三棱锥的体积

锥体的体积

教学重点和难点

三棱锥体积公式及其探求． 教学设计过程

（一）复习三个问题（学生口答）

1．锥体平行于底面的截面的性质 2．祖暅原理

3．柱体的体积公式及探求思路 （二）学生探求锥体体积公式

1．底面积是S ，高是h 的柱体体积公式的探求思路？

构造一个与所给柱体等底面积等高的长方体，由祖暅原理知，它们的体积相等，所以

V 柱体=Sh ．

2．等底面积等高的两个锥体的体积之间有什么关系呢？

用祖暅原理．设有任意两个锥体，不妨选取一个三棱锥，一个四棱锥，并设它们的底面积都是S ，高都是h （如图1）．①把这两个锥体的底面放在同一个平面α上，由于它们的高相等，故它们的顶点必在与α平行的同一个平面β上，即这两个锥体可夹在两个平行平面α，β之间；②用平行于平面α的任意平面去截这两个锥体，设截面面积分别为S 1，S 2，截面和顶点的距离是h 1，体积分别

由祖暅原理知：V 1=V 2．（生叙述师板书）

可以叙述为：等底面积等高的两个锥体的体积相等． 3．如何求出锥体的体积？

怎样研究三棱锥的体积呢？（板书：三棱锥的体积，并作出一个底面积为S 的，高为h 的三棱锥A ＇－ABC ，（如图2）

h

图1

（1）补成三棱柱，把三棱锥A＇－ABC以底面△ABC为底面，AA＇为侧棱补成个三棱柱ABC －A＇B＇C＇．

（2）分割成三个三棱锥．（补形过程及分割过程由学生完成）

怎样证明这三个三棱锥1，2，3等体积呢？

（学生思考两个锥体等体积的依据——前面定理的条件：（1）等底面积，（2）等高）

在三棱锥1，2中，S△

ABA＇=S

△B＇A＇B

，又由于它们有相同顶点C，故高也相等，所以V

1

=V

2

．又

在三棱锥2，3中，S

△BCB＇=S

△B＇C＇C

，它们有相同顶点A＇，故高也相等．所以V

2

=V

3

，所以V

1

=V

2

=V

3

．

一般锥体的体积又如何呢？（设一般锥体的底面积为S，高为h）

构造一个三棱锥，使其底面积为S，高为h，由于等底面积

（三）锥体体积公式的简单应用

例1、如图7，在正方体ABCD－A＇B＇C＇D＇中，已知棱长为a，求：（1）三棱锥B＇－ABC的体积；

（2）这个三棱锥的体积是正方形体积的几分之几；

（3）B到平面AB＇C的距离？

分析（3）：注意到三棱锥B－AB＇C与三棱锥B＇－ABC是同一个三棱锥．

S

△AB＇C

也易求，这样h即可求出．

巧用了三棱锥的体积，使问题的求解变得十分简捷．这种方法称作顶点转换法，有时也称作等积转换法．

例2、直三棱锥ABC-A 1B 1C 1的各侧棱和底面边长均为a ，点D 是棱CC 1上任意一点，求三棱锥A 1-ABD 的体积。

例3、如图有一个底面边长为3、4、5，高为8的直三棱柱形水箱，在棱AA 1上的D 、CC 1上的E 处分别有漏洞，测得AD=6、CE=4，利用此水箱盛水（可以任意放置），最多能盛多少水？

A 1

B 1

C

C 1

D

A

B

E