阶乘算法
java 阶乘最快算法
java 阶乘最快算法在计算阶乘时，最快的算法通常采用“分治法”，也被称为“快速阶乘算法”。
这个算法的基本思想是将大阶乘分解为若干个小阶乘，然后递归计算这些小阶乘，直到小阶乘不能再分解为止。
具体来说，快速阶乘算法的步骤如下：1. 定义一个辅助函数，该函数接受两个整数参数 n 和 m，返回 n 的 m 次方的阶乘。
2. 在主函数中，首先判断输入的整数是否为 0，如果是，则直接返回 1。
3. 如果输入的整数是负数，则将其转换为正数，并在结果中添加一个负号。
4. 将输入的整数转换为二进制表示，找到最右边的 1 位，记下该位对应的十进制数 k。
5. 递归调用辅助函数，计算 n 的 (k+1) 次方的阶乘。
6. 计算 n 的 k 次方的阶乘，并将结果乘以 (n-k) 的 k 次方的阶乘。
7. 将第 6 步的结果除以 k+1，得到最终的阶乘结果。
以下是使用 Java 实现的快速阶乘算法示例代码：```javapublic class Factorial {public static long factorial(int n) {if (n == 0) {return 1;} else if (n < 0) {return -1;} else {return factorial(n, 0);}}private static long factorial(int n, int k) {if (k == 32) { // 假设使用 32 位整数表示整数return 1;} else if ((n & (1 << k)) != 0) { // 判断二进制最右边的 1 位是否为 1 return n - (1 << k) + 1 == 0 ? factorial(n, k + 1) : n - (1 << k) + 1 == 1 ? factorial(n, k + 1) (n - (1 << k)) : factorial(n, k + 1) factorial(n - (1 << k), k);} else {return factorial(n, k + 1);}}public static void main(String[] args) {int n = 20;long result = factorial(n);(n + " 的阶乘为：" + result);}}```在这个示例代码中，我们首先定义了一个辅助函数 `factorial()`，该函数接受一个整数参数 `n`，返回 `n` 的阶乘。
组合数算法
组合数算法
组合数是一种在数学中表示从若干个不同的物品中取出若干个物品的方案数的数学概念。
它通常被表示为C(n,m)，表示从n个不同的物品中取出m个物品的方案数。
在计算组合数时，常用的算法有以下几种：
1、阶乘法：C(n,m)=n!/(m!*(n-m)!)
2、动态规划法：通过构建一个二维数组来存储组合数，根据前面计算的组合数来计算后面的组合数。
3、递归法：通过递归的方式来计算组合数，可以使用递推公式C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)来计算。
4、二项式反演：通过二项式反演公式C(n,m)=(-1)^m*C(m,n)来计算。
在选择算法时，可以根据实际情况来选择最合适的算法。
阶乘的快速计算方法
阶乘的快速计算方法阶乘是数学中一个非常重要的概念，它在组合数学、概率论等领域有着广泛的应用。
然而，当阶乘的数值非常大时，传统的计算方法往往会因为计算量太大而变得非常耗时。
为了解决这个问题，人们提出了一系列快速计算阶乘的方法。
一、基于递归的快速计算方法递归是一种非常常见的计算方法，它可以将一个大问题分解成若干个小问题，然后通过解决小问题来解决大问题。
对于阶乘来说，我们可以使用递归的方法来计算。
具体而言，我们可以将阶乘分解为两个部分：首先计算阶乘数n的一半，然后将结果平方得到n的阶乘。
这样，我们就可以通过递归的方式来计算阶乘。
二、基于迭代的快速计算方法除了递归，迭代也是一种常见的计算方法。
与递归不同，迭代是通过循环来实现计算的过程。
对于阶乘来说，我们可以使用迭代的方法来计算。
具体而言，我们可以使用一个循环来计算阶乘。
首先，我们将阶乘的初始值设为1，然后通过循环不断将当前值乘以下一个数，直到计算到n为止。
这样，我们就可以通过迭代的方式来计算阶乘。
三、基于公式的快速计算方法除了递归和迭代，还有一种基于公式的快速计算阶乘的方法。
这种方法通过使用数学公式来计算阶乘，从而减少计算的复杂度。
具体而言，我们可以使用斯特林公式来计算阶乘的近似值。
斯特林公式是一个近似计算阶乘的公式，它可以通过对数函数的性质来简化阶乘的计算。
使用斯特林公式，我们可以将阶乘的计算复杂度从O(n)降低到O(log n)。
四、基于查表的快速计算方法除了以上三种方法，还有一种基于查表的快速计算阶乘的方法。
这种方法通过预先计算并保存阶乘的结果，然后在需要计算阶乘时直接查表获取结果，从而减少计算的时间。
具体而言，我们可以使用动态规划的方法来计算并保存阶乘的结果。
首先，我们将阶乘的初始值设为1，并将其保存在一个表中。
然后，通过循环计算并保存每个数的阶乘结果，直到计算到n为止。
这样，当需要计算阶乘时，我们只需要从表中查找结果，而不需要重新计算。
总结起来，阶乘的快速计算方法有基于递归、迭代、公式和查表等多种方式。
阶乘的算法实验报告
一、实验目的1. 掌握阶乘算法的基本原理和实现方法；2. 分析不同阶乘算法的效率；3. 提高编程能力和算法优化能力。
二、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3.83. 开发工具：PyCharm三、实验内容1. 阶乘算法实现2. 性能分析四、实验步骤1. 阶乘算法实现（1）递归法实现阶乘```pythondef factorial_recursive(n):if n == 0 or n == 1:return 1else:return n factorial_recursive(n - 1) ```（2）迭代法实现阶乘```pythondef factorial_iterative(n):result = 1for i in range(1, n + 1):result = ireturn result```2. 性能分析（1）测试数据为了测试不同阶乘算法的性能，我们选取以下测试数据：- 较小数值：n = 5- 较大数值：n = 10- 极大数值：n = 20（2）性能测试```pythonimport timedef test_factorial():n_list = [5, 10, 20]for n in n_list:start_time = time.time()factorial_recursive(n)recursive_time = time.time() - start_time start_time = time.time()factorial_iterative(n)iterative_time = time.time() - start_timeprint(f"n = {n}:")print(f"递归法耗时：{recursive_time:.6f}秒")print(f"迭代法耗时：{iterative_time:.6f}秒")print("")test_factorial()```五、实验结果与分析1. 实验结果（1）n = 5递归法耗时：0.000002秒迭代法耗时：0.000001秒（2）n = 10递归法耗时：0.000003秒迭代法耗时：0.000001秒（3）n = 20递归法耗时：0.000016秒迭代法耗时：0.000002秒2. 分析（1）从实验结果可以看出，迭代法在计算阶乘时比递归法具有更高的效率。
6种基本算法 递归
6种基本算法递归递归是一种重要的算法思想，它在计算机科学中得到广泛应用。
本文将介绍六种基本的递归算法，并对其原理和应用进行讲解。
一、递归的基本概念递归是指一个函数在其定义中调用自身的过程。
递归算法通过将一个大问题划分为一个或多个相同或相似的子问题，然后通过解决子问题来解决原始问题。
递归算法具有简洁、优雅以及可读性强的特点，但同时也需要注意递归的停止条件，以避免无限递归的发生。
二、阶乘算法阶乘算法是递归算法中最经典的例子之一。
它的定义如下：```n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1```其中，n为一个非负整数。
阶乘算法可以通过递归的方式实现，即：```fact(n) = n * fact(n-1)```其中，停止条件为`n=0`时，返回1。
三、斐波那契数列算法斐波那契数列是一个无限序列，其定义如下：```F(0) = 0F(1) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n>1)```斐波那契数列算法可以通过递归的方式实现，即：```fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)```其中，停止条件为`n=0`或`n=1`时，返回相应的值。
四、二分查找算法二分查找算法是一种高效的查找算法，它的基本原理是将已排序的数组分成两部分，然后判断目标值在哪一部分，并继续在该部分中进行查找，直到找到目标值或者查找范围为空。
二分查找算法可以通过递归的方式实现，即：```binarySearch(arr, target, start, end) = binarySearch(arr, target, start, mid-1) (target < arr[mid])= binarySearch(arr, target, mid+1, end) (target > arr[mid])= mid (target = arr[mid])```其中，`arr`为已排序的数组，`target`为目标值，`start`和`end`为查找范围的起始和结束位置。
递归算法的阶乘
递归算法的阶乘
阶乘是指一个正整数的所有小于或等于该数的正整数相乘所得的积。
例如，5的阶乘为5*4*3*2*1=120。
递归算法是一种自己调用自己的算法。
在计算阶乘时，可以使用递归算法来简化计算。
我们以计算5的阶乘为例，可以将其表示为5!=5*4*3*2*1。
但是，我们可以将其转换为5!=5*4!，其中4!表示4的阶乘。
同样，4!=4*3!，3!=3*2!，2!=2*1!，1!=1。
因此，我们可以使用递归算法来计算阶乘。
具体步骤如下：
1. 定义一个递归函数factorial(n)，其中n表示要计算阶乘的数。
2. 在函数中，当n等于1时，返回1；否则，返回
n*factorial(n-1)。
3. 调用函数factorial(5)来计算5的阶乘，得到答案120。
递归算法虽然简化了计算过程，但是在实际应用中也需要注意递归深度的问题，特别是在调用次数较多的情况下，容易发生栈溢出等问题。
因此，在使用递归算法时需要谨慎使用。
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递归算法算阶乘
递归算法算阶乘递归算法算阶乘阶乘是数学中常见的概念，表示一个正整数n与小于等于它的所有正整数的乘积，通常用n!表示。
例如，5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120。
在计算机科学中，递归算法是一种常见的解决问题的方法，递归算法可以用来计算阶乘。
递归算法是一种自我调用的算法，它将问题分解成更小的子问题，直到问题变得足够简单，可以直接求解。
递归算法通常包括两个部分：基本情况和递归情况。
基本情况是指问题已经足够简单，可以直接求解的情况。
递归情况是指问题还需要继续分解成更小的子问题，直到达到基本情况。
计算阶乘的递归算法可以描述如下：1. 如果n等于0或1，返回1。
2. 否则，返回n乘以(n-1)的阶乘。
这个算法的基本情况是n等于0或1，此时阶乘为1。
递归情况是n 大于1，此时需要计算n乘以(n-1)的阶乘。
由于(n-1)的阶乘可以通过递归调用来计算，因此可以使用递归算法来计算n的阶乘。
下面是一个使用递归算法计算阶乘的Python代码：```def factorial(n):if n == 0 or n == 1:return 1else:return n * factorial(n-1)```这个函数接受一个整数n作为参数，返回n的阶乘。
如果n等于0或1，函数返回1。
否则，函数返回n乘以(n-1)的阶乘，这个值通过递归调用factorial函数来计算。
递归算法的优点是它可以简化问题的解决方法，使代码更易于理解和维护。
但是，递归算法也有一些缺点。
递归算法通常需要更多的内存和处理时间，因为每个递归调用都需要保存一些状态信息。
此外，递归算法可能会导致栈溢出，因为每个递归调用都会在栈中创建一个新的帧。
在实际编程中，应该根据具体情况选择适当的算法。
如果问题可以通过递归算法简单地解决，那么递归算法是一个不错的选择。
但是，如果问题的规模很大，或者递归算法会导致栈溢出，那么应该考虑其他算法。
10000的阶乘的算法
10000的阶乘的算法(大数的阶乘)很多天没有更新自己的Blog了,前几天拿到一个题目.就是写一段程序计算10000的阶乘.当时我还以为这题目非常简单,没想到还是需要动点大脑的.花了将近半个小时才搞定,拿出来分享一下.为什么不能用普通的方法来写呢,比如说递归?在我的教科书上可是用的是递归呀?不知道你注意没有,如果是100的阶乘的话,其结果肯定是非常大的,以我们现有语言的数据类型肯定是没法使用的,就拿C来说,long型能存的下100的阶乘吗?未必.所以我就使用数组来存储结果的每一位,然后输出每一位不就是结果吗.那么具体怎样去做?首先确定结果的位数?如何确定呢?请看下面.2!=1*2<=10*103!=1*2*3<=10*10*10.......所以我们可以得出一个结论n!<=10n所以n!的位数可以这样计算:两边取对数,即log10n!<=log1010n两边n>=Log101+Log102+Log10 3+....Log10 n这样n!的位数肯定等于小于Log101+Log102+Log10 3+....Log10 n.以上是错误的正确的推断如下:可以将n!表示成10的次幂,即n!=10^M(10的M次方)则不小于M的最小整数就是 n!的位数，对该式两边取对数，有 =log10^n!即：M = log10^1+log10^2+log10^3...+log10^n循环求和,就能算得M值，该M是n!的精确位数。
位数的确定解决之后,就看看如何计算了.看看如下代码:1 int index=0;2 long carrier=0;3 double bitCount = 1;4 int begin = 0;56 for(index=2; index<=n; ++index)7 {8 long multiValue = 0;9 bitCount += log10((long double)index);10 if(arrValue[begin] == 0)11 begin++;1213 for(int j=begin; j<int(bitCount); ++j)14 {15 multiValue += (index*arrValue[j]);16 arrValue[j] = char(multiValue % 10);17 multiValue /= 10;18 }19 }这里就是计算的关键了.注意一下进位问题即可.所有代码如下:12/**///////////////////////////////////////////////////////////////// //////////3// Date created: 2005/07/124// Author: Confach Zhang5// Purpose: 计算n!的值6/**///////////////////////////////////////////////////////////////// //////////789using namespace std;10#include "StdAfx.h"11#include <iostream.h>12#include <conio.h>13#include <stdlib.h>14#include <math.h>15#include <stdio.h>16#include <iomanip.h>1718int GetNumber(); //输入 n19int GetBitLength(int n); //求n!的位数20char* Initialize(int); //初始化存储结果的值21void PrintValue(char *a,int size); //打印值到屏幕22void PrintValue(char *a,int size,char* fileName); //打印值到文件23char* GetValue(int val); //计算24char* SubGetValue(char* ,int);252627int main()28{29 int value=GetNumber();30 char fileName[16];31 int size=GetBitLength(value);32 char *pa = Initialize(size);34 //pa=GetValue();35 pa=GetValue(value);3637 PrintValue(pa,size);3839 //sprintf(fileName,"%s","10000!.txt");40 sprintf(fileName,"%d!.txt",value);4142 PrintValue(pa,size,fileName);43 delete []pa; //note:44 return 1;45}46//函数GetValue47// 求得计算结果48//返回结果49//History:50//1)char* GetValue()51//2)GetValue(int val)52// 参数:val 计算阶乘的值53char* GetValue(int val)54{55 //定义一个数组存储阶乘的值56 //首先得到10000!阶乘的位数57 int VALUE=val;58 int length=GetBitLength(VALUE);59 char *arrValue = new char[length];60 if(!arrValue) {61 cout <<"申请内存失败!" << endl;62 exit(1);63 }64 arrValue[0] = 1;65 for(int i=1; i<length; i++)66 arrValue[i] = 0;67 arrValue=SubGetValue(arrValue,VALUE);68 return arrValue;69}7071char* SubGetValue(char* arrValue,int n)72{73 int index=0;74 long carrier=0;75 double bitCount = 1;76 int begin = 0;78 for(index=2; index<=n; ++index)79 {80 long multiValue = 0;81 bitCount += log10((long double)index);82 if(arrValue[begin] == 0)83 begin++;8485 for(int j=begin; j<int(bitCount); ++j)86 {87 multiValue += (index*arrValue[j]);88 arrValue[j] = char(multiValue % 10);89 multiValue /= 10;90 }91 }92 return arrValue;93}9495//得到计算阶乘的值,此函数为新增96int GetNumber()97{98 int n;99 cout << "请输入要计算阶乘的n值: ";100 cin >> n;101 while(n < 0) {102 cout << "输入错误,请重新输入: ";103 cin >> n;104 }105 if(n == 0)106 exit(1);107 return n;108}109110//函数GetBitLength111// 求得计算结果的位数,本函数为新增加112//参数113// n 需要计算的阶乘的数114//返回结果的位数115int GetBitLength(int n)116{117 double sum = 1.0;118 for(int i=1; i<=n; i++)119 sum += log10((long double)i);120 return int(sum);122//-----------123//函数:Initialize124// 初始化存储结果的数组125//参数:126// size 数组的长度127//返回值128// 初始化后的数组129//-------------130char * Initialize(int size)131{132 char *arrValue = new char[size];133 if(!arrValue) {134 cout << size<<"太大,申请内存失败!" << endl; 135 exit(1);136 }137 arrValue[0] = 1;138 for(int i=1; i<size; i++)139 arrValue[i] = 0;140 return arrValue;141}142143//-----------144//函数:PrintValue145// 将结果输入到屏幕上146//参数:147// buff 存储结果的数组148// buffLen 数组的长度149// fileName 文件名150//-------------151void PrintValue(char *buff, int buffLen)152{153 int bit = 0;154 int nCol=0;155 for(int i=buffLen-1; i>=0; i--) {156 if(bit % 10 == 0)157 {158 cout << " " ;159 nCol++;160 if(nCol==10)cout<<endl;161 }162 cout << int (buff[i]);163 bit++;164 }165 cout << endl;166167}168//-----------169//函数:PrintValue170// 将结果输入到一个文件中171//参数:172// buff 存储结果的数组173// buffLen 数组的长度174// fileName 文件名175//-------------176177void PrintValue(char *buff,int buffLen,char *fileName) 178{179 int bit = 0;180 int nCol=0;181182 FILE *fp=NULL;183 //-----------------------------184185 if (fileName==NULL) return ;186 fp=fopen(fileName,"wt");187 if (fp==NULL)188 {189 printf("不能创建文件%s",fileName);190 return ;191 }192193 for(int i=buffLen-1; i>=0; i--)194 {195 fprintf(fp,"%d",int(buff[i]));196197 if(bit % 9 == 0)198 {199 fprintf(fp,"%s"," ");200 nCol++;201 if(nCol==8)202 {203 fprintf(fp,"%s","\n");204 nCol=0;205 }206 }207 bit++;208209 }210 fprintf(fp,"\n"); 211 fclose(fp);212}213好了,不说了.算法通过将输入的两个数，先进行反串，然后用指针分别置数的最低位，进行乘法，然后将余数保存到结构中，将进位暂先放到一个变量中，然后将被乘数往高位移动一个数字，再将其与乘数的最低位相乘，加上上一轮中的进位，即为该轮的值，按照同样的方法，可以将其进位、低位保存。
阶乘的递归算法
阶乘的递归算法
阶乘的递归算法是一种非常常见的算法，它可以用来计算一个数的阶乘。
阶乘是指从1到该数之间所有整数的乘积，例如5的阶乘为5*4*3*2*1=120。
递归算法是指在函数内部调用自身的算法，它可以将一个大问题分解成多个小问题，从而简化问题的解决过程。
阶乘的递归算法可以用以下的伪代码来表示：
function factorial(n)
if n == 0 then
return 1
else
return n * factorial(n-1)
这个算法的思路非常简单，它首先判断输入的数是否为0，如果是0则返回1，否则就将问题分解成一个更小的问题，即计算n-1的阶乘，然后将n乘以n-1的阶乘即可得到n的阶乘。
这个算法的时间复杂度为O(n)，因为它需要递归调用n次，每次调用需要O(1)的时间来完成计算。
虽然这个算法的时间复杂度比较高，但是它非常简单易懂，而且可以用来解决一些小规模的问题。
除了阶乘，递归算法还可以用来解决很多其他的问题，例如斐波那契数列、汉诺塔问题等等。
递归算法的优点是它可以将一个大问题分解成多个小问题，从而简化问题的解决过程，而且它的代码通常
比较简洁易懂。
但是递归算法也有一些缺点，例如它的时间复杂度比较高，而且在处理大规模问题时可能会导致栈溢出等问题。
阶乘的递归算法是一种非常常见的算法，它可以用来计算一个数的阶乘。
虽然它的时间复杂度比较高，但是它非常简单易懂，而且可以用来解决一些小规模的问题。
递归算法还可以用来解决很多其他的问题，但是在处理大规模问题时需要注意避免栈溢出等问题。
阶乘怎么算
阶乘怎么算
阶乘是基斯顿·卡曼（Christian Kramp，1760～1826）于1808 年发明的运算符号，是数学术语。
一个正整数的阶乘（factorial）是所有小于及等于该数的正整数的积，并且0的阶乘为1。
自然数n的阶乘写作n!。
1808年，基斯顿·卡曼引进这个表示法。
阶乘指从1乘以2乘以3乘以4一直乘到所要求的数。
例如所要求的数是4，则阶乘式是1×2×3×4，得到的积是24，24就是4的阶乘。
例如所要求的数是6，则阶乘式是1×2×3×……×6，得到的积是720，720就是6的阶乘。
例如所要求的数是n，则阶乘式是1×2×3×……×n，设得到的积是x，x就是n的阶乘。
阶乘函数
举例：
5的阶乘就是5×4×3×2×1。
阶乘（一个数n的阶乘写成n！）的算法：
n!=1×2×3×...×(n-1)×n。
定义：0!=1，n!=(n-1)!×n
你学会了吗？
真正严谨的阶乘定义应该为：对于数n，所有绝对值小于或等于n的同余数之积。
称之为n 的阶乘，即n!
对于复数应该是指所有模n小于或等于│n│的同余数之积。
对于任意实数n的规范表达式为：
正数n=m+x,m为其正数部，x为其小数部
负数n=-m-x,-m为其正数部，-x为其小数部
对于纯复数
n=(m+x)i,或n=-(m+x)i。
阶乘和排列组合
重复元素的排列组合：在排列组合 中，如果存在重复元素，需要考虑 元素的重复性
包含与排除原理及其应用
包含与排除原理： 在排列组合中， 包含与排除原理 是解决复杂问题
的重要方法
应用：在解决实 际问题时，可以 通过包含与排除 原理来简化问题，
提高解题效率
例题：通过包 含与排除原理 解决一些典型 的排列组合问
组合的计算公式和原理
组合的定义：从n个不同元素中取出r个元素，不考虑顺序，称为组合 组合的计算公式：C(n, r) = n! / (r!(n-r)!) 组合的原理：利用乘法原理和加法原理，通过计算排列数来计算组合数 组合的应用：在概率论、统计学、计算机科学等领域有广泛应用
排列组合公式的推导和证明
阶乘和排列组合
汇报人：XXX
目录
阶乘的定义和计算方 法
01
排列组合的基本概念
02
排列组合的计算公式 和原理
03
排列组合的应用场景 和实例
04
排列组合的注意事项 和常见错误
05
排列组合的进阶概念 和拓展知识
06
阶乘的定义和计 算方法
阶乘的定义
阶乘是一种特 殊的运算，表 示一个正整数
的乘积
阶乘符号为"!"， 如
排列组合的应用 场景和实例
排列组合在数学中的应用
组合数学：研究排列组合 在数学中的广泛应用
概率论：利用排列组合计 算事件的概率
组合优化：解决组合优化 问题，如背包问题、旅行 商问题等
密码学：利用排列组合设 计密码，提高密码的安全 性
计算机科学：在算法设计 中应用排列组合，如搜索、 排序等
统计学：利用排列组合进 行统计推断，如假设检验、 方差分析等
大数阶乘算法
*************************************(1)************************************ ****************假如需要计算n+16的阶乘，n+16接近10000，已经求得n!（共有m个单元），（每个单元用一个long数表示，表示1-100000000）第一种算法（传统算法）计算(n+1)! 需要m次乘法，m次加法(加法速度较快,可以不予考虑,下同)，m次求余（求本位)，m次除法(求进位），结果为m+1的单元计算(n+2)! 需要m+1次乘法，m+1次求余，m+1次除法, 结果为m+1个单元计算(n+3)! 需要m+1次乘法，m+1次求余，m+1次除法，结果为m+2个单元计算(n+4)! 需要m+2次乘法，m+2次求余，m+2次除法，结果为m+2个单元计算(n+5)! 需要m+2次乘法，m+2次求余，m+2次除法，结果为m+3个单元计算(n+6)! ...计算(n+7)! ...计算(n+8)! ...计算(n+9)! ...计算(n+10)! ...计算(n+11)! ...计算(n+12)! ...计算(n+13)! ...计算(n+14)! 需要m+7次乘法，m+7次求余，m+7次除法，结果为m+7个单元计算(n+15)! 需要m+7次乘法，m+7次求余，m+7次除法，结果为m+8个单元计算(n+16)! 需要m+8次乘法，m+8次求余，m+8次除法，结果为m+8个单元该算法的复杂度：共需:m+(m+8)+(m+1+m+7)*7=16m+64次乘法，16m+64次求余，16m+64次除法第二种算法：1.将n+1 与n+2 相乘,将n+3 与n+4 相乘,将n+5 与n+6...n+15与n+16,得到8个数，仍然叫做n1,n2,n3,n4,n5,n6,n7,n82. n1 与n2相乘，结果叫做p2，结果为2个单元，需要1次乘法。
阶乘的算法
阶乘的算法
阶乘是一种数学运算，它表示一个正整数的乘积，即n!=1×2×3×...×n。
阶乘的算法是一种用于计算阶乘的算法，它可以帮助我们快速计算出一个数的阶乘。
阶乘算法的基本思想是：从1开始，每次乘以一个数，直到乘到n，最后得到
n的阶乘。
例如，计算5的阶乘，可以这样：1×2×3×4×5=120。
阶乘算法的实现可以使用循环或递归的方式。
使用循环的方式，可以使用for
循环，从1开始，每次乘以一个数，直到乘到n，最后得到n的阶乘。
使用递归的
方式，可以使用递归函数，每次调用函数时，将n减1，直到n=1，最后得到n的
阶乘。
阶乘算法的实现非常简单，但是它的效率却不高，因为它需要多次重复计算，
所以在实际应用中，可以使用其他更高效的算法来替代阶乘算法。
总之，阶乘算法是一种简单的算法，它可以帮助我们快速计算出一个数的阶乘，但是它的效率不高，在实际应用中，可以使用其他更高效的算法来替代阶乘算法。
负数的阶乘怎么算
负数的阶乘怎么算
目前，除去“-1”有双阶乘外，其他负数是没有阶乘的！数学学科中，双阶乘的具体算法为(2n)!=2*4*6*……*2n，
(2n+1)!=1*3*5*……*(2n+1)，而(-1)的双阶乘是零；“阶乘”这种运算符号，是在19世纪初，由法国数学家基斯顿·卡曼发明的；
什么是阶乘和双阶乘？
1、19世纪初，法国数学家基斯顿·卡曼发明了“阶乘”这种运算符号；按照阶乘计算公式，零的阶乘为一，其他整数的阶乘为所有“小于等于”这个数的“正整数的积”，书面上自然数n的阶乘写作n！。
阶乘方式定义：0!=1，n!=(n-1)!×n；
2、而双阶乘同样作为一个数学概念，写作n!!。
正整数的双阶乘为所有“小于等于”这个正整数且与它有相同奇偶性的正整数的乘积。
前10个阿拉伯数字的双阶乘分别是：1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945 。
3、实际上，阶乘这个数学符号，在现实生活中的运用非常少；不过相信很多朋友都买过彩票吧，如果你想知道自己中“特等奖”的概率是多少，那就可以用阶乘来计算，由于彩票是一种32选7的活动，其中奖概率的计算公式为：1/C(32,7)=7!*(32-7)!/32!=0.000000297；
4、通过上述计算我们应该懂得，想要靠彩票实现一夜暴富，几率是非常非常小的，各位偶尔买一张无所谓，千万不要沉迷其中，否则最后很可能只会换来无尽的失望！虽然生活多苦难挣钱不容易，但多多努力还是可以过上幸福日子的，让我们一起加油吧！。
阶乘的极限运算公式
阶乘的极限运算公式
阶乘是一个非常常见的数学运算，表示将一个正整数n以及比它小的所有正整数相乘的结果，通常用n!表示。
在数学中，阶乘的极限运算公式是表示阶乘函数在无穷大时的渐进增长速度的公式，通常用Stirling公式表示。
Stirling公式的表达式如下：
n! ~ sqrt(2*pi*n) * (n/e)^n
其中，~表示渐近等于，sqrt表示平方根，pi表示圆周率，e表示自然常数。
这个公式是由苏格兰数学家Stirling在18世纪提出的，它的精度随着n的增大而不断提高。
这个公式的意义在于，它给出了n!在不断增长的过程中的渐近形式，也就是说，当n趋近于无穷大时，n!的增长速度可以用这个公式来近似计算。
Stirling公式在物理、统计学、概率论、计算机科学等领域有广泛的应用。
无论是计算机算法的分析，还是统计推断中的似然函数，Stirling公式都有着重要的作用。
- 1 -。
20000阶乘 算法
计算20000阶乘是一个非常大的数，远远超出了任何基本数据类型的范围。
因此，我们需要使用特殊的方法来处理这种大数计算。
一种常用的处理大数的方法是使用高精度算法。
这种算法将大数分解为多个较小的数，然后逐个处理这些较小的数。
具体来说，我们可以将20000分解为多个10的幂次方，然后分别计算这些幂次方的阶乘，最后将结果相乘。
具体步骤如下：
1.将20000分解为多个10的幂次方：20000 = 2^4 * 5^4
2.分别计算2^4和5^4的阶乘：2^4 = 16, 5^4 = 625
3.计算16和625的阶乘：16! = 2^48 * 3, 625! = 5^625 * 3
4.将16!和625!的结果相乘，得到最终答案：20000! = (2^4 * 5^4) * (2^48 * 3) *
(5^625 * 3)
注意：由于阶乘的结果非常大，这个计算过程可能会非常耗时。
在实际应用中，可能需要使用更高效的算法或者并行计算等技术来加速计算。
n的阶乘的计算公式
n的阶乘的计算公式
【实用版】
目录
1.阶乘的定义
2.阶乘的计算公式
3.阶乘的性质与应用
正文
1.阶乘的定义
阶乘是一个数学概念，表示一个正整数 n 与小于等于它的所有正整数的乘积。
用符号 n! 表示，读作“n 的阶乘”。
例如，5 的阶乘表示为 5!，计算结果为 5×4×3×2×1=120。
2.阶乘的计算公式
对于任意正整数 n，其阶乘的计算公式可以表示为：
! = n × (n-1) × (n-2) ×...× 3 × 2 × 1
另外，当 n 为 0 时，定义 0! = 1。
3.阶乘的性质与应用
阶乘具有以下性质：
1) n! = (n-1)! × n，即 n 的阶乘等于 n-1 的阶乘与 n 的乘积。
2) n! 是偶数当且仅当 n 是偶数。
3) n! 是 3 的倍数当且仅当 n 是 3 的倍数。
4) n! 是 5 的倍数当且仅当 n 是 5 的倍数，或者 n 是 0 或 1。
阶乘在数学中有广泛的应用，例如在排列组合、概率论等领域。
同时，阶乘也是计算机科学中常用的算法基础，如阶乘函数的实现和优化等。
此外，阶乘还与拉格朗日定理、欧拉公式等著名数学公式有关。
34的阶乘奥数
34的阶乘奥数
【原创实用版】
目录
1.34 的阶乘的计算方法
2.34 的阶乘的值
3.34 的阶乘与奥数的关系
正文
一、34 的阶乘的计算方法
阶乘是指一个正整数 n，与小于等于它的所有正整数相乘的积。
例如，4 的阶乘（4!）是 4×3×2×1=24。
34 的阶乘（34!）则需要将 34 与小于等于 34 的所有正整数相乘。
计算阶乘的一种常见方法是使用递归，即将一个较大的阶乘分解为较小的阶乘相乘。
例如，计算 34! 时，可以先计算 33!，再将结果乘以 34。
二、34 的阶乘的值
根据上述计算方法，我们可以得到 34! 的值为
2.821102511524452234。
这是一个巨大的数字，其位数超过了 10 位。
实际上，随着 n 的增大，n! 的值会呈指数级增长。
例如，30! 的值约为
2.6525285981219105863630848000000，而 40! 的值则超过了 100 亿。
三、34 的阶乘与奥数的关系
奥数（奥林匹克数学竞赛）是一类针对中学生的数学竞赛。
在奥数中，阶乘问题经常以各种形式出现，例如计算某个数的阶乘、比较两个数的阶乘大小等。
对于 34! 这个数字，它可能在奥数题目中作为某个问题的一部分出现，要求参赛者计算它的值或者利用它来解决其他问题。
由于 34! 的值非常大，因此解决这类问题通常需要掌握一些高效的算法和技巧。
总之，34 的阶乘是一个较大的数字，它在奥数题目中可能会以各种
形式出现。
要解决这类问题，需要掌握阶乘的计算方法以及相关的算法和技巧。
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高精度算法的基本思想，就是将无法直接处理的大整数，分割成若干可以直接处理的小整数段，把对大整数的处理转化为对这些小整数段的处理数据结构的选择每个小整数段保留尽量多的位使用Comp类型采用二进制表示法每个小整数段保留尽量多的位一个例子：计算两个15位数的和Ø方法一•分为15个小整数段，每段都是1位数，需要15次1位数加法Ø方法二•分为5个小整数段，每段都是3位数，需要5次3位数加法Ø方法三•Comp类型可以直接处理15位的整数，故1次加法就可以了Ø比较•用Integer计算1位数的加法和3位数的加法是一样快的•故方法二比方法一效率高•虽然对Comp的操作要比Integer慢，但加法次数却大大减少•实践证明，方法三比方法二更快使用Comp类型高精度运算中，每个小整数段可以用Comp类型表示Comp有效数位为19～20位求两个高精度数的和，每个整数段可以保留17位求高精度数与不超过m位整数的积，每个整数段可以保留18–m位求两个高精度数的积，每个整数段可以保留9位如果每个小整数段保留k位十进制数，实际上可以认为其只保存了1位10k进制数，简称为高进制数，称1位高进制数为单精度数采用二进制表示法采用二进制表示，运算过程中时空效率都会有所提高，但题目一般需要以十进制输出结果，所以还要一个很耗时的进制转换过程。
因此这种方法竞赛中一般不采用，也不在本文讨论之列.算法的优化高精度乘法的复杂度分析连乘的复杂度分析设置缓存分解质因数求阶乘二分法求乘幂分解质因数后的调整高精度乘法的复杂度分析计算n位高进制数与m位高进制数的积Ø需要n*m次乘法Ø积可能是n+m–1或n+m位高进制数连乘的复杂度分析（1）一个例子：计算5*6*7*8Ø方法一：顺序连乘•5*6=30，1*1=1次乘法•30*7=210，2*1=2次乘法•210*8=1680，3*1=3次乘法共6次乘法Ø方法二：非顺序连乘•5*6=30，1*1=1次乘法•7*8=56，1*1= 1次乘法•30*56=1680，2*2=4次乘法共6次乘法连乘的复杂度分析（2）若“n位数*m位数=n+m位数”，则n个单精度数，无论以何种顺序相乘，乘法次数一定为n(n-1)/2次Ø证明：•设F(n)表示乘法次数，则F(1)=0，满足题设•设k<n时，F(k)=k(k-1)/2，现在计算F(n)•设最后一次乘法计算为“k位数*(n-k)位数”，则•F(n)=F(k)+F(n-k)+k (n-k)=n(n-1)/2（与k的选择无关）设置缓存（1）一个例子：计算9*8*3*2Ø方法一：顺序连乘•9*8=72，1*1=1次乘法•72*3=216，2*1=2次乘法•216*2=432，3*1=3次乘法Ø方法二：非顺序连乘•9*8=72，1*1=1次乘法•3*2=6，1*1=1次乘法•72*6=432，2*1=2次乘法共6次乘法特点：n位数*m位数可能是n+m-1位数特点：n位数*m位数可能是n+m-1位数设置缓存（2）考虑k+t个单精度数相乘a1*a2*…*ak*ak+1*…*ak+tØ设a1*a2*…*ak结果为m位高进制数（假设已经算出）Øak+1*…*ak+t结果为1位高进制数Ø若顺序相乘，需要t次“m位数*1位数”，共mt次乘法Ø可以先计算ak+1*…*ak+t，再一起乘，只需要m+t次乘法在设置了缓存的前提下，计算m个单精度数的积，如果结果为n位数，则乘法次数约为n(n–1)/2次，与m关系不大–设S=a1a2… a m，S是n位高进制数–可以把乘法的过程近似看做，先将这m个数分为n组，每组的积仍然是一个单精度数，最后计算后面这n个数的积。
时间主要集中在求最后n个数的积上，这时基本上满足“n位数*m位数=n+m位数”，故乘法次数可近似的看做n(n-1)/2次设置缓存（3）缓存的大小Ø设所选标准数据类型最大可以直接处理t位十进制数Ø设缓存为k位十进制数，每个小整数段保存t–k位十进制数Ø设最后结果为n位十进制数，则乘法次数约为Øk/(n–k) ∑(i=1..n/k)i=(n+k)n/(2k(t–k))，其中k远小于nØ要乘法次数最少，只需k (t–k)最大，这时k=t/2Ø因此，缓存的大小与每个小整数段大小一样时，效率最高Ø故在一般的连乘运算中，可以用Comp作为基本整数类型，每个小整数段为9位十进制数，缓存也是9位十进制数分解质因数求阶乘例：10!=28*34*52*7Øn!分解质因数的复杂度远小于nlogn，可以忽略不计Ø与普通算法相比，分解质因数后，虽然因子个数m变多了，但结果的位数n没有变，只要使用了缓存，乘法次数还是约为n(n-1)/2次Ø因此，分解质因数不会变慢（这也可以通过实践来说明）Ø分解质因数之后，出现了大量求乘幂的运算，我们可以优化求乘幂的算法。
这样，分解质因数的好处就体现出来了二分法求乘幂二分法求乘幂，即：Øa2n+1=a2n*aØa2n=(a n)2Ø其中，a是单精度数复杂度分析Ø假定n位数与m位数的积是n+m位数Ø设用二分法计算a n需要F(n)次乘法ØF(2n)=F(n)+n2，F(1)=0Ø设n=2k，则有F(n)=F(2k)=∑(i=0..k–1)4i=(4k–1)/3=(n2–1)/3与连乘的比较Ø用连乘需要n(n-1)/2次乘法，二分法需要(n2–1)/3Ø连乘比二分法耗时仅多50%Ø采用二分法，复杂度没有从n2降到nlogn二分法求乘幂之优化平方算法怎样优化Ø(a+b)2=a2+2ab+b2Ø例：123452=1232*10000+452+2*123*45*100Ø把一个n位数分为一个t位数和一个n-t位数，再求平方怎样分Ø设求n位数的平方需要F(n)次乘法ØF(n)=F(t)+F(n-t)+t(n-t)，F(1)=1Ø用数学归纳法，可证明F(n)恒等于n(n+1)/2Ø所以，无论怎样分，效率都是一样Ø将n位数分为一个1位数和n–1位数，这样处理比较方便二分法求乘幂之复杂度分析复杂度分析Ø前面已经求出F(n)=n(n+1)/2，下面换一个角度来处理ØS2=(∑(0≤i<n)a i10i)2=∑(0≤i<n)a i2102i+2∑(0≤i<j<n)a i a j10i+jØ一共做了n+C(n,2)=n(n+1)/2次乘法运算Ø普通算法需要n2次乘法，比改进后的慢1倍改进求乘幂的算法Ø如果在用改进后的方法求平方，则用二分法求乘幂，需要(n+4)(n–1)/6次乘法，约是连乘算法n(n–1) /2的三分之一分解质因数后的调整（1）为什么要调整Ø计算S=211310，可以先算211，再算310，最后求它们的积Ø也可以根据S=211310=610*2，先算610，再乘以2即可Ø两种算法的效率是不同的分解质因数后的调整（2）什么时候调整Ø计算S=a x+k b x=(ab)x a kØ当k<xlog a b时，采用(ab)x a k比较好，否则采用a x+k b x更快Ø证明：•可以先计算两种算法的乘法次数，再解不等式，就可以得到结论•也可以换一个角度来分析。
其实，两种算法主要差别在最后一步求积上。
由于两种方法，积的位数都是一样的，所以两个因数的差越大，乘法次数就越小•∴当a x b x–a k>a x+k–b x时，选用(ab)x a k，反之，则采用a x+k b x。
•∴a x b x–a k>a x+k–b x•∴(b x–a k)(a x+1)>0•∴b x>a k•这时k<xlog a b总结内容小结Ø用Comp作为每个小整数段的基本整数类型Ø采用二进制优化算法Ø高精度连乘时缓存和缓存的设置Ø改进的求平方算法Ø二分法求乘幂Ø分解质因数法求阶乘以及分解质因数后的调整应用Ø高精度求乘幂（平方）Ø高精度求连乘（阶乘）Ø高精度求排列组合结束语求N!的高精度算法本身并不难，但我们仍然可以从多种角度对它进行优化。
其实，很多经典算法都有优化的余地。
我们自己编写的一些程序也不例外。
只要用心去优化，说不准你就想出更好的算法来了。
也许你认为本文中的优化毫无价值。
确实是这样，竞赛中对高精度的要求很低，根本不需要优化。
而我以高精度算法为例，不过想谈谈如何优化一个算法。
我想说明的只有一点：算法是可以优化的。