中考数学试题中的方案设计问题

中考数学试题中的方案设计问题

近几年来全国各地的中考数学试题中，贴近生活关注社会热点的应用性试题逐年增多，其中不少是关于方案设计问题，体现了新课程的理念。 以中考题为例，谈谈这类试题的解法。

一、用方程组的非负整数解的组数确定方案种数

例1： 一宾馆有二人间，三人间，四人间三种客房供游客租住。某旅行团20人准备同时租住这三种客房共7间，问：每一个房间都住满，租房方案有（ ）。

A : 4种

B ： 3种

C ： 2种

D ：1种

分析：题设中存在两个等量关系，启示我们应用方程组的知识来求解。

解：设需二人间X 间，三人间Y 间，四人间Z 间

由题意可知⎩

⎨⎧=++=++204327z y x z y x 消去X 得：y －2z=6即y=6－2z

由y ，z 为非负整数可知：z=0，1，2，3四个值，则对应的x ，y ，z 的值如下：

⎪⎩⎪⎨⎧===061x y x ⎪⎩⎪⎨⎧===142z y x ⎪⎩⎪⎨⎧===223z y x ⎪⎩⎪⎨⎧===304z y x

∵y ，z 不为零，则有两种方案，故选C 。 二、应用不等式组的正整数解确定最佳方案

例2： 迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A 、B 两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．

（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．

（2）若搭配一个A 种造型的成本是800元，搭配一个B 种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？

分析：题设中隐含两个不等关系：甲种花卉不超过3490盒，乙种花卉不超过2950盒，从而列出不等式组求解。

解：设搭配A 种造型x 个，则B 种造型为(50)x -个，

依题意，得：

8050(50)34904090(50)2950x x x x +-⎧⎨+-⎩≤≤解得：3331x x ⎧⎨⎩≤≥，∴3133x ≤≤ ∵x 是整数，x 可取31、32、33，

∴可设计三种搭配方案：①A 种园艺造型31个，B 种园艺造型19个；②A 种园艺造型32个，B 种园艺造型18个；③A 种园艺造型33个，B 种园艺造型17个．

方案①需成本：31×800+19×960=43040（元）；

方案②需成本：32×800+18×960=42880（元）；

方案③需成本：33×800+17×960=42720（元）；

∴应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元．

三、用一次函数的增减性确定最佳方案

例3 为迎接国庆六十周年，某校团委组织了“歌唱祖国”有奖征文活动，并设立了一、二、

第23题图（1）

第23题图（2） 三等奖．学校计划派人根据设奖情况买50件奖品，其中二等奖件数比一等奖件数的2倍还少10件，三等奖所花钱数不超过二等奖所花钱数的1.5倍．各种奖品的单价如下表所示．如果计划一等奖买x 件，买50件奖品的总钱数是w 元．

（1）求w 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；

（2）请你计算一下，如果购买这三种奖品所花的总钱数最少？最少是多少元？ 解：（1）1210(210)5[50(210)]x x x x ω=+-+---

17200x =+．

由02100[50(210)]0

5[50(210)] 1.510(210)x x x x x x x >⎧⎪->⎪⎨--->⎪⎪---⨯-⎩≤

得1020x <≤

∴自变量的取值范围是1020x <≤，且x 为整数．

（2）∵170k =>，∴ω随x 的增大而增大，当10x =时，有ω最小值．

最小值为1710200370ω=⨯+=．

答：一等奖买10件，二等奖买10件，三等奖买30件时，所花的钱数最少，

最少钱数是370元．

四、用二次函数的最值确定最佳方案

例4： 已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．

经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．

解：设当日零售价为x 元，由图可得日最高销量32040w m =-

当m ＞60时，x ＜6.5

由题意，销售利润为

2(4)(32040)40[(6)4]y x m x =--=--+

当x ＝6时，160y =最大值，此时m ＝80

即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ， 当日可获得最大利润160元．