北师大版八年级数学下册 特殊的三角形 专题(附答案)
北师大版八年级下册数学[《三角形的证明》全章复习与巩固--知识点整理及重点题型梳理](提高)
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北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《三角形的证明》全章复习与巩固(提高)【学习目标】1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】【要点梳理】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，不如边长为a 的等边三角形他的高是2a ，面积是24；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；正确的逆命题就是逆定理.3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL ）要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定方法. 要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧交于点M 、N ；作直线MN ，则直线MN 就是线段AB 的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形.【典型例题】类型一、能证明它们么1. 如图，△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE 交CD 于点F ，BD 分别交CE 、AE 于点G 、H ．试猜测线段AE 和BD 的数量和位置关系，并说明理由．【思路点拨】由条件可知CD=AC ，BC=CE ，且可求得∠ACE=∠DCB ，所以△ACE ≌△DCB ，即AE=BD ，∠CAE=∠CDB ；又因为对顶角∠AFC=∠DFH ，所以∠DHF=∠ACD=90°，即AE ⊥BD ．【答案与解析】猜测AE=BD ，AE ⊥BD ；理由如下：∵∠ACD=∠BCE=90°，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE ，即∠ACE=∠DCB ，又∵△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形，∴AC=CD ，CE=CB ，∵在△ACE 与△DCB 中，,AC DC ACE DCB EC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△DCB （SAS ），∴AE=BD ， ∠CAE=∠CDB ；∵∠AFC=∠DFH ，∠FAC+∠AFC=90°，∴∠DHF=∠ACD=90°，∴AE ⊥BD ．故线段AE 和BD 的数量相等，位置是垂直关系.【总结升华】主要考查全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形的性质及对顶角的性质等知识点．举一反三：【变式】将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图1方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF=DE；（2）若将图1中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图2中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图1中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图3．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．【答案】（1）证明：连接BF（如下图1），∵△ABC≌△DBE（已知），∴BC=BE，AC=DE．∵∠ACB=∠DEB=90°，∴∠BCF=∠BEF=90°．∵BF=BF，∴Rt△BFC≌Rt△BFE．∴CF=EF．又∵AF+CF=AC，∴AF+EF=DE．（2）解：画出正确图形如图2.（1）中的结论AF+EF=DE仍然成立；（3）证明：连接BF ，∵△ABC ≌△DBE ，∴BC=BE ，∵∠ACB=∠DEB =90°，∴△BCF 和△BEF 是直角三角形，在Rt △BCF 和Rt △BEF 中，,BC BE BF BF=⎧⎨=⎩ ∴△BCF ≌△BEF ，∴CF=EF ；∵△ABC ≌△DBE ，∴AC=DE ，∴AF=AC+FC=DE+EF ．类型二、直角三角形2. 下列说法正确的说法个数是（ ）①两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，②斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等，③两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，④一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．A.1B.2C.3D.4【思路点拨】根据全等三角形的判定方法及“HL”定理，判断即可；【答案】C.【解析】A 、三个角相等，只能判定相似；故本选项错误；B 、斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“AAS”；故本选项正确；C 、两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项正确；D、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形，首先根据“HL”定理，可判断两个小直角三角形全等，可得另条直角边相等，然后，根据“SAS”，可判断两个直角三角形全等；故本选项正确；所以，正确的说法个数是3个．故选C．【总结升华】直角三角形全等的判定，一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．3.（2016•南开区一模）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上；（2）若△ABC三边的长分别为、、2（m＞0，n＞0，且m ≠n），运用构图法可求出这三角形的面积为．【思路点拨】（1）是直角边长为1，2的直角三角形的斜边；是直角边长为1，3的直角三角形的斜边；是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；（2）结合（1）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3m，2n的直角三角形的斜边；直角边长为2m，2n的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积可得．【答案与解析】解：（1）S△ABC=3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3=；（2）构造△ABC如图所示，S△ABC=3m×4n﹣×m×4n﹣×3m×2n﹣×2m×2n=5mn．故答案为：（1）3；（2）5mn．【总结升华】此题主要考查了勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答．类型三、线段垂直平分线4. 如图，在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．（1）求证：直线PQ是线段DE的垂直平分线；（2）如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明．【思路点拨】（1）只需证明点P、Q都在线段DE的垂直平分线上即可．即证P、Q分别到D、E的距离相等．故连接PD、PE、QD、QE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证；（2）根据题意，画出图形；结合图形，改写原题．【答案与解析】（1）证明：连接PD、PE、QD、QE．∵CE⊥AB，P是BF的中点，∴△BEF是直角三角形，且PE是Rt△BEF斜边的中线，∴PE=12 BF．又∵AD⊥BC，∴△BDF是直角三角形，且PD是Rt△BDF斜边的中线，∴PD=12BF=PE，∴点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证，QD、QE分别是Rt△ADC和Rt△AEC斜边上的中线，∴QD=12AC=QE，∴点Q也在线段DE的垂直平分线上．∴直线PQ垂直平分线段DE．（2）当△ABC为钝角三角形时，（1）中的结论仍成立．如图，△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°．原题改写为：如图，在钝角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，DA与CE的延长线交于点F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．求证：直线PQ垂直且平分线段DE．证明：连接PD，PE，QD，QE，则PD、PE分别是Rt△BDF和Rt△BEF的中线，∴PD=12BF，PE=12BF，∴PD=PE，点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证QD=QE，∴点Q在线段DE的垂直平分线上．∴直线PQ垂直平分线段DE．【总结升华】考查了线段垂直平分线的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，图形较复杂，有一定综合性，但难度不是很大．举一反三：【变式】在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A=40度．（1）求∠M的度数；（2）若将∠A的度数改为80°，其余条件不变，再求∠M的大小；（3）你发现了怎样的规律？试证明；（4）将（1）中的∠A改为钝角，（3）中的规律仍成立吗？若不成立，应怎样修改．【答案】（1）∵∠B=12（180°-∠A）=70°∴∠M=20°（2）同理得∠M=40°（3）规律是：∠M的大小为∠A大小的一半，证明：设∠A=α，则有∠B=12（180°-α）∠M=90°-12（180°-α）=12α.（4）不成立.此时上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半．类型四、角平分线5. 如图，△ABC中，∠A=60°，∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G．求证：GE=GD．【思路点拨】连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．由角平分线的性质及逆定理可得GN=GM=GF，AG是∠CAB的平分线；在四边形AMGN中，易得∠NGM=180°-60°=120°；在△BCG中，根据三角形内角和定理，可得∠CGB=120°，即∠EGD=120°，∴∠EGN=∠DGM，证明Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS）即可得证GE=GM．【答案与解析】解：连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．∵∠A=60°，∴∠ACB+∠ABC=120°，∵CD，BE是角平分线，∴∠BCG+∠CBG=120°÷2=60°，∴∠CGB=∠EGD=120°，∵G是∠ACB平分线上一点，∴GN=GF，同理，GF=GM，∴GN=GM，∴AG是∠CAB的平分线，∴∠GAM=∠GAN=30°，∴∠NGM=∠NGA+∠AGM=60°+60°=120°，∴∠EGD=∠NGM=120°，∴∠EGN=∠DGM，又∵GN=GM，∴Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS），∴GE=GD．【总结升华】此题综合考查角平分线的定义、三角形的内角和及全等三角形的判定和性质等知识点，难度较大，作辅助线很关键．举一反三：【变式】（2015春•澧县期末）如图：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB 于E，F在AC上，BD=DF；证明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．【答案】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．∴CF=EB；（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=DE．在△ADC与△ADE中，∵精品文档用心整理∴△ADC≌△ADE（HL），∴AC=AE，∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．资料来源于网络仅供免费交流使用。
2020-2021学年北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明课后提升作业题
2020-2021年度北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明课后提升作业题（附答案）1．A、B、C分别表示三个村庄，AB＝1000米，BC＝600米，AC＝800米，为拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）A．AB中点B．BC中点C．AC中点D．∠C的平分线与AB的交点2．如图，在△ABC中，BC＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，若△BCE的周长等于22cm，则AC的长度等于（）A．10cm B．12cm C．22cm D．32cm3．能把三角形分割成面积相等两部分的一定是（）A．三角形的中线B．三角形的角平分线C．三角形的高线D．三角形一边上的垂直平分线4．如图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（）A．三边垂直平分线的交点B．三边中线的交点C．三条角平分线的交点D．三边上高的交点5．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点C在直线l外，且与A点在直线l的同一侧，点P是直线l上的任意点，连接AP，BC，CP，则BC与AP+PC的大小关系是（）A．＞B．＜C．≥D．≤6．如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A 端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（）A．变小B．不变C．变大D．无法判断7．下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（）A．有两条边分别相等B．有一个锐角和一条边相等C．有一条斜边相等D．有一直角边和斜边上的高分别相等8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD ＝，则BD的长是（）A．2B．2C．3D．39．如图，点P在∠ABC的平分线上，PD⊥BC于点D，若PD＝4，则P到BA的距离为（）A．3B．4C．5D．610．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（）A．25°B．25°或40°C．25°或35°D．40°11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC≠BC．点P是直角边所在直线上一点，若△P AB为等腰三角形，则符合条件的点P的个数最多为（）A．3个B．6个C．7个D．8个12．下列说法错误的是（）A．等腰三角形的两个底角相等B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等D．等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍13．如图在第一个△A1BC中，∠B＝40°，A1B＝BC，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第二个△A1A2D，再在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E．……如此类推，可得到第n个等腰三角形．则第n个等腰三角形中，以A n为顶点的内角的度数为（）A．B．C．D．14．如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝2．则线段PC的长度为（）A．3B．2C．1D．15．若实数m、n满足等式|m﹣2|+＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）A．12B．10C．8D．616．如图是由一副三角尺拼成的四边形ABCD，E为斜边AC的中点，则∠DBE等于（）A．10°B．15°C．20°D．22.5°17．将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（）①OE平分∠AOD；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC﹣∠CEA＝15°；④∠COB+∠AOD＝180°．A．0B．1C．2D．318．如图，在△ABC中，线段AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD，若∠C＝80°，∠CBD＝40°，则∠A的度数为°．19．如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有个．20．如图，AB＝12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动分钟后△CAP与△PQB全等．21．如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD+∠BDC＝°．22．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE ＝3cm，则BF＝cm．23．△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点P在BC边上运动（P不与B、C重合），连接AP，作∠APQ＝∠B，PQ交AB于点Q．（1）如图1，当PQ∥CA时，判断△APB的形状并说明理由；（2）在点P的运动过程中，△APQ的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BQP的度数；若不可以，请说明理由．24．如图，已知：AD是∠BAC的平分线，AB＝BD，过点B作BE⊥AC，与AD交于点F．（1）求证：AC∥BD；（2）若AE＝2，AB＝3，BF＝，求△ABF中AB边上的高．25．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求证：CE＝CF；（2）若CD＝2，求DF的长．26．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C 重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．27．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E、F．（1）试说明△CEF是等腰三角形；（2）若点E恰好在线段AB的垂直平分线上，猜想：线段AC与线段AB的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若AC＝2.5，求△ABE的面积．28．如图，△ABC中AB＝AC，BD和CD分别平分△ABC的内角∠CBA和外角∠ECA，BD 交AC于F，连接AD．（1）求证：AD平分∠GAC；（2）求证：AD∥BC．29．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD 于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF．参考答案1．解：∵AB2＝10002＝1000000，BC2＝6002＝360000，AC2＝8002640000，∴AB2＝BC2+AC2，∴△ABC为以AB为斜边的直角三角形，当点P在AB的中点时，CP＝AB＝P A＝PB，故选：A．2．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∵△BCE的周长等于22cm，∴BC+CE+BE＝22（cm），∴BC+CE+EA＝BC+AC＝22（cm），∵BC＝10cm，∴AC＝12（cm），故选：B．3．解：能把三角形分割成面积相等两部分的一定是三角形的中线，故选：A．4．解：∵中转仓到A、B两地的距离相等，∴中转仓的位置应选在边AB的垂直平分线上，同理，中转仓的位置应选在边AC、BC的垂直平分线上，∵中转仓到A、B、C三地的距离相等，∴中转仓的位置应选在三边垂直平分线的交点上，故选：A．5．解：连接BP，∵直线l是线段AB的垂直平分线，∴AP＝BP，∴AP+PC＝BP+PC，当点P在BC与l的交点处时，AP+PC＝CB，当点P不在BC与l的交点处时，AP+PC＝BP+PC＞BC，∴BC≤AP+PC，故选：D．6．解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，理由是：连接OP，∵∠AOB＝90°，P为AB中点，AB＝2a，∴OP＝AB＝a，即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a；故选：B．7．解：A、两边分别相等，但是不一定是对应边，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；B、一条边和一锐角对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；C、有一条斜边相等，两直角边不一定对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；D、有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等，故此选项符合题意；故选：D．8．解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵∠BAC的平分线AD交BC于点D，∴∠CAD＝∠BAD＝CAB＝30°，∴∠DAB＝∠B，∴BD＝AD，∵CD＝，∴BD＝AD＝2CD＝2，故选：B．9．解：∵BP是∠ABC的平分线，PD⊥BC于点D，∴点P到边AB的距离等于PD＝4．故选：B．10．解：当50°为底角时，∵∠B＝∠ACB＝50°，∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；当50°为顶角时，∵∠A＝50°，∴∠B＝∠ACB＝65°，∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°．故选：B．11．解：①以B为圆心，以BA为半径作圆，此圆与直线BC交于两点，与直线AC交于一点（A除外），此时BP＝AB；②以A为圆心，以AB为半径作圆，此圆与直线AC交于两点，与直线AB交于一点（B除外），此时AP＝AB；③作线段AB的垂直平分线，交直线AC于一点，交直线BC于一点，此时AP＝BP；（1+2）+（1+2）+1+1＝8，故选：D．12．解：A．等腰三角形的两底角相等，故本选项不符合题意；B．等腰三角形的两个底角的高、角平分线和中线不一定互相重合，故本选项符合题意；C.过O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N，∵O是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴OM＝ON，ON＝OQ，∴OM＝ON＝OQ，即三角形的两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故本选项不符合题意；D.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠EAC＝∠B+∠C，∴∠EAC＝2∠B，即等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍，故本选项不符合题意；故选：B．13．解：在△CBA1中，∠B＝40°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝＝70°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×70°，同理可得∠EA3A2＝（）2×70°，∠F A4A3＝（）3×70°，∴第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）n﹣1×70°．故选：C．14．解：过P作PE⊥OB于E，∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA，∴PC＝PE，∠AOP＝∠BOP，∵OD＝DP，∴∠BOP＝∠DPO，∴∠AOP＝∠DPO，∴PD∥OA，∴∠PDE＝∠AOB，∵∠AOB＝30°，∴∠PDE＝30°，∵∠PEO＝90°，DP＝2，∴PE＝DP＝1，∴PC＝1，故选：C．15．解：∵|m﹣2|+＝0，∴m﹣2＝0，n﹣4＝0，解得m＝2，n＝4，当m＝2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；当n＝4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4＝10．故选：B．16．解：在直角△ACD中，∠ADC＝90°，∠DAC＝30°，则∠ACD＝60°．又∵E为斜边AC的中点，∴DE＝EC＝AC．∴∠DEC＝∠ECD＝60°．∵∠BED＝90°，∴∠BED＝150°．在直角△ABC中，E为斜边AC的中点，则BE＝AC．∴DE＝BE，∴∠DBE＝EDB＝×（180°﹣150°）＝15°．故选：B．17．解：∵∠DOC＝∠AOB＝90°，∴∠DOC﹣∠BOC＝∠AOB﹣∠COB，即∠AOC＝∠BOD，故②正确；∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠COB+∠AOD＝∠AOB+∠COD＝180°，故④正确；如图，AB与OC交于点P，∵∠CPE＝∠APO，∠C＝45°，∠A＝30°，∠CEA+∠CPE+∠C＝∠AOC+∠APO+∠A ＝180°，∴∠AOC﹣∠CEA＝15°．故③正确；没有条件能证明OE平分∠AOD，故①错误．故选：D．18．解：∵∠C＝80°，∠CBD＝40°，∴∠CDB＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝60°，∵线段AB的垂直平分线交AC于点D，∴DA＝DB，∴∠A＝∠DBA＝∠CDB＝30°，故答案为：30．19．解：如图，△ABC是等腰三角形，这样的格点C有8个．故答案为8．20．解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；则BP＝xm，BQ＝2xm，则AP＝（12﹣x）m，分两种情况：①若BP＝AC，则x＝4，AP＝12﹣4＝8，BQ＝8，AP＝BQ，∴△CAP≌△PBQ；②若BP＝AP，则12﹣x＝x，解得：x＝6，BQ＝12≠AC，此时△CAP与△PQB不全等；综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；故答案为：4．21．解：在Rt△AEC和Rt△DAB中∴Rt△AEC≌Rt△DAB（HL），∴∠ACE＝∠ABD，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠EAC+∠ABD＝90°，∴∠AFB＝90°，即∠CFD＝90°，∴∠ACD+∠BDC＝90°，故答案为90．22．解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，，∴Rt△ADB≌Rt△ADC，∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝3AB，∵S△ABC＝AC•BF，∴AC•BF＝3AB，∵AC＝AB，∴BF＝3，∴BF＝6．故答案为6．23．解：（1）△APB是直角三角形，理由如下：∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝30°＝∠B＝∠APQ，∵PQ∥AC，∴∠BPQ＝∠C，∴∠APB＝60°，∴∠BAP＝90°，∴△APB是直角三角形；（2）当AQ＝QP时，∴∠QAP＝∠APQ＝30°，∴∠BQP＝∠QAP+∠APQ＝60°，当AP＝PQ时，则∠AQP＝∠P AQ＝75°，∴∠BQP＝105°，当AQ＝AP时，则∠AQP＝∠APQ＝30°，∵P不与B、C重合，∴不存在，综上所述：∠BQP＝105°或60°．24．（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD＝∠BAD，∵AB＝BD，∴∠BDA＝∠BAD，∴∠CAD＝∠BDA，∴AC∥BD；（2）解：作FG⊥AB于G，在Rt△ABE中，AE＝2，AB＝3，∴BE＝＝＝，∴FE＝BE﹣BF＝﹣＝，∵AD是∠BAC的平分线，BE⊥AC，作FG⊥AB，∴FG＝FE＝，即△ABF中AB边上的高为．25．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．∵DE∥AB，∴∠B＝EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°，∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∵EF⊥ED，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝30°∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°，∴∠F＝∠FEC＝30°，∴CE＝CF．（2）由（1）可知∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∴CE＝DC＝2．又∵CE＝CF，∴CF＝2．∴DF＝DC+CF＝2+2＝4．26．解：（1）∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；故答案为：25°；小．（2∵∠EDC+∠EDA＝∠DAB+∠B，∠B＝∠EDA＝40°，∴∠EDC＝∠DAB．，∵∠B＝∠C，∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE，（3）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，∵∠AED＞∠C，∴此时不符合；②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；∴当∠ADB＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形．27．解：（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠B+∠BCD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE，∴∠ACD+∠CAE＝∠B+∠BAE，即∠CFE＝∠CEF，∴CF＝CE，即△CEF是等腰三角形；（2）AB＝2AC，理由是：∵E在线段AB的垂直平分线上，∴AE＝BE，∴∠B＝∠BAE，∵∠CAE＝∠BAE，∠ACB＝90°，∴3∠B＝90°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC；（3）方法一、过E作EM⊥AB于M，∵AC＝2.5，∠ACB＝90°，∠B＝∠CAE＝30°，∴AE＝2CE，设CE＝2，则AE＝2x，由勾股定理得：AC2+CE2＝AE2，即2.52+x2＝（2x）2，解得：x＝，即CE＝，∵AE平分∠CAB，∠ACB＝90°，EM⊥AB，∴EM＝CE＝，∴△ABE的面积S＝＝5×＝；方法二、由勾股定理得：BC＝2.5，∵CE＝，∴BE＝BC﹣CE＝，∴△ABE的面积S＝＝××2.5＝．28．（1）证明：过点D作DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，垂足分别为点N、K、M．∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，∴DM＝DN＝DK，∴AD平分∠GAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠GAD＝∠DAC，∴AD平分∠GAC．（2）证明：∵∠GAC＝∠ABC+∠ACB，∠GAD＝∠DAC，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠GAD＝∠ABC，∴AD∥BC．29．证明：连接DF，∵∠BCE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠CAE＝90°，∴∠BCE＝∠CAE．∵AC⊥BC，BF∥AC．∴BF⊥BC．∴∠ACD＝∠CBF＝90°，∵AC＝CB，∴△ACD≌△CBF．∴CD＝BF．∵CD＝BD＝BC，∴BF＝BD．∴△BFD为等腰直角三角形．∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠ABC＝45°．∵∠FBD＝90°，∴∠ABF＝45°．∴∠ABC＝∠ABF，即BA是∠FBD的平分线．∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，即AB垂直平分DF．。
2022-2023学年北师大版八年级数学下册《1-1等腰三角形》同步选择专项练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版八年级数学下册《1.1等腰三角形》同步选择专项练习题（附答案）1．等腰三角形一边为6，另一边是方程4x﹣5＝7的根，则这个等腰三角形的周长为（）A．12B．15C．12或15D．不能确定2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的高．若∠CBD＝20°，则∠BAC的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°3．如图，在△ABC中，∠A＝α，∠B＝∠C，点D是△ABC外一点，E，F分别在AB，AC 上，ED与AC交于点G，且∠D＝∠B，若∠1＝2∠2，则∠EGF的度数为（）A．180°﹣2αB．60°+αC．90°﹣αD．30°+α4．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的底角的度数为（）A．20°B．50°或70°C．70°D．20°或70°5．如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC，AC边上的垂直平分线分别交AC、BC于点D、点E．若∠BAE＝45°，DE＝2，则AE的长度为（）A．2B．4C．6D．86．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，BD＝AD，AC＝DC，则∠B的度数为（）A．30°B．36°C．40°D．46°7．如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠D＝∠DEA＝∠C，则图中一共有（）个等腰三角形．A．3B．4C．5D．68．如图，已知点A（2，2），在x轴上确定一点P，使得△AOP为等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A．5个B．4个C．3个D．2个9．如图，在格点中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一条腰，这样的点C个数为（）A．8B．9C．10D．1110．如图，△ABC中，IB，IC分别平分∠ABC，∠ACB，DE过点I，且DE∥BC，若AB＝A．8B．9C．10D．1111．如图，△ABC中，∠B＝2∠C，AD是高，BD＝2，CD＝7，则AB长为（）A．4B．5C．6D．712．如图，DE＝11，FG＝3，BF、CG分别平分∠ABC、∠ACB，DE∥BC．则BD+CE＝（）A．3B．11C．7D．813．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．①③14．如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（）A．3B．4C．5D．615．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC＝30°，A．B．4C．D．4.516．如图，在等腰三角形ABC中，∠CAB＝120°，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E．若AD＝2，则BE的长为（）A．2B．3C．4D．617．如图，△ABC是等边三角形，D为BA的中点，DE⊥AC，垂足为点E，EF∥AB，AE ＝2，下列结论错误的是（）A．∠ADE＝30°B．BD＝4C．△EFC的周长为18D．△ABC的周长为2118．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°．DE垂直平分AB，交BC于点E．若BE＝10cm．则AC＝（）A．3cm B．4cm C．5cm D．10cm19．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝4，点M，N在边AB上，CM＝CN．若MN＝2，则AM＝（）A．1B．2C．3D．420．用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB＝AC，则∠B＜90°”时，首先应该假设（）A．∠B≥90°B．∠B＞90°C．AB≠AC D．AB≠AC且∠B≥90°21．如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，过点D作EF ∥BC，交AB于E，交AC于F，若BE＝8，CF＝6，则EF的长是（）A．4B．2.5C．2D．1.522．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个23．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当P A＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A．B．C．D．不能确定参考答案1．解：∵4x﹣5＝7，∴x＝3，当腰3时，三角形的三边为3、3、6，此时构不成三角形；当腰为6时，三角形三边的长为3、6、6，此时周长为15；综上，该等腰三角形的周长为15．故选：B．2．解：∵BD为△ABC的高，∴∠BDC＝90°．∵∠CBD＝20°，∴∠C＝90°﹣∠CBD＝90°﹣20°＝70°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝70°，又∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°．∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：B．3．解：∵∠A＝α，∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝×（180°﹣α）＝90°﹣，∴∠D＝∠B＝90°﹣，∵∠AGE＝∠DGF，∴∠A+∠1＝∠D+∠2，∵∠1＝2∠2，∴α+2∠2＝90°﹣+∠2，∴∠2＝90°﹣α，∴∠EGF＝∠D+∠2＝90°﹣+90°﹣α＝180°﹣2α，故选：A．4．解：①如图1，当该等腰三角形为钝角三角形时，∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，∴底角＝（90°﹣50°）＝20°，②如图2，当该等腰三角形为锐角三角形时，∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，∴底角＝[180°﹣（90°﹣50°）]＝70°．故选：D．5．解：设∠C＝x，∵ED是AC的垂直平分线，∴∠EDA＝90°，EA＝EC，∴∠EAC＝∠C＝x，∵∠BAE＝45°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝45°+x，∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC＝45°+x，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴2（x+45°）+x＝180°，解得：x＝30°，∴∠EAC＝∠C＝30°，∵DE＝2，∴AE＝2DE＝4，故选：B．6．解：设∠B＝x°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝x，∵DB＝DA，∴∠B＝∠BAD＝x°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝2x°，∵CD＝CA，∴∠ADC＝∠CAD＝2x°，∵∠C+∠ADC+∠CAD＝180°，∴5x°＝180°，∴x＝36，∴∠B＝36°，故选：B．7．解：∵AB＝AC＝BD，∴△ABD和△ABC是等腰三角形，∵∠D＝∠C＝∠DEA＝∠BEC，∴AD＝AE，BC＝BE，∴△ADE和△BEC是等腰三角形，∵AD＝BC，∴AE＝BE，∴△AEB是等腰三角形，故选：C．8．解：（1）若AO作为腰时，有两种情况，当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA 为半径的圆与x轴的交点，共有1个，若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个，当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，有1个；（2）若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个．以上4个交点没有重合的，故符合条件的点有4个．故选：B．9．解：如图所示：满足条件的点C有9个，故选：B．10．解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点I，∴∠DBI＝∠CBI，∠ECI＝∠BCI，∵DE∥BC，∴∠DIB＝∠CBI，∠BCI＝∠EIC，∴∠DBI＝∠DIB，∠ECI＝∠EIC，∴DB＝DI，EI＝EC，∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DI+EI+AE＝AD+BD+EC+AE＝AB+AC＝5+4＝9．故选：B．11．解：在CD上取一点E，使BD＝DE＝2，∵CD＝7，∴CE＝5，∵AD⊥BC，∴AB＝AE，∴∠AEB＝∠B＝2∠C，∵∠AEB＝∠C+∠EAC＝2∠C，∴∠C＝∠EAC，∴AE＝CE＝5，∴AB＝5，故选：B．12．解：∵BF、CG分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠DBF＝∠CBF，∠ECG＝∠BCG，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∠EGC＝∠ECG，∴∠DBF＝∠DFB，∠EGC＝∠ECG，∴BD＝DF，EG＝CE，∴BD+CE＝DF+EG＝DE﹣FG＝11﹣3＝8，故选：D．13．解：∵有两个角等于60°，则第三个角为180°﹣60°﹣60°＝60°，∴这个三角形是等边三角形，故①选项符合题意；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，故②选项符合题意；∵三个外角都相等，∴三个内角也都相等，∴这个三角形是等边三角形，故③选项符合题意；∵一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，∴腰和底边相等，∴这个三角形是等边三角形，故④选项符合题意，∴正确的选项有①②③④，故选：A．14．解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∴∠AEF＝30°，∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴EG＝EF＝2，在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；方法二、∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，∴BE＝DE，∠BFD＝90°，∴BE＝2EF＝4＝DE，∴DF＝DE+EF＝6；故选：D．15．解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE．∵∠BCD＝∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD＝∠ACE，∴在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE．又∵∠ADC＝30°，∴∠ADE＝90°．在Rt△ADE中，AE＝5，AD＝3，于是DE＝，∴CD＝DE＝4．故选：B．16．解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝30°．∵AD⊥BC，∴∠BAD＝60°，∵DE⊥AB于E，∴在△ADE中，∠ADE＝30°，∴AD＝2AE＝2，∴AE＝1，在△ABD中，AB＝2AD＝4，∴BE＝AB﹣AE＝3．故选：B．17．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，AB＝BC＝AC，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝30°∵AE＝2，∴AD＝2AE＝BD＝4，故选项A，B正确，∴AB＝BC＝AC＝8，∴△ABC的周长为24，故选项D错误．∵EF∥AB，∴∠CEF＝∠A＝60°，∠EFC＝∠B＝60°，∴△EFC是等边三角形，∴△EFC的周长＝3×（8﹣2）＝18，故选项C正确，故选：D．18．解：∵DE垂直平分AB，∴EB＝EA＝10cm，∴∠B＝∠BAE＝15°，∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝30°，∵∠ACB＝90°，∴AC＝AE＝5（cm），故选：C．19．解：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵CM＝CN，且MN＝2，∴DM＝MN＝1，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵∠A＝60°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝AC，∵AC＝4，∴AD＝2，∴AM＝2﹣1＝1．故选：A．20．解：用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB＝AC，则∠B＜90°”时，首先假设∠B ≥90°，故选：A．21．解：∵BD平分∠ABC，BE＝8，CF＝6，∴∠ABD＝∠DBC，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠EDB，∴EB＝ED＝8，同理可得FD＝FC＝6，∴EF＝EO﹣FO＝EB﹣FC＝8﹣6＝2．故选：C．22．解：∵△ABC和△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD＝BE，故选项①正确；∵∠ACB＝∠ACE＝60°，由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，∴∠BMC＝∠ANC，故选项②正确；由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，∵∠ACB是△ACD的外角，∴∠ACB＝∠CAD+∠ADC＝∠CBE+∠ADC＝60°，又∠APM是△PBD的外角，∴∠APM＝∠CBE+∠ADC＝60°，故选项③正确；在△ACN和△BCM中，，∴△ACN≌△BCM，∴AN＝BM，故选项④正确；∴CM＝CN，∴△CMN为等腰三角形，∵∠MCN＝60°，∴△CMN是等边三角形，故选项⑤正确；故选：D．23．解：过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ．∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，∴AE+CD＝DE＝AC，∵AC＝1，∴DE＝．故选：B．。
北师大版数学八年级下册1.等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质课件
新课讲授
典例分析
例 如图，已知△ABC，△BDE都是等边三角形． 求证：AE＝CD.
分析：要证AE＝CD，可通过证AE，CD所在的两个三角 形全等来实现，即证△ABE≌△CBD，条件可从 等边三角形中去寻找．
新课讲授
证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形， ∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°. AB＝CB， 在△ABE与△CBD中， ABE＝CBD， BE＝BD， ∴△ABE≌△CBD(SAS)． ∴AE＝CD.
第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
课时2 等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质
学习目标
等腰三角形中相等的线段 等边三角形的性质.（重点、难点）
新课导入
等腰三角形有哪些性质？
1．等腰三角形的性质：等边对等角. 2．等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角形
顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相 重合.
新课讲授
典例分析
例 求证：等腰三角形两腰上的中线相等．
分析：先根据命题分析出题设和结论，画出图形，写 出已知和求证，然后利用等腰三角形的性质和 三角形全等的知识证明．
新课讲授
解：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线， 求证：CE＝BD.
证明：∵AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线，
新课讲授
知识点2 等边三角形的性质
1．等边三角形的定义是什么？ 2．想一想
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角 形的内角有什么特征呢?
新课讲授
定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角 都等于60°.
新课讲授
典例分析
例 已知：如图, 在△ABC中，AB= AC=BC. 求证：∠A= ∠ B = ∠ C = 60°. ∵AB = AC， ∴∠ B = ∠ C (等边对等角). 又∵AC = BC， ∴∠A= ∠ B (等边对等角). ∴∠A= ∠ B = ∠ C. 在△ABC中，∠A+∠ B+∠ C = 180°. ∴∠A= ∠ B = ∠ C = 60°.
第1章三角形的证明 期末复习综合训练1-2020-2021学年北师大版八年级数学下册
2021学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》期末复习综合训练1（附答案）1．如图，在△ABC中，点D在边BC上，且满足AB＝AD＝DC，过点D作DE⊥AD，交AC于点E．设∠BAD＝α，∠CAD＝β，∠CDE＝γ，则（）A．2α+3β＝180°B．3α+2β＝180°C．β+2γ＝90°D．2β+γ＝90°2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，作AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，若BC＝4，CE＝3，则AE的长是（）A．3B．4C．5D．63．已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足|2a﹣3b﹣7|+（2a+3b﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为（）A．7B．11或7C．11D．7或104．如图，CD垂直平分线段AB，交AB于D，∠EAC＝∠CAD，且CE⊥AE，CD＝1，AE ＝2，则BC+CE的值为（）A．1+B．2﹣1C．3D．45．如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠BAD＝20°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．55°C．60°D．65°6．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF ⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB ＝90°﹣∠O，其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个7．如图，已知△ABC中，AC＝BC，且点D在△ABC外，且点D在AC的垂直平分线上，连接BD，若∠DBC＝30°，∠ACD＝13°，则∠A＝度．8．如图所示，Rt△ABC中，CF是斜边AB上的高，角平分线BD交CF于点G，DE⊥AB 于点E，则下列结论：①∠A＝∠BCF；②CD＝CG；③AD＝BD；④BC＝BE．正确结论的序号．9．已知△ABC的某两个内角的比是4：7且AB＝AC，BD⊥AC于D，BE平分∠ABC交AC 于E，则∠EBD的大小是或．10．如图，三角形ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，三角形BCD的面积为45，三角形ADC的面积为20，则三角形ABD的面积等于．11．已知在有一角为30°的直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，若在等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝BC，则△ABC底角的度数为．12．在△ABC中，AB＝AC，且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，则各内角的度数为．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BC于点E．在BC上取点D，使CD＝CA．若AD ＝BD，则∠DAE＝．14．在△ABC中，AB＝5，AD是BC边上的高，且AD＝3，∠ABC＝2∠DAC，则BC＝．15．平面直角坐标系中，已知A（﹣5，0），点P在第二象限，△AOP是以OA为腰的等腰三角形，且面积为10，则满足条件的P点坐标为．16．如图，已知等边三角形ABC的边长为3，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，取PA＝CQ，连接PQ，交AC于M，则EM的长为．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线交AB于点D，交BC的延长线于点E，交AC于点F，若∠A＝50°，AB+BC＝6，则△BCF的周长＝，∠EFC＝度．18．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，过点B作BD⊥BC，交AC于点D，若AD＝1，则CD的长度为．19．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝度．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D和E分别是边BC和AC上的点，且满足DB＝DA ＝DE，∠CDE＝50°，则∠BAC＝°．21．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，D为垂足交AC于E．（1）若∠A＝50°，求∠EBC的度数．（2）若AB＝8，△BEC的周长是11，求△ABC的周长．22．如图△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AB于E，交AC于F求证：AF ＝ED．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N．（1）求△AEN的周长．（2）求∠EAN的度数．（3）判断△AEN的形状．24．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．25．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．（1）求证：BD＝CE；（2）若AD＝BD＝DE，求∠BAC的度数．26．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．27．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，AC的垂直平分线BE与CD交于点F，与AC交于点E．（1）判断△DBC的形状并证明你的结论．（2）求证：BF＝AC．（3）试说明CE＝BF．28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若点P从点B出发以2cm/s 的速度向点A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．（1）用含t的式子表示线段AP、AQ的长；（2）当t为何值时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形？（3）当t为何值时，PQ∥BC？参考答案1．解：∵AB＝AD＝DC，∠BAD＝α，∴∠B＝∠ADB，∠C＝∠CAD＝β，∵DE⊥AD，∴∠ADE＝90°，∴∠CAD+∠AED＝90°，∵∠CDE＝γ，∠AED＝∠C+∠CDE，∴∠AED＝γ+β，∴2β+γ＝90°，故选：D．2．解：在Rt△BCE中，∠C＝90°，∴BE＝＝＝5，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE＝BE＝5，故选：C．3．解：∵|2a﹣3b﹣7|+（2a+3b﹣13）2＝0，∴，解得：，当a为底时，三角形的三边长为1，1，5，由于1+1＜5，故不等构成三角形；当b为底时，三角形的三边长为1，5，5，则周长为11，∴等腰三角形的周长为11，故选：C．4．解：∵CE⊥AE，CD⊥AB，∠EAC＝∠CAD，∴CE＝CD＝1，在Rt△ACE中，∴AC＝＝＝，∵CD垂直平分线段AB，∴BC＝AC＝，∴BC+CE＝1+，故选：A．5．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∵BC＝BD，∴AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝20°，∴∠ABD＝140°，∴∠CBD＝80°，又∵BC＝BD，∴∠BCD＝50°＝∠BDC，故选：A．6．解：（1）证明：作PH⊥AB于H，∵AP是∠CAB的平分线，∴∠PAE＝∠PAH，在△PEA和△PHA中，，∴△PEA≌△PHA（AAS），∴PE＝PH，∵BP平分∠ABD，且PH⊥BA，PF⊥BD，∴PF＝PH，∴PE＝PF，∴（1）正确；（2）与（1）可知：PE＝PF，又∵PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，∴点P在∠COD的平分线上，∴（2）正确；（3）∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP＝360°，又∵∠OEP+∠OFP＝90°+90°＝180°，∴∠O+∠EPF＝180°，即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB＝180°，由（1）知：△PEA≌△PHA，∴∠EPA＝∠HPA，同理：∠FPB＝∠HPB，∴∠O+2（∠HPA+∠HPB）＝180°，即∠O+2∠APB＝180°，∴∠APB＝90°﹣，∴（3）错误；故选：C．7．解：如图，过C作CM⊥BD，交BD的延长线于M，过D作DN⊥AC于N，∵点D在AC的垂直平分线上，∴DN是AC的垂直平分线，∴NC＝AC，∵AC＝BC，∴NC＝BC，在Rt△BMC中，∠DBC＝30°，∴CM＝BC，∴CM＝CN，在Rt△DNC和Rt△DMC中，∵，∴Rt△DNC和Rt△DMC（HL），∴∠DCM＝∠DCN＝13°，∵∠DBC＝30°，∴∠MCB＝60°，∴∠ACB＝60°﹣26°＝34°，又∵AC＝BC，∴∠A＝（180°﹣34°）＝73°，故答案为：73．8．解：∵Rt△ABC中，CF是斜边AB上的高，∴∠A+∠ABC＝∠BCF+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠BCF；故①正确；∵∠CDG+∠CBD＝90°，∠BGF+∠ABD＝90°，且BD是△ABC的角平分线，∴∠CDG＝∠BGF，∵∠BGF＝∠CGD，∴∠CDG＝∠CGD，∴CD＝CG，故②正确；无法求得∠A的度数，即∠A不一定等于∠ABD，故AD不一定等于BD，故③错误．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，角平分线BD交CF于点G，DE⊥AB，∴CD＝DE，∠CDB＝∠EDB，∴BC＝BE，故④正确；故答案为：①②④．9．解：①如图1，当三个内角的比为：4：4：7时，三个内角分别是48°，48°，84°．∵BE平分∠ABC，BD⊥AC，∠A＝84°，∴∠ABE＝∠ABC＝24°，∠ABD＝90°﹣84°＝6°，∴∠EBD＝∠ABE﹣∠ABD＝24°﹣6°＝18°．②如图2，当三个内角的比为：4：7：7时，三个内角分别是40°，70°，70°．∵BE平分∠ABC，BD⊥AC，∠A＝40°，∴∠ABE＝∠ABC＝35°，∠ABD＝90°﹣40°＝50°，∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝50°﹣35°＝15°．故答案为：18°，15°10．解：延长AD交BC于E，如图所示：∵BD平分∠ABC，AD垂直于BD，∴∠ABD＝∠EBD，∠ADB＝∠EDB＝90°，在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD（ASA），∴AD＝ED，∴△ABD的面积＝△EBD的面积，△CDE的面积＝△ACD的面积＝20，∴△ABD的面积＝△EBD的面积＝△BCD的面积﹣△CDE的面积＝45﹣20＝25．故答案为：25．11．解：分为三种情况：①如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝BC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC，∴AD＝BD＝DC，∴△BAC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°；②如图，△ABC中，AC＝BC，∵AD＝BC，AD⊥BC，∴∠D＝90°，AD＝AC，∴∠ACD＝30°，∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC，∵∠B+∠BAC＝∠ACD，∴∠B＝∠BAC＝15°，③如图，AD＝BC，∠C＝30°，∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC＝75°；故答案为：45°、45°或15°、15°或75°、75°．12．解：①如图①，∵AB＝AC，BD＝CD，CD＝AD，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴4∠B＝180°，∴∠B＝45°，∠C＝45°，∠BAC＝90°．②如图②，∵AB＝AC，AD＝BD，AC＝CD，∴∠B＝∠C＝∠BAD，∠CAD＝∠CDA，∵∠CDA＝∠B+∠BAD＝2∠B，∴∠BAC＝3∠B，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°，∠C＝36°，∠BAC＝108°．③如图③，∵AB＝AC，AD＝BD＝BC，∴∠B＝∠C，∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠C，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，∴∠ABC＝∠C＝2∠A，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴5∠A＝180°，∴∠A＝36°，∠C＝72°，∠ABC＝72°．④如图④，∵AB＝AC，AD＝BD，CD＝BC，∴∠ABC＝∠C，∠A＝∠ABD，∠CDB＝∠CBD，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，∴∠ABC＝∠C＝3∠A，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴7∠A＝180°，∴∠A＝（）°，∠C＝（）°，∠ABC＝（）°．故答案为：（45°、45°、90°），（36°、36°、108°），（36°、72°、72°），（、、）．13．解：设∠B＝x，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝x，∵AD＝DB，∴∠DAB＝∠B＝x，∵△CAD中，CA＝CD，∴∠CAD＝（180°﹣∠C）＝90°﹣，∵△ABC中，∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴x+x+x+90°﹣＝180°，∴x＝36°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝（90°﹣36°）﹣36°＝18°．故答案为：18°．14．解：如图1中，当高AD在△ABC内部时，作∠ABC的角平分线交AD于O，交AC于H．∵∠ABH＝∠CBH，∠ABC＝2∠DAC，∴∠OAH＝∠OBD，∵∠AOH＝∠BOD，∴∠AHO＝∠ODB＝90°，∴∠BHA＝∠BHC＝90°，∵∠ABH+∠BAH＝90°，∠HBC+∠C＝90°，∴∠BAH＝∠C，∴BC＝BA＝5．如图2中，当高在△ABC外时，延长CD到O，使得DO＝DC，作∠ABC的角平分线BH 交AO于H．∵AD⊥CO，CD＝DO，∴AC＝AO，∴∠DAC＝∠DAO，∵∠ABC＝2∠DAC，∴∠ABC＝2∠DAO，由图1可知，AB＝AO＝5，在Rt△ABD中，BD＝＝＝4，∴OD＝CD＝OB﹣BD＝1，∴BC＝BD﹣CD＝4﹣1＝3，综上所述，BC的长为5或3．故答案为：5或3．15．解：设P（m，n）．∵A（﹣5，0），∴OA＝5，＝10，∵S△POA∴×5×n＝10，∴n＝4，当OP＝OA＝5时，m2+42＝52，∴m＝±3，∵m＜0，∴m＝﹣3，∴P（﹣3，4），当AP′＝5时，（m+5）2+42＝52，∴m＝﹣2或﹣8，∴P′（﹣8，4）或（﹣2，4）．故答案为（﹣3.4）或（﹣8，4）或（﹣2，4）．16．解：过P作PF∥BC交AC于F，如图所示：∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFM＝∠QCM，∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∠A＝60°，∴△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ，在△PFM和△QCM中，，∴△PFM≌△QCM（AAS），∴FM＝CM，∵AE＝EF，∴EF+FM＝AE+CM，∴AE+CM＝ME＝AC，∵AC＝3，∴ME＝，故答案为：．17．解：如图：已知DF垂直且平分AB⇒AF＝BF，AD＝BD，∠A＝∠ABF＝50°，∠ADF ＝90°∠EFC＝180°﹣∠A﹣∠ADF＝40°（对角相等）因为AB+BC＝6，AB＝AC＝BF+FC故周长△BCF＝FC+BF+BC＝6．故填6；40°．18．解：∵BD⊥BC，∴∠CBD＝90°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝120°﹣90°＝30°，∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∴∠A＝∠ABD，∴DB＝AD＝1，在Rt△CBD中，∵∠C＝30°，∴CD＝2BD＝2．故答案为2．19．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠A＝60°，∵CG＝CD，∴∠GDC＝30°，∵DF＝DE，∴∠E＝15°．故答案为：15．20．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，设∠B＝∠C＝α，∵DB＝DA＝DE，∴∠DAB＝∠B＝α，∠DAE＝∠DEA，∵∠DEA＝∠CDE+∠C＝50°+α，∴∠DAE＝50°+α，∴∠BAC＝∠DAE+∠DAB＝50°+2α，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴50°+2α+α+α＝180°，解得α＝32.5°，∴∠BAC＝50°+2×32.5°＝115°，故答案为115．21．解：（1）∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠C＝65°．∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝50°．∴∠EBC＝15°．（2）∵AE＝BE，AB＝8，∴BE+CE＝8．∵△BEC的周长是11，∴BC＝3，∴△ABC的周长是8+8+3＝19．22．证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，∴AE＝DE，∠AOE＝∠AOF＝90°，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∴AF＝ED．23．解：（1）∵AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，∴AE＝BE，AN＝CN，∵BC＝12，∴△AEN周长l＝AE+EN+AN＝BE+EN+NC＝BC＝12；（2）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AE＝BE，AN＝CN，∴∠BAE＝∠CAN＝30°，∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN＝60°；（3）∵∠AEN＝∠B+∠BAE＝60°，∠ANE＝∠C+∠CAN＝60°，∴△AEN为等边三角形．24．解：（1）∵△BOC≌△ADC，∴OC＝DC，∵∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形．（2）△AOD是直角三角形．理由如下：∵△OCD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∵△BOC≌△ADC，α＝150°，∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，∴△AOD是直角三角形．（3）∵△OCD是等边三角形，∴∠COD＝∠ODC＝60°．∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°．②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，∴α＝140°．③当∠ADO＝∠OAD时，α﹣60°＝50°，∴α＝110°．综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．25．解：（1）过点A作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AD＝AE．∴BF＝CF，DF＝EF，∴BD＝CE．（2）∵AD＝DE＝AE，∴△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝∠ADE＝60°．∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA．∴∠DAB＝∠ADE＝30°．同理可求得∠EAC＝30°，∴∠BAC＝120°．26．（1）解：∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠BAC＝25°，∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∴∠EDA＝90°﹣25°＝65°．（2）证明∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°＝∠ACB，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAC，∵AD＝AD，∴△AED≌△ACD，∴AE＝AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，AD平分线段EC，即直线AD是线段CE的垂直平分线．27．解：（1）△DBC是等腰直角三角形，理由：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，∴∠BCD＝45°，∴BD＝CD，∴△DBC是等腰直角三角形；（2）∵BE⊥AC，∴∠BDC＝∠BEC＝90°，∵∠BFD＝∠CFE，∴∠DBF＝∠ACD，在△BDF与△CDA中，，∴△BDF≌△CDA，∴BF＝AC；（3）∵BE是AC的垂直平分线，∴CE＝AC，∴CE＝BF．28．解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°．又∵AB＝12cm，∴AC＝6cm，BP＝2t，AP＝AB﹣BP＝12﹣2t，AQ＝t；（2）∵△APQ是以PQ为底的等腰三角形，∴AP＝AQ，即12﹣2t＝t，∴当t＝4时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形；（3）当PQ⊥AC时，PQ∥BC．∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°∵PQ∥BC，∴∠QPA＝30°∴AQ＝AP，∴t＝（12﹣2t），解得t＝3，∴当t＝3时，PQ∥BC．。
初中数学特殊三角形(等腰三角形、等边三角形、30°直角三角形)常考题及答案解析
特殊三角形（等腰三角形、等边三角形、30°直角三角形）常考题及答案解析1．（2020秋•喀什地区期末）下列说法错误的是（）A．等腰三角形的两个底角相等B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等D．等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍2．（2020秋•顺城区期末）已知等腰三角形的周长为17cm，一边长为4cm，则它的腰长为（）A．4cm B．6.5cm C．6.5cm或9cm D．4cm或6.5cm 3．（2017•海南）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条．A．3B．4C．5D．6 4．（2019•白银）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．5．（2013•凉山州）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是．6．（2020秋•五常市期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．（1）求证：AB＝AC；（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．7．（2019秋•龙岩期末）如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（）A．3B．4C．5D．6 8．（2006•烟台）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25°B．30°C．45°D．60°9．（2020秋•慈溪市期中）已知：如图，AB＝BC，∠A＝∠C．求证：AD＝CD．10．（2014秋•青山区期中）已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．求证：△DEF是等边三角形．11．（2018秋•六合区期中）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE ∥BC交AB于点E．（1）求证：△ADE是等边三角形．（2）求证：AE＝AB．12．（2017•裕华区校级模拟）已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD＝BE＝CF．请你说明△DEF是正三角形．13．（2012秋•姜堰市校级期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC ＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）△COD是什么三角形？说明理由；（2）若AO＝n2+1，AD＝n2﹣1，OD＝2n（n为大于1的整数），求α的度数；（3）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？14．（2000•内蒙古）如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连接CE，DE．求证：EC＝ED．15．（2020秋•连山区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（）A．2B．4C．6D．816．（2020秋•肇州县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AE＝6cm，则AC＝（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 17．（2020秋•朝阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC 的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（）A．4.5B．5C．5.5D．618．（2020秋•抚顺县期末）右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，则DE长为．19．（2020秋•宽城区期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝2，则AD等于（）A．10B．8C．6D．420．（2020秋•无棣县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上一动点，连接AP，则AP的长度不可能是（）A．4B．4.5C．5D．721．（2020秋•云县期中）如图，点D是AB的中点，DE⊥AC，AB＝7.2，∠A＝30°，则DE＝（）A．1.8B．2.4C．3.6D．4.822．（2020秋•北碚区校级期中）如图，已知∠AOB＝60°，P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝5，则ON的长度是（）A．9B．6.5C．6D．5.523．（2020秋•天宁区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P 在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（）A．6个B．5个C．4个D．3个24．（2020秋•连江县期中）如图，等边△ABC中，AB＝4，点P在边AB上，PD⊥BC，DE ⊥AC，垂足分别为D、E，设PA＝x，若用含x的式子表示AE的长，正确的是（）A．2﹣x B．3﹣x C．1D．2+x 25．（2020秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC 的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长是（）A．5B．2C．4D．326．（2019秋•勃利县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D 作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④27．（2019春•秦淮区期末）如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内任意一点，D、E、F分别是AC、AB、BC边上的三点，且PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC．若PF+PD+PE＝a，则△ABC的边长为（）A．a B．a C．a D．a28．下列说法中，正确的个数是（）①三条边都相等的三角形是等边三角形；②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；③有两个角为60°的三角形是等边三角形；④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形A．1个B．2个C．3个D．4个29．（2020•和平区三模）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD＝CD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（）A．B．C．D．30．（2020秋•天心区期中）下列说法错误的是（）A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合D．三个角都相等的三角形是等边三角形．31．（2019春•杏花岭区校级期中）关于等边三角形，下列说法中错误的是（）A．等边三角形中，各边都相等B．等腰三角形是特殊的等边三角形C．两个角都等于60°的三角形是等边三角形D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形32．（2019•城步县模拟）一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为1，3，3，2，则这个六边形的周长是（）A．13B．14C．15D．16 33．（2018•柳州一模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝60°，∠D＝90°，AB＝2，则CD长的取值范围是（）A．＜CD＜B．CD＞2C．1＜CD＜2D．0＜CD＜34．（2018秋•罗庄区期中）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案与试题解析1．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质即可判断A；根据三角形的高、角平分线、中线的定义和等腰三角形的性质即可判断B；根据角平分线的性质即可判断C；根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质即可判断D．【解答】解：A．等腰三角形的两底角相等，故本选项不符合题意；B．等腰三角形的两个底角的高、角平分线和中线不一定互相重合，故本选项符合题意；C.过O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N，∵O是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴OM＝ON，ON＝OQ，∴OM＝ON＝OQ，即三角形的两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故本选项不符合题意；D.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠EAC＝∠B+∠C，∴∠EAC＝2∠B，即等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．2．【考点】三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】分两种情况讨论：当4cm为腰长时，当4cm为底边时，分别判断是否符合三角形三边关系即可．【解答】解：①若4cm是腰长，则底边长为：20﹣4﹣4＝12（cm），∵4+4＜12，不能组成三角形，舍去；②若4cm是底边长，则腰长为：＝6.5（cm）．则腰长为6.5cm．故选：B．【点评】此题考查等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题难度不大，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．3．【考点】等腰三角形的判定．【专题】三角形．【分析】根据等腰三角形的性质，利用4作为腰或底边长，得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示：当AC＝CD，AB＝BG，AF＝CF，AE＝BE时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分别为分割线）．故选：B．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．4．【考点】等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解．【解答】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°∴特征值k＝＝②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k＝＝综上所述，特征值k为或故答案为或【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的度数，要分∠A是顶角和底角两种情况，以免造成答案的遗漏．5．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．【解答】解：根据题意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0，解得x＝4，y＝8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4＝8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长＝4+8+8＝20，所以，三角形的周长为20．故答案为：20．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．6．【考点】等腰三角形的判定．【专题】几何图形．【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC．（2）根据等腰三角形的判定解答即可．【解答】证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，∵AD＝AE，∴DF＝EF，∵BD＝CE，∴BF＝CF，∴AB＝AC．（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．7．【考点】等边三角形的判定与性质．【专题】数形结合；三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】过点E作EG⊥BC，交BC于点G，先证明△ABC是等边三角形，再证明∠AFE ＝90°，然后利用等腰三角形的“三线合一”性质及角平分线的性质定理求得EG的长，随后利用含30度角的直角三角形的性质求得DE的长，最后将EF与DE相加即可．【解答】解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∴∠AEF＝30°，∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴EG＝EF＝2，在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；方法二、∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，∴BE＝DE，∠BFD＝90°，∴BE＝2EF＝4＝DE，∴DF＝DE+EF＝6；故选：D．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”性质及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．8．【考点】等边三角形的判定与性质．【分析】先根据图形折叠的性质得出BC＝CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE＝AE＝BE，进而可判断出△BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论．【解答】解：△ABC沿CD折叠B与E重合，则BC＝CE，∵E为AB中点，△ABC是直角三角形，∴CE＝BE＝AE，∴△BEC是等边三角形．∴∠B＝60°，∴∠A＝30°，故选：B．【点评】考查直角三角形的性质，等边三角形的判定及图形折叠等知识的综合应用能力及推理能力．9．【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】几何图形．【分析】连接AC，根据等边对等角得到∠BAC＝∠BCA，因为∠A＝∠C，则可以得到∠CAD＝∠ACD，根据等角对等边可得到AD＝DC．【解答】证明：连接AC，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA．∵∠BAD＝∠BCD，∴∠CAD＝∠ACD．∴AD＝CD．【点评】重点考查了等腰三角形的判定方法，即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．10．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】由△ABC是等边三角形，AD＝BE＝CF，易证得△ADF≌△BED，即可得DF＝DE，同理可得DF＝EF，即可证得：△DEF是等边三角形．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF＝DE，同理DE＝EF，∴DE＝DF＝EF．∴△DEF是等边三角形．【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．11．【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】几何图形．【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．（2）根据等边三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．∴△ADE是等边三角形．（2）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC．∵BD平分∠ABC，∴AD＝AC．∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD．∴AE＝AB．【点评】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答．12．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据等边△ABC中AD＝BE＝CF，证得△ADE≌△BEF≌△CFD即可得出△DEF 是等边三角形．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且AD＝BE＝CF，∴AE＝BF＝CD，又∵∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），∴DE＝EF＝FD，∴△DEF是等边三角形．【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定，根据已知得出△ADE≌△BEF≌△CFD是解答此题的关键．13．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】分类讨论．【分析】（1）根据旋转的性质可得CO＝CD，∠OCD＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形解答；（2）利用勾股定理逆定理判定△AOD是直角三角形，并且∠ADO＝90°，从而求出∠ADC＝150°，再根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得α＝∠ADC；（3）根据周角为360°用α表示出∠AOD，再根据旋转的性质表示出∠ADO，然后利用三角形的内角和定理表示出∠DAO，再分∠AOD＝∠ADO，∠AOD＝∠DAO，∠ADO＝∠DAO三种情况讨论求解．【解答】解：（1）△COD是等边三角形．理由如下：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等边三角形；（2）∵AD2+OD2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2＝AO2，∴△AOD是直角三角形，且∠ADO＝90°，∵△COD是等边三角形，∴∠CDO＝60°，∴∠ADC＝∠ADO+∠CDO＝90°+60°＝150°，根据旋转的性质，α＝∠ADC＝150；（3）∵α＝∠ADC，∠CDO＝60°，∴∠ADO＝α﹣60°，又∵∠AOD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∴∠DAO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝180°﹣190°+α﹣α+60°＝50°，∵△AOD是等腰三角形，∴①∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，解得α＝125°，②∠AOD＝∠DAO时，190°﹣α＝50°，解得α＝140°，③∠ADO＝∠DAO时，α﹣60°＝50°，解得α＝110°，综上所述，α为125°或140°或110°时，△AOD是等腰三角形．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，勾股定理逆定理，等腰三角形的性质，（3）用α表示出△AOD的各个内角是解题的关键，注意要分情况讨论．14．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】首先延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，得出△BEF为等边三角形，进而求出△ECB≌△EDF，从而得出EC＝DE．【解答】证明：延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，∵AE＝BD，△ABC为等边三角形，∴BE＝BF，∠B＝60°，∴△BEF为等边三角形，∴∠F＝60°，在△ECB和△EDF中∴△ECB≌△EDF（SAS），∴EC＝ED．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定等知识，作出辅助线是解决问题的关键．15．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】根据同角的余角相等求出∠BCD＝∠A＝60°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC、AB的长，然后根据BD＝AB﹣AD计算即可得解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A＝60°，∴∠ACD＝∠B＝30°，∵AD＝2，∴AC＝2AD＝4，∴AB＝2AC＝8，∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6．故选：C．【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键．16．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EA，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B＝15°，根据三角形的外角的性质求出∠AEC＝30°，根据直角三角形的性质计算．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴EB＝EA，∴∠EAB＝∠B＝15°，∴∠AEC＝30°，∴AC＝AE＝3（cm），故选：D．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．17．【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF 的长．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°．∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°．∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF．∵AB＝11，∠B＝30°，∴AD＝5.5，∴DF＝5.5故选：C．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD＝DF是解此题的关键．18．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】推理填空题．【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵∠A＝30°，BC⊥AC，∴BC＝AB＝3.7，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∵点D是斜梁AB的中点，∴DE＝BC＝1.85m，故答案为：1.85m．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．19．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】先由直角三角形的性质求出∠ABC的度数，由AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，垂足为E，可得BD＝AD，由∠A＝30°可知∠ABD＝30°，故可得出∠DBC ＝30°，根据CD＝2可得出BD的长，进而得出AD的长．【解答】解：连接BD，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°．∵AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，∴AD＝BD，DE⊥AB，∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠DBC＝30°，∵CD＝2，∴BD＝2CD＝4，∴AD＝4．故选：D．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．20．【考点】垂线段最短；含30度角的直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】在Rt△ABC中，利用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求出AB的长，由点P是BC边上一动点结合AC，AB的长，即可得出AP长的取值范围，再对照四个选项即可得出结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝2AC＝6．∵点P是BC边上一动点，∴AC≤AP≤AB，即3≤AP≤6．故选：D．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形以及垂线段最短，通过解含30度角的直角三角形，求出AB的长是解题的关键．21．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【分析】求出AD的长，再根据含30°角的直角三角形的性质得出DE＝AD，即可求出答案．【解答】解：∵点D是AB的中点，AB＝7.2，∴AD＝AB＝3.6，∵DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，∵∠A＝30°，∴DE＝AD＝1.8，故选：A．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，能根据含30°角的直角三角形的性质得出DE＝AD是解此题的关键．22．【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】过P作PC⊥MN于C，先由等腰三角形的性质得CM＝CN＝2.5，再由含30°角的直角三角形的性质求出OC的长，然后由OC+CM求出ON的长即可．【解答】解：过P作PC⊥MN于C，如图所示：∵PM＝PN，MN＝5，∴CM＝NC＝MN＝2.5，在Rt△OPC中，∠AOB＝60°，∴∠OPC＝30°，∴OC＝OP＝4，则ON＝OC+CM＝4+2.5＝6.5，故选：B．【点评】本题考查的是含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握含30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．23．【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．【分析】根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：如图所示：以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3，边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置，因此出现等腰三角形的点P的位置有4个，故选：C．【点评】此题考查等腰三角形的判定，关键是根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答．24．【考点】列代数式；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】利用等边三角形的性质可得AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，再利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，∵PD⊥BC，DE⊥AC，∴BD＝PB，CE＝CD，∵P A＝x，∴BP＝4﹣x，∴BD＝PB＝2﹣x，∴CD＝4﹣（2﹣x）＝2+x，∴CE＝1+x，∴AE＝4﹣（1+x）＝3﹣x，故选：B．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．25．【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF 的长．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°，∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°，∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF，∵AB＝6，∠B＝30°，∴AD＝AB＝3，∴DF＝3，故选：D．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD＝DF是解此题的关键．26．【考点】等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】由在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，易证得∠DCA＝∠DAC，继而可得①∠DCB＝∠B正确；由①可证得AD＝BD＝CD，即可得②CD＝AB正确；易得③△ADC是等腰三角形，但不能证得△ADC是等边三角形；由若∠E＝30°，易求得∠FDC＝∠FCD＝30°，则可证得DF＝CF，继而证得DE＝EF+CF．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确；∴CD＝BD，∵AD＝CD，∴CD＝AB；故②正确；∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；∵若∠E＝30°，∴∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°，∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°，∴CF＝DF，∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确．故选：B．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及直角三角形的性质．注意证得D是AB 的中点是解此题的关键．27．【考点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形．【分析】延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，证出四边形AEPH、四边形PDCG 均为平行四边形，得出PE＝AH，PG＝CD．证出△FGP和△HPD也是等边三角形，得出PF＝PG＝CD，PD＝DH，得出PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC即可．【解答】解：延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，如图所示：∵PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC，∴四边形AEPH、四边形PDCG均为平行四边形，∴PE＝AH，PG＝CD．又∵△ABC为等边三角形，∴△FGP和△HPD也是等边三角形，∴PF＝PG＝CD，PD＝DH，∴PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC，∴AC＝a；故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．28．【考点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】三角形．【分析】根据等边三角形的判定、轴对称的性质即可判断；【解答】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形；正确．②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；正确．③有两个角为60°的三角形是等边三角形；正确．④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形；正确．故选：D．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．29．【考点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等边三角形边长为2，在Rt△BDE中求得DE的长，再根据CM垂直平分DF，在Rt△CDN中求得CN，最后根据线段和可得CM的长．【解答】解：∵等边三角形边长为2，BD＝CD，∴BD＝，CD＝，∵等边三角形ABC中，DF∥AB，∴∠FDC＝∠B＝60°，∵∠EDF＝90°，∴∠BDE＝30°，∴DE⊥BE，∴BE＝BD＝，DE＝，如图，连接DM，则Rt△DEF中，DM＝EF＝FM，∵∠FDC＝∠FCD＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝CF＝，∴CM垂直平分DF，∴∠DCN＝30°，DN＝FN，∴Rt△CDN中，DN＝，CN＝，∵M为EF的中点，∴MN＝DE＝，∴CM＝CN+MN＝+＝，故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键．30．【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质和判定逐个进行分析判断，即可得到答案．【解答】解：A．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意；B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，故本选项不合题意；C．等腰三角形顶角的角平分线，底边的中线，高相互重合，说法错误，故本选项符合题意；D．三个角都相等的三角形是等边三角形，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键．31．【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．。
北师大版八年级数学下册《第1章 三角形的证明》单元培优测试卷【附答案】
北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元培优测试卷一、选择题1．下列命题中，是假命题的是（ ）A．等腰三角形三个内角的和等于180°B．等腰三角形两边的平方和等于第三边的平方C．角平分线上的点到这个角两边的距离相等D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等2．下列几组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）A．2，4，5B．3，4，5C．4，4，5D．5，4，53．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（ ）A．25°B．25°或40°C．25°或35°D．40°4．如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AIB＝α，则∠AOB的大小为（ ）A．αB．4α﹣360°C．α+90°D．180°﹣α5．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，∠ABC与∠BAC的平分线交于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，则DE＝（ ）A．B．2C．D．36．如图，在△ABC中，∠B＝74°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，若AB+BD＝BC，则∠BAC的度数为（ ）A．74°B．69°C．65°D．60°7．下列命题正确的是（ ）A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．三角形的三条高都在三角形内部C．三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等D．两边和其中一边的对角相等的三角形全等8．等腰三角形一边的长为4cm，周长是18cm，则底边的长是（ ）A．4cm B．10cm C．7或10cm D．4或10cm二、填空题9．如图，BD、CE是等边三角形ABC的中线，则∠EFD＝．10．如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．则∠3＝°．11．平面直角坐标系中，已知A（8，0），△AOP为等腰三角形，且△AOP的面积为16，则满足条件的P点个数是．12．如果等腰三角形的一个内角是80°，那么它的顶角的度数是°．13．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为60，AB＝16，BC＝14，则DE的长等于．14．如图，在△ABC中，线段AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD，若∠C＝80°，∠CBD＝40°，则∠A的度数为°．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝20°，且AE＝AD，则∠CDE的度数是．16．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC 于点，且AB＝8，BC＝6，则△BEC的周长是．17．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于E点，∠B＝50°，∠FAE＝20°，则∠C＝度．18．已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB＝50°，∠ADB＝86°，则∠CAD的度数是．三、解答题19．如图，△ABC中，∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数；（3）若BC的长为30，求△DAF的周长．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，CE⊥AB，AF⊥BC．（1）求证：CF＝EF；（2）求∠EFB的度数．21．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD，BC＝6，（1）求证：△DEC是等腰三角形．（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP 交于点H，求证：BQ⊥CP．23．△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点P在BC边上运动（P不与B、C重合），连接AP，作∠APQ＝∠B，PQ交AB于点Q．（1）如图1，当PQ∥CA时，判断△APB的形状并说明理由；（2）在点P的运动过程中，△APQ的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BQP的度数；若不可以，请说明理由．24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．25．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE 的中点，BE＝AC．（1）求证：AD⊥BC．（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数．26．已知△ABC中，D为边BC上一点，AB＝AD＝CD．（1）试说明∠ABC＝2∠C；（2）过点B作AD的平行线交CA的延长线于点E，若AD平分∠BAC，求证：AE＝AB．参考答案1．解：A、等腰三角形三个内角的和等于180°，正确，是真命题，不符合题意；B、直角三角形两边的平方和等于第三边的平方，故原命题错误，是假命题，符合题意；C、角平分线上的点到这个角两边的距离相等，正确，是真命题，不符合题意；D、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，正确，是真命题，不符合题意，故选：B．2．解：A、22+42≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；B、32+42＝52，根据勾股定理的逆定理可知三角形是直角三角形，故符合题意；C、42+42≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；D、42+52≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；故选：B．3．解：当50°为底角时，∵∠B＝∠ACB＝50°，∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；当50°为顶角时，∵∠A＝50°，∴∠B＝∠ACB＝65°，∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°．故选：B．4．解：连接CO并延长至D，∵∠AIB＝α，∴∠IAB+∠IBA＝180°﹣α，∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝360°﹣2α，∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝2α﹣180°，∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，∴OA＝OC，OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，∵∠AOD是△AOC的一个外角，∴∠AOD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA，同理，∠BOD＝∠OCB，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝4α﹣360°，故选：B．5．解：延长ED交BC于点G，作DF⊥AB于点F，作DH⊥AC于点H，∵DE∥AC，∠C＝90°，∴∠BGE＝∠C＝90°，∴EG⊥BC，∴∠DGC＝∠DHC＝∠C＝90°，∴四边形DGCH为矩形，∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，DF⊥AB，DH⊥AC，DG⊥BC，∴DF＝DM，DG＝DF，∴DH＝DG，∴四边形DGCH为正方形，在Rt△BDG和Rt△BDF中，，∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL），∴BF＝BG，同理可得：Rt△AHD≌Rt△AFD，由勾股定理可得：AB2＝AC2+BC2＝100，∴AB＝10，设CH＝CG＝x，则AH＝6﹣x，BG＝8﹣x，∴AF＝6﹣x，BF＝8﹣x，∴AB＝10＝AF+BF＝6﹣x+8﹣x＝14﹣2x，即14﹣2x＝10，解得：x＝2，∴CH＝CG＝2，BG＝6，∵DE∥AC，∴△BEG∽△BAC，∴，即，∴EG＝4.5，∴DE＝EG﹣DG＝4.5﹣2＝2.5，故选：A．6．解：如图，连接AD，∵边AC的垂直平分线交BC于点D，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵AB+BD＝BC，BD+CD＝BC，∴CD＝AB，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB＝74°，∴∠C＝37°，∴∠BAC＝180°﹣74°﹣37°＝69°，故选：B．7．解：A、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，原命题是假命题；B、钝角三角形的三条高不在三角形内部，原命题是假命题；C、三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等，是真命题；D、两边和其夹角相等的三角形全等，原命题是假命题；故选：C．8．解：分情况考虑：①当4cm是腰时，则底边长是18﹣8＝10（cm），此时4，4，10不能组成三角形，应舍去；②当4cm是底边时，腰长是（18﹣4）×＝7（cm），4，7，7能够组成三角形．此时底边的长是4cm．故选：A．9．解：∵BD、CE是等边三角形ABC的中线，∴BD⊥AC，CE⊥AB，∠A＝60°，∴∠AEF＝∠ADF＝90°，∵∠EFD＝360°﹣90°﹣90°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°．故答案为120°．10．解：∵AD为BC边上的高，∴∠ADB＝90°，∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD＝（180°﹣∠ADB）＝45°，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2＝∠ABD＝22.5°，BE⊥AC，∴∠BEA＝90°＝∠ADB，∵∠3+∠BEA+∠AHE＝180°，∠2+∠ADB+∠BHD＝180°，∠AHE＝∠BHD，∴∠3＝∠2＝22.5°．故答案为：22.5°．11．解：∵A（8，0），∴OA＝8，设△AOP的边OA上的高是h，则×8×h＝16，解得：h＝4，在x轴的两侧作直线a和直线b都和x轴平行，且到x轴的距离都等于4，如图：①以A为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，②以O为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，③作AO的垂直平分线分别交直线a、b于一点，即共2个点符合，4+4+1+1＝10．故答案为：10．12．解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2＝20°．故答案为：80°或20．13．解：作DF⊥BC于F，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE，∴S△ABC＝S△ABD+S△DBC＝×AB×DE+×BC×DF＝＝60，∴DF＝DE＝4．故答案为：4．14．解：∵∠C＝80°，∠CBD＝40°，∴∠CDB＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝60°，∵线段AB的垂直平分线交AC于点D，∴DA＝DB，∴∠A＝∠DBA＝∠CDB＝30°，故答案为：30．15．解：∵AB＝AC，D为BC的中点，∴∠CAD＝∠BAD＝20°，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝＝80°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣80°＝10°．故答案为：10°．16．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10，∵DE是边AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴△BEC的周长＝BC+EC+BE＝BC+EC+EA＝BC+AC＝16，故答案为：16．17．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝∠FAE+∠CAE＝20°+∠C，由三角形内角和定理得，∠B+∠BAC+∠C＝180°，即50°+20°+∠C+20°+∠C+∠C＝180°，解得，∠C＝30°，故答案为：30．18．解：∵C、D两点在线段AB的中垂线上，∴CA＝CB，DA＝DB，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝∠ACB＝×50°＝25°，∠ADC＝∠ADB＝×86°＝43°，当点C与点D在线段AB两侧时，∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣25°﹣43°＝112°，当点C与点D′在线段AB同侧时，∠CAD′＝∠AD′C﹣∠ACD′＝43°﹣25°＝18°，故答案为：18°或112°．19．解：（1）∵∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝100°；（2）∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，∴DA＝DB，FA＝FC，∴∠DAB＝∠ABC＝25°，∠FAC＝∠ACB＝55°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝20°；（3）△DAF的周长＝DA+DF+FA＝DB+DF+FC＝BC＝30．20．证明：（1）∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，又∵CE⊥AB，∴CF＝EF；（2）∵DE垂直平分AC，∴AE＝EC，又∵∠AEC＝90°，∴∠ACE＝∠EAC＝45°，∴∠B＝∠ACB＝67.5°，∵EF＝CF＝BF，∴∠BEF＝∠FBE＝67.5°，∴∠EFB＝45°．21．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，∴∠E＝∠DCE，∴DE＝DC，∴△DEC是等腰三角形；（2）解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，∴α＝15°，∴∠E＝∠DCE＝45°，∴∠EDC＝90°，如图，过D作DH⊥CE于H，∵△DEC是等腰直角三角形，∴∠EDH＝∠E＝45°，∴EH＝HC＝DH＝EC＝8＝4，∴△EDC的面积＝EC•DH＝8×4＝16．22．证明：∵△CAP和△CBQ都是等边三角形，∴∠CAP＝∠CBQ＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCP＝∠ACB﹣∠ACP＝30°，在△BCH中，∠BHC＝180°﹣∠BCH﹣∠CBH＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴BQ⊥CP．23．解：（1）△APB是直角三角形，理由如下：∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝30°＝∠B＝∠APQ，∵PQ∥AC，∴∠BPQ＝∠C，∴∠APB＝60°，∴∠BAP＝90°，∴△APB是直角三角形；（2）当AQ＝QP时，∴∠QAP＝∠APQ＝30°，∴∠BQP＝∠QAP+∠APQ＝60°，当AP＝PQ时，则∠AQP＝∠PAQ＝75°，∴∠BQP＝105°，当AQ＝AP时，则∠AQP＝∠APQ＝30°，∵P不与B、C重合，∴不存在，综上所述：∠BQP＝105°或60°．24．证明：∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，∵AM⊥BC，∴∠AMB＝90°，∴∠ABC+∠BAM＝90°，∴∠C＝∠BAM，∵AD平分∠MAC，∴∠MAD＝∠CAD，∴∠BAM+∠MAD＝∠C+∠CAD，∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD，∵BE平分∠ABC，∴BF⊥AD，AF＝FD，即线段BF垂直平分线段AD．25．解：（1）连接AE，∵EF垂直平分AB∴AE＝BE∵BE＝AC∴AE＝AC∵D是EC的中点∴AD⊥BC（2）设∠B＝x°∵AE＝BE∴∠BAE＝∠B＝x°∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x°∵AE＝AC∴∠C＝∠AEC＝2x°在三角形ABC中，3x°+75°＝180°x°＝35°∴∠B＝35°26．证明：（1）∵AB＝AD，∴∠ABC＝∠ADB，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，∴∠ABC＝2∠C；（2）∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠CAD，∵BE∥AD，∴∠DAB＝∠ABE，∠E＝∠CAD，∴∠ABE＝∠E，∴AE＝AB．。
北师大版八年级下册数学[等腰三角形(基础)知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版八年级下册数学[等腰三角形(基础)知识点整理及重点题型梳理]北师大版八年级下册数学重难点突破：等腰三角形（基础）研究目标：1.了解等腰三角形和等边三角形的定义和概念，掌握等腰三角形的轴对称性；2.掌握等腰三角形和等边三角形的性质，并能利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图；3.理解并掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法及其证明过程，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力；4.理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题。
要点梳理：要点一、等腰三角形的定义等腰三角形是指有两条边相等的三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A 是顶角，∠B、∠C是底角。
要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”。
推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°。
2.等腰三角形的对称性1) 等腰三角形是轴对称图形；2) ∠B＝∠C；3) BD＝CD，AD为底边上的中线；4) ∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线。
结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（底边上的高线或中线）所在的直线是它的对称轴。
3.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
也称为正三角形。
等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线（底边上的高线或中线）所在的直线就是它的对称轴。
要点诠释：1) 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180A/2.2) 等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。
等腰三角形的重要线段性质之一是“等腰三角形三线合一”，即等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合。
北师大版八年级数学下册《第1章 三角形的证明》单元综合训练(附答案)
北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元综合训练（附答案）1．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（）A．1B．2C．5D．无法确定2．如图，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC ＝3，则OF长度是（）A．3B．4C．5D．63．已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC 的周长为31cm，AB＝20cm，则△ABC的周长为（）A．31cm B．41cm C．51cm D．61cm4．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在AC边上，点E在CB的延长线上，DE与AB相交于点F，若∠C＝50°，∠E＝25°，则∠BFD的度数为（）A．100°B．120°C．140°D．150°5．已知在平面直角坐标系xOy中，O（0，0），A（4，3）点B在x轴或y轴上移动，若O、A、B三点可构成等腰三角形，则符合条件的B点有（）A．9个B．8个C．7个D．6个6．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；②∠DAE＝（∠ABD﹣∠ACE）；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE+∠ACB，其中正确的结论有（）个．A．1B．2C．3D．47．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE．若F是DE的中点，则CF的最小值为（）A．6B．8C．9D．108．如图，给定由10个点（任意相邻两点距离为1）组成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是（）A．12B．13C．15D．179．如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内任意一点，D、E、F分别是AC、AB、BC边上的三点，且PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC．若PF+PD+PE＝a，则△ABC的边长为（）A．a B．a C．a D．a10．一副三角板如图摆放，点F是45°角三角板ABC的斜边的中点，AC＝4．当30°角三角板DEF的直角顶点绕着点F旋转时，直角边DF，EF分别与AC，BC相交于点M，N．在旋转过程中有以下结论：①MF＝NF：②四边形CMFN有可能为正方形；③MN长度的最小值为2；④四边形CMFN的面积保持不变；⑤△CMN面积的最大值为2．其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．511．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AE⊥BC于点E，AB的垂直平分线交BC 于点D，交AB于点F，若BD＝6，则CE的长为（）A．2B．2C．3D．312．如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝，△ABC与△APQ全等．13．如图，BE和CE分别为△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线，BE⊥AC于点H，CF平分∠ACB交BE于点F，连接AE，则下列结论：①∠ECF＝90°；②AE＝CE；③∠BFC＝90°+∠BAC；④∠BAC＝2∠BEC；⑤∠AEH＝∠BCF，正确的为．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线分别交AC和AB于点D 和E，那么∠DBC＝度．15．已知等腰三角形的两边长分别为x和y，且x和y满足|x﹣3|+（y﹣1）2＝0，则这个等腰三角形的周长为．16．在△ABC中，∠B＝50°，当∠A为时，△ABC是等腰三角形．17．如图，已知P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝QC＝PQ＝AP＝AQ，则∠BAC ＝．18．如图，直线l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠1的度数为．19．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，则此三角形的形状为．20．如图，六边形ABCDEF的六个内角都等于120°，若AB＝BC＝CD＝3cm，DE＝2cm，则这个六边形的周长等于cm．21．∠α＝24°24'＝°，若∠α是一个直角三角形的其中一个锐角，则另一个锐角是°．22．如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．23．如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线分别交AB、AC于点E、F，若AE＝AF，BE＝4，CF＝2，回答下列问题：（1）证明：ED＝FD；（2）试找出∠BDC与∠A的数量关系，并说明理由；（3）求EF的长．24．如图△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，垂足分别是M，N．（1）若BC＝10，求△ADE的周长．（2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数．25．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，若∠A＝30°，求∠BCD的度数．26．如图，已知在△ABC中，AC＝BC＝AD，∠CDE＝∠B，求证：△CDE是等腰三角形．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：（1）EF⊥AB；（2）△ACF为等腰三角形．28．如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM＝60°．29．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，点M、N在边OB上．（1）若∠PNO＝60°，证明△PON是等边三角形；（2）若PM＝PN，OP＝12，MN＝2，求OM的长度．30．如图，等边△ABC中，点D在延长线上，CE平分∠ACD，且CE＝BD．说明：△ADE是等边三角形．31．如图1，直线PQ⊥直线MN，垂足为O，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，斜边AB与直线PQ交于点C．（1）若∠A＝∠AOC＝30°，则BC BO（填“＞”“＝”“＜”）；（2）如图2，延长AB交直线MN于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB＝∠EOB，∠AEO ＝α，求∠AOE的度数（用含α的代数式表示）；（3）如图3，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点R，∠A＝36°，当△AOB绕O点旋转时（斜边AB与直线PQ始终相交于点C），问∠R的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由．参考答案1．解：过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，∵∠EDF+∠FDC＝90°，∠GDC+∠FDC＝90°，∴∠EDF＝∠GDC，于是在Rt△EDF和Rt△CDG中，，∴△DEF≌△DCG，∴EF＝CG＝BC﹣BG＝BC﹣AD＝3﹣2＝1，所以，S△ADE＝（AD×EF）÷2＝（2×1）÷2＝1．故选：A．2．解：∵∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，∴CE＝EG＝3，∵EF∥OB，∴∠COE＝∠OEF＝15°∴∠EFG＝15°+15°＝30°，∠EOF＝∠OEF，∴OF＝EF＝2EG＝2×3＝6．故选：D．3．解：∵DG是AB的垂直平分线，∴GA＝GB，∵△AGC的周长为31cm，∴AG+GC+AC＝BC+AC＝31cm，又AB＝20cm，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝51cm，故选：C．4．解：∵△ABC中，AC＝BC，∠C＝50°，∴∠ABC＝（180°﹣50°）＝65°，∵∠ABC是△BEF的外角，∴∠BFE＝∠ABC﹣∠E＝65°﹣25°＝40°，∴∠BFD＝180°﹣40°＝140°，故选：C．5．解：分三种情况说明：①以点O为圆心，OA长为半径画圆，与x轴、y轴有4个交点，这4个交点分别与点O、A构成4个等腰三角形；②以点A为圆心，OA长为半径交x轴和y轴的正半轴有2个点，这2个交点分别与点O、A构成2个等腰三角形；③作OA的垂直平分线交x轴和y轴的正半轴有2个点，这2个交点分别与点O、A构成2个等腰三角形；综上所述：符合条件的B点有：4+2+2＝8（个）．故选：B．6．解：如图，AE交GF于M，①∵AD⊥BC，FG⊥AE，∴∠ADE＝∠AMF＝90°，∵∠AED＝∠MEF，∴∠DAE＝∠F；故①正确；②∵AE平分∠BAC交BC于E，∴∠EAC＝，∠DAE＝90°﹣∠AED，＝90°﹣（∠ACE+∠EAC），＝90°﹣（∠ACE+），＝（180°﹣2∠ACE﹣∠BAC），＝（∠ABD﹣∠ACE），故②正确；③∵AE平分∠BAC交BC于E，∴点E到AB和AC的距离相等，∴S△AEB：S△AEC＝AB：CA；故③正确，④∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°，∴∠AGH＝∠MEF，∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB，∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB，∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB；故④正确；故选：D．7．解：如图所示，连接BF，∵等边△BDE中，F是DE的中点，∴BF⊥DE，BF平分∠DBE，∴∠DBF＝30°，即点F在∠DBE的角平分线上运动，∴当点D在CF上时，∠CFB＝90°，根据垂线段最短可知，此时CF最短，又∵∠ABC＝30°，∴∠CBF＝60°，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，∴BC＝AC＝6，∴Rt△BCF中，CF＝BC×sin∠CBF＝×＝9，故选：C．8．解：如图所示，边长为1的正三角形共有1+3+5＝9个，边长为2的正三角形共有3个，边长为3的正三角形共有1个，边长为的正三角形有2个，红颜色和蓝颜色的两个三角形，综上可知：共有9+3+1+2＝15个，故选：C．9．解：延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，如图所示：∵PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC，∴四边形AEPH、四边形PDCG均为平行四边形，∴PE＝AH，PG＝CD．又∵△ABC为等边三角形，∴△FGP和△HPD也是等边三角形，∴PF＝PG＝CD，PD＝DH，∴PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC，∴AC＝a；故选：D．10．解：①连接CF，∵F为AB中点，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴AF＝BF＝CF，CF⊥AB，∴∠AFM+∠CFM＝90°．∵∠DFE＝90°，∠CFM+∠CFN＝90°，∴∠AFM＝∠CFN．同理，∵∠A+∠MCF＝90°，∠MCF+∠FCN＝90°，∴∠A＝∠FCN，在△AMF与△CNF中，∵，∴△AMF≌△CNF（ASA），∴MF＝NF．故①正确；②当MF⊥AC时，四边形MFNC是矩形，此时MA＝MF＝MC，根据邻边相等的矩形是正方形可知②正确；③连接MN，当M为AC的中点时，CM＝CN，根据边长为4知CM＝CN＝2，此时MN最小，最小值为2，故③错误；④当M、N分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF＝S△AMF∴S四边形CDFE＝S△AFC．故④正确；⑤由于△MNF是等腰直角三角形，因此当DM最小时，DN也最小；即当DF⊥AC时，DM最小，此时DN＝BC＝2．∴DN＝DN＝2 ；当△CEF面积最大时，此时△DEF的面积最小．此时S△CMN＝S四边形CFMN﹣S△FMN＝S△AFC﹣S△DEF＝4﹣2＝2，故⑤正确．故选：C．11．解：连接AD，如图：∵AB的垂直平分线交BC于点D，∴AD＝BD＝6，∵在△ABC中，∠B＝30°，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝60°．∵AE⊥BC于点E，∴∠AED＝90°，∴∠DAE＝30°，∴DE＝AD＝3，∴AE＝＝3，∵∠C＝45°，∴△AEC为等腰直角三角形，∴EC＝AE＝3，故选：D．12．解：∵AX⊥AC，∴∠P AQ＝90°，∴∠C＝∠P AQ＝90°，分两种情况：①当AP＝BC＝5时，在Rt△ABC和Rt△QP A中，，∴Rt△ABC≌Rt△QP A（HL）；②当AP＝CA＝10时，在△ABC和△PQA中，，∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；综上所述：当点P运动到AP＝5或10时，△ABC与△APQ全等；故答案为：5或10．13．解：∵CF平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACF＝∠ACB，∠ACE＝∠ACD，∴∠ECF＝∠ACF+∠ACE＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，故①正确；∵BE平分∠ABC，BE⊥AC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BHA＝∠BHC＝90°，∴∠BAH+∠ABE＝90°，∠ACB+∠EBC＝90°，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC，∵BE⊥AC，∴AH＝CH，∴EA＝EC，故②正确；∵∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC，故③正确；设∠ACE＝∠ECD＝x，∠ABE＝∠EBC＝y，则有，可得∠BAC＝2∠BEC，故④正确，∵EA＝EC，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC，∵∠FCH+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BEC＝90°，∴∠FCH＝∠BEC＝∠AEB，∵∠ACF＝∠BCF，∴∠AEH＝∠BCF，故⑤正确．故答案为：①②③④⑤．14．解：∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠C＝65°，∵DE是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝50°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝15°．故答案为：15．15．解：∵|x﹣3|+（y﹣1）2＝0，∴x＝3，y＝1．当腰长为3时，三边长为3、3、1，周长＝3+3+1＝7；当腰长为1时，三边长为3、1、1，1+1＜3，不能组成三角形．故答案为：7．16．解：①∠B是顶角，∠A＝（180°﹣∠B）÷2＝65°；②∠B是底角，∠B＝∠A＝50°．③∠A是顶角，∠B＝∠C＝50°，则∠A＝180°﹣50°×2＝80°，∴当∠A的度数为50°或65°或80°时，△ABC是等腰三角形．故答案为：50°或65°或80°．17．解：∵BP＝QC＝PQ＝AP＝AQ，∴△APQ为等边三角形，△ABP为等腰三角形，△AQC为等腰三角形，∴∠P AQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，在△ABP和△CAQ中，∴△ABP≌△ACQ，∴∠QAC＝∠B＝∠APQ＝30°，同理：∠BAP＝30°，∠BAC＝∠BAP+∠P AQ+∠QAC＝30°+60°+30°＝120°．故答案为：120°18．解：如图所示，过点C作直线n∥m，在直线m上取一点D，∵直线l∥m，∴l∥m∥n，∴∠1＝∠2，∠3＝∠CBD＝20°，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠2+∠3＝60°，∴∠2＝60°﹣∠3＝60°﹣20°＝40°，∴∠1＝40°．故答案为：40°．19．解：由已知条件a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0化简得，（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0∴a﹣b＝0，b﹣c＝0即a＝b，b＝c∴a＝b＝c故答案为等边三角形．20．解：分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P，如图所示：∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°，∴△APF、△BGC、△DHE、△GHP都是等边三角形，∴GC＝BC＝3cm，DH＝DE＝EH＝2cm，∴GH＝3+3+2＝8（cm），F A＝P A＝PG﹣AB﹣BG＝8﹣3﹣3＝2（cm），EF＝PH﹣PF﹣EH＝8﹣2﹣2＝4（cm）．∴六边形的周长为2+3+3+3+2+4＝17（cm）；故答案为：17．21．解：∠α＝24°24'＝24.4°，90°﹣24.4°＝65.6°，故答案为24.4°，65.6°．22．证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°AC＝BD，BC为公共边，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；（2）△OBC是等腰三角形∵Rt△ABC≌Rt△DCB∴∠ACB＝∠DCB∴OB＝OC∴△OBC是等腰三角形23．（1）证明：过D点分别作DG⊥BC，DK⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为G，K，H，如图，∴∠EKD＝∠FHD＝90°，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴DK＝DG＝DH，在△EKD和△FHD中，，∵AE＝AF∴∠AEF＝∠AFE，∴△EKD≌△FHD（AAS），∴ED＝FD；（2）解：∠BDC＝90°+∠A．理由如下：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB），∵∠BDC+∠DBC+∠DCB＝180°，∴∠BDC+（∠ABC+∠ACB）＝180°，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠BDC+（180°﹣∠A）＝180°，∴∠BDC＝90°+∠A；（3）解：如图，∵BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠2+∠7+∠4＝180°，∠5+∠6+∠7＝180°，∴∠2+∠4＝∠5+∠6，即∠1+∠3＝∠5+∠6，∵∠AEF＝∠AFE，∴∠1+∠5＝∠3+∠6，∴∠5＝∠3，∠1＝∠6，∴△BED∽△CED，∴ED：CF＝BE：DF，∵DE＝DF，则ED2＝CF⋅BE＝2×4＝8，则ED＝，∴EF＝2ED＝．24．解：（1）∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，垂足分别是M、N，∴AD＝BD，AE＝CE，∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝10．（2）∵∠BAC＝100°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，∵AD＝BD，AE＝CE，∴∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C，∴∠BAD+∠CAE＝80°，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝100°﹣80°＝20°．25．解：∵DE垂直平分AC，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠A＝30°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝（180°﹣30°）÷2＝150°÷2＝75°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠DCA＝75°﹣30°＝45°．∴∠BCD的度数为45°．26．证明：∵∠ADE+∠CDE+∠BDC＝180°，∠BCD+∠B+∠BDC＝180°，∠CDE＝∠B，∴∠ADE＝∠BCD，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，在△ADE和△BCD中，，∴△ADE≌△BCD（ASA），∴DE＝CD，∴△CDE是等腰三角形．27．证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝72°，又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝36°，∴∠BAD＝∠ABD，∴AD＝BD，又∵E是AB的中点，∴DE⊥AB，即FE⊥AB；（2）∵FE⊥AB，AE＝BE，∴FE垂直平分AB，∴AF＝BF，∴∠BAF＝∠ABF，又∵∠ABD＝∠BAD，∴∠F AD＝∠FBD＝36°，又∵∠ACB＝72°，∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，∴∠CAF＝∠AFC＝36°，∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形．28．证明：∵BM＝CN，BC＝AC，∴CM＝AN，又∵AB＝AC，∠BAN＝∠ACM，∴△AMC≌△BNA，则∠BNA＝∠AMC，∵∠MAN+∠ANB+∠AQN＝180°∠MAN+∠AMC+∠ACB＝180°，∴∠AQN＝∠ACB，∵∠BQM＝∠AQN，∴∠BQM＝∠AQN＝∠ACB＝60°．29．解：（1）∵∠AOB＝60°，∠PNO＝60°，∴∠OPN＝60°，∴∠PON＝∠PNO＝∠OPN，∴△PON是等边三角形；（2）作PH⊥MN于H，如图，∵PM＝PN，∴MH＝NH＝MN＝1，在Rt△POH中，∵∠POH＝60°，∴∠OPH＝30°，∴OH＝OP＝×12＝6，∴OM＝OH﹣MH＝6﹣1＝5．30．证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC，即∠ACD＝120°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE＝60°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，又∵∠BAC＝60°，∴∠DAE＝60°，∴△ADE为等边三角形．31．解：（1）∵△AOB是直角三角形，∴∠A+∠B＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°，∵∠A＝∠AOC＝30°，∴∠B＝∠BOC＝60°∴△BOC是等边三角形，∴BC＝BO故答案为：＝；（2）∵OD⊥AB，∠AEO＝α，∴∠DOE＝90°﹣α，∵∠DOB＝∠BOE，∴∠BOE＝＝（90°﹣α）＝45°﹣α，∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝90°+45°﹣＝135°﹣；（3）∠R的度数不变，∠R＝27°．理由如下：设∠AOM＝β，则∠AOC＝90°﹣β，∵OF平分∠AOM，∴∠FOM＝∠RON＝，∴∠COR＝∠CON+∠RON＝90°+，∵∠OCB＝∠A+∠AOC＝36°+90°﹣β＝126°﹣β，∵CR平分∠BCO，∴∠OCR＝＝63°﹣，∴∠R＝180°﹣（∠OCR+∠COR）＝180°﹣63°+﹣90°﹣＝27°，∴∠R的度数不变，∠R＝27°。
1.1第2课时等边三角形的性质+教案++2023—2024学年北师大版数学八年级下册
1.1 等腰三角形教学内容第2课时等边三角形的性质课时1核心素养目标1.经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力.2.接着研究等腰三角形中的相等线段，深化对等腰三角形轴对称性的认识，然后研究特殊的等腰三角形—等边三角形的性质.3.意在让学生借助等腰三角形的轴对称性探索并证明其中的相等线段，进一步培养学生的几何直观与推理能力，提高有条理地思考与表达的水平.知识目标1.进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角形两底角的角平分线（两腰上的高，中线）的性质;2.学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题.教学重点学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题.教学难点学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题.教学准备课件教学过程主要师生活动设计意图一、情境导入一、创设情境，导入新知在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边三角形”，生活中有很多等边三角形，如交通图标、台球室的三角架等，它们都是等边三角形.思考：在上一节课我们证明了等腰三角形的两底角相等，那等边三角形的各角之间有什么关系呢？师生活动：让学生独自思考问题，尝试回答.设计意图：通过现实情境中识别出等边三角形，以提问的方法引入课题，让学生带着疑问去探讨.二、探究新知二、小组合作，探究概念和性质知识点一：等腰三角形的重要线段的性质在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗? 能证明你的结论吗猜想1：底角的两条平分线相等猜想2：两条腰上的中线相等猜想3：两条腰上的高线相等师生活动：教师首先应当鼓励学生独立思考、大胆猜想，然后组织学生进行交流，在充分交流的基础上，梳理出若干需要证明的命题，并让学生分组进行证明.例1 证明：等腰三角形两底角的平分线相等．已知：如图，在△ABC中，AB = AC，BD和CE是角平分线．求证：BD = CE.证明：∵AB = AC，∴∠ABC =∠ACB(等边对等角).又∵∠1 = 12∠ABC，∠2 =12∠ACB (已知)，∴∠1 =∠2 (等式性质)．在△BDC与△CEB中，∵∠DCB =∠EBC，BC = CB，∠1 =∠2，∴△BDC≌△CEB (ASA)．∴BD = CE (全等三角形的对应边相等)．例2 证明：等腰三角形两腰上的中线相等．已知：如图，在△ABC中，AB = AC，BM，CN两腰上的中线．求证：BM = CN．设计意图：通过探索—发现—猜想—证明的过程证明等腰三角形的有关结论.设计意图：本例及其后所提的问题呈现了一些等腰三角形中的相等线段，要求学生进行证明.教学时可根据学生在课堂上实际提出的命题进行教学，在这一过程中，应让学生进一步体会：要说明一个结论成立，仅仅依靠观察或度量是不够的，证明是必要的.证明：∵ AB = AC (已知)， ∴∠ABC =∠ACB .又∵ CM = 12 AC ，BN = 12AB ，∴ CM = BN . 在△BMC 与△CNB 中， ∵ BC = CB ，∠MCB =∠NBC ，CM = BN ， ∴△BMC ≌△CNB (SAS )． ∴ BM = CN . 例3 证明：等腰三角形两腰上的高相等． 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC ，BP ，CQ 是 △ABC 两腰上的高．求证：BP = CQ ． 证明：∵ AB = AC (已知)， ∴∠QBC =∠PCB . 在△BQC 与△CPB 中， ∵∠BQC =∠CPB ，∠QBC =∠PCB ，BC = CB ， ∴△BQC ≌△CPB (AAS ). ∴ BP = CQ . 师生活动：学生书写证明过程的时候教师进行巡视，寻找有代表性的做法安排板书. 师追问：还有其他的结论吗 议一议： 1. 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC ，点 DE 分别在边 AC 和 AB 上. (1) 如果∠ABD = 13∠ABC ，∠ACE =13∠ACB ， 那么 BD = CE 吗？BD = CE (2) 如果∠ABD = 14∠ABC ，∠ACE = 14∠ACB 呢？设计意图：思想方法归纳：这里的两个问题都是由特殊结论得出更一般的结论，这是我们研究数学问题常用的一种思想方法，它会使我们得到意想不到的效果.例如通过对这两个问题的研究，我们可以发现等腰三角形中，相等的线段有无数组.这和等腰三角形是轴对称图形这个性质是密不可分的.BD = CE(3) 如果∠ABD = 1n∠ABC，∠ACE =1n∠ACB，那么BD = CE吗?BD = CE师生活动：以上证明都由特殊结论猜想出了一般结论. 在学生解决问题的基础上，教师还应注意揭示蕴含其中的思想方法. 请同学们把一般结论的证明过程完整地书写出来. (教师可巡视指导)下面我们来讨论第(3)问，请小组代表发言.由此你能得到一个什么结论?结论：如图，在△ABC中，如果AB = AC，∠ABD = ∠ACE，那么BD = CE.2.已知：如图，在△ABC中，AB = AC，点DE分别在边AC和AB上.(1)如果AD = 13AC，AE = 13AB，那么BD = CE吗？为什么？BD = CE(2) 如果AD = 14AC，AE =14AB，那么BD = CE吗？为什么？BD = CE(3) 如果AD = 1n AC，AE =1n AB，那么BD = CE吗？为什么？BD = CE由此你能得到一个什么结论结论：如图，在△ABC中，如果AB = AC，AD = AE，那么BD = CE.师生活动：鼓励学生尽可能用规范的数学语言表述得到的结论，并要求学生书写证明过程.学习提示：在完成上述教学活动后，可以引导学生进行一定的回顾与思考：为什么等腰三角形有这样的特殊性质?一般的三角形有类似的性质吗?使学生进一步体会轴对称图形的美妙.知识点二：等边三角形的性质想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？学习提示：教学时，教师可以先让学生说说等边三角形作为一种等腰三角形所具有的性质，由此探索等边三角形所具有的特殊性质，并进行证明.定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.提问1：怎样证明这一定理呢？预设：可以利用等腰三角形的性质进行证明.已知：如图，在△ABC中，AB = AC = BC.求证：△A =△B =△C = 60°.证明：在△ABC中，△AB=AC(已知)，△△B=△C(等边对等角).同理△A=△B．又△△A+△B+△C=180°，(三角形的内角和等于180°)，△△A=△B=△C=60°．师生活动：学生书写证明过程的时候教师进行巡视，寻找有代表性的做法安排板书.典例精析例4 如图，等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，BD = BE，求△EDA的度数.解：△△ABC是等边三角形，△△CBA = 60°.△ BD是AC边上的中线，△△BDA = 90°，△DBA = 30°.△ BD = BE，设计意图：等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质，此外它还具有一些特殊性质.设计意图：在定理证明的基础上进行难度更高的推论证明，巩固学生知识的运用，并培养学生发散思维，把几何问题转化为代数问题的能力.三、当堂练习，巩固所学△△BDE = (180°－△DBA)÷2= (180°－30°)÷2 = 75°.△△EDA = 90°－△BDE = 90°－75° = 15°.三、当堂练习，巩固所学1.如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，若△ABC的周长为18 cm，EC = 2 cm，则△ADE的周长是cm.2. 如图所示，△ACM和△BCN都为等边三角形，连接AN、BM，求证：AN = BM.3. 如图，A、O、D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求△AEB的大小.变式：如图，若把“两个全等的等边三角形”换成“不全等的两个等边三角形”，其余条件不变，你还能求出△AEB的大小吗？设计意图：考查对等边三角形性质的掌握.设计意图：考查对等边三角形和全等三角形的综合运用.设计意图: 在上题的基础上的变换，考查对等边三角形和全等三角形的综合运用.设计意图：通过变式，使学生对所学知识进行整合，使学生的学习思路清晰有序，培养学生的分析能力.板书设计1.1.1等边三角形等腰三角形：底角的两条平分线相等；两条腰上的中线相等；两条腰上的高线相等.等边三角形：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.课后小结等腰三角形两底角上的角平分线、两腰上的高、两腰上的中线的相关性质：底角的两条平分线相等；两条腰上的中线相等；两条腰上的高线相等.定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.教学反思本节课涉及的问题和命题较多，若全部都要求学生写下来时间是完全不够用的，所以在教学中除了要求学生规范几何语言表述外，我还鼓励学生大胆发言，将证明思路清晰地向老师、同学阐述. 如教师示范证明第一个命题，学生完整写下第二个命题证明过程，学生口述证明第三个命题，第四个命题. 特别地，在议一议环节鼓励学生大胆发言，用归纳、类比的推理形式得到一般结论.在逻辑推理核心素养的过程中，学生需要能够表述论证的过程，增加数学交流的能力.。
北师大版数学八年级下册1.1.2《等边三角形的性质》说课稿
北师大版数学八年级下册1.1.2《等边三角形的性质》说课稿一. 教材分析北师大版数学八年级下册1.1.2《等边三角形的性质》这一节内容，是在学生已经掌握了三角形的基本概念、三角形的分类、三角形的性质等基础知识的基础上进行讲授的。
等边三角形是三角形的一种特殊形式，它具有独特的性质。
本节课的内容主要包括等边三角形的定义、等边三角形的性质及其应用。
通过学习本节课的内容，使学生进一步理解三角形的性质，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课的内容之前，已经掌握了三角形的基本概念、三角形的分类、三角形的性质等基础知识。
但是，对于等边三角形的性质及其应用，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生通过观察、思考、探究等方式，发现等边三角形的性质，并学会运用这些性质解决实际问题。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生了解等边三角形的定义，掌握等边三角形的性质，并能运用这些性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、探究等方法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：等边三角形的性质及其应用。
2.教学难点：等边三角形性质的推导和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用观察、思考、探究、交流等教学方法，引导学生主动参与课堂，提高学生的学习兴趣和积极性。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学手段，直观地展示等边三角形的性质，帮助学生理解和记忆。
六. 说教学过程1.导入新课：通过回顾三角形的基本概念、三角形的分类、三角形的性质等基础知识，引出等边三角形的性质这一课题。
2.探究等边三角形的性质：让学生观察等边三角形的模型，引导学生发现等边三角形的性质。
3.推导等边三角形的性质：通过几何画板等软件，引导学生推导等边三角形的性质。
4.运用等边三角形的性质：让学生解决实际问题，巩固所学知识。
北师版数学八年级下册课时练 第一章 三角形的证明 等腰三角形的特殊性质和等边三角形的性质
北师版数学八年级下册第一章三角形的证明1等腰三角形第2课时等腰三角形的特殊性质和等边三角形的性质1．如图，在△ABC中，AB＝AC，高BD和CE相交于点F.若BD＝3，则CE＝__3__．第1题图第2题图2．(2019·山东济南商河期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，高BD和CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点F，则图中共有__7__对全等三角形．3．证明：等腰三角形两腰上的中线相等．解：已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝DC，AE＝EB，求证：BD＝CE.证明：∵AB＝AC，AD＝DC，AE＝EB，∴DC＝BE，∠DCB＝∠EBC.∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB(SAS)，∴BD＝CE，即等腰三角形两腰上的中线相等．4．若等边三角形的周长为12 cm，则它的边长是(B)A．3 cm B．4 cmC．5 cm D．6 cm5．如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度数是(A)A．100°B．80°C．60°D．40°第5题图第6题图6．(2019·四川成都武侯区期末)如图，等边三角形ABC的边长为2，AD是BC边上的高，则高AD的长为(C)A．1 B. 2C. 3 D．27．(2019·辽宁营口模拟)如图，等边△ABC的顶点A，B分别在网格图的格点上，则∠α的度数为(A)A．15°B．20°C．25°D．30°第7题图第8题图8．如图，等边三角形ABC的两条中线BD，CE相交于点O，则∠BOC＝__120°__．9．(2019·江苏无锡宜兴二模)如图，已知在等边三角形ABC中，D为BC延长线上一点，E 为CA延长线上一点，且AE＝DC.求证：AD＝BE.证明：因为在等边三角形ABC 中，AB ＝CA ，∠BAC ＝∠ACB ＝60°，所以∠EAB ＝∠DCA ＝120°.又因为AE ＝DC ，所以△EAB ≌△DCA ，所以AD ＝BE .10．如图，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，且A ，E ，D 三点在同一直线上，若BD ＝4，CD ＝3，求线段AD 的长．解：∵△ABC 和△BDE 都是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，EB ＝DB ＝ED ，∠ABC ＝∠EBD ＝60°，∴∠ABC －∠EBC ＝∠EBD －∠EBC ，即∠ABE ＝∠CBD .在△ABE 和△CBD 中，⎩⎨⎧AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBD ，BE ＝BD ，∴△ABE ≌△CBD (SAS)，∴DC ＝AE . ∵AD ＝AE ＋ED ，∴AD ＝BD ＋CD ＝4＋3＝7.易错点 对等边三角形的性质把握不清而出错 11．等边三角形的角平分线、中线和高共有( A ) A ．3条 B ．5条 C ．7条D ．9条12．(2018·福建中考)如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于(A)A．15°B．30°C．45°D．60°13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则图中与∠B相等的角(不包括∠B)有(C)A．1 个B．2个C．3个D．4个14．(2019·广西北部湾经济区二模)如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形按如图所示放置．若∠β＝20°，则∠α等于__40°__．15．(教材P7，习题1.2，T2改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，D，F分别是边AB，BC，AC边上的点，且BE＝CD，CF＝BD.若∠EDF＝50°，则∠A的度数为__80°__．第15题图第16题图16．(2019·山西太原三十六中课时作业)如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一直线上，连接BD，则BD的长为__43__．17．(2019·湖北黄冈月考)如图，点D，E分别在等边△ABC的边AB，BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1，EB1分别交边AC于点F，G.若∠ADF＝80°，则∠CEG＝__40°__．18．已知：如图，在△ABC中，AC＝8，点D在AB边上，且AD＝BD＝CD＝5，在△ABC 外，作等边三角形ACE.(1)判断△ABC的形状，并证明；(2)求四边形ABCE的周长．解：(1)△ABC是直角三角形．证明：如图，∵AD＝BD＝CD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3.又∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠2＋∠3＝90°，∴△ABC是直角三角形．(2)在Rt△ABC中，AC＝8，AB＝10，BC＝AB2－AC2＝6.又∵△ACE是等边三角形，∴AE ＝CE＝8，∴四边形ABCE的周长为AB＋BC＋AE＋CE＝32.19．已知△ABC为等边三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于点Q.就下面给出的三种情况(如图1、图2、图3所示)，探究∠BQM的大小，然后猜测∠BQM是否为定值并证明你的结论．解：∠BQM＝60°，为定值．证明：如题图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC.∵BM＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS)．∴∠BAM＝∠CBN(全等三角形的对应角相等)，∴∠BQM＝∠BAQ＋∠ABQ＝∠CBQ＋∠ABQ＝∠ABC＝60°.如题图2，∠BQM＝∠ABN＋∠BAM.∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABN＋∠BAM＝∠ABN＋∠CBN＝∠ABC＝60°.如题图3，∠BQM＝∠N＋∠NAQ.∵△ABM≌△BCN(SAS)，∴∠N＝∠M，且∠NAQ＝∠CAM.又∵∠ACB＝∠M＋∠CAM＝∠N＋∠NAQ，且∠BQM＝∠N＋∠NAQ，∴∠BQM＝∠ACB＝60°.。
北师大版数学八年级下册：1.2 直角三角形 同步练习(附答案)
2直角三角形第1课时直角三角形的性质与判定1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（）A．120°B．90°C．60°D．30°2．已知a∥b，某学生将一直角三角板如图所示放置．如果∠1＝35°，那么∠2的度数为（）A．35°B．55°C．56°D．65°第2题图第3题图3．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图，数轴上点A表示的实数是．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.(1)求证：∠ACD＝∠B；(2)若AF平分∠CAB分别交CD，BC于点E，F，求证：∠CEF＝∠CFE.6．由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝37°，∠C＝53°B．∠A－∠C＝∠BC．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶57．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（）A．2，4，5 B．6，8，11C．5，12，12 D．1，1，28．如图，AD＝13，BD＝12，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.求阴影部分的面积．9．下列定理中，没有逆定理的是（）A．直角三角形的两个锐角互余B．等腰三角形的两个底角相等C．全等三角形的周长相等D．等边三角形的三个角都相等10．下列命题的逆命题是真命题的是（）A．对顶角相等B．同位角相等，两直线平行C．直角都相等D．全等三角形的面积相等11．在Rt△ABC中，已知其中两边分别为6和8，则其面积为．12．已知下列命题：①若a＋b＝0，则|a|＝|b|；②等边三角形的三个内角都相等；③底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的有（）A．1个B．2个C．3个D．0个13．已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC 一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB于点E，则下列结论一定成立的是（）A．BC＝EC B．EC＝BEC．BC＝BE D．AE＝EC第14题图第15题图15．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为（）A．3 3 B．6 C．3 2 D.2116．已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为．17．如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm.(杯壁厚度不计)18．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x →利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形面积19．观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.根据你发现的规律，请写出：(1)当a＝19时，b，c的值是多少？(2)当a＝2n＋1时，求b，c的值．第2课时直角三角形全等的判定1．如图，点P是∠BAC内一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，PE＝PF，则能直接得到△PEA≌△PFA的理由是（）A．HL B．ASAC．AAS D．SAS第1题图第2题图2．如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．AB＝AC B．∠BAC＝90°C．BD＝AC D．∠B＝45°3．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝（）A．40°B．50°C．60°D．75°第3题图第4题图4．如图，点D，A，E在直线l上，AB＝AC，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，且BD＝AE.若BD＝3，CE＝5，则DE＝8．5．如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC＝BD.求证：∠ABC＝∠BAD.6．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两个锐角分别对应相等B．两条直角边分别对应相等C．一条直角边和斜边分别对应相等D．一个锐角和斜边分别对应相等7．如图所示，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，则在下列条件中选择一组，可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是．(填序号)①AB＝DC，∠B＝∠C；②AB＝DC，AB∥CD；③AB＝DC，BE＝CF；④AB＝DF，BE＝CF.8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，且DB＝BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，交CB的延长线于点F.求证：AB＝BF.9．如图，点C是路段AB的中点，小明和小红两人从点C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，并且DA⊥AB于点A，EB⊥AB于点B.此时小明到路段AB的距离是50米，则小红到路段AB的距离是多少米？10．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则下列图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是（）11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对12．如图所示，过正方形ABCD的顶点B作直线a，过点A，C作a的垂线，垂足分别为E，F.若AE＝1，CF＝3，则AB的长为．第12题图第13题图13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝时，△ABC和△PQA全等．14．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．15．如图1，E，F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F.若AB＝CD，BF＝DE，BD交AC于点M.(1)求证：AE＝CF，MD＝MB；(2)当E，F两点移动到如图2的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．参考答案：2直角三角形第1课时直角三角形的性质与判定1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(D)A．120°B．90°C．60°D．30°2．已知a∥b，某学生将一直角三角板如图所示放置．如果∠1＝35°，那么∠2的度数为(B)A．35°B．55°C．56°D．65°第2题图第3题图3．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为(D)A．1 B．2 C．3 D．44．如图，数轴上点A5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.(1)求证：∠ACD＝∠B；(2)若AF平分∠CAB分别交CD，BC于点E，F，求证：∠CEF＝∠CFE.证明：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°.∴∠ACD＝∠B.(2)∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAE.又∵在Rt△AFC中，∠CFA＝90°－∠CAF，在Rt△AED中，∠AED＝90°－∠DAE，∴∠AED＝∠CFE.又∵∠CEF＝∠AED，∴∠CEF＝∠CFE.6．由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是(C)A．∠A＝37°，∠C＝53°B．∠A－∠C＝∠BC．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶57．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是(D)A．2，4，5 B．6，8，11C．5，12，12 D．1，1，28．如图，AD＝13，BD＝12，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.求阴影部分的面积．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝AC2＋BC2＝5.在△ABD中，∵AD＝13，BD＝12，AB＝5，∴AB2＋BD2＝AD2.∴△ABD是直角三角形，∠ABD＝90°.∴S阴影＝S△ABD－S△ABC＝12AB·BD－12BC·AC＝30－6＝24.9．下列定理中，没有逆定理的是(C)A．直角三角形的两个锐角互余B．等腰三角形的两个底角相等C．全等三角形的周长相等D．等边三角形的三个角都相等10．下列命题的逆命题是真命题的是(B)A．对顶角相等B．同位角相等，两直线平行C．直角都相等D．全等三角形的面积相等11．在Rt△ABC中，已知其中两边分别为6和8，则其面积为12．已知下列命题：①若a＋b＝0，则|a|＝|b|；②等边三角形的三个内角都相等；③底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的有(A)A．1个B．2个C．3个D．0个13．已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC 一定是(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB 于点E，则下列结论一定成立的是(C)A．BC＝EC B．EC＝BEC．BC＝BE D．AE＝EC第14题图第15题图15．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(A)A．3 3 B．6 C．3 2 D.2116．已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为17．如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm.(杯壁厚度不计)18．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x →利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形面积解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD＝x，则CD＝14－x.由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，∴152－x2＝132－(14－x)2.解得x＝9.∴AD＝AB2－BD2＝152－92＝12.∴S△ABC＝12BC·AD＝12×14×12＝84.19．观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.根据你发现的规律，请写出：(1)当a＝19时，b，c的值是多少？(2)当a＝2n＋1时，求b，c的值．解：(1)当a＝19时，设b＝k，则c＝k＋1，观察有如下规律：192＋k2＝(k＋1)2.解得k＝180.∴b＝180，c＝181.(2)当a＝2n＋1时，设b＝k，则c＝k＋1，根据勾股定理a2＋b2＝c2得(2n＋1)2＋k2＝(k ＋1)2，解得k＝2n(n＋1)．∴b＝2n(n＋1)，c＝2n(n＋1)＋1.第2课时直角三角形全等的判定1．如图，点P是∠BAC内一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，PE＝PF，则能直接得到△PEA≌△PFA的理由是(A)A ．HLB ．ASAC ．AASD ．SAS第1题图 第2题图2．如图，已知AD 是△ABC 的边BC 上的高，下列能使△ABD ≌△ACD 的条件是(A) A ．AB ＝AC B ．∠BAC ＝90° C ．BD ＝ACD ．∠B ＝45°3．如图，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝CD ，∠1＝40°，则∠2＝(B) A ．40° B ．50° C ．60°D ．75°第3题图 第4题图4．如图，点D ，A ，E 在直线l 上，AB ＝AC ，BD ⊥l 于点D ，CE ⊥l 于点E ，且BD ＝AE.若BD ＝3，CE ＝5，则DE ＝8．5．如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC ＝BD.求证：∠ABC ＝∠BAD.证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ， ∴∠ACB ＝∠BDA ＝90°. 在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，⎩⎨⎧AC ＝BD ，AB ＝BA ，∴Rt △ABC ≌Rt △BAD(HL)． ∴∠ABC ＝∠BAD.6．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是(A)A．两个锐角分别对应相等B．两条直角边分别对应相等C．一条直角边和斜边分别对应相等D．一个锐角和斜边分别对应相等7．如图所示，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，则在下列条件中选择一组，可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是①②③．(填序号)①AB＝DC，∠B＝∠C；②AB＝DC，AB∥CD；③AB＝DC，BE＝CF；④AB＝DF，BE＝CF.8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，且DB＝BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，交CB的延长线于点F.求证：AB＝BF.证明：∵EF⊥AC，∴∠F＋∠C＝90°.∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠C＝90°.∴∠A＝∠F.又∵DB＝BC，∠FBD＝∠ABC＝90°，∴△FBD≌△ABC(AAS)．∴AB＝BF.9．如图，点C是路段AB的中点，小明和小红两人从点C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，并且DA⊥AB于点A，EB⊥AB于点B.此时小明到路段AB的距离是50米，则小红到路段AB的距离是多少米？解：∵DA⊥AB，EB⊥AB，∴△ADC和△BEC为直角三角形．∵点C是路段AB的中点，∴AC＝BC.∵小明和小红两人从点C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，∴CD＝CE.∴Rt△ADC≌Rt△BEC(HL)．∴BE＝AD＝50米．答：小红到路段AB的距离是50米．10．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则下列图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是(A)11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有(D)A．3对B．4对C．5对D．6对12．如图所示，过正方形ABCD的顶点B作直线a，过点A，C作a的垂线，垂足分别为E，F.若AE＝1，CF＝3，则AB第12题图 第13题图13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10，BC ＝5，线段PQ ＝AB ，P ，Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AO 上运动，当AP ＝5或10时，△ABC 和△PQA 全等．14．如图，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE ＝CF.(1)求证：Rt △ABE ≌Rt △CBF ； (2)若∠CAE ＝30°，求∠ACF 的度数．解：(1)证明：∵∠ABC ＝90°， ∴∠CBF ＝∠ABE ＝90°. 在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，⎩⎨⎧AE ＝CF ，AB ＝CB ，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF(HL)． (2)∵AB ＝CB ，∠ABC ＝90°， ∴∠CAB ＝∠ACB ＝45°.∴∠BAE ＝∠CAB －∠CAE ＝45°－30°＝15°. 由(1)知Rt △ABE ≌Rt △CBF ， ∴∠BCF ＝∠BAE ＝15°.∴∠ACF ＝∠BCF ＋∠ACB ＝15°＋45°＝60°.15．如图1，E ，F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于点E ，BF ⊥AC 于点F.若AB ＝CD ，BF ＝DE ，BD 交AC 于点M.(1)求证：AE ＝CF ，MD ＝MB ；(2)当E ，F 两点移动到如图2的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．解：(1)证明：在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，BF ＝DE ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE(HL)． ∴AF ＝CE.∴AF －EF ＝CE －EF ，即AE ＝CF. ∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ， ∴∠DEM ＝∠BFM ＝90°.在△DEM 和△BFM 中，⎩⎨⎧∠DEM ＝∠BFM ，∠DME ＝∠BMF ，DE ＝BF ，∴△DEM ≌△BFM(AAS)． ∴MD ＝MB.(2)AE ＝CF ，MD ＝MB 仍然成立．证明： 在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，BF ＝DE ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE(HL)． ∴AF ＝CE.∴AF ＋EF ＝CE ＋EF ，即AE ＝CF.在△DEM 和△BFM 中，⎩⎨⎧∠DEM ＝∠BFM ，∠DME ＝∠BMF ，DE ＝BF ，∴△DEM ≌△BFM(AAS)． ∴MD ＝MB.。
【北师大版】八年级数学下册《活用“三线合一”巧解题》专题考点试卷(附答案)
专训3活用“三线合一”巧解题名师点金：等腰三角形“顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”只要知道其中“一线”，就可以说明是其他“两线”．运用等腰三角形“三线合一”的性质证明角相等、线段相等或垂直关系，可减少证全等的次数，简化解题过程．利用“三线合一”求角1．如图，房屋顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋檐AB＝AC.求顶架上的∠B，∠C，∠BAD，∠CAD的度数．(第1题)利用“三线合一”求线段2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB 于点E，若BC＝10，且△BDC的周长为24，求AE的长．(第2题)3．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC 的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：DE＝DF.(第3题)利用“三线合一”证垂直4．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC，E 是AD上一点，且EA＝EC.求证：EB⊥AB.(第4题)利用“三线合一”证线段的倍数关系(构造三线法)5．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC ＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BF交BF的延长线于点D.求证：BF＝2CD.(第5题)利用“三线合一”证线段的和差关系(构造三线法)6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠ABC＝2∠C.求证：CD＝AB＋BD.(第6题)答案1．解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，AD⊥BC，∴∠B ＝∠C＝40°，∠BAD＝∠CAD＝50°.2．解：∵△BDC的周长＝BD＋BC＋CD＝24，BC＝10，∴BD＋CD＝14.∵AD＝BD，∴AC＝AD＋CD＝BD＋CD＝14. ∴AB＝AC＝14.∵AD＝DB，DE⊥AB，∴AE＝EB＝12AB＝7.3．证明：如图，连接AD.∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°.在△ABD中，∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝45°，∴∠B＝∠BAD.∴BD＝AD.又∵BD＝CD，∴AD＝CD.∴∠DAC＝∠C＝45 °.∴∠B＝∠DAF.又∵BE＝AF，∴△BDE≌△ADF(SAS)．∴DE＝DF.(第3题4．证明：如图，过点E作EF⊥AC于F.∵AE＝EC，∴AC ＝2AF.又∵AC＝2AB，∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC，∴∠FAE＝∠BAE.又∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEB(SAS)．∴∠ABE＝∠AFE＝90°，即EB⊥AB.(第4题) 5．证明：如图，延长BA，CD交于点E.由BF平分∠ABC，CD⊥BD，BD＝BD，易得△BDC≌△BDE.∴BC＝BE.又∵BD⊥CE，∴CE＝2CD.∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∠AFB＝∠DFC，∴∠ABF＝∠DCF.又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90°，∴△ABF≌△ACE(ASA)．∴BF＝CE.∴BF＝2CD.(第5题)6．证明：如图，以A为圆心，AB长为半径画弧交CD 于点E，连接AE，则AE＝AB，所以∠AEB＝∠ABC.因为AD⊥BC，所以AD是BE边上的中线，即DE＝BD.又因为∠ABC＝2∠C，所以∠AEB＝2∠C.而∠AEB＝∠CAE＋∠C，所以∠CAE＝∠C.所以CE＝AE＝AB.故CD＝CE＋DE＝AB＋BD.(第6题)。
北师大版数学八年级下册：6.3 三角形的中位线 同步练习(附答案)
3 三角形的中位线知识点1 三角形中位线定理1．如图，点D ，E 分别是△ABC 边BA ，BC 的中点，AC ＝3，则DE 的长为（ ） A ．2B.43C ．3D.32第1题图 第2题图2．如图，M ，N 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点．若∠A ＝65°，∠ANM ＝45°，则∠B ＝（ ）A ．20°B ．45°C ．65°D ．70°3．已知△ABC 的周长为16，点D ，E ，F 分别为△ABC 三条边的中点，则△DEF 的周长为（ ）A ．8B ．2 2C ．16D ．44．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，点F 在DE 延长线上，添加一个条件使四边形ADFC 为平行四边形，则这个条件是（ ）A ．∠B ＝∠F B ．∠B ＝∠BCFC ．AC ＝CFD ．AD ＝CF第4题图 第5题图5．如图，在▱ABCD 中，点M 为边AD 上一点，AM ＝2MD ，点E ，F 分别是BM ，CM 的中点．若EF ＝6，则AM 的长为 ．6．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别为边AB ，BC ，CA 的中点．求证：四边形DECF 是平行四边形．7．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝8，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，点E是AB的中点，连接DE.求线段DE的长．知识点2三角形中位线定理的应用8．如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50 m，则AB的长是m.第8题图第9题图9．如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是（）A．15米B．20米C．25米D．30米10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A．7B．8C．9D ．1011．如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD ＝7，BD ＝4，CD ＝3，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BD ，CD ，AC 的中点，则四边形EFGH 的周长为（ ）A ．12B ．14C ．24D ．21第11题图 第12题图12．如图，在四边形ABCD 中，点P 是对角线BD 的中点，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD ＝BC ，∠PEF ＝35°，则∠PFE 的度数是 ．13．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，延长BA 到点D ，使AD ＝12AB ，E ，F 分别是边BC ，AC 的中点．求证：DF ＝BE.14．如图，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，AD ，AE 分别是△ABC 的角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于点F ，交AB 于点G ，连接EF ，求线段EF 的长．15．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，点E，F分别为AD，BC的中点，延长BA，CD，分别交射线FE于P，Q两点．求证：∠P＝∠CQF.参考答案：3 三角形的中位线知识点1 三角形中位线定理1．如图，点D ，E 分别是△ABC 边BA ，BC 的中点，AC ＝3，则DE 的长为（D ） A ．2B.43C ．3D.32第1题图 第2题图2．如图，M ，N 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点．若∠A ＝65°，∠ANM ＝45°，则∠B ＝（D ）A ．20°B ．45°C ．65°D ．70°3．已知△ABC 的周长为16，点D ，E ，F 分别为△ABC 三条边的中点，则△DEF 的周长为（A ）A ．8B ．2 2C ．16D ．44．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，点F 在DE 延长线上，添加一个条件使四边形ADFC 为平行四边形，则这个条件是（B ）A ．∠B ＝∠F B ．∠B ＝∠BCFC ．AC ＝CFD ．AD ＝CF第4题图 第5题图5．如图，在▱ABCD 中，点M 为边AD 上一点，AM ＝2MD ，点E ，F 分别是BM ，CM 的中点．若EF ＝6，则AM 的长为8．6．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别为边AB ，BC ，CA 的中点．求证：四边形DECF 是平行四边形．证明：∵D ，F 分别是边AB ，AC 的中点， ∴DF ∥BC.同理：DE ∥AC.∴四边形DECF 是平行四边形．7．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝8，AD 是∠BAC 的平分线，交BC 于点D ，点E 是AB 的中点，连接DE.求线段DE 的长．解：∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ， ∴AD 是等腰△ABC 底边BC 上的中线． ∴点D 是BC 的中点． 又∵点E 是AB 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线． ∴DE ＝12AC ＝4.知识点2 三角形中位线定理的应用8．如图，要测量池塘两岸相对的A ，B 两点间的距离，可以在池塘外选一点C ，连接AC ，BC ，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，测得DE ＝50 m ，则AB 的长是100m.第8题图 第9题图9．如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC ，已知点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，量得EF ＝5米，他想把四边形BCFE 用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是（C ）A ．15米B ．20米C ．25米D ．30米10．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝8，BC ＝6.若DE 是△ABC 的中位线，延长DE 交△ABC 的外角∠ACM 的平分线于点F ，则线段DF 的长为（B ）A ．7B ．8C ．9D ．1011．如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD ＝7，BD ＝4，CD ＝3，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BD ，CD ，AC 的中点，则四边形EFGH 的周长为（A ）A ．12B ．14C ．24D ．21第11题图 第12题图12．如图，在四边形ABCD 中，点P 是对角线BD 的中点，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD ＝BC ，∠PEF ＝35°，则∠PFE 的度数是35°．13．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，延长BA 到点D ，使AD ＝12AB ，E ，F 分别是边BC ，AC 的中点．求证：DF ＝BE.证明：∵E ，F 分别是边BC ，AC 的中点， ∴EF ＝12AB ，EF ∥AB ，AF ＝FC ，BE ＝EC.∵AD ＝12AB ，∴EF ＝AD.∵∠BAC ＝90°，EF ∥AB ， ∴∠DAF ＝∠EFC ＝90°. 又∵AF ＝FC ，AD ＝FE ， ∴△DAF ≌△EFC （SAS ）． ∴DF ＝EC.又∵BE ＝EC ，∴DF ＝BE.14．如图，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，AD ，AE 分别是△ABC 的角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于点F ，交AB 于点G ，连接EF ，求线段EF 的长．解：∵AF 是△ABC 的角平分线，∴∠GAF ＝∠CAF. 又∵CG ⊥AD ，∴∠AFC ＝∠AFG ＝90°. 在△AGF 和△ACF 中，⎩⎨⎧∠GAF ＝∠CAF ，AF ＝AF ，∠AFG ＝∠AFC ，∴△AGF ≌△ACF （ASA ）． ∴AG ＝AC ＝3，GF ＝CF. ∴BG ＝AB －AG ＝4－3＝1.又∵BE ＝CE ，∴EF 是△BCG 的中位线． ∴EF ＝12BG ＝12.15．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝CD ，点E ，F 分别为AD ，BC 的中点，延长BA ，CD ，分别交射线FE 于P ，Q 两点．求证：∠P ＝∠CQF.证明：连接BD ，取BD 的中点M ，连接EM ，FM. ∵点E 是AD 的中点， ∴EM ∥AB ，EM ＝12AB.∴∠MEF ＝∠P.同理可证：FM ∥CD ，FM ＝12CD.∴∠MFE ＝∠CQF. 又∵AB ＝CD ，∴EM ＝FM. ∴∠MEF ＝∠MFE.∴∠P ＝∠CQF.。
北师大版2020八年级数学下册第一章三角形的证明单元基础达标测试题2(附答案)
北师大版2020八年级数学下册第一章三角形的证明单元基础达标测试题2（附答案）1．如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，DE是AC的垂直平分线，线段DE=lcm，则BD的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm2．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AB=18cm，则△DBE的周长为（）A．16cm B．8cm C．18cm D．10cm3．如图，在等腰△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，∠3=∠4，BD与CE交于点O，则图中等腰三角形有（）A．6个B．7个C．8个D．9个4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是( )①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在线段AB的垂直平分线上；④BD=2CD．A．2个B．3个C．1个D．4个5．如图，已知AD为等腰三角形ABC底边上的高，且tan∠B=43.AC上有一点E，满足AE∶EC=2∶3.那么，tan∠ADE是（）A ．35B ．23C ．12D ．136．由线段a 、b 、c 组成的三角形不是直角三角形的是( )A ．7a =，24b =，25c =B ．41a =，4b =，5c =C ．54a =，1b =，34c = D ．13a =，14b =，15c = 7．等腰三角形的一个角是70°，它的底角的大小为( )A ．70°B ．40°C ．70°或40°D ．70°或55°8．如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD=CF ，BE=CD ，∠A=100°，则∠EDF 的度数是（ ）A ．35°B ．40°C ．45°D ．50°9．下列三角形，不一定是等边三角形的是A ．有两个角等于60°的三角形B ．有一个外角等于120°的等腰三角形C ．三个角都相等的三角形D ．边上的高也是这边的中线的三角形10．下列说法错误的是（ ）A ．若△ABC 中，a 2=(b+c)(b−c)，则△ABC 是直角三角形B ．若△ABC 中，a 2+b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形C ．若△ABC 中，a:b:c=13:5:12，则∠A=90°D ．若△ABC 中，a 、b 、c 三边长分别为n 2−1、2n 、n 2+1(n>1)，则△ABC 是直角三角形11．如图所示，在等边三角形ABC 中，BC 边上的高AD ＝10，E 是AD 上一点，现有一动点P 沿着折线A －E －C 运动，在AE 上的速度是4单位/秒，在CE 上的速度是2单位/秒，则点P 从A 到C 的运动过程中至少需．．．_______秒．12．如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长边的长为39，那么此三角形的周长为_____，面积为______．13．如图，已知CD=6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m，AB=26m．图中阴影部分的面积=_____m2．14．如图，已知∠AOD=150°，OB、OC、OM、ON 是∠AOD 内的射线，若∠BOC=20°，∠AOB=10°，OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOD，当∠BOC 在∠AOD 内绕着点O以3°/秒的速度逆时针旋转t 秒时，当∠AOM：∠DON=3：4 时，则t=____________．15．如图，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，AC=9，AE：EC=2：1，则点B到点E的距离是_____．16．如图，点A、O、C在同一直线上，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，则∠EOF= _________．17．在课题学习时，老师布置画一个三角形ABC，使∠A=30°，AB=10cm，∠A的对边可以在长为4cm 、5cm 、6cm 、11cm 四条线段中任选，这样的三角形可以画_____个． 18．如图，已知∠MON=30°，点A 1、A 2、A 3，…在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4 …均为等边三角形，若OA 1=1，则△A 2016B 2016A 2017的边长为_____．19．如图，A 、O 、B 在同一直线上，OE 平分BOC ∠，OF 平分AOC ∠，则AOF BOE ∠+∠=________度．20．如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N （3，0）是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB =30°，要使PM +PN 最小，则点P 的坐标为______．21．如图，O 为直线AB 上一点，∠AOC=58°，OD 平分∠AOC ，∠DOE=90°．（1）求出∠BOD 的度数；（2）请通过计算说明：OE 是否平分∠BOC ．（3）与∠AOE 互补的角是 .22．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，AB=3cm ，BC=2.5cm ，△ABD 的面积为 2cm 2，求△ABC 的面积．23．我们定义：如图1，在ABC V 中，把AB 绕点A 顺时针旋转(0180)αα<<o o 得到'AB ，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到'AC ，连接''B C 当180αβ+=o 时，我们称''AB C ∆是ABC V 的“旋补三角形”，''AB C ∆边''B C 上的中线AD 叫做ABC V 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”．特例感知：()1在图2，图3中，''AB C ∆是ABC V 的“旋补三角形”，AD 是ABC V 的“旋补中线”．①如图2，当ABC V 为等边三角形时，AD 与BC 的数量关系为AD =______BC ； ②如图3，当90BAC ∠=o ，8BC =时，则AD 长为______．猜想论证：()2在图1中，当ABC V 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明． 拓展应用()3如图4，在四边形ABCD ，90C o ∠=，150D ∠=o ，12BC =，23CD =，239.AB =在四边形内部是否存在点P ，使PDC V 是PAB V 的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求PAB V 的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．24．如图所示，点A ，O ，B 在同一条直线上，∠BOC =40°，射线OC ⊥射线OD ，射线OE 平分∠AOC .求∠DOE 的大小.25．如图，在△ABC 中，AC ＝21，BC ＝13，D 是AC 边上一点，BD ＝12，AD ＝16， （1）若E 是边AB 的中点，求线段DE 的长（2）若E 是边AB 上的动点，求线段DE 的最小值．26．在平面坐标坐标系xOy 中，点P 的坐标为(),a b ，点P 的变换点P '的坐标定义如下：当a b >时，点P '的坐标为(),a b -；当a b ≤时，点P '的坐标为(),b a -．已知点()4,1A ，点()3,2B -，点()2,C n ．（1）点A 的变换点A '的坐标是__________．点()3,2B -的变换点为B '，连接OB ，OB '，则BOB ∠'=__________．（2）点C 的变换点为C '，随着n 的变化，点C '会运动起来，请在备用图（2）中画出点C '的运动路径．（3）若A BC ''V 是等腰三角形，请直接写出此时n 的值：__________．27．已知：如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，AD 平分外角∠EAC ．求证：AD∥BC．28．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝2∠BAD，过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE恰好是∠ADB的平分线，求∠B的度数．参考答案1．B【解析】解：过A作AF∥DE交BD于F，则DE是△CAF的中位线，∴AF=2DE=2．又∵DE⊥AC，∠C=30°，∴FD=CD=2DE=2．在△AFB中，∠1=∠B=30°，∴BF=AF=2，∴BD=4．故选B．点睛：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．2．C【解析】因为∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，易证△ACD≌△AED，所以AE=AC=BC，ED=CD.△DBE的周长=BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+BC=BE+AE=AB.因为AB=12，所以△DBE的周长=12.故选C.点睛：本题主要考查了全等三角形的判定的性质及角平分线的性质定理，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，运用这个性质，结合等腰三角形有性质，将△DBE的周长转化为AB的长.3．C【解析】【分析】由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏．【详解】∵在等腰△ABC中，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=（180°-36°）/2=72°，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠A=36°，∴AD=BD，AE=EC，OB=OC，即△ADB，△AEC，△OBC是等腰三角形，∵∠BDC=∠CEB=180°-36°-72°=72°，∴BC=CE=BD，即△BCE，△BCD是等腰三角形，∵∠1=∠4=36°，∴∠BOE=∠COD=180°-36°-72°=72°，∴OC=CD，BO=BE，即△BOE，△COD是等腰三角形，∴共有8个等腰三角形．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是解答本题的关键．4．D【解析】分析：根据“角平分线的尺规作法”结合“已知条件”进行分析判断即可.详解：（1）由题意可知，图中的尺规作图，作的是∠BAC的角平分线，故结论①成立；（2）∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD=30°，∴∠ADC=180°-90°-30°=60°，故结论②成立；（3）∵∠BAD=30°，∠B=30°，∴∠BAD=∠B，∴AD=BD，∴点D在AB的垂直平分线上，故结论③成立；（4）∵在△ACD中，∠ACD=90°，∠CAD=30°，∴AD=2CD，∵AD=BD，∴BD=2CD，故结论④成立；综上所述，题中4个结论都成立.点睛：熟悉“角平分线的尺规作法、含30°角的直角三角形的性质和线段垂直平分线的判定”是解答本题的关键.5．C【解析】试题解析：如图,作EF ∥CD 交AD 于F 点,∵tan B =tan C 43AD CD ==， ∴设3CD x =， 则4.AD x =∵AE :EC =AF :FD =(AD −FD ):FD =2:3， ∴128,.55FD x AF x == ∵AF :AD =EF :CD =2:5，∴6.5EF x =∴tan ∠ADE 1.2EF FD == 故选C. 6．D【解析】【详解】A 、72+242=252，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；B 、42+52=412，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；C 、12+（34）2=（54）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形； D 、（14）2+（15）2≠（13）2，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形． 故选D ．7．D若70°为顶角，则此等腰三角形的底角是（180°-70°）÷2=55°；若70°为底角，则此等腰三角形的底角为70°，综上，此等腰三角形的底角为70°或55°，故选D.8．B【解析】【分析】先求出三角形ABC为等腰三角形，再根据角度转换求出∠EDF.【详解】根据题意AB=AC得三角形ABC为等腰三角形所以∠B=∠C=（180°-100°）·=40°又因为∠B=∠C，BD=CF，BE=CD所以△BDE与△DFC全等（SAS）即∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=180°-40°=140°所以∠EDF=180°-∠BDE+∠CDF=40°.所以答案选B.【点睛】掌握三角形全等的条件，并合理转化相关角度是解答本题的关键.9．D【解析】分析：分别利用等边三角形的判定方法分析得出即可．详解：A．根据有两个角等于60°的三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；B．有一个外角等于120°的等腰三角形，则内角为60°的等腰三角形，此三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；C．三个角都相等的三角形，内角一定为60°是等边三角形，不合题意，故此选项错误；D．边上的高也是这边的中线的三角形，也可能是等腰三角形，符合题意，故此选项正确．故选D．点睛：本题主要考查了等边三角形的判定，注意熟练掌握：由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．10．B【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形判定即可．【详解】A 选项：由a 2=（b+c ）（b-c ），可得a 2+c 2=b 2，所以△ABC 是直角三角形，本选项正确，不符合题意；B 选项：若△ABC 中，c 为最长边，且a 2+b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形，本选项错误，符合题意；C 选项：a ：b ：c=13：5：12，可得b 2+c 2=a 2，所以∠A=90°，本选项正确，不符合题意；D 选项：由a 、b 、c 三边的长分别为n 2-1、2n 、n 2+1（n ＞1），可得a 2+b 2=c 2，所以△ABC 是直角三角形，本选项正确，不符合题意．故选B ．【点睛】考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．11．5【解析】【分析】如图，作CH ⊥AB 于H 交AD 于E ．P 沿着折线A-E-C 运动的时间=2EC +4AE =12 (EC +12AE )= 12 (EC +EH )= 12CH ，根据垂线段最短可知，当CH ⊥AB 时，P 沿着折线A-E-C 运动的时间最短，由此即可解决问题．【详解】如图，作CH ⊥AB 于H 交AD 于E.∵△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC ，∴∠HAE =30°,∵∠AHE =90°，∴HE =12AE ， ∵P 沿着折线A −E −C 运动的时间=2EC +4AE =12 (EC +12AE )= 12 (EC +EH )= 12CH ， 根据垂线段最短可知，当CH ⊥AB 时，P 沿着折线A −E −C 运动的时间最短，∵CH 、AD 是等边三角形的高，∴CH =AD =10，∴P 沿着折线A −E −C 运动的时间最时间=5s .故答案为5.【点睛】本题主要考查等边三角形性质，垂线段最短知识点.熟悉掌握是关键.12．90 270【解析】分析：由相似三角形对应边比相等，知道已知三角形的三边和较大三角形的最大边，根据相应比求得边和周长，根据勾股定理的逆定理知道三角形直角三角形，即可求出面积． 详解：设较大三角形的其他两边长为a ，b .∵由相似三角形的对应边比相等.∴5a =12b =3913. 解得：a =15，b =36，又∵22251213+=，∴三角形为直角三角形.则较大三角形的周长为90，面积为270.点睛：相似三角形的性质：三边对应成比例；勾股定理的逆定理：判断三角形为直角三角形. 13．96【解析】分析：利用勾股定理求出AC值，结合三角形面积公式求得S△ADC；接下来计算AC2+BC2、AB2，可得△ABC为直角三角形，结合三角形面积公式求得S△ABC，然后根据阴影部分的面积=S△ABC-S△ADC计算即可.详解：∵CD=6m，AD=8m，∠ACD=90°，∴AC=10m，S△ADC=12×6×8=24（m2）.∵AC=10m，CB=24m，AB=26m，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形.∵△ABC是直角三角形，AC=10m，CB=24m，∴S△ABC=12×10×24=120（m2），∴S△ABC-S△ADC=120-24=96（m2）.即图中阴影部分的面积为96m2.故答案为96.点睛：本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键.14．100 7【解析】【分析】由题意得∠AOM=12（10°+3t+20°），∠DON=12（150°-10°-3t），由此列出方程求解即可．【详解】解：∵射线OB从OA逆时针以3°每秒的旋转t秒，∠BOC=20°，∴∠AOC=∠AOB+∠COB=3t°+10°+20°=3t°+30°．∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM=12∠AOC=12（3t°+30°）．∵∠BOD=∠AOD-∠BOA，∠AOD=150°，∴∠BOD=140°-3t．∵射线ON平分∠BOD，∴∠DON=12∠BOD=12（140°-3t）．又∵∠AOM：∠DON=3：4，∴12（3t°+30°）：12（140°-3t）=3：4，解得t=1007．故答案是：1007．【点睛】此题主要考查角平分线的定义，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化，然后根据已知条件求解．15．6．【解析】【分析】连接BE．根据垂直平分线的性质可得EA=EB，求出AE即可解决问题．【详解】如图，连接BE.∵AC=9，AE:EC=2:1，∴AE=23×9=6,EC=9×13=3，∵DE垂直平分AB，∴EA=EB=6.故答案为6.【点睛】本题考查的知识点是线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握线段垂直平分线的性质.16．90°【解析】试题解析：∵OE 、OF 分别是∠AOB 和∠BOC 的平分线，∴∠AOE=∠EOB ，∠BOF=∠FOC ，∵∠AOE+∠EOB+∠BOF+∠FOC=180°，∴∠EOB+∠BOF=90°，即∠EOF=90°，故答案为90°．17．4【解析】根据30°所对的直角边是斜边的一半，知∠A 的对边应大于等于5cm ，所以在长为4cm 、5cm 、6cm 、11cm 四条线段中，有3条线段符合条件，其中∠A 的对边为6时，可以作两个三角形．故这样的三角形可以画4个．18．22015【解析】试题解析：112A B A Q V 是等边三角形，1121A B A B ∴=，30MON ∠=o Q ，1111OA A B ∴==，211A B ∴=，223334A B A A B A Q V V 、是等边三角形，1122331223,A B A B A B B A B A ∴P P P ，221233232,2A B B A B A B A ∴==，331244A B B A ∴==，441288A B B A ==，55121616A B B A ==，以此类推：201620162017A B A V 的边长为20152.故答案为：20152. 19．90【解析】【分析】首先根据角平分线定义可得∠AOF=12∠AOC，∠EOB=12∠COB，再根据∠AOC+∠BOC=180°，可得答案．【详解】∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，∴∠AOF=12∠AOC，∠EOB=12∠COB，∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOF+∠BOE=12∠AOC+12∠COB=12×180°=90°，故答案为：90．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，以及邻补角，关键是理清角之间的关系．20．（32，32）．【解析】解：作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，则此时，PM+PN最小，∵OA垂直平分NN′，∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，∴△NON′是等边三角形，∵点M是ON的中点，∴N′M⊥ON，∵点N（3，0），∴ON=3，∵点M是ON的中点，∴OM=1.5，∴PM=3，∴P（32，3）．故答案为：（32，3）．点睛：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是确定P 的位置．21．（1）∠BOD=180°-58°÷2=151°；（2）见解析；（3）∠BOE 和∠COE.【解析】试题分析：（1）根据角平分线定义求出AOD ∠，根据平角定义即可求出.BOD ∠（2）求出COE ∠和∠BOE 的度数，即可得出答案．()3根据补角的定义即可求出.试题解析：(1) 58,AOC ∠=o Q OD 平分∠AOC ，1125829.2AOD COD AOC ∴∠=∠=∠=⨯=o o 180********.BOD AOD ∴∠=-∠=-=o o o o (2) 29,90COD DOE ∠=∠=o o Q ，902961,COE DOE DOC ∴∠=∠-∠=-=o o o1519061BOE BOD DOE COE ∴∠=∠-∠=-==∠o o o ，即OE 平分∠BOC .()3与AOE ∠互补的角是∠BOE 和.COE ∠故答案为∠BOE 和.COE ∠22．113. 【解析】【分析】根据角平分线性质作出辅助线,求出高长,即可求解.【详解】在△ABD 中，∵S △SSS =12SS ⋅SS ，AB=3cm ，S △ABD =2cm 2， ∴SS =43SS 过 D 作 DF ⊥BC 于 F ．∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴DE=DF ，∴SS =43SS 在△BCD 中 ，BC=2.5cm ，SS =43SS ∴S △SSS =12SS ⋅ SS =43 (SS )2 ∵S △ABC =S △ABD +S △BCD ，∴S △SSS = 2 +53=113 (SS )2 【点睛】本题考查了角平分线的性质，利于角平分线的性质正确地作出辅助线是解题的关键． 23．（1）①12;②4；（2）结论：12AD BC =．详见解析；（3）PAB V 的“旋补中线”长1392AB == 【解析】【分析】(1)①首先证明'ADB V 是含有30o 是直角三角形，可得1'2AD AB =即可解决问题；②首先证明BAC V ≌''B AC V ，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；(2)结论：1.2AD BC =如图1中，延长AD 到M ，使得AD DM =，连接'B M ，'C M ，首先证明四边形''AC MB 是平行四边形，再证明BAC V ≌'AB M V ，即可解决问题；(3)存在.如图4中，延长AD 交BC 的延长线于M ，作BE AD ⊥于E ，作线段BC 的垂直平分线交BE 于P ，交BC 于F ，连接P A 、PD 、PC ，作PCD V 的中线.PN 连接DF 交PC 于.O 想办法证明PA PD =，PB PC =，再证明180APD BPC ∠+∠=o ，即可得出结论．【详解】(1)①如图2中，ABC QV 是等边三角形，''AB BC AC AB AC ∴====，''DB DC =Q ，''AD B C ∴⊥，60BAC ∠=o Q ，''180BAC B AC ∠+∠=o ，''120B AC ∴∠=o ，''30B C ∴∠=∠=o ，11'22AD AB BC ∴==， 故答案为12． ②如图3中，90BAC ∠=o Q ，''180BAC B AC ∠+∠=o ，''90B AC BAC ∴∠=∠=o ，'AB AB =Q ，'AC AC =，BAC ∴V ≌''B AC V ，''BC B C ∴=，''B D DC =Q ，11''422AD B C BC ∴===， 故答案为4．()2结论：12AD BC =． 理由：如图1中，延长AD 到M ，使得AD DM =，连接'B M ，'C M''B D DC =Q ，AD DM =，∴四边形''AC MB 是平行四边形，''AC B M AC ∴==，''180BAC B AC ∠+∠=o Q ，'''180B AC AB M ∠+∠=o ，'BAC MB A ∴∠=∠，'AB AB =Q ，BAC ∴V ≌'AB M V ，BC AM ∴=，12AD BC ∴=． ()3存在．理由：如图4中，延长AD 交BC 的延长线于M ，作BE AD ⊥于E ，作线段BC 的垂直平分线交BE 于P ，交BC 于F ，连接P A 、PD 、PC ，作PCD V 的中线PN ．连接DF 交PC 于O ．150ADC ∠=o Q ，30MDC ∴∠=o ，在Rt DCM V 中，CD =Q ，90DCM ∠=o ，30MDC ∠=o ，2CM ∴=，4DM =，60M ∠=o ，在Rt BEM V 中，90BEM ∠=o Q ，14BM =，30MBE ∠=o ，172EM BM ∴==， 3DE EM DM ∴=-=，6AD =Q ，AE DE ∴=，BE AD ⊥Q ，PA PD ∴=，PB PC =，在Rt CDF V 中，CD =Q ，6CF =，tan CDF ∴∠=60CDF ∴∠=o90ADF AEB ∴∠==∠o ，CBE CFD ∴∠=∠，CBE PCF ∠=∠Q ，CFD PCF ∴∠=∠，90CFD CDF ∠+∠=o Q ，90PCF CPF ∠+∠=o ，60CPF CDF CDF ∴∠=∠==∠o 易证FCP V ≌CFD V ，CD PF ∴=，//CD PF Q ，∴四边形CDPF 是矩形，90CDP ∴∠=o ，60ADP ADC CDP ∴∠=∠-∠=o ，ADP ∴V 是等边三角形，60ADP ∴∠=o ，60BPF CPF ∠=∠=o Q ，120BPC ∴∠=o ，180APD BPC ∴∠+∠=o ，PDC ∴V 是PAB V 的“旋补三角形”，AB =QPAB ∴V 的“旋补中线”长12AB == 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角性质、等边三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题.24．160°.【解析】试题分析： 先求出∠AOC 的度数，再根据角平分线的定义求出 ∠EOC 的度数，再由OC ⊥OD 求出 ∠COD 的度数，再由 ∠DOE=∠DOC+∠COE 即可得.试题解析：∵ ∠BOC =40°，∴ ∠AOC =180°-∠BOC=140°，∵ 射线OE 平分∠AOC ，∴ ∠EOC =12∠AOC=70°， ∵ 射线OC ⊥射线OD ，∴ ∠COD =90°，∴ ∠DOE=∠DOC+∠COE=160°.【点睛】本题考查了角平分线的定义、垂直的定义等，结合图形正确地进行分析是解题的关键.25．（1）10；（2）485【解析】【分析】（1）在△BCD 中，由勾股定理逆定理可得△BCD 是直角三角形，即∠ADB=90°,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可解得线段DE 的长；(2) 当DE ⊥AB 时，DE 有最小值.根据等面积法即可求出DE 的长.【详解】解：(1)∵AC ＝21，AD ＝16，∴CD=21-16=5，∵DC ²+BD ²=5 ²+12 ²=169，BC ²=13 ²=169，∴DC ²+BD ²= BC ²,∴△BCD 是直角三角形．且∠BDC=90°,∴∠ADB=90°,在Rt △ADB 中，由勾股定理得，∵∠ADB=90°,E 为斜边AB 的中点，∴DE=12AB=12×20=10. (2)当DE ⊥AB 时，DE 有最小值.此时AB×DE=AD×DB,即20DE=16×12, 解得DE=485. 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟悉勾股定理及其逆定理是解题的关键．26．（1）(4,1)A '-；90BOB ∠='︒．（2）点C '的运动路径见解析．（3）见解析．【解析】试题分析：（1）①按照变换点的定义写出A′的坐标即可；②按照变换点的定义根据点B 的坐标写出点B′的坐标，如图，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，过点B′作B′E ⊥x 轴于点E ，则由已知易证△BDO ≌△OEB′，从而可证得∠BOD=∠OB′E ，结合∠OB′E+∠EOB′=90°，即可证得∠BOB′=90°；（2）①由变换点的定义可得，当n<2时，点C （2，n ）的变换点的坐标是（-2，n ）；②当2n ≥时，点C （2，n ）的变换点的坐标是（-n ，2），由此即可画出点C 的运动路线；（3）由题意可知：()4,1A '-，()3,2B -，连接A B '，以A '为圆心，A B '长度为半径作圆，交点C '的运动路径于点'1C ；以B 为圆心，A B '长为半径作圆，交点C '的运动路径于点'2C ，'3C ；作线段A B '的垂直平分线，交点C '的运动路径于点'4C ，'5C ；如图所示，'1C ，'2C ，'3C ，'4C ，'5C 均为所求点C '的位置，再根据已知条件计算出对应的n 的值即可.试题解析：（1）∵()4,1A ，41>，∴()4,1A '-，∵()3,2B -，32-≤，∴()2,3B '--，90BOB ∠='︒．（2）点C '的运动路径如图所示：（3）如图：()4,1A '-，()3,2B -，连接A B '，以A '为圆心，A B '长度为半径作圆，交点C '的运动路径于点'1C ，以B 为圆心，A B '长为半径作圆，交点C '的运动路径于点'2C ，'3C ，作线段A B '的垂直平分线，交点C '的运动路径于点'4C ，'5C ，如图所示，'1C ，'2C ，'3C ，'4C ，'5C 均为所求点C '的位置，∵()4,1A '-，()3,2B -， ∴2A B '=∵'1A BC 'V 为等腰直角三角形，∴()'15,2C -， ∴()12,5C ，5n =， ∵'22BC A B '== ∴()'232,2C -， ∵(22,32C ，32n =+∵'3BA BC '=， ∴()'32,1C -， ∴()32,1C ，∴1n =，∵''44C A C B ='，∴()'44,2C -， ∴()42,4C ，∴4n =，∵''55C A C B ='，∴()'52,0C -，∴()52,0C ，∴0n =．综上所述，n 的值是5，3，1，4，0．点睛：解本题第3小题时，关键是分A′B 是等腰△A′BC′的腰和底两种情况通过画图找到所有符合条件的C′点，然后再根据已知条件求出对应的n 的值即可.27．证明见解析【解析】试题分析：由角平分线的定义可知：∠EAD=12∠EAC ，再由三角形的外角的性质可得∠EAD=∠B ，然后利用平行线的判定定理可证明出结论.试题解析：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD=12∠EAC ． 又∵∠B=∠C ，∠EAC=∠B+∠C ，∴∠B=12∠EAC ． ∴∠EAD=∠B ．所以AD ∥BC ．考点：1.平行线的性质；（2）角平分线的定义；（3）三角形的外角性质.28．∠B ＝30°【解析】试题分析：，，由∠C ＝90°，可得∠BAC ＋∠B ＝90°，根据DE ⊥AB ，DE 平分∠ADB ，可得∠B ＝∠BAD ，再由∠BAC ＝2∠BAD ，可得3∠B ＝90°，从而可求.试题解析：因为∠C ＝90°，所以∠BAC ＋∠B ＝180°－90°＝90°，又DE ⊥AB ，DE 平分∠ADB ，所以∠B ＝∠BAD ，而∠BAC ＝2∠BAD ，所以∠BAC ＝2∠B ，所以3∠B ＝90°，所以∠B ＝30°.。
新北师大版八年级数学下册各章测试题附答案(全册)
第一章《三角形的证明》水平测试一、精心选一选，慧眼识金（每小题2分，共20分）1．如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带（）去配. A. ① B. ②C.③D. ①和②2．下列说法中，正确的是（）.A ．两腰对应相等的两个等腰三角形全等B ．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等C ．两锐角对应相等的两个直角三角形全等D ．面积相等的两个三角形全等3．如图2，AB ⊥CD ，△ABD 、△BCE 都是等腰三角形，如果CD =8cm ，BE=3cm ，那么AC长为（）.A ．4cmB ．5cmC ．8cmD ．34cm4．如图3，在等边ABC 中，,D E 分别是,BC AC 上的点，且BD CE ，AD 与BE 相交于点P ，则12的度数是（）. A ．045B ．055C ．060D ．0755．如图4，在ABC 中，AB=AC ，36A ，BD 和CE 分别是ABC 和ACB 的平分线，且相交于点P. 在图4中，等腰三角形（不再添加线段和字母）的个数为（）.A ．9个B ．8个C ．7个D ．6个6．如图5，123,,l l l 表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）.A ．1处B ．2处C ．3处D ．4处7．如图6，A 、C 、E 三点在同一条直线上，△DAC 和△EBC 都是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结论：①△ACE ≌△DCB ；②CM ＝CN ；③AC ＝DN. 其中，正确结论的个数是（）.A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个8．要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ，使CD=BC ，再作出BF 的垂线DE ，使A ，C ，E 在同一条直线上（如图7），可以证明ABC ≌EDC ，得ED=AB. 因此，测得DE 的长就是AB 的长，在这里判定ABC ≌EDC 的条件是().A ．ASAB ．SASC ．SSSD ．HL9．如图8，将长方形ABCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点E 的位置，BE 交AD 于点F. 求证：重叠部分（即BDF ）是等腰三角形.证明：∵四边形ABCD 是长方形，∴AD ∥BC又∵BDE 与BDC 关于BD 对称，∴23. ∴BDF 是等腰三角形.请思考：以上证明过程中，涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项？（）.①12；②13；③34；④BDC BDEA ．①③B ．②③C ．②①D ．③④10.如图9，已知线段a ，h 作等腰△ABC ，使AB ＝AC ，且BC ＝a ，BC 边上的高AD ＝h. 张红的作法是：（1）作线段BC ＝a ；（2）作线段BC 的垂直平分线MN ，MN 与BC 相交于点D ；（3）在直线MN 上截取线段h ；（4）连结AB ，AC ，则△ABC 为所求的等腰三角形.上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（）.A. （1）B. （2）C. （3）D. （4）二、细心填一填，一锤定音（每小题2分，共20分）1．如图10，已知，在△ABC 和△DCB 中，AC=DB ，若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC ≌△DCB ，则还需增加一个条件是____________.2．如图11，在Rt ABC 中，090,BAC ABAC ，分别过点,B C 作经过点A 的直线的垂线段BD ，CE ，若BD=3厘米，CE=4厘米，则DE 的长为_______.3．如图12，P ，Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，则∠ABC 等于_________度.4．如图13，在等腰ABC 中，AB=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BCE 的周长为50，则底边BC 的长为_________. 5．在ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为50，则图8底角B 的大小为________.6．在《证明二》一章中，我们学习了很多定理，例如：①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；⑤角平分线上的点到这个角两边的距离相等.在上述定理中，存在逆定理的是________.(填序号)7．如图14，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm ，BC=10cm ，将△ABC 折叠，点 B与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为________.8．如图15，在ABC 中，AB=AC ，120A ，D 是BC 上任意一点，分别做DE ⊥AB于E ，DF ⊥AC 于F ，如果BC=20cm ，那么DE+DF= _______cm.9．如图16，在Rt △ABC 中，∠C=90°,∠B=15°，DE 是AB 的中垂线，垂足为D ，交BC于点E ，若4BE，则AC_______ .10．如图17，有一块边长为24m 的长方形绿地，在绿地旁边B 处有健身器材，由于居住在A 处的居民践踏了绿地，小颖想在A 处立一个标牌“少走_____步，踏之何忍？”但小颖不知在“_____”处应填什么数字，请你帮助她填上好吗？（假设两步为1米）？三、耐心做一做，马到成功（本大题共48分）1．（7分）如图18，在ABC 中，090ACB，CD 是AB 边上的高，30A . 求证：AB= 4BD.2．（7分）如图19，在ABC 中，090C ，AC=BC ，AD 平分CAB 交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，若AB=6cm. 你能否求出BDE 的周长？若能，请求出；若不能，请说明理由.3．（10分）如图20，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，BE 与CD 相交于O 点. 现有四个条件：①AB ＝AC ；②OB ＝OC ；③∠ABE ＝∠ACD ；④BE ＝CD.(1)请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正．确．的命题：命题的条件是和，命题的结论是和(均填序号).(2)证明你写出的命题.已知：求证：证明：4．（8分）如图21，在ABC 中，90A ，AB=AC ，ABC 的平分线BD 交AC 于D ，CE ⊥BD 的延长线于点 E.求证：12CEBD .5．（8分）如图22，在ABC 中，90C .（1）用圆规和直尺在AC 上作点P ，使点P 到A 、B 的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）当满足（1）的点P 到AB 、BC 的距离相等时，求∠A 的度数.6．（8分）如图23，90AOB ，OM 平分AOB ，将直角三角板的顶点P 在射线OM 上移动，两直角边分别与OA 、OB 相交于点C 、D ，问PC 与PD 相等吗？试说明理由.四、拓广探索（本大题12分）如图24，在ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AB 于点N ，交BC 的延长线于点M ，若40A .（1）求NMB 的度数；（2）如果将（1）中A 的度数改为070，其余条件不变，再求NMB 的度数；（3）你发现有什么样的规律性，试证明之；（4）若将（1）中的A 改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？图21图24图23答案：一、精心选一选，慧眼识金1．C ；2．B ；3．D ．点拨：BC=BE=3cm ，AB=BD=5cm ；4．C ．点拨：利用ABD ≌BCE ；5．B ；6．D ．点拨：三角形的内角平分线或外角平分线的交点处均满足条件；7．B ．点拨：①②正确；8．A ；9．C ；10．C ．点拨：在直线MN 上截取线段h ，带有随意性，与作图语言的准确性不相符.二、细心填一填，一锤定音1．答案不惟一.如ACBDBC ；2．7厘米. 点拨：利用ABD ≌CAE ；3．030；4．23．点拨：由27BE CE ACAB，可得502723BC；5．070或020.点拨；当ABC 为锐角三角形时，70B；当ABC 为钝角三角形时，20B ；6．①、③、④、⑤.点拨：三个角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形，所以②不存在逆定理；7．154cm . 点拨：设CDx ，则易证得10BDAD x .在Rt ACD 中，222(10)5x x ，解得154x.8．10．点拨：利用含030角的直角三角形的性质得，1122DE DFBD CDBC .9．2. 点拨：在Rt AEC 中，030AEC，由AE=BE= 4，则得AC=2；10．16．点拨：AB=26米，AC+BC=34米，故少走8米，即16步. 三、耐心做一做，马到成功1．∵90ACB ，30A ，∴AB=2BC ，60B .又∵CD ⊥AB ，∴030DCB ，∴BC=2BD.∴AB= 2BC= 4BD.2．根据题意能求出BDE 的周长. ∵090C ，90DEA，又∵AD 平分CAB ，∴DE=DC.在Rt ADC 和Rt ADE 中，DE=DC ，AD=AD ，∴Rt ADC ≌Rt ADE （HL ）.∴AC=AE ，又∵AC=BC ，∴AE=BC.∴BDE 的周长DE DB EB BC EB AE EB AB .∵AB=6cm ，∴BDE 的周长=6cm.3．（1）①，③；②，④.（2）已知：D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，BE 与CD 相交于O 点，且AB ＝AC ，∠ABE ＝∠ACD. 求证：OB ＝OC ，BE ＝CD.证明：∵AB=AC ，∠ABE ＝∠ACD ，∠A =∠A ，∴△ABE ≌△ACD （ASA ）.∴BE=CD.又∵ABC ACB ，∴BCD ACB ACD ABC ABE CBE∴BOC 是等腰三角形，∴OB ＝OC.4．延长CE 、BA 相交于点 F.∵090,90EBF F ACF F ，∴EBF ACF .在Rt ABD 和Rt ACF 中，∵DBA ACF ，AB=AC ，∴Rt ABD ≌Rt ACF （ASA ）. ∴BD CF .在Rt BCE 和Rt BFE 中，∵BE=BE ，EBC EBF ，∴RtBCE ≌Rt BFE （ASA ）.∴CEEF. ∴1122CECFBD .5．（1）图略. 点拨：作线段AB 的垂直平分线.（2）连结BP.∵点P 到AB 、BC 的距离相等，∴BP 是ABC 的平分线，∴ABPPBC .又∵点P 在线段AB 的垂直平分线上，∴PA=PB ，∴A ABP .∴190303AABPPBC.6．过点P 作PE ⊥OA 于点E ，PF ⊥OB 于点 F.∵OM 平分AOB ，点P 在OM 上，∴PE=PF.又∵090AOB ，∴90EPF .∴EPF CPD ，∴E P CF P D.∴Rt PCE ≌Rt PDF （ASA ），∴PC=PD. 四、拓广探索（1）∵AB=AC ，∴BACB .∴11180180407022BA.∴90907020NMB B. （2）解法同（1）.同理可得，035NMB.（3）规律：NMB 的度数等于顶角A 度数的一半.证明：设A.∵AB=AC ，∴BC ，∴11802B .∵090BNM ，∴11909018022NMB B.即NMB 的度数等于顶角A 度数的一半. （4）将（1）中的A 改为钝角，这个规律不需要修改.仍有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长线相交所成的锐角等于顶角的一半.全品中考网全品第二章一元一次不等式（组）检测试题一、选择题（每小题3分,共36分）1．x 与y 的差的5倍与2的和是一个非负数,可表示为（）（A ）025y x （B ）025y x（C ）025y x （D ）0225y x 2．下列说法中正确的是（）（A ）3x 是32x 的一个解. （B ）3x 是32x 的解集. （C ）3x是32x 的唯一解. （D ）3x不是32x 的解.3. 不等式222xx 的非负整数解的个数是（）（A ）1 （B ）2（C ）3（D ）44．已知正比例函数x m y 12的图象上两点2221,,,y x B x x A ,当21x x 时,有21y y ,那么m 的取值范围是（）（A ）21m（B ）21m（C ）2m （D ）m 5．不等式组2.351,062xx的解集是（）（A ）32x （B ）38x （C ）38x （D ）8x或3x 6．若,0ba 且0b，则b a b a ,,,的大小关系是（）（A ）b a b a （B ）ba ab （C ）baba（D ）a b ba7．已知关于x 的一次函数72m mx y在51x上的函数值总是正的,则m 的取值范围是（）（A ）7m （B ）1m （C ）71m （D ）以上答案都不对8．如果方程组.33,13yxk y x 的解为x 、y ，且42k，则y x的取值范围是（）（A ）10yx （B ）210yx （C ）11yx（D ）13yx9．若方程x xm x m 53113的解是负数，则的取值范围是（）（A ）45m（B ）45m（C ）45m（D ）45m10．两个代数式1x 与3x的值的符号相同，则x 的取值范围是（）（A ）3x （B ）1x （C ）21x （D ）1x 或3x 11．若不等式33a xa 的解集是1x ，则a 的取值范围是（）（A ）3a （B ）3a（C ）3a（D ）3a 12．若4224m m ,那么m 的取值范围是（）（A ）不小于 2 （B ）不大于 2 （C ）大于 2 （D ）等于 2 二、填空题（每题3分,共24分）13. 当x _____时,代数式43x 的值是非正数. 14. 若不等式.32,12bxa x 的解集为11x ,那么ab 的值等于_____. 15.若x 同时满足不等式032x 与02x,则x 的取值范围是_____.m16.已知x 关于的不等式组.0,125ax x 无解,则a 的取值范围是_____.17. 如果关于x 的不等式51a x a 和42x 的解集相同,则a 的值为_____.18. 小马用100元钱去购买笔记本和笔共30件,已知每本笔记本2元,每枝钢笔5元,那么小马最多能买_____枝钢笔.19.一个两位数,十位上的数字比个位数上的数字小2,若这个两位数处在40至60之间,那么这个两位数是_____.20. 已知四个连续自然数的和不大于34,这样的自然数组有_____组.三、解答题（每题8分,共40分）21．解不等式3225332xxx x ,并把它的解集在数轴上表示出来.22.求不等式组)2(.3212)1(,133211x xx x 的偶数解.23．已知关于y x,的方程组)2(.2)1(,32m yxm y x 的解y x,均为负数,求m 的取值范围.24. 关于y 的不等式组253,7.236y yt y t y 的整数解是3,2,1,0,1，求参数t 的取值范围.25. 甲乙两人先后去同一家商场买了一种每块0.50元的小手帕.商场规定凡购买不少于10块小手帕可优惠20%，结果甲比乙多花了4元钱，又知甲所花的钱不超过8元，在充分享受优惠的条件下，甲乙两人各买了多少块小手帕？参考答案一、选择题（每小题3分,共36分）1．解：x 与y 的差的5倍是y x 5,再与2的和是25y x ,是一个非负数为:025y x .故选（B ）2．解:32x ,根据不等式基本性质2,两边都除以2,得23x.由此,可知3x 只是32x 的一个解.故选（A ）3. 解：去括号，得.242x x 解得.2x 所以原不等式的非负数整数解为,2,1,0x共3个.故选（C ）4．解:因为点2221,,,y x B x x A 在函数x m y 12的图象上,所以1112x m y ,2212x m y . 所以212112x x m y y . 因为当21x x 时,有21y y ,即当21x x ,021y y ,所以.012m 所以.21m故选（A ）5．解: 由(1)得3x . 由(2)得8x.所以不等式组的解集是38x 故选（C ）6．解:由,0b a且0b，得0a且b a.又根据不等式的性质2,得0,0ba.b ab a,.所以a b b a 故选（D ）7．解:根据题意,令1x,则07my,得7m;令5x ,则077m y ,得1m .综上,得7m.故选（A ）8．解：两个不等式相减后整理，得221kyx .由42k，得220k .所以10yx故选（A ）9．解:方程x x m x m 53113的解为541mx，要使解为负数，必须054m ，即45m.故选（A ）10．解: 因为代数式1x 与3x 的值的符号相同，可得.03,01xx 或.03,01xx 由第一个不等式组得,3x;由第二个不等式组得, 1x .故选（D ）11．解:因为不等式33a x a 的解集是1x，所以03a .所以3a.故选（C ）12．解:由4224m m ,得042m ,所以2m .故选（A ）二、填空题（每题3分,共24分）13.解:根据题意,得043x .解得.34x14.解:由.32,12bxa x 得.23,21b xa x 所以.2123axb 又因为11x ,所以.123,121ba解得.2,1ba 所以.221ab 15.解:由032x ,得23x,由02x ,得2x .所以223x.16.解:原不等式组可化为.,3a x x 若不等式组有解,则3xa.3a.故当3a时, 不等式组无解. 所以a 的取值范围是3a . 17.解:由42x 得2x .因为不等式51a x a 和42x 的解集相同,所以不等式51a xa 的解集为.15a ax 215a a .解得7a.18.解:设小马最多能买x 枝钢笔.根据题意,得1003025x x。
北师大版八年级下册数学《1.1 第4课时 等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质》教案
北师大版八年级下册数学《1.1 第4课时等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质》教案一. 教材分析等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质是北师大版八年级下册数学第1.1节的内容。
这一节主要让学生了解等边三角形的判定方法，以及含30°角的直角三角形的性质。
在教材中，通过图片和实例引出等边三角形的判定方法，以及通过几何图形和推理介绍含30°角的直角三角形的性质。
二. 学情分析学生在学习这一节内容前，已经学习了三角形的性质，角的度量等基础知识。
对于这部分内容，学生可能已经有一定的了解，但需要进一步引导他们通过几何图形和推理来深入理解等边三角形的判定方法和含30°角的直角三角形的性质。
三. 教学目标1.了解等边三角形的判定方法，能够判断一个三角形是否为等边三角形。
2.掌握含30°角的直角三角形的性质，能够运用这些性质解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
四. 教学重难点1.等边三角形的判定方法。
2.含30°角的直角三角形的性质及其应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作交流法等。
通过引导学生观察实例，提出问题，引导学生通过几何图形和推理来解决问题，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
六. 教学准备1.PPT课件2.几何图形板七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些等边三角形的图片，引导学生观察等边三角形的特点，引发学生的兴趣。
同时，提出问题：“你们知道等边三角形的判定方法吗？”2.呈现（15分钟）利用PPT课件，展示等边三角形的判定方法。
通过几何图形和推理，引导学生理解等边三角形的判定方法。
同时，展示含30°角的直角三角形的性质，引导学生理解并能够运用这些性质。
3.操练（15分钟）让学生分组合作，利用几何图形和直尺，尝试判断一些给定的三角形是否为等边三角形，并运用含30°角的直角三角形的性质解决实际问题。
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综合滚动练习：特殊的三角形
时间：45分钟分数：100分得分：________
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．已知一个等腰三角形底角的度数为80°，则这个等腰三角形顶角的度数为() A．20°B．70°C．80°D．100°
2．已知等腰三角形的一边长为6，一个内角为60°，则它的周长是()
A．12 B．15 C．18 D．20
3．如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是()
A．AC＝A′C′，BC＝B′C′
B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′
C．AC＝A′C′，AB＝A′B′
D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′
第3题图第4题图4．如图，△ABC是等边三角形，P为BC上一点，在AC上取一点D，使AD＝AP，且∠APD＝70°，则∠P AB的度数是()
A．10°B．15°C．20°D．25°
5．如图，AD⊥BC，D是BC的中点，那么下列结论错误的是()
A．△ABD≌△ACD
B．∠B＝∠C
C．△ABC是等腰三角形
D．△ABC是等边三角形
第5题图第6题图
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE 的平分线相交于点D，则∠D的度数为()
A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°
7．(2017·滨州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD ＝BA，则∠B的大小为【方法1②】()
A．40°B．36°C．30°D．25°
第7题图第8题图
8．★如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有()
A．1个
B．2个
C．3个
D．3个以上
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．如图，已知∠B＝∠C，从①BE＝CE，②AB＝DC，③∠BAE＝∠CDE这三个等式中选出一个作为条件，可以推出△AED是等腰三角形的有________(填序号)．
第9题图第11题图
10．若△ABC的三边a，b，c满足条件：a－3＋b－4＋c－5＝0，则△ABC是________三角形．
11．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则∠DAC＋∠C＝________°.
12．如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°.折叠该纸片，使点C落在点E 处，折痕为AD.若CD＝3cm，则BD的长为________cm.
第12题图第13题图
13．如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA上，OP＝8，点M、N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM＝________．
14．(2017·淄博中考)如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝________．
三、解答题(共44分)
15．(8分)如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB＝15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得∠ADB＝30°，你能帮助小明计算出树的高度吗？
16．(10分)如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E 在BC上，且AE＝CF.请判断AE与CF的位置关系，并说明理由．
17．(12分)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形的周长为32，求BC和CD的长．
18．★(14分)如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α.以OC为一边作等边△OCD，连接AD.
(1)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(2)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
参考答案
1．A 2.C 3.C 4.C 5.D 6.A7.B
8．D解析：如图，在OA，OB上截取OE＝OF＝OP，作∠MPN＝60°.∵OP平分∠AOB，
∴∠EOP ＝∠POF ＝60°.∵OP ＝OE ＝OF ，∴△OPE ，△OPF 是等边三角形，∴EP ＝OP ，∠EPO ＝∠OEP ＝∠PON ＝∠MPN ＝60°，∴∠EPM ＝∠OPN .在△PEM 和△PON 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠PEM ＝∠PON ，PE ＝PO ，∠EPM ＝∠OPN ，
∴△PEM ≌△PON ，∴PM ＝PN .∵∠MPN ＝60°，∴△PNM 是等边三角形，∴只要∠MPN ＝60°，△PMN 就是等边三角形，故这样的三角形有无数个．故选D.
9．①② 10.直角 11.90 12.6 13.3
14．23 解析：作AG ⊥BC 于G ，连接AD .∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝60°，∴由勾股定理得AG ＝2 3.∵S △ABD ＋S △ACD ＝S △ABC ，∴12AB ·DE ＋12AC ·DF ＝12BC ·AG .∵AB ＝AC
＝BC ＝4，∴DE ＋DF ＝AG ＝2 3.
15．解：∵∠ADB ＝30°，∠ACB ＝15°，∴∠CAD ＝∠ADB －∠ACB ＝15°，(3分)∴∠ACB ＝∠CAD ，∴AD ＝CD ＝20米．(6分)又∵∠ABD ＝90°，∠ADB ＝30°，∴AB ＝12AD ＝10米，
∴树的高度为10米．(8分)
16．解：AE ⊥CF .(2分)理由如下：延长AE 交FC 于点G .∵∠ABC ＝90°，∴∠CBF ＝∠ABE ＝90°.(4分)在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，∵AE ＝CF ，AB ＝CB ，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF (HL)，∴∠EAB ＝∠FCB .(7分)∵∠FCB ＋∠CFB ＝90°，∴∠EAB ＋∠AFC ＝90°，∴∠AGF ＝90°，∴AE ⊥CF .(10分)
17．解：如图，连接BD .(2分)∵AB ＝AD ，∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴BD ＝AD ＝8，∠1＝60°.(5分)又∵∠1＋∠2＝150°，∴∠2＝90°.(7分)设BC ＝x ，∵四边形的周长为32，∴CD ＝32－AB －BC －AD ＝16－x .在Rt △BCD 中，由勾股定理得BC 2＝BD 2＋CD 2，即x 2＝82＋(16－x )2，(10分)解得x ＝10，∴16－x ＝6，∴BC ＝10，CD ＝6.(12分)
18.解：(1)△AOD 是直角三角形．(1分)理由如下：∵△ABC ，△OCD 是等边三角形，∴BC ＝AC ，OC ＝CD ，∠ACB ＝∠OCD ＝60°，∴∠BCO ＝∠ACD .在△BOC 与△ADC 中，⎩⎪⎨⎪
⎧OC ＝DC ，∠BCO ＝∠ACD ，BC ＝AC ，
∴△BOC ≌△ADC ，(4分)∴∠ADC ＝∠BOC ＝α＝150°，∴∠ADO ＝∠ADC －∠ODC ＝150°－60°＝90°，∴△AOD 是直角三角形．(6分)
(2)由(1)知△BOC ≌△ADC ，∴∠CBO ＝∠CAD .设∠CBO ＝∠CAD ＝a ，∠ABO ＝b ，∠BAO ＝c ，∠CAO ＝d ，则a ＋b ＝60°，b ＋c ＝180°－110°＝70°，c ＋d ＝60°，∴∠DAO ＝a ＋d ＝(a ＋b )＋(c ＋d )－(b ＋c )＝50°.由(1)可知∠ADC ＝∠BOC ＝α，∴∠ADO ＝∠ADC －∠CDO ＝α－60°.(8分)△AOD 为等腰三角形有以下三种情况：①AO ＝AD ，则∠AOD ＝
∠ADO ，∴
180°－50°
2
＝α－60°，∴α＝125°；(10分)②OA ＝OD ，则∠OAD ＝∠ADO ，∴α－60°＝50°，∴α＝110°；(12分)③OD ＝AD ，则∠OAD ＝∠AOD ，∴180°－（α－60°）
2＝50°，
∴α＝140°.综上所述，当α为125°或110°或140°时，△AOD 是等腰三角形．(14分)。