初一数学平行线的特征
初一数学下册：平行线的性质相关知识点
1. 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等。
2. 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
3 . 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等。
两个角的数量关系两直线的位置关系：1、垂直于同一直线的两条直线互相平行。
2、平行线间的距离，处处相等。
3、如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
4、平行线的传递性如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.5、平行线间的距离两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离.平行线的性质书写(1)∵AB∥CD（已知）∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）(2)∵AB∥CD（已知）∴∠3＝∠2（两直线平行，内错角相等）(3)∵AB∥CD（已知）∴∠2＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）平行线的性质与判定①平行线的性质与判定是互逆的关系两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补。
其中，由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质。
★要点提示★1.由性质1推导性质2，进一步导出性质3，再运用平行线的知识得出平行线的传递性，体现了几何演绎的思想和方法，要逐步领会和掌握.2.几何学习要注意“看图说话”、“用图说话”，要逐步学会文字语言、图形语言、符号语言的转换和各自功效.如平行线的传递性，可用符号语言表示为：对于直线a、b、c，如果a∥b，b∥c，则a∥c.3.有了平行线间的距离，至此就学了几何中的三种距离：两点间的距离，点到直线的距离，两平行线间的距离.两点间的距离是两点间线段的长度，后两种都可转化为两点间的距离.两平行线间的距离是一条直线上任意点到另一条直线的距离（点到直线的距离），而点到直线的距离是该点到直线的垂线段的长度，即点到垂足（点到点）的距离.。
初中数学知识点总结：平行线
初中数学知识点总结：平行线
初中数学知识点总结：平行线
知识点总结
一、平行线
1.概念：在同一平面上，两条直线没有公共点，就称为这两条直线平行。
说明：(1)平行线的两个特征：①在同一平面内;②两条直线;③互不相交;
(2)两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行。
2.平行公理：
经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行.
3.平行线的传递性：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.也简称为平行于同一条直线的两条直线平行，也就是说：如果b∥a,c∥a,那么b∥c.
二、平行线的性质与判定
1.平行线的判定方法：
同位角相等，两直线平行;内错角相等，两直线平行;同旁内角互补，两直线平行;
另：平行于同一条直线的两条直线相互平行;垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
2.平行线的性质：
互余，得∠DBC+∠CAE=90°，∴∠CAE=70°，故本题选C。
平行线的特征
平行线的特征在几何学中，平行线是指在同一个平面上不相交且永不相交的两条直线。
平行线的研究对于很多几何问题的解决至关重要。
本文将介绍平行线的特征以及相关的概念和定理。
1. 平行线的定义平行线的定义是在欧几里得几何中最基本的概念之一。
两条线段如果在同一平面内，且它们不相交，称为平行线。
平行线可以用符号“||”表示。
例如，线段AB || 线段CD表示线段AB与线段CD平行。
2. 平行线的特征平行线具有以下特征：- 任意两条平行线的倾斜角度相等。
平行线的斜率相等或者其中一个不存在斜率。
- 平行线之间的距离是恒定的。
即使平行线在平面上不断延伸，它们之间的距离始终保持相等。
- 平行线在任何一个平面上都不会相交。
如果平行线与其他线段相交，那么它们一定不在同一个平面上。
3. 平行线的判定方法在几何学中，有几种方法可以判定两条线是否平行，包括：- 平行线的定义法：根据平行线的定义，如果两条线段不相交，即可判断它们平行。
- 夹角判定法：如果两条直线之间的夹角为180°，即为一对平行线。
- 平行线判定定理：通过已知条件，如线段的斜率或者两条线段上一点的坐标，可以应用平行线判定定理来判断线段是否平行。
4. 平行线的性质和定理在几何学中，有一些与平行线相关的重要性质和定理，包括：- 平行线的转置定理：如果一条直线与另外两条平行线相交，那么这两条平行线也互相相交。
- 平行线的逆定理：如果一条直线与一组平行线相交，并且这组平行线中的一条与该直线垂直，则该直线与该组平行线的其他线段也垂直。
- 平行线截切定理：如果一条直线截取两组平行线的一段，则这两个截断段的比例相等。
总结：平行线是几何学中的基本概念之一，具有其独特的特征和性质。
准确理解并应用平行线的特征和判定方法，对于解决各种几何问题具有重要意义。
通过研究平行线的性质和定理，我们可以推导出其他有关直线和角度的重要结论，进一步拓展和应用几何学知识。
以上就是关于平行线的特征的相关内容。
平行线的特征
平行线的特征平行线在几何学中具有重要的作用，它们是指在同一个平面上，永远不会相交的直线。
本文将探讨平行线的特征，以及与平行线相关的性质和定理。
一、平行线的定义平行线的定义是两条直线在同一个平面上，并且永远不会相交。
这意味着两条平行线之间的距离始终相等。
二、平行线的特征1. 方向相同：平行线在平面上具有相同的方向，它们始终在相同的方向上延伸。
2. 永不相交：平行线永远不会相交。
无论延长多远，它们仍然保持平行的形状。
3. 距离相等：平行线之间的任意两点到两条平行线的距离始终相等。
这是平行线的一个重要性质。
4. 平行四边形的对边平行性：在平行四边形中，对边是平行的。
这是平行线特征的一个重要应用。
三、平行线的判定1. 同位角判定：如果两条直线被一条截线所切，并且同位角相等，那么这两条直线平行。
2. 转换判定：如果一条线与两条平行线分别相交，形成相等的内错角或外错角，那么这条线与这两条平行线平行。
3. 斜率判定：如果两条直线的斜率相等，那么这两条直线平行。
斜率是直线在坐标系中的倾斜度量。
四、平行线的应用1. 平行线与横向交错线条：在道路规划和交通设计中，平行线经常用于构建车道和交通流线的布局。
2. 平行线与角度构造：在建筑设计中，平行线被广泛应用于角度构造。
通过平行线的布局，可以创建出各种角度和形状。
3. 平行线与等距关系：平行线之间的距离相等，这一性质在几何学和测量中具有重要的应用。
五、平行线的定理1. 交替内角定理：如果两条平行线被一条截线所切，那么两条平行线上的交替内角是相等的。
2. 内错角定理：如果两条平行线被一条截线所切，那么两条平行线上的内错角是补角。
3. 锐角和钝角定理：如果两条平行线被一条截线所切，那么两条平行线上的锐角和钝角的和是180度。
六、平行线的重要性平行线的研究对几何学和应用数学具有重要意义。
它们为解决实际问题提供了基础，而且在建筑、工程、地图制作等领域也有广泛的应用。
综上所述，平行线作为几何学中的一个重要概念，具有方向相同、永不相交和距离相等等特征。
初中数学 什么是平行线
初中数学什么是平行线平行线是指在同一个平面上，永远不会相交的两条直线。
在数学中，平行线是一项重要的概念，对于几何学、代数学和物理学等领域都有广泛的应用。
下面我将为你详细介绍平行线的定义、性质和应用。
一、平行线的定义平行线可以用以下方式来定义：在同一个平面上，如果两条直线永远不会相交，那么它们被称为平行线。
二、平行线的性质平行线具有以下性质：1. 永不相交：平行线在同一个平面上永远不会相交。
即使它们延长到无穷远，它们也不会相交。
2. 等距性质：平行线之间的距离是恒定的。
无论在哪个位置上测量，两条平行线之间的距离始终保持不变。
3. 平行线的斜率：对于两条平行线，它们的斜率是相等的或者不存在。
如果两条直线的斜率相等或者其中一条直线的斜率不存在（垂直于x轴），那么它们就是平行线。
4. 平行线的特殊角：平行线之间的特殊角包括对应角、同位角和内错角。
对应角相等、同位角相等、内错角互补。
三、平行线的应用平行线的概念在几何学、代数学和物理学等领域有广泛的应用。
1. 几何学中，平行线的概念用于解决直线与平面、平面与平面之间的相交问题。
例如，当我们计算两条平行线之间的距离时，我们可以使用平行线的等距性质。
2. 代数学中，平行线的概念与线性方程组和斜率密切相关。
当我们解决线性方程组时，我们可以利用平行线的斜率性质来判断方程组的解的情况。
3. 物理学中，平行线的概念用于描述光线的传播、电磁场的分布等。
例如，在光学中，我们使用平行线的性质来解释光的折射和反射现象。
总结：平行线是在同一个平面上永远不会相交的两条直线。
它们具有不相交、等距、斜率相等或不存在等重要性质。
平行线的概念在几何学、代数学和物理学等领域有广泛的应用。
希望这份介绍对你理解平行线的概念和性质有所帮助！。
平行线与垂直线的特征
平行线与垂直线的特征平行线和垂直线是几何学中非常重要的概念，它们在日常生活和许多领域都有广泛的应用。
本文将详细探讨平行线和垂直线的特征，以及它们在几何学中的应用。
一、平行线的特征平行线是指在同一个平面上两条直线永远不相交的情况。
接下来，我们将讨论平行线的特征。
1. 同向性：平行线的特征之一是它们被绘制在同一个平面上，并且在无限远处也是平行的。
2. 等距性：平行线之间的距离始终相等。
无论两条平行线远近，它们之间的距离始终保持一致。
3. 不相交性：平行线永远不会相交。
如果两条直线在某一点相交，那么它们不可能是平行线。
4. 相夹角：平行线之间的相夹角为零度。
无论平行线的长度如何，它们之间的夹角始终为零。
平行线在现实世界中有许多应用。
例如，铁路上的铁轨就是平行线，使得火车能够平稳地行驶。
此外，在建筑设计、道路规划和航空导航中，平行线的概念也得到广泛应用。
二、垂直线的特征垂直线是指在同一个平面上与另一条线段或直线始终成直角的线。
下面将介绍垂直线的特征。
1. 相交性：垂直线与另一条线段或直线相交，且相交处的角度为90度。
2. 垂直性：两条垂直线段之间的夹角始终为90度，无论线段的长度如何。
3. 极限性：两条垂直线段在无限延伸的情况下，始终可以彼此相交。
垂直线在几何学中也有广泛的应用。
在建筑设计中，垂直墙面使得建筑物能够稳定地立在地面上。
此外，在图形的绘制和测量中，垂直线被用于垂直方向的定位和校准。
三、平行线和垂直线的关系平行线和垂直线之间存在一定的关系。
具体而言，垂直线与平行线必然相交，并且相交处的角度为90度。
这意味着，如果我们有两条平行线，我们可以通过构造一条垂直线，将其与平行线相交，从而得到一个直角。
在几何学中，平行线和垂直线的概念是非常基础而重要的。
它们在证明和推导几何定理时起着关键作用，并广泛应用于解决实际问题。
总结：本文详细地探讨了平行线和垂直线的特征以及它们在几何学中的应用。
平行线具有同向性、等距性、不相交性和零夹角等特征，而垂直线具有相交性、垂直性和极限性等特征。
平行线与垂直线的特点
平行线与垂直线的特点几何学中，平行线与垂直线是基本的概念，它们在我们日常生活中的应用极为广泛。
本文将探讨这两种线的特点以及它们所扮演的重要角色。
一、平行线的特点平行线是指在同一个平面内永远不会相交的直线。
平行线有以下几个重要特点：1. 永不相交：平行线是一对直线，无论它们有多长，无论它们相对位置的远近，它们在整个无限延伸的平面上永远不会相交。
2. 距离相等：对于两条平行线上的任意一点，到另一条平行线的距离是相等的。
这是因为平行线的性质决定了它们之间的距离保持不变。
3. 平行线的判定：可以通过多种方法判定两条线是否平行。
其中一种常用的方法是使用直线的斜率来进行判断。
如果两条直线的斜率相等且不相交，则它们是平行线。
二、垂直线的特点垂直线是指在同一个平面内与另一条线相交时，与之相交的角为90度的直线。
垂直线具有以下几个特点：1. 相交角为直角：垂直线与另一条线相交时，形成的交角是一个直角，即90度角。
这是垂直线的最显著特点。
2. 垂直线的判定：判定一条直线是否为垂直线，可以通过多种方法进行。
其中一种常用的方法是使用直线的斜率。
如果两条直线的斜率乘积为-1，则它们是垂直线。
3. 垂直线的应用：垂直线在建筑、物理学等领域的应用极为广泛。
例如，在建筑设计中，垂直线常用于判断墙壁的平直度；在物理学中，垂直线是力学中研究物体自由落体运动的基本工具。
三、平行线与垂直线的关系平行线和垂直线是几何学中两种重要的线性关系。
它们之间的关系如下：1. 垂直线与平行线的关系：如果一条直线垂直于一条平行线，那么它也与平行线的另一条直线垂直。
换句话说，对于平行线，如果一条直线与其中一条垂直，则它也与另一条垂直。
2. 平行线之间的关系：若两条直线分别与第三条直线垂直，则它们是平行线。
这是平行线的一个重要性质。
四、平行线与垂直线的应用平行线和垂直线在我们的日常生活中有很多实际应用。
以下是几个常见的例子：1. 笔直的墙壁：在建筑施工中，设计师使用垂直线来确保墙壁的竖直性。
平行线认识平行线的特点和判断方法
平行线认识平行线的特点和判断方法平行线平行线是几何学中非常重要的概念，它具有独特的特点和判断方法。
本文将以直观易懂的方式介绍平行线的特点以及判断方法。
1. 平行线的特点平行线是指在同一个平面内永远不相交的两条直线。
其特点如下：1.1 方向相同：平行线的方向是相同的，它们无论延长多长都不会相交。
1.2 距离相等：平行线之间的距离始终相等，无论在何处测量。
1.3 不共线：平行线不存在交点，它们在无穷远处有一个公共点。
2. 平行线的判断方法在几何学中，判断是否为平行线有多种方法，下面介绍两种常用的方法：2.1 通过角度判断法如果两条直线上的对应角、内错角或同旁内角之和等于180度，那么这两条直线就是平行线。
具体来说，有以下几种情况：2.1.1 对应角相等：如果两条直线被一条横线所截断，而在截断处所形成的对应角相等，那么这两条直线是平行线。
2.1.2 内错角相等：当两条直线被一条横线所截断，内错角相等时，这两条直线是平行线。
2.1.3 同旁内角之和为180度：当两条直线被一条横线所截断，同旁内角之和等于180度时，这两条直线是平行线。
2.2 通过斜率判断法斜率是判断平行线的重要指标，两条直线平行的条件是它们的斜率相等或者其中一条直线的斜率为无穷大。
具体来说：2.2.1 斜率相等：如果两条直线的斜率相等，则它们是平行线。
斜率的计算公式为：斜率 = （纵坐标差）/（横坐标差）。
2.2.2 斜率为无穷大：如果一条直线的斜率为无穷大，同时另一条直线有斜率，则这两条直线是平行线。
3. 实例分析为了更好地理解平行线的特点和判断方法，以下是一个实例：假设有两条直线L1和L2，通过观察这两条直线的特征可以判断它们是否平行。
首先，我们观察L1和L2的方向，如果它们的方向相同，那么它们有可能是平行线。
然后，我们可以选择角度判断法或斜率判断法进行验证。
如果选择角度判断法，我们可以通过作角平分线的方法，利用对应角的特性来判断L1和L2是否平行。
初一几何平行线的性质及判定.
1第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版定 义示例剖析平行线的概念：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“∥”表示．∥a b ，∥AB CD 等．平行线的性质：两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补． ba 4321若∥a b ，则12∠=∠； 若∥a b ，则23∠=∠；若∥a b ，则34180∠+∠=︒．平行线的判定：同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行． ba 4321若12∠=∠，则∥a b ； 若23∠=∠，则∥a b ；若34180∠+∠=︒，则∥a b ．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．简单说成：过一点有且只有一条直线与已知直线平行．(c )b aA过直线a 外一点A 做∥b a ，∥c a ，则b 与c 重合．平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行．c b a若∥，∥b a c a ，则∥b c ．模块一 平行的定义、性质及判定知识导航1平行的性质及判定2【例1】 ⑴ 两条直线被第三条直线所截，则（ ）A ．同位角相等B ．内错角相等C ．同旁内角互补D ．以上都不对⑵ 1∠和2∠是同旁内角，若145∠=︒，则2∠的度数是（ ） A ．45︒ B ．135︒ C ．45︒或135︒ D. 不能确定⑶ 如图，下面推理中，正确的是（ ）A ．∵180A D ∠+∠=°，∴AD BC ∥B ．∵180CD ∠+∠=°，∴AB CD ∥ C ．∵180A D ∠+∠=°，∴AB CD ∥ D ．∵180A C ∠+∠=°，∴AB CD ∥(北京三帆中学期中)⑷ 如图，直线a ∥b ，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）A ．50°B ．40°C ．150°D ．130°(北京101中期中)⑸ 如图，直线AB CD ∥，EF CD ⊥，F 为垂足，如果20GEF ∠=°，则1∠的度数是（ ）A ．20°B ．60°C ．70°D ．30°(北京八中期中)⑹ 如图，直线a b ∥，点B 在直线b 上，且AB BC ⊥，155∠=°，则2∠的度数为______21ba CBA(北京八十中期中)⑺ 如图，1∠和2∠互补，那么图中平行的直线有（ ）A ．a b ∥B ．c d ∥C ．d e ∥D ．c e ∥夯实基础DCBA21edc baba 21DGF1E CB A3 第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版(北京十三分期中)⑻ 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①12∠=∠；②34∠=∠；③2490∠+∠=°；④45180∠+∠=°，其中正确的个数（ ）12345A ．1B ．2C ．3D ．4(北京十三分期中)⑼ 如图，直线12l l ∥，AB CD ⊥，134∠=°，那么2∠的度数是 ．21l 2l 1DCB A(北京一六一中期中)⑽ 将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果164∠=°，那么2∠等于 ．21(北京一六一中期中)【解析】 ⑴D ； ⑵D ；⑶C ；⑷D ；⑸C ；⑹35°； ⑺D ；⑻D ；⑼56°； ⑽52°.【例2】 ⑴ 如图，∥AB CD ,B D ∠=∠,请说明12∠=∠，请你完成下列填空，把解答过程补充完整．解：∵AB CD ∥，∴180BAD D ∠+∠=°（ ）． ∵B D ∠=∠， ∴BAD ∠+ 180=°（等量代换）． ∴ （同旁内角互补，两直线平行）． ∴12∠=∠（ ）．（北京市海淀区期末）⑵ 填空，完成下列说理过程.如图，DP 平分ADC ∠交AB 于点P ，90DPC ∠=︒，如果∠1＋∠3＝90°，那么∠2和∠4相等吗？说明理由. 解：∵DP 平分ADC ∠，∴∠3＝∠ （ ）21D C BA P D CBA43214∵APB ∠= °，且90DPC ∠=︒， ∴∠1＋∠2＝90°. 又∵∠1＋∠3＝90°，∴∠2＝∠3. （ ） ∴∠2＝∠4.（北京市朝阳区期末）⑶ 如图,已知DE AC ∥，DF AB ∥，求A B C ∠+∠+∠度数．4321FEDCBA解：∵DE AC ∥（ ），∴C ∠= （ ）， 3∠= （ ） 又∵DF AB ∥（ ） ∴B ∠= （ ） A ∠= （ ） ∴3A ∠=∠（ ）∴123A B C BDC ∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠= （ ）【点评】第⑶题即证明了三角形内角和等于180°． 【解析】 ⑴ 依次填：两直线平行，同旁内角互补；B ∠；∥AD BC ；两直线平行，内错角相等⑵ 4，角平分线定义，180，同角的余角相等⑶ 已知；1∠；两直线平行，同位角相等；4∠；两直线平行，内错角相等；已知；2∠；两直线平行，同位角相等；4∠；两直线平行，同位角相等；等量代换；180°；平角定义．【例3】 ⑴ 如图，已知直线AB CD ∥， 115C ∠=°，25A ∠=°，则E ∠ 的度数为 度．⑵ 如图，不添加辅助线，请写出一个能判定EB AC ∥的 条件： .⑶ 如图，点E 在AC 的延长线上，给出下列条件：① 12∠=∠；② 34∠=∠；③ A DCE ∠=∠； ④ D DCE ∠=∠；⑤ 180A ABD ∠+∠=°； ⑥ 180A ACD ∠+∠=°；⑦ AB CD =.能力提升ABC D E图3EDC B AF 4321EDCB A5第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版能说明AC BD ∥的条件有 .⑷ 如图，直线EF 分别与直线AB 、CD 相交于点G 、H ， 已知1260∠=∠=°，GM 平分HGB ∠交直线CD 于点M ． 则3∠=（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．130°【解析】 ⑴ ∵AB CD ∥，115C ∠=°（已知），∴65BFC ∠=°（两直线平行，同旁内角互补） ∴65AFE BFC ∠=∠=°（对顶角相等）． ∵25A ∠=°（已知），∴90E ∠=°（三角形内角和）．⑵ EBD ACB ∠=∠（EBA BAC ∠=∠）等（答案不唯一） ⑶ ②④⑤； ⑷ A ．【例4】 ⑴ 已知：如图1，CD 平分ACB ∠，DE BC ∥，80AED ∠=°，求EDC ∠．⑵ 已知：如图2，1C ∠=∠，2∠和D ∠互余，BE FD ⊥于G ．求证：AB CD ∥．(北京八中期中)EDCBA21G F ED CB A图1 图2【解析】 ⑴ ∵DE BC ∥∴80EDC DCB ACB AED ∠=∠∠=∠=︒，∵CD 平分ACB ∠∴1402EDC DCB ACB ∠=∠=∠=︒⑵ 证明：∵1C ∠=∠（已知）∴BE CF ∥（同位角相等，两直线平行） 又∵BE FD ⊥（已知）∴90CFD EGD ∠=∠=︒（两直线平行，同位角相等） ∴290BFD ∠+∠=︒（平角定义） 又∵290D ∠+∠=︒（已知） ∴BFD D ∠=∠（等量代换）∴AB CD ∥（内错角相等，两直线平行）【例5】 如图，已知：AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点M 、N ，MG 、NH 分别平分AME ∠、CNE ∠. 求证：MG ∥NH ． 从本题我能得到的结论是：AE BG CDM H F12 3 N MH G FE DCBA6【解析】 ∵AB ∥CD ，∴AME CNE ∠=∠又∵MG 、NH 分别平分AME ∠、CNE ∠∴1122GME AME CNM HNE ∠=∠=∠=∠，∴MG ∥NH从本题我能得到的结论是：两直线平行，同位角的角分线平行. 引导学生举一反三，可得：两直线平行，内错角的角分线平行；两直线平行，同旁内角的角分线互相垂直.模 型示例剖析ab21若∥a b ，则12∠=∠a bc321若∥∥a b c ，则1213180，∠=∠∠+∠=︒ba 321若∥a b ，则123∠=∠+∠ab321若∥a b ，则123360∠+∠+∠=︒【例6】 已知：如图∥AB CD ,点E 为其内部任意一点，求证：BED B D ∠=∠+∠．【解析】 过点E 作∥EF AB ,∵∥EF AB ,∥AB CD （已知）∴∥EF CD （平行于同一条直线的两直线平行）夯实基础知识导航模块二 基本模型中平行线的证明F ABCDEED C BA7第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版∵∥EF AB ,（已知）∴B BEF ∠=∠（两直线平行，内错角相等） ∵∥EF CD ,（已知）∴D DEF ∠=∠（两直线平行，内错角相等） ∵BED BEF DEF ∠=∠+∠∴BED B D ∠=∠+∠（等量代换）【例7】 如图，已知AB DE ∥，80ABC ∠=︒，140CDE ∠=︒，求BCD ∠的度数．【解析】 过点C 作CF AB ∥． ∵AB DE ∥且CF AB ∥（已知）∴CF AB DE ∥∥（平行于同一条直线的两直线平行） ∵AB CF ∥且80ABC ∠=︒（已知）∴80BCF ABC ∠=∠=︒（两直线平行，内错角相等）∵DE CF ∥且140CDE ∠=︒（已知）∴180********DCF CDE ∠=︒-∠=︒-︒=︒（两直线平行，同旁内角互补） ∴804040BCD BCF DCF ∠=∠-∠=︒-︒=︒【例8】 如图，已知3180DCB ∠+∠=o ，12∠=∠，:4:5CME GEM ∠∠=，求CME ∠的度数．【解析】 如图延长CM 交直线AB 于点N∵3180DCB ∠+∠=o ，（已知）3ABC ∠=∠（对顶角相等）∴180ABC DCB ∠+∠=o （等量代换） ∴AB ∥CD ，（同旁内角互补，两直线平行） ∴14∠=∠（两直线平行，内错角相等） ∵12∠=∠，（已知） ∴24∠=∠（等量代换） ∴GE ∥CM ，（同位角相等，两直线平行）∴180CME GEM ∠+∠=o （两直线平行，同旁内角互补） ∵:4:5CME GEM ∠∠=， ∴80CME ∠=o【点评】通过辅助线将相关角联系起来.能力提升探索创新FED C B AA BC DE1243AB C DE GMN123ABC DE GM8 判断对错：图中1∠与2∠为同位角（）【解析】×_1∠和2∠不是被同一条直线所截判断对错：垂直于同一条直线的两直线互相平行（）【解析】×_易忘记大前提“在同一平面内”题号班次12345678基础班√√√√√提高班√√√√√尖子班√√√√√知识模块一平行的定义、性质及判定课后演练【演练1】已知如图，1C∠=∠，2B∠=∠，MN与EF平行吗？为什么？NMF21EBAC【解析】∵1C∠=∠（已知），∴MN BC∥（内错角相等，两直线平行）∵2B∠=∠（已知），∴EF BC∥（同位角相等，两直线平行）∴MN EF∥（平行于同一条直线的两直线平行）【演练2】⑴如图1，AB CD∥，AD AC⊥，32ADC∠=°，则CAB∠的度数是．⑵如图2，直线l与直线a，b相交．若a b∥，170∠=°，则2∠的度数是．实战演练219第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版⑶ 如图3，直线m n ∥，155∠=°，245∠=°，则3∠的度数为（ ） A ．80° B ．90° C ．100° D ．110°【解析】 ⑴ 122°；⑵ 110°；⑶ C ．【演练3】 ⑴ 根据右图在（ ）内填注理由：①∵B CEF ∠=∠（已知）∴AB CD ∥（ ） ②∵B BED ∠=∠（已知）∴AB CD ∥（ ） ③∵180B CEB ∠+∠=°（已知）∴AB CD ∥（ ）（北京市东城区期末）⑵ 如图：已知12∠=∠，A C ∠=∠，求证：①AB DC ∥ ②AD BC ∥证明：∵12∠=∠（ ） ∴（ ）∥（ ）（ ） ∴C CBE ∠=∠（ ）又∵C A ∠=∠（ ） ∴A ∠= （ ） ∴（ ）∥（ ）（ ）⑶ 如图，∵3E ∠=∠（已知），12∠=∠（已知）又∵∠ =∠ （ ） ∴∠ =∠ （ ） ∴AB CE ∥（ ）【解析】 ⑴ ① 同位角相等，两直线平行；② 内错角相等，两直线平行； ③ 同旁内角互补，两直线平行．⑵ 已知，AB ，CD ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；CBE ∠；等量代换；AD ，BC ；同位角相等，两直线平行． ⑶ 2；3；对顶角相等；1；E ；等量代换；内错角相等，两直线平行．【演练4】 ⑴ 已知：如图1，110D ∠=°，70EFD ∠=°，12∠=∠，求证：3B ∠=∠．(北京三帆中学期中)证明：∵110D ∠=°，70EFD ∠=°（已知）∴180D EFD ∠+∠=° ∴AD ∥ （ ） 又∵12∠=∠（已知）∴ ∥ （ ）∴ ∥ （ ） 图1E D CBA 2112图3F3ED A DFA EB C 图3nm 321图1DC B A图1321F E DCB A10∴3B ∠=∠（ ）⑵ 如图2，EF AD ∥，12∠=∠，70BAC ∠=°．将求AGD ∠的过程填写完整．(北京四中期中)解：∵EF AD ∥，∴2∠= （ ）又∵12∠=∠∴13∠=∠（ ）∴AB ∥ （ ）∴BAC ∠+ 180=°（ ）又∵70BAC ∠=°∴AGD ∠= ．【解析】 ⑴EF ；同旁内角互补，两直线平行；AD ；BC ；内错角相等，两直线平行；EF ；BC ；平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等．⑵3∠；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG ；内错角相等，两直线平行；AGD ∠; 两直线平行，同旁内角互补；110°．【演练5】 如图，已知DA AB ⊥，DE 平分ADC ∠，CE 平分BCD ∠，1290∠+∠=°，求证：BC AB ⊥． 【解析】 ∵DE 平分ADC ∠，CE 平分BCD ∠，1290∠+∠=° ∴180ADC BCD ∠+∠=°，∴AD ∥BC ，∴180DAB ABC ∠+∠=°∵DA AB ⊥，∴90ABC ∠=°，即BC AB ⊥【演练6】 如图，已知12180∠+∠=o ，3B ∠=∠，试判断AED ∠与ACB ∠的大小关系，并对结论进行证明．【解析】 法一：∵12180∠+∠=o ，∴2DFE ∠=∠ ∴AB ∥EF ，∴3ADE ∠=∠ ∵3B ∠=∠，∴B ADE ∠=∠ ∴DE ∥BC ，∴AED ACB ∠=∠法二：延长EF ，找2∠的同位角，证出AB ∥EF ，再找3∠的内错角，证出DE ∥BC 即可．知识模块二 基本模型中平行线的证明 课后演练【演练7】 如图，已知AB ∥CD ，23ABF ABE ∠=∠，23CDF CDE ∠=∠，则:F E ∠∠= .【解析】 分别过点E ，F 做AB 和CD 的平行线，易得：:2:3F E ∠∠=.【演练8】 已知：如图，点E 为其内部任意一点，BED B D ∠=∠+∠. 求证：∥AB CD .ABCDE F123A B D E F12A BC D E 图2132G A E B D FC11 第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版 EDC B A【解析】 如图过点E 做∥EF AB ,∵∥EF AB∴B BEF ∠=∠,∵BED BEF DEF B DEF ∠=∠+∠=∠+∠ BED B D ∠=∠+∠∴DEF D ∠=∠∴∥EF CD又∵∥EF AB∴∥AB CDF A B C DE。
七年级平行线知识点总结
七年级平行线知识点总结
平行线作为数学中的重要概念，常常出现在初中阶段的学习中。
在七年级数学中，平行线的概念被引入并且深入学习，本文将对
七年级平行线知识点进行总结。
一、平行线的定义
平行线是指在同一平面内，没有交点且始终保持相同距离的两
条直线。
记作AB//CD。
二、平行线的判定方法
1.同位角相等法：若一条直线与另一直线所构成的同位角相等，则这两条直线是平行线。
2.平行线的性质：两条直线分别与另一条直线交点连线，若这
两个交点的同位角相等，则这两条直线是平行线。
3.平行四边形性质：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
三、平行线的性质
1.平行线上的任意两点之间的距离相等。
2.平行线上的同位角相等。
3.平行线分别与另一条直线交点连线，这两个交点的同位角相等。
4.平行线构成的平行四边形，
（1）对边相等，
（2）对角线互相平分。
四、平行线的应用
在实际应用中，平行线的概念经常被使用。
1.利用平行线解决垂线问题。
2.平行线作为建筑、道路等设计中的基本元素。
3.运用平行线解决数学题目，如解决角度问题等。
总之，平行线是数学中的重要概念，也是后续学习的基础。
掌握平行线的定义、判定方法、性质和应用，有助于我们更好地理解相关知识，并且在实际生活中更好地应用数学。
初中数学平行线性质总结
初中数学平行线性质总结平行线是初中数学中非常重要的概念，它在几何图形的研究中起着重要的作用。
平行线性质是初中数学中的基本知识点之一，通过研究平行线的性质，可以帮助我们解题，理解几何图形的特点。
本文将对初中数学平行线性质进行总结，以便更好地理解和运用这些知识。
首先，我们先来回顾一下平行线的定义。
平行线指的是在同一个平面内不相交的两条直线，它们的方向相同，永远不会相交。
我们可以使用符号"// "来表示两条线段是平行线。
平行线性质总结如下：1. 平行线的特性：平行线的特点是不相交且方向相同。
两条直线如果不相交并且在同一个平面上，它们被称为平行线。
2. 平行线的性质推理：如果两条直线与第三条直线分别平行，那么这两条直线也是平行的。
这个性质被称为传递性。
例如，如果直线A与直线B平行，直线B与直线C平行，那么直线A与直线C也是平行的。
3. 平行线与角度的关系：如果两条平行线分别被一条横截线所截，那么所得的对应角度相等。
这个性质被称为同位角性质。
例如，在下图中，AB与CD平行，DE为横截线，那么∠ADE=∠BCD，∠AED=∠BDC。
A---------------------------B| || || || |D----------------------------C4. 平行线与四边形的关系：如果一条直线与平行线同时截取或平行于一个四边形的两条边，那么这条直线的两个对边上的内角相等。
例如，在下图中，AB与CD平行，AE与CF平行，那么∠A=∠C，∠B=∠D。
A---------------------------B| || || |E------------------------------F| || || |C-------------------------------D5. 平行线与三角形的关系：如果一条直线与另一条线段截取或平行于三角形的两边，那么这条直线上所得的两个角与原三角形对应角相等。
平行线知识点初一
平行线知识点初一在初一的数学学习中，平行线是一个非常重要的概念。
它不仅是几何学习的基础，也在解决实际问题中有着广泛的应用。
首先，我们来了解一下什么是平行线。
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
这里要注意两个关键点，一是“在同一平面内”，如果不在同一平面，两条不相交的直线不一定是平行线；二是“不相交”，这意味着它们无论延伸多远都没有交点。
平行线有许多重要的性质和判定方法。
性质 1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
比如说，直线 a 平行于直线 b，直线 c 与 a、b 都相交，那么所形成的同位角就是相等的。
性质 2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
性质 3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
这些性质在解决角度计算和证明的问题中经常用到。
接下来，我们看看平行线的判定方法。
判定 1：同位角相等，两直线平行。
如果两条直线被第三条直线所截，形成的同位角相等，那么这两条直线就是平行的。
判定 2：内错角相等，两直线平行。
判定 3：同旁内角互补，两直线平行。
在实际解题中，我们常常需要根据已知条件，灵活运用这些判定方法来证明两条直线平行。
再来说说平行线的传递性。
如果直线 a 平行于直线 b，直线 b 平行于直线 c，那么直线 a 就平行于直线 c。
这个传递性在解决一些复杂的几何图形问题时非常有用。
平行线还有一些常见的模型，比如“猪蹄模型”和“铅笔模型”。
“猪蹄模型”中，两条平行线被第三条直线所截，会出现两个形如猪蹄的角，这两个角是相等的。
“铅笔模型”则是另一种常见的情况，同样是两条平行线被第三条直线所截，形成的角有着特定的关系。
在学习平行线的过程中，我们会做很多相关的练习题。
比如，已知两条直线平行，求某个角的度数；或者根据给出的角的关系，证明两条直线平行。
为了更好地掌握平行线的知识，我们要多做练习，熟悉各种题型。
同时，要学会画图，通过图形来帮助我们理解和解决问题。
在画图时，要注意线条的笔直和角度的准确。
初一下册数学知识点：平行线的特征知识点
初一下册数学知识点：平行线的特征知识点学习可以这样来看，它是一个潜移默化、厚积薄发的进程。
查字典数学网编辑了平行线的特征知识点，希望对您有所协助!重点：灵敏地应用平行线的三个特征处置效果;难点：如何对图形停止平移与旋转。
一、稳固旧知，效果引入。
稳固平行线的判定方法，并引导先生剖析平行线的判定是由一些角的关系得出平行的结论在先生剖析的基础上，提出假定交流判定中的条件与结论，能否由〝两直线平行〞得出〝同位角相等〞等一些角的关系，从而引入课题。
二、实验验证，探求特征。
1、教室的窗户的横格是平行的，请看教员用三角尺去检验一对同位角，看看结果怎样?(教员用三角尺在窗户演出示，先生观察并思索)2、先生实验(发印好平行线的纸单)(1)，a//b，恣意画一条直线c与平行线a、b相交。
(2)任选一对同位角，用适当的方法实验，看看这一对同位角有什么关系(要求先生多画几条截线试试，鼓舞先生用多种方法停止探求)3、实验结论：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
简记为〝两直线平行，同位角相等〞识记该性质，并讨论在这个特征中，的是什么，结论是什么?它与前面学过的〝同位角相等，两直线平行〞有什么不同?4、效果讨论：我们知道两条平行线被第三条直线所截，不但构成有同位角，还有内错角、同旁内角。
我们曾经知道〝两条平行线被第三条直线所截，同位角相等〞。
那么请同窗们想一想：两条平行线被第三条直线所截，内错角、同旁内角有什么关系呢如图，直线a//b，思索∠1与∠2、∠2与∠3之间有什么关系?为什么?(小组讨论，给予充足的时间交流，可引导先生与同位角停止比拟，从而得出结论，关注先生在此能否积极地、有条理地思索)结论：〝两直线平行，内错角相等〞〝两直线平行，同旁内角互补〞(识记这两特性质，并思索什么条件，得出什么结论，与〝内错角相等，两直线平行〞〝同旁内角互补，两直线平行〞有什么不同。
)。
初中数学之平行线知识点总结
初中数学之平行线知识点总结平行线知识要点梳理知识点一：平行线的概念及表示方法在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
通常用“∥”表示平行，如图1中，直线AB与CD平行，记作AB∥CD，如果用l，m表示这两条直线，那么直线l与直线m平行,记作l∥m。
要点诠释：(1)平行线必须满足两个条件：①同一平面内，②不相交，但要注意直线的特点是可以向两方无限延长，在平面内只能画出有限长，例如图2中直线a，b看上去不相交，但当把它们看作是无限长时，发现它们其实是相交的，因此直线a，b不平行，从平行线的定义中，我们还可以学习到这样的知识：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有两种：①相交，②平行。
(2)今后遇到线段、射线平行时，特指线段、射线所在的直线平行。
知识点二：平行公理及推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
知识点三：平行线判定方法1、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，简称：同位角相等，两直线平行。
即，如图3。
∵∠1＝∠2(已知)∴l1∥l2(同位角相等，两直线平行)2、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
简称：内错角相等，两直线平行。
即如图3，∵∠2＝∠3(已知)∴l1∥l2(内错角相等，两直线平行) 证明：∵∠1＝∠3(对顶角相等)又∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠2。
∴l1∥l2(同位角相等，两直线平行)3、两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
简称：同旁内角互补，两直线平行。
即如图3，∵∠2＋∠4＝180°(已知)，∴l1∥l2(同旁内角互补，两直线平行)证明：∵∠1＋∠4＝180°(邻补角定义)又∵∠2＋∠4＝180°∴∠1＝∠2。
∴l1∥l2(同位角相等，两直线平行)要点诠释：判定两直线平行的方法一般有五种：①平行线的定义。
初中数学平行线知识点归纳总结(两篇)2024
初中数学平行线知识点归纳总结（二）引言：平行线是初中数学中重要的基础概念之一，它们在几何图形的性质和运算中有着广泛的应用。
对平行线的理解及运用不仅能够帮助学生建立几何思维，还能够培养学生的逻辑推理和证明能力。
本文将系统地总结初中数学中关于平行线的知识点，并从几何性质、证明方法、运算应用等方面进行详细阐述。
概述：平行线是指在同一平面内，没有交点的两条直线。
平行线具有一些重要的性质，如平行线上的任意两点与另一条直线交点处的对应角相等等。
通过学习平行线的知识，学生可以解决课本中的平行线定理题目，提高几何思维能力和数学运算水平。
正文内容：1. 平行线的性质1.1 平行线的定义平行线是指在同一平面内，永远不会相交的两条直线。
1.2 平行线的判定定理（1）直线与直线判定两条直线在同一平面内，如果它们的斜率相等，则它们是平行线。
（2）线段与直线判定如果一条直线与另一直线上两点连线的线段都平行，则这两条直线是平行线。
（3）角与直线判定两条直线被一条截线分成两组相互对应的内角或外角，如果这些对应的角相等，则这两条直线是平行线。
1.3 平行线的性质（1）平行线上的任意两点与另一条直线交点处的对应角相等。
（2）平行线上的任意两条线段的比例相等。
（3）平行线与平行线之间的距离是恒定的。
2. 平行线的证明方法2.1 数学归纳法利用数学归纳法可以证明一些平行线的性质。
首先证明性质对于一个特殊情况成立，然后假设性质对于前n个情况成立，再证明对于第n+1个情况也成立。
2.2 等腰三角形法利用等腰三角形的特性，可以辅助进行平行线的证明。
当两个角相等时，可以通过证明边对应相等来推导出线段平行。
2.3 反证法利用反证法可以证明平行线的性质。
先假设平行线上的一些性质不成立，然后推导出矛盾，从而得出结论。
2.4 使用辅助线通过添加一些辅助线，可以改变原有构图，使问题更容易解决。
通过巧妙选择辅助线，可以推导出平行线的性质。
2.5 利用平行线的性质已知一些条件，可以利用平行线的性质进行推导。
初中数学知识归纳平行线的性质与判定
初中数学知识归纳平行线的性质与判定平行线是数学中最基础的概念之一，在初中数学中也占据了重要的地位。
平行线的性质和判定方法具有一定的规律性和逻辑性，掌握了这些知识，对于解题和推理都有很大的帮助。
本文将对初中数学中与平行线相关的性质和判定进行归纳和总结。
一、平行线的性质1. 平行线性质一：同位角性质同位角是指两条平行线被一条第三条线（称为横线）所切割所形成的内角和外角。
同位角性质可以概括为：当直线与两条平行线相交时，同位角相等。
例如，图1中的直线l与平行线m、n相交，角A和角B、C都是同位角。
根据同位角性质，可知∠A = ∠B = ∠C。
2. 平行线性质二：内错角性质内错角是指两条平行线被一条第三条线所切割所形成的内角。
内错角性质可以概括为：当直线与两条平行线相交时，内错角相等。
例如，图2中的直线l与平行线m、n相交，角A和角B是内错角。
根据内错角性质，可知∠A = ∠B。
3. 平行线性质三：同旁内角性质同旁内角是指两条直线与两条平行线相交所形成的内角。
同旁内角性质可以概括为：当两条直线与两条平行线相交时，同旁内角互补。
例如，图3中的直线a、b与平行线m、n相交，角A和角B、C是同旁内角。
根据同旁内角性质，可知∠A + ∠B = 180°和∠A + ∠C = 180°。
二、平行线的判定方法1. 直线平行判定法一：同位角相等法如果一条直线与另外两条直线相交时，同位角相等，则这两条直线平行。
例如，图4中的直线l与线段AB、CD相交，∠1 = ∠2，则可判定线段AB与线段CD是平行的。
2. 直线平行判定法二：内错角相等法如果一条直线与两条平行线相交时，内错角相等，则这条直线与这两条平行线平行。
例如，图5中的直线l与平行线m、n相交，∠A = ∠B，则可判定直线l与平行线m、n是平行的。
3. 直线平行判定法三：同旁内角互补法如果一条直线与两条平行线相交时，同旁内角互补，则这条直线与这两条平行线平行。
初中数学 平行线有哪些性质
初中数学平行线有哪些性质平行线是初中数学中的一个重要概念，具有许多性质。
在本文中，我将为您详细介绍平行线的各种性质。
1. 平行线的定义性质：-平行线是在同一平面上永远不相交的两条直线。
这意味着它们没有共同的交点。
-平行线具有相同的斜率。
斜率是用来描述直线的倾斜程度的数值。
如果两条直线有相同的斜率，那么它们是平行线。
-平行线之间的距离是恒定的。
对于任意两条平行线，它们之间的距离在整个线段上是相等的。
2. 平行线的角度性质：-平行线之间的所有内角相等。
如果一条直线与两条平行线相交，那么所形成的内角是相等的。
-平行线之间的所有外角相等。
如果一条直线与两条平行线相交，那么所形成的外角是相等的。
-平行线之间的同位角相等。
如果两条平行线被一条直线割分，那么所形成的同位角是相等的。
3. 平行线的传递性：-平行线的传递性定理：如果直线L1与直线L2平行，直线L2与直线L3平行，那么直线L1与直线L3也平行。
-这个定理的意思是，如果有三条直线，其中任意两条平行，那么第三条直线也与这两条直线平行。
4. 平行线的副交角性质：-平行线的副交角定理：如果两条直线被一对平行线割分，那么所形成的副交角是相等的。
这意味着在两条平行线之间，对应的副交角是相等的。
5. 平行线的交角性质：-线与平行线的交角定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么所形成的内角、外角和同位角之间的关系是具有特定的等式。
-内角和同位角之和等于180度：如果一条直线与两条平行线相交，那么所形成的内角和同位角之和等于180度。
-外角等于内角的补角：如果一条直线与两条平行线相交，那么所形成的外角等于内角的补角。
以上是平行线的一些重要性质。
这些性质可以帮助我们解决各种几何问题，如计算角度、线段长度等。
此外，平行线的概念在实际生活中也有广泛的应用，如城市规划中的道路设计、光线的传播路径等。
希望以上内容能够帮助您更好地理解平行线的性质。
认识平行和垂直平行线和垂直线的特征
认识平行和垂直平行线和垂直线的特征认识平行和垂直线的特征平行线和垂直线是几何学中两个极为重要的概念。
它们在空间中描述物体位置和方向之间的关系，具有独特的特征和性质。
本文将介绍平行线和垂直线的定义、特征及其在几何学中的应用。
一、平行线的特征平行线是指在同一个平面内永不相交的两条直线。
平行线具有以下特征：1. 方向相同：平行线具有相同的方向，无论有多远，始终保持平行，永不相交。
2. 距离相等：平行线上任意两点到另一条平行线的距离始终相等。
这说明平行线之间的距离是保持恒定的，不会发生变化。
3. 角度特性：平行线之间不存在交角，它们的夹角为零度。
因此，平行线可以看作是一对交角为零的线。
4. 符号表示：在几何学中，平行线常常使用双竖杠“||”来表示，例如AB || CD，表示直线AB与直线CD平行。
平行线的概念在现实中有许多应用。
例如，在建筑设计中，平行线被广泛应用于墙体设计、道路布局等方面。
此外，在数学中，平行线也是解决几何问题的重要基础。
二、垂直线的特征垂直线是指在同一个平面内交于一点，相互之间成直角的两条直线。
垂直线具有以下特征：1. 相交于一点：垂直线在同一个平面内交于一点，该点被称为交点。
2. 直角特性：垂直线之间成直角，即两条垂直线之间的夹角为90度。
3. 符号表示：在几何学中，垂直线常常使用“⊥”来表示，例如AB⊥ CD，表示直线AB与直线CD垂直。
垂直线在几何学中的应用广泛而重要。
例如，在测量中，垂直线可以用来确定正北方向，用作建筑物和道路的基准线。
此外，在直角三角形中，垂直线是勾股定理的基础。
三、平行线与垂直线的关系平行线与垂直线在几何学中有重要的互补关系。
1. 平行线的垂线：当两条平行线遇到一条垂直线时，垂直线与平行线之间的夹角都是直角。
这就是说，垂直线是任意一条平行线的垂线。
2. 垂直线的平行线：当两条垂直线遇到一条直线时，直线与垂直线之间的夹角都是直角。
这就是说，任意一条垂直线都可以看作是两条平行线的垂线。
认识平行线和垂直线的特点
认识平行线和垂直线的特点平行线和垂直线是初中数学中的重要概念，它们在几何学中起着重要作用。
本文将就平行线和垂直线的特点展开论述。
一、平行线的特点平行线是指在同一个平面内永远不相交的两条直线。
平行线具备以下几个特点：1. 方向相同：平行线在同一个平面内具有相同的方向，它们的方向角度相等或者相差180度，即它们要么完全平行，要么互相相反。
2. 永远不相交：平行线在同一个平面上永远不会相交，无论延长多长都不会相交。
3. 等距离：平行线上的任意一点到另一条平行线的距离保持不变，即平行线上的所有点到另一条平行线的距离相等。
4. 平移变换：平行线在平面上进行平移变换后，仍然保持平行关系。
了解平行线的特点对于解决几何问题具有重要意义，在证明定理、求解直线和角度相关问题时经常会涉及到平行线。
二、垂直线的特点垂直线是指在同一个平面内相交时，交点的两条直线相互垂直。
垂直线具备以下几个特点：1. 相互垂直：垂直线在相交的交点处，交角为90度。
两条垂直线之间不存在交点以外的其他交点。
2. 方向互补：垂直线的方向角度相差90度，一个向上，一个向下。
3. 正交性：垂直线的数学定义是两条线的斜率的乘积等于-1。
这意味着斜率为k的直线和斜率为-1/k的直线垂直。
4. 高度度量：垂直线可以用于测量高度，例如建筑物的高度可以通过对其与水平线垂直的直线进行测量得到。
垂直线在解决三角形、四边形等多边形的问题时经常会被使用，它们的特点使得几何问题的求解更加简单和直观。
总结：通过对平行线和垂直线的特点的论述，我们了解到平行线具有方向相同、永远不相交、等距离和平移变换的特点，而垂直线具有相互垂直、方向互补、正交性和高度度量的特点。
熟悉和理解这些特点对于几何学的学习和应用非常重要。
在解决几何问题时，我们可以根据这些特点进行分析和推理，从而更加准确地得出结论，提高解题的效率和准确性。
通过学习和应用平行线和垂直线的特点，我们可以更好地理解和掌握几何学的知识。
初中数学平行线的性质及相关定理
初中数学平行线的性质及相关定理在初中数学中，平行线是一个重要的概念。
平行线是指在同一个平面内，永不相交的两条直线。
本文将探讨平行线的性质以及与平行线相关的定理。
1. 平行线的性质1.1 两条平行线的特点两条平行线永不相交，以及它们之间的距离始终相等。
1.2 平行线与转角在两条平行线相交的地方，形成的转角称为对顶角。
对顶角是相等的。
1.3 平行线与平行线之间的角关系当一条直线与两条平行线相交时，同侧的内角互补，即它们的和等于180度；而同侧的外角互补，也是等于180度。
2. 平行线的定理2.1 配角定理当一条直线与两条平行线相交时，形成的配角是相等的。
2.2 内错角定理当一条直线与两条平行线相交时，形成的内错角是互补角。
2.3 外错角定理当一条直线与两条平行线相交时，形成的外错角是互补角。
2.4 三角形内角和定理在一个三角形中，如果其中一边与另两边平行，那么与这条边不相邻的两个内角之和等于180度。
2.5 平行线夹角定理当一条直线与两条平行线相交时，形成的夹角是相等的。
2.6 平行线截割定理如果一条直线与两条平行线相交，那么这两条平行线上的对应交线段与直线之间的比例相等。
3. 平行线的应用3.1 平行线在建筑中的应用平行线在建筑设计中具有重要的应用，例如平行线可以帮助确定建筑物的垂直度以及水平度。
3.2 平行线在地理中的应用地图中的经线和纬线是平行线，它们帮助我们在地球上确定位置以及测量距离。
3.3 平行线在运输中的应用平行线在交通工程中用于划定车道，确保车辆行驶的安全与顺利。
4. 总结平行线的性质及相关定理在初中数学中占据重要的位置。
通过学习这些性质和定理，我们能更好地理解平行线的特点，以及运用它们解决实际问题的能力。
同时，平行线的应用范围广泛，涵盖建筑、地理和运输等领域。
在日常生活中，我们也可以发现平行线的存在和应用。
通过深入学习平行线的性质和定理，我们能够更好地理解几何学的重要性和普遍性。
参考文献：[1] 数学知识（PEP人教版）. 北京：人民教育出版社，2019.[2] Fuller R, Anderson E. Geometry for Dummies. Wiley, 2011.。
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平行： 平行：
∵ ∠2=∠4 2=∠
你知道理由吗？ ∴ BC∥EF 。 你知道理由吗？ BC∥
随堂练习 三、随堂练习
p 60
1、如图所示，AB∥CD，AC∥BD。 如图所示，AB∥CD，AC∥BD。 分别找出与∠ 相等或互补的角。 分别找出与∠1相等或互补的角。
9 12
解： ，与∠1相等的角有： 如图， 相等的角有： 如图
相等：∠3=∠4； 相等： 3=∠4； ∠2 =∠4 。
同位角相等 同位角相等 两直线平行
1 B
2
3 E
4
∵AB∥DE ∴∠1=∠3。 AB∥ ∴∠1=∠ 2=∠ 1=∠ 3=∠ 又 ∠1=∠2 ，∠3=∠4 ∴ ∠2=∠4。 （2 ）反射光线BC与EF也平行吗？ 反射光线BC EF也平行吗 BC与 也平行吗？
北师大七年级(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ) 《北师大七年级(七年级 下册 ) 数学》 北师大. 数学》( 北师大.
3
回顾 & 思考 一、直线交成的角 回顾与思考一 回顾与思考
2 两直线相交形成 4 个角，从数量关系 个角， 1 上讲， 上讲， ∠1与∠2形成 互补的 角， 3 从位置关系上讲， 从位置关系上讲， ∠2与∠4形成 对顶 角； 4 对顶的两角 相等 。
本节课初步学习了如何混合应用平行线的判定与 性质进行计算和说理(证明) 性质进行计算和说理(证明)． 要懂得几何中的计算往往要说理， 要懂得几何中的计算往往要说理，要熟悉几何里 计算题的格式； 计算题的格式； 还要懂得几何中常常可以由“已知” 还要懂得几何中常常可以由“已知”的条件推得 一系列新的结论，在这个过程中，要能清楚每一步推 一系列新的结论，在这个过程中， 理的依据，并初步了解解答这类问题的格式和要求． 理的依据，并初步了解解答这类问题的格式和要求．
两条平行直线被第三条直线直线所截， 两条平行直线被第三条直线直线所截， 同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。 同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
简记为： 简记为：
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两直线平行，同位角相等。 两直线平行，同位角相等。 两直线平行，内错角相等。 两直线平行，内错角相等。 两直线平行，同旁内角互补。 两直线平行，同旁内角互补。
a 2 1 （1）测量同位角∠1和∠5的 测量同位角∠ 4 3 大小，它们有什么关系？ 大小，它们有什么关系？ 相等： 1=∠ 相等：∠1=∠5。 b 6 图中还有其它同位角吗？ 图中还有其它同位角吗？ 还有三对 8 它们的大小有什么关系？ 同位角。 它们的大小有什么关系？ 同位角。 2=∠ 3=∠ 4=∠ ∠2=∠6、∠3=∠7、 ∠4=∠8； 图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？为什么？ （2）图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？为什么？ 4=∠ 有两对内错角： 3=∠ 有两对内错角： 3=∠5、 ∠4=∠6； ∠ ∵∠4=∠ 2=∠ 4=∠ 同理： 3=∠ ∵∠4=∠2，∠2=∠6， ∴ ∠4=∠6。 同理： ∠3=∠5
五、作业
作业
教材p.55 习题2.4 教材p.55 习题2.4 第 1、2 、3 题。
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做一做
再找一组平行线，说明你的理由。 再找一组平行线，说明你的理由。 做一做
B C D
如图2 如图2—8，三个相 同的三角尺拼成一个图 形，请找出图中的一组 平行线，并说明你的理由。 平行线，并说明你的理由。
A
AC与DE是平行的。 AC与DE是平行的 是平行的。
因为∠EDC与 因为∠EDC与∠ACB 是同位角， 是同位角， 而且又相等。 而且又相等。
在“三线八角”中， 三线八角” C 7 4 A 8 F 2 6 3 E 1 5
∠1与∠7形成 对顶 角， ∠5与∠7形成 互为补 角， (1) 同位角有 4 对： 同位角有 ∠1和∠2, D ∠5和∠6, ∠7和∠8. ∠3和∠4, 内错角有 B (2) 内错角有 2 对： ∠7和∠2, ∠5和∠4. (3) 同旁内角有 2 对： 同旁内角有 ∠7和∠4, ∠5和∠2
两类定理的比较
两条平行直线被第三条直线直线所截， 两条平行直线被第三条直线直线所截， 判定定理
条件 结论
性质定理
条件 结论
同位角相等， 两直线平行，同位角相等。 同位角相等， 两直线平行 两直线平行，同位角相等。 内错角相等， 两直线平行，内错角相等。 内错角相等， 两直线平行 两直线平行，内错角相等。 同旁内角互补， 两直线平行， 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补
图2—8 我是这样想的： 我是这样想的： BCA=∠ ∠BCA=∠EAC， BD∥AE。 BD∥
E
你看得懂她的意识吗？ 你看得懂她的意识吗？ 她选的第三线是谁？ 她选的第三线是谁？
选BD作第三线， BD作第三线 作第三线， 用三角尺的60 60° 用三角尺的60°角相等 说明“同位角相等” 说明“同位角相等”， 同位角相等两直线平行” 用“同位角相等两直线平行” BD∥AE。 来说明 BD∥AE。
∠3， ∠3， ∠5， ∠7， ∠9， 11， 13， 15； ∠11， ∠13， ∠15； 与∠1互补的角有： 互补的角有： ∠ 2， ∠ 4， ∠ 6， ∠ 8， 10， 12， 14， ∠10， ∠12， ∠14， ∠16 ；
16
B
13
10 5 8 2 7
A
15 4
14 1
D
6
C
3
本节课学习了平行线的三个性质，总结了平行线的判定 本节课学习了平行线的三个性质， 质的区别． 与性 质的区别． 这里的关键之一是要搞清“已知”了什么， 这里的关键之一是要搞清“已知”了什么，得到的是什么样 结论” 这样才能确保正确的应用，不发生错误． 的“结论”．这样才能确保正确的应用，不发生错误．
① 共顶点的角： 共顶点的角：
② 不共顶点的角： 不共顶点的角：
回顾与思考
回顾 & 思考
二、判断两直线平行
l a b
同位角相等，两直线平行 两直线平行. 两直线平行. 内错角 相等 ，两直线平行
两直线平行. 同旁内角 互补，两直线平行
考察两直线是否有平行关系， 考察两直线是否有平行关系，我们往往用第三直线 作为沟通这两直线的桥梁—— 作为沟通这两直线的桥梁—— 考察(被第三直线截成的八个角中) 考察(被第三直线截成的八个角中)不共顶点的两个 角, 是否满足某种数量关系 . 抓住被考察的两直线、寻找第三线； 抓住被考察的两直线、寻找第三线； 找出不共顶点的两个角及其数量关系， 找出不共顶点的两个角及其数量关系， 是判定两直线平行的必要途径。 是判定两直线平行的必要途径。
他选谁为第三线？ AC 他选谁为第三线？ 用的是什么角？ 内错角。 用的是什么角？ 内错角。 你知道这一步的理由吗？ 你知道这一步的理由吗？ 内错角相等， 内错角相等， 两直线平行。 两直线平行。
新知探索：
二直线平行后得到什么？ 二直线平行后得到什么？
c
如图：直线 a 与b 直线平行。 直线平行。 如图：
（3）图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？为什么？ 图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？为什么？ 有两对同旁内角： 4+∠5=180° 有两对同旁内角： ∠4+∠5=180°， ∠3+∠6=180°。 3+∠6=180°
从中，你发现了什么规律吗？ 从中，你发现了什么规律吗？
二平行直线的特征 性质） （性质）
思考: 思考:
1、判定定理与性质定理的 条件与结论有什么关系？ 互换。 条件与结论有什么关系？ 互换。 使用判定定理时是 2、使用判定定理时是 已知 角的相等或互补 ，说明 二直线平行 ； 使用性质定理时是 使用性质定理时是 已知 二直线平行 ，说明 角的相等或互补 。
做一做 做一做
如图：一束平行光线AB和DE射向一个水平镜面后 AB和 如图：一束平行光线AB DE射向一个水平镜面后 ∠1=∠2 ∠3=∠4 被反射， 此时∠ 被反射， 此时∠1=∠2 ， ∠3=∠4 。 （1 ）∠1，∠3的大小有什么关系？∠2与∠4呢？ 的大小有什么关系？∠2与 D C F 你知道理由吗？ 你知道理由吗？ A 两直线平行