高考二轮复习文科数学完全复习教师版
高三数学(文)二轮复习(通用版)教师用书：策略(四)回扣九复数、算法、推理与证明含答案
环节一：记牢概念公式，避免临场卡壳1．复数的四则运算法则(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ；(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ；(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d2i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i≠0)． 2．算法的三种基本逻辑结构(1)顺序结构：如图(1)所示．(2)条件结构：如图(2)和图(3)所示．(3)循环结构：如图(4)和图(5)所示．环节二：巧用解题结论，考场快速抢分1．复数的几个常见结论(1)(1±i)2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i＝－i ； (3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈Z )； (4)若ω＝－12±32i ，则ω0＝1，ω2＝ω，ω3＝1，1＋ω＋ω2＝0. 2．关于复数模的运算性质(1)|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|；(2)|z |n ＝|z n |；(3)⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|.3．合情推理的思维过程(1)归纳推理的思维过程：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论(2)类比推理的思维过程：实验、观察→联想、类推→猜测新的结论环节三：明辨易错易混，不被迷雾遮眼1．复数z 为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0(z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ))．还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧．2．类比推理易盲目机械类比，不要被表面的假象(某一点表面相似)迷惑，应从本质上类比．用数学归纳法证明时，易盲目认为n 0的起始取值n 0＝1，另外注意证明传递性时，必须用n ＝k 成立的归纳假设．3．在循环体结构中，易错误判定循环体结束的条件，导致错求输出的结果． 环节四：适当保温训练，树立必胜信念1．(2016·北京高考)执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 开始a ＝1，b ＝1，k ＝0；第一次循环a ＝－12，k ＝1；第二次循环a ＝－2，k ＝2；第三次循环a ＝1，条件判断为“是”，跳出循环，此时k ＝2.2．已知z ＝3＋2i 2 0075＋i 2 015(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 因为z ＝3＋2i 2 0075＋i 2 015＝3－2i 5－i ＝（3－2i ）（5＋i ）（5－i ）（5＋i ）＝17－7i 26＝1726－726i ，所以z 在复平面内对应的点(1726，－726)位于第四象限． 3．如图所示的程序框图的运行结果为( )A ．－1 B.12C ．1D ．2 解析：选A a ＝2，i ＝1，i ≥2 016不成立；a ＝1－12＝12，i ＝1＋1＝2，i ≥2 016不成立； a ＝1－112＝－1，i ＝2＋1＝3，i ≥2 016不成立； a ＝1－(－1)＝2，i ＝3＋1＝4，i ≥2 016不成立；……，由此可知a 是以3为周期出现的，结束时，i ＝2 016＝3×672，此时a ＝－1，故选A.4．观察下列各式：f (1)＝3，f (1＋2)＝6，f (1＋2＋3)＝11，f (1＋2＋3＋4)＝20，…，则根据以上式子可以得到第10个式子为________．解析：根据上述各式的特点，可知f (1)＝3＝2＋1，f (1＋2)＝6＝22＋2，f (1＋2＋3)＝11＝23＋3，f (1＋2＋3＋4)＝20＝24＋4，所以f (1＋2＋3＋…＋10)＝210＋10＝1 034.答案：f (1＋2＋3＋…＋10)＝1 034。
高考二轮复习高考文科数学课标版第一讲 函数的图象与性质
第一讲 函数的图象与性质A 组 基础题组1.函数f(x)=+的定义域为( )1x -1x A.[0,+∞)B.(1,+∞)C.[0,1)∪(1,+∞)D.[0,1)2.已知函数f(x)=3x -,则f(x)( )(13)xA.是偶函数,且在R 上是增函数B.是奇函数,且在R 上是增函数C.是偶函数,且在R 上是减函数D.是奇函数,且在R 上是减函数3.(2018湖北武汉调研)函数f(x)=log 2(x 2-4x-5)的单调递增区间是( )A.(-∞,-2) B.(-∞,-1)C.(2,+∞)D.(5,+∞)4.(2018河北石家庄模拟)已知f(x)=(0<a<1),且f(-2)=5, f(-1)=3,则f(f(-3))=( ){log 3x,x >0,a x+b,x ≤0A.-2B.2C.3D.-35.(2018湖南益阳、湘潭调研)函数f(x)=的图象大致是( )x 1-x26.(2018陕西质量检测一)设x ∈R,定义符号函数sgn x=则函数f(x)=|x|sgn x 的图{1,x >0,0,x =0,-1,x <0,象大致是( )7.(2018贵州贵阳模拟)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且当x ≥0时, f(x)=log 2(x+2)-1,则f(-6)=( )A.2 B. 4C.-2D.-48.已知函数f(x)=则下列结论正确的是( ){x 4+1,x >0,cos2x ,x ≤0,A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)9.奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,则f(8)=( )A.-1B.0C.1D.-210.已知函数f(x)=,则下列结论正确的是( )2x -1A.函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称B.函数f(x)在(-∞,1)上是增函数C.函数f(x)的图象关于直线x=1对称D.函数f(x)的图象上至少存在两点A,B,使得直线AB ∥x 轴11.(2018四川成都模拟)已知定义在R 上的奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且当x ∈[0,1]时, f(x)=log 2(x+1),则下列不等式正确的是( )A.f(log 27)<f(-5)<f(6)B.f(log 27)<f(6)<f(-5)C.f(-5)<f(log 27)<f(6)D.f(-5)<f(6)<f(log 27)12.(2018广东惠州模拟)已知函数f(x)=若函数f(x)的图象上关于原点对称的{kx -1,x ≥0,-ln(-x ),x <0,点有2对,则实数k 的取值范围是( )A.(-∞,0)B.(0,12)C.(0,+∞)D.(0,1)13.已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a 的值为 .{2x,x >0,x +1,x ≤0,14.(2018广东惠州模拟)已知f(x)=x+-1,f(a)=2,则f(-a)= .1x 15.(2018河南洛阳第一次统考)若函数f(x)=ln(e x +1)+ax 为偶函数,则实数a= . 16.设函数f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的x ∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数a 的取值范围是 .B 组 提升题组 1.(2018重庆六校联考)函数f(x)=的大致图象为( )sin πx x22.已知函数f(x)=e |ln x|-,则函数y=f(x+1)的大致图象为( )|x -1x|3.某地一年的气温Q(t)(单位:℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示.已知该年的平均气温为10 ℃,令C(t)表示时间段[0,t]的平均气温,下列四个函数图象中,最能表示C(t)与t 之间的函数关系的是( )4.函数f(x)=的图象如图所示,则下列结论成立的是( )ax +b (x +c )2A.a>0,b>0,c<0B.a<0,b>0,c>0C.a<0,b>0,c<0D.a<0,b<0,c<05.(2018河南开封模拟)已知f(x)是定义在R 上周期为4的奇函数,当x ∈(0,2]时, f(x)=2x +log 2x,则f(2 015)=( )A.5 B. C.2 D.-2126.设函数f(x)=若f =2,则实数n 的值为( ){2x +n ,x <1,log 2x,x ≥1,(f(34)) A.-B.-C.D.541314527.∀x ∈,8x ≤log a x+1恒成立,则实数a 的取值范围是( )(0,13)A. B. C. D.(0,23)(0,12][13,1)[12,1)8.设曲线y=f(x)与曲线y=x 2+a(x>0)关于直线y=-x 对称,且f(-2)=2f(-1),则a=( )A.0B.C.D.113239.(2018福建福州模拟)已知函数f(x)=e x +e 2-x ,若关于x 的不等式[f(x)]2-af(x)≤0恰有3个整数解,则实数a 的最小值为( )A.1 B.2eC.e 2+1D.e 3+1e310.已知函数f(x)的定义域为R,且满足下列三个条件:①对任意的x 1,x 2∈[4,8],当x 1<x 2时,都有 >0;f (x 1)-f(x 2)x 1-x 2②f(x+4)=-f(x);③y=f(x+4)是偶函数.若a=f(6),b=f(11),c=f(2 017),则a,b,c 的大小关系正确的是( )A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<b<a 11.已知函数f(x)=的值域为R,则实数a 的取值范围是 . {(1-2a )x +3a ,x <1,ln x ,x ≥112.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时, f(x)=x 2,若对任意的x ∈[m-2,m],不等式f(x+m)-9f(x)≤0恒成立,则实数m 的取值范围是 .13.已知函数f(x)=若f(x-1)<f(2x+1),则x 的取值范围{3x 2+ln(1+x 2+x),x ≥0,3x 2+ln(1+x 2-x),x <0,为 .14.(2018陕西西安八校联考)函数f(x)在定义域R 内可导,若f(x)=f(2-x),且(x-1)f '(x)<0,设a=f(0),b=f,c=f(3),则a,b,c 的大小关系是 .(12)答案精解精析A 组 基础题组1.C 由题意知即0≤x<1或x>1.{x -1≠0,x ≥0,∴f(x)的定义域为[0,1)∪(1,+∞).2.B 易知函数f(x)的定义域为R,∵f(-x)=3-x -=-3x =-=-f(x),(13)-x (13)x[3x-(13)x ]∴f(x)为奇函数.又∵y=3x 在R 上为增函数,y=-在R 上为增函数,∴f(x)=3x -在R 上是增函数.故选B.(13)x(13)x3.D 由x 2-4x-5>0得x ∈(-∞,-1)∪(5,+∞).原函数f(x)=log 2(x 2-4x-5)由t=x 2-4x-5与y=log 2t 复合而成,当x ∈(-∞,-1)时,t=x 2-4x-5为减函数;当x ∈(5,+∞)时,t=x 2-4x-5为增函数.又y=log 2t 为增函数,所以函数f(x)=log 2(x 2-4x-5)的单调递增区间是(5,+∞).故选D.4.B 由题意得f(-2)=a -2+b=5①, f(-1)=a -1+b=3②.联立①②,结合0<a<1,得a=,b=1,所以f(x)=则f(-3)=+1=9,所以f(f(-12{log 3x,x >0,(12)x +1,x ≤0,(12)-33))=f(9)=log 39=2.故选B.5.B 易知函数f(x)的定义域为{x|x ≠±1}, f(-x)==-=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.-x 1-(-x )2x 1-x 2当x ∈(0,1)时, f(x)=>0,排除D;当x ∈(1,+∞)时, f(x)=<0,排除A,C.故选B.x 1-x2x1-x26.C 函数f(x)=|x|sgn x=即f(x)=x,{x ,x ≠0,0,x =0,故函数f(x)=|x|sgn x 的图象为直线y=x.故选C.7.C 由题意,知f(-6)=-f(6)=-(log 28-1)=-3+1=-2,故选C.8.D 由f(-x)≠f(x)知f(x)不是偶函数,当x ≤0时, f(x)不是增函数,显然f(x)也不是周期函数,故选D.9.B 由奇函数f(x)的定义域为R,可得f(0)=0,由f(x+2)为偶函数,可得f(-x+2)=f(x+2),故f(x+4)=f((x+2)+2)=f(-(x+2)+2)=f(-x)=-f(x),则f(x+8)=f((x+4)+4)=-f(x+4)=-[-f(x)]=f(x),即函数f(x)的周期为8,所以f(8)=f(0)=0.故选B.10.A 由题知,函数f(x)=的图象是由函数y=的图象向右平移1个单位长度得到的,可得2x -12x 函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,选项A 正确;函数f(x)在(-∞,1)上是减函数,选项B 错误;易知函数f(x)=的图象不关于直线x=1对称,选项C 错误;由函数f(x)的单调性及函数f(x)2x -1的图象可知函数f(x)的图象上不存在两点A,B,使得直线AB ∥x 轴,选项D 错误.11.C 因为奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以函数f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(-5)=f(-1)=-f(1)=-1, f(6)=f(2)=f(0)=0.于是,结合题意可画出函数f(x)在[-2,4]上的大致图象,如图所示.又2<log 27<3,所以结合图象可知-1<f(log 27)<0,故f(-5)<f(log 27)<f(6).故选C.12.D 依题意,函数f(x)的图象上存在关于原点对称的点,可作出函数y=-ln(-x)(x<0)的图象关于原点对称的函数y=ln x(x>0)的图象,使得它与直线y=kx-1(x>0)的交点个数为2即可,当直线y=kx-1与函数y=ln x 的图象相切时,设切点为(m,ln m),又y=ln x 的导函数为y'=,则1x解得可得切线的斜率为1,结合图象可知k ∈(0,1)时,函数y=ln x 的图{km -1=ln m ,k =1m ,{m =1,k =1,象与直线y=kx-1有2个交点,即函数f(x)的图象上关于原点对称的点有2对.故选D.13.答案 -3解析 ∵f(1)=2>0,且f(1)+f(a)=0,∴f(a)=-2<0,故a ≤0.依题知a+1=-2,解得a=-3.14.答案 -4解析 因为f(x)=x+-1,所以f(a)=a+-1=2,所以a+=3,所以f(-a)=-a--1=--1=-3-1=-4.1x 1a 1a 1a (a +1a )15.答案 -12解析 ∵函数f(x)是偶函数,∴f(x)-f(-x)=ln(e x +1)+ax-ln(e -x +1)+ax=ln+2ax=lne x+1e -x +1e x +2ax=(1+2a)x=0恒成立.∴1+2a=0,即a=-.1216.答案 [-1,+∞)解析 如图,要使f(x)≥g(x)恒成立,则-a ≤1,∴a ≥-1.B 组 提升题组1.D 易知函数f(x)=为奇函数且定义域为{x|x ≠0},只有选项D 满足,故选D.sin πx x22.A 根据已知函数关系式可得f(x)=作出其图象,然后将其向左{e-ln x+(x -1x )=x,0<x ≤1,e ln x-(x -1x )=1x ,x >1.平移1个单位即得函数y=f(x+1)的图象,结合选项知A 正确.3.A 若增加的数大于当前的平均数,则平均数增大;若增加的数小于当前的平均数,则平均数减小.因为12个月的平均气温为10 ℃,所以当t=12时,平均气温应该为10 ℃,故排除B;因为在靠近12月份时其温度小于10 ℃,因此12月份前的一小段时间内的平均气温应该大于10℃,故排除C;6月份以后增加的温度先大于平均值后小于平均值,故平均气温不可能出现先减小后增加的情况,故排除D.故选A.4.C 函数f(x)的定义域为{x|x ≠-c},由题中图象可知-c=x P >0,即c<0,排除B.令f(x)=0,可得x=-,则x N =-.又x N >0,所以<0.所以a,b 异号,排除A,D.故选C.ba ba ba 5.D 由题意得f(2 015)=f(4×504-1)=f(-1)=-f(1).又当x ∈(0,2]时, f(x)=2x +log 2x,故f(1)=2+log 21=2,所以f(2 015)=-2.故选D.6.D 因为f=2×+n=+n,当+n<1,即n<-时, f =2+n=2,解得n=-,不符合题意;(34)34323212(f(34))(32+n )13当+n ≥1,即n ≥-时, f =log 2=2,即+n=4,解得n=.故选D.3212(f(34))(32+n )32527.C 由各选项及题意可得解得≤a<1.{0<a <1,log a 13+1≥2,138.C 依题意得曲线y=f(x)即为-x=(-y)2+a(其中-y>0,即y<0,注意到点(x 0,y 0)关于直线y=-x 的对称点是点(-y 0,-x 0)),化简后得y=-,即f(x)=-,于是有-=-2,由此解得-x -a -x -a 2-a 1-a a=.故选C.239.C 因为f(x)=e x +e 2-x >0,所以由[f(x)]2-af(x)≤0可得0<f(x)≤a.令t=e x ,g(t)=t+(t>0),画出函e2t数g(t)的大致图象,如图所示,结合图象分析易知原不等式有3个整数解可转化为0<g(t)≤a 的3个解分别为1,e,e 2.又当t=e x 的值分别为1,e,e 2时,x=0,1,2.画出直线y=e 2+1,故结合函数图象可知a 的最小值为e 2+1.故选C.10.B ∵对任意的x 1,x 2∈[4,8],当x 1<x 2时,都有 >0,f (x 1)-f(x 2)x 1-x 2∴函数f(x)在区间[4,8]上为增函数.∵f(x+4)=-f(x),∴f(x+8)=-f(x+4)=f(x),∴函数f(x)是周期为8的周期函数.∵y=f(x+4)是偶函数,∴函数f(x)的图象关于直线x=-4对称,又函数f(x)的周期为8,∴函数f(x)的图象也关于直线x=4对称.∴b=f(11)=f(3)=f(5),c=f(2 017)=f(252×8+1)=f(1)=f(7).又a=f(6),函数f(x)在区间[4,8]上为增函数,∴b<a<c.故选B.11.答案 [-1,12)解析 要使函数f(x)的值域为R,则有∴{1-2a >0,ln1≤1-2a +3a ,{a <12,a ≥-1,∴-1≤a<.1212.答案 [4,+∞)解析 依题意知函数f(x)在R 上单调递增,且当x ∈[m-2,m]时, f(x+m)≤9f(x)=f(3x),所以x+m ≤3x,即x ≥恒成立,于是有≤m-2,解得m ≥4,即实数m 的取值范围是[4,+∞).m 2m213.答案 (-∞,-2)∪(0,+∞)解析 若x>0,则-x<0, f(-x)=3(-x)2+ln(+x)=3x 2+ln(+x)=f(x),同理可得,当x<01+x 21+x 2时, f(-x)=f(x),且x=0时,f(0)=f(-0),所以f(x)是偶函数.因为当x>0时,函数f(x)单调递增,所以不等式f(x-1)<f(2x+1)等价于|x-1|<|2x+1|,整理得x(x+2)>0,解得x>0或x<-2.14.答案 b>a>c解析 因为f(x)=f(2-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称.因为(x-1)f '(x)<0,所以当x>1时, f '(x)<0,所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递减;当x<1时, f '(x)>0,所以函数f(x)在(-∞,1)上单调递增.取符合题意的函数f(x)=-(x-1)2,则a=f(0)=-1,b=f=-,c=f(3)=-4,故b>a>c.(12)14。
高考数学二轮复习专题教案人教版
高考数学二轮复习专题教案（人教版）集合与简易逻辑一、考点回顾1、集合的含义及其表示法，子集，全集与补集，子集与并集的定义；2、集合与其它知识的联系，如一元二次不等式、函数的定义域、值域等；3、逻辑联结词的含义，四种命题之间的转化，了解反证法；4、含全称量词与存在量词的命题的转化，并会判断真假，能写出一个命题的否定；5、充分条件，必要条件及充要条件的意义，能判断两个命题的充要关系；6、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。
二、经典例题剖析考点1、集合的概念1、集合的概念：（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；（2）集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。
如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；（3）集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显着规律的无限集，如N+={0，1，2，3，...}；②描述法。
2、两类关系：（1）元素与集合的关系，用或表示；（2）集合与集合的关系，用，，=表示，当AB时，称A是B的子集；当AB时，称A 是B的真子集。
3、解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题4、注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,则有A=或A≠两种可能，此时应分类讨论例1、下面四个命题正确的是（A）10以内的质数集合是{1，3，5，7} （B）方程x2－4x＋4＝0的解集是{2，2}（C）0与{0}表示同一个集合（D）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}解：选（D），最小的质数是2，不是1，故（A）错；由集合的定义可知（B）（C）都错。
例2、已知集合A＝－1，3，2－1，集合B＝3，．若BA，则实数＝．解：由BA，且不可能等于－1，可知＝2－1，解得：＝1。
高考数学(文)二轮复习教师用书： 名师寄语 Word版含答案
一轮复习一般以知识、技能、方法的逐点扫描和梳理为主，通过一轮复习，同学们大都掌握了基本概念的性质、定理及其一般应用，但知识较为零散，综合应用存在较大的问题，而二轮复习承上启下，是知识系统化、条理化，促进灵活运用，提高数学素养的关键时期，为进一步突出重点，攻破难点，提高二轮复习的时效性，建议专题复习时，处理好以下3点：第1点 归纳常考知识，构建主干体系由于二轮复习时间较短，复习中不可能面面俱到，这就需要我们依据《考试大纲》和《考试说明》，结合全国卷近五年的高考试题进行主干网络体系的构建，并紧紧抓住高考的“热点”，有针对性地训练．例如：“三角函数”在高考中的主要考点是什么？回顾近三年的高考试题，不难发现，三角函数一般会考两类题：一类题考查解三角形(正弦定理、余弦定理、面积公式)，一类题考查三角变换(和(差)角公式、倍角公式、辅助角公式、三角函数的图象与性质)．【例1】 (2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．注：本书所有主观题附规范解答及评分细则 [解] (1)由已知及正弦定理得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，2分 即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ， 故2sin C cos C ＝sin C. 4分 可得cos C ＝12，所以C ＝π3．6分(2)由已知得12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6．8分由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7， 故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25． 10分 所以△ABC 的周长为5＋7．12分【名师点评】 边角互化是利用正、余弦定理解题的有效途径，合理应用定理及其变形可化繁为简，提高运算效率，如本题也可以利用结论“a cos B ＋b cos A ＝c ”直接得出cos C ＝12. 【例2】 已知函数f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 22x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象先向右平移π8个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，求y ＝g (x )的单调递增区间和最小值．[解题指导]f (x )―――――――→三角恒等变换f (x )＝A sin(ωx ＋φ)――――→平移变换y ＝g (x )求g (x )的单调递增区间和最小值．[解]f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 22x ＝2sin 2x cos 2x ＋cos 22x －sin 22x ＝sin 4x ＋cos 4x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4．2分 (1)函数f (x )的最小正周期为T ＝2π4＝π2．4分 (2)由题意，知g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4＋1． 6分令－π2＋2k π≤4x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π16＋k 2π≤x ≤3π16＋k2π(k ∈Z )．8分当k ＝0时，得－π16≤x ≤3π16.故当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，函数g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π16， 10分 显然g (x )的单调递减区间是⎝⎛⎦⎥⎤3π16，π4，易知g (x )min＝g (0)＝0．12分【名师点评】 利用和(差)角公式、倍角公式、辅助角公式将含有多个不同的三角函数式转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再利用三角函数的性质求其单调区间、最值等问题． 通过上述两例，我们可以发现高考对“三角函数”考什么、如何考等问题，明确地构建出了本部分知识的主干知识体系．总之，对主干知识的确定有两种途径：第一，跟着老师去复习，一般来说，老师对主干知识的把握比较准确；第二，自己多看、多做近几年的高考题，从而感悟高考考什么，怎么考，进而能使自己把握主干知识，从而进行针对性地二轮复习．第2点 回避“套路”解题，强化思维训练“思维”是数学的体操，从近几年来看，高考试题稳中有变，变中求新．其特点是：稳以基础为主体，变以选拔为导向，增大试题的思维量，倡导理性思维．因此，在复习备考时，应回避用“套路”解题，强化通过多观察、多分析、多思考来完成解题．【例3】 (2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为()A.5B ．2 2 C ．2 3D ．3 3[解题指导] 求直线MF 的方程→求出点M ，N 的坐标→△MNF 为等边三角形→求出点M 到直线NF 的距离C [抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF 的方程为y ＝3(x －1)． 联立得方程组⎩⎨⎧y ＝3x －，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝－233或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2 3.∵点M 在x 轴的上方，∴M (3,23)． ∵MN ⊥l ， ∴N (－1,23)． ∴|NF |＝＋2＋－232＝4，|MF |＝|MN |＝＋2＋3－232＝4.∴△MNF 是边长为4的等边三角形． ∴点M 到直线NF 的距离为2 3. 故选C.]【名师点评】 本题在求出点M ，N 的坐标后，求出直线MF 的方程，然后利用点到直线的距离公式求解．本题解法跳出常规，敏锐地判断出△MNF 为等边三角形，从而直接得出答案． 从以上典例我们可以看出，考能力不是考解题套路，而是考动手操作、深入思考、灵活运用的能力(即分析问题和解决问题的能力)，考生需要通过眼、手、脑高度的配合才能完成解题．因此，在二轮专题复习中，把握考查方向，强化思维训练非常重要．第3点 注重知识交汇，强化综合运用在知识交汇处命题是一个永恒不变的规律．分析高考试题，我们不难发现，几乎所有的试题都是在“联系”上做“文章”，如果我们对数学知识的掌握是孤立的，那么在解题时，条件与条件之间、条件与结论之间就很难联系在一起，也就很难找到解决问题的有效策略．因此，我们在经历了一轮基础性复习之后，关注知识点间的联系，强化综合成为二轮专题复习的重要策略．【例4】 (2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2有两个零点．(1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2＜2.[解题指导] 求f ′(x )――――――→结合a 的取值讨论函数f (x )的单调性――――――――→图象的变化趋势求a 的取值范围――――→转化思想x 1＋x 2＜2⇔f (x 1)＞f (2－x 2)―――→构造法证明结论． [解] (1)f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)(e x＋2a )． 1分 ①设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x ，f (x )只有一个零点． 2分②设a ＞0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b ＜0且b ＜ln a 2，则f (b )＞a 2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝⎛⎭⎪⎫b 2－32b ＞0，故f (x )存在两个零点．4分③设a ＜0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．若a ≥－e2，则ln(－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，因此f (x )在(1，＋∞)内单调递增．又当x ≤1时，f (x )＜0，所以f (x )不存在两个零点．若a ＜－e2，则ln(－2a )＞1，故当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )＜0；当x ∈(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )＞0.因此f (x )在(1，ln(－2a ))内单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)内单调递增． 6分又当x ≤1时，f (x )＜0，所以f (x )不存在两个零点． 综上，a 的取值范围为(0，＋∞)．8分(2)证明：不妨设x 1＜x 2，由(1)知，x 1∈(－∞，1)，x 2∈(1，＋∞)，2－x 2∈(－∞，1)，f (x )在(－∞，1)内单调递减，所以x 1＋x 2＜2等价于f (x 1)＞f (2－x 2)， 即f (2－x 2)＜0.9分故当x ＞1时，g (x )＜0.11分从而g (x 2)＝f (2－x 2)＜0， 故x 1＋x 2＜2．12分【名师点评】 本题以函数的零点为载体，融导数、不等式于其中，重点考查了学生的分类讨论思想和等价转化及推理论证能力．复习该部分知识时，要强化函数、方程、不等式三者间的内在联系，突现导数解题的工具性．由本例可以看出，在二轮专题复习中，我们务必要密切关注知识之间的相互联系，在强化综合中，加强思维灵活性训练，从而提高分析问题和解决问题的能力，回避偏题、难题、怪题和旧题．总体来说，在二轮专题复习中，我们要做到“三个强化，三个淡化，一个渗透”，即强化主干知识，淡化细枝末节；强化基础能力，淡化题型套路；强化综合应用，淡化“偏、难、怪、旧”，渗透数学思想．。
高三数学二轮复习 教师用书 文
（通用版）2017届高三数学二轮复习教师用书文当你打开本书，你会发现她与众不同：她不同——没有按传统目录去编排；她不同——没有按固定体例去“套”．传统目录太“老”——已不能适应全国卷的高考．全国卷考什么，怎么考，传统目录区分度不高，指导性不明．“方向比努力更重要”，这一点，对二轮复习尤显重要！体例固定太“板”——二轮复习时间紧、任务重，该学什么，怎么学，如果再轻重不分，难易无别，一条道走到黑，哪有这么多时间任你我折腾！当研究完全国新课标卷近5年的高考题，你就会发现，本书的编排设计竟是如此的精妙！因为高考这样考，所以本书这样编排设计[全国课标卷5年考情统计分析]一、30%的题目是基础题目，主要集中在6大知识点进行命题(一)集合与常用逻辑用语1．集合作为高考必考内容，多年来命题较稳定，多在第1题的位置以选择题形式进行考查，难度较小，命题的热点依然会集中在集合的运算上，常与简单的一元二次不等式结合命题．2．高考对常用逻辑用语考查的频率较低，且命题点分散，其中含有量词的命题的否定、充分必要条件的判断需要关注，多结合函数、平面向量、三角函数、不等式、数列等内容命题．(二)平面向量[命题分析]1．平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题(选择题或填空题)，一般出现在第2～6或第13～15题的位置上，难度较低，主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是其考查的热点．2．有时也会以平面向量为载体，与三角函数、解析几何等其他知识相交汇综合命题，难度中等．(三)不等式[命题分析]1．不等式作为高考命题热点内容之一，多以选择题、填空题的形式进行考查，直接考查时主要是简单的线性规划问题，关于不等式性质的应用、不等式的解法以及基本不等式的应用，主要体现在其工具作用上．2．题目多出现在第13～15题的位置上，难度中等，但命题的模式比较固定，只要平时多加练习得分不难．3．若不等式与函数、导数、数列等其他知识交汇综合命题，难度较大．(四)空间几何体的三视图、表面积与体积[1．“立体几何”在高考中一般会以“两小一大”或“一小一大”的命题形式出现，这“两小”或“一小”主要考查三视图，几何体的表面积与体积，空间点、线、面位置关系(特别是平行与垂直)．2．考查一个小题时，本小题一般会出现在第6～7题的位置上，难度一般；考查2个小题时，其中一个小题难度一般，另一小题难度稍高，一般会出现在第9～11题的位置上，本小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查．(五)算法、复数、推理与证明[1．高考对复数的考查重点是其代数形式的四则运算(特别是乘、除法)，也涉及复数的概念及几何意义等知识，题目多出现在第2～3题的位置，难度较小，纯属送分题目．2．高考对算法的考查，每年平均有一道小题，一般出现在6～9题的位置上，难度中等偏下，都是考查程序框图，热点是循环结构和条件结构，有时综合性较强，其背景涉及数列、统计等知识．3．在全国课标卷中很少直接考查“推理与证明”，特别是合情推理，而演绎推理，则主要体现在对问题的证明上．(六)统计与统计案例[命题分析]1．统计与统计案例是高考命题的热点之一，从题型上看，多为选择题和解答题．2．选择题常出现在第3～4题的位置，多考查统计图表的识别、抽样方法的选取、变量间的相关性判断等，难度较小．3．解答题常出现在第18～19题的位置，多考查用最小二乘法求线性回归方程、样本的相关性检验、用样本估计总体等，难度中等．二、50%的题目是中等题目，主要集中在12个命题点上(七)函数的图象与性质[命题分析]1．高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等，主要考查求函数的定义域，分段函数函数值的求解或分段函数中参数的求解及函数图象的识别．题型多以选择题、填空题形式考查，一般出现在第9～11或第13～15题位置上，难度中等．2．此部分内容有时出现在选择题、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题．(八)基本初等函数、函数与方程1．基本初等函数作为高考的命题热点，多考查利用函数的性质比较大小，一般出现在第7～11题的位置，有时难度较大．2．函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，近几年全国课标卷考查较少，但也要引起重视，题目可能较难．(九)导数的简单应用[命题分析]1．此部分内容是高考命题的热点内容．在选择题、填空题中多考查导数的几何意义，难度较小．2．应用导数研究函数的单调性、极值、最值，多在选择题、填空题最后几题的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题．(十)三角函数的图象与性质[1．高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．2．主要以选择、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第6～11或第14题位置上．(十一)三角恒等变换与解三角形1．高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现．2．若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～11或第14～16题位置上．3．若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题位置上，难度中等．(十二)数列1．高考主要考查两类基本数列(等差数列、等比数列)、两种数列求和方法(裂项求和法、错位相减法)、两类综合(与函数综合、与不等式综合)，主要突出数学思想的应用．2．若以解答题形式考查，往往与解三角形交替考查，试题难度中等；若以客观题考查，难度中等的题目较多，但有时也出现在第12题或16题位置上，难度偏大，复习时应引起关注．(十三)点、直线、平面之间的位置关系1．高考对此部分命题较为稳定，选择题、填空题多考查线面位置关系的判断，此类试题难度中等偏下．2．解答题的第(1)问考查空间平行关系和垂直关系的证明，而第(2)问多考查面积、体积的计算，难度中等偏上．解答题的基本模式是“一证明二计算”．(十四)直线与圆[命题分析]1．圆的方程近两年为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式呈现．2．直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时会出现在第12题或第16题位置，难度很大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上．(十五)圆锥曲线的方程与性质[命题分析]1．圆锥曲线的定义、方程与性质是每年必考内容，多以选择题的形式考查，常出现在第4～10题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程的求法，难度中等．2．圆锥曲线与直线的综合问题多以解答题的形式考查，常出现在第20题的位置，一般难度较大．(十六)概率[1．对概率的考查是高考命题的热点之一，命题形式为“一小一大”，即一道选择或填空题和一道解答题．2．选择或填空题常出现在第3～8题或第13题的位置，主要考查古典概型、几何概型，难度一般．3．解答题常出现在第18或19题的位置，多以交汇性的形式考查，交汇点主要有两种：一是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与频率与概率的关系、数据的数字特征相交汇来考查；二是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与线性回归或独立性检验相交汇来考查，难度中等．(十七)选修4－4(坐标系与参数方程)[命题分析]1．坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．2．全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．(十八)选修4－5(不等式选讲)[命题分析]1．不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．2．此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用．三、20%的题目是较难题目，主要集中在3大块(一)选择题、填空题中的压轴题[命题分析]1．每年高考题中的第12题和第16题都有一定难度，所考查的知识点多样，有函数的零点与不等式，函数、导数与不等式，数列与不等式，圆锥曲线的综合问题和一些知识点的创新问题等．2．学有余力的考生在对此部分内容复习时要有深度和广度，能力一般的考生要掌握一定的答题技巧，争取拿分．(二)解答题第20题压轴题1．解答题第20题压轴题一般考查解析几何的有关内容，难度较大．2．本题常考查直线与圆锥曲线的位置关系、最值、范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值与范围的求解，综合性强．(三)解答题第21题压轴题[命题分析]1．解答题第21题压轴题一般考查利用导数研究函数的有关性质，难度中等偏上．2．本题考查内容灵活多变，常涉及分类讨论思想、数形结合思想．另外，多与不等式、方程根的分布及函数的值域等问题相结合设置成综合性试题，难度较大．题型专题(一) 集合与常用逻辑用语集合的运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.[题组练透]1．(2016²全国甲卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B ＝( )A．{1} B．{1，2}C．{0，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3}解析：选C 因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0，1}，A＝{1，2，3}，所以A∪B＝{0，1，2，3}．2．(2016²河南六市联考)已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是( )A．(0，3) B．(0，1)∪(1，3)C．(0，1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选B ∵A∩B有4个子集，∴A∩B中有2个不同的元素，∴a∈A，∴a2－3a<0，解得0<a<3且a≠1，即实数a的取值范围是(0，1)∪(1，3)，故选B.3．(2016²江西两市联考)已知集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|2<x<3} B．{x|－1<x≤0}C．{x|0≤x＜6} D．{x|x<－1}解析：选C 由x2－5x－6＜0，解得－1<x<6，所以A＝{x|－1<x<6}．由2x<1，解得x<0，所以B＝{x|x<0}．又图中阴影部分表示的集合为(∁U B)∩A，因为∁U B＝{x|x≥0}，所以(∁U B)∩A ＝{x|0≤x＜6}，故选C.4．(2016²湖北七市联考)已知集合P＝{n|n＝2k－1，k∈N*，k≤50}，Q＝{2，3，5}，则集合T＝{xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为( )A．147 B．140 C．130 D．117解析：选B 由题意得，y的取值一共有3种情况，当y＝2时，xy是偶数，与y＝3，y ＝5时，没有相同的元素，当y＝3，x＝5，15，25，…，95时，与y＝5，x＝3，9，15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3³50－10＝140，故选B.5．已知全集U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是集合U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.则集合A＝________.(用列举法表示)解析：若a1∈A，则a2∈A，则由若a3∉A，则a2∉A可知，a3∈A，假设不成立；若a4∈A，则a3∉A，则a2∉A，a1∉A，假设不成立，故集合A＝{a2，a3}．答案：{a2，a3}[技法融会]1．集合运算中的3种常用方法(1)数轴法：若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；(2)图象法：若已知的集合是点集，用图象法求解；(3)Venn图法：若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．2．(易错提醒)在写集合的子集时，易忽视空集；在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B 时，易忽略A＝∅的情况.充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件；(2)充要条件与集合的关系：设命题p对应集合A，命题q对应集合B，则p⇒q等价于A⊆B，p⇔q等价于A＝B.[题组练透]1．(2016²湖北七市联考)已知a，b为两个非零向量，设命题p：|a²b|＝|a||b|，命题q：a与b共线，则命题p是命题q成立的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C |a²b|＝|a||b|⇔|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|⇔cos〈a，b〉＝±1⇔a∥b，故p是q成立的充要条件，选C.2．若p是q的充分不必要条件，则下列判断正确的是( )A．┐p是q的必要不充分条件B．┐q是p的必要不充分条件C．┐p是┐q的必要不充分条件D．┐q是┐p的必要不充分条件解析：选C 由p是q的充分不必要条件可知p⇒q，q p，由互为逆否命题的两命题等价可得┐q⇒┐p，┐p┐q，∴┐p是┐q的必要不充分条件，选C.3．(2016²天津高考)设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的( )A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选C 设数列的首项为a1，则a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)<0，即q<－1，故q<0是q<－1的必要而不充分条件．故选C.4．已知“x>k”是“3x＋1<1”的充分不必要条件，则k的取值范围是( )A．[2，＋∞) B．[1，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－∞，－1]解析：选A 由3x＋1<1，可得3x＋1－1＝－x＋2x＋1<0，所以x<－1或x>2，因为“x>k”是“3x＋1<1”的充分不必要条件，所以k≥2.[技法融会]1．判定充分条件与必要条件的3种方法(1)定义法：正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A＝B，则A是B的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．2．(易错提醒)“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.1．四种命题的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．2．全(特)称命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)．它的否定是┐p：∃x0∈M，┐p(x0)．(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)．它的否定是┐p：∀x∈M，┐p(x)．[题组练透]1．(2016²南昌一模)已知命题p：函数f(x)＝|cos x|的最小正周期为2π；命题q：函数y＝x3＋sin x的图象关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是( ) A．p∧q B．p∨qC．(┐p)∧(┐q) D．p∨(┐q)解析：选B 因为命题p为假，命题q为真，所以p∨q为真命题．2．(2016²浙江高考)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2解析：选D 由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．3．(2016²广州五校联考)以下有关命题的说法错误的是( )A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件C．若p∨q为假命题，则p，q均为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则┐p：∀x∈R，均有x2＋x＋1<0解析：选D 选项D中┐p应为：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0.故选D.[技法融会]1．命题真假的4种判定方法(1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别．(2)四种命题真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律．(3)形如p∨q，p∧q，┐p命题的真假根据真值表判定．(4)全称命题与特称命题的真假的判定：①全称命题：要判定一个全称命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；②特称命题：要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．2．(易错提醒)“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论．一、选择题1．命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是( )A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1解析：选A 改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x0改为x，否定结论，即ln x≠x－1，故选A.2．设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M⊆(A∩B)的集合M 的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：选C 由题中集合可知，集合A 表示直线x ＋y ＝1上的点，集合B 表示直线x －y＝3上的点，联立可得A ∩B ＝{(2，－1)}，M 为A ∩B 的子集，可知M 可能为{(2，－1)}，∅，所以满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是2.3．(2016²武汉调研)已知命题p ：x ≥1，命题q ：1x<1，则┐p 是 q 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选D 由题意，得┐p 为x <1，由1x<1，得x>1或x<0，故q 为x >1或x<0，所以┐p 是q 的既不充分也不必要条件，故选D.4．(2016²河南八市质量检测)已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2<16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( )A ．A ∪B ＝R B ．A ∪(∁U B )＝RC ．(∁U A )∪B ＝RD ．A ∩(∁U B )＝A解析：选D 因为A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x >4}，所以∁U B ＝{x |x ≤4}，所以A ∩(∁U B )＝A ，故选D.5．(2016²天津高考)设x ＞0，y ∈R ，则“x ＞y ”是“x ＞|y |”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选C 当x ＝1，y ＝－2时，x ＞y ，但x ＞|y |不成立；若x ＞|y |，因为|y |≥y ，所以x ＞y .所以x ＞y 是x ＞|y |的必要而不充分条件．6．已知全集U ＝{x ∈Z|0<x <10}，集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x ＝2a ，a ∈A }，则(∁U A )∩B ＝( )A ．{6，8}B ．{2，4}C ．{2，6，8}D ．{4，8}解析：选A 法一：由已知得全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，所以∁U A ＝{5，6，7，8，9}，而B ＝{2，4，6，8}，故(∁U A )∩B ＝{6，8}，所以选A.法二：因为2，4∈A ，所以2，4∉∁U A ，故2，4∉(∁U A )∩B ，所以排除B 、C 、D ，所以选A. 7．若集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－2<x <a }，则“A ∩B ≠∅”的充要条件是( ) A ．a >－2 B ．a ≤－2C ．a >－1D ．a ≥－1解析：选C A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |－2<x <a }，如图所示：∵A ∩B ≠∅，∴a >－1.8．(2016²皖江名校联考)命题p ：存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x 0＋cos x 0>2；命题q ：命题“∃x 0∈R ，2x 20＋3x 0－5＝0”的否定是“∀x ∈R ，2x 2＋3x －5≠0”，则四个命题(┐p )∨(┐q )，p ∧q ，(┐p )∧q ，p ∨(┐q )中，真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，故命题p 为假命题；特称命题的否定为全称命题，易知命题q 为真命题，故(┐p )∨(┐q )真，p ∧q 假，(┐p )∧q 真，p ∨(┐q )假．9．如图所示的程序框图，已知集合A ＝{x |x 是程序框图中输出的x 的值}，集合B ＝{y |y 是程序框图中输出的y 的值}，全集U ＝Z ，Z 为整数集．当输入的x ＝－1时，(∁U A )∩B 等于( )A ．{－3，－1，5}B ．{－3，－1，5，7}C ．{－3，－1，7}D ．{－3，－1，7，9}解析：选D 根据程序框图所表示的算法，框图中输出的x 值依次为0，1，2，3，4，5，6；y 值依次为－3，－1，1，3，5，7，9.于是A ＝{0，1，2，3，4，5，6}，B ＝{－3，－1，1，3，5，7，9}，因此(∁U A )∩B ＝{－3，－1，7，9}．10．(2016²广州高考模拟)下列说法中正确的是( ) A ．“f (0)＝0”是“函数f (x )是奇函数”的充要条件B ．若p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0，则┐p ：∀x ∈R ，x 2－x －1<0 C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．命题“若α＝π6，则sin α＝12”的否命题是“若α≠π6，则sin α≠12”解析：选D f (0)＝0，函数f (x )不一定是奇函数，如f (x )＝x 2，所以A 错误；若p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0，则┐p ：∀x ∈R ，x 2－x －1≤0，所以B 错误；p ，q 只要有一个是假命题，则p ∧q 为假命题，所以C 错误；否命题是将原命题的条件和结论都否定，D 正确．11．已知命题p ：函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0，1)内恰有一个零点；命题q ：函数y ＝x 2－a 在(0，＋∞)上是减函数．若p 且┐q 为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(1，2]D ．(－∞，1]∪(2，＋∞)解析：选C 由题意可得，对命题p ，令f (0)²f (1)<0，即－1²(2a －2)<0，得a >1；对命题q ，令2－a <0，即a >2，则┐q 对应的a 的范围是(－∞，2]．因为p 且┐q 为真命题，所以实数a 的取值范围是1<a ≤2.故选C.12．(2016²浙江高考)已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b ＜0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵f (x )＝x 2＋bx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22－b 24，当x ＝－b 2时，f (x )min ＝－b 24，又f (f (x ))＝(f (x ))2＋bf (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫f （x ）＋b 22－b 24，当f (x )＝－b 2时，f (f (x ))min ＝－b 24，当－b 2≥－b 24时，f (f (x ))可以取到最小值－b 24，即b 2－2b ≥0，解得b ≤0或b ≥2，故“b ＜0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件．选A.二、填空题13．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x－x －a 有零点，则┐p ：_______________________.解析：全称命题的否定为特称命题，┐p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点．答案：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点14．已知集合A ＝{x ∈R||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于________．解析：A ＝{x ∈R||x －1|<2}＝{x ∈R|－1<x <3}，集合A 中包含的整数有0，1，2，故A ∩Z ＝{0，1，2}．故A ∩Z 中所有元素之和为0＋1＋2＝3.答案：315．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为________．解析：由已知条件可知p 和q 均为真命题，由命题p 为真得a ≤0，由命题q 为真得a ≤－2或a ≥1，所以a ≤－2.答案：(－∞，－2]16．对任意两个集合X ，Y ，定义X －Y ＝{x |x ∈X 且x ∉Y }，X ΔY ＝(X －Y )∪(Y －X )．设A ＝{y |y ＝x 2，x ∈R}，B ＝{y |y ＝3sin x ，x ∈R}，则A ΔB ＝________.解析：由已知得A ＝{y |y ＝x 2，x ∈R}＝[0，＋∞)．B ＝{y |y ＝3sin x ，x ∈R}＝[－3，3]，于是A －B ＝(3，＋∞)，B －A ＝[－3，0)，故A ΔB ＝[－3，0)∪(3，＋∞)．答案：[－3，0)∪(3，＋∞)题型专题(二) 平面向量(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．[题组练透]1．(2016²河北三市联考)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝me 1＋2e 2，b ＝ne 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则mn等于( )A ．－12 B.12C ．－2D ．2解析：选C ∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即me 1＋2e 2＝λ(ne 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，解得m n ＝－2.2．(2016²唐山模拟)在等腰梯形ABCD 中，M 为BC 的中点，则＝( )解析：选 B因为，所以.又M是BC的中点，所以，故选B.3．(2016²广州综合测试)在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若 (m，n∈R)，则mn＝( )A．－3 B．－13C.13D．3解析：选A过点A作AE∥CD，交BC于点E，则BE＝2，CE＝4，∴∴mn＝1－13＝－3.4．(2016²杭州综合测试)设P是△ABC 所在平面内的一点，且，则△PAB 与△PBC的面积的比值是( )A.13B.12C.23D.34解析：选B ∵，∴，又△PAB在边PA上的高与△PBC在边PC 上的高相等，∴S△PABS△PBC＝＝12.[技法融会]1．平面向量线性运算的2种技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b≠0时，a∥b⇔存在唯一实数λ，使得a ＝λb)来判断．2．(易错提醒)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(1)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值确定．(2)求非零向量a ，b 的夹角，一般利用公式cos 〈a ，b 〉＝a ²b |a ||b |先求出夹角的余弦值，然后求夹角．(3)向量a 在向量b 方向上的投影为a ²b|b |＝|a |cos θ(θ为两向量的夹角)．[题组练透]1．(2016²全国丙卷)已知向量＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，＝⎝⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 解析：选A 因为＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，＝⎝⎛⎭⎪⎫32，12， 所以²＝34＋34＝32.又因为²＝||||cos ∠ABC ＝1³1³cos ∠ABC ＝32，所以cos ∠ABC ＝32. 又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.2．(2016²合肥质检)已知不共线的两个向量a ，b 满足|a －b |＝2且a ⊥(a －2b )，则|b |＝( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4解析：选B 由a ⊥(a －2b )得，a ²(a －2b )＝|a |2－2a ²b ＝0，则|a －b |＝（a －b ）2＝|a |2－2a ²b ＋|b |2＝|b |＝2，选项B 正确．3．(2016²重庆二测)设单位向量e 1，e 2的夹角为2π3，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1－3e 2，则b在a 方向上的投影为( )A ．－332B ．－ 3 C. 3 D.332解析：选A 依题意得e 1²e 2＝1³1³cos2π3＝－12，|a |＝（e 1＋2e 2）2＝e 21＋4e 22＋4e 1²e 2＝3，a ²b ＝(e 1＋2e 2)²(2e 1－3e 2)＝2e 21－6e 22＋e 1²e 2＝－92，因此b 在a 方向上的投影为a ²b |a |＝－923＝－332，选A.4．(2016²天津高考)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则的值为( )A ．－58 B.18 C.14 D.118解析：选B 如图所示，＝＋又D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 且DE ＝2EF ，所以，，所以.又，则.又＝1，∠BAC ＝60°， 故＝34－12－14³1³1³12＝18.故选B. 5．(2016²长春质检)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(0，t 2＋1)，则当t ∈[－3，2]时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －t b |b |的取值范围是________．解析：由题意，b|b |＝(0，1)，根据向量的差的几何意义，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －tb |b |表示同起点的向量tb|b |的终点到a 的终点的距离，当t ＝3时，该距离取得最小值1，当t ＝－3时，该距离取得最大值13，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －tb |b |的取值范围是[1，13 ]．答案：[1，13 ][技法融会]1．平面向量数量积运算的2种形式(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化．2．(易错提醒)两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线．一、平面向量与其他知识的交汇平面向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、不等式等知识交汇命题，平面向量的“位置”为：一是作为解决问题的工具，二是通过运算作为命题条件．[新题速递]1．已知向量a ，b 满足|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝－2x 3＋3|a |x 2＋6a ²bx ＋5在R 上单调递减，则向量a ，b 夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π 解析：选D 设向量a ，b 的夹角为θ，因为f (x )＝－2x 3＋3|a |x 2＋6a ²bx ＋5，所以f ′(x )＝－6x 2＋6|a |x ＋6a ²b ，又函数f (x )在R 上单调递减，所以f ′(x )≤0在R 上恒成立，所以Δ＝36|a |2－4³(－6)³(6a ²b )≤0，解得a ²b ≤－14|a |2，因为a ²b ＝|a ||b |cos θ，且|a |＝2|b |≠0，所以|a ||b |cos θ＝12|a |2cos θ≤－14|a |2，解得cos θ≤－12，因为θ∈[0，π]，所以向量a ，b 的夹角θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π，故选D.2．(2016²广东茂名二模)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y的最小值是( )A ．24B ．8 C.83 D.53解析：选B ∵a ∥b ，∴－2x －3(y －1)＝0，即2x ＋3y ＝3，∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ³13(2x ＋3y )＝13(6＋9y x ＋4x y ＋6)≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋29y x ²4x y ＝8，当且仅当2x ＝3y ＝32时，等号成立．∴3x ＋2y 的最小值是8.故选B.[技法融会]这两题考查的是平面向量与函数、不等式的交汇．第1题由函数的性质把问题转化为平面向量问题，求解时应注意两向量的夹角θ∈[0，π]．而第2题是利用平面向量的知识得到有关x 和y 的一个等式，再利用基本不等式求解．二、新定义下平面向量的创新问题近年，高考以新定义的形式考查向量的概念、线性运算、数量积运算的频率较大，其形式体现了“新”．解决此类问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，通过转化思想解决，这是破解新定义信息题的关键所在．[新题速递]1．已知向量a 与b 的夹角为θ，定义a ³b 为a 与b 的“向量积”，且a ³b 是一个向量，它的长度|a ³b |＝|a ||b |sin θ，若u ＝(2，0)，u －v ＝(1，－3)，则|u ³(u ＋v )|等于( )A ．4 3 B. 3 C ．6 D ．2 3解析：选D 由题意v ＝u －(u －v )＝(1，3)，则u ＋v ＝(3，3)，cos 〈u ，u ＋v 〉＝32，得sin 〈u ，u ＋v 〉＝12，由定义知|u ³(u ＋v )|＝|u |²|u ＋v |sin 〈u ，u ＋v 〉＝2³23³12＝2 3.故选D.2．定义平面向量的一种运算a ⊙b ＝|a ＋b |³|a －b |³sin 〈a ，b 〉，其中〈a ，b 〉是a 与b 的夹角，给出下列命题：①若〈a ，b 〉＝90°，则a ⊙b ＝a 2＋b 2；②若|a |＝|b |，则(a ＋b )⊙(a －b )＝4a ²b ；③若|a |＝|b |，则a ⊙b ≤2|a |2；④若a ＝(1，2)，b ＝(－2，2)，则(a ＋b )⊙b ＝10.其中真命题的序号是________．。
高考数学(文)二轮复习教师用书：第1部分 重点强化专题 技法篇 Word版含答案
技法篇：4大思想提前看，依“法”训练提时效高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合；二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录与描述，那么数学思想方法则是数学意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，着眼于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想．这些在一轮复习中都有所涉及，建议二轮复习前应先学习此部分．带着方法去复习，这样可以使理论指导实践，“一法一练”“一练一过”，既节省了复习时间又能起到事半功倍的效果，而市面上有些资料把方法集中放于最后，起不到”依法训练”的作用，也因时间紧造成学而不透、学而不深，在真正的高考中不能从容应对．不过也可根据自身情况选择学完后再复习此部分．思想1函数与方程思想函数的思想，就是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想．方程的思想，就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想．【例1】(1)(2017·天水二模)定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)＞f′(x)，且f(0)＝1，则不等式f(x)e x＜1的解集为()A．(－∞，0)B．(0，＋∞) C．(－∞，2) D．(2，＋∞)B[构造函数g(x)＝f(x)e x，则g′(x)＝e x·f′(x)－e x·f(x)(e x)2＝f′(x)－f(x)e x.由题意得g′(x)＜0恒成立，所以函数g(x)＝f(x)e x在R上单调递减．又g(0)＝f(0)e0＝1，所以f(x)e x＜1，即g(x)＜1，解得x＞0，所以不等式的解集为(0，＋∞)．故选B.](2)(名师押题)已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________.【导学号：04024000】[1，＋∞) [以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎨⎧y ＝x 2，x 2＋(y －a )2＝a ， 得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0，即(y －a )[y －(a －1)]＝0，由题意得⎩⎨⎧a ＞0，a －1≥0，解得a ≥1.] [方法指津]函数与方程思想在解题中的应用1．函数与不等式的相互转化，对函数y ＝f (x )，当y ＞0时，就化为不等式f (x )＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．2．数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．3．解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数有关理论．4．立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．[变式训练1] 将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值为________.【导学号：04024001】5π24 [把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象上所有的点向左平移m 个单位长度后，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4(x ＋m )－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋4m －π3的图象， 而此图象关于y 轴对称，则4m －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，解得m ＝14k π＋5π24(k ∈Z )．又m ＞0，所以m 的最小值为5π24.]思想2 数形结合思想数形结合思想，就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．其应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质，如应用函数的图象来直观地说明函数的性质．(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．【例2】 (经典高考题)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．(3，＋∞) [作出f (x )的图象如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.][方法指津]数形结合思想在解题中的应用1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式．2．构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数零点的范围．3．构建解析几何模型求最值或范围．4．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．[变式训练2] (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x，x ≥2，(x －1)3，x ＜2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) 【导学号：04024002】A ．(－1,1)B ．(0,2)C ．(0,1)D ．(0,1] (2)若不等式4x 2－log a x <0对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1256，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1256，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1256 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1256 (1)C (2)B [(1)当x ≥2时，f (x )＝2x ，此时f (x )在[2，＋∞)上单调递减，且0＜f (x )≤1.当x ＜2时，f (x )＝(x －1)3，此时f (x )过点(1,0)，(0，－1)，且在(－∞，2)上单调递增．当x →2时，f (x )→1.如图所示作出函数y ＝f (x )的图象，由图可得f (x )在(－∞，2)上单调递增且f (x )＜1，f (x )在[2，＋∞)上单调递减且0＜f (x )≤1，故当且仅当0＜k ＜1时，关于x 的方程f (x )＝k 有两个不相等的实根，即实数k 的取值范围是(0,1)．(2)由已知4x 2<log a x 对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14恒成立，相当于在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上，函数y ＝log a x 的图象恒在函数y ＝4x 2图象的上方，显然当a >1时，不成立，当0＜a ＜1时，如图，只需log a 14≥4×⎝ ⎛⎭⎪⎫142⇒a 14≥14⇒a ≥1256，又0＜a ＜1，故a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1256，1.故选B.] 思想3 分类讨论思想分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．【例3】(1)(经典高考题)设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞) (2)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|＞|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________． (1)C (2)2或72[(1)由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1. 当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1.综上，a ≥23，故选C.(2)若∠PF 2F 1＝90°，则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2.∵|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25，解得|PF1|＝143，|PF2|＝43，∴|PF1||PF2|＝72.若∠F2PF1＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2，解得|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴|PF1||PF2|＝2.综上所述，|PF1||PF2|＝2或72.][方法指津]分类讨论思想在解题中的应用1．由数学概念引起的分类．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．2．由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．3．由数学运算和字母参数变化引起的分类．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．4．由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类，如：角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．[变式训练3] (1)已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a 等于()A．－3B．－3 8C．3 D.38或－3(2)在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________.(1)D (2)32或6 [(1)当a ＞0时，f (x )在[－3，－1]上单调递减，在[－1,2]上单调递增，故当x ＝2时，f (x )取得最大值，即8a ＋1＝4，解得a ＝38.当a ＜0时，易知f (x )在x ＝－1处取得最大，即－a ＋1＝4，∴a ＝－3.综上可知，a ＝38或－3.故选D.(2)当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝92，显然成立；当q ≠1时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝a 3＝32，a 1(1－q 3)1－q ＝S 3＝92.所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝32， ①a 1(1＋q ＋q 2)＝92，②由①②，得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0，所以q ＝－12或q ＝1(舍去)．当q ＝－12时，a 1＝a 3q 2＝6.综上可知，a 1＝32或a 1＝6.]思想4 转化与化归思想转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题转化为简单的问题，将难解的问题转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题．【例4】(1)(2016·洛阳模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，又点A (－1,0)，则|PF ||P A |的最小值是( )【导学号：04024003】A.12B.22C.32D.232(2)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________．[解题指导] (1)利用抛物线的定义把|PF ||P A |的最值问题等价转化成直线P A 的斜率问题．(2)令t ＝3x ，方程转化为关于t 的一元二次方程，再分离变量求解．(1)B (2)(－∞，－8] [(1)如图，作PH ⊥l 于H ，由抛物线的定义可知，|PH |＝|PF |，从而|PF ||P A |的最小值等价于|PH ||P A |的最小值，等价于∠P AH 最小，等价于∠P AF最大，即直线P A 的斜率最大．此时直线P A 与抛物线y 2＝4x 相切，由直线与抛物线的关系可知∠P AF ＝45°，所以|PF ||P A |＝|PH ||P A |＝sin 45°＝22.(2)设t ＝3x ，则原命题等价于关于t 的方程t 2＋(4＋a )t ＋4＝0有正解，分离变量a ，得a ＋4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ， ∵t ＞0，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ≤－4， ∴a ≤－8，即实数a 的取值范围是(－∞，－8]．][方法指津]转化与化归思想在解题中的应用1．在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等．2．换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法．3．在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化．4．在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解．5．在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题，转化为其导函数f ′(x )构成的方程．[变式训练4] (1)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是AA 1的中点，则异面直线BE 与B 1D 1所成角的余弦值等于________，若正方体的边长为1，则四面体B -EB 1D 1的体积为________．(2)若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．(1)105 16 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5 [(1)连接BD ，DE (图略)，因为BD ∥B 1D 1，所以∠EBD 就是异面直线BE 与B 1D 1所成的角，设A 1A ＝1，则DE ＝BE ＝52，BD ＝2，cos ∠EBD ＝54＋2－542×52×2＝105，由＝(2)g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，所以m ＋4≥2t－3t 恒成立，则m＋4≥－1，即m≥－5；由②得m＋4≤2x－3x在x∈(t,3)上恒成立，则m＋4≤23－9，即m≤－373.因为函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数，所以m的取值范围为－373＜m＜－5.]课后对应完成数学思想专练(一)～(四)，(注：因所练习题知识点比较整合，难度比较大，建议部分学生学完“第一部分重点强化专题”后再做此部分训练)。
高三数学(文)二轮复习(通用版)教师用书：策略(四)回扣五数列含答案
环节一：记牢概念公式，避免临场卡壳 1．等差数列、等比数列2．判断等差数列的常用方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(2)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． 3．判断等比数列的常用方法(1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(2)通项公式法：a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (3)中项公式法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． 环节二：巧用解题结论，考场快速抢分 1．等差数列的重要规律与推论(1)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d ，p ＋q ＝m ＋n ⇒a p ＋a q ＝a m ＋a n . (2)a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )⇒a p ＋q ＝0；S m ＋n ＝S m ＋S n ＋mnd . (3)S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…构成的数列是等差数列．(4)若等差数列{a n }的项数为偶数2m ，公差为d ，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S 偶，则所有项之和S 2m ＝m (a m ＋a m ＋1)，S 偶－S 奇＝md ，S 奇S 偶＝a ma m ＋1.(5)若等差数列{a n }的项数为奇数2m －1，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S 2m －1＝(2m －1)a m ，S 奇＝ma m ，S 偶＝(m －1)a m ，S 奇－S 偶＝a m ，S 奇S 偶＝m m －1. 2．等比数列的重要规律与推论(1)a n ＝a 1q n －1＝a m q n －m ，p ＋q ＝m ＋n ⇒a p ·a q ＝a m ·a n .(2){a n }，{b n }成等比数列⇒{a n b n }成等比数列．(3)连续m 项的和(如S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…)仍然成等比数列(注意：这连续m 项的和必须非零才能成立)．(4)若等比数列有2n 项，公比为q ，奇数项之和为S 奇，偶数项之和为S 偶，则S 偶S 奇＝q .(5)等比数列前n 项和有：①S m ＋n ＝S m ＋q m S n ；②S m S n ＝1－q m1－q n(q ≠±1)． 环节三：明辨易错易混，不被迷雾遮眼1．已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示．事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.2．易混淆几何平均数与等比中项，正数a ，b 的等比中项是±ab .3．易忽视等比数列中公比q ≠0，导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．4．运用等比数列的前n 项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论．5．对于通项公式中含有(－1)n 的一类数列，在求S n 时，切莫忘记讨论n 的奇偶性；遇到已知a n ＋1－a n －1＝d 或a n ＋1a n －1＝q (n ≥2)，求{a n }的通项公式，要注意分n 的奇偶性讨论．6．求等差数列{a n }前n 项和S n 的最值，易混淆取得最大或最小值的条件． 环节四：适当保温训练，树立必胜信念1．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 3＝6，则S 4的值为( ) A ．12 B ．11 C ．10 D ．9解析：选A 由题意得S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 2＋a 3)＝12.2．若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为814，则前4项倒数的和为( )A.32B.94C ．1D ．2 解析：选D 设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则第2，3，4项分别为a 1q ，a 1q 2，a 1q 3，依题意得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝9，a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝814⇒a 21q 3＝92，两式相除得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3a 21q 3＝1a 1＋1a 1q ＋1a 1q 2＋1a 1q3＝2. 3．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( )A ．2 B.73 C.310D ．1或2解析：选B 设S 2＝k ，则S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列(易知数列{a n }的公比q ≠－1)，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，又S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，∴S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73，故选B. 4．正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在a m ，a n ，使得a m ·a n ＝16a 21，m ，n ∈N *，则1m ＋9n的最小值为( ) A ．2 B ．16 C.114 D.32解析：选C 设数列{a n }的公比为q ，由a 3＝a 2＋2a 1，得q 2＝q ＋2，∴q ＝2，∴a n ＝a 1·2n－1，由a m ·a n ＝16a 21，得a 21·2m＋n －2＝16a 21，∴m ＋n ＝6，∵m ，n ∈N *，∴(m ，n )可取的数值组合为(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，计算可得，当m ＝2，n ＝4时，1m ＋9n 取最小值114. 5．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．解析：由a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，可知数列{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，故S 9＝9＋9×（9－1）2×12＝9＋18＝27.答案：276．已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝3，则a 2 016的值为________． 解析：由题意得，a 3＝a 2－a 1＝1，a 4＝a 3－a 2＝－2，a 5＝a 4－a 3＝－3，a 6＝a 5－a 4＝－1，a 7＝a 6－a 5＝2，a 8＝a 7－a 6＝3，…，∴数列{a n }是周期为6的周期数列，而2 016＝6×336，∴a 2 016＝a 6＝－1.答案：－17．已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，∴{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. (2)b n ＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12×⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝12×[⎝⎛⎭⎫11－13＋(13－15)＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1]＝12×⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *. (1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝3. 又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，得a n ＋1＝3a n ， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.(2)设b n ＝|3n －1－n －2|，n ∈N *，则b 1＝2，b 2＝1.当n ≥3时，由于3n －1＞n ＋2，故b n ＝3n －1－n －2，n ≥3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3，当n ≥3时，T n ＝3＋9（1－3n －2）1－3－（n ＋7）（n －2）2＝3n －n 2－5n ＋112，而当n ＝2时，32－22－5×2＋112＝3＝T 2，所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝1，3n －n 2－5n ＋112，n ≥2，n ∈N *.。
2019年高考数学文科二轮复习 教师用书 第3部分 考前增分策略 专题1 考前教材重温
专题一 考前教材重温 1.三角函数与平面向量1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2>0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关．[应用1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________． [答案] －152．同角三角函数的基本关系式及诱导公式．(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限．[应用2] cos 4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6＋sin 21π的值为________． [答案]22－333．正弦、余弦和正切函数的常用性质．[应用3] 函数y ＝sin ⎝⎭⎪⎫－2x ＋3的递减区间是________．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z ) 4．三角函数化简与求值的常用技巧．解答三角变换类问题要灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值．常用到切割化弦、降幂、拆角拼角等技巧．如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]．α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4. [应用4] 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. [答案] －56655．解三角形．(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(i)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(ⅱ)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(ⅲ)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC 中，A >B ⇔sinA ＞sin B.(2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，常选用余弦定理判定三角形的形状．[应用5] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________. [答案] 45°6．求三角函数最值的常见类型、方法．(1)y ＝a sin x ＋b (或a cos x ＋b )型，利用三角函数的值域，须注意对字母a 的讨论． (2)y ＝a sin x ＋b sin x 型，借助辅助角公式化成y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)的形式，再利用三角函数有界性解决．(3)y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 型，配方后转化为二次函数求最值，应注意|sin x |≤1的约束． (4)y ＝a sin x ＋bc sin x ＋d型，反解出sin x ，化归为|sin x |≤1解决．(5)y ＝a sin x ＋bc sin x ＋d型，化归为A sin x ＋B cos x ＝C 型或用数形结合法(常用到直线斜率的几何意义)求解．(6)y ＝a (sin x ＋cos x )＋b sin x ·cos x ＋c 型，常令t ＝sin x ＋cos x ，换元后求解(|t |≤2)．[应用6] 函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为________．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1 7．向量的平行与平面向量的数量积．(1)向量平行(共线)的充要条件：a∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ⇔(a·b )2＝(|a||b |)2⇔x 1y 2－y 1x 2＝0.(2)a·b ＝|a||b |cos θ，变形：|a |2＝a 2＝a·a ，cos θ＝a·b|a||b |，a 在b 上的投影(正射影的数量)＝a·b|b |.注意：〈a ，b 〉为锐角⇔a·b >0且a ，b 不同向； 〈a ，b 〉为钝角⇔a·b ＜0且a ，b 不反向．[应用7] 已知圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若AB →＋AC →＝2AO →，且|OA →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为________．[答案] 38．向量中常用的结论．(1)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若λ＋μ＝1，则三点A ，B ，C 共线； (2)在△ABC 中，若D 是BC 边的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)；(3)已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内．若|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，则O 为△ABC 的外心；若NA →＋NB →＋NC →＝0，则N 为△ABC 的重心；若PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则P 为△ABC 的垂心． [应用8] 在△ABC 中，D 是AB 的中点，E 是AC 的中点，CD 与BE 交于点F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，12 [答案] C2.数列、不等式1.等差数列及其性质．(1)等差数列的判定：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)或a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)． (2)等差数列的性质①当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和S n ＝na 1＋n n －2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数且常数项为0.②若公差d >0，则为递增等差数列；若公差d <0，则为递减等差数列；若公差d ＝0，则为常数列．③当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ＋a n ＝2a p . ④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．[应用1] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝12，S 20＝17，则S 30为( ) A ．15 B ．20 C.25 D ．30[答案] A 2．等比数列及其性质．(1)等比数列的判定：a n ＋1a n ＝q (q 为常数，q ≠0)或a n ＋1a n ＝a na n －1(n ≥2)． (2)等比数列的性质：当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ·a n ＝a p ·a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ·a n ＝a 2p . [应用2] (1)在等比数列{a n }中，a 3＋a 8＝124，a 4a 7＝－512，公比q 是整数，则a 10＝________. (2)各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5·a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________.[答案] (1)512 (2)10 3．求数列通项的常见类型及方法．(1)已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳、猜想法．(2)如果给出的递推关系式符合等差或等比数列的定义，可直接利用等差或等比数列的公式写出通项公式．(3)若已知数列的递推公式为a n ＋1＝a n ＋f (n )，可采用累加法． (4)数列的递推公式为a n ＋1＝a n ·f (n )，则采用累乘法． (5)已知S n 与a n 的关系，利用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1n ＝，S n －S n －1n ，求a n .(6)构造转化法：转化为等差或等比数列求通项公式．[应用3] 已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (xy )＝xf (y )＋yf (x )成立．数列{a n }满足a n ＝f (2n)(n ∈N *)，且a 1＝2，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________. [答案] n ·2n4．数列求和的方法．(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式； (2)分组求和法； (3)倒序相加法； (4)错位相减法； (5)裂项法； 如：1nn ＋＝1n －1n ＋1；1nn ＋k ＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k . (6)并项法；数列求和时要明确项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．[应用4] 数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ，n ≥1)，若a 2＝1，S n 是{a n }的前n 项和，则S 21的值为________． [答案] 925．如何解含参数的一元二次不等式．解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小，也是分大于、等于、小于三种情况．在解一元二次不等式时，一定要画出二次函数的图象，注意数形结合． [应用5] 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a >0)．________________________________________________________________________________________________________________________________________ [解] 原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0. ∴当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1＜x ＜1a ； 当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜1；当a ＝1时，不等式的解集为∅. 6．处理二次不等式恒成立的常用方法．(1)结合二次函数的图象和性质用判别式法，当x 的取值为全体实数时，一般应用此法． (2)从函数的最值入手考虑，如大于零恒成立可转化最小值大于零． (3)能分离变量的，尽量把参变量和变量分离出来． (4)数形结合，结合图形进行分析，从整体上把握图形．[应用6] 如果kx 2＋2kx －(k ＋2)<0恒成立，则实数k 的取值范围是 ( ) A ．－1≤k ≤0 B ．－1≤k <0 C ．－1＜k ≤0 D ．－1<k <0[答案] C7．利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正，二定，三相等”.常用技巧：(1)对不能出现定值的式子进行适当配凑． (2)对已知条件的最值可代入(常数代换法)或消元．(3)当题中等号条件不成立时，可考虑从函数的单调性入手求最值． [应用7] 若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 3 [答案] D8．解决线性规划问题有三步．(1)画：画出可行域(有图象)．(2)变：将目标函数变形，从中抽象出截距或斜率或距离． (3)代：将合适的点代到原来目标函数中求最值． 利用线性规划思想能解决的几类值域(最值)问题： (1)截距型：如求z ＝y －x 的取值范围． (2)条件含参数型：①已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y ＋k ≥0，且z ＝y －x 的最小值是－4，则实数k ＝－2，②已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y ＋k ≥0，且存在无数组(x ，y )使得z ＝y ＋ax 取得最小值，则实数a ＝12.(3)斜率型：如求y ＋bx ＋a的取值范围． (4)距离型(圆半径平方型R 2)：如求(x －a )2＋(x －b )2的取值范围．[应用8] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a 等于( ) A ．3 B ．2 C.－2 D ．－3[答案] B3.概率与统计1．随机抽样方法．简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，且是不放回抽样．[应用1] 某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭．在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次抽取的总户数为________． [答案] 242．对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中提取有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率．茎叶图没有原始数据信息的缺失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了． [应用2] 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图1所示：若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________． [答案] 43．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值．平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和，众数是最高矩形的中点的横坐标．[应用3] 某公司为了解用户对其产品的满意度，随机调查了40个用户，根据用户满意度的评分制成频率分布直方图(如图2)，则该地区满意度评分的平均值为________．图2[答案] 77.5 4．变量间的相关关系．假设我们有如下一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )．线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，[应用4] 回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必经过点________． [答案] (x ，y )5．互斥事件的概率公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．(1)公式适合范围：事件A 与B 互斥． (2)P (A )＝1－P (A )．[应用5] 抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率之和为________．[答案] 236．古典概型．P (A )＝mn(其中，n 为一次试验中可能出现的结果总数，m 为事件A 在试验中包含的基本事件个数)．[应用6] 已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( ) A ．0.4 B ．0.6 C ．0.8 D ．1[答案] B7．几何概型．一般地，在几何区域D 内随机地取一点，记事件“该点在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为P (A )＝d 的度量D 的度量.此处D 的度量不为0，其中“度量”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的度量分别为长度、面积和体积等．即P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.[应用7] 在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为 ( ) A.π12 B ．1－π12C.π6D ．1－π6[答案] B4.立体几何1．几何体的三视图排列规则：俯视图放在正视图下面，侧视图放在正视图右面，“长对正，高平齐，宽相等．”由几何体的三视图确定几何体时，要注意以下几点：(1)还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体． (2)注意图中实、虚线，实际是原几何体中的可视线与被遮挡线．(3)想象原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视图比较，通过调整准确画出原几何体．[应用1] 如图3，若一个几何体的正视图、侧视图、俯视图均为面积等于2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为________．图3[答案] 432．空间几何体表面积和体积的求法：几何体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，求几何体的体积常用公式法、割补法、等积变换法．[应用2] 如图4所示，一个空间几何体的正视图和俯视图都是边长为1的正方形，侧视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为 ( )图4A ．4πB ．3π C.2π D.32π [答案] D3．空间平行问题的转化关系．图5平行问题的核心是线线平行，证明线线平行的常用方法有：三角形的中位线、平行线分线段成比例(三角形相似)、平行四边形等．[应用3] 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”号，错误的画“×”号. (1)如果a ，b 是两条直线，且a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面．( ) (2)如果直线a 和平面α满足a ∥α，那么a 与α内的任何直线平行．( ) (3)如果直线a ，b 和平面α满足a ∥α，b ∥α，那么a ∥b .( ) (4)如果直线a ，b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α，b ⊄α，那么b ∥α.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 4．空间垂直问题的转化关系．线面垂直的判定线面垂直的定义面面垂直的判定面面垂直的性质垂直问题的核心是线线垂直，证明线线垂直的常用方法有：等腰三角形底边上的中线、勾股定理、平面几何方法等．[应用4] 已知两个平面垂直，下列命题：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面． 其中正确命题的个数是( ) A ．3 B ．2 C.1 D ．0[答案] C5．多面体与球接、切问题的求解策略．(1)涉及球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内接、外切的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．[应用5] 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是32π3，那么这个三棱柱的体积是( ) A ．96 3 B ．16 3 C.24 3 D ．48 3[答案] D5.平面解析几何1．直线的倾斜角与斜率．(1)倾斜角的范围为[0，π)． (2)直线的斜率．①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)；③直线的方向向量a ＝(1，k )；④应用：证明三点共线：k AB ＝k BC .[应用1] 直线x cos θ＋3y －2＝0的倾斜角的范围是________．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π2．直线方程的五种形式．(1)点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，其斜率为k ，则直线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，它不包括垂直于x 轴的直线．(2)斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则直线方程为y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线．(3)两点式：已知直线经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，则直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，它不包括垂直于坐标轴的直线．(4)截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a ，b ，则直线方程为x a ＋y b＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．(5)一般式：任何直线均可写成Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的形式．[应用2] 已知直线过点P (1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________． [答案] 5x －y ＝0或x ＋y －6＝0 3．两条直线的位置关系．(1)若已知直线的斜截式方程，l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则： ①l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2；②l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1； ③l 1与l 2相交⇔k 1≠k 2.(2)若已知直线的一般方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则： ①l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0； ②l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0； ③l 1与l 2相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0；④l 1与l 2重合⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1＝0.[应用3] 设直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m ＝________时，l 1∥l 2；当m ＝________时，l 1⊥l 2；当________时l 1与l 2相交；当m ＝________时，l 1与l 2重合．[答案] －1 12 m ≠3且m ≠－1 34．点到直线的距离及两平行直线间的距离．(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2； (2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.[应用4] 两平行直线3x ＋2y －5＝0与6x ＋4y ＋5＝0间的距离为________． [答案]1513265．圆的方程．(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，只有当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0才表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径为12D 2＋E 2－4F 的圆．[应用5] 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a ＝________. [答案] －16．直线与圆的位置关系的判断．(1)几何法：根据圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小关系来判定．(2)代数法：将直线方程代入圆的方程消元得一元二次方程，根据Δ的符号来判断． [应用6] 已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，直线3x ＋4y ＋2＝0与圆C 相切，则该圆的方程为 ( ) A ．(x －1)2＋y 2＝6425B ．x 2＋(y －1)2＝6425C ．(x －1)2＋y 2＝1 D ．x 2＋(y －1)2＝1[答案] C7．圆锥曲线的定义和性质．4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝6x B ．y 2＝8x C ．y 2＝16x D ．y 2＝152x[答案] B8．(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切．(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题：斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]或|P 1P 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2y 1＋y 22－4y 1y 2].(3)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则①焦半径|CF |＝x 1＋p2；②弦长|CD |＝x 1＋x 2＋p ；③x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.[应用8] 已知抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，过抛物线上一点M (p ，2p )和抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于( ) A ．1∶ 2 B ．1∶ 3 C.1∶2 D ．1∶3[答案] C6.函数与导数1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数，列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同． [应用1] 函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是________．[答案] (－1,1)∪(1，＋∞)2．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．[应用2] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．⎝⎛⎭⎪⎫－1，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12[答案] C3．求函数最值(值域)常用的方法．(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数． (2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数． (3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数． (4)导数法：适合于可导函数． (5)换元法(特别注意新元的范围)． (6)分离常数法：适合于一次分式．[应用3] 函数y ＝2x2x ＋1(x ≥0)的值域为________．[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．[应用4] f (x )＝－x2|x 2－2|－2是________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)．[答案] 偶 5．函数奇偶性的性质．(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反． (2)若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．(3)若奇函数f (x )的定义域中含有0，则必有f (0)＝0.“f (0)＝0”是“f (x )为奇函数”的既不充分也不必要条件．[应用5] 设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为 ( )A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1,1)上的减函数D ．(－1,1)上的增函数 [答案] D6．判断函数单调性的常用方法．(1)能画出图象的，一般用数形结合法去观察．(2)由基本初等函数通过加减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性判断问题.(3)对于解析式较复杂的，一般用导数． (4)对于抽象函数，一般用定义法．[应用6] 函数y ＝|log 2|x －1||的递增区间是________． [答案] [0,1)，[2，＋∞)7．有关函数周期的几种情况必须熟记：(1)f (x )＝f (x ＋a )(a >0)，则f (x )的周期T ＝a ；(2)f (x ＋a )＝1f x(f (x )≠0)或f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的周期T ＝2a .[应用7] 设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0＜x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________.[答案] －18．函数图象的几种常见变换．(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x 而言)；上下平移——“上加下减”．(2)翻折变换：f (x )→|f (x )|；f (x )→f (|x |)．(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；②函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点成中心对称；③函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于直线x ＝0(y 轴)对称；函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于直线y ＝0(x 轴)对称．[应用8] 函数y ＝3xx －1的对称中心是________． [答案] (1,3)9．如何求方程根的个数或范围．求f (x )＝g (x )根的个数时，可在同一坐标系中作出函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象，看它们交点的个数；求方程根(函数零点)的范围，可利用图象观察或零点存在性定理． [应用9] 函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是 ( )A ．(0,1)B ．(1,2) C.(2，e) D ．(3,4)[答案] B 10．二次函数问题．(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合．二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系．(2)若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形．[应用10] 若关于x 的方程ax 2－x ＋1＝0至少有一个正根，则a 的取值范围为________． [答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1411．利用导数研究函数单调性的步骤．(1)确定函数y ＝f (x )的定义域． (2)求导数y ′＝f ′(x )．(3)解方程f ′(x )＝0在定义域内的所有实根．(4)将函数y ＝f (x )的间断点(即函数无定义点)的横坐标和各个实数根按从小到大的顺序排列起来，分成若干个小区间．(5)确定f ′(x )在各个小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性． 特别提醒：(1)多个单调区间不能用“∪”连接；(2)f (x )为减函数时f ′(x )≤0恒成立，但要验证f ′(x )是否恒等于0.[应用11] 函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x －1在R 上是增函数，则a 的取值范围是________．[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 12．导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f (x )＝x 3，有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．[应用12] 函数f (x )＝14x 4－13x 3的极值点是________．[答案] x ＝113．利用导数解决不等式问题的思想．(1)证明不等式f (x )<g (x )，可构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，再证明h (x )max ＜0. (2)不等式恒成立问题可利用分离参数法或直接求含参数的函数的最值．[应用13] 已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞7.集合与常用逻辑用语1．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．[应用1] 已知集合A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}，若1∈A ，则实数a ＝________. [答案] 02．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x |y ＝f (x )}——函数的定义域；{y |y ＝f (x )}——函数的值域；{(x ，y )|y ＝f (x )}——函 数图象上的点集． [应用2] 已知集合M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x ＋1，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A ．(0,1)，(1,2) B ．{(0,1)，(1,2)} C ．{y |y ＝1，或y ＝2} D ．{y |y ≥1} [答案] D3．在解决集合间的关系和集合的运算时，不能忽略空集的情况．[应用3] 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是 ________. [答案] (－∞，4]4．注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn 图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．[应用4] 已知全集I ＝R ，集合A ＝{x |y ＝1－x }，集合B ＝{x |0≤x ≤2}，则(∁I A )∪B 等于( ) A ．[1，＋∞) D ．(1，＋∞) C ．[0，＋∞) D ．(0，＋∞)[答案] C5．命题“若p ，则q ”的否命题是“若綈p ，则綈q ”，而此命题的否定(非命题)是“若p ，则綈q ”．[应用5] 已知实数a ，b ，若|a |＋|b |＝0，则a ＝b .该命题的否命题和命题的否定分别是____________________________________________________________. [答案] 否命题：已知实数a ，b ，若|a |＋|b |≠0，则a ≠b ；命题的否定：已知实数a ，b ，若|a |＋|b |＝0，则a ≠b6．根据集合间的关系，判定充要条件，若A ⊆B ，则x ∈A 是x ∈B 的充分条件；若A B ，则x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件． [应用6] 已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是 ( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞) D ．(－∞，－1][答案] B7．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；对命题进行否定时要正确对判断词进行否定，如“>”的否定是“≤”，“都”的否定是“不都”． [应用7] 命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )＞n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )＞n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)＞n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)＞n 0 [答案] D8．求参数范围时，要根据条件进行等价转化，注意范围的临界值能否取到，也可与补集思想联合使用．[应用8] 已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 8.推理与证明、复数、算法1．归纳推理和类比推理．共同点：两种推理的结论都有待于证明．不同点：归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理． [应用1] (1)若数列{a n }是等差数列，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，则数列{b n }也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，{d n }也是等比数列，则{d n }的表达式应为( ) A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c n nD ．d n ＝n c 1·c 2·…·c n(2)若数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋2(n ∈N *)，记f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )＝________.[答案] (1)D (2)n ＋22n ＋22．证明方法：综合法由因导果，分析法执果索因．反证法是常用的间接证明方法，利用反证法证明问题时一定要理解结论的含义，正确进行反设．[应用2] 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设________________________________________________________．[答案] 三角形三个内角都大于60°3．复数的概念．对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，a 叫做实部，b 叫做虚部；当且仅当b ＝0时，复数a ＋b i(a ，b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数a ＋b i 叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，复数a ＋b i 叫做纯虚数．[应用3] 若复数z ＝lg(m 2－m －2)＋i·lg(m 2＋3m ＋3)为实数，则实数m 的值为________．[答案] －24．复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用，另外复数中的几个常用结论应记熟：(1)(1±i)2＝±2i；(2)1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i＝－i ；(3)i 4n ＝1；i 4n ＋1＝i ；i 4n ＋2＝－1；i 4n ＋3＝－i ；i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0；(4)设ω＝－12±32i ，则ω0＝1；ω2＝ω；ω3＝1；1＋ω＋ω2＝0. [应用4] 已知复数z ＝1－3i 3＋i，z 是z 的共轭复数，则|z |＝________. [答案] 15．(1)循环结构中几个常用变量：①计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i ＝i ＋1.②累加变量：用来计算数据之和，如s ＝s ＋i .③累乘变量：用来计算数据之积，如p ＝p ×i .(2)处理循环结构的框图问题，关键是理解认清终止循环结构的条件及循环次数．[应用5] (2016·衡水中学七调改编)执行如图6的程序框图，输出S 的值为________．[答案] 2。
高考文科数学二轮复习 1-2-3
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专题二 第三讲
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重 难 点 透 析 名 师 微 课 堂
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名 边形的一些定理．因此，在求向量时要尽可能转化到平行四边形
师
时 作 业
微 或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向
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堂 量，运用向量加、减法运算及实数与向量相乘来求解，即充分利
用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用三角形的加法法
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重
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因为 a 与 b 的夹角为 0 时，a·b>0；两个非零向量 a 与 b 的夹角
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析 为钝角，则 a·b<0；反之也不成立，因为 a 与 b 的夹角为 π 时，a·b<0. 课
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1．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设向量 a，b 满足|a＋b|＝ 10，|a
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C．B、C、D D．A、C、D
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2019金牌新学案文科数学二轮复习大二轮数学专题教师用书
高中数学题分客观题与主观题两大类，而客观题分为选择题与填空题，选择题属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，所以解答选择题的基本策略是：充分地利用题干和选项两方面的条件所提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解．而填空题是不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接写出的“求解题”．解答此类题目的方法一般有直接法、特例法、数形结合法、构造法、排除法等．技法一直接法的2人都是女同学的概率为()A．0.6B．0.5C．0.4 D．0.3(2)(2018·北京卷)若双曲线x2a2－y24＝1(a>0)的离心率为52，则a＝________.解析：(1)设2名男同学为a，b,3名女同学为A，B，C，从中选出两人的情形有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10种，而都是女同学的情形有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3种，故所求概率为310＝0.3.故选D.(2)由e＝ca＝a2＋b2a2知a2＋4a2＝⎝⎛⎭⎫522＝54，∴a 2＝16. ∵a >0，∴a ＝4. 答案： (1)D (2)4[方法点津] 直接法解决计算型客观题的关键 (1)要根据题目的要求准确转化为相关基本量的运算．(2)注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果． ◎ 变式训练1．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析： 法一：设公差为d ，则a 4＋a 5＝a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝2a 1＋7d ＝24，S 6＝6a 1＋6×52×d ＝6a 1＋15d ＝48.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋7d ＝24，6a 1＋15d ＝48.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝4.法二：因为S 6＝6(a 1＋a 6)2＝3(a 3＋a 4)＝48，即a 3＋a 4＝16，则(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)＝24－16＝8，即a 5－a 3＝2d ＝8，可得d ＝4.答案： C2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．解析： 在△ABC 中，由cos A ＝－14可得sin A ＝154，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ 12bc ×154＝315，b －c ＝2，a 2＝b 2＋c 2－2bc ×⎝⎛⎭⎫－14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝6，c ＝4.答案： 8 技法二 排除法(1)(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x 2的图象大致为( )(2)(2016·浙江卷)已知实数a ，b ，c ，( ) A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 解析： (1)∵y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数， ∴f (x )＝e x －e －x x 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项．当x ＝1时，f (1)＝e －e －11＝e －1e >0，排除D 选项．又e>2，∴1e <12，∴e －1e >1，排除C 选项．故选B.(2)取a ＝10，b ＝10，c ＝－110，可排除选项A ；取a ＝10，b ＝－100，c ＝0，可排除选项B ；取a ＝10，b ＝－10，c ＝0，可排除选项C.答案： (1)B (2)D[方法点津] 排除法的使用技巧(1)当题目中的条件不唯一时，先根据某些条件找出明显与之矛盾的选项予以否定． (2)再根据另一些条件在缩小的范围内找出矛盾，这样逐步排除，直至得到正确的选择．◎ 变式训练3．方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件是( ) A ．0<a ≤1 B ．a <1C ．a ≤1D ．0<a ≤1或a <0解析： 当a ＝0时，x ＝－12，故排除A 、D.当a ＝1时，x ＝－1，排除B. 答案： C4．已知a ，b 为实数，且a ≠b ，a <0，则( ) A ．a >2b －b 2aB ．a <2b －b 2aC ．a ≥2b －b 2aD ．a ≤2b －b 2a解析： 法一：a ＝－1，b ＝1，则2b －b 2a＝2＋1＝3，法二：因为a ，b 为实数，且a ≠b ，a <0，所以a －⎝⎛⎭⎫2b －b 2a ＝(a －b )2a <0，所以a <2b －b 2a.答案： B 技法三 特例法111C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( ) A ．3∶1 B ．2∶1 C ．4∶1D.3∶1(2)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．解析： (1)将P ，Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)，则有VC －AA 1B ＝VA 1－ABC ＝VABC －A 1B 1C 13，故过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成的两部分的体积之比为2∶1.(2)如图，不妨设|AB |＝3，则|BC |＝2，双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，则AB 的中点为F 1，故|DF 1|＝52，|DF 2|＝32，根据双曲线的定义知2a ＝1，又2c ＝2，所以该双曲线的离心率为2c2a＝2.答案： (1)B (2)2[方法点津] 特值法解选择题注意两点第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．◎ 变式训练5．计算tan ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析： 取α＝π12，则原式＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋π12cos π62cos 2⎝⎛⎭⎫π4－π12＝3×322×34＝1.答案： D6．如图所示，在▱ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为点P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________.解析： 把▱ABCD 看成正方形，则点P 为对角线的交点，AC ＝6，则AP →·AC →＝18. 答案： 18技法四 图解法(数形结合法)有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[23，＋∞)B ．(0,1]∪[3，＋∞)C ．(0，2]∪[23，＋∞)D ．(0，2]∪[3，＋∞)(2)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)解析：(1)①当0<m ≤1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝(mx －1)2与y ＝x ＋m 的图象，如图．易知此时两函数图象在x ∈[0,1]上有且只有一个交点；②当m >1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝(mx －1)2与y ＝x ＋m 的图象，如图．要满足题意，则(m －1)2≥1＋m ，解得m ≥3或m ≤0(舍去)， ∴m ≥3.综上，正实数m 的取值范围为(0,1]∪[3，＋∞)．(2)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示． 由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时， 函数f (x )为减函数，故 f (x ＋1)<f (2x )转化为x ＋1>2x . 此时x ≤－1.当2x <0且x ＋1>0时，f (2x )>1，f (x ＋1)＝1， 满足f (x ＋1)<f (2x )． 此时－1<x <0.综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1,0)＝(－∞，0)． 故选D.答案： (1)B (2)D[方法点津] 平面几何图形、Venn 图、三角函数线、函数的图象等，都是常用的图形．利用函数图象或某些数学知识的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性，再辅以简单计算，确定正确答案，从而有效地降低这类客观题的错误率．◎ 变式训练7．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( ) A.π6 B ．π3C.2π3D ．5π6解析： 在直角三角形中，如果直角边为斜边的一半，则该直角边所对的角为π6，如图，所求的夹角为2π3，故选C.答案： C8．不等式⎝⎛⎭⎫|x |－π2·sin x <0，x ∈[－π，2π]的解集为________．解析： 在同一坐标系中分别作出y ＝|x |－π2与y ＝sin x 的图象：根据图象可得不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2∪(π，2π)． 答案： ⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2∪(π，2π) 技法五 构造法(1)已知m ，n ∈(2，e)，且1n 2－1m 2<ln mn ，则( )A ．m >nB ．m <nC ．m >2＋1nD ．m ，n 的大小关系不确定(2)点P 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1内任意一点，AP 与棱AA 1，AB ，AD 的夹角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝________.解析： (1)由不等式可得1n 2－1m2<ln m －ln n ，即1n 2＋ln n <1m 2＋ln m . 设f (x )＝1x2＋ln x (x ∈(2，e))，则f ′(x )＝－2x 3＋1x ＝x 2－2x3.因为x ∈(2，e)，所以f ′(x )>0，故函数f (x )在(2，e)上单调递增． 因为f (n )<f (m )，所以n <m .故选A.(2)如图，过点P 作平面PQQ ′P ′与平面PRR ′P ′，使它们分别与平面B 1C 1CB 和平面C 1D 1DC 平行，则构成一个长方体AQ ′P ′R ′-A 1QPR ，故cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.答案： (1)A (2)1[方法点津] 破解此类题的关键：一是“取特殊模型”，即构造长方体或正方体模型，把不规则的空间几何体(空间线、面)放置其中去研究；二是“用公式(用定理)”，即利用柱体、锥体的表面积与体积公式(空间线、面平行与垂直的判定定理、性质定理)，即可求其表面积与体积(判断空间线、面平行与垂直关系)．◎ 变式训练9．设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________.解析： ∵a n ＋1＝2S n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，∴S n ＋1＝3S n ＋1，∴S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫S n ＋12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是公比为3的等比数列，∴S 2＋12S 1＋12＝3.又S 2＝4，∴S 1＝1，∴a 1＝1，∴S 5＋12＝⎝⎛⎭⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432，∴S 5＝121. 答案： 1 12110.如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．解析： 如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD |＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.答案：6π专题一集合、常用逻辑用语、不等式、平面向量、算法、复数、推理与证明第1课时集合与常用逻辑用语高考对本部分考查主要从以下方面进行：(1)对于集合，历年的高考以考查运算为主，往往与映射、函数、不等式、方程等知识融合在一起，体现出集合运算的工具性作用．(2)对于常用逻辑用语的考查，主要有两个命题重点，一是以其他数学知识为载体，考查充分条件、必要条件；二是利用命题的真假来确定参数．题型一集合的概念及运算集合的运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.1．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9 B．8C．5 D．4解析：将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.答案： A2．(2018·天津卷)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝() A．{x|0<x≤1} B．{x|0<x<1}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2}解析：全集为R，B＝{x|x≥1}，则∁R B＝{x|x<1}．∵集合A＝{x|0<x<2}，∴A∩(∁R B)＝{x|0<x<1}．故选B.答案： B3．(2018·惠州市第二次调研)已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x2－3x＋2<0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是()A．a<1 B．a≤1C．a>2 D．a≥2解析：集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}，由A∩B＝B可得B⊆A，所以a≥2.故选D.答案： D1．集合运算中的常用方法(1)数轴法：若已知的集合是不等式的解集，用数轴法求解．(2)图象法：若已知的集合是点集，用图象法求解．(3)Venn图法：若已知的集合是抽象集合，用Venn图法求解．2．[警示]忽视空集的讨论，若遇到A⊆B，A∩B＝A时，要考虑A为空集的可能性．题型二命题真假的判断与否定1．四种命题的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．2．全(特)称命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)．它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)．它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．1．下列命题中为真命题的是()A．命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为∀n∈N，n2>2nB．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若tan x＝3，则x＝π3”的逆否命题解析：对于选项A，p的綈p为∀n∈N，n2≤2n，故选项A为假命题；对于选项B，命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |，则x >y ”，分析可知选项B 为真命题；对于选项C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x＝－2时，x 2＋x －2＝0，故选项C 为假命题；对于选项D ，命题“若tan x ＝3，则x ＝π3”的逆否命题为“若x ≠π3，则tan x ≠3”，易知当x ＝4π3时，tan x ＝3，故选项D 为假命题．综上可知，选B.答案： B2．(2018·太原市模拟试题(一))已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≥0；命题q ：若a <b ，则1a >1b，则下列为真命题的是( ) A ．p ∧qB ．p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．綈p ∧綈q解析： 对于命题p ，当x 0＝0时，1≥0成立，所以命题p 为真命题，命题綈p 为假命题；对于命题q ，当a ＝－1，b ＝1时，1a <1b，所以命题q 为假命题，命题綈q 为真命题，所以p ∧綈q 为真命题，故选B.答案： B3．(2018·北京卷)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．解析： 设f (x )＝sin x ，则f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤π2，2上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x ∈(0,2]时，f (x )>f (0)＝sin 0＝0，故f (x )＝sin x 满足条件f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不一直都是增函数．答案： f (x )＝sin x ，x ∈[0,2](答案不唯一)1．含逻辑联结词的命题真假的等价关系(1)p ∨q 真⇔p ，q 至少一个真⇔(綈p )∧(綈q )假．(2)p ∨q 假⇔p ，q 均假⇔(綈p )∧(綈q )真．(3)p ∧q 真⇔p ，q 均真⇔(綈p )∨(綈q )假．(4)p ∧q 假⇔p ，q 至少一个假⇔(綈p )∨(綈q )真．(5)綈p 真⇔p 假；綈p 假⇔p 真．2．[警示] “否命题”是对原命题“若p ，则q ”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p 的否定”即：非p ，只是否定命题p 的结论．题型三 充要条件的判断若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p ⇔q ，则p ，q 互为充要条件．1．(2018·天津卷)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 由“⎪⎪⎪⎪x －12<12”得0<x <1，则0<x 3<1，即“⎪⎪⎪⎪x －12<12”⇒“x 3<1”；由“x 3<1”得x <1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪x －12≥12，即“x 3<1”⇒/ “⎪⎪⎪⎪x －12<12”．所以“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的充分而不必要条件．答案： A2．(2018·北京卷)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 由|a －3b |＝|3a ＋b |，得(a －3b )2＝(3a ＋b )2，即a 2＋9b 2－6a·b ＝9a 2＋b 2＋6a·b .又a ，b 均为单位向量，所以a 2＝b 2＝1，所以a·b ＝0，能推出a ⊥b .由a ⊥b 得|a －3b |＝10，|3a ＋b |＝10，能推出|a －3b |＝|3a ＋b |，所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件．故选C.答案： C3．甲：x ≠2或y ≠3；乙：x ＋y ≠5，则( )A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析：“甲⇒乙”，即“x≠2或y≠3”⇒“x＋y≠5”，其逆否命题为：“x＋y＝5”⇒“x＝2且y＝3”显然不正确．同理，可判断命题“乙⇒甲”为真命题．所以甲是乙的必要不充分条件．答案： B1．充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A＝B，则A是B的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．2．[警示]“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B 的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.【课时作业】(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝()A．{x|－1<x<2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解析：∵x2－x－2>0，∴(x－2)(x＋1)>0，∴x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}．在数轴上表示出集合A，如图所示．x|－1≤x≤2.由图可得∁R A＝{}故选B.答案： B2．(2018·天津卷)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则(A∪B)∩CA ．{－1,1}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{2,3,4}解析： ∵A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，∴A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}．又C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，∴(A ∪B )∩C ＝{－1,0,1}．答案： C3．(2018·安徽皖南八校3月联考)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＝4y }，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 的真子集个数为( )A ．1B ．3C ．5D ．7解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝4y ，y ＝x 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即A ∩B ＝{(0,0)，(4,4)}，∴A ∩B 的真子集个数为22－1＝3.故选B.答案： B4．已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )<0，则( ) A ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )≥0 B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)≥0 C ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)≥0 D ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )>0 解析： 因为f ′(x )＝3cos x －π，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，即对∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )<f (0)＝0恒成立，所以p 是真命题．又全称命题的否定是特称命题，所以綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)≥0. 答案： C5．(2018·北京卷)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：a，b，c，d是非零实数，若a<0，d<0，b>0，c>0，且ad＝bc，则a，b，c，d 不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．故选B.答案： B6．(2018·洛阳市第一统考)设全集U＝R，集合A＝{x|log2x≤1}，B＝{x|x2＋x－2≥0}，则A∩∁U B＝()A．(0,1] B．(－2,2]C．(0,1) D．[－2,2]解析：不等式log2x≤1即log2x≤log22，由y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，得不等式的解集为(0,2]，即A＝(0,2]．由x2＋x－2≥0，得(x＋2)(x－1)≥0，得B＝{x|x≤－2或x≥1}，所以∁U B＝(－2,1)，从而A∩∁U B＝(0,1)．故选C.答案： C7．设全集U是自然数集N，集合A＝{x|x2>9，x∈N}，B＝{0,2,4}，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{x|x>2，x∈N} B．{x|x≤2，x∈N}C．{0,2} D．{1,2}解析：由题图可知，图中阴影部分所表示的集合是B∩(∁U A)，∁U A＝{x|x2≤9，x∈N}＝{x|－3≤x≤3，x∈N}＝{0,1,2,3}，因为B＝{0,2,4}，所以B∩(∁U A)＝{0,2}．答案： C8．下列结论错误的是()A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”B．命题“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0” 解析： C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C. 答案： C9．(2018·陕西省质量检测(一))已知命题p ：对任意的x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．綈p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．p ∧綈q解析： 由指数函数的性质知命题p 为真命题．易知x >1是x >2的必要不充分条件，所以命题q 是假命题．由复合命题真值表可知p ∧綈q 是真命题，故选D.答案： D10．(2018·辽宁省五校协作体联考)已知命题“∃x 0∈R,4x 20＋(a －2)x 0＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[0,4]C ．[4，＋∞)D ．(0,4)解析： 因为命题“∃x 0∈R,4x 20＋(a －2)x 0＋14≤0”是假命题，所以其否定“∀x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14>0”是真命题，则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a <0，解得0<a <4，故选D. 答案： D11．(2018·山东泰安3月联考)下列命题正确的是( )A ．命题“∃x 0∈[0,1]，使x 20－1≥0”的否定为“∀x ∈[0,1]，都有x 2－1≤0”B ．若命题p 为假命题，命题q 是真命题，则(綈p )∨(綈q )为假命题C ．命题“若a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0”及它的逆命题均为真命题D ．命题“若x 2＋x ＝0，则x ＝0或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠－1，则x 2＋x ≠0”解析： 对于选项A ，命题“∃x 0∈[0,1]，使x 20－1≥0”的否定为“∀x ∈[0,1]，都有x2－1<0”，故A 项错误；对于选项B ，p 为假命题，则綈p 为真命题，q 为真命题，则綈q 为假命题，所以(綈p )∨(綈q )为真命题，故B 项错误；对于选项C ，原命题为真命题，若a·b >0，则a 与b 的夹角可能为锐角或零角，所以原命题的逆命题为假命题，故C 项错误；对于选项D ，命题“若x 2＋x ＝0，则x ＝0或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠－1，则x 2＋x ≠0”，故选项D 正确．因此选D.答案： D12．(2018·广东汕头一模)已知命题p ：关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根；命题q ：∀x >0,2x －a >0.若“綈p ”和“p ∧q ”都是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－2,1]C ．(1,2)D ．(1，＋∞)解析： 方程x 2＋ax ＋1＝0无实根等价于Δ＝a 2－4<0，即－2<a <2.∀x >0,2x －a >0等价于a <2x 在(0，＋∞)上恒成立，即a ≤1.因“綈p ”是假命题，则p 是真命题，又因“p ∧q ”是假命题，则q 是假命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a >1，得1<a <2，所以实数a 的取值范围是(1,2)，故选C. 答案： C13．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x －x －a 有零点，则綈p ：____________________. 解析： 全称命题的否定为特称命题，綈p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x 0－x －a 0没有零点．答案： ∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x 0－x －a 0没有零点14．若⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin π2，a ，b a ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos π2，a 2，a ＋b ，则a 2 017＋b 2 017的值为________． 解析： 因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin π2，a ，b a ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos π2，a 2，a ＋b ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b }，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝0，a 2＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝0，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0(舍去)，则a 2 017＋b 2 017＝－1.答案： －115．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪ y －3x －2＝1，P ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，则∁U (M ∪P )＝________.解析： 集合M ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，且x ≠2，y ≠3}，所以M∪P＝{(x，y)|x∈R，y∈R，且x≠2，y≠3}．则∁U(M∪P)＝{(2,3)}．答案：{(2,3)}16．a，b，c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c不是年龄最小，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄由小到大依次是________．解析：显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此我们应该从它们的逆否命题来看．由命题A可知，当b不是最大时，则a是最小，所以c最大，即c>b>a；而它的逆否命题也为真，即“若a的年龄不是最小，则b的年龄是最大”为真，即b>a>c.同理，由命题B为真可得a>c>b或b>a>c.故由A与B均为真可知b>a>c，所以a，b，c三人的年龄大小顺序是：b最大，a次之，c最小．答案：c，a，b第2课时不等式高考对本部分考查主要从以下方面进行：(1)对于解不等式，主要涉及一元二次不等式、分式不等式、对数和指数不等式，并且以一元二次不等式为主．不等式的解法是基本功，它渗透在很多题型中．(2)对于线性规划知识的考查主要通过图示的方法获得最优解或已知最优解求参数，此类题型有时需要借助一个实际背景．其中以考查线性目标函数的最值为重点，常结合其代数式的几何意义(如斜率、截距、距离、面积等)来求解．(3)对于基本不等式重在考查对代数式的转化过程及适用条件、等号成立条件的检验，在求最值或不等式恒成立问题中常用基本不等式．题型一 不等式的解法 1．一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．2．简单分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； (2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. 1．如果关于x 的不等式x 2<ax ＋b 的解集是{x |1<x <3}，那么b a 等于( ) A ．－81 B ．81 C ．－64D ．64解析： 因为不等式x 2<ax ＋b 可化为x 2－ax －b <0，其解集是{x |1<x <3}，所以x ＝1和x ＝3是关于x 的一元二次方程x 2－ax －b ＝0的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3＝a ，1×3＝－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3.所以b a ＝(－3)4＝81.故选B.答案： B2．若集合A ＝{x |x －x 2>0}，B ＝{x |(x ＋1)(m －x )>0}，则“m >1”是“A ∩B ≠∅”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： A ＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |(x ＋1)(m －x )>0}＝{x |(x ＋1)(x －m )<0}．当m >1时，B ＝(－1，m )，此时A ⊆B ，必有A ∩B ≠∅.当A ∩B ≠∅时，有m >0.所以“m >1”是“A ∩B ≠∅”的充分而不必要条件．故选A.答案： A3．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________． 解析： 当a ＝2时，不等式化为－4<0，恒成立；当a ≠2时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0，解得－2<a <2.综上所述，a 的取值范围是(－2,2]．答案： (－2,2]4．(2018·河南中原名校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．解析： 设x <0，则－x >0，因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x )． 又f (0)＝0，于是不等式f (x )>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x 2－2x >x 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2－2x >x ，解得x >3或－3<x <0.故不等式的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)． 答案： (－3,0)∪(3，＋∞)1．不等式的求解技巧(1)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集．(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解． (3)有函数背景的不等式：灵活利用函数的性质(单调性、奇偶性、对称性等)与图象求解． 2．[警示] 解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论．题型二 简单的线性规划问题 1．平面区域的确定方法平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的区域的交集．2．线性目标函数z ＝ax ＋by 最值的确定方法线性目标函数z ＝ax ＋by 中的z 不是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，把目标函数化为y ＝－a b x ＋z b ，可知zb 是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．1．(2018·天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( )A ．6B ．19C ．21D ．45解析： 画出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝3x ＋5y 得y ＝－35x＋z 5. 设直线l 0为y ＝－35x ，平移直线l 0，当直线y ＝－35x ＋z5过点P (2,3)时，z 取得最大值，z max ＝3×2＋5×3＝21.答案：C2．(2018·开封市高三定位考试)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋2y ＋2≥0，x ≤1，则z ＝⎝⎛⎭⎫12x －2y的最大值是( ) A.132 B ．116C ．32D ．64解析： 法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设u ＝x －2y ，由图知，当u ＝x －2y 经过点A (1,3)时取得最小值，即u min ＝1－2×3＝－5，此时z ＝⎝⎛⎭⎫12x －2y取得最大值，即z max＝⎝⎛⎭⎫12－5＝32，故选C.法二：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易知z ＝⎝⎛⎭⎫12x －2y的最大值在区域的顶点处取得，只需求出顶点A ，B ，C 的坐标分别代入z ＝⎝⎛⎭⎫12x －2y，即可求得最大值．联立得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x －y ＋2＝0，解得A (1,3)，代入可得z ＝32；联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋2y ＋2＝0，解得B ⎝⎛⎭⎫1，－32，代入可得z ＝116；联立得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，x ＋2y ＋2＝0，解得C (－2,0)，代入可得z ＝4.通过比较可知，在点A (1,3)处，z ＝⎝⎛⎭⎫12x －2y取得最大值32，故选C. 答案： C3．(2018·广东肇庆二模)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，若z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实数b ＝( )A.94 B ．32C ．1D ．34解析： 作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z ， 平移直线y ＝－2x ，由图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋z 的截距最小，此时z 最小，为3，即2x ＋y ＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，y ＝2x ，解得⎩⎨⎧x ＝34，y ＝32，即A ⎝⎛⎭⎫34，32，又点A 也在直线y ＝－x ＋b 上，即32＝－34＋b ，∴b ＝94.故选A. 答案： A4．(2018·石家庄市质量检测(二))设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3≤0，x ＋y ≥3，y －2≤0则y ＋1x的最大值为________．解析： 作出可行域，如图中阴影部分所示，而y ＋1x 表示区域内的动点(x ，y )与定点(0，－1)连线的斜率的取值范围，由图可知，当直线过点C (1,2)时，斜率最大，为2－(－1)1－0＝3.答案： 35．(2018·合肥市第一次教学质量检测)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A ，B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时．A ，B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为________千元．解析： 设生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，利润为z 千元，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960，x ，y ∈N *，z＝2x ＋y ，作出⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960，x >0，y >0的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线经过直线2x ＋3y ＝480与直线6x ＋y ＝960的交点(150,60)时，z 取得最大值，为360.答案：3601．线性规划中的参数问题及其求解思路(1)线性规划中的参数问题，就是已知目标函数的最值或其他限制条件，求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题．(2)求解策略：解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值．2．[警示] 解决线性规划问题应把握三点(1)首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．(2)画可行域时应注意区域是否包含边界．(3)对目标函数z ＝Ax ＋By 中B 的符号，一定要注意B 的正负与z 的最值的对应，要结合图形分析．题型三 基本不等式 基本不等式：a ＋b2≥ab(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值解析： 由基本不等式的三个前提条件“一正、二定、三相等”来判断，A 中不能保证lg x 为正；C 中取等的条件不具备；D 中无法用基本不等式，x －1x 是单调增函数，有最大值，故选B.答案： B2．(2018·河南洛阳一模)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为________．解析： 依题意知a >0，b >0，则1a ＋2b≥22ab ＝22ab，当且仅当1a ＝2b ，即b ＝2a 时，“＝”成立．因为1a ＋2b ＝ab ，所以ab ≥22ab，即ab ≥22，所以ab 的最小值为2 2.答案： 2 23．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值是________．解析： y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2－2＝0.当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．答案： 04．(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________．解析： ∵a －3b ＋6＝0，∴a －3b ＝－6，∴2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b ＝22－6＝2×2－3＝14，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ，a －3b ＋6＝0时等号成立，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1时取到等号． 答案： 141．利用不等式求最值的解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值．2．[警示] 利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可．【课时作业】(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)1．已知集合M ＝{x |x 2－4x >0}，N ＝{x |m <x <8}，若M ∩N ＝{x |6<x <n }，则m ＋n ＝( ) A ．10 B ．12 C ．14D ．16解析： M ＝{x |x 2－4x >0}＝{x |x >4或x <0}，N ＝{x |m <x <8}，由于M ∩N ＝{x |6<x <n }，∴m ＝6，n ＝8，∴m ＋n ＝14，故选C.答案： C2．若a <b <0，则下列不等式错误的是( )A.1a >1b B ．1a －b >1aC ．|a |>|b |D ．a 2>b 2解析： 因为a <b <0，所以1a >1b ，故A 对．因为a <b <0，所以0<－b ，a <a －b <0， 所以1a >1a －b，故B 错．因为a <b <0，所以－a >－b >0，即|－a |>|－b |， 所以|a |>|b |，故C 对． 因为a <b <0，所以－a >－b >0， 所以(－a )2>(－b )2，即a 2>b 2，故D 对． 答案： B3．已知a ∈R ，不等式x －3x ＋a ≥1的解集为p ，且－2∉p ，则a 的取值范围为( )A ．(－3，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)解析： ∵－2∉p ，∴－2－3－2＋a <1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3.答案： D4．(2018·北京卷)设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y >4，x －ay ≤2}，则( ) A ．对任意实数a ，(2,1)∈A B ．对任意实数a ，(2,1)∉A C ．当且仅当a <0时，(2,1)∉A D ．当且仅当a ≤32时，(2,1)∉A解析： 若点(2,1)∈A ，则不等式x －y ≥1显然成立，且同时要满足⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1>4，2－a ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧a >32，a ≥0，解得a >32.即点(2,1)∈A ⇒a >32，其等价命题为a ≤32⇒点(2,1)∉A 成立．故选D.答案： D5．(2018·广东清远清城一模)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析： 关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax <b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b <0，∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，∴所求解集是(－1,3)．故选C.答案： C6．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －4≤0，－2≤x <2，y ≤1，若z ＝2x －y ，则z 的取值范围是( )A ．[－5,6)B ．[－5,6]C ．(2,9)D ．[－5,9]解析： 作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，并平移，可知当该直线经过点A (－2,1)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－2)－1＝－5，当该直线经过点B (2，－2)时，z ＝2×2＋2＝6，由于点B 不在可行域内，故选A.答案： A7．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3解析： 如图，阴影部分即为满足x －1≤0与x ＋y －1≥0的区域，而ax －y ＋1＝0的直。
2022年高考文科数学通用版二轮创新专题复习教学案：第一部分 专题二 数列 Word版含答案
[研高考·明考点] 年份 卷别卷Ⅰ2021 卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ2022 卷Ⅱ卷Ⅲ2021卷Ⅰ 卷Ⅱ小题考查大题考查————T17·等比数列的通项公式与前 n 项和，等差数列的判定————T17·等差、等比数列的通项公式 及前 n 项和————T17· 数 列 的 递 推 关 系 及 通 项 公 式，裂项相消法求和————T17· 等 差 数 列 的 通 项 公 式 及 等 比数列求和————T17·等差数列的通项公式、数列 求和————T17·数列的递推关系及通项公 式T7·等差数列的通项及前 n 项和公式 T13·等比数列的概念及前 n 项和公式 T5·等差数列的通项公式、性质及前 n 项和公式———— ————T9·等比数列的通项公式和性质[析考情·明重点]小题考情分析大题考情分析常考点1.等差、等比数列的基本 运算(3 年 2 考) 2.等差、等比数列的性质 (3 年 2 考)常考点高考对数列的考查若只消灭在解答题中时， 常以数列的相关项以及关系式，或 an 与 Sn 的关系入手，结合等差、等比数列的定义开 放考查，题型主要有： 1.等差、等比数列基本量的运算偶考点2.数列求和问题 3.等差、等比数列的推断与证明 1.三角函数的综合问题 2.平面对量与解三角形、 偶考点 数列与其他学问的综合问题 三角函数的综合问题第一讲 小题考法——等差数列与等比数列考点(一)主要考查方式有两种：一是利用 an 与 Sn 的关系求通项 an或前 n 项和 Sn；二是利用 an 与 an＋1 的关系求通项 an 或前 数列的递推关系式n 项和 Sn.[典例感悟][典例] (1)(2021·云南调研)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 4(n＋1)(Sn＋1)＝(n＋2)2an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式 an＝( )A．(n＋1)3B．(2n＋1)2C．8n2D．(2n＋1)2－1(2)(2021·成都模拟)在数列{an}中，a1＝1，a1＋2a22＋3a23＋…＋ann2＝an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式 an＝________.[解析](1)当 n＝1 时，4×(1＋1)×(a1＋1)＝(1＋2)2×a1，解得 a1＝8.当 n≥2 时，4(Sn＋1)＝n＋2 n＋12an，则 4(Sn－1＋1)＝n＋1 n2an－1，两式相减得，4an＝n＋2 n＋12an－n＋1 n2an－1，整理得，aan－n 1＝n＋1 n33，所以an＝aan－n 1·aann－－12·…·aa21·a1＝n＋1 n33×n3 n－13×…×3233×8＝(n＋1)3.检验知，a1＝8 也符合，所以 an＝(n＋1)3.(2)依据 a1＋a222＋a332＋…＋ann2＝an，①有 a1＋a222＋a332＋…＋an－1 n－12＝an－1，②①－②得，ann2＝an－an－1，即 n2an－1＝(n2－1)an，所以aan－n 1＝n2n－2 1＝n2 n＋1 n－1，所以 an＝a1×aa21×aa32×…×aan－n 12232n2＝1× 2＋1 2－1 × 3＋1 3－1 ×…× n＋1 n－1 ＝2－12＋122×32×42×…×n2 3－1 3＋1 4－1 4＋1 … n－1n＋122×32×42×…×n2 ＝1×3×2×4×3×5×…× n－1 × n＋1＝n2＋n1.[答案] (1)A (2)n2＋n1[方法技巧]由 an 与 Sn 的关系求通项公式的留意事项 (1)应重视分类争辩思想的应用，分 n＝1 和 n≥2 两种状况争辩，特殊留意 an＝Sn－Sn－1 成立的前提是 n≥2. (2)由 Sn－Sn－1＝an 推得 an，当 n＝1 时，a1 也适合，则需统一表示(“合写”)． (3)由 Sn－Sn－1＝an 推得 an，当 n＝1 时，a1 不适合，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即 an＝S1 n＝1 ，Sn－Sn－1 n≥2 .[演练冲关]1．(2022 届高三·广东五校联考)数列{an}满足 a1＝1，且 an＋1＝a1＋an＋n(n∈N*)，则a11＋a12＋…＋a21017＝()2 017 2 015 A.1 009 B.1 008C.22016 017D.22015 016解析：选 A由 a1＝1，an＋1＝a1＋an＋n 可得 an＋1－an＝n＋1，利用累加法可得 an－a1＝n－1 n＋2 2，所以 an＝n2＋2 n，所以a1n＝n2＋2 n＝21n－n＋1 1，故a11＋a12＋…＋a21017＝211－12＋12－13＋…＋21 017－21 018＝21－2 1018＝12 000197，故选 A.2．(2021·石家庄质检)数列{an}满足 an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前 60 项和为( )A．3 690B．3 660C．1 845D．1 830解析：选 D 不妨令 a1＝1，依据题意，得 a2＝2，a3＝a5＝a7＝…＝1，a4＝6，a6＝10，…，所以当 n 为奇数时，an＝1，当 n 为偶数时构成以 a2＝2 为首项，以 4 为公差的等差数列．所以{an}的前 60 项和为 S60＝30＋2×3030× 30－1＋2×4＝1 830.3．设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则 S5＝________.解析：∵an＋1＝2Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋21＝3Sn＋12，∴数列Sn＋12是公比为3S2＋12 的等比数列，∴S1＋12＝3.又S2＝4，∴S1＝1，∴S5＋12＝S1＋12×34＝32×34＝2423，∴S5＝121.答案：121考点(二)主要考查与等差 比 数列的通项公式、前 n 项和公等差、等比数列的基本运算 式有关的五个基本量间的“知三求二”运算.[典例感悟][典例] (1)(2022·全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前 9 项的和为 27，a10＝8，则 a100＝( )A．100B．99C．98D．97(2)(2021·全国卷Ⅲ)等差数列{an}的首项为 1，公差不为 0.若 a2，a3，a6 成等比数列，则{an}前 6 项的和为( )A．－24B．－3C．3D．8(3)(2021·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数，其前 n 项和为 Sn.已知 S3＝47，S6＝643，则 a8＝________.[解析] (1)∵{an}是等差数列，设其公差为 d，∴S9＝92(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.又∵a10＝8，∴aa11＋＋49dd＝＝38，，∴ad1＝＝1－. 1， ∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98，故选 C. (2)设等差数列{an}的公差为 d， 由于 a2，a3，a6 成等比数列，所以 a2a6＝a23， 即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2. 又 a1＝1，所以 d2＋2d＝0.又 d≠0，则 d＝－2， 所以{an}前 6 项的和 S6＝6×1＋6×2 5×(－2)＝－24. S3＝a11－q3 1－q (3)设等比数列{an}的公比为 q，则由 S6≠2S3，得 q≠1，则S6＝a11－q6 1－q＝74， ＝643， q＝2， 解得a1＝14，则 a8＝a1q7＝14×27＝32.[答案] (1)C (2)A (3)32[方法技巧]等差(比)数列基本运算的解题思路 (1)设基本量：首项 a1 和公差 d(公比 q)． (2)列、解方程(组)：把条件转化为关于 a1 和 d(或 q)的方程(组)，然后求解，留意整体计算，以削减运算 量．[演练冲关]1．(2021·合肥质检)若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 a2＋S3＝4，a3＋S5＝12，则 a4＋S7 的值是( )A．20B．36C．24D．72解析：选 C由a2＋S3＝4及a3＋S5＝12得4a1＋4d＝4， 6a1＋12d＝12，解得a1＝0， d＝1，∴a4＋S7＝8a1＋24d＝24.故选 C.2．(2021·全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足 a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则 a4＝________.解析：设等比数列{an}的公比为 q，则 a1＋a2＝a1(1＋q)＝－1， a1－a3＝a1(1－q2)＝－3，1＋q 1 两式相除，得1－q2＝3，解得q＝－2，a1＝1，所以 a4＝a1q3＝－8.答案：－83．(2022 届高三·河南十校联考)已知{an}是公差为 1 的等差数列，Sn 为{an}的前 n 项和，若 S8＝4S4，则a10＝________.解析：∵{an}是公差为 1 的等差数列，∴S8＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.∵S8＝4S4， ∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得 a1＝12，∴a10＝a1＋9d＝12＋9＝129.答案：129考点(三)主要考查利用等差、等比数列的性质求解基本量及与等差、等比数列的性质 前 n 项和有关的最值问题.[典例感悟][典例] (1)(2021·云南调研)已知数列{an}是等比数列，Sn 为其前 n 项和，若 a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则 S12＝( )A．40B．60C．32D．50(2)(2021·长沙模拟)在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝ 2－1，a5＝ 2＋1，则 a23＋2a2a6＋a3a7＝()A．4B．6C．8D．8－4 2(3)(2022届高三·湖南名校联考)若{an}是等差数列，首项a1>0，a2a ＋ 0162017>0，a2a · 0162017<0，则使前n项和 Sn>0 成立的最大正整数 n 是( )A．2 016B．2 017C．4 032D．4 033[解析] (1)由等比数列的性质可知，数列 S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9 是等比数列，即数列 4,8，S9－S6， S12－S9 是等比数列，所以 S9－S6＝16，S12－S9＝32，所以 S12＝(S12－S9)＋(S9－S6)＋(S6－S3)＋S3＝32＋16＋8＋4＝60，故选 B.(2)在等比数列{an}中，a3a7＝a25，a2a6＝a3a5，所以 a23＋2a2a6＋a3a7＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝( 2－1＋ 2＋1)2＝(2 2)2＝8，故选 C.(3)由于a1>0，a2a ＋ 0162017>0，a2a · 0162017<0，所以d<0，a2016>0，a2017<0，所以S44 ＝ 032032a1＋a4 032 2＝4 032a ＋a 2 0162 0172>0，S44 ＝ 033033a1＋a4 033 2＝4 033a2 017<0，所以使前 n 项和 Sn>0 成立的最大正整数 n是 4 032，故选 C. [答案] (1)B (2)C (3)C[方法技巧]等差、等比数列性质问题的求解策略(1)解题关键：抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．(2)运用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．[演练冲关]1．已知等差数列{an}中，a1＝1，前 10 项和等于前 5 项和，若 am＋a6＝0，则 m＝( )A．10B．9C．8D．2解析：选 A 记数列{an}的前 n 项和为 Sn，由题意 S10＝S5，所以 S10－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝0，又 a6＋a10＝a7＋a9＝2a8，于是 a8＝0，又 am＋a6＝0，所以 m＋6＝2×8，解得 m＝10.2．(2021·合肥质检)已知数列{an}是首项为 a，公差为 1 的等差数列，数列{bn}满足 bn＝1＋anan.若对任意的n∈N*，都有 bn≥b8 成立，则实数 a 的取值范围是( )A．(－8，－7)B．[－8，－7)C．(－8，－7]D．[－8，－7]解析：选 A 由于{an}是首项为 a，公差为 1 的等差数列，所以 an＝n＋a－1，由于 bn＝1＋anan＝1＋a1n，又对任意的n∈N*都有bn≥b8成立，所以11 111＋an≥1＋a8，即an≥a8对任意的n∈N*恒成立，由于数列{an}是公差为1的等差数列，所以{an}是单调递增的数列，所以aa89<>00， ， 即89＋ ＋aa－ －11<>00， ， 解得－8<a<－7. 3．若等比数列{an}的各项均为正数，且 a10a11＋a9a12＝2e5，则 ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________. 解析：由于 a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以 a10a11＝e5.所以 ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10ln e5＝50ln e＝50. 答案：50考点(四)主要考查等差、等比数列相结合的基本量的计算以及数列等差、等比数列的综合问题 有关最值问题的求解.[典例感悟][典例] (1)(2022 届高三·西安八校联考)已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若 a1·a6·a11＝－3 3，b1＋b6＋b11＝7π，则 tan1－b3a＋4·b9a8的值为()A．－ 3B．－13 C．－ 3D． 3(2)设数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，记数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn.若 a5＝b5，a6＝b6，且 S7－S5＝4(T6－T4)，则ab77＋＋ab55＝________.[解析] (1)依题意得，a36＝(－ 3)3，a6＝－ 3，3b6＝7π，b6＝73π，所以1－b3a＋4·b9a8＝1－2ba6 62＝－7π3 ，故 tan 1－b3a＋4·b9a8＝tan －7π3 ＝tan －2π－π3 ＝－tan π3 ＝－ 3.(2)设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公比为 q.由 a5＝b5，a6＝b6，且 S7－S5＝4(T6－T4)， a5＝b5， 得a5＋d＝b5q，2a5＋3d＝4 b5＋b5q ，解得q＝－5， d＝－6a5.故ab77＋＋ab55＝b25aq52＋＋2bd5＝2a5＋252a5＋－a65a5 ＝－2160aa5 5＝－153. [答案] (1)A (2)－153[方法技巧]等差、等比数列综合问题的求解策略(1)对于等差数列与等比数列交汇的问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系，常用“基本量法”求解，但有时机敏地运用等差中项、等比中项等性质，可使运算简便．(2)数列的通项或前 n 项和可以看作关于 n 的函数，然后利用函数的性质求解数列的有关最值问题．[演练冲关] 1．(2021·云南调研)已知数列{an}是等差数列，若 a1－1，a3－3，a5－5 依次构成公比为 q 的等比数列，则 q＝( )A．－2B．－1C．1D．2解析：选 C 依题意，得 2a3＝a1＋a5,2a3－6＝a1＋a5－6，即 2(a3－3)＝(a1－1)＋(a5－5)，所以 a1－1，a3－3，a5－5 成等差数列．又 a1－1，a3－3，a5－5 依次构成公比为 q 的等比数列，因此有 a1－1＝a3－3＝a5－5，q＝aa31－－31＝1.2．(2021·望江调研)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，已知 S10＝0，S15＝25，则 nSn 的最小值为( )A．－47B．－48C．－49D．－50解析：选 CS10＝10a1＋10×2 9d＝0，由已知得S15＝15a1＋15×2 14d＝25， a1＝－3， 解得d＝32，那么 nSn＝n2a1＋n2n－1 2d＝n33－103n2.由于函数 f(x)＝x33－103x2在 x＝230处取得微小值，又20 6< 3 <7，从而检验n＝6时，6S6＝－48，n＝7时，7S7＝－49.所以nSn的最小值为－49.3．(2021·太原模拟)设等比数列{an}的前 6 项和 S6＝6，且 1－a22为 a1，a3 的等差中项，则 a7＋a8＋a9＝________. 解析：依题意得 a1＋a3＝2－a2，即 S3＝a1＋a2＋a3＝2，由等比数列的性质，知数列 S3，S6－S3，S9－S6 成等比数列，即数列 2,4，S9－S6 成等比数列，于是有 S9－S6＝8，即 a7＋a8＋a9＝8. 答案：8[必备知能·自主补缺](一) 主干学问要记牢1．等差数列、等比数列通项公式 前 n 项和公式等差数列an＝a1＋(n－1)dSn＝na1＋an 2＝na1＋nn－1 2d等比数列 an＝a1qn－1(q≠0)(1)q≠1，Sn＝a11－qn 1－q＝a11－－aqnq；(2)q＝1，Sn＝na12．推断等差数列的常用方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列． (2)通项公式法：an＝pn＋q(p，q 为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列． (3)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列． (4)前 n 项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列． 3．推断等比数列的常用方法 (1)定义法：aan＋n 1＝q(q 是不为 0 的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列． (2)通项公式法：an＝cqn(c，q 均是不为 0 的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列． (3)中项公式法：a2n＋1＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列． (二) 二级结论要用好1．等差数列的重要规律与推论 (1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d；p＋q＝m＋n⇒ ap＋aq＝am＋an. (2)ap＝q，aq＝p(p≠q)⇒ ap＋q＝0；Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd. (3)连续 k 项的和(如 Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…)构成的数列是等差数列． (4)若等差数列{an}的项数为偶数 2m，公差为 d，全部奇数项之和为 S 奇，全部偶数项之和为 S 偶，则全部项 之和 S2m＝m(am＋am＋1)，S 偶－S 奇＝md，SS奇偶＝aam＋m 1. (5)若等差数列{an}的项数为奇数 2m－1，全部奇数项之和为 S 奇，全部偶数项之和为 S 偶，则全部项之和 S2m －1＝(2m－1)am，S 奇＝mam，S 偶＝(m－1)am，S 奇－S 偶＝am，SS奇偶＝m－m 1. [针对练 1] 一个等差数列的前 12 项和为 354，前 12 项中偶数项的和与奇数项的和之比为 32∶27，则该 数列的公差 d＝________. 解析：设等差数列的前 12 项中奇数项的和为 S 奇，偶数项的和为 S 偶，等差数列的公差为 d. 由已知条件，得SS奇偶＋∶SS偶奇＝＝33524∶，27，解得S偶＝192， S奇＝162.又 S 偶－S 奇＝6d，所以 d＝192－6 162＝5. 答案：5 2．等比数列的重要规律与推论 (1)an＝a1qn－1＝amqn－m；p＋q＝m＋n⇒ ap·aq＝am·an. (2){an}，{bn}成等比数列⇒ {anbn}成等比数列． (3)连续 m 项的和(如 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)构成的数列是等比数列(留意：这连续 m 项的和必需非零才 能成立)． (4)若等比数列有 2n 项，公比为 q，奇数项之和为 S 奇，偶数项之和为 S 偶，则SS偶奇＝q. (5)对于等比数列前 n 项和 Sn，有： ①Sm＋n＝Sm＋qmSn； ②SSmn＝11－－qqmn(q≠±1)． (三) 易错易混要明白 已知数列的前 n 项和求 an，易忽视 n＝1 的情形，直接用 Sn－Sn－1 表示．事实上，当 n＝1 时，a1＝S1；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1. [针对练 2] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋1，则该数列的通项公式为________．解析：当 n＝1 时，a1＝S1＝2. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋1)－[(n－1)2＋1]＝n2－(n－1)2＝2n－1， 又当 n＝1 时，2×1－1＝1≠2.∴an＝22， n－n＝ 1，1， n≥2.答案：an＝22， n－n＝ 1，1， n≥2[课时跟踪检测]A 组——12＋4 提速练一、选择题1．(2021·成都模拟)在等比数列{an}中，已知 a3＝6，a3＋a5＋a7＝78，则 a5＝( )A．12B．18C．24D．30解析：选 B ∵a3＋a5＋a7＝a3(1＋q2＋q4)＝6(1＋q2＋q4)＝78，解得 q2＝3，∴a5＝a3q2＝6×3＝18.故选 B.2．(2021·兰州模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝2，a8＋a10＝28，则 S9＝( )A．36B．72C．144D．288解析：选 B∵a8＋a10＝2a9＝28，∴a9＝14，∴S9＝9a1＋a9 2＝72.3．(2021·全国卷Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )A．1B．2C．4D．8解析：选 C 设等差数列{an}的公差为 d，则由aS46＋ ＝a458＝，24， a1＋3d＋a1＋4d＝24， 得6a1＋6×2 5d＝48，即2a1＋7d＝24， 2a1＋5d＝16，解得 d＝4.4．设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S1＝13a2－13，S2＝13a3－13，则公比 q＝()A．1B．4C．4 或 0D．8解析：选 B ∵S1＝13a2－13，S2＝13a3－13，a1＝13a1q－13，∴a1＋a1q＝13a1q2－13，解得a1＝1， q＝4或 a1＝－13， q＝0(舍去)，故所求的公比 q＝4.5．已知 Sn 是公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和，且 S1，S2，S4 成等比数列，则a2＋a1 a3的值为()A．4B．6 C．8D．10解析：选 C 设数列{an}的公差为 d，则 S1＝a1，S2＝2a1＋d，S4＝4a1＋6d，故(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)，整理得 d＝2a1，所以a2＋a1 a3＝2a1a＋1 3d＝8aa11＝8.6．(2022 届高三·湖南十校联考)已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和，且 Sn＋1＝Sn＋an＋3，a4＋a5＝23，则 S8＝()A．72B．88 C．92 D．98解析：选 C由 Sn＋1＝Sn＋an＋3，得 an＋1－an＝3，所以数列{an}是公差为 3 的等差数列，S8＝8a1＋a8 2＝8a4＋a5 2＝92. 7．已知数列{an}满足 an＋1＝2an，0≤an＜12， 2an－1，12≤an＜1.若 a1＝35，则 a2 018＝()A.15 B.25 C.35 D.45解析：选 A 由于 a1＝35，依据题意得 a2＝15，a3＝25，a4＝45，a5＝35，所以数列{an}以 4 为周期，又 2 018＝504×4＋2，所以 a2 018＝a2＝15，故选 A.8．若等比数列的各项均为正数，前 4 项的和为 9，积为841，则前 4 项倒数的和为()A.32 B.94 C．1D．2解析：选 D 设等比数列的首项为 a1，公比为 q，则第 2,3,4 项分别为 a1q，a1q2，a1q3，依题意得 a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝9，a1·a1q·a1q2·a1q3＝841，化简得 a21q3＝92，则a11＋a11q＋a11q2＋a11q3＝a1＋a1q＋a21aq13q2＋a1q3＝2.9．(2021·广州模拟)已知等比数列{an}的各项都为正数，且 a3，12a5，a4 成等差数列，则aa34＋＋aa56的值是()A.5－1 2B.5＋1 2C.3－2 5 D.3＋2 5解析：选 A 设等比数列{an}的公比为 q，由 a3，12a5，a4 成等差数列可得 a5＝a3＋a4，即 a3q2＝a3＋a3q，故q2－q－1＝0，解得 q＝1＋25 或q＝1－25(舍去)，所以aa34＋ ＋aa56＝aa34＋ ＋aa34qq22＝aa341＋q2 1＋q2125－1＝q＝＝ 5＋12，故选 A.10．(2021·张掖模拟)等差数列{an}中，aa2nn是一个与 n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为()A．{1}B.1，12 C.12 D.0，12，1 解析：选 Baa2nn＝aa11＋＋n－1 2n－1dd＝aa11－－dd＋＋2nndd，若 a1＝d≠0，则aa2nn＝12；若 a1≠0，d＝0，则aa2nn＝1.∵a1－d＋nd≠0，∴aa2nn≠0，∴该常数的可能值的集合为1，12.11．(2022 届高三·湖南十校联考)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1<0，若存在自然数 m≥3，使得 am＝Sm，则当 n>m 时，Sn 与 an 的大小关系是( )A．Sn<anB．Sn≤anC．Sn>anD．大小不能确定解析：选 C 若 a1<0，存在自然数 m≥3，使得 am＝Sm，则 d>0，否则若 d≤0，数列是递减数列或常数列，则恒有 Sm<am，不存在 am＝Sm.由于 a1<0，d>0，当 m≥3 时，有 am＝Sm，因此 am>0，Sm>0，又 Sn＝Sm＋am＋1＋…＋an，明显 Sn>an.故选 C.12．(2021·洛阳模拟)等比数列{an}的首项为32，公比为－12，前 n 项和为 Sn，则当 n∈N*时，Sn－S1n的最大值与最小值之和为( )A．－23B．－172C.14D.56解析：选 C依题意得，Sn＝3211－－－－1212n＝1－－12n.当 n 为奇数时，Sn＝1＋21n随着 n 的增大而减小，1<Sn＝1＋21n≤S1＝32，Sn－S1n随着Sn的增大而增大，0<Sn－S1n≤65；当n为偶数时，Sn＝1－21n随着n3 的增大而增大，4＝S2≤Sn＝1－21n<1，Sn－S1n随着 Sn 的增大而增大，－172≤Sn－S1n<0.因此 Sn－S1n的最大值与最小值分别为56，－172，其最大值与最小值之和为56＋－172＝14.二、填空题13．(2021·合肥质检)已知数列{an}中，a1＝2，且aa2n＋n 1＝4(an＋1－an)(n∈N*)，则其前 9 项和 S9＝________.解析：由已知，得 a2n＋1＝4anan＋1－4a2n，即 a2n＋1－4anan＋1＋4a2n＝(an＋1－2an)2＝0，所以 an＋1＝2an，又由于 a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故S9＝2×1－29 1－2＝210－2＝1 022.答案：1 02214．(2021·兰州模拟)已知数列{an}中，a1＝1，Sn 为数列{an}的前 n 项和，且当 n≥2 时，有anS2na－n S2n＝1 成 立，则 S2 017＝________.解析：当 n≥2 时，由anS2na－n S2n＝1，得 2(Sn－Sn－1)＝(Sn－Sn－1)Sn－S2n＝－SnSn－1，∴S2n－Sn2－1＝1，又S21＝2，∴S2n是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，∴S2n＝n＋1，故 Sn＝n＋2 1，则 S2 017＝1 1009.答案：11 00915．(2022·全国卷Ⅰ)设等比数列{an}满足 a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则 a1a2…an 的最大值为________． 解析：设等比数列{an}的公比为 q，则由 a1＋a3＝10，a2＋a4＝q(a1＋a3)＝5，知 q＝12.又 a1＋a1q2＝10，∴a1＝8.故 a1a2…an＝an1q1＋2＋…＋(n－1)＝23n·12n－1 2n＝23n－n22＋n2＝2－n22＋72n.记 t＝－n22＋72n＝－12(n2－7n)＝－21n－722＋489， 结合 n∈N*可知 n＝3 或 4 时，t 有最大值 6. 又 y＝2t 为增函数，从而 a1a2…an 的最大值为 26＝64.答案：6416．(2021·广州模拟)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 a1＝2，对任意 p，q∈N*，都有 ap＋q＝ap＋aq，则f(n)＝Snn＋＋610(n∈N*)的最小值为________．解析：a1＝2，对任意 p，q∈N*，都有 ap＋q＝ap＋aq，令 p＝1，q＝n，则有 an＋1＝an＋a1＝an＋2.故{an}是等差数列，所以 an＝2n，Sn＝2×1＋n 2n＝n2＋n，f(n)＝Snn＋＋610＝n2＋n＋n＋1 60＝n＋12－ n＋1 n＋1＋60＝n＋1＋n6＋01－1.当 n＋1＝8，即 n＝7 时，f(7)＝8＋680－1＝229；当 n＋1＝7，即 n＝6 时，f(6)＝7＋670－1＝1702，由于229<1072，则 f(n)＝Snn＋＋610(n∈N*)的最小值为229.29 答案： 2B 组——力量小题保分练 1．若 a，b 是函数 f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且 a，b，－2 这三个数可适当排序后 成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p＋q 的值为( )A．6B．7 C．8D．9解析：选 D 不妨设 a＞b，由题意得aab＋＝b＝ q＞p＞ 0，0， ∴a＞0，b＞0，则 a，－2，b 成等比数列，a，b，－2 成等差数列，∴ab＝ －2 2， a－2＝2b，∴ab＝ ＝41， ，∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9.2．(2021·郑州质检)已知数列{an}满足 a1a2a3…an＝2n2(n∈N*)，且对任意 n∈N*都有a11＋a12＋…＋a1n<t，则 实数 t 的取值范围为( )A.13，＋∞B.13，＋∞C.23，＋∞D.23，＋∞解析：选 D依题意得，当 n≥2 时，an＝aa1a1a2a2a3…3…aan－n 1＝22n2 n－12＝2n2－(n－1)2＝22n－1，又 a1＝21＝22×1－1，因此 an＝22n－1，a1n＝221n－1＝12×14n－1，即数列a1n是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列a1n的前 n 项和等于1211－－1441n＝231－41n<23，因此实数 t 的取值范围是23，＋∞.3．(2021·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n 项和为nSn，a3＝3，S4＝10，则 k＝11 Sk＝________.解析：设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，依题意有a1＋2d＝3， 4a1＋6d＝10，解得a1＝1， d＝1，所以 Sn＝nn＋1 21 ，Sn＝n2 n＋1＝21n－n＋1 1，n因此k＝1S1k＝21－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1＝n2＋n1.答案：n2＋n14．(2021·兰州模拟)已知数列{an}，{bn}，若 b1＝0，an＝n1 n＋1，当 n≥2 时，有 bn＝bn－1＋an－1，则b2 018＝________.解析：由 bn＝bn－1＋an－1，得 bn－bn－1＝an－1，∴b2－b1＝a1，b3－b2＝a2，…，bn－bn－1＝an－1，∴b2－b1＋b3－b2＋…＋bn－bn－1＝a1＋a2＋…＋an－1＝1×1 2＋2×1 3＋…＋1 n－1×n，即 bn－b1＝a1＋a2＋…＋an－1＝1×1 2＋2×1 3＋…＋1 n－1×n＝11－12＋12－13＋…＋n－1 1－1n＝1－1n＝n－n 1，∵b1＝0，∴bn＝n－n 1，∴b22 018＝2001178.答案：22017 0185．(2021·石家庄质检)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，数列{an}为12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n，2n－1n，…， n ，…，若Sk＝14，则ak＝________.解析：由于1n＋2n＋…＋n－n 1＝1＋2＋…n ＋n－1＝n2－12，n＋1 1＋n＋2 1＋…＋n＋n 1＝1＋2n＋＋…1 ＋n＝n2，所以数列12，13＋23，14＋24＋34，…，n＋1 1＋n＋2 1＋…＋n＋n 1是首项为12，公差为12的等差数列，所以该数列的前 n 项和 Tn13n n2＋n＝2＋1＋2＋…＋2＝ 4 .令Tn＝n2＋4 n＝14，解得n＝7(n＝－8舍去)，所以ak＝78.答案：786．在数列{an}和{bn}中，an＋1＝an＋bn＋ a2n＋b2n，bn＋1＝an＋bn－ a2n＋b2n，a1＝1，b1＝1.设 cn＝a1n＋b1n，则数列{cn}的前 2 018 项和为________．解析：由已知 an＋1＝an＋bn＋ a2n＋b2n，bn＋1＝an＋bn－ an2＋bn2得 an＋1＋bn＋1＝2(an＋bn)，又 a1＋b1＝2，所以数列{an＋bn}是首项为 2，公比为 2 的等比数列，即 an＋bn＝2n，将 an＋1＝an＋bn＋ a2n＋b2n，bn＋1＝an＋bn－ a2n＋b2n 相乘并化简，得 an＋1bn＋1＝2anbn，即an＋a1nbbnn＋1＝2.所以数列{anbn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以 anbn＝2n －1，由于 cn＝a1n＋b1n，所以 cn＝aan＋nbnbn＝22n－n 1＝2，数列{cn}的前 2 018 项和为 2×2 018＝4 036.答案：4 036其次讲 大题考法——数 列题型(一)主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前 n 项等差、等比数列基本量的计算 和的求解，且常结合数列的递推公式命题.[典例感悟][典例 1] (2021·全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，等比数列{bn}的前 n 项和为 Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.(1)若 a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；(2)若 T3＝21，求 S3.[解] 设{an}的公差为 d，{bn}的公比为 q，则 an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.由 a2＋b2＝2 得 d＋q＝3.①(1)由 a3＋b3＝5 得 2d＋q2＝6.②联立①②解得dq＝ ＝30， (舍去)或dq＝ ＝12， .因此{bn}的通项公式为 bn＝2n－1. (2)由 b1＝1，T3＝21，得 q2＋q－20＝0， 解得 q＝－5 或 q＝4.当 q＝－5 时，由①得 d＝8，则 S3＝21. 当 q＝4 时，由①得 d＝－1，则 S3＝－6.[备课札记]等差、等比数列的基本量的求解策略 (1)分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要先求解的中间问题．如为求和需要先求出通项、为 求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，即确定解题的规律次序． (2)留意细节．例如：在等差数列与等比数列综合问题中，若等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等 于 1 的可能；在数列的通项问题中，第一项和后面的项能否用同一个公式表示等． [演练冲关] 1．(2021·洛阳模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，an≠0，a1＝1，且 2anan＋1＝4Sn－3(n∈N*)． (1)求 a2 的值并证明：an＋2－an＝2； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)令 n＝1 得 2a1a2＝4a1－3，又 a1＝1，∴a2＝12. 由题可得，2anan＋1＝4Sn－3，① 2an＋1an＋2＝4Sn＋1－3.② ②－①得，2an＋1(an＋2－an)＝4an＋1. ∵an≠0，∴an＋2－an＝2. (2)由(1)可知：数列 a1，a3，a5，…，a2k－1，…为等差数列，公差为 2，首项为 1，∴a2k－1＝1＋2(k－1)＝ 2k－1，即 n 为奇数时，an＝n. 数列 a2，a4，a6，…，a2k，…为等差数列，公差为 2，首项为12，∴a2k＝12＋2(k－1)＝2k－32，即 n 为偶数时， an＝n－32. n，n为奇数， 综上所述，an＝n－32，n为偶数.题型(二) 数列求和问题主要考查错位相减法求和、裂项相消法求和以 及分组求和，且常结合数列的递推公式、周期 等命题.[典例感悟] [典例 2] 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，数列{bn}是等比数列，满足 a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2 ＝a3. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式；[方法技巧](2)令 cn＝S2n，n为奇数， bn，n为偶数，设数列{cn}的前 n 项和为 Tn，求 T2n.[解] (1)设数列{an}的公差为 d，数列{bn}的公比为 q，则由b2＋S2＝10， a5－2b2＝a3，得q3＋ ＋64＋ d－d＝ 2q1＝0， 3＋2d，解得dq＝＝22，，所以 an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝2n－1.(2)由 a1＝3，an＝2n＋1 得 Sn＝n(n＋2)，则 cn＝n2 n＋2，n为奇数，2n－1，n为偶数，即 cn＝1n－n＋1 2，n为奇数， 2n－1，n为偶数，所以 T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n)＝1－13＋13－15＋…＋2n1－1－2n1＋1＋(2＋23＋…＋22n－1)＝1－2n1＋1＋21－4n 1－4＝2n2＋n 1＋23(4n－1)．[备课札记][方法技巧] 1．分组求和中分组的策略 (1)依据等差、等比数列分组． (2)依据正号、负号分组． 2．裂项相消的规律 (1)裂项系数取决于前后两项分母的差． (2)裂项相消后前、后保留的项数一样多． 3．错位相减法的关注点 (1)适用题型：等差数列{an}与等比数列{bn}对应项相乘({an·bn})型数列求和． (2)步骤： ①求和时先乘以数列{bn}的公比； ②将两个和式错位相减； ③整理结果形式． [演练冲关] 2．(2021·合肥质检)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 S4＝24，S7＝63.(1)求数列{an}的通项公式； (2)若 bn＝2an＋an，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解：(1)∵{an}为等差数列，S4＝4a1＋4×2 3d＝24，∴S7＝7a1＋7×2 6d＝63，解得a1＝3， d＝2，∴an＝2n＋1.(2)∵bn＝2an＋an＝22n＋1＋(2n＋1)＝2×4n＋(2n＋1)，∴Tn＝2×(4＋42＋…＋4n)＋(3＋5＋…＋2n＋1)4 1－4n n 3＋2n＋1＝2× 1－4 ＋2＝83(4n－1)＋n2＋2n.3．(2021·天津高考)已知{an}为等差数列，前 n 项和为 Sn(n∈N*)，{bn}是首项为 2 的等比数列，且公比大 于 0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.(1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{a2nb2n－1}的前 n 项和(n∈N*)． 解：(1)设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公比为 q. 由已知 b2＋b3＝12，得 b1(q＋q2)＝12， 而 b1＝2，所以 q2＋q－6＝0. 又由于 q＞0，解得 q＝2. 所以 bn＝2n. 由 b3＝a4－2a1，可得 3d－a1＝8.① 由 S11＝11b4，可得 a1＋5d＝16.② 由①②，解得 a1＝1，d＝3，由此可得 an＝3n－2. 所以数列{an}的通项公式为 an＝3n－2，数列{bn}的通项公式为 bn＝2n. (2)设数列{a2nb2n－1}的前 n 项和为 Tn， 由 a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1， 得 a2nb2n－1＝(3n－1)×4n， 故 Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n， 4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1， 上述两式相减，得 －3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n＋1＝12×1－4n1－4－4－(3n －1)×4n ＋1＝－(3n －2)×4n ＋1－8.故T n ＝3n －23×4n ＋1＋83. 所以数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n ＋1＋83.题型(三)主要考查等差数列与等比数列的定义、等差中项及等比中项，且常与数列的递推公式相结合命题.等差、等比数列的判定与证明[典例感悟][典例3] (2021·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并推断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． [解] (1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 11＋q ＝2，a 11＋q ＋q 2＝－6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，q ＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n. (2)由(1)可得S n ＝－2×[1－－2n]1－－2＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋(－1)n 2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．[备课札记] [方法技巧]判定和证明数列是等差(比)数列的方法(1)定义法：对于n ≥1的任意自然数，验证a n ＋1－a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫或a n ＋1a n 为与正整数n 无关的某一常数．(2)中项公式法：①若2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，则{a n }为等差数列； ②若a 2n ＝a n －1·a n ＋1≠0(n ∈N *，n ≥2)，则{a n }为等比数列． [演练冲关]4．(2022届高三·东北三校联考)已知数列{a n }的首项a 1>0，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝23.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等比数列，并求出{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n .解：(1)证明：记b n ＝1a n －1，则b n ＋1b n ＝1a n ＋1－11a n －1＝2a n ＋13a n －11a n－1＝2a n ＋1－3a n 3－3a n ＝1－a n31－a n＝13， 又b 1＝1a 1－1＝32－1＝12，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为12，公比为13的等比数列．所以1a n －1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，即a n ＝2×3n －11＋2×3n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －11＋2×3n －1.(2)由(1)知，1a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＋1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＋n ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋n .[解题通法点拨] 数列问题重在“化归” [循流程思维——入题快]等差数列与等比数列是我们最生疏的两个基本数列，在高中阶段它们是一切数列问题的动身点与落脚点．首项与公差(比)称为等差(比)数列的基本量，大凡涉及这两个数列的问题，我们总期望把已知条件化归为等差或等比数列的基本量间的关系，从而达到解决问题的目的．这种化归为基本量处理的方法是解决等差或等比数列问题特有的方法，对于不是等差或等比的数列，可通过转化化归，转化为等差(比)数列问题或相关问题求解．由于数列是一种特殊的函数，也可依据题目特点，将数列问题化归为函数问题来解决．[按流程解题——快又准][典例] (2021·全国卷Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3.(1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．[解题示范](1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，① 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1， 即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )． 由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2. 又a 21＋2a 1＝4a 1＋3， 解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝12n ＋12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17 ＋…＋12n ＋1－12n ＋3＝n32n ＋3.[思维升华] 对于数列的备考：一是精确 把握数列中a n 与S n 之间的关系，这是解决数列问题的基础；二是重视等差与等比数列的复习，生疏其基本概念、公式和性质，这是解决数列问题的根本；三是留意数列与函数、不等式等的综合问题，把握解决此类问题的通法；四是在学问的复习和解题过程中体会其中所蕴含的数学思想方法，如分类争辩、数形结合、等价转化、函数与方程思想等．[应用体验](2021·张掖模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝－3S n ＋4，b n ＝－log 2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式与数列{b n }的通项公式； (2)令c n ＝b n 2n ＋1，其中n ∈N *，记数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n ＋n ＋22n 的值． 解：(1)由题意知a 1＝1，∵a n ＝－3S n ＋4，∴a n ＋1＝－3S n ＋1＋4. 两式相减并化简得a n ＋1＝14a n ，∴{a n }是首项为1，公比为14的等比数列，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1.b n ＝－log 2a n ＋1＝－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝2n . (2)∵c n ＝b n2n ＋1＝2n 2n ＋1＝n 2n ， ∴T n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，① 12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，②①－②得，12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1.∴T n ＝2－n ＋22n，即T n ＋n ＋22n＝2.[课时跟踪检测] 1．(2022届高三·广西三市联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n－1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ＋1，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1， 当n ＝1时，a 1＝2－1＝1，满足a n ＝2n －1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)得，b n ＝log 4a n ＋1＝n ＋12，则b n ＋1－b n ＝n ＋22－n ＋12＝12， 又b 1＝log 4a 1＋1＝1，∴数列{b n }是首项为1，公差d ＝12的等差数列，∴T n ＝nb 1＋n n －12d ＝n 2＋3n4.2．(2021·福州质检)已知等差数列{a n }的各项均为正数，其公差为2，a 2a 4＝4a 3＋1. (1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋a 9＋…＋a 3n .解：(1)依题意知，a n ＝a 1＋2(n －1)，a n >0.由于a 2a 4＝4a 3＋1，所以(a 1＋2)(a 1＋6)＝4(a 1＋4)＋1，所以a 21＋4a 1－5＝0，解得a 1＝1或a 1＝－5(舍去)，所以a n ＝2n －1.(2)a 1＋a 3＋a 9＋…＋a 3n ＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋(2×32－1)＋...＋(2×3n －1)＝2×(1＋3＋32＋ (3))－(n ＋1)＝2×1－3n ＋11－3－(n ＋1)＝3n ＋1－n －2.3．(2021·济南模拟)已知数列{a n }满足a 1＝511,4a n ＝a n －1－3(n ≥2)． (1)求证：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝|log 2(a n ＋1)|，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)证明：当n ≥2时，由4a n ＝a n －1－3得a n ＋1＝14(a n －1＋1)，所以数列{a n ＋1}是以512为首项，14为公比的等比数列．所以a n ＋1＝512×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＝211－2n ，a n＝211－2n －1.(2)b n ＝|11－2n |，设数列{11－2n }的前n 项和为T n ，则T n ＝10n －n 2.当n ≤5时，S n ＝T n ＝10n －n 2；当n ≥6时，S n ＝2S 5－T n ＝n 2－10n ＋50.所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －n 2，n ≤5，n 2－10n ＋50，n ≥6.4．(2022届高三·广东五校联考)数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)∵S n ＝2a n －a 1， ① ∴当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－a 1；②①－②得，a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1.由a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，得2(a 2＋1)＝a 1＋a 3，∴2(2a 1＋1)＝a 1＋4a 1，解得a 1＝2.∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．∴a n ＝2n.(2)∵a n ＝2n，∴S n ＝2a n －a 1＝2n ＋1－2，S n ＋1＝2n ＋2－2.∴b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝2n ＋12n ＋1－22n ＋2－2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1－1. ∴数列{b n }的前n 项和T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－122－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1－123－1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1－1＝2n－12n ＋1－1. 5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n . 解：(1)证明：∵a n ＋S n ＝n ， ① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.②②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，∴a n ＋1－1a n －1＝12，当n ＝1时，a 1＋S 1＝1，∴a 1＝12，a 1－1＝－12，又c n ＝a n －1，∴{c n }是首项为－12，公比为12的等比数列．(2)由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .又b 1＝a 1＝12也符合上式，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 第三讲 创新考法与思想方法[常见创新考法] 创新点(一) 创新命题情景考应用力量此类问题多以新定义、新运算或实际问题为背景考查数列的有关计算问题.[典例1] 假如一个数列的每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝3，公和为4，那么数列{a n }的前25项和S 25的值为________．[解析] 由题意知，a n ＋a n ＋1＝4，且a 1＝3，所以a 1＋a 2＝4，得a 2＝1，a 3＝3，a 4＝1，…，a 24＝1，a 25＝3，即数列{a n }是周期为2的数列，所以S 25＝(3＋1)＋(3＋1)＋…＋(3＋1)＋3＝12×4＋3＝51.[答案] 51[点评] 本题通过新定义“等和数列”考查了同学利用归纳推理解决新问题的力量．本题的实质是考查与周期有关的数列求和问题．[演练冲关]1．依据市场调查结果，猜测某种家用商品从年初开头的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足关系式S n ＝n90(21n －n 2－5)(n ＝1,2，…，12)，按此猜测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( )A ．5,6月B ．6,7月C ．7,8月D ．8,9月解析：选C 当n ＝1时，a 1＝S 1＝16不满足题意；当n ≥2时，第n 个月的需求量a n ＝S n －S n －1＝130(－n 2＋15n－9)，解不等式130(－n 2＋15n －9)>1.5，得6<n <9，故选C.2．(2021·全国卷Ⅰ)几位高校生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的爱好，他们推出了“解数学题猎取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )A ．440B ．330C ．220D ．110解析：选A 设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n 组的项数为n ，前n 组的项数和为n n ＋12.由题意可知，N >100，令n n ＋12>100，得n ≥14，n ∈N *，即N 消灭在第13组之后．易得第n 组的全部项的和为1－2n1－2＝2n－1，前n 组的全部项的和为21－2n1－2－n ＝2n ＋1－n －2.设满足条件的N 在第k ＋1(k ∈N *，k ≥13)组，且第N 项为第k ＋1组的第t (t ∈N *)个数， 若要使前N 项和为2的整数幂，则第k ＋1组的前t 项的和2t－1应与－2－k 互为相反数， 即2t－1＝k ＋2，∴2t＝k ＋3，∴t ＝log 2(k ＋3)， ∴当t ＝4，k ＝13时，N ＝13×13＋12＋4＝95<100，不满足题意；当t ＝5，k ＝29时，N ＝29×29＋12＋5＝440；当t >5时，N >440，故选A.创新点(二) 创新命题角度考迁移力量数列常与函数、方程、向量、不等式、解析几何等结合形成交汇创新题. [典例2] (1)对于函数y ＝f (x )，部分x 与y 的对应关系如下表：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y375961824数列{x n }满足：x 1＝1，且对于任意n ∈N *，点(x n ，x n ＋1)都在函数y ＝f (x )的图象上，则x 1＋x 2＋…＋x 2 018＝( )A ．7 564B ．7 549C ．7 546D ．7 539(2)设数列{a n }满足a 2＋a 4＝10，点P n (n ，a n )对任意的n ∈N *，都有向量P n P ―→ n ＋1＝(1,2)，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.[解析] (1)∵数列{x n }满足x 1＝1，且对任意n ∈N *，点(x n ，x n ＋1)都在函数y ＝f (x )的图象上，∴x n ＋1＝f (x n )， ∴由图表可得x 2＝f (x 1)＝3，x 3＝f (x 2)＝5，x 4＝f (x 3)＝6，x 5＝f (x 4)＝1，…， ∴数列{x n }是周期为4的周期数列，∴x 1＋x 2＋…＋x 2 018＝504(x 1＋x 2＋x 3＋x 4)＋x 1＋x 2＝504×15＋4＝7 564.故选A. (2)∵P n (n ，a n )，∴P n ＋1(n ＋1，a n ＋1)，∴P n P ―→ n ＋1＝(1，a n ＋1－a n )＝(1,2)，∴a n ＋1－a n ＝2，∴{a n }是公差d 为2的等差数列． 又由a 2＋a 4＝2a 1＋4d ＝2a 1＋4×2＝10，解得a 1＝1， ∴a n ＝2n －1， ∴S n ＝n ＋n n －12×2＝n 2.[答案] (1)A (2)n 2[点评] (1)第(1)题是函数与数列的交汇，第(2)题是平面对量与数列的交汇；(2)解答此类问题的一般思路为利用已知条件结合函数、平面对量的学问转化为数列的问题进行求解． [演练冲关]3．记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，若S 12－S 6S 6－7·S 6－S 3S 3－8＝0，且正整数m ，n 满足a 1a m a 2n ＝2a 35，则1m ＋8n的最小值是( )A.157 B.95 C.53D.75解析：选C ∵{a n }是等比数列，设{a n }的公比为q ， ∴S 12－S 6S 6＝q 6，S 6－S 3S 3＝q 3， ∴q 6－7q 3－8＝0，解得q ＝2(负值舍去)．又a 1a m a 2n ＝2a 35， ∴a 31·2m ＋2n －2＝2(a 1·24)3＝a 31·213，∴m ＋2n ＝15，∴1m ＋8n ＝115⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋8n (m ＋2n ) ＝115×⎝⎛⎭⎪⎫17＋2n m ＋8m n ≥115×⎝ ⎛⎭⎪⎫17＋22nm ×8m n ＝53， 当且仅当2n m ＝8mn，即m ＝3，n ＝6时等号成立，∴1m ＋8n 的最小值是53，故选C. 4．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝2(n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形的面积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 2 017的值为________．解析：当x ＝0时，y ＝2n ＋1，当y ＝0时，x ＝2n ，所以三角形的面积S n ＝12×2n ×2n ＋1＝1nn ＋1＝1n－。
高考数学(文)二轮复习(全国通用)教师用书 专题四至专题八 Word版含解析
第1讲 空间几何体中的计算高考定位 1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算；2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.真 题 感 悟1.(2016·全国Ⅰ卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A.17π B .18π C .20π D .28π解析由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心O 且互相垂直的三个平面)切掉左上角的18后得到的组合体，其表面积是球面面积的78和三个14圆面积之和，易得球的半径为2，则得S ＝78×4π×22＋3×14π×22＝17π，故选A. 答案 A2.(2016·全国Ⅱ卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A.20π B .24π C .28π D .32π解析 由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l ＝（23）2＋22＝4，所以圆锥的侧面积为S 锥侧＝12×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S 柱侧＝4π×4＝16π，所以组合体的表面积S ＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C. 答案 C3.(2016·全国Ⅲ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A.18＋365B.54＋18 5C.90D.81解析由题意知，几何体为平行六面体，边长分别为3，3，35，几何体的表面积S ＝3×6×2＋3×3×2＋3×35×2＝54＋18 5. 答案 B4.(2016·北京卷)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________.解析 由三视图知该四棱柱为直四棱柱， 底面积S ＝（1＋2）×12＝32，高h ＝1，所以四棱柱体积V ＝S ·h ＝32×1＝32. 答案32考 点 整 合1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系.2.几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正，高平齐，宽相等.3.空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式： ①S 柱侧＝ch (c 为底面周长，h 为高)； ②S 锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)；③S 台侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上下底面的周长，h ′为斜高)； ④S 球表＝4πR 2(R 为球的半径). (2)柱体、锥体和球的体积公式：①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；②V锥体＝13Sh(S为底面面积，h为高)；③V球＝43πR3.热点一以三视图为载体的几何体的表面积与体积的计算[微题型1]以三视图为载体求几何体的表面积【例1－1】(1)(2015·安徽卷)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A.1＋ 3B.1＋22C.2＋3D.2 2(2)(2016·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.解析(1)由几何体的三视图可知空间几何体的直观图如图所示.∴其表面积S 表＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋3，故选C. (2)由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成，上面正方体的边长为2 cm ，下面长方体是底面边长为4 cm ，高为2 cm ，其直观图如右图：其表面积S ＝6×22＋2×42＋4×2×4－2×22＝80(cm 2).体积V ＝2×2×2＋4×4×2＝40(cm 3). 答案 (1)C (2)80 40探究提高(1)若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理.[微题型2] 以三视图为载体求几何体的体积【例1－2】 (1)(2016·郑州模拟)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.（4＋π）33B.（4＋π）32C.（4＋π）36D.(4＋π) 3(2)(2016·衡水大联考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A.203 B.8 C.223 D.163解析(1)由该几何体的三视图，可知该几何体是由底面半径为1、高为3、母线长为2的半圆锥，和底面为等腰三角形(底边长为2、高为2)、高为3的三棱锥拼成的一个组合体.所以此组合体的体积为13×12×π×12×3＋13×12×2×2×3＝（4＋π）36.(2)由图知此几何体为边长为2的正方体裁去一个三棱锥. 所以此几何体的体积为2×2×2－13×12×1×2×2＝223.故选C. 答案 (1)C (2)C探究提高 解决此类问题需先由三视图确定几何体的结构特征，判断是否为组合体，由哪些简单几何体构成，并准确判断这些几何体之间的关系，将其切割为一些简单的几何体，再求出各个简单几何体的体积，最后求出组合体的体积. [微题型3] 与球有关的体积问题【例1－3】 (1)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A.36π B .64π C .144π D .256π(2)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此三棱锥的体积为( ) A.26 B.36 C.23 D.22解析 (1)如图，要使三棱锥O －ABC 即C －OAB 的体积最大，当且仅当点C 到平面OAB 的距离，即三棱锥C －OAB 底面OAB 上的高最大，其最大值为球O 的半径R ，则V O －ABC 最大为13×12S △OAB ×R ＝13×12×R 2×R ＝16R 3＝36，所以R ＝6，得S 球O ＝4πR 2＝4π×62＝144π，选C.(2)法一 (排除法)V ＜13×S △ABC ×2＝36，排除B 、C 、D ，选A. 法二 (直接法)：在Rt △ASC 中，AC ＝1，∠SAC ＝90°，SC ＝2，所以SA ＝4－1＝ 3.同理，SB ＝ 3.过A 点作SC 的垂线交SC 于D 点，连接DB ，因为△SAC ≌△SBC ，所以BD ⊥SC ，AD ＝BD ，故SC ⊥平面ABD ，且△ABD 为等腰三角形.因为∠ASC ＝30°，故AD ＝12SA ＝32，则△ABD 的面积为12×1×AD 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝24，则三棱锥S －ABC 的体积为13×24×2＝26.答案 (1)C (2)A探究提高涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 【训练1】 (1)(2016·成都诊断)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋2πB.13π6C.7π3D.5π2(2)(2016·西安模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.54B.60C.66D.72解析 (1)该几何体由一个圆柱和一个半圆锥组成，其体积为V ＝π×12×2＋12×13π×12×1＝2π＋π6＝136π.(2)还原为如图所示的直观图，S 表＝S △ABC ＋S △DEF ＋S 矩形ACFD ＋S 梯形ABED ＋S 梯形CBEF ＝12×3×4＋12×3×5＋5×3＋12×(2＋5)×4＋12×(2＋5)×5＝60. 答案 (1)B (2)B热点二 多面体的体积计算 [微题型1] 多面体体积的间接计算【例2－1】 (1)如图所示，ABCD 是正方形，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AC ，PC 的中点，P A ＝2，AB ＝1，则三棱锥C －PED 的体积为________.(2)如图，在棱长为6的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在C 1D 1与C 1B 1上，且C 1E ＝4，C 1F ＝3，连接EF ，FB ，DE ，BD 则几何体EFC 1－DBC 的体积为( ) A.66 B.68 C.70 D.72解析(1)∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A 是三棱锥P －CED 的高，P A ＝2. ∵ABCD 是正方形，E 是AC 的中点， ∴△CED 是等腰直角三角形.AB ＝1，故CE ＝ED ＝22，S △CED ＝12CE ·ED ＝12×22×22＝14.故V C －PED ＝V P －CED ＝13·S △CED ·P A ＝13×14×2＝16.(2)如图，连接DF ，DC 1，那么几何体EFC 1－DBC 被分割成三棱锥D －EFC 1及四棱锥D －CBFC 1，那么几何体EFC 1－BDC 的体积为V ＝13×12×3×4×6＋13×12×(3＋6)×6×6＝12＋54＝66.故所求几何体EFC 1－DBC 的体积为66. 答案 (1)16 (2)A探究提高(1)求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.(2)若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法求解.[微题型2] 多面体体积的直接计算【例2－2】(2016·武汉模拟)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点.(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C －A 1DE 的体积. (1)证明 连接AC 1交A 1C 于点F ， 则F 为AC 1中点.又D是AB中点，连接DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)解因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22得∠ACB＝90°，CD＝2，A1D＝6，DE＝3，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.所以VC－A1DE＝13×12×6×3×2＝1.探究提高有关多面体的体积计算首先要熟悉几何体的特征，其次运用好公式，作好辅助线等.【训练2】(2016·豫南九校联考)如图，四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，P A＝23，BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝π3.(1)求证：BD⊥平面P AC；(2)若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥P－BDF的体积.(1)证明因BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，又∠ACB＝∠ACD，故BD⊥AC.因为P A ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BD .从而BD 与平面P AC 内两条相交直线P A ，AC 都垂直，所以BD ⊥平面P AC . (2)解 三棱锥P －BCD 的底面BCD 的面积 S △BCD ＝12BC ·CD ·sin ∠BCD ＝12·2·2·sin 2π3＝ 3. 由P A ⊥底面ABCD ，得V P －BCD ＝13·S △BCD ·P A ＝13·3·23＝2.由PF ＝7FC ，得三棱锥F －BCD 的高为18P A ，故V F －BCD ＝13·S △BCD ·18P A ＝13·3·18·23＝14，所以V P －BDF ＝V P －BCD －V F －BCD ＝2－14＝74.1.求解几何体的表面积或体积(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算.(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解.(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用.(4)注意几何体的表面积与侧面积的区别，侧面积只是表面积的一部分，不包括底面积，而表面积包括底面积和侧面积.2.球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a 的正方体的外接球、内切球、棱切球的半径分别为32a ，a 2，22a .3.锥体体积公式为V ＝13Sh ，在求解锥体体积中，不能漏掉13.一、选择题1.(2015·全国Ⅱ卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15解析 如图，由题意知，该几何体是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被过三点A 、B 1、D 1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥A －A 1B 1D 1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为V A －A 1B 1D 1V B 1C 1D 1－ABCD ＝V A －A 1B 1D 1V A 1B 1C 1D 1－ABCD －V A －A 1B 1D 1＝13×12×12×113－13×12×12×1＝15.选D. 答案 D2.某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( ) A.90 cm 2 B.129 cm 2 C.132 cm 2 D.138 cm 2解析 该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别为6 cm ，4 cm ，3 cm ，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3 cm ，4 cm ，5 cm ，所以表面积S ＝(2×4×6＋2×3×4＋3×6＋3×3)＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×4＋3×5＋2×12×3×4＝138(cm 2)，故选D. 答案 D3.(2016·皖南八校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.13＋πB.23＋πC.13＋2πD.23＋2π解析 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12×2＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2×1＝π＋13，选A. 答案 A4.(2015·全国Ⅰ卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( ) A.1 B.2 C.4 D.8解析 由题意知，设几何体由一个半圆柱和一个半球拼接而成， ∴2r ·2r ＋2πr 2＋12πr 2＋12πr 2＋12·4πr 2＝4r 2＋5πr 2＝16＋20π，∴r ＝2. 答案 B5.三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，又SA ＝AB ＝BC ＝1，则球O 的表面积为( ) A.32π B.32π C.3π D .12π解析 如图，因为AB ⊥BC ，所以AC 是△ABC 所在截面圆的直径，又因为SA ⊥平面ABC ，所以△SAC 所在的截面圆是球的大圆， 所以SC 是球的一条直径. 由题设SA ＝AB ＝BC ＝1，由勾股定理可求得：AC ＝2，SC ＝3， 所以球的半径R ＝32，所以球的表面积为4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3π.答案 C 二、填空题6.一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.解析 由三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和圆柱组成，底面半径为1，圆锥的高为1，圆柱的高为2，所以该几何体的体积V ＝2×13π×12×1＋π×12×2＝83π(m 3).答案 8π37.(2016·四川卷)已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________.解析 由三视图可大致画出三棱锥的直观图如图，由正、俯视图可知，△ABC 为等腰三角形，且AC ＝23，AC 边上的高为1，∴S △ABC ＝12×23×1＝ 3.由侧视图可知：三棱锥的高h ＝1，∴V S －ABC ＝13S △ABC h ＝33.答案338.(2016·成都诊断)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P －A 1MN 的体积是________.解析由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱， ∵V P －A 1MN ＝V A 1－PMN ， 又∵AA 1∥平面PMN ， ∴V A 1－PMN ＝V A －PMN ，∴V A －PMN ＝13×12×1×12×12＝124，故V P －A 1MN ＝124. 答案124 三、解答题9.(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 解 (1)交线围成的正方形EHGF .如图：(2)如图，作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6.故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56，S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72. 因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱， 所以其体积的比值为97(79也正确).10.(2015·全国Ⅰ卷)如图，四边形ABCD 为菱形，G 是AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD . (1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E －ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积.(1)证明 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD .因为BE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以AC ⊥BE .因为BE ∩BD ＝B ，故AC ⊥平面BED . 又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED .(2)解 设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝32x ，GB＝GD ＝x2. 因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x .由BE ⊥平面ABCD ，BG ⊂平面ABCD 知BE ⊥BG ，故△EBG 为直角三角形，可得BE ＝22x .由已知得，三棱锥E －ACD 的体积V E －ACD ＝13×12AC ·GD ·BE ＝624x 3＝63.故x ＝2. 从而可得AE ＝EC ＝ED ＝ 6.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为 5.故三棱锥E－ACD的侧面积为3＋2 5.11.(2016·岳阳4月模拟)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥BB1.(1)求证：A1C⊥CC1；(2)若AB＝2，AC＝3，BC＝7，问AA1为何值时，三棱柱ABC－A1B1C1体积最大，并求此最大值.(1)证明由AA1⊥BC知BB1⊥BC，又BB1⊥A1B，且BC∩A1B＝B，故BB1⊥平面BCA1，又A1C⊂平面BCA1，即BB1⊥A1C，又BB1∥CC1，所以A1C⊥CC1.(2)解法一设AA1＝x，在Rt△A1BB1中，A1B＝A1B21－BB21＝4－x2.同理，A1C＝A1C21－CC21＝3－x2.在△A1BC中，cos ∠BA1C＝A1B2＋A1C2－BC2 2A1B·A1C＝－x2（4－x2）（3－x2），sin ∠BA1C＝12－7x2（4－x2）（3－x2），所以S△A1BC ＝12A1B·A1C·sin ∠BA1C＝12－7x22.从而三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S直·l＝S△A1BC ·AA1＝x12－7x22，因x12－7x2＝12x2－7x4＝－7（x2－67）2＋367，故当x＝67＝427，即AA1＝427时，体积V取到最大值377.法二 如图，过A 1作BC 的垂线，垂足为D ，连接AD . 由AA 1⊥BC ，A 1D ⊥BC ，AA 1∩A 1D ＝A 1，故BC ⊥平面AA 1D ，BC ⊥AD ，又∠BAC ＝90°，所以S △ABC ＝12AD ·BC ＝12AB ·AC ，所以AD ＝2217.设AA 1＝x ，在Rt △AA 1D 中，A 1D ＝AD 2－AA 21＝127－x 2， S △A 1BC ＝12A 1D ·BC ＝12－7x 22.从而三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S 直·l ＝S △A 1BC ·AA 1＝x 12－7x 22.因x 12－7x 2＝12x 2－7x 4＝－7（x 2－67）2＋367，故当x ＝67＝427， 即AA 1＝427时，体积V 取到最大值377.第2讲 空间中的平行与垂直的证明问题高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题；2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等.真 题 感 悟(2016·全国Ⅰ卷)如图，已知正三棱锥P －ABC 的侧面是直角三角形，P A ＝6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面P AB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G . (1)证明：G 是AB 的中点；(2)作出点E 在平面P AC 内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体P －DEF的体积.(1)证明 因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以AB ⊥PD . 因为D 在平面P AB 内的正投影为E ，所以AB ⊥DE .且PD ∩DE ＝D ， 所以AB ⊥平面PED ，又PG ⊂平面PED ，故AB ⊥PG . 又由已知可得，P A ＝PB ，从而G 是AB 的中点.(2)解 在平面P AB 内，过点E 作PB 的平行线交P A 于点F ，F 即为E 在平面P AC 内的正投影.理由如下：由已知可得PB ⊥P A ，PB ⊥PC ，又EF ∥PB ，所以EF ⊥P A ，EF ⊥PC ，P A ∩PC ＝P ， 因此EF ⊥平面P AC ，即点F 为E 在平面P AC 内的正投影.连接CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心.由(1)知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故CD ＝23CG . 由题设可得PC ⊥平面P AB ，DE ⊥平面P AB ， 所以DE ∥PC ，因此PE ＝23PG ，DE ＝13PC .由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且P A ＝6，可得DE ＝2，PE ＝2 2. 在等腰直角三角形EFP 中， 可得EF ＝PF ＝2.所以四面体P －DEF 的体积 V ＝13×12×2×2×2＝43.考 点 整 合1.直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α. (2)线面平行的性质定理：a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b .(3)面面平行的判定定理：a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝P ，a ∥α，b ∥α⇒α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b . 2.直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m ⊂α，n ⊂α，m ∩n ＝P ，l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α.(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.热点一空间平行、垂直关系的证明【例1】(2016·山东卷)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.(1)已知AB＝BC，AE＝EC.求证：AC⊥FB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.证明(1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF，连接DE.因为AE＝EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB.(2)设FC的中点为I，连接GI，HI.在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥DB，所以GI∥DB.在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC，因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.探究提高垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.【训练1】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥P A ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点.求证：(1)CE ∥平面P AD ； (2)平面EFG ⊥平面EMN .证明 (1)法一 如图1，取P A 的中点H ，连接EH ，DH . 又因为E 为PB 的中点，所以EH ∥AB ，且EH ＝12AB .图1又AB ∥CD ，CD ＝12AB ， 所以EH ∥CD ，且EH ＝CD .所以四边形DCEH 是平行四边形.所以CE ∥DH . 又DH ⊂平面P AD ， CE ⊄平面P AD ， 因此，CE ∥平面P AD .法二 如图2，连接CF .因为F 为AB 的中点，所以AF ＝12AB .图2又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD ，又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形.因此CF ∥AD . 又CF ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， 所以CF ∥平面P AD .因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥P A . 又EF ⊄平面P AD ，P A ⊂平面P AD ， 所以EF ∥平面P AD .因为CF ∩EF ＝F ，故平面CEF ∥平面P AD . 又CE ⊂平面CEF ，所以CE ∥平面P AD .(2)因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥P A . 又AB ⊥P A ，所以AB ⊥EF .同理可证AB ⊥FG . 又EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ， 因此AB ⊥平面EFG .又M ，N 分别为PD ，PC 的中点， 所以MN ∥DC ，又AB ∥DC ，所以MN ∥AB ， 所以MN ⊥平面EFG .又MN ⊂平面EMN ， 所以平面EFG ⊥平面EMN .热点二 利用平行、垂直关系判断点的存在性【例2】(2016·四川卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面P AD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面P AB ，并说明理由.(2)证明：平面P AB ⊥平面PBD .(1)解取棱AD 的中点M (M ∈平面P AD )，点M 即为所求的一个点，理由如下：因为AD ∥BC ，BC ＝12AD .所以BC ∥AM ，且BC ＝AM . 所以四边形AMCB 是平行四边形，从而CM ∥AB . 又AB ⊂平面P AB .CM ⊄平面P AB . 所以CM ∥平面P AB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)证明 由已知，P A ⊥AB ，P A ⊥CD .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交， 所以P A ⊥平面ABCD .从而P A ⊥BD .连接BM ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ， 所以BC ∥MD ，且BC ＝MD . 所以四边形BCDM 是平行四边形， 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB . 又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面P AB . 又BD ⊂平面PBD ， 所以平面P AB ⊥平面PBD .探究提高 探求点的位置常常是线段的中点、三等分点等，关键是通过垂直、平行关系寻找线线平行.【训练2】 如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°. (1)求三棱锥P －ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PMMC 的值.(1)解 由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P －ABC 的高，又P A ＝1.所以三棱锥P －ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝36.(2)证明 在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N ，在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连接BM .由P A ⊥平面ABC 知P A ⊥AC ， 所以MN ⊥AC .由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN ， 又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM .在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32，由MN ∥P A ，得PM MC ＝AN NC ＝13.热点三 平面图形翻折中的平行、垂直关系【例3】(2016·全国Ⅱ卷)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H，将△DEF 沿EF折到△D′EF的位置.(1)证明：AC⊥HD′；(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝54，OD′＝22，求五棱锥D′－ABCFE的体积.(1)证明由已知得AC⊥BD，AD＝CD，又由AE＝CF得AEAD＝CFCD，故AC∥EF，由此得EF⊥HD，折后EF与HD保持垂直关系，即EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.(2)解由EF∥AC得OHDO＝AEAD＝14.由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝AB2－AO2＝4，所以OH＝1，D′H＝DH＝3，于是OD′2＋OH2＝(22)2＋12＝9＝D′H2，故OD′⊥OH.由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′，又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.又由EFAC＝DHDO得EF＝92.五边形ABCFE的面积S＝12×6×8－12×92×3＝694.所以五棱锥D′－ABCFE的体积V＝13×694×22＝2322.探究提高(1)解决折叠问题的关键是搞清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口.(2)把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决.【训练3】(2016·江西八校联考)如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝2 2.(1)证明：DE ∥平面BCF ； (2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F －DEG 的体积V F －DEG . (1)证明 在等边△ABC 中，AD ＝AE ，∴AD DB ＝AEEC 在折叠后的三棱锥A －BCF 中也成立. ∴DE ∥BC ，又DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， ∴DE ∥平面BCF .(2)证明 在等边△ABC 中，F 是BC 的中点， ∴AF ⊥CF .∵在三棱锥A －BCF 中，BC ＝22，BF ＝CF ＝12， ∴BC 2＝BF 2＋CF 2， ∴CF ⊥BF . 又BF ∩AF ＝F ， ∴CF ⊥平面ABF .(3)解 由(1)、(2)可知GE ⊥平面DFG ，即GE 为三棱锥E －DFG 的高. V F －DEG ＝V E －DFG ＝13×12×DG ×FG ×GE ＝13×12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×32×13＝3324.1.空间中点、线、面的位置关系的判定(1)可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例.(2)可以借助长方体，在理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义.2.垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换：三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l⊥α，a⊂α⇒l⊥a.3.在应用直线和平面平行的性质定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面就平行于这个平面内的所有直线”的错误.4.解决平面图形的翻折问题，关键是抓住平面图形翻折前后的不变“性”与“量”，即两条直线的平行与垂直关系以及相关线段的长度、角度等.一、选择题1.(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n解析由已知，α∩β＝l，∴l⊂β，又∵n⊥β，∴n⊥l，C正确.故选C.答案 C2.(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A. 答案 A3.若a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的为()A.若a∥α，b∥α，则a∥bB.若α∥a，β∥a，则α∥βC.若a⊥α，b⊥α，则a∥bD.若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ解析对于A，空间中平行于同一个平面的两直线可能异面、相交或平行，故A错误；对于B，空间中平行于同一条直线的两面平行或相交，故B错误.对于C，空间中垂直于同一个平面的两条直线平行，故C正确；对于D，空间中垂直于同一个平面的两平面相交或平行，故D错误.答案 C4.已知α，β是两个不同的平面，有下列三个条件：①存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β；②存在一条直线a，a⊂α，a⊥β；③存在两条垂直的直线a，b，a⊥β，b⊥α.其中，所有能成为“α⊥β”的充要条件的序号是()A.①B.②C.③D.①③解析对于①，存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β，则α⊥β，反之也成立，即“存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β”是“α⊥β”的充要条件，所以①对，可排除B、C.对于③，存在两条垂直的直线a，b，则直线a，b所成的角为90°，因为a⊥β，b⊥α，所以α，β所成的角为90°，即α⊥β，反之也成立，即“存在两条垂直的直线a，b，a⊥β，b⊥α”是“α⊥β”的充要条件，所以③对，可排除A，选D.答案 D5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC解析∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD，所以CD⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB，AD∩CD＝D，所以AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC，故选D.答案 D二、填空题6.如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线P A垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点.有以下四个命题：①P A∥平面MOB；②MO∥平面P AC；③OC⊥平面P AC；④平面P AC⊥平面PBC.其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号).解析①错误，P A⊂平面MOB；②正确；③错误，否则，有OC⊥AC，这与BC⊥AC 矛盾；④正确，因为BC⊥平面P AC.答案②④7.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，AC∩EF＝G，现在沿AE、EF、F A把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，则在四面体P－AEF中必有________(填序号).①AP⊥△PEF所在平面；②AG⊥△PEF所在平面；③EP⊥△AEF所在平面；④PG⊥△AEF所在平面.解析 在折叠过程中，AB ⊥BE ，AD ⊥DF 保持不变.∴⎭⎪⎬⎪⎫AP ⊥PEAP ⊥PF PE ∩PF ＝P ⇒AP ⊥面PEF .答案 ①8.(2016·东北三校联考)点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB ＝BC ＝2，AC ＝2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为________. 解析如图所示，O 为球的球心，由AB ＝BC ＝2，AC ＝2可知∠ABC ＝π2，即△ABC 所在的小圆的圆心O 1为AC 的中点，故AO 1＝1，S △ABC ＝1，当D 为O 1O 的延长线与球面的交点时，D 到平面ABC 的距离最大，四面体ABCD 的体积最大.连接OA ，设球的半径为R ，则DO 1＝R ＋R 2－1，此时V D －ABC ＝13×S △ABC ×DO 1＝13(R ＋R 2－1)＝23，解得R ＝54，故这个球的表面积为4π⎝ ⎛⎭⎪⎫542＝25π4.答案25π4 三、解答题9.(2016·北京卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，DC ⊥AC . (1)求证：DC ⊥平面P AC ； (2)求证：平面P AB ⊥平面P AC ；(3)设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得P A ∥平面CEF ？说明理由.(1)证明 ∵PC ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PC⊥DC.又AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC⊂平面P AC，AC⊂平面P AC，∴CD⊥平面P AC.(2)证明∵AB∥CD，CD⊥平面P AC，∴AB⊥平面P AC，AB⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面P AC.(3)解棱PB上存在点F，使得P A∥平面CEF.证明如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又因为E为AB的中点，∴EF为△P AB的中位线，∴EF∥P A.又P A⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴P A∥平面CEF.10.(2015·山东卷)如图，三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点.(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.证明(1)法一连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形.则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM∥BD，又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.法二在三棱台DEF－ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形HBEF为平行四边形，可得BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.又因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.(2)连接HE，GE，因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.11.(2016·南昌5月模拟)如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.(1)求证：AE⊥BE；(2)设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.(1)证明∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，。
北师大文科数学高考总复习教师用书：选修 含答案
第1讲绝对值不等式最新考纲 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.知识梳理1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0 |x|<a (－a，a)∅∅|x|>a (－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．2．含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.()(2)不等式|x －1|＋|x ＋2|＜2的解集为∅.( )(3)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a ＞b ＞0时等号成立．( ) (4)对|a |－|b |≤|a －b |当且仅当|a |≥|b |时等号成立．( ) (5)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ 2．若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4 D ．－4或8 解析 分类讨论：当a ≤2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1－a ，x <－1，－x ＋1－a ，－1≤x ≤－a2，3x ＋1＋a ，x >－a2，显然，x ＝－a 2时，f (x )min ＝a2＋1－a ＝3，∴a ＝－4，当a >2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1－a ，x <－a 2，x －1＋a ，－a 2≤x ≤－1，3x ＋1＋a ，x >－1，显然x ＝－a 2时，f (x )min ＝－a2－1＋a ＝3，∴a ＝8.答案 D3．(2015·山东卷)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集为________． 解析 ①当x ≤1时，原不等式可化为1－x －(5－x )<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x ≤1.②当1<x <5时，原不等式可化为x －1－(5－x )<2， ∴x <4，∴1<x <4，③当x ≥5时，原不等式可化为x －1－(x －5)<2，该不等式不成立． 综上，原不等式的解集为(－∞，4)． 答案 (－∞，4)4．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________. 解析 ∵|kx －4|≤2，∴－2≤kx －4≤2，∴2≤kx ≤6. ∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2. 答案 25．若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为________． 解析 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x ＜－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12，当x ＜－2时，y ＝－3x －1＞5； 当－2≤x ＜12时，5≥y ＝－x ＋3＞52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12考点一 含绝对值不等式的解法 【例1】 解不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5.解 法一 如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A ，B ，则不等式的解就是数轴上到A ，B 两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．显然，区间[－2,1]不是不等式的解集．把A 向左移动一个单位到点A 1，此时A 1A ＋A 1B ＝1＋4＝5.把点B 向右移动一个单位到点B 1，此时B 1A ＋B 1B ＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．法二 原不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5⇔⎩⎨⎧x ≤－2，－(x －1)－(x ＋2)≥5或⎩⎨⎧－2＜x ＜1，－(x －1)＋x ＋2≥5 或⎩⎨⎧x ≥1，x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2或x ≤－3， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．法三 将原不等式转化为|x －1|＋|x ＋2|－5≥0. 令f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|－5，则f (x )＝⎩⎨⎧－2x －6，x ≤－2，－2，－2＜x ＜1，2x －4，x ≥1.作出函数的图像，如图所示．由图像可知，当x ∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y ≥0， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞).规律方法 形如|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a ]，(a ，b ]，(b ，＋∞)(此处设a ＜b )三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x －a |＋|x －b |＞c (c ＞0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体；(3)图像法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图像，结合图像求解． 【训练1】 (2016·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)在图中画出y ＝f (x )的图像； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．解(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤ 32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图像如图所示．(2)由f (x )的表达式及图像，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <13或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧xx <13或}1<x <3或x >5.考点二 含参数的绝对值不等式问题【例2】 (1)对任意x ，y ∈R ，求|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值； (2)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，求|x －2y ＋1|的最大值． 解 (1)∵x ，y ∈R ，∴|x －1|＋|x |≥|(x －1)－x |＝1， ∴|y －1|＋|y ＋1|≥|(y －1)－(y ＋1)|＝2， ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥1＋2＝3. ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.(2)|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|≤|x －1|＋|2(y －2)＋2|≤1＋2|y －2|＋2≤5，即|x －2y ＋1|的最大值为5.规律方法 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥|a |－|b |；(3)利用零点分区间法．【训练2】 (1)若关于x 的不等式|2 014－x |＋|2 015－x |≤d 有解，求实数d 的取值范围；(2)不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥|a －2|＋sin y 对一切非零实数x ，y 均成立，求实数a 的取值范围．解 (1)∵|2 014－x |＋|2 015－x |≥|2 014－x －2 015＋x |＝1， ∴关于x 的不等式|2 014－x |＋|2 015－x |≤d 有解时，d ≥1. (2)∵x ＋1x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ∈[2，＋∞)，其最小值为2. 又∵sin y 的最大值为1，故不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥|a －2|＋sin y 恒成立时，有|a －2|≤1，解得a ∈[1,3]. 考点三 含绝对值的不等式的应用【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}． (2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ，当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解． 当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以实数a 的取值范围是[2，＋∞)．规律方法 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．【训练3】 (2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0， 解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2. 所以f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎨⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a＋1,0)，C (a ，a ＋1)， △ABC 的面积为23(a ＋1)2. 由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2. 所以实数a 的取值范围为(2，＋∞)．[思想方法]1．绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法． 2．不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决． [易错防范]1．可以利用绝对值三角不等式定理|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |求函数最值，要注意其中等号成立的条件．2．掌握分类讨论的标准，做到不重不漏．(建议用时：60分钟)1．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.(1)解不等式f(x)＞2；(2)求函数y＝f(x)的最小值．解(1)法一令2x＋1＝0，x－4＝0分别得x＝－12，x＝4. 原不等式可化为：⎩⎪⎨⎪⎧x＜－12，－x－5＞2或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x＜4，3x－3＞2或⎩⎨⎧x≥4，x＋5＞2.即⎩⎪⎨⎪⎧x＜－12，x＜－7或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x＜4，x＞53或⎩⎨⎧x≥4，x＞－3，∴x＜－7或x＞53.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x⎪⎪⎪x＜－7或x＞53.法二f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x－5 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x＜－123x－3 ⎝⎛⎭⎪⎫－12≤x＜4x＋5 (x≥4)画出f(x)的图像，如图所示．求得y＝2与f(x)图像的交点为(－7,2)，⎝⎛⎭⎪⎫53，2.由图像知f(x)＞2的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x⎪⎪⎪x＜－7或x＞53.(2)由(1)的法二图像知：当x＝－12时，知：f (x )min ＝－92.2．(2017·长沙一模)设α，β，γ均为实数．(1)证明：|cos(α＋β)|≤|cos α|＋|sin β|，|sin(α＋β)|≤|cos α|＋|cos β|； (2)若α＋β＋γ＝0，证明：|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1. 证明 (1)|cos(α＋β)|＝|cos αcos β－sin αsin β|≤ |cos αcos β|＋|sin αsin β|≤|cos α|＋|sin β|； |sin(α＋β)|＝|sin αcos β＋cos αsin β|≤|sin αcos β|＋ |cos αsin β|≤|cos α|＋|cos β|.(2)由(1)知，|cos[α＋(β＋γ)]|≤|cos α|＋|sin(β＋γ)|≤|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|， 而α＋β＋γ＝0，故|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1. 3．(2016·镇江模拟)已知a 和b 是任意非零实数． (1)求|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值；(2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，求实数x 的取值范围． 解 (1)∵|2a ＋b |＋(2a －b )|a |≥|2a ＋b ＋2a －b ||a |＝|4a ||a |＝4，∴|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为4.(2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，即|2＋x |＋|2－x |≤|2a ＋b |＋|2a －b ||a |恒成立，故|2＋x |＋|2－x |≤⎝⎛⎭⎪⎫|2a ＋b |＋|2a －b ||a |min . 由(1)可知，|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为4.∴x 的取值范围即为不等式|2＋x |＋|2－x |≤4的解集． 解不等式得－2≤x ≤2.故实数x 的取值范围为[－2,2]．4．(2017·广州二测)已知函数f (x )＝log 2(|x ＋1|＋|x －2|－a )． (1)当a ＝7时，求函数f (x )的定义域；(2)若关于x 的不等式f (x )≥3的解集是R ，求实数a 的最大值． 解 (1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|＞7，①当x ＞2时，得x ＋1＋x －2＞7，解得x ＞4. ②当－1≤x ≤2时，得x ＋1＋2－x ＞7，无解． ③当x ＜－1时，得－x －1－x ＋2＞7，解得x ＜－3. ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(4，＋∞)． (2)不等式f (x )≥3，即|x ＋1|＋|x －2|≥a ＋8， ∵当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 又不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a ＋8的解集是R ， ∴a ＋8≤3，即a ≤－5， ∴a 的最大值为－5.5．设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N . (1)求M ；(2)当x ∈(M ∩N )时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.(1)解 f (x )＝错误!当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1， 得x ≤43，故1≤x ≤43；当x <1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x <1. 所以f (x )≤1的解集为M ＝{x |0≤x ≤43}．(2)证明 由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得16⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142≤4，解得－14≤x ≤34.因此N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－14≤x ≤34，故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0≤x ≤34.当x ∈(M ∩N )时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝x ·f (x )＝x (1－x )＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≤14.6．(2017·郑州模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2. (1)解不等式：|g (x )|＜5；(2)若对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围．解(1)由||x－1|＋2|＜5，得－5＜|x－1|＋2＜5，所以－7＜|x－1|＜3，解不等式得－2＜x＜4，所以原不等式的解集是{x|－2＜x＜4}．(2)因为对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以{y|y＝f(x)}⊆{y|y＝g(x)}，又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|2x－a－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2，所以|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5，所以实数a的取值范围是{a|a≥－1或a≤－5}.第2讲不等式的证明最新考纲通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．知识梳理1．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．(1)比较法①求差比较法知道a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此要证明a>b，只要证明a－b>0即可，这种方法称为求差比较法．②求商比较法由a>b>0⇔ab>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时要证明a>b，只要证明ab>1即可，这种方法称为求商比较法.(2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式相反的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立．2．几个常用基本不等式(1)柯西不等式：①柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(当且仅当ad＝bc时，等号成立)．②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．③柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(x2－x3)2＋(y2－y3)2≥(x1－x3)2＋(y1－y3)2.④柯西不等式的一般形式：设a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2，当且仅当b i＝0(i ＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1,2，…，n)时，等号成立．(2)算术—几何平均不等式若a1，a2，…，a n为正数，则a1＋a2＋…＋a nn≥na1a2…a n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n时，等号成立．诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)用反证法证明命题“a，b，c全为0”时假设为“a，b，c全不为0”．()(2)若实数x，y适合不等式xy＞1，x＋y＞－2，则x＞0，y＞0.()答案(1)×(2)√2．(2017·泰安模拟)若a＞b＞1，x＝a＋1a，y＝b＋1b，则x与y的大小关系是()A ．x ＞yB ．x ＜yC ．x ≥yD ．x ≤y解析 x －y ＝a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －b ＋b －a ab ＝(a －b )(ab －1)ab .由a ＞b ＞1得ab ＞1，a－b ＞0，所以(a －b )(ab －1)ab ＞0，即x －y ＞0，所以x ＞y .答案 A3．(2017·聊城模拟)下列四个不等式：①log x 10＋lg x ≥2(x ＞1)；②|a －b |＜|a |＋|b |；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)；④|x －1|＋|x －2|≥1，其中恒成立的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析 log x 10＋lg x ＝1lg x ＋lg x ≥2(x ＞1)，①正确． ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |，②不正确； 因为ab ≠0，b a 与ab 同号，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ≥2，③正确；由|x －1|＋|x －2|的几何意义知， |x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④也正确， 综上①③④正确． 答案 C4．设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________． 解析 由柯西不等式得(ma ＋nb )2≤(m 2＋n 2)(a 2＋b 2)，即m 2＋n 2≥5，∴m 2＋n 2≥5，∴所求最小值为 5. 答案55．(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集．(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.(1)解 f (x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1；当－12<x <12时，f (x )<2成立；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1. 所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明 由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1， 从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)<0， 即(a ＋b )2<(1＋ab )2，因此|a ＋b |<|1＋ab |.考点一 用分析法证明不等式 【例1】 设a ，b ，c ＞0，且ab ＋bc ＋ca ＝1. 求证：(1)a ＋b ＋c ≥3； (2)a bc ＋b ac ＋cab ≥ 3(a ＋b ＋c )．证明 (1)要证a ＋b ＋c ≥ 3， 由于a ，b ，c ＞0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3， 而ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )． 即证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)证得． ∴原不等式成立．(2)a bc ＋b ac ＋c ab ＝a ＋b ＋c abc .由于(1)中已证a ＋b ＋c ≥ 3. 因此要证原不等式成立， 只需证明1abc≥ a ＋b ＋c . 即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1， 即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca .规律方法 当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆． 【训练1】 (2016·宜昌一中月考)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)解不等式f (x －1)＋f (x ＋3)≥6；(2)若|a |＜1，|b |＜1，且a ≠0，求证：f (ab )＞|a |f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a .解 (1)由题意，知原不等式等价为|x －2|＋|x ＋2|≥6， 令g (x )＝|x －2|＋|x ＋2|，则g (x )＝⎩⎨⎧－2x ，x ≤－2，4，－2＜x ＜2，2x ，x ≥2.当x ≤－2时，由－2x ≥6，得x ≤－3； 当－2＜x ＜2时，4≥6不成立，此时无解； 当x ≥2时，由2x ≥6，得x ≥3.综上，不等式的解集是(－∞，－3]∪[3，＋∞)． (2)证明 要证f (ab )＞|a |f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，只需证|ab －1|＞|b －a |， 只需证(ab －1)2＞(b －a )2.而(ab －1)2－(b －a )2＝a 2b 2－a 2－b 2＋1＝(a 2－1)·(b 2－1)＞0，从而原不等式成立． 考点二 用综合法证明不等式【例2】 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 证明 (1)∵a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b a ＋a ＋b b ＝2⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋4≥4 b a ×ab ＋4＝8.∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． (2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1a ＋1b ＋1ab ＋1，由(1)知1a ＋1b ＋1ab ≥8. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 规律方法 (1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键． (2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．【训练2】 (2017·重庆适应性测试)设a ，b ，c ∈R ＋且a ＋b ＋c ＝1. (1)求证：2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12； (2)求证：a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a ≥2.证明 (1)因为1＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≥4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2，所以2ab ＋bc ＋ca ＋c 22＝12(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)≤12. (2)因为a 2＋c 2b ≥2ac b ，b 2＋a 2c ≥2ab c ，c 2＋b 2a ≥2bca ，所以a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫ac b ＋ab c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ab c ＋bc a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ac b ＋bc a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋c a＋c ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a ≥2a ＋2b ＋2c ＝2. 考点三 柯西不等式的应用 【例3】 已知x ，y ，z 均为实数．(1)若x ＋y ＋z ＝1，求证：3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤33； (2)若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．(1)证明 因为(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)2≤(12＋12＋12)(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)＝27.所以3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤3 3. 当且仅当x ＝23，y ＝13，z ＝0时取等号．(2)解 因为6＝x ＋2y ＋3z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋9， 所以x 2＋y 2＋z 2≥187，当且仅当x ＝y 2＝z 3即x ＝37，y ＝67，z ＝97时， x 2＋y 2＋z 2有最小值187.规律方法 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边常数且应注意等号成立的条件.【训练3】 已知大于1的正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝3 3.求证：x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y≥32.证明 由柯西不等式及题意得，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ·[(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )]≥(x ＋y ＋z )2＝27.又(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )＝6(x＋y＋z)＝183，∴x2x＋2y＋3z ＋y2y＋2z＋3x＋z2z＋2x＋3y≥27183＝32，当且仅当x＝y＝z＝3时，等号成立．[思想方法]证明不等式的方法和技巧：(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等．(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的在本思路是去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．[易错防范]1．在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要求分析每次使用时等号是否成立．2．柯西不等式使用的关键是出现其结构形式，也要注意等号成立的条件.(建议用时：60分钟)1．设不等式|2x－1|＜1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．解(1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1.所以M＝{x|0＜x＜1}．(2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1,0＜b＜1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0.故ab＋1＞a＋b.2．已知a ，b ，c 均为正实数，且互不相等，且abc ＝1，求证：a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c .证明 法一 ∵a ，b ，c 均为正实数，且互不相等，且abc ＝1，∴a ＋b ＋c ＝1bc ＋1ca ＋1ab ＜1b ＋1c 2＋1c ＋1a 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c .∴a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c . 法二 ∵1a ＋1b ≥21ab ＝2c ；1b ＋1c ≥21bc ＝2a ；1c ＋1a ≥21ac ＝2b .∴以上三式相加，得1a ＋1b ＋1c ≥ a ＋b ＋c . 又∵a ，b ，c 互不相等，∴1a ＋1b ＋1c ＞a ＋b ＋c . 法三 ∵a ，b ，c 是不等正数，且abc ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ca ＋ab ＝bc ＋ca 2＋ca ＋ab 2＋ab ＋bc 2＞abc 2＋a 2bc ＋ab 2c ＝a ＋b ＋c .∴a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c .3．(2017·衡阳二联)已知函数f (x )＝|x －3|.(1)若不等式f (x －1)＋f (x )＜a 的解集为空集，求实数a 的取值范围； (2)若|a |＜1，|b |＜3，且a ≠0，判断f (ab )|a |与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 的大小，并说明理由．解 (1)因为f (x －1)＋f (x )＝|x －4|＋|x －3|≥|x －4＋3－x |＝1， 不等式f (x －1)＋f (x )＜a 的解集为空集， 则1≥a 即可，所以实数a 的取值范围是(－∞，1]． (2)f (ab )|a |＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a .证明：要证f (ab )|a |＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，只需证|ab －3|＞|b －3a |， 即证(ab －3)2＞(b －3a )2，又(ab －3)2－(b －3a )2＝a 2b 2－9a 2－b 2＋9＝(a 2－1)(b 2－9)． 因为|a |＜1，|b |＜3，所以(ab －3)2＞(b －3a )2成立， 所以原不等式成立．4．(2015·陕西卷)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}． (1)求实数a ，b 的值； (2)求at ＋12＋bt 的最大值．解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ， 则⎩⎨⎧ －b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[(3)2＋12][((4－t ))2＋(t )2] ＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t )max ＝4.5．(2015·全国Ⅱ卷)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d .证明： (1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd 得(a ＋b )2＞(c ＋d )2.因此a ＋b ＞c ＋d . (2)①若|a －b |＜|c －d |， 则(a －b )2＜(c －d )2,即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd . 由(1)得a ＋b ＞c ＋d .②若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |＜|c －d |. 综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．6．已知a ，b ，c 均为正实数．求证：(1)(a ＋b )(ab ＋c 2)≥4abc ；(2)若a ＋b ＋c ＝3，则a ＋1＋b ＋1＋c ＋1≤3 2.证明 (1)要证(a ＋b )(ab ＋c 2)≥4abc ，可证a 2b ＋ac 2＋ab 2＋bc 2－4abc ≥0，需证b (a 2＋c 2－2ac )＋a (c 2＋b 2－2bc )≥0，即证b (a －c )2＋a (c －b )2≥0，当且仅当a ＝b ＝c 时，取等号，由已知，上式显然成立，故不等式(a ＋b )(ab ＋c 2)≥4abc 成立．(2)因为a ，b ，c 均为正实数，由不等式的性质知a ＋1·2≤a ＋1＋22＝a ＋32，当且仅当a ＋1＝2时，取等号，b ＋1·2≤b ＋1＋22＝b ＋32，当且仅当b ＋1＝2时，取等号，c ＋1·2≤c ＋1＋22＝c ＋32，当且仅当c ＋1＝2时，取等号， 以上三式相加，得2(a ＋1＋b ＋1＋c ＋1)≤a ＋b ＋c ＋92＝6， 所以a ＋1＋b ＋1＋c ＋1≤32，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，取等号．。
2019年高考数学(文科)二轮专题辅导教师用书：第一部分 第三层级 难点、自选板块
难点自选专题一“选填”压轴小题命题的4大区域[全国卷3年考情分析]命题区域(一) 函数与导数本类压轴题常以分段函数、抽象函数等为载体，考查函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等．要注意函数y ＝f (x )与方程f (x )＝0以及不等式f (x )>0的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题目的关键．解决该类问题的途径往往是构造函数，进而研究函数的性质，利用函数性质去求解问题是常用方法．其间要注意导数的应用：利用导数研究可导函数的单调性，求可导函数的极值和最值，以及利用导数解决实际应用题是导数在中学数学中的主要应用．分段函数问题[例1] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a ，若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．[技法演示]法一：分段处理，分类讨论记g (x )＝x 3－3x ，h (x )＝－2x ，同时作出函数g (x )与h (x)的图象，如图所示，则h(x )在(－∞，＋∞)上单调递减，下面分析g (x )的单调性．因为g ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x 变化时，g ′(x )和g (x )变化如下：x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞)g ′(x ) ＋0 －0 ＋ g (x )极大值极小值下面分析f (x )的单调性，注意到f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，x ≤a ，h (x )，x >a ，结合前面g (x )与h (x )的单调性，我们可以按下述三种情况讨论：①若a <－1，则f (x )在(－∞，a ]上的最大值为f (a )，由g (x )在(－∞，－1)上单调递增，f (a )＝g (a )<g (－1)＝2，而f (x )在(a ，＋∞)上无最大值，取值范围是(－∞，－2a )，由于－2a >2，此时函数f (x )无最大值，符合题意．②若－1≤a <1，则f (x )在(－∞，a ]上的最大值为f (－1)＝2，且当x >a 时，f (x )＝h (x )<h (a ) ≤h (－1)＝2，则当x ＝－1时，f (x )取得最大值，不符合题意．③若a ≥1，由g (x )的单调性可得，f (x )在(－∞，a ]上的最大值为f (－1)或f (a )，令M ＝max{f (－1)，f (a )}，则有M ≥f (－1)＝2，而当x >a 时，f (x )＝h (x )<h (a )≤h (1)＝－2，则f (x )有最大值M ，不符合题意．综上，若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是(－∞，－1)． 法二：整体考虑，正难则反记g (x )＝x 3－3x ，h (x )＝－2x ，由解法一知h (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且当x 变化时，g ′(x )和g (x )变化如下：x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞)g ′(x ) ＋0 －0 ＋g (x )极大值极小值由于h (x )在(a ，＋∞)上单调递减，无最大值，若f (x )有最大值，也只可能在x ＝－1或x ＝a 处取得，同时作出函数g (x )与h (x )的图象，如图所示，容易求得它们的交点分别是(－1,2)，(0,0)和(1，－2)．注意到g (－1)＝h (－1)＝2，由图象可见，若f (x )在x ＝－1处取得最大值，实数a 的取值范围是 [－1,2]，若f (x )在x ＝a 处取得最大值，实数a 的取值范围是[2，＋∞)．综上，若f (x )有最大值，则实数a 的取值范围是[－1，＋∞)，从而，若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是(－∞，－1)．法三：平移直线x ＝a ，直接秒杀根据题意，将函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a 采用分离的方式，记g (x )＝x 3－3x ，h (x )＝－2x ，同时在同一平面直角坐标系中作出函数g (x )与h (x )的图象，将直线x ＝a 在图象中沿着x 轴左右平移，观察直线x ＝a 与函数g (x )，h (x )的图象的交点(曲线点实，直线点虚)变化，如图所示，当直线x ＝a 在直线x ＝－1左边时满足条件“f (x )无最大值”，所以实数a 的取值范围是(－∞，－1)．[答案] (－∞，－1)[系统归纳]“三招”破解分段函数最值问题[应用体验]1．若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4D ．－4或8解析：选D 当a ≥2时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－1，x ＋a －1，－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1，x <－a 2，如图1可知，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a2－1＝3，可得a ＝8； 当a <2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－a2，－x －a ＋1，－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1，x <－1，如图2可知，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a2＋1＝3，可得a ＝－4.函数的含参零点问题[例2] 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围为( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，－2) C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)[技法演示]法一：分类讨论，各个击破分类讨论就是将数学问题进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究，最后整合获解，其基本思路是化整为零，各个击破．由已知得a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a . 当a >0时，x ∈(－∞，0)，f ′(x )>0； x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a ，f ′(x )<0；x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞，f ′(x )>0. 所以函数f (x )在(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫0，2a 上单调递减，且f (0)＝1>0， 故f (x )有小于零的零点，不符合题意． 当a <0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，2a ，f ′(x )<0； x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，0，f ′(x )>0； x ∈(0，＋∞)，f ′(x )<0.所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫2a ，0上单调递增， 所以要使f (x )有唯一的零点x 0，且x 0>0， 只需f ⎝⎛⎭⎫2a >0，即a 2>4，解得a <－2. 法二：数形结合，曲曲与共函数f (x )的零点，亦即函数f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标，是数形结合思想应用的联结点，因此用图象来揭开函数零点的神秘面纱成为我们解决函数零点问题常用而最有效的策略．令f (x )＝0，得ax 3＝3x 2－1.问题转化为g (x )＝ax 3的图象与h (x )＝3x 2－1的图象存在唯一的交点，且交点横坐标大于零．当a ＝0时，函数g (x )的图象与h (x )的图象存在两个的交点； 当a >0时，如图(1)所示，不合题意；当a <0时，由图(2)知，可先求出函数g (x )＝ax 3与h (x )＝3x 2－1的图象有公切线时a 的值．由g ′(x )＝h ′(x )，g (x )＝h (x )，得a ＝－2.由图象可知当a <－2时，满足题意．法三：参变分离，演绎高效参变分离法，亦即将原函数中的参变量进行分离，转化成求函数值域问题加以解决．巧用参数分离求解零点问题，既可以回避对参数取值的分类讨论，又形象直观，一目了然．易知x≠0，令f(x)＝0，则a＝3x－1x3，记g(x)＝3x－1x3，g′(x)＝－3x2＋3x4＝－3(x2－1)x4，可知g(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1,0)和(0,1)上单调递增，且g(－1)＝－2，画出函数大致图象如图所示，平移直线y＝a，结合图象，可知a<－2.[答案] B[系统归纳]“三招”破解含参零点问题[应用体验]2．已知函数f(x)＝|x2＋3x|(x∈R)．若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．解析：法一：画出函数f (x )＝|x 2＋3x |的大致图象，如图，令g (x )＝a |x －1|，则函数f (x )的图象与函数g (x )的图象有且仅有4个不同的交点，显然a >0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a (1－x )消去y ，得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0， 由Δ>0，解得a <1或a >9；联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3x ，y ＝a (1－x )消去y ，得x 2＋(3＋a )x －a ＝0，由Δ>0，解得a >－1或a <－9.综上，实数a 的取值范围为(0,1)∪(9，＋∞)． 法二：易知a >0，且x ＝1不是方程的根．故有a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋3x x －1＝x －1＋4x －1＋5. 设h (x )＝⎪⎪⎪⎪x －1＋4x －1＋5，则问题等价于曲线y ＝h (x )与直线y ＝a 有4个不同交点．作出图象如图所示． 显然y ＝9，y ＝1是y ＝h (x )的两条切线，此时都只有3个交点． 于是，结合图形知，当0<a <1或a >9时， 直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )均有4个交点． 所以a 的取值范围为(0,1)∪(9，＋∞)． 答案：(0,1)∪(9，＋∞)抽象函数问题[例3] 设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)[技法演示]法一：构造抽象函数法观察xf ′(x )－f (x )<0这个式子的特征，不难想到商的求导公式，设F (x )＝f (x )x .因为f (x )是奇函数，故F (x )是偶函数，F ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，易知当x >0时，F ′(x )<0，所以函数F (x )在(0，＋∞)上单调递减．又f (－1)＝0，则f (1)＝0，于是F (－1)＝F (1)＝0，f (x )＝xF (x )，解不等式f (x )>0，即找到x 与F (x )的符号相同的区间，易知当x ∈(－∞，－1)∪(0,1)时，f (x )>0，故选A.法二：构造具体函数法题目中没有给出具体的函数，但可以根据已知条件构造一个具体函数，越简单越好，因此考虑简单的多项式函数．设f (x )是多项式函数，因为f (x )是奇函数，所以它只含x 的奇次项．又f (1)＝－f (－1)＝0，所以f (x )能被x 2－1整除．因此可取f (x )＝x －x 3，检验知f (x )满足题设条件．解不等式f (x )>0，得x ∈(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.[答案] A[系统归纳]1．利用和差函数求导法则构造函数(1)对于不等式f ′(x )＋g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )＋g (x )； (2)对于不等式f ′(x )－g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )－g (x )； 特别地，对于不等式f ′(x )>k (或<k )(k ≠0)，构造函数F (x )＝f (x )－kx . 2．利用积商函数求导法则构造函数(1)对于不等式f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )g (x )； (2)对于不等式f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )g (x )(g (x )≠0)；(3)对于不等式xf ′(x )＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝xf (x )； (4)对于不等式xf ′(x )－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )x (x ≠0)； (5)对于不等式xf ′(x )－nf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )x n(x ≠0)； (6)对于不等式f ′(x )＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝e x f (x )； (7)对于不等式f ′(x )－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )e x.[应用体验]3．定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意实数x ，有f (x )>f ′(x )，且f (x )＋2 019为奇函数，则不等式f (x )＋2 019e x <0的解集是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－∞，1e D.⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ 解析：选B 设g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x<0，所以g (x )是R 上的减函数，由于f (x )＋2 019为奇函数，所以f (0)＝－2 019，g (0)＝－2 019，因为f (x )＋2 019e x <0⇔f (x )e x <－2 019，即g (x )<g (0)，结合函数的单调性可知不等式f (x )＋2 019e x <0的解集是(0，＋∞)，故选B.命题区域(二) 三角函数、平面向量本类压轴题主要考查三角恒等变换与三角函数、解三角形相结合的综合问题．其中三角函数的图象与性质、三角形的面积问题是重点考查内容；平面向量主要考查与解析几何、函数、不等式等相结合的有关数量积问题．解决此类问题的关键是转化与化归思想的灵活运用．三角函数的图象与性质[例1] 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5[技法演示]法一：综合法由f ⎝⎛⎭⎫－π4＝0，得－π4ω＋φ＝k π(k ∈Z )，φ＝k π＋π4ω， 则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋k π＋π4ω ＝⎩⎨⎧sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4ω，k ＝2n ，－sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4ω，k ＝2n ＋1，(n ∈Z )．由f ⎝⎛⎭⎫π4＝±1，即sin ⎝⎛⎭⎫π4ω＋π4ω＝sin π2ω＝±1， 可知ω为正奇数(ω>0)．由⎩⎨⎧－π2<k π＋π4ω<π2，2πω≥2⎝⎛⎭⎫5π36－π18得⎩⎪⎨⎪⎧－2－4k <ω<2－4k ，ω≤12. 又由于ω>0，所以k 只能取0，－1，－2，－3. 当k ＝0时，ω∈(－2,2)；当k ＝－1时，ω∈(2,6)； 当k ＝－2时，ω∈(6,10)；当k ＝－3时，ω∈(10,14)． 因为ω是正奇数(不超过12)，所以ω∈{1,3,5,7,9,11}．当ω＝11时，x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36，ωx ＋π4ω＝11x ＋11π4∈⎝⎛⎭⎫121π36，154π36，里面含有7π2，则f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上不可能单调，不符合题意．当ω＝9时，x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36，ωx ＋π4ω＝9x ＋9π4∈⎝⎛⎭⎫99π36，126π36，里面不含2n ＋12π(n ∈Z)中的任何一个，即f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，符合题意．综上，ω的最大值为9.故选B.法二：分类讨论 由题意5π36－π18≤T 2⇒T ≥π6，即2πω≥π6⇒0<ω≤12.①又由题意可得⎩⎨⎧－π4ω＋φ＝k π，π4ω＋φ＝π2＋n π，(n ，k ∈Z )，所以φ＝π4＋k ＋n2π(n ，k ∈Z )．又|φ|≤π2，所以－32≤k ＋n ≤12.(1)当k ＋n ＝0时，φ＝π4，ω＝1－4k .②由①②可得，当k ＝－2时，ω＝9，此时函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减，符合题意； 当k ＝－1时，ω＝5，此时函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫5x ＋π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减，符合题意； 当k ＝0时，ω＝1，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递增，符合题意； (2)当k ＋n ＝－1时，φ＝－π4，ω＝－1－4k .③由①③可得，当k ＝－1时，ω＝3，此时函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递增，符合题意； 当k ＝－2时，ω＝7，此时函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫7x －π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上不单调，舍去； 当k ＝－3时，ω＝11，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上不单调，舍去． 综上，ω＝1,3,5,9，此法求出了ω的所有可能值． [答案] B[系统归纳]三角函数图象与性质问题的解题策略(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)的图象的单调性、对称性、周期、零点等问题中涉及的结论： ①若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)有两条对称轴x ＝a ，x ＝b ，则有|a －b |＝T 2＋kT2(k ∈Z)；②若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)有两个对称中心M (a,0)，N (b,0)，则有|a －b |＝T 2＋kT2(k ∈Z)；③若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)有一条对称轴x ＝a ，一个对称中心M (b,0)，则有|a －b |＝T 4＋kT2(k∈Z)．(2)研究函数在某一特定区间的单调性，若函数仅含有一个参数的时候，利用导数的正负比较容易控制，但对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)含多个参数，并且具有周期性，很难解决，所以必须有合理的等价转化方式才能解决．解法一尝试正面求解ω的可能值，但因单调区间的条件不好使用，仍然采取代入验证的方法解决．[应用体验]1．若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是减函数，则a 的取值范围是________． 解析：法一：导数法对f (x )＝cos 2x ＋a sin x 求导，得f ′(x )＝－2sin 2x ＋a cos x ．因为f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是减函数，所以f ′(x )≤0在⎝⎛⎭⎫π6，π2上恒成立，即a cos x ≤2sin 2x ＝4sin x cos x ，而cos x >0，所以a ≤4sin x ．在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上，12<sin x <1，于是a ≤2. 法二：图象法f (x )＝cos 2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －a 42＋a 28＋1，设t ＝sin x ，由x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，知t ∈⎝⎛⎭⎫12，1.要使g (t )＝－2⎝⎛⎭⎫t －a 42＋a 28＋1在⎝⎛⎭⎫12，1上是减函数，只要a 4≤12即可，所以a ∈(－∞，2]． 答案：(－∞，2]三角形面积最值问题[例2] 已知a ，b ，c (2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 的面积的最大值为________．[技法演示]法一：综合运用正、余弦定理由正弦定理知(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(2＋b )(a －b )＝c (c －b )， 将a ＝2代入整理，得b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，故A ＝π3，则△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝34bc .而b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －a 2⇒bc ≤4， 所以S ＝34bc ≤3，当且仅当b ＝c ＝2时取到等号， 故△ABC 的面积的最大值为 3.法二：正、余弦定理与数形结合由法一得A ＝π3，可知△ABC 的边a ＝2为定长，A ＝π3为定值，作出示意图如图所示，满足条件的点A在圆周上的运动轨迹为优弧BC (不包括两个端点B ，C )，易知当点A 位于优弧中点时，此时△ABC 的面积最大，由于A ＝π3，则此时的△ABC 是等边三角形，面积为 3.法三：正、余弦函数的有界性 由法一知A ＝π3，则由正弦定理得，b ＝a sin A ·sin B ＝433sin B ，c ＝433sin C ， 则S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc＝433sin B ·sin C ＝433·12[cos(B －C )－cos(B ＋C )]＝233cos(B －C )＋12≤233·⎝⎛⎭⎫1＋12＝3，当且仅当cos(B －C )＝1，即B ＝C 时，△ABC 的面积取得最大值 3. 法四：函数思想 由法三得S △ABC ＝433sin B ·sin C ＝433sin B ·sin 2π3－B ， 令g (B )＝sin B ·sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝sin B 32cos B ＋12sin B ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＋14. 由0<B <2π3，易得g (B )max ＝34，当且仅当B ＝π3时取等号，所以△ABC 的面积的最大值为 3. [答案]3[系统归纳]三角形面积最值问题的解题策略(1)借助正、余弦定理，把三角形面积这个目标函数转化为边或角的形式，然后借助基本不等式或函数性质来解决；(2)结合问题特征，构造几何图形来求得最值，直观迅速；(3)利用结论：已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝m (m >0)，且∠A ＝θ，θ∈(0，π)，则△ABC 的面积的最大值是m 24tanθ2，当且仅当另外两个角相等时取等号．[应用体验]2．(2018·潍坊统一考试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆的半径为1，且tan A tan B＝2c －bb ，则△ABC 面积的最大值为________．解析：因为tan A tan B ＝2c －bb ，所以b sin A cos A ＝(2c －b )sin Bcos B， 由正弦定理得sin B sin A cos B ＝(2sin C －sin B )sin B cos A ， 又sin B ≠0，所以sin A cos B ＝(2sin C －sin B )cos A ， 所以sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos A ， sin(A ＋B )＝2sin C cos A ， 即sin C ＝2sin C cos A ，又sin C ≠0，所以cos A ＝12，sin A ＝32，设外接圆的半径为r ，则r ＝1，由余弦定理得bc ＝b 2＋c 2－a 22cos A ＝b 2＋c 2－a 2＝b 2＋c 2－(2r sin A )2＝b 2＋c 2－3≥2bc －3(当且仅当b ＝c 时，等号成立)，所以bc ≤3，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤334.答案：334平面向量数量积问题[例3] 在等腰梯形°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ―→＝λBC ―→，DF ―→＝19λDC ―→，则AE ―→·AF ―→的最小值为________．[技法演示]法一：基底法选取{AB ―→，BC ―→}为一组基底，由题意易求DC ＝1，|AB ―→|＝2，|BC ―→|＝1，AB ―→·BC ―→＝2×1×cos 120°＝－1，AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋λBC ―→，AF ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CF ―→＝AB ―→＋BC ―→－12⎝⎛⎭⎫1－19λAB ―→＝12⎝⎛⎭⎫1＋19λAB ―→＋BC ―→. 于是AE ―→·AF ―→＝(AB ―→＋λBC ―→)·12⎝⎛⎭⎫1＋19λAB ―→＋BC ―→＝12⎝⎛⎭⎫1＋19λ×4－1－λ2⎝⎛⎭⎫1＋19λ＋λ＝1718＋λ2＋29λ≥1718＋2 λ2·29λ＝2918(λ>0)，当且仅当λ2＝29λ，即λ＝23时等号成立，故AE ―→·AF ―→的最小值为2918. 法二：坐标法以A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，因为AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°， 所以DC ＝1，即B (2,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，32，C ⎝⎛⎭⎫32，32. 因为BE ―→＝λBC ―→，DF ―→＝19λDC ―→，所以E ⎝⎛⎭⎫2－λ2，32λ，F ⎝⎛⎭⎫12＋19λ，32， AE ―→＝⎝⎛⎭⎫2－λ2，32λ，AF ―→＝⎝⎛⎫12＋19λ，32.所以AE ―→·AF ―→＝⎝⎛⎭⎫2－λ2⎝⎛⎭⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋λ2＋29λ≥1718＋219＝2918. 当且仅当λ2＝29λ，即λ＝23时等号成立，故AE ―→·AF ―→的最小值为2918.[答案]2918[系统归纳]向量数量积问题的解题策略[应用体验]3．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ―→·CB ―→＝________；DE ―→·DC ―→的最大值为________．解析：法一：如图，以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，则E (t,0)，t ∈[0,1]，DE ―→＝(t ，－1)，CB ―→＝(0，－1)，所以DE ―→·CB ―→＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC ―→＝(1,0)，所以DE ―→·DC ―→＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1，故DE ―→·DC ―→ 的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE ―→在CB ―→方向上的投影都是 |CB ―→|＝1，所以DE ―→·CB ―→＝|CB ―→|·1＝1，当点E 运动到B 点时，DE ―→在DC ―→方向上的投影最大即为|DC ―→|＝1，所以(DE ―→·DC ―→)max ＝|DC ―→|·1＝1.答案：1 1命题区域(三) 立体几何此类压轴题主要考查以立体几何为背景的新颖问题．以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题、与函数图象相结合问题、最值问题、探索性问题等．(1)对探索、开放、存在型问题的考查：探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何中．(2)对折叠、展开问题的考查：图形的折叠与展开问题(三视图问题可看作是特殊的图形变换)蕴涵了“二维——三维——二维”的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辨，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立体几何中的重要题型．空间中线面位置关系与计算[例1] 平面α111111α∩平面ABCD ＝m ，平面α∩平面ABB 1A 1＝n ，则直线m ，n 所成角的正弦值为( )A.32 B.22C.33D.13[技法演示]法一：割补法我们先尝试把m ，n 这两条直线都作出来，易知这个平面α一定在正方体外，所以要往上补形，如图所示，过点A 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的上方补作一个与正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1相同棱长的正方体ABCD -A 2B 2C 2D 2，可证平面AB 2D 2就是平面α，n 就是AB 2.因为平面ABCD ∥平面A 2B 2C 2D 2，所以B 2D 2∥m ，说明m 应该是经过点A 且在平面ABCD 内与B 2D 2平行的直线，则直线m ，n 所成的角就是∠sin π3＝32，故选AB 2D 2，因为△AB 2D 2为等边三角形，所以 sin ∠AB 2D 2＝A.法二：平移法1事实上对法一可进行适当简化，无须补形也可以．设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m ′，因为平面α∩平面ABCD ＝m ，平面α∥平面CB 1D 1，所以m ∥m ′.又平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以B 1D 1∥m ′，所以B 1D 1∥m .同理可得CD 1∥n ，故直线m ，n 所成角即为直线B 1D 1，CD 1所成的角∠CD 1B 1.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，B 1C ＝B 1D 1＝CD 1，所以∠CD 1B 1＝π3，所以sin ∠CD 1B 1＝32，故选A.法三：平移法2与法二类似，我们尝试在正方体内部构造一个平面与平面α平行，也即与平面CB 1D 1平行．如图所示，让点A 在平面ABCD 内运动，不妨让点A 在对角线AC 上运动，易知平面BA 1D 与平面CB 1D 1平行，则直线m ，n 所成的角就是∠DBA 1，其正弦值为32，故选A. [答案] A[系统归纳]异面直线所成角问题的解题策略平移化归是关键：求异面直线所成角，关键是将两条异面的直线平移到相交状态，作出等价的平面角，再解三角形即可，常规步骤是“一作二证三计算”，而第一步最为关键，平移谁，怎么平移都要视题目条件而定.[应用体验]1．已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的表面上，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，AD ⊥底面ABC ，G 为△ABC 的重心，且直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为12，则球O 的表面积为________．解析：在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，取BC 的中点E ，连接AE ，重心G 为AE 的三等分点，AE ＝AB 2－BE 2＝3，AG ＝2，由于AD ⊥底面ABC ，直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为12，所以tan ∠DGA ＝DA AG ＝12，DA ＝1，在等腰△ABC 中，cos ∠ACB ＝52＋82－522×5×8＝45，sin ∠ACB ＝35，所以△ABC 的外接圆直径2r ＝ABsin C＝535＝253，r ＝256，设 △ABC 的外接圆圆心为O 1，四面体ABCD 的球心为O ，在Rt △AOO 1中，R 2＝OA 2＝AO 21＋⎝⎛⎭⎫AD 22＝⎝⎛⎭⎫2562＋⎝⎛⎭⎫122＝63436，球的表面积为S ＝4πR 2＝6349π. 答案：6349π空间最值问题[例2] 如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°.若平面ABC 外的点P和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体P -BCD 的体积的最大值是________．[技法演示]法一：平面几何法由题意可知四面体P -BCD 的体积最大时，应有平面PBD ⊥平面BCD .如图，过点P 作PF ⊥BD ，垂足为F ，则PF ⊥平面BCD ，则V P -BCD ＝13S △BCD ·PF .由翻折过程可知AF ＝PF ，则V P -BCD ＝13S △BCD ·AF ，这样就将空间问题转化为△ABC 内的问题．等腰△ABC 的底边AC 边上的高h ＝AB ·sin 30°＝1，V P -BCD ＝13×12×DC ×h ×AF ＝16DC ·AF . DC 与AF 不在同一个三角形中，用哪个变量能表示两者呢？注意到当点D 在AC 上运动时，∠ADB 也是在变化的，因此可以取∠ADB 为自变量，产生下面的解法．如图，因为S △ABD ＝12BD ·AF ＝12AD ·h ，则AF ＝AD BD ，得V P -BCD＝16DC ·ADBD .设∠ADB ＝α，由正弦定理得ADDB ＝2sin(150°－α)，DC ＝2sin (α－30°)sin α，则V P -BCD＝23×sin (150°－α)sin (α－30°)sin α＝－cos 2α＋cos 120°3sin α＝23⎝⎛⎭⎫sin α－14sin α，易知函数f (x )＝x －14x在区间(0,1]上单调递增，于是V P -BCD≤23⎝⎛⎭⎫1－14＝12. 法二：构造法换个角度看问题，我们把△ABC “立起来”，如图，设BO ⊥平面ACP ，考虑以B＝BA 2－OA 2≤为顶点，△ACP 的外接圆⊙O 为底面的圆锥，易得AC ＝23，则OB 4－⎝⎛⎭⎫12AC 2＝1.设∠PDA ＝θ，θ∈(0，π)，AD ＝x (0<x <23)，则S △PCD＝12x ·(23－x )sin θ≤12x ·(23－x )≤12⎝⎛⎭⎫2322＝32，所以四面体P -BCD 的体积V P -BCD ＝13·S △PCD ·OB ≤12，当且仅当OA ＝12AC ＝3，且θ＝π2时取等号(此时D 点与圆心O 重合，PD 垂直平分AC ，进而可得BD ⊥PD )．法三：解析法由于△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，故建系非常方便．如图，取AC 的中点O 为原点，以AC 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (－3，0)，B (0，－1)，C (3，0)，设D (t,0)，t ∈ (－3，3)，易知直线BD 的方程为x －ty －t ＝0，则点A 到直线BD 的距离AF ＝3＋t 1＋t 2，又DC ＝3－t ，于是V P -BCD＝16DC ·AF ＝16·3－t 21＋t 2，令f (t )＝16·3－t 21＋t 2＝1641＋t2－1＋t 2，t 2∈[0,3)，易知该函数在[0,3)上单调递减，故V P -BCD ≤f (0)＝12，此时D 在原点． [答案]12[系统归纳]空间最值问题的解题关键(1)要善于将空间问题转化为平面问题：这一步要求我们具备较强的空间想象能力，对几何体的结构特征要牢牢抓住，如本题一定要分析出“当四面体P -BCD 的体积取最大值时，必有平面PBD ⊥平面BCD ”，要判断出△PBD 与△ABD 是翻折关系(全等)，这样才能进一步将空间问题转化为平面内的问题；(2)转化后的运算：因为已经是平面内的问题，那么方法就比较多了，如三角函数法、均值不等式，甚至导数都是可以考虑使用的工具．[应用体验]2．表面积为60π的球面上有四点S ，A ，B ，C 且△ABC 是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S -ABC 体积的最大值为________．解析：因为球的表面积为60π，所以球的半径为15，设△ABC 的中心为D ，则OD ＝3，所以DA ＝23，则AB ＝6，棱锥S -ABC 的底面积S ＝34×62＝93为定值，欲使其体积最大，应有S 到平面ABC 的距离取最大值，又平面SAB ⊥平面ABC ，所以S 在平面ABC 上的射影落在直线AB 上，而SO ＝15，点D 到直线AB 的距离为3，则S 到平面ABC 的距离的最大值为33，所以V ＝13×93×33＝27.答案：27命题区域(四) 解析几何本类压轴题主要考查圆锥曲线的几何性质、特定字母的取值范围以及圆锥曲线中的最值问题．圆锥曲线的几何性质是高考考查圆锥曲线的重点内容之一．在选择、填空题中主要考查椭圆和双曲线的离心率、参数的值(范围)、双曲线的渐近线方程以及抛物线的焦点弦．圆锥曲线中的弦长是直线与圆锥曲线相交时产生的，面积也以弦长的计算为基础，高考重点考查直线与圆锥曲线的位置关系，它是命制压轴题时的一个重要命题方向．圆锥曲线的几何性质[例1] 已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点M 在双曲线E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则双曲线E 的离心率为( )A.2B.32C. 3D ．2[技法演示]法一：定义法因为△MF 1F 2是直角三角形，且sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1|＝|MF 2|sin ∠MF 2F 1＝13|MF 2|，即|MF 2|＝3|MF 1|.①由双曲线的定义可知|MF 2|－|MF 1|＝2a .② 由①和②可求得|MF 1|＝a ，|MF 2|＝3a .在Rt △MF 1F 2中，由勾股定理得|MF 2|2－|MF 1|2＝|F 1F 2|2，即(3a )2－a 2＝(2c )2，化简得2a 2＝c 2，即⎝⎛⎭⎫c a 2＝2，从而可知e ＝ 2.故选A.法二：利用正弦定理在Rt △MF 1F 2中，sin ∠F 1MF 2＝sin(90°－∠MF 2F 1)＝cos ∠MF 2F 1＝223，sin ∠MF 1F 2＝1.由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.故选A.法三：利用直角三角形的三角函数 设点M (－c ，y 0)，则(－c )2a 2－y 20b 2＝1，由此解得y 20＝|MF 1|2＝b2⎝⎛⎭⎫c 2－a 2a 2＝(c 2－a 2)2a 2.∵△MF 1F 2是直角三角形，且sin ∠MF 2F 1＝13，∴cos ∠MF 2F 1＝223，tan ∠MF 2F 1＝24， 从而可得|MF 1||F 1F 2|＝24⇒|MF 1|2|F 1F 2|2＝18⇒|F 1F 2|2|MF 1|2＝4c 2y 20＝8，即4c 2(c 2－a 2)2a 2＝8，化简整理得2c 4－5a 2c 2＋2a 4＝0， 两边同除以a 4，得2⎝⎛⎭⎫c a 4－5⎝⎛⎭⎫c a 2＋2＝0，即⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫c a 2－1 ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫c a 2－2＝0， ∵ca >1，∴⎝⎛⎭⎫c a 2＝2，即e ＝ 2. [答案] A[系统归纳]圆锥曲线离心率问题的求解策略(1)双曲线(椭圆)的定义可直接建立“焦点三角形”的两边关系．用好这一隐含条件，可为三角形的求解省下不少功夫．法二便充分利用了双曲线的定义将离心率e 写成|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，转化为“焦点三角形”的三边关系，从而利用正弦定理再转化到已知的角上去．(2)在求解圆锥曲线(主要指的是椭圆和双曲线)的离心率问题时，要把握一个基本思想，就是充分利用已知条件和挖掘隐含条件建立起a 与c 的关系式．[注意] 在求离心率的值时需建立等量关系式，在求离心率的范围时需建立不等量 关系式．[应用体验]1．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，抛物线C ：y 2＝8ax 的焦点为F ，若在E 的渐近线上存在点P ，使得PA ⊥FP ，则E 的离心率的取值范围是( )A ．(1,2) B.⎝⎛⎦⎤1，324 C ．(2，＋∞)D.⎣⎡⎭⎫324，＋∞ 解析：选B 双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A (a,0)，抛物线C ：y 2＝8ax 的焦点为F (2a,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，可设P ⎝⎛⎭⎫m ，b a m ，则有AP ―→＝⎝⎛⎭⎫m －a ，b a m ，FP ―→＝⎝⎛⎭⎫m －2a ，b a m ，由PA ⊥FP ，得AP ―→·FP ―→＝0，即(m －a )(m －2a )＋b 2a 2m 2＝0，整理得⎝⎛⎭⎫1＋b 2a 2m 2－3ma ＋2a 2＝0，由题意可得Δ＝9a 2－41＋b 2a 2·2a 2≥0，即a 2≥8b 2＝8(c 2－a 2)，即8c 2≤9a 2，则e ＝c a ≤324.又e >1，所以1<e ≤324.参数的值(范围)问题[例2] 设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)[技法演示]法一：几何性质法如图，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N ，设M (x ，y )． 根据椭圆的对称性，不妨令y >0， 设∠AMN ＝α，∠BMN ＝β， 则tan α＝x ＋a y ，tan β＝a －xy . 又点M 在椭圆上，所以x 2＝a 2－a 2y 2b2.则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝x ＋a y ＋a －x y 1－a 2－x 2y 2＝2a y x 2＋y 2－a 2y 2＝2ay x 2＋y 2－a2 ＝2aya 2－a 2b2y 2＋y 2－a2＝2ab 2－c 2y. 又y ∈[－b ，b ]，所以当y ＝b 时，α＋β取最大值，即M 为椭圆短轴顶点P 时，∠APB 最大．由此，我们可以得到本题的如下解法．先考虑椭圆的焦点在x 轴上的情况，则0<m <3.设椭圆一个短轴的顶点为P ，要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则∠APB ≥∠AMB ，即∠APB ≥120°，所以∠APO ≥60°.而tan ∠APO ＝3m ，所以3m≥3，解得0<m ≤1.同理：当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m3≥3，解得m ≥9. 故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 法二：二级结论法椭圆上任意一点与椭圆长轴的两个端点连线的斜率之积为定值－b 2a2.这一结论不难证明：设M (x ，y )为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点，A ，B 分别为椭圆的左、右两个端点，则k MA ·k MB ＝y x ＋a ·y x －a ＝y 2x 2－a 2.因为点M 在椭圆上，所以y 2＝b 2a 2(a 2－x 2)，从而k MA ·k MB ＝b 2a 2(a 2－x 2)x 2－a 2＝－b 2a 2.由此可以得到本题的如下解法． 当0<m <3时，椭圆的焦点在x 轴上，如图，设∠MAB ＝α， ∠MBx ＝β，设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－m3，k 1＝tan α，k 2＝tanβ. 因为∠AMB ＝120°，由三角形的一个外角等于不相邻的两内角之和，所以tan(β－α)＝tan 120°＝－ 3. 根据两角差的正切公式tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan αtan β，可得tan β－tan α＝－3⎝⎛⎭⎫1－m3， 即k 2－k 1＝33m － 3.结合k 1·k 2＝－m 3，将两式变形为k 2＋(－k 1)＝33m －3，k 2·(－k 1)＝m 3，故可将k 2，－k 1看作是关于t 的方程t 2－⎝⎛⎭⎫33m －3t ＋m 3＝0的两个根，则Δ＝⎝⎛⎭⎫33m －32－4·m 3＝13(m 2－10m ＋9)≥0，所以m 2－10m ＋9≥0，解得m ≤1或m ≥9(舍去)，所以0<m ≤1.同理可得当焦点在y 轴上时，m ≥9.综上所述，m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A. 法三：向量法当椭圆的焦点在x 轴上时，设A ，B 分别为椭圆的左、右两个端点，M (x ，y )，设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－m 3.又AM ―→＝(x ＋3，y )，BM ―→＝(x －3，y )，此时如果直接应用数量积进行计算，显然计算量较大，这里我们可以考虑利用直线的方向向量来简化运算．分别取与AM ―→，BM ―→相同方向的向量n 1＝(1，k 1)，n 2＝(1，k 2)．又∠AMB ＝120°，所以向量n 1，n 2的夹角为60°，由向量的数量积公式可得，cos 60°＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1＋k 1k 21＋k 21·1＋k 22＝1＋k 1k 21＋k 21k 22＋k 21＋k 22，即12＝1－m 31＋m 29＋(k 21＋k 22).由k 1·k 2＝－m 3<0，结合均值不等式a 2＋b 2≥2ab ，可得k 21＋k 22＝k 21＋(－k 2)2≥2k 1·(－k 2)＝23m ， 所以1－m31＋m 29＋(k 21＋k 22)≤1－m 31＋m 29＋23m，即12≤1－m 3⎝⎛⎭⎫m 3＋12，所以12⎝⎛⎭⎫m 3＋1≤1－m 3，解得m ≤1. 又0<m <3，所以0<m ≤1.当焦点在y 轴上时，此时k 1·k 2＝－3m <0. 同理，12＝1－3m1＋9m2＋(k 21＋k 22)≤1－3m1＋9m2＋6m ， 即12⎝⎛⎭⎫3m ＋1≤1－3m ，解得m ≥9. 综上所述，m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)． [答案] A[系统归纳]圆锥曲线中特定字母的值(范围)问题的解题策略[应用体验]2．若过点M (2,0)的直线与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两点，|AB |＝253，设P 为椭圆上一点，且满足OA―→＋OB ―→＝t OP ―→(O 为坐标原点)，则实数t 的值为( )A ．±33B ．±263C ．±523D ．±325解析：选B 由题意知，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)． 显然，当k ＝0时，|AB |＝22，与已知不符，∴k ≠0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，x 22＋y 2＝1消去y ， 得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0，则Δ＝(－8k 2)2－4(1＋2k 2)(8k 2－2)＝8－16k 2>0， x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1·x 2＝8k 2－21＋2k 2，∵|AB |＝253，∴ 1＋k 2|x 1－x 2|＝253， 即(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝209， ∴(4k 2－1)(14k 2＋13)＝0，解得k 2＝14.又OA ―→＋OB ―→＝t OP ―→，即(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，且k ≠0，t ≠0， ∴x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t (1＋2k 2)，y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4kt (1＋2k 2). ∵点P 在椭圆上，∴(8k 2)2t 2(1＋2k 2)2＋2×(－4k )2t 2(1＋2k 2)2＝2，又k 2＝14，解得t ＝±263.圆锥曲线中与面积相关的问题[例3] 已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA ―→·OB ―→＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728D.10[技法演示]法一：利用基本不等式依题意，不妨设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中y 1>0，y 2<0.由OA ―→·OB ―→＝2，得x 1x 2＋y 1y 2＝(y 1y 2)2＋y 1y 2＝2，由此解得y 1y 2＝－2，△ABO 与△AFO 面积之和等于12|x 1y 2－x 2y 1|＋ 12×14y 1＝12|y 21y 2－y 22y 1|＋18y 1＝12×2(y 1－y 2)＋18y 1＝98y 1＋(－y 2)≥2－98y 1y 2＝3，当且仅当 98y 1＝－y 2＝32时取等号，因此△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3，选B.该方法中用到这样一个公式：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则S △AOB ＝12|x 1y 2－x 2y 1|，证明如下：设∠AOB ＝θ，则S △AOB ＝12|OA ―→|·|OB ―→|sin θ＝12 (|OA ―→|·|OB ―→|)2－(|OA ―→|·|OB ―→|cos θ)2 ＝12 (|OA ―→|·|OB ―→|)2－(OA ―→·OB ―→)2＝12 (x 21＋y 21)(x 22＋y 22)－(x 1x 2＋y 1y 2)2＝12(x 1y 2－x 2y 1)2＝12|x 1y 2－x 2y 1|.法二：双根法设直线AB 的方程为x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1y 2<0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝x 得y 2－ty －m ＝0，y 1y 2＝－m ，又OA ―→·OB ―→＝2，因此x 1x 2＋y 1y 2＝(y 1y 2)2＋y 1y 2＝2，m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1.又y 1y 2＝－m <0，因此y 1y 2＝－m ＝－2，m ＝2，直线AB ：x ＝ty ＋2过定点(2,0)，S △ABO ＝12×2×|y 1－y 2|＝⎪⎪⎪⎪y 1＋2y 1，S △AFO ＝12×14|y 1|＝18|y 1|，S △ABO ＋S △AFO ＝⎪⎪⎪⎪y 1＋2y 1＋18|y 1|＝98|y 1|＋⎪⎪⎪⎪2y 1≥298|y 1|×⎪⎪⎪⎪2y 1＝3，当且仅当98|y 1|＝⎪⎪⎪⎪2y 1，即|y 1|＝43时取等号，因此△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3，选B. [答案] B[系统归纳]圆锥曲线中与面积相关问题的解题规律(1)三角形面积的向量公式：若AB ―→＝(x 1，y 1)，AC ―→＝(x 2，y 2)，则S △ABC ＝12|x 1y 2－x 2y 1|，用此公式便于建立目标函数求最值；(2)直线方程的选择：对于不同的直线方程，其中所含的参数意义不同，形成不同的解题长度．为了消元、计算的方便，可将经过定点(m,0)的动直线设为x ＝ty ＋m 的形式，避免了对斜率存在性的讨论．如本题法二．[应用体验]3．已知椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1，O 为坐标原点，直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，且|OM |＝1，则△AOB 面积的最大值为________．解析：设直线l ：x ＝my ＋n ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，x 24＋y 2＝1，整理得(4＋m 2)y 2＋2mny ＋n 2－4＝0.① 所以y 1＋y 2＝－2mn 4＋m 2，y 1y 2＝n 2－44＋m 2，x 1＋x 2＝8n 4＋m 2. 由中点坐标公式可知x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22，即M ⎝⎛⎭⎫4n 4＋m 2，－mn4＋m 2.因为|OM |＝1，所以n 2＝(4＋m 2)216＋m 2.②设直线l 与x 轴的交点为D (n,0)，则△AOB 的面积S ＝12|OD ||y 1－y 2|＝12|n ||y 1－y 2|.S 2＝14n 2(y 1－y 2)2＝48(4＋m 2)(m 2＋16)2，设t ＝m 2＋4(t ≥4)，。
北师大文科数学高考总复习教师用书：综合法 含答案
第2讲综合法、分析法、反证法最新考纲 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点．知识梳理1．直接证明内容综合法分析法定义从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法.从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法．实质由因导果执果索因框图表示P⇒Q1→Q1⇒Q2→…→Q n⇒QQ⇐P1→P1⇐P2→…→得到一个明显成立的条件文字语言因为……所以……或由……得……要证……只需证……即证……间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．(1)反证法的定义：在假定命题结论反面成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法． (2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT 展示(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( ) (2)用反证法证明结论“a >b ”时，应假设“a <b ”．( ) (3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．( )(4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．( )解析 (1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件． (2)应假设“a ≤b ”． (3)反证法只否定结论．答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0解析 a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0. 答案 D3．若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列命题正确的是( ) A ．ac 2<bc 2 B ．a 2>ab >b 2 C.1a <1b D.b a >a b解析 a 2－ab ＝a (a －b )，∵a <b <0，∴a －b <0，∴a 2－ab >0，∴a 2>ab .① 又ab －b 2＝b (a －b )>0，∴ab >b 2，② 由①②得a 2>ab >b 2.答案 B4．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析因为“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于1”，所以要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．答案 A5．(教材改编)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为________．解析由题意2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝π3，又b2＝ac，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，∴A＝C，∴A＝B＝C＝π3，∴△ABC为等边三角形．答案等边三角形考点一综合法的应用【例1】(2017·东北三省三校模拟)已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求证：(1)a＋b＋c≤3；(2)13a＋1＋13b＋1＋13c＋1≥32.证明(1)∵(a＋b＋c)2＝(a＋b＋c)＋2ab＋2bc＋2ca≤(a＋b＋c)＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝3，∴a＋b＋c≤ 3.(2)∵a＞0，∴3a＋1＞0，∴43a＋1＋(3a＋1)≥243a＋1(3a＋1)＝4，∴43a ＋1≥3－3a ，同理得43b ＋1≥3－3b ，43c ＋1≥3－3c ， 以上三式相加得4⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥9－3(a ＋b ＋c )＝6， ∴13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥32. 规律方法 用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围： (1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性、求证无条件的等式或不等式；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱． 【训练1】 设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac 得 a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设知(a ＋b ＋c )2＝1， 即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a ＞0，b ＞0，c ＞0，所以a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1. 考点二 分析法的应用 【例2】 已知a ＞0，证明：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2.证明 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只需证a 2＋1a 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －(2－2)．因为a ＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －(2－2)＞0，所以只需证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 22≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a －(2－2)2， 即2(2－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ≥8－42，只需证a ＋1a ≥2.因为a ＞0，a ＋1a ≥2显然成立⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝1a ＝1时等号成立，所以要证的不等式成立．规律方法 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.【训练2】 △ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c .证明 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3也就是c a ＋b ＋a b ＋c ＝1，只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2，又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列，故B ＝60°， 由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2a cos 60°，即b 2＝c 2＋a 2－ac ， 故c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立． 于是原等式成立． 考点三 反证法的应用【例3】 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N ＋)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列． (1)解 由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，解得d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明 由(1)得b n ＝S nn ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N ＋，且互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r .即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)．∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0. ∵p ，q ，r ∈N ＋，∴⎩⎨⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0.∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0.∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾． ∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．规律方法 (1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等． (2)用反证法证明不等式要把握三点：①必须否定结论；②必须从否定结论进行推理；③推导出的矛盾必须是明显的．【训练3】 (2017·郑州一中月考)已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4>100，求证：a 1，a 2，a 3，a 4中至少有一个数大于25.证明 假设a 1，a 2，a 3，a 4均不大于25，即a 1≤25，a 2≤25，a 3≤25，a 4≤25，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4≤25＋25＋25＋25＝100， 这与已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4>100矛盾，故假设错误． 所以a 1，a 2，a 3，a 4中至少有一个数大于25.[思想方法]分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来． [易错防范]1．用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即证……”“只需证……”等，逐步分析，直到一个明显成立的结论．2．在使用反证法证明数学命题时，反设必须恰当，如“都是”的否定是“不都是”“至少一个”的否定是“不存在”等.基础巩固题组(建议用时：35分钟)一、选择题1．若a ，b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( ) A ．lg(1＋a 2)>0 B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1) C ．a 2＋3ab >2b 2D.a b <a ＋1b ＋1解析 在B 中，∵a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，∴a 2＋b 2≥2(a －b －1)恒成立． 答案 B2．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( ) A ．三个内角都不大于60° B ．三个内角都大于60°C ．三个内角至多有一个大于60°D ．三个内角至多有两个大于60° 答案 B3．已知m >1，a ＝m ＋1－m ，b ＝m －m －1，则以下结论正确的是( ) A ．a >b B ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 大小不定解析 ∵a ＝m ＋1－m ＝1m ＋1＋m ，b ＝m －m －1＝1m ＋m －1.而m＋1＋m>m＋m－1＞0(m＞1)，∴1m＋1＋m<1m＋m－1，即a<b.答案 B4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac＜3a”索的因应是()A．a－b＞0 B．a－c＞0C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0解析由题意知b2－ac＜3a⇐b2－ac＜3a2⇐(a＋c)2－ac＜3a2⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0⇐－2a2＋ac＋c2＜0⇐2a2－ac－c2＞0⇐(a－c)(2a＋c)＞0⇐(a－c)(a－b)＞0.答案 C5．①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下正确的是()A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确解析反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q＞2，所以①不正确；对于②，其假设正确．答案 D二、填空题6.6＋7与22＋5的大小关系为________．解析要比较6＋7与22＋5的大小，只需比较(6＋7)2与(22＋5)2的大小，只需比较6＋7＋242与8＋5＋410的大小，只需比较42与210的大小，只需比较42与40的大小，∵42>40，∴6＋7>22＋ 5. 答案6＋7>22＋ 57．用反证法证明命题“a ，b ∈R ，ab 可以被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是__________________． 答案 都不能被5整除8．下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋a b ≥2成立的条件的序号是________．解析 要使b a ＋a b ≥2，只需ba >0成立，即a ，b 不为0且同号即可，故①③④能使b a ＋ab ≥2成立． 答案 ①③④ 三、解答题9．若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证： lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c . 证明 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，a ＋c2≥ac ＞0. 又上述三个不等式中等号不能同时成立． ∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2＞abc 成立． 上式两边同时取常用对数， 得lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞lg abc ，∴lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c .10．设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和． (1)求证：数列{S n }不是等比数列； (2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？(1)证明 假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1·(1＋q ＋q 2)， 因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2， 即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾， 所以数列{S n }不是等比数列．(2)解 当q ＝1时，S n ＝na 1，故{S n }是等差数列； 当q ≠1时，{S n }不是等差数列， 否则2S 2＝S 1＋S 3，即2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)， 得q ＝0，这与公比q ≠0矛盾．综上，当q ＝1时，数列{S n }是等差数列；当q ≠1时，数列{S n }不是等差数列．能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( ) A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤A D ．C ≤B ≤A解析 ∵a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b ，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是减函数，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b . 答案 A12．设a ，b ，c 均为正实数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ( ) A ．都大于2 B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2 解析 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥6，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案 D13．如果a a＋b b>a b＋b a，则a，b应满足的条件是________．解析∵a a＋b b－(a b＋b a)＝a(a－b)＋b(b－a)＝(a－b)(a－b)＝(a－b)2(a＋b)．∴当a≥0，b≥0且a≠b时，(a－b)2(a＋b)>0.∴a a＋b b>a b＋b a成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b.答案a≥0，b≥0且a≠b14．设x≥1，y≥1，证明x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy.证明由于x≥1，y≥1，所以要证明x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy，只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.将上式中的右式减左式，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立.。
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专题1 函数与导数一、函数1.函数的三要素是什么?定义域、值域和对应关系是函数的三要素,是一个整体,研究函数问题时必须“定义域优先”. 2.求函数的定义域应注意什么?求函数的定义域时,若已知函数的解析式,则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围,只需构建并解不等式(组).在实际问题中,除要考虑解析式有意义外,还要使实际问题有意义.已知f (x )的定义域是[a ,b ],求f (g (x ))的定义域,是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围,而已知f (g (x ))的定义域是[a ,b ],指的是x ∈[a ,b ].3.判断函数的单调性有哪些方法?单调性是函数在其定义域上的局部性质.常见判定方法:①定义法,取值、作差、变形、定号,其中变形是关键,常用的方法有通分、配方、因式分解;②图象法;③复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则;④导数法.4.函数的奇偶性有什么特征?奇偶性的特征及常用结论:①若f (x )是奇函数,0在其定义域内,则f (0)=0.②f (x )是偶函数⇔f (x )的图象关于y 轴对称;f (x )是奇函数⇔f (x )的图象关于原点对称.③奇函数在对称(关于原点对称)的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称(关于原点对称)的单调区间内有相反的单调性.④若f (x+a )为奇函数,则f (x )的图象关于点(a ,0)对称;若f (x+a )为偶函数,则f (x )的图象关于直线x=a 对称.5.指数函数、对数函数的图象与性质有哪些?指数函数与对数函数的图象和性质:指数函数y=a x对数函数y=log a x图象性质当0<a<1时,函数在R 上单调递减; 当a>1时,函数在R 上单调递增 当0<a<1时,函数在(0,+∞)上单调递减; 当a>1时,函数在(0,+∞)上单调递增0<a<1, 当x>0时,0<y<1; 当x<0时,y>10<a<1, 当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0a>1,当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1 a>1,当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<06.函数图象的推导应注意哪些?探寻函数图象与解析式之间的对应关系的方法:(1)知图选式:①从图象的左右、上下分布,观察函数的定义域、值域;②从图象的变化趋势,观察函数的单调性;③从图象的对称性方面,观察函数的奇偶性;④从图象的循环往复,观察函数的周期性.(2)知式选图:①从函数的定义域,判断图象左右的位置,从函数的值域,判断图象的上下位置;②从函数的单调性,判断图象的变化趋势;③从函数的奇偶性,判断图象的对称性;④从函数的周期性,判断图象的循环往复.7.确定函数零点的常用方法有哪些?函数零点个数的判断方法:(1)直接法:令f (x )=0,则方程解的个数为函数零点的个数.(2)零点存在性定理:利用该定理不仅要求曲线f (x )在[a ,b ]上是连续的,且f (a )·f (b )<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)数形结合:对于给定的函数不能直接求解或画出图象,常会通过分解转化为两个函数的图象,然后通过数形结合,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.二、导数1.如何利用导数的方法研究函数的单调性?利用导数研究函数的单调性有什么应用? 在某个区间(a ,b )内,如果f'(x )>0(f'(x )<0),那么函数y=f (x )在这个区间内单调递增(单调递减).利用导数研究函数单调性的应用:(1)利用导数判断函数的图象.(2)利用导数解不等式.(3)求参数的取值范围:①y=f (x )在(a ,b )上单调,则(a ,b )是相应单调区间的子集.②若函数单调递增,则f'(x )≥0;若函数单调递减,则f'(x )≤0.2.如何判断函数的极值?如何确定函数的最值?当f'(x 0)=0时,若在x 0附近左侧f'(x )>0,右侧f'(x )<0,则f (x 0)为函数f (x )的极大值;若在x 0附近左侧f'(x )<0,右侧f'(x )>0,则f (x 0)为函数f (x )的极小值.将函数y=f (x )在[a ,b ]上的各极值与端点处的函数值f (a ),f (b )比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.3.利用导数可以解决哪些不等式问题? (1)利用导数证明不等式:证明f (x )<g (x ),x ∈(a ,b ),可以构造函数F (x )=f (x )-g (x ),如果能证明F (x )在(a ,b )上的最大值小于0,那么可以证明f (x )<g (x ),x ∈(a ,b ).(2)利用导数解决不等式的“恒成立”与“存在性”问题:①f (x )>g (x )对一切x ∈I 恒成立⇔I 是f (x )>g (x )的解集的子集⇔[f (x )-g (x )]min >0(x ∈I ); ②∃x ∈I ,使f (x )>g (x )成立⇔I 与f (x )>g (x )的解集的交集不是空集⇔[f (x )-g (x )]max >0(x ∈I ); ③对∀x 1,x 2∈I ,f (x 1)≤g (x 2)⇔f (x )max ≤g (x )min ; ④对∀x 1∈I ,∃x 2∈I ,f (x 1)≥g (x 2)⇔f (x )min ≥g (x )min .函数是一条主线,贯穿于整个高中数学,导数是重要的解题工具,是解决函数问题的利器,因此,函数与导数在高考数学中的地位不言而喻.本专题内容也是高考中重要的考点之一,从近年高考的命题情况来看,本专题在高考分值中占20%左右,试题的易、中、难比例相当,选择题、填空题和解答题均有考查.一、选择题和填空题的命题特点(一)考查函数图象的判断及简单应用.试题难度中档,综合考查函数的解析式、定义域、值域及单调性、奇偶性等性质的综合.1.(2018·全国Ⅱ卷·文T3改编)函数f (x )=5x-5-xx 2的图象大致为( ).解析▶∵f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=5-x-5x=-f(x),∴f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,排除A;x2又当x>0时,5x>1>5-x,∴f(x)>0,排除D;f(2)>1,排除C.故选B.答案▶ B的部分图象大致为().2.(2017·全国Ⅰ卷·文T8改编)函数y=sin2x1+cosx解析▶因为函数为奇函数,所以其图象关于原点对称,所以选项C,D错误;又当x=0时,y=0,所以选项B错误.故选A.答案▶ A(二)考查函数的基本性质及简单应用.试题难度中档,综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性及图象的推理能力等.3.(2018年·全国Ⅱ卷·文T12改编)已知f(x)是定义域为R的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=().A.-2018B.0C.2D.50解析▶∵f(x)是奇函数,且f(1-x)=f(1+x),∴f(1-x)=f(1+x)=-f(x-1),f(0)=0,∴f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期为4的周期函数.∵f(1)=2,∴f(2)=f(0)=0,f(3)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=504[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(2017)+f(2018)=f(1)+f(2)=2+0=2.故选C.答案▶ C(三)考查基本初等函数的性质及应用.试题难度较大,综合考查基本初等函数的性质与图象.4.(2018·全国Ⅲ卷·文T16改编)已知函数f(x)=log2(√1+x2-x)+2,f(a)=3,则f(-a)=.解析▶因为f(x)log=2(√1+x2-x)+2,所以f(x)+f(-x)=log2(√1+x2-x)+2+log2[√1+(-x)2-(-x)]+2=log2(1+x2-x2)+4=4.因为f(a)=3,所以f(-a)=4-f(a)=4-3=1.答案▶ 15.(2018·全国Ⅰ卷·文T13改编)已知函数f(x)=log3(x2+a),若f(2)=1,则a=.解析▶∵f(2)=1,log∴3(4+a)=1,∴4+a=3,∴a=-1.答案▶-16.(2017·全国Ⅱ卷·文T8改编)函数y=ln(-x2+2x+3)的单调递减区间是().A.(-1,1]B.[1,3)C.(-∞,1]D.[1,+∞)解析▶令t=-x2+2x+3,由t>0,求得-1<x<3,故函数的定义域为(-1,3),且y=ln t,故本题为求函数t=-x2+2x+3在定义域内的单调递减区间.利用二次函数的性质求得t=-(x-1)2+4在定义域内的单调递减区间为[1,3),故选B.答案▶ B(四)考查函数零点的判断及应用,同时考查函数与方程的思想、转化思想及数形结合思想,试题难度较大.7.(2017·全国Ⅲ卷·文T12改编)已知函数f(x)=x2-4x+a(10x-2+10-x+2)有唯一零点,则a=().A.4B.3C.2D.-2解析▶函数f(x)有唯一零点等价于方程4x-x2=a(10x-2+10-x+2)有唯一解,等价于函数y=4x-x2的图象与y=a(10x-2+10-x+2)的图象只有一个交点.当a=0时,f(x)=x2-4x,此时函数有两个零点,矛盾;当a<0时,由于y=4x-x2在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,且y=a(10x-2+10-x+2)在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,所以函数y=4x-x2的图象的最高点为A(2,4),y=a(10x-2+10-x+2)的图象的最高点为B(2,2a),由于2a<0<4,所以此时函数y=4x-x2的图象与y=a(10x-2+10-x+2)的图象不可能只有1个交点,矛盾;当a>0时,由于y=4x-x2在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,且y=a(10x-2+10-x+2)在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以函数y=4x-x2的图象的最高点为A(2,4),y=a(10x-2+10-x+2)的图象的最低点为B(2,2a),由题意可知点A与点B重合时满足条件,即2a=4,解得a=2,符合条件.故选C.答案▶ C(五)考查导数的几何意义及简单的导数计算.导数的几何意义一直是高考的热点和重点,试题综合考查导数的计算及直线方程的知识,难度较小.8.(2018·全国Ⅰ卷·文T6改编)设函数f(x)=x3+(a+1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为.解析▶因为函数f(x)是奇函数,所以a+1=0,解得a=-1,所以f(x)=x3-x,f'(x)=3x2-1,所以f'(0)=-1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=-x.答案▶y=-x二、解答题的命题特点在全国卷中,函数与导数的综合试题一般为第21题,是全卷的压轴题.试题难度较大,综合性强,主要考查函数单调性的判断,函数零点个数的判断,极(最)值的应用,恒成立问题,不等式的证明等. 1.(2018·全国Ⅰ卷·文T21改编)已知函数f (x )=a e x+ln x+1. (1)设x=2是f (x )的极值点,求a ,并求f (x )的单调区间; (2)证明:当a ≤-1e时,f (x )≤0.解析▶ (1)f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=ea x+1x.由题设知,f'(2)=0,所以a=-12e 2. 从而f (x )=-12e 2e x+ln x+1, 则f'(x )=-12e 2e x +1x. 当0<x<2时,f'(x )>0;当x>2时,f'(x )<0.所以f (x )在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减. (2)当a ≤-1e时,f (x )≤-e x e+ln x+1. 设g (x )=-e xe +ln x+1,则g'(x )=-e x e +1x .当0<x<1时,g'(x )>0;当x>1时,g'(x )<0. 所以x=1是g (x )的最大值点. 故当x>0时,g (x )≤g (1)=0. 因此,当a ≤-1e时,f (x )≤0.2.(2017·全国Ⅰ卷·文T21改编)已知函数f (x )=e x(e x-a )-a 2x ,其中参数a ≤0.(1)讨论f (x )的单调性;(2)若f (x )≥0,求a 的取值范围.解析▶ (1)f'(x )=e22x-ea x -a 2=(e2x +a )e (x-a ).①若a=0,则f (x )=e 2x ,其在R 上单调递增. ②若a<0,则由f'(x )=0,得x=ln (-a2).当x ∈(-∞,ln (-a 2))时,f'(x )<0;当x ∈(ln (-a 2),+∞)时,f'(x )>0. 故f (x )在(-∞,ln (-a 2))上单调递减,在(ln (-a 2),+∞)上单调递增. (2)①当a=0时,f (x )=e 2x≥0恒成立.②若a<0,则由(1)得,当x=ln (-a 2)时,f (x )取得最小值,最小值为f (ln (-a 2))=a 2[34-ln (-a2)],故当且仅当a2[34-ln (-a2)]≥0,即a ≥-2e 34时,f (x )≥0.综上,a 的取值范围是[-2e 34,0].1.识别函数图象的常用方法:(1)直接法:直接求出函数的解析式并画出其图象.(2)特例排除法,例如,根据已知函数的图象或已知函数的解析式,取特殊点,判断各选项的图象是否经过该特殊点.(3)性质(单调性、奇偶性、过定点等)验证法.(4)较复杂函数的图象,常借助导数这一工具,先对原函数进行求导,再利用导数判断函数的单调性、极值或最值,从而对选项进行筛选.2.函数性质综合问题的常见类型及解题策略:(1)单调性与奇偶性结合.解决此类问题要注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性.(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值,常利用奇偶性及周期性进行交换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.3.对于函数零点(方程的根)的确定问题,高考常从以下几个方面进行考查:(1)函数零点值大致所在区间的确定;(2)零点个数的确定;(3)两个函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决此类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法,尤其是方程两边对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解.4.利用导数的几何意义解题主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来转化,关键是求出切点的坐标.5.利用导数研究函数的单调性:(1)已知函数解析式求单调区间,实质上是求f'(x)>0,f'(x)<0的解集,求单调区间应遵循定义域优先的原则;(2)含参函数的单调性要分类讨论,通过确定导数的符号判断函数的单调性;(3)注意两种表述“函数f(x)在(a,b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a,b)”的区别.6.利用导数研究函数极值、最值的方法:(1)若求极值,则先求方程f'(x)=0的根,再检查f'(x)在方程根的左右函数值的符号;(2)若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程f'(x)=0根的大小或存在情况来求解;(3)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.01函数的基本性质与基本初等函数1.函数f(x)=2√1-x+lg(3x+1)的定义域是().A.(-13,1)B.(-13,+∞)C.(-13,13]D.(-∞,-13)解析▶若函数f(x)有意义,则{3x+1>0, 1-x>0,所以-13<x<1,故函数f(x)的定义域为(-13,1).故选A.答案▶ A2.若函数f (x )={e x -1,x ≤1,5-x 2,x >1,则f (f (2))=( ).A .1B .4C .0D .5-e 2解析▶ 由题意知,f (2)=5-4=1,f (1)e=0=1,所以f (f (2))=1.故选A .答案▶ A3.已知定义在R 上的函数f (x )=2-|x|,记a=f (log 0.53),b=f (log 25),c=f (0),则a 、b 、c 的大小关系是( ).A .a<b<cB .c<b<aC .a<c<bD .b<a<c解析▶ 易知f (x )=2-|x|是偶函数,且在[0,+∞)上单调递减,又f (log 0.53)=f (-log 23)=f (log 23),而log 25>log 23>0,∴f (log 25)<f (log 23)<f (0),即b<a<c.故选D . 答案▶ D4.设偶函数f (x )对任意x ∈R ,都有f (x+3)=-1f(x),且当x ∈[-3,-2]时,f (x )=4x ,则f (2018)= .解析▶ 由条件可得f (x+6)=f (x ), 所以函数f (x )的周期为6,所以f (2018)=f (6×336+2)=f (2)=f (-2)=-8. 答案▶ -8能力1 ▶ 会求函数的定义域及函数值【例1】 (1)函数y=lg(1-x 2)2x 2-3x -2的定义域为( ).A .(-∞,1]B .[-1,1]C .(-1,-12)∪(-12,1) D .[-1,-12)∪(-12,1] (2)设函数f (x )={x 2+x -2,x ≤1,-lgx,x >1,则f (f (-4))= .解析▶ (1)由题意知{1-x 2>0,2x 2-3x -2≠0,即{-1<x <1,x ≠2且x ≠-12.所以函数的定义域为(-1,-12)∪(-12,1). (2)f (f (-4))=f (16-4-2)=f (10)=-1. 答案▶ (1)C (2)-1(1)函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合,求函数定义域只需构建不等式(组)求解即可;(2)求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现f (f (a ))的形式时,应从内到外依次求值;(3)当给出函数值求自变量的值时,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验,看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.1.函数y=lg (x-3)+√4-x的定义域为 .解析▶ 由题意知{x -3>0,4-x >0,解得3<x<4,∴函数的定义域为(3,4).答案▶ (3,4)2.已知函数f (x )={2x +1,x ≤1,log 2(x -1),x >1,则f (f (2))= .解析▶ ∵f (2)log=2(2-1)=0,∴f (f (2))=f (0)=20+1=2.答案▶ 23.已知函数f (x )={3x +1,x <1,ax 2-x,x ≥1,若f (f (0))=2,则实数a 的值为 .解析▶ f (0)=30+1=2,f (2)=4a-2,由4a-2=2得a=1.答案▶ 1能力2 ▶ 会利用函数的单调性求参数的值或范围【例2】 (1)若函数f (x )={(a -2)x -1,x ≤1,log a x,x >1在R 上单调递增,则a 的取值范围为( ).A .(1,2)B .(2,3)C .(2,3]D .(2,+∞)(2)已知函数f (x )={x 3,x ≥0,-x 3,x <0,若f (3a-1)≥8f (a ),则a 的取值范围是 .解析▶ (1)∵f (x )在R 上单调递增, ∴{a >1,a -2>0,(a -2)×1-1≤log a 1,∴2<a ≤3,故选C . (2)由题意得函数f (x )为偶函数,且当x<0时,函数单调递减,当x ≥0时,函数单调递增. 原不等式可化为f (|3a-1|)≥f (|2a|),∴|3a-1|≥|2a|,两边平方整理得5a2-6a+1≥0,解得a≤15或a≥1.∴a的取值范围是(-∞,15]∪[1,+∞).答案▶(1)C(2)(-∞,15]∪[1,+∞)(1)对于分段函数的单调性,应考虑各段的单调性,且要注意分界点处的函数值的大小;(2)对于抽象函数不等式,应根据函数的单调性去掉“f”,转化成解不等式,要注意函数定义域的运用.1.设函数f(x)={2x-a,x≤1,log a x,x>1(a>0且a≠1),若f(x)在R上是增函数,则a的取值范围是.解析▶若f(x)在R上是增函数,则有{a>1,2-a≤0,∴a≥2.答案▶[2,+∞)2.已知奇函数f(x)为R上的减函数,若f(3a2)+f(2a-1)≥0,则a的取值范围是.解析▶若f(3a2)+f(2a-1)≥0,则f(3a2)≥-f(2a-1),已知函数f(x)为奇函数,则不等式等价于f(3a2)≥f(-2a+1),又函数f(x)在R上单调递减,则3a2≤-2a+1,即3a2+2a-1≤0,所以a的取值范围是[-1,13].答案▶[-1,13]能力3▶会综合利用函数的基本性质【例3】(1)已知定义在R上的函数f(x)满足:对任意实数x都有f(x+3)=f(x-3),f(-x)=f(x),且当x∈[-3,0]时,f(x)=lo g12(6+x),则f(2018)的值为().A.-3B.-2C.2D.3(2)已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=a x(a>0且a≠1),且f(lo g124)=-3,则a的值为.解析▶(1)对任意实数x都有f(x+3)=f(x-3),则函数f(x)的周期是6,又f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,则f(2018)=f(2),根据奇偶性得到f(2)=f(-2)=-2.故选B.(2)∵奇函数f(x)满足f(lo g124)=-3,而lo g124=-2<0,∴f(-2)=-3,即f(2)=3.又∵当x>0时,f(x)=a x(a>0且a≠1),∴f(2)=a2=3,解得a=√3.答案▶(1)B(2)√3函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质,在高考中常常将它们综合在一起命题,其中奇偶性多与单调性结合,而周期性多与抽象函数结合,并结合奇偶性求函数值.函数的奇偶性体现的是一种对称关系,而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律.因此,在解题时,往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性解决相关问题.1.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,若f(2)=-2,则满足f(x-1)≥-2的x的取值范围是().A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.[-1,3]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)解析▶由题意知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,若f(2)=-2,则f(x-1)≥-2⇔f(x-1)≥f(2)⇔f(|x-1|)≥f(2),即|x-1|≥2,解得x≤-1或x≥3.故选B.答案▶ B2.设函数f(x)是以2为周期的奇函数,已知当x∈(0,1)时,f(x)=2x,则f(x)在(2017,2018)上是().A.增函数,且f(x)>0B.减函数,且f(x)<0C.增函数,且f(x)<0D.减函数,且f(x)>0解析▶∵函数f(x)的周期是2,∴函数f(x)在(2017,2018)上的单调性和(-1,0)上的单调性相同.∵当x∈(0,1)时,f(x)=2x为增函数,函数f(x)为奇函数,∴当x∈(-1,0)时,f(x)为增函数.∵当x∈(0,1)时,f(x)=2x>0,∴当x∈(-1,0)时,f(x)<0,∴当x∈(2017,2018)时,f(x)<0,即f(x)在(2017,2018)上是增函数,且f(x)<0,故选C.答案▶ C能力4▶会借助函数的基本性质解决与基本初等函数有关的问题【例4】(1)若a,b,c满足2a=3,b=log25,3c=2,则().A.c<a<bB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a(2)已知f(x)=x3+3x,a=20.3,b=0.32,c=log20.3,则().A.f(a)<f(b)<f(c)B.f(b)<f(c)<f(a)C .f (c )<f (b )<f (a )D .f (b )<f (a )<f (c ) 解析▶ (1)因为2a=3,3c=2,所以a=log 23,c=log 32.因为y=log 2x ,y=log 3x 是增函数, 所以log 25>log 23>log 22=log 33>log 32, 因此b>a>c ,故选A .(2)由指数函数的性质可得,1<a=20.3<21=2,0<b=0.32<0.30=1,由对数函数的性质可得,c=log 20.3<log 21=0,∴a>b>c.又∵f (x )=x 3+3x 在R 上单调递增,∴f (c )<f (b )<f (a ),故选C .答案▶ (1)A (2)C利用指数函数、对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小时,一方面要比较两个实数或式子形式的异同;另一方面要注意特殊值的应用,有时候可以借助其“桥梁”作用,来比较大小.1.若x ∈(e -1,1),a=ln x ,b=(12)lnx ,c=e ln x,则( ).A .b>c>aB .c>b>aC .b>a>cD .a>b>c解析▶ e∵-1<x<1,∴-1<ln x<0.∴a=ln x<0,b=(12)lnx>1,c=e ln x =x ∈(e -1,1), ∴b>c>a.故选A .答案▶ A2.设函数f (x )定义在实数集上,f (2-x )=f (x ),且当x ≥1时,f (x )=ln x ,则有( ). A .f (13)<f (2)<f (12) B .f (12)<f (2)<f (13) C .f (12)<f (13)<f (2) D .f (2)<f (12)<f (13) 解析▶ ∵f (2-x )=f (x ),∴函数f (x )图象的对称轴为直线x=1. ∵当x ≥1时,f (x )=ln x ,∴f (x )在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,故当x=1时,函数f (x )有最小值,离x=1越远,函数值越大,故选C .答案▶ C一、选择题1.下列函数中,与函数y=2x -2-x 的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是( ).A .y=sin xB .y=x 3C .y=(12)xD .y=log 2x解析▶ 原函数是定义域为R 的增函数,也是奇函数,所以A 、C 、D 错误,B 正确.故选B . 答案▶ B2.函数f (x )=√-x 2-3x+4lg(x+1)的定义域为( ).A .(-1,0)∪(0,1]B .(-1,1]C .(-4,-1]D .(-4,0)∪(0,1]解析▶ 由题意得{-x 2-3x +4≥0,x +1>0,x +1≠1,解得-1<x ≤1且x ≠0,所以函数f (x )的定义域为(-1,0)∪(0,1]. 故选A . 答案▶ A3.已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数,当x ≤0时,f (x )=3x +a ,则f (2)的值为( ).A .89B .19C .-19D .-89解析▶ ∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数,∴f (0)=30+a=0,解得a=-1. ∵f (-2)=3-2-1=-89, ∴f (2)=-f (-2)=89.故选A .答案▶ A4.设a=0.23,b=log 0.30.2,c=log 30.2,则a ,b ,c 的大小关系是( ).A .a>b>cB .b>a>cC .b>c>aD .c>b>a解析▶ 因为0<a=0.23<0.20=1,b log=0.30.2log>0.30.3=1,c log=30.2log<31=0,所以b>a>c ,故选B . 答案▶ B5.已知函数f (x )={x -2(x ≤1),lnx(x >1),那么函数f (x )的值域为( ).A .(-∞,-1)∪[0,+∞)B .(-∞,-1]∪(0,+∞)C .[-1,0)D .R解析▶ ∵y=x -2(x ≤1)的值域为(-∞,-1],y=ln x (x>1)的值域为(0,+∞),∴函数f (x )的值域为(-∞,-1]∪(0,+∞).故选B .答案▶ B6.若函数y=√a -a x (a>0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,1],则log a 56+log a 485=( ).A .1B .2C .3D .4解析▶ 当x=1时,y=0,则函数在[0,1]上为减函数,故a>1.∴当x=0时,y=1,则√a -1=1,∴a=2.故log a 56+log a 485=log a (56×485)=log 28=3. 答案▶ C7.已知定义在R 上的奇函数f (x ),当x ≥0时,恒有f (x+2)=f (x ),且当x ∈[0,1]时,f (x )=e x -1,则f (-2017)+f (2018)=( ). A .0B .eC .e -1D .1-e解析▶ 由题意可知,函数f (x )是周期为2的奇函数,则f (2018)=f (2018-1009×2)=f (0)e=0-1=0,f (-2017)=-f (2017)=-f (2017-1008×2)=-f (1)=-e (1-1)=1-e ,据此可得f (-2017)+f (2018)=1-e .故选D .答案▶ D8.函数y=f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=(-x+a+1)log 2(x+2)+x+m ,其中a ,m 是常数,且a>0,若f (a )=1,则a-m=( ). A .-5B .5C .-1D .1解析▶ 函数y=f (x )是定义在R 上的奇函数.当x ≥0时,f (x )=(-x+a+1log )2(x+2)+x+m ,由f (0)=0⇒a+1+m=0,f (a )=1log ⇒2(a+2)+a+m=1log ⇒2(a+2)=2⇒a=2得m=-3,故a-m=5,故选B .答案▶ B9.若函数f (x )、g (x )分别是定义在R 上的偶函数、奇函数,且满足f (x )+2g (x )=e x ,则( ).A .f (-2)<f (-3)<g (-1)B .g (-1)<f (-3)<f (-2)C .f (-2)<g (-1)<f (-3)D .g (-1)<f (-2)<f (-3)解析▶ 由函数f (x )、g (x )分别是定义在R 上的偶函数、奇函数,且满足f (x )+2g (x )e=x,可得f (x )-2g (x )=e -x,解得f (x )=12(e x+e -x),g (x )=14(e x-e -x),可得g (-1)=14(1e -e)<0,f (-2)=12(e -2+e 2)>0,f (-3)=12(e -3+e 3)>0,f (-2)-f (-3)=12(e -1)(e -3-e 2)<0,所以g (-1)<f (-2)<f (-3). 答案▶ D 二、填空题10.设函数f (x )={log 3x,x >0,-2x +1,x ≤0,则f (f (-4))= .解析▶ f (f (-4))=f (9)log=39=2. 答案▶ 211.已知f (x )=ax-log 2(4x +1)是偶函数,则a= .解析▶ ∵f (x )=ax log-2(4x+1)是偶函数,∴f (1)=f (-1),即a-log 2(41+1)=-a-log 2(4-1+1),解得a=1. 答案▶ 112.若函数f (x )={x 2-5x,x ≥0,-x 2+ax,x <0是奇函数,则实数a 的值为 .解析▶ ∵f (x )为奇函数,∴f (-1)=-f (1),即-1-a=4,∴a=-5. 答案▶ -5 三、解答题13.已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0,+∞)上单调递减,且f (1)=0,求不等式f (log 4x )+f (lo g 14x )≥0的解集.解析▶ 因为log 14x=log-4x ,而f (x )为偶函数,所以f log (4x )+f log (14x )=2f log (4x ),故原不等式等价于f (log 4x )≥0,也就是f (log 4x )≥f (1), 所以f (|log 4x|)≥f (1),所以|log 4x|≤1, 所以-1≤log 4x ≤1,即14≤x ≤4.02函数的图象与函数的应用1.函数y=(13)|log 3x|的图象是().解析▶ 当x ≥1时,y=(13)|log 3x|=(13)log 3x =1x .当0<x<1时,y=(13)|log 3x|=3log 3x=x.∴y=(13)|log 3x|={1x,x ≥1,x,0<x <1,其图象为选项A 中的图象,故选A .答案▶ A2.函数f (x )=log 2x-1x的零点所在的区间为( ).A .(0,12) B .(12,1) C .(1,2)D .(2,3)解析▶ 函数f (x )的定义域为(0,+∞),且函数f (x )在(0,+∞)上为增函数.∵f (12)=log 212-112=-1-2=-3<0, f (1)=log 21-11=0-1<0, f (2)=log 22-12=1-12=12>0, f (3)=log 23-13>1-13=23>0, ∴f (1)·f (2)<0,∴函数f (x )=log 2x-1x 的零点在区间(1,2)内,故选C .答案▶ C3.已知函数f (x )={-x 2+4x,x ≤2,log 2x -a,x >2有两个不同的零点,则实数a 的取值范围是( ).A .[-1,0)B .(1,2]C .(1,+∞)D .(2,+∞)解析▶ 当x ≤2时,由-x 2+4x=0,得x=0; 当x>2时,令f (x )=log 2x-a=0,得x=2a.又函数f (x )有两个不同的零点,∴2a >2,解得a>1,故选C .答案▶ C4.某企业为节能减排,用9万元购进一台新设备用于生产,第一年需运营费用2万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加3万元,该设备每年生产的收入均为21万元,设该设备使用了n(n∈N*)年后,盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本),则n等于().A.6B.7C.8D.7或8解析▶盈利总额为21n-9-[2n+12×n(n-1)×3]=-32n2+412n-9,由于对称轴为直线n=416,所以当n=7时,盈利总额取最大值,故选B.答案▶ B能力1▶会识别函数的图象【例1】函数y=sin x+ln |x|在区间[-3,3]上的图象大致为().解析▶设f(x)=sin x+ln |x|,当x>0时,f(x)=sin x+ln x,则f'(x)=cos x+1x.当x∈(0,1)时,f'(x)>0,即函数f(x)在(0,1)上为单调递增函数,排除B;当x=1时,f(1)=sin 1>0,排除D;因为f(-x)=sin(-x)+ln |-x|=-sin x+ln |x|,所以f(-x)≠±f(x),所以函数f(x)为非奇非偶函数,排除C.故选A.答案▶ A【例2】函数y=sin x(1+cos 2x)在区间[-2,2]上的图象大致为().解析▶ 函数y=sin x (1+cos 2x )的定义域为[-2,2],其关于原点对称,且f (-x )=sin (-x )(1+cos 2x )=-sinx (1+cos 2x )=-f (x ),则f (x )为奇函数,其图象关于原点对称,排除D ;当0<x<1时,y=sin x (1+cos 2x )=2sin x cos 2x>0,排除C ;又2sin x cos 2x=0,可得x=π2或x=-π2或x=0,排除A ,故选B .答案▶ B函数图象的辨识主要从以下几个方面入手:(1)函数图象的对称性;(2)函数图象的单调性;(3)特殊点.1.函数f (x )={2x-1,x ≥0,-x 2-2x,x <0的图象大致是( ).解析▶ 当x ≥0时,f (x )=2x-1,根据指数函数g (x )=2x的图象向下平移一个单位,即可得到函数f (x )的图象.当x<0时,f (x )=-x 2-2x ,根据二次函数的图象与性质,可得到相应的图象.综上,函数f (x )的图象为选项D 中的图象. 答案▶ D 2.函数f (x )=1-x 2e x的图象大致是( ).解析▶因为f(-x)=1-x2e-x 与f(x)=1-x2e x不相等,所以函数f(x)=1-x2e x不是偶函数,其图象不关于y轴对称,所以可排除B,C.代入x=2,得f(x)<0,可排除A.故选D.答案▶ D能力2▶会利用函数图象解决函数的零点问题【例3】已知函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),且f(x)是偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-log a(x+2)有4个零点,则实数a的取值范围是().A.(1,5)B.(1,5]C.(5,+∞)D.[5,+∞)解析▶由题意可知函数f(x)是周期为2的偶函数,结合当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,绘制函数图象如图所示,函数g(x)有4个零点,则函数f(x)与函数y=log a(x+2)的图象在区间[-1,3]内有4个交点,结合函数图象可得,log a(3+2)≤1,解得a≥5,即实数a的取值范围是[5,+∞).答案▶ D【例4】定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)={1-2x,x∈[0,1),1-|x-3|,x∈[1,+∞),则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为().A.2a-1B.1-2-aC.-log2(1+a)D.log2(1-a)解析▶当x≥0时,f (x )={1-2x ,x ∈[0,1),x -2,x ∈[1,3),4-x,x ∈[3,+∞),又f (x )是奇函数,画出函数f (x )的图象,由函数f (x )图象和F (x )=0⇒f (x )=a (0<a<1),可知F (x )有五个零点,其中有两个零点关于直线x=-3对称,还有两个零点关于直线x=3对称,所以这四个零点的和为零,第五个零点是直线x=a 与函数y=(12)x -1,x ∈(-1,0]交点的横坐标,即方程a=(12)x -1的解,解得x=-log 2(1+a ),故选C .答案▶ C函数零点的求解与判断方法:(1)直接求零点:令f (x )=0,如果能求出解,那么有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理:利用定理不仅要函数f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,且f (a )·f (b )<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.(3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画出这两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.1.定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x+1)=-f (x ),当x ∈[0,1]时,f (x )=-2x+1,设函数g (x )=(12)|x -1|(-1<x<3),则函数f (x )与g (x )的图象所有交点的横坐标之和为( ).A .2B .4C .6D .8解析▶ 因为f (x+1)=-f (x ),所以f (x )的周期为2.函数g (x )=(12)|x -1|关于直线x=1对称,作图可得四个交点的横坐标关于直线x=1对称,其和为2×2=4,故选B .答案▶ B2.函数f (x )={ln(-x -1),x <-1,2x +1,x ≥-1,若函数g (x )=f (f (x ))-a 有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是( ).A .[0,+∞)B .[0,1]C .(-1,0]D .[-1,+∞)解析▶ 设t=f (x ),则a=f (t ),在同一坐标系内作y=a 与y=f (t )的图象(如图), 当a ≥-1时,两个图象有两个交点,设交点的横坐标分别为t 1,t 2,且t 1<-1,t 2≥-1. 当t 1<-1时,t 1=f (x )有一个解;当t 2≥-1时,t 2=f (x )有两个解. 综上可知,当a ≥-1时,g (x )=f (f (x ))-a 有三个不同的零点.故选D . 答案▶ D能力3 ▶ 会解答函数的实际应用问题【例5】 某高校为提升科研能力,计划逐年加大科研经费投入.若该高校2017年全年投入科研经费1300万元,在此基础上,每年投入的科研经费比上一年增长12%,则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是( ).(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)A .2020年B .2021年C .2022年D .2023年解析▶ 若2018年是第1年,则第n 年科研经费为1300×1.12n.由1300×1.12n>2000,可得lg 1.3+n lg1.12>lg 2,得n×0.05>0.19,n>3.8,n ≥4,即4年后,到2021年科研经费超过2000万元,故选B .答案▶ B与实际应用相结合的问题题型是高考命题的一个方向,解决此类问题的一般程序:读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.在标准状况下,人体血液中氢离子的物质的量浓度(单位:mol/L ,记作c (H +))和氢氧根离子的物质的量浓度(单位:mol/L ,记作c (OH -))的乘积等于常数10-14.已知pH 的定义为pH =-lg c (H +),健康人体血液的pH 保持在7.35~7.45之间,那么健康人体血液中的c(H +)c(OH -)可以为( ).(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)A .12B .13C .16D .110解析▶ ∵c H (+)·c OH (-)=10-14,∴c(H +)c(OH -)=c 2(H +)×1014. ∵7.35<-lg c (H +)<7.45, ∴10-7.45<c (H +)<10-7.35, ∴10-0.9<c(H +)c(OH -)=1014·c 2(H +)<10-0.7,10-0.9=1100.9>110,∴排除D 项.∵0.7>lg 3>lg 2,∴100.7>3>2,10-0.7<13<12,∴排除A 、B 项.故选C .答案▶ C一、选择题1.已知方程x 2-3x+1=0的两个根为x 1,x 2,则2x 1·2x 2=( ).A .3B .6C .8D .2解析▶ 由题意得x 1+x 2=3,∴2x 1·2x 2=2x 1+x 2=23=8,故选C . 答案▶ C2.函数f (x )=2x +2x 的零点所在的区间是( ).A .[-2,-1]B .[-1,0]C .[0,1]D .[1,2]解析▶ 因为f (x )是增函数且f (-2)=2-2+2×(-2)<0,f (-1)=2-1+2×(-1)<0,f (0)=20+0>0,所以由零点存在性定理知,函数f (x )的零点在[-1,0]内,故选B .答案▶ B3.函数f (x )=ln (|x|-1)+x 的大致图象为( ).解析▶ 由题意知,|x|-1>0,则x>1或x<-1.当x>1时,f (x )=ln (x-1)+x 为单调递增函数,排除B ,C ;当x=-2时,f (-2)=ln (|-2|-1)-2=-2<0,排除D .故选A .答案▶ A4.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 满足f (32a-1)≥f (-√3),则a 的最大值是( ). A .1B .12C .14D .34解析▶ 由题意可知,-√3≤32a-1≤√3,解得a ≤34.故选D .答案▶ D5.已知f (x )=e |x-1|,设a=f (35),b=f (54),c=f (2),则a ,b ,c 的大小关系是( ).A .a>b>cB .c>a>bC .b>a>cD .c>b>a解析▶ f (x )e=|x-1|的图象关于直线x=1对称,且f (x )在(1,+∞)上单调递增,又1<54<75<2,∴f (54)<f (75)<f (2),又f (75)=f (35),∴f (54)<f (35)<f (2),故选B .答案▶ B6.设函数f (x )={(x -a)2-1,x ≤1,lnx,x >1,若f (x )≥f (1)恒成立,则实数a 的取值范围为( ).A .[1,2]B .[0,2]C .[1,+∞)D .[2,+∞)解析▶ ∵f (x )={(x -a)2-1,x ≤1,lnx,x >1,且f (x )≥f (1)恒成立,∴f (1)是f (x )的最小值.由二次函数性质可得a ≥1, 由分段函数性质得(1-a )2-1≤ln 1, 解得0≤a ≤2.综上,a 的取值范围为[1,2],故选A . 答案▶ A7.已知函数f (x )={-xx+1,x ∈(-1,0),x,x ∈[0,1],若方程f (x )-mx-m=0有两个不同的实根,则实数m 的取值范围是( ).A .[0,12) B .[12,+∞) C .[0,13) D .(0,12]解析▶ 在同一坐标系内画出y=f (x ),y=mx+m 在(-1,1]上的图象,动直线y=mx+m 过定点(-1,0),观察图象可知,当0<m ≤12时,两图象有两个不同的交点,从而方程f (x )-mx-m=0有两个不同的实根,故选D .。