第四章统计推断：估计与假设检验-72页PPT资料

无偏性的定义
如E 果 θ ˆθ成立θ ˆ为 ，参 称 θ的 数 无偏估 θ ˆ具 计 有 ， 无 亦 如E 果 θ ˆθ，θ ˆ称 为 θ的有偏估B 计 i aE ， sθ ˆ-θ。 其偏差
θˆ 的概率
4.2 点估计及估计量的特征
一、点估计的含义
所谓点估计就是给出被估计参数的一个特定的估计值。 例如随机变量X服从某一未知均值和方差的正态分布，若
有来自该正态总体的一随机样本，则这些样本数据的平
均值就为总体的均值ux的点估计值， XX为i /n点估计量。
4.2 点估计及估计量的特征
一、点估计的含义
根据拉格朗日定理，对未知参数求条件极值，令LnL 对 的一阶导数等于0，即dLnL/d =0 ==>得到似然方程， 所求的^就是似然方程中的解。
注意：
当不只一个参数需要估计时，应将LnL分别对不 同参数求偏导，然后解似然方程组
最大似然估计法对方差的估计往往是有偏估计 量，以后对线性模型估计时也是如此。
抽样序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 寿命（小时） 1050 1100 1080 1120 1200 1250 1040 1130 1300 1200
计算得样本算术平均数=1147，作为总体数学期望的估计值
例2若样本x1, xn取自均匀分布
x,
1
0
0 x
其它
问在矩法下是多少？
x
对于离散型变量，就是要选择^使p(x1)p(x2)…p(xn)最大。 （连乘——表示一次独立地抽取各个样本观察值）
对于连续型变量，就是要选择^使(x1)(x2)...(xn)最大。注 意(xi)是随机变量在xi附近取值的概率，相当于离散型的p(xi)。
c、似然法函数
设为连续型随机变量，它 的分布函数是 F x; ，分布密
x 这种方法最常见的应用是用样本平均数 估计总体数 学期望，用样本方差S2估计总体的方差。 矩法比较直观，求估计量时有时也比较直接，但它求
出的估计量往往不够理想。
矩法点估计的例题
例4-1 某灯泡厂某天生产了一大批灯泡，从中抽取了10 个进行寿命试验，获得数据如下（单位：小时），问该 天生产的灯泡的平均寿命是多少？
点估计量的一些统计性质
（1）线性；（2）无偏性；（3）有效性； （4）最优线性无偏估计量（BLUE）； （5）一致性
（1）线性
若估计量是样本观察值的线性函数，则称该估计量是 线性估计量
样本均值是一个线性估计量
（2）无偏性
无偏性的直观意义
根据样本推得的估计值和真值可能不同，然而如果 有一系列抽样依据同一估计方法就可以得到一系列估 计值，很自然会要求这些估计的期望值与未知参数的 真值相等。这就是无偏性的概念，无偏性的直观意义 是：样本估计量的数值在真值周围摆动，即无系统误 差。
点估计量是一个随机变量，因为其值随样本的不同而不 同。
常用的点估计方法有三种：矩法、最大似然法、最小二 乘法。
对同一样本根据三种方法估计同一参数，所获得的估计 结果可能互不相同。然而由于各种建立原则的合理性， 所以三种方法在研究中都经常使用。
二、点估计方法
（1）矩法
矩法是求估计量最古老的方法。具体作法是：以一样 本矩作为相应总体矩的估计量； 以样本矩的函数作为 相应的总体矩同样函数的估计量。
度函数是 x; ，其中 是未知参数。由于样本 的独立性，则
样本 x1, x2 xn 的联合分布分布密度是 ：
Lx1, x2
x
n
;
n
x
wk.baidu.com
i
;
i 1
由于每一取定的样本值 x1, x2 xn 是常数，所以 L可以看
成参数 的函数，称 L为样本的似然函数。
设为离散型随机变量，它 的概率函数 P xi Pxi ; ,
xx, dx
0
x
1dx
1
0
xd
x
1
1 2
2
02
又在矩法下ˆ x
x
2
,ˆ 2x
二、点估计方法
（2）最大似然法(Maximum Likelihood Estimation) a、一个重要的事实
不同的总体会产生不同的样本，对于某一特定的样本， 在不了解产生它的总体究竟为何物的观察者眼中，它来 自一些总体的可能性要比来自另一些总体的可能性大， 即一些总体更容易产生出我们所观察到的样本。
则似然函数
Lx1, x2
x
n
;
n
Pxi;
i 1
d、最大似然法的定义和估计方法
定义 如果L(x1, x2,…，xn;θ)在^处达到最大值，则称^ 是θ
的最大似然估计。 为了取得的最大似然估计，必须使似然函数L达到最
大值。由于对数函数是单增的，L达到最大亦即LnL达到最 大。这样使LnL达到最大来估计为计算带来了许多方便。
“替”我们“选择”了A。
b、最大似然法的概念
上述事实诱导我们宁愿作出这样的抉择：将样本最容易来自 的总体当作产生样本的总体。
现在要根据从总体中抽取得到的样本(x1,……,xn)对总体中的 未知数进行估计。最大似然法是选择这样的估计量^作为 的估计值，以便使观察结果(x1,……,xn)出现的可能性（概率） 最大。
举例说假定我们抽取到（x1,x2,……,x8），知道它来自 正态总体，且总体的方差是了解的，但是总体的均值未 知。如下图所示。
概 率 分布B
分布A
x x6 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
假定样本不是来自B就是来自A。如果样本来自B，观察 到它的可能性非常小；真正的母体若是A，得到样本的 可能性很大。显然我们宁愿承认样本来自A。是样本
二、点估计方法
（3）最小二乘法 (Least Square Estimation Method)
最小二乘法是计量经济学中应用最广泛的一种估计方 法。
这是本课程研究的重点问题，在以后各章中将详尽地 阐述它的原理、步骤、特性和优越处。
三 点估计量的特征
所谓估计量的特性指的是衡量一个统计量用以 估计总体参数的好坏标准。
4.1 统计推断的含义
统计推断研究的是总体与来自总体的样本之间的关系， 根据来自总体的样本对总体的种种特征做出判断。
参数估计和假设检验是统计推断的两个孪生分支 参数估计问题包括点估计（point estimation）和区间
估计（interval estimation). 假设检验包括置信区间法和显著性检验