专题四立体几何中_如何有效建立空间直角坐标系。

又 ∵ AQ OP,∴ AQ 平面OCD ,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离
∵OP OD2 DP2 OA2 AD2 DP2 4 1 1 3 2 AP DP 2
2 2，
2
∴ AQ OA AP 2
2 2 2
OP 3 2 3
2
2
，所以点 B 到平面 OCD 的距离为 3
∵ DG (0，y，z)，PC (0，2， 2) ，且 DG· PC 0 ，
则z
2 y ，∴可取 DG (0，1，2) ．
∵ EF
再作 EF PC 于 F ，并设 F(0，m，n) ，
3 2
，m
1，n 2
，
且 EF· PC 0 ，则 n
2m
2 2
，∴又取
EF
3 2
，1， 2 22
(3)设点 B 到平面 OCD 的交流为 d ,则 d 为 OB 在向量 n (0, 4, 2) 上的投影的绝对值,
d OB n 2
2
由 OB (1, 0, 2) , 得
n 3 .所以点 B 到平面 OCD 的距离为 3
∵MN n (1 2 , 2 , 1) (0, 4, 2) 0 44
MN‖ 平面OCD
(2) 设 AB 与 MD 所 成 的 角 为 x
∵ AB (1, 0, 0), MD ( 2 , 2 , 1)
,
22
A
B
N
D CP y
∴cos AB MD 1 ,∴
AB MD 2
3 , AB 与 MD 所成角的大小为 3
专题四：高考立体几何专题复习
主要是掌握建立空间直角坐标系的时候，要选择适当的坐标系，我们建
系的原则是：尽量使更多的点落在坐标轴上。同时要注意：紧紧抓住题
目条件中的垂直字眼，然后再考虑如何建系。点的坐标不好写出来时，
记住：：一定要把涉及到该点的图形拿出来，使之平面化，再去写点的
坐标！
例 1、如图 2，在四棱锥 P ABCD ，底面 ABCD 为矩形， PD 底面 ABCD ， E 是 AB 上一
PD 2，CD 2，AE 1
点， PE EC ．已知
2 ．求：
1.异面直线 PD 与 EC 的距离；
2.二面角 E PC D的大小．
ABC
例 2、（安徽）如图，在四棱锥 O ABCD中，底面 ABCD四边长为 1 的菱形，
4,
OA 底面ABCD , OA 2 , M 为 OA 的中点， N 为 BC 的中点
．
由 DG PC ， EF PC ，可知 DG 与 EF 的夹角就是所求二面角 的大小，
∴cos DG· EF 2
π
DG EF 2 ，即所求二面角为 4 ．
例二：
方法一：（1）证明：取 OB 中点 E，连接 ME，NE ME‖AB,AB‖CD，ME‖CD NE‖OC,平面MNE‖平面OCD MN‖平面OCD （2） CD‖AB, ∴MDC 为异面直线 AB 与 MD 所成的角（或其补角） 作 AP CD于P, 连接 MP ∵OA 平面A B C D ，∴CD MP
a，12，0
．
（1）∵PE CE ，∴PE· CE 0 ，解得 a
3
2 ．∴DE· CE 0 ，即 DE CE ，
又 DE PD ，故 DE 是异面直线 PD 与 EC 的公垂线．
而 DE 1，即异面直线 PD 与 EC 的距离为 1． （2）作 DG PC ，并设 G(0，y，z) ，
∵ADP ,∴DP = 2
4
2
MD MA2 AD2 2
，
∴cos MDP DP 1 , MDC MDP
MD 2
3 所以 AB 与 MD 所成角的大小为 3
（3）∵ AB‖平面OCD,∴点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等，连接 OP,过点 A 作
AQ OP 于点 Q，∵ AP CD,OA CD,∴CD 平面OAP,∴ AQ CD
O
（Ⅰ）证明：直线 MN‖ 平面OCD ；
（Ⅱ）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点 B 到平面 OCD 的距离。
M
A
D
B
NC
答案
例一：解：以 D 为坐标原点， DA，DC，DP 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐 标系，
并设
DA
a
，则
A(a，0，0)，B(a，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，P(0，0，2)，E
2
22
44 ,
MN (1 2 , 2 , 1),OP (0, 2 , 2),OD ( 2 , 2 , 2)
(1)
44
2
22
设平面 OCD 的法向量为 n (x, y, z) ,则 n OP 0, n OD 0
2 2
y 2z 0
即
2 x 2
2 y 2z 0 2
zO M
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取 z 2 ,解得 n (0, 4, 2)
方法二(向量法) 作 AP CD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x, y, z 轴建立坐标系
A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), P(0, 2 , 0), D( 2 , 2 , 0), O(0, 0, 2), M (0, 0,1), N (1 2 , 2 , 0)