2019-2020年上海市交大附中高一上期中数学试卷
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上海交大附中高一上学期期中考试（数学）（满分100 分， 90 分钟完成，同意使用计算器，答案一律写在答题纸上）一．填空题：（共12 小题，每题 3 分）1.A={1},B={x|x A} ，用列举法表示会集 B 的结果为 _________ 。
2.已知会集 A={(x,y)|y=x+3}， B={(x,y)|y=3x-1} ，则 A ∩B=________ 。
3.写出 x>1 的一个必要非充分条件__________ 。
4.不等式11 的解集为_____________。
（用区间表示） x5.命题“已知 x、 y∈ R，若是 x+y ≠ 2，那么 x≠ 0 或 y≠ 2. ”是 _____ 命题。
（填“真”或“假”）6.2会集 A={x|(a-1)x+3x-2=0} 有且仅有两个子集，则a=_________ 。
7.若不等式 |ax+2|<6的解集为（ -1 ， 2），则实数 a 等于 _________ 。
8.不等式4x x2>x 的解集是 ____________ 。
9.已知 a2 +b 2=1 ，则a 1 b2的最大值为 ___________ 。
10.19和各代表一个自然数，且满足+ =1 ，则当这两个自然数的和取最小值时，=_______, =_______.11.已知会集A={-1 ， 2} ， B={x|mx+1>0}，若 A ∪ B=B ，则实数 m 的取值范围是 _________ 。
12.若是关于x 的三个方程 x2 +4ax-4a+3=0 ， x2+(a-1)x+a2=0 ， x 2+2ax-2a=0 中，有且只有一个方程有实数解，则实数 a 的取值范围是_______________ 。
二．选择题：（共 4 小题，每题 3 分）13.设命题甲为“0<x<5 ”，命题乙为“|x-2|<3 ”，那么甲是乙的：（）（ A ）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（ C）充要条件；（D）既非充分又非必要条件14. 以下命题中正确的选项是：（）（ A ）若 ac>bc ，则 a>b(B)若 a2>b 2，则 a>b11(D)若 a b ，则a<b（ C）若，则 a<ba b15.设x>y>0，则以下各式中正确的选项是：（）（ A ） x> xy> xy >y （ B ） x> xy >xy>y22（ C ） x>xy> y >xy （ D ） x> xy > y >x y2216. 以下每 中两个函数是同一函数的 数共有：（）（ 1 ） f(x)=x 2 +1 和 f(v)=v 2+1（２） y1 x2 和 y1 x 2| x 2 | x 2（３） y=2x ， x ∈ {0,1} 和 y= 1 x 2 5 x 1， x ∈ {0,1}6 6 （４） y=1 和 y=x 0（５） y=x 1 x 2 和 yx 2 3x 2（ 6 ） y=x 和 y 3x 3（A ）1（B ）3（C ） 2 （D ）4三．解答题： （共 5 小 ，本大 要有必要的 程）17. （本 8 分）已知会集A x x a 1 ， Bx x 2 5x 4 0 ，且 AB ，求 数 a 的取 范 。
2020-2021学年上海交大附中高一(上)期中数学试卷
2020-2021学年上海交大附中高一（上）期中数学试卷一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题4分，共54分）1．（4分）已知全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∩＝．2．（4分）函数y＝a x+2020+2022（a＞0，a≠1）的图象恒过定点．3．（4分）已知幂函数f（x）＝（n2+2n﹣2）（n∈Z）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上时减函数，则n的值为．4．（4分）函数y＝的图象的对称中心是．5．（4分）函数y＝的定义域是．6．（4分）已知实数a满足（2a﹣1）＞（a+1），则实数a的取值范围是．7．（5分）已知x＜6，求，的最大值．8．（5分）设log c a、log c b是方程x2+5x﹣3＝0的两个实根，则log c＝．9．（5分）著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是．10．（5分）若关于x的方程22x+a•2x+2a+1＝0（a∈R）有实根，则实数a的取值范围是．11．（5分）已知函数f（x）＝lg（+ax）的定义域为R，则实数a的取值范围是．12．（5分）若实数x、y满足4x+4y＝2x+1+2y+1，则S＝2x+2y的取值范围是．二、选择题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知a，b∈R，则“3a＞3b”是“a3＞b3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（5分）已知函数f（x）＝log a（x+b）的大致图象如图，其中a，b为常数，则函数g（x）＝a x+b的大致图象是（）A．B．C．D．15．（5分）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割（M，N），下列选项中，不可能成立的是（）A．M没有最大元素，N有一个最小元素B．M没有最大元素，N也没有最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M有一个最大元素，N没有最小元素16．（5分）设函数y＝f（x）的定义域D，若对任意的x1∈D，总存在x2∈D，使得f（x1）•f （x2）＝1，则称函数y＝f（x）具有性质M下列结论：①函数y＝3x具有性质M；②函数y＝x3﹣x具有性质M；③若函数y＝log8（x+2），x∈[0，t]具有性质M，则t＝510．其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个三、解答题（共5题，满分76分）17．（14分）已知函数y＝f（x）满足f（x）＝|x﹣a2|+|x﹣2a+1|（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥4的解集；（2）若f（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围．18．（14分）有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝log3﹣lgx0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（1）若x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km/min，雌鸟的飞行速度为1km/min，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？（lg2≈0.3）19．（14分）柯西不等式具体表述如下：对任意实数a1，a2，……a n和b1，b2，……b n，（n∈Z，n≥2）都有（a12+a22+……+a n2）（b12+b22+……+b n2）≥（a1b1+a2b2+……+a n b n）2.当且仅当＝＝……＝时取等号．（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a，b，x，y，不等式+≥成立，（并指出等号成立条件）；（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数x1，x2，……x n，且x1+x2+……+x n＝1．求证：++……+≥（并写出等号成立条件）．20．（16分）已知函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝a x（a＞0，a≠1），且f（﹣2）＝．（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）若log2（（m﹣f（x））2+4f（x））＝0在区间[0，2]上有解，求实数m的取值范围；（3）已知≤k＜1，若方程|f（x）﹣1|﹣k＝0的解分别为x1、x2（x1＜x2）方程|f（x）﹣1|﹣＝0的解分别为x3、x4（x3＜x4）求x1﹣x2+x3﹣x4的最大值．21．（18分）对于正整数集合A＝{a1，a2，……，a n}（n∈N*，n≥3），如果任意去掉其中一个元素a i（i＝1，2，……，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”；（Ⅰ）判断集合{1，2，3，4，5}和{1，3，5，7，9，11，13}是否是“可分集合”（不必写过程）；（Ⅱ）求证：五个元素的集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}一定不是“可分集合”；（Ⅲ）若集合A＝{a1，a2，……，a n}（n∈N*，n≥3）是“可分集合”．①证明：n为奇数；②求集合A中元素个数的最小值．2020-2021学年上海交大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题4分，共54分）1．【解答】解：∵全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，∴，．故答案为：{1}．2．【解答】解：∵函数y＝a x+2020+2022，∴令x+2020＝0得：x＝﹣2020，此时y＝2023，∴函数的图象恒过定点（﹣2020，2023）．故答案为：（﹣2020，2023）．3．【解答】解：函数f（x）＝（n2+2n﹣2）（n∈Z）为幂函数，∴n2+2n﹣2＝1，解得n＝1或n＝﹣3；当n＝1时，f（x）＝x﹣2，其图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数；当n＝﹣3时，f（x）＝x18，其图象关于y轴对称，但在（0，+∞）上是增函数；∴n的值应为1．故答案为：1．4．【解答】解：因为＝＝﹣3+即y+3＝，可设y′＝y+3，x′＝x+2得到y′＝所以y′与x′成反比例函数关系且为奇函数，则对称中心为（0，0）即y′＝0，x′＝0得到y＝﹣3，x＝﹣2所以函数y的对称中心为（﹣2，﹣3）故答案为（﹣2，﹣3）5．【解答】解：函数y＝中，令＞0，所以0＜＜1，即，所以，解得，即x＞7，所以函数的定义域是（7，+∞）．故答案为：（7，+∞）．6．【解答】解：∵实数a满足，∴，解得0.5＜a＜2，∴实数a的取值范围是（0.5，2）．故答案为：（0.5，2）．7．【解答】解：由＝＝（x﹣6）+，∵x＜6，∴＝﹣[（6﹣x）+]＝﹣16，当且仅当x＝﹣2时，取等号；∴由＝＝（x﹣6）+≤0．即的最大值为0．故答案为：0．8．【解答】解：根据题意，log c a、log c b是方程x2+5x﹣3＝0的两个实根，则，变形可得：（log c a﹣log c b）2＝（log c a+log c b）2﹣4×（log c a log c b）＝37，则log c a﹣log c b＝±，即log c＝±，则log c＝＝±，故答案为：±．9．【解答】解：由反证法的定义得假设的内容为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和，故答案为：存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和10．【解答】解：令2x＝t（t＞0），则方程22x+a•2x+2a+1＝0化为t2+at+2a+1＝0，要使原方程有实根，则方程t2+at+2a+1＝0有大于0的实数根，转化为a＝＝＝，∵t＞0，∴t+2＞2，则＝，当且仅当t+2＝，即t＝时上式等号成立．∴实数a的取值范围是（﹣∞，4﹣2]．故答案为：（﹣∞，4﹣2]．11．【解答】解：函数f（x）＝lg（+ax）的定义域为R，∴+ax＞0恒成立，∴＞﹣ax恒成立，设y＝，x∈R，y2﹣x2＝1，y≥1；它表示焦点在y轴上的双曲线的一只，且渐近线方程为y＝±x；令y＝﹣ax，x∈R；它表示过原点的直线；由题意知，直线y＝﹣ax的图象应在y＝的下方，画出图形如图所示∴0≤﹣a≤1或﹣1≤﹣a≤0，解得﹣1≤a≤1；∴实数a的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．12．【解答】解：∵4x+4y＝（2x+2y）2﹣2••2x2y＝s2﹣2•2x2y，2x+1+2y+1＝2（2x+2y）＝2s，故原式变形为s2﹣2•2x2y＝2s，即2•2x2y＝s2﹣2s，∵0＜2•2x2y≤2•（）2，即0＜s2﹣2s≤，当且仅当2x＝2y，即x＝y时取等号；解得2＜s≤4，故答案为（2，4]．二、选择题（每小题5分，共20分）13．【解答】解：由3a＞3b是得a＞b，由“a3＞b3”得a＞b，即“3a＞3b”是“a3＞b3”的充要条件，故选：C．14．【解答】解：由函数f（x）＝log a（x+b）的图象为减函数可知0＜a＜1，f（x）＝log a（x+b）的图象由f（x）＝log a x向左平移可知0＜b＜1，故函数g（x）＝a x+b的大致图象是B故选：B．15．【解答】解：若M＝{x∈Q|x＜0}，N＝{x∈Q|x≥0}；则M没有最大元素，N有一个最小元素0；故A正确；若M＝{x∈Q|x＜}，N＝{x∈Q|x≥}；则M没有最大元素，N也没有最小元素；故B 正确；M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能，故C不正确；若M＝{x∈Q|x≤0}，N＝{x∈Q|x＞0}；M有一个最大元素，N没有最小元素，故D正确；故选：C．16．【解答】解：函数y＝f（x）的定义域D，若对任意的x1∈D，总存在x2∈D，使得f（x1）•f（x2）＝1，则称函数y＝f（x）具有性质M．对于①：f（x）＝3x的定义域为R，所以，则x1+x2＝0．对任意的x1∈D，总存在x2∈D，使得f（x1）•f（x2）＝1，所以函数y＝3x具有该性质．对于②：函数f（x）＝x3﹣x，在R上的定义域为R，所以若取x1＝0，则f（x1）＝0，此时不存在x2∈R，使得f（x1）•f（x2）＝1．对于③：函数f（x）＝log8（x+2），在x∈[0，t]的值域为[，则：，解得t＝510．故③正确．故选：C．三、解答题（共5题，满分76分）17．【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝|x﹣4|+|x﹣3|，f（x）≥4等价为或或，解得x≤或x∈∅或x≥，则不等式f（x）≥4的解集为{x|x≤或x≥}；（2）f（x）≥4恒成立等价为f（x）min≥4．由f（x）＝|x﹣a2|+|x﹣2a+1|≥|x﹣a2﹣x+2a﹣1|＝a2﹣2a+1，当（x﹣a2）（x﹣2a+1）≤0时，上式取得等号，则a2﹣2a+1≥4，解得a≥3或a≤﹣1．18．【解答】解：（1）将x0＝5，v＝0代入函数v＝log3﹣lgx0，得：，即＝2（1﹣lg2）≈1.40，所以，所以x＝466．故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为x1，雌鸟每分钟耗氧量为x2，由题意可得：，两式相减可得：，所以，即，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍．19．【解答】证明：（1）对任意正实数a，b，x，y，由柯西不等式得，当且仅当时取等号，∴．（2）∵x1+x2+…+x n＝1，∴n+1＝（1+x1）+（1+x2）+…+（1+x n），∵＝，当且仅当时取等号，∴．20．【解答】解：（1）由f（﹣2）＝，可得a﹣2＝，又a＞0，∴a＝2，∴f（x）＝2x；（2）由log2（（m﹣f（x））2+4f（x））＝0可得：（m﹣f（x））2+4f（x）＝1，令t＝f（x），x∈[0，2]，则有t2+（4﹣2m）t+m2﹣1＝0，t∈[1，4]，∵log2（（m﹣f（x））2+4f（x））＝0在区间[0，2]上有解，∴t2+（4﹣2m）t+m2﹣1＝0在t∈[1，4]上有解，令g（t）＝t2+（4﹣2m）t+m2﹣1＝0，t∈[1，4]，可得：△＝（4﹣2m）2﹣4（m2﹣1）＝20﹣16m，对称轴方程为：t＝m﹣2，∵g（1）＝m2﹣2m+4＞0，g（4）＝m2﹣8m+31＞0，∴，解得：m∈∅；（3）由|f（x）﹣1|﹣k＝0，得f（x）＝1﹣k，或f（x）＝1+k，所以，，∴，由|f（x）﹣1|﹣＝0，得，＝，∴，∴＝﹣3+；又因为≤k＜1，所以﹣3+≥3；∴x2﹣x1+x4﹣x3≥log23，∴x1﹣x2+x3﹣x4≤﹣log23．即x1﹣x2+x3﹣x4的最大值为﹣log23．21．【解答】解：（Ⅰ）集合{1，2，3，4，5}不是“可分集合”，集合{1，3，5，7，9，11，13}是“可分集合”；（Ⅱ）不妨设a1＜a2＜a3＜a4＜a5，若去掉的元素为a2，将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a1+a5＝a3+a4①，或者a5＝a1+a3+a4②；若去掉的元素为a1，将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a2+a5＝a3+a4③，或者a5＝a2+a3+a4④．由①、③，得a1＝a2，矛盾；由①、④，得a1＝﹣a2，矛盾；由②、③，得a1＝﹣a2，矛盾；由②、④，得，a1＝a2矛盾．因此当n＝5时，集合一定不是“可分集合”；（Ⅲ）①设集合A＝{a1，a2，…，a n}的所有元素之和为M．由题可知，M﹣a i（i＝1，2，…，n）均为偶数，因此a i（i＝1，2，…，n）均为奇数或偶数．如果M为奇数，则M﹣a i（i＝1，2，…，n）也均为奇数，由于M＝a1+a2+…+a n，所以n为奇数．如果M为偶数，则M﹣a i（i＝1，2，…，n）均为偶数，此时设a i＝2b i，则{b1，b2，…，b n}也是“可分集合”．重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”．此时各项之和也为奇数，则集合A中元素个数n为奇数．综上所述，集合A中元素个数为奇数．②当n＝3时，显然任意集合{a1，a2，a3}不是“可分集合”．当n＝5时，第（Ⅱ）问已经证明集合A＝{a1，a3，a4，a5}不是“可分集合”．当n＝7时，集合A＝{1，3，5，7，9，11，13}，因为：3+5+7+9＝11+13，1+9+13＝5+7+11，9+13＝1+3+7+11，1+3+5+11＝7+13，1+9+11＝3+5+13，3+7+9＝1+5+13，1+3+5+9＝7+11，则集合A是“可分集合”．所以集合A中元素个数n的最小值是7．。
2019-2020学年上海中学高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年上海中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1. 已知集合A ={0,1}，则下列式子错误的是( )A. 0∈AB. {1}∈AC. ⌀⊆AD. {0,1}⊆A2. 已知x <0，函数y =4x +x 的最大值是( )A. 5B. −4C. −8D. 63. 已知不等式m −1<x <m +1成立的充分条件是13<x <12，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,−12)∪(43,+∞) B. (−∞,−12)∪[43,+∞) C. (−12,43) D. [−12,43] 4. 若关于x 的不等式x 2+2ax +1≥0在［0，+∞)上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. (0,+∞)B. ［−1，+∞)C. ［−1，1］D. ［0，+∞)二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）5. 已知集合U ={0,1,2,3},A ={1,2,3}，则C U A =________．6. 解关于x 的不等式：2|x −3|+|x −4|<2．7. 命题“如果√x −2+(y +1)2=0，那么x =2且y =−1”的逆否命题为________．8. 已知全集U ={0,1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A ={0,1，3，5，8}，集合B ={2,4，5，6，8}，则(∁U A)∩(∁U B)= ______ ．9. 已知a ∈R ，b ∈R ，若{a,ba ,1}={a 2,a +b,0}，则a = ______ ，b = ______ ． 10. 已知x ，y 为正实数，则x2x+y +yx+2y 的最大值为________． 11. 已知集合A ={0,2，4，6}，B ={x|3<x <7}，则A ∩B =_____． 12. 已知函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则满足f(x)<1的x 的取值范围是________13. 函数f(x)=1x−1在[a,b]上的最大值为1，最小值为13，则a +b = ______ ． 14. 已知集合A ={−1,0,a }，B ={0,√a}.若B ⊆A ，则实数a 的值为________． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 15. (1)比较a 2+b 2与2(2a −b)−5的大小；(2)已知a,b,c ∈R +，且a +b +c =1，求证：(1a −1)(1b −1)(1c −1)⩾816. 解下列不等式：(Ⅰ)|2x +1|−2|x −1|>0； (Ⅱ)||x −2|−1|≤1．17. 为了保护环境，发展低碳经济，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一项把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为：y ={13x 3−80x 2+5040x,x ∈[120,144)12x 2−200x +80000,x ∈[144,500)，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿．(I)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？ (Ⅱ)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？18. 已知命题是真命题．(1)求实数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x−a)[x−(2−a)]<0的解集为N，若N⊆M，求实数a的取值范围．19.已知二次函数y=x2−2tx+t2−1(t∈R)．(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式x2−2tx+t2−1≥0;(2)若关于x的方程x2−2tx+t2−1=0的两个实根均大于−2且小于4，求实数t的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析： 【分析】本题考查元素与集合、集合与集合的关系，属于基础题型，直接求解即可． 【解答】解：∵集合A ={0,1}， ∴易得A ，C ，D 正确，B 选项，集合与集合的关系不能用∈， 故选B ．2.答案：B解析：解：∵x <0，∴函数y =4x +x =−(−x +4−x )≤−2√−x ⋅4−x =−4，当且仅当x =−2时取等号．∴x <0，函数y =4x +x 的最大值是−4． 故选B ．变形利用基本不等式即可得出．变形利用基本不等式和掌握使用基本不等式时注意“一正，二定，三相等”是解题的关键．3.答案：D解析：由题意可知m −1≤13且12≤m +1，解得m ∈[−12,43].4.答案：B解析： 【分析】本题考查恒成立问题，考查二次函数知识的综合运用，属于基础题．分两种情况讨论，当a ≥0时，二次函数在［0，+∞)单调递增且f(0)>0，当a <0时，要求Δ≤0，从而得到结果. 【解答】解：∵x 2+2ax +1≥0在［0，+∞)上恒成立，1)当a ≥0时，函数f(x)=x 2+2ax +1在(−a,+∞)上为单调增函数，则函数f(x)=x 2+2ax +1在[0,+∞)上为单调增函数， 所以f(x)≥f(0)，∵f(0)=1>0，∴符合题意，2)当a <0时，因为f(0)=1>0，所以要使x 2+2ax +1≥0在［0，+∞)上恒成立， 则4a 2−4≤0，即−1≤a ≤1， 此时有−1≤a <0， 综上a ≥−1． 故选B ．5.答案：{0}解析： 【分析】本题主要考查了集合的补集，属于基础题． 【解答】解：集合U ={0,1,2,3},A ={1,2,3}， 则C U A ={0}． 故答案为{0}．6.答案：解：当x ≥4时，原不等式即为2(x −3)+(x −4)<2，即3x −10<2，解得x <4，则有x ∈⌀； 当3<x <4时，原不等式即为2(x −3)+(4−x)<2，即x −2<2，解得，x <4，则有3<x <4； 当x ≤3时，原不等式即为2(3−x)+(4−x)<2，即10−3x <2，解得，x >83，则有83<x ≤3． 则原不等式的解集为{x|83<x ≤3或3<x <4}={x|83<x <4}．解析：运用零点分区间方法，讨论当x ≥4时，当3<x <4时，当x ≤3时，去绝对值，解不等式，最后求并集即可．本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于基础题．7.答案：如果x ≠2或y ≠−1，则√x −2+(y +1)2≠0解析： 【分析】本题考查考查四种命题的定义和关系，根据四种命题之间的关系和定义即可得到命题的逆否命题． 【解答】解： 根据逆否命题的定义可知，命题的逆否命题为：如果x≠2或y≠−1，则√x−2+(y+1)2≠0，故答案为如果x≠2或y≠−1，则√x−2+(y+1)2≠0．8.答案：{7,9}解析：解：∵集合A={0,1，3，5，8}，集合B={2,4，5，6，8}，∴∁U A={2,4，6，7，9}，∁U B={0,1，3，7，9}，则(∁U A)∩(∁U B)={7.9}，故答案为：{7,9}根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，根据补集和交集的定义是解决本题的关键．9.答案：−1；0解析：解：由题意知,1}={a2,a+b,0}，∵{a,ba∴根据集合相等的定义可知：有以下几种情况①当a=0时，不符合题意，故a≠0=0时，b=0②当ba即这时集合化简为{a,0，1}={a2，a，0}∴当a=1时不满足集合元素的互异性，故a≠1∴当a2=1时，a=1或a=−1经验证a=−1成立．即此时集合为{−1,0，1}∴可知：a=−1，b=0故答案为：−1，0．根据集合相等的定义，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可得出结论．本题考查集合元素的互异性，考查集合相等的定义，比较基础．10.答案：23解析：【分析】本题主要考查基本不等式的运用，求最值，考查运算能力，属于中档题．对原式子进行换元变形，以及基本不等式应用时应该满足的条件：一正二定三等．解：令2x +y =m ，x +2y =n ， 则x =2m−n 3，y =−m+2n3，且m >0，n >0，因此：x 2x +y +y x +2y =2m −n 3m +−m +2n3n =2m −n 3m +−m +2n 3n =43−(n 3m +m3n) ≤43−2√19=23，当且仅当m =n 时取等号， 则x2x+y +yx+2y 的最大值为23， 故答案为23．11.答案：｛4，6｝解析： 【分析】本题主要考查集合的交集运算，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基础题． 利用交集运算定义直接计算即可． 【解答】解：因为集合A ={0,2，4，6}，B ={x|3<x <7}， 所以A ∩B =｛4，6｝． 故答案为｛4，6｝．12.答案：解析： 【分析】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题． 【解答】解：因为函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则f(x)<1等价于{x ≤0−x <1①或{x >0x 2−2x <1②． 解得①得−1<x ≤0，解②得0<x <1+√2√2． 所以f(x)<1的x 的取值范围是(−1,1+√2). 故答案为．解析：解：由题意，a >1，则1a−1=1，1b−1=13，∴a =2，b =4，∴a +b =6； a <1则1a−1=13，不成立． 故答案为：6．分类讨论，利用函数的单调性，结合函数f(x)=1x−1在[a,b]上的最大值为1，最小值为13，求出a ，b ，即可求出a +b ．本题考查函数的最值及其几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．14.答案：1解析： 【分析】本题主要考查子集的概念，集合的表示，考查学生对基本概念的理解和应用能力，考查核心素养是计算能力，属于基础题.利用子集关系得√a =a ，求解即可，注意集合元素的互异性． 【解答】解：因为B ⊆A ，所以√a ∈A ，因为A ={−1,0,a}，所以√a ≠0,√a ≠−1， 所以√a =a ，解得a =1； 故答案为1．15.答案：(1)解：因为a 2+b 2−2(2a −b)+5=a 2−4a +4+b 2+2b +1=(a −2)2+(b −1)2⩾0，所以a 2+b 2⩾ 2(2a −b)−5；(2)证明：∵a +b +c =1，a ，b ，c ∈R +， ∴(1a −1)(1b −1)(1c −1)=b+c a×a+c b×a+b c⩾2√bca×2√ac b×2√ab c=8，当且仅当a =b =c 时，取等号．解析： 【分析】(1)本题考查作差法比较大小，两式作差与零比较，即可比较出两式大小；(2)本题考查不等式的证明，将a +b +c =1分别代入分子并化简，进而利用基本不等式即可证明原不等式．16.答案：解：(Ⅰ)原不等式化为|2x +1|>2|x −1|，两边平方得(2x +1)2>4(x −1)2，展开得4x 2+4x +1>4x 2−8x +4，即得原不等式的解集为(14,+∞). (Ⅱ)由||x −2|−1|≤1得−1≤|x −2|−1≤1，即0≤|x −2|≤2，此不等式可转化为{|x −2|≥0|x −2|≤2，求得{x ∈R0≤x ≤4，所以原不等式的解集为{x|0≤x ≤4}．解析：(Ⅰ)原不等式化为|2x +1|>2|x −1|，两边平方得(2x +1)2>4(x −1)2，展开化简求得原不等式的解集．(Ⅱ)把此不等式可转化为{|x −2|≥0|x −2|≤2，求得{x ∈R0≤x ≤4，由此可得原不等式的解集．本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．17.答案：解：(I)设x ∈[200,300]时，获利为S ，则S =200x −(12x 2−200x +80000)=−12(x −400)2， 所以在x ∈[200,300]时，S 为单调递增函数， S max =−5000，S min =−20000， 所以补偿范围是[5000,20000]．(Ⅱ)二氧化碳的平均每吨的处理成本为y x ={13x 2−80x +5040,x ∈[120,144),12x −200+80000x,x ∈[144,500], 当x ∈[120,144)时，当x =120时，yx 取得最小值240， 当x ∈[144,500)时，yx=12x +80000x−200⩾2√12x ⋅80000x−200=200，当且仅当12x =80000x，即x =400时，yx 取得最小值200，∵200<240，所以每月的处理量为400吨时，才能使每吨的处理成本最低．解析：本题考查分段函数模型的应用以及基本不等式实际应用，是中档题． (I)根据x ∈[200,300]，求出函数y 的值域即可判断求解．(Ⅱ)写出每吨的平均处理成本的函数表达式，利用基本不等式求解．18.答案：解：(1)命题“∃x ∈[−1,0]，x 2+2x +m <0”是真命题，则m <(−x 2−2x)max ，∵x ∈[−1,0]，∴(−x 2−2x)max =1，则m <1，即M =(−∞,1)； (2)当a <2−a ，即a <1时，N =(a,2−a)， ∵N ⊆M ，∴2−a ≤1，即a ≥1，此时a 无解；当a=2−a，即a=1时，N为空集，满足题意；当a>2−a，即a>1时，N=(2−a,a)，∵N⊆M，∴a≤1，此时a无解．综上：a=1．解析：(1)把原命题转化为m<(−x2−2x)max，再由二次函数求最值得答案；(2)对a分类求解不等式(x−a)[x−(2−a)]<0，再由两集合端点值间的关系列式求解．19.答案：解：(1)设二次函数y=x2−2tx+t2−1(t∈R)的两个零点分别为x1，x2，由已知得x1+x2=0，而x1+x2=2t，所以2t=0，故t=0．不等式x2−2tx+t2−1≥0即x2−1≥0，解得x≥1或x≤−1，故不等式的解集为{x|x≥1或x≤−1}．(2)因为方程x2−2tx+t2−1=0的两个实根均大于−2且小于4，所以即．解得−1<t<3．解析：本题考查了函数与方程以及一元二次不等式的解法，是一般题．(1)根据韦达定理求出t，然后根据一元二次不等式的解法得出答案．(2)根据一元二次方程根的分布建立关于t的不等式组，解不等式组即可．。
2019-2020年上海市交大附中高一上期中数学试卷(含答案案)
上海交通大学附属中学2019-2020学年度第一学期高一数学期中考试试卷一、填空题1.函数y =的定义域是____________2. 已知{}|12A x x =-<<，{}2|30,R x x x x -<∈，则A B ⋂=____________3. 当0x >时，函数()1f x x x -=+的值域为____________4. 设{|52U x x =-≤<-或25,}x x Z <≤∈，{}2|2150A x x x =--=，{}3,3,4B =-则U A C B ⋂=____________5. 已知集合{}{}2,1,|2A B x ax =-==，若A B A ⋃=，则实数a 值集合为____________6. 满足条件{}{}{}1,3,53,5,71,3,5,7,9⋃=的所有集合A 的个数是____________个7. 已知不等式2202x x x a+≤+解集为A ，且2,3A A ∈∉，则实数a 的取值范围是____________ 8. 若函数()f x a 的取值范围为____________9. 已知,a b 是常数，且0ab ≠，若函数()33f x ax =+的最大值为10，则()f x 的最小值为 ____________10. 设正实数,a b 满足324a ab b ++=，那么1ab的最小值为____________ 11. 设()()2,043,0x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为____________ 12. 若方程()22420ax a x --+=在（0,2）内恰有一解，则实数a 的取值范围为____________ 二、选择题13. 下列命题中，正确的是（ ）A. 4x x +的最小值是4B. 的最小值是2C. 如果,a b c d >>，那么a c b d ->-D. 如果22ac bc >，那么a b >14. 设甲为“05x <<”，乙为“23x -<”，那么甲是乙的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件15. 非空集合A,B 满足，{}{},|,|A B P x x A Q x x B ⊂⋂=∅=⊆=≠，则下列关系一定成立的是（ ）A. A B P Q ⋃=⋃B. P Q ⋂=∅C. {}P Q ⋂=∅D. A B P Q ⊂⋃≠⋃ 16. 已知函数()1y f x =+为偶函数，则下列关系一定成立的是（ ）A. ()()f x f x =-B. ()()11f x f x +=-+C. ()()11f x f x +=--D. ()()1f x f x -+=三、解答题17. 已知集合21|1,1x A x x R x -⎧⎫=≤∈⎨⎬+⎩⎭，集合{}22|210,B x x ax a x R =-+-≤∈. （1）求集合A ； （2）若集合U=R ，()U B C A B ⋂=，求实数a 的取值范围.18. 已知函数()f x x a x b =-++.（1）若1,2a b ==，求不等式()5f x ≤的解；（2）对任意0,0a b >>，试确定函数()y f x =的最小值M （用含,a b 的代数式表示），若正数,a b 满足42a b ab +=，则,a b 分别取何值时，M 有最小值，并求出此最小值.19. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每1厘米厚的隔热层建造成本为6万元。
2020-2021学年上海市交通大附属中学高一上学期期中考试数学试卷(含详解)
上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试试卷一､填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=______.2.函数20202022(0,1)x y aa a +=+>≠的图像恒过定点______.3.已知幂函数()()22322n nf x n n x-=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______.4.函数132xy x-=+的图象中心是______.5.函数y =的定义域是______.6.已知实数a 满足()()3322211a a --->+，则实数a 的取值范围是_________.7.已知6x <，求2446x x x ++-的最大值______.8.设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.9.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．10.若关于x 的方程222210()x xa a a R +⋅++=∈有实根，则实数a 的取值范围是______.11.已知函数)()lg f x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．12.若实数、满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是_______．二､选择题(每小题5分，共20分)13.已知,a b ∈R ，则“33a b >”是“33a b >”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图像是（）A. B.C. D.15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（）A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素16.设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3xy =具有性质M ；②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =.其中正确的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个三､解答题(共5题，满分76分)17.已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.18.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数301log lg 2100x v x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 20.3,= 1.2 1.43 3.74,3 4.66==）（1）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km /min ，雌鸟的飞行速度为1km /min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？19.柯西不等式具体表述如下：对任意实数1a ，2a ，n a 和1b ，2b n b ，(,2)n Z n ∈≥都有()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L ，当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号.（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a ，b ，x ，y ，不等式222()a b a b x y x y++≥+成立，(并指出等号成立条件)（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数1x ，2x ， ，n x ，且121n x x x +++= ，求证：12212211111x x x x x x n+++≥++++ (并写出等号成立条件).20.已知函数､()y f x =的表达式为()(0,1)xf x a a a =>≠，且1(2)4f -=，（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围；（3）已知113k ≤<，若方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，求1234x x x x -+-的最大值.21.对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试试卷一､填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=______.【答案】{}1【解析】【分析】通过全集，计算出{}0,1,4B =，根据交集的定义即可．【详解】因为{}0,1,2,3,4U =，{}2,3B =，所以{}0,1,4B =所以{}1A B ⋂=．故答案为：{}1．2.函数20202022(0,1)x y aa a +=+>≠的图像恒过定点______.【答案】()2020,2023-【解析】【分析】根据01(0,1)a a a =>≠，结合条件，即可求得答案.【详解】 01(0,1)a a a =>≠，令20200x +=，得2020x =-，020222023y a =+=，∴函数20202022(0,1)x y a a a +=+>≠的图象恒过定点()2020,2023-，故答案为：()2020,2023-.3.已知幂函数()()22322n n f x n n x -=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______.【答案】1【解析】【分析】根据函数是幂函数得2221+-=n n ，求得3n =-或1，再检验是否符合题意即可.【详解】因为()()22322n n f x n n x -=+-是幂函数，2221n n ∴+-=，解得3n =-或1，当3n =-时，()18=f x x 是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递增，不符合题意，当1n =时，()2f x x -=是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递减，符合题意，1n ∴=.故答案为：1.4.函数132xy x-=+的图象中心是______.【答案】()2,3--【解析】【分析】将函数化成ky b x a=++，根据的对称中心为(,)a b -，即可得出答案.【详解】1373(2)73222x x y x x x --+===-+++，因为函数72y x =+的图象的对称中心是()2,0-，所以函数732y x =-+的图象的对称中心是()2,3--.故答案为：()2,3--.【点睛】对称性的3个常用结论：（1）若函数()y f x a =+是偶函数，即()()f a x f a x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称；（2）若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=或(2)()f a x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线x a =对称；（3）若函数()y f x b =+是奇函数，即((0))f x b f x b +++-=，则函数()y f x =关于点(,0)b 中心对称.5.函数y =的定义域是______.【答案】(7,)+∞【解析】【分析】根据被开方数非负且分母不为零可得132log 05x ⎛⎫>⎪-⎝⎭，解对数不等式即可求得定义域.【详解】1322log 00155x x ⎛⎫>⇒<<⎪--⎝⎭，()()271075055x x x x x -<⇒>⇒-->--且5x ≠，解得5x <或7x >，2055x x <⇒>-，∴函数y =(7,)+∞.故答案为：(7,)+∞6.已知实数a 满足()()3322211a a --->+，则实数a 的取值范围是_________.【答案】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据幂函数的定义域和单调性得到关于a 的不等式，解之可得实数a 的取值范围.【详解】由题意知，3322(21)(1)a a --->+，>由于幂函数32y x =的定义域为[0,)+∞，且在[0,)+∞上单调递增，则2101121110a a a a ->⎧⎪⎪>⎨-+⎪+>⎪⎩，即：()()12202111a a a a a ⎧>⎪⎪-⎪>⎨-+⎪⎪>-⎪⎩，所以1221a a a ⎧>⎪⎪<⎨⎪>-⎪⎩，所以实数a 的取值范围是：122a <<．故填：1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查幂函数的定义域和单调性，属于基础题．7.已知6x <，求2446x x x ++-的最大值______.【答案】0【解析】【分析】原式化为64(6)166x x -++-，结合基本不等式即可求解最大值．【详解】6x < ，所以60x ->，2244(6)16(6)6464(6)16666x x x x x x x x ++-+-+==-++---因为64(6)6x x -+-64[(6)]166x x =--+-=--，当且仅当2x =-时，取等号；∴2244(6)16(6)6464(6)160666x x x x x x x x ++-+-+==-++---．即2446x x x ++-的最大值为0．故答案为：0．【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.8.设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.【答案】3737±【解析】【分析】根据题意由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，进而得()2log log 37c c a b -=，再结合换底公式得137log 37log b acc b a==±【详解】解：因为log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，所以由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，所以()()22log log log log 4log log 37c c c c c c a b a b a b -=+-⋅=，所以log log c c b a -=所以1137log log log 37log b c c acc b b a a===±-.故答案为：3737±【点睛】本题解题的关键在于根据韦达定理与换底公式进行计算，其中()()22log log log log 4log log c c c c c c a b a b a b -=+-⋅，1log log b acc b a=两个公式的转化是核心，考查运算求解能力，是中档题.9.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【解析】【分析】从命题的否定入手可解.【详解】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【点睛】本题主要考查反证法的步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题.10.若关于x 的方程222210()x xa a a R +⋅++=∈有实根，则实数a 的取值范围是______.【答案】(,4-∞-【解析】【分析】利用换元法，设20x t t =>，，转化为方程2210t at a +++=，有正根，分离参数，求最值.【详解】设20x t t =>，，转化为方程2210t at a +++=，有正根，即221(2)4(2)55[(2)]4222t t t a t t t t ++-++=-=-=-++++++，022t t >∴+> ，，则5[(2)4442t t -+++≤-+=-+当且仅当5(2)2t t +=+，即2t =时取等，(,4a ∴∈-∞-故答案为：(,4-∞-11.已知函数)()lgf x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．【答案】[1,1]-【解析】【分析】根据对数函数的真数大于0，得出+ax ＞0恒成立，利用构造函数法结合图象求出不等式恒成立时a 的取值范围．【详解】解：函数f （x ）＝lg （+ax ）的定义域为R ，+ax ＞0恒成立，-ax 恒成立，设y =，x ∈R ，y 2﹣x 2＝1，y ≥1；它表示焦点在y 轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y ＝±x ；令y ＝﹣ax ，x ∈R ；它表示过原点的直线；由题意知，直线y ＝﹣ax 的图象应在y =的下方，画出图形如图所示；∴0≤﹣a ≤1或﹣1≤﹣a <0，解得﹣1≤a ≤1；∴实数a 的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查数形结合思想与转化思想，是中档题．12.若实数、满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是_______．【答案】24S <≤【解析】【详解】1122224+4=2+2(2)(2)2(22)(22)2222(22)x y x y x x y x y x y x y ++⇒+=+⇒+-⋅⋅=+22222xyS S -=⋅⋅，又22(22)022222x y xyS +<⋅⋅≤=．22022S S S <-≤，解得24S <≤二､选择题(每小题5分，共20分)13.已知,a b ∈R ，则“33a b >”是“33a b >”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分、必要条件定义判定即可.【详解】解：当33a b >时，根据指数函数3x y =是定义域内的增函数可得a b >，因为幂函数3y x =是定义域内的增函数，所以33a b >，所以充分性成立，当33a b >时，因为幂函数3y x =是定义域内的增函数，所以a b >，又指数函数3x y =是定义域内的增函数，所以33a b >，所以必要性成立，综上：“33a b >”是“33a b >”的充要条件.故选：C.【点睛】充分条件、必要条件的三种判定方法:（1）定义法：根据,p q q p ⇒⇒进行判断，适用于定义、定理判断性问题；（2）集合法：根据,p q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题；（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.14.若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，且01b <<，可得函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，从而可得结果.【详解】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，再由图象的平移知，()log ()a f x x b =+的图象由()log a f x x =向左平移可知01b <<，故函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，故选B.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（）A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素 D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素【答案】C 【解析】【分析】由题意依次举出具体的集合,M N ，从而得到,,A B D 均可成立．【详解】对A ，若{|0}M x Q x =∈<，{|0}N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0，故A 正确；对B ，若{|M x Q x =∈<，{|N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素，故B 正确；对C ，M 有一个最大元素，N 有一个最小元素不可能，故C 错误；对D ，若{|0}M x Q x =∈，{|0}N x Q x =∈>；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 正确；故选：C ．【点睛】本题考查对集合新定义的理解，考查创新能力和创新应用意识，对推理能力的要求较高．16.设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3xy =具有性质M ；②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =.其中正确的个数是（）A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】C 【解析】【分析】根据函数性质M 的定义和指数对数函数的性质，结合每个选项中具体函数的定义，即可判断.【详解】解：对于①：3x y =的定义域是R ，所以1212()()13x x f x f x +⋅==，则120x x +=.对于任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，所以函数3x y =具有性质M ，①正确；对于②：函数3y x x =-的定义域为R ，所以若取10x =，则1()0f x =，此时不存在2x R ∈，使得12()()1f x f x ⋅=，所以函数3y x x =-不具有性质M ，②错误；对于③：函数8log (2)y x =+在[]0,t 上是单调增函数，其值域为[]88log 2,log (2)t +，要使得其具有M 性质，则88881log 2log (2)1log (2)log 2t t ⎧≤⎪+⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即88log 2log (2)1t ⨯+=，解得3(2)8t +=，510t =，故③正确；故选：C.【点睛】本题考查函数新定义问题，对数和指数的运算，主要考查运算求解能力和转换能力，属于中档题型.三､解答题(共5题，满分76分)17.已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞ .【解析】【分析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.（2）()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.18.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数301log lg 2100xv x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 20.3,= 1.2 1.43 3.74,3 4.66==）（1）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km /min ，雌鸟的飞行速度为1km /min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？【答案】（1）466；（2）3倍.【解析】【分析】（1）将05x =，0v =代入函数解析式，计算得到答案．（2）根据题意得到方程组13023011.5log lg 210011log lg 2100x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相减化简即可求出答案．【详解】（1）将05x =，0v =代入函数301log lg 2100x v x =-，得：31log lg 502100x-=，即()3log 2lg 521lg 2 1.40100x==-=，所以1.403 4.66100x==，所以466x =．故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟耗氧量为2x ，由题意可得：13023011.5log lg 210011log lg 2100x x x x⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相减可得：13211log 22x x =，所以132log 1x x =，即123x x =，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.19.柯西不等式具体表述如下：对任意实数1a ，2a ，n a 和1b ，2b n b ，(,2)n Z n ∈≥都有()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L ，当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号.（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a ，b ，x ，y ，不等式222()a b a b x y x y++≥+成立，(并指出等号成立条件)（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数1x ，2x ， ，n x ，且121n x x x +++= ，求证：12212211111x x x x x x n+++≥++++ (并写出等号成立条件).【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据任意正实数a ，b ，x ，y ，由柯西不等式得222()(()a b x y a b x y +++，从而证明222()a b a b x yx y+++成立；（2）由121n x x x ++=…+，得121(1)(1)(1)n n x x x +=++++⋯++，然后利用柯西不等式，即可证明12212211111x x xx x x n++⋯⋯+++++成立．【详解】（1）对任意正实数a ，b ，x ，y ，由柯西不等式得()()()()222222222a b a b x y a b x y ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥++=++⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当x y a b=时取等号，∴222()a b a b x y x y+++．（2）121n x x x ++⋯+= ，121(1)(1)(1)n n x x x ∴+=++++⋯++，2221212()(1)111n nx x x n x x x ++⋯+++++222121212()[(1)(1)(1)]111n n nx x x x x x x x x =++⋯+++++⋯+++++212()1n x x x ++⋯+=，当且仅当121n x x x n==⋯==时取等号，∴222121211111n nx x x x x x n ++⋯+++++．【点睛】方法点睛：利用柯西不等式求最值或证明不等式时，关键是对原目标代数式进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件,配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标代数式进行配凑后利用柯西不等式解答.20.已知函数､()y f x =的表达式为()(0,1)xf x a a a =>≠，且1(2)4f -=，（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围；（3）已知113k ≤<，若方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，求1234x x x x -+-的最大值.【答案】（1）()2x f x =；（2）[]3,1-；（3）2log 3-.【解析】【分析】（1）由2211(2)4f aa --===可得答案.（2）由条件可得()2()4()1m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，设2x t =，由[]0,2x ∈，则14t ≤≤，即()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解，可得答案.（3）由条件121x k =-，221x k =+，即12121x x k k --=+，以及431221xk k +=+或3+1221x k k =+，所以341312x x k k -+=+，从而可得()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅=⨯==-++++，求出最大值可得答案.【详解】（1）由2211(2)4f a a --===，所以2a =所以()2xf x =（2）()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解即()2()4()1m f x f x -+=在区间[]0,2上有解即()22421x x m -+⨯=在区间[]0,2上有解即设2x t =，由[]0,2x ∈，则14t ≤≤所以()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解当[]1,4t ∈时，[]2134,1t t ∈--+所以31m -≤≤（3）由()10f x k --=，即21x k =+或21x k=-由方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，则121x k =-，221x k=+所以12121x x k k--=+由()1021k f x k --=+，即31212121x k k k k +=+=++或+1212121xk k k k =-=++方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，则431221x k k +=+或3+1221xk k =+所以341312x xk k -+=+所以()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅=⨯==-++++函数431133y k =++-在113k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，上单调递减，当13k =时，431133y k =++-有最大值13.所以()()1234123x x x x -+-≤，则1322421log log 33x x x x -=-+≤-所以1234x x x x -+-的最大值为2log 3-【点睛】关键点睛：本题考查指数的运算和方程有解求参数，方程根的关系，解答本题的关键是由题意可得()22421x x m -+⨯=在区间[]0,2上有解，设2x t =，分类参数即()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解，以及根据方程的根的情况可得()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅===-++++，属于中档题.21.对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.【答案】（1）集合{}1,2,3,4不是，集合{}1,3,5,7,9,11,13是；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；②7.【解析】【分析】（1）根据“可分集合”定义直接判断即可得到结论；（2）不妨设123450a a a a a <<<<<，分去掉的元素是1a 时得5234a a a a =++①，或2534a a a a +=+②，去掉的元素是2a 得5134a a a a =++③，或1534a a a a +=+④，进而求解得矛盾，从而证明结论.（3）①设集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 所有元素之和为M ，由题可知，()1,2,3,,i M a i n -= 均为偶数，所以()1,2,3,,i a i n = 的奇偶性相同，进而分类讨论M 为奇数和M 为偶数两类情况，分析可得集合A 中的元素个数为奇数；②结合（1）（2）问依次验证3,5,7n n n ===时集合A 是否为“可分集合”从而证明.【详解】解：（1）对于集合{}1,2,3,4，去掉元素1，剩余的元素组成的集合为{}12,3,4A =，显然不能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，1B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，故{}1,2,3,4不是“可分集合”对于集合{}1,3,5,7,9,11,13，去掉元素1，{}13,5,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}11,13,3,5,7,9B C ==，满足题意；去掉元素3，{}21,5,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,9,13,5,7,11B C ==，满足题意；去掉元素5，{}31,3,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,3,7,11,9,13B C ==，满足题意；去掉元素7，{}41,3,5,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,9,11,3,5,13B C ==，满足题意；去掉元素9，{}51,3,5,7,11,13A =，显然可以分为{}{}7,13,1,3,5,11B C ==，满足题意；去掉元素11，{}61,3,5,7,9,13A =，显然可以分为{}{}3,7,9,1,5,13B C ==，满足题意；去掉元素13，{}71,3,5,7,9,11A =，显然可以分为{}{}1,3,5,9,7,11B C ==，满足题意；故{}1,3,5,7,9,11,13是可分集合.（2）不妨设123450a a a a a <<<<<，若去掉的是1a ，则集合{}12345,,,A a a a a =可以分成{}{}5234,,,B a C a a a ==或{}{}2534,,,B a a C a a ==，即：5234a a a a =++①或2534a a a a +=+②若去掉的是2a ，则集合{}21345,,,A a a a a =可以分成{}{}5134,,,B a C a a a ==或{}{}1534,,,B a a C a a ==，即：5134a a a a =++③或1534a a a a +=+④，由①③得21a a =，矛盾；由①④21a a =-，矛盾；由②③得21a a =-，矛盾；由②④21a a =，矛盾；所以五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）①证明：设集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 所有元素之和为M ，由题可知，()1,2,3,,i M a i n -= 均为偶数，所以()1,2,3,,i a i n = 的奇偶性相同，若M 为奇数，则()1,2,3,,i a i n = 也均为奇数，由于12n M a a a =+++ ，所以n 为奇数；若M 为偶数，则()1,2,3,,i a i n = 也均为偶数，此时设()21,2,3,,i i a b i n == ，则{}12,,,n b b b 也是“可分集合”，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”，此时各项之和也为奇数，集合A 中的元素个数为奇数.综上所述，集合A 中的元素个数为奇数.②当3n =时，显然任意集合{}123,,A a a a =不是“可分集合”；当5n =时，第二问已经证明集合{}12345,,,,A a a a a a =不是“可分集合”；当7n =时，第一问已验证集合{}1,3,5,7,9,11,13A =是“可分集合”.所以集合A 中元素个数的最小值为7.【点睛】本题考查集合新定义的问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义依次验证，证明即可.注意对问题思考的全面性，考查学生的思维迁移能力，分析能力.本题第二问解题的关键在于假设123450a a a a a <<<<<，以去掉元素1a 和2a 两种情况下的可分集合推出矛盾，进而证明，是难题.。
2019-2020学年上海市交大附中高一(上)期中数学试卷
2019-2020学年上海市交大附中高一（上）期中数学试卷一.填空题1. 函数y=√x的定义域为________．【答案】(0, +∞)【考点】函数的定义域及其求法【解析】要使函数有意义，则需x≥0且x≠0，解得即可得到定义域．【解答】要使函数有意义，则需x≥0且x≠0，即x>0，则定义域为(0, +∞)．2. 已知A＝{x|−1<x<2}，{x|x2−3x<0, x∈R}，则A∩B＝________．【答案】(0, 2)【考点】并集及其运算【解析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】∵A＝{x|−1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，∴A∩B＝(0, 2)．3. 当x>0时，函数f(x)＝x+x−1的值域为________．【答案】[2, +∞)【考点】函数的值域及其求法【解析】直接利用基本不等式求得函数f(x)＝x+x−1的最小值得答案．【解答】∵x>0，∴f(x)＝x+x−1＝x+1x ≥2√x⋅1x=2．当且仅当x＝1时，上式“＝”成立．∴函数f(x)＝x+x−1的值域为[2, +∞)．4. 设U＝{x|−5≤x<−2或2<x≤5, x∈Z}，A＝{x|x2−2x−150}，B＝{−3, 3, 4}，则A∩∁U B＝________．【答案】{5}交、并、补集的混合运算【解析】先分别求出集合U，A，B，由此能求出结果．【解答】∵U＝{x|−5≤x<−2或2<x≤5, x∈Z}＝{−5, −4, −3, 3, 4, 5}，A＝{x|x2−2x−150}＝{−3, 5}，B＝{−3, 3, 4}，∴∁U B＝{−5, −4, 5}，∴A∩∁U B＝{5}．5. 已知集合A＝{−2, 1}，B＝{x|ax2}，若A∪B＝A，则实数a值集合为________．【答案】{0, −1, 2}【考点】并集及其运算【解析】根据A∪B＝A即可得出B⊆A，从而可讨论B是否为空集：B＝⌀时，a＝0；B≠⌀时，2a=−21，解出a即可．【解答】∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴ ①B＝⌀时，a＝0；②B≠⌀时，B={2a }，则2a=−2或2a=1，解得a＝−1或2，∴实数a值集合为{0, −1, 2}．6. 满足条件{1, 3, 5}∪A∪{3, 5, 7}＝{1, 3, 5, 7, 9}的所有集合A的个数是________个．【答案】16【考点】并集及其运算【解析】根据条件可得出，集合A一定含有元素9，而可能含有元素1，3，5，7，从而得出集合A的个数为C40+C41+C42+C43+C44=24＝16个．【解答】∵{1, 3, 5}∪A∪{3, 5, 7}＝{1, 3, 5, 7, 9}，∴集合A一定含元素9，可能含元素1，3，5，7，∴集合A的个数为24＝16个．7. 已知不等式x2+2xx+2a≤0的解集为A，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围是________．【答案】[−32,−1)【考点】元素与集合关系的判断由题意可得4+42+2a ≤0 ①，且 9+63+2a >0 ②，3+2a ＝0③，分别求得①、②、③的解集，再取交集，可得所求． 【解答】 因为x 2+2x x+2a ≤0的解集为A ，且2∈A ，3∉A ，所以4+42+2a ≤0，①9+63+2a>0，②3+2a ＝0，③ 解①得：a <−1． 解②得：a >−32， 解③得：a =−32，故实数a 的取值范围为[−32,−1)．8. 若函数f(x)=√x 2−1+√a −x 2为偶函数且非奇函数，则实数a 的取值范围为________． 【答案】 a >1 【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】利用函数f(x)=√x 2−1+√a −x 2为偶函数且非奇函数，结合函数的定义域，即可求出实数a 的取值范围． 【解答】∵ 函数f(x)=√x 2−1+√a −x 2为偶函数且非奇函数， ∴ f(−x)＝f(x)，且f(−x)≠−f(x)， 又{x 2−1≥0a −x 2≥0，∴ a ≥1． a ＝1，函数f(x)=√x 2−1+√a −x 2为偶函数且奇函数，9. 已知a 、b 是常数，且ab ≠0，若函数f(x)=ax 3+bx√1−x 2+3的最大值为10，则f(x)的最小值为________． 【答案】 −4【考点】函数的最值及其几何意义 【解析】利用函数的奇偶性，求出g(x)的最小值即可． 【解答】函数f(x)=ax 3+bx√1−x 2+3定义域为[−1, 1]，设g(x)=ax 3+bx√1−x 2为奇函数，f(x)max ＝g(x)max +3＝10，所以g(x)min ＝−g(x)max ＝−7， 所以f(x)min ＝−7+3＝−4，10. 设正实数a 、b 满足3a +ab +b ＝24，那么1ab 的最小值为________． 【答案】112【考点】基本不等式及其应用 【解析】由条件正实数a 、b 满足3a +ab +b ＝24，利用基本不等式3a +b ≥2√3ab ，从而得到关于ab 的不等式，解出ab 的取值范围，进一步求出1ab 的取值范围即可． 【解答】因为a ，b 为正数，满足3a +ab +b ＝24， 所以24＝3a +b +ab ≥2√3ab +ab ； 令√ab =t ，t >0， 则t 2+2√3t −24≤0；解得0<t ≤2√3，即0<ab ≤12， 所以，1ab ≥112； 所以1ab 的最小值为112．11. 已知函数f(x)={(x −a)2,x ≤0x +4x+3a,x >0，且f(0)为f(x)的最小值，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 [0, 4] 【考点】分段函数的应用 【解析】若f(0)为f(x)的最小值，则当x ≤0时，函数f(x)＝(x −a)2为减函数，当x >0时，函数f(x)=x +4x +3a 的最小值4+3a ≥f(0)，进而得到实数a 的取值范围． 【解答】若f(0)为f(x)的最小值，则当x ≤0时，函数f(x)＝(x −a)2为减函数， 则a ≥0，当x >0时，函数f(x)=x +4x +3a 的最小值4+3a ≥f(0)， 即4+3a ≥a 2， 解得：−1≤a ≤4，综上所述实数a 的取值范围是[0, 4]，12. 若方程ax2−(4−a2)x+2＝0在(0, 2)内恰有一解，则实数a的取值范围为________．【答案】(−3, 1]【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】对a进行讨论，结合二次函数的图象，得出结果．【解答】设f(x)＝ax2−(4−a2)x+2，若a＝0时，f(x)＝0，得x=1成立，2若a≠0，ax2−(4−a2)x+2＝0在(0, 2)内恰有一解，因为f(0)＝2>0，所以只需f(2)＝4a−2(4−a2)+2≤0，则a2+2a−3≤0，得a∈[−3, 1]，不成立，当a＝−3时，−3x2+5x+2＝0的根为x＝2或者x=−13所以a∈(−3, 1]，二.选择题下列命题中，正确的是（）A.x+4的最小值是4xB.√x2+4+的最小值是22C.如果a>b，c>d，那么a−c<b−dD.如果ac2>bc2，那么a>b【答案】D【考点】基本不等式及其应用【解析】A．x<0时，函数值小于0；B.√x2+4+>2，最小值不为2；2C．a>b，c>d，那么a+c>b+d即a−d>b−c；D．由于ac2>bc2，可得c2>0，可得a>b．A．x<0时，不正确；>2，最小值不为2，不正确；B.√x2+4+√x2+4C．a>b，c>d，那么a+c>b+d即a−d>b−c，因此不正确；D．∵ac2>bc2，∴c2>0，∴a>b，正确．设p:0<x<5，q:|x−2|<3，那么p是q的（）条件．A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】由|x−2|<3，得：−3<x−2<3，即−1<x<5，即q:−1<x<5，故p是q的充分不必要条件，非空集合A、B满足，A∩B＝⌀，P＝{x|x⊆A}，Q＝{x|x⫋B}，则下列关系一定成立的是（）A.A∪B＝P∪QB.P∩Q＝⌀C.P∩Q＝{⌀}D.A∪B⫋P∪Q【答案】C【考点】交集及其运算【解析】由A∩B＝⌀得A与B无公共元素，而P、Q分别是由集合A的子集、集合B的真子集构成的集合，空集是任何非空集合的真子集．【解答】∵A∩B＝⌀，∴A与B没有任何公共元素，∵P＝{x|x⊆A}，Q＝{x|x⫋B}，⌀是任何集合的子集，任何非空集合的真子集，∴P∩Q＝{x|x⊆A且x⫋B}＝{⌀}，已知函数y＝f(x+1)为偶函数，则下列关系一定成立的是（）A.f(x)＝f(−x)B.f(x+1)＝f(−x+1)C.f(x+1)＝f(−x−1)D.f(−x+1)＝f(x)【答案】B【考点】函数奇偶性的性质与判断根据偶函数的定义进行判断即可．【解答】∵y＝f(x+1)为偶函数，∴f(−x+1)＝f(x+1)，故B正确，三.解答题已知集合A={x|2x−1x+1≤1,x∈R}，集合B＝{x|x2−2ax+a2−1≤0, x∈R}．（1）求集合A；（2）若B∩(∁U A)＝B，求实数a的取值范围．【答案】由2x−1x+1≤1得，x−2x+1≤0；解得−1<x≤2；∴A＝{x|−1<x≤2}；∁U A＝{x|x≤−1, 或x>2}；∵B∩(∁U A)＝B；∴B⊆∁U A；且B＝{x|a−1≤x≤a+1}；∴a−1>2，或a+1≤−1；∴a>3，或a≤−2；∴实数a的取值范围为{a|a≤−2, 或a>3}．【考点】集合关系中的参数取值问题交、并、补集的混合运算【解析】（1）解分式不等式2x−1x+1≤1即可得出集合A＝{x|−1<x≤2}；（2）可求出∁U A＝{x|x≤−1, 或x>2}，根据B∩(∁U A)＝B即可得出B⊆∁U A，且B＝{x|a−1≤x≤a+1}，从而得出a−1>2或a+1≤−1，解出a的范围即可．【解答】由2x−1x+1≤1得，x−2x+1≤0；解得−1<x≤2；∴A＝{x|−1<x≤2}；∁U A＝{x|x≤−1, 或x>2}；∵B∩(∁U A)＝B；∴B⊆∁U A；且B＝{x|a−1≤x≤a+1}；∴a−1>2，或a+1≤−1；∴a>3，或a≤−2；∴实数a的取值范围为{a|a≤−2, 或a>3}．己知函数f(x)＝|x−a|+|x+b|．（1）若a＝1，b＝2，求不等式f(x)≤5的解；（2）对任意a >0，b >0，试确定函数y ＝f(x)的最小值M （用含a ，b 的代数式表示），若正数a 、b 满足a +4b ＝2ab ，则a 、b 分别取何值时，M 有最小值，并求出此最小值． 【答案】数f(x)＝|x −a|+|x +b|．由于a ＝1，b ＝2，所以|x −1|+|x +2|≤5，令x −1＝0，解得x ＝1，令x +2＝0，解得x ＝−2， 故：①当x ≤−2时，不等式转换为1−x −x −2≤5，解得−3≤x ≤−2． 当②−2<x <1时，不等式转换为x +2−1−x ≤5，即1≤5， 故不等式的解为−2<x <1．当③x ≥1时，不等式转换为x −1+x +2≤5，解得x ≤2， 由①②③得：不等式的解集为：x ∈[−3, 2]；对任意a >0，b >0，所以）|x −a|+|x +b|≥|a +b|＝a +b ． 所以函数y ＝f(x)的最小值M ＝a +b ，由于正数a 、b 满足a +4b ＝2ab ，整理得12b +2a =1， 所以a +b =(a +b)(12b +2a )=a2b +2b a+52≥2√a 2b ⋅2b a +52=92当a ＝43，b =23时，M 最小值为92．【考点】绝对值不等式的解法与证明 函数的最值及其几何意义 【解析】（1）直接利用分类讨论思想的应用和绝对值不等式的应用求出结果． （2）利用关系式的恒等变换的应用及均值不等式的应用求出结果． 【解答】数f(x)＝|x −a|+|x +b|．由于a ＝1，b ＝2，所以|x −1|+|x +2|≤5，令x −1＝0，解得x ＝1，令x +2＝0，解得x ＝−2， 故：①当x ≤−2时，不等式转换为1−x −x −2≤5，解得−3≤x ≤−2． 当②−2<x <1时，不等式转换为x +2−1−x ≤5，即1≤5， 故不等式的解为−2<x <1．当③x ≥1时，不等式转换为x −1+x +2≤5，解得x ≤2， 由①②③得：不等式的解集为：x ∈[−3, 2]；对任意a >0，b >0，所以）|x −a|+|x +b|≥|a +b|＝a +b ． 所以函数y ＝f(x)的最小值M ＝a +b ，由于正数a 、b 满足a +4b ＝2ab ，整理得12b +2a =1， 所以a +b =(a +b)(12b+2a)=a 2b +2b a+52≥2√a 2b⋅2b a+52=92当a ＝43，b =23时，M 最小值为92．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C(x)=k 3x+5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式．(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．【答案】解：(1)设隔热层厚度为xcm，由题知，每年能源消耗费用为C(x)=k3x+5．再由C(0)=8，得k=40，因此C(x)=403x+5．而建造费用为C1(x)=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x(0≤x≤10).(2)f′(x)=6−2400(3x+5)2，令f′(x)=0，即2400(3x+5)2=6．解得x=5，x=−253（舍去）．当0<x<5时，f′(x)<0，当5<x<10时，f′(x)>0，故x=5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)=6×5+80015+5=70．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．【考点】利用导数研究函数的最值函数模型的选择与应用【解析】（1）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C(x)=k3x+5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C(0)=8，得k=40，进而得到C(x)=403x+5．建造费用为C1(x)=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)，我们不难得到f(x)的表达式．（2）由①中所求的f(x)的表达式，我们利用导数法，求出函数f(x)的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f(x)的最小值．【解答】解：(1)设隔热层厚度为xcm，由题知，每年能源消耗费用为C(x)=k3x+5．再由C(0)=8，得k=40，因此C(x)=403x+5．而建造费用为C1(x)=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x(0≤x≤10).(2)f′(x)=6−2400(3x+5)2，令f′(x)=0，即2400(3x+5)2=6．解得x=5，x=−253（舍去）．当0<x <5时，f′(x)<0，当5<x <10时，f′(x)>0，故x =5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)=6×5+80015+5=70． 当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．已知函数f(x)=|x−a|x(a >0)，且满足f(12)＝1．（1）判断函数f(x)在(1, +∞)上的单调性，并用定义证明；（2）设函数g(x)=f(x)x，求g(x)在区间[12,4]上的最大值；（3）若存在实数m ，使得关于x 的方程2(x −a)2−x|x −a|+2mx 2＝0恰有4个不同的正根，求实数m 的取值范围． 【答案】 由f(12)=|12−a|12=1，得a ＝1或0．因为a >0，所以a ＝1，所以f(x)=|x−1|x．当x >1时，f(x)=x−1x=1−1x为增函数，任取x 1，x 2∈(1, +∞)，且x 1<x 2， 则f(x 1)−f(x 2)＝1−1x 1−1+1x 2=x 1−x 2x 1x 2，因为1<x 1<x 2，则x 1−x 2<0，x 1x 2>0，f(x 1)−f(x 2)<0， 所以f(x)在(1, +∞)上为增函数；g(x)=f(x)x=|x−1|x 2={x−1x 2,1≤x ≤41−x x 2,12≤x <1，当1≤x ≤4时，g(x)=x−1x 2=1x −1x 2=−(1x −12)2+14，因为14≤1x ≤1，所以当1x =12时，g(x)max =14； 当12≤x <1时，g(x)=1−x x 2=(1x −12)2−14，因为12≤x <1时，所以1<1x ≤2，所以当1x =2时，g(x)max ＝2； 综上，当x =12时，g(x)max ＝2；由（1）可知，f(x)在(1, +∞)上为增函数，当x >1时，f(x)＝1−1x ∈(0, 1)． 同理可得f(x)在(0, 1)上为减函数，当0<x <1时，f(x)=1x −1∈(0, +∞)． 方程2(x −1)2−x|x −1|+2mx 2＝0可化为2⋅|x−1|2x 2−|x−1|x+2m ＝0，即2f 2(x)−f(x)+2m ＝0，设t ＝f(x)，方程可化为2t 2−t +2m ＝0，要使原方程有4个不同的正根，则方程2t 2−t +2m ＝0在(0, 1)有两个不等的根t 1，t 2， 则有{1−16m >02m >02×12−1+2m >0 ，解得0<m <116， 所以实数m 的取值范围为(0, 116)． 【考点】函数与方程的综合运用 【解析】（1）由f(12)＝1，解方程可得a ，再由单调性的定义，即可证得f(x)在(1, +∞)上为增函数；（2）运用分段函数写出g(x)，讨论1≤x ≤4，12≤x <1，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值；（3）由题意可得方程2(x −1)2−x|x −1|+2mx 2＝0可化为2⋅|x−1|2x 2−|x−1|x+2m ＝0，即2f 2(x)−f(x)+2m ＝0，设t ＝f(x)，方程可化为2t 2−t +2m ＝0，由题意可得方程2t 2−t +2m ＝0在(0, 1)有两个不等的根t 1，t 2，可得m 的不等式，解不等式即可得到所求范围． 【解答】 由f(12)=|12−a|12=1，得a ＝1或0．因为a >0，所以a ＝1，所以f(x)=|x−1|x．当x >1时，f(x)=x−1x=1−1x 为增函数，任取x 1，x 2∈(1, +∞)，且x 1<x 2， 则f(x 1)−f(x 2)＝1−1x 1−1+1x 2=x 1−x 2x 1x 2，因为1<x 1<x 2，则x 1−x 2<0，x 1x 2>0，f(x 1)−f(x 2)<0， 所以f(x)在(1, +∞)上为增函数；g(x)=f(x)x=|x−1|x 2={x−1x 2,1≤x ≤41−x x 2,12≤x <1 ，当1≤x ≤4时，g(x)=x−1x 2=1x −1x 2=−(1x −12)2+14，因为14≤1x ≤1，所以当1x =12时，g(x)max =14； 当12≤x <1时，g(x)=1−x x 2=(1x −12)2−14，因为12≤x <1时，所以1<1x ≤2，所以当1x =2时，g(x)max ＝2； 综上，当x =12时，g(x)max ＝2；同理可得f(x)在(0, 1)上为减函数，当0<x <1时，f(x)=1x −1∈(0, +∞)． 方程2(x −1)2−x|x −1|+2mx 2＝0可化为2⋅|x−1|2x 2−|x−1|x+2m ＝0，即2f 2(x)−f(x)+2m ＝0，设t ＝f(x)，方程可化为2t 2−t +2m ＝0， 要使原方程有4个不同的正根，则方程2t 2−t +2m ＝0在(0, 1)有两个不等的根t 1，t 2， 则有{1−16m >02m >02×12−1+2m >0 ，解得0<m <116， 所以实数m 的取值范围为(0, 116)．已知函数f(x)＝mx +3，g(x)＝x 2+2x +m ． （1）求证：函数f(x)−g(x)必有零点；（2）设函数G(x)＝f(x)−g(x)−1．①若|G(x)|在[−1, 0]上是减函数，求实数m 的取值范围；②是否存在整数a 、b ，以及实数m ，使得不等式a ≤G(x)≤b 的解集恰好是[a, b]？若存在，求出a 、b 的值，若不存在，请说明理由． 【答案】证明：f(x)−g(x)＝−x 2+(m −2)x +3−m ． 令f(x)−g(x)＝0．则△＝(m −2)2−4(m −3)＝m 2−8m +16＝(m −4)2≥0恒成立， ∴ 方程f(x)−g(x)＝0有解， 即函数f(x)−g(x)必有零点；①G(x)＝f(x)−g(x)−1＝−x 2+(m −2)x +2−m ， 令G(x)＝0，△＝(m −2)2−4(m −2)＝(m −2)(m −6)． 当△≤0，即2≤m ≤6时，G(x)＝−x 2+(m −2)x +2−m ≤0恒成立， ∴ |G(x)|＝x 2−(m −2)x +m −2． ∵ |G(x)|在[−1, 0]上是减函数， ∴m−22≥0，解得m ≥2．∴ 2≤m ≤6．当△>0，即m <2或m >6时， |G(x)|＝x 2−(m −2)x +m −2． ∵ |G(x)|在[−1, 0]上是减函数，∴ x 2−(m −2)x +m −2＝0的两根均大于零或一根大于零另一根小于零 且x =m−22≤−1．∴ {m −2>0m−22>0 或{m −2<0m−22≤−1解得m >2或m ≤0． ∴ m ≤0或m >6．消m ，得ab −2a −b ＝0， 显然b ≠2．∴ a =bb−2=1+2b−2．∵ a ，b 为整数，所以b −2＝±1或b −2＝±2． 解得{a =3b =3 或{a =−1b =1 或{a =2b =4 或{a =0b =0 ， ∵ a <b ，且a ≤4(2−m)+(m−2)24≤b ，∴ {a =−1b =1 或{a =2b =4．【考点】函数与方程的综合运用 【解析】（1）利用一元二次函数存在零点求解；（2）①利用对折变换函数图象的特征，分△大于零，小于等于零两种情况讨论； ②利用a ≤G(x)≤b 的解集恰好是[a, b]得到{G(a)=aG(b)=b 再进行求解．【解答】证明：f(x)−g(x)＝−x 2+(m −2)x +3−m ． 令f(x)−g(x)＝0．则△＝(m −2)2−4(m −3)＝m 2−8m +16＝(m −4)2≥0恒成立， ∴ 方程f(x)−g(x)＝0有解， 即函数f(x)−g(x)必有零点；①G(x)＝f(x)−g(x)−1＝−x 2+(m −2)x +2−m ， 令G(x)＝0，△＝(m −2)2−4(m −2)＝(m −2)(m −6)． 当△≤0，即2≤m ≤6时，G(x)＝−x 2+(m −2)x +2−m ≤0恒成立， ∴ |G(x)|＝x 2−(m −2)x +m −2． ∵ |G(x)|在[−1, 0]上是减函数， ∴m−22≥0，解得m ≥2．∴ 2≤m ≤6．当△>0，即m <2或m >6时， |G(x)|＝x 2−(m −2)x +m −2． ∵ |G(x)|在[−1, 0]上是减函数，∴ x 2−(m −2)x +m −2＝0的两根均大于零或一根大于零另一根小于零 且x =m−22≤−1．∴ {m −2>0m−22>0 或{m −2<0m−22≤−1解得m >2或m ≤0． ∴ m ≤0或m >6．消m ，得ab −2a −b ＝0， 显然b ≠2．∴ a =bb−2=1+2b−2．∵ a ，b 为整数，所以b −2＝±1或b −2＝±2． 解得{a =3b =3 或{a =−1b =1 或{a =2b =4 或{a =0b =0 ， ∵ a <b ，且a ≤4(2−m)+(m−2)24≤b ，∴ {a =−1b =1 或{a =2b =4．。
上海市上海交通大学附属中学2019_2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)
上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一. 填空题 1.函数y=的定义域为 . 【答案】()0,+∞ 【解析】试题分析：函数y=的定义域为0{0x x ≥≠所以0x >考点：函数定义域的求法．2.已知{|12}A x x =-<<，2{|30,}B x x x x =-<∈R ，则A B =I ________ 【答案】(0,2) 【解析】 【分析】对集合B 中的不等式求出其解集，然后利用集合的交集运算，得到答案. 【详解】集合2{|30,}{|03}B x x x x x x =-<∈=<<R ， 而集合{|12}A x x =-<< 所以{|02}A B x x ⋂=<< 故答案为：(0,2)【点睛】本题考查解不含参的二次不等式，集合的交集运算，属于简单题. 3.当0x >时，函数1()f x x x -=+的值域为________ 【答案】[2,)+∞ 【解析】 【分析】根据基本不等式，求出当0x >时，函数1()2f x x x -=+≥，得到答案.【详解】因为0x >，所以函数1()2f x x x -=+=≥， 当且仅当1x x -=，即1x =时，等号成立. 所以函数1()f x x x -=+的值域为[2,)+∞， 故答案为：[2,)+∞【点睛】本题考查求具体函数的值域，基本不等式求和最小值，属于简单题.4.设{|52U x x =-≤<-或25,}x x <≤∈Z ，2{|2150}A x x x =--=，{3,3,4}B =-，则U A B =I ð__ 【答案】{5} 【解析】 【分析】先对集合U 进行化简，然后根据集合U 和集合B ，由集合的补集运算计算出U B ð，再对集合A 进行化简，然后利用集合的交集运算，得到答案. 【详解】集合{|52U x x =-≤<-或25,}x x <≤∈Z ， 所以{}5,4,3,3,4,5U =--- 集合{3,3,4}B =-， 所以{}5,4,5U B =--ð，集合{}{}2|21503,5A x x x =--==-,所以{}5U A B =I ð， 故答案为：{}5.【点睛】本题考查集合的补集和交集运算，属于简单题.5.已知集合{2,1}A =-，{|2}B x ax ==，若A B A ⋃=，则实数a 值集合为________ 【答案】{0,1,2}- 【解析】 【分析】由A B A ⋃=可得B A ⊆，然后分B =∅和B ≠∅进行讨论，得到答案.【详解】因为A B A ⋃=，所以得到B A ⊆， 集合{2,1}A =-，{|2}B x ax == 当B =∅时，0a =，当B ≠∅时，0a ≠，则2B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭所以有22a =-或21a=，则1a =-或2a =， 综上0a =或1a =-或2a = 故答案为：{0,1,2}-【点睛】本题考查由集合的包含关系求参数的值，属于简单题.6.满足条件{1,3,5}{3,5,7}{1,3,5,7,9}A =U U 的所有集合A 的个数是________个 【答案】16 【解析】 【分析】先计算{}{}{}1,3,53,5,71,3,5,7=U ，由结果可知集合A 中应有元素9，然后元素9与集合{}1,3,5,7的子集中的元素一起，构成集合A ，从而得到答案.【详解】因为{1,3,5}{3,5,7}{1,3,5,7,9}A =U U ， 而{}{}{}1,3,53,5,71,3,5,7=U ， 所以可得集合A 中一定有元素9，所以元素9与集合{}1,3,5,7的子集中的元素一起，构成集合A ， 而集合{}1,3,5,7的子集有42=16个， 故满足要求的集合A 的个数是16. 故答案为：16.【点睛】本题考查根据集合的运算结果求满足要求的集合个数，根据集合元素个数求子集的个数，属于简单题.7.已知不等式2202x xx a+≤+解集为A ，且2A ∈，3A ∉，则实数a 的取值范围是________【答案】3[,1)2-- 【解析】 【分析】由题意可知，代入2x =可满足不等式，代入3x =则不满足不等式，从而得到关于a 的不等式组，解得a 的取值范围.【详解】因为不等式2202x xx a+≤+解集为A ，且2A ∈，3A ∉，所以可得代入2x =，不等式成立，即2022222a≤+⨯+，解得1a <-，代入3x =，不等式不成立，即2323032a+⨯>+，解得32a >-，且当32a =-时，3x =也不满足不等式， 综上，a 的范围为3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭， 故答案为：3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查根据分式不等式的解集中的元素求参数的范围，属于中档题.8.若函数()f x a 的取值范围为________【答案】1a > 【解析】 【分析】首先满足函数()f x 的定义域关于原点对称，得到a 的取值范围，再验证此时函数()f x 为偶函数而非奇函数，从而得到答案.【详解】由函数()f x =0a ≥，函数()f x 要为偶函数， 则其定义域需关于原点对称，22100x a x ⎧-≥⎨-≥⎩，解得11x x x ≤-≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或1≥，即1a ≥ 当1a =时，函数()0f x ==。
2019-2020 学年上海中学高一(上)期中数学试卷
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二.选择题
11．（3 分）下列命题中正确的有（ ）
①很小的实数可以构成集合；
②集合{y|y＝x2﹣1}与集合{（x，y）|y＝x2﹣1}是同一个集合；
③集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集；
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
12．（3 分）设 x＞0，y＞0，下列不等式中等号能成立的有（ ）
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【分析】作出文氏图，根据集合关系进行求解即可． 【解答】解：作出文氏图， 由（∁UA）∩B＝{1，9}，A∩B＝{2}，（∁UA）∩∁UB＝{4，6，8} 得 A＝{2，3，5，7}， 故答案为：{2，3，5，7}
．
4．（3 分）若全集 U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A、B 为 U 的子集，且（∁UA）∩B
＝{1，9}，A∩B＝{2}，（∁UA）∩∁UB＝{4，6，8}，则集合 A＝
．
5．（3 分）已知集合 A＝{a，b，2}，B＝{2，b2，2a}（a，b∈R），且 A＝B，则 b＝
．
6．（3 分）已知正实数 x，y 满足 x+3y＝1，则 xy 的最大值为
18．已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式 x2﹣x﹣m＝0 成立”是真命题， （1）求实数 m 的取值集合 M； （2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0 的解集为 N，若 x∈N 是 x∈M 的必要条件，求 a 的取值范围．
19．已知二次函数
，
，
．
（1）若 a＝3，b＝2，c＝1，解不等式组：
；
（2）若 a，b，c∈{1，2，3，4}，对任意 x∈R，证明：f1（x）、f2（x）、f3（x）中至少 有一个非负； （3）设 a、b、c 是正整数，求所有可能的有序三元组（a，b，c），使得 f1（x）＝0，f2
2019-2020学年上海市交大附中高一(上)期中数学试卷(解析版)
2019-2020学年上海市交大附中高一（上）期中数学试卷一.填空题1．函数y＝的定义域为．2．已知A＝{x|﹣1＜x＜2}，{x|x2﹣3x＜0，x∈R}，则A∩B＝．3．当x＞0时，函数f（x）＝x+x﹣1的值域为．4．设U＝{x|﹣5≤x＜﹣2或2＜x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2﹣2x﹣15＝0}，B＝{﹣3，3，4}，则A∩∁U B＝．5．已知集合A＝{﹣2，1}，B＝{x|ax＝2}，若A∪B＝A，则实数a值集合为．6．满足条件{1，3，5}∪A∪{3，5，7}＝{1，3，5，7，9}的所有集合A的个数是个．7．已知不等式的解集为A，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围是．8．若函数f（x）＝+为偶函数且非奇函数，则实数a的取值范围为．9．已知a、b是常数，且ab≠0，若函数的最大值为10，则f（x）的最小值为．10．设正实数a、b满足3a+ab+b＝24，那么的最小值为．11．已知函数f（x）＝，且f（0）为f（x）的最小值，则实数a的取值范围是．12．若方程ax2﹣（4﹣a2）x+2＝0在（0，2）内恰有一解，则实数a的取值范围为．二.选择题13．下列命题中，正确的是（）A．的最小值是4B．的最小值是2C．如果a＞b，c＞d，那么a﹣c＜b﹣dD．如果ac2＞bc2，那么a＞b14．设p：0＜x＜5，q：|x﹣2|＜3，那么p是q的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要15．非空集合A、B满足，A∩B＝∅，P＝{x|x⊆A}，Q＝{x|x⫋B}，则下列关系一定成立的是（）A．A∪B＝P∪Q B．P∩Q＝∅C．P∩Q＝{∅}D．A∪B⫋P∪Q 16．已知函数y＝f（x+1）为偶函数，则下列关系一定成立的是（）A．f（x）＝f（﹣x）B．f（x+1）＝f（﹣x+1）C．f（x+1）＝f（﹣x﹣1）D．f（﹣x+1）＝f（x）三.解答题17．已知集合，集合B＝{x|x2﹣2ax+a2﹣1≤0，x∈R}．（1）求集合A；（2）若B∩（∁U A）＝B，求实数a的取值范围．18．己知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|．（1）若a＝1，b＝2，求不等式f（x）≤5的解；（2）对任意a＞0，b＞0，试确定函数y＝f（x）的最小值M（用含a，b的代数式表示），若正数a、b满足a+4b＝2ab，则a、b分别取何值时，M有最小值，并求出此最小值．19．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）＝（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．20．已知函数f（x）＝（a＞0），且满足f（）＝1．（1）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并用定义证明；（2）设函数g（x）＝，求g（x）在区间[]上的最大值；（3）若存在实数m，使得关于x的方程2（x﹣a）2﹣x|x﹣a|+2mx2＝0恰有4个不同的正根，求实数m的取值范围．21．已知函数f（x）＝mx+3，g（x）＝x2+2x+m．（1）求证：函数f（x）﹣g（x）必有零点；（2）设函数G（x）＝f（x）﹣g（x）﹣1．①若|G（x）|在[﹣1，0]上是减函数，求实数m的取值范围；②是否存在整数a、b，以及实数m，使得不等式a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]？若存在，求出a、b的值，若不存在，请说明理由．2019-2020学年上海市交大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．函数y＝的定义域为（0，+∞）．【解答】解：要使函数有意义，则需x≥0且x≠0，即x＞0，则定义域为（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．2．已知A＝{x|﹣1＜x＜2}，{x|x2﹣3x＜0，x∈R}，则A∩B＝（0，2）．【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，∴A∩B＝（0，2）．故答案为：（0，2）．3．当x＞0时，函数f（x）＝x+x﹣1的值域为[2，+∞）．【解答】解：∵x＞0，∴f（x）＝x+x﹣1＝x+．当且仅当x＝1时，上式“＝”成立．∴函数f（x）＝x+x﹣1的值域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．4．设U＝{x|﹣5≤x＜﹣2或2＜x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2﹣2x﹣15＝0}，B＝{﹣3，3，4}，则A∩∁U B＝{5}．【解答】解：∵U＝{x|﹣5≤x＜﹣2或2＜x≤5，x∈Z}＝{﹣5，﹣4，﹣3，3，4，5}，A＝{x|x2﹣2x﹣15＝0}＝{﹣3，5}，B＝{﹣3，3，4}，∴∁U B＝{﹣5，﹣4，5}，∴A∩∁U B＝{5}．故答案为：{5}．5．已知集合A＝{﹣2，1}，B＝{x|ax＝2}，若A∪B＝A，则实数a值集合为{0，﹣1，2}．【解答】解：∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴①B＝∅时，a＝0；②B≠∅时，，则或，解得a＝﹣1或2，∴实数a值集合为{0，﹣1，2}．故答案为：{0，﹣1，2}．6．满足条件{1，3，5}∪A∪{3，5，7}＝{1，3，5，7，9}的所有集合A的个数是16个．【解答】解：∵{1，3，5}∪A∪{3，5，7}＝{1，3，5，7，9}，∴集合A一定含元素9，可能含元素1，3，5，7，∴集合A的个数为24＝16个．故答案为：16．7．已知不等式的解集为A，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围是．【解答】解：因为的解集为A，且2∈A，3∉A，所以≤0，①＞0，②3+2a＝0，③解①得：a＜﹣1．解②得：a＞﹣，解③得：a＝﹣，故实数a的取值范围为．故答案是：．8．若函数f（x）＝+为偶函数且非奇函数，则实数a的取值范围为a＞1．【解答】解：∵函数f（x）＝+为偶函数且非奇函数，∴f（﹣x）＝f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），又，∴a≥1．a＝1，函数f（x）＝+为偶函数且奇函数，故答案为：a＞1．9．已知a、b是常数，且ab≠0，若函数的最大值为10，则f（x）的最小值为﹣4．【解答】解：函数定义域为[﹣1，1]，设g（x）＝为奇函数，f（x）max＝g（x）max+3＝10，所以g（x）min＝﹣g（x）max＝﹣7，所以f（x）min＝﹣7+3＝﹣4，故答案为：﹣4．10．设正实数a、b满足3a+ab+b＝24，那么的最小值为．【解答】解：因为a，b为正数，满足3a+ab+b＝24，所以24＝3a+b+ab≥2+ab；令＝t，t＞0，则t2+2t﹣24≤0；解得0＜t≤2，即0＜ab≤12，所以，；所以的最小值为．故答案为：．11．已知函数f（x）＝，且f（0）为f（x）的最小值，则实数a的取值范围是[0，4]．【解答】解：若f（0）为f（x）的最小值，则当x≤0时，函数f（x）＝（x﹣a）2为减函数，则a≥0，当x＞0时，函数f（x）＝的最小值4+3a≥f（0），即4+3a≥a2，解得：﹣1≤a≤4，综上所述实数a的取值范围是[0，4]，故答案为：[0，4]12．若方程ax2﹣（4﹣a2）x+2＝0在（0，2）内恰有一解，则实数a的取值范围为（﹣3，1]．【解答】解：设f（x）＝ax2﹣（4﹣a2）x+2，若a＝0时，f（x）＝0，得x＝成立，若a≠0，ax2﹣（4﹣a2）x+2＝0在（0，2）内恰有一解，因为f（0）＝2＞0，所以只需f（2）＝4a﹣2（4﹣a2）+2≤0，则a2+2a﹣3≤0，得a∈[﹣3，1]，当a＝﹣3时，﹣3x2+5x+2＝0的根为x＝2或者x＝﹣不成立，所以a∈（﹣3，1]，故答案为：（﹣3，1]．二.选择题13．下列命题中，正确的是（）A．的最小值是4B．的最小值是2C．如果a＞b，c＞d，那么a﹣c＜b﹣dD．如果ac2＞bc2，那么a＞b【解答】解：A．x＜0时，不正确；B.＞2，最小值不为2，不正确；C．a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d即a﹣d＞b﹣c，因此不正确；D．∵ac2＞bc2，∴c2＞0，∴a＞b，正确．故选：D．14．设p：0＜x＜5，q：|x﹣2|＜3，那么p是q的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：由|x﹣2|＜3，得：﹣3＜x﹣2＜3，即﹣1＜x＜5，即q：﹣1＜x＜5，故p是q的充分不必要条件，故选：A．15．非空集合A、B满足，A∩B＝∅，P＝{x|x⊆A}，Q＝{x|x⫋B}，则下列关系一定成立的是（）A．A∪B＝P∪Q B．P∩Q＝∅C．P∩Q＝{∅}D．A∪B⫋P∪Q 【解答】解：∵A∩B＝∅，∴A与B没有任何公共元素，∵P＝{x|x⊆A}，Q＝{x|x⫋B}，∅是任何集合的子集，任何非空集合的真子集，∴P∩Q＝{x|x⊆A且x⫋B}＝{∅}，故选：C．16．已知函数y＝f（x+1）为偶函数，则下列关系一定成立的是（）A．f（x）＝f（﹣x）B．f（x+1）＝f（﹣x+1）C．f（x+1）＝f（﹣x﹣1）D．f（﹣x+1）＝f（x）【解答】解：∵y＝f（x+1）为偶函数，∴f（﹣x+1）＝f（x+1），故B正确，故选：B．三.解答题17．已知集合，集合B＝{x|x2﹣2ax+a2﹣1≤0，x∈R}．（1）求集合A；（2）若B∩（∁U A）＝B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由得，；解得﹣1＜x≤2；∴A＝{x|﹣1＜x≤2}；（2）∁U A＝{x|x≤﹣1，或x＞2}；∵B∩（∁U A）＝B；∴B⊆∁U A；且B＝{x|a﹣1≤x≤a+1}；∴a﹣1＞2，或a+1≤﹣1；∴a＞3，或a≤﹣2；∴实数a的取值范围为{a|a≤﹣2，或a＞3}．18．己知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|．（1）若a＝1，b＝2，求不等式f（x）≤5的解；（2）对任意a＞0，b＞0，试确定函数y＝f（x）的最小值M（用含a，b的代数式表示），若正数a、b满足a+4b＝2ab，则a、b分别取何值时，M有最小值，并求出此最小值．【解答】解：（1）数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|．由于a＝1，b＝2，所以|x﹣1|+|x+2|≤5，令x﹣1＝0，解得x＝1，令x+2＝0，解得x＝﹣2，故：①当x≤﹣2时，不等式转换为1﹣x﹣x﹣2≤5，解得﹣3≤x≤﹣2．当②﹣2＜x＜1时，不等式转换为x+2﹣1﹣x≤5，即1≤5，故不等式的解为﹣2＜x＜1．当③x≥1时，不等式转换为x﹣1+x+2≤5，解得x≤2，由①②③得：不等式的解集为：x∈[﹣3，2]；（2）对任意a＞0，b＞0，所以）|x﹣a|+|x+b|≥|a+b|＝a+b．所以函数y＝f（x）的最小值M＝a+b，由于正数a、b满足a+4b＝2ab，整理得，所以＝＝当a＝43，时，M最小值为．19．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）＝（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．【解答】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为．再由C（0）＝8，得k＝40，因此．而建造费用为C1（x）＝6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（Ⅱ），令f'（x）＝0，即．解得x＝5，（舍去）．当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x＝5是f（x）的最小值点，对应的最小值为．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．20．已知函数f（x）＝（a＞0），且满足f（）＝1．（1）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并用定义证明；（2）设函数g（x）＝，求g（x）在区间[]上的最大值；（3）若存在实数m，使得关于x的方程2（x﹣a）2﹣x|x﹣a|+2mx2＝0恰有4个不同的正根，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由f（）＝＝1，得a＝1或0．因为a＞0，所以a＝1，所以f（x）＝．当x＞1时，f（x）＝＝1﹣为增函数，任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝1﹣﹣1+＝，因为1＜x1＜x2，则x1﹣x2＜0，x1x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＜0，所以f（x）在（1，+∞）上为增函数；（2）g（x）＝＝＝，当1≤x≤4时，g（x）＝＝﹣＝﹣（﹣）2+，因为≤≤1，所以当＝时，g（x）max＝；当≤x＜1时，g（x）＝＝（﹣）2﹣，因为≤x＜1时，所以1＜≤2，所以当＝2时，g（x）max＝2；综上，当x＝时，g（x）max＝2；（3）由（1）可知，f（x）在（1，+∞）上为增函数，当x＞1时，f（x）＝1﹣∈（0，1）．同理可得f（x）在（0，1）上为减函数，当0＜x＜1时，f（x）＝﹣1∈（0，+∞）．方程2（x﹣1）2﹣x|x﹣1|+2mx2＝0可化为2•﹣+2m＝0，即2f2（x）﹣f（x）+2m＝0，设t＝f（x），方程可化为2t2﹣t+2m＝0，要使原方程有4个不同的正根，则方程2t2﹣t+2m＝0在（0，1）有两个不等的根t1，t2，则有，解得0＜m＜，所以实数m的取值范围为（0，）．21．已知函数f（x）＝mx+3，g（x）＝x2+2x+m．（1）求证：函数f（x）﹣g（x）必有零点；（2）设函数G（x）＝f（x）﹣g（x）﹣1．①若|G（x）|在[﹣1，0]上是减函数，求实数m的取值范围；②是否存在整数a、b，以及实数m，使得不等式a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]？若存在，求出a、b的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）证明：f（x）﹣g（x）＝﹣x2+（m﹣2）x+3﹣m．令f（x）﹣g（x）＝0．则△＝（m﹣2）2﹣4（m﹣3）＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2≥0恒成立，∴方程f（x）﹣g（x）＝0有解，即函数f（x）﹣g（x）必有零点；（2）①G（x）＝f（x）﹣g（x）﹣1＝﹣x2+（m﹣2）x+2﹣m，令G（x）＝0，△＝（m﹣2）2﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）（m﹣6）．当△≤0，即2≤m≤6时，G（x）＝﹣x2+（m﹣2）x+2﹣m≤0恒成立，∴|G（x）|＝x2﹣（m﹣2）x+m﹣2．∵|G（x）|在[﹣1，0]上是减函数，∴≥0，解得m≥2．∴2≤m≤6．当△＞0，即m＜2或m＞6时，|G（x）|＝x2﹣（m﹣2）x+m﹣2．∵|G（x）|在[﹣1，0]上是减函数，∴x2﹣（m﹣2）x+m﹣2＝0的两根均大于零或一根大于零另一根小于零且x＝≤﹣1．∴或解得m＞2或m≤0．∴m≤0或m＞6．∴m的取值范围为（﹣∞，0]∪[2，+∞）．②∵a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]，∴即，消m，得ab﹣2a﹣b＝0，显然b≠2．∴a＝＝1+．∵a，b为整数，所以b﹣2＝±1或b﹣2＝±2．解得或或或，∵a＜b，且a≤≤b，∴或．。
【40套试卷合集】上海交通大学附属中学2019-2020学年数学高一上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年上海交大附中高一上学期期末考数学试卷含详解
2019-2020学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷一、填空题1．弧度数为2的角的终边落在第象限．2．若幂函数f（x）＝xα图象过点，则f（3）＝．3．已知＝2，则tanα的值为．4．＝．5．已知lg2＝a，10b＝3，则log125＝．（用a、b表示）6．若tanα＝；则cos（2α+）＝．7．已知函数f（x）＝的值域为R，则实数a的取值范围是．8．已知θ∈（0，），2sin2θ＝1+cos2θ，则tanθ＝．9．已知α∈（﹣，0），sin（π﹣2α）＝﹣，则sinα﹣cosα＝10．已知锐角α，β满足sin（2α+β）＝3sinβ，则tan（α+β）cotα＝．11．已知α，β∈（0，π），且tan（α﹣β）＝，tanβ＝﹣，2α﹣β的值为．12．已知f（x）是定义域为R的单调函数，且对任意实数x，都有f[f（x）+]＝，则f（log2sin）＝．二、选择题13．“sinα＜0”是“α为第三、四象限角”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．A为三角形ABC的一个内角，若sin A+cos A＝，则这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形15．已知函数f（x）＝log a（6﹣ax）在x∈[2，3）上为减函数，则a的取值范围是（）A．（1，2）B．（1，2]C．（1，3）D．（1，3]16．设x1，x2分别是f（x）＝x﹣a﹣x与g（x）＝x log a x﹣1（a＞1）的零点，则x1+9x2的取值范围是（）A．[8，+∞）B．（10，+∞）C．[6，+∞）D．（8，+∞）三、解答题17．已知α∈（0，），β∈（0，），sinα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．18．已知函数f（x）＝3x﹣a•3﹣x，其中a为实常数；（1）若f（0）＝7，解关于x的方程f（x）＝5；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．19．高境镇要修建一个扇形绿化区域，其周长为400m，所在圆的半径为r，扇形的圆心角的弧度数为θ，θ∈（0，2π）．（1）求绿化区域面积S关于r的函数关系式，并指数r的取值范围：（2）所在圆的半径为r取何值时，才能使绿化区域的面积S最大，并求出此最大值．20．已知函数y＝f（x）的定义域为（1，+∞），对于定义域内的任意实数x，有f（2x）＝2f（x）成立，且x∈（1，2]时，f（x）＝log2x．（1）当x∈（1，23]时，求函数y＝f（x）的最大值；（2）当x∈（1，23.7]时，求函数y＝f（x）的最大值；（3）已知f（1200）＝f（b）（实数b＞1），求实数b的最小值．21．已知函数f（x）＝log a（x+）．x∈（1，+∞），a＞0且a≠1．（1）若a为整数，且f（）＝2，试确定一个满足条件的a的值；（2）设y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），若f﹣1（n）＜（n∈N*），试确定a的取值范围；（3）若a＝2，此时y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），令g（x）＝，若对一切实数x1，x2，x3，不等式g（x1）+g（x2）＞g（x3）恒成立，试确定实数k的取值范围．2019-2020学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试卷解析一、填空题1．【解答】解：根据题意，＜2＜π，则弧度数为2的角的终边落在第二象限，故答案为：二2．【解答】解：幂函数f（x）＝xα图象过点，则2α＝，解得α＝﹣1，∴f（x）＝x﹣1；∴f（3）＝3﹣1＝．故答案为：．3．【解答】解：∵＝＝2，∴tanα＝5．故答案为：5．4．【解答】解：＝cos＝﹣cos＝﹣，故答案为：．5．【解答】解：∵10b＝3，∴lg3＝b，又lg2＝a，∴log125＝．故答案为：．6．【解答】解：∵tanα＝，∴cos（2α+）＝﹣sin2α＝＝＝＝﹣．故答案为：﹣．7．【解答】解：当x≥1时，f（x）＝2x﹣1≥1，当x＜1时，f（x）＝（1﹣2a）x+3a，∵函数f（x）＝的值域为R，∴（1﹣2a）x+3a必须取到﹣∞，即满足：，解得0≤a＜，故答案为：[0，）．8．【解答】解：∵θ∈（0，），∴cosθ＞0，∵2sin2θ＝1+cos2θ，∴4sinθcosθ＝2cos2θ，可得tanθ＝．故答案为：．9．【解答】解：∵α∈（﹣，0），sin（π﹣2α）＝sin2α＝﹣，∴sinα＜0，cosα＞0，∴sinα﹣cosα＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．10．【解答】解：sin（2α+β）＝3sinβ，sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα＝3[sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα]，2sin（α+β）cosα＝4cos（α+β）sinα，又α、β为锐角，所以sinα≠0，cos（α+β）≠0，所以tan（α+β）cotα＝＝2．故答案为：2．11．【解答】解：由tan（α﹣β）＝，tanβ＝﹣，∴tanα＝tan[（α﹣β）+β]＝＝＝，由此可得tan（2α﹣β）＝tan[（α﹣β）+α]＝＝＝．又α∈（0，π），且tanα＝＜1，∴0＜α＜，又β∈（0，π），tanβ＝﹣＜0，∴＜β＜π，因此2α﹣β∈（﹣π，0），可得﹣π＜2α﹣β＜0，所以2α﹣β＝﹣．故答案为：﹣．12．【解答】解：根据题意，f（x）是定义域为R的单调函数，且对任意实数x都有f[f（x）+]＝，则f（x）+为常数，设f（x）+＝t，则f（x）＝﹣+t，又由f[f（x）+]＝，即f（t）＝﹣+t＝，解可得t＝1，则f（x）＝﹣+1，∵sin＝，则f（log2）＝f（﹣1）＝﹣+1＝﹣；故答案为：﹣．二、选择题13．【解答】解：由α为第三、四象限角，可得sinα＜0．反之不成立，例如．故选：B．14．【解答】解：∵sin A+cos A＝，∴两边平方得（sin A+cos A）2＝，即sin2A+2sin A cos A+cos2A＝，∵sin2A+cos2A＝1，∴1+2sin A cos A＝，解得sin A cos A＝（﹣1）＝﹣＜0，∵A∈（0，π）且sin A cos A＜0，∴A∈（，π），可得△ABC是钝角三角形故选：B．15．【解答】解：若函数f（x）＝log a（6﹣ax）在x∈[2，3）上为减函数，则解得：a∈（1，2]．故选：B．16．【解答】解：由设x1，x2分别是函数f（x）＝x﹣a﹣x和g（x）＝x log a x﹣1的零点（其中a＞1），可知x1是方程a x＝的解；x2是方程＝log a x的解；则x1，x2分别为函数y＝的图象与函数y＝a x和函数y＝log a x的图象交点的横坐标；设交点分别为A（x1，），B（x2，）由a＞1，知0＜x1＜1；x2＞1；又因为y＝a x和y＝log a x以及y＝的图象均关于直线y＝x对称，所以两交点一定关于y＝x对称，由于点A（x1，），关于直线y＝x的对称点坐标为（，x1），所以x1＝，有x1x2＝1，而x1≠x2则x1+9x2＝x1+x2+8x2≥2+8x2＞2+8＝10，即x1+9x2∈（10，+∞）故选：B．三、解答题17．【解答】解：（1）∵α∈（0，），sinα＝，∴cosα＝＝，tanα＝＝4，∴tan2α＝＝＝﹣．（2）∵α∈（0，），β∈（0，），sinα＝，cos（α+β）＝﹣，∴α+β∈（0，π），sin（α+β）＝＝，∴cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝（﹣）×+×＝．18．【解答】解：（1）由f（0）＝7，即1﹣a＝7，可得a＝﹣6，那么3x+6•3﹣x＝5，∴（3x）2﹣5•3x+6＝（3x﹣2）（3x﹣3）＝0，解得x＝1或x＝log32．（2）由f（﹣x）＝﹣a•3x+3﹣x，当a＝﹣1时，可得f（﹣x）＝f（x）此时f（x）是偶函数，当a＝1时，f（﹣x）＝﹣f（x）此时f（x）是奇函数，当a≠±1时，f（x）是非奇非偶函数．19．【解答】解：（1）由题意知，扇形的周长为2r+θr＝400，所以θ＝；又θ∈（0，2π），所以＜r＜200；所以扇形的面积为S＝θr2＝•＝﹣r2+200r，其中r的取值范围是（，200）；（2）S（r）＝﹣r2+200r＝﹣（r﹣100）2+10000，当r＝100时，S（r）取得最大值为10000，即半径为r＝100m时，绿化区域的面积S最大，最大值10000m2．20．【解答】解：（1）对任意的x∈（1，+∞），恒有f（2x）＝2f（x）成立，所以f（x）＝2f（）；且x∈（1，2]时，f（x）＝log2x∈（0，1]；所以当x∈（2，4]时，∈（1，2]，f（x）＝2f（）＝2log2∈（0，2]；当x∈（4，8]时，∈（2，4]，f（x）＝2f（）＝4log2∈（0，4]；当x∈（8，16]时，∈（4，8]，f（x）＝2f（）＝8log2∈（0，8]；…；当x∈（2n﹣1，2n]时，∈（2n﹣2，2n﹣1]，f（x）＝2f（）＝2n﹣1log2∈（0，2n﹣1]；所以x∈（2n﹣1，2n]时，f（x）的最大值是2n﹣1；所以x∈（1，23]时，f（x）＝，的最大值为f（23）＝4log2＝4；（2）当x∈（1，23.7]时，23≤23.7≤24，所以f（x）的最大值为f（23.7）＝23×log2＝8×（3.7﹣3）＝5.6；（3）由f（1200）＝f（b）（实数b＞1），且1200＝210×，210＜210×＜211，所以f（1200）＝210×log2＝210×log2，f（b）＝f（2×）＝2f（）＝22f（）＝…＝2n﹣1f（）；当∈（1，2]时，∴f（b）＝2n﹣1log2；∵f（1200）＝f（b），则210×log2＝2n﹣1log2；b＝2n﹣1•，1＜n＜11当n＝10时，＝（）2∈（1，2]；b＝29×（）2；当n＝9时，＝（）4∈（1，2]；b＝28×（）4；当n＝8时，＝（）8∉（1，2]；…29×（）2＞28×（）4；∴实数b的最小值为28×（）4＝256×（）4．21．【解答】解：（1）由f（x）＝log a（x+），x＞1，a＞0且a≠1，可得f（）＝log a（+）＝log a（+）＝log a2a＝2，即a2＝2a，可得整数a＝2或4；（2）由y＝f（x）＝log a（x+），x＞1，可得a y＝x+，即a y﹣x＝，平方可得a2y﹣2xa y+1＝0，即有x＝，可得f﹣1（x）＝（若a＞1，x＞0；若0＜a＜1，x＜0），f﹣1（n）＜（n∈N*），即为＜，若0＜a＜1，则a n+a﹣n单调递减，可得＜a＜1；可得a的取值范围为（，1）∪（1，4）；（3）若a＝2，此时y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x）＝（x＞0），g（x）＝＝＝1+，当k＝1时，g（x）＝1，符合题意；当k＞1时，g（x）在x＞0递减，可得g（x）∈（1，1+），对一切实数x1，x2，x3，不等式g（x1）+g（x2）＞g（x3）恒成立，可得1+1≥1+，解得1＜k≤4；当k＜1时，g（x）在x＞0递增，可得g（x）∈（1+，1），对一切实数x1，x2，x3，不等式g（x1）+g（x2）＞g（x3）恒成立，可得2（1+）≥1，解得﹣≤k＜1．综上可得k的范围是[﹣，4]．。
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上海交通大学附属中学2019-2020学年度第一学期
高一数学期中考试试卷
一、填空题
1. 函数的定义域是
____________
y =2. 已知，，则____________
{}|12A x x =-<<{}2|30,R x x x x -<∈A B ⋂=3. 当时，函数的值域为____________
0x >()1f x x x -=+4. 设或，，则{|52U x x =-≤<-25,}x x Z <≤∈{}
2|2150A x x x =--={}3,3,4B =-U A C B ⋂=____________
5. 已知集合，若，则实数值集合为____________
{}{}2,1,|2A B x ax =-==A B A ⋃=a 6. 满足条件的所有集合A 的个数是____________个{}{}{}1,3,53,5,71,3,5,7,9⋃=7. 已知不等式解集为A ，且，则实数的取值范围是____________2202x x x a
+≤+2,3A A ∈∉a 8. 若函数为偶函数且非奇函数，则实数的取值范围为
____________
(
)f x =a 9. 已知是常数，且，若函数的最大值为10，则的最小值为,a b 0
ab ≠()33f x ax =+()f x ____________
10. 设正实数,a b 满足，那么的最小值为____________324a ab b ++=1ab 11. 设，若是的最小值，则的取值范围为____________()()2,043,0x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩
()0f ()f x a 12. 若方程在（0,2）内恰有一解，则实数的取值范围为____________
()
22420ax a x --+=a
二、选择题
13. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 的最小值是4
B. 的最小值是2
4x
x ++ C. 如果，那么 D. 如果，那么,a b c d >>a c b d ->-22ac bc >a b
>14. 设甲为“”，乙为“”，那么甲是乙的（ ）
05x <<23x -< A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
15. 非空集合A,B 满足，，则下列关系一定成立的是（ ）
{}{},|,|A B P x x A Q x x B ⊂⋂=∅=⊆=≠ A. B. C. D. A B P Q ⋃=⋃P Q ⋂=∅{}P Q ⋂=∅A B P Q
⊂⋃≠⋃16. 已知函数为偶函数，则下列关系一定成立的是（ ）
()1y f x =+ A. B. ()()
f x f x =-()()11f x f x +=-+ C. D. ()()11f x f x +=--()()
1f x f x -+=三、解答题
17. 已知集合，集合.21|1,1x A x x R x -⎧⎫=≤∈⎨⎬+⎩⎭{}
22|210,B x x ax a x R =-+-≤∈（1）求集合A ；
（2）若集合U=R ，，求实数的取值范围.
()U B C A B ⋂=a
18. 已知函数.
()f x x a x b =-++（1）若，求不等式的解；
1,2a b ==()5f x ≤（2）对任意，试确定函数的最小值M （用含的代数式表示），若正数满足
0,0a b >>()y f x =,a b ,a b ，则分别取何值时，M 有最小值，并求出此最小值.
42a b ab +=,a b 19. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每1厘米厚的隔热层建造成本为6万元。
该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：
万元）与隔热层厚度（单位：cm ）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗x ()[],0,1035
k C x x x =
∈+费用为8万元.设总费用为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
()f x （1）求k 的值及的表达式；
()f x （2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值.
()f x 20. 已知函数，且满足.()()0x a
f x a x -=>112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
()f x ()1,+∞（2）设函数，求在区间的最大值；()()
f x
g x x =()g x 1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦
（3）若存在实数m ，使得关于的方程恰有4个不同的正根，求实数m 的取
x ()2
2220x a x x a mx ---+=值范围.
21. 已知函数，.
()3f x mx =+()22g x x x m =++（1）求证：函数必有零点；
()()f x g x -（2）设函数.
()()()1G x f x g x =-- ①若在上是减函数，求实数m 的取值范围；
()G x []1,0- ②是否存在整数，以及实数m ，使得不等式的解集恰好是? 若存在，求出的值；,a b ()a G x b ≤≤[],a b ,a b 若不存在，请说明理由.
参考答案
一、填空题
1. 2.（0,2） 3. 4. 5. 6. 16()0,+∞[)2,+∞{}5{}1,0,2-7. 8. 9. 10. 11. [0,4]
12.3
,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭()1,+∞4-1
12(]3,1-二、选择题
13. D 14. A 15. B 16. B
三、解答题
17.（1） （2）(]1,2-(][)
,23,-∞-⋃+∞18.（1） （2），时，[]3,2-M a b =+33,2a b ==9
2
M =19.（1）k=40，()()
800
601035f x x x x =+≤≤+ （2）（万元）
()min 5,70x f x ==20.（1）单调递增，证明略
（2）()max 2
g x = （3）10,16m ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
21.（1）证明略
（2）①或 ②存在，或0m ≤2m ≥12a b =-⎧⎨=⎩24
a b =⎧⎨=⎩。