浅谈幂级数展开式的应用

摘要 (1)

关键词 (1)

Abstract (1)

Keywords﹒ (1)

引言 (2)

一．基本知识 (2)

1.1．幂级数的性质 (2)

1.2. 幂级数的收敛区间 (2)

二．幂级数的和函数 (3)

三．幂级数的展开 (4)

四．幂级数的展开及其应用 (6)

4.1. 幂级数在近似计算的应用 (6)

4.2. 幂级数在计算积分得应用 (6)

4.3. 幂级数在求极限中的应用 (7)

4.4. 幂级数在数项级数求和中的应用 (7)

4.5. 幂级数用于推导欧拉公式 (8)

4.6. 幂级数在求导中的应用 (9)

4.7. 幂级数在不等式的中的应用 (9)

4.8. 幂级数在组合中的应用 (10)

参考文献 (11)

致谢 (11)

幂级数展开式的应用

摘要

在数学中，幂级数是一类形式简单而应用广泛的函数级数。幂级数在微积分中也是个重要的题材，许多重要的函数可表成幂级数，而幂级数全体也代表了相当广泛的函数类别。在本文中简介了幂级数的简单知识，注重探讨了幂级数展开式各方面的应用。

关键词

幂级数；展开式；应用

Power series expansion of the type of application

Abstract

In mathematics, a power series is in a class of simple and widely used function series. Power series is also an important theme in the calculus, many important functions can be expressed as a power series, power series of all on behalf of a wide range of function categories. In this article introduces the simple knowledge of the power series, focus on exploring the application of all aspects of the power series expansion

Keyword

Power series; expansion; applicati

引言：

幂级数的展开式应用广泛，但是由于不同研究者用的方法不同以及研究结果没有集中起来，现在用我粗浅的知识略把幂级数展开式的应用搜集了一下，以便大家更方便的应用﹑更好的学习。

由

幂

级数列

(){}

n

a x x -所产生

的函数项

级数

(){}()()()()2

00102000

n

n

n

n n n a x x a x x a a x x a x x a x x ∞

=--=+-+-+-+∑

，称为幂级数，它是一类最简单的函数项级数。从某种意义上说，可以看作是多项式的延伸。幂级数在理论和实际上有很多的应用，尤其是在表示函数方面。特别地当00x =，即

20120

n n n n n a x a a x a x a x ∞

==++++∑

是一种重要的情况。 一．

基本知识

1.幂级数的性质 （1）. 幂级数20120n

n n n n a x

a a x a x a x ∞

==+++++∑ ()*的和函数是(),-ℜℜ内的

连续函数。 （2）. 幂级数

20120n

n n n n a x

a a x a x a x ∞

==+++++∑ 在收敛区间左

（右）端点上收敛，则其和函数也在这一端上左（右）连续。 (3). 设幂级数

20120

n

n n n n a x

a a x a x a x ∞

==+++++∑ 在收敛区间(),-ℜℜ上的和函

数为()f x ，若x 为(),-ℜℜ内任意一点，则 ⅰ）、()f x 在x 可导，且()1

1

n n

n f x na x

∞

-='=

∑

ⅱ）、()f x 在0与x 这个区间上可积，且()1

1

x

n n n a f t dtt x n ∞

+==+∑

⎰

2.收敛区间

设幂级数

n

n n a x

∞

=∑在(),-ℜℜ的和函数()s x ，则

（1）. ()s x 在(),-ℜℜ内连续，若幂级数在x =ℜ()x =-ℜ也收敛，则()s x 在x =ℜ处左连续（或在x =-ℜ处右连续）。

（2）.()s x 在(),-ℜℜ内每一点都是可导的，且有可导公式：

()'100

1n

n n n n n n n n n s x a x a x na x ∞

∞

∞-===⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑

与原幂级数有相同的收敛半径。

（3）. ()s x 在(),-ℜℜ内可以积分，且有逐项积分公式：

()10

00

0001n

x

x n n

n n n n n n n a s t dt a t dt a t dt x n ∞∞∞+===⎛⎫=== ⎪+⎝⎭

∑∑∑⎰

⎰⎰，其中x 是(),-ℜℜ内任一点，积

分后的幂级数与原级数有相同的收敛半径。

二．幂级数的和函数

幂级数的和函数在幂级数的计算中有着重要的作用，在计算过程中也有一定的难度，不

过计算过程也要注意计算方法的使用。

例1：求幂级数 ()21

121n n

n x n +∞

=-+∑的和函数

解： 易知级数的收敛域为[]1,1-

令()21

()121n n

n x s x n +∞

==-+∑

有幂级数的逐项可导性得()222

1

()1()(1)1n

n

n n n s x x

x x x ∞

∞

=='=-=-=

<+∑∑ 对上式两端积分得：

2

0()(0)arctan 1x

dt

s x s tx t ==+⎰

(1,1)x ∈-

例2： 求级数

()

()2

0112n

n

n n

n ∞

=-+-∑的和

解：因为

()

()2

112

n

n

n n

n ∞

=-+-∑

=()2

011122n

n

n n n n ∞

∞

==⎛⎫⎛⎫

--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑

=()22

2

1112222n n

n n n -∞

=⎛⎫

⎛⎫

⎛⎫

---+- ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭

∑∑