导数中参数的取值范围

导数中参数范围问题

例１.已知32()39f x x x x =--在区间(,21)a a -上单调递减，求则a 的取值范围

例２.已知321()53

f x x x ax =++-， （１）若()f x 的单调递减区间是(3,1)-， 求a 的取值范围

（２）若()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，求a 的取值范围

变式１.若函数32

()31,f x x ax x =+++在()0,+∞上单调递增，求a 的取值范围.

例3．若函数3223

()(0)f x x tx t x t t =--+>在[2,2]-上单调递减，求t 的取值范围.

法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim 0x a f x →= 及()lim 0x a g x →=； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0；

(3)()()

lim x a f x l g x →'='，

那么 ()()lim x a f x g x →=()()

lim x a f x l g x →'='。 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)()lim 0x f x →∞= 及()lim 0x g x →∞=；

(2)0A ∃f ，f(x) 和g(x)在(),A -∞与(),A +∞上可导，且g '(x)≠0；

(3)()()

lim x f x l g x →∞'='， 那么 ()

()

lim x f x g x →∞=()()lim x f x l g x →∞'='。 法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim x a f x →=∞及()lim x a g x →=∞； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0；

(3)()()

lim x a f x l g x →'='， 那么 ()()lim x a f x g x →=()()

lim x a f x l g x →'='。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

○

1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a +→，x a -→洛必达法则也成立。 ○2洛必达法则可处理00，∞∞

，0⋅∞，1∞，0∞，00，∞-∞型。 ○3在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞

，0⋅∞，1∞，0∞，00，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

○

4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 1.(2010年全国新课标理)设函数2

()1x f x e x ax =---。

（1） 若0a =，求()f x 的单调区间；

（2） 若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围

2．（2011年全国新课标理）已知函数，曲线x b x x a x f ++=

1ln )(,在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。 （Ⅰ）求a 、b 的值；

（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x >

+-，求k 的取值范围。

3、的取值范围。恒成立，求对于若不等式a x ax x x )2,

0(sin 3π∈->

（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1f ()1x x x x

=++，所以 22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x

---+=+--。 考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x --(0)x >，则22(1)(1)2'()k x x h x x

-++=。

（i ）设0k ≤，由22

2

(1)(1)'()k x x h x x +--=知，当1x ≠时，'()0h x <，h （x ）递减。而(1)0h =故当(0,1)x ∈时， ()0h x >，可得21()01h x x

>-； 当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得

211x - h （x ）>0 从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（1ln -x x +x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x +x

k . （ii ）设0

244(1)0k ∆=-->，对称轴x=111k >-.

当x ∈（1，k -11）时，（k-1）（x 2 +1）+2x>0,故'h （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，

k -11）时，h （x ）>0，可得211x

-h （x ）<0,与题设矛盾。 （iii ）设k ≥1.此时212x x +≥，2(1)(1)20k x x -++>⇒'h （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，

+∞）时，h （x ）>0，可得211x

- h （x ）<0,与题设矛盾。 综合得，k 的取值范围为（-∞，0]

原解在处理第（II ）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下：

另解：（II ）由题设可得，当0,1x x >≠时，k<

22ln 11x x x

+-恒成立。 令g (x)= 22ln 11x x x +-(0,1x x >≠),则()()()22221ln 121x x x g x x +-+'=⋅-， 再令()()221ln 1h x x x x =+-+(0,1x x >≠)，则()12ln h x x x x x '=+-，()212ln 1h x x x ''=+-，易知()212ln 1h x x x

''=+-在()0,+∞上为增函数，且()10h ''=；故当(0,1)x ∈时，()0h x ''<，当x ∈（1，+∞）时，()0h x ''>；

∴()h x '在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数；故()h x '>()1h '=0

∴()h x 在()0,+∞上为增函数