最新高中数学难点突破_难点28__求空间距离

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难点28 关于求空间距离

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空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到3

面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离.

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●难点磁场

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(★★★★)如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA⊥平面ABCD，PA=2c,Q 6

是PA的中点.

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求：(1)Q到BD的距离；

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(2)P到平面BQD的距离.

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●案例探究

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［例1］把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、12

BC的中点，点O是原正方形的中心，求：

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(1)EF的长；

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(2)折起后∠EOF的大小.

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命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决

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立体几何问题，属★★★★级题目.

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知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式.

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错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必须保证x 轴、y 轴、z 轴两19 两互相垂直.

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技巧与方法：建系方式有多种，其中以O 点为原点，以、、的方21 向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单.

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解：如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz ,设正方形ABCD 边长23 为a ,则A (0，－

22a ,0),B (22a ,0,0),C (0, 22a ,0),D (0,0, 2

2a ),E (0,－24 42a , a ),F (42a , 4

2a ,0) 25

21|

|||,cos ,2||,2||8042)42)(42(420)

0,4

2

,42(),42,42,0()2(23

,43)420()4242()042(||)1(2

2222-=>=<==

-

=⋅+-+⨯=⋅=-==∴=-+++-=OF OE a a a a a a a a a a a a EF a a a a a

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∴∠EOF =120°

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［例2］正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离. 28

命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属★★★★级题目. 29

知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线30 面距离，或面面距离，亦可由最值法求得.

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错解分析：本题容易错误认为O 1B 是A 1C 与AB 1的距离，这主要是对异面直32 线定义不熟悉，异面直线的距离是与两条异面直线垂直相交的直线上垂足间的33 距离.

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技巧与方法：求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采35 用化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得.

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解法一：如图，连结AC 1，在正方体AC 1中，∵A 1C 1∥AC ,∴A 1C 1∥平面AB 1C ，37 ∴A 1C 1与平面AB 1C 间的距离等于异面直线A 1C 1与AB 1间的距离.

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39 连结B 1D 1、BD ，设B 1D 1∩A 1C 1=O 1,BD ∩AC =O 40

∵AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1，∴AC ⊥平面BB 1D 1D

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∴平面AB 1C ⊥平面BB 1D 1D ，连结B 1O ，则平面AB 1C ∩平面BB 1D 1D =B 1O 42

作O 1G ⊥B 1O 于G ，则O 1G ⊥平面AB 1C

43

∴O 1G 为直线A 1C 1与平面AB 1C 间的距离，即为异面直线A 1C 1与AB 1间的距离. 44

在Rt △OO 1B 1中，∵O 1B 1=

22，OO 1=1，∴OB 1=21121B O OO += 2

6

45

∴O 1G =

331111=⋅OB B O O O ，即异面直线A 1C 1与AB 1间距离为3

3

. 46

解法二：如图，在A 1C 上任取一点M ，作MN ⊥AB 1于N ，作MR ⊥A 1B 1于R ，连47 结RN ，

48

49 ∵平面A 1B 1C 1D 1⊥平面A 1ABB 1，∴MR ⊥平面A 1ABB 1，MR ⊥AB 1 50

∵AB 1⊥RN ，设A 1R =x ,则RB 1=1－x 51

∵∠C 1A 1B 1=∠AB 1A 1=45°， 52

∴MR =x ,RN =NB 1=

)1(2

2

x - 53

3

1

)31(23)1(2

1

22222+-=

-+=+=x x x RN MR MN (0＜x ＜1) 54

∴当x =31时，MN 有最小值33即异面直线A 1C 1与AB 1距离为3

3. 55

●锦囊妙记

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空间中的距离主要指以下七种： 57

(1)两点之间的距离. 58

(2)点到直线的距离. 59

(3)点到平面的距离. 60

(4)两条平行线间的距离. 61

(5)两条异面直线间的距离.

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(6)平面的平行直线与平面之间的距离.

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