运筹学中运输问题求解算法及其扩展研究

运输问题是社会经济生活和军事活动中经常出现的优化问题 ， 是特殊的线性规划问题 ， 它是早期的
［］ ［］ 线性网络最优化的一个例子 。 最 早 研 究 这 类 问 题 的 Ｈ ｉ ｔ ｃ ｈ ｃ ｏ ｃ ｋ１ 以 及 后 来 的 Ｋ ｏ ｏ ｍ ａ ｎ ｓ２ 独 立 地 提 出 运 ｐ ［ ３］ 输问题并详细地对该问题加以 讨 论 ； 同 时 К а н т о о в и ч 也围绕着运输问题作了 大量的研 究，因 此 运 输 р
ｉ＝１
ｊ＝１
ｂ ）的数学模型为 ：
ｊ ｎ
…， ｉ ＝ １， ２， ｍ） ｉ ｉ （ 烄ｘ ｊ ＝ａ
ｊ＝１ ｍ ｉ ｊ ｍ ｎ ｉ ｊ ｉ ｊ
ｉ ｎ ｚ＝ ｍ
ｉ＝１ ｊ＝１
ｃｘ
． ｔ ． ｓ 烅
ｉ＝１
ｘ
＝ｂ ｊ
（ …， ２， ｎ） ｊ ＝ １，
（ …， …， ｘ ｉ ＝ １， ２， ｍ， ２， ｎ） ｊ ＝ １， ｉ ｊ ≥０ 烆 但是一般来说 ， 产销平衡总不一定能够满足 ， 所以可以通过下面 ２ 种方法将不满足产销平衡的运输问 题转化为产销平衡的运输模型 。
·１·
：１ ／ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ３ ｄ ｏ ｉ ０ ． ３ ９ ６ ９ １ ４ ０ ９ ． ２ ０ １ １ ． １ ０ ． ０ ０ １ － ｊ
运筹学中运输问题求解算法及其扩展研究
王广民 ， 马林茂 ， 李兰兰
（ ） 中国地质大学 （ 武汉 ） 经济管理学院 ， 湖北 武汉 ４ ３ ０ ０ ７ ４
２ ６］ ２ ７］ ， 莫 松 海 和 喻 晓 峰［ 数 ， 并针对这种 推 广 模 型 建 立 了 多 项 式 时 间 算 法 。 程 国 忠 ［ 提出利用连续
Ｈ ｏ ｆ ｉ ｅ ｌ ｄ 网络求解 Ｂ 运输问题 。 ｐ ） 带容量限制的运输问题 传统的运输问题只含有资源和需求 ２ 个 约 束 ， 但 在 现 实 问 题 中 往 往 还 ２
ｎ
２ ０ １ １年１ ０月
即 ａ 当总的产量大于总的销量时 ， ｉ＞
ｉ＝１ ｍ ｎ
ｊ＝１
可以增加一个虚的销点 Ｂ ｂ ，
ｊ
ｎ １ ＋
， 实际上就是将多余的货
物在其产地就地贮存 ， 且ｂ ｎ １ ＝ ＋
ｉ＝１
（ ，， …， 。 同时令ｃ ｍ） ， ｉ－ ｊ， ｉ ｎ １ ＝ ０ｉ ＝ １ ２ ＋ ａ ｂ
调优回路的方法 。 但是表上作业法计算量庞大 ， 且表上计算很难用计算机语言编程计算来实现庞大计算 量的求解 ， 因此该法一般较适合于求解少量个数产销地的运输问题 。 ） 图上作业法 图上作业法就是要找出 没 有 对 流 和 迂 回 的 最 优 运 输 方 案 ，它 是 一 种 在 交 通 路 线 图 ２ 上进行编制调运方案的方法 ， 其基本思想 ： 先找出一个没有对流的初始方案 ，再检查有没有迂回 ，如 果
长江大学学报 （ 自然科学版 ） ２ ０ １ １年１ ０月 第８卷 第１ ０期 ） Ｏ Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｙ ａ ｎ ｔ ｚ ｅ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ Ｎ ａ ｔ Ｓ ｃ ｉ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｃ ｔ ． ２ ０ １ １，Ｖ ｏ ｌ ． ８Ｎ ｏ ． １ ０ ｇ ｙ（
］ 则采用自适应伪并行遗传算法求解三维运输问题 。 论上确保 Ｌ Ｔ Ｐ 约束条件的满足 。 文献 ［ １ ６ １ ７ － ［８］ １ ９］ ， 物 流 配 送 运 输 规 划 算 法［ ， Ｈ ｏ ｆ ｉ ｅ ｌ ｄ 神经网络在运输问 题 中 的 应 用 主 要 有 物 资 调 配 优 化 问 题 １ ｐ ］ 利用 Ｈ 以及文献 ［ ２ ０ ｏ ｆ ｉ ｅ ｌ ｄ 神经网络中 能 量 函 数 的 概 念 和 含 义 确 定 网 络 电 路 的 参 数 并 证 明 系 统 的 稳 ｐ 定性 。 虽然智能算法在求解优化问题上有传统方法不可比拟的优势 ， 而且在求解运输问题上取得了成功的 应用 ， 但是它们也有自身的缺陷 。 因此很难用它来描述层次化的问题 ， 也就不能描述计算机程序 ， 从而 缺乏动态可变性 。 神经网络易收敛于局部最优解且带有一定的 “ 黑箱 ” 操作 ， 在一定程度上限制了它的 应用 。
］ ４ ５ ６］ － 。 并且有许 多 学 者 对 该 方 法 进 行 了 深 入 研 究 ， 如 陈 绍 顺 等 ［ 一种简化方法 ， 其实质是单纯形法 ［ 提出 ７］ 了最小损失闭回路调整法 ； 张鸣龙 ［ 指出当运输问题的基可行解出现退化时 ， 用闭合回路法和位势法 有 ８］ 针对这一情况给出了判断和寻找 时会出现算出某个检验数为负 ， 却找不出调优回路的现象 。 刘家学等 ［
ｊ＝１ ｍ ｎ ｎ ｉ ＜ ａ
当总的销量大于总 的 产 量 时 ， 即
ｍ
ｉ＝１
ｊ＝１
可 以 增 加 一 个 假 想 的 产 地 Ａｍ＋１ ， 且ａ ｍ＋ １ ＝ ｊ， ｂ
ｊ＝１
ｂ －
ｊ
ｉ＝１
同时令ｃ ａ ，
ｊ
ｍ＋ １， ｊ
（ …， 。 ２， ｎ） ＝０ ｊ ＝ １，
１ ． ２ 求解算法 ） 表上作业法 传统运输问题的类型是线性 、 单目标 、 平 衡 、 二 维 问 题 ， 由 于 它 的 约 束 方 程 组 的 １ 系数矩阵具有特殊的结构 ， 因此一般使用表上作业法求解 。 表上作业法是单纯形法在求解运输问题时的
［ 摘要 ］ 运输问题是特殊的线性规划 ， 在运筹学中占有重要 地 位 。 从 运 输 问 题 的 基 本 模 型 入 手 ， 介 绍 了 求 解运输问题的表上作业法 、 图上作业法和智能算法 ， 然 后 论 述 了 运 输 问 题 的 扩 展 ： 几 种 单 目 标 运 输 问 题 的模型和多目标运输问题的模型及其算法 ， 最后介绍了运输悖论问题 。 ［ 关键词 ］ 运筹学 ； 运输问题 ； 表上作业法 ； 图上作业法 ； 智能算法 ［ 中图分类号 ］Ｏ ２ ２ ４ ［ ）１ 文献标识码 ］Ａ ［ 文章编号 ］１ ６ ７ ３ １ ４ ０ ９（ ２ ０ １ １ ０ ０ ０ ０ １ ０ ５ － － －
问题又称为 Ｈ ｉ ｔ ｃ ｈ ｃ ｏ ｃ ｋ 问题或 Ｋ ａ ｎ ｔ ｏ ｒ ｏ ｖ ｉ ｃ ｈ 问题 。 运输问题不仅代表了物资合理 调 运 、 车 辆 合 理 调 度 等 问题 ， 有些其他类型的问题经过适当变换后也可以归结为运输问题 ， 如指派问题 、 最短路问题 、 最小费 用流问题可转化为运输问题或转运问题 。 运输问题在运筹学教学过程中占有重要地位 ， 并且得到了众多学者的广泛关注 ， 取得了许多重要的 研究成果 。 但在常用的运筹学教材中 仅 仅 介 绍 运 输 问 题 的 基 础 知 识 ， 对 于 运 输 问 题 的 前 沿 发 展 没 有 涉 及 ， 这远远不能反映当前对运输问题的深入研究 。 为此 ， 笔者在介绍运输问题的基本理论和方法的基础 上 ， 运用综述文献的方法介绍运输问题的研究进展 ? 。
ｍ ｎ
表 １ 运输问题
产地
Ａ１ Ａ２ Ａｍ 销量
Ｂ １ ｃ １ １ ｃ ２ １ ｃ ｍ １ ｂ １
销 地 … Ｂ ２ … ｃ １ ２ … ｃ ２ ２ … ｃ ｍ ２ … ｂ ２
Ｂ ｎ ｃ １ ｎ ｃ ２ ｎ ｃ ｍ ｎ ｂ ｎ
产量
ａ １ ａ ２ ａ ｍ
在产销平衡条件下 （ ａ ｉ＝
第８卷 第１ ０期
王广民等 ： 运筹学中运输问题求解算法及其扩展研究
［ ２ ３］
·３·
算法 。 贾春玉等
等利用 简 单 Biblioteka Baidu 数 学 方 法 把 多 目 标 规 划 法 简 化 为 单 一 目 标 ， 简 化 为 传 统 运 输 问 题 模
２ ４］ 等分析了有严格时间限制的大宗 型 ， 给出了一种带时间约束运输问 题 的 简 便 解 法 。 陆 朝 荣 ， 朱 焕 勤 ［
１ 运输问题及其求解算法
１ ． １ 运输问题 …， ， 其产量分别 ｉ＝ １， ２， ｍ） 设某物资有 ｍ 个产地 Ａｉ（ （ ， ， …， ） ； （ ， ， …， ， 为ａ 有 个销地 其销 ｍ ｎ Ｂｊ ｊ ＝１ ２ ｎ） ｉ ｉ＝ １ ２ …， ； 从Ａ 量 分别为ｂ ２， ｎ） ｊ＝１， ｉ 到Ｂ ｊ（ ｊ 运输单位物资的运 （ ，， …， …， ，如表 １ 所 价（ 单价 ）为ｃ ｍ； ２， ｎ） ｊ ＝ １， ｉ ｊ ｉ＝ １２ 示 ， 试求总运费最小的调运方案 。
９］ 。 在有许多圈的交通 没有迂回 ， 该方案为最优方案 ； 如果有迂回 ， 则调整这一方案 ， 直至无迂回为止 ［
］ 引入迂 图中 ， 若已求得一个无对流的方案 ， 然后通过调整旧方案 ， 可以尽快得到最优方案 。 文献 ［ １ ０ 回数的概念 ， 根据运输量减少最快的思想 ， 得到了改进的图上作业法能尽快得到最优方案 。 图上作业法 虽然简便易行 ， 但是遇到线路复杂的情况时 ， 用计算机程序解决会有许多困难 。 而且图上作业法找到的 最优调运方案 ， 可能平均运费值最小 ， 但总的运费不一定最小 。 ） 智能算法 目前用于求解运输问题的智能算法主要是遗传算法和 Ｈ ３ ｏ ｆ ｉ ｅ ｌ ｄ 神经网络算法 。 ｐ ［ １ １］ 遗传算法在运输问题中的应用主 要 有 平 衡 非 线 性 运 输 问 题 、 双 目 标 运 输 问 题 及 多 目 标 三 维 运 输
［ ２ ８］ 需要考虑运输容量的限制 。１ ９ ５ ５年 ，Ｈ ａ ｌ ｅ ｙ 首次提出了不同的运输方式有不同的容量限制的运输问
题 ， 并称之为立体运输问题 。 在近几十年的发展中基于确定和不确定环境的立体运输问题的解法和算法
［ ２ ９］ ３ ０］ ３ １］ 不断涌现 ， 比较代表性的有 ： 模糊立体运输问题 （ 及神经网络算法 ［ 和遗传算法 ［ 具有模糊 Ｆ Ｓ Ｔ Ｐ） ［ ［ ３ ２］ ３ ３］ 权重的立体运输问题的可 信 性 理 论 和 机 会 测 度 理 论 。１ ９ ５ ９ 年， Ｗ ａ ｎ ｅ ｒ 又提出了变量有界的运输 ｇ
收稿日期 ］２ ０ １ １ ０ ８ １ ３ ［ － － 作者简介 ］ 王广民 ， 男 ， 博士 ， 副教授 ， 现主要从事优化理论与方法方面的教学与研究工作 。 ［ ） 。 Ｃ ＵＧＹ Ｃ Ｘ Ｋ ０ ８ １ ３ ? 中国地质大学研究生培养模式与教学改革项目 （
·２·
ｍ
长江大学学报 （ 自然科学版 ）
１ ２］ １ ３］ 、 产销不平衡运输问题 ［ 。然 而 这 些 算 法 具 有 速 度 慢，交 叉 变 异 算 子 全 局 搜 索 能 力 差 等 缺 点， 问题 ［ １ ４］ 而且还不能直接求解实数问题 。 因 此 ， 张 美 玉 等 ［ 提 出 一 种 新 的 进 化 算 法 ， 该 算 法 在 ＧＡ 操 作 的 基 础 １ ５］ 上 ， 引进差异进化 ［ 的思想 ， 增加了 重 组 操 作 ， 并 结 合 变 异 操 作 ， 以 增 强 全 局 搜 索 能 力 ， 同 时 能 在 理
２ 运输问题的扩展
２ ． １ 单目标运输问题 ） 带时间约束的运输问题 传统的运输问题是在给定的条件下 ， 求总运费最少的运输方案 。 但 是 １ 在特殊情况下 ， 如战时军用物资的运输 ， 抢险救灾物资的运输等 ， 首要考虑的应该是在最短的时间内把 物资运送到所需要的地点 ， 即运输的时效性 ， 其次才是运输费用的问题 。 这类问题称为带时间约束的运
物资运输车辆配置问题的特点 ， 对各需求点时间限制进行排序 、 分级 ， 将问题分为若干个阶段 ， 建立了
２ ５］ 等提出了基本最短时限运输 任一阶段的整数目标规划模型 ， 采 用 序 贯 式 算 法 求 解 模 型 。 董 丽 ， 林 琳 ［
问题的一个推广模型 ， 即运输时间与 运 输 量 相 关 的 最 短 时 限 运 输 问 题 ， 把 时 间 函 数 推 广 到 单 调 递 增 函
［１］ ［２］ 输问题 。１ 就提出了时间最小化的运输问题 。１ 把这类带时间约束 ９ ８ ９ 年 ，Ｈ ａ ｍｍ ｅ ｒ２ ９ ９ ７ 年 ， 白国仲 ２
— —表 上 作 业 法。 然 而 表 上 的运输问题总结为 Ｂ 运输问题 ， 并 给 出 了 Ｂ 运 输 问 题 的 数 学 模 型 及 其 解 法 — 作业法过程繁琐 ， 计算量大 ， 在实际中不易于掌握和应用 。 后来很多学者在此基础上又提出了一些改进