第一章 运筹学线性规划

B 3 1 5
资源现有量 （吨） 600 400
钢材 煤 单位利润 （万元）
2 2 20
问如何组织生产可使工厂获得最大利润？ 如何建立数学模型？
1.选择决策变量：设A，B两种产品各生产 x1 , x2 个单位； 2.建立目标函数：利润函数是 S 20x1 5x2 求它 max S 20x1 5x2 的最大值，即 3.生产的产量受到限制： 2 x1 3 x2 600
min S 2 x11 4 x12 5 x13 x21 3x22 4 x23 3x31 2 x32 3x33 x11 x12 x13 7 x x x 4 21 22 23 x31 x32 x33 9 x11 x21 x31 6 x12 x22 x32 8 x13 x23 x33 6 xij 0, i 1,2,3, j 1,2,3 7 4 9 6 8 6 20
运筹学的成长期(1950—1970)



决策论,博弈论,排队论,网络分析,目标规划 等运筹学分支相继出现. 电子计算机技术的迅速发展,促进了运筹学 的推广和应用. 1959年成立国际运筹学会.
运筹学的发展普及期(70年代以来)



运筹学进一步细分为各分支,专业学术团体迅速增多, 运筹学书籍和期刊大量出版,更多的大学将运筹学纳入 教学计划. 运筹学理论深入发展:如线性规划的椭球算法(苏联,哈 奇扬,1979),Karmakar算法(印度,Karmakar,1984). 第三代计算机的发展促使运筹学应用于复杂的大系统 的研究(城市交通,环境污染,国民经济计划等)
例1 用图解法求解下面的LP问题
max S 2 x1 5 x2 x1 4 x 3 2 s.t x1 2 x2 8 x1 0, x2 0
可行解集
x2
3
x2 3
此点 为LP 的最 优解
目标函数等 值线
2 x1 5x2 15
x1 2 x2 8
运筹学的定义



运筹学是一门应用于管理有组织系统的科学,它为 掌握这类系统的人提供决策目标和数量分析的工 具(大英百科全书). 运筹学应用分析,试验,量化的方法,对经济管理系 统中的人,财,物等有限资源进行统筹安排,为决策 者提供有依据的最优方案,以实现最有效的管理 (中国企业管理百科全书). 运筹学是一种给出问题不坏答案的艺术，否则的 话问题的结果会更坏。
约束条件 非负限制
注意：目标函数和约束条件中变量的次数都 是一次的，这样的模型称为线性规划数学模 型。
生产计划安排的一般提法是：根据下列数据， 如何安排生产使工厂获得最大利润。
消耗 资源 产品
B1 A1 A2 Am c11 c21 b1
B2 c12 c22 b2

Bn
资源现有量
c1n c2 n bn
运筹学的重要分支



图和网络模型(Graph and network modeling) 存储论(Inventory theory) 博弈论(Game theory) 决策论(Decision theory) 排队论(Queueing theory)
计算机求解方法


使用WinQSB 初步了解一下WinQSB
系统的整体优化 多学科的配合 模型方法的应用:确定一组决策变量 x1 , x2 ,, xn 使目标函数 f ( x1, x2 ,, xn )达到最优（optimization) 并受到一组约束条件的限制

gi ( x1 , x2 ,, xn ) (, )bi , (i 1,2,, m) x j 0, j 1,2,, n
max S x1 2 x2 x1 4 x 3 2 s.t x1 2 x2 8 x1 0, x2 0
0
x2
目标函数等 值线
A
B
x1 2 x2 8
目标函数 等值线
x1
计算出LP的最优解及目标函数最优值:
x1 2 x2 8 x1 2 A: x2 3 x2 3 x1 2 x2 8 x1 4 B: x1 4 x2 2 LP的最优值均为max S 8
运筹学的发展简史(军事运筹学)


1938年7月,为作好反侵略战争的准备工作,波得塞 (Bawdsey)雷达站的负责人罗伊(A.P.Rowe)提出进 行整个防空作战系统运行的研究,并 用”Operational Research”一词作为这方面工作的 描述.这就是”运筹学”一词的来源. 1939年,苏联经济学家康托洛维奇出版了《生产组 织和计划中的数学方法》,首次提出了线性规划数 学模型及”解乘数法”的求解方法.
2x1 5x2 6
x1 4
4
目标函数 等值线
o
x1
计算出这个最优解:
x2 3 x1 2 为LP的最优解， x1 2 x2 8 x2 3 LP的目标函数最优值为 max S 19
本问题有唯一最优解. 上述作法称为LP的图解法.
例2 用图解法解下面的线性规划
线性规划的应用范围

生产的组织与计划问题 运输问题 合理下料问题 配料问题 生产布局问题 特点：在现有条件下，统筹安排，使总 的经济效益最好。
第1节 线性规划的数学模型
例1 某工厂制造A,B两种产品，它们的原材料单 位消耗，单位利润以及资源现有量如下表
单位 产品 消耗 A 资源
模型方法应用的步骤


分析和表述问题 建立数学模型 对模型求解 对模型和由模型导出的解进行检验 建立起对解的有效控制 方案的实施
运筹学的重要分支


线性规划(Linear programming) 运输问题(Transportation problem) 目标规划(Goal programming) 整数规划(Integer programming) 分配问题(Assignment problem) 动态规划(Dynamic programming)
min S cij xij
i 1 j 1 n i 1,2,, m xij ai j 1 m j 1,2,, n xij b j i 1 xij 0 i 1,2, , m j 1,2,, n wenku.baidu.com n
第2节 线性规划问题解的性质 ⒈ 两个变量的线性规划问题的图解法 几个基本概念: ⑴ 满足所有约束条件的解称为LP问题的 可行解;所有可行解的集合称为可行解集. ⑵ 使目标函数达到最优的可行解称为LP 问题的最优解. 问题:线性规划是一个带有约束条件的 极值问题,能否用微积分方法求解?
第一章 线性规划(LP)

线性规划问题的数学模型 图解法 单纯形法原理 单纯形法的计算步骤 WINQSB简介(LP部分)
第一章 线性规划(LP)


教学目的与要求:通过学习使学生掌握LP的建 模方法,熟练地使用单纯形法和WINQSB软件求 解LP问题. 重点与难点:重点是LP的建模与解法;难点是单 纯形法的原理. 教学方法:课堂讲授为主并配合课件和WINQSB 软件. 思考题,讨论题,作业:教材第一章习题 参考资料:见前言. 学时分配:8学时.
运筹学的定义
运筹学是一门新兴的边缘科学,它使用数方学 法,利用计算机等现代化工具,把复杂的研究对 象当作综合系统,进行定量分析,从整体最优出 发,提出一个最优的可行方案,提供给执行机构 作为决策的参考.
早期运筹学思想



齐王和田忌赛马的故事 丁渭修皇宫的故事(丁渭修宫,一举而三役济) 丹麦工程师A.K.Erlang研究电话占线问题 哥尼斯堡七桥问题 E.Zermelo用集合论研究下棋问题 美国Thomas Edison在第一次世界大战中研 究商船航行策略,防止敌潜艇的攻击.
例2 设有某种物资从A，B，C三个产地调出， 运往甲，乙，丙三个需求地，其调运量及运 价如下表：求一个运费最省的调运方案.
运价 调出 调入
甲 2 1 3 6
乙 4 3 2 8
丙 5 4 3 6
调出量 7 4 9 （20）
A B C 调入量
设 xij 表示从i地调往j地的调运量,i=1,2,3 J=1,2,3.
2 x1 x2 400
4.决策变量必须有非负限制： x1 0, x2 0
综合上述各点，该问题的数学模型如下
目标函数
max S 20x1 5 x2 2 x1 3 x2 600 s.t 2 x1 x2 400 x 0, x 0 2 1
第一章 线性规划(LP)



1939年苏联的经济学家Л.В.КОНТОРОВИЧ在《生产 组织与计划中的数学方法》一书中，首次用线性规 划方法解决了生产组织与运输问题。 1947年美国数学家G.B.Dantzig提出了线性规划的数 学模型，并给出了求解该模型的单纯形法（Simplex method).这标志着线性规划这一运筹学的重要分支 的诞生。 计算机的发展促进了LP计算理论的发展，使其应用 更加广泛和深入。
运筹学发展简史(战后运筹学)



1945年---20世纪五十年代初:称为创建时期. 成立运筹学会:英国在1948年成立”运筹学俱乐 部”,美国在1952年成立运筹学会. 运筹学成为大学课程:英国伯明翰大学,美国麻省理 工学院开设运筹学课程. 最辉煌的成果:1947年美国Dantzig提出解线性规划 的单纯形法;1951年美国R.Bellman提出了解决多阶 段决策问题的动态规划方法;1959年R.Gomory提出 了解整数规划的割平面法等.
一般地,产销平衡运输问题的数学模型如下:
销地
运价 产地
B1
A1 A2 Am
B2 Bn
产量
a1 a2 am
c11 c12 c1n c21 c22 c2 n cm1 cm 2 cmn
销量
b1 b2 bn
a b
i 1 i j 1
m
n
j
建立数学模型:设 xij 表示从i地调往j地 的调运量,i=1,2, …,m j=1,2, …,n.
运筹学
主讲教师：常大勇教授
教材：运筹学基础和应用

胡运权等编著 高等教育出版社出版
参考文献


运筹学,清华大学出版社 运筹与管理,中国运筹学会会刊,核心刊物 系统工程理论和实践,中国系统工程学会 会刊,核心刊物 系统工程,湖南系统工程学会会刊
运筹学一词的来源


运筹学一词起源于二十世纪三十年代. 运筹学一词的英文原名是Operations Research(缩写为O.R).可直译为“运用研 究”,“作业研究”. 1957年我国从“夫运筹帷幄之中,决胜于千 里之外”(见《史记•高祖本记》)这句古语 中摘取“运筹”二字,将O.R正式译成”运 筹学”,包含运用筹划,以策略取胜的意义.
中国运筹学的发展概况



20世纪50年代后期由钱学森,华罗庚,许国志 等科学家引入中国. 中国运筹学家在打麦场选址问题,中国邮递 员问题,优选法以及统筹方法等方面有突出 的贡献. 中国运筹学会于1980年成立,1982年参加了 国际运筹学会,1991年中国运筹学会成为国 家一级学会.
运筹学研究的特点
a1 a2 am
cm1 cm 2 cmn
单位产品利润
建立数学模型 解：设 x j , j 1,2,, n 表示生产产品 B j , j 1,2,, n 的单位数，则有如下的数学模型。
max S b j x j
j 1
n
n cij x j ai , i 1,2, , m s.t j 1 x j 0, j 1,2, , n