二阶非线性中立型微分方程的振动性
二阶非线性中立型时滞泛函微分方程的振动性
收 稿 日期 ：目 ： 南 省 教 育 厅 资助 科 研 项 目（ ｏ ０Ｃ ４ ） 湖 Ｎ ．７ ３ １ ． 作 者 简 介 ： 甲 山 （９ ３ ， （ 族 ）湖 南 城 步 人 ， 阳 学 院 理 学 与 信 息科 学 系 副 教 授 ， 究 方 向 ： 分 差 分 方 程 杨 １６ 一）男 苗 ， 邵 研 微
２ ０ 年 １ 月 ０８ １
第 ｌ ７卷
第 ４期
中 央 民族 大学 学 报 （ 自然 科 学版 ） Ｊ ｕ ａ ｏ ｅＣ Ｎ Ｎ ｔｒ ｃ ｎ ｅ ｄｔ ｎ ｏ ｒ ｌ ｆ ｈ Ｕ （ ａ ａ Ｓ ｉ ｃｓＥ ｉｏ ） ｎ ｔ ｕｌ ｅ ｉ
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方 程 （ ） （ ） ０的一切 解却 都是 单 调 的 ． ｔ＋ ｔ ＝ 因此对 时滞 中立 型泛 函微 分 方程 解 的振 动性 和渐 近性 在 理 论研究 和实 际应 用 中都具 有非 常重 要 的意 义 ， 近几 年 来 ， 这一 领 域 出 现 了许 多 研 究 成果 ， 于较 一 在 对 般 的二 阶 中立 型泛 函微 分 方程 ， ａ ｏ ， ｉ ｅ ， ｒｅ Ｋ ｎ ｔ Ｚ ａ ｇ已在 专著 中给 出 了很 好 的 总结 ｎ ． Ｂ ｉ ｖ Ｍ ｓ ｖ Ｅｂ ， ｏｇ 和 ｈ ｎ ｎ ｈ ］ 本文 将讨 论一 类形 式更 为广 泛 的二 阶非 线性 中立 型泛 函微 分 方程 ：
了该 方 程 振 动 的几 个新 的 准 则 ， 进 了 现有 文 献 中的 一 些 结 果 ． 改 关 键 词 ： 中 立 型 泛 函数 微 分 方 程 ； 线 性 ； 动 性 非 振 中图 分 类 号 ：Ｏ ７ ．７ １５ １ 文 献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０５８３ （Ｏ８ ０．０ １ ６ １０ —０６２ Ｏ ）４０４． ０
显含阻尼项的二阶非线性中立型Emden-Fowler微分方程的振动性和渐近性
应用数学MATHEMATICA APPLICATA2020,33(3):770-781显含阻尼项的二阶非线性中立型Emden-Fowler微分方程的振动性和渐近性仉志余1,宋菲菲1,俞元洪2(1.太原工业学院理学系,山西太原030008;2.中国科学院数学与系统科学研究院,北京100190)摘要：本文研究一类带有更广泛而又不失物理意义阻尼项的二阶非线性中立型Emden-Fowler时滞微分方程的振动性和渐近性.利用指数变换、Riccati变换和不等式技巧,获得该类方程几个新的振动准则,推广、改进和统一已有文献中的研究成果,并逐一给出例子说明了相应定理的实用效果.关键词：振动准则;渐近性;Emden-Fowler方程;中立型非线性微分方程;二阶;阻尼项中图分类号：O175.12AMS(2000)主题分类：34K11;34C10文献标识码：A文章编号：1001-9847(2020)03-0770-121.引言来源于数学物理方程的Emden-Fowler型微分方程的研究成果已被广泛应用在天体物理、气体动力学、物理化学以及各高新技术领域之中[1−4].例如带阻尼项的二阶Emden-Fowler方程x′′(t)+atx′(t)+bt m−1x n(t)=0,(1.1)(其中,n=0,n=1,a,b,m为常数,atx′(t)为阻尼项)振动性渐近性的结果远没有不带阻尼项时的系统丰富[1,7,11].本文研究更一般的显含阻尼项的二阶非线性中立型广义Emden-Fowler时滞微分方程(r(t)ϕα(z′(t)))′+g(t)ϕα(z′(t))+f(t,ϕβ(x(σ(t))))=0,t≥t0≥0,(1.2)的振动性,其中z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t)),ϕα(u)=|u|α−1u,u∈R,r∈C1([t0,∞),(0,∞)),g,p∈C1([t0,∞),R),f∈C([t0,∞)×R,R),α>0,β>0为常数,τ,σ∈C1([t0,∞),R),τ(t)≤t,σ(t)≤t,limt→∞τ(t)=limt→∞σ(t)=∞.在现有文献中,所谓带阻尼项(或不带阻尼项)的二阶泛函微分方程,几乎均为类似于方程(1.2)当g(t)≥0(或g(t)≡0)时的情形,且近年来对其振动性的研究日趋活跃,可参见文[2-31]及其引文.那么,这里的阻尼项系数g(t)≥0的取值范围是否还可以扩大,扩大后对方程振动性的影响如何呢？为了启发我们的研究思路,首先对现有代表性的研究成果简要分析如下.例如黄记洲等[3]、LIU等[5]、曾云辉等[6]、LI等[7−8]、LUO等[9]和吴英柱等[10]分别研究了二阶广义Emden-Fowler中立型微分方程(r(t)|z′(t)|α−1z′(t))′+q(t)|x(σ(t)))|β−1x(σ(t))=0,t≥t0>0,(1.3)∗收稿日期：2019-08-29基金项目：国家自然科学基金(11701528,11647034)和山西省自然科学基金（2011011002-3）作者简介：仉志余,男,汉,山东人,二级教授,研究方向：微分方程的定性理论.第3期仉志余等：显含阻尼项的二阶非线性中立型Emden-Fowler微分方程的振动性和渐近性771的振动性和渐近性,其中z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t)),α≥β>0或β≥α=1,0≤p(t)≤1,q(t)≥0,r(t)>0,r′(t)≥0,τ(t)≤t,0<σ(t)≤t,σ′>0,lim t→∞τ(t)=lim t→∞σ(t)=∞.Agarwal等[11]、Grace等[12]和Bohner等[13]先后研究了二阶中立型时滞微分方程(r(t)((x(t)+p(t)x(τ(t)))′)α)′+q(t)xγ(σ(t))=0,t≥t0,(1.4)分别对γ≥α,γ<α,γ<α=1和γ=α的情况给出了多个振动定理,其中α,γ>0是两正奇数之比的常数.WANG等[14]、LI等[15]、罗红英等[16]和吴英柱[17]分别将方程(1.3)扩展到方程(r(t)|z′(t)|α−1z′(t))′+f(t,x(σ(t)))=0,t≥t0,(1.5)其中z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t)),r,p∈C([t0,∞),R),0≤p(t)≤1,τ(t)≤t,σ(t)≤t,σ′(t)>0,lim t→∞τ(t)=limt→∞σ(t)=∞,f∈C([t0,∞)×R,R),uf(t,u)≥0,f(t,u)/uβ≥q(t)≥0,u=0,1<β≤α为常数.显然,方程(1.3)-(1.5)均不带阻尼项.对于带阻尼项的二阶Emden-Fowler型方程振动性渐近性研究的成果虽没有对上述方程的丰富,但近年来的研究已趋活跃并有不少成果相继出现.例如Erbe等[18]和ZHANG等[19]先后研究了时间尺度上二阶阻尼时滞动力方程(a(t)(x∆(t))γ)∆+r(t)(x∆(t))γ+q(t)xγ(g(t))=0,t∈[t0,∞)T,(1.6)的振动性,其中γ>0是两正奇数之比的常数,r(t)≥0右稠连续.Saker等[20]和Rogovchenko等[21]也分别对二阶阻尼动力方程(a(t)x∆(t))∆+r(t)x∆(t)+q(t)f(x(t)=0,t∈[t0,∞)T,(1.7)给出了不同的振动性定理,其中r(t)≥0右稠连续.方程(1.6)先后被张全信等[22−24]、孙一冰等[25]和杨甲山等[26−27]许多学者拓展为更一般形式：(a(t)|z∆(t)|γ−1z∆(t))∆+p(t)|z∆(t)|γ−1z∆(t)+q(t)|x(δ(t)|β−1x(δ(t)=0,t∈[t0,∞)T,(1.8)其中z(t)=x(t)+r(t)x(τ(t),γ,β>0为常数,a(t),r(t),p(t),q(t)都是正值右稠连续函数.LI等[28]研究了带阻尼项的二阶非线性常微分方程(r(t)(x′(t))′)γ)′+p(t)(x′(t))γ+q(t)f(x(t))=0(1.9)的振动性,其中t≥t0>0,γ≥1是两正奇数之比的常数,连续函数r,p,q,f满足r∈C′([t0,∞),(0,∞)),f(x)/xγ≥µ>0,x=0.q(t)≥0且不恒等于0.李文娟等[29]将方程(1.3)的类型推广到了带阻尼项的中立型时滞微分方程(r(t)|z′(t)|α−1z′(t))′+p(t)|z′(t)|α−1z′(t)+q(t)|x(σ(t)))|β−1x(σ(t))=0,t≥t0>0,(1.10)其中z(t)=x(t)+g(t)x(τ(t)),r∈C1([t0,∞),(0,∞)),p,q∈C([t0,∞),[0,∞)),α>0,β>0为常数,在0≤g(t)≤1,p(t)≥0,q(t)≥0,r′(t)>0等基本假设条件下,获得了多个振动定理,推广了上述有关文献的部分结果.通过以上分析不难看出,方程(1.1)、(1.3)-(1.10)均为方程(1.2)的特殊类型,而且它们所谓的阻尼项系数(例如(1.6),(1.7)中的r(t)和(1.8)-(1.10)中的p(t))和中立项系数(例如(1.3)-(1.5)、(1.9)、(1.10)中的r(t)和(1.6)-(1.8)中的a(t))的导数都是非负函数.但是,不难发现,这些方程中显含的阻尼项并不代表实际物理意义下的全部阻尼项.因为由文[30]知,当r(t)>0,r′(t)≥0时,二阶微分方程(r(t)ϕα(x′(t)))′+g(t)ϕα(x′(t))+f(t,x(t))=0与二阶微分方程(ϕα(x′(t)))′+r′(t)+g(t)r(t)ϕα(x′(t))+f(t,x(t))r(t)=0772应用数学2020等价.而又当α=1,r′(t)+g(t)≥0时,后一方程是阻尼系数为(r′(t)+g(t))/r(t)的经典弹性振动系统模型[32],有着实际物理意义,且此阻尼系数的取值范围不能突破这一界限,否则将失去物理意义.例如文[31]研究了带阻尼的分数阶微分方程[r(t)(Dα0+y)(t)]′+p(t)(Dα0+y)(t)+q(t)f(∫t(t−s)−αy(s)d s)=0,(1.11)(其中,α∈(0,1),Dα0+y是y的α阶导数),在假设条件A1),A2)及ω(t)=exp(∫tt0r′(s)+p(s)r(s)d s),∫∞t01ω(t)d t=∞之下建立了方程(1.11)的振动定理.显然这里几乎是(r′(t)+p(t))/r(t)<0的情况(如其例4.1),但这时的“阻尼”已不再是具有物理意义的阻尼了[32].同样,文[28]中关于方程(1.9)的讨论也有类似现象(如其例6).因此,对于方程(1.2),本文将总假设以下条件成立：(H1)r′(t)+g(t)≥0且0≤p(t)≤p0<∞.(H2)τ◦σ=σ◦τ,τ′(t)≥τ0>0.(H3)存在不恒为零的函数q∈C([t0,∞),[0,∞)),满足f(t,u)/u≥q(t)≥0,u=0,t≥t0.其次,本文将引进指数函数变换,并借助于Riccati变换,积分平均和不等式技巧研究方程(1.2)的振动性和渐近性,建立新的振动准则,顺便导出方程(1.1)新的振动性渐近性判据.下面,引入指数函数变换φ(t)=exp (∫tt0g(u)/r(u)d u),(1.12)用φ(t)乘以方程(1.2)的两端,则(1.2)变为等价的不显含阻尼项的微分方程(E0)(R(t)|z′(t)|α−1z′(t))′+φ(t)f(t,|x(σ(t))|β−1x(σ(t)))=0,t≥t0,其中R(t)=r(t)φ(t).我们通过方程(E0),在两种情形∫∞t0(1/R(t))1/αd u=∞,(1.13)∫∞t0(1/R(t))1/αd u<∞(1.14)下,分别讨论方程(1.2)的振动性和渐近性,为此先给出以下几个引理.引理1.1设(H3)和(1.13)式成立.如果x(t)是方程(1.2)的最终正解,则最终有z′(t)>0.证因为x(t)是方程(1.2)在[t0,∞)上的最终正解,则存在t1≥t0,使得当t≥t1时有x(t)> 0,x(τ(t))>0,x(σ(t))>0,由(H3)和(E0),我们得到z(t)≥x(t)>0,(φ(t)r(t)|z′(t)|α−1z′(t))′≤0,t≥t1.(1.15)因此φ(t)r(t)|z′(t)|α−1z′(t)是非增函数且z′(t)最终保号,于是z′(t)仅有两种可能.我们断言z′(t)>0,t>t1.否则,假设z′(t)≤0,t>t1.由(1.15)式知,存在常数K>0使得−R(t)(−z′(t))α≤−R(t1)(−z′(t1))α=−K<0,t>t1,z′(t)≤−K1/α(R(t))−1/α,t>t1.从t1到t积分上式,我们得到z(t)≤z(t1)−K1/α∫tt1(R(s))−1/αd s,t>t1.在上式中令t→∞,由条件(1.13)得z(t)→−∞.此式与(1.15)式矛盾,故结论成立.证毕.引理1.2设A>0,B≥0,λ>0且均为常数,则当u>0时,有Bu−Auλ+1λ≤λλ(λ+1)λ+1Bλ+1Aλ.(1.16)第3期仉志余等：显含阻尼项的二阶非线性中立型Emden-Fowler 微分方程的振动性和渐近性773引理1.3设X >0,Y >0,λ>0为任意实数,则有X λ+Y λ≥C λ(X +Y )λ,C λ={1,0<λ≤1,21−λ,λ>1,(1.17)当且仅当X =Y,λ≥1时第一式等号成立.2.主要结果为建立方程(1.2)振动性渐近性准则,引入以下记号：Q (t )=min {φ(t )q (t ),φ(τ(t ))q (τ(t ))},ψ(t,t 1)=H (σ(t ),t 1)H −1(t,t 1),H (t,t 1)=∫t t 1R −1α(s )d s,ϕ′+(t )=max {0,ϕ′(t )},t ≥t 1≥t 0,(2.1)其中R (t )=φ(t )r (t ),φ(t )由(1.12)式定义.定理2.1设(H 1)-(H 3)和条件(1.13)式成立.如果存在函数ρ∈C 1([t 0,∞),(0,∞))和t 2≥t 1≥t 0,使得当t ≥t 2时σ(t )≥t 1,并对任意常数m ∈(0,1](当α=β时,m =1),恒有lim sup t →∞∫t t 2ρ(s )[C βQ (s )ψβ(s,t 1)−(1+p β0τ0)(λβτ0m )λR γ(s )(λ+1)λ+1(ρ′+(s )ρ(s ))λ+1]d s =∞(2.2)成立,其中C β,Q (t )和ψ(t,t 1)分别由(1.17)和(2.1)式定义,λ=min {α,β},γ= 1,α≤β,βα,α>β,则方程(1.2)振动.证假设x (t )是方程(1.2)的非振动解.不失一般性,设x (t )为[t 0,∞)上的最终正解(x (t )<0的情况类似可证),则存在t 2≥t 1≥t 0,使得t ≥t 1时,有x (t )>0,x (τ(t ))>0,x (σ(t ))>0,当t ≥t 2时,有σ(t 2)≥t 1.于是,由方程(1.2)的等价方程(E 0)得不等式(R (t )(z ′(t ))α)′+Q (t )f (x β(σ(t )))=0,可得(R (t )(z ′(t ))α)′+φ(t )q (t )x β(σ(t ))≤0,t ≥t 1,(2.3)以及(R (τ(t ))(z ′(τ(t )))α)′τ′(t )+φ(τ(t ))q (τ(t ))x β(σ(τ(t )))≤0,t ≥t 1.(2.4)结合(2.3)和(2.4)式,并注意到σ◦τ=τ◦σ,z (t )≤x (t )+p 0x (τ(t ))以及引理1.3,得[R (t )(z ′(t ))α]′+p β0τ0[R (τ(t ))(z ′(τ(t )))α]′≤−φ(t )q (t )x β(σ(t ))−p β0φ(τ(t ))q (τ(t ))x β(σ(τ(t )))≤−Q (t )[x β(σ(t ))+p β0x β(τ(σ(t )))]≤−C βQ (t )[x (σ(t ))+p 0x (σ(τ(t )))]β≤−C βQ (t )z β(σ(t )),t ≥t 1.(2.5)根据引理1.1知,不妨设z ′(t )>0,t ≥t 1.于是,对于α,β的取值,分两种情形讨论如下：情形1α≤β,这时,λ=α.作Riccati 变换w (t )=ρ(t )R (t )(z ′(t ))αz β(τ(t )),t ≥t 1,(2.6)则w (t )>0,t ≥t 1.对(2.6)式求导并注意到τ′(t )≥τ0>0,得w ′(t )≤ρ′(t )ρ(t )w (t )+ρ(t )z β(τ(t ))[R (t )(z ′(t ))α]′−βτ0ρ(t )R (t )(z ′(t ))αz ′(τ(t ))z β+1(τ(t )).774应用数学2020由于R (t )(z ′(t ))α单调减,所以,R (t )(z ′(t ))α≤R (τ(t ))(z ′(τ(t )))α,从而,有z ′(τ(t ))≥(R (t )R (τ(t )))1αz ′(t ).于是,有w ′(t )≤ρ(t )z β(τ(t ))[R (t )(z (t ))α]′+ρ′(t )ρ(t )w (t )−βτ0ρ(t )R (t )(z ′(t ))α+1z β+1(τ(t ))(R (t )R (τ(t )))1α,t ≥t 1.(2.7)因为z ′(t )>0,z (t )单调增,所以,取m α=min {z (β−α)/α(τ(t 1)),1}.则当t ≥t 1时,有z (β−α)/α(τ(t ))≥m α,于是,结合(2.7)式和引理1.2的(1.16)式,得w ′(t )≤ρ(t )z β(τ(t ))[R (t )(z ′(t ))α]′+ρ′(t )ρ(t )w (t )−βτ0z (β−α)/α(τ(t ))[ρ(t )R (τ(t ))]1αw α+1α(t )≤ρ(t )z β(τ(t ))[R (t )(z ′(t ))α]′+ρ′+(t )ρ(t )w (t )−βτ0[ρ(t )R (τ(t ))]1αw α+1α(t )≤ρ(t )z β(τ(t ))[R (t )(z ′(t ))α]′+(αβτ0m α)αρ(t )R (τ(t ))(α+1)α+1(ρ′+(t )ρ(t ))α+1,t ≥t 1.(2.8)又作Riccati 变换v (t )=ρ(t )R (τ(t ))(z ′(τ(t )))αz β(τ(t )),t ≥t 1.(2.9)同样有v (t )>0,t ≥t 1,以及如上推导,可得v ′≤ρ(t )z β(τ(t ))[R (τ(t ))(z ′(τ(t )))α]′+(αβτ0m α)αρ(t )R (τ(t ))(α+1)α+1(ρ′+(t )ρ(t ))α+1,t ≥t 1.(2.10)结合(2.8)和(2.10)式,并注意到(2.5)式及z ′(t )>0,得w ′(t )+p β0τ0v ′(t )≤ρ(t )z β(τ(t )){[R (t )(z ′(t ))α]′+p β0τ0[R (τ(t ))(z ′(τ(t )))α]′}+(1+p β0τ0)(αβτ0m α)αρ(t )R (τ(t ))(α+1)α+1(ρ′+(t )ρ(t ))α+1≤−ρ(t )z β(τ(t ))C βQ (t )z β(σ(t ))+(1+p β0τ0)(αβτ0m α)αρ(t )R (τ(t ))(α+1)α+1(ρ′+(t )ρ(t ))α+1≤−C βρ(t )Q (t )(z (σ(t ))z (t ))β+(1+p β0τ0)(αβτ0m α)αρ(t )R (τ(t ))(α+1)α+1(ρ′+(t )ρ(t ))α+1,t ≥t 1.(2.11)又由(2.5)式知,R (t )(z ′(t ))α,t ≥t 2单调减,从而有z (t )≥z (t )−z (t 1)=∫t t 1R 1α(s )z ′(s )R 1α(s )d s ≥R 1α(t )z ′(t )∫t t 1R −1α(s )d s,于是,有(z (t )H (t,t 1))′≤0.因此,可得z (t )H (t,t 1)≤z (σ(t ))H (σ(t ),t 1),t ≥t 2.所以,有(z (σ(t ))z (t ))β≥ψβ(t,t 1),t ≥t 2.(2.12)将(2.12)式代入(2.11)式并积分,得∫t t 2ρ(s )[C βQ (s )ψβ(s,t 1)−(1+p β0τ0)β(αβτ0m α)αR (τ(s ))(α+1)α+1(ρ′+(s )ρ(s ))α+1]d s ≤w (t 2)+p β0τ0v (t 2),t ≥t 2.第3期仉志余等：显含阻尼项的二阶非线性中立型Emden-Fowler 微分方程的振动性和渐近性775注意到这时λ=α,γ=1,m α∈(0,1].所以,上式与(2.2)式矛盾.情形2α>β作形如(2.6)式的Riccati 变换,则(2.7)式仍成立.由于R (t )(z ′(t ))α>0单调减,所以,当t ≥t 1时,有R (t )(z ′(t ))α≤m 1=max {R (t 1)(z ′(t 1))α,1}.则m 1≥1,又有z ′(t )≤m 1α1R 1α(t ),(z ′(t ))(β−α)/β≥(R (t ))(α−β)/αβm (α−β)/αβ1.将上式代入(2.7)式并利用引理1.2的(1.16)式,得w ′(t )≤ρ(t )z β(τ(t ))[R (t )(z ′(t ))α]′+ρ′(t )ρ(t )w (t )−βτ0(z ′(t ))(β−α)/β[ρ(t )R (t )]1β(R (t )R (τ(t )))1αw β+1β(t )≤ρ(t )z β(τ(t ))[R (t )(z ′(t ))α]′+ρ′(t )ρ(t )w (t )−βτ0m (α−β)/αβ1ρ1β(t )[R (τ(t ))]1αw β+1β(t )≤ρ(t )z β(τ(t ))[R (t )(z ′(t ))α]′+m (α−β)/α1ρ(t )(R (τ(t )))β/ατβ0(β+1)β+1(ρ′+(t )ρ(t ))β+1=ρ(t )z β(τ(t ))[R (t )(z ′(t ))α]′+(1τ0m β)βρ(t )(R (τ(t )))β/α(β+1)β+1(ρ′+(t )ρ(t ))β+1,t ≥t 1,(2.13)其中m β=(1m 1)α−βαβ,则0<m β≤1.再作Riccati 变换(2.9),类似于(2.10)式的推导,立即可得v ′≤ρ(t )z β(τ(t ))[R (τ(t ))(z ′(τ(t )))α]′+(1τ0m β)βρ(t )(R (τ(t )))α(β+1)β+1(ρ′+(t )ρ(t ))β+1,t ≥t 1.(2.14)综合(2.13),(2.14)式,z ′(t )>0,(2.5)和(2.12)式,可得w ′(t )+p β0τ0v ′(t )≤ρ(t )z β(τ(t ))[R (t )(z ′(t ))α]′+(1τ0m β)βρ(t )(R (τ(t )))β/α(β+1)β+1(ρ′+(t )ρ(t ))β+1+p β0τ0{ρ(t )z β(τ(t ))[R (τ(t ))(z ′(τ(t )))α]′+(1τ0m β)βρ(t )(R (τ(t )))α(β+1)β+1(ρ′+(t )ρ(t ))β+1}≤ρ(t )z β(τ(t )){[R (t )(z ′(t ))α]′+p β0τ0[R (τ(t ))(z ′(τ(t )))α]′}+(1+p β0τ0)(1τ0m β)βρ(t )[R (τ(t ))]β/α(β+1)β+1(ρ′+(t )ρ(t ))β+1≤−C βρ(t )Q (t )ψβ(t,t 1)+(1τ0m β)β(1+p β0τ0)ρ(t )[R (τ(t ))]β/α(β+1)β+1(ρ′+(t )ρ(t ))β+1,t ≥t 1.因此,有∫t t 2ρ(s )[C βQ (s )ψβ(s,t 1)−(1τ0m β)β(1+p β0τ0)(R (τ(s )))β/α(β+1)β+1(ρ′+(s )ρ(s ))β+1]d s≤w (t 2)+p β0τ0v (t 2),t ≥t 2.(2.15)注意到这时有α>β,所以,λ=β,γ=βα,(λβτ0m λ)λ=(1τ0m β)β,m β∈(0,1].因此,(2.15)式与(2.2)式矛盾.证毕在文[7]中,LI 和Rogovchenko 对于方程(1.3)限定β>α=1时,就τ(t ),σ(t )与t 大小比较的多种情形,获得了多个振动定理3.1-3.8.例如其定理3.3,因为这时(H 3)自然满足,所以,可以改述为776应用数学2020定理2.2(LI-Rogovchenko 定理)设(H 1),(H 2),σ(t )≤τ(t )≤t.若有lim t →∞R (t,t 0)=lim t →∞∫t t 0d s r (s )=∞,∫∞R 1−β(τ(t ),t 1)R β(σ(t ),t 1)Q (t )d t =∞均成立,则方程(1.3)振动.特别在本文定理2.1中取函数ρ(t )为非零常数,则立即可得类似的L-R 型振动定理如下.推论2.1(LI-Rogovchenko 型振动定理)设(H 1)-(H 3)和条件(1.13)式成立.如果存在t 2≥t 1≥t 0,使得当t >t 2时有σ(t )≥t 1和lim sup t →∞∫tt 2H −β(s,t 1)H β(σ(s ),t 1)Q (s )d s =∞,(2.16)其中H (t,t 1),Q (t )如(2.1)式定义,则方程(1.2)振动.注2.1易知,本文推论2.1又是著名Leighton 振动定理[33](即当∫∞t 0r −1(t )d t =∫∞t 0q (t )d t =∞时,方程(r (t )x ′(t ))′+q (t )x (t )=0振动)的自然推广,但是文[7]的诸定理不能还原到Leighton 振动定理,因为其中的β>1.注2.2显然即使当方程(1.2)退化成不显含阻尼项的方程(1.5)或(1.3)时,本文推论2.1也是新的,本文定理2.1也统一了文[2](其中α=β)定理4和定理5的形式.同时本文定理2.1已完全包含和改进了文[27]的定理1,因为从其证明中可以看出,定理1中的η>0,η1=a (t 1)(z ′(t 1))λ>0均应该是任意正常数方可,而本文定理2.1中对应的任意常数为m ∈(0,1](特别,当α=β时,m =1)更严谨更精确.此外,对于如下例2.1,本文所列文献及其引文均无效,可见本文定理2.1及其推论2.1的效果.例2.1考虑方程[t |z ′(t )|α−1z ′(t )]′−|z ′(t )|α−1z ′(t )+(t t +1)2β[(|x (t −1)|β−1x (t −1))3+|x (t −1)|β−1x (t −1)]=0,t ≥1(2.17)的振动性,其中z (t )=x (t )+2x (t/2),α>0,β>0为常数.这里r (t )=t,p (t )=2,g (t )=−1,τ(t )=t 2,σ(t )=t −1,q (t )=(t t +1)2β,显然满足条件(H 1),(H 2)和(H 3),又当t ≥1时,有φ(t )=exp (∫t 1g (u )r (u ))d s =exp (∫t 1−1u )d s =1t ,R (t )=φ(t )r (t )=1满足(1.13)式.又易知H (t,t 1)=∫t t 1R −1α(s )d s =t −t 1,φ(t )q (t )=(t t +1)2β1t .显然,上式后者,当t ≥2β−1时单调减,所以,取t 1=max {4β−2,2},则当t ≥t 1时,τ(t )=t/2≥max {2β−1,1}.因此,有Q (t )=min {φ(t )q (t ),φ(τ(t ))q (τ(t ))}=φ(t )q (t )=(t t +1)2β,H −β(t,t 1)H β(σ(t ),t 1)=(t −(t 1+1)t −t 1)β.要使Q (t )H −β(t,t 1)H β(σ(t ),t 1)=1t (t t +1)2β(t −(t 1+1)t −t 1)β≥1t (t −(t 1+1)t +1)3β≥1t (12)3β,第3期仉志余等：显含阻尼项的二阶非线性中立型Emden-Fowler 微分方程的振动性和渐近性777只需t ≥2t 1+3,所以,取t 2=2t 1+3,则当t ≥t 2时,就有σ(t )=t −1≥2t 1+2≥t 1和∫t t 2H −β(s,t 1)H β(σ(s ),t 1)Q (s )d s ≥(12)3β∫t t 21s d s →∞(t →∞),所以,(2.16)式满足.因此,由推论2.1知,方程(2.17)振动.下面再讨论当正则条件(1.13)式不成立,即非正则条件(1.14)式成立时方程(1.2)的振动性和渐近性.定理2.3设(H 1)-(H 3)和条件(1.14)式满足且有τ′(t )≥0,p ′(t )≥0.如果存在函数ρ(t ),η(t )∈C 1([t 0,∞),(0,∞)),η′(t )≥0,使得对任意常数m ∈(0,1](当α=β时,m =1）,有(2.2)式和∫∞t 0[1η(t )R (t )∫t t 0η(s )φ(s )q (s )d s ]1αd t =∞(2.18)成立,其中φ(t ),R (t )由(1.12)式和(E 0)定义,则方程(1.2)的每一解x (t )振动或lim t →∞x (t )=0.证假设x (t )是方程(1.2)的非振动解.不失一般性,设x (t )为方程(1.2)在[t 0,∞)上的最终正解(x (t )<0的情况类似可证).类似于引理1.1证明中的(1.15)式知,z ′(t )最终保号且仅有两种可能.当为z ′(t )>0时,注意到条件(2.2)式成立,所以完全类似于定理2.1的证明推出矛盾.故知方程(1.2)在[t 0,∞)上无最终正解.当为z ′(t )<0时,因有τ′(t )>0,p ′(t )≥0,z ′(t )=x ′(t )+p ′(t )x (τ(t ))+p (t )x ′(τ(t ))τ′(t )<0,所以必有x ′(t )≤0.又因为z (t )>0,z ′(t )<0,故有lim t →∞z (t )=a ≥0.我们可断定a =0.否则,有lim t →∞x (t )=a 1+c>0,其中c =lim t →∞p (t ).故存在常数M >0,使得最终有x β(σ(t ))>M ,从而由(E 0)知,存在T >t 0,使得(R (t )(−z ′(t ))α)′≥φ(t )q (t )x β(σ(t ))≥Mφ(t )q (t ),t ≥T.定义V (t )=η(t )R (t )(−z ′(t ))α,则显然有V (t )≥0,t ≥T.又注意到η′(t )≥0,由上式,得V ′(t )=η′(t )R (t )(−z ′(t ))α+η(t )(R (t )(−z ′(t ))α)′≥Mη(t )φ(t )q (t ),t ≥T.(2.19)对(2.19)式两端从T 到t 积分,可得V (t )≥V (T )+M∫t T η(s )φ(s )q (s )d s ≥M ∫t Tη(s )φ(s )q (s )d s,即η(t )R (t )(−z ′(t ))α≥M∫t T η(s )φ(s )q (s )d s.从而,有−z ′(t )≥M 1α(1η(t )R (t )∫t T η(s )φ(s )q (s )d s )1α.再对上式两端从T 到t 积分,得z (t )≤z (T )−M 1α∫t T [1η(s )R (s )∫s Tη(ξ)φ(ξ)q (ξ)d ξ]1αd s.由条件(2.18)式知上式与z (t )>0,t ≥T 矛盾.故必有lim t →∞z (t )=lim t →∞x (t )=0.证毕在定理2.3中取ρ(t ),η(t )为正常数,立即可得推论2.2设(H 1)-(H 3),(1.14)式和τ′(t )≥0,p ′(t )≥0满足.如果存在t 2>t 1≥t 0,使得当t ≥t 2时有σ(t )≥t 1,lim sup t →∞∫tt 2H −β(s,t 1)H β(σ(s ),t 1)Q (s )d s =∞(2.20)778应用数学2020和∫∞t 0[1φ(t )r (t )∫t t 0φ(s )q (s )d s ]1αd t =∞(2.21)均成立,其中φ(t )由(1.12)式定义,H (t,t 1),Q (t )如(2.1)式定义,则方程(1.2)的每一个解x (t )振动或lim x →∞x (t )=0.例2.2讨论方程[t 2α+1|z ′(t )|α−1z ′(t )]′−(1+α2)t 2α|z ′(t )|α−1z ′(t )+2βt 1+α[(|x (t 2)|β−1x (t 2))3+|x (t 2)|β−1x (t 2)]=0,t ≥1,(2.22)的振动性,其中z (t )=x (t )+arctan tx (t −1),α>0,β>0为常数.这里r (t )=t 2α+1,p (t )=arctan t,g (t )=−(1+α2)t 2α,f (t,u )=2βt α+1(u 3+u ),u =|x (t 2)|β−1x (t 2),σ(t )=t 2,τ(t )=t −1,q (t )=2βt α+1.由于当t ≥1时,r ′(t )+g (t )=3α2t 2α>0,0<p (t )=arctan t <π2,易知(H 1)-(H 3)满足且显然有τ′(t )=1,p ′(t )=11+t 2>0.又因为当t >t 2=2t 1,t 1≥t 0=1时,φ(t )=exp (∫t 1g (u )r (u )d u )=1t 1+α2,R (t )=φ(t )r (t )=t 3α2,H (t,t 1)=2√t −√t 1√t 1t ,Q (t )=min {φ(t )q (t ),φ(τ(t )),q (τ(t ))}=min {2βt α2,2β(t 2)α2}=2β(t 2)α2,H −β(t,t 1)H β(σ(t ),t 1)Q (t )=(√t −√2t 1√t −√t 1)β2β(t 2)α2→∞(t →∞),所以,易知(1.14)式和(2.20)式满足.又由于当t ≥2时,t −t −α2≥1,所以∫∞1[1R (t )∫t 1φ(s )q (s )d s ]1αd t =∫∞1[2βt 3α/2∫t 1s α2d s ]1αd t =(2β+12+α)1α∫∞1(t −t −α/2)1αt d t ≥(2β+12+α)1α∫∞21t d t =∞.所以,(2.21)式也成立.故由推论2.2知,方程(2.22)的每个解x (t )振动或lim t →∞x (t )=0.例2.3讨论方程(e 2t [x (t )+2x (t −2)]′)′−[x (t )+2x (t −2)]′+1+2e 2e (e 2t −1)x (t −1)=0,t ≥2,(2.23)的振动性.这里有r (t )=e 2t ,p (t )=2,g (t )=−1,q (t )=1+2e2e(e 2t −1),τ(t )=t −2,σ(t )=t −1,α=β=1,τ′(t )=1,p ′(t )=0,r ′(t )+g (t )=2e 2t −1>1.又因为φ(t )=exp (∫t 2g (u )r (u )d u ),R (t )=φ(t )r (t )=e 2t exp (12(e −2t −e −4))>e 2t −1,所以∫∞21R (t )d t ≤e −1∫∞2e −2t d t =12e −1e −4<e −5,Q (t )=min {φ(t )q (t ),φ(τ(t ))q (τ(t ))}=φ(t )q (t )第3期仉志余等：显含阻尼项的二阶非线性中立型Emden-Fowler 微分方程的振动性和渐近性779=1+2e 2e (e 2t −1)exp (12(e −2t −e −4))→∞(t →∞),H (t,t 1)=∫t t 1R −1(s )d s =∫t t 1exp (−[2s +(e −2s −e −4)/2])d s.由L’Hopital 法则,得lim t →∞H (σ(t ),t 1)H (t,t 1)=lim t →∞exp(−[2(t −1)+(e −2(t −1)−e −4)/2])exp(−[2t +(e −2t −e −4)/2])=exp(1+e −4)>1存在,所以,有H −1(t,t 1)H (σ(t ),t 1)Q (t )→∞(t →∞).同理,可得lim t →∞∫t 2φ(s )q (s )d s R (t )=lim t →∞φ(t )q (t )R ′(t )=lim t →∞(1+2e 2)(e 2t −1)exp((e −2t −e −4)/2)e (2e 2t −1)exp((e −2t −e −4)/2)=lim t →∞(1+2e 2)(e 2t −1)e(2e 2t −1)=1+2e 22e>e ,所以∫∞2H −1(t,t 1)H (σ(t ),t 1)Q (t )d t =∞,∫∞2[1R (t )∫t 2φ(s )q (s )d s ]d t =∞.综上所述,推论2.2的条件满足,因此,方程(2.23)的每一解x (t )振动或有lim t →∞x (t )=0.事实上,容易验证x (t )=e −t 恰为方程(2.23)渐近于零的非振动解.注2.3文[9,14-15]等对于方程(1.3)在非正则条件下,区分α,γ的不同情况给出了若干个有效的振动定理,但它们均不适用于本文例2.3的方程(2.23),因此,方程(1.2)即使退化为线性方程时,所列文献中的结果也是无效的.注2.4显然,只要当σ(t )≡t 时,推论2.1的条件(2.16)就会变成lim sup t →∞∫tt 0Q (s )d s =∞,(2.24)(广义Leighton 振动条件)简单而实用.结合推论2.1和推论2.2,我们可以简便地得到本文引言部分提到的方程(1.1)的振动性和渐近性的新结果如下.推论2.3设0<n =1为两正奇数之比的常数,a ≥0,b >0,m ≥−1为常数且a +m ≥0.则当a ≤1时方程(1.1)振动；当a >1时方程(1.1)的每个解x (t )振动或lim t →∞x (t )=0.证因为讨论方程(1.1)的振动性和渐近性只需考虑当t 充分大即可,所以不妨设t 0=1,则当t ≥t 0时,方程(1.1)与方程(tx ′(t ))′+(a −1)x ′(t )+bt m x n (t )=0,t ≥t 0>0,(2.25)等价.对应于方程(1.2),这时r (t )=t,g (t )=a −1≥−1,r ′(t )+g (t )=a ≥0,q (t )=bt m ,φ(t )=exp (∫t 1g (s )r (s )d s )=t a −1,α=β=1.R (t )=φ(t )r (t )=t a .因为当a +m ≥0时,∫∞1Q (t )d t =∫∞1t a −1bt m d t =b ∫∞1t a +m −1d t =∞,(2.26)所以(2.24)式满足.又因为∫∞1d t R (t )=∫∞1d t t a ={∞,a ≤1,<∞,a >1,所以,当0≤a ≤1时,(1.13)式成立.当a >1时,(1.14)式成立,又由于m ≥−1,自然有a +m >0,所以(2.26)式成立,且∫∞1[1R (t )∫t 1Q (s )d s ]d t =∫∞1[1t a ∫t 1bs a −1s m d s ]d t =∫∞1b a +m (t m −1t a )d t =∞,780应用数学2020所以(2.21)式也成立.因此,由推论2.1和推论2.2知推论2.3的结论成立.证毕注2.5容易验证当b=a−2,a>2,n=m+2,m=−αβ,β>α,或m=αβ,其中α,β为正奇数时,满足推论2.3的后一情形,因此,这时方程(1.1)的每一解振动或渐近于零.事实上,这时x(t)=t−1是其渐近于零的非振动解.最后指出,还可以找到方程(1.1)若干个x(t)=t−λ,λ>0型的非振动解,只需推论2.3中的常数满足关系“m+1n−1=λ,b=λ(a−λ−1)”即可,这里不再赘述,留给有兴趣的读者给出.参考文献：[1]WONG J S W.On the generalized Emden-Fowler equation[J].SIAM Rev.,1975,17:339-360.[2]LI T,ROGOVCHENKO Y V.Oscillation theorems for second-order nonlinear neutral delay differ-ential equations[J].Absty.Appl.Anal.,2014:1-5.[3]黄记洲,符策红.广义Emden-Fowler方程的振动性[J].应用数学学报,2015,38(6):1126-1135.[4]仉志余,俞元洪,李淑萍,等.二阶非线性中立型时滞微分方程的振动性[J].数学物理学报,2019,39A(4):797-811.[5]LIU H,MENG F,LIU P.Oscillation and asymptotic analysis on a new generalized Emden-Fowlerequation[J]put.,2012,219:2739-2748.[6]曾云辉,罗李平,俞元洪.中立型Emden-Fowler时滞微分方程的振动性[J].数学物理学报,2015,35A(4):803-814.[7]LI T,ROGOVCHENKO Y V.Oscillation criteria for second-order superlinear Emden-Fowler neutraldifferential equations[J].Monatsh Math.,2017,184:489-500.[8]LI T,THANDOPANI E,GRAEF J 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C,et al.On the oscilation of second-order Emden-Fowler neutral differentialequations[J]put.,2011,37:601-610.[16]罗红英,屈英.二阶中立型Emden-Fowler方程的振动准则[J].数学的实践与认识,2016,46(1):267-274.[17]吴英柱.Emden-Fowler型泛函微分方程的振动准则[J].数学的实践与认识,2016,46(5):257-264.[18]ERBE L,HASSAN T S,PETERSON A.Oscillation criteria for nonlinear damped dynamic equationson time scales[J]put.,2008,203:343-357.[19]ZHANG Q.Oscillation of second-order half-linear delay dynamic equations with damping on timescales[J]put.Appl.Math.,2011,235:1180-1188.[20]SAKER S H,AGARWAL R P,O’REGAN D.Oscillation of second-order damped dynamic equationson time scales[J].J.Math.Anal.Appl.,2007,330:1317-1337.[21]ROGOVCHENKO Y V,TUNCAY F.Oscillation criteria for second-order nonlinear differential e-quations with damping[J].Nonlinear Anal.,2008,69:208-221.第3期仉志余等：显含阻尼项的二阶非线性中立型Emden-Fowler微分方程的振动性和渐近性781[22]张全信,高丽.时间尺度上具阻尼项的二阶半线性时滞动力方程的振动准则[J].中国科学:数学,2010,40(7):673-682.[23]张全信,高丽,刘守华.时间尺度上具阻尼项的二阶半线性时滞动力方程的振动准则(II)[J].中国科学:数学,2011,41(10):885-896.[24]张全信,高丽,刘守华.时间尺度上具阻尼项的二阶半线性时滞动力方程振动的新结果[J].中国科学:数学,2013,43(8):793-806.[25]孙一冰,韩振来,孙书荣,等.时间尺度上一类二阶具阻尼项的半线性中立型时滞动力方程的振动性[J].应用数学学报,2013,36A(3):480-494.[26]杨甲山,李同兴.时间模上一类二阶阻尼Emden-Fowler型动态方程的振荡性[J].数学物理学报,2018,38A(1):134-155.[27]杨甲山.二阶Emden-Fowler型非线性变时滞微分方程的振荡准则[J].浙江大学学报:理学版,2017,44(2):144-149.[28]LI T,ROGOVCHENKO Y V,TANG S.Oscillation of second-order nonlinear differential equationswith damping[J].Math.Slovaca,2014,64(5):1227-1237.[29]李文娟,汤获,俞元洪.中立型Emden-Fowler微分方程的振动性[J].数学物理学报,2017,37A(6):1062-1069.[30]TADIE.Oscillation criteria for some semi-linear Emden-Fowler ODE[M]//CONSTANDA C,KIRSCHA.Integral Methods in Science and Engineering.Switzerland:Springer-verlag,2015:607-615.[31]MA Q,LIU A.Oscillation criteria of nonlinear fractional differential equations with damping term[J].Mathematica Applicata,2016,29(2):291-297.[32]GREENBERG M D.Advanced Engineerring Mathematics[M].2Ed.New Jersey:Prentice Hall,1998.[33]LEIGHTON W.The dection of the oscillation of solitions of second order linear differential equa-tion[J].Duke Math.,J.,1950,17:57-62.Oscillation and Asymptotic Behavior for Second Order Nonlinear Neutral Emden-Fowler Differential Equations withExplicit DampingZHANG Zhiyu1,SONG Feifei1,YU Yuanhong2(1.Department of Science,Taiyuan Institute of Technology,Taiyuan030008,China;2.Academy of Mathematics and Systems Science,Chinese Academy of Sciences,Beijing100190,China)Abstract:In this paper,by using the methods of exponential function transformation,Riccati transformation and inequality techniques,we study the oscillation and asymptotic behavior for a class of second order nonlinear neutral delay Emden-Fowler differential equations with the wider range and without losing physical meaning damping terms.Several new oscillation criteria which extend and improve some known results in the literature recently are established and some examples are provided to illustrate the effect of new theorems.Key words:Oscillation criterion;Asymptotic behavior;Emden-Fowler type equation;Neutral nonlinear differential equation;Second order;Damping term。
二阶非线性中立型微分方程解的振动准则
方程 的 线 性 化极 限 振 动 理 论 来建 立 它 自 身 的 振 动 准 则
, ,
,
即 通 过一个 非 线 性 时滞微 分 方程 的
12〕
,
。
极限
”
方 程 的 振 动性
“
例如 【 0 一 1
在本 文 中 我 们建 立 了方程 ( 1 ) 的 所 有 有 界解 振 动 的 充 分 条 件 其 条 件 是 h r s a 即 在 系 数 尸 (约
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(l ) 的 线 性 化极 限 振 动 准 则 如 一 般 文 献一 样 振 动的
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所 得 这 些 结果都 是 新 的 的 一 个解 为振 动 的
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称 方程 ( 1 )
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于 方程
具有振动系数的二阶非线性中立型时滞动力方程的有界振动性
数学物理学报
２ ０ １ ３ ， ３ ３ Ａ（ １ ） ： ９ ８ — １ １ ３
ｈ ｔ ｔ ｐ ： ／ ／ ａ ｃ ｔ ａ ｍｓ ． ｗ ｉ ｐ ｍ． ａ ｃ ． ｃ ｎ
具 有振 动 系数 的二 阶 非线 性 中立型 时 滞 动 力方程 的有界振动性
陈大 学
（ 湖 南工程学院理 学院 湖南湘潭 ４ １ １ １ ０ ４ ）
摘要：研 究时标 上具有振动系数的二 阶非线性 中立型时滞动力方程
／ ， ｒ ］△ 、 、 Ａ
（ 、 ｒ （ ￡ ） （ 、 １ （ ｔ ） ＋ ｐ （ ） （ ７ － （ ｔ ） ） １））＋ ／ ， （ ｔ ， （ ） ） ） ＝０
的有界 振动性，其中 Ｐ是一个 定义于 ｒ Ⅱ ’ 上的振动函数， ＞ ０是两个正奇数之比．利用一种
的有 界振 动性 ，假设 具备 以下条件
（ １ ． １ ）
（ Ｈ １ ）Ｐ ∈ Ｃ ｒ ｄ （ Ｔ ， ） ， Ｐ 是一个振动函数， ｊ ｍ ｉ ｐ （ ｔ ） ＝０ ；
（ Ｈ２ ） ＞０是两个 正奇 数之 比；
（ Ｈ ３ ）ｔ ０∈， Ⅱ ＇ ， Ⅱ： ＝［ ｔ ｏ ， ∞） 是ｒ Ⅱ ＇ 内的一个时标区间，即 Ⅱ： 一｛ ： ｔ∈ ， ｔ ｔ ｏ ｝ ， ｒ∈
ｄ （ Ⅱ ， （ ０ ， 。 。 ） ） ， （ ） Ａ ｔ ＝∞；
（ ｔ ） ＝ｏ ｃ ； （ Ｈ４ ）７ － ∈ ｄ （ ， ｒ Ⅱ ’ ） ， ｔ ｌ ｉ ａ７ ｒ
。。
（ Ｈ ５ ） ∈Ｃ ￣ ｄ （ Ｙ ， ｒ Ⅱ ’ ） ， 当ｔ ∈Ⅱ 时５ （ ｔ ） ｔ ， ｌ ｉ ｍ （ ） ＝∞；
一
此，我们最感兴趣于那些对于初值 问题能够建立解的全局存在性和惟一性定理的方程．然 而，对 于具有 复杂偏 差变 元 的方 程来说 ，迄 今 为止 ，人 们还 没有 获得关 于全 局解 的存在性 和 惟 一性 定理 ．事 实上 ，这种 方程 的初值 问题 的公 式并 非总是 清楚 的 ．因此 ，如通 常那样 ，在 这 些情 形 我们不 在乎 初值 问题 的公式 Ｌ ３ ０ ＿ ． 时标上 的动力方 程 的研 究是 一个 非常新 的主 题 ， 并 且发 展迅速 ，其最 初 的 目的是 为了统 离散和连续分析 ［ ７ ］ ＿ 关于微分方程的许多结果能够很容易地平移到相应的差分方程， 而其 它 结果 则似 乎完全 不 同 ．动力 方程 的研 究揭示 了这 种差 异 ，有助 于避 免提 供结果 两次 一 一 次 为 微分 方程 提供 而 另一 次 为差分方 程提 供 ．其通 常 的想 法是 为 一个 动 力方 程提供 一个 结 果 ，其未 知 函数 的定义 域是 一个 所谓 的 时标 ，即实 数集 的任意 一个 非空 的闭子 集 ．这样 就 获 得 了不但 与实数 集或 整数 集有关 而且 与更 一般 的 时标 有关 的结果 ． 在生物 学 、工程 技术 、经济 学、物 理学 、神 经 网络和社 会科 学等 方面 ，时标上 的动 力方 程有 着 巨大 的应 用潜 力 Ｉ ｓ － ９ ］ ． 例如 ，可用 动 力方程 来建 立 昆虫数 量模型 ．昆虫 数量在 繁殖季 节是 连续变 化 的．进入 冬季 ，昆虫 逐渐 消失 了 ，而 它 们的卵正 在孵 化或 处于蛰 伏状 态，然后 在 新 的繁殖季 节，卵孵化 出来 了，这 样导 致 了不相 重叠 的数 量 Ｂ ｏ ｈ ｎ ｅ ｒ 和 Ｐ ｅ ｔ ｅ ｒ ｓ ｏ ｎ的一
非线性二阶中立型差分方程解的振动性
维普资讯
第 ２期
张晓建等 ： 非线性二阶中立型差分方程解的振动性
１７ ７
０ ＞０ 又令 ， ．
Ｙ ＝ ＋ＣＸ ， ｎ… （） ３
△， ＋∑ Ｐｑ ． ‘ ｉ ≤０ ￣Ｂ
（ｉ 当 Ｂ ｉ ） ＞０＞Ａ ， － ）知 （ 由（ ３ Ｈ Ｂ ）＞０ 即有 ，
研究还 比较少 １． ． 本文研究 了一类非线性二阶中 Ｊ ＿
立 型差 分方程
Ｉ
振动的， 即 既不最 终 为正 ， 也不最 终 为负 ； 称方程 （ ） 振动 的 ， 果方 程 （ ） １是 如 １ 的所 有解 都是 振动 的．
△（ ＋ｎ ）＝∑Ｐ （ ） （） Ｃ ｘ ， １ Ｚ
其 中｛ ｝ ｛ ｝ ｃ ，ｃ （ ：１２ … ， ） ｛ ｝ ｉ ， ， ，， ，Ｐ （ ＝１２ …，
ｆ 为实 数序 列 ， ， ）均 ｍ， 是 非 负整数 ， ，是 给 （ｆ ￡ ，
＝△（ ） △ ．
（４ ： ∑ｑ １ ￣ｋ 一 则方程 Ｈ） ∑ （ 一 ｎｎ Ｐ －）＝ ∞， ｉ
６ ）时 ， （ ）≥ ｕ 当 ｕ∈ （ ，）时 ， 有 ｕ ｑ， 一６０ 有 ｕ ）≤ ｕ ｉ＝ １ ２ ｑ， ， 一， ｆ ．
≥ ０
而关 于二阶 中立 型 差 分 方 程 的 振 动性 同样 引 起 了 大批学者的关 注， 并得到了一些好 的结果¨ 如文 剖．
［］ ２ 研究了方程
ｉ＝ １
的懈的振动性 ， 出了其 解振 动的充分条件． 得 所得结果改进 和推广 了已有文献的结果． 关键词 ： 非线性 ；中立型差分方程 ； 振动性
中 图分 类 号 ： １５ １ Ｏ ７ ．７ 文 献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ １ ３ ５ ２ ０ ） ２ １６０ １０ — ９ （ ０８ ０ － ７ －３ ８ ０
一类具连续时滞的偶数阶非线性中立型方程的振动性
Ｏ 引 言
微分方 程振 动理 论是微 分方 程定性 理论 的一 个重要 研究 领域 ， 在理论 和 实际 中都有着 十分 重要 的意义．
对于非线性 中立型时滞微分方程 的振动性研究 ， 已有许多好的结果 ， １— ］ 如［ ６ ．
文献 ［ ］研究 了二 阶非线 性具 连续 时滞 中立型微 分方 程 ３
１；
（ Ｑ ￡ ）∈Ｇ ［ ， Ｈ ） （， 叼 （ ｔ ∞）×［ ，］Ｒ ）ｏ ） ｏ ｂ 上非减 ， 。 口 ｂ ， ， （ 在［ ，］ ｒ
收 稿 日期 ：０ １ ４ 一ｌ ２ １ —０ ５
基金项 目： 湖南省教育厅科研计划项 目（９ １１ ０Ｃ７ ） 作者简介 ： 李元旦 （９ １ ， ， １７ 一） 男 湖南衡南人 ， 阳师范学 院讲师 ， 衡 主要从事微分方程定性理论 的研究
第 ６期
李元旦 ， ： 等 一类具连续时滞 的偶数 阶非线性 中立型方程 的振动性
二阶非线性微分方程振动性研究的开题报告
二阶非线性微分方程振动性研究的开题报告一、选题背景二阶非线性微分方程振动性研究作为微分方程的重要分支，在工程、物理学、天文学等领域有着广泛的应用。
振动是一种物理现象，它的分析和控制在工程中具有重要的意义，因此研究振动性质成为研究领域中的一个核心问题。
从工程应用的角度来看，能够对振动进行分析和控制，可以在机械、航空、轨道交通等领域中减小设备损坏，提高系统的可靠性和效率，因此该方向的研究具有重要的应用价值。
二、研究目的本文旨在研究和探讨二阶非线性微分方程的振动性质，并结合实际应用问题进行分析，为更好地理解和控制振动问题提供理论支持和指导。
三、研究内容1. 二阶非线性微分方程的一般形式及基本概念2. 振动性质分析的基本方法3. 基于二阶非线性微分方程的实际问题分析与研究4. 数值模拟结果分析和讨论四、研究方法本研究将采用数学分析和数值模拟相结合的方法，从方程一般形式和基本概念出发，研究振动问题的数学模型和常用分析方法，并在此基础上结合实际问题进行数值模拟，探究和分析振动问题的本质。
五、研究意义本研究将为研究者全面深入地了解振动问题提供帮助，从而更好地理解振动问题的数学模型和分析方法。
同时，研究结果也可以为实际应用问题的控制和优化提供理论支持。
六、预期结果通过对实际问题的数值模拟，本研究将得到振动问题的各项物理性质以及对应的数学模型，并提出可行的控制措施和解决方案，为实际应用问题提供参考和指导。
七、研究进度安排阶段1（1周）：阅读相关文献，掌握研究背景和研究方法阶段2（2周）：研究振动问题的数学模型和分析方法阶段3（4周）：基于实际问题进行数值模拟，分析和探究其振动性质阶段4（1周）：撰写论文并进行总结和评估八、预计创新点1. 对振动问题的分析方法进行综合整理和总结，提出系统的分析框架2. 结合实际问题进行数值模拟探究，提出可行的解决方案3. 对研究领域的理论和方法进行贡献和突破（以上为开题报告提纲，具体内容还需要后续研究确定和完善）。
二阶非线性中立型微分方程的区间振动性
二阶非线性中立型微分方程的区间振动性米玉珍;卢燕娜;罗雪梅【摘要】利用平均函数技巧.对二阶非线性中立型微分方程建立了一些区间振动准则,这些振动准则不同于已知依赖于整个[t0,∞)的性质的结果.而是仅依赖于[t0,∞)上的子区间列的性质.【期刊名称】《湛江师范学院学报》【年(卷),期】2009(030)006【总页数】4页(P9-11,21)【关键词】区间振动;中立型微分方程;非线性;平均函数【作者】米玉珍;卢燕娜;罗雪梅【作者单位】湛江师范学院数学与计算科学学院,广东,湛江,524048;湛江师范学院数学与计算科学学院,广东,湛江,524048;湛江师范学院数学与计算科学学院,广东,湛江,524048【正文语种】中文【中图分类】O175.2本文,我们将讨论如下的二阶非线性中立型微分方程的振动性[a(t)(x(t)+p(t)x(τ(t)))′]′+q(t)f(x(σ1(t))，x(σ2(t))，…x(σm(t)))g(x′(t))=0 t≥t0 (1)以下我们总假设Ⅰ)a∈C(I,R+))(其中R+=(0,∞),I=[t0,∞),t0∈R=(-∞,∞))且a-1(s)ds=∞；Ⅱ) p∈C(I,[0,1)),q∈C(I,[0,∞)),且q(t)不最终恒为0；Ⅲ) g∈C(R,R)且g(y)≥k1>0(y≠0),k1为常数；Ⅳ) τ∈C(I,R),τ(t)非减且Ⅴ) 存在函数σ∈C1(I,R) ，使得且σ′(t)>0，其中i∈Im={1,2,…,m}.Ⅵ) f(x1,x2,…,xm)∈C(Rm,R)，且当x1,x2,…,xm具有相同符号时，f(x1,x2,…,xm)与x1,x2,…,xm同号,并且存在常数k2>0及i0∈Im，使得到目前为止,关于中立型非线性微分方程振动性及区间振动性的研究已得到许多结果,参见文献[1-6]及其参考文献.本文中，将文献[6]的方程作了进一步的推广，并利用广义Riccati变换，得到了方程(1)的新的振动准则，这些振动准则同样不同于已知依赖于整个[t0,∞)的性质的结果,而是仅依赖于[t0,∞)上的子区间列的性质，具有更广泛的意义.定义函数H=H(t,s),H∈C(D,R+),D={(t,s):-∞<s≤t<∞}H(t,s)满足H(t,t)=0,H(t,s)>0 t>s时设ρ∈C1(I,R+)，定义如下函数首先引入如下两个引理.引理1 假设x(t)是方程(1)最终正解,即存在充分大的T0≥t0使得t≥T0时x(t)>0,则对任意的区间[c,b)⊂[T0,∞)及任一ρ∈C1(I,R+)和H∈C(D,R+)有下式成立,(2)其中而z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t)).证明因为x(t)是方程(1)的最终正解,则由已知易知存在T0≥t0,使t≥T0时x(t)>0，进而由假设知x(τ(t))>0,x(σ(t))>0,x(σi(t))>0(其中i∈Im),f(x(σ1(t)),x(σ2(t)),…,x(σm(t)))>0.显然在[c,b)⊂[T0,∞)上,以上各不等式依然成立.令z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t))易明a(t)z′(t)为减函数且(a(t)z′(t))′+k1k2q(t)[1-p(σi0(t))]z(σ(t))≤0(3)令在[c,b)w′(t)所以(4)将上式中的t换为s,两边同乘以H(t,s)并对s从c到t(t∈[c,b))积分得H(t,s)Ψ(s)dsH(t,c)w(c)-h2(t,s)w(s)ds-H(t,s)w2(s)ds≤对上式令t→b-,则(2)式成立.引理2 假设x(t)是方程(1)最终正解,即存在充分大的T0≥t0使得t≥T0时x(t)>0,w(t)如引理1所定义,则对任意的区间[c,b)⊂[T0,∞)及任一ρ∈C1(I,R+)和H∈C(D,R+)有下式成立,(5)证明类似于引理1的证明,略去.通过如上两个引理,立刻可得以下定理.定理1 假设Ψ、v、h1、h2如前所定义,若对任一t≥l≥t0,存在H∈C(D,R+)及ρ∈C1(I,R+)满足以下两式：(6)(7)则方程(1)是振动的.证明假设x(t)是方程(1)的最终正解,即不妨设存在充分大的T0≥t0使得对所有t≥T0有x(t)>0，x(τ(t))>0，x(σ(t))>0，x(σi(t))>0(i∈Im)，令a=T0.在(6)式,令l=a则存在c>a满足(8)在(7)式,令l=c则存在b>c满足(9)综合(8)、(9)两式可得，(10)而(2)除以H(b,c)、(5)除以H(c,a)所得两式相加得下式：显然此式与(10)式矛盾,定理1得证.令H(t,s)=H(t-s),H如前所定义,则有h1(t-s)=h2(t-s)并记为h(t-s),则得如下定理. 定理2 若对任一t>t0,存在a,c∈R使t≤a<c且存在H∈C(D,R+)、ρ∈C1(I,R+)满足则方程(1)振动.又令H(t,s)=(t-s)λ，λ>1常数.此时,则得如下定理.定理3 若对任一t≥l≥t0,存在ρ∈C1(I,R+)及一常数λ>1满足：则方程(1)是振动的.【相关文献】[1]GRACE S R.Oscillation theorems for nonlinear differential equations of second order[J].J Math Anal Appl,1992,171:220-241.[2]LI HORNG JANN.Oscillation criteral for second order linear differential equations[J]. J Math Anal Appl,1995, 194:217-234.[3]ROGOVCHENKO Y V. Oscillation criteral for certian nonlinear differential equations[J]. J Math Anal Appl,1999,229:399-416.[4]米玉珍，余秀萍，王培光.二阶非线性中立性时滞微分方程的振动定理[J].河北师范大学学报：自然科学版，2005,29(1):14-17.[5]KONG Q .Interval Criteria Oscillation of Second order Linear Ordinary Differential Equation[J].J Math Anal Appl,1999,229:258-270.[6]米玉珍，马玲.二阶非线性中立性时滞微分方程的振动定理[J].湛江师范学院学报，2008,29(1):14-17.。
非线性二阶微分方程的振动定理
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非 线 性 二 阶 微 分 方 程 的 振 动 定 理
俞元 洪
( 中科院应用数 学所 )
靳 明忠
( 基础部数学教研 室 )
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非线性中立型微分方程的振动准则
摘 要 ：讨 论 一 类 二 阶 非 线 性 中立 型 微 分 方 程 ，通 过 引 入 参数 函数 ，结 合 完 全 平 方 技 术 ，给 出 了该 类 方 程 解 振 动 的
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词 ： 线 性 ； 中立 型微 分 方 程 ；振 动 非 文 献 标 识 码 ：Ａ
中 图分 类 号 ：０ ７ ． １５ １
于是 由（ ） ２ ，我们 有
（）＞ ０ ￡ ｔ≥ ｔ ａ
由（ ） 条件 （ ，有 １及 Ｈ） ｒ （） （） － ￡ ￡］ 一一 Ｆ（， （ １ ￡） ｘ ｇ （） ，… ， （ ￡） ａ ｔ ｘ ｇ （） ， （ ２￡ ） ｘ ｇ （） ）
≤ 一 ｑ ￡ －（ ｇ （） ，ｘ（ （） （） ｚ（ １ ￡ ） 厂 ｇ２ ￡ ），… ，ｘ（ （） ）≤ ０ ｇ ￡） ｔ ｔ ≥ ａ
下 面 证 明 （） ｏ ￡ ￡ ￡＞ ， ≥ １ ．
事实上 ， 存在 ｔ ｔ， 得 Ｙ （ ） ０ 则 当 ｔ ｔ ， ￡ ≤ （ｚ ≤ ０ 若 ≥ 使 ￡ ≤ ， ≥ 时 Ｙ （） ￡） ．再 由 ｑ ￡ 不 恒为零 知 ， （） 存在 ｔ ≥ ｔ，使得 Ｙ （。 ＜ ｏ 且 有 。 ￡） ，
的解 的 振 动 性 ．
ｔ ｔ＞ ０ ≥ ｏ
本文 考虑如 下更 广泛 的二 阶非线 性 中立型微 分 方程 ［ （） （） ｐ ｔｘ ｔ ｒ ）］ ＋ Ｆ ｔ ｘ ｇ （） ，ｘ ｇ （） ，… ， （ ￡））一 ０ ａ ￡ （ ￡ ＋ （） （ — ） （ ， （ ｌ￡） （ ２ ￡） ｘ ｇ （） 广 了已有 文献 的部分 结果 ．
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第 １期
ｚ（）＞ ０ ￡
林 丹玲 ： 线性 中立型微 分方程 的振 动 准则 非
带有阻尼项的二阶非线性微分方程的振动性
带有阻尼项的二阶非线性微分方程的振动性振动性可以定义为在一定的振幅和频率的情况下，在一定的时间或
空间上线性或非线性微分方程的响应。
考虑带有阻尼项的二阶非线性
微分方程的振动性，首先我们可以阳：
1. 非线性振动：即当微分方程中含有非线性项时，解会由定常状态到
非定常状态，最终回到定常状态，或者具有周期振荡性质，例如弹性
振动，气动振动和发电机振动。
2. 二阶微分方程的振动：考虑带有阻尼项的二阶非线性微分方程，其
解会受到限制，使得振动的振幅在时间的推移中总是变小，最终静止。
这种现象叫做振动的衰减。
同时，当振幅的变化振幅的变化频率与所
考虑的二阶微分方程的特征频率相符时，振幅就会得到增大，这种现
象被称为谐振扩大。
3. 阻尼对振动性方面的作用：当出现外力耧能驱动振动时，阻尼项能
够使振动的衰减加快，使得振动效果变得比较低，从而有节约能量的
功能；反之，当出现被动振动时，阻尼项则使振动的衰减减小，从而
提高了振动的持续时间和振幅，从而克服了振动的衰减而保持良好的
振动特性。
4. 动态效应：考虑带有阻尼项的二阶非线性微分方程的振动性，在某
些极端情况下，振动可能会非常剧烈，甚至出现振子不稳定的现象，
这是由于振子受外力驱动和阻尼影响而产生的动力学效应。
引起振动
的频率越高，该现象就越明显，从而使得振动性的改变变得更为显著。
总之，考虑带有阻尼项的二阶非线性微分方程的振动性，可以得到振
动的非线性行为、二阶微分方程的振动衰减以及阻尼对振动特性的影响，以及动态效应等多种现象，由此可以明确振动性的改变规律，可
以为后续优化及控制振动提供帮助。
二阶非线性中立型泛函微分方程的振动性
ｌ 引理
关 于方 程 （ ） 本 文始终 假设 下列 条件成 立 ： １，
Ｃ （ ｔ， ）Ｒ） 并且 （）满 足方 程（ ） 其 中 ’ ［。∞ ， ， ｔ １。
（ ｏｅｅｏ Ｃ ｌｇ ｌ ｆＭａｈｍ ｔｓａｄＩ ｏｍ ｔ ｎＴｃｎｌ ｙ Ｈ ｎｈ ｎＴａｈｒ Ｃ ｌｇ ，Ｃ ａ ｚｏ ５ １ １ ｔ ａｉ ｎ ｆｒ ａｉ ｅｈｏ ｇ ， ａｓａ ｅｃｅ ｏ ｅｅ ｈｏｈｕ ２０ ） ｅ ｃ ｎ ｏ ｏ ｓ ｌ ４
Ａｂｓｒ ｃ ：Ａ ｌ ｓ ｆｓ ｃ ｎ ｒ ｅ ｏ ｌｎ ａ ｅ ｔａ ｆｅ ｅ ｉ ｌｅ ａｉｎ ｓ ｃ ｎ ｉ ｅ ｅ ｔａ ｔ ｃａ ｓｏ ｅ ｏ ｄ ｏ ｄ ｒｎ ｎ ｉ ｅ ｒｎ ｕ ｒｌｄｉ ｒｎｔ ｑｕ ｔｏ ｓ ｉ ｏ ｓｄ ｒ ｄ．ａ ｙ ｉ ｔｏ ｕ ｉ ａ ｎｄ ｂ ｎ ｒ ｄ — ｃｎ ａ ａ ｔｉ ｕ ｔ ｎ ａ ｄ ｉ ｔｇ ａ ｑ ｒ ｅ ｈ ｉ ｕ ｉｇ ｐ ｒ ｍｅｒｃ ｆ ｎｃｉ ｎ ｎ ｅ ｒ ｌｓ ｕａｅ ｔ ｃ ｎ ｑ ｅ，ｏ ｃ ｌ ｔ ｒ ｒｔｒａ ｏ ｑ ａｉｎ ｒ ｂｔｉ ｄ． ｏ ｓ ｉ ａｏ ｙ ｃｉｅ ｆｔ ｅ ｕ ｔｏ ｓ ａ ｅ ｏ ａｎｅ ｌ ｉ ｈｅ Ｓ ｍｅ ｏ ｈ ｎ ｗ ｅ ｕ ｔ ｎ ｔ ｉｅ ａｕ ｅ ａ ｅ ｅ ｔｎ ｅ ． ｏ ｆｔ ｅ ｋ ｏ ｒ ｓ ｌｓｉ ｈｅ ｌｔｒ ｔ ｒ ｒ ｘｅ ｄ ｄ Ｋｅ ｒ ｓ： ｎ ｎ ｉｅ ｒ ｎ ｕｒ ｌｄ ｆ ｒ ｎ ｉｌｅ ｕ ｔ ｎ； ｏ ｃｌａｉｎ ｙ ｗｏ ｄ ｏ ｌ ａ ； ｅ ｔａ ｉ ｅ ｅ ｔ ｑ ａ ｉ ｎ ｆ ａ ｏ ｓ ｉ ｔｏ ｌ
（木）
存 在 Ｕ ，：… ， ∈ Ｃ Ｒ ， ） Ｕ ， Ｕ ） （ Ｒ ，当 Ｕ ＞０ 或 （
一类二阶非线性中立型泛函微分方程的振动性
(Ⅱ) 若 L=∞ ,则 g1 (t) " g2 (t) " gl (t) " gn (t) " f(x! ,x! ,… , x ! , …,x ! ) lim inf t→∞ t y 2 f(y(t ),y(t),… , y(t ) , … , y( t) ) ≥lim inf ≥C>0 t→∞ y+ t, f( L, L, L, L) c 由此 ,令 c1 =mi n , ,则存在充分大的 t 2 >t 1 ,使得 2L 2
t→ ∞ n
Hale Waihona Puke y"(t) t y 2
t y' g1 (t) " g2 (t) " gl (t) " , …,x ! gn (t) " - q(t)f(x! ,x! , …, x ! ) 1 2 = z(t ) t 2 t y y 2 2 由 y'(t)>0, 可知l im y(t)=L, 其中 L 为有限正数或 ∞。
+ ,
≥c. u 定义 1 函 数 x( t) 称为方 程 ( 1) 的 解 ,如 果 x(t ) ∈C([t - 1 , ∞) , R+ ) ,x
(2)
f( u1 , u2 , … , ul , …, un )
f(y! g1 (t) " ,y! g2 (t) " , …, x ! gl (t) " , …,y ! gn (t) " ) ≥lim inf t→∞ y+ t , ≥lim inf f(y(t ),y(t),
1. 引言
近年来, 中立型泛函微分方程的振动理论得到了 很大的发展 ,出现 了很多研究成果,Eebe,Kong 等已在专著中给出了很好的总 结, 参见文[ 1]
二阶非线性中立型时滞微分方程的振动性定理
ｌ ｑ （ ） ｄ ｔ 一＋ 。 。 ，
Ｊ ｆ ０
则方程（ １ ） 是振动的。 证 明 设 ｚ （ ￡ ） 是 方程 （ １ ）的非振 动解 ， 不妨设 为最终 正解 ， 又 由于
ｌ ｉ ａ ｒ ｒ （ ）一＋ ∞ ， ｌ ｉ ｍ （ １ ＞ｔ ｏ ， 当ｔ ＞ｔ １ 时， 有 （ ） ＞０ ， ｚ（ ｒ （ ） ）＞ ０ ， ｘ （ ａ （ ） ） ＞０ ， 令
二 阶 非 线 性 中 立 型 时 滞 微 分 方 程 的 振 动 性 定 理
查 智 高 ， 王光 明 ， 韩 振 来
（ １ ． 厦 门大 学 数学科 学学 院 ， 福建 厦 门 ３ ６ １ ０ ０ ５ ； ２ ． 济南 大学 数 学科学 学 院 ， 山东 济南 ２ ５ ０ ０ ２ ２ ）
如 果存 在 函数 （ ｔ ， ｓ ）Ｅ Ｃ （ Ｄ， Ｒ） ， 满足 型
口 ５
一一 （ ￡ ， ｓ ）￣ ／ 可
， （ ， ）∈ Ｄ， 称 函数 Ｈ（ ￡ ， ） 属 于
Ｐ类 ； 如 果存 在 函数 ｈ （ ｔ ， ｓ ）Ｅ Ｃ （ Ｄ， Ｒ） ， 函数 ｆ Ｄ （ ￡ ）Ｅ Ｃ （ Ｅ ｔ 。 ， ＋ ∞） ， （ ０ ， ＋Ｏ ０ ） ）满足
中图分类号 ： ０ １ ７ ５ ． ７
文献 标识码 ： Ａ
Ｄ Ｏ Ｉ ： １ ０ ． １ ３ ４ ８ ６ ／ ｊ ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． １ ６ ７ ３ —２ ６ １ ８ ． ２ ０ １ ４ ． ０ ６ ． ０ ０ ４
１ 问题 提 出
中立 型 时滞微 分方 程振动 性 的研究 成果 有很 多 ， 如 文献 ［ １— ６ ］ 。 文献Ｅ ５ ３研究 了非 线性 中立 型时 滞微
（ Ｈｄ ） ｒ （ ￡ ） ， （ ￡ ）∈ Ｃ Ｅ ｔ ０ ， ＋ ∞） ， ｒ （ ）≤ ｔ ， 口 （ ｆ ） ≤ ｔ 且 ｌ ｉ ａ ｒ ｒ （ ｔ ）一＋ Ｏ Ｏ ， ｌ ｉ ａ ｒ （ ￡ ）一＋ ∞ 。
二阶非线性中立型时标动态方程的振动性的开题报告
二阶非线性中立型时标动态方程的振动性的开题报告
一、选择题目的背景和意义
非线性中立型时标动态系统是一类具有非线性相互作用的特殊系统，其包括前馈耦合项、反馈耦合项、滞后项等，具有很多现实中的应用背景。
例如，在机械系统、生态学、经济学和社会学等领域中均存在非线性中立型时标动态系统。
因此，研究其动态性质对于相关领域具有重要的理论和实践意义。
二、文献综述
目前，对于非线性中立型时标动态系统的研究主要集中在局部稳定性、周期解和混沌等动态特征方面。
已有的研究成果表明，非线性中立型时标动态系统的振动性质较为复杂，不同类型的耦合方式会导致系统振动的形态发生变化。
例如，在具有非线性前馈耦合的中立型时标动态系统中，当滞后项存在时，系统的振动性质可能发生转变。
三、研究的主要内容
本文旨在研究二阶非线性中立型时标动态方程的振动性。
具体包括以下内容：
1. 分析二阶非线性中立型时标动态方程的振动特性，讨论不同类型耦合对系统振动性质的影响。
2. 给出系统解的存在性和唯一性条件，并证明系统的全局稳定性。
3. 利用数值模拟方法，验证理论分析的结果并分析不同参数下系统的振动特性。
最后，通过对二阶非线性中立型时标动态方程的研究，为实际应用提供有关非线性中立型时标动态系统振动性质的理论基础和参考。
二阶非齐次线性微分方程的振动性
f
夕:
,
兰f
`
q二 q
y 可得 平 〔
二 刀, 〕
牙甸
,
,
。l
〕}
二
二
K
。
常数 K 寺 。 时
由引 理 1
,
和夕
同 时振动 或 同时 非 振 动
(x ) ) 引 理 3 如果 沂 ( 1 )
。
。
这 就证 明 了 S
m
零 点分 离 定 理
,
O 〔 在任 何区 间不 恒 等于 零 )
如 果方程
,
( 4 )
)
)
`
+ +
q q
;
(x ) , (x )
,
二
f
(x )
:
和
(, (x )之
。
’
`
z
=
厂
(x )
,
二
。 。
的解 的振 动 关 系 在 一 定 条件 下 当第 一 个 方 程振动 时 第 二 个方 程 也 是 振 动 的
本 文研 究 下 面 二 个 方 程 的 振 动 性 间 之 关 系
( r (x ) 万 ) (
x
方程
( 6 )
x
)
`
q:
(
:
q ( x ) 一 全: )留= 〔
百 (x ) 一 )〕
f(
,
x
)
+
f
:
( )
x
一 定是 振动 的
证明 理
:
:
由于
,
(x ) 是 方 程 ( 1 ) 的 非 下 振动的振 动 解
故方程 (
二阶非线性中立型微分方程的振动性
二阶非线性中立型微分方程的振动性
侯亚红
【期刊名称】《太原师范学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2012(011)004
【摘要】考虑二阶中立型时滞微分方程
(r(t)Φ(x(t))[x(t)+p(t)x(τ(t))]'+F(t,x(t),x(σ(t)),x'(t),x'(σ(t)))=0利用广义Riccati变换得到了方程所有解振动的充分条件.
【总页数】3页(P36-38)
【作者】侯亚红
【作者单位】山西财政税务专科学校,山西太原030024
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.二阶非线性中立型微分方程的区间振动性 [J], 米玉珍;卢燕娜;罗雪梅
2.非线性二阶中立型微分方程解的振动性 [J], 陈璟
3.二阶非线性中立型微分方程的振动性 [J], 邹锐标;周树清
4.含有连续分布时滞二阶非线性中立型微分方程的振动性 [J], 范敏;田亚州;孟凡伟
5.一类二阶非线性中立型微分方程的振动性 [J], 牛静芳;赵爱民
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二阶非线性微分方程的振动性
对 所 有 Ｔ， （ ） Ｏ （ ≥ ． ｆ ＞ ， 若 （） 终 为 负 ， 类 似 证 ｒ ｆ最 可
明） 。定 义
） 一 ． （ ４）
的 ， 果 它 具 有 任 意 大 的 零 点 ； 则 ， 之 为 非 振 动 如 否 称 的。 如果 一 个 方 程 的 所 有 正 常 解 都是 振 动 的 ， 它 为 称
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第 ３ ３卷 第 ５ 期 ２０ ０ ２年 ９月
太
原
理
工
大
学
学
报
Ｖ ｏＩ ３３ Ｎｏ． ． ５
Ｓｅｐ． ２００ ２
Ｊ ＯＵＲＮＡＩ ＯＦ ＴＡＩ ＹＵ ＡＮ ＮＩ Ｕ ＶＥＲＳ ＴＹ Ｉ ＯＦ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ
文 章 编 号 ：０ ７ ９ ３ （ ０ ２ ０ － ５ ２０ １ ０— ４ ２ ２ Ｏ ）５０ ７ —２
二 阶 非 线性 微 分 方 程 的振 动 性
柴 益 琴
（ 西省 财政 税务 专科 学 校 ） 山
摘 要 ： 论 了 二 阶 非 线 性 微 分 方 程 的 振 动 性 ， 到 了 该 方 程 所 有 解 振 动 的 充 分 条 件 。 讨 得
关 键 词 ： 线 性 微 分 方 程 ； 常 解 ； 动 性 非 正 振
叫 （ ）・ ￡
（ ５’
Ｃ 一 （ｔ， 。 ， ０ ＋ 。 ） ， ｇＥ Ｃ（ Ｒ） 对 所 有 Ｉ。 ＋。 ） ［ ， 。 ） ｆ， Ｒ， ．
ｒ ｆ， ≥ 。设
叫 ｆ ≤ 一 ｆ ｐ（ ） （） ｋ ￡ 一
叫 ｆ ・ （）
Ａ１ ｇ（ ≥ ｃ Ｏ Ｃ为 常 数 ； ： ） ＞ ， Ａ ： ≥是 ０ ≠ ０ ， ＞ （ ） ｋ为 常数 ；
二阶非线性中立型差分方程的振动性
第２ ８卷 第 １ 期 ２０ ０ ２年 ３ 月
延边 大学学 报 （ 自然科学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＹａ ｂａ ｉｅｓｔ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ） ｏ ｒ ａ ｎ ｉｎ Ｕｎｖ ｒｉ ｏ ｙ（ ｔｒ ｌ ｉｎ ｅ Ｓ
ＶＯ ． ８ ＮＯ １ Ｉ２ Ｍ ａ ．２０ ２ ｒ Ｏ
方 程 （ ） 文 献 ［ ］中方 程 （ ） １为 １ １ 的离 散 型 方 程 ． Ｎ ＝ ｛ ， ， ； １２ … ，Ｎ（ ）＝ ｔ ’ ０ １ ， ０ ０ ７ ＋ ， １
…
ｊ Ｎ（ ｂ ＝ ｔ 口 ＋ １ … ． ｝ａ ＜ ｂ ．△ 为 向 前 差 分 算 子 ， ｘ（ ）＝ ｚ（ ＋ １ ， ｄ， ） ａ， ， ｂ（ ） ， ４ ）一
（ ， ” ， △ ｚ（ ）＝ △（ （ ） ． ） △ ）
近年 来 ， 于 二 阶 中立 型微 分 方 程 的振 动 性 已有 了许 多成 果 ， 关 于二 阶差 分 方 程 的成 关 但 果还 不 很 多 ， 文 在 此 基础 上 ， 究 了二 阶 非 线 性 中 立 型 差 分 方 程 （ ）的 振 动 性 ， 得 到 了 本 研 １ 并 方 程 （ ） 有 有界 解 振 动 的充 分条 件 ． １所
摘 要 ： 一类 二 阶非线性 中立 型差分 方程进行 了研 究 ， 到 了其 有 界解 的振 动性 结 果 对 得
关键词 ：中立型 ；振 动 ；最终正解 ；差分算子 中 图分 类号 ：Ｏ ７ ． １５７ 文献标识码 ： Ａ
０ 前 言
考 虑 差 分 方 程
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