因式分解讲义

因式分解

知识点1：因式分解的定义

1．分解因式：把一个多项式化成几个_整式的乘的积，这种变形叫做分解因式，它与整式的乘法互为逆运算。

如：判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式：

例如：

1．的公因式是

-aby

+_________

abx-

3ab

多项式9

6

2．多项式32232

a b c a b ab c

-+-分解因式时，应提取的公因式是（）

81624

A．2

2ab D．33

24a b c

-C．3

-B．3

4ab c

8ab

3. 342)()()(n m m n y n m x +++-+的公因式是__________

知识点3：用提公因式法分解因式

提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 例如：

用到平方差公式时）

如： 22188y x +-

练习：

1．多项式:aby abx ab 24186++-的一个因式是ab 6-,那么另一个因式是( )

y x A 431..+-- y x B 431..-+ C y x 431--- D..y x 431--

2.分解因式－5(y －x)3－10y(y －x)3

3. 公因式只相差符号的类型：

公因式相差符号的，要先确定取哪个因式为公因式，然后把另外的只相差符号的因式的负

(1

2A ．))(3(x x y +- B ．))(3(x x y -- C ．)1)(3(x y x +- D ．)1)(3(x y x --3．分解因式：

（1）)(()()(y x x y n y x m -=-+-________)

（2）－6(x －y)4－3y(y －x)5

知识点4公式法分解因式

． 公式法分解因式：如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。

一、平方差公式分解因式法

平方差公式：两个数的平方差，等于这两个的和与这两个数的差的积。

即a 2-b 2=(a+b)(a-b)

3、整体的类型：

（1）22)(n n m -+ （2）22)32()(y x y x -++-

4、提公因式法和平方差公式结合运用的类型

(1)m 3—4m= ．(2)=-a a 3 ．

练习：将下列各式分解因式

（1）()22241x x -+ (2)100x 2－81y 2； (3)9(a －b)2－(x －y)2；

（4）5a a - （5）x x 93+- （6）)()(3n m n m ---

（7）3)2(4)2(y x y x ---

A ．—4

B ．4

C ．±8

D ．±4

2．若k x x +-692是关于x 的完全平方式，则k=

3.若49)3(22+-+x m x 是关于x 的完全平方式则m=__________

3、直接用完全平方公式分解因式的类型

(1)2816x x ++； (2)22

4129x xy y -+-； (3)224x xy y ++； (4)224493m mn n ++ 4、整体用完全平方式的类型

(1)(x －2)2＋12(x －2)＋36； （2） 2)()(69b a b a ++++

如:分解因式：

① 1072+-x x ② 3522--x x (3) a 2+6ab +5 b 2

(4) x 2+5x +6 (5) x 2-5x +6 (6) x 2-5x -6

练习：

(1) x 2+7x +12 (2) x 2-8x +12 (3) x 2-x -12 (4) x 2+4x -12

(5) y 2+23y +22 (6) x 2-8x -20 (7) x 2+9x y -36 y 2 (4) x 2+5x -6

知识点6、分组的方法分解因式 如(1) m m m 205443--+ (2)

144224-++-x y x 练习：

（1）222449c bc b a -+- （2）124323--+x x x （3）22962y y x x --+

（4）44922---y y x （5）4222-+-y xy xy

小结因式分解的常规方法和方法运用的程序，可用“一提二公三叉四分”这句话来概括。 “一提”是指首先考虑提取公因式；“二公”即然后考虑运用公式（两项用平方差公式三项的用完全和平方、差平方公式）；“三叉”就是二次三项式能否进行十字相乘法；“四分”是四项以上考虑分组分解法。

课后练习：

分解因式单元练习

一、选择题（每题4分，共40分）

1．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ）

（A ）()b a b a 222-=- （B ）()()1112-+=-m m m

（C ）()12122+-=+-x x x x （D ）()()()()112+-=+-b ab a b b a a

2．把多项式－8a 2b 3＋16a 2b 2c 2－24a 3bc 3分解因式，应提的公因式是( )，

（A ）－8a 2bc （B ） 2a 2b 2c 3 （C ）－4abc （D ） 24a 3b 3c 3

3．下列因式分解中，正确的是（ ）

（A ）()63632-=-m m m m （B ）()b ab a a ab b a +=++2

（C ）()2222y x y xy x --=-+- （D ）()2

22y x y x +=+ 4．下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（ ）

（A ）42+a （B ）22-a （C ）42+-a （D ）42--a

5．把－6(x －y)3－3y(y －x)3分解因式，结果是( )．

（A ）－3(x －y)3(2＋y )

（B ） －(x －y)3(6－3y) （C ）3(x －y)3(y ＋2) （D ） 3(x －y)3(y －2)

6．下列各式变形正确的是（ ）

（A ）()b a b a --=-- （B ）()b a a b --=-

（C ）()()22b a b a +-=-- （D ）()()2

2b a a b --=- 7．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( )．

（A ）4x 2－1 （B ）4x 2＋4x －1 （C ）x 2－xy ＋y 2 D ．x 2－x ＋12