高考二轮复习文科数学完全复习教师版

专题1 函数与导数
一、函数
1.函数的三要素是什么?
定义域、值域和对应关系是函数的三要素,是一个整体,研究函数问题时必须“定义域优先”. 2.求函数的定义域应注意什么?
求函数的定义域时,若已知函数的解析式,则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围,只需构建并解不等式(组).在实际问题中,除要考虑解析式有意义外,还要使实际问题有意义.已知f (x )的定义域是[a ,b ],求
f (
g (x ))的定义域,是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围,而已知f (g (x ))的定义域是[a ,b ],指的是x ∈[a ,b ].
3.判断函数的单调性有哪些方法?
单调性是函数在其定义域上的局部性质.常见判定方法:①定义法,取值、作差、变形、定号,其中变形是关键,常用的方法有通分、配方、因式分解;②图象法;③复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则;④导数法.
4.函数的奇偶性有什么特征?
奇偶性的特征及常用结论:①若f (x )是奇函数,0在其定义域内,则f (0)=0.②f (x )是偶函数⇔f (x )的图象关于y 轴对称;f (x )是奇函数⇔f (x )的图象关于原点对称.③奇函数在对称(关于原点对称)的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称(关于原点对称)的单调区间内有相反的单调性.④若f (x+a )为奇函数,则f (x )的图象关于点(a ,0)对称;若f (x+a )为偶函数,则f (x )的图象关于直线x=a 对称.
5.指数函数、对数函数的图象与性质有哪些?
指数函数与对数函数的图象和性质:
指数函数y=a x
对数函数y=log a x
图象
性质
当0<a<1时,函数在R 上单调递减; 当a>1时,函数在R 上单调递增 当0<a<1时,函数在(0,+∞)上单调递减; 当a>1时,函数在(0,+∞)上单调递增
0<a<1, 当x>0时,0<y<1; 当x<0时,y>1
0<a<1, 当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0
a>1,
当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1 a>1,
当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0
6.函数图象的推导应注意哪些?
探寻函数图象与解析式之间的对应关系的方法:
(1)知图选式:①从图象的左右、上下分布,观察函数的定义域、值域;②从图象的变化趋势,观察函数的单调性;③从图象的对称性方面,观察函数的奇偶性;④从图象的循环往复,观察函数的周期性.
(2)知式选图:①从函数的定义域,判断图象左右的位置,从函数的值域,判断图象的上下位置;②从函数的单调性,判断图象的变化趋势;③从函数的奇偶性,判断图象的对称性;④从函数的周期性,判断图象的循环往复.
7.确定函数零点的常用方法有哪些?
函数零点个数的判断方法:(1)直接法:令f (x )=0,则方程解的个数为函数零点的个数.(2)零点存在性定理:利用该定理不仅要求曲线f (x )在[a ,b ]上是连续的,且f (a )·f (b )<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)数形结合:对于给定的函数不能直接求解或画出图象,常会通过分解转化为两个函数的图象,然后通过数形结合,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.
二、导数
1.如何利用导数的方法研究函数的单调性?利用导数研究函数的单调性有什么应用? 在某个区间(a ,b )内,如果f'(x )>0(f'(x )<0),那么函数y=f (x )在这个区间内单调递增(单调递减).
利用导数研究函数单调性的应用:(1)利用导数判断函数的图象.(2)利用导数解不等式.(3)求参数的取值范围:①y=f (x )在(a ,b )上单调,则(a ,b )是相应单调区间的子集.②若函数单调递增,则f'(x )≥0;若函数单调递减,则
f'(x )≤0.
2.如何判断函数的极值?如何确定函数的最值?
当f'(x 0)=0时,若在x 0附近左侧f'(x )>0,右侧f'(x )<0,则f (x 0)为函数f (x )的极大值;若在x 0附近左侧f'(x )<0,右侧f'(x )>0,则f (x 0)为函数f (x )的极小值.
将函数y=f (x )在[a ,b ]上的各极值与端点处的函数值f (a ),f (b )比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
3.利用导数可以解决哪些不等式问题? (1)利用导数证明不等式:
证明f (x )<g (x ),x ∈(a ,b ),可以构造函数F (x )=f (x )-g (x ),如果能证明F (x )在(a ,b )上的最大值小于0,那么可以证明f (x )<g (x ),x ∈(a ,b ).
(2)利用导数解决不等式的“恒成立”与“存在性”问题:
①f (x )>g (x )对一切x ∈I 恒成立⇔I 是f (x )>g (x )的解集的子集⇔[f (x )-g (x )]min >0(x ∈I ); ②∃x ∈I ,使f (x )>g (x )成立⇔I 与f (x )>g (x )的解集的交集不是空集⇔[f (x )-g (x )]max >0(x ∈I ); ③对∀x 1,x 2∈I ,f (x 1)≤g (x 2)⇔f (x )max ≤g (x )min ; ④对∀x 1∈I ,∃x 2∈I ,f (x 1)≥g (x 2)⇔f (x )min ≥g (x )min .
函数是一条主线,贯穿于整个高中数学,导数是重要的解题工具,是解决函数问题的利器,因此,函数与导数在高考数学中的地位不言而喻.本专题内容也是高考中重要的考点之一,从近年高考的命题情况来看,本专题在高考分值中占20%左右,试题的易、中、难比例相当,选择题、填空题和解答题均有考查.
一、选择题和填空题的命题特点
(一)考查函数图象的判断及简单应用.试题难度中档,综合考查函数的解析式、定义域、值域及单调性、奇偶性等性质的综合.
1.(2018·全国Ⅱ卷·文T3改编)函数
f (x )=5x
-5-x
x 2
的图象大致为( ).
解析▶∵f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=5-x-5x
=-f(x),∴f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,排除A;
x2
又当x>0时,5x>1>5-x,∴f(x)>0,排除D;f(2)>1,排除C.故选B.
答案▶ B
的部分图象大致为().
2.(2017·全国Ⅰ卷·文T8改编)函数y=sin2x
1+cosx
解析▶因为函数为奇函数,所以其图象关于原点对称,所以选项C,D错误;
又当x=0时,y=0,所以选项B错误.故选A.
答案▶ A
(二)考查函数的基本性质及简单应用.试题难度中档,综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性及图象的推理能力等.
3.(2018年·全国Ⅱ卷·文T12改编)已知f(x)是定义域为R的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=().
A.-2018
B.0
C.2
D.50
解析▶∵f(x)是奇函数,且f(1-x)=f(1+x),
∴f(1-x)=f(1+x)=-f(x-1),f(0)=0,
∴f(x+2)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
即函数f(x)是周期为4的周期函数.
∵f(1)=2,
∴f(2)=f(0)=0,f(3)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0,
∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=504[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(2017)+f(2018)=f(1)+f(2)=2+0=2.故选C.
答案▶ C
(三)考查基本初等函数的性质及应用.试题难度较大,综合考查基本初等函数的性质与图象.
4.(2018·全国Ⅲ卷·文T16改编)已知函数f(x)=log2(√1+x2-x)+2,f(a)=3,则f(-a)=.
解析▶因为f(x)log=2(√1+x2-x)+2,
所以f(x)+f(-x)=log2(√1+x2-x)+2+log2[√1+(-x)2-(-x)]+2=log2(1+x2-x2)+4=4.
因为f(a)=3,所以f(-a)=4-f(a)=4-3=1.
答案▶ 1
5.(2018·全国Ⅰ卷·文T13改编)已知函数f(x)=log3(x2+a),若f(2)=1,则a=.
解析▶∵f(2)=1,log∴3(4+a)=1,∴4+a=3,∴a=-1.
答案▶-1
6.(2017·全国Ⅱ卷·文T8改编)函数y=ln(-x2+2x+3)的单调递减区间是().
A.(-1,1]
B.[1,3)
C.(-∞,1]
D.[1,+∞)
解析▶令t=-x2+2x+3,由t>0,求得-1<x<3,
故函数的定义域为(-1,3),且y=ln t,
故本题为求函数t=-x2+2x+3在定义域内的单调递减区间.
利用二次函数的性质求得t=-(x-1)2+4在定义域内的单调递减区间为[1,3),故选B.
答案▶ B
(四)考查函数零点的判断及应用,同时考查函数与方程的思想、转化思想及数形结合思想,试题难度较大.
7.(2017·全国Ⅲ卷·文T12改编)已知函数f(x)=x2-4x+a(10x-2+10-x+2)有唯一零点,则a=().
A.4
B.3
C.2
D.-2
解析▶函数f(x)有唯一零点等价于方程4x-x2=a(10x-2+10-x+2)有唯一解,
等价于函数y=4x-x2的图象与y=a(10x-2+10-x+2)的图象只有一个交点.
当a=0时,f(x)=x2-4x,此时函数有两个零点,矛盾;
当a<0时,由于y=4x-x2在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,且y=a(10x-2+10-x+2)在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,所以函数y=4x-x2的图象的最高点为A(2,4),y=a(10x-2+10-x+2)的图象的最高点为B(2,2a),由于
2a<0<4,所以此时函数y=4x-x2的图象与y=a(10x-2+10-x+2)的图象不可能只有1个交点,矛盾;
当a>0时,由于y=4x-x2在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,且y=a(10x-2+10-x+2)在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以函数y=4x-x2的图象的最高点为A(2,4),y=a(10x-2+10-x+2)的图象的最低点为B(2,2a),由题意可知点A与点B重合时满足条件,即2a=4,解得a=2,符合条件.故选C.
答案▶ C
(五)考查导数的几何意义及简单的导数计算.导数的几何意义一直是高考的热点和重点,试题综合考查导数的计算及直线方程的知识,难度较小.
8.(2018·全国Ⅰ卷·文T6改编)设函数f(x)=x3+(a+1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为.
解析▶因为函数f(x)是奇函数,所以a+1=0,解得a=-1,所以f(x)=x3-x,f'(x)=3x2-1,所以f'(0)=-1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=-x.
答案▶y=-x
二、解答题的命题特点
在全国卷中,函数与导数的综合试题一般为第21题,是全卷的压轴题.试题难度较大,综合性强,主要考查函数单调性的判断,函数零点个数的判断,极(最)值的应用,恒成立问题,不等式的证明等. 1.(2018·全国Ⅰ卷·文T21改编)已知函数f (x )=a e x
+ln x+1. (1)设x=2是f (x )的极值点,求a ,并求f (x )的单调区间; (2)证明:当a ≤-1e
时,f (x )≤0.
解析▶ (1)f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=ea x
+1x
.
由题设知,f'(2)=0,所以a=-12e 2
. 从而f (x )=-12e 2
e x
+ln x+1, 则f'(x )=-12e 2e x +1x
. 当0<x<2时,f'(x )>0;当x>2时,f'(x )<0.
所以f (x )在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减. (2)当a ≤-1e
时,f (x )≤-e x e
+ln x+1. 设
g (x )=-e x
e +ln x+1,则
g'(x )=-e x e +1
x .
当0<x<1时,g'(x )>0;当x>1时,g'(x )<0. 所以x=1是g (x )的最大值点. 故当x>0时,g (x )≤g (1)=0. 因此,当a ≤-1e
时,f (x )≤0.
2.(2017·全国Ⅰ卷·文T21改编)已知函数f (x )=e x
(e x
-a )-a 2
x ,其中参数a ≤0.
(1)讨论f (x )的单调性;
(2)若f (x )≥0,求a 的取值范围.
解析▶ (1)f'(x )=e22x
-ea x -a 2=(e2x +a )e (x
-a ).
①若a=0,则f (x )=e 2x ,其在R 上单调递增. ②若a<0,则由f'(x )=0,得x=ln (-a
2).
当x ∈(-∞,ln (-a 2))时,f'(x )<0;当x ∈(ln (-a 2),+∞)时,f'(x )>0. 故f (x )在(-∞,ln (-a 2
))上单调递减,在(ln (-a 2
),+∞)上单调递增. (2)①当a=0时,f (x )=e 2x
≥0恒成立.
②若a<0,则由(1)得,当x=ln (-a 2)时,f (x )取得最小值,最小值为f (ln (-a 2))=a 2[34-ln (-a
2)],
故当且仅当a
2
[34-ln (-a
2
)]≥0,即a ≥-
2e 34时,
f (x )≥0.
综上,a 的取值范围是[-2e 3
4,0]
.
1.识别函数图象的常用方法:(1)直接法:直接求出函数的解析式并画出其图象.(2)特例排除法,例如,根据已知函数的图象或已知函数的解析式,取特殊点,判断各选项的图象是否经过该特殊点.(3)性质(单调性、奇偶性、过
定点等)验证法.(4)较复杂函数的图象,常借助导数这一工具,先对原函数进行求导,再利用导数判断函数的单调性、极值或最值,从而对选项进行筛选.
2.函数性质综合问题的常见类型及解题策略:(1)单调性与奇偶性结合.解决此类问题要注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性.(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值,常利用奇偶性及周期
性进行交换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性结合.
解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.
3.对于函数零点(方程的根)的确定问题,高考常从以下几个方面进行考查:(1)函数零点值大致所在区间的确定;(2)零点个数的确定;(3)两个函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决此类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法,尤其是方程两边对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解.
4.利用导数的几何意义解题主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来转化,关键是求出切点的
坐标.
5.利用导数研究函数的单调性:(1)已知函数解析式求单调区间,实质上是求f'(x)>0,f'(x)<0的解集,求单调区间应遵循定义域优先的原则;(2)含参函数的单调性要分类讨论,通过确定导数的符号判断函数的单调性;(3)注意两种表述“函数f(x)在(a,b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a,b)”的区别.
6.利用导数研究函数极值、最值的方法:(1)若求极值,则先求方程f'(x)=0的根,再检查f'(x)在方程根的左右函数值的符号;(2)若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程f'(x)=0根的大小或存在情况来求解;(3)求函数
f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.
01函数的基本性质与基本初等函数
1.函数f(x)=2
√1-x
+lg(3x+1)的定义域是().
A.(-1
3,1)B.(-1
3
,+∞)
C.(-1
3,1
3
]D.(-∞,-1
3
)
解析▶若函数f(x)有意义,
则{3x+1>0, 1-x>0,所以-1
3
<x<1,
故函数f(x)的定义域为(-1
3
,1).故选A.
答案▶ A
2.若函数f (x )={e x -1,x ≤1,
5-x 2,x >1,
则f (f (2))=( ).
A .1
B .4
C .0
D .5-e 2
解析▶ 由题意知,f (2)=5-4=1,f (1)e=0
=1,所以f (f (2))=1.故选A .
答案▶ A
3.已知定义在R 上的函数f (x )=2
-|x|
,记a=f (log 0.53),b=f (log 25),c=f (0),则a 、b 、c 的大小关系是( ).
A .a<b<c
B .c<b<a
C .a<c<b
D .b<a<c
解析▶ 易知f (x )=2-|x|
是偶函数,且在[0,+∞)上单调递减,
又f (log 0.53)=f (-log 23)=f (log 23),
而log 25>log 23>0,
∴f (log 25)<f (log 23)<f (0),
即b<a<c.故选D . 答案▶ D
4.设偶函数f (x )对任意x ∈R ,都有f (x+3)=-1
f(x)
,且当x ∈[-3,-2]时,f (x )=4x ,则f (2018)= .
解析▶ 由条件可得f (x+6)=f (x ), 所以函数f (x )的周期为6,
所以f (2018)=f (6×336+2)=f (2)=f (-2)=-8. 答案▶ -8
能力
1 ▶ 会求函数的定义域及函数值
【例1】 (1)函数y=lg(1-x 2)
2x 2-3x -2的定义域为( ).
A .(-∞,1]
B .[-1,1]
C .(-1,-12
)∪(-12
,1) D .[-1,-12
)∪(-12
,1] (2)设函数f (x )={
x 2+x -2,x ≤1,
-lgx,x >1,
则f (f (-4))= .
解析▶ (1)由题意知{1-x 2>0,
2x 2-3x -2≠0,
即{
-1<x <1,
x ≠2且x ≠-12
.
所以函数的定义域为(-1,-12
)∪(-12
,1). (2)f (f (-4))=f (16-4-2)=f (10)=-1. 答案▶ (1)C (2)-1
(1)函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合,求函数定义域只需构建不等式(组)求解即可;(2)求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现f (f (a ))的形式时,应从内到外依次求值;(3)当给出函数值求自变量的值时,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验,看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
1.函数y=lg (x-3)+√4-x
的定义域为 .
解析▶ 由题意知{
x -3>0,
4-x >0,
解得3<x<4,
∴函数的定义域为(3,4).
答案▶ (3,4)
2.已知函数f (x )={2x +1,x ≤1,
log 2(x -1),x >1,则f (f (2))= .
解析▶ ∵f (2)log=2(2-1)=0,
∴f (f (2))=f (0)=20+1=2.
答案▶ 2
3.已知函数f (x )={3x +1,x <1,
ax 2-x,x ≥1,若f (f (0))=2,则实数a 的值为 .
解析▶ f (0)=30
+1=2,f (2)=4a-2,由4a-2=2得a=1.
答案▶ 1
能力
2 ▶ 会利用函数的单调性求参数的值或范围
【例2】 (1)若函数f (x )={(a -2)x -1,x ≤1,
log a x,x >1
在R 上单调递增,则a 的取值范围为( ).
A .(1,2)
B .(2,3)
C .(2,3]
D .(2,+∞)
(2)已知函数f (x )={x 3,x ≥0,
-x 3,x <0,若f (3a-1)≥8f (a ),则a 的取值范围是 .
解析▶ (1)∵f (x )在R 上单调递增, ∴{a >1,a -2>0,(a -2)×1-1≤log a 1,
∴2<a ≤3,故选C . (2)由题意得函数f (x )为偶函数,且当x<0时,函数单调递减,当x ≥0时,函数单调递增. 原不等式可化为f (|3a-1|)≥f (|2a|),
∴|3a-1|≥|2a|,
两边平方整理得5a2-6a+1≥0,
解得a≤1
5
或a≥1.
∴a的取值范围是(-∞,1
5
]∪[1,+∞).
答案▶(1)C(2)(-∞,1
5
]∪[1,+∞)
(1)对于分段函数的单调性,应考虑各段的单调性,且要注意分界点处的函数值的大小;(2)对于抽象函数不等式,应根据函数的单调性去掉“f”,转化成解不等式,要注意函数定义域的运用.
1.设函数f(x)={2x-a,x≤1,
log a x,x>1
(a>0且a≠1),若f(x)在R上是增函数,则a的取值范围是.
解析▶若f(x)在R上是增函数,则有{a>1,
2-a≤0,∴a≥2.
答案▶[2,+∞)
2.已知奇函数f(x)为R上的减函数,若f(3a2)+f(2a-1)≥0,则a的取值范围是.
解析▶若f(3a2)+f(2a-1)≥0,则f(3a2)≥-f(2a-1),
已知函数f(x)为奇函数,则不等式等价于f(3a2)≥f(-2a+1),
又函数f(x)在R上单调递减,则3a2≤-2a+1,即3a2+2a-1≤0,
所以a的取值范围是[-1,1
3
].
答案▶[-1,1
3
]
能力3▶会综合利用函数的基本性质
【例3】(1)已知定义在R上的函数f(x)满足:对任意实数x都有f(x+3)=f(x-3),f(-x)=f(x),且当x∈[-3,0]
时,f(x)=lo g1
2
(6+x),则f(2018)的值为().
A.-3
B.-2
C.2
D.3
(2)已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=a x(a>0且a≠1),且f(lo g1
2
4)=-3,则a的值为.
解析▶(1)对任意实数x都有f(x+3)=f(x-3),则函数f(x)的周期是6,又f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,则f(2018)=f(2),
根据奇偶性得到f(2)=f(-2)=-2.故选B.
(2)∵奇函数f(x)满足f(lo g1
24)=-3,而lo g1
2
4=-2<0,∴f(-2)=-3,即f(2)=3.
又∵当x>0时,f(x)=a x(a>0且a≠1),∴f(2)=a2=3,解得a=√3.
答案▶(1)B(2)√3
函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质,在高考中常常将它们综合在一起命题,其中奇偶性多与单调性结合,而周期性多与抽象函数结合,并结合奇偶性求函数值.函数的奇偶性体现的是一种对称关系,而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律.因此,在解题时,往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性解决相关问题.
1.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,若f(2)=-2,则满足f(x-1)≥-2的x的取值范围是().
A.(-∞,-1)∪(3,+∞)
B.(-∞,-1]∪[3,+∞)
C.[-1,3]
D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
解析▶由题意知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,若f(2)=-2,则f(x-1)≥-2⇔f(x-1)≥f(2)⇔f(|x-1|)≥f(2),即|x-1|≥2,解得x≤-1或x≥3.故选B.
答案▶ B
2.设函数f(x)是以2为周期的奇函数,已知当x∈(0,1)时,f(x)=2x,则f(x)在(2017,2018)上是().
A.增函数,且f(x)>0
B.减函数,且f(x)<0
C.增函数,且f(x)<0
D.减函数,且f(x)>0
解析▶∵函数f(x)的周期是2,
∴函数f(x)在(2017,2018)上的单调性和(-1,0)上的单调性相同.
∵当x∈(0,1)时,f(x)=2x为增函数,函数f(x)为奇函数,
∴当x∈(-1,0)时,f(x)为增函数.
∵当x∈(0,1)时,f(x)=2x>0,
∴当x∈(-1,0)时,f(x)<0,∴当x∈(2017,2018)时,f(x)<0,
即f(x)在(2017,2018)上是增函数,且f(x)<0,故选C.
答案▶ C
能力4▶会借助函数的基本性质解决与基本初等函数有关的问题
【例4】(1)若a,b,c满足2a=3,b=log25,3c=2,则().
A.c<a<b
B.b<c<a
C.a<b<c
D.c<b<a
(2)已知f(x)=x3+3x,a=20.3,b=0.32,c=log20.3,则().
A.f(a)<f(b)<f(c)
B.f(b)<f(c)<f(a)
C .f (c )<f (b )<f (a )
D .f (b )<f (a )<f (c ) 解析▶ (1)因为2a
=3,3c
=2,
所以a=log 23,c=log 32.
因为y=log 2x ,y=log 3x 是增函数, 所以log 25>log 23>log 22=log 33>log 32, 因此b>a>c ,故选A .
(2)由指数函数的性质可得,1<a=20.3
<21
=2,0<b=0.32
<0.30
=1,
由对数函数的性质可得,c=log 20.3<log 21=0,
∴a>b>c.
又∵f (x )=x 3
+3x 在R 上单调递增,
∴f (c )<f (b )<f (a ),故选C .
答案▶ (1)A (2)C
利用指数函数、对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小时,一方面要比较两个实数或式子形式的异同;另一方面要注意特殊值的应用,有时候可以借助其“桥梁”作用,来比较大小.
1.若x ∈(e -1
,1),a=ln x ,b=(12
)
lnx ,c=e ln x
,则( ).
A .b>c>a
B .c>b>a
C .b>a>c
D .a>b>c
解析▶ e∵-1
<x<1,∴-1<ln x<0.
∴a=ln x<0,
b=(12)lnx
>1,
c=e ln x =x ∈(e -1,1), ∴b>c>a.故选A .
答案▶ A
2.设函数f (x )定义在实数集上,f (2-x )=f (x ),且当x ≥1时,f (x )=ln x ,则有( ). A .f (13
)<f (2)<f (12
) B .f (12
)<f (2)<f (13
) C .f (12
)<f (13
)<f (2) D .f (2)<f (12
)<f (13
) 解析▶ ∵f (2-x )=f (x ),
∴函数f (x )图象的对称轴为直线x=1. ∵当x ≥1时,f (x )=ln x ,
∴f (x )在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,
故当x=1时,函数f (x )有最小值,离x=1越远,函数值越大,故选C .
答案▶ C
一、选择题
1.下列函数中,与函数y=2x -2-x 的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是( ).
A .y=sin x
B .y=x 3
C .y=(12
)x
D .y=log 2x
解析▶ 原函数是定义域为R 的增函数,也是奇函数,所以A 、C 、D 错误,B 正确.故选B . 答案▶ B
2.函数f (x )=
√-x 2-3x+4
lg(x+1)
的定义域为( ).
A .(-1,0)∪(0,1]
B .(-1,1]
C .(-4,-1]
D .(-4,0)∪(0,1]
解析▶ 由题意得{-x 2-3x +4≥0,
x +1>0,x +1≠1,
解得-1<x ≤1且x ≠0,
所以函数f (x )的定义域为(-1,0)∪(0,1]. 故选A . 答案▶ A
3.已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数,当x ≤0时,f (x )=3x +a ,则f (2)的值为( ).
A .89
B .19
C .-19
D .-89
解析▶ ∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数,
∴f (0)=30+a=0,解得a=-1. ∵f (-2)=3-2-1=-8
9, ∴f (2)=-f (-2)=89.故选A .
答案▶ A
4.设a=0.23,b=log 0.30.2,c=log 30.2,则a ,b ,c 的大小关系是( ).
A .a>b>c
B .b>a>c
C .b>c>a
D .c>b>a
解析▶ 因为0<a=0.23
<0.20
=1,b log=0.30.2log>0.30.3=1,c log=30.2log<31=0,
所以b>a>c ,故选B . 答案▶ B
5.已知函数f (x )={x -2(x ≤1),
lnx(x >1),那么函数f (x )的值域为( ).
A .(-∞,-1)∪[0,+∞)
B .(-∞,-1]∪(0,+∞)
C .[-1,0)
D .R
解析▶ ∵y=x -2(x ≤1)的值域为(-∞,-1],y=ln x (x>1)的值域为(0,+∞),
∴函数f (x )的值域为(-∞,-1]∪(0,+∞).故选B .
答案▶ B
6.若函数y=√a -a x (a>0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,1],则log a 56+log a 48
5
=( ).
A .1
B .2
C .3
D .4
解析▶ 当x=1时,y=0,则函数在[0,1]上为减函数,故a>1.
∴当x=0时,y=1,则√a -1=1,∴a=2.
故log a 5
6
+log a 485
=log a (56
×48
5
)=log 28=3. 答案▶ C
7.已知定义在R 上的奇函数f (x ),当x ≥0时,恒有f (x+2)=f (x ),且当x ∈[0,1]时,f (x )=e x -1,则f (-2017)+f (2018)=( ). A .0
B .e
C .e -1
D .1-e
解析▶ 由题意可知,函数f (x )是周期为2的奇函数,则f (2018)=f (2018-1009×2)=f (0)e=0
-1=0,f (-2017)=-
f (2017)=-f (2017-1008×2)=-f (1)=-e (1-1)=1-e ,据此可得f (-2017)+f (2018)=1-e .故选D .
答案▶ D
8.函数y=f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=(-x+a+1)log 2(x+2)+x+m ,其中a ,m 是常数,且a>0,若f (a )=1,
则a-m=( ). A .-5
B .5
C .-1
D .1
解析▶ 函数y=f (x )是定义在R 上的奇函数.当x ≥0时,f (x )=(-x+a+1log )2(x+2)+x+m ,由
f (0)=0⇒a+1+m=0,f (a )=1lo
g ⇒2(a+2)+a+m=1log ⇒2(a+2)=2⇒a=2得m=-3,故a-m=5,故选B .
答案▶ B
9.若函数f (x )、g (x )分别是定义在R 上的偶函数、奇函数,且满足f (x )+2g (x )=e x ,则( ).
A .f (-2)<f (-3)<g (-1)
B .g (-1)<f (-3)<f (-2)
C .f (-2)<g (-1)<f (-3)
D .g (-1)<f (-2)<f (-3)
解析▶ 由函数f (x )、g (x )分别是定义在R 上的偶函数、奇函数,且满足f (x )+2g (x )e=x
,
可得f (x )-2g (x )=e -x
,
解得f (x )=12(e x
+e -x
),g (x )=14
(e x
-e -x
),
可得g (-1)=14(1e -e)<0,f (-2)=12(e -2
+e 2
)>0,f (-3)=12
(e -3+e 3
)>0,f (-2)-f (-3)=12
(e -1)(e -3-e 2
)<0,
所以g (-1)<f (-2)<f (-3). 答案▶ D 二、填空题
10.设函数f (x )={log 3x,x >0,
-2x +1,x ≤0,则f (f (-4))= .
解析▶ f (f (-4))=f (9)log=39=2. 答案▶ 2
11.已知f (x )=ax-log 2(4x +1)是偶函数,则a= .
解析▶ ∵f (x )=ax log-2(4x
+1)是偶函数,
∴f (1)=f (-1),
即a-log 2(41
+1)=-a-log 2(4-1
+1),
解得a=1. 答案▶ 1
12.若函数f (x )={x 2-5x,x ≥0,
-x 2+ax,x <0
是奇函数,则实数a 的值为 .
解析▶ ∵f (x )为奇函数,∴f (-1)=-f (1),即-1-a=4,∴a=-5. 答案▶ -5 三、解答题
13.已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0,+∞)上单调递减,且f (1)=0,求不等式f (log 4x )+f (lo g 14
x )≥0的解集.
解析▶ 因为log 14
x=log-4x ,而f (x )为偶函数,所以f log (4x )+f log (14
x )=2f log (4x ),
故原不等式等价于f (log 4x )≥0,也就是f (log 4x )≥f (1), 所以f (|log 4x|)≥f (1),所以|log 4x|≤1, 所以-1≤log 4x ≤1,即14
≤x ≤4.
02
函数的图象与函数的应用
1.函数
y=(13)|log 3x|的图象是(
).
解析▶ 当x ≥1
时,y=(13
)|log 3x|=(13)log 3x =1
x .当
0<x<1
时,y=(13
)|log 3x|=3log 3x
=x.
∴y=(13)|log 3x|={1
x
,x ≥1,
x,0<x <1,
其图象为选项A 中的图象,故选A .
答案▶ A
2.函数f (x )=log 2x-1x
的零点所在的区间为( ).
A .(0,12
) B .(12
,1) C .(1,2)
D .(2,3)
解析▶ 函数f (x )的定义域为(0,+∞),且函数f (x )在(0,+∞)上为增函数.
∵f (12)=log 212-1
12
=-1-2=-3<0, f (1)=log 21-1
1=0-1<0, f (2)=log 22-12=1-12=1
2>0, f (3)=log 23-13>1-13=2
3>0, ∴f (1)·f (2)<0,
∴函数f (x )=log 2x-1
x 的零点在区间(1,2)内,故选C .
答案▶ C
3.已知函数f (x )={-x 2+4x,x ≤2,
log 2x -a,x >2
有两个不同的零点,则实数a 的取值范围是( ).
A .[-1,0)
B .(1,2]
C .(1,+∞)
D .(2,+∞)
解析▶ 当x ≤2时,由-x 2
+4x=0,得x=0; 当x>2时,令f (x )=log 2x-a=0,得x=2a
.
又函数f (x )有两个不同的零点,
∴2a >2,解得a>1,故选C .
答案▶ C
4.某企业为节能减排,用9万元购进一台新设备用于生产,第一年需运营费用2万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加3万元,该设备每年生产的收入均为21万元,设该设备使用了n(n∈N*)年后,盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本),则n等于().
A.6
B.7
C.8
D.7或8
解析▶盈利总额为21n-9-[2n+1
2×n(n-1)×3]=-3
2
n2+41
2
n-9,
由于对称轴为直线n=41
6
,所以当n=7时,盈利总额取最大值,故选B.
答案▶ B
能力1▶会识别函数的图象
【例1】函数y=sin x+ln |x|在区间[-3,3]上的图象大致为().
解析▶设f(x)=sin x+ln |x|,
当x>0时,f(x)=sin x+ln x,则f'(x)=cos x+1
x
.
当x∈(0,1)时,f'(x)>0,即函数f(x)在(0,1)上为单调递增函数,排除B;
当x=1时,f(1)=sin 1>0,排除D;
因为f(-x)=sin(-x)+ln |-x|=-sin x+ln |x|,所以f(-x)≠±f(x),所以函数f(x)为非奇非偶函数,排除C.故选A.
答案▶ A
【例2】函数y=sin x(1+cos 2x)在区间[-2,2]上的图象大致为().
解析▶ 函数y=sin x (1+cos 2x )的定义域为[-2,2],其关于原点对称,且f (-x )=sin (-x )(1+cos 2x )=-sin
x (1+cos 2x )=-f (x ),则f (x )为奇函数,其图象关于原点对称,排除D ;
当0<x<1时,y=sin x (1+cos 2x )=2sin x cos 2
x>0,排除C ;
又2sin x cos 2
x=0,可得x=π2或x=-π2
或x=0,排除A ,故选B .
答案▶ B
函数图象的辨识主要从以下几个方面入手:(1)函数图象的对称性;(2)函数图象的单调性;(3)特殊点.
1.函数f (x )={2x
-1,x ≥0,
-x 2-2x,x <0
的图象大致是( ).
解析▶ 当x ≥0时,f (x )=2x
-1,根据指数函数g (x )=2x
的图象向下平移一个单位,即可得到函数f (x )的图象.
当x<0时,f (x )=-x 2
-2x ,根据二次函数的图象与性质,可得到相应的图象.
综上,函数f (x )的图象为选项D 中的图象. 答案▶ D 2.函数f (x )=
1-x 2
e x
的图象大致是( ).
解析▶因为f(-x)=1-x2
e-x 与f(x)=1-x2
e x
不相等,所以函数f(x)=1-x2
e x
不是偶函数,其图象不关于y轴对称,所以可排
除B,C.代入x=2,得f(x)<0,可排除A.故选D.
答案▶ D
能力2▶会利用函数图象解决函数的零点问题
【例3】已知函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),且f(x)是偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-log a(x+2)有4个零点,则实数a的取值范围是().
A.(1,5)
B.(1,5]
C.(5,+∞)
D.[5,+∞)
解析▶由题意可知函数f(x)是周期为2的偶函数,结合当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,绘制函数图象如图所示,
函数g(x)有4个零点,则函数f(x)与函数y=log a(x+2)的图象在区间[-1,3]内有4个交点,结合函数图象可得,log a(3+2)≤1,解得a≥5,即实数a的取值范围是[5,+∞).
答案▶ D
【例4】定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)={1-2x,x∈[0,1),
1-|x-3|,x∈[1,+∞),
则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为().
A.2a-1
B.1-2-a
C.-log2(1+a)
D.log2(1-a)
解析▶当x≥0时,
f (x )={1-2x ,x ∈[0,1),x -2,x ∈[1,3),4-x,x ∈[3,+∞),
又f (x )是奇函数,画出函数f (x )的图象,
由函数f (x )图象和F (x )=0⇒f (x )=a (0<a<1),可知F (x )有五个零点,其中有两个零点关于直线x=-3对称,还有两个零点关于直线x=3对称,所以这四个零点的和为零,第五个零点是直线x=a 与函数y=(12
)x -1,x ∈(-1,0]交点的横坐标,即方程a=(12
)x -1的解,解得x=-log 2(1+a ),故选C .
答案▶ C
函数零点的求解与判断方法:(1)直接求零点:令f (x )=0,如果能求出解,那么有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理:利用定理不仅要函数f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,且f (a )·f (b )<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.(3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画出这两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.
1.定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x+1)=-f (x ),当x ∈[0,1]时,f (x )=-2x+1,设函数g (x )=(12
)
|x -1|
(-1<x<3),则函数f (x )与g (x )的图象所有交点的横坐标之和为( ).
A .2
B .4
C .6
D .8
解析▶ 因为f (x+1)=-f (x ),所以f (x )的周期为2.函数g (x )=(12)|x -1|
关于直线
x=1对称,作图可得四个交点的横
坐标关于直线x=1对称,其和为2×2=4,故选B .
答案▶ B
2.函数f (x )={ln(-x -1),x <-1,2x +1,x ≥-1,若函数g (x )=f (f (x ))-a 有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是( ).
A .[0,+∞)
B .[0,1]
C .(-1,0]
D .[-1,+∞)
解析▶ 设t=f (x ),则a=f (t ),在同一坐标系内作y=a 与y=f (t )的图象(如图), 当a ≥-1时,两个图象有两个交点,设交点的横坐标分别为t 1,t 2,且t 1<-1,t 2≥-1. 当t 1<-1时,t 1=f (x )有一个解;当t 2≥-1时,t 2=f (x )有两个解. 综上可知,当a ≥-1时,g (x )=f (f (x ))-a 有三个不同的零点.故选D . 答案▶ D
能力
3 ▶ 会解答函数的实际应用问题
【例5】 某高校为提升科研能力,计划逐年加大科研经费投入.若该高校2017年全年投入科研经费1300万元,在此基础上,每年投入的科研经费比上一年增长12%,则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是( ).(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)
A .2020年
B .2021年
C .2022年
D .2023年
解析▶ 若2018年是第1年,则第n 年科研经费为1300×1.12n
.由1300×1.12n
>2000,可得lg 1.3+n lg
1.12>lg 2,得n×0.05>0.19,n>3.8,n ≥4,即4年后,到2021年科研经费超过2000万元,故选B .
答案▶ B
与实际应用相结合的问题题型是高考命题的一个方向,解决此类问题的一般程
序:
读题
文字语言
⇒
建模
数学语言
⇒
求解
数学应用
⇒
反馈
检验作答
.
在标准状况下,人体血液中氢离子的物质的量浓度(单位:mol/L ,记作c (H +
))和氢氧根离子的物质的量浓度(单
位:mol/L ,记作c (OH -))的乘积等于常数10-14
.已知pH 的定义为pH =-lg c (H +
),健康人体血液的pH 保持在7.35~7.45
之间,那么健康人体血液中的
c(H +)
c(OH -)
可以为( ).(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)
A .12
B .13
C .16
D .110
解析▶ ∵c H (+
)·c OH (-)=10-14
,
∴c(H +)c(OH -)
=c 2(H +)×1014. ∵7.35<-lg c (H +)<7.45, ∴10-7.45<c (H +)<10-7.35, ∴10
-0.9
<c(H +)c(OH -)=1014·c 2(H +)<10-0.7,10-0.9=110
0.9>110,∴排除D 项.
∵0.7>lg 3>lg 2,∴100.7>3>2,10-0.7<13<1
2,∴排除A 、B 项.故选C .
答案▶ C
一、选择题
1.已知方程x 2-3x+1=0的两个根为x 1,x 2,则2x 1·2x 2=( ).
A .3
B .6
C .8
D .2
解析▶ 由题意得x 1+x 2=3,∴2x 1·2x 2=2x 1+x 2=23
=8,故选C . 答案▶ C
2.函数f (x )=2x +2x 的零点所在的区间是( ).
A .[-2,-1]
B .[-1,0]
C .[0,1]
D .[1,2]
解析▶ 因为f (x )是增函数且f (-2)=2-2
+2×(-2)<0,f (-1)=2-1
+2×(-1)<0,f (0)=20
+0>0,所以由零点存在性定理知,
函数f (x )的零点在[-1,0]内,故选B .
答案▶ B
3.函数f (x )=ln (|x|-1)+x 的大致图象为( ).
解析▶ 由题意知,|x|-1>0,则x>1或x<-1.当x>1时,f (x )=ln (x-1)+x 为单调递增函数,排除B ,C ;当x=-2时,f (-2)=ln (|-2|-1)-2=-2<0,排除D .故选A .
答案▶ A
4.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 满足f (32a-1)≥f (-√3),则a 的最大
值是( ). A .1
B .12
C .14
D .34
解析▶ 由题意可知,-√3≤32a-1
≤√3,解得a ≤34
.故选D .
答案▶ D
5.已知f (x )=e |x-1|,设a=f (35),b=f (5
4
),c=f (2),则a ,b ,c 的大小关系是( ).
A .a>b>c
B .c>a>b
C .b>a>c
D .c>b>a
解析▶ f (x )e=
|x-1|
的图象关于直线x=1对称,且f (x )在(1,+∞)上单调递增,又1<54<7
5
<2,
∴f (5
4)<f (7
5)<f (2),
又f (75
)=f (35
),
∴f (54)<f (3
5)<f (2),故选B .
答案▶ B
6.设函数f (x )={(x -a)2-1,x ≤1,
lnx,x >1,若f (x )≥f (1)恒成立,则实数a 的取值范围为( ).
A .[1,2]
B .[0,2]
C .[1,+∞)
D .[2,+∞)
解析▶ ∵f (x )={
(x -a)2-1,x ≤1,
lnx,x >1,
且f (x )≥f (1)恒成立,∴f (1)是f (x )的最小值.
由二次函数性质可得a ≥1, 由分段函数性质得(1-a )2
-1≤ln 1, 解得0≤a ≤2.
综上,a 的取值范围为[1,2],故选A . 答案▶ A
7.已知函数f (x )={-x
x+1,x ∈(-1,0),
x,x ∈[0,1],若方程f (x )-mx-m=0有两个不同的实根,则实数m 的取值范围是( ).
A .[0,12
) B .[12
,+∞) C .[0,13
) D .(0,12
]
解析▶ 在同一坐标系内画出y=f (x ),y=mx+m 在(-1,1]上的图象,
动直线y=mx+m 过定点(-1,0),观察图象可知,当0<m ≤12
时,两图象有两个不同的交点,从而方程f (x )-mx-m=0有两个不同的实根,故选D .。