最新高三数学一模试卷
上海高中2024年高三第一次模拟考试(数学试题含解析)
上海高中2024年高三第一次模拟考试（数学试题含解析）请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）A ．1M ∈B ．{1,1}M =-C ．M ∅⊆D ．M N ⊆ 2．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题 3．已知数列{}n a 中，112,()1,n n n a n a a a n N *+=-=+∈ ，若对于任意的[]*2,2,a n N ∈-∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．(][),21,-∞-⋃+∞B ．(][),22,-∞-⋃+∞C ．(][),12,-∞-⋃+∞D ．[]2,2- 4．已知15455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c b a >>5．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（ ）A ．23-B ．23C ．3D ．-36．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：参加用户比 40% 40% 10% 10%脱贫率 95% 95% 90% 90%那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ）A ．2728倍B ．4735倍C ．4835倍D ．75倍 7．已知函数()()614,7,7x a x x f x a x -⎧-+≤=⎨>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1(,0)2-B ．1(2,)2-C ．(1,1)-D ．1(,1)28．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．2D ．－2 9．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）10．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则x y +=（ ）A ．170B ．10C ．172D ．12 11．下列与函数y x=定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2x y = B ．21log 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．21log y x = D ．14y x =12．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）．A ．122B ．112C ．102D ．92二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年山东省菏泽市高三一模考试数学试题及答案
2024 年高三一模考试数学试题一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1.已知样本数据为xx1、xx2、xx3、xx4、xx5、xx6、xx7, 去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比, 下列数字特征一定不变的是A. 极差B. 平均数C. 中位数D. 方差2.已知复数zz满足zz(1+i)=i2024, 其中i为虚数单位, 则zz的虚部为A. −12B. 12C. −12iD. √223.已知集合AA={xx∣xx=3nn,nn∈ZZ},BB={xx∣0≤xx≤6}, 则AA∩BB=A. {1,2}B. {3,6}C. {0,1,2}D. {0,3,6}4.pp:mm=2,qq:(mmxx+yy)5的展开式中xx2yy3项的系数等于 40 , 则pp是qq的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5.已知向量aa=(sin θθ,cos θθ),bb=(√2,1), 若aa⋅bb=|bb|, 则tan θθ=A. √22B. √2C. √3D. √326.已知ff(xx)=xxℎ(xx), 其中ℎ(xx)是奇函数且在R上为增函数, 则A. ff�log213�>ff�2−32�>ff�2−23�B. ff�2−32�>ff�2−23�>ff�log213�C. ff�log213�>ff�2−23�>ff�2−32�D. ff�2−23�>ff�2−32�>ff�log213�7.已知圆C1:xx2+(yy−3)2=8与圆C2:(xx−aa)2+yy2=8相交于A、 B两点, 直线AB交xx轴于点P, 则SS△CC1PPCC2的最小值为A. 32B. 92C. 272D. √2328.若数列{aa nn}的通项公式为aa nn=(−1)nn−1nn, 记在数列{aa nn}的前nn+2(nn∈NN∗)项中任取两数都是正数的概率为PP nn, 则A. PP1=23B. PP9<PP10C. PP10<PP11D. PP11<PP12二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.9.已知函数ff(xx)=Asin (ωωxx+φφ)(AA>0,ωω>0,0<φφ<ππ)的部分图像如图所示, 令gg(xx)=ff(xx)−2sin2�ππ2+xx�+1, 则下列说法正确的有A. ff(xx)的最小正周期为ππB. gg(xx)的对称轴方程为xx=kkππ+ππ3(kk∈z)C. gg(xx)在�0,ππ2�上的值域为�−1,12�D. gg(xx)的单调递增区间为�kkππ+ππ3,kkππ+5ππ6�(kk∈z)10.如图, 在棱长为 2 的正方体AABBAAAA−AA1BB1AA1AA1中, PP为侧面AAAAAA1AA1上一点, QQ为BB1AA1的中点, 则下列说法正确的有A. 若点PP为AAAA的中点, 则过PP、QQ、AA1三点的截面为四边形B. 若点PP为AA1AA的中点, 则PPQQ与平面BBAAAA1BB1所成角的正弦值为√105C. 不存在点PP, 使PPQQ⊥AA1AAD. PPQQ与平面AAAAAA1AA1所成角的正切值最小为√5511.如图, 过点AA(aa,0)(aa>0)的直线AABB交抛物线yy2=2ppxx(pp>0)于AA,BB两点, 连接AAAA、BBAA,并延长, =−aa于MM,NN两点, 则下列结论中一定成立的有A. BBMM//AANNB. 以AABB为直径的圆与直线xx=−aa相切C. SS△AAAAAA=SS△MMAAMMD. SS△MMCCMM2=4SS△AAMMCC⋅SS△AACCMM三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.12.如图, 在正四棱台AABBAAAA−AA1BB1AA1AA1中, AA1BB1=√2,AABB=2√2,该棱台体积V=14√33, 则该棱台外接球的表面积为____________13.已知斜率为√3的直线过双曲线AA:xx2aa2−yy2bb2=1(aa>0,bb>0)的右焦点FF且交双曲线右支于AA、BB两点, AA在第一象限, 若|AAFF|=|AAFF|, 则AA的离心率为_________14.关于xx的不等式xxee aaxx+bbxx−ln xx≥1(aa>0)恒成立, 则bb aa的最小值为_______四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13 分) 已知数列{aa nn}的前nn项和为SS nn, 且SS nn=2aa nn−2(nn∈NN∗).(1) 求数列{aa nn}的通项公式;(2) 若bb nn=log2aa2nn−1,cc nn=1bb nn bb nn+1, 求证: cc1+cc2+cc3+⋯+cc nn<12.16.(15 分) 某商场举行 “庆元宵, 猜谜语” 的促销活动, 抽奖规则如下: 在一个不透明的盒子中装有若干个标号为1,2,3的空心小球, 球内装有难度不同的谜语. 每次随机抽取 2 个小球, 答对一个小球中的谜语才能回答另一个小球中的谜语, 答错则终止游戏. 已知标号为1,2,3的小球个数比为1:2:1, 且取到异号球的概率为57.(1) 求盒中 2 号球的个数;（2）若甲抽到 1 号球和 3 号球，甲答对球中谜语的概率和对应奖金如表所示, 请帮甲决策猜谜语的顺序 ()球号 1 号球 3 号球答对概率0.8 0.5奖金100 50017.(15 分) 如图, 已知AABBAAAA为等腰梯形, 点EE为以BBAA为直径的半圆弧上一点, 平面AABBAAAA⊥平面BBAAEE,MM为AAEE的中点, BBEE=AABB=AAAA=AAAA=2,BBAA=4.(1) 求证: AAMM/ /平面AABBEE;(2) 求平面AABBEE与平面AAAAEE所成角的余弦值.18.(17 分) 如图, 已知椭圆AA:xx2aa2+yy2bb2=1(aa>bb>0)与yy轴的一个交点为AA(0,√2), 离心率为√22,FF1,FF2为左、右焦点, MM,NN为粗圆上的两动点, 且∠MMAAFF1=∠NNAAFF1.(1) 求粗圆AA的方程;(2) 设AAMM,AANN的斜率分别为kk1,kk2, 求kk1kk2的值;(3) 求△AAMMNN面积的最大值.19.(17 分) 帕德近似是法国数学家亨利. 帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法. 给定两个正整数mm,nn, 函数ff(xx)在xx=0处的[mm,nn]阶帕德近似定义为:RR(xx)=aa0+aa1xx+⋯+aa mm xx mm1+bb1xx+⋯+bb nn xx nn, 且满足: ff(0)=RR(0),ff′(0)=RR′(0),ff′′(0)=RR′′(0),⋯, ff(mm+nn)(0)= RR(mm+nn)(0).(注: ff′′(xx)=[ff′(xx)]′,ff′′′(xx)=[ff′′(xx)]′,ff(4)(xx)=[ff′′′(xx)]′,ff(5)(xx)=�ff(4)(xx)�′,⋯;ff(nn)(xx)为ff(nn−1)(xx)的导数)已知ff(xx)=ln (xx+1)在xx=0处的[1,1]阶帕德近似为RR(xx)=aaxx1+bbxx.(1) 求实数aa,bb的值;(2) 比较ff(xx)与RR(xx)的大小;(3) 若ℎ(xx)=ff(xx)RR(xx)−�12−mm�ff(xx)在(0,+∞)上存在极值, 求mm的取值范围.2024.03高三数学一模试题参考答案一、单选题 1—8．CADA BCBC二、多选题 9—11. ACD AB ACD三、填空题 12.16π 1313+ 14.-1 四、解答题15题解析：(1)由S n =2a n −2 ①当n =1时，S 1=2a 1−2=a 1解得a 1=2 当n ≥2时，S n−1=2a n−1−2 ②①−②得a n =2a n−1 ∴a n =a 12n−1=2n经验证a 1符合上式，所以a n =2n ---------------------------------------6分 (2)证明：由(1)知a 2n−1=22n−1∴b n =log 2a 2n−1=2n −1，b n+1=2n +1------8分则c n =1b n b n+1=12(12n−1−12n+1)---------------------10分 c 1+c 2+c 3+⋯+c n =12(11−13+13−15+⋯+12n −1−12n +1)=12(1−12n +1)<12------------------------------------13分16. （1）由题意可设1，2，3号球的个数分别为n ，2n ，n ，则取到异号球的概率 P =2C n 1C 2n1+C n 1C n 1C 4n2=57 -----2分∴2∙5n 24n(4n −1)=57即n 2=2n 解得n =2 -----4分 所以盒中2号球的个数为4个. -----5分 （2）若甲先回答1号球再回答3号球中的谜语，因为猜对谜语的概率相互独立，记X 为甲获得的奖金总额，则X 可能的取值为0元，100元，600元， P (X =0)=0.2P (X =100)=0.8×(1−0.5)=0.4 P (X =600)=0.8×0.5=0.4X 的分布列为： -----8分X 的均值为 E (X )= -----9分 若甲先回答3号球再回答1号球，因为猜对谜语的概率相互独立，记Y 为甲获得的奖金总额，则Y 可能的取值为0元，500元，600元， P (Y =0)=0.5P (Y =500)=0.5×(1−0.8)=0.1P (Y =600)=0.8×0.5=0.4 -----12分 Y 的分布列为：Y 的均值为E (Y )=290 -----13分 因为E (Y )>E (X )，所以推荐甲先回答3号球中的谜语再回答1号球中的谜语. -----15分17.(1)取BE 的中点N ，连接AN ，MN ，则MN //=12BC又∵AD //=12BC ∴MN //=AD∴ANDM 为平行四边形∴DM ∥AN -----3分 又DM ⊄平面ABE AN ⊂平面ABE∴DM ∥平面ABE -----5分(2)取AD 中点为F ，过点O 作直线BC 的垂线交BC ̂于点G ，分别以OG ，OC ，OF 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ∵BC 为直径，∴BE =12BC∴∠BCE =30∘，∠BOE =60∘，∠EOG =30∘，在梯形ABCD 中易求高为√3 -----7分 ∴E(√3，−1，0)，C(0，2，0)，D(0，1，√3)，B(0，−2，0)，A(0，−1，√3) ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3，−3，0)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，−1，√3)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3，1，0)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1，√3) ----9分设平面DCE 的法向量为m ⃗⃗ =(x ，y ，z)则{m ⃗⃗ ∙CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗ ∙CD⃗⃗⃗⃗⃗ =0∴{√3x −3y =0−y +√3z =0令y =√3则x =3， z =1∴m ⃗⃗ =(3，√3，1)同理求得平面ABE 的法向量为n ⃗ =(1，−√3，1) -----13分 设平面ABE 与平面CDE 所成的角为α 则cos α=|m⃗⃗⃗ ∙n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |∙|n ⃗ ||=√6565∴平面ABE 与平面CDE 所成角的余弦值为√6565. -----15分18.解：（1）由题意得，2222b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解之得2242a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆C 的程为221.42x y +=.----------------3分(2)由（1）知14所以b c AF O π==∠=,设直线AM 、AF 1、AN 的倾斜角分别为1112,tan ,tan ,,4、、、则k k 则MAF F AN αγθπαθβγαβθβγθ+=⎧∠=∠====⎨-=⎩所以πα+β=θ=22，--------------------------------------------------------6分所以所以即πα=-β=αβ==β121tan tan(),tan tan 1,12tan k k ----------------------------------------------------------------------------------------------8分 （3）设直线AM：=+1y k x解方程组⎧=+⎪⎨+=⎪⎩122142y k x x y得221211221212)0,,1212（同理得M Nk x x x x k k ++=∴=-=-++， 由（2）知112211,,2N k k x k =∴=-+ -------------------------------10分2222222221111sin 22()(1)又（y AMNM M M M M SAM AN MAN AM AM AN AM x x k x k x ∴=∠===⋅=+=+=+222222222221122211122222222222221212212111(1)(,,2,1()4,()41(N N N N N N N（）同理，，（）（）M M M N N M NM M N M M M kk AN k x x AM AN x x k k AM AN x y x y x x k x k x x x k AM AN x x AMAN AM AN x x x x k k k ++=+==⋅==+=+∴⋅=∴-⋅=-+=-222221114)(),2N N 1分M M x x k x x k =----------- 1111221111112211111122422211111111211111111221221116163216111,212(12)(2)252252()911,（）（）令t=则AMNM N AMNSk x x k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k o S k ∴==-=---++--=-=-==-----------++++++-+->=12692,,2932773当2即k =取等号，所以的最大值是1分AMN t t t t t S-±≤====+----------------------19.解：（1）由()l )1n(1()，ax R x x bxf x =+=+，223112(),(),(),(),1(1)(1)(1)知a abf x f x R x R x x x bx bx -''''''==-==++++由题意(0)(0)(0)(0)，f R f R ''==，所以11,212所以a=1,b=a ab =⎧⎨=-⎩ --------------------3分（2）由(1)知，2()2x R x x =+，令()()ln(1)2()(1),2-x Rx x x x f x x ϕ=>-+=-+ 则22214()1(2)(1)(2())，所以x x o x x x x x ϕϕ'=-=>++++在其定义域(-1,+∞)内为增函数，又(0)(0()()(0)0;(0)0,0()0() 1()()(0)0时， 时 ）f R x R x x f x x f x x R x ϕϕϕϕϕ==-=-≥=-=<∴≥<-=<()(); 0 1()().0所以时，时,f x R x f R x x x x ≥-<<<≥--------------7分222()()11()()()()ln(1),()2111(1)ln(1)ln(1)()1(3)由f x h x m f x m x R x xmx x x x h x m x x x x x ==--=+++-++'∴=-++++()1()()()()2由f x h x m f x R x =--在(0,+∞)上存在极值，所以()h x '在(0,+∞)上存在变号零点. []2()(1)ln(1),()21ln(1)12ln(1),1()21令则g x mx x x x g x mx x mx x g x m x '=+-++=+-++=-+''=-+()()0,()()(0)0,()()(0)00,,.0为减函数，在①当时，上为减函数，无零点，不满足条件g x g x g x g g x g x m g '''''<<=<=<+∞()()0,()()(00)0,()()(0)0,.,21②当2为增函数，在无零点，不满足1,即时，上为增函数，条件m m g x g x g x g g x g x g '''''+>>>>=>=∞min 11()02,1121101()0,()1()0,()22111()(1)2(1)ln(11)12ln 2;2222 即 当时，为减函数；时，为增函1③当021,0时，令数即，m m g x m x x mx g x g x x g x g x m mg x g m m m m m m''<<<<==∴=-+''''''<<-<>->''∴=-=---+=-+2221()1ln ,01,()0,(1)(12)ln 202110,01,(1)01,1ln(1)ln(1);11()(1)ln(1)1令易证恒成立；，H x x x x H x g m m mmx mx x m x m mx x mx x x x mx x g x x x x '=-+<<<∴-=-+<--><<∴-<∴>-∴+-+>-+++⎡⎤+=+-+⎢⎥+⎣⎦221()ln(1)1ln(1)ln(1)(1)ln(1),11ln(1)()(1)(1)(1)22令易证mx x mx l x x x mx x m x x m x x x m m l x m x m x m x +-=-+=+-+>-+=+-+-+++≤⎡∴>+-=+-++-⎢⎣2216161,1,(1)028(1)022令则1 (0<<)mx x x m m m x m m m m +-≥=-+=∴+-=->216()0,(1)0即l x l m ∴>->由零点存在定理可知，2021216,1()(,)122上存在唯x 在一零点m m m m l x m --⎛⎫+∞-∈ ⎪⎝⎭101()0,(),(0)0,21()0,(0,1)2时，为减函数所以此时，在 又由③知，当内无零点,x g x g x g mg x m''''<<-<='<----------------------------------- ----- ------17分()()10,0,.2上存在变号零点，综上所述实数m 的取值范在围为g x ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭∴。
2024-山东省潍坊市2024届高三一模数学-试题含解析
山东省潍坊市2024届高三一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知平面向量()1,2a =r ，()1,b λ=- ，若a b ⊥ ，则实数λ=（）A ．12B ．12-C ．2-D ．22．已知抛物线:C 2x y =上点M 的纵坐标为1，则M 到C 的焦点的距离为（）A ．1B ．54C ．32D ．23．已知集合(){}3log 212A x x =+=，集合{}2,B a =，其中R a ∈．若A B B ⋃=，则=a （）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知等差数列{}n a 的前n 项和为174,1,510n S a S a =-=+，则4S =（）A ．6B ．7C ．8D ．105．12世纪以前的某时期，盛行欧洲的罗马数码采用的是简单累数制进行记数，现在一些场合还在使用，比如书本的卷数、老式表盘等．罗马数字用七个大写的拉丁文字母表示数目：I V X L C D M 1510501005001000例如：58LVIII =，464CCCCLXIIII =．依据此记数方法，MMXXXV =（）A ．2025B ．2035C ．2050D ．20556．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为截面11A C B 上的动点，若1DP AC ⊥，则点P 的轨迹长度是（）17．已知数列{}n a 满足10a =，21a =．若数列{}1n n a a ++是公比为2的等比数列，则2024a =（）A ．2023213+B ．2024213+C ．101221-D ．101121-8．已知直三棱柱111ABC A B C -外接球的直径为6，且AB BC ⊥，2BC =，则该棱柱体积的最大值为（）A ．8B ．12C ．16D ．24二、多选题9．某科技攻关青年团队有6人，他们年龄分布的茎叶图如图所示，已知这6人年龄的极差为14，则（）A ．8a =B ．6人年龄的平均数为35C ．6人年龄的75%分位数为36D ．6人年龄的方差为64310．函数2()cos 2cos 1f x x x x ωωω=+-（01ω<<）的图象如图所示，则（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．)3π(2y f x =+是奇函数C ．π()cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称D ．若()y f tx =（0t >）在[]0,π上有且仅有两个零点，则1117[,)66t ∈11．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，且()()2f x f x x --=，()()20g x g x +-=，则（）A ．()01g =B ．()f x y x=的图象关于点()0,1对称C ．()()20f x f x +-=D ．()212nk n n g k =-=∑（*N n ∈）三、填空题12．已知i 是虚数单位，若复数z 满足()2i i z +=，则i2z =-．13．第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派5人参加连续6天的志愿服务活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有种．（结果用数值表示）14．已知平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：2y x =，2l ：2y x =-，点P 为平面内一动点，过P 作2//DP l 交1l 于D ，作1//EP l 交2l 于E ，得到的平行四边形ODPE 面积为1，记点P 的轨迹为曲线Γ．若Γ与圆22x y t +=有四个交点，则实数t 的取值范围是．四、解答题15．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin cos a B B c +=．(1)求A ；(2)若c =a =D 为BC 的中点，求AD ．16．已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）中，点A ，C 分别是E 的左、上顶点，AC =且E的焦距为(1)求E 的方程和离心率；(2)过点()1,0且斜率不为零的直线交椭圆于R ，S 两点，设直线RS ，CR ，CS 的斜率分别为k ，1k ，2k ，若123k k +=-，求k 的值．17．如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，下底面ABCD 是平行四边形，120ABC ∠=︒，1122AB A B ==，8BC =，1A A =1DD DC ⊥，M 为BC的中点．(1)求证：平面11CDD C ⊥平面1D DM ；(2)若14D D =，求直线DM 与平面11BCC B 所成角的正弦值．18．若ξ，η是样本空间Ω上的两个离散型随机变量，则称(,)ξη是Ω上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设(,)ξη的一切可能取值为(,)i j a b ，,1,2,i j =⋅⋅⋅，记ij p 表示(,)i j a b 在Ω中出现的概率，其中(,)[()()]ij i j i j p P a b P a b ξηξη====== ．(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为ξ，2号盒子中的小球个数为η，则(,)ξη是一个二维随机变量．①写出该二维离散型随机变量(,)ξη的所有可能取值；②若(,)m n 是①中的值，求(,)P m n ξη==（结果用m ，n 表示）；(2)()i P a ξ=称为二维离散型随机变量(,)ξη关于ξ的边缘分布律或边际分布律，求证：1()i ij j P a p ξ+∞===∑．19．已知函数1()2ln f x m x x x=-+（0m >）．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：2322221111(1)(1(1)e 234n+++⋅⋅⋅+<（*n ∈N ，2n ≥）；(3)若函数221()ln 2g x m x x x=--+有三个不同的零点，求m 的取值范围．参考答案：1．A【分析】利用向量垂直的坐标表示，列式计算即得.【详解】平面向量()1,2a =r ，()1,b λ=- ，由a b ⊥，得120a b λ⋅=-+= ，所以12λ=.故选：A 2．B【分析】首先求出抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义计算可得.【详解】抛物线:C 2x y =的准线方程为14y =-，又点M 在抛物线上且纵坐标为1，所以点M 到C 的焦点的距离为41154⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故选：B 3．D【分析】首先求出集合A ，依题意可得A B ⊆，即可求出a 的值.【详解】由()3log 212x +=，则2213x +=，解得4x =，所以(){}{}3log 2124A x x =+==，又{}2,B a =，A B B ⋃=，即A B ⊆，所以4a =.故选：D 4．C【分析】根据题意，由等差数列的前n 项和公式即可得到45a =，再由等差数列的求和公式即可得到结果.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，则()17474772722a a a S a +⨯===，又74510S a =+，则447510a a =+，即45a =，则()()1444415822a a S +-+===.故选：C 5．B【分析】根据给定的信息，直接写出该数即可.【详解】依题意，每个M 表示1000，左起两个M 就表示2000，每个X 表示10，中间3个X 就表示30，最后一个V 表示5，因此MMXXXV 表示的数是20003052035++=所以2035MMXXXV =.故选：B 6．B【分析】连接1,DC BD ，利用线面垂直的判定推理证得1AC 平面1BC D 即可确定点P 的轨迹得解.【详解】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，连接1,,DC BD AC ，由1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，得1BD AA ⊥，而BD AC ⊥，11,,AA AC A AA AC ⋂=⊂平面1AA C ，则BD ⊥平面1AA C ，又1AC ⊂平面1AA C ，于是1BD AC ⊥，同理11BC A C ^，而11,,BC BD B BC BD =⊂ 平面1BC D ，因此1A C ⊥平面1BC D ，因为1DP A C ⊥，则DP ⊂平面1BC D ，而点P 为截面11A C B 上的动点，平面11AC B ⋂平面11BC D BC =，所以点P 的轨迹是线段1BC .故选：B 7．A 【分析】利用等比数列求出112n n n a a -++=，进而求得2112(2)n n n a a n -+--=≥，再利用累加法求通项得解.【详解】依题意，121a a +=，112n n n a a -++=，当2n ≥时，212n n n a a --+=，则2112n n n a a -+--=，所以35202120242426420242022()()()12222a a a a a a a a =+-+-++-=+++++101120232(14)211143-+=+=-.故选：A 8．C【分析】由已知求出多面体外接球的半径，设(06)AB x x =<<，把棱锥体积用含有x 的代数式表示，再由基本不等式求最值．【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中AB BC ⊥，所以ABC 为直角三角形，则ABC 外接圆的圆心为斜边AC 的中点，同理111A B C △外接圆的圆心为斜边11A C 的中点，如图，直三棱柱111ABC A B C -外接球的直径为6，∴外接球的半径3R =，设上下底面的中心分别为1O ，O ，连接1O O ，则外接球的球心G 为1O O 的中点，连接GC ，则3GC =，设(06)AB x x =<<，所以AC =，则OC =，在Rt COG 中，OG =1OO =∴该棱柱的体积12162V x =⨯=≤=．当且仅当2232x x =-，即4x =时等号成立．故选：C ．9．ACD 【分析】根据极差求出a ，从而求出平均数、方差，再根据百分位计算规则判断C.【详解】因为这6人年龄的极差为14，即()422014a -+=，解得8a =，故A 正确；所以这6人年龄分别为28、30、32、36、36、42，则6人年龄的平均数为()1283032363642346+++++=，故B 错误；又675% 4.5⨯=，所以6人年龄的75%分位数为从小到大排列的第5个数，即36，故C 正确；又6人年龄的方差()()()()()()222222216428343034323436343634423463S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦，故D 正确.故选：ACD 10．ACD【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数()f x ，结合给定图象求出ω，再逐项判断即可.【详解】依题意，π()2cos 22sin(2)6f x x x x ωωω=+=+，由(2π)3f =，得πππ22π,Z 362k k ω⋅+=+∈，解得13,Z 2k k ω=+∈，而01ω<<，解得12ω=，π()2sin()6f x x =+，()f x 的最小正周期为2π，A 正确；π(22sin(22co πs 236π3y f x x x =+=++=是偶函数，B 错误；ππ(cos 2sin()cos 63y f x x x x =+=+，令π()2sin()cos 3g x x x =+，则ππππππ()2sin()cos()2cos cos[(2sin()cos ()626233g x x x x x x x g x -=--=-+=+=，π(cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称，C 正确；π()2sin()6f tx tx =+，0t >，当[]0,πx ∈时，πππ[,π666tx t +∈+，依题意，π2ππ3π6t ≤+<，解得1117[,)66t ∈，D 正确.故选：ACD 11．ABD【分析】对于A ，对条件()()2f x f x x --=，求导可得；对于B ，对条件()()2f x f x x --=，两边同时除以x 可得；对于C ，反证法，假设C 正确，求导，结合条件()(2)0g x g x +-=，可得(0)0g =与(0)1g =矛盾，可判断C ；对于D ，求出()10g =，()21g =-，所以有(2)()2g n g n +-=-，()()211g g -=-，*N n ∈，得出数列{()}g n 是以0为首项，1-为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可判断．【详解】因为()()2f x f x x --=，所以()()2f x f x '+-='，即()()2g x g x +-=，令0x =，得(0)1g =，故A 正确；因为()()2f x f x x --=，当0x ≠时，()()2f x f x x x-+=-，所以()f x y x=的图象关于点()0,1对称，故B 正确；对于C ，假设()(2)0f x f x +-=成立，求导得()(2)0f x f x ''--=，即()(2)0g x g x --=，又()(2)0g x g x +-=，所以()0g x =，所以(0)0g =与(0)1g =矛盾，故C 错误；对于D ，因为()()2g x g x +-=，()(2)0g x g x +-=，所以(2)()2g x g x ---=-，(0)1g =，()10g =，()21g =-，所以有(2)()2g n g n +-=-，所以数列{}()g n 的奇数项是以0为首项，2-为公差的等差数列，数列{}()g n 的偶数项是以1-为首项，2-为公差的等差数列，又()()211g g -=-，*N n ∈，所以数列{}()g n 是以0为首项，1-为公差的等差数列，所以()1g n n =-，所以21()2nk n n g k =-=∑，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是()()2f x f x x --=，()()20g x g x +-=的应用，D 选项关键是推出{}()g n 是以0为首项，1-为公差的等差数列.12．i 5【分析】利用复数除法法则进行计算出答案..【详解】()i 2i i 2iz z +=⇒=+，故()()2i i i i i i i 22245z ===-+--.故答案为：i 513．120【分析】首先考虑甲连续2天的情况，再其余4人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得.【详解】在6天里，连续2天的情况，一共有5种，则剩下的4人全排列有44A 种排法，故一共有445A 120⨯=种排法．故答案为：120．14．()1,4【分析】设点()00,P x y ，则点P 到1l 的距离为d =再联立直线PD 与2y x =的方程，求出点D 的坐标，进而表达出平行四边形ODPE 面积，再结合平行四边形ODPE 面积为1求出点P 的轨迹方程，再利用双曲线的性质求解．【详解】设点()00,P x y ，则点P 到1l 的距离为d =，直线PD 方程为0022y x x y =-++，联立00222y x x y y x =-++⎧⎨=⎩，解得0024D x y x +=，所以OD =所以1ODPE S OD d ===平行四边形，所以22014y x -=±，所以点P 的轨迹Γ为两个双曲线2214y x -=、2214y x -=，因为双曲线2214y x -=的实半轴长为1，双曲线2214y x -=的实半轴长为2，若Γ与圆22x y t +=有四个交点，则12<，即14t <<，所以实数t 的取值范围是(1,4)．故答案为：()1,4．【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是求出动点P 的轨迹方程，最后结合双曲线的性质求出t 的取值范围.15．(1)π42【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式得到sin cos A A =，即可得解；（2）由余弦定理求出b ，再由()12AD AB AC =+，根据数量积的运算律计算可得.【详解】（1）因为()sin cos a B B c +=，由正弦定理得sin (sin cos )sin A B B C +=，在ABC 中，sin sin()C A B =+，则有sin (sin cos )sin()A B B A B +=+，sin sin sin cos sin cos cos sin A B A B A B A B ∴+=+，sin sin cos sin A B A B ∴=，又()0,πB ∈，sin 0B ∴>，sin cos A A ∴=，tan 1A ∴=，又()0,πA ∈，π4A ∴=；（2）根据余弦定理有2222cos a b c bc A =+-，则有2522b b =+-，解得3b =或1b =-（舍去），D 为BC 的中点，则()12AD AB AC =+，()222111722923444AD AB AC AB AC ⎛∴=++⋅=⨯++= ⎝⎭，AD ∴=16．(1)2214x y +=，2e =(2)3【分析】（1）由||AC 的值，可得a ，b 的关系，再由焦距可得c 的值，又可得a ，b 的关系，两式联立，可得a ，b 的值，即求出椭圆的方程；（2）设直线RS 的方程，与椭圆的方程联立，消元、列出韦达定理，求出直线CR ，CS 的斜率之和，由题意整理可得参数的值，进而求出直线RS 的斜率的大小．【详解】（1）由题意可得(,0)A a -，(0,)C b ，可得AC ==2c =c =可得2223a b c -==，225a b +=，解得24a =，21b =，所以离心率c e a ==所以椭圆的方程为2214x y +=，离心率2e =；（2）由（1）可得(0,1)C ，（3）（4）由题意设直线RS 的方程为1x my =+()0m ≠，则1k m=，设()11,R x y ，()22,S x y ()120x x ≠，联立22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理可得22(4)230m y my ++-=，显然0∆>，且12224my y m +=-+，12234y y m =-+，直线CR ，CS 的斜率1111y k x -=，2221y k x -=，则12211212121211(1)(1)(1)(1)(1)(1)y y my y my y k k x x my my --+-++-+=+=++1212212122(1)()2()1my y m y y m y y m y y +-+-=+++22222322(1)2244321144mm m m m m m m m m m --⋅+-⋅-++==---⋅+⋅+++，因为123k k +=-，即231m -=-，解得13m =，所以直线RS 的斜率13k m==．即k 的值为3．17．(1)证明见解析；(2)67.【分析】（1）利用平行四边形性质及余弦定理求出DM ，进而证得DM CD ⊥，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理即得.（2）由已知证得1D D ⊥平面ABCD ，再以D 为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.【详解】（1）在ABCD Y 中，由120ABC ∠=︒，得60DCM ∠=︒，而2,4DC CM ==，在DCM △中，由余弦定理，得DM =则222DM CD CM +=，即DM CD ⊥，又1CD D D ⊥，1DD DM D = ，1,DD DM ⊂平面1D DM ，因此CD ⊥平面1D DM ，而CD ⊂平面11CDD C ，所以平面11CDD C ⊥平面1D DM .（2）在四棱台1111ABCD A B C D -中，由112AB A B =，得1128AD A D ==，有114A D =，在梯形11ADD A 中，18,4AD DD ==，过1A 作11//A E D D 交AD 于点E ，则14,4AE A E ==，又1AA =22211AE A E AA +=，则1A E AD ⊥，即1D D AD ⊥，又1,,,D D CD AD CD D AD CD ⊥=⊂ 平面ABCD ，于是1D D ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，以1,,DM DC DD的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，1(0,0,0),(0,2,0),(0,1,4),D C C M，1(2,0),(0,1,4)MC CC =-=- ，设平面11BCC B 的法向量为(,,)n x y z =，则12040MC n y CC n y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令z =，得(4,n =，而DM =，设DM 与平面11BCC B 所成角大小为θ，因此||4sin |cos ,|67||||DM n DM n DM n θ⋅=〈〉==，所以直线DM 与平面11BCC B18．(1)①(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0)；②9!!(3)!2m n m n ⋅--；(2)证明见解析.【分析】（1）①根据题意直接写出所有可能取值；②利用独立重复试验的概率、条件概率公式及独立事件的概率公式列式化简即得.（2）利用全概率公式及互斥事件的加法公式推理即可.【详解】（1）①该二维离散型随机变量(,)ξη的所有可能取值为：(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0).②依题意，03m n ≤+≤，(,)(|)()P m n P m n P n ξηξηη=====⋅=，显然3312()C ()(33n n n P n η-==，则3333111(|)C ()(C (222m m n m mn n n P m n ξη-----====，所以3333112(,)C ()C (()233mn n n n n P m n ξη---===⋅331C C 279!!(3)!2n m n m n m n -==⋅--.（2）由定义及全概率公式知，12({([(]})))()()i i j P a P a b b b ξξηηη====== 12{[([(([(})()]))])()]i i i j P a b a b a b ξηξηξη======= 12[([(()()]))]))][((i i i j P a b P a b Pa b ξηξηξη===+==++==+ 11[))](((,)i j i j j j P a b P a b ξηξη+∞+∞========∑∑ 1ij j p +∞==∑.【点睛】关键点睛：利用全概率公式求随机事件B 的概率问题，把事件B 分拆成两个互斥事件AB 与AB 的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键.19．(1)答案见解析；(2)证明见解析；(3)(1,)+∞.【分析】（1）求出函数()f x 的导数，按01m <≤与1m >分类讨论求出()f x 的单调区间.（2）利用（1）中1m =时的结论，再利用裂项相消法求和，推理即得.（3）变形函数()g x ，将()g x 的零点个数问题转化为()f t 的零点个数，再借助导数及零点存在性定理求解.【详解】（1）函数()f x 定义域为(0,)+∞，求导得2222121()1m x mx f x x x x -+-'=--=，设2()21k x x mx =-+-，则24(1)m ∆=-，①当01m <≤时，0,()0f x ∆'≤≤恒成立，且至多一点处为0，函数()f x 在(0,)+∞上递减；②当1m >时，0,()k x ∆>有两个零点120,0x m x m =->=+>，则当10x x <<或2x x >时，()0k x <，即()0f x '<；当12x x x <<时，()0k x >，即()0f x '>，即函数()f x 在12(0,),(,)x x +∞上单调递减，在12(,)x x 上单调递增，所以当01m <≤时，()f x 的递减区间为(0,)+∞；当1m >时，()f x的递减区间为(0,)m m +∞，递增区间为(m m .（2）由（1）知，当1m =时，(1,)x ∈+∞时，1()2ln (1)0f x x x f x=-+<=，则1ln 22x x x<-，令*211(,2)x n n n =+∈≥N ，于是2222222111111111ln(1)(1()112212(1)4n n n n n n n +<+-=+<<++-111122n n =--+，22221111ln(1)ln(1)ln(1ln(1234n ++++++++ 111111212()(()11111113322332222222n n n <-+-++-=-<-+-+-++ ，所以2322221111(1(1)e 234n+++⋅⋅⋅+<.（3）函数222221(1)()ln 2ln (ln )(ln )x g x m x x m x m x m x x x -=--+=-=，由于ln x 与1x -同号，则ln y m x =+1x =，令t =(1)0f =，则()g x 有三个不同的零点等价于函数()f t 有三个不同的零点，由（1）知，当01m <≤时，()f t 在(0,)+∞上单调递减，不合题意；当1m >时，由（1）知，()f x 的两极值点12,x x 满足121=x x ，所以121t t =，得121t t <<，由(1)0f =，则12)((1)(0)f t f f t <=<，由（2）知，当1t >时，1ln 22t t t<-，则<，即ln t <因此2222222211114(42ln(442(2)40)4)424m f m m m m m m m m m m m -=-+<--+=<，由零点存在性定理知，()f t 在区间()22,4t m 上有唯一的一个零点0t ，显然000000001111(()2ln 2ln 0)f t f m t t m t t t t t +=-++-+=，而0()0f t =，则0)(10f t =，于是当1m >时，()f t 存在三个不同的零点001,1,t t ，所以m 的取值范围是(1,)+∞.【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用函数零点的意义等价转化，构造函数并用导数探讨函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.。
2024长春高三一模试卷数学
长春市2024年高三第一次模拟考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合U =R ，集合20,{2}3x A x B x x x +⎧⎫=≥=>⎨⎬-⎩⎭，则()UA B = ð（）A.{2x x ≤-或3}x >B.{23}x x <≤C.{23}x x -<≤ D.{23}x x <<2.已知复数z 满足()34i 7i z +=+，则z =（）A.1B.C.D.3.在ABC 中，若4AB AC AP += ，则PB =（）A.3144AB AC -B.3144AB AC-+C.1344AB AC-+D.1344AB AC -4.新课程改革后，普通高校招生方案规定：每位考生从物理、化学、生物、地理、政治、历史六门学科中随机选三门参加考试，某省份规定物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有（）A .14种B.15种C.16种D.17种5.已知直线l 过抛物线C ：24y x =的焦点且与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点关于y 轴的对称点在直线2x =-上，则AB =（）A.3B.4C.5D.66.已知π2sin 128α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πsin 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.116B.23C.12D.15167.2023120222023112023log ,20222,202a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a c b >>B.b a c>> C.c b a>> D.a b c>>8.半径为R 的球面上有,,,A B C D 四点，且直线,,AB AC AD 两两垂直，若ABC ，ACD △，ADB △的面积之和为72，则此球体积的最小值为（）A.64πB.2563π C.144πD.288π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，则下列说法错误的是（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差10.已知函数()sin (010)6f x x πωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，且()3f x f x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则（）A.06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B.()f x 的图象关于直线6x π=对称C.若()()()12120f x f x x x ==≠，则12x x -是25π的整数倍D.()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调11.已知等比数列{}n a 首项11a >，公比为q ，前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，函数()()()()127f x x x a x a x a =+++ ，若()01f '=，则（）A.{}lg n a 为单调递增的等差数列B.01q <<C.11n a S q ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭为单调递增的等比数列 D.使得1n T >成立的n 的最大值为612.已知函数()21xx x f x e+-=，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 存在两个不同的零点B.函数()f x 既存在极大值又存在极小值C .当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根D.若[),x t ∈+∞时，()2max 5f x e=，则t 的最小值为2第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知(2,),(1,3)a m b ==- ，若a b ⊥，则m =___________．14.已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，l 为双曲线的一条渐近线，F 到直线l，过F 且垂直于x 轴的直线交双曲线C 于A 、B 两点，若AB 长为10，则C 的离心率为________．15.若圆22:1024880C x y x y +-++=关于直线260ax by ++=对称，则过点(,)a b 作圆C 的切线，切线长的最小值是________．16.已知函数()f x 是R 上的奇函数，函数()g x 是R 上无零点的偶函数，若()0f π=，且()()()()f x g x f x g x ''>在(,0)-∞上恒成立，则()0()f xg x <的解集是___________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等差数列{}n a 的公差不为0，且满足21421234,4a a a a a a a =++=+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求证：1223111114n n a a a a a a ++++< .18.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C的对边，且:2a b =2sin B A =．（1）求角B 的大小；（2）若2a =，求△ABC 的面积．19.在如图所示的四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD的中点．（1）证明：//PB 平面ACE ；（2）若1PA AD ==，2AB =，求二面角E AC B --的余弦值．20.“学习强国”平台自上线以来，引发社会各界广泛关注，在党员干部中更是掀起了一股学习热潮．该平台以全方位、多维度、深层次的形式，展现了权威、准确、生动、有力的“视听盛宴”，为广大党员干部提供了便捷的学习平台、自我提升的“指南针”、干事创业的“加油站”．某单位为调查工作人员学习强国的情况，随机选取了400人（男性、女性各200人），记录了他们2021年年底的积分情况，并将数据整理如下：积分性别2000~3000（分）3001~4000（分）4001~5000（分）5001~6000（分）＞6000（分）男性8060302010女性206010020（1）已知某人积分超过5000分被评定为“优秀员工”，否则为“非优秀员工”，补全下面的2×2列联表，并据此判断能否有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关；优秀员工非优秀员工总计男性女性总计（2）以样本估计总体，以频率估计概率，从已选取的400人中随机抽取3人，记抽取的3人中属于“非优秀员工”的人数为X ，求X 的分布列与数学期望．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．()20P K k ≥0.100.050.0250.0100k 2.7063.8415.0246.63521.已知点()2,1P --为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>上一点，且椭圆C 的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，过点P 作直线PA ，PB ，与椭圆C 分别交于点A ，B ．（1）求椭圆C 的标准方程与离心率；（2）若直线PA ，PB 的斜率之和为0，证明：直线AB 的斜率为定值．22.已知函数2()ln(1)()f x x a x a =--∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在2x =处取得极值，对x (1,+)∀∈∞，1()ln 1x f x bx x-≤++恒成立，求实数b 的取值范围．数学试卷答案第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】B【10题答案】【答案】AD【11题答案】【答案】BCD【12题答案】【答案】ABC第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．【13题答案】【答案】23【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】12【16题答案】【答案】(,1)(0,1)-∞- 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【17题答案】【答案】（1）2n a n =；（2）证明略.【18题答案】【答案】（1）4B π=；（2）212ABC S =+ 或212-.【19题答案】【答案】（1）证明略（2）23-【20题答案】【答案】（1）列联表略，没有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关（2）分布列略，数学期望为218【21题答案】【答案】（1）22163x y +=，离心率为22；（2）证明略.【22题答案】【答案】（1）当0a =时，()f x 在(1,+)∞上单调递增；当0a ≠时，()f x 在21(1,1a +上单调递增，在21(1+,+)a ∞上单调递减.（2）211,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭。
2024届上海市宝山区高三一模数学试卷(含答案)
2024届上海市宝山区高三一模数学试卷考生注意：1．本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；2．本试卷包括试卷卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3．在本试卷卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分．1. 函数()()1lg −=x x f 的定义域是2. 已知向量()1,2m a =，()3,1−=m b ，若b a ⊥，则实数=m3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1134=+a a 则=16S4. 设x R ∈,则方程211x x x −=+−的解集为5. 在一次为期30天的博览会上，主办方统计了每天的参观人数（单位：千人），得到样本的茎叶图（如右图），则该样本的第70百分位数是6. 设b a 、为常数，若1,1−<>b a ，则函数b a y x+=的图像必定不经过第 象限7. 设函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥−=)0(1)0(121x xx x x f ，若()a a f =，则实数a 的值为 8. 若对于任意实数x ，都有()()()()2344012342222x a a x a x a x a x =++++++++，则3a 的值为9. 如图，在圆锥O S −中，AC 为底面圆O 的直径，1==OC SO ,点B 在底面圆周上，且BC AB =.若E 为线段AB 上的动点，则SEC ∆的周长最小值为10. 随着我国国民教育水平的提高，越来越多的有志青年报考研究生.现阶段，我国研究生入学考试科目为思政、外语和专业课三门，录取工作将这样进行：在每门课均及格（60分）的考生中，按总分进行排序，择优录取.振华同学刚刚完成报考，尚有11周复习时间，下表是他每门课的复习时间和预计得分.设思政、外语和专业课分配到的周数分别为x y z 、、，，则自然数数组(),,x y z = 时，振华被录取的可能性最大.11. 已知函数()()311f x x =++，正项等比数列{}n a 满足1012110a =，则()20231lg k k f a ==∑ 12. 设点P ，在直线052:=−−y x l ，上，点Q ，在线线x x y ln +=Γ：，上，线段PQ ，的中点为M ，O 为坐标原点，则OM 的最小值为 .二、选择题，（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分），每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分.13．“1>x ”是“1>x ”的 （ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件14．下列说法中错误的是 （ ） A.一组数据的平均数、中位数可能相同B.一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多C.平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量D.极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量15. 已知z 是复数，z 是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （ ）A ．22z z=B ．若1z =，则1i z −−1C ．若()212i z =−，则复平面内z 对应的点位于第一象限D ．若13i −是关于x 的方程20()x px q p q R ++=∈、的一个根，则8q =−16. 已知集合S 是由某些正整数组成的集合，且满足：若a S ∈，则当且仅当(),a m n m n S m n =+∈≠其中、，或(),a p q p q S p q =+∉≠其中正整数、且. 现有如下两个命题: ①4S ∈； ②集合{}35,x x n n N S =+∈⊆.则下列选项中正确的是 （ ） A ．①是真命题， ②是真命题； B ．①是真命题， ②是假命题； C ．①是假命题， ②是真命题； D ．①是假命题， ②是假命题.三、解答题，（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片． （1）若一次抽取3张卡片，事件A 表示“3张卡片上数字之和大于7”，求()A P ；（2）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件B 表示“两次抽取的卡片上数字之和大于6”，求()B P ；（3）若一次抽取2张卡片，事件C 表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件D 表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”.验证C 、D 是独立的． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在ABC ∆中，角C B A 、、 的对边分别为c b a 、、.(1) 若2sin a B =，求角A 的大小； (2) 若BC 边上的高等于2a，求c b b c +的最大值.19．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 如图，在直三棱柱111C B A ABC −，中，2==BC AB ，，21==AA AC ，且E D 、分别是11C A AC 、的中点.（1）证明：⊥AC BE ；（2）求三棱锥ABE D −的体积；（3）求直线BD 与平面ABE 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分） 以坐标原点为对称中心，焦点在x 轴上的椭圆Γ过点()2,0A −，且离心率为23. （1）求椭圆Γ的方程；（2）若点()1,0B ，动点M 满足MB MA 2=，求动点M 的轨迹所围成的图形的面积； （3）过圆422=+y x 上一点P （不在坐标轴上）作椭圆Γ的两条切线21l l 、.记、OP 21l l 、的斜率分别为210k k k 、、,求证：()2210−=+k k k .21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题①满分6分，第2小题②满分8分）. 已知函数()e x f x x =−，()e x g x x −=+，其中e 为自然对数的底数. （1）求函数()y f x =的图像在点()()1,1f 处的切线方程； （2）设函数()()()F x af x g x =−，①若e a =，求函数()y F x =的单调区间，并写出函数()y F x m =−有三个零点时实数m 的取值范围；②当01a <<时，12x x 、分别为函数()y F x =的极大值点和极小值点，且不等式()()120F x tF x +>对任意()0,1a ∈恒成立，求实数t 的取值范围.参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1.()∞+，1 2.1 3.8 4.(][)∞+∞−，，10 5.48 6.二7.1− 8.8− 9.123++ 10.()5,4,2 11.2023二、选择题，（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分） 13. A 14.B 15.B 16.C三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分） 解：（1）若一次抽取3张卡片，共包含()321，，、()421，，、()431，，、()432，，共4个基本事件.其中事件()(){}4,3,2431、，，=A 包含2个基本事件 .............2分 所以()2142P A ==...........4分 （2）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，共包含1644=⨯个基本事件， 其中事件()()(){}3,44,44,3、、=B 包含3个基本事件 ...........6分所以()316P B =............8分（3）一次抽取2张卡片,共包含624=C 个基本事件，事件()(){}4,22,1，=C ，所以()2163P C ==...........9分事件()()(){}4,34,24,1、、=D ，所以()3162P D == ...........10分当D C 、，同时生生， 2，张卡片上数字之和是3，的倍数同时积是4，的倍数，有有一取取法()4,2，所以()16P C D =...........12分 因为()()()P C D P C P D =，所以事件C 与事件D 是独立的． ...........14分18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：(1)根据正弦定理得2sin sin A B B = ...........2分 所以23sin =A...........4分所以323ππ或=A...........6分（2）由三角形面积公式得A bc a a sin 212121=⋅， A bc a sin 22= ...........8分又由余弦定理A bc c b a cos 2222−+=得A bc c b A bc cos 2sin 222−+= ...........10分解得()A A bc c b cos sin 222+=+从而()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+4sin 22cos sin 222πA A A bc c b . ..........12分当24ππ=+A 4π=A 时bc c b 22+有最大值22cbb c +的最大值为22. ...........14分 19．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解：（1）证明：易知1//AA DE 由易知直三棱柱111C B A ABC −知ABC AA 面⊥1所以ABC DE 面⊥从而BD 是BE 在ABC 面内的投影ABC ∆中，BC AB =，D 为AC 中点，则BD AC ⊥ 由三垂线定理知⊥AC BE . ..........4分（2）等腰ABC ∆中，2==BC AB ，，2=AC 从而1=BD所以211121=⨯⨯=∆ABD S...........6分 由ABC DE 面⊥，且，21==AA DE所以312213131=⨯⨯=⋅=∆−DE S V ABD ABD E ...........8分又因为ABD E ABE D V V −−=所以三棱锥ABE D −的体积为31. ...........10分(3)由（2）31==−−ABD E ABE D V V令点D 到面ABE 的距离为d ，则有3131=⋅=∆−d S V ABE ABE DABE ∆中，2=AB ，5==BE AE ,从而23=∆ABE S . ..........12分所以32=d...........14分设直线BD 与平面ABE 所成角为α，则32sin ==BD d α所以直线BD 与平面ABE 所成角的大小为32sinarc . ...........16分另解（空间向量）相应给分以D 为坐标原点，射线DE DB DA 、、分别为z y x 、、轴建立空间直角坐标系. 则()()()()2,0,00,0,10,1,00,0,1E C B A ，，，−（1）()()2,10,0,0,2−=−=，BE AC ..........2分 因为0=⋅BE AC所以⊥AC BE . .........4分 （2）设平面ABE 的一个法向量()z y x n ,,=()()0,11,2,0,1，−=−=AB AE则有⎩⎨⎧=+−=+−02y x z x 令1=z ，则()1,2,2=n ..........6分又(),2,0,0=DE所以点D 到面ABE的距离32==d..........8分ABE ∆中，2=AB ，5==BE AE ,从而23=∆ABE S 所以3132233131=⨯⨯=⋅=∆−d S V ABEABE D 三棱锥ABE D −的体积为31. ..........10分（3）直线BD 与平面ABE 所成角为α，由（2）知平面ABE 的一个法向量()1,2,2=n ，且()0,10−=，BD则32sin ==α..........14分所以直线BD 与平面ABE 所成角的大小为32sinarc . ..........16分 20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分） 解：（1）由题设知椭圆Γ中，23,2===a c e a 得3=c由222c b a +=得1=b .........2分所以椭圆Γ的方程为2214x y +=..........4分 （2）设(),M x y ， 由MB MA 2=得()()[]2222142y x y x +−=++化简得()4222=+−y x . .........6分表示的是以()0,2为圆心，2为半径的圆，其面积为π4. ..........8分 （3）设()0000,,(,0)P x y x y ≠，且42020=+y x 设过点P 的直线m kx y +=与椭圆相切，联立⎩⎨⎧=++=4422y x m kx y 化简得()()014841222=−+++m kmx x k ..........10分 由()()014116642222=+−−=∆k m m k 得1422+=k m ..........12分 点()00,P x y 在直线m kx y +=上，得00kx y m −=代入上式()142200+=−k kx y化简得()01242000220=−++−y k y x k x因为21l l 、是椭圆的两条切线，所以21k k 、是上面方程的两根 由韦达定理得42200021−=+x y x k k . .........13分 由42020=+y x 得20204y x −=− 所以002002122y x y y x k k −=−=+..........14分 又00x y k =所以()22000210−=⋅−=+x y y x k k k . ..........16分21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题①满分6分，第2小题②满分8分）. 解：（1）由导函数()'e 1x f x =−，得()'1e 1f =−， ..........2分 故切线方程为()()()1e 11y f x −=−−， ()e 1y x =−. ........4分 （2）()()e exxF x a x x −=−−−，，导函数()()()()e 1e 1'e 1+e1e xx x xxa F x a −−−=−−=，，①当e a =时，()1ee e x x F x x x +−=−−−，令()()()1e 1e 1'0x x xF x +−−==，得0x =或1x =−， .........6分所以F x 的单调增区间为,1−∞−和0,+∞，单调减区间为1,0−；.........8分 极大值()12F −=，极小值()0e 1F =−，又()5414e 4e 42eF =−−−>，()344e 4e e 4e 1F −−=+−+<−，结合单调性 故函数()y F x m =−有三个零点时m 的取值范围为()()()0,1F F − ()e 1,2−；.........10分 ②令()'0F x =得e 1x=或1e 1x=>，0x =或1ln ln 0x a ==−>，所以12， .........12分 故()()1010F x F a ==−<，()()()()211ln ln ln 1ln 10F x F a a a a a a a a F x a ⎛⎫=−=+−+=++−<< ⎪⎝⎭，所以0t <， .........13分 设()()()()()1211ln 1,0,1a F x tF x a t a a a a ϕ=+=−+++−∈⎡⎤⎣⎦，可知()10ϕ=， .........14分()()11'1ln 11ln ,0,1a a t a t a a a a ϕ+⎛⎫⎛⎫=++−=++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()()1ln ,0,1m a a a a =+∈，其导函数为()22111'a m a a a a−=−=，可得()'0m a <，所以()()0,1a m a ∈在上严格减，且()()11m a m >=，.........16分()111,'1ln 110t a a a ϕ⎛⎫︒≤−≤−+<−= ⎪⎝⎭，所以()()0,1a a ϕ∈在上严格减，()()10a ϕϕ>=，符合题意；210,t ︒−<<存在()00,1a ∈，使得()0'0a ϕ=，所以(0,1a a a ∈在上上严格增，且10a <=，不符合题意； 综上所述，实数t 的取值范围为(],1−∞−..........18分另解：相应给分分离参数得()a a a at −++−<1ln 11令()()()1,0,1ln 11∈−++−=a aa a aa ϕ由计算器得()1−>a ϕ 所以1−≤t .。
2024北京顺义区高三一模数学(第二次统练)试题及答案
2024北京顺义高三一模数学（第二次统练）第一部分(选择题 共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）设集合{}24U x Z x =∈≤， {}1,2A =，则U C A =（A ）[]2,0-（B ）{}0（C ）{}2,1--（D ）{}2,1,0--（2）已知复数z 的共轭复数z 满足()12i z i +⋅=，则z z ⋅=（A （B ）1（C ）2（D ）4（3）在5(21)x -的展开式中，4x 的系数为（A ）80-（B ）40-（C ）40（D ）80（4）已知4log 2a =，e12b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12c π=，则（A ）a b c>>（B ）b a c>>（C ）c b a>>（D ）c a b>>（5）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =，1lg lg lg 2nn n a a ++=，N n *∈，则9S =（A ）511（B ）61（C ）41（D ）9（6）已知抛物线:C 24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，直线PF 与l 相交于点Q ，与y 轴交于点M ，若F 为PQ 的中点，则PM =（A ）4（B ）6（C ）（D ）8（7）若函数()1,0,0,0,1,0.x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩则“120x x +>”是“()()120f x f x +>”的（8）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 是线段1BC 上的动点，有下列四个说法：考生须知1.本试卷共5页，共两部分，21道小题，满分150分。
考试时间120分钟。
2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和班级。
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答。
2025届浙江省台州市高三一模数学试卷(含答案)
2025届浙江省台州市高三一模数学试卷2024.11本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．选择题部分（共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知tan 2α=，则cos 2α的值为（ ）A B ．45C ．35D ．35−2．椭圆221:194x y E +=与椭圆222:1(04)94x y E k k k+=<<−−的（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等3．若复数z 是方程2250x x −+=的一个虚根，则z z +=（ ）A ．−2B ．2C ．4i −D ．4i4．已知集合{}{}223,23xAx xx Bx x =+<=+<，则“x A ∈”是“x B ∈”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知变量x 与y 的成对样本数据具有线性相关关系，由一元线性回归模型2,()0,(),Y bx a e E e D e σ=++ ==根据最小二乘法，计算得经验回归方程为ˆˆ1.6yx a =+，若10x =，15y =，则ˆa =（ ） A ．6.6B ．5C ．−1D ．−146．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当(0,)x ∈+∞时，3()log f x x =，则(9)f −=（ ） A ．−3B ．−2C ．2D ．37．已知球O 的半径为3，P 是球O 表面上的定点，S 是球O 表面上的动点，且满足()20SO SP OP +⋅=，则线段OS 轨迹的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．8．台州某校为阳光体育设计了一种课间活动，四位同学（两男两女）随机地站到4×4的方格场地中（每人站一格，每格至多一人），则两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也既不同行也不同列的概率是（ ）A ．2465B ．1235C ．2165D ．3391二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列选项正确的是（ ）A ．若随机变量1~(6,)3XB ，则4()3D X =B ．若随机变量~(6,4)X N ，则()6E X =C ．若随机变量X 服从0—1分布，且1(1)3P X ==，则1()3D X =D ．若机变量X 满足22426(),0,1,2k kC C P X k k C −⋅===，则2()3E X =10．已知函数()2sin sin ,f x a x x a R =−−∈，且0a ≠，则下列选项正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的图象关于直线π2x =对称 C ．1212,,()()4x x R f x f x ∀∈−≤D ．(1,3),()a f x ∃∈在[0，π2]上有两个不同的零点 11．已知棱长为3的正四面体1,,,,[0,1]2A BCD AE AD BF BC EM EF λµλµ−===∈，则下列选项正确的是（ ）A ．当12µ=时，0EF BC ⋅=B ．当12µ<时，EF <C ．当EF = λµ+的最大值为43D ．当EF = 时，则2AM 的最大值为非选择题部分（共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛” 的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设从上到下各层球的个数构成一个数列{}n a ，则10a = ▲ ．13．若1()1x xe f x ax e −=++在R 上单调递减，则实数a 的最大值为 ▲ ．14．已知圆22:0C x y Dx Ey +++=，其中0D <，若圆C 上仅有一个点到直线20x +−=的距离为1，则ED的值为 ▲ ；圆C 的半径取值可能为 ▲ （请写出一个可能的半径取值）． 四、解答题：本大题共5小题，共77分。
浙江省金华市2024-2025学年高三上学期一模考试数学试题含解析
金华十校2024年11月高三模拟考试数学试题卷（答案在最后）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上.2.选择题的答案须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦干净.3.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区域内，答案写在本试题卷上无效.选择题部分（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}22M x x =-<<，{}1,0,1,2,3N =-，则M N = （）A.{}1,0,1- B.{}1,0,1,2- C.{}1,0- D.{}0,1【答案】A 【解析】【分析】根据集合的交集运算即可.【详解】因为集合{}22M x x =-<<，{}1,0,1,2,3N =-，所以M N = {}1,0,1-.故选：A.2.在复平面中，若复数z 满足1i 1z =-，则z =（）A.2 B.1C.D.【答案】D 【解析】【分析】由复数的计算化简得到复数z ，再求模长.【详解】∵1i 1z =-，∴11i i z -==-，∴1i z =-，∴=故选：D.3.若,a b ∈R ，则a b =是22a b =的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件概念，结合指数函数性质判断即可.【详解】考虑条件a b =.这意味着a 和b 要么相等，要么互为相反数.考虑等式22a b =.由于2x y =是单调递增的，所以22a b =当且仅当a =b .如果a =b ，那么a b =必然成立.但是，如果a b =，a 和b 可以互为相反数，此时22a b =不一定成立.因此，我们得出结论：a b =是22a b =的必要不充分条件.故选：B.4.已知点F 为抛物线C ：()220y px p =>的焦点，点()3,M m 在抛物线C 上，且4MF =，则抛物线C的方程为（）A.2y x =B.22y x= C.24y x= D.26y x=【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线的定义，结合已知条件，求得p ，即可求得抛物线方程.【详解】根据题意，连接MF ，过M 作MH 垂直于抛物线的准线2px =-，垂足为H ，作图如下：由抛物线定义可知3422M p pMF MH x ==+=+=，解得2p =，故抛物线方程为：24y x =.故选：C.5.已知πtan 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin cos αα⋅=（）A.14B.4C.12-D.32【答案】B 【解析】【分析】根据两角和的正切公式可得tan α的值，再将弦化切，即可求解.【详解】由πtan 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭得πtan αtan6π1tan αtan 6+=-3tan α3+=3tan α3=，所以222sin cos tan αsin cos sin αcos αtan α1αααα⋅⋅==++2333413==⎛+ ⎝⎭，故选：B.6.已知函数()32f x x ax bx c =+++的部分图像如图所示，则以下可能成立的是（）A.2a =，1b =B.1a =-，2b =C.2a =-，1b =D.2a =，1b =-【答案】C 【解析】【分析】由图象可知：()f x 在()0,∞+内有两个极值点，即()0f x '=有两个不同的正根，结合二次函数的零点分布列式求解即可.【详解】因为()32f x x ax bx c =+++，则()232f x x ax b '=++，由图象可知：()f x 在()0,∞+内有两个极值点，即()0f x '=有两个不同的正根，则()2Δ41200300a b a f b ⎧=->⎪⎪->⎨⎪=>⎩'⎪，可得0a b ⎧<⎪⎨>⎪⎩对比选项可知：ABD 错误，C 正确.故选：C.7.某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A 、B 可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题A 的人数多于选辩题B 的人数，则（）A.选辩题A 的女生人数多于选辩题B 的男生人数B.选辩题A 的男生人数多于选辩题B 的男生人数C.选辩题A 的女生人数多于选辩题A 的男生人数D.选辩题A 的男生人数多于选辩题B 的女生人数【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的性质以及简单的逻辑推理，找出正确的选项即可.【详解】设选辩题A 的男生有x 人，选辩题A 的女生有y 人，选辩题B 的男生有m 人，选辩题B 的女生有n 人.已知该班女生人数多于男生人数，即y n x m +>+；又知选辩题A 的人数多于选辩题B 的人数，即x y m n +>+.将这两个不等式相加得到：22y x n m x n ++>++，两边同时消去x n +得到22y m >，即y m >.这就意味着选辩题A 的女生人数多于选辩题B 的男生人数.故选：A.8.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为P 为正方体内部一动点，球O 为正方体内切球，过点P 作直线与球O 交于M ，N 两点，若OMN 的面积最大值为4，则满足条件的P 点形成的几何体体积为（）A.32π3B.C.16π3-D.32π3-【答案】D 【解析】【分析】根据几何性质可得OM ON ⊥，则2OP R ≥，从而可得满足条件的P 点形成的几何体，根据几何体的体积计算即可得结论.【详解】因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为，则正方体内切球球O 的半径12R =⨯=，所以11sin sin 4sin 22OMN S OM ON MON MON MON =⋅⋅∠=⨯∠=∠ ，因为[]0,MON π∠∈，则()max sin 1MON ∠=，若OMN 的面积最大值为4，即OM ON ⊥，由于P 在MN 上，则22222OP R ≥=⨯=，则满足条件的P 点形成的几何体为正方体去掉以O 为球心，2为半径的球体，故其体积为(33423π-⨯=32π3-.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量()3,4a = ，()4,b m =，则（）A.5a = B.min1a b-= C.若a b ∥，则3m = D.若a b ⊥，则3m =【答案】AB 【解析】【分析】运用平面向量的模长计算公式计算，根据向量平行或垂直列等式求参数即可求解．【详解】解：向量()3,4a =，A ．||5a ==，故正确，符合题意；B ．()3,4a = ，()4,b m = ，则()1,4a b m -=--，所以a b -= ，当4m =时，min1a b-= ，正确，符合题意；C ．若a b ∥，则3160m -=，解得163m =，故错误，不符合题意；D ．若a b ⊥，则1240m +=，解得3m =-，故错误，不符合题意；故选：AB ．10.设函数()sin5sin cos xf x x x=⋅，则（）A.()f x 的图象有对称轴B.()f x 是周期函数C.()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D.()f x 的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项由偶函数得到y 轴是其中一条对称轴；B 选项用周期的定义找到其中一个周期为2π；C 选项通过两个特殊点函数值的大小判定函数在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭不是单调递增；D 选项由中心对称的定义验证是否成立即可.【详解】∵()()()()()sin5sin5sin5sin cos sin cos sin cos x x xf x f x x x x x x x---====-⋅--⋅⋅，∴()f x 是偶函数，关于y 轴对称，故A 正确；∵()()()()()sin 52πsin 52πsin 2πcos 2πsin cos x xf x f x x x x x++===++，∴2πT =是函数()f x 的一个周期，故B 正确；()2sin5sin2x f x x =，∵π2sinπ220ππ10sin sin55f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，π2sin π2π5sin 5f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，显然ππ105f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调递增，故C 错误；()ππsin5sin5ππcos5cos5220ππππ22cos sin cos sin sin cos sin cos 2222x x x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-++=+=+= ⎪ ⎪⋅⋅-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-⋅-+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴()f x 的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称.故选：ABD.11.从棱长为1个单位长度的正四面体的一顶点A 出发，每次均随机沿一条棱行走1个单位长度，设行走n 次时恰好为第一次回到A 点的概率为()n P n +∈N ，恰好为第二次回到A 点的概率为()n Q n +∈N ，则（）A.329P =B.4127Q =C.2n ≥时，1n nP P +为定值D.数列{}n Q 的最大项为427【答案】A 【解析】【分析】根据题意计算3P 判断A 选项，发现规律求出n P 和1n P -的关系判断C 选项，根据规律求出4Q 判断B 选项，寻找规律求出1n nQ Q +，求出数列{}n Q 的最大项判断D 选项.【详解】由题意得对于任意一次行走，到达其他三个点概率均为13，10P =，213P =，第三次行走时，若第二次行走在A 点，那么第三次行走不可能到A 点，若第二次行走不在A 点，那么第三次行走到A 点概率为13，所以3212033913P ⨯+⨯==，故A 选项正确；第四次同理，均满足111110[1]33n n n n P P P P ----⨯+-⨯==，所以1n nP P +不为定值，故C 选项错误；因为第一次行走不可能回到A 点，所以第二次行走最多即第一次到A 点，所以120Q Q ==，若第二次行走到了A 点，则第三次行走不可能到A 点，假设第二次行走没到A 点，则第三次行走是第一次行走到A 点，所以30Q =，因为40Q ≠，所以只能是第2次和第4次行走到A 点，所以4212332713Q ⨯⨯==，故B 选项错误；52212121833333338113Q ⨯⨯⨯+⨯⨯==⨯，从6Q 开始寻找规律，第2和第6次行走到A 点，第3和第6次行走到A 点，第4和第6次行走到A 点，7Q 则为第2和第6次行走到A 点，第3和第6次行走到A 点，第4和第6次行走到A 点，第5和第7次行走到A 点，所以13123n n Q Q n n +⋅=--，所以1239n nQ n Q n +-=-，因为(2)(39)27n n n ---=-+在5n ≥小于0，所以1n n Q Q +<在[6,)+∞恒成立，所以5Q 为最大值881，故D 选项错误.【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解题意找出规律求出n P 和1n P -的关系和1n nQ Q +.非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列{}n a 为等差数列，11a =，238a a +=，则6a =______.【答案】11【解析】【分析】根据等差数列的公式求解公差d ，即可得6a 的值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为11a =，所以23123238a a a d d +=+=+=，解得2=d ，所以61515211a a d =+=+⨯=.故答案为：11.13.从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选法有______种【答案】16【解析】【分析】由组合数公式计算出所有选法，减去三个数都不相邻的选法即可.【详解】从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，共有36C 20=种选法，其中三个数都不相邻的，有135，136，146，246这4种，所以至少有两个数为相邻整数的选法有20-4=16种.故答案为：1614.已知双曲线C ：221x y -=，F 为右焦点，l 与C 交于M ，N 两点，设点()11,M x y ，()22,N x y ，其中120x x >>，过M 且斜率为1-的直线与过N 且斜率为1的直线交于点T ，直线TF 交C于A ，B 两点，且点T 为线段AB 的中点，则点T 的坐标为______.【答案】()【解析】【分析】设()00,T x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，根据题意可得直线TM ，TN 的方程，从而得()()()()12121212,22x x y y x x y y T ⎛⎫++--++ ⎪⎝⎭.设MN 中点为G ，则0OG OT k k -=，从而知O G T ，，三点共线，再根据题中数据进行计算即可.【详解】设()00,T x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，则直线TM ：()11y y x x -=--，直线TN ：22y y x x -=-，两直线联立，解得()()()()12121212,2,2x x y y x x x y y y ⎧++-=⎪⎪⎨-++⎪=⎪⎩即()()()()12121212,22x x y y x x y y T ⎛⎫++--++ ⎪⎝⎭.设MN 中点为G ，则1212,22x x y y G ++⎛⎫⎪⎝⎭，因为()()()()121212121212OG OT x x y y y y k k x x x x y y -+++-=-+++-()()()()()()()()()121212121212121212y y x x y y x x x x y y x x x x y y ⎡⎤⎡⎤+++--+-++⎣⎦⎣⎦=⎡⎤+++-⎣⎦()()()()()()()12121212121212y y y y x x x x x x x x y y +--+-=⎡⎤+++-⎣⎦()()()()()()()()()()()2222222212121212121212*********yy x x xx x x x x x x y y x x x x y y --------===⎡⎤⎡⎤+++-+++-⎣⎦⎣⎦，所以O G T ，，三点共线.因为()()222212121212222212121212111OG MNx x y y y y y y k k x x x x x x x x ---+--⋅=⋅===+---，且MN k =，所以22OG k =，所以22OT k =.同理知1OT AB k k ⋅=，即1OT TF k k ⋅=，设,2T t t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则22212t=，解得t =，所以()2T .故答案为：()2.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC V 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知()2cos cos c B A =.（1）求B ；（2）若ABC V 为等腰三角形且腰长为2，求ABC V 的底边长.【答案】（1）π6B =（2【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角化简可得B ；（2）分别讨论当B 为顶角和B 为底角时的底边长即可.【小问1详解】()2cos cos c B A -=，由正弦定理得：()2sin cos cos C A B B A=2sin cos C C B =，∵sin 0C ≠3cos 2B ∴=，∵()0,B π∈，π6B ∴=【小问2详解】当B 为顶角，则底边2π44222cos 86AC =+-⨯⨯⨯=-，AC ∴=当B 为底角，则该三角形内角分别为π6，π6，2π3，则底边为故ABC V 的底边长为-或16.如图，三棱锥A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，AD DB DC BC ===，E 为AB 中点，M 为DE 中点，N 为DC 中点.（1）求证：//MN 平面ABC ；（2）求直线DE 与平面ABC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）7.【解析】【分析】（1）连EC ，利用三角形中位线性质，线面平行的判定推理即得.（2）根据给定条件，作出三棱锥D ABC -底面上的高，利用几何法求出线面角的正弦.【小问1详解】连EC ，由M 为DE 中点，N 为DC 中点，得//MN EC ，又EC ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，所以//MN 平面ABC .【小问2详解】设AD DB DC BC a ====，由AD ⊥平面BCD ，,BD BC ⊂平面BCD ，得,AD BC AD DB ⊥⊥，则1222DE AB a ==，取BC 中点F ，则DF BC ⊥，又,,AD DF D AD DF =⊂ 平面ADF ，则⊥BC 平面ADF ，又⊂BC 平面ABC ，于是平面ADF ⊥平面ABC ，又平面⋂ADF 面ABC AF =，过点D 在平面ADF 内作DH AF ⊥于H ，于是DH ⊥平面ABC ，连EH ，则DEH ∠为直线DE 与平面ABC 所成的角，在Rt ADF 中，,2DF a AD a ==，AF ==，7AD DF DH a AF ⋅==，在Rt DEH △中，42sin 7DH DEH DE ∠==，所以直线DE 与平面ABC 所成角的正弦值7.17.已知函数()()21ln 12f x x a x a x =-+-，()0a >.（1）若1a =，求()f x 的单调区间；（2）若()22e f x ≥-，求a 的取值范围.【答案】（1）单调增区间为()1,+∞，减区间为()0,1（2）(]0,e【解析】【分析】（1）代入参数值，求导函数，解导函数大于0的不等式，得出增减区间；（2）求导函数，得到增减区间，求得最小值；由题意建立不等式，构建对应函数，由导函数求得单调区间得最小值再建立不等关系，得到范围.【小问1详解】当1a =时，()()()21111x x x f x x x x x-+-='=-=()0,1x ∴∈时， t ， t h ∞时， t ； 的单调增区间为 t h ∞，单调减区间为tt 【小问2详解】()()()1x a x f x x-+'=()0,x a ∴∈时， t ，(),x a ∞∈+时， t()()2min ln 2a f x f a a a a ∴==--+又()2e 2f x ≥- ，22e ln 22a a a a ∴--+≥-令()2ln 2a h a a a a =--+则()ln h a a a '=--，显然()h a '单调递减，且102h ⎛⎫> ⎪⎭'⎝，()10h '<∴必然存在唯一01,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00h a =当()00,a a ∈，()0h a '>，()h a 单调递增，当()0,a a ∞∈+，()0h a '<，()h a 单调递减由于(]0,1a ∈时，()2e ln 1022a h a a a ⎛⎫=--+>>- ⎪⎝⎭，成立当()1,a ∞∈+时，()h a 单调递减，且()2e e 2h =-，因此(]1,e a ∈成立综上，a 成立的范围为(]0,e18.已知()2,0A 和1,2B ⎛ ⎝⎭为椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b 上两点.（1）求椭圆C 的离心率；（2）过点()1,0-的直线l 与椭圆C 交于D ，E 两点（D ，E 不在x 轴上）.（i ）若ADE V ，求直线l 的方程；（ii ）直线AD 和AE 分别与y 轴交于M ，N 两点，求证：以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长为定值.【答案】（1）2（2）（i ）10x ±+=；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）根据给定的点A 和B 在椭圆上，以及椭圆的离心率公式求出椭圆的离心率；（2）（i ）借助韦达定理和面积公式计算即可；（ii ）可借助韦达定理和圆的弦长公式计算即可.【小问1详解】由()2,0A 可知24a =，求出2a =，代入31,2B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，得213144b +=，21b =，则2413=-=c ，c =，可知椭圆C 的离心率为32c e a ==.【小问2详解】（i ）由（1）可知椭圆C 的方程为2214x y +=，设()11,D x y ，()22,E x y ，过点()1,0-的直线l 为1x my =-，与2214x y +=联立得：()224230m y my +--=.()22Δ41240m m =++>恒成立.所以12224m y y m +=+，12234y y m -⋅=+12211336224ADE m S y y m =⋅⋅-=⋅==+ 得22m=，所以m =，直线的方程l 为：10x ±+=.（ii ）由（i ）可知，()12122824x x m y y m -+=+-=+()2212121224414m x x m y y m y y m -+⋅=⋅-++=+直线AD 的方程为()1122y y x x =--，令0x =，得1122M y y x -=-直线AE 的方程为()2222y y x x =--，令0x =，得2222N y y x -=-，记以MN 为直径的圆与x 轴交于P ，Q 两点，由圆的弦长公式可知，222222M N M N M N PQ y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()12121212122242224y y y y x x x x x x --⋅=-⋅=---⋅-++222222121214436441634444m m m m m m --++=-=-=-++++++所以233PQ =，为定值.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.19.已知正n 边形的每个顶点上有一个数.定义一个变换T ，其将正n 边形每个顶点上的数变换成相邻两个顶点上的数的平均数，比如：记n 个顶点上的n 个数顺时针排列依次为12,,,n a a a ⋅⋅⋅，则()112i i i a a T a -++=，i 为整数，21i n ≤≤-，()212n a a T a +=，()112n n a a T a -+=.设()()()()n i i T a T T T a =⋅⋅⋅（共n 个T ，表示n 次变换）（1）若4n =，i a i =，14i ≤≤，求()21T a ，()22T a ，()23T a ，()24T a ；（2）对于正n 边形，若()i i T a a =，1i n ≤≤，证明：121n n a a a a -==⋅⋅⋅==；（3）设42n k =+，k *∈N ，{}{}12,,,1,2,,n a a a n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，证明：存在m *∈N ，使得()()1,2,,m i T a i n =⋅⋅⋅不全为整数.【答案】（1）()212T a =，()223T a =，()232T a =，()243T a =.（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）涉及到根据给定的变换规则进行多次变换的计算，按照变换公式逐步计算即可.（2）需要利用假设和变换公式进行推导，结合等差数列性质公式，证明所有数相等.（3）运用反证法，要结合整数整除性质来证明存在这样的m .【小问1详解】当4n =时，()2i T a 的变换如下：所以()212T a =，()223T a =，()232T a =，()243T a =.【小问2详解】()i i T a a = ，112i i i a a a -++∴=，()21i n ≤≤-{}n a ∴成等差数列，令公差为d ，又()2112n a a T a a +==，则()11121a a n d a d =+-++，0d ∴=，则121n na a a a -==⋅⋅⋅==【小问3详解】反证法，假设对任意m *∈N ，()()1,2,m i Ta i n =⋅⋅⋅均为整数由于()112i i i a a T a -++=，()i T a 为整数，故1i a -与1i a +的奇偶性相同，故1341,,,k a a a +⋅⋅⋅同奇偶，2442,,,k a a a +⋅⋅⋅同奇偶，而{}{}1242,,,1,2,,42k a a a k +⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+，1242,,,k a a a +⋅⋅⋅中有21k +个奇数，21k +个偶数，故可不妨设1341,,,k a a a +⋅⋅⋅为奇数，设2442,,,k a a a +⋅⋅⋅为偶数.()()()13352421353222244a a a a T a T a a a a T a ++++++=== ，又()23T a 为整数，且341a k =+或()43k k N +∈，1a ∴和5a 除4的余数相同同理()()()57796825797222224a a a a T a T a a a a T a ++++++=== ，5a ∴和9a 除4的余数相同，()()()43414141424243414141222224k k k k k k k k k k a a a a T a T a a a a T a ---+---+-++++++=== ，43k a -∴和41k a +除4的余数相同.15941,,,,k a a a a +∴⋅⋅⋅除4的余数相同.()()()41113422241131222224k k k a a a a T a T a a a a T a +++++++++=== ，41k a +∴和3a 除4的余数相同()()()35574623575222224a a a a T a T a a a a T a ++++++=== ，3a ∴和7a 除4的余数相同.()24543414324k k k k a a a T a ----++= ，45k a -∴和41k a -除4的余数相同41371141,,,,k k a a a a a +-∴⋅⋅⋅除4的余数相同.综上，1341,,,k a a a +⋅⋅⋅除以4的余数都相同，而{}{}1242,,,1,2,,42k a a a k +⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+，矛盾！假设不成立，所以存在m *∈N ，使()()1,2,m i T a i n =⋅⋅⋅不全为整数.【点睛】关键点点睛：本题关键读懂新定义“变换”，结合等差数列和反证法解题，属于难题.。
2024北京朝阳高三一模数学试题及答案
2024北京朝阳高三一模数 学2024.4（考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集{1,2,3,4},{|2}U A x U x ==∈<，则UA =（A ）{1} （B ）{1,2}（C ）{3,4} （D ）{2,3,4}（2）复数i3i+在复平面内对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（3）在ABC △2sin b A =，则B ∠=（A ）6π （B ）6π或65π （C ）3π（D ）3π或32π （4）已知a ∈R ，则“01a <<”是“函数3()(1)f x a x =−在R 上单调递增”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知直线60x −+=222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r =（A ）2（B）（C ）4（D）（6）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12341,4a a a a =++=，则6S =（A ）9（B ）16（C ）21（D ）25（7）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的右焦点为F ，过点F 作垂直于x 轴的直线l ，,M N 分别是l与双曲线C 及其渐近线在第一象限内的交点．若M 是线段FN 的中点，则C 的渐近线方程为 （A ）y x =±（B）y = （C）y = （D）y = （8）在ABC △中，2,AB AC BC ===P 在线段BC 上．当PA PB ⋅取得最小值时，PA =（A（B（C ）34（D ）74（9）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，,,E F G 分别为棱11,,AA BC CC 的中点，动点H 在平面EFG 内，且1DH =．则下列说法正确的是 （A ）存在点H ，使得直线DH 与直线FG 相交G1A（B ）存在点H ，使得直线DH ⊥平面EFG （C ）直线1B H 与平面EFG 所成角的大小为π3（D ）平面EFG （10）已知n 个大于2的实数21,,,n x x x ，对任意(1,2,),i n x i =，存在2i y ≥满足i i y x <，且i i y x i i x y =，则使得12115n n x x x x −+++≤成立的最大正整数n 为（A ）14（B ）16 （C ）21 （D ）23第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2024届上海市黄浦区高三一模数学试题及答案
上海市黄浦区2024届高三一模数学试卷（满分150分，时间120分钟）2023.12.6一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合 2A x x ， 1B x x ，则A B ．2.若函数 1y x x a 为偶函数，则实数a 的值为．3.已知复数1z i （i 为虚数单位），则满足z w z 的复数w 为．4.5.6.7.某城市,34,36,418.在 若25a 9. 12010.若 ．11.设123,,,,n a a a a 是首项为3且公比为313233log log log a a a 1343log 1log 18n n a a 的最小正整数n 的值为．12.若正三棱锥A BCD 的底面边长为6，，动点P 满足DA CB PA PB PC PD ，则2PA PB PA 的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.设x R ，则“38x ”是“2x ”的（）.A 充分而不必要条件；.B 必要而不充分条件；.C 充要条件；.D 既不充分也不必要条件．14.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是（）.A 720；.B 710；.C 310；.D 35．15.若实数a 、b 满足221a b ab ，则必有（）.A 222a b ；.B 221a b ；.C 1a b ；.D 2a b ．16.O 最近的点为点①点p Q ）.A 三、17.4、3、2后，（1）（2）n t ，求数列 n t 的18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，平面ABCD 平面ADEF ，四边形ADEF 是正方形，//BC AD ，45BAD CDA ，2CD，AD （1）证明：CD 平面ABF ；（2）求二面角B EF A 的正切值．19.（折线DCE ）（1）（2）第18题图第19题图设a 为实数，1 是以点 0,0O 为顶点、以点10,4F为焦点的抛物线，2 是以点 0,A a 为圆心、半径为1的圆位于y 轴右侧且在直线y a 下方的部分．（1）求1 与2 的方程；（2）若直线2y x 被1 所截得的线段的中点在2 上，求a 的值；（3）是否存在a ，满足：2 在1 的上方，且2 有两条不同的切线被1 所截得的线段长相等？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．第20题图设函数 f x 与 g x 的定义域均为D ，若存在0x D ，满足 00 f x g x 且 00''f x g x ，则称函数 f x 与 g x “局部趋同”．（1）判断函数 151f x x 与 322f x x x 是否“局部趋同”，并说明理由；（2）已知函数 21g x x ax （0x ）， 2e xg x b （0x ）．求证：对任意的正数a ，都存在正数b ，使得函数 f x 与 g x “局部趋同”；（3）对于给定的实数m ，若存在实数n ，使得函数 1n h x mx x（0x ）与 2ln h x x “局部趋同”，求实数m 的取值范围．高三数学参考答案和评分标准说明：1．本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．一、填空题（本大题满分54分. 其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）1. [1 2]−，；2. 1；3. i − ；4. 54；5. 12； 6. ； 7. 56； 8. 2425； 9.220； 10. π(0,]6； 11. 25； 12. 8. 二、选择题（本大题共4小题，满分18分.其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）13. A 14. B 15. D 16. C三、解答题（本大题共有5题，满分78分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由4345441000a a a a a a q q=⋅⋅=， 可得341000a =，即410a =. …………………………2分又由3454,3,2a a a 成等差数列，可得354426,a a a += 即402060,q q+=解得1q =或2，又{}n a 是严格增数列，所以2q =，…………………4分 故443410252n n n n a a q −−−==⋅=⋅. …………………………6分（2）由3(12)n n S =−，可得当2n ≥时，1113(22)32n n n n n n b S S −−−=−=−=−⋅，又1111332b S −==−=−⋅，所以对一切正整数n ，都有132n n b −=−⋅， …………………9分所以3132n n t −===⋅， ……………………11分所以{}n t 的前n 和为113131213(122)(21)44124n n n −−+++=⋅=−−. …………………14分 18.（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分．解：（1）在平面ABCD 内，BAD ∠=CDA ∠45=︒，∴直线AB, DC 相交，设它们交于点P ，90DPA ∴∠=︒, 即AB CD ⊥. 四边形ADEF 是正方形，AF AD ∴⊥，又平面ABCD ⊥平面ADEF ，它们的交线为AD ，AF ⊂平面ADEF ，故AF ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ，AF CD ∴⊥. ……………4分又AB 与AF 是平面ABF 内的两条相交直线，∴CD ⊥平面ABF . ……………6分（2）在平面ABCD 内，过B 作BG AD ⊥，垂足为G .又平面ABCD ⊥平面ADEF , 它们的交线为AD ，故BG ⊥平面ADEF . ……………8分在平面ADEF 内，过G 作GH EF ⊥，垂足为H ，连BH ，则BH EF ⊥，故BHG ∠就是二面角B EF A −−的平面角， ……………11分又sin 45sin 45BG BA CD =︒=︒=，GH AF AD ===在直角BGH △中，1tan 4BG BHG GH ∠===， 所以二面角B EF A −−的正切值为14． ……………14分 法二：设O 是线段AD 的中点，由APD △是以AD 为底边的等腰直角三角形，可知PO AD ⊥，由平面ABCD ⊥平面ADEF , 它们的交线为AD ，且PO ⊂平面ABCD ，故PO ⊥平面ADEF , 设M 是线段EF 的中点，则OM ⊂平面ADEF ，可得PO OM ⊥，又,O M 是正方形ADEF 的对边,AD EF 的中点，可得AD OM ⊥， …………9分分别以,,OD OM OP 为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐 标系，则(42,0,0)EF =−，(2,42,2)BF =−，设(,,1)n x y =是平面BEF 的一个法向量，则有(42)0,24220,n EF x n BF x y ⎧⋅=−=⎪⎨⋅=⋅+⋅−=⎪⎩解得0,1.4x y =⎧⎪⎨=⎪⎩故1(0,,1)4n =，又(0,0,22)OP =是平面ADEF 的一个法向量， ……………11分 所以二面角B EF A −−的余弦值为||4224172217||||n OP n OP ⋅⋅==⋅⋅， ，故二面角B EF A −−的正切值为14. ……………14分 19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．解：（1）由πππ()333DOC αα∠=+−<<，2π3AOB ∠=, 可知 π3COE α∠=−, 作OF CD ⊥, 垂足为F ，由OD OC =，可知CF DF =且1π262DOF DOC α∠=∠=+， 在直角DOF △中，πsin()62DF OD α=+，故π2sin()62CD OD α=+， 同理可得ππ2sin()2sin()6262EC OC OD αα=−=−， ……………4分 所以π2sin()62OD α++π2sin()10062OD α−=，可得OD =5050ππsin()sin()cos 62622ααα=++−(米). ……6分（2）设花卉育苗区的面积为S 平方米，则221π1πsin()sin()2323S OD OD αα=++− 22150ππ[sin()sin()]233cos 2ααα=++−. ………9分1]1cos cos 2S =α==−+α. ……………12分 当且仅当cos 1α=且ππ33α−<<，即0α=时，S 取最大值，此时50OD =米. 故使π3DOC ∠=，且50OD =米，可使花卉育苗区的面积最大. ………………14分 20．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．解:（1）设1Γ的方程为22x py =，又124p =，得21p =，即1Γ的方程为2y x =， ……2分 2Γ的方程为22()1(0,)x y a x y a +−=><. ……………4分（2）设直线2y x =+与1Γ的交点为1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 中点为00(,)G x y ， 由22,,y x y x =+⎧⎨=⎩可得220x x −−=，故1200015,2222x x x y x +===+=， ……………7分 由点G 在2Γ上，可知215()142a +−=且52a <，解得52a =. ……………10分 （3）设(,)D x y 为2Γ上任一点，则1)y a x =−<<. 点D 在1Γ的上方等价于2a x >,即2a x >对于(0,1)x ∈t =, 由(0,1)x ∈, 可得(0,1)t ∈,故222151()24x t t t +=−++=−−+的最大值为54, 可得54a >. ………12分 设直线y kxb =+与2Γ相切, 被1Γ截得的线段长为L ，则0,1k b a ><−,1=,可得a b −=, 又由2,,y kx b y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩可得20x kx b −−=, 设它的两个实根为12,x x , 则2222212(1)()(1)(4)L k x x k k b =+−=++， …………14分 设a b n −=，则1n >，n =，222432(144)4(41)L n n n a n n a n =−−+=−+−，令432()4(41)f n n n a n =−+−，则3223()412(82)[4()811]2f n n n a n n n a '=−+−=−+−， 当且仅当8110a −<，即118a <时，存在132n +=，使得在1(1.5,)n 与1(,)n +∞上， ()f n '分别小于0和大于0, 故()f n 分别严格增与严格减，故在(1.5,)+∞上必存在两个不同的n 值, 对应的()f n 相等，即存在两个不同的正数k ，使得对应的L 值相等.所以存在a 满足题中条件，且a 的取值范围是511(,)48. ……………18分21．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．解：（1）1212()(),()(),f x f x f x f x =⎧⎨''=⎩(*1)即为32512,532,x x x x ⎧+=+⎨=+⎩………………2分 也即3310,1,x x x ⎧−−=⎨=±⎩由1x =与1x =−都不满足方程3310x x −−=， 故(*1)无解，所以1()f x 与2()f x 非“局部趋同”. ……………4分（2）1212()(),()(),g x g x g x g x =⎧⎨''=⎩即为2e ,2e ,x x x ax b x a b ⎧−+=⎨−+=⎩ 等价于2(2)0,2e ,x x a x a x a b ⎧−++=⎨−+=⎩（*2） ………7分 令2()(2)g x x a x a =−++，对于任意正数a ，由(0)0g a =>，()02a g a =−<， 又()g x 在[0 ]2a ，上的图像是连续不间断的，故 ()g x 在(0 )2a ，上至少有一个零点， ……9分 设0x 是其中一个零点，则存在正数002e x x a b −+=，使得（*2）在(0 )+∞，上有解0x ， 故对任意的正数a ，都存在正数b ，使得函数1()g x 与2()g x “局部趋同”. …………10分（3）1212()(),()(),h x h x h x h x =⎧⎨''=⎩(*)即为2ln ,1,n mx x x n m x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩等价于221ln ,,mx x n mx x −=⎧⎨=−⎩（*3） ………13分令()ln h x x =，则1()h x x'=，()h x 的图像在点(,ln )t t 处的切线的方程为1ln ()y t x t t −=−， 即1ln 1y x t t=+−，令ln 11t −=−，可得1t =，此时上述切线方程为1y x =−，………15分 故当且仅当21m =时，直线21y mx =−与()h x 的图像相切，由图像可知，当且仅当21m ≤时，直线21y mx =−与()h x 的图像有公共点（在y 轴右侧），故当且仅当12m ≤时，21ln mx x −= 有正数解0x ，此时存在200n mx x =−，使得（*3）有正数解，从而1()h x 与2()h x “局部趋同”.所以满足条件的实数m 的取值范围是1(,]2−∞. ……………18分。
2025届浙江省温州市高三一模数学试卷(含答案)
2025届浙江省温州市高三一模数学试卷2024.11一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{14}A x x =∈−≤<N ∣，{}B x y x ==，则A B =（ ）A.{}1,2,3B.{}1,1,2,3−C.{}0,1,2,3D.{}1,0,1,2,3−2.若2025i 1i z =+，则复数z 对应的点位于第（ ）象限A.一B.二C.三D.四3.已知平面向量a ，b 满足1a b ==，,60a b =，则2a b +=（ ） A.13 C.274.若方向向量为(1,2)−的直线l 与圆()2215x y −+=相切，则直线l 的方程可以是（ ） A.270x y ++= B.230x y ++=C.260x y +−=D.260x y +−=5.已知()()11sin ,sin 23αβαβ+=−=，则tan tan αβ=（ ） A.15 B.15−C.5D.-56.已知函数()3,03,0x e x f x x x a x ⎧>=⎨−+≤⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围为（ ）A.[)1,−+∞B.[)3,+∞C.(],1−∞−D.(],3−∞7.已知数列{}n a 的通项公式21nn a =−，在其相邻两项k a ，1k a +之间插入2k个()*3k ∈N，得到新的数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n S ，则使100n S ≥成立的n 的最小值为（ ） A.28B.29C.30D.318.飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数.在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为X ，则()E X =（ ）A.3B.4C.5D.6二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，微信公众号：浙江省高中数学部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.观察下列散点图的分布规律和特点，其中两个变量存在相关关系的有（ ）ABCD10.已知(),0A a −，(),0B a ，1:0l ax y −=，2:0l ax y +=，其中1a >，点P 为平面内一点，记点P 到1l ，2l 的距离分别为1d ，2d ，则下列条件中能使点P 的轨迹为椭圆的是（ ） A.4PA PB a += B.2224PA PB a += C.124d d a +=D.222124d d a +=11.已知函数()sin22sin f x x x =−，则（ ） A.()()240f f +< B.当06x <<时，()52f x ≤C.当34x <<时，()23x f x f ⎛⎫>+⎪⎝⎭D.当02x <<时，()174f x f x ⎛⎫<−⎪⎝⎭三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
2024年大连市高三数学第一次模拟考试卷附答案解析
2024年大连市高三数学第一次模拟考试卷注意事项：1．请在答题纸上作答，在试卷上作答无效．2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合{123456}U =，，，，，，集合{124}{135}A B ==，，，，，，则U B A = ð（）A ．{2}4，B ．{16}，C ．{3}5，D ．{1}2．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，xn ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A ．x 1，x 2，…，xn 的平均数B ．x 1，x 2，…，xn 的标准差C ．x 1，x 2，…，xn 的最大值D ．x 1，x 2，…，xn 的中位数3．方程2214x y m+=表示椭圆，则实数m 的取值范围（）A ．0m >B ．4m >C ．04m <<D ．0m >且4m ≠4．已知直线a ，b ，c 是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A ．若a c b c ⊥⊥，，则//a bB ．若////a b a α，，则//b αC ．若////a b c a αα⊥，，，且c b ⊥，则c α⊥D ．若βαγα⊥⊥，，且a βγ= ，则a α⊥5．将ABCDEF 六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中,A B 分配到同一所学校，则不同的分配方法共有（）A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种6．若π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且5cos 24παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则tan α=（）A ．43-B ．34-C ．13-D ．17．设函数3333()sin πe e 3x x f x x x --=+--+则满足()(32)4f x f x +-<的x 的取值范围是（）A ．(3,)+∞B ．(3),-∞C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞8．设12F F ，是双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的左、右焦点，点A 是双曲线C 右支上一点，若12AF F △的内切圆M 的半径为a （M 为圆心），且λ∃∈R ，使得123AM OM F F λ+=，则双曲线C 的离心率为（）AB C ．2D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知i 是虚数单位，下列说法正确的是（）A ．已知a b c d ∈R ，，，，若a c b d >=，，则i i a b c d +>+B ．复数12z z ，满足12z z =，则12z z =C ．复数z 满足|i ||i |z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线D ．复数z 满足(1i)|1|+=z ，则ππcos isin 44z ⎫=-⎪⎭10．已知函数()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<，若π5π166f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π5π,66x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，都有()1f x <，则（）A ．()y f x =在5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B ．()y f x =的图象关于7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．直线12y =+是一条切线D ．()y f x =的图象向右平移π3个单位长度后得到函数()g x 是偶函数11．已知函数()f x 是定义域为R 的可导函数，若()()()()3f x y f x f y xy x y +=+++，且()03f '=-，则（）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是减函数C ．0f=D ．1x =是()f x 的极小值点第Ⅱ卷三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答卷纸的相应位置上）12．“函数()2sin f x ax x =-是奇函数”的充要条件是实数=a ．13．在边长为4的正方形ABCD 中，如图1所示，E ，F ，M 分别为BC ，CD ，BE 的中点，分别沿AE ，AF 及EF 所在直线把AEB AFD ，和EFC 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，得到三棱锥P AEF -，如图2所示，则三棱锥P AEF -外接球的表面积是；过点M 的平面截三棱锥P AEF -外接球所得截面的面积的取值范围是．14．已知实数0,0a b >>，且()84ab a b +=，则4a b +的最小值为四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图多面体ABCDEF 中，面FAB ⊥面ABCD ，FAB 为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，EF BC ∥，且334EF BC ==，H ，G 分别为CE ，CD 的中点．(1)证明：BF AD ⊥；(2)求平面BCEF 与平面FGH 所成角的余弦值；(3)作平面FHG 与平面ABCD 的交线，记该交线与直线AD 交点为P ，写出APAD的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）．16．已知函数()()ln 1R f x x x ax a =++∈．(1)若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；(2)当1x >时，证明：e ln e(1)x x x >-．17．一个不透明的盒子中有质地、大小均相同的7个小球，其中4个白球，3个黑球，现采取不放回的方式每次从盒中随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，停止取球．(1)求停止取球时盒中恰好剩3个白球的概率；(2)停止取球时，记总的抽取次数为X ，求X 的分布列与数学期望：(3)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个盒子中，甲盒装3个小球，其中2个白球，1个黑球：乙盒装4个小球，其中2个白球，2个黑球．采取不放回的方式先从甲盒中每次随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，用同样的方式从乙盒中抽取，直到乙盒中所剩小球颜色和甲盒剩余小球颜色相同，或者乙盒小球全部取出后停止．记这种方案的总抽取次数为Y ，求Y 的数学期望，并从实际意义解释X 与Y 的数学期望的大小关系．18．在平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，已知两点()()1,21,2A B ---，，点M 满足()2MA MB OM OA OB +=⋅++uuu r uuu r uuu r uu r uu u r，记点M 的轨迹为G ．(1)求曲线G 的方程：(2)若P ，C ，D 为曲线G 上的三个动点，CPD ∠的平分线交x 轴于点()0(1)Q a a <-，，点Q 到直线PC 的距离为1．（ⅰ）若点Q 为PCD 重心，用a 表示点P 的坐标；（ⅱ）若PQ CD ⊥，求a 的取值范围．19．对于数列()1231:,,,1,2,3A a a a a i ∈=N ，定义“T 变换”：T 将数列A 变换成数列123:,,B b b b ，其中1(12)i i i b a a i +=-=，，且331b a a =-．这种“T 变换”记作()B T A =，继续对数列B 进行“T 变换”，得到数列123:,,C c c c ，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．(1)写出数列A ：3，6，5经过5次“T 变换”后得到的数列：(2)若123,,a a a 不全相等，判断数列123:,,A a a a 不断的“T 变换”是否会结束，并说明理由；(3)设数列A ：2020，2，2024经过k 次“T 变换”得到的数列各项之和最小，求k 的最小值．1．C【分析】由补集和交集的定义运算.【详解】集合{123456}U =，，，，，，集合{124}{135}A B ==，，，，，，则{}3,5,6U A =ð，有{}3,5U B A = ð.故选：C 2．B【详解】评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B.点睛:众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水平；中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用），中位数反映一组数据的中间水平；平均数：反映一组数据的平均水平；方差：反映一组数据偏离平均数的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度．3．D【分析】分焦点在x 轴，y 轴两种情况讨论，写出m 范围即可.【详解】方程2214x y m+=表示椭圆，若焦点在x 轴上，40m >>；若焦点在y 轴上，4m >.综上：实数m 的取值范围是0m >且4m ≠故选：D【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算能力，属于基础题.4．D【分析】由空间中直线与平面的位置关系，对各项进行分析即可．【详解】若a c b c ⊥⊥，，则a ，b 可以是平行，也可以是相交或异面，故A 错误；若////a b a α，，则//b α或b α⊂，故B 错误；若////a b c a αα⊥，，且c b ⊥，当//a b 时，不能证明c α⊥，C 选项错误；若βαγα⊥⊥，，且a βγ= ，在a 上取一点P ，作PQ α⊥，由面面垂直的性质定理可得PQ β⊂且PQ γ⊂，既a 与PQ 重合，可得a α⊥，故D 正确.故选：D 5．B【分析】先平均分组，再利用全排列可求不同分配方法的总数.【详解】将余下四人分成两组，每组两人，有2242C C 2种分法，故不同的分配方法共有223423C C A 182⨯=种，故选：B.6．A【分析】先利用三角恒等变换公式化简可得1cos sin 5αα+=，结合22cos sin 1αα+=可得cos ,sin αα，进而可得tan α.【详解】由5cos 2sin 4παα⎛⎫- ⎪⎝⎭得()22225cos sin cos sin 22αααα⎫-=-⎪⎪⎭，即()()5cos sin cos sin cos sin αααααα-+=-，因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos sin 0αα-≠，所以1cos sin 5αα+=，结合22cos sin 1αα+=，且cos 0,sin 0αα<>，得34cos ,sin 55αα=-=，所以sin tan s 43co ααα==-.故选：A.7．C【分析】观察题设条件与所求不等式，构造函数()()12g x f x =+-，利用奇偶性的定义与导数说明其奇偶性和单调性，从而将所求转化为()()122g x g x -<-，进而得解.【详解】因为3333()sin πe e 3x x f x x x --=+--+，所以()()3333331sin ππee 13x xf x x x +---+=++---+33sin πe e 2x x x x -=-+--+，设()()3312sin πe e x xg x f x x x -=+-=-+--，显然定义域为R ，()()12g x f x -=-，又()()3333()sin πee sinπe e ()xx x x g x x x x x g x ---=--+-+=--+--=-，所以()g x 为R 上的奇函数，又33()πcos π3e 3e 1πcos 15πcos 0x x g x x x x -'=-++-≥-+=->，所以()g x 在R 上单调递增，又()(32)4f x f x +-<，则[][]()2(32)20f x f x -+--<，所以()()1220g x g x -+-<，即()()()12222g x g x g x -<--=-，所以122x x -<-，解得1x >，则满足()(32)4f x f x +-<的x 的取值范围是(1,)+∞．故选：C ．8．A【分析】向量坐标化并结合双曲线定义与等面积得123,3,AF c a AF c a =+=-点点距列方程得()3,4A a a 代入双曲线求出离心率.【详解】设()(),,,M M A A M x y A x y ，由对称性不妨设A 在第一象限，此时M 也在第一象限，因为123AM OM F F λ+=uuu r uuu u u ruu r ，所以30,44M A M A M y y y y y a -+===，所以()12121124222AF F S c a AF AF c a =⋅⋅=⋅++⋅ ，又122AF AF a -=，解得()1213,3,,0AF c a AF c a F c =+=--，所以1A AF ex a=+，所以1A AF a ex =+，解得3A x a =，所以()3,4A a a ，代入双曲线方程得：2222(3)(4)1a a a b-=，解得,b c ==，所以==ce a故选：A【点睛】关键点点睛:本题考查双曲线的离心率，关键是向量坐标化并充分利用曲线定义确定A 的坐标.9．BCD【分析】根据虚数不能比较大小可知A 错误；根据共轭复数的定义可判断B ；根据复数的几何意义可判断C ；根据复数的运算法则进行计算，可判断D.【详解】对A ，虚数不能比较大小，可知A 错误；对B ，根据共轭复数的定义知，当12z z =时，12z z =，则12z z =，故B 正确；对C ，因为复数z 满足|i ||i |z z -=+，则复数z 在复平面上对应的点到()()0,1,0,1-两点间的距离相等，则复数z 在复平面上对应的点为两点构成线段的中垂线，即z 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线，故C 正确；因为(1i)|1|2z +==，则()()()()21i 21i 21i 1i 1i 1i 2z --====-++-，又ππ22cos isin i 1i 4422z ⎫⎫=--=-⎪⎪⎪⎭⎭，故D 正确，故选：BCD.10．BC【分析】依题意可得πT =即可求出ω，再根据函数的最大值求出ϕ，即可求出函数解析式，再根据正弦函数的性质判断A 、B 、D ，设切点为005π,sin 26x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用导数的几何意义求出0x ，即可判断C.【详解】对A ，因为()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<，所以()max 1f x =，又π5π166f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π5π,66x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，都有()1f x <，所以5πππ66T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以2ππT ω==，解得2ω=，即()()sin 2f x x ϕ=+，又ππsin 163f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ2π,Z 32k k ϕ-+=+∈，解得5π2π,Z 6k k ϕ=+∈，又0πϕ<<，所以5π6ϕ=，所以()5πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时5π5π5π2,663x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又sin y x =在5π5π,63⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，所以()y f x =在5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故A 错误；对B ，因为7π7π5πsin 2sin 2π012126f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()y f x =的图象关于7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 正确；对C ，因为()5π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎝'⎪⎭，设切点为005π,sin 26x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()005π2cos 26f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭'所以05πcos 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以05π5π22π,Z 66x k k +=+∈或05π5π22π,Z 66x k k +=-+∈，解得0π,Z x k k =∈或05ππ,Z 6x k k =-+∈，又005π1sin 262x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，因为05π1sin 216x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，即01112-≤+≤，解得0x ≤，所以00x =，即直线12y =+是函数()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭处的切线，故C 正确；对D ，将()y f x =的图象向右平移π3个单位长度后得到()π5ππsin 2sin 2366g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，显然()g x 是非奇非偶函数，故D 错误.故选：BC 11．ACD【分析】令0x y ==求出()0f ，令y x =-可确定奇偶性，将y 当作常数，x 作为变量，对原式求导，然后可通过赋值，解不等式求单调性及极值.【详解】令0x y ==，得()00f =，令y x =-，得()()0f x f x =+-，所以()f x 是奇函数，A 正确；()()()()()22233,63f x y f x f y x y xy f x y f x yx y '+=+++'∴+=++ 令()()20,03x f y f y =∴=+''，又()()()2303,33,3f f y y f y y y c '=-∴='=-∴-+ ，()()()3300,0,3,3,0f c f y y y f x x x f=∴=∴=-∴=-∴= ，令()0f x '=，1x ∴=±，()0f x '>，1x <-或()1,0,11x f x x ><-<<'()f x ∴在(),1∞--和()1,∞+上为增函数，()f x 在()1,1-上为减函数，1x ∴=是()f x 的极小值，故CD 正确，B 错误.故选：ACD.12．0【分析】结合三角函数奇偶性、幂函数奇偶性以及奇偶性的定义即可运算求解.【详解】若函数()2sin f x ax x =-是奇函数，则当且仅当()()()()22sin sin f x ax x a x x f x ⎡⎤=-=----=--⎣⎦，也就是220ax =恒成立，从而只能0a =.故答案为：0.13．24π[]π,6π【分析】补体法确定外接球直径进而求得表面积；利用球的截面性质确定面积最值.【详解】由题意，将三棱锥补形为边长为2，2，4长方体，如图所示：三棱锥P AEF -外接球即为补形后长方体的外接球，所以外接球的直径()2222222424R R =++==，所以三棱锥P AEF -外接球的表面积为24π24πS R ==，过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球所得截面为圆，其中最大截面为过球心O 的大圆，此时截面圆的面积为22π6πR ==，最小截面为过点M 垂直于球心O 与M 连线的圆，此时截面圆半径1r =（其中MN 长度为长方体前后面对角线长度），故截面圆的面积为2ππr =，所以过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球所得截面的面积的取值范围为[]π,6π．故答案为：24π;[]π,6π14．【分析】利用消元法得到4a b +的函数关系式，再利用导数讨论其单调性后可求最小值.【详解】()222224(4)81681616a b a ab b a a b b b b+=++=++=+，设()2416g b b b =+，其中0b >，则()()322481432b g b b b b-=-+'=，当10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g b '<，当1,2b ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0g b '>，故()g b 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上为减函数，故()min 1122g b g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，此时20a =-+>，故4a b +的最小值为故答案为：15．(1)证明见解析(3)14AP AD =，作图见解析【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，从而证明出线线垂直；（2）由面面垂直得到线面垂直，再建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到平面的法向量，进而利用平面法向量求出面面角的余弦值；（3）作出辅助线，得到线线平行，进而得到结论.【详解】（1）在正方形ABCD 中，AD AB ⊥，∵平面FAB ⊥平面ABCD ，平面FAB 平面,ABCD AB AD =⊂平面ABCD ，AD ∴⊥平面FAB ，又BF ⊂平面FAB ，BF AD ∴⊥；（2） FAB 为等边三角形，设AB 中点为O ，∴OF AB ⊥，又平面FAB ⊥平面ABCD ，面FAB 面,ABCD AB OF =⊂面FAB ，则OF ⊥面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以,,OB OG OF 为,,x y z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：因为334EF BC ==，则4BC =，则()()((()72,0,0,2,4,0,0,0,,0,3,21,,0,4,02B C F E H G ⎛ ⎝，所以(()(72,0,,0,4,0,1,,,0,4,2BF BC FH FG ⎛=-=== ⎝，设平面BCEF 的一个法向量为(),,m x y z =则020400m BF x y m BC ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⋅=⎪⎩⎩ ，取1z =得0x y ==，所以)m =，设平面FGH 的一个法向量为(),,n a b c =则7002040a b n FH n FG b ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪-=⎩⎩，取c =93,42a b =-=，所以93,42n ⎛=- ⎝ ，所以)93,42cos ,22n m n m n m⎛⋅- ⋅===-⋅，所以平面与BCEF 与平面FGH（3）如图所示：在AD 上取一点P ，使得DP EF =，连接,FP PG ，因为//EF BC ，AD //BC ，所以//EF AD ，即//EF DP ，所以EFPD 为平行四边形，故//FP ED ，因为H ，G 分别为CE ，CD 的中点，所以//GH DE ，故//GH PF ，即,,,G H P F共面，故14AP AD =.16．(1)1a ≥-(2)证明见解析【分析】（1）参变分离，构造函数，求导得到函数的单调性，从而求出最值，得到答案；（2）法一：在（1）的基础上得到()e 1e ln x xx x x ->，1x >，再构造函数得到e e xx >，得到()()e 1e 1x x x x->-，从而得到结论；法二：即证11ln e x x x -->，构造函数()11ln e x x G x x --=-，求导后再对分子求导，从而得到函数的单调性，得到()()10G x G >=，证明出结论.【详解】（1）由已知得，1ln a x x-≤+在()0,∞+上恒成立，设()()221111ln ,x g x x g x x x x x-=+=-='，()0g x '>，解得1x >，()0g x '<，解得01x <<，()g x ∴在()0,1上为减函数，在()1,∞+上为增函数，()()11g x g ∴≥=，即1a -≤，1a ∴≥-；（2）法一：由（1）知1a ≥-时，()0f x ≥恒成立，取1a =-，得1ln x x x-≥成立，1x =时取等号．所以当1x >时，()e 1e ln x xx x x->，设()()e e ,e e x xh x x h x =='--，故1x >时，()0h x '>，()e e x h x x ∴=-在()1,∞+上为增函数，()()10h x h ∴>=，e e x x ∴>．所以1x >时，e e xx>，即()()e 1e1xx x x->-．由此可证，当1x >时，()()e 1e ln e 1x x x x x x->>-，结论得证．法二：当1x >时，若证()e ln e 1xx x >-成立．即证11ln ex x x -->，1x >设()11ln ,1ex x G x x x --=->，()()()1112211e 1e 1e 2e e x x x x x x x x G x x x -------+-=-'=，设()()()1211e2,e 22e 21x x x m x x x m x x x ---=+-=+-=+-'，当1x >时，()()0,m x m x >'∴在()1,∞+上为增函数．()()()10,0m x m G x ∴>=∴>'，()G x ∴在()1,∞+上为增函数，()()10G x G >=，由此可证，当1x >时，()e ln e 1xx x >-成立．【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.17．(1)335(2)分布列见解析，()275E X =(3)()409E Y =，在将球分装时，甲盒取完后直接取乙盒，此时甲盒中还有其它球，该球干扰作用已经消失，所以同样是要剩余同一颜色，调整后的方案总抽取次数的期望更低．【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求A 得概率；（2）先确定X 的取值，再就每一个取值的意义结合古典概型的概率公式可求分布列，再利用公式可求期望.（3）先确定Y 的取值，再设甲盒、乙盒抽取次数分别为12Y Y 、，根据题设得到三者之间的关系，再结合古典概型的概率公式可求分布.【详解】（1）设“停止取球时盒中恰好剩3个白球”为事件A ，则()11343347C A A 3A 35P A ==；（2）X 的可能取值为3，4，5，6，()3337A 13A 35P X ===，()4113443347A C A A 44A 35P X +===，()11422334444357C A A C A A 25A 7P X +===，()11223427C C A 46A 7P X ===，所以X 的分布列为X3456P1354352747X 的数学期望()14242734563535775E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）Y 的可能取值为3，4，5，6，设甲盒、乙盒抽取次数分别为12Y Y 、，因为乙盒中两种小球个数相同，所以无论甲盒剩余小球什么颜色，乙盒只需取完一种颜色即可，()()()221224A 113123A 18P Y P Y P Y ======，()()()()()1122222212123244C A A A 12413223A A 923P Y P Y P Y P Y P Y ====+===⨯+⨯=，()()()()()121251423P Y P Y P Y P Y P Y ====+==11221122222222323444C A A A C A A 1273A A 3A 18⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，()()()11222222123244C A A A 216243A A 3P Y P Y P Y ⎛⎫=====+= ⎪⎝⎭，Y 的数学期望()12714034561891839E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=，在将球分装时，甲盒取完后直接取乙盒，此时甲盒中还有其它球，该球干扰作用已经消失，所以同样是要剩余同一颜色，调整后的方案总抽取次数的期望更低．18．(1)24y x=-(2)（i）334P ⎛-± ⎝，；（ii ）94a <-【分析】（1）对()2MA MB OM OA OB +=⋅++uuu r uuu r uuu r uu r uu u r向量坐标化，整理得曲线轨迹方程；（2）法一：由条件得PQ CD ⊥，结合斜率和重心坐标公式得P1=，平方化简得,m n 是方程()()()2220000120y t x a y t x a -+---=的两根，直线与曲线联立，结合韦达定理求出P 坐标，即可求解；法二：由圆切线方程抽方程可知直线EF 的方程为()()001x a x a y y --+=，与圆联立得()0012221y x a k k y -+=-，结合韦达定理得P 坐标，即可求解.【详解】（1）设点()()(),,1,2,1,2M x y A B ---Q ，()()()()()1,2,1,2,,,1,2,1,2MA x y MB x y OM x y OA OB ∴=---=----==-=--uuu r uuu r uuu r uu r uu u r即()()22,2,2,0MA MB x y OA OB +=---+=-uuu r uuu r uu r uu u r，MA MB ∴+==uuu r uuu r()()()2,2,0222OM OA OB x y x ⋅++=⋅-+=-+uuu r uu r uu u r，()2,22MA MB OM OA OB x +=⋅++=-+Q uuu r uuu r uuu r uu r uu u r，化简得曲线G 的方程：24y x =-；（2）（ⅰ）解法1：设()()()112200,,,,,C x y D x y P x y ，PQ 为PCD 的角平分线．Q 为PCD 重心PQ ∴为PCD 的中线，S 三线合一可得PQ CD⊥021221124,4CD PQ y y y k k y x x y y a --===-+--Q ，Q 为PCD 重心0120y y y ∴++=(14,PQ CD k k P a ⋅=-∴-± ①设直线PC 方程为：()00x x m y y -=-，直线PD 方程为：()00x x n y y -=-，PQ ∵是CPD ∠的平分线，点Q 到直线PC 的距离为1,∴点Q 到直线PD 的距离为1，1=，可得()()()2220000120y m x a y m x a -+---=同理()()()2220000120y n x a y n x a -+---=，即,m n 是方程()()()2220000120y t x a y t x a -+---=的两根，()002021x a y m n y -∴+=-，()0024x x m y y y x ⎧-=-⎨=-⎩联立可得：2004440y my x my ++-=，011044y y m y m y ∴+=-∴=--，同理()201204,42y n y y y m n y =--∴+=-+-，点Q 为PCD 重心，0120y y y ∴++=，即()()00002024401x a y m n y y y ⎛⎫--+-=--=⎪-⎝⎭，又020008144,a x y x y +⎧=⎪=-∴⎨⎪=⎩ 故点P的坐标为81,4a +⎛ ⎝②联立①②可得174a =-即33,4P ⎛⎫- ⎪⎝⎭（ⅱ）由（ⅰ）知()002021x a y m n y -+=-，()()()()2021*******0020214422424121CDy y y k x a y x x y y m n y a y y y -----∴=====--+-+----⨯--，020,1,4PQ PQ CD y k k k y a =⋅=---Q 22216481648,04949a a a a y a a +-+-∴=∴≥----216481,049a a a a +-<-∴≥--Q 等价于94904a a -->∴<-时满足题意．（ⅰ）解法2：PQ ∵是CPD ∠的平分线，点Q 到直线PC 的距离为1,∴点Q 到直线PD 的距离为1，∴直线PC PD 、与圆22:()1Q x a y -+=相切，设直线PC PD 、与圆的切点分别为()()1122,,,E x y F x y ，设直线PC 上任意一点坐标为(),P x y ，则0PE QE ⋅=，可得()()1111,,0x x y y x a y --⋅-=，整理得()()()11110x x x a y y y --+-=，结合2211()1x a y -+=，进一步可得直线PC 方程为：()()111x a x a y y --+=，同理直线PD 方程为()()221x a x a y y --+=，因为点()00,P x y 在两条直线上，所以可知直线EF 的方程为()()001x a x a y y --+=，代入圆方程可得：()()22200()x a y x a x a y y ⎡⎤-+=--+⎣⎦即：()()()()22220000121()0y y x a x a y y x a x a ⎡⎤----+---=⎣⎦设直线QE 的斜率1114y k x a =-，直线QF 的斜率为2224y k x a=-，()()()2220001210y y y y x a x a x a x a ⎛⎫∴---+--= ⎪--⎝⎭即()0012221y x a k k y -+=-，联立直线PC 与抛物线方程，()()21141y x x a x a y y ⎧=-⎪⎨--+=⎪⎩，可得：21114140y y y a x a x a ⎛⎫--+= ⎪--⎝⎭，014C y y k ∴+=，同理可得024D y y k ∴+=，()12042C D y y k k y ∴+=+- 点Q 为PCD 重心，00C D y y y ∴++=，即()()00120028401x a y k k y y y -+-=-=-，又020008144,a x y x y +⎧=⎪=-∴⎨⎪=⎩ 故点P的坐标为81,4a +⎛ ⎝②其余过程同解法1．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线位置关系,关键是利用角分线的意义抽方程或直线,进而得韦达定理求出P 坐标.19．(1)0，1，1(2)不会，理由见解析(3)507【分析】（1）根据数列的新定义写出经过5次“T 变换”后得到的数列即可；（2）先假设数列A 经过不断的“T 变换”结束，不妨设最后的数列123123:,,,:,,,:0,0,0D d d d E e e e F ，由F 数列往前推，则非零数量可能通过“T 变换”结束，或者数列E 为常数列，进而得到D 可能出现的情况，推出矛盾，故假设不成立，即可证明；（3）先往后推几项，发现规律，假设1次“T 变换”后得到的通项，多写几项推出规律，往后继续进行，推到使数字接近1时，再继续推，往后会发现k 次“T 变换”得到的数列是循环的，得到最小值，进而推出次数即可.【详解】（1）由题知，5次变换得到的数列依次为3，1，2；2，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；所以数列A ：3，6，5经过5次“T 变换”后得到的数列为0，1，1.（2）数列A 经过不断的“T 变换”不会结束，设数列123123:,,,:,,,:0,0,0D d d d E e e e F ，且()(),E T D F T E ==，由题可知：2132310,0,0e e e e e e -=-=-=，123e e e ∴==，即非零常数列才能经过“T 变换”结束；设123e e e e ===（e 为非零常数列），则为变换得到数列E 的前两项，数列D 只有四种可能：111111111111:,,2;:,,;:,,2;:,,D d d e d e D d d e d D d d e d e D d d e d +++---，而以上四种情况，数列E 的第三项只能是0或2e ，即不存在数列D ，使得其经过“T 变换”变成非零常数列，故数列A 经过不断的“T 变换”不会结束；（3）数列A 经过一次“T 变换”后得到数列:2018,2022,4B ，其结构为,4,4,a a +（a 远大于4）数列B 经过6次“T 变换”后得到的数列依次为：4,,4;4,4,8;8,12,4;4,16,12;a a a a a a a a -------；20,4,16;24,20,4a a a a ----所以，经过6次“T 变换”后得到的数列也是形如“,4,4a a +”的数列，变化的是，除了4之外的两项均减小24，201824842,=⨯+ 则数列B 经过684504⨯=次“T 变换”后得到的数列为：2，6，4，接下来经过“T 变换”后得到的数列依次为：4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；至此，数列各项和的最小值为4，以后数列循环出现，数列各项之和不会变得更小，所以最快经过16842507+⨯+=次“T 变换”得到的数列各项之和最小，即k 的最小值为507．【点睛】思路点睛：本题考查数列的新定义问题.关于数列的新定义一般思路为：()1根据定义写出几项；()2找出规律；()3写成通项；()4证明结论.。
2024届河北省衡水市部分高中高三一模数学试题(原卷版)
2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（一）（考试时间：120分钟，满分：150分）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4M =，{}0,3,5N =，则N ()U M = ð（）A.{}0,5B.{}1,2,3,4C.{}1,2,3,4,5 D.U 2.已知复数z 满足(43i)i z +=-，则z 的虚部为（）A.425-B.425C.4i 25-D.4i 253.将函数()sin 2f x x =的图象向左平移ϕ个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()()y f x g x =+的最大值为a ，则a 的值不可能为（）A.1B.1C.2D.14.在等比数列{}n a 中，若1512a a a ⋅⋅为一确定的常数，记数列{}n a 的前n 项积为n T .则下列各数为常数的是（）A.7T B.8T C.10T D.11T5.关于函数4125x y x -=-，N x ∈，N 为自然数集，下列说法正确的是（）A.函数只有最大值没有最小值B.函数只有最小值没有最大值C.函数没有最大值也没有最小值D.函数有最小值也有最大值6.已知函数()πcos 12f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()πsin 46g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“曲线()y f x =关于直线x m =对称”是“曲线()y g x =关于直线x m =对称”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.O 为坐标原点，F 为抛物线2:8C y x =的焦点，M 为C 上一点，若||6=MF ，则MOF △的面积为（）A.B.C. D.88.,,a b c为三个互异的正数，满足2ln 0,31ba cc a a-=>=+，则下列说法正确的是（）A.2c a b ->-B.2c b a -≤-C.2c a b+<+ D.2c a b+≤+二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9.已知10个数据的第75百分位数是31，则下列说法正确的是（）A.这10个数据中至少有8个数小于或等于31B.把这10个数据从小到大排列后，第8个数据是31C.把这10个数据从小到大排列后，第7个与第8个数据的平均数是31D.把这10个数据从小到大排列后，第6个与第7个数据的平均数是3110.函数()2,3,x D x x ∈⎧=⎨∉⎩QQ ，则下列结论正确的是（）A.()()3.14D D π>B.()D x 的值域为[]2,3C.()()D D x 是偶函数D.a ∀∈R ，()()D x a D a x +=-11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12O O ，轴截面ABCD 为等腰梯形，且满足2224cm CD AB AD BC ====.下列说法正确的是（）A.该圆台轴截面ABCD 的面积为233cmB.该圆台的表面积为211πcmC.该圆台的体积为323πcmD.该圆台有内切球，且半径为3cm 2三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知()12f x x x=在点()()1,1f 处的切线为直线20x y t -+=，则=a __________.13.已知力123,,F F F ，满足1231N ===F F F ，且123++=F F F 0，则12-=F F ________N.14.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作x 轴的垂线交C 于点P﹒2OM PF ⊥于点M （其中O 为坐标原点），且有223PF MF =，则C 的离心率为______.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，三角形面积为S ，若D 为AC 边上一点，满足,2AB BD BD ⊥=，且223cos 3a S ab C =-+.（1）求角B ；（2）求21AD CD+的取值范围.16.已知数列{}n a 的前n 项和为,0n n S a >，且2241n n n a a S +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1nn n n S b a a +=的前n 项和为n T ，求n T .17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和62,2⎫⎪⎪⎭两点.12,F F 分别为椭圆的左､右焦点，P 为椭圆上的点（P 不在x 轴上），过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆交于A B ､两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求AB 的范围.18.《中国制造2025》提出“节能与新能源汽车”作为重点发展领域，明确了“继续支持电动汽车、燃料电池汽车发展，掌握汽车低碳化、信息化、智能化核心技术，提升动力电池、驱动电机、高效内燃机、先进变速器、轻量化材料、智能控制等核心技术的工程化和产业化能力，形成从关键零部件到整车的完成工业体系和创新体系，推动自主品牌节能与新能源汽车与国际先进水平接轨的发展战略，为我国节能与新能源汽车产业发展指明了方向.某新能源汽车制造企业为了提升产品质量，对现有的一条新能源零部件产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到频率直方图（如图）：（1）从质量指标值在[)55,75的两组检测产品中，采用分层抽样的方法再抽取5件.现从这5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品恰好都在同一组的概率.（2）经估计知这组样本的平均数为61x =，方差为2241s =.检验标准中55n x ns a ⎧⎫-=⨯⎨⎬⎩⎭，55n x ns b ⎡⎤+=⨯⎢⎥⎣⎦，N n *∈，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，{}x 表示不小于x 的最小整数，s 值四舍五入精确到个位.根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在[]11,a b 内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但需要进一步改造技术；若有95%落在[]22,a b 内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造成功？19.如图，//AD BC ,且AD ＝2BC ，AD ⊥CD ，//EG AD 且EG ＝AD ，//CD FG 且CD ＝2FG ，DG ⊥平面ABCD ，DA ＝DC ＝DG ＝2.（1）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN//平面CDE；（2）求平面EBC和平面BCF所夹角的正弦值；。
上海市2025年嘉定区高三数学一模试卷
上海市2025年嘉定区高三数学一模试卷一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1.函数()22log 1y x =-的定义域为__________.2.直线310x y -+=的倾斜角为__________.（用反三角函数表示）3.如果复数z 满足i 12i z ⋅=+（i 为虚数单位），则z =__________.4.在ABC 中，若5,4AB BC CA ===，则A ∠=__________.5.已知双曲线22:132x y C -=，则双曲线C 的离心率为__________.6.某圆锥的母线长为2，底面半径为1，则该圆锥的侧面积为__________.7.在91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中3x 项的系数为__________.8.已知数列{}n a 的通项公式为n a n c =-+，其中c 为常数，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若65S S >且67S S >，则c 的取值范围为__________.9.已知()()()()(),0ln 1,,0f x x f x x g x f x x ⎧≥⎪=+=⎨-<⎪⎩，则()2e g x x >+-的解集为__________.10.已知空间向量123,,OB OB OB 两两垂直，若空间点A 满足1231AB AB AB === ，记123OP OB OB OB =++ ，且1AP ≤ ，则OA 的取值范围为__________.11.某公园为了美化环境，计划建造一座拱桥DACBE ，已知该桥的剖面如图所示，共包括一段圆弧形桥面 ACB 和两段长度相等的直线型桥面AD BE ､，圆弧形桥面 ACB 所在圆的半径为4米，圆心O 在DE 上，且AD 和BE 所在直线与圆O 分别在连结点A 和B 处相切.已知直线型桥面的修建费用是每米0.4万元，弧形桥面 ACB 的修建费用是每米2.5万元，设ADO ∠θ=，根据空间限制及桥面坡度的限制，θ的范围为1πarcsin 36θ≤≤，则当桥面修建总费用最低时θ的值为__________.12.已知实数1212x x y y ､､､满足：22221122121211,1,2x y x y x x y y +=+=+=，1+值为__________.二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.已知a 为正数，则“3a >”是“3a a a >”的（）.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.已知,αβ是两个不同的平面，,a b 是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线l α⊥的是（）A.,l αββ⊥∥ B.,l a a α⊥∥C.,l a a α⊥∥ D.,,,l a l b a b αα⊥⊥⊂⊂15.假定生男生女是等可能的，设事件A ：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件:B 一个家庭中最多有一个女孩.针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是（）.A.①中事件A 与事件B 相互独立､②中的事件A 与事件B 相互独立B.①中事件A 与事件B 不相互独立､②中的事件A 与事件B 相互独立C.①中事件A 与事件B 相互独立､②中的事件A 与事件B 不相互独立D.①中事件A 与事件B 不相互独立､②中的事件A 与事件B 不相互独立16.已知数列{}n a 满足()()()111,2,3,,0,1n n n a ra a n a +=-=∈ ，给出以下四个结论：①当2r =时，存在有限个1a ，使得对任意正整数n ，都有1n na a +>②当2r =时，存在1a 和正整数P ，当n P >时，112025n n a a +-<③当3r =时，存在1a 和正整数P ，当n P >时，1n na a +=④当3r =-时，不存在1a ，使得对任意正整数n ，且3n ≥，都有0n a >其中正确结论是（）.A.①② B.②③ C.③④ D.②④三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，侧面11BB C C ⊥底面ABC ，点E F ､分别为梭BC 和11A C 的中点.（1）若底面ABC 为边长为2的正三角形，且1CC BC =，侧棱1CC 与底面ABC 所成的角为60 ，求三棱柱111ABC A B C -的体积：（2）求证：EF ∥平面11AA B B .18.（本题满分14分，本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知()3π2cos 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0ω>.（1）若2ω=，求函数()ππ,,44y f x x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦的值域；（2）若π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且函数()y f x =在ππ,43⎛⎫ ⎪⎝⎭内有极小值，但无极大值，求ω的值.19.（本题满分14分，本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小4分.第（3）小6分）在一场盛大的电竞比赛中，有两支实力强劲的队伍甲和乙进行对决.比赛采用5局3胜制，最终的胜者将贏得10万元奖金，比赛过程中，每局比赛双方获胜的概率相互独立且甲队每局获胜概率为0.4，乙队每局获胜概率为0.6.比赛开始后，甲队先连胜两局，此时，主办方记录了两队队员在这两局比赛中的一些数据.甲队队员的击杀数（单位：个）数据如下：24,31,31,36,36,37,39,44,49,50；乙队队员的击杀数（单位：个）数据如下：8,13,14,16,23,26,28,33,38,39.然而此时比赛场地突发技术故障，比赛不得不中止.请回答以下问题：（1）根据目前情况（甲队已连胜两局），写出甲､乙两队“采用5局3胜制”的比赛结果的样本空间；（2）根据所给数据，绘制甲､乙两队队员的击杀数分布的茎叶图；（3）在目前情况下（甲队已连胜两局），估算甲乙两队获胜概率，并据此分配10万元奖金.20.（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆2212Γ:1,54x y F F +=､是其左､右焦点，过椭圆Γ右焦点2F 的直线PQ 交椭圆于P Q ､两点.（1）若123PF PF ⋅= ，求点P 的坐标；（2）若1F PQ 的面积为4021，求直线PQ 的方程；（3）设直线l 与椭圆Γ交于,A B 两点，M 为线段AB 的中点.当OM AB OA OB k k k k ⋅=⋅时，OAB 的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.21.（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）设A 为非空集合，函数()f x 的定义域为D .若存在0x D ∈使得对任意的x D ∈均有()()0f x f x A -∈，则称()0f x 为函数()f x 的一个A 值，0x 为相应的A 值点.（1）若[]()2,0,sin A f x x =-=.证明：012ππ,2x k k =+∈Z 是函数()f x 的一个A 值点，并写出相应的A 值；（2）若[)()()20,,,1A f x x g x x x ∞=+=-=++.分别判断函数()()f x g x ､是否存在A 值？若存在，求出相应的A 值点；若不存在，说明理由；（3）若(],0A ∞=-，且函数()()2ln f x x axa =+∈R 存在A 值，求函数()f x 的A 值，并指出相应的A 值点.。
2024届广东新高考高三数学一模练习卷+答案
2024新高考数学一模练习卷（一）数学试卷本卷共6页，满分150分，完成时间120分钟．考生注意事项：1．答卷开始前，考生务必将自己的姓名，准考证号正确填涂于答题卡的指定区域；并检查试卷与答题卡的张数与印刷情况．2．在回答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔在答题卡对应标号上将选项涂黑；若需改动，用橡皮擦干净后，再将改动后的选项标号涂黑．3．在回答非选择题时，用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡的指定区域上填写答案；若需改动，将原答案划掉，再填上改动后的答案，改动后的答案也不得超出指定的答题区域．4．答卷结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合AA={xx|xx2−4xx+3<，BB={xx|yy=ln(xx−1)} ，则CC BB AA= （ * ）．（A）{xx|xx≥1} （B）{xx|xx≥3}（C）{xx|1≤xx≤3} （D）{xx|xx≤3}2. 在复平面中，点ZZ1对应的复数为zz，点ZZ2对应的复数为zz̅，若|ZZ1|=|ZZ1ZZ2|=2 ，则OOZZ1��������⃗·OOZZ2��������⃗= （ * ）．（A）−5（B）−4（C）4（D）53. 已知事件AA，BB，CC相互独立，且PP(AA) ,PP(BB) ,PP(CC)∈(0,1)，则在以下说法中，错误的是（ * ）．（A）事件AA，BB，CC均为随机事件（B）事件AA，BB，CC均与必然事件MM相互独立（C）事件AA，BB，CC均与不可能事件NN不互斥（D）事件AA，BB，CC均与事件AA∩BB∩CC对立4. 记SS nn为数列{aa nn}的前nn项和，若aa1=1 ，SS nn=2aa nn+aa nn+1，则在aa1~aa2024中，整数的个数是（ * ）．（A）1012（B）1011（C）2024（D）20235. 中国是瓷器的故乡．“瓷器”一词最早见之于许慎的《说文解字》中．某瓷器如图1所示，该瓶器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个等高（高为 6cm ）的圆台组合面成，其直观图如图2所示，已知圆柱的高为 20cm ，底面直径AABB=10cm ，底面直径CCCC=20cm ，EEEE=16cm ，若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的容积为（ * ）．图1 图2（A）669ππ cm3（B）1338ππ cm3（C）650ππ cm3（D）1300ππ cm36. 已知椭圆Γ:xx2aa2+yy2bb2=1 (aa>bb>0)过点�32√2,√2�，则下列直线方程不与Γ相切的是（ * ）．（A）3√3xx+4yy−16=0（B）3xx+4yy+12=0（C）4xx+6yy−17=0（D）xx−4yy−10=07. 已知函数ff(xx)=2sin�ωωxx+ππ6�在区间(0,ππ)上有ωω个极值点（ωω∈NN∗），则ωω的最小值是（ * ）．（A）1（B）2（C）3（D）48. 已知aa=1+sin110，bb=√ee10，cc=1.0110，dd=1716，则（ * ）．（A）bb>aa>dd>cc（B）bb>cc>aa>dd（C）bb>aa>cc>dd（D）bb>cc>dd>aa二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 2023年我国的生育率仅为每千人6.2人，再创新低，引发了社会广泛的关注和讨论．某课外小组就“您是否愿意生育孩子？”为问题对某某高校同学随机进行了采访，以下为其采访记录表：您是否愿意生育孩子愿意(XX=1)不愿意(XX=0)男同学40 60女同学60 40考虑到由于大学生的心智发展不成熟，不能完全代表当代年轻人，于是其又对年龄为25至30周岁的市民进行了采访调查，以下为其采访记录表：您是否愿意生育孩子愿意(XX=1)不愿意(XX=0)男士60 40女士70 30则（ * ）．（A）该两次的调查结果均服从两点分布，属于200重伯努利试验（B）高校大学生愿意生育孩子的期望为0.5，25至30周岁的为0.65（Cαα=0.005 的独立性检验，是否愿意生育孩子与年龄有关（D）通过下表的小概率值αα=0.005 的独立性检验，是否愿意生育孩子与性别有关注：χχ2=nn(aadd−bbcc)2(aa+bb)(cc+dd)(aa+cc)(bb+dd)，其中nn=aa+bb+cc+ddαα0.10.050.01 0.005 0.001xxαα 2.706 3.841 6.635 7.897 10.82810. 由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体1如图3，沿着BBBB1和CCCC1分别作上底面的垂面，垂面经过棱EEPP，PPPP，PPHH，HHEE的中点EE，GG，MM，NN，则两个垂面之间的几何体2如图4所示，若EENN=AABB=EEAA=2 ，则（ * ）．（A）BBBB1=2√2（B）EEGG//AACC（C）BBCC⊥平面BBEEBB1GG（D）几何体2的表面积为 16√3+8图3 图411. 已知椭圆EE:xx24+yy23=1 ，过椭圆EE的左焦点EE1的直线ll1交椭圆EE于AA、BB两点，过椭圆EE的左焦点EE2的直线ll2交椭圆EE于CC、CC两点，则（ * ）．（A）若AAEE1�������⃗=2EE1BB�������⃗，则ll1的斜率kk=√62（B）|AAEE1|+4|BBEE1|的最小值为274（C）以AAEE1为直径的圆与圆xx2+yy2=4 相切（D）若ll1⊥ll2，则四边形AABBCCCC面积的取值范围为�28849,6�图5 12. 已知正实数mm，nn，qq满足：�2mm+3nn=6qq2mm·3nn=5qq，则（ * ）．（A）ln2<qq<1（B）0<mmnn<12（C）√2<mm+nn qq<√6（D）ln5ln6<mm2+nn2<ln5+ln6三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 在�√xx+1xx�4的展开式中，√xx的系数是________．（用数字作答）14. 函数ff(xx)=sin|xx|+|cos xx| ,xx∈(0,2ππ)的极值点个数为________．15. 已知函数ff(xx)=�(xx+1)2 ,xx≤0ln xx ,xx>0，若方程ff(xx)=mm有三个不同的实根aa，bb，cc，则SS=|aaff(aa)+bbff(bb)+ccff(cc)|的取值范围是__________．16. 若实数aa，bb满足aa2+bb2≤6aa，则(2aa+bb)(2bb−aa+3)≤0 的概率为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）已知在△AABBCC中，角AA、BB、CC所对的边分别为aa，bb，cc．且有 tan AA+tan BB−√3tan AA tan BB=−√3 ．（1）求 sin CC；（2）若cc=2 ，记AABB的中点为MM，求CCMM的取值范围．18.（12分）在阅读完（选择性必修第三册）课本第53页《贝叶斯公式与人工智能》后，小李同学决定做一个相关的概率试验，试验过程如下：小李同学找来了小王同学；小李同学制作了三张标号，分别为1，2，3的相同规格纸片；每轮开始前，小李同学心里默想1，2，3中的一个随机数字；小王同学先选定一张纸片，小李同学将剩余2张纸片中挑走1张不与自己默想数字相同标号的纸片；小王同学再进行一次选择；小王同学选定最终结果后，若其选择的纸片标号与小李默想的一致，就记录一次1分，否则记录一次0分；重复进行多轮试验．（1）为了尽可能多计分，如果你是小王同学，第二轮选择时你会怎样选？说明理由；（2）在（1）的情境下，求进行2轮试验总计分的数学期望EE(XX2)；19.（12分）记数列{aa nn}的前nn项和为SS nn，已知SS nn=nnaa nn+1−nn2−nn．（1）证明：{aa nn}是等差数列；（2）若aa1=43，证明：1SS1+1SS2+1SS3+⋯+1SS nn<2720．20.（12分）如图6，在四棱柱AABBCCCC−AA′BB′CC′CC′中，底面AABBCCCC和侧面BBBB′CC′CC均为正方形，AABB=2 ．连接BB′CC，点EE、EE分别为BB′CC、CC′CC′的中点．（1）求AA′EE和CC′EE夹角的正弦值；（2）求平面AA′BBEE和平面CCCC′EE的夹角．图6 21.（12分）如图7，已知OO为坐标原点，抛物线的方程为xx2=2ppyy(pp>0)，EE是抛物线的焦点，椭圆的方程为xx2aa2+yy2bb2=1(aa>bb>0)，过EE的直线ll与抛物线交于MM，NN两点，反向延长OOMM, OONN分别与椭圆交于PP，HH两点．（1）求kk OOOO、kk OOOO的值；（2）若|OOPP|2+|OOHH|2=5 恒成立，求椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，SS△OOOOOO SS△OOOOOO的最小值为1，求抛物线的方程．（其中SS△OOOOOO，SS△OOOOOO 分别是△OOMMNN和△OOPPHH的面积）图7 22.（12分）已知函数ff(xx)=aa ln xx−xx+ln aa−1 ，gg(xx)=aaxx aa ee xx+1−1 .（其中aa>0 ）（1）若∃xx0>0 ，ff(xx0)≥ee2+1 ，求aa的取值范围；（2）若yy=ff(xx)与yy=gg(xx)有且仅有一个交点，求实数aa的值.2024年广东省新高考数学一模练习卷（一）数学参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D A B C A B二、选择题题号9 10 11 12答案BCD ABC BCD ABC三、填空题题号13 14 15 16 答案 4 4 [0,ee−2]12四、解答题17.（1）由题 tan AA+tan BB−√3tan AA tan BB=−√3⇒tan AA+tan BB=−√3(1−tan AA tan BB)⇒tan AA+tan BB1−tan AA tan BB=−√3⇒tan(AA+BB)=−√3⇒tan CC=−tan(AA+BB)=√3⇒CC=ππ3所以 sin CC=√32.（2）如图所示，构造△AABBCC的外心NN，连接AANN，BBNN，CCNN，MMNN由题得AAMM=BBMM=1 ，AANN=CCNN=BBNN=RR=2cc sin CC=2√33，MMNN=12AANN=√33由三角形三边关系得CCNN−MMNN≤CCMM≤CCNN+MMNN，即√33≤CCMM≤√3 ，故CCMM∈�√33,√3�.18.（1）记事件 AA 1 为“第二次选择时不换纸片”，AA 2 为“第二次选择时换纸片”，BB 1 为“记1分”，BB 2 为“记0分”，由贝叶斯公式得：PP (BB 1|AA 1)=PP (BB 1)PP (AA 1|BB 1)PP (AA 1)=PP (BB 1)PP (AA 1|BB 1)PP (BB 1)PP (AA 1|BB 1)+PP (BB 2)PP (AA 1|BB 2)=13PP (BB 1|AA 2)=1−PP (BB 1|AA 1)=23>PP (BB 1|AA 1)所以如果我是小王同学，我会选择换纸片（2）记2轮的总得分为 XX ，结合（1）得 XX 的分布列为PP (XX =0)=19 ，PP (XX =1)=49 ，PP (XX =2)=49用表格表示 XX 的分布列，如下表所示：XX 012PP19 49 49 EE (XX 2)=0×19+1×49+2×49=43故进行2轮试验总计分的数学期望 EE (XX 2) 为 4319.（1）由题意 SS nn =nnaa nn+1−nn 2−nn ，SS nn +aa nn+1=SS nn+1=(nn +1)aa nn+1−nn 2−nn=(nn +1)(aa nn+1−nn )=(nn +1)aa nn+2−(nn +1)2−(nn +1)=(nn +1)(aa nn+2−nn −2)，所以 aa nn+1−nn =aa nn+2−nn −2 ，即 aa nn+2=aa nn+1+2 ，所以 {aa nn } 是以2为公差的等差数列 （2）由（1）及题意得等差数列 {aa nn } 的前 nn 项和SS nn =nn 2(aa 1+aa nn )=nn 2�23+2nn�=nn �nn +13�1SS nn =1nn �nn +13�=3nn (3nn +1)1SS 1+1SS 2+⋯+1SS nn =3�11×4+12×7+⋯+1nn ×(3nn +1)� 即证 33×4+36×7+⋯+33nn ×(3nn +1)<920易知 (3nn −1)(3nn +2)<3nn (3nn +1)则 33nn (3nn +1)<3(3nn −1)(3nn +2)33×4+36×7+⋯+33nn ×(3nn +1)<14+�35×8+⋯+3(3nn −1)×(3nn +2)�=14+�15−18+18−111+⋯+13nn−1−13nn+2�<14+15=920原题得证，证毕20.（1）如图，以AA′为坐标原点，AA′BB′为x轴，AA′DD′为y轴，AA′AA为z轴，建立空间直角坐标系则AA(0,0,2)，BB(2,0,2)，CC(2,−2,2)，DD(0,−2,2)，BB′(2,0,0)，CC′(2,−2,0)，DD′(0,−2,0)，EE(1,−1,1)，FF(1,−2,0)则AA′FF�������⃗=(1,−2,0)，CC′EE�������⃗=(−1,1,1)，cos<AA′FF�������⃗ ,CC′EE�������⃗>=AA′FF�������⃗·CC′EE�������⃗|AA′FF�������⃗|×�CC′EE�������⃗�=−3√15=−√155sin<AA′FF�������⃗ ,CC′EE�������⃗>=�1−cos2<AA′FF�������⃗ ,CC′EE�������⃗>=2√55（2）设θθ为平面AA′BBFF和平面CCCC′EE的夹角由（1）得AA′BB�������⃗=(2,0,2)，AA′FF�������⃗=(1,−2,0)，设平面AA′BBFF的法向量nn1����⃗=(xx1,yy1,zz1)，则有�2xx1+2zz1=0xx1−2yy1=0，令xx1=2 得�yy1=1zz1=−2，所以nn1����⃗=(2,1,−2)；CC′CC�������⃗=(0,0,2)，CC′EE�������⃗=(−1,1,1)，设平面CC′CCEE的法向量nn2����⃗=(xx2,yy2,zz2)，则有�2zz2=0−xx2+yy2+zz2=0，令xx1=1 得�yy2=1zz2=0，所以nn2����⃗=(1,1,0)；cosθθ=cos<nn1����⃗ ,nn2����⃗>=nn1����⃗·nn2����⃗|nn1����⃗|×|nn2����⃗|=33√2=√22又因为θθ∈�0,ππ2�，所以θθ=ππ4，故平面AA′BBFF和平面CCCC′EE的夹角为ππ421.（1）设直线OOMM的斜率为kk1(kk1>0)，直线OONN的斜率为kk2，由题可知，直线MMNN的斜率不为0，设MM(xx1, yy1), NN(xx2, yy2)，设直线MMNN: yy=kkxx+pp2，则由�yy=kkxx+pp2xx2=2ppyy，可得xx2−2ppkkxx−pp2=0，易知 ΔΔ>0 ，由韦达定理得 xx 1xx 2=−pp 2,yy 1yy 2=(xx 1xx 2)24pp 2=pp 24，则 kk 1kk 2=yy 1xx 1⋅yy 2xx 2=−14 ； （2）设 PP (xx 3,yy 3), QQ (xx 4, yy 4)， 由题可知，ll OO OO : yy =kk 1xx , ll OO OO :yy =kk 2xx ，其中kk 1kk 2=−14，联立方程�yy =kk 1xxxx 2aa 2+yy 2bb 2=1⇒xx 32=aa 2bb 2bb 2+aa 2kk12 ，同理 xx 42=16aa 2bb 2kk 12aa 2+16bb 2kk 12 ，因为：|OOPP |2+|OOQQ |2=xx 32+yy 32+xx 42+yy 42=xx 32+�1−xx 32aa 2�bb 2+xx 42+�1−xx 42aa 2�bb 2=2bb 2+�1−bb 2aa2�(xx 32+xx 42)=2bb 2+�aa 2−bb 2aa 2��aa 2bb 2bb 2+aa 2kk 12+16aa 2bb 2kk 12aa 2+16bb 2kk 12� =2bb 2+�aa 2−bb 2aa 2�⋅aa 2⋅aa 2bb 2+(32bb 4)kk 12+16aa 2bb 2kk 14aa 2bb 2+(aa 4+16bb 4)kk 12+16aa 2bb 2kk 14 =2bb 2+(aa 2−bb 2)aa 2bb 2+(32bb 4)kk 12+16aa 2bb 2kk 14aa 2bb 2+(aa 4+16bb 4)kk 12+16aa 2bb 2kk 14．因为 |OOPP |2+|OOQQ |2=5 为定值，所以上式与 kk 1 无关， 所以当 32bb 4=aa 4+16bb 4 ，即 aa 2=4bb 2 时，此时 aa 2+bb 2=5 ，所以 aa 2=4 , bb 2=1 ，所以椭圆的方程为xx 24+yy 2=1．（3）因为 SS △OOOOOOSS△OOOOOO=12|OOOO ||OOOO |ssss nn ∠OOOOOO 12|OOOO ||OOOO |ssss nn ∠OOOOOO =|OOOO ||OOOO ||OOOO ||OOOO |=�xx 1xx2xx 3xx 4� ，由（2）可知，当aa 2=4， bb 2=1时，xx 32=41+4kk12， xx 42=16kk 121+4kk 12， xx 1xx 2=−pp 2，SS △OOOOOO SS △OOOOOO =�xx 1xx 2xx 3xx 4�=pp 28|kk 1|1+4kk 12=pp 28�1|kk 1|+4|kk 1|�≥pp 22， 故pp 22=1⇒pp =√2，当且仅当kk 1=±12时，等号成立，此时抛物线方程为xx 2=2√2yy .22.（1）ff (xx )=aa ln xx −xx +ln aa −1 ,xx ∈RR + ，ff ′(xx )=aaxx −1=aa−xx xx，令 ff ′(xx )=0 得 xx =aa当 0<xx <aa 时，ff ′(xx )>0 ，ff (xx )↑ ；当 xx >aa 时，ff ′(xx )<0 ，ff (xx )↓ . 所以 ff (xx )max =ff (aa )=aa ln aa −aa +ln aa −1=(aa +1)(ln aa −1) . 令 ℎ(aa )=(aa +1)(ln aa −1) ，ℎ′(aa )=ln aa +1aa =aa ln aa+1aa，再令φφ(aa)=aa ln aa+1 ，φφ′(aa)=1+ln aa，令φφ′(aa)=0 得aa=1ee当 0<aa<1ee时，φφ′(aa)<0 ，φφ(aa)↓；当aa>1ee时，φφ′(aa)>0 ，φφ(aa)↑.所以φφ(aa)min=φφ�1ee�=1−1ee>0 ，即φφ(aa)>0 ，即ℎ′(aa)>0 ，所以ℎ(aa)↑,原题“∃xx0>0 ，ff(xx0)≥ee2+1”等价于“ff(aa)≥ee2+1”，即(aa+1)(ln aa−1)=ℎ(aa)≥ee2+1 ，观察到ℎ(ee2)=ee2+1 ，又由ℎ(aa)↑得：当 0<aa<ee2时，ℎ(aa)<ℎ(ee2)=ee2+1 ；当aa≥ee2时，ℎ(aa)≥ℎ(ee2)=ee2+1所以aa≥ee2，即aa的取值范围为[ee2,+∞).（2）令tt=ff(xx)=aa ln xx−xx+ln aa−1 ，则ee tt=ee aa ln xx−xx+ln aa−1=ee(ln aa+ln xx aa)−(xx+1)=aaxx aa ee xx+1所以gg(xx)=aaxx aa ee xx+1−1=ee tt−1 ，联立ff(xx)=gg(xx)，即tt=ee tt−1 .令Φ(tt)=ee tt−1−tt，所以方程“tt=ee tt−1”的解等价于Φ(tt)的零点.Φ′(tt)=ee tt−1 ，令Φ′(tt)=0 得tt=0 ，当tt<0 时，Φ′(tt)<0 ，Φ(tt)↓；当tt>0 时，Φ′(tt)>0 ，Φ(tt)↑.所以Φ(tt)min=Φ(0)=0 ，所以方程“tt=ee tt−1”的解仅为tt=0 ，再由题意，tt=ff(xx)=0 有且仅有一根，即ff(xx)仅有唯一零点.ff(xx)=aa ln xx−xx+ln aa−1 ff(xx)=aa xx−1=aa−xx xx，令ff′(xx)=0 得xx=aa当 0<xx<aa时，ff′(xx)>0 ，ff(xx)↑；当xx>aa时，ff′(xx)<0 ，ff(xx)↓.所以ff(xx)max=ff(aa)=aa ln aa−aa+ln aa−1=(aa+1)(ln aa−1).又注意到当xx→0 时，ff(xx)−∞；当xx→+∞时，ff(xx)−∞；所以ff(xx)的唯一零点即其极值点，即(aa+1)(ln aa−1)=0 ，得aa=−1 （舍）或aa=ee. 故aa的值为ee.。
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1徐汇区数学 本卷共×页 第×页2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷1 数学学科（理科） 2014.12 一． 填空题：(本题满分56分，每小题4分)3 1．计算：210lim______323n n n →∞+=+．42．函数sin 2cos 2y x x =的最小正周期是_______________．5 3．计算：12243432⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭_______________．64．已知sin x =，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则x = ．（结果用反三角函数值表示） 7 5．直线1:(3)30l a x y ++-=与直线2:5(3)40l x a y +-+=，若1l 的方向向量是2l8 的法向量，则实数=a．9 6． 如果11111()12312nf n n n =++++++++（*n N ∈）那么(1)()f k f k +-共有 10 项．11 7．若函数()f x 的图象经过(0,1)点，则函数(3)f x +的反函数的图象必经过点12 _______．13 8．某小组有10人，其中血型为A 型有3人，B 型4人，AB 型3人，现任选2人，14 则此2人是同一血型的概率为__________________．（结论用数值表示）15 9．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =____________．162徐汇区数学 本卷共×页 第×页10．在平面直角坐标系中，动点P 和点()2,0M -、()2,0N 满足17 ||||0MN MP MN NP ⋅+⋅=，则动点(),P x y 的轨迹方程为__________________．1811．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为,,10,11,9x y ．已知19 这组数据的平均数为20 10，方差为2，则x y -的值为___________________． 2112．如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AB 、22 AC 两边分别交于M 、N 两点，且,AM x AB AN y AC ==，则xy x y+23 的值为_________________．24 2526 13．一个五位数,,,abcde a b b c d d e <>><满足且,(37201,45412a d b e >>如），则称27 这个五位数符合“正弦规律”．那么，共有_______个五位数符合“正弦规律”．2829 14．定义区间],[],(),,[),(d c 、d c d c 、d c 的长度均为)(c d c d >-.已知实数,().a b a b >则满30 足x bx a x 的111≥-+-构成的区间的长度之和为_______． 3132 二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）3334 15．直线(0,0)bx ay ab a b +=<<的倾斜角是353徐汇区数学 本卷共×页 第×页--------------------------------( )36 （Ａ）arctan a b π- （Ｂ）arctan b a π- （Ｃ）arctan()a b - （Ｄ）arctan()ba-37 16．为了得到函数R x xy ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像38 上所有的点39 -------------------------------------------------------------------40 ----------------------------------------------（ ） 41 （A ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标42 不变）43 （B ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标44 不变）45 （C ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标46 不变）47 （D ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标48 不变）49 17．函数()f x x x a b=++是奇函数的充要条件是50 ----------------------------------------------（ ）51 （A ）0ab = （B ）0a b += （C ）220a b += （D ）a b =52534徐汇区数学 本卷共×页 第×页18．已知集合()(){},M x y y f x ==，若对于任意()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，54 使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：55①()1,M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭； ②(){},sin 1M x y y x ==+}；56③(){}2,log M x y y x ==； ④(){}2x M x,y |y e ==-．其中是“垂直对点集”的序号57 是 （ ）58 （A ） ①② （B ） ②③（C ） ①④ （D ） ②④5960 三．解答题：（本大题共5题，满分74分）61 19．（本题满分12分）62 在ABC ∆中，,BC a AC b ==，a b 、是方程220x -+=的两个根，且63 0120A B +=。
64 求ABC ∆的面积及AB 的长．6566 20．（本题满分14分，第（1）小题7分，第（2）小题7分） 67 已知函数()()21,65f x x g x x x =-=-+-． 68（1）若()()g x f x ≥，求x 的取值范围；695徐汇区数学 本卷共×页 第×页（2）求()()g x f x -的最大值．7071 21．（本题满分14分；第（1）小题5分，第（2）小题9分） 72 某种海洋生物身体的长度()f t （单位：米）与生长年限t （单位：年） 73满足如下的函数关系：()41012t f t -+=+．（设该生物出生时0t =）74 （1） 需经过多少时间，该生物的身长超过8米；75 （2） 设出生后第0t 年内，该生物长得最快，求()00t t N *∈的值． 7677 22．（本题满分16分；第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分）78给定椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，称圆心在坐标原点O ，C79 的“伴80 随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是12(F F ．81（1）若椭圆C 上一动点1M 满足1112||||4M F M F +=，求椭圆C 及其“伴随圆”82 的方程；83 （2）在（1）的条件下，过点(0,)(0)P t t <作直线l 与椭圆C 只有一个交点，且84 截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为P 点的坐标； 85 （3）已知()cos 3,(,0,)sin sin m n mn m n θθπθθ+=-=-≠∈，是否存在,a b ，使椭圆C 的866徐汇区数学 本卷共×页 第×页“伴随圆”上的点到过两点22(,),(,)m m n n 的直线的最短距离22min d a b b =+-．若存在，87 求出,a b 的值；若不存在，请说明理由．88 23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分） 89 称满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅为n (2,3,4,)n =阶“期待数列”： 90①1230n a a a a ++++=；②1231n a a a a ++++=．91（1）若等比数列{}n a 为2k (*k N ∈)阶“期待数列”，求公比q 及{}n a 的通项公92 式；93 （2）若一个等差数列{}n a 既是2k (*k N ∈)阶“期待数列”又是递增数列，求该94 数列的通项公式；95 （3）记n 阶“期待数列”{}i a 的前k 项和为(1,2,3,,)k S k n =：96（ⅰ）求证：1||2k S ≤； 97（ⅱ）若存在{1,2,3,,}m n ∈使12m S =，试问数列{}k S 能否为n 阶“期待数98 列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由．99 100101102 103 104 105 106 107108109110111112113114115116117118119120121122123请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效128129一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）7徐汇区数学本卷共×页第×页1． 2． 3．1301314． __ 5． _ 6．1327． __ 8． _ 9．13310． 11． 12．1341３． 1４．135二、选择题（本大题共4题，满分20分。
本大题必须使用2B铅笔填涂）15．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 16．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 13613717．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 18．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 138三、解答题（本大题共5题，满分74分）13919．[解]8徐汇区数学本卷共×页第×页1439徐汇区数学本卷共×页第×页10徐汇区数学本卷共×页第×页14511徐汇区数学本卷共×页第×页。