第28讲-尺规作图

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课时49_总复习_初中数学总复习第二十八讲：尺规作图-教案

初中数学总复习第28 讲尺规作图【教学目标】通过复习，能掌握五种基本作图，并利用这些基本作图灵活解决与三角形、圆有关的作图。

【教学重难点】教学重点是能利用五种基本作图，灵活解决与三角形、圆有关的作图。

教学难点是能利用五种基本作图，灵活解决与三角形、圆有关的作图。

【教学过程】教学环节教学内容设计意图一、复习引入通过动画的演示，让学生回忆起这五种基本作图。

知识点一：五种基本尺规作图例1：如图，△ABC中，AB＞AC，∠CAD为△ABC的外角，观察尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（）A.∠DAE=∠BB.∠EAC=∠CC. AE//BCD.∠DAE=∠EAC分析：尺规作图→作一个角等于已知角→∠DAE=∠B→AE//BC→∠EAC=∠C，从而答案是 D。

方法点拨：审题→析图（基本作图）→解图（平行线性质与判定）例2：已知△ABC（AC<BC),用尺规作图的方法在BC 上确定一点P,使 PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是（）分析：可得方法点拨：审题→析图（基本作图）→解图例 3：(1)按如下步骤作图：①分别以点 A，C 为圆心，大于1/2 AC 的长为半径在 AC 两边作弧，交于两点 M，N；②连接 MN，分别交 AB，AC 于点D，O；③过点 C 画CE∥AB交MN 于点 E，连接 AE，CD.(2)求证：四边形 ADCE 是菱形；(3)当∠ACB＝90°，BC＝6，△ADC的周长为 18 时，求四边形 ADCE 的面积．分析：由“分别以点 A，C 为圆心，大于 1/2 AC 的长为半径在 AC 两边作弧，交于两点 M，N”这个条件可知作 AC 的中垂线，再按照以下的思路就可以解决问题了。

解：（2）证明：由（1）可知直线DE是线段AC的垂直平分线AC ⊥DE,即∠AOD=∠COE=90︒, AO=COCE// A B,∴∠1=∠2,∴在∆AOD和∆COE中⎧∠AOD=∠COE⎪AO=CO⎨ ⎪∠1=∠2⎩∴∆AOD≌∆COE（ASA)∴OD=OE,AC ⊥DE, AO=CO∴四边形ADCE是菱形.方法点拨：审题→析图（基本作图）→作图→解图（菱形性质与判定及全等）思想方法审题：转化思想注意：1.一定要保留作图痕迹；2.注意不要漏了作图结论。

《尺规作图》数学教学PPT课件(2篇)

B.已知两角和它们 D.已知三角
2.已知三边作三角形，用到的基本作图是(C )
A.作一个角等于已知角
B.平分一个已知角
C.在射线上截取一线段等于已知线段
D.作一条直线的垂线.
3.画三角形，使它的两条边分别等于两条已知线段，这以画无数个
4.如图，已知∠α，∠β，线段a，求作△ABC，使∠A=∠α，∠
2 如图，已知∠A ，∠B，求作一个角，使它等于∠A+∠B. 所以∠CDF就是所求作的角.
3.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说
明的∠AOB ∠AOB 依据是（ D ）
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
4.如图,某人不小心把一块三角形的玻璃打碎成三块,现在
要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么他最少要
布置作业
书面作业：完成相关书本作业
数学活动处处留心皆学问：作三角形的条件与证明三角全等的条件之间有什么样的关系呢？
两个基本作图 (1)作一条线段等于已知线段
(2)作一个角等于已知角
1.3.3 尺规作图
八年级上册
学习目标
➢ 1.会利用基本尺规作图，完成已知两角和夹三角形
➢ 2.探索完成已知两角和其中一角的对边作三角过程，积累数学活动经验。
预习反馈
1．根据下列条件，能作出唯一的△ABC的是( D )
A. AB＝4，BC＝7，AC＝2
2.教学重点利用五个基本作图解决一些实际问题.
3.教学难点将几何作图与几何设计综合在一起，解决实
际问题的动手作图能力.
• 尺规作图：在几何里,把只能使用没有刻度
的直尺和圆规这两种工具作几何图形的方法
称为尺规作图.

《尺规作图》课件PPT

或。
•一最个基圆本,最一常段用弧的尺规作图,称为基本作图.
•一些复杂的尺规作图都是由组成的. 基本作图
两种基本作图：
•1、作一条线段等于已知线段 •2、作一个角等于已知角
已知：线段AB．
求作：线段A’ B’，使A’ B’＝AB．作法与示范：
A
•作
法
•示
•(1) 作射线A’C’ ；
(2) 以点A’为圆心，
以AB的长为半径画弧，
交射线A’ C’于点B’，
A’B’ 就是所求作的线段。
A’
B’
B
范
C’
2、作一个角等于已知角 •已知： AOB(图1)
•求作： A`O`B`,使 A`O`B`= AOB B
O
A
感谢您的阅读！为了便于学习和使用，本文档下载后内容可随意修改调整及打印。
学习永远不晚。 JinTai College
• 这样作法正确吗？你应如何检验？ • 写出证明∠AOB= A O的B 过程.
随堂练习:
⑴已知∠ AOB，利用尺规作 ∠ A′O′B′，使∠ A′O′B′=2∠ AOB.
B
α
β
O
A
⑵已知角α，β(β＜α＜90°)求作一个角，使它等于获？
作业巩固
（一）阅读作业：通读教材，复习巩固用尺规作一个角等于已知角；（二）书面作业：P24 习题1.3
画一画作法与示范
作法
（1）作射线O′A′：
（2）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；
（3）以点O′为圆心，以OC长为半径画弧，交O′ A′于点C′；（4）以点C′为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点D ′ ；（5）过点D ′作射线O ′ B ′ .

2015中考尺规作图三基本做图的应用

M
N
中考连接
1．（2012绍兴）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是：甲：1、作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点， 2、连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形乙：1、以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点。 2、连接AB，BC，CA．△ABC即为所求的三角形。对于甲、乙两人的作法，可判断（） A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误 C．甲正确、乙错误 D．甲错误，乙正确
28讲尺规作图
五个基本尺规作图
作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；
作已知角的平分线。
过一点做已知直线的垂线；作已知线段的垂直平分线；
二、基本作图的应用
例1 已知两边及其夹角，求作三角形．
E
C
α a
B F
A
α b
例2 如图，有一不完整的圆形,现要制作一个与原图同样大小的圆，请你根据所学的有关知识，利用尺规作图．（不写已知，求作，作法）（1）作出这个圆的圆心；（2）作出弧MN的中点．
F
G
A
E D
B
C
3.如图，△ABCபைடு நூலகம்直角三角形∠ACB=90°．（1）实践与操作利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹，不写作法)． ①作△ABC的外接圆，圆心为O； ②以线段AC为一边，在AC的右侧作等边△ACD； ③连接BD，交⊙O于点E，连接AE. (2)综合与运用在你所作的图中，若AB=4，BC=2，则： ①AD与⊙O的位置关系是______．(2分) ②线段AE的长为__________．(2分)6
B
C 图① 图②
D
2（2013.陕西）中考连接问题探究（1）请在图①中，作出两条直线，使它们将圆面四等分；（2）如图②，M 是正方形 ABCD 内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点 M），使它们将正方形 ABCD 的面积四等分，并说明理由。问题解决（3）如图③，在四边形 ABCD 中，AB//CD,AB＋CD=BC，点 P 是 AD 的中点，如果 AB= a ,CD= b ,且 b a ，那么在边 BC 上是否存在一点 Q,使 PQ 所在的直线将四边形 ABCD 的面积分成相等的两部分？若存在，求出 BQ 的长；若不存在，说明理由。

人教新课标中考总复习课件(第28讲尺规作图)

B．菱形
图 28－9 C．正方形
D．梯形第28讲┃ 尺规作图
3．[2014·河北] 如图 28－10，已知△ABC(AC＜BC)，用
尺规在 BC 上确定一点 P，使 PA＋PC＝BC，则符合要求的作
图痕迹是
(D )
图 28－10
图 28－11
第28讲┃ 尺规作图
4．如图 28－12，AD 为⊙O 的直径，作⊙O 的内接正三角形 ABC，甲、乙两人的作法分别如下：
例 1 如图 28－4，已知△ABC，按如下步
骤作图：①分别以点 A，C 为圆心，大于21AC 的长为半径在 AC 两边作弧，交于两点 M，N； ②连接 MN，分别交 AB，AC 于点 D，O；③ 过点 C 作 CE∥AB 交 MN 于点 E，连接 AE，
CD. (1)求证：四边形 ADCE 是菱形； (2)当∠ACB＝90°，BC＝6，△ADC 的
图 28－12 甲：1.作 OD 的垂直平分线，交⊙O 于 B，C 两点． 2．连接 AB，AC. △ABC 即为所求作的三角形．
第28讲┃ 尺规作图
乙：1.以点 D 为圆心，OD 长为半径作圆弧，交⊙O 于 B，
C 两点．
2．连接 AB，BC，AC.
△ABC 即为所求作的三角形．
对于甲、乙两人的作法，可判断
要求：不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹．
图 28－7
第28讲┃ 尺规作图
解：如图所示，点 P 即为所求作的位置．第28讲┃ 尺规作图
┃考题自主训练与名师预测┃
1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图 28－8
所示，则能说明∠AOC＝∠BOC 的依据是
( A)
图 28－8 A．SSS B．ASA C．AAS D．角平分线上的点到角两边的距离相等

尺规作图知识归纳

尺规作图知识归纳考点名称：尺规作图尺规作图：是指限定用没有刻度的直尺和圆规来完成的画图。

一把没有刻度的直尺看似不能做什么，画一个圆又不知道它的半径，画线段又没有精确的长度。

其实尺规作图的用处很大，比如单用圆规找出一个圆的圆心，量度一个角的角度，等等。

运用尺规作图可以画出与某个角相等的角，十分方便。

尺规作图的中基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线。

还有：已知一角、一边做等腰三角形已知两角、一边做三角形已知一角、两边做三角形依据公理：还可以根据已知条件作三角形，一般分为已知三边作三角形，已知两边及夹角作三角形，已知两角及夹边作三角形等，作图的依据是全等三角形的判定定理：SSS，SAS，ASA等。

注意：保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理。

尺规作图方法：任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：·通过两个已知点可作一直线。

·已知圆心和半径可作一个圆。

·若两已知直线相交，可求其交点。

·若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。

·若两已知圆相交，可求其交点。

【学习目标】1．了解什么是尺规作图．2．学会用尺规作图法完成下列五种基本作图：(1)画一条线段等于已知线段；(2)画一个角等于已知角；(3)画线段的垂直平分线；(4)过已知点画已知直线的垂线；(5)画角平分线．3．了解五种基本作图的理由．4．学会使用精练、准确的作图语言叙述画图过程．5．学会利用基本作图画三角形等较简单的图形．6．通过画图认识图形的本质，体会图形的内在美．【基础知识精讲】1．尺规作图：限定只用直尺和圆规来完成的画图，称为尺规作图．注意：这里所指的直尺是没有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺规作图法画出的图形的精确度更高，它在工程绘图等领域应用比较广泛．2．尺规作图中的最基本、最常用的作图称为基本作图．3．基本作图共有五种：(1)画一条线段等于已知线段．如图24-4-1，已知线段DE．求作：一条线段等于已知线段．作法：①先画射线AB．②然后用圆规在射线AB上截取AC＝MN．线段AC就是所要作的线段．(2)作一个角等于已知角．如图24-4-2，已知∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：①作射线O′A′；②以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D．③以点O′为圆心，以OC长为半径作弧，交O′A′于C′．④以点C′为圆心，以CD为半径作弧，交前弧于D′．⑤经过点D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求的角．(3)作线段的垂直平分线．如图24-4-3，已知线段AB．求作：线段AB的垂直平分线．作法：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．②作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．注意：直线CD与线段AB的交点，就是AB的中点．(4)经过一点作已知直线的垂线．a．经过已知直线上的一点作这条直线的垂线，如图24-4-4．已知：直线AB和AB上一点C，求作：AB的垂线，使它经过点C．作法：作平角ACB的平分线CF．直线CF就是所求的垂线，如图24-4-4．b．经过已知直线外一点作这条直线的垂线．如图24-4-5，已知：直线AB和AB外一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．作法：①任意取一点K，使K和C在AB的两旁．②以C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．③分别以D和E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F．④作直线CF．直线CF就是所求的垂线．注意：经过已知直线上的一点，作这条直线的垂线转化成画线段垂直平分线的方法解决．(5)平分已知角．如图24-4-6，已知∠AOB．求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．作法：①在OA和OB上，分别截取OD、OE．②分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C．③作射线OC．OC就是所求的射线．注意：以上五种基本作图是尺规作图的基础，一些复杂的尺规作图，都是由基本作图组成的，同学扪要高度重视，努力把这部分内容学习好．通过这一节的学习，同学们要掌握下列作图语言：(1)过点某和点某画射线某某，或画射线某某．(2)在射线某某上截取某某＝某某．(3)以点某为圆心，某某为半径画弧．(4)以点某为圆心，某某为半径画弧，交某某于点某．(5)分别以点某，点某为圆心，以某某，某某为半径作弧，两弧相交于点某．(6)在射线某某上依次截取某某＝某某＝某某．(7)在∠某某某的外部或内部画∠某某某＝∠某某某．注意：学过基本作图后，在作较复杂图时，属于基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了．如：(1)画线段某某＝某某．(2)画∠某某某＝∠某某某．(3)画某某平分∠某某某，或画∠某某某的角平分线．(4)过点某画某某⊥某某，垂足为点某．(5)作线段某某的垂直平分线某某，等等．但要注意保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，不能因为作法的叙述省略而作图就不按程序操作，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理．【经典例题精讲】例1已知两边及其夹角，求作三角形．如图24-4-7，已知：∠α，线段a、b，求作：△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．作法：①作∠MAN＝∠α．②在射线AM、AN上分别作线段AB＝a，AC＝b．③连结BC．如图24-4-8，△ABC即为所求作的三角形．注意：一般几何作图题，应有下面几个步骤：已知、求作、作法，比较复杂的作图题，在作图之前可根据需要作一些分析．例2如图24-4-9，已知底边a，底边上的高h，求作等腰三角形．已知线段a、h．求作：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h．分析：可先作出底边BC，根据等腰三角形的三线合一的性质，可再作出BC的垂直平分线，从而作出BC边上的高AD，分别连结AB和AC，即可作出等腰△ABC来．作法：(1)作线段BC＝a．(2)作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC交于点D．(3)在MN上截取DA，使DA＝h．(4)连结AB、AC．如图24-4-10，△ABC即为所求的等腰三角形．例3已知三角形的一边及这边上的中线和高，作三角形．如图24-4-11，已知线段a，m，h(m>h)．求作：△ABC使它的一边等于a，这边上的中线和高分别等于m和h(m>h)．分析：如图24-4-12，假定△ABC已作出，其中BC＝a，中线AD＝m，高AE＝h，在△AED中AD＝m，AE＝h，∠AED＝90°，因此这个Rt△AED 可以作出来(△AED为奠基三角形)．当Rt△AED作出后，由可得到．的关系可作出点B和点C，于是△ABC即作法：(1)作△AED，使∠AED＝90°，AE＝h，AD＝m．(2)延长ED到B，使．(3)在DE或BE的延长线上取．(4)连结AB、AC．则△ABC即为所求作的三角形．注意：因为三角形中，一边上的高不能大于这边上的中线，所以如果h>m，作图题无解；若m＝h，则作出的图形为等腰三角形．例4如图24-4-13，已知线段a．求作：菱形ABCD，使其半周长为a，两邻角之比为1∶2．分析：因为菱形四边相等，“半周长为a”就是菱形边长为，为此首先要将线段a等分，又因为菱形对边平行，则同旁内角互补，由“邻角之比为1∶2”可知，菱形较小内角为60°，则菱形较短对角线将菱形分成两个全等的等边三角形．所以作图时只要作出两个有公共边的等边三角形，则得到的四边形即为所求的菱形ABCD．作法：(1)作线段a的垂直平分线，等分线段a．(2)作线段AC，使．(3)分别以A、C为圆心，为半径，在AC的两侧画弧，两弧分别交于B，D．(4)分别连结AB、BC、CD、DA得到四边形ABCD，则四边形ABCD为所求作的菱形(如图24-4-14)．注意：这种通过先画三角形，然后再画出全部图形的方法即为“三角形奠基法”．例5如图24-4-15，已知∠AOB和C、D两点．求作一点P，使PC＝PD，且使点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．分析：要使PC＝PD，则点P在CD的垂直平分线上，要使点P到∠AOB的两边距离相等，则P应在∠AOB的角平分线上，那么满足题设的P点就是垂直平分线与角平分线的交点了．作法：(1)连结CD．(2)作线段CD的中垂线l．(3)作∠AOB的角平分线OM，交l于点P，P点为所求．注意：这类定点问题应需确定两线，两直线的交点即为定点，当然这两直线应分别满足题目的不同要求．【中考考点】例6(2000·安徽省)如图24-4-16，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有()A．一处B．二处C．三处D．四处分析：到直线距离相等的点在相交所构成的角的平分线上，可利用作角平分线的方法找到这些点．解：分别作相交所构成的角平分线，共可作出六条，三条角平分线相交的交点共有四个．答案：D．注意：本题应用了角平分线的性质，在具体作图时，不可只作出位于中心位置的一处，而要全面考虑其他满足条件的点．例7(2002·陕西省)如图24-4-17，△ABC是一块直角三角形余料，∠C＝90°，工人师傅要把它加工成—个正方形零件，使C为正方形的—个顶点，其他三个顶点分别在AB、BC、AC边上．(1)试协助工人师傅用尺规画出裁割线(不写作法，保留作图痕迹)；(2)工人师傅测得AC＝80cm，BC＝120cm，请帮助工人师傅算出按(1)题所画裁割线加工成的正方形零件的边长．解：(1)作∠ACB的平分线与AB的交点E即为正方形—顶点，作CE 线段的中垂线HK与AC、BC的交点F、D即为所作正方形另两个顶点，如图24-4-17．(2)设这个正方形零件的边长为某cm，∵DE∥AC，∴，∴．∴某＝48．答：这个正方形零件的边长为48cm．注意：本题是几何作图和几何计算相结合题目，要求读者对基本作图务必掌握，同时对作出图形的性质要清楚．例8(2002·山西省)如图24-4-18①，有一破残的轮片(不小于半个轮)，现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件，请你根据所学的有关知识，设计两种方案，确定这个圆形零件的半径．分析：欲确定这个圆形零件的半径，可以借助三角板，T形尺或尺规作图均可，图②中是这个零件的半径，图③中OB是这个零件半径．解：如图24-4-18②③所示．【常见错误分析】例9如图24-4-19，已知线段a、b、h．求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC边上的高AD＝h．并回答问题，你作出的三角形唯一吗？从中你可以得到什么结论呢？错解：(1)作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b．②在直线CD上截取CB＝a．如图24-4-20，则△ABC就是所求作的三角形．(2)作出的三角形唯一．(3)得出结论：有两边及一边上的高对应相等的两三角形全等．误区分析：本题错解在于忽略了三角形的高可能在三角形内部也可能在三角形的外部．正解：如图24-4-21，作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b．②在直线CD上截取CB＝a(在点C的两侧)．则△ABC，△AB′C都是所求作三角形．(2)作出的三角形不唯一．(3)得出结论有两边及—边上的高对应相等的两三角形不一定全等．注意：与三角形的高有关的题目应慎之又慎．【学习方法指导】学习本单元基本作图，主要是运用观察法，通过具体的操作，了解各种基本作图的步骤，掌握作图语言．【规律总结】画复杂的图形时，如一时找不到作法，—般是先画出一个符合所设条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤．有时，也可以根据已知条件和基本作图，先作局部三角形，再以此为基础，根据有关条件画出其余部分，从而完成全图，这种方法称为三角形奠基法．考点一尺规作图1．定义：只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图．2．步骤：(1)根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；(2)分析作图的方法和过程；(3)用直尺和圆规进行作图；(4)写出作法步骤，即作法．考点二五种基本作图1．作一线段等于已知线段；2．作一个角等于已知角；3．作已知角的平分线；4．过一点作已知直线的垂线；5．作已知线段的垂直平分线．考点三基本作图的应用1．利用基本作图作三角形(1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形；(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．2．与圆有关的尺规作图(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)．(2)作三角形的内切圆．尺规作图简史：“规”就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规”这个字.“矩”就像现在木工使用的角尺，由长短两尺相交成直角而成，两者间用木杠连接以使其牢固，其中短尺叫勾，长尺叫股.矩的使用是我国古代的一个发明，山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角，加上刻度可以测量，还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字，这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.《史记》卷二记载大禹治水时“左准绳，右规矩”.赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之势，……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先测量地势的高低，就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.春秋时代也有不少著作涉及规矩的论述，《墨子》卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规矩，以度天下之方圆.”《孟子》卷四中说“离娄(传说中目力非常强的人)之明，公输子(即鲁班，传说木匠的祖师)之巧，不以规矩，不能成方圆.”可见，在春秋战国时期，规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度，因此使用范围较广，具有较大的实用性.古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值.因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺规作图问题.所谓尺规作图，就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图.古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被判处死刑.在监狱里，他思考改圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活.他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度.另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的《几何原本》.由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来.由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.当时很多有名的希腊数学家，都曾着力于研究这三大问题，虽然借助于其他工具或曲线，这三大难题都可以解决，但由于尺规作图的限制，却一直未能如愿以偿.以后两千年来，无数数学家为之绞尽脑汁，都以失败而告终.直到1637年笛卡尔创立了解析几何，关于尺规作图的可能性问题才有了准则.到了1837年万芝尔首先证明立方倍积问题和三等分任意角问题都属于尺规作图不可能问题.1882年林德曼证明了π是无理数，化圆为方问题不可能用尺规作图解决，这才结束了历时两千年的数学难题公案.。

第28讲尺规作图-中考数学一轮复习知识考点ppt（27张）

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【思路分析】(1)根据题干要求，可知点E在边BC的垂直平分线上. (2)根据矩形对边平行及等边对等角可得△EBC中其余两角的度数，再根据三角形内角和定理，即可求得∠BEC的大小.
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尺规作图题的三种考查类型
1.直接作图：作角的平分线，作线段的垂直平分线，作一个角等于已知角等，直
(4)过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB.
根据以上作图步骤，请你证明∠A′O′B′＝∠AOB.
证明：连接C′D′，由作图步骤可知，
O'C' OC,
在△C′O′D′和△COD中，O'D' OD, ∴△C′O′D′≌△COD(SSS)C. 'D' CD,
∴∠C′O′D′＝∠COD，即∠A′O′B′＝∠AOB.
第七章图形与变换
第28讲尺规作图
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知识点1 尺规作图及其基本步骤 1.定义：只用①___直__尺_____和②___圆__规_____来完成画图，称为尺规作图.
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2.基本步骤： (1)已知：写出已知的线段和角，画出图形. (2)求作：求作什么图形，使它符合什么条件. (3)作法：运用五种基本尺规作图，保留作图③_痕__迹_______. (4)证明：验证所作图形的正确性. (5)结论：对所作的图形下结论.
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(2)连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系.
(2)线段EF和AC的数量关系为EF＝
1 2
AC，位置关系为EF∥AC.
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命题点尺规作图
1.(随州中考)如图，用尺规作图作∠AOC＝∠AOB的第一步是以点O为圆心，

2024+年广东省深圳市中考专用数学一轮教材梳理复习第28讲+尺规作图课件

解：∵ 是的垂直平分线，
∴ = ,
∴ ∠ = ∠ = ∘ ,
∴ ∠ = ∠ + ∠ = ∘ .
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【思路点拨】（1）根据题意作出图形即可；
（2）由于是的垂直平分线，得到 = ,根据等腰三角形的性质得到
∠ = ∠ = ∘ ,由三角形的外角的性质即可得到结论.
解：如图，为所求.
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2.如图，已知∠AOB，求作一个角等于∠AOB.
解：如图，∠′′′就是所求作的角.
答案图
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3.如图，已知∠AOB，求作∠AOB的平分线OC.
解：如图，就是∠的平分线.
答案图
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【方法总结】基本作图考查常见两种形式,一种给出作图步骤及作图痕迹,判
断是哪种基本作图,另一种直接考查基本作图,要求保留作图痕迹,基本方法为
熟悉五个基本作图的步骤及作图痕迹,熟悉常见的作图语言与对应的几何语言
之间的转化.作图时注意尺规作图的规范性.
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考点二复杂尺规作图
【例3】如图，已知∠APB,点M是PB上的一个定点.
图2
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（1）尺规作图：请在图1中作⊙ O,使得⊙ O与射线PB相切于点M,同时与PA
相切，切点记为N;
解：如图，⊙ 为所求作.
图1
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⌢
（2）在（1）的条件下，若∠APB = 60∘ ,PM = 3,则所作的⊙ O的劣弧MN与

第28讲尺规作图(可编辑)ppt课件

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试真题·练易
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命题点尺规作图
1.(2021·佛山顺德)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧( A︵B). ︵
(1)用直尺和圆规作出 AB所在圆的圆心O;(要求保管作图痕迹,不写作法)
︵
︵
(2)假设AB 的中点C到弦AB的间隔为20 m,AB=80 m,求AB 所在圆的半径.
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命题亮点此题调查尺规作图——根本作图,线段的垂直平分线的性质,菱形的性质等知识,解题的关键是灵敏运用所学知识处理问题,属于常考题型. 解题思绪 (1)分别以A、B为圆心,大于1 AB长为半径画弧,过两弧的交点作直线即可; (2)根据∠DBF=∠ABD-∠A2BF计算即可. 开放解答
︵
即 AB所在圆的半径是50 m.
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2.(2021·江阴)尺规作图题:如图,△ABC中,∠C=90°. (1)用圆规和直尺作出∠CAB的平分线AD交BC于D; (2)在(1)的根底上作出点D到AB的垂线段DE; (3)按以上作法,DE=CD吗?
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解析 (1)如下图:
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(3)⑥作知线段的垂直平分线; (4)⑦作知角的平分线; (5)⑧过一点作知直线的垂线. 3.尺规作图题的步骤: (1)知:当作图是文字言语表达时,要学会根据文字言语用数学言语写出题目中的条件; (2)求作:能根据标题写出要求作出的图形及此图形应满足的条件; (3)作法:能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时,普通要保管作图痕迹,对于较复杂的作图,可先⑨画出草图,使它同所要作的图⑩ 大致一样,然后借助草图寻觅作法.;

尺规作图课件

尺规作图
课标要求:

1.能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线，过一点作已知直线的垂线。 2.会利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形。 3.探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。 4.了解尺规作图的步骤，保留作图的痕迹，会写已知、求作和作法（不要求证明）。
回顾作线段AB 的垂直平分线的步骤，思考下列问题： 1.作线段垂直平分线的依据是什么？
垂直平分线上的点到A、B两端点的距离相等
2.这种作图方法还有哪些作用？
确定线段的中点．
C B D
A
垂直平分线

什么是垂直平分线？过线段的中点，垂直这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线有哪些特征？ 1.线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 2.到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
分析：因为点E到B、D两点的距离相等，所以，点E一定在线段BD的垂直平分线上。作法： 1.以D为顶点，DC为边作一个角等于∠ABC； 2.作DB的垂直平分线，即可找到点E．
已知：线段AB，BC，∠ABC = 90°. 求作：矩形ABCD. 以下是甲、乙两同学的作业：
对于两人的作业，下列说法正确的是： A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对

在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，
1 C为圆心，以大于 BC 的长为半径作弧，两 2
弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点
D，连接CD.若CD＝AC，∠B＝25°，则

尺规作图方法介绍

二、“尺规作图”可能问题
1、作图公法：
① ② ③ ④ 经过两个已知点可作一直线；已知圆心和半径可作一个圆；若两已知直线相交，可求其交点；若一已知直线和一已知圆相交，可求其交点；
⑤ 若两已知圆相交，可求其交点。
二、“尺规作图”可能问题
2、基本作图
①做一条线段等于已知线段； ②作一角等于已知角； ③平分已知角； ④经过一点作已知直线的垂线； ⑤作线段的垂直平分线。
二、“尺规作图”可能问题
4、最基本的作图表述：
① 过点×，点×作直线××；或作直线××；或作射线××． ② 连结点×、×，或连结××． ③ 延长××到点×，使××=××． ④ 延长××交××于点×． ⑤ 在××上截取××=××． ⑥ 以点×为圆心，××为半径作圆（弧）． ⑦ 以点×为圆心，××为半径作弧交××于点×． ⑧ 分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点×、×．
二、“尺规作图”可能问题
7、几种常见的尺规作图方法
（5）面积割补法例7，过⊿ABC的底边BC上一定点P，求作一直线l，使其平分⊿ABC的面积.
三、“尺规作图”不能问题
1、著名的几何三大问题（古典难题）：（1）化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。（2）三等分角问题：三等分一个任意角。（3）倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍。
过不在同一直线上的三点作圆；
作三角形的内切圆；作圆的内接正方形和正六边形。
（4）在上述尺规作图的问题中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法。
五、《数学课程标准》及中考要求
在中考中作图题主要有：
已知三边作三角形，
已知两边及其夹角作三角形；

中考数学复习考点知识专题讲义第28讲尺规作图

利用基本作图作三角形 1．已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形． 2．已知底边及底边上的高线作等腰三角形． 3．已知一直角边和斜边作直角三角形．
利用基本作图作与圆有关的图形 1．过不在同一直线上的三点作圆． 2．作三角形的外接圆、内切圆． 3．作圆的内接正方形和正六边形．
尺规作图及其要求 1．尺规作图：利用没有刻度的直尺和圆规的作图称作尺规作图． 2．在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图痕迹，不要求写出作法.
【跟踪训练】 2．如图，已知△ABC，用尺规作出△ABC 的内切圆⊙O，并标出⊙O 与边 AB，BC， AC 的切点 D，E，F.(保留作图痕迹，不写作法)
解：如解图所示．
利用尺规作图探究结论例 3 (逻辑推理)综合与探究——用直尺与圆规作图和探究线段的关系任务 1：如图 1，在△ABC 和△DCB 中，∠A＝∠D＝90°，AC 与 BD 相交于点 O，图中有哪些线段相等？
图1
(1)小明观察得出相等的线段有 AC＝BD，AB＝CD，OA＝OD，OB＝OC．小明说：
“若用圆规验证得到 AC＝BD，就可证明其余结论均成立”．请判断小明的说法是否正确，并说明理由．
解：小明的说法正确．理由：若 AC＝BD，又 BC＝CB，∠A＝∠D＝90°，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB． ∴AB＝DC，∠ACB＝∠DBC． ∴OB＝OC． ∴OA＝OD．
︵ (1)在射线 OA 上取一点 C，以点 O 为圆心，OC 长为半径作PQ ，交射线 OB 于点 D，连接 CD；
︵ (2)分别以点 C，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交PQ于点 M，N； (3)连接 OM，MN. 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是( D ) A．∠COM＝∠COD B．若 OM＝MN，则∠AOB＝20° C．MN∥CD D．MN＝3CD

尺规作图精品课件

尺规作图
1.3 尺规基本几何作图
正六边形的作图 (1)
已知对角线长度 D
作法一
作法二
正六边形的作图 (2)
已知对边距离 S
作法一
作法二
正五边形的作图
已知外接圆直径 D
A
A
B KO
K OC
(a)
(b)
(c )
1. பைடு நூலகம்度
斜度和锥度
定义：斜度是指直线或平面对另一直线或平面倾斜的程度，一般以直角三角形的两直角边的比值来表示.
a)
3等分
25
25
b)
c)
圆弧连接
1. 圆弧连接的基本关系
R2=R1-R
作半径为R的圆弧与已知直线相切
R2=R1+R
画半径为R的圆弧与已知圆弧 R1外切
画半径为R的圆弧与已知圆弧R1内切
2. 圆弧连接作图举例
圆弧连接作图举例
圆弧连接作图举例
椭圆
椭圆的作图：已知长、短轴半径—四心法
E
上一页
加深的具体步骤如下:
(1) 加深图中的全部细线，一次性绘出标题栏、剖面线、尺寸界线、尺寸线及箭头等.
(2) 加粗圆弧。圆弧与圆弧相接时应顺次进行. (3) 用丁字尺从上至下加粗水平直线，到图纸最下方后应刷
去图中的碳粉，并擦净丁字尺. (4) 用三角板与丁字尺配合，从左至右加粗垂直方向的直线，
(1) 绘图纸边界线，图框线和标题栏框线.
(23456) 布画图已中连检绘知间接查重线. 要段的基准线、轴线、中心线等
以钓钩为例
15
20
40
6
R=15+32
第三阶段：加深、完成全图

第28讲中考数学总复习(练习题) 尺规作图

∴∠ADE=∠AED,

∴∠ADE=∠CDE,∴∠CDE=∠ADE= ∠ADC,

∵CF平分∠BCD,∴∠FCD= ∠BCD,
∴∠CDE+∠FCD=90°,
∴∠CPD=90°,∴△CDP为直角三角形.
本课结束
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线,∵∠C=90°,
∴DE=DC,∠B+∠BDE=∠B+∠BAC=90°,
∴∠BDE=∠BAC.
AD=AD,
在 Rt△AED 和 Rt△ACD 中,
DE=DC,
∴Rt△AED≌Rt△ACD(HL),∴AE=AC,
∵DE不是AB的垂直平分线,故不能证明∠BAD=∠B,
综上所述:A,C,D不符合题意,B符合题意.
作法,答案不唯一)
解:如图,点P即为所求.
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6.(2021·绥化)(1)如图,已知△ABC,P为边AB上一点,请用尺规
作图的方法在边AC上求作一点E,使AE+EP=AC.(保留作图痕
迹,不写作法)
(2)在图中,如果AC=6 cm,AP=3 cm,则△APE的周长是
cm.
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解:(1)如图,点E即为所求.
课时作业
第28讲尺规作图
基础演练
能力提升
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基础演练
1.(2021·通辽)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,根据尺规作图
的痕迹,判断以下结论错误的是( B )
A.∠BDE=∠BAC B.∠BAD=∠B
C.DE=DC
D.AE=AC
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解析:根据尺规作图的痕迹可得,DE⊥AB,AD是∠BAC的平分
4
值为 4+9π .
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初中尺规作图详细讲解含图

初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆；⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求岀交点；以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画岀第一条公法所说的直线；用圆规可以作岀第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作岀适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最着名的尺规作图不能问题是：⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角；⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积这三个问题后被称为几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel ）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lin dema nn ）证明n是一个超越数（即n是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号n即当圆半径r =1时所求正方形的边长）不可能用尺规作岀，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干着名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪岀现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书还有另外两个着名问题：⑴正多边形作法只使用直尺和圆规，作正五边形.只使用直尺和圆规，作正六边形.只使用直尺和圆规，作正七边形一一这个看上去非常简单的题目，曾经使许多着名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作岀的只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作岀来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.问题的解决：高斯，大学二年级时得岀正十七边形的尺规作图法，并给岀了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题⑵四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分•这个问题传言是拿破仑波拿巴岀的，向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸：用生锈圆规（即半径固定的圆规）作图1.只用直尺及生锈圆规作正五边形2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找岀一点C使得AB=BC=CA.3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.4.尺规作图，是古希腊人按尽可能简单”这个思想岀发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提岀用直尺和半径固定的圆规作图.1672年，有人证明：如果把作直线”解释为作岀直线上的2点”那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作岀！从已知点作岀新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作岀！五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为： 1.做一线段等于已知线段 2.做一角等于已知角 3.做一角的角平分线4.过一点做一已知线段的垂线 5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法：⑴轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的【例1】位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；右改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m、n的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？【分析】这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P应满足两个条件，一是【解析】在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P应是它们的交点.⑴ 作两条公路夹角的平分线0D或0E ;⑵ 作线段AB的垂直平分线FG ;则射线0D，0E与直线FG的交点G，C2就是发射塔的位【例2】置.在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），0是坐标原点，在直线y=x・3上求一点P，使.A0P是等腰三角形，这样的P点有几个？【解析】首先要清楚点P需满足两个条件，一是点P在y=x上；二是JA0P必须是等腰三角形.【例3】其次，寻找P点要分情况讨论，也就是当OA=OP时，以0点为圆心，OA为半径画圆，与直线有两个点P、P2 ;当OA = AP时，以A点为圆心，OA为半径画圆，与直线无交点；当PO -PA 时，作OA的垂直平分线，与直线有一交点P3，所以总计这样的P点有3个.设O O与O O'相离，半径分别为R与R'，求作半径为r的圆，使其与O O及O O'外切.【分析】设O M是符合条件的圆，即其半径为r，并与O O及O O'外切，显然，点M是由两个轨迹确定的，即M点既在以0为圆心以R r为半径的圆上，又在以0'为圆心以R「r为半径的圆上，因此所求圆的圆心的位置可确定.若O O与O O'相距为b，当2r ::: b时，该题无解，当2r二b有唯一解；当2r b时，有两解【解析】以当O O与O O'相距为b , 2r b时为例:⑴作线段OA =R • r , O'B =R' • r.⑵ 分别以O, O'为圆心，以R r , R' r为半径作圆，两圆交于M^M?两点.⑶ 连接OM i，OM2，分别交以R为半径的O O于D、C两点.⑷ 分别以M t，M2为圆心，以r为半径作圆.二O M i,O M2即为所求.【思考】若将例3改为：设O O与O O'相离，半径分别为R与R'，求作半径为r （r R）的圆，使其与O O内切，与O O'外切.”又该怎么作图？⑵代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求岀某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求岀，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例4】只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.【分析】设半径为1.可算岀其内接正方形边长为・2，也就是说用这个长度去等分圆周.我们的任务就是做岀这个长度.六等分圆周时会岀现一个,3的长度.设法构造斜边为3，一直角边为1的直角三角形，2的长度自然就岀来了.【解析】具体做法：⑴随便画一个圆.设半径为1.⑵ 先六等分圆周.这时隔了一个等分点的两个等分点距离为.3.⑶以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与两个相对的等分点”形成的是一个底为2，腰为.3的等腰三角形.可算岀顶点距圆心距离就是 2 .）⑷以・2的长度等分圆周就可以啦！【例引求作一正方形，使其面积等于已知「ABC的面积.【分析】设AABC的底边长为a，高为h，关键是在于求岀正方形的边长x，使得x^-ah，所以x21 是一a与h的比例中项.2【解析】已知：在ABC中，底边长为a，这个底边上的高为h,求作：正方形DEFG，使得：S正方形DEFG - S ABC作法：1⑴作线段MD =-a ；2⑵在MD的延长线上取一点N，使得DN二h ;⑶取MN中点0，以0为圆心，0M为半径作O O ;⑷过D作DE _ MN，交O O于E，⑸ 以DE为一边作正方形DEFG .正方形DEFG即为所求.【例6】在已知直线|上求作一点M，使得过M作已知半径为r的O O的切线，其切线长为a.【分析】先利用代数方法求岀点M与圆心0的距离d，再以0为圆心，d为半径作圆，此圆与直线I 的交点即为所求.【解析】⑴ 作RL 0AB，使得：./A=90，0A=r，AB=a.⑵ 以0为圆心，0B为半径作圆.若此圆与直线l相交，此时有两个交点M1，M2.M1，M2即为所求.若此圆与直线I相切，此时只有一个交点M . M即为所求.若此圆与直线I相离，此时无交点.即不存在这样的M点使得过M作已知半径为r的O O的切线，其切线长为a.⑶旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径【例7】已知：直线a、b、c,且a II b II c.求作：正「ABC，使得A、B、C三点分别在直线a、b、c上.【分析】假设「ABC是正三角形，且顶点A、B、C三点分别在直线a、b、c上.作AD _ b于D，将ABD绕A点逆时针旋转60后，置于’ACD'的位置，此时点D'的位置可以确定.从而点C也可以确定.再作£BAC=60 , B点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作岀【解析】作法：⑴ 在直线a上取一点A，过A作AD _b于点D ；⑵ 以AD为一边作正三角形ADD '；⑶过D'作D'C _AD'，交直线c于C ；⑷ 以A为圆心，AC为半径作弧，交b于B（使B与D'在AC异侧）.⑸ 连接AB、AC、BC得ABC .ABC即为所求.【例8】已知：如图，P为.AOB角平分线0M上一点.求作：PCD，使得.P=90，PC=PD，且C在0A上, D 在0B上.【解析】⑴ 过P作PE_OB于E.⑵过P作直线I // 0B;⑶ 在直线|上取一点M，使得PM二PE（或PM' = PE）;⑷ 过M （或M '）作MC _1 （或M 'C _1 ），交0A 于C （或C'）点；⑸ 连接PC （或PC'）,过P 作PD _ PC（或PD'_PC'）交0B 于D （或D'）点.连接PD,CD（或PD',C'D'）.则PCD （或PC'D'）即为所求.⑷位似法作图：利用位似变换作图，要作岀满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作岀与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作岀满足全部的条件.【例9】已知：一锐角AABC.求作:一正方形DEFG，使得D、E在BC边上，F在AC边上，G在AB边上.【分析】先放弃一个顶点F在AC边上的条件，作岀与正方形DEFG位似的正方形D'E'F'G'，然后利用位似变换将正方形D'E'F'G'放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形DEFG.【解析】作法：⑴ 在AB边上任取一点G'，过G'作G'D'_BC于D'⑵ 以G'D'为一边作正方形D'E'F'G'，且使E'在BD'的延长线上.⑶作直线BF '交AC于F .⑷ 过F分别作FG II F'G'交AB于G ;作FE II F'E'交BC于E .⑸过G作GD II G'D'交BC于D.则四边形DEFG即为所求.⑸面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例10】如图，过JABC的底边BC上一定点，P，求作一直线I，使其平分:ABC的面积.【分析】因为中线AM平分ABC的面积，所以首先作中线AM，假设PQ平分ABC的面积，在.AMC中先割去厶AMP，再补上.ANP.只要NM // AP U .IAMP和. AMP就同底等高，此时它们的面积就相等了.所以PN就平分了「ABC的面积.【解析】作法：⑴ 取BC中点M，连接AM ,AP ;⑵过M作MN // AP交AB于N ;⑶过P、N作直线I .直线I即为所求.【例11】如图：五边形ABCDE可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成⑴ 请你作一条直线I，使直线I平分五边形ABCDE的面积；⑵这样的直线有多少条？请你用语言描述出这样的直线【解析】⑴ 取梯形AFDE的中位线MN的中点O，再取矩形BCDF对角线的交点O'，则经过点O，O'的直线I即为所求；⑵ 这样的直线有无数条.设⑴中的直线I交AE于Q，交BC于R，过线段RQ中点P，且与线段AE、BC均有交点的直线均可平分五边形ABCDE的面积.【例12】（07江苏连云港）如图1，点C将线段AB分成两部分，如果些二匹，那么称点C为线段AB ACSA DECSA FCEAB 的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到线”的定义：直线I 将一个面积为 S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 0，S 2，如果也二奂，那么称直线I 为该图形的黄金分割线.S S⑴ 研究小组猜想：在 △ ABC 中，若点 D 为AB 边上的黄金分割点（如图2），则直线CD 是△ ABC 的黄金分割线•你认为对吗？为什么？⑵请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？ ⑶研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交 AB 于点E ，再过点D 作直线DF II CE ,交AC 于点F ，连接EF （如图3），则直线EF 也是△ ABC 的黄金分割线•请你说明理由.⑷如图4，点E 是—ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点 E 作EF II AD ，交DC 于点F ，显然直线EF是「ABCD 的黄金分割线•请你画一条「ABCD 的黄金分割线，使它不经过ABCD 各边黄金分割点.1S AADC =AD[_h ，S A BDCS AADC _ AD S A BDC BD S AABCABSA ADC AD又J 点D 为边AB 的黄金分割点， .AD BD.氐 ADC _ 氐 BDCAB AD S A ABCADC•••直线CD 是△ ABC 的黄金分割线.⑵•••三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,此时 S I =S 2S ，即◎ 2， 2 S S•三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线. ⑶••• DF II CE ，• △ DEC 和△ FCE 的公共边CE 上的高也相等,黄金分割线”，类似地给出黄金分割JBDLh ，S A ABC2=1 AB>i 2 ，【解析】设△ ABC 的边图\B 上的高为h • 图2图3图4设直线EF 与CD 交于点G ，二S A DGE 二S^ FGC ••• S A ADC 二S 四边形AFGDS A FGC-S 四边形 AFGD ' & DGE -S A AEF ,•••直线EF 也是A ABC 的黄金分割线.⑷ 画法不惟一，现提供两种画法;画法一：如答图1，取EF 中点G ，再过点G 作一直线分别交 AB ，DC 于M ，N 点，则直线MN就是匚ABCD 的黄金分割线.画法二：如答图 2，在DF 上取一点 N ，连接EN ，再过点F 作FM II NE 交AB 于点连接MN ，则直线MN 就是 ABCD 的黄金分割线S A BDC - §四边形 BEFC -又:SA ADCS A ABC SA BDCS A ADCS A AEF S 四边形 BEFCSA ABCSA AEF（答案图1）（答案图2）。

第28课时尺规作图、视图与投影

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江苏2013~2015中考真题精选考点特训营—重难点突破
考点特训营—考点精讲
1.以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D 2.作角的平分线的步骤
1 CD 2.分别以点C、D为圆心，大于②______ 的 2
长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点P
3.作射线OP，OP即为所求角平分线
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江苏2013~2015中考真题精选考点特训营—重难点突破
考点特训营—考点精讲
重难点突破锐角三角函数
例1（2015 张家界）下列四个立体图形中，它们各自的三视图有两个相同，而另一个不同的是（ D ）
A. ①②
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B. ②③
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C. ②④
D. ③④
江苏2013~2015中考真题精选考点特训营—重难点突破
考点特训营—考点精讲
【思路点拨】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形解答即可.
判断常见几何体的三视图主要是明确“主视图与
俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，左视图与俯视图宽相等”，同时注意，看得见的部分的轮廓线画
成实线，看不见的轮廓线画成虚线.
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江苏2013~2015中考真题精选考点为半径作弧，分别交OA、OB于点C、D
4.作一个角等于已知角的步骤 2.作射线O′A′ OD 长为半径画弧， 3.以点O′为圆心，④_______ 交O′A′于点C′ CD 长为半径画弧, 4.以点C′为圆心，⑤_______ 交前弧于点D′ 5.过点D′作射线O′B′，∠B′O′A′即为所求角
尺规作图、视图与投影