f [ 0，3 ]，求f （x ）的定义域二.求抽象函数解析式求函数解析式的常用方法：待定系数法、配凑法、换元法、方程组、特殊值法（1）若f [ f （x ）] = 4x+3，求一次函数f （x ）的解析式（2）已知f （x ）= 22x x -，求f （1x -）的解析式(3) 已知f （x ）-2 f （-x ）= x ，求函数f （x ）的解析式（4）设对任意数x ，y 均有()()222233f x y f y x xy y x y +=++-++，求f （x ）的解析式.练习：1.已知f （x ）是二次函数，且()()211244f x f x x x ++-=-+，求f （x ）2.已知2 f （x ）- f （-x ）= x+1 ，求函数f （x ）的解析式3．已知2 f （x ）-f 1x ⎛⎫⎪⎝⎭ = 3x ，求函数f （x ）的解析式4.已知对一切x ，y ∈R ，()()()21f x y f x x y y -=--+都成立，且f （0）=1，求f （x ）的解析式.5.若x x f x f 4)1()(3=-，则)(x f =_____________________三、解抽象不等式1.已知：f (x)是定义在[-1，1]上的增函数，且f(x-1)<f(x 2-1),求x 的取值范围.2.已知f(x)是定义在(0,)+∞上的函数，满足条件f(x y)=f(x)+f(y)；f(2)=1。
求：(1)证(8)3f = ；（2）求不等式()(2)3f x f x -->的解集。
3.函数()f x 对任意的,a b R ∈，都有()()()1f a b f a f b +=+-，并且当0x >时()1f x >.（1）求证：()f x 是R 上的增函数；（2）若(4)5f =，解不等式2(32)3f m m --<专题 函数的奇偶性【知识梳理】1. 偶函数定义：一般地，设函数)(x f y =的定义域为A ，如果对于任意的A x ∈，都有，那么称函数)(x f y =是偶函数。
期末复习卷——函数定义域、值域、解析式
嘉兴一中2012学年高一数学期末复习（二）——函数的定义域、值域、解析式组题人：吴献超 审题人：胡刚知识梳理: 【考试说明】1．了解函数、映射的概念，会求一些简单的函数定义域和值域． 2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用． 【概念梳理】函数定义:一般地，我们有：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的 一个数x ，在集合B 中都有 确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）．记作: y =f (x )，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， 叫做函数的值域（range ）．、 与 统称为函数的三要素．映射定义：一般地，我们有：设A 、B 是非空的集合，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．区间的概念:设,a b 是两个实数，而且.a b <我们规定：(1)满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为 (2)满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为 (3)满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点，其中实数a 叫做区间的左端点，实数b 叫做区间的右端点，b a -叫做区间的长度. 区间意义与使用规则：区间是集合的另外一种表示方法，在用区间表示集合时应注意区的使用规则: (1)区间的左端点必须小于其右端点;(2)区间中的元素都表示数轴上的点,可以用数字表示出来; (3)任何区间均可在数轴上表示出来;(4)以“-∞”或“+∞”为区间的一端点时，这一端必须是小括号.函数的表示方法: 、 、分段函数： 已知函数定义域被分成有限个区间，若在各个区间上表示对应规则的数学表达式一样，但单独定义各个区间公共端点处的函数值；或者在各个区间上表示对应规则的数学表达式不完全一样，则称这样的函数为分段函数. 分段函数是一个函数，而不是几个函数；分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应将几种不同的表达式用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 【题型与方法】1．求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：定义域是自变量x 的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分，定义域不同而解析式相同的函数，应看作是两个不同的函数.如果没有特别说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x 的集合.在实际问题中，还必须考虑自变量所代表的具体的量的允许取值范围问题．忽视函数的定义域，我们将“寸步难行”，由此，我们也往往将函数的定义域称之为函数的“灵魂”．函数的定义域，就是使给出的解析式有意义的自变量的取值集合，具体来说有以下几种情况：(1)若()f x 是整式，则其定义域为全体实数集R ；(2)若()f x 是分式,则其定义域是使分母不为零的全体实数组成的集合；(3)若()f x 是偶次根式,则其定义域是使被开方数非负(即不小于零)的实数的取值集合； (4)如果函数是由一些基本初等函数通过四则运算结合而成的,那么它的定义域是各基本初等函数定义域的交集； (5)复合函数定义域求法：①若()f x 定义域为[,]a b ,复合函数[()]f g x 定义域由()a g x b ≤≤解出； ②若[()]f g x 定义域为[,]a b ,则()f x 定义域相当于[,]x a b ∈时()g x 的值域. (6)由实际问题列出的函数式的定义域问题,由自变量的实际意义给出.(7)分段函数定义域是各段函数定义域的并集，对数函数底数大于零不等1，真数大于零. 2．相等函数的判断:两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数），而与表示自变量和函数值的字母无关. 3．求函数值域的常用方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的.具体方法： (1)直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y =ax +b (a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为 ，值域为 ； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为 ， 当a >0时，值域为 ；当a <0时，值域为 .(2)配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式；(3)分式转化法（或改为“分离常数法”），如求函数3243x y x +=-的值域(4)换元法(特别注意新元的范围)：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；如y ax b =+±a 、b 、c 、d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法求解.(5)判别式法（可转化为双钩函数形式）如求函数22122+-+=x x x y 的值域 (6)单调性法(7)数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域. (8)分段函数的值域是各段函数值域的并集. 3．求函数解析式的常用方法⑴待定系数法(已知所求函数的类型)；⑵代换(配凑)法；⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组； (4)已知函数的奇偶性和部分解析式，求函数的完整解析式；(5)赋值法（抽象函数）基础练习：1．下列对应关系是集合P 上的函数是有 ．（1）*,PZ Q N ==，对应关系:f “对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应”； （2）{1,1,2,2},{1,4}P Q =--=，对应关系：:f x →2,,y x x P y Q =∈∈；（3）{P=三角形},{|0}Q x x =>，对应关系:f “对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应．” 2．下列说法中正确的有 ．A.()y f x =与()y f t =表示同一个函数 B. ()y f x =与(1)y f x =+不可能是同一函数 C.()1f x =与0()f x x =表示同一函数 D.定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数3. (1)函数y ＝16－4x 的值域是 ．(2)设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R)，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x ＜g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x ).则f (x )的值域是 ．4.函数lg 3y x =-____________5. 设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数,且()1()1f xg x x +=-,则()f x =____________，()g x = ． 典型例题例1．(1)已知f (x )＝e(x ∈R)，则f (e 2)等于( )A ．e 2B ．e C. eD ．不确定(2) 如下图（1）（2）（3）（4）四个图象各表示两个变量,x y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有 ．(3)函数)2()21()1(22)(2≥<<--≤⎪⎩⎪⎨⎧+=x x x x x x x f ，则3()____2f -=，若21)(<a f ，则实数a 的取值范围是____ 例2．（1）若3311()f x x xx +=+，则()f x = ．（2）若2(1)lg f x x+=，则()f x = ． （3）若()f x 满足12()()3f x f x x+=，则()f x = ．（4）已知二次函数()f x 同时满足条件:①(1)(1)f x f x +=-; ②()f x 的最大值为15;③()0f x =的两根的立方和等于17.求函数()f x 的解析式.例3． （1）求函数f (x )＝12－|x |＋x 2－1＋(x －4)0的定义域． （2）若函数y ＝f (x )的定义域是[0,4]，求函数g (x )＝f (12x )x －1的定义域．例4．求下列函数的值域：⑴函数22211xx y +-= ⑵函数3log 3log 2x y x =++ ⑶xx y +-=112⑷y x =嘉兴一中2012学年高一数学期末练习（二）——函数的定义域、值域、解析式组题人：吴献超 审题人：胡刚班级：___________ 姓名：__________ 学号：____________一、选择题1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑴ 3)5)(3()(+-+=x x x x f ，5)(-=x x g ；⑵ 11)(-+=x x x f ，)1)(1()(-+=x x x g ；⑶ x x f =)(，2)(x x g =； ⑷0)(x x f =，xx x g =)(； ⑸ 2)52()(-=x x f ，52)(-=x x gA. ⑴、⑵B. ⑵、⑶ C ． ⑷ D. ⑶、⑸ 2．函数2()lg(31)f x x =+的定义域是（ ）A. 1(,)3-∞-B.11(,)33- C ．1(,1)3- D.1(,)3-+∞3．若函数[)[]⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=1,0,40,1,41)(x x x f x x）（，则=)3(log 4f （ ） A.31 B. 3 C. 41D. 4 4．如果函数|)|1()1()(x x x f -⋅+=的图象在x 轴上方，那么此函数的定义域为（ ）A. ()1,1- B. ()(),11,-∞-⋃+∞ C . ()(),11,1-∞-⋃- D. ()()1,11,-⋃+∞ 5．函数}3,2,1{}3,2,1{:→f 满足)())((x f x f f =，则这样的函数个数共有（ ）A. 1个B.4个 C ．8个 D.10个 6．函数344)(23++-=ax ax x x f 的定义域为R ，那么实数a 的取值范围是（ ）A. (－∞，+∞)B. (0，43) C ．(－43，+∞) D.)43,0[ 7．设函数2()272f x x x =-+-，对于实数(03)m m <<，若()f x 的定义域和值域分别为[,3]m 和[1，3]，则m 的值为（ ）A. 1B.5/2 C ．611 D.8118．函数()31log f x x =+的定义域是(]1,9，则函数()()()22g x f x f x =+的值域是（ ） A ．(]2,14 B.[)2,-+∞ C ．(]2,7 D.[]2,79．设21()1x x f x x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩，≥，，，()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[)0+，∞，则()g x 的值域是（ ）A ．(][)11--+ ∞，，∞B ．(][)10--+ ∞，，∞C ．[)0+，∞D ．[)1+，∞ 二、填空题10．若()f x 是定义在R 上的函数，(0)1f =，并且对于任意实数,x y ，总有2()()(21),f x f x y x y y+=+++则()f x = . 11．如果函数f （x ）=ax -1的定义域为[－21，+)∞，那么实数a 的取值范围是 .12．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，当0x >时，()(1)1f x x x =-+，则()f x = 13．函数xax y 213-+=的值域为()(),22,-∞-⋃-+∞，则实数a = .14．函数x a a x y -+-=的定义域为 .15．函数)(x f =x 2＋x ＋21的定义域是[n ，n ＋1]（n 是自然数），则此函数值域中的整数的个数为 .16．若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是 三、解答题17．对定义域分别是f D 、g D 的函数()y f x =、()y g x =，规定：函数()()()()()f g f g f gf xg x x D x Dh x f x x D x D g x x D x D ⎧⋅∈∈⎪=∈∉⎨⎪∉∈⎩当且当且当且．（1）若函数1()1f x x =-，2()g x x =，写出函数()h x 的解析式；（2）求问题（1）中函数()h x 的值域.18．求函数3512+-+=x x x y 的值域（至少两种方法）.19．已知函数ϕ(x)=f(x)＋g(x)，其中f(x)是x 的正比例函数，g(x)是x 的反比例函数，且ϕ(31)=16，ϕ(1)=8． （1）求ϕ(x)的解析式，并指出定义域；（2）求ϕ(x)的值域.20．已知函数()2x f x ax b=+（a ，b 为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4.（1）求函数f(x)的解析式；（2）设k>1，解关于x 的不等式()()12k x k f x x+-<-.21．已知二次函数()2f x ax bx =+ (),0a b a ≠是常数，且满足条件：f (2)＝0，且方程f (x )＝x 有两个相等实根． (1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m 、n (m <n )，使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m,2n ]？如存在，求出m 、n 的值；如不存在，说明理由．答案：任意，唯一，函数值的集合{f (x )| x ∈A }，定义域、值域与对应关系[],;a b (,);a b [,),(,].a b a b解析法、图象法、列表法 {x |x ≠0}，{y |y ≠0}； Rab ac y y 4)4(|2-≥，{ ab ac y y 4)4(|2-≤}. 基础练习：1．【研析】由于（1）中集合P 中元素0在集合Q 中没有对应元素，并且（3）中集合P 不是数集，从而知只有（2）正确．2．【研析】A 两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关,判断两个函数是否相同,主要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同. 2．(]0,3 3．()9,02,4⎛⎤-⋃+∞ ⎥⎝⎦4．[)()()0,22,33,4⋃⋃ 5．221,11xx x -- 典型例题 例1 （1）B（2）【研析】由函数定义可知，任意作一条直线x a =，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当11a -≤≤时，直线x a =与函数的图象仅有一个交点，当1a >或1a <-时，直线x a =与函数的图象没有交点．从而表示y 是x 的函数关系的有（2）（3）．（3）12，3(,)(2-∞- 例2 【研析】（1）∵3331111()()3()f x x x x xx x x+=+=+-+， 又1(,2][2,)x x+∈-∞-+∞ ∴3()3f x x x =-（2x ≥或2x ≤-）（2）令21t x +=（1t >），则21x t =-， ∴2()lg 1f t t =-，∴2()lg (1)1f x x x =>-（3）12()()3f x f x x+= ①，把①中的x 换成1x，得132()()ff x x x += ②， ①2⨯-②得33()6f x x x =-，∴1()2f x x x=-(4) 【研析】从所给条件知()f x 的图象关于1x =对称,且最大值为15,故设二次函数的顶点式,利用韦达定理得到关于系数a 的方程.依条件可设2()(1)15(0)f x a x a =-+<,即2()215f x ax ax a =-++,令()0f x =即22150ax ax a -++=,并设12,x x 为该方程的两个根,由韦达定理知:12122151x x x x a +=⎧⎪⎨⋅=+⎪⎩,从而3333121212121590()3()232(1)2.x x x x x x x x a a +=+-⋅+=-⨯⨯+=-90217a∴-=,故 6.a =- 所以函数()f x 的解析式为2()6129.f x x x =-++例3 (1) 解：(1)要使f (x )有意义， 则只需⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |≠0，x 2－1≥0，x －4≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠±2，x ≥1或x ≤－1，x ≠4，∴x ≥1且x ≠2且x ≠4或x ≤－1且x ≠－2.故函数的定义域为{x |x <－2或－2<x ≤－1或1≤x <2或2<x <4或x >4}． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧0≤12x ≤4，x －1≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，x ≠1，∴0≤x ≤8且x ≠1.故定义域为[0,1)∪(1,8]． 例4 （1）1,12⎛⎤-⎥⎝⎦ (2) (][),04,-∞⋃+∞ (3) 110,,22⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4) 5,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭练习卷：1-9：CCBCD DCCC10. ()21, 0421,0x f x x x x=⎧⎪=⎨++≠⎪⎩11.-212. ()221,00, 01,0x x x f x x x x x ⎧+->⎪==⎨⎪-++>⎩13.4 14. {}a 15.2n+1 16. ]310,2[ 17. 解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+∞⋃-∞∈-=11),1()1,(1)(2x x x x x h（2）当.21111)(,12+-+-=-=≠x x x x x h x 时若,4)(,1≥>x h x 则其中等号当x =2时成立，若,4)(,1≤<x h x 则其中等号当x =0时成立，∴函数),4[}1{]0,()(+∞⋃⋃-∞的值域x h 18. (]1,1,13⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭19. 解析： (1)设f(x)=ax ，g(x)=x b ，a 、b 为比例常数，则ϕ(x)=f(x)＋g(x)=ax ＋xb由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⎪⎩⎪⎨⎧==8163318)1(,16)31(b a b a 得ϕϕ，解得⎩⎨⎧==53b a ∴ϕ(x)=3x ＋x 5，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞) (2)由y =3x ＋x5， 得3x 2－yx ＋5=0(x ≠0)∵x ∈R 且x ≠0， ∴Δ=y 2－60≥0，∴y ≥215或y ≤－215[来源:学&科&网] ∴ϕ(x) 的值域为(－∞，－215]∪［215，＋∞)20.解析：（1）将得（2）不等式即为即[来源:][来源:学#科#网Z#X#X#K]①当②当③.21. 解：(1)方程f (x )＝x ，即ax 2＋bx ＝x ， 亦即ax 2＋(b －1)x ＝0，由方程有两个相等实根，得Δ＝(b －1)2－4a ×0＝0， ∴b ＝1.① 由f (2)＝0，得4a ＋2b ＝0②由①、②得，a ＝－12，b ＝1，故f (x )＝－12x 2＋x .(2)假设存在实数m 、n 满足条件，由(1)知， f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12，则2n ≤12，即n ≤14.∵f (x )＝－12(x －1)2＋12的对称轴为x ＝1，∴当n ≤14时，f (x )在[m ，n ]上为增函数．于是有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝2m ，f (n )＝2n ，即⎩⎨⎧－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝0，n ＝－2或n ＝0.又m <n ≤14，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝0..故存在实数m ＝－2，n ＝0，使f (x )的定义域为[m ，n ]，值域为[2m,2n ]．。
高三数学函数的定义域与值域试题答案及解析
高三数学函数的定义域与值域试题答案及解析1.函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由1－x≥0且x＞0可得0＜x≤1，选D【考点】函数的定义域2.函数f(x)＝e x(sinx＋cosx)在区间[0，]上的值域为()【答案】A【解析】f′(x)＝e x(sinx＋cosx)＋e x·(cosx－sinx)＝e x cosx，当0≤x≤时，f′(x)≥0，且只有在x＝时，f′(x)＝0，∴f(x)是[0，]上的增函数，3.已知函数g(x)＝＋1，h(x)＝，x∈(－3，a]，其中a为常数且a>0，令函数f(x)＝g(x)·h(x)．(1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域；(2)当a＝时，求函数f(x)的值域．【答案】（1）x∈[0，a]，(a>0)（2）[，]【解析】解：(1)f(x)＝，x∈[0，a]，(a>0)．(2)函数f(x)的定义域为[0，]，令＋1＝t，则x＝(t－1)2，t∈[1，]，f(x)＝F(t)＝＝，∵t＝时，t＝±2∉[1，]，又t∈[1，]时，t＋单调递减，F(t)单调递增，F(t)∈[，]．即函数f(x)的值域为[，]．4. f(x)＝，f(x)的定义域是________．【答案】[，＋∞)【解析】由已知得，∴∴x≥，∴f(x)的定义域为[，＋∞)．5.已知函数f(x)＝ (a是常数且a>0)．对于下列命题：①函数f(x)的最小值是－1；②函数f(x)在R上是单调函数；③若f(x)>0在[，＋∞)上恒成立，则a的取值范围是a>1；④对任意x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f()<.其中正确命题的所有序号是________．【答案】①③④【解析】作出函数f(x)的图象如图所示，显然f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的最小值为f(0)＝－1，故命题①正确；显然，函数f(x)在R上不是单调函数，②错误；因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在[，＋∞)上的最小值为f()＝2a×－1＝a－1，所以若f(x)>0在[，＋∞)上恒成立，则a－1>0，即a>1，故③正确；由图象可知，在(－∞，0)上，对任意x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f()<成立，故④正确．6.若函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1,2]，∃x∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x)，则a的取值范围是()A．(0，]B．[，3]C．[3，＋∞)D．(0,3]【答案】A【解析】由于函数g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1,2]使得g(x1)＝f(x)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．函数f(x)的值域是[－1,3]，函数g(x)的值域是[2－a,2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤，又a>0，故a的取值范围是(0，]．7.已知函数f(x)＝－ (a>0，x>0)，若f(x)在上的值域为，则a＝__________.【答案】【解析】由反比例函数的性质知函数f(x)＝－ (a>0，x>0)在上单调递增，所以，即解得a＝.8. [2013·湖北荆门期末]函数f(x)＝ln(＋)的定义域为()A．(－∞，－4]∪(2，＋∞)B．(－4,0)∪(0,1)C．[－4,0)∪(0,1]D．[－4,0)∪(0,1)【答案】D【解析】要使函数f(x)有意义，必须且只需解得－4≤x＜0或0＜x＜1.故选D.9. [2013·山东青岛调研]已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域是________．【答案】[－1,2]【解析】∵y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，∴x∈[－，]，x2－1∈[－1,2]，∴y＝f(x)的定义域为[－1,2]．10.函数的定义域是________．【答案】【解析】得.【考点】函数的定义域.11.函数的定义域为，其图像上任一点都位于椭圆：上，下列判断①函数一定是偶函数；②函数可能既不是偶函数，也不是奇函数；③函数可能是奇函数；④函数如果是偶函数，则值域是；⑤函数值域是，则一定是奇函数.其中正确的命题个数有（）个A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】如图是椭圆的图象，去掉点后，椭圆上每一点都有可能是函数的图象上点，如图象是弧和弧，则不是偶函数；的图象可能取弧，另外在弧上取一段，在弧上取一段，这样既不是奇函数，也不是偶函数；当然也可能是奇函数，也有可能是偶函数；当为偶函数时，值域不一定是，也不一定是；由图象的对称性，及当值域是时，函数一定是奇函数，因此②③⑤正确，选C．【考点】函数的奇偶性的定义．12.函数的定义域为__________。
高中数学中抽象函数的解法及练习
抽象函数问题有关解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。
现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x-=- 2.凑配法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 拼凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例2：已知3311()f x x x x+=+，求()f x解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。
高三复习练习6抽象函数
高三复习练习6： 抽象函数常见题型及解法一．抽象函数的定义域问题1.已知函数)(2x f 的定义域是[1，2]，求)(x f 的定义域．2.已知函数)(x f 的定义域是[－1，2]，求函数)]3([log 21x f -的定义域．二．抽象函数的求值问题3．已知定义域为R +的函数)(x f ，同时满足下列条件：①)2(f = 1，)6(f =51；②)(y x f ⋅=)(x f ＋)(y f ，求)3(f 、)9(f 的值．4.若奇函数()()f x x R ∈，满足(2)1,(2)()(2)f f x f x f =+=+，则(1)f 等于（ ）A ．0B ．1C ．12-D ．12三．抽象函数的解析式问题5. 设对满足 x≠0，x≠1的所有实数 x ，函数f (x) 满足f (x) +f (xx 1-) = 1 + x ，求f (x) 的解析式．四．抽象函数的单调性问题6 设f (x) 定义于实数集上，当x ＞0时，f (x)＞1 ，且对于任意实数x 、y ，有f (x + y) =f (x) ·f (y)，求证：f (x) 在R 上为增函数．7 定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数m ，n ，总有()f m n +=()f m ·()f n ，且当x ＞0时，0＜()f x ＜1．判断()f x 的单调性；五．抽象函数的奇偶性问题8已知函数f (x) (x ∈R ，x≠0）对任意不等于零实数x 1、x 2 都有f (x 1·x 2) =f (x 1) +f (x 2)，试判断函数f (x) 的奇偶性9.设定义在R 上的函数()f x 对于任意,x y 都有()()()f x y f x f y +=+成立，且(1)2f =-，当0x >时，()0f x <。
判断f(x)的奇偶性，并加以证明；练习：1.已知x,y +∈R 时,f(xy)=f(x)+f(y),当x>1时f(x)>0,求证:f(x)在+R 上为增函数.。
抽象函数及应用13种常考题型总结(原卷版)
抽象函数及应用13种常考题型总结题型1抽象函数的定义域问题题型2抽象函数的值域问题题型3求抽象函数的值题型4求抽象函数的解析式题型5抽象函数的奇偶性问题题型6抽象函数的单调性问题题型7抽象函数周期性问题题型8抽象函数的对称性问题题型9解抽象不等式题型10抽象函数比较大小题型11抽象函数的最值问题题型12抽象函数的零点问题题型13双函数混合型1.抽象函数概念：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.2.抽象函数定义域的确定所谓抽象函数是指用()f x 表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则。
在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内。
抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.3.“赋值法”求抽象函数的值赋值法就是根据题目的具体情况，合理、巧妙地对某些元素赋予确定的特殊值(0,1,-1等),从而使问题获得简捷有效的解决。
注：（1）第一层次赋值：常常令字母取0，-1,1等.（2）第二层次赋值：若题中有条件0f x =t （），则再令字母取0x .（3）第三层次赋值：拆分赋值，根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）.4.“赋值法”求抽象函数的解析式赋值法求抽象函数的解析式，首先要对题设中的有关参数进行赋值，再得到函数解析式的某种递推关系，最后求得函数的解析式。
5.“赋值法”探究抽象函数的奇偶性判断抽象函数的奇偶性的关键是得到()f x 与()f x -的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最后只保留()f x 与()f x -的关系。
定义域问题 专项训练-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册(含解析)
高一数学定义域问题专项训练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．己知函数()f x ()()2f x f x -+的定义域为（ ） A ．[)0,∞+ B ．[]4,0-C ．[]0,2D ．[]0,42．函数()ln 1x f x += ）A ． (),1-∞B ． ()1,1-C ．()(),11,-∞+∞D ． (,1]-∞3．已知()f x =A ，集合{12}B x ax =∈<<R ∣，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[2,1]-B ．[1,1]-C ．(,2][1,)-∞-+∞D ．(,1][1,)∞∞--⋃+4．函数()f x ） A ．()2,+∞B ．[)1,-+∞C ．()1,+∞D ．()0,25．已知函数()21f x +的定义域为[]12-，，则函数()1f x y x =+的定义域为（ ）A ．{}|12x x -<≤B ．{}|15x x -<≤C ．1|12x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭D ．{|15}x x -≤≤6．设定义在R 上的函数()f x 满足()02f =，且对任意的x 、R y ∈，都有()()()()1223f xy f x f y f y x +=⋅--+，则y =A ．[)2,-+∞B ．[)1,-+∞C ．(],1-∞D ．(],2∞-二、多选题7．给出下列四个结论，其中正确的是（ ）A ．函数21log sin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭B ．函数()f x ()g xC ．函数()2f x +的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域为2,⎡⎤-⋃⎣⎦D ．函数()2f x =的最小值为28．下列选项正确的是（ ）A ．()12f x x =-的定义域是[)()1,22,-+∞B ．若函数()21f x -的定义域为(]1,3-，则函数()31f x +的定义域为(]1,7C ．函数()22f x x x =-+在[]2,1-的值域为[]28,D ．函数2y x =+17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦9．已知函数()12f x x =-，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 在(),2-∞-上单调递增C ．()f x 的值域为RD ．当()2,2x ∈-时，()f x 有最大值10．下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x =()[),23,∞∞--⋃+ B ．()2x f x x=和()g x x =表示同一个函数C ．函数()1f x x x =-的图象关于坐标原点对称D ．函数()f x 满足()()21f x f x x --=-，则()213f x x =+ 三、填空题 11．已知函数()()2log 124f x x =+-，则函数的定义域为_______． 12．函数的值域是________．13．已知函数()23f x -的定义域为[]1,4-，设函数()F x =()F x 的定义域是______.14．函数()1f x x =-的定义域为[]0,4，则函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的值域为______．15．函数2cos 14⎛⎫=+- ⎪⎝⎭y x π的值域是_________．四、解答题(共0分) 16．求下列函数的定义域：(1) ()01y x =-(2)y =17．已知函数()y f x =的表达式()f x ()y f x =的定义域．18．已知函数()()()22lg 111,R f x a x a x a ⎡⎤=-+-+∈⎣⎦．(1)若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围．参考答案：1．C【分析】根据二次根式的性质，结合复合函数的定义域性质进行求解即可.【详解】由()24022f x x x -≥⇒-≤≤，于是有2202222x x x -≤≤⎧⇒≤≤⎨-≤-≤⎩， 故选：C 2．B【分析】根据二次根式、分母不为零的性质，结合对数型函数的定义域进行求解即可.【详解】由函数的解析式可知101110x x x +>⎧⇒-<<⎨->⎩，故选：B 3．B【分析】先根据二次不等式求出集合A ，再分类讨论集合B，根据集合间包含关系即可求解.【详解】()f x =A ，所以210x -≥，所以1x ≥或1x ≤-， ①当0a =时，{102}B x x =∈<<=∅R∣,满足B A ⊆，所以0a =符合题意； ①当0a >时，12{}B x x a a =∈<<R ∣，所以若B A ⊆，则有11a≥或21a ≤-，所以01a <≤或2a ≤-（舍）①当0<a 时，21{}B x x a a =∈<<R ∣，所以若B A ⊆，则有11a≤-或21a ≥（舍），10a -≤<，综上所述，[1,1]a ∈-，故选：B. 4．A【分析】根据函数解析式，列出相应的不等式组，解不等式可得答案 【详解】要使()f x =有意义，只需240x ->，解得2x >，故函数()f x =的定义域是()2,+∞故选：A5．B【分析】根据抽象函数的定义域可得()f x 的定义域为[]1,5-，进而可求解.【详解】()21f x +的定义域为[]12-，，所以[][]12,2115x x ∈-∴+∈-，，， 因此()f x 的定义域为[]1,5-，所以()1f x y x =+的定义域满足15,10x x -≤≤+≠ ，即15,x -<≤ 故选：B 6．A【分析】通过赋值法求出函数()y f x =解析式，然后令()0f x ≥，即可求出函数y =定义域.【详解】令0x y ==，得()()()2102033f f f =-+=，令1y =，则()()()()132123323f x f x f x f x x +=--+=--，①令1x =，则()()()()132231f y f y f y f y +=--+=+，即()()11f x f x +=+，① 联立①①得()()()()132311f x f x x f x f x ⎧+=--⎪⎨+=+⎪⎩，解得()2f x x =+，对于函数y =20x +≥，解得2x ≥-.因此，函数y =[)2,-+∞，故选A.【点睛】本题考查抽象函数解析式的求解，解题时要充分利用已知条件利用赋值法求解，考查运算求解能力，属于中等题. 7．BC【分析】分别根据对数函数的性质，函数相等，抽象函数的定义域和函数的最值对四个选项逐项验证即可求解.【详解】对于A ，要使函数21log sin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有意义，则有1sin 02x ->，即1sin 2x >，由正弦函数的图像可知：π5π2π2π,Z 66k x k k +<<+∈， 所以函数21log sin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为π5π(2π,2π)(Z)66k k k ++∈，故选项A 错误；对于B ，因为函数()f x =[1,1]-，函数()g x =义域也是[1,1]-，定义域相同，对应法则相同，所以值域也相同，所以函数()f x =与()g x B 正确；对于C ，因为函数()2f x +的定义域为[]0,2，所以02x ≤≤，则224x ≤+≤，由224x ≤≤2x ≤≤或2x -≤≤()2f x 的定义域为2,⎡⎤-⋃⎣⎦，故选项C 正确；对于D ，因为函数()22f x ==(2)t t ≥，则函数可化为1(2)y t t t=+≥，因为函数1y t t=+在[2,)+∞上单调递增，所以15222y ≥+=，也即函数()252f x ≥，所以函数()2f x =的最小值为52，故选项D 错误， 故选：BC . 8．AD【分析】对于A 根据被开偶次根式满足不小于零，分母不等于零求解. 对于B 根据抽象函数的定义域求解,对于C 先把二次函数写成顶点式，然后根据二次函数的性质来求解， 对于D ，把根式换元转化成二次函数求解.【详解】A 函数()12f x x =-的定义域满足1020x x +≥⎧⎨-≠⎩则x ∈[)()1,22,-+∞所以函数()12f x x -的定义域是[)()1,22,-+∞，故A 正确.B 若函数()21f x -的定义域为(]1,3-,所以满足(](]1,3,213,5x x ∈--∈-又因为函数()21f x -与函数()31f x +为同一对应法则，所以(]44313,5,33x x ⎛⎤+∈-∴∈- ⎥⎝⎦，所以B 不正确.C 因为函数()[]22172,2,124f x x x x x ⎛⎫=-+=-+∈- ⎪⎝⎭，所函数()min 17,24f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭()()()()2max 22228f x f =-=---+=所以函数()[]22,2,1f x x x x =-+∈-的值域为7,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦故C 不正确.D 令0t t =≥，则21x t =-，所以2y x =()[)22117212,0,48y t t t t ⎛⎫=-+=--+∈+∞ ⎪⎝⎭，即当14t =，y 有最大值为178所以函数2y x =17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，所以D 正确.故选：AD9．ABD【分析】A 选项，根据分母不为0得到定义域，再由奇偶性的定义判断A 正确； B 选项，先求出()12f x x =-在()2,+∞上均单调递减，结合奇偶性得到B 正确； C 选项，由()12f x x =-在()0,2和()2,+∞上的单调性结合奇偶性得到()f x 的值域，C 错误；D 选项，根据()f x 在()2,2x ∈-上的单调性得到最大值.【详解】对于A ，由20x -≠得函数()f x 定义域为{}2x x ≠±，所以()()122f x x x =≠±-．由()()1122f x f x x x -===---，可得函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，故A 正确；对于B ，当0x >且2x ≠时，函数()12f x x =-，该函数图象可由函数1y x =图象向右平移2个单位得到， 所以函数()12f x x =-在()0,2和()2,+∞上均单调递减， 由偶函数性质，可知()f x 在(),2-∞-上单调递增，故B 正确； 对于C ，由B 可得，当0x >且2x ≠时，函数()12f x x =-在()0,2和()2,+∞上均单调递减，所以该函数在()()0,22,+∞的值域为()1,0,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；又因为函数()f x 为偶函数，且()102f =-，所以()f x 在其定义域上的值域为()1,0,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦，故C 错误；对于D ，当()2,2x ∈-时，函数()f x 在()2,0-上单调递增，在()0,2上单调递减，所以()f x 有最大值为()102f =-，故D 正确．故选：ABD ．10．AC【分析】求出函数的定义域可判断A ；由同一函数的定义可判断B ；由奇偶性可判断C ；由方程组法求出()f x 可判断D 【详解】对于A ：由302x x -≥+解得3x ≥或<2x -，所以函数()f x =()[),23,∞∞--⋃+，故A 正确； 对于B ：()2x f x x=的定义域为()(),00,∞-+∞，()g x x =的定义为(),-∞+∞，定义域不相同，所以()2x f x x =和()g x x =不是同一个函数，故B 错误；对于C ：()1f x x x=-的定义域为()(),00,∞-+∞，关于原点对称，且()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=+=--=- ⎪-⎝⎭，所以()1f x x x =-为奇函数， 所以函数()1f x x x=-的图象关于坐标原点对称，故C 正确；对于D ：因为函数()f x 满足()()21f x f x x --=-， 所以()()21f x f x x --=--，由()()()()2121f x f x x f x f x x ⎧--=-⎪⎨--=--⎪⎩解得()113f x x =+，故D 错误；故选：AC11．()5,3-【分析】根据具体函数的定义域求法考虑限制条件即可求解. 【详解】函数()()2log 124f x x =-， 要使解析式有意义需满足：501240x x +>⎧⎨->⎩，解得53x x >-⎧⎨<⎩，53x ∴-<<，即函数()f x 的定义域为()5,3-，故答案：()5,3-. 12．［－4，0］【详解】试题分析：由题意得2sin()2[4,0]6y x π=--∈-考点：三角函数值域13．(]1,3【分析】由()23f x -的定义域得出5235x --，进而由25125870x x x -≤-≤⎧⎨-+->⎩得出所求.【详解】因为函数()23f x -的定义域为[]1,4-，所以14x -，5235x --即25125870x x x -≤-≤⎧⎨-+->⎩，解得13x <≤故函数()12f x F x -=则函数()F x 的定义域是(]1,3故答案为：(]1,3 14．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由()f x 定义域可求出()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦定义域，化简后再由二次函数求出值域即可.【详解】由题意可知，()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦要有意义，则需20404x x ⎧≤≤⎨≤≤⎩，即02x ≤≤，即函数定义域为[0,2]，又2221(1)22y x x x x =-+-=-，对称轴方程为12x =， 所以当12x =时，min 12y =-，当2x =时，max 4y =，所以函数值域为1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故答案为：1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．[3,1]-【分析】根据x R ∈，得到[]cos 1,14π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭x ，从而求得函数2cos 14⎛⎫=+- ⎪⎝⎭y x π的值域.【详解】因为x R ∈，所以4x R π+∈，所以[]cos 1,14π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭x ，所以[]2cos 13,14π⎛⎫=+-∈- ⎪⎝⎭y x ，所以函数2cos 14⎛⎫=+- ⎪⎝⎭y x π的值域是[3,1]-.故答案为：[3,1]-【点睛】本题主要考查余弦函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 16．(1)()()1,11,-+∞(2)[1,0)(0,1]-⋃【分析】根据函数的解析式，列出自变量需满足的不等式组，即可求得答案.【详解】（1）函数0()1y x =-1020110x x x -≠⎧⎪⎪≥⎨+⎪+≠⎪⎩,解得1x >- ，且1x ≠， 所以这个函数的定义域为()()1,11,-+∞．（2）函数y =2201010x x x ⎧--≥⎪+≥⎨≠确定,解不等式组，得2110x x x -≤≤⎧⎪≥-⎨⎪≠⎩,即[1,0)(0,1]x ∈-⋃,所以函数y =[1,0)(0,1]-⋃．17．答案见解析【分析】解不等式22320x ax a -+≥，可得函数()y f x =定义域.【详解】注意到()()2232020x ax a x a x a -+≥⇔--≥当0<a 时，()()2202，a a x a x a x a <--≥⇒≤或x a ≥，得函数定义域是(,2][,)a a -∞⋃+∞；当0a =时，()()2200R x a x a x x --≥⇔≥⇔∈，得函数定义域是R ；当0a >时，()()220，a a x a x a x a >--≥⇒≤或2x a ≥，得函数定义域是(,][2,)a a -∞⋃+∞．综上：当0<a 时，函数定义域是(,2][,)a a -∞⋃+∞；当0a =时，函数定义域是R ；当0a >时，函数定义域是(,][2,)a a -∞⋃+∞．18．(1)5,[1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭(2)[－53，－1]【分析】（1）当210a -=时，直接求出()f x 的定义域进行判断；当210a -≠时，转化为二次函数y =()()22111a x a x -+-+的图象开口向上，与x 轴没有交点，再根据二次函数知识可求出结果.（2）当210a -=时，直接求出()f x 的值域进行判断；当210a -≠时，转化为二次函数()()()22111t x a x a x =-+-+的图象开口向上，且与x 轴有交点，根据二次函数知识可求出结果.【详解】（1）因为()f x 的定义域为R ，则()()221110a x a x -+-+>在R 上恒成立．①当210a -=时，a =±1，若1a =，则1＞0恒成立，()f x 的定义域为R ，符合题意； 若1,210a x =--+>，得12x <，()f x 的定义域为1(,)2-∞．不符合题意. ①当210a -≠时，则有()()22210Δ1410a a a ⎧->⎪⎨=---<⎪⎩， 解得53a <-或1a >，综上所述：实数a 的取值范围为5,[1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．（2）记()()()()22111,0t x a x a x t x =-+-+>的解集为D ，即为函数f （x ）的定义域．因为()()lg f x t x =的值域为R ，则对x D ∀∈时，函数f （x ）的值域为（0，＋∞）． ①当210a -=时，1a =±．若()1,1a t x ==，()0f x =，()f x 的值域为{0}，不符合题意；若()1,21a t x x =-=-+，1(,)2D =-∞，()f x 的值域为(0,)+∞，符合题意．①当210a -≠时，则有：()()22210Δ1410a a a ⎧->⎪⎨=---≥⎪⎩， 解得513a -≤<-，综上所述：实数a 的取值范围为[－53，－1]。
高中高考数学专题：抽象函数经典题型大全(含答案和解析)
抽象函数一、求表达式方法 (2)1.换元法 (2)2.拼凑法 (2)3.待定系数法 (2)4.利用函数性质法 (3)5.方程组法 (3)5.赋值法 (3)二、抽象函数常见考点解法综述 (5)1.定义域问题 (5)2.求值问题 (5)3.值域问题 (5)4.奇偶性问题 (6)5单调性问题 (6)6.对称性问题 (7)7.求参数的取值范围 (7)8.解不定式 (7)9.周期问题 (7)三、抽象函数五类题型及解法 (9)1.线性函数型抽象函数 (9)2.指数函数型抽象函数 (10)3.对数函数型抽象函数 (11)4.幂函数型抽象函数 (12)5.三角函数型抽象函数 (13)四、巩固练习 (15)抽象函数问题综述-----含有函数记号“()f x ”有关问题解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。
现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式方法1.换元法例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1ux u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x -=- 例2：已知＋1)＝x ＋2，则f(x)＝____________.解：设t＋1＝t －1，x ＝(t －1)2，t≥1，代入原式有f(t)＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，故f(x)＝x 2－1(x≥1)．2.拼凑法在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例1：已知3311()f x x x x+=+，求()f x解：∵22211111()()(1)()((3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 例2：已知＋1)＝x ＋2，则f(x)＝____________. 解：＋1)＝x ＋2＝＋1)2－1，故f(x)＝x 2－1(x≥1)．3.待定系数法先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
高中数学必修一第三章函数的概念与性质考点专题训练(带答案)
高中数学必修一第三章函数的概念与性质考点专题训练单选题1、函数f(x)=log 2x −1x 的零点所在的区间为（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 答案：B解析：判断函数的单调性，结合函数零点存在性定理，判断选项. f (1)=0−1=−1<0，f (2)=1−12=12>0，且函数f (x )=log 2x −1x 的定义域是(0,+∞)，定义域内y =log 2x 是增函数，y =−1x 也是增函数，所以f (x )是增函数，且f (1)f (2)<0，所以函数f(x)=log 2x −1x 的零点所在的区间为(1,2). 故选：B小提示：方法点睛：一般函数零点所在区间的判断方法是：1.利用函数零点存在性定理判断，判断区间端点值所对应函数值的正负；2.画出函数的图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或是转化为两个函数的图象交点判断. 2、函数y =√2x +4x−1的定义域为（ ）A ．[0,1)B ．(1,+∞)C ．(0,1)∪(1,+∞)D ．[0,1)∪(1,+∞) 答案：D分析：由题意列不等式组求解由题意得{2x ≥0x −1≠0，解得x ≥0且x ≠1，故选：D3、现有下列函数：①y =x 3；②y =(12)x；③y =4x 2；④y =x 5+1；⑤y =(x −1)2；⑥y =x ；⑦y =a x (a >1)，其中幂函数的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B分析：根据幂函数的定义逐个辨析即可幂函数满足y=x a形式，故y=x3，y=x满足条件，共2个故选：B,则f(x)（）4、设函数f(x)=x3−1x3A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减答案：A分析：根据函数的解析式可知函数的定义域为{x|x≠0}，利用定义可得出函数f(x)为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．定义域为{x|x≠0}，其关于原点对称，而f(−x)=−f(x)，因为函数f(x)=x3−1x3所以函数f(x)为奇函数．又因为函数y=x3在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递增，=x−3在(0,+∞)上单调递减，在(−∞,0)上单调递减，而y=1x3在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递增．所以函数f(x)=x3−1x3故选：A．小提示：本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．5、下列函数为奇函数的是（）A．y=x2B．y=x3C．y=|x|D．y=√x答案：B分析：根据奇偶函数的定义判断即可；解：对于A：y=f(x)=x2定义域为R，且f(−x)=(−x)2=x2=f(x)，所以y=x2为偶函数，故A错误；对于B：y=g(x)=x3定义域为R，且g(−x)=(−x)3=−x3=−g(x)，所以y=x3为奇函数，故B正确；对于C：y=ℎ(x)=|x|定义域为R，且ℎ(−x)=|−x|=|x|=ℎ(x)，所以y=|x|为偶函数，故C错误；对于D：y=√x定义域为[0,+∞)，定义域不关于原点对称，故y=√x为非奇非偶函数，故D错误；故选：B6、已知幂函数y=f(x)的图象过点P(2,4)，则f(3)=（）A．2B．3C．8D．9答案：D分析：先利用待定系数法求出幂函数的解析式，再求f(3)的值解：设f(x)=xα，则2α=4，得α=2，所以f(x)=x2，所以f(3)=32=9，故选：D7、某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位(x+600x−30)元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（）A．60单位B．70单位C．80单位D．90单位答案：D分析：设生产每单位试剂的成本为y，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出y，然后利用基本不等式求解最值即可．解：设每生产单位试剂的成本为y，因为试剂总产量为x单位，则由题意可知，原料总费用为50x元，职工的工资总额为7500+20x元，后续保养总费用为x(x+600x−30)元，则y=50x+7500+20x+x2−30x+600x =x+8100x+40≥2√x⋅8100x+40=220，当且仅当x=8100x，即x=90时取等号，满足50≤x≤200，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D．8、已知f(x)是一次函数，且f(x−1)=3x−5，则f(x)=（）A．3x−2B．2x+3C．3x+2D．2x−3答案：A分析：设一次函数y=ax+b(a≠0)，代入已知式，由恒等式知识求解．设一次函数y=ax+b(a≠0)，则f(x−1)=a(x−1)+b=ax−a+b，由f(x−1)=3x−5得ax−a+b=3x−5，即{a=3b−a=−5，解得{a=3b=−2，∴f(x)=3x−2.故选：A．多选题9、甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量y（个）与加工时间x（分）之间的函数关系，A点横坐标为12，B点坐标为(20,0),C点横坐标为128．则下面说法中正确的是（）A．甲每分钟加工的零件数量是5个B．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件C．D点的横坐标是200D．y的最大值是216答案：ACD分析：甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A正确；在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B 错误；设D 的坐标为(t,0)，由题得△AOB ∽△CBD ，则有1220=128−20t−20，解可得t =200，所以选项C 正确；当x =128时，y =216，所以y 的最大值是216.所以选项D 正确. 根据题意，甲一共加工的时间为(12−0)+(128−20)=120分钟， 一共加工了600个零件，则甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A 正确，设D 的坐标为(t,0)，在区间(128,t)和(12，20 )上，都是乙在加工，则直线AB 和CD 的斜率相等， 则有∠ABO =∠CDB ，在区间(20,128)和(0,12)上，甲乙同时加工，同理可得∠AOB =∠CBD ， 则△AOB ∽△CBD ， 则有1220=128−20t−20，解可得t =200；即点D 的坐标是(200,0)，所以选项C 正确； 由题得乙每分钟加工的零件数为600200=3个，所以甲每分钟比乙多加工5-3=2个，在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B 错误； 当x =128时，y =(128−20)×2=216，所以y 的最大值是216.所以选项D 正确. 故选：ACD10、已知函数f(x)={−x,x <0x 2,x >0，则有（ ）A ．存在x 0>0，使得f (x 0)=−x 0B ．存在x 0<0，使得f (x 0)=x 02C ．函数f (−x )与f(x)的单调区间和单调性相同D ．若f (x 1)=f (x 2)且x 1≠x 2，则x 1+x 2≤0 答案：BC分析：根据函数解析式，分别解AB 选项对应的方程，即可判定A 错，B 正确；求出f (−x )的解析式，判定f (−x )与f(x)的单调区间与单调性，即可得出C 正确；利用特殊值法，即可判断D 错.因为f(x)={−x,x <0x 2,x >0，当x 0>0时，f(x 0)=x 02，由f (x 0)=−x 0可得x 02=−x 0，解得x 0=0或−1，显然都不满足x 0>0，故A错；当x 0<0时，f(x 0)=−x 0，由f (x 0)=x 02可得−x 0=x 02，解得x 0=0或−1，显然x 0=−1满足x 0<0，故B 正确；当x <0时，f(x)=−x 显然单调递减，即f(x)的减区间为(−∞,0)；当x >0时，f(x)=x 2显然单调递增，即f(x)的增区间为(0,+∞)；又f(−x)={x,−x <0x 2,−x >0 ={x,x >0x 2,x <0 ，因此f (−x )在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增；即函数f (−x )与f(x)的单调区间和单调性相同，故C 正确；D 选项，若不妨令x 1<x 2，f (x 1)=f (x 2)=14，则x 1=−14，x 2=12，此时x 1+x 2=14>0，故D 错； 故选：BC.小提示：关键点点睛：求解本题的关键在于根据解析式判定分段函数的性质，利用分段函数的性质，结合选项即可得解.11、已知函数f (x )的定义域是(0,+∞)，且f (xy )=f (x )+f (y )，当x >1时，f (x )<0，f (2)=−1，则下列说法正确的是（ ） A ．f (1)=0B ．函数f (x )在(0,+∞)上是减函数C ．f (12022)+f (12021)+⋅⋅⋅+f (13)+f (12)+f (2)+f (3)+⋅⋅⋅+f (2021)+f (2022)=2022 D ．不等式f (1x )−f (x −3)≥2的解集为[4,+∞) 答案：ABD分析：利用赋值法求得f (1)=0，判断A ；根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，可判断函数的单调性，判断B;利用f (xy )=f (x )+f (y )，可求得C 中式子的值，判断C ；求出f (14)=f (12)+f (12)=2，将f (1x )−f (x −3)≥2转化为f (1x )+f (1x−3)≥f (14)，即可解不等式组求出其解集，判断D. 对于A ，令x =y =1 ，得f (1)=f (1)+f (1)=2f (1)，所以f (1)=0，故A 正确；对于B ，令y =1x >0，得f (1)=f (x )+f (1x )=0，所以f (1x )=−f (x )， 任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)−f (x 1)=f (x 2)+f (1x 1)=f (x2x 1)，因为x 2x 1>1，所以f (x2x1)<0，所以f (x 2)<f (x 1)，所以f (x )在(0,+∞)上是减函数，故B 正确；对于C ，f (12022)+f (12021)+⋅⋅⋅+f (13)+f (12)+f (2)+f (3)+⋅⋅⋅+f (2021)+f (2022) =f (12022×2022)+f (12021×2021)+⋅⋅⋅+f (13×3)+f (12×2)=f (1)+f (1)+⋅⋅⋅+f (1)+f (1)=0，故C 错误；对于D ，因为f (2)=−1，且f (1x )=−f (x )，所以f (12)=−f (2)=1，所以f (14)=f (12)+f (12)=2，所以f (1x )−f (x −3)≥2等价于f (1x )+f (1x−3)≥f (14)， 又f (x )在(0,+∞)上是减函数，且f (xy )=f (x )+f (y )，所以{ 1x (x−3)≤141x>01x−3>0 ， 解得x ≥4，故D 正确, 故选:ABD ． 填空题12、为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W =f(t)，用−f(b)−f(a)b−a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[t1,t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，在[0,t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．答案：①②③分析：根据定义逐一判断，即可得到结果−f(b)−f(a)b−a表示区间端点连线斜率的负数，在[t1,t2]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，甲企业在[t1,t2]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[t1,t2]的污水治理能力最强．④错误；在t2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；所以答案是：①②③小提示：本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.13、已知函数f(x)=mx2+nx+2(m,n∈R)是定义在[2m,m+3]上的偶函数，则函数g(x)=f(x)+2x在[−2,2]上的最小值为______．答案：－6分析：先利用题意能得到f(−x)=f(x)和2m+m+3=0，解得n=0和m=−1，代入f(x)中，再代入g(x)，再结合二次函数的性质求最小值因为函数f(x)=mx2+nx+2(m,n∈R)是定义在[2m,m+3]上的偶函数，故{f(−x)=f(x)2m+m+3=0，即{mx2−nx+2=mx2+nx+2m=−1，则{2nx=0m=−1解得{n=0m=−1，所以g(x)=f(x)+2x=−x2+2x+2=3−(x−1)2，x∈[−2,2]，所以g(−2)=−(−2)2+2×(−2)+2=−6，g(2)=−22+2×2+2=2，则g(x)min=−6，所以答案是：-614、已知y=f(x)是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f(m-1)>f(1-2m)，则m的取值范围是_______.答案：(−12，23)分析：结合函数定义域和函数的单调性列不等式求解即可.由题意得：{-2<m-1<2，-2<1-2m<2，m-1<1-2m，解得−12<m<23.所以答案是：(−12，23)解答题15、已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=−x2+2x．（1）求x<0时，函数f(x)的解析式；（2）若函数f(x)在区间[−1,a−2]上单调递增，求实数a的取值范围．（3）解不等式f(x)≥x+2．答案：（1）f(x)=x2+2x；（2）(1,3]；（3）(−∞,−2]分析：（1）设x<0，计算f(−x)，再根据奇函数的性质f(x)=−f(−x)，即可得对应解析式；（2）作出函数f(x)的图像，利用数形结合思想，列出关于a的不等式组求解；（3）由（1）知分段函数f(x)的解析式，分类讨论解不等式再取并集即可.（1）设x<0，则−x>0，所以f(−x)=−(−x)2+2(−x)=−x2−2x又f(x)为奇函数，所以f(x)=−f(−x)，所以当x<0时，f(x)=x2+2x，（2）作出函数f(x)的图像，如图所示：要使f(x)在[−1,a −2]上单调递增，结合f(x)的图象知{a −2>−1a −2≤1，所以1<a ≤3，所以a 的取值范围是(1,3].（3）由（1）知f(x)={−x 2+2x,x ≥0x 2+2x,x <0，解不等式f(x)≥x +2，等价于{x ≥0−x 2+2x ≥x +2 或{x <0x 2+2x ≥x +2 ，解得：∅或x ≤−2 综上可知，不等式的解集为(−∞,−2]小提示：易错点睛：本题考查利用函数奇偶性求解分段函数解析式、根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，易错点是忽略区间两个端点之间的大小关系，造成取值范围缺少下限，属于基础题.。
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1、分段函数已知⎩⎨⎧>-≤+=)
0(2)0(1)(2x x x x x f
则 （1）若=)(x f 10，则x= ；（2）)(x f 的值域为 _____.
2、画出下列函数的图象（请使用直尺）
(1) Z x x y ∈-=,22且 2≤x (2) x
x y -=2
3、动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ，
试写出线段AP 的长度y 与P 点的行路程x
4、根据下列条件分别求出函数)(x f 的解析式
观察法(1)221)1(x
x x x f +=+
方程组法x x f x f 3)1(2)()2(=+
A P B
换元法（3）13)2(2++=-x x x f
待定系数法
（4）已知()x f 是一次函数，且满足()()1721213+=--+x x f x f ,求()x f 。
（复合函数的解析式）---代入法
（5）已知1)(2-=x x f ，1)(+=x x g ，求)]([x g f ]和)]([x f g 的解析式。
5、抽象函数的定义域的求解
1、若函数)(x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(-x f 的定义域为 。
2、若函数)1(2-x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(+x f 的定义域为 。
练习：1、若x x x f 2)1(+=+,求)(x f 。
2、函数)(x f 满足条件10)()(+-=x xf x f ，求)(x f 的解析式。
3、已知)(x f 是二次函数，且满足()10=f ,()()x x f x f 21=-+，求()x f 的表达式。
4、若()32+=x x f ，)()2(x f x g =+，求函数)(x g 的解析式
5、已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ；。