第一章 运筹学线性规划
合集下载
运筹学第一章线性规划
0
X1
约束条件所组成的可行 域为空集，无可行解。
《运筹学》 第一章 线性规划
Slide 19
二、线性规划的标准形式
1、目标函数：max z c1x1 c2x2 cnxn
a x11 1 a x12 2 a x1n n b1 a x21 1 a x22 2 a x2n n b2
《运筹学》 第一章 线性规划
Slide 9
方案 根数
ABC
下料
3m 2 3 0
4m 1 0 2
合计 (m)
10
9
8
料头 (m)
0
1
2
P70 习题1－1： 设按这三种方案下料的原材料
根数分别为x1、x2、x3 。 min x1+x2+x3 S.t. 2x1+3x2>=90 x1+2x3>=60 Xi>=0
minz=2X1＋3X2＋5X3
s.t. X1＋X2－X3>=－5 －6X1＋7X2－9X3=15 ︱19X1－7X2＋5X3︱<=13
X1>=0, X2>=0
令X3=X3`－X3`` -X1－X2＋X3 `－X3`` ＋X4=5 －6X1＋7X2－9X3`＋9X3``=15 19X1－7X2＋5X3`－5X3``+X5=13 －19X1＋7X2－5X3 `＋5X3``＋X6=13 maxz=－2X1－3X2－5X3 `＋5X3`` ＋0X4+0X5+0X6 X1,X2,X3`,X3``,X4,X5,X6>=0 三、线性规划的解的概念（参考P12例1.7） 1、可行解和最优解：满足约束条件的解（X1，X2， …，Xn）T称为线性规划的可行解。而使得目标函数达到 最优值的可行解称为最优解。 2、基：（注意课本P15的定义对“基”的定义有误） 设A是约束方程组m×n维的系数矩阵，其秩为m，B是 矩阵A中m×m阶非奇异子矩阵（B的行列式│B│≠0），则 称B是线性规划问题的一个基。
《运筹学线性规划》PPT课件
划问题化成如下的标准型：
max Z x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7 x1 x2 x4 x5 x7 2 3x1 x2 2x4 2x5 5 x1, x2, x4, , x7 0
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
一、线性规划问题的解的概念
(1.4)
标准型具有如下特点： （1）目标函数求最大值； （2）所求的变量都要求是非负的； （3）所有的约束条件都是等式； （4）常数项非负。 综合以上的讨论可以说明任何形式的线 性规划问题都可以通过上述手段把非标准 型的线性规划问题化成标准型。现举例如 下：
例1－4 试将如下线性规划问题化成标准型
多样性给讨论问题带来了不便。为了便于今后讨论，我 们规定线性规划问题的标准型为：
max Z c1x1 c2x2 cnxn
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
a1nxn b1 a2nxn b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
x1, x2 , , xn 0
例1－1：（计划安排问题）某工厂在计划期内安排
生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所占用的
设备A、B的台时、原材料的消耗及两种产品每件可
获利润见表所示：
I
II 资源总量
设备A(h)
0
3
15
设备B(h)
4
0
12
原材料(公斤)
2
2
14
利润(元)
2
3
问如何安排计划使该工厂获利最多？
解: 假设 x1、x2分别表示在计划期内生产
二、线性规划问题的图解法
对于简单的线性规划问题(只有两个决策变量的
线性规划问题)，我们可以通过图解法对它进行求解
max Z x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7 x1 x2 x4 x5 x7 2 3x1 x2 2x4 2x5 5 x1, x2, x4, , x7 0
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
一、线性规划问题的解的概念
(1.4)
标准型具有如下特点： （1）目标函数求最大值； （2）所求的变量都要求是非负的； （3）所有的约束条件都是等式； （4）常数项非负。 综合以上的讨论可以说明任何形式的线 性规划问题都可以通过上述手段把非标准 型的线性规划问题化成标准型。现举例如 下：
例1－4 试将如下线性规划问题化成标准型
多样性给讨论问题带来了不便。为了便于今后讨论，我 们规定线性规划问题的标准型为：
max Z c1x1 c2x2 cnxn
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
a1nxn b1 a2nxn b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
x1, x2 , , xn 0
例1－1：（计划安排问题）某工厂在计划期内安排
生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所占用的
设备A、B的台时、原材料的消耗及两种产品每件可
获利润见表所示：
I
II 资源总量
设备A(h)
0
3
15
设备B(h)
4
0
12
原材料(公斤)
2
2
14
利润(元)
2
3
问如何安排计划使该工厂获利最多？
解: 假设 x1、x2分别表示在计划期内生产
二、线性规划问题的图解法
对于简单的线性规划问题(只有两个决策变量的
线性规划问题)，我们可以通过图解法对它进行求解
《运筹学》第一章 线性规划
③
约束方程②的系数矩阵
2 2 1 0 0 0
A 1 4
2 0
0 0
1 0
0 1
0 0
p1
p2
p3
p4
p5
p6
0 4 0 0 0 1
确定初始基B
1 0 0 0
产量分别为 x1、x2
项目
Ⅰ
设备 A（h） 0
设备 B（h） 6 调试工序（h） 1 利润（元） 2
Ⅱ 每天可用能力
5
15
2
24
1
5
1
问：应如何安排生产计划，才 能使总利润最大？
2.目标函数：设总利润为z，则
max z = 2 x1 + x2 3.约束条件：
5x2 ≤ 15
s.t.
6x1+ 2x2 ≤ 24 x1+ x2 ≤ 5
凸集
顶点
凸集
不是凸集
顶点：如果凸集C中不存在任何两个不同的点X1， X2，使X成为这两个点连线上的一个点。
（三）基本定理
定理1 若线性规划问题存在可行解，则问题的 可行域是一个凸集。
定理2 线性规划的基可行解对应线性规划问题 可行域（凸集）的顶点。
定理3 若线性规划问题有最优解，一定存在一个 基可行解是最优解。
(2)常数项bi＜0的转换：约束方程两边乘以（－1）。 (3) 约束方程的转换：由不等式转换为等式 。
aij xj bi aij xj bi
aij x j xni bi
xni 0 称为松弛变量
aij x j xni bi
xni 0 称为剩余变量
(4) 变量的变换
若存在取值无约束的变量 x，j可令
2x1
《运筹学》课件 第一章 线性规划
10
解：令
xi=
1， Si被选中
min z= ci xi i 1 10
0， Si没被选中
xi 5
i 1
x1 x8 1 x7 x8 1
称为技术系数
b= (b1,b2, …, bm) 称为资源系数
2、非标准型
标准型
（1）Min Z = CX
Max Z' = -CX
（2）约束条件
• “≤”型约束，加松弛变量；
松弛变量
例如： 9 x1 +4x2≤360
9 x1 +4x2+ x3=360
• “≥”型约束，减松弛变量；
例、将如下问题化为标准型
数据模型与决策 (运筹学）
课程教材：
吴育华,杜纲. 《管理科学基础》，天津大学出版社。
绪论
一、运筹学的产生与发展
运筹学（Operational Research) 直译为“运作研究”。
• 产生于二战时期 • 60年代，在工业、农业、社会等各领域得到广泛应用 • 在我国，50年代中期由钱学森等引入
Min z x1 2x2 3x3
x1 x2 x3 7
s.t
.
x1 x2 x3 3x1 x2 2
x3
2
5
x1, x2 , x3 0
解：令 Min z Max z' (z' z) ，第一个约束加松弛变量x5，
第二个约束减松弛变量x6，得标准型：
Max z' x1 2x2 +3x3
x1 x2 x3 x4 7
s.t .
x1 x2 3x1
x3 x2
x5 2 2x3 5
x1 , , x5 0
运筹学第1章-线性规划
凸集的数学定义:设K为n维欧氏空间的一个点集，若K中任意两个 点X1和X2连线上的所有点都属于K，即“X =αX1+(1-α) X2 ∈ K(0≤a ≤ 1)”，则称K为凸集。设X(x1，x2，…，xn)，X1(u1， u2，...，un)，X2(v1，v2，…，vn)，如图1一5所示，“X =αX1+(1α) X2 ∈ K(0≤a ≤ 1)”的证明思路如下:
下一页 返回
图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
下一页 返回
1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
下一页 返回
图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
下一页 返回
1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
运筹学第一章
OR1
27
线性规划图解法例题
（无界解）
max z x 2 y x y 1 2 x 4 y 3 x 0, y 0
OR1
28
线性规划图解法例题
（无解）
min z x 2 y x y 2 2 x 4 y 3 x 0, y 0
第一章 线性规划与单纯形法
重点与难点：
1、线性规划的概念和模型，线性规划问题的标准型，线 性规划问题的标准化； 2、线性规划问题解的概念，图解法(解的几何表示)，基本 可行解的几何意义，线性规划求解思路(单纯形法思想)； 3、单纯形法的一般描述，表格单纯形法，一般线性规划 问题的处理，单纯形迭代过程中的注意事项； 4、线性规划建模，决策变量，约束不等式、等式，目标 函数，变量的非负限制。
某厂生产两种产品，需要三种资源，已知各产 品的利润、各资源的限量和各产品的资源消耗 系数如下表：问题：如何安排生产计划，使得 获利最多？ 产品A 产品B 资源限量 4 360 劳动力 9 5 200 设 备 4 10 300 原材料 3 120 利润元/kg 70
OR1
3
例题1建模
步骤：
1、确定决策变量：设生产A产品x1kg,B产品x2kg 2、确定目标函数：maxZ=70X1+120X2 3、确定约束条件：人力约束 9X1+4X2≤360 设备约束 4X1+5X2 ≤200 原材料约束3X1+10X2 ≤300 非负性约束X1≥0 X2≥0 综上所述，该问题的数学模型表示为：
OR1
1
第一章 线性规划与单纯形法
1.1 LP(linear programming)的基本概念 LP是在有限资源的条件下，合理分配和 利用资源，以期取得最佳的经济效益的优 化方法。 LP有一组有待决策的变量，（决策变量） 一个线性的目标函数， 一组线性的约束条件。
27
线性规划图解法例题
（无界解）
max z x 2 y x y 1 2 x 4 y 3 x 0, y 0
OR1
28
线性规划图解法例题
（无解）
min z x 2 y x y 2 2 x 4 y 3 x 0, y 0
第一章 线性规划与单纯形法
重点与难点：
1、线性规划的概念和模型，线性规划问题的标准型，线 性规划问题的标准化； 2、线性规划问题解的概念，图解法(解的几何表示)，基本 可行解的几何意义，线性规划求解思路(单纯形法思想)； 3、单纯形法的一般描述，表格单纯形法，一般线性规划 问题的处理，单纯形迭代过程中的注意事项； 4、线性规划建模，决策变量，约束不等式、等式，目标 函数，变量的非负限制。
某厂生产两种产品，需要三种资源，已知各产 品的利润、各资源的限量和各产品的资源消耗 系数如下表：问题：如何安排生产计划，使得 获利最多？ 产品A 产品B 资源限量 4 360 劳动力 9 5 200 设 备 4 10 300 原材料 3 120 利润元/kg 70
OR1
3
例题1建模
步骤：
1、确定决策变量：设生产A产品x1kg,B产品x2kg 2、确定目标函数：maxZ=70X1+120X2 3、确定约束条件：人力约束 9X1+4X2≤360 设备约束 4X1+5X2 ≤200 原材料约束3X1+10X2 ≤300 非负性约束X1≥0 X2≥0 综上所述，该问题的数学模型表示为：
OR1
1
第一章 线性规划与单纯形法
1.1 LP(linear programming)的基本概念 LP是在有限资源的条件下，合理分配和 利用资源，以期取得最佳的经济效益的优 化方法。 LP有一组有待决策的变量，（决策变量） 一个线性的目标函数， 一组线性的约束条件。
运筹学-第一章线性规划
《运筹学》
第21页
例 将下列问题化成标准型:
max ( x1 2x2 + 3x3) s.t. x1+ x2 + x3 7 x1 x2 + x3 2 3x1 + x2 + 2x3 = 5 x1 0, x2 0, x3 无限制
2 November 2018
《运筹学》
第22页
例 将下列问题化成标准型:
2 November 2018
300 400 200 0
《运筹学》
第27页
例题
min z x1 x 2 2 x1 x2 2 x 2x 2 1 2 s.t. x1 x2 5 x1 0
2 November 2018
《运筹学》
第24页
令 x3 = x3’ x3’’ max ( x1 2x2 + 3x3’ 3x3’’)
s.t.
x1+ x2 + x3’ x3’’ + x4 = 7 x1 x2 + x3’ x3’’ x5 = 2 3x1 + x2 + 2x3’ 2x3’’ = 5 x1 0, x2 0, x3’0, x3’’0, x4 0, x5 0
2 November 2018
《运筹学》
第19页
(3) 若约束条件右面的某一常数项 bi<0, 这时只要在 bi 相对应的约束方程两边乘 1。 (4) 若变量 xj 无非负限制 引进两个非负变量 xj’ xj” 0 令 xj= xj’ xj’’（可正可负） 任何形式的线性规划总可以化成标准型
2 November 2018
《运筹 x1+ 2x2 3x3 s.t. x1+ x2 + x3 7 x1 x2 + x3 2 3x1 + x2 + 2x3 = 5 x1 0, x2 0, x3 无限制
运筹学A-第1章线性规划
8 6 300
x1 0，x2 0
租赁费 C (元/天)
10
250
20
350
700
例1-4 见教材第6页，例【1.2】人员分配问题
2024/1/17 7
OR:SM
思考题：（下料问题）
某一机床需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴 的规格分别是2.9、2.1和1.5m，这些轴需要用同一种圆钢切割 而成，圆钢长度为7.4m。现在要制造100台机床，问：最少要 用多少圆钢来生产这些轴？(切割损失不计)
300
700
2024/1/17 6
OR:SM
【解】设租赁机械甲x1天、机械乙x2天，则该线性规划问 题的数学模型为：
min Z 250x1 350x2
5x1 6 x2 250 构件
A
B
s.t
.
180xx1 162x02
x2
300 700
机械 甲（根/天） 乙（根/天） 任务（根）
5 6 250
注意本题条件：有钱就会用于投资，即： 可利用的资金 = 投资金额，据此建立约束等式。
2024/1/17 17
OR:SM
二、线性规划问题的数学模型3.30
• 线性规划问题的数学模型包括三大要素：
• （1）一组决策变量（x1 , x2 , … , xn），是模型中需要首 确定的未知量。
• （2）一组约束条件，是模型中决策变量受到的约束限制， 包括两个部分：不等式或等式；非负取值（实际问题）。
第3年，可用于项目1和4投资，投资额x21和x12有关： x31 + x34 = 1.2 x21 + 1.5 x12 投资限额： x12 ≤ 150000; x23 ≤ 200000; x34 ≤ 100000 非负约束： xij ≥ 0 ( i = 1,2,3; j = 1,2,3,4 ) 对于目标函数，只需考虑第3年末的收益：
运筹学第1章 线性规划
... am2
....本.. 课件a.m的..n版权属b于=熊义杰b┋m
j 1
n
s.t. aij x j bi j 1
(i 1,2, , m)
7
矩阵形式的主要优点是便于进一步. 研究
任何一个非标准的线性规划都可以通过以下三个方面的途径转 化为标准型：
1.将最小化的目标函数转化为最大化的目标函数，即：
x1 - 2x2 5x3 10
s.t.
2
x1 3x1
x2 -
- 3x3 5x2
20 18
Click mouse to show Answers
x1 0, x2 0 - Max(-Z ) -3x1 - y - 4u 4v
x1 2 y 5u - 5v - s1 10
3.限制决策变量取值的非负约束。
线性规划的一般形式为：
线性规划的一般式
max z c1 x1 c2 x2 cn xn
s.t a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a2…1 x1
a…22 x2
…
a
2n
x
n
…
b2
(1.1)
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
max. z=50x1+30x2 3.确定约束方程：
木工约束： 4x1+3x2≤ 120
油漆工约束： 2x1+x2≤ 50
本课件的版权属于熊义杰
3
一个最小化问题
4.变量取值限制：x1≥ 0, x2≥ 0 把以上四个部分合起来，有：
max. z=50x1+30x2
运筹学
满足
12X1 + 6X2 ≤ 600 X1≥0，X2 ≥0 使 max f(x)=7X1 + 5X2
3.合理配料模型
例1-5 用三种原料A1、A2、A3配制一种食品，要求该食品中 蛋白质、脂肪、碳水化合物和维生素的含量分别不低于150、 200、250、300个单位，这三种原料的单价及每单位原料所含各 种成份的数量如表1-6所示。问如何配制这种食品，使成本最低？
X2 = 18 maxf(x) = 2600
第三节
解的结构
线性规划的解有三种情况：有最优解、有解但无 最优解和无可行解。有最优解又有两种情况：有惟一 的最优解和有无穷多个最优解。 当线性规划的约束条件中出现矛盾约束时，即二 元一次不等式组无解时，线性规划问题无可行解。
在例2－1中，加一个约束条件： 求x1,x2
令f(x)=-f(x) ′ 则maxf(x)=-min[-f(x)] =-minf(x) ′
例1-14 将下列线性规划数学模型化为标准形式: 求 x1,x2,x3
2x1 +
x2 + x3
≤ 8
满足
x1
-
x2
x2
+
x3
≥ 3
3x1 -
– 2x3 ≤ -5
≥0,X3是自由变量
X1≥0，x2
使 maxf(x) = x1 – 2x2 + 3x3
解:令X3=X4-X5，其中X4≥0，X5≥0， 在第一个约束条件的左边加入一个松驰变量X6，化为等式； 在第二个约束条件的左边减去一个松驰变量X7，化为等式； 在第三个约束条件的左边加入一个松驰变量X8，化为等式； 并且等式两边同乘以-1； 将求 maxf(x) = X1 - 2X2 + 3X3 化为求
12X1 + 6X2 ≤ 600 X1≥0，X2 ≥0 使 max f(x)=7X1 + 5X2
3.合理配料模型
例1-5 用三种原料A1、A2、A3配制一种食品，要求该食品中 蛋白质、脂肪、碳水化合物和维生素的含量分别不低于150、 200、250、300个单位，这三种原料的单价及每单位原料所含各 种成份的数量如表1-6所示。问如何配制这种食品，使成本最低？
X2 = 18 maxf(x) = 2600
第三节
解的结构
线性规划的解有三种情况：有最优解、有解但无 最优解和无可行解。有最优解又有两种情况：有惟一 的最优解和有无穷多个最优解。 当线性规划的约束条件中出现矛盾约束时，即二 元一次不等式组无解时，线性规划问题无可行解。
在例2－1中，加一个约束条件： 求x1,x2
令f(x)=-f(x) ′ 则maxf(x)=-min[-f(x)] =-minf(x) ′
例1-14 将下列线性规划数学模型化为标准形式: 求 x1,x2,x3
2x1 +
x2 + x3
≤ 8
满足
x1
-
x2
x2
+
x3
≥ 3
3x1 -
– 2x3 ≤ -5
≥0,X3是自由变量
X1≥0，x2
使 maxf(x) = x1 – 2x2 + 3x3
解:令X3=X4-X5，其中X4≥0，X5≥0， 在第一个约束条件的左边加入一个松驰变量X6，化为等式； 在第二个约束条件的左边减去一个松驰变量X7，化为等式； 在第三个约束条件的左边加入一个松驰变量X8，化为等式； 并且等式两边同乘以-1； 将求 maxf(x) = X1 - 2X2 + 3X3 化为求
运筹学 第01章 线性规划问题
线性规划建模步骤
设定决策变量 明确约束条件并用决策变量的线性等式或 不等式表示 用变量的线性函数表示要达到的目标，并 确定是求极小还是求极大 根据变量的物理性质确定变量是否具有非 负性 注：其中最关键是设定决策变量这一步
生产计划问题(1)
某工厂用三种原料生产三种产品，已知的 条件如下表所示，试制订总利润最大的日 生产计划
线性规划问题解的有关概念(2)
基本解：令模型中所有非基变量的值等于零后，由 模型的约束方程组得到的一组解。 基本可行解：满足非负条件的基本解称为基本可行 解。 可行基：对应于基本可行解的基称为可行基。 退化解：基本可行解的非零分量个数小于m时，称 为退化解。 最优基：若对应于基B的基本可行解X是线性规划的 最优解，则称B为线性规划的最优基
人员安排问题(1)
医院护士24小时值班，不同时段需要的护 士人数不等（见下表）。每个护士每天连 续值班8小时，在各时段开始时上班。问最 少需要多少护士？
序号 1 2 3 4 时段 06—10 10—14 14—18 18—22 最少人数 60 70 60 50
5 6
22—02 02—06
20 30
人员安排问题(2)
设xj为第j时段开始值班的护士人数
目标函数为：使人数最少，则有
min f ( X ) x1 x2 x3 x4 x5 x6 x6 x1 60 x x 70 1 2 x2 x3 60 s.t. x3 x4 50 x x 20 5 4 x5 x6 30 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0且为整数
运筹学
第一章 线性规划问题
本章重点
线性规划建模 线性规划的图解法 线性规划的标准形式 单纯形法 两阶段法 大M法
第一章 运筹学线性规划
maxZ= 3x1 +5 x2 +0x3 +0x4+0x5 x1 +x3 =8 2x2 +x4 = 12 3x1 +4 x2 +x5= 36 x1, x2 , x3 , x4 , x5 ≥0
24
第三节 线性规划的标准型
• 例
minZ= x1 +2 x2 -3 x3 x1 +2 x2 - x3 ≤5 2x1 +3 x2 - x3 ≥6 S.t. -x - x + x ≥ -2 1 2 3 x1 ≥0, x3 ≤0 minZ= x1 +2 x2 +3 x3′ x1 +2 x2 + x3′≤5 2x1 +3 x2 + x3′≥6 -x1 - x2 - x3′≥ -2 x1 ≥0, x3′≥0
13
第二节 线性规划的图解法
1. 可行域的确定
• 满足所有约束条件的解的集合，称之为可行域。即所有约束 x2 条件共同围成的区域。
9 • 例1的数学模型为 maxZ= 3x1 +5 x2 D 6 x1 ≤8 2x2 ≤12 3 S.t. 3x1 +4 x2 ≤36 x1 ≥0, x2 ≥0 0
二、解的可能性（续）
• 无界解：线性规划问题的可行域无界，使目标函数 无限增大而无界。（缺乏必要的约束条件）
x2 -2x1 + x2 =2
例如 maxZ= 3x1 +2 x2 -2x1 + x2 ≤2 S.t. x1 -3 x2 ≤3 x1 ≥0, x2 ≥0
-1
3 2
Z=12 Z=6 x1 -3 x2 =3 x1
• 决策变量xk没有非负性要求
令xk=xk′-x k〃， xk=xk′，x k〃 ≥0，用xk′、x k〃 取代模型中xk
24
第三节 线性规划的标准型
• 例
minZ= x1 +2 x2 -3 x3 x1 +2 x2 - x3 ≤5 2x1 +3 x2 - x3 ≥6 S.t. -x - x + x ≥ -2 1 2 3 x1 ≥0, x3 ≤0 minZ= x1 +2 x2 +3 x3′ x1 +2 x2 + x3′≤5 2x1 +3 x2 + x3′≥6 -x1 - x2 - x3′≥ -2 x1 ≥0, x3′≥0
13
第二节 线性规划的图解法
1. 可行域的确定
• 满足所有约束条件的解的集合，称之为可行域。即所有约束 x2 条件共同围成的区域。
9 • 例1的数学模型为 maxZ= 3x1 +5 x2 D 6 x1 ≤8 2x2 ≤12 3 S.t. 3x1 +4 x2 ≤36 x1 ≥0, x2 ≥0 0
二、解的可能性（续）
• 无界解：线性规划问题的可行域无界，使目标函数 无限增大而无界。（缺乏必要的约束条件）
x2 -2x1 + x2 =2
例如 maxZ= 3x1 +2 x2 -2x1 + x2 ≤2 S.t. x1 -3 x2 ≤3 x1 ≥0, x2 ≥0
-1
3 2
Z=12 Z=6 x1 -3 x2 =3 x1
• 决策变量xk没有非负性要求
令xk=xk′-x k〃， xk=xk′，x k〃 ≥0，用xk′、x k〃 取代模型中xk
运筹学第一章线性规划及
第一步：建立平面直角 坐标系。（标出坐标 原点, 坐标轴的指向 和单位长度。） 第二步：图示约束条 件，找出可行域。 第三步：图示目标函数 等值线。 第四步：平移目标函数 等值线，确定最优解。
x2 x1+2x2=8
3 2 1
4x1=16 4x2=12
D
A(4,2)
0
1
2
3
4
x1
二、解的情况
＊唯一解 ＊无穷多解例 ＊无界解例 ＊无可行解（课本）
可行基： 对应于基可行解的基称为可行基。
一、解的概念
以上提到的几种解的概念,可用下图来表示：
可 行 解
基 可 行 解
基 解
二、基本定理
定理 1 若线性规划问题存在可行解，则该问题的可 行域是凸集。
引理 线性规划问题的可行解为基可行解的充要条 件是X的正分量所对应的系数列向量是线性独立的。 定理2 线性规划问题的基可行解X对应线性规划问 题可行域(凸集)的顶点。
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
三、标准形式
标准型的主要特征：
① 目标最大；
② 约束等式； ③右端非负；
max z c1 x1 c 2 x 2 c n x n a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 st . a m 2 x 2 a mn x n b m a m1 x1 x1 , x 2 , , x n 0
第一节 线性规划问题及其数学模型
问题的提出 数学模型 模型的标准形式
一、问题的提出
例1：某工厂在计划期内安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品， 已知生产单位产品所需的设备台时、A、B两种原 材料的消耗及两种产品每件可获利润见如下表所 示： 设 备 原材料A 原材料B 利 润 I 1台时 4公斤 0公斤 2元/件 II 2台时 0公斤 4公斤 3元/件 资源总量 8 台时 16公斤 12公斤
x2 x1+2x2=8
3 2 1
4x1=16 4x2=12
D
A(4,2)
0
1
2
3
4
x1
二、解的情况
＊唯一解 ＊无穷多解例 ＊无界解例 ＊无可行解（课本）
可行基： 对应于基可行解的基称为可行基。
一、解的概念
以上提到的几种解的概念,可用下图来表示：
可 行 解
基 可 行 解
基 解
二、基本定理
定理 1 若线性规划问题存在可行解，则该问题的可 行域是凸集。
引理 线性规划问题的可行解为基可行解的充要条 件是X的正分量所对应的系数列向量是线性独立的。 定理2 线性规划问题的基可行解X对应线性规划问 题可行域(凸集)的顶点。
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
三、标准形式
标准型的主要特征：
① 目标最大；
② 约束等式； ③右端非负；
max z c1 x1 c 2 x 2 c n x n a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 st . a m 2 x 2 a mn x n b m a m1 x1 x1 , x 2 , , x n 0
第一节 线性规划问题及其数学模型
问题的提出 数学模型 模型的标准形式
一、问题的提出
例1：某工厂在计划期内安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品， 已知生产单位产品所需的设备台时、A、B两种原 材料的消耗及两种产品每件可获利润见如下表所 示： 设 备 原材料A 原材料B 利 润 I 1台时 4公斤 0公斤 2元/件 II 2台时 0公斤 4公斤 3元/件 资源总量 8 台时 16公斤 12公斤
运筹学第1章：线性规划
设 x j为第j种饲料的每天使用量，则： 目标函数： min z 2x1 7 x2 4x3 3x4 8x5 3x1 2 x 2 x3 6 x 4 18x5 700 x1 0.5 x 2 0.2 x3 2 x 4 0.5 x5 30 满足约束条件 0.5 x1 x 2 0.2 x3 2 x 4 0.8 x5 100 x , x , x , x , x 0 1 2 3 4 5
【例1-2】设某种动物每天需要摄入的蛋白质、矿物质、维 生素的最低量及A、B、C、D、E五种饲料每公斤营养成分的含 量及单位价格如下表所示。要求既满足该种动物每天营养成分 的需要量，又使总的费用最省。
A 蛋白质(克) 矿物质(克) 维生素(克) 价格(元/千克) 3 1 0.5 2 B 2 0.5 1 7 C 1 0.2 0.2 4 D 6 2 2 3 E 18 0.5 0.8 8 每天最低摄入量 (克) 700 30 100
第一章 线性规划
(Linear Programming)
线性规划问题及其数学模型 线性规划图解法 线性规划问题解的性质 单纯形法 单纯形法的其他问题讨论 线性规划应用举例 WinQSB软件应用
第一节 线性规划问题及其数学模型
一、线性规划问题的提出
【例1-1】已知某企业生产资料如下表所示，问如何安排生产 才能企业使利润最大？
式中：
C ( c1 , c2 , , cn )
x1 X xn b1 b bm
a1 j pj amj
矩阵形式为：
max (或 min) z CX
AX (或 ) b X 0
j 1
n
运筹学知识点总结
运筹学：应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
第一章、线性规划的图解法1.基本概念线性规划：是一种解决在线性约束条件下追求最大或最小的线性目标函数的方法。
线性规划的三要素：变量或决策变量、目标函数、约束条件。
目标函数：是变量的线性函数。
约束条件：变量的线性等式或不等式。
可行解：满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行解。
可行域：可行解的集合称为可行域。
最优解：使得目标函数值最大的可行解称为该线性规划的最优解。
唯一最优解、无穷最优解、无界解（可行域无界）或无可行解（可行域为空域）。
凸集：要求集合中任意两点的连线段落在这个集合中。
等值线：目标函数z，对于z的某一取值所得的直线上的每一点都具有相同的目标函数值，故称之为等值线。
松弛变量：对于“≤”约束条件，可增加一些代表没使用的资源或能力的变量，称之为松弛变量。
剩余变量：对于“≥”约束条件，可增加一些代表最低限约束的超过量的变量，称之为剩余变量。
2.线性规划的标准形式约束条件为等式（=）约束条件的常数项非负（b j≥0）决策变量非负（x j≥0）3.灵敏度分析：是在建立数学模型和求得最优解之后，研究线性规划的一些系数的变化对最优解产生什么影响。
4.目标函数中的系数c i的灵敏度分析目标函数的斜率在形成最优解顶点的两条直线的斜率之间变化时，最优解不变。
5.约束条件中常数项b i的灵敏度分析对偶价格：约束条件常数项中增加一个单位而使最优目标函数值得到改进的数量。
当某约束条件中的松弛变量（或剩余变量）不为零时，这个约束条件的对偶价格为零。
第二章、线性规划问题在工商管理中的应用1.人力资源分配问题（P41）设x i为第i班次开始上班的人数。
2.生产计划问题（P44）3.套材下料问题（P48）下料方案表（P48）设x i为按各下料方式下料的原材料数量。
4.配料问题（P49）设x ij为第i种产品需要第j种原料的量。
运筹学 010线性规划
第1章 线性规划第一节 线性规划问题及数学模型一、引例例1：生产计划问题工厂可生产A 、B 两种产品。
每生产一吨A 产品需用煤9吨，耗电4千瓦，用工时3个；每生产一吨B 产品需用煤4吨，耗电5千瓦，用工时10个。
每生产一吨A 产品工厂可获得利润700元，一吨B 产品可获利润1200元。
工厂的煤、电力和工人均为有限，分别为煤：360吨，电：200千瓦时，工时：300个。
在这种情况下，问：为获得最大利润，工厂应分别生产A 、B 两种产品各多少吨？该问题中的数据可归纳为下表：产品 A B 资源限制 煤 9 4 360 电 4 5 200 工时 3 10 300 利润 700 1200 下面列出该问题的数学模型。
首先设变量，x 1为产品A 的生产量，x 2为产品B 的生产量。
可列出问题中煤、电、工时三种资源的消耗和限制情况： 煤： 3604921≤+x x电：2005421≤+x x工时： 30010321≤+x x再列出获得最大利润这一目标：211200700max x x z +=最后列出变量的有效取值范围：0,21≥x x上面这些表达式用数学形式反映出了问题中的各种因素，即称为该问题的数学模型，整理如下：, 300103 20054 36049 1200700max 2121212121≥≤+≤+≤++=x x x x x x x x x x z该数学模型即是一个线性规划模型。
二、问题的特征引例中的问题可表示为一个线性规划模型，该问题也就相应地称为是一个线性规划问题。
下面结合该例题明确线性规划问题所具有的几个特征：(1) 目标性。
问题中存在一个趋向性的目标，要求某个指标尽可能大或者尽可能小。
如要求利润尽可能大。
(2) 约束性。
问题中存在一定的限制条件，如煤、电、工时的消耗量不能超过一定的限量。
(3) 矛盾性。
是指不论如何调整解决问题的方案，都会对问题的目标同时产生有利和不利两方面的影响。
或者说，对模型中所设定的每一个变量，不管是增大还是减小变量的取值，都会从不同的方面导致目标值的增大和减小。
运筹学第一章
第一章、 线性规划和单纯形法1.1 线性规划的概念一、线性规划问题的导出1．(引例) 配比问题——用浓度为45%和92%的硫酸配置100t 浓度为80%的硫酸。
取45%和92%的硫酸分别为x1和x2t,则有： 求解二元一次方程组得解。
目的相同，但有5种不同浓度的硫酸可选（30%，45%，73%，85%，92%）会出现什么情况？设取这5种硫酸分别为 x1、x2、x3、x4、x5 t, 则有： ⎩⎨⎧⨯=++++=++++1008.092.085.073.045.03.01005432154321x x x x x x x x x x 请问有多少种配比方案？为什么？哪一种方案最好？假设5种硫酸价格分别为：400，700，1400，1900，2500元/t ，则有：2.生产计划问题如何制定生产计划，使三种产品总利润最大？考虑问题：⎩⎨⎧⨯=+=+1008.092.045.01002121x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧=≥⨯=++++=++++++++=5,,2,1,01008.092.085.073.045.03.0100..250019001400700400543215432154321 j x x x x x x x x x x x t s x x x x x MinZ j（1）何为生产计划？（2）总利润如何描述？（3）还要考虑什么因素？（4）有什么需要注意的地方（技巧）？（5）最终得到的数学模型是什么？二、线性规划的定义和数学描述（模型）1．定义：对于求取一组变量xj (j =1,2,......,n)，使之既满足线性约束条件，又使具有线性表达式的目标函数取得极大值或极小值的一类最优化问题称为线性规划问题，简称线性规划。
2.配比问题和生产计划问题的线性规划模型的特点：用一组未知变量表示要求的方案，这组未知变量称为决策变量；存在一定的限制条件，且为线性表达式；有一个目标要求（最大化，当然也可以是最小化），目标表示为未知变量的线性表达式，称之为目标函数； 对决策变量有非负要求。
运筹学第一章线性规划
线性规划解的概念 ——[3]基可行解
[3.1.2]基变量XB和非基变量XN
线性代数: 被表示变量 表示变量
2 x2 x4 x1 2 x2 x3 2 x4 1 x1 2 基变量： 2 x x x1 x 2 x1 4 x2 x3 x4 5 2 x3 41 待解的 4 2 1 x4 变量 x3
X=αx1+βx2 或C=αA +βB y=αy1+βy2
类似的我们有凸组合的概念
线规几何意义: 凸组合
设X1,X2,…XK为n维空间中的k个
点。若下式成立， 显然， X X 1 X例：阴影中任 原点,Q1,Q4的凸 2 ... K X K 类似的，上面X1,X2,…XK的 1 2 C=αA 组合则表示三角 +βB 一点，可表示 0 i 1, i 1 （ 0≤α,β≤1，α+β=1） 凸组合X，则表示由它们圈定 为：原点、 形(O,Q1,Q4)内 则称X为X1,X2,…XK的凸组合。 的封闭空间中任意一点。 是凸组合的一个特例，同时AB的凸 Q1、Q2、Q3、 的任一点 组合C表示AB连线上任一点。 Q4的凸组合
线性规划解的概念
——[3]基可行解 根据基解的定义，我们有：
在基解中
基变量 非零分量（待求变量） 非基变量 零分量（自由变量）
线性规划解的概念
——[3]基可行解
基可行解的定义：
定义1：可行的基解。 定义2：各分量均大于零的基解。
基可行解（m个方程，n个变量） 基可行解 基变量 正分量（待求变量） 正分量个数=m=方程个数=R(A) 非基变量 =n-m 零分量个数 零分量（自由变量）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中国运筹学的发展概况 Nhomakorabea
20世纪50年代后期由钱学森,华罗庚,许国志 等科学家引入中国. 中国运筹学家在打麦场选址问题,中国邮递 员问题,优选法以及统筹方法等方面有突出 的贡献. 中国运筹学会于1980年成立,1982年参加了 国际运筹学会,1991年中国运筹学会成为国 家一级学会.
运筹学研究的特点
a1 a2 am
cm1 cm 2 cmn
单位产品利润
建立数学模型 解：设 x j , j 1,2,, n 表示生产产品 B j , j 1,2,, n 的单位数，则有如下的数学模型。
max S b j x j
j 1
n
n cij x j ai , i 1,2, , m s.t j 1 x j 0, j 1,2, , n
运筹学的发展简史(军事运筹学)
1938年7月,为作好反侵略战争的准备工作,波得塞 (Bawdsey)雷达站的负责人罗伊(A.P.Rowe)提出进 行整个防空作战系统运行的研究,并 用”Operational Research”一词作为这方面工作的 描述.这就是”运筹学”一词的来源. 1939年,苏联经济学家康托洛维奇出版了《生产组 织和计划中的数学方法》,首次提出了线性规划数 学模型及”解乘数法”的求解方法.
运筹学的定义
运筹学是一门应用于管理有组织系统的科学,它为 掌握这类系统的人提供决策目标和数量分析的工 具(大英百科全书). 运筹学应用分析,试验,量化的方法,对经济管理系 统中的人,财,物等有限资源进行统筹安排,为决策 者提供有依据的最优方案,以实现最有效的管理 (中国企业管理百科全书). 运筹学是一种给出问题不坏答案的艺术，否则的 话问题的结果会更坏。
模型方法应用的步骤
分析和表述问题 建立数学模型 对模型求解 对模型和由模型导出的解进行检验 建立起对解的有效控制 方案的实施
运筹学的重要分支
线性规划(Linear programming) 运输问题(Transportation problem) 目标规划(Goal programming) 整数规划(Integer programming) 分配问题(Assignment problem) 动态规划(Dynamic programming)
max S x1 2 x2 x1 4 x 3 2 s.t x1 2 x2 8 x1 0, x2 0
0
x2
目标函数等 值线
A
B
x1 2 x2 8
目标函数 等值线
x1
计算出LP的最优解及目标函数最优值:
x1 2 x2 8 x1 2 A: x2 3 x2 3 x1 2 x2 8 x1 4 B: x1 4 x2 2 LP的最优值均为max S 8
运筹学
主讲教师：常大勇教授
教材：运筹学基础和应用
胡运权等编著 高等教育出版社出版
参考文献
运筹学,清华大学出版社 运筹与管理,中国运筹学会会刊,核心刊物 系统工程理论和实践,中国系统工程学会 会刊,核心刊物 系统工程,湖南系统工程学会会刊
运筹学一词的来源
运筹学一词起源于二十世纪三十年代. 运筹学一词的英文原名是Operations Research(缩写为O.R).可直译为“运用研 究”,“作业研究”. 1957年我国从“夫运筹帷幄之中,决胜于千 里之外”(见《史记•高祖本记》)这句古语 中摘取“运筹”二字,将O.R正式译成”运 筹学”,包含运用筹划,以策略取胜的意义.
B 3 1 5
资源现有量 （吨） 600 400
钢材 煤 单位利润 （万元）
2 2 20
问如何组织生产可使工厂获得最大利润？ 如何建立数学模型？
1.选择决策变量：设A，B两种产品各生产 x1 , x2 个单位； 2.建立目标函数：利润函数是 S 20x1 5x2 求它 max S 20x1 5x2 的最大值，即 3.生产的产量受到限制： 2 x1 3 x2 600
运筹学的成长期(1950—1970)
决策论,博弈论,排队论,网络分析,目标规划 等运筹学分支相继出现. 电子计算机技术的迅速发展,促进了运筹学 的推广和应用. 1959年成立国际运筹学会.
运筹学的发展普及期(70年代以来)
运筹学进一步细分为各分支,专业学术团体迅速增多, 运筹学书籍和期刊大量出版,更多的大学将运筹学纳入 教学计划. 运筹学理论深入发展:如线性规划的椭球算法(苏联,哈 奇扬,1979),Karmakar算法(印度,Karmakar,1984). 第三代计算机的发展促使运筹学应用于复杂的大系统 的研究(城市交通,环境污染,国民经济计划等)
第一章 线性规划(LP)
1939年苏联的经济学家Л.В.КОНТОРОВИЧ在《生产 组织与计划中的数学方法》一书中，首次用线性规 划方法解决了生产组织与运输问题。 1947年美国数学家G.B.Dantzig提出了线性规划的数 学模型，并给出了求解该模型的单纯形法（Simplex method).这标志着线性规划这一运筹学的重要分支 的诞生。 计算机的发展促进了LP计算理论的发展，使其应用 更加广泛和深入。
2 x1 x2 400
4.决策变量必须有非负限制： x1 0, x2 0
综合上述各点，该问题的数学模型如下
目标函数
max S 20x1 5 x2 2 x1 3 x2 600 s.t 2 x1 x2 400 x 0, x 0 2 1
约束条件 非负限制
注意：目标函数和约束条件中变量的次数都 是一次的，这样的模型称为线性规划数学模 型。
生产计划安排的一般提法是：根据下列数据， 如何安排生产使工厂获得最大利润。
消耗 资源 产品
B1 A1 A2 Am c11 c21 b1
B2 c12 c22 b2
Bn
资源现有量
c1n c2 n bn
运筹学发展简史(战后运筹学)
1945年---20世纪五十年代初:称为创建时期. 成立运筹学会:英国在1948年成立”运筹学俱乐 部”,美国在1952年成立运筹学会. 运筹学成为大学课程:英国伯明翰大学,美国麻省理 工学院开设运筹学课程. 最辉煌的成果:1947年美国Dantzig提出解线性规划 的单纯形法;1951年美国R.Bellman提出了解决多阶 段决策问题的动态规划方法;1959年R.Gomory提出 了解整数规划的割平面法等.
系统的整体优化 多学科的配合 模型方法的应用:确定一组决策变量 x1 , x2 ,, xn 使目标函数 f ( x1, x2 ,, xn )达到最优（optimization) 并受到一组约束条件的限制
gi ( x1 , x2 ,, xn ) (, )bi , (i 1,2,, m) x j 0, j 1,2,, n
运筹学的重要分支
图和网络模型(Graph and network modeling) 存储论(Inventory theory) 博弈论(Game theory) 决策论(Decision theory) 排队论(Queueing theory)
计算机求解方法
使用WinQSB 初步了解一下WinQSB
第一章 线性规划(LP)
线性规划问题的数学模型 图解法 单纯形法原理 单纯形法的计算步骤 WINQSB简介(LP部分)
第一章 线性规划(LP)
教学目的与要求:通过学习使学生掌握LP的建 模方法,熟练地使用单纯形法和WINQSB软件求 解LP问题. 重点与难点:重点是LP的建模与解法;难点是单 纯形法的原理. 教学方法:课堂讲授为主并配合课件和WINQSB 软件. 思考题,讨论题,作业:教材第一章习题 参考资料:见前言. 学时分配:8学时.
min S cij xij
i 1 j 1 n i 1,2,, m xij ai j 1 m j 1,2,, n xij b j i 1 xij 0 i 1,2, , m j 1,2,, n m n
第2节 线性规划问题解的性质 ⒈ 两个变量的线性规划问题的图解法 几个基本概念: ⑴ 满足所有约束条件的解称为LP问题的 可行解;所有可行解的集合称为可行解集. ⑵ 使目标函数达到最优的可行解称为LP 问题的最优解. 问题:线性规划是一个带有约束条件的 极值问题,能否用微积分方法求解?
一般地,产销平衡运输问题的数学模型如下:
销地
运价 产地
B1
A1 A2 Am
B2 Bn
产量
a1 a2 am
c11 c12 c1n c21 c22 c2 n cm1 cm 2 cmn
销量
b1 b2 bn
a b
i 1 i j 1
m
n
j
建立数学模型:设 xij 表示从i地调往j地 的调运量,i=1,2, …,m j=1,2, …,n.
线性规划的应用范围
生产的组织与计划问题 运输问题 合理下料问题 配料问题 生产布局问题 特点：在现有条件下，统筹安排，使总 的经济效益最好。
第1节 线性规划的数学模型
例1 某工厂制造A,B两种产品，它们的原材料单 位消耗，单位利润以及资源现有量如下表
单位 产品 消耗 A 资源
运筹学的定义
运筹学是一门新兴的边缘科学,它使用数方学 法,利用计算机等现代化工具,把复杂的研究对 象当作综合系统,进行定量分析,从整体最优出 发,提出一个最优的可行方案,提供给执行机构 作为决策的参考.