-2011年全国初中数学竞赛试题及答案

“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛 （天津赛区）试题参考答案及评分标准

一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分） （1

）设x =

(1)(2)(3)x x x x +++的值为( ). （A ）0 （B ）1

（C ）﹣1

（D ）2

【答】C ． 解：由已知得2

310x x ++=， 于是

222

2

(1)(2)(3)(3)(32)

(31)1 1.

x x x x x x x x x x +++=+++=++-=-

（2）已知x y z ，，为实数，且满足253x y z +-=，25x y z --=-，则

222x y z ++的最小值为( ).

（A ）111

（B ）0 （C ）5 （D ）

5411

【答】D ．

解：由 25325x y z x y z +-=⎧⎨--=-⎩

，

， 可得 312.x z y z =-⎧⎨=+⎩，

于是 2

2221125x

y z z z ++=-+．

因此，当111z =

时，222

x y z ++的最小值为5411

． （3）若1x >，0y >，且满足3y

y x

xy x x y

==，

，则x y +的值为( ). （A ）1 （B ）2

（C ）

92

（D ）

112

【答】C ．

解：由题设可知1y y x -=，于是 341

y y x yx x -

==，所以411y -=．

故1

2

y

=

，从而4=x ．于是92x y +=．

（4）设33331111

1232011

S =

++++ ，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5

（C ）6

（D ）7

【答】A ．

解：当2 3 2011k = ，，，，因为()(

)()32

111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦， 所以3331111115

11123201122201120124

S ⎛⎫<=+

+++<+-< ⎪⨯⎝⎭ ． 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．

（5）点D E ，分别在△ABC 的边A B

A C ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，

则13S S 与24S S 的大小关系为( ).

（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定 【答】C ．

解：如图，连接DE ，设1

DEF S S ∆'=， 则

14

23

S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >． 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

（6）两条直角边长分别是整数a b ，（其中2011b <），斜边长是1b +的直角三角形的个数为 .

【答】31．

解：由勾股定理,得 12)1(222+=-+=b b b a ．因为b 是整数，2011

a

是1到4023之间的奇数，而且是完全平方数，这样的数共有31个，即2223 5 63 ，，，．因此a 一定是3，5，…，63，故满足条件的直角三角形的个数为31．

（7）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7的概率是 .

【答】

1

6

． 解： 在36对可能出现的结果中，有6对：（1，6）， （2，5）， （2，5）， （3，4），（3，4），（4，3）的和为7，所以朝上的面两数字之和为7的概率是

61

366

=.

（8）若y =a ，

最小值为b ，则22

a b +的值为 . 【答】

32

． 解：由1x -≥0，且12

x -

≥0，得1

2≤x ≤1．

21122y =

+=+ 由于

13124<<，所以当3

4x =时，2y 取到最大值1，故1a =．

当12x =

或1时，2

y 取到最小值12，故2

b =．所以，2232a b +=． （9）如图，双曲线x

y 2

=

（x ＞0）与矩形OABC 的边CB ， BA 分别交于点E ，F ，且AF=BF ，连接EF ，则△OEF 的面积为 .

【答】

32

． 解：如图，设点B 的坐标为a b （,）,则点F 的坐标为2

b a （，）.因为点F 在双曲线2

y x

=

上，所以 4.ab = 又点E 在双曲线上，且纵坐标

为b ，所以点E 的坐标为2

(

,)b b

.于是 11212222221312.22

OEF OEC FBE

OFBC S S S S b b b a b a b b ab ∆∆∆=--=+-⨯⨯-⨯⨯-=+-=梯形（）（）（） （10）如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .

【答】84．

解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ， 则2

2

2

35a b +=＝1225． ① 又Rt △AFE ∽Rt △ACB ， 所以

FE AF CB AC =，即1212b a b

-=， 故12()a b ab +=． ②

由①②得 222

2122524a b a b ab a b +=++=++（）（），

解得a ＋b ＝49（另一个解－25舍去），所以 493584a b c ++=+=． 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

（11）已知关于x 的一元二次方程2

0x cx a ++=的两个整数根恰好比方程

20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.

解：设方程2

0x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，

则方程2

0x cx a ++=的两根为1

1αβ++，，由题意得 ()()11a a αβαβ+=-++=，， ………………………………5分

两式相加，得2210αβαβ+++=，即 (2)(2)3αβ++=，