线性规划知识总结

线性规划知识总结

1. 二元一次不等式（组）表示的平面区域

（1）直线0:=++C By Ax l 把平面内不在直线上的点分成两部分，对于同一侧所有点的坐标代入Ax ＋By ＋C 中所得的值的符号都相同，异侧所有点的坐标代入Ax ＋By ＋C 所得的值的符号都相反。

（2）对于直线:l Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，可化为：y ＝kx ＋b 的形式。对于二元一次不等式b kx y +≥表示的平面区域在直线y ＝kx ＋b 的上方（包括直线y ＝kx ＋b ）。对于二元一次不等式b kx y +≤表示的平面区域在直线y ＝kx ＋b 的下方（包括直线y ＝kx ＋b ）。

注意：二元一次不等式)0(0<>++或C By Ax 与二元一次不等式)0(0≤≥++C By Ax 所表示的平面区域不同，前者不包括直线Ax ＋By ＋C ＝0，后者包括直线Ax ＋By ＋C ＝0。 2. 线性规划

我们把求线性目标函数在线性目标条件下的最值问题称为线性规划问题。解决这类问题的基本步骤是：

（1）确定好线性约束条件，准确画出可行域。

（2）对目标函数z ＝ax ＋by ，若b ＞0，则

b

z

取得最大值（或最小值）时，z 也取得最大值（或最小值）；若b ＜0，则反之。

（3）一般地，可行域的边缘点有可能是最值点，有些问题可直接代入边缘点找最值。 （4）注意实际问题中的特殊要求。

说明：1. 线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；

2. 线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数个。

知识点一：二元一次不等式（组）表示的平面区域 例1：基础题

1. 不等式组201202

y x x y -->⎧⎪

⎨-+≤⎪⎩表示的平面区域是

（ ）

A B C D

2. 如图，不等式组50

03x y x y x -+≥⎧⎪

+≥⎨⎪≤⎩

表示的平面区域面积是

________________。

3. 如图所示的△ABC ，其平面区域对应的不等式组是________________。

（其中A 、B 、C 三点坐标分别是A （1，2），B （4，1），C （－2，－3））

【思路分析】

1. 表示的平面区域在直线02>--x y 02=--x y 的上方，不包括直线2--x y ＝0

022

1

0221≤+-≤+-y x y x 表示的平面区域在直线的上方，包括直线22

1

+-y x ＝0，故不等式组表示的平面区域是其

公共部分。

2. 先画出不等式组表示的平面区域，再根据区域的形状，计算出面积。

3. 分别写出AB ，AC ，BC 的直线方程，根据对应的区域写出不等式组，注意分析是否包括AB 、AC 、BC 这三条直线。

【解题过程】 1. 不等式组表示的平面区域是不等式02x 2

1

02-x -y ≤+->y ，的公共部分，故选D 。 2. 求出A （3，8）B （3，－3），C )25,25(-。,11||=AB C 点到AB 的距离是

2

11。 4

121

2111121=

⨯⨯=

∴∆ABC S 3. AB 的直线方程是：x ＋3y －7＝0，AC 的直线方程是：3y －5x －1＝0，BC 的直线方程是：

3y －2x ＋5＝0。

故平面区域对应的不等式组是⎪⎩

⎪

⎨⎧≥+-<--≤-+0523*******x y x y y x 。

【解题后的思考】

画不等式组表示的平面区域时应注意是否包括此直线，求平面区域的面积时可根据区域的形状，采用适宜的方法求解。

例2：中档题

1. 点P （a ，4）在不等式033>-+y x 表示的平面区域内，且到直线022=+-y x 的距离是5，则点P 的坐标是________。

2. 如图，若不等式组⎪⎩

⎪

⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x 所表示的平面区

域被直线3

4

+=kx y 分为面积相等的两部分，则k ＝___________。

3. 如图，在平面直角坐标系中，不等式组

⎪⎩

⎪

⎨⎧≥+-≤-≥-+010

101y ax x y x （a ＞－1为常数）表示的平面区域面积等于2，则a ＝________。

【思路分析】

1. 根据点P 到直线022=+-y x 的距离建立关于a

的方程，再根据P 点在不等式033>-+y x 表示的区域内求出a 的取值范围，进而决定a 的取舍。

2. 画出不等式组表示的平面区域，根据直线34+

=kx y 过定点3

4

,0(）再确定直线所通过的区域内的某一定点，才能保证此直线平分该区域。然后把区域内的定点坐标代入直线方程，即可求

k 的值。

3. 根据区域面积建立等量关系，进而求a 的值。 【解题过程】 1. 310343->⇒>-+a a Θ.

1115)

2(1|

28|22==⇒=-++-a a a 或

）或（,411)4,1(P ∴

2. 由图得：不等式组表示的平面区域是ABC ∆的边界内部，且包括边界，直线3

4

+

=kx y 过定点A 34

,

0(）（即直线x ＋3y ＝4与y 轴的交点），要使直线3

4

+=kx y 平分该区域，则直线过BC 的中点，易求BC 的

中点坐标为)25

,21(。

故3

7342125=⇒+⨯=k k

3. 由已知，得：)1,1(1

1

+⇒⎩⎨

⎧=+=a A x ax y