北京四中高中数学-d01直线及其方程
北京市第四中学2018高考理科数学总复习例题讲解：平面解析几何初步 01直线方程和两条直线的位置关系
直线方程和两条直线的位置关系（无答案）——北京四中：苗金利一、知识要点：1、 直线的倾斜角和斜率；2、 直线方程的几种形式；3、 两条直线的位置关系.二、典型例题例1. 直线22x my m +=+与直线1mx y m +=+平行的充要条件 是（ ）（A ）12m = （B ）12m =- （C ）1m = （D ）1m =-例2.直线420mx y +-=与250x y n -+=互相垂直，垂足为(1,)p ，则m n p -+=（ ）（A ）-4 （B ）0 （C ）20 （D ）24例3.若三条直线1:0l x y -=，2:20l x y +-=，3:5150l x ky --=围成三角形，则实数k 的取值范围是（ ）（A ）k R ∈ （B ）k R ∈且1,0k k ≠±≠（C ）k R ∈且5,1k k ≠±≠ （D ）k R ∈且5,10k k ≠±≠-例4.两条平行线10Ax By C ++=与22Ax By ++20C =间的距离 为（ ）（A（B（C（D例5. 过(1,2)P 引直线l ，使它与两点(2,3)A ，(4,5)B -的距离 相等，则l 的方程为（ ）（A ）460x y +-=（B ）460x y +-=（C ）3270x y +-=或460x y +-=（D ）2370x y +-=或460x y +-=例6. 两直线111a x b y +=，221a x b y +=的交点坐标为(2,3)，则 过点11(,)A a b 、22(,)B a b 的直线方程是_____________________.例7. 直线过点P （2，1），与x ，y 轴正半轴交于A ，B 两点，O 为原点,求满足下列条件的直线l 方程；(1)△ABC 面积最小； (2)PB PA ⋅最小.。
2023-2024学年北京四中高二(上)期中数学试题和答案
2023北京四中高二（上）期中数 学一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为（ ）A．B．C．D．﹣12．已知点A（﹣2，3，0），B（1，3，2），，则点P的坐标为（ ）A．（4，3，4）B．（﹣4，﹣1，﹣4）C．（﹣1，6，2）D．（﹣5，3，﹣2）3．已知直线方程kx﹣y﹣2k＝0，则可知直线恒过定点的坐标是（ ）A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，﹣2）D．（0，2）4．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都是1，O为A1C1中点，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，，则（ ）A．x＝1，y＝1B．x＝1，C．，D．，y＝15．“a＝﹣3”是“直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1＝0（a≠0）的两侧，则直线l倾斜角的取值范围是（ ）A．B．C．D．7．过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y＝1相切于点B（2，1），则圆C的方程为（ ）A．（x﹣3）2+（y+1）2＝5B．C．（x﹣3）2+（y﹣8）2＝50D．（x﹣3）2+y2＝28．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为正方形ABCD中心，A1P＝λA1B1（λ∈[0，1]），直线OP与平面ABC所成角为θ，则θ取最大时λ的值为（ ）A．B．C．D．9．A（1，y1），B（﹣2，y2）是直线y＝﹣x上的两点，若沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A、B两点间的距离是（ ）A．6B．C．D．10．点M（x0，y0）到两条直线：x+3y﹣2＝0，x+3y+6＝0距离相等，y0＜x0+2，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）若向量与向量共线，则x的值为 ．12．（5分）直线2x﹣y﹣1＝0与2x﹣y+1＝0之间的距离是 ．13．（5分）以A（2，3），B（4，9）为直径的两个端点的圆的方程是 ．14．（5分）在空间四边形ABCD中，＝ ．15．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝2，BC＝1，AA1＝2，点D在棱AC 上滑动，点E在棱BB1上滑动，给出下列四个结论：①三棱锥C1﹣A1DE的体积不变；②A1D+DB的最小值为；③点D到直线C1E的距离的最小值为；④使得A1D⊥C1E成立的点D、E不存在．其中所有正确的结论为 ．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16．（13分）已知点A（1，2），B（﹣3，5），C（6，2）．（1）求△ABC的面积；（2）过点C的直线l与点A（1，2），点B（﹣3，5）距离相等，求直线l的方程．17．（13分）如图，在△ABC中，，BC＝4，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED．（1）平面A1OB⊥平面BCED；（2）若F为A1C的中点，求点F到面A1OB的距离．18．（14分）已知直线l过点P（2，3），圆C：x2+4x+y2﹣12＝0．（1）求与圆C相切的直线l的方程；（2）当直线l是圆C的一条对称轴，交圆C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于D，E两点，求|DE|．19．（15分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD，|CD|＝|DA|＝|AF|＝|FE|＝2，|AB|＝4．（1）求证：DF∥平面BCE；（2）求二面角C﹣BF﹣A的余弦值；（3）线段CE上是否存在点G，使得AG⊥平面BCF？请说明理由．20．（15分）已知圆和圆（r＞0）．（1）若圆C1与圆C2相交，求r的取值范围；（2）若直线l：y＝kx+1与圆C1交于P、Q两点，且，求实数k的值；（3）若r＝2，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．21．（15分）对于n维向量A＝（a1，a2，…，a n），若对任意i∈{1，2，…，n}均有a i＝0或a i＝1，则称A为n维T向量．对于两个n维T向量A，B，定义d（A，B）＝．（Ⅰ）若A＝（1，0，1，0，1），B＝（0，1，1，1，0），求d（A，B）的值．（Ⅱ）现有一个5维T向量序列：A1，A2，A3，…，若A1＝（1，1，1，1，1）且满足：d（A i，A i+1）＝2，i∈N*．求证：该序列中不存在5维T向量（0，0，0，0，0）．（Ⅲ）现有一个12维T向量序列：A1，A2，A3，…，若且满足：d（A i，A i+1）＝m，m∈N*，i＝1，2，3，…，若存在正整数j使得，A j为12维T向量序列中的项，求出所有的m．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．【答案】D【分析】利用斜率公式求解．【解答】解：因为直线l的一个方向向量为，所以直线l的斜率为．故选：D．2．【答案】A【分析】设P（x，y，z），表示出、，即可得到方程组，解得即可．【解答】解：设P（x，y，z），因为A（﹣2，3，0），B（1，3，2），所以，，因为，所以（x+2，y﹣3，z）＝2（3，0，2），所以，解得，即P（4，3，4）．故选：A．3．【答案】B【分析】依题意可得（x﹣2）k﹣y＝0，令，解得即可．【解答】解：直线kx﹣y﹣2k＝0，即（x﹣2）k﹣y＝0，令，解得，所以直线kx﹣y﹣2k＝0恒过点（2，0）．故选：B．4．【答案】C【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得．【解答】解：依题意＝＝，又，所以，．故选：C．5．【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线垂直的判定分析判断即可．【解答】解：当直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直时，a+a（a+2）＝0，得a2+3a＝0，解得a＝0或a＝﹣3，所以当a＝﹣3时，直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直，而当直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直时，a＝0或a＝﹣3，所以“a＝﹣3”是“直线x+ay+2＝0与直线ax+（a+2）y+1＝0互相垂直”的充分不必要条件．故选：A．6．【答案】C【分析】因为点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1＝0（a≠0）的两侧，那么把这两个点代入ax﹣y﹣1，它们的符号相反，乘积小于0，求出a的范围，设直线l倾斜角为θ，则a＝tanθ，再根据正切函数的图象和性质即可求出范围．【解答】解：因为点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1＝0（a≠0）的两侧，所以，（a+2﹣1）（a﹣1）＜0，即：（a+1）（a﹣）＜0，解得﹣1＜a＜，设直线l倾斜角为θ，∴a＝tanθ，∴﹣1＜tanθ＜，∴0＜θ＜，或＜θ＜π，故选：C．7．【答案】D【分析】由圆心和切点连线与切线垂直可得k BC＝﹣1，得到关于圆心的一个方程，根据圆的性质，可知圆心C在AB的垂直平分线x＝3上，由此可求得a，b的值，得到圆心坐标，进而可求得圆的半径即可求解．【解答】解：设圆心C（a，b），因为直线x﹣y＝1与圆C相切于点B（2，1），所以，即a+b﹣3＝0，因为AB中垂线为x＝3，则圆心C满足直线x＝3，即a＝3，∴b＝0，所以半径，所以圆C的方程为（x﹣3）2+y2＝2．故选：D．8．【答案】A【分析】在平面ABB1A1中过点P作PP1⊥AB交AB于点P1，连接P1O，即可得到∠POP1即为线OP与平面ABC所成角，且，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则，从而求出（tanθ）max，即可得解．【解答】解：在平面ABB1A1中过点P作PP1⊥AB交AB于点P1，连接P1O，由正方体的性质可知PP1⊥平面ABCD，则∠POP1即为直线OP与平面ABC所成角，则，设正方体ABCD﹣A 1B1C1D1的棱长为2，则，所以当OP1＝1时（tanθ）max＝1，此时θ取最大值，P1为AB的中点，又A1P＝λA1B1，所以当时θ取最大值．故选：A．9．【答案】C【分析】求出沿x轴将坐标平面折成60°的二面角后，点A在平面xOy上的射影C的坐标，作BD ⊥x轴，交x轴于点D（﹣2，0），然后利用空间向量表示，利用向量的模的性质进行求解，即可得到答案．【解答】解：∵A（1，y1），B（﹣2，y2）是直线y＝﹣x上的两点，∴y1＝﹣，y2＝2，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角后，点A在平面xOy上的射影为C（1，0），作BD⊥x轴，交x轴于点D（﹣2，0），∴＝++，∴＝+++2•+2•+2•＝3+9+12﹣2××2×＝18，∴||＝3．故选：C．10．【答案】B【分析】利用点到直线的距离公式得到x0+3y0+2＝0，结合y0＜x0+2求出x0，再由x0≠0及计算可得．【解答】解：依题意，所以x0+3y0+2＝0，即，又y0＜x0+2，所以，解得x0＞﹣2，显然x0≠0，所以，当﹣2＜x0＜0时，所以，当x0＞0时，所以．综上可得．故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．【答案】3．【分析】利用向量共线定理求解．【解答】解：因为向量与向量共线，所以，解得x＝3．故答案为：3．12．【答案】．【分析】由平行线间的距离公式可求得结果．【解答】解：易知直线2x﹣y﹣1＝0与2x﹣y+1＝0平行，这两条直线间的距离为．故答案为：．13．【答案】（x﹣3）2+（y﹣6）2＝10．【分析】利用圆的标准方程待定系数计算即可．【解答】解：易知该圆圆心为A（2，3），B（4，9）的中点C（3，6），半径，所以该圆方程为：（x﹣3）2+（y﹣6）2＝10．故答案为：（x﹣3）2+（y﹣6）2＝10．14．【答案】见试题解答内容【分析】如图：设；由向量的加、减运算知：，，代入上式即得结论．【解答】解：如图，设＝，＝，＝，则，＝，＝，＝．所以，＝＝0故答案是：015．【答案】①②③．【分析】根据锥体的体积公式判断①，将将△ABC翻折到与矩形ACC1A1共面时连接A1B交AC 于点D，此时A1D+DB取得最小值，利用勾股定理求出距离最小值，即可判断②，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出点到距离，再根据函数的性质计算可得③，利用，即可判断④．【解答】解：∵BB1⊥平面ABC，对于①：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，CC1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CC1⊥BC，又CC1⋂AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，又点D在棱AC上滑动，∴，∴，∴三棱锥C1﹣A1DE的体积不变，故①正确；对于②：如图将△ABC翻折到与矩形ACC1A1共面时连接A1B交AC于点D，此时A1D+DB取得最小值，∵A1C1＝CC1＝2，BC＝1，∴A1B＝＝，∴A1D+DB的最小值为，故②正确；对于③：如图建立空间直角坐标系，设D（a，0，0），a∈[0，2]，E（0，1，c），c∈[0，2]，C1（0，0，2），∴，，则点D到直线C1E的距离d＝＝＝，当c＝2时，，当0≤c＜2时，0＜（c﹣2）2≤4，∴，∴，∴，∴∈（0，]，∴当取最大值，且a2＝0时，，即当D在C点E在B点时，点D到直线C1E的距离的最小值为，故③正确；对于④：A1（2，0，2），，，∴，∵c∈[0，2]，∴当c＝2时，，∴，即A1D⊥C1E，故④错误．故答案为：①②③．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16．【答案】（1）；（2）3x+14y﹣46＝0或3x+4y﹣26＝0．【分析】（1）求出三角形的三边长，并求其中一个角的余弦值，代入公式即可求得面积．（2）过点C的直线l与点A（1，2），点B（﹣3，5）距离相等，即直线l与直线AB平行或经过AB的中点，代入求解即可．【解答】解：（1）由点A（1，2），B（﹣3，5），C（6，2）可得，，，，在△ABC中，，所以，△ABC的面积为．（2）过点C的直线l与点A（1，2），点B（﹣3，5）距离相等，即直线l与直线AB平行或经过AB的中点，当过点C的直线l与平行时，，则直线方程为3x+4y﹣26＝0；当过点C的直线l过AB的中点，AB的中点坐标，，所以直线方程为，即3x+14y﹣46＝0．所以直线方程为3x+14y﹣46＝0或3x+4y﹣26＝0．17．【答案】（1）证明过程请见解答；（2）．【分析】（1）由A1O⊥DE，平面A1DE⊥平面BCED，可知A1O⊥平面BCED，再由面面垂直的判定定理，即可得证；（2）作DP⊥BC于P，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离，即可得解．【解答】（1）证明：由题意知，A1D＝A1E，因为点O是DE的中点，所以A1O⊥DE，因为平面A1DE⊥平面BCED，平面A1DE∩平面BCED＝DE，A1O⊂平面A1DE，所以A1O⊥平面BCED，又A1O⊂平面A1OB，所以平面A1OB⊥平面BCED．（2）解：作DP⊥BC于P，则BP＝1，因为DE∥BC，所以DP⊥DE，以D为坐标原点，DP，DE所在直线分别为x，y轴，作Dz⊥平面BCED，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，1，2），O（0，1，0），B（2，﹣1，0），C（2，3，0），因为F为A1C的中点，所以F（1，2，1），所以＝（0，0，2），＝（2，﹣2，0），＝（1，1，1），设面A1OB的法向量为＝（x，y，z），则，即，取x＝1，则y＝1，z＝0，所以＝（1，1，0），故点F到面A1OB的距离为＝＝．18．【答案】（1）x＝2或7x+24y﹣86＝0；（2）10．【分析】（1）将圆的方程化为标准式，再分斜率存在与不存在两种情况讨论；（2）依题意直线l过圆心C，即可求出直线l的方程，即可得到，利用锐角三角函数求出|AD|，从而求出|CD|，从而得解．【解答】解：（1）圆C：x2+4x+y2﹣12＝0，即（x+2）2+y2＝16，所以圆心C（﹣2，0），半径r＝4，当斜率不存在时直线的方程为x＝2，符合题意；当斜率存在时，设斜率为k，则y﹣3＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+3＝0，则，解得，所以切线方程为7x+24y﹣86＝0，综上可得切线方程为x＝2或7x+24y﹣86＝0．（2）因为直线l是圆C的一条对称轴，所以直线l过圆心C，则直线l的方程，即3x﹣4y+6＝0，则，又，即，所以|AD|＝3，则，同理可得|CE|＝5，所以|DE|＝10．19．【答案】（1）证明见解答；（2）；（3）线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF．【分析】（1）先证明四边形CDFE为平行四边形，从而得到DF∥CE，再利用线面平行的判定定理证明即可；（2）在平面ABEF内，过A作Az⊥AB，证明AD⊥AB，AD⊥Az，Az⊥AB，建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面BCF的法向量，由向量的夹角公式求解即可；（3）利用待定系数法求出平面ACE的法向量，利用向量垂直的坐标表示，证明平面ACE与平面BCF不可能垂直，即可得到答案．【解答】（1）证明：因为CD∥EF，且CD＝EF，所以四边形CDFE为平行四边形，所以DF∥CE，因为DF⊄平面BCE，CE⊂平面BCE，所以DF∥平面BCE；（2）解：在平面ABEF内，过A作Az⊥AB，因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，又Az⊂平面ABEF，Az⊥AB，所以Az⊥平面ABCD，所以AD⊥AB，AD⊥Az，Az⊥AB，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz．由题意得，A（0，0，0），B（0，4，0），C（2，2，0），E（0，3，），F（0，1，），所以＝（2，﹣2，0），＝（0，﹣3，），设平面BCF的法向量为＝（x，y，z），则，令y＝1，则x＝1，z＝，所以＝（1，1，），平面ABF的一个法向量为＝（1，0，0），则cos＜，＞＝＝，所以平面CBF和平面BFA的夹角的余弦值为；（3）解：线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF，理由如下：设平面ACE的法向量为＝（a，b，c），所以，令b＝1，则a＝﹣1，c＝﹣，所以＝（﹣1，1，﹣），因为•＝﹣1+1﹣3≠0，所以平面ACE与平面BCF不可能垂直，从而线段CE上不存在点G，使得AG⊥平面BCF．20．【答案】（1）（﹣2，+2）；（2）k＝；（3）（，）或（，）．【分析】（1）利用相交时圆心距的位置关系可求r的取值范围；（2）联立直线与圆C1，写出韦达定理，结合数量积代换可求实数k的值；（3）由两圆半径相等，两直线11和12截得圆C1和圆C2，弦长相等可得弦心距相等，得＝，转化为求方程组的解即可．【解答】解：（1）由题意得，圆C1的圆心C1（﹣3，1），r1＝2，圆C2的圆心C2（4，5），半径为r，|C1C2|＝＝，∵圆C1与圆C2相交，∴|r﹣2|＜|C1C2|＜r+2，即|r﹣2|＜＜r+2，解得：﹣2＜r＜+2，∴r∈（﹣2，+2）．（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），直线与圆C1联立，得（1+k2）x2+6x+5＝0，由Δ＞0得k2＜，x1+x2＝，x1x2＝，∴y1y2＝（kx1+1）（kx2+1）＝k2x1x2+k（x1+x2）+1，∵，∴x1x2+y1y2＝（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1＝4，∴5+﹣3＝0，解得：k＝，∵k2＜，∴k＝．（3）由题意得C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝4，设P（m，n），直线l1和l2的方程分别为y﹣n＝k（x﹣m），y﹣n＝﹣（x﹣m），即kx﹣y+n﹣kn＝0，﹣x﹣y+n+＝0，由题意可知，圆心C1到直线l1的距离等于C2到直线l2的距离，则＝，化简得（2﹣m﹣n）k＝m﹣n﹣3或（m﹣n+8）k＝m+n﹣5，则有或，故P（，）或（，）．21．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）由于A＝（1，0，1，0，1），B＝（0，1，1，1，0），由定义，求d（A，B）的值．（Ⅱ）利用反证法进行证明即可；（Ⅲ）根据存在正整数j使得，A j为12维T向量序列中的项，求出所有的m．【解答】解：（Ⅰ）由于A＝（1，0，1，0，1），B＝（0，1，1，1，0），由定义，可得d（A，B）＝4．…（Ⅱ）反证法：若结论不成立，即存在一个含5维T向量序列，A1，A2，A3，…A n，使得A1＝（1，1，1，1，1），A m＝（0，0，0，0，0）．因为向量A1＝（1，1，1，1，1）的每一个分量变为0，都需要奇数次变化，不妨设A1的第i（i＝1，2，3，4，5）个分量1变化了2n i﹣1次之后变成0，所以将A1中所有分量1变为0共需要（2n1﹣1）+（2n2﹣1）+（2n3﹣1）+（2n4﹣1）+（2n5﹣1）＝2（n1+n2+n3+n4+n5﹣2）﹣1次，此数为奇数．又因为，说明A i中的分量有2个数值发生改变，进而变化到A i+1，所以共需要改变数值2（m﹣1）次，此数为偶数，所以矛盾．所以该序列中不存在5维T向量（0，0，0，0，0）．…（9分）（Ⅲ）存在正整数j使得，A j为12维T向量序列中的项，此时m＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．…（13分）。
直线的方程(解析版)
第6讲直线的方程新课标要求根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）。
知识梳理1.直线的点斜式方程2.直线的斜截式方程3.直线的两点式方程和截距式方程4.线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.5.直线的一般式方程6.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系3.2.1 直线的点斜式方程名师导学【例1-1】（南京校级模拟）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)过点A (－4，3)，斜率k ＝3； (2)经过点B (－1，4)，倾斜角为135°； (3)过点C (－1，2)，且与y 轴平行； (4)过点D (2，1)和E (3，－4)． 【分析】求直线的点斜式方程的思路【解答】 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y －3＝3[x －(－4)]．(2)由题意知，直线的斜率k ＝tan 135°＝－1，故所求直线的方程为y －4＝－(x ＋1)．(3)∵直线与y 轴平行，斜率不存在，∴直线的方程不能用点斜式表示，由于直线上所有点的横坐标都是－1， 故这条直线的方程为x ＝－1. (4)∵直线过点D (2，1)和E (3，－4)， ∴斜率k ＝－4－13－2＝－5.由点斜式得y －1＝－5(x －2)．【变式训练1-1】（蜀山区校级月考）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A (2，5)，斜率是4； (2)经过点B (2，3)，倾斜角是45°； (3)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行．【解析】 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y －5＝4(x －2)； (2)∵直线的斜率k ＝tan 45°＝1， ∴直线方程为y －3＝x －2； (3)y ＝－1.【例2-1】（菏泽调研）根据条件写出下列直线的斜截式方程． (1)斜率为2，在y 轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3. 【分析】直线的斜截式方程的求解策略：(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y 轴上的截距，代入方程即可． (2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程．【解答】 (1)由直线方程的斜截式可知， 所求直线方程为y ＝2x ＋5.(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k ＝tan 150°＝－33. 由斜截式可得方程为y ＝－33x －2. (3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k ＝tan 60°＝ 3.∵直线与y 轴的交点到原点的距离为3， ∴直线在y 轴上的截距b ＝3或b ＝－3. ∴所求直线方程为y ＝3x ＋3或y ＝3x －3.【变式训练2-1】（宁波校级月考）写出下列直线的斜截式方程： (1)直线斜率是3，在y 轴上的截距是－3； (2)直线倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5； (3)直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为－2.【解析】 (1)由直线方程的斜截式可知，所求方程为y ＝3x －3. (2)∵k ＝tan 60°＝3，∴y ＝3x ＋5.(3)∵直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为－2， ∴直线过点(4，0)和(0，－2)． ∴k ＝－2－00－4＝12，∴y ＝12x －2.【例3-1】（新华区校级期末）(1)当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行？ (2)当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？【分析】在解决有关直线位置关系的问题时，常常用到数形结合思想和待定系数法．数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法．而待定系数法是解析几何中求直线方程或其他曲线方程的重要方法．【解答】(1)∵l 1∥l 2，∴a 2－2＝－1， 又2a ≠2，解得a ＝－1.(2)∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.【变式训练3-1】（黄冈期末）求证：不论m 为何值，直线l ：y ＝(m －1)x ＋2m ＋1总过第二象限． 【证明】 法一 直线l 的方程可化为y －3＝(m －1)(x ＋2)， ∴直线l 过定点(－2，3)，由于点(－2，3)在第二象限，故直线l 总过第二象限． 法二 直线l 的方程可化为m (x ＋2)－(x ＋y －1)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3. ∴无论m 取何值，直线l 总经过点(－2，3)． ∵点(－2，3)在第二象限，∴直线l 总过第二象限．【变式训练3-2】（赤峰期末）是否存在过点(－5，－4)的直线l ，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5? 【解析】 假设存在过点(－5，－4)的直线l ，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5.由题意可知，直线l 的斜率一定存在且不为零，设直线的斜率为k (k ≠0)，则直线方程为y ＋4＝k (x ＋5)，则分别令y ＝0，x ＝0，可得直线l 与x 轴的交点为(－5k ＋4k ，0)，与y 轴的交点为(0，5k －4)．因为直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5，所以12|－5k ＋4k |·|5k －4|＝5，所以－5k ＋4k ·(5k －4)＝±10，即25k 2－30k ＋16＝0(无解)或25k 2－50k ＋16＝0，所以k ＝85或k ＝25，所以存在直线l 满足题意，直线l 的方程为y ＋4＝85(x ＋5)或y ＋4＝25(x ＋5).名师导练A 组-[应知应会]1．（宣城期末）过点()3,2，斜率是23的直线方程是（ ） A ．243y x =+ B ．223y x =+ C ．230x y -=D ．320x y -=【答案】C【解析】∵直线过点()3,2且斜率为23， 由直线方程的点斜式得：22(3)3y x -=-， 整理得：230x y -=. 故选C.2．（绵阳期末）已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B 直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1【答案】C【解析】方程可化为y －(－2)＝－[x －(－1)]，所以直线过点(－1，－2)，斜率为－1.选C. 3．（上饶期末）直线y ＝3(x －3)的斜率与在y 轴上的截距分别是( ) A ．3，3 B ．3，－3 C ．3，3 D ．－3，－3 【答案】B【解析】由直线方程知直线斜率为3，令x ＝0可得在y 轴上的截距为y ＝－3.故选B. 4．（通州区期末）直线y ＝kx ＋b 经过第一、三、四象限，则有( ) A ．k >0，b >0 B ．k >0，b <0 C ．k <0，b >0D ．k <0，b <0【答案】 B【解析】 ∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k >0，b <0.5．（龙凤区校级期末）过点()2,0且与直线25y x =+垂直的直线l 的方程是（ ）A ．24y x =-B ．24y x =-+C ．112y x =- D ．112y x =-+ 【答案】D【解析】因为所求直线与直线25y x =+垂直，所以其斜率为12k =-， 又所求直线过点()2,0， 因此，所求直线方程为：()122y x =--，即112y x =-+. 故选D.6．（南关区校级期末）已知直线l 过点()2,0，且与直线21y x =-+平行，则直线l 的方程为（ ）A ．24y x =-B ．24y x =+C ．24y x =-+D ．24y x =--【答案】C 【解析】直线l 与直线21y x =-+平行，∴直线l 的斜率与21y x =-+的斜率相等，即直线l 的斜率：2k =-；又直线l 过点()2,0，则由点斜式可知直线方程为()022y x -=-- 整理可得：24y x =-+ 故选C.7．（兴庆区校级期末）直线y ＝2x －5在y 轴上的截距是________． 【答案】 －5【解析】 ∵令x ＝0，则y ＝－5， ∴直线y ＝2x －5在y 轴上的截距是－5.8．（无锡期末）在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是________． 【答案】 y ＝3x －6或y ＝－3x －6【解析】 与y 轴相交成30°角的直线方程的斜率为： k ＝tan 60°＝3，或k ＝tan 120°＝－3，∴y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是：y ＝3x －6或y ＝－3x －6.9．（金牛区校级期末）与直线l ：y ＝34x ＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l 1的方程为________．【答案】 y ＝34x －3【解析】 根据题意知直线l 的斜率k ＝34，故直线l 1的斜率k 1＝34.设直线l 1的方程为y ＝34x ＋b ，则令y ＝0，得它在x 轴上的截距a ＝－43b .∵a ＋b ＝－43b ＋b ＝－13b ＝1，∴b ＝－3.∴直线l 1的方程为y ＝34x －3.10．（南岗区校级期末）斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是________．【答案】 y ＝34x ±3【解析】 设所求直线方程为y ＝34x ＋b ，令y ＝0得x ＝－4b3.由题意得：|b |＋⎪⎪⎪⎪－43b ＋b 2＋16b 29＝12， 即|b |＋43|b |＋53|b |＝12，即4|b |＝12，∴b ＝±3， ∴所求直线方程为y ＝34x ±3.11．（金华校级月考）写出下列直线的斜截式方程： (1)直线的倾斜角为45°且在y 轴上的截距是2； (2)直线过点A (3，1)且在y 轴上的截距是－1.【解析】 (1)斜率k ＝tan 45°＝1，可得斜截式：y ＝x ＋2. (2)k ＝－1－10－3＝23，可得斜截式方程：y ＝23x －1.12．（洛龙区校级期末）(1)求经过点(1，1)，且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的点斜式方程； (2)求经过点(－2，－2)，且与直线y ＝3x －5垂直的直线的斜截式方程． 【解析】 (1)∵所求直线与直线y ＝2x ＋7平行， ∴所求直线斜率为2， 由点斜式方程可得 y －1＝2(x －1)．(2)∵所求直线与直线y ＝3x －5垂直， ∴所求直线的斜率为－13，由点斜式方程得：y ＋2＝－13(x ＋2)，即y ＝－13x －83.故所求的直线方程为y ＝－13x －83.B 组-[素养提升]1．（诸暨市校级期中）已知三角形的顶点坐标是A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，试求这个三角形的三条边所在直线的斜截式方程．【解析】 直线AB 的斜率k AB ＝－3－03－（－5）＝－38，又过点A (－5，0)，∴直线AB 的点斜式方程为y ＝－38(x＋5)，即所求边AB 所在直线的斜截式方程为y ＝－38x －158.同理，直线BC 的方程为y －2＝－53x ，即y ＝－53x ＋2.直线AC 的方程为y －2＝25x ，即y ＝25x ＋2.∴边AB ，BC ，AC 所在直线的斜截式方程分别为y ＝ －38x －158，y ＝－53x ＋2，y ＝25x ＋2. 3.2.2 直线的两点式方程名师导学知识点1 直线的两点式方程【例1-1】（武侯区校级期末）已知三角形的顶点是A (1，3)，B (－2，－1)，C (1，－1)，求这个三角形三边所在直线的方程．【分析】当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 【解答】直线AB 过A (1，3)，B (－2，－1)，其两点式方程为y －3－1－3＝x －1－2－1，整理，得4x －3y ＋5＝0，这就是直线AB 的方程．直线AC 垂直于x 轴，其方程为x ＝1.直线BC 平行于x 轴，其方程为y ＝－1.【变式训练1-1】（开江县校级开学考）过(1，1)，(2，－1)两点的直线方程为 ( ) A ．2x －y －1＝0 B ．x －2y ＋3＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0 【答案】C【解析】∵直线过两点(1，1)和(2，－1)，∴直线的两点式方程为y －（－1）1－（－1）＝x －21－2，整理得2x ＋y －3＝0，故选C.知识点2 直线的截距式方程【例2-1】（诸暨市校级期中）求过点A (3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程． 【分析】如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m >0)”等条件时，采用截距式求直线方程，一定要注意考虑“零截距”的情况． 【解答】(1)当直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l 的方程为x a ＋y－a ＝1.又l 过点A (3，4)，所以3a ＋4－a ＝1，解得a ＝－1.所以直线l 的方程为x －1＋y1＝1，即x －y ＋1＝0.(2)当直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l 过原点时，设直线l 的方程为y ＝kx ，因为l 过点A (3，4)，所以4＝k ·3，解得k ＝43，直线l 的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0.综上，直线l 的方程为x －y ＋1＝0或4x －3y ＝0.【变式训练2-1】若将例2-1中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？ 【解析】(1)当截距不为0时，设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1，又知l 过(3，4)，∴3a ＋4a ＝1，解得a ＝7， ∴直线l 的方程为x ＋y －7＝0.(2)当截距为0时，直线方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0.综上，直线l 的方程为x ＋y －7＝0或4x －3y ＝0. 知识点3 直线的综合应用【例3-1】（沭阳县校级期中）已知三角形的三个顶点A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．【分析】(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率． (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距． (3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程．(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决． 【解答】如图，过B (3，－3)，C (0，2)的两点式方程为y －2－3－2＝x －03－0，整理得5x ＋3y －6＝0.这就是BC 边所在直线的方程．BC 边上的中线是顶点A 与BC 边中点M 所连线段，由中点坐标公式可得点M 的坐标为(3＋02，－3＋22)，即(32，－12)．过A (－5，0)，M (32，－12)的直线的方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0. 这就是BC 边上中线所在直线的方程．【变式训练3-1】（天心区校级期末）求过点A (4，2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l 的方程． 【解析】当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上的截距都是0，满足题意． 此时，直线的斜率为12，所以直线l 的方程为y ＝12x ，即x －2y ＝0.当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1.又因为过点A ，所以4a ＋2b ＝1. ①因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， 所以|a |＝|b |. ② 由①②联立方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2. 所以所求直线的方程为x 6＋y 6＝1或x 2＋y－2＝1，化简得直线l 的方程为x ＋y ＝6或x －y ＝2， 即直线l 的方程为x ＋y －6＝0或x －y －2＝0，综上，直线l 的方程为x －2y ＝0或x ＋y －6＝0或x －y －2＝0.名师导练A 组-[应知应会]1．（锡山区校级期中）过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为 ( ) A ．y ＝x ＋3 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝x ＋2D ．y ＝－x －2【解析】 代入两点式得直线方程y －14－1＝x ＋21＋2，整理得y ＝x ＋3.【答案】 A2．（红桥区期中）经过P (4，0)，Q (0，－3)两点的直线方程是 ( ) A.x 4＋y3＝1 B.x 3＋y 4＝1 C.x 4－y3＝1D.x 3－y 4＝1 【解析】 由P ，Q 两点坐标知直线在x 轴、y 轴上的截距分别为4，－3，所以直线方程为x 4＋y －3＝1，即x4－y3＝1. 【答案】 C3．（江宁区校级月考）过点P (4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有 ( ) A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【解析】 当直线过原点时显然符合条件；当直线不过原点时，设所求直线的方程为x a ＋ya ＝1，把点P (4，－3)代入方程得a ＝1.因而所求直线有2条． 【答案】 B4．（临泉县校级月考）经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为 ( ) A ．5x ＋3y －25＝0 B ．5x －3y －25＝0 C ．3x －5y －25＝0D ．5x －3y ＋25＝0【解析】 经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为： y －0－5－0＝x －52－5，整理，得5x －3y －25＝0. 故选B. 【答案】 B5．（朝阳区校级月考）已知直线l ：ax ＋y －2＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a 的值是( ) A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1【解析】 显然a ≠0.把直线l ：ax ＋y －2＝0化为x 2a ＋y2＝1.∵直线l ：ax ＋y －2＝0在x 轴和y 轴上的截距相等， ∴2a ＝2，解得a ＝1，故选A. 【答案】 A6．（庐江县校级期末）点M (4，m )关于点N (n ，－3)的对称点为P (6，－9)，则 ( ) A ．m ＝－3，n ＝10 B ．m ＝3，n ＝10 C ．m ＝－3，n ＝5D ．m ＝3，n ＝5【解析】 ∵M (4，m )关于点N (n ，－3)的对称点为P (6，－9)，∴4＋62＝n ，m －92＝－3；∴n ＝5，m ＝3，故选D. 【答案】 D7．（海淀区校级期末）已知A (2，－1)，B (6，1)，则在y 轴上的截距是－3，且经过线段AB 中点的直线方程为________．【解析】 由于A (2，－1)，B (6，1)，故线段AB 中点的坐标为(4，0)， 又直线在y 轴上的截距是－3，∴直线方程为x 4－y3＝1，即3x －4y －12＝0.【答案】 3x －4y －12＝08．（红岗区校级期末）过点P (3，2)，且在坐标轴上截得的截距相等的直线方程是________． 【解析】 当直线过原点时，斜率等于2－03－0＝23，故直线的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.当直线不过原点时，设直线的方程为x ＋y ＋m ＝0，把P (3，2)代入直线的方程得m ＝－5， 故求得的直线方程为x ＋y －5＝0，综上，满足条件的直线方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. 【答案】 2x －3y ＝0或x ＋y －5＝09．（兴庆区校级期末）求经过点A (－2，3)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． 【解】 (1)当横截距、纵截距都是零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－2，3)代入y ＝kx 中，得k ＝－32，此时，直线方程为y ＝－32x ，即3x ＋2y ＝0.(2)当横截距、纵截距都不是零时， 设所求直线方程式为x 2a ＋ya＝1，将(－2，3)代入所设方程，解得a ＝2，此时，直线方程为x ＋2y －4＝0. 综上所述，所求直线方程为x ＋2y －4＝0或3x ＋2y ＝0.10．（城关区校级期末）求经过点A (－2，3)，B (4，－1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式．【解】 过A ，B 两点的直线的两点式方程是y ＋13＋1＝x －4－2－4.点斜式为：y ＋1＝－23(x －4)，斜截式为：y ＝－23x ＋53，截距式为：x 52＋y53＝1.B 组-[素养提升]1．（鼓楼区校级期末）两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )【解析】 化为截距式x a ＋y －b ＝1，x b ＋y－a＝1.假定l 1的位置，判断a ，b 的正负，从而确定l 2的位置，知A 项符合． 【答案】 A2.（秦州区校级期末）直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是 ( ) A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞【解析】 设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B (3，0)时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C (－3，0)时，直线l 在x 轴的截距为－3，此时k ＝12，满足条件的直线l的斜率范围是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞.【答案】 D3．（金湖县校级期中）垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________．【解析】 设直线方程是4x ＋3y ＋d ＝0，分别令x ＝0和y ＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是－d 3，－d4，∴6＝12×|－d 3|×|－d 4|＝d 224，∴d ＝±12，则直线在x 轴上的截距为3或－3.【答案】 3或－34．（启东市校级月考）已知A (3，0)，B (0，4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________． 【解析】 直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3，即当P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，2时，xy 取得最大值3. 【答案】 35．（杨浦区校级期末）在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7，3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标；(2)直线MN 的方程． 【解】 (1)设C (x 0，y 0)，则AC 边的中点为M ⎝⎛⎭⎫x 0＋52，y 0－22，BC 边的中点为N ⎝⎛⎭⎫x 0＋72，y 0＋32.因为M 在y 轴上，所以x 0＋52＝0，得x 0＝－5.又因为N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3.所以C (－5，－3)． (2)由(1)可得M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1，0)，所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.3.2.3 直线的一般式方程名师导学知识点1 直线的一般式方程与其他形式的转化【例1-1】（水富市校级期末）(1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( )A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0(2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于( ) A.3B ．－5C.95D ．－33【分析】(1)当A ≠0时，方程可化为x ＋B A y ＋C A ＝0，只需求B A ，C A 的值；若B ≠0，则方程化为A B x ＋y ＋CB ＝0，只需确定A B ，CB的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．【解答】(1)将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B 、C 两项．又y ＝－43x ＋14过点(0，14)即直线过第一象限，所以只有B 项满足要求． (2)令y ＝0，则x ＝－3 3.【变式训练1-1】（包河区校级期末）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3，且经过点A (5，3)； (2)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (3)经过A (－1，5)，B (2，－1)两点； (4)在x ，y 轴上的截距分别是－3，－1.【解析】(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y －3＝3(x －5)，化为一般式为：3x －y ＋3－53＝0. (2)由斜截式方程可知，所求直线方程为：y ＝4x －2，化为一般式为：4x －y －2＝0.(3)由两点式方程可知，所求直线方程为：y －5－1－5＝x －（－1）2－（－1）.化为一般式方程为：2x ＋y －3＝0.(4)由截距式方程可得，所求直线方程为x －3＋y－1＝1，化成一般式方程为：x ＋3y ＋3＝0.知识点2 直线的一般式方程的应用【例2-1】（上虞区期末）(1)若方程(m 2＋5m ＋6)x ＋(m 2＋3m )y ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足________． (2)已知方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1表示直线．当m ＝____________时，直线的倾斜角为45°；当m ＝____________时，直线在x 轴上的截距为1.【解析】(1)若方程不能表示直线，则m 2＋5m ＋6＝0且m 2＋3m ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m 2＋3m ＝0，得m ＝－3，所以m ≠－3时，方程表示一条直线． (2)因为已知直线的倾斜角为45°， 所以此直线的斜率是1，所以－2m 2＋m －3m 2－m ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ≠0，2m 2＋m －3＝－（m 2－m ），解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0且m ≠1，m ＝－1或m ＝1.所以m ＝－1.因为已知直线在x 轴上的截距为1， 令y ＝0得x ＝4m －12m 2＋m －3，所以4m －12m 2＋m －3＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3≠0，4m －1＝2m 2＋m －3，解得⎩⎨⎧m ≠1且m ≠－32，m ＝－12或m ＝2.所以m ＝－12或m ＝2.【例2-2】（柳南区校级期末）已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程： (1)过点(－1，3)，且与l 平行； (2)过点(－1，3)，且与l 垂直． 【解析】l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34.法一 (1)∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34.又∵l ′过点(－1，3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1，3)，由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.法二 (1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.将点(－1，3)代入上式得m ＝－9. ∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0. 将(－1，3)代入上式得n ＝13. ∴所求直线的方程为4x －3y ＋13＝0.【变式训练2-1】（佛山校级月考）已知直线l 经过点P (2，1)，且与直线2x －y ＋2＝0平行，那么直线l 的方程是( ) A ．2x －y －3＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x －y －4＝0D ．x －2y －4＝0【解析】 由题意可设所求的方程为2x －y ＋c ＝0(c ≠2)， 代入已知点(2，1)，可得4－1＋c ＝0，即c ＝－3， 故所求直线的方程为：2x －y －3＝0，故选A. 【答案】 A【变式训练2-2】（西湖区校级月考）设直线l 1：(a ＋1)x ＋3y ＋2＝0，直线l 2：x ＋2y ＋1＝0.若l 1∥l 2，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________．【解析】 直线l 1：(a ＋1)x ＋3y ＋2＝0，直线l 2：x ＋2y ＋1＝0，分别化为：y ＝－a ＋13x －23，y ＝－12x －12.若l 1∥l 2，则－a ＋13＝－12，解得a ＝12.若l 1⊥l 2，则－a ＋13×(－12)＝－1，解得a ＝－7.【答案】 12－7名师导练A 组-[应知应会]1．（芜湖校级月考）已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限【解析】 由题意可把ax ＋by ＝c 化为y ＝－a b x ＋c b .∵ab <0，bc ＜0，∴直线的斜率k ＝－ab >0，直线在y 轴上的截距cb<0.由此可知直线通过第一、三、四象限． 【答案】 C2．（南岸区校级期末）过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0【解析】 由题意，得所求直线斜率为12，且过点(1，0)．故所求直线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.【答案】 A3．（辽源期末）若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m 等于( ) A ．－1B ．1C.12D ．－12【解析】 由两直线垂直，得1×2＋(－2)m ＝0，解得m ＝1. 【答案】 B4．（宜兴县校级期中）直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )【解析】 将l 1与l 2的方程化为斜截式得： y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得选C. 【答案】 C5．（城关区校级期末）直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角45°，则m 的值为( ) A ．－2 B ．2C ．－3D ．3 【解析】∵直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角45°，当m 2＝4时，与题意不符，∴2m 2－5m ＋2m 2－4＝tan 45°＝1，解得m ＝3或m ＝2(舍去)． 故选D. 【答案】 D6．（金凤区校级期末）若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相平行，那么a 的值等于________． 【解析】 ∵直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0分别化为y ＝－a 2x －12，y ＝－x ＋2，则－a2＝－1，解得a ＝2. 【答案】 27．（越秀区校级期末）已知过点A (－2，m )，B (m ，4)的直线与直线2x ＋y －1＝0互相垂直，则m ＝________． 【解析】 因为两条直线垂直，直线2x ＋y －1＝0的斜率为－2，所以过点A (－2，m )，B (m ，4)的直线的斜率4－m m ＋2＝－12，解得m ＝2.【答案】 28．（凯里市校级期末）已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋4＝0和a 2x ＋b 2y ＋4＝0都过点A (2，3)，则过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程为________________．【解析】 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3b 1＋4＝0，2a 2＋3b 2＋4＝0，易知两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)都在直线2x ＋3y ＋4＝0上，即2x ＋3y ＋4＝0为所求． 【答案】 2x ＋3y ＋4＝09．（和平区校级期中）若方程(m 2－3m ＋2)x ＋(m －2)y －2m ＋5＝0表示直线． (1)求实数m 需满足的条件；(2)若该直线的斜率k ＝1，求实数m 的值．【解】 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2≠0，m －2≠0，解得m ≠2.(2)由题意知，m ≠2，由－m 2－3m ＋2m －2＝1，解得m ＝0. 10．（如东县期中）(1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值；(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？【解】 法一 (1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0，l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行．②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3.(2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直．②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直． ③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3. 当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1， ∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.法二 (1)令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.∴m 的值为2或－3.(2)由题意知直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1，将a ＝±1代入方程，均满足题意．故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.B 组-[素养提升]1．（昌江区校级期末）若三条直线x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋ay ＝3能构成三角形，则a 满足的条件是________．【解析】 由直线x ＋y ＝0与x －y ＝0都过(0，0)点，而x ＋ay ＝3不过(0，0)点，故只需满足x ＋ay ＝3不与x ＋y ＝0与x －y ＝0平行即可，故a ≠±1.【答案】 a ≠±12．（河南校级月考）已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．(1)【证明】 将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)，∴l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)，而点A (15，35)在第一象限，故不论a 为何值，l 恒过第一象限．(2)【解】 当a ＝0时，直线l 的方程为5y －3＝0，不符合题意，故要使l 不经过第二象限，需a >0且l 在y 轴上的截距不大于零，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a －35≤0，∴a ≥3. 3．（镜湖区校级期中）已知平面内两点A (8，－6)，B (2，2)．(1)求AB 的中垂线方程；(2)求过点P (2，－3)且与直线AB 平行的直线l 的方程；(3)一束光线从B 点射向(2)中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在直线的方程．【解】 (1)因为8＋22＝5，－6＋22＝－2， 所以AB 的中点坐标为(5，－2)．因为k AB ＝－6－28－2＝－43， 所以AB 的中垂线的斜率为34， 故AB 的中垂线的方程为y ＋2＝34(x －5) 即3x －4y －23＝0.(2)由(1)知k AB ＝－43， 所以直线l 的方程为y ＋3＝－43(x －2)， 即4x ＋3y ＋1＝0.(3)设B (2，2)关于直线l 的对称点为B ′(m ，n )，由⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝34，4×m ＋22＋3×n ＋22＋1＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－145，n ＝－85，所以B ′(－145，－85)，k B ′A ＝－6＋858＋145＝－1127， 所以反射光线所在直线方程为y ＋6＝－1127(x －8)． 即11x ＋27y ＋74＝0.。
直线的方程与性质
直线的方程与性质直线是一个无限延伸的几何对象，具有特定的方程和性质。
在本文中，我们将探讨直线的方程和一些与之相关的基本性质。
一、直线的方程直线的方程可以通过两点式、点斜式和斜截式表示。
1. 两点式两点式是通过直线上的两个已知点来表示直线的方程。
假设已知直线上的两个点为 P(x₁, y₁) 和 Q(x₂, y₂)，那么直线的两点式方程为：(x - x₁)/(x₂ - x₁) = (y - y₁)/(y₂ - y₁)简化为：(y₂ - y₁)x + (x₁ - x₂)y + (x₁y₂ - x₂y₁) = 02. 点斜式点斜式是通过已知直线上的一点和直线的斜率来表示直线的方程。
假设已知直线上的点为 P(x₁, y₁)，直线的斜率为 k，那么直线的点斜式方程为：y - y₁ = k(x - x₁)简化为：kx - y + (y₁ - kx₁) = 03. 斜截式斜截式是通过已知直线上的一点和直线与 y 轴的交点来表示直线的方程。
假设已知直线上的点为 P(x₁, y₁)，直线与 y 轴的交点为 Q(0, b)，那么直线的斜截式方程为：y - y₁ = kx简化为：kx - y + y₁ - kx₁ = 0二、直线的性质直线具有许多重要的性质，下面我们将介绍其中几个。
1. 斜率直线的斜率表示了其在平面上的倾斜程度。
斜率可以通过直线的两点式方程或点斜式方程来求得。
两点式方程中的系数 (y₂ - y₁)/(x₂ -x₁) 就是直线的斜率，而点斜式方程中的斜率 k 也是直线的斜率。
2. 截距截距表示了直线与坐标轴的交点。
对于斜截式方程来说，直线与 y轴的交点的纵坐标就是直线的 y 截距。
而对于点斜式方程来说，直线与 y 轴的交点的纵坐标等于提供的点的纵坐标减去斜率乘以提供的点的横坐标。
3. 平行和垂直两条直线平行的条件是它们的斜率相等。
两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积等于 -1。
4. 距离和倾斜角直线之间的距离可以通过点到直线的距离公式来计算。
高中数学直线方程
高中数学直线方程一、引言直线是高中数学中重要的几何概念之一，直线方程是研究直线性质的基础。
在几何中，直线是由无数个点连成的，我们可以用方程来描述直线的性质和特点。
本文将介绍直线的方程及其应用。
二、直线的一般方程直线的一般方程形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为实数且A、B不同时为0。
这个方程是直线上所有点的坐标(x, y)的解集。
其中A和B表示直线的斜率，C表示直线与坐标轴的截距。
三、直线的斜截式方程斜截式方程形式为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
斜截式方程便于我们直观地理解直线的斜率和截距。
四、直线的点斜式方程点斜式方程形式为y - y₁= k(x - x₁)，其中(x₁, y₁)为直线上一点的坐标，k为直线的斜率。
点斜式方程可以通过已知直线上一点和斜率来方便地确定直线的方程。
五、直线的截距式方程截距式方程形式为x/a + y/b = 1，其中a、b为直线与坐标轴的截距。
截距式方程可以直观地表示直线与x轴和y轴的截距。
六、直线方程的应用1. 直线的位置关系：通过直线方程可以判断两条直线的位置关系，如相交、平行、重合等。
2. 直线的斜率：直线的斜率决定了直线的倾斜程度，可以用来表示直线的陡峭程度或者平缓程度。
3. 直线的截距：直线的截距可以反映直线与坐标轴的交点位置。
4. 直线的交点：通过解直线方程组可以求得两条直线的交点坐标。
5. 直线的垂直与平行：通过直线的斜率可以判断两条直线是否垂直或平行。
七、直线方程的解法与注意事项1. 求解直线方程需要注意A和B不能同时为0，否则方程无意义。
2. 求解直线方程时，可以根据已知条件选择合适的方程形式，如点斜式方程适用于已知直线上一点和斜率的情况。
3. 求解直线方程时，可以通过直线的截距和斜率来确定方程。
4. 解直线方程时，可以利用直线的斜率来判断直线的特性，如斜率为0表示直线水平，无斜率表示直线垂直于x轴等。
直线的方程与性质
直线的方程与性质直线是数学中的基础图形之一，它在几何学和代数学中有着重要的地位。
本文将介绍直线的方程以及与直线相关的一些性质。
一、直线的方程直线的方程表达了直线上点的坐标与一些常数之间的关系。
根据直线的特点，我们可以使用不同的方程形式来表示直线。
1. 一般形式方程直线的一般形式方程可表示为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是常数，A和B不同时为0。
例如，2x + 3y - 5 = 0就是一个直线的一般形式方程。
2. 斜截式方程斜截式方程是直线的另一种常用表达方式。
它的形式为y = mx + b，其中m是斜率，b是直线与y轴的截距。
斜率表示了直线上两点之间的垂直高度与水平距离的比值。
例如，y = 2x + 3就是一个直线的斜截式方程，其斜率为2，截距为3。
3. 点斜式方程点斜式方程通过一个已知点的坐标以及直线的斜率来表示直线。
它的形式为y - y₁ = m(x - x₁)，其中m是斜率，(x₁, y₁)是已知点的坐标。
例如，如果直线通过点(1, 2)，斜率为3，则其点斜式方程为y - 2 = 3(x - 1)。
二、直线的性质直线具有许多特性和性质，这些性质是解决直线问题的关键。
1. 斜率斜率是直线最重要的性质之一。
它表示了直线在水平方向上的变化量与垂直方向上的变化量的比值。
斜率可以通过直线的两个已知点的坐标来计算，公式为m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)。
斜率可以为正、负、零或不存在。
2. 平行和垂直直线的平行性和垂直性是另外两个重要的性质。
直线A和直线B平行的条件是它们的斜率相等，而直线B和直线C垂直的条件是它们的斜率乘积为-1。
3. 距离和中点直线与点之间的距离也是直线的一个重要性质。
可以使用点到直线距离公式来计算，该公式为d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)，其中(x₁, y₁)是点的坐标。
此外，直线的中点是直线上任意两点连线的中点。
直线方程知识点归纳总结高中
直线方程知识点归纳总结高中直线方程是高中数学学科中重要的知识点之一，它在解析几何和代数中起着重要的作用。
本文将对高中直线方程的相关内容进行归纳总结，包括直线的一般方程、点斜式方程、两点式方程和截距式方程等几种常见形式。
同时，还将对直线的斜率和截距的概念进行解释，并提供相关的例题进行说明。
一、直线的一般方程直线的一般方程形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0。
这种形式的直线方程比较通用，可以表示任意一条直线。
在求解问题时，可以通过已知条件将直线方程转化为一般方程的形式，然后进一步进行计算。
例如，已知直线过点P(2, 3)且斜率为2，我们可以先利用斜率公式求得直线的斜率k=2。
然后，代入点斜式方程y - y₁ = k(x - x₁)中的点P的坐标，得到直线的点斜式方程为y - 3 = 2(x - 2)。
最后，将该点斜式方程转化为一般方程的形式，得到2x - y - 1 = 0。
二、直线的点斜式方程点斜式方程形式为y - y₁ = k(x - x₁)，其中(x₁, y₁)为直线上一点的坐标，k为直线的斜率。
点斜式方程主要用于确定直线上一点和直线的斜率，通过已知条件和该点斜率可以确定直线方程。
例如，已知直线过点A(-1, 4)且斜率为-3，我们可以直接利用点斜式方程得到直线的方程为y - 4 = -3(x - (-1))，简化后为y = -3x + 1。
三、直线的两点式方程两点式方程形式为(y - y₁)/(x - x₁) = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)，其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)为直线上的两个点的坐标。
两点式方程可以直接得到直线的方程，适用于已知直线上两个点的坐标的情况。
例如，已知直线上两点A(-2, 1)和B(3, 4)，我们可以通过两点式方程求得直线的方程为(y - 1)/(x - (-2)) = (4 - 1)/(3 - (-2))，简化后为3x - y+ 5 = 0。
北京四中高中数学高清课堂高中数学课堂之高考冲刺第8讲直线与圆锥曲线
高考冲刺第8讲直线与圆锥曲线
一、知识要点
1、曲线与方程
2、直线
3、圆
4、椭圆
5、双曲线
6、抛物线
二、典型例题
例1、方程2
x y表示的曲线是（）
||11(1)
（A）半个圆（B）两个圆（C）两个半圆（D）两条相交直线
例2、已知直线l: ax+by+c=0和圆O: x2+y2=1, 那么a2+b2≥c2是直线l和圆相交的( ) 条件（A）充分非必要（B）必要非充分（C）充要（D）既非充分也非必要
例3、椭圆15
y 9x 2
2的左，右焦点分别为F 1、F 2，点P 是椭圆上任一点，点A(1，1)，则|PA|+|PF 1|满足( )
(A)最大值26,26最小值(B)最大值2
323，最小值(C)最大值26，无最小值(D)最小值2-6，无最大值例4、直线y=x+3与曲线19y 4|x |x 2
的公共点个数是( )
(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个例5、已知抛物线x 2=y ，若其上总存在两个不同的点M ，N 关于直线29
kx y 对称，则实
数k 的取值范围是( )
(A)1111
(,)(,)()(,)4444B (C)1
111
,()[,]
4444D 例6、设，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线y x 上运动，点Q 满足BQ QA uu u r uu r ，经过Q 点与M x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP uuu r uuu r ,求点P 的轨迹方程。
北京四中高考数学总复习 直线、平面平行的判定和性质基础知识讲解
直线、平面平行的判定和性质【考纲要求】1、掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；2、掌握两个平面平行的判定定理和性质定理．3、能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题。
【知识网络】【考点梳理】考点一、直线与平面平行的判定 1、判定定理：（1）内容： 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（2）符号语言：2、判定直线与平面平行，主要有三种方法： （1）利用定义（常用反证法）；（2）利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线。
可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直直线、平面平行判定定理性质定理 线面平行面面平行判定定理性质定理线作一平面找其交线。
（3）利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于另一平面。
要点诠释：线面平行关系没有传递性，即平行线中的一条平行于一平面，另一条不一定平行于该平面。
考点二、直线与平面平行的性质1、性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.2、符号语言：．考点三、平面与平面平行的判定1、面面平行的定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行．2、图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的．3、平行平面的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．4、符号语言：5、判定平面与平面平行的常用方法：①利用定义（常用反证法）；②利用判定定理：转化为判定一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面。
客观题中，也可直接利用一个平面内的两条相交线分别平行于另一个平面的两条相交线来证明两平面平行；③利用面面平行的传递性：////. //αβαγγβ⎫⇒⎬⎭④利用线面垂直的性质：//l l ααββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭。
北京四中 直线的方程以及平行、垂直、到角公式的应用
北 京 四 中直线的方程以及平行、垂直、到角公式的应用一、教学要求：1、通过本内容的学习，充分理解直线的方程与方程的直线的关系，加深对几何问题坐标化的理解．2、研究直线方程的五种形式及相关公式，注意直线方程的五种形式中除一般形式外，均有不能表示的直线，否则可能丢解．3、理解直线方程的常数参数的几何意义．4、两直线平行垂直的判定与应用5、到角与夹角公式二、重难点分析：点斜式处于中枢位置，是最基本的形式，也是推导其它形式的基础。
对其它形式要牢记它的适用范围，有哪些不能表示的直线，并且能灵活地互化。
一般式是对各种具体形式的概括，因此理论上很重要。
(二)方程的推导1.点斜式注意：(1)点斜式是最基本的形式，也是推导其它形式的基础。
它的推导是直接法求曲线的方程的典型应用，在推导过程中把握以下几点：[1]直线的定义：过定点且保持运动方向不变的点集。
[2]通过斜率公式将结合条件坐标化：[3]由斜率公式的限制条件，导致对x ≠x l 和x=x 1的分类讨论；[4]能合并的尽量合并。
(2)通过点斜式的推导，进一步熟悉求曲线方程的方法，加深对曲线的方程的理解，注意体会变形中如何保证等价性。
(3)写直线方程时保证[1]x ，y ∈R ；[2]等价变形，结果会不会缩小或扩大曲线，满足曲线的方程定义的两条。
(4)在具体求解问题时，点斜式不能表示的直线需单独进行讨论。
容易丢解。
2. 斜截式若直线L 的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则直线L 过点(0，b)，由点斜式方程知，直线L 的方程为y-b=kx 即y=kx+b.注：截距是数量值，而不是长度值。
3. 两点式若直线L 过点(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，y 1≠y 2则直线L 的斜率为2121y y k x x -=-，由点斜主式方程知 直线L 的方程为211111212121y y y-y x-x y y (x x )=x x y -y x -x --=⋅--，即注意：与其它两种写法的区别：121121y y y y x x x x --=--表示的不是整条直线，不包括点(x 1，y 1)，所以它不符合纯粹性，不是所求曲线的方程：(x 2-x 1)(y-y 1)=(y 2-y 1)(x-x 1)可以表示过这两点的所有直线，而且对已知两点没有限制。
高中数学直线与直线的方程直线方程的点斜式直线方程的两点式和一般式含解析北师大版必修
1．2 直线的方程1．2.1直线方程的点斜式考纲定位重难突破1.理解直线方程的含义．2.掌握并能熟练应用直线的点斜式方程及使用条件.3.掌握并能熟练应用直线的斜截式方程及使用条件. 重点：熟练求出满足已知条件的直线方程．难点：常与函数、方程等结合命题．方法：待定系数法求直线方程.授课提示：对应学生用书第36页[自主梳理]一、直线方程的点斜式和斜截式方程名称已知条件直线方程示意图应用范围点斜式直线l上一点P(x1，y1)及斜率ky－y1＝k(x－x1)直线不与x轴垂直斜截式直线l的斜率k及在y轴上的截距by＝kx＋b直线不与x轴垂直1．在y轴上的截距：直线与y轴的交点(0，b)的b；2．在x轴上的截距：直线与x轴的交点(a,0)的a.[双基自测]1．直线方程y－y0＝k(x－x0)()A．可以表示任何直线B．不能表示过原点的直线C．不能表示与y轴垂直的直线D．不能表示与x轴垂直的直线解析：直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，即不能表示与x轴垂直的直线．答案：D2．若直线方程为y－3＝3(x＋4)，则在该直线上的点是()A．(4,3)B．(－3，－4)C．(－4,3) D．(－4，－3)解析：由点斜式方程知该直线经过(－4,3)．答案：C3．直线y ＝12(x ＋4)在y 轴上的截距为________．解析：方程可化为y ＝12x ＋2，故直线在y 轴上的截距等于2.答案：24．经过点(－2,1)，且斜率与直线y ＝－2x －1的斜率相等的直线方程为________． 解析：直线y ＝－2x －1的斜率为－2.故所求直线的斜率为－2，又经过点(－2,1)，故所求直线方程为y －1＝－2(x ＋2)，可化为2x ＋y ＋3＝0.答案：2x ＋y ＋3＝05．已知直线l 的方程为kx －y ＋2k ＋2＝0. (1)求证：直线l 过定点；(2)若直线l 在y 轴上的截距为4，求k 的值．解析：(1)证明：直线l 的方程可化为y －2＝k (x ＋2)，这是直线方程的点斜式，它表示经过点(－2,2)，斜率为k 的直线，故直线过定点(－2,2)．(2)令x ＝0，得y ＝2k ＋2，依题意有2k ＋2＝4，故k ＝1.授课提示：对应学生用书第36页探究一 直线的点斜式方程[典例1] 根据下列条件，写出直线的点斜式方程： (1)斜率为－12，且过点(2，－2)；(2)经过点(3,1)，倾斜角为45°；(3)斜率为2，与x 轴交点的横坐标为－5； (4)过点B (－1,0)，D (4，－5)； (5)过点C (－2,3)，与x 轴垂直．[解析] (1)所求直线的斜率为－12，又过点(2，－2)，故所求方程为y ＋2＝－12(x －2)．(2)设直线的倾斜角为α，因为α＝45°，k ＝tan α＝tan 45°＝1， 所以所求直线的点斜式方程为y －1＝x －3.(3)由直线与x 轴交点的横坐标为－5，得直线过点(－5,0)． 又斜率为2，由直线的点斜式方程得y －0＝2[x －(－5)]， 即y ＝2(x ＋5)．(4)直线的斜率为k＝－5－04－(－1)＝－1，所以直线的点斜式方程为y－0＝－(x＋1)，即y＝－(x＋1)．(5)由于直线与x轴垂直，所以斜率不存在，又过点(－2,3)，故方程为x＝－2.1．用点斜式求直线方程，首先要确定一个点的坐标，其次判断斜率是否存在，只有在斜率存在的条件下，才能用点斜式求直线的方程．若直线过点P(x0，y0)且斜率不存在，则直线方程为x－x0＝0.2．求直线的点斜式方程的步骤：(1)确定直线所经过的一个点(x0，y0)；(2)求出直线的斜率k；(3)根据点斜式写出直线方程．1．根据条件写出下列直线的点斜式方程．(1)经过点(2,5)，倾斜角为45°；(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得到的直线l；(3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行．解析：(1)因为倾斜角为45°，所以斜率k＝tan 45°＝1，所以直线的方程为y－5＝x－2.(2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°.由题意知，直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1.又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y－4＝－(x－3)．(3)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0(x＋1)．探究二直线的斜截式方程[典例2]根据下列条件求直线的斜截式方程：(1)斜率为3，在y轴上的截距等于－1；(2)在y轴上的截距为－4，且与x轴平行．[解析](1)由斜截式可得，所求直线的方程为y＝3x－1；(2)因为直线与x轴平行，所以直线上所有点的纵坐标相等，均为－4，所以所求的直线方程为y＝－4.1．直线l与x轴的交点的横坐标称为直线l的横截距；与y轴交点的纵坐标称为直线l的纵截距．注意截距不是距离，截距可以为正，可以为负，也可以为零，距离不能为负．2．直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示．3．直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定某直线，只需两个独立的条件．4．利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k ，只需引入参数b ；同理如果已知截距b ，只需引入参数k .2．(1)已知直线方程为y －2＝3(x ＋3)，则它在y 轴上的截距为________； (2)已知直线的斜率为2，在y 轴上的截距m 为________时，该直线经过点(1,1)． 解析：(1)由y －2＝3(x ＋3)可得y ＝3x ＋11.对照斜截式方程可知直线在y 轴上的截距b ＝11. (2)由已知可得直线方程为y ＝2x ＋m ，又直线经过点(1,1)， 所以1＝2＋m ，得m ＝－1. 答案：(1)11 (2)－1探究三 直线方程的简单应用[典例3] 已知直线l 的斜率为2，且与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为36，求此时直线与x 轴、y 轴围成的三角形的周长．[解析] 由于直线l 的斜率为2，故设l 的方程为y ＝2x ＋b . 令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－b 2.由已知得12·|b |·⎪⎪⎪⎪－b 2＝36， 解得|b |＝12. 即b ＝±12，所以l 的方程为y ＝2x ＋12或y ＝2x －12.当b ＝12时，l 在x 轴、y 轴上的截距分别为－6,12； 当b ＝－12时，l 在x 轴、y 轴上的截距分别为6，－12. 故三角形的周长为6＋12＋62＋122＝18＋6 5.1．求直线方程时，通常采用待定系数法，即先设出参数，然后利用条件求得参数值，即得方程．如果直线的斜率已知，通常设直线方程的斜截式，这时方程中含参数b ；如果直线所经过的某个点的坐标已知，则可设点斜式，这时方程中含参数k .2．截距不是距离，在求解有关周长、面积的问题时，注意二者的区别，必要时应通过绝对值进行转化．3．如图，光线自点M (2,3)射到y 轴上的点N (0,1)后被y 轴反射，求反射光线的方程．解析：入射光线经过点M 、N ，其斜率k ＝3－12－0＝1，∴倾斜角为45°，即∠MNP ＝45°，由物理学知识得∠M ′NP ＝45°，即反射光线的倾斜角为135°，其斜率为－1， ∵点N (0,1)在反射光线上，∴反射光线的方程为y －1＝(－1)(x －0)， 即x ＋y －1＝0.对截距概念理解不到位致误[典例] 已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l 的方程为________．[解析] 设直线方程为y ＝16x ＋b ，则x ＝0时，y ＝b ；y ＝0时，x ＝－6b . 由已知可得12·|b |·|－6b |＝3，即6|b |2＝6，所以b ＝±1. 故所求直线的方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1.[答案] y ＝16x ＋1或y ＝16x －1[错因与防范] 本题易误认为截距是正值导致漏解．直线y ＝kx ＋b 在y 轴上的截距是直线与y 轴交点的纵坐标，不是直线与y 轴的交点到原点的距离，截距的值可能是正数，也可能是零或者负数．[随堂训练] 对应学生用书第38页1．下列说法：①任何一条直线在y 轴上都有截距； ②直线在y 轴上的截距一定是正数；③直线方程的斜截式可以表示不垂直于x 轴的任何直线． 其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．③解析：因为当直线垂直于x 轴时，直线在y 轴上的截距不存在，所以①错误．直线在y 轴上的截距是直线与y 轴交点的纵坐标，截距是一个数值，可正、可负、可为0，所以②错误．不垂直于x 轴的任何直线都有斜率，所以都能用直线方程的斜截式表示，所以③正确．答案：D2．直线y ＝π4x －1的斜率等于( )A ．1B ．－1 C.π4D ．－π4解析：由直线方程的斜截式知其斜率为π4.答案：C3．若直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 B ．直线经过点(1，－2)，斜率为－1 C ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 D ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1解析：直线方程可化为y －(－2)＝－[x －(－1)]，因此直线经过点(－1，－2)，斜率为－1. 答案：D4．已知一条直线经过点P (1,2)，且其斜率与直线y ＝2x ＋3的斜率相同，则该直线的方程是________．解析：由题意知该直线的斜率为2，又该直线经过点P (1,2)，∴该直线的方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .答案：y ＝2x5．直线y ＝3kx －3k ＋6经过定点P ，则点P 的坐标为________．解析：直线方程可化为y －6＝3k (x －1)，由点斜式可知该直线经过定点P (1,6)． 答案：(1,6)1．2.2 直线方程的两点式和一般式以用关于x ，y的二元一次方程来表示．3.能将直线方程的几种形式进行互相转换，并弄清各种形式的应用范围. 难点：直线方程几种形式的选择．疑点：直线方程中的隐含条件易被忽略.授课提示：对应学生用书第38页[自主梳理]直线方程的两点式、截距式和一般式方程名称已知条件直线方程示意图应用范围两点式直线l上两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1直线l不与坐标轴平行或重合截距式直线l在坐标轴上的两截距：横截距a与纵截距bxa＋yb＝1直线l不与坐标轴平行或重合，且不过原点一般式二元一次方程系数A、B、C的值Ax＋By＋C＝0平面内任一条直线1．有关直线方程的两点式，有如下说法：①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程；②直线方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1也可写成y－y2y1－y2＝x－x2x1－x2；③过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线可以表示成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)．其中正确说法的个数为()A．0B．1C．2 D．3解析：①正确，从两点式方程的形式看，只要x1≠x2，y1≠y2，就可以用两点式来求解直线的方程．②正确，方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1与y－y2y1－y2＝x－x2x1－x2的形式有异，但实质相同，均表示过点(x1，y1)和(x2，y2)的直线，③显然正确．答案：D2．在x轴、y轴上的截距分别是5，－3的直线的截距式方程为()A.x 5＋y3＝1 B.x 5－y 3＝1 C.y 3－x5＝1 D.x 5＋y 3＝0 解析：由方程的截距式易知直线方程为x 5＋y －3＝1，即x 5－y3＝1.答案：B3．若直线mx ＋2y －1＝0的斜率等于2，则它在y 轴上的截距为________．解析：由已知得－m2＝2，所以m ＝－4，此时直线的方程为－4x ＋2y －1＝0，可化为y ＝2x ＋12，所以直线在y 轴上的截距为12.答案：124．若直线2x ＋3y ＋m ＝0经过第一、二、四象限，则m 的取值范围是________． 解析：2x ＋3y ＋m ＝0可化为y ＝－23x －m 3，依题意应有－m3>0，所以m <0.答案：m <05．已知△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)，B (－2,6)，C (－8,0)，AC 的中点D 的坐标为(－4,2)．求：(1)边AC 所在直线的方程； (2)BD 所在直线的方程．解析：(1)因为A (0,4)，C (－8,0)，所以由直线的截距式方程，得x －8＋y4＝1，即为x －2y ＋8＝0.所以边AC 所在直线的方程为x －2y ＋8＝0.(2)由直线的两点式方程得BD 所在直线的方程为y －62－6＝x ＋2－4＋2，即为2x －y ＋10＝0.故BD 所在直线的方程为2x －y ＋10＝0.授课提示：对应学生用书第39页探究一 直线方程的两点式方程和截距式[典例1] 求满足下列条件的直线方程： (1)过点A (－2,3)，B (4，－1)；(2)在x 轴，y 轴上的截距分别为4，－5；(3)过点P (2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．[解析] (1)由两点式得y －3－1－3＝x ＋24＋2，化简得2x ＋3y －5＝0.(2)由截距式得x 4＋y－5＝1.化简为5x －4y －20＝0.(3)当直线过原点时，所求直线方程为3x －2y ＝0； 当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋ya ＝1.因为直线过点P (2,3)，所以2＋3a＝1，即a ＝5. 直线方程为y ＝－x ＋5.所以所求直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.直线方程有多种形式，在求解时应根据题目的条件选择合适的形式，但要注意直线方程各种形式的适用范围．1．已知直线l ：x m ＋y4－m＝1.(1)若直线l 的斜率等于2，求实数m 的值；(2)若直线l 分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，O 是坐标原点，求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程．解析：(1)易知直线l 过点(m,0)，(0,4－m )， 则k ＝4－m －m＝2, m ＝－4.(2)由m ＞0,4－m ＞0，得0＜m ＜4， 则S ＝m (4－m )2＝－(m －2)2＋42，易知当m ＝2时，S 有最大值2， 此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.探究二 直线方程的一般式[典例2] 设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，根据下列条件分别确定k 的值； (1)直线l 的斜率为－1；(2)直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0. [解析] (1)因为直线l 的斜率存在， 所以直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x ＋2，由题意得－2k －3＝－1，解得k ＝5.(2)直线l 的方程可化为x k －3＋y2＝1，由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1.1．直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0中要求A ，B 不同时为0；2．由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程；反过来，也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程，注意斜截式、截距式方程的使用条件．2．当实数m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1； (1)倾斜角为45°； (2)在x 轴上的截距为1?解析：(1)因为直线的倾斜角为45°，所以此直线的斜率是1，所以－2m 2＋m －3m 2－m＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ≠0，2m 2＋m －3＝－(m 2－m )，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0且m ≠1，m ＝－1或m ＝1.所以m ＝－1.(2)因为直线在x 轴上的截距为1，所以令y ＝0，得x ＝4m －12m 2＋m －3，所以4m －12m 2＋m －3＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3≠0，4m －1＝2m 2＋m －3， 解得⎩⎨⎧m ≠1且m ≠－32，m ＝－12或m ＝2.所以m ＝－12或m ＝2.探究三 直线方程的综合应用[典例3] 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0. (1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．[解析] (1)证明：将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)，所以直线l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)，而点A (15，35)在第一象限，故不论a 为何值，直线l 恒过第一象限．(2)要使l 不经过第二象限，则它在y 轴上的截距不大于零，即令x ＝0时，y ＝－a －35≤0，所以a ≥3.1．对于直线Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，直线的斜率存在，且k ＝－AB ，这时直线方程可化为点斜式或斜截式；当B ＝0时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜截式．2．直线在平面直角坐标系中的位置可由直线的斜率以及直线在y 轴上的截距确定，若直线的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则条件 直线的位置 k >0，b >0 k >0，b <0 k <0，b >0 k <0，b <0经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限3．求经过点A (2,1)，B (6，－2)的直线的两点式方程，再把它化为一般式、点斜式、截距式和斜截式方程，并画出图形．解析：直线AB 经过点A (2,1)，B (6，－2)，则两点式方程为y －1－2－1＝x －26－2.去分母，整理得3x ＋4y －10＝0，这就是一般式方程．直线AB 的斜率k ＝1－(－2)2－6＝－34，所以点斜式方程为y －1＝－34(x －2)．令x ＝0，得y ＝52；令y ＝0，得x ＝103，所以截距式方程为x 103＋y52＝1.直线AB 的斜率k ＝－34，在y 轴上的截距为52，所以直线AB 的斜截式方程为y ＝－34x ＋52.直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于点(103，0)与(0，52)，经过这两点作直线，就得到直线AB ，如图所示．直线方程的实际应用[典例] (本题满分12分)某小区内有一块荒地ABCDE ，今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)，进行开发(如图所示)，问如何设计才能使开发的面积最大？最大面积是多少？(已知BC ＝210 m ，CD ＝240 m ，DE ＝300 m ，EA ＝180 m ，∠C ＝∠D ＝∠E ＝90°)[规范解答] 以BC 边所成直线为x 轴，AE 边所成直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系．①由已知可得A (0,60)，B (90,0).……………………………………3分 所以AB 所在直线方程为x 90＋y 60＝1，即y ＝60－23x ………………………………….5分 从而可设线段AB 上一点P ⎝⎛⎭⎫x ，60－23x ， 其中0≤x ≤90，所以所开发部分的面积为S ＝(300－x )(240－y ). …………………………………7分 故S ＝(300－x )⎝⎛⎭⎫240－60＋23x ＝－23x 2＋20x ＋54 000＝－23(x －15)2＋54 150(0≤x ≤90)．②…………………………………9分所以当x ＝15，y ＝60－23×15＝50时，S max ＝54 150 m 2. …………………………………11分因此点P 距直线AE 15 m ，距直线BC 50 m 时所开发的面积最大，最大面积为54 150 m 2.③…………………………………12分[规范与警示] (1)解答本题的3个关键步骤如下：一是根据条件建立适当的坐标系①是将几何问题转化成代数问题的关键，也是失分点． 二是根据直线方程确定x 和y 的关系后，在②处要根据实际情况确定出x 的范围，否则会在后面的应用中忽略范围而出现错误解答．三是在解答③处的结论一定不能漏掉，否则解题步骤不完整，造成没必要的失分． (2)解决该类问题应注意以下两点：一是利用坐标法解决实际生活问题时，首先要建立适当的坐标系，再借助已知条件寻找x 和y 的关系．要求一定准确、恰当，否则给后面的运算化简带来麻烦．二是利用二次函数知识探求最大值是解答这类问题常用的方法，因此要求转化正确，不能漏掉自变量的范围，而且步骤一定要完整、规范．[随堂训练] 对应学生用书第40页1．经过点⎝⎛⎭⎫12，－1和⎝⎛⎭⎫12，2的直线的方程为( ) A ．x ＝－1 B ．x ＝2 C ．x ＝12D ．y ＝12解析：因直线的斜率不存在，∴直线的方程为x ＝12.答案：C2．已知直线l ：ax ＋y －2＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2 D ．2解析：分析知a ≠0，直线l 的方程可化为x 2a ＋y 2＝1，所以由2a ＝2，得a ＝1，故选A.答案：A3．若mx ＋ny ＋12＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是－3和4，则m ，n 的值分别是( ) A ．4,3 B ．－4,3 C ．4，－3D ．－4，－3解析：mx ＋ny ＋12＝0化为截距式为x －12m ＋y－12n ＝1，所以⎩⎨⎧－12m＝－3，－12n ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝－3.答案：C4．直线4x －y －8＝0在x 轴上的截距等于________． 解析：令y ＝0，得x ＝2，所以直线在x 轴上的截距为2. 答案：25．若方程mx ＋(m 2－m )y ＋1＝0表示一条直线，则m 的取值范围是________． 解析：要使方程表示直线，需m 和m 2－m 不同时为0，因此m ≠0. 答案：m ≠0。
【高中数学】直线的方程+课件+高二数学同步精品课堂(北师大版2019选择性必修第一册)
解 (1)这条直线经过点P(3,4),斜率k＝2，点斜式方程为
y 4 2( x 3),
可化为
2 x y 2 0.
y
如下图所示：
• P(3,4)
1
1
x
例2 分别求出通过点P(3,4)且满足下列条件的直线方程，并
画出图形：
(1) 斜率k＝2； (2) 与x轴平行； (3)与x轴垂直。
1.3直线的方程
温故知新
1.直线的倾斜角与斜率
（1）直线的倾斜角
①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基
准，x轴正向与直线l
方向之间所成的角 叫做
向上
直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，
规定它的倾斜角为 0°.
②倾斜角的范围为 0°≤
.
＜180°
(2)直线的斜率
①定义：一条直线的倾斜角 的 正切值 叫做这条
=0
y y0 k x x0
kx 1 y y0 kx0 0
y kx b
kx 1 y b 0
y y1
x x1
y2 y1 x2 x1
x y
1
a b
y2 y1 x x1 x2 y x1 y1 y2 y1 x2 x1 0
3
截距式方程。
4
解：经过点A(6,4), 并且斜率等于
3
4
的直线方程的点斜式是y 4 ( x 6)。
3
化为一般式，得4 x 3 y 12 0。
x y
截距式是： 1。
3 4
例2
把直线的方程3 − 2 + 6＝0化成斜截式，求出直线的斜率
2024-2025学年北京四中高三上学期开学考数学试题
数 学 试 卷（试卷满分为100分，考试时间为90分钟）一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1. 已知集合{|11}A x x =-≤≤，{,}B a a =-. 若A B A =，则实数a 的取值范围是 （A ）{|11}a a -≤≤（B ）{|11}a a -<<（C ）{|11a a -<<，且0}a ≠ （D ）{|11a a -≤≤，且0}a ≠2.若复数i 1iaz +=+是纯虚数，则实数a = （A ）1（B ）1-（C ）2（D ）2- 3.已知lg e a =，2e b =，1ln 10c =（e 2.71828=），那么（A ）b c a <<（B ）c b a <<（C ）b a c<<（D ）c a b<<4.函数1()x f x x+=的图象的对称中心为 （A ）(0,0)（B ）(0,1)（C ）(1,0)（D ）(1,1)5.已知幂函数()f x 满足(6)4(2)f f =，则1()3f 的值为（A ）2（B ）14（C ）14-（D ）2-6.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，249a a =，42910S S =，则24a a +的值为（A ）30（B ）10（C ）9（D ）67.在下列函数中，导函数值不可能取到1的是（A ）ln y x x=（B ）cos y x=（C ）2xy =（D ）ln y x x=-8.已知a ，b ∈R ，则“1ab >”是“222a b +>”的 （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件9.在ABC ∆中，若cos cos a c B b c A -=-，则ABC ∆的形状是 （A ）等腰三角形（B ）直角三角形（C ）等腰直角三角形（D ）等腰三角形或直角三角形10.已知1x =是函数2()(1)()f x x x a =--的极小值点，那么实数a 的取值范围是 （A ）(,1)-∞（B ）(1,)+∞（C ）(,1]-∞（D ）[1,)+∞11.已知函数()sin cos f x t x x ωω=+（0t >，0ω>）的最小正周期为π，最大值，则函数()f x 的图象 （A ）关于直线π4x =-对称 （B ）关于点π(,0)4-对称（C ）关于直线π8x =对称 （D ）关于点π(,0)8对称12.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数a ，b ，c ，使得n n S a b c =⋅+，则以下结论不．正确的是（A ）0a c += （B ）数列{}n a 的公比为b （C ）0ac <（D ）数列{}n a 可能为常数列13.某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户. 如果教师用户人数()R t 与天数t 之间满足关系式：0()e kt R t R =，其中k 为常数，0R 是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为 参考数据：lg 20.3010≈ （A ）9（B ）10（C ）11（D ）1214.已知函数21()e 2x f x a x =-（a ∈R ），有如下3个结论：①当0a ≤时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递减；②当10ea <<时，()f x 有两个极值点； ③当1e a ≥时，()f x 有最大值.其中，正确结论的个数是 （A ）0（B ）1（C ）2（D ）3二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）15.已知0a >，则关于x 的不等式22450x ax a --<的解集是_____.16.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，且终边经过点(4,3)-，则3πcos()2α-=_____.17.若2(i)2i x +=（x ∈R ），则x =_____.18.写出一个同时具有下列性质的函数()f x =_____.①函数(1)f x +是偶函数；②当(1,)x ∈+∞时，()f x 单调递减.19.已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，2114,0,2()121,.2x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩（1）5(())8f f =_____；（2）不等式3(1)4f x -≤的解集为_____.20.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =. 给出如下4个结论：①{}n a 可能为等差数列； ②{}n a 可能为等比数列；③ i a （2i ≥）均能写成{}n a 的两项之差； ④ 对任意*n ∈N ，总存在*m ∈N ，使得n m a S =. 其中正确命题的序号是_____.三、解答题（本大题共2小题，共28分） 21.（本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S （*n ∈N ），11a =，59a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及n S ；（Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求数列{}n b 的前n 项和n T .条件①：2n a n b =； 条件②：2n n n b a =+； 条件③：11n n n b a a +=⋅.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22.（本小题满分15分）已知函数21()e 2x f x x ax ax =--（0a >）.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 的极大值为11e-，求a 的值；（Ⅲ）当1ea >时，若1[1,)x ∀∈+∞，2(,0]x ∃∈-∞，使得12()()0f x f x +=，求a 的取值范围.。
直线方程讲解
直线方程讲解直线是数学中最基础的几何概念之一，它在各个科学领域广泛应用。
而要描述一条直线，我们需要使用直线方程。
直线方程的形式多种多样，本文将讲解直线方程的几种常见形式以及它们的特点。
1. 一般式方程直线的一般式方程为：Ax + By + C = 0其中A、B、C为常数，并且A和B不同时为零。
这种形式的直线方程是最一般的形式。
通过一般式方程，我们可以直观地得到直线的斜率、截距等信息。
•斜率：直线的斜率可以通过式子m = -A/B来求得。
斜率决定了直线的倾斜程度。
当斜率为正数时，直线向右上方倾斜，为负数时，向右下方倾斜。
•截距：直线与x轴交点的坐标为(-C/A, 0)，与y轴交点的坐标为(0, -C/B)。
这两个点的坐标分别称为直线在x轴和y轴上的截距。
2. 斜截式方程斜截式方程是直线方程的另一种常见形式，它的形式为：y = mx + b其中m为直线的斜率，b为直线与y轴交点的纵坐标。
斜截式方程比较简洁，容易理解，通常用于描述一条已知斜率和截距的直线。
3. 点斜式方程点斜式方程是直线方程的另一种形式，它使用直线上一点的坐标(x₁, y₁)和直线的斜率m来表示，形式为：y - y₁ = m(x - x₁)点斜式方程通过直线上的一点和斜率来确定直线，因此在已知一点和斜率的情况下，可以方便地写出直线方程。
4. 两点式方程两点式方程是直线方程的另一种形式，它使用直线上两个点的坐标(x₁, y₁)和(x₂, y₂)来表示，形式为：(y - y₁)/(y₂ - y₁) = (x - x₁)/(x₂ - x₁)两点式方程通过直线上的两个点来确定直线。
5. 截距式方程截距式方程是直线方程的另一种形式，它使用直线在x轴和y轴上的截距来表示。
形式为：x/a + y/b = 1其中a和b分别表示直线在x轴和y轴上的截距。
截距式方程和斜截式方程一样，可以直观地展示直线与x轴和y轴的交点。
总结以上是直线方程的几种常见形式。
直线方程知识点总结
直线方程知识点总结一、直线的一般方程：直线的一般方程是Ax+By+C=0。
这里A、B和C都是实数，同时也不能同为零。
在一般方程中，A和B的值决定了直线的斜率和方向，C的值决定了直线与坐标轴的交点。
二、直线的斜截式方程：直线的斜截式方程是y=mx+b。
在这个方程中，m代表了直线的斜率，b代表直线在y 轴上的截距。
斜截式方程是一种非常直观和易于理解的形式，它可以帮助我们快速确定直线的斜率和截距。
三、直线的点斜式方程：直线的点斜式方程是y-y1=m(x-x1)。
其中m代表直线的斜率，而(x1,y1)代表直线上的某一点。
点斜式方程可以帮助我们通过一个点和斜率来确定一条直线。
四、直线的两点式方程：直线的两点式方程是(y-y1)/(x-x1)=(y-y2)/(x-x2)。
在这个方程中，(x1,y1)和(x2,y2)分别代表直线上的两个点。
两点式方程可以帮助我们通过两个点来确定一条直线。
五、直线的垂直和平行关系：如果两条直线的斜率的乘积为-1，则它们是垂直的；如果两条直线的斜率相等，则它们是平行的。
根据这个定义，我们可以很容易地确定两条直线之间的关系。
六、直线的距离及垂线方程：如果直线的一般方程是Ax+By+C=0，那么从点(x1,y1)到直线的距离可以用公式d=|Ax1+By1+C|/sqrt(A^2+B^2)来表示。
此外，我们还可以通过斜率m来求得垂线方程。
七、直线与坐标轴的交点：如果已知直线的一般方程Ax+By+C=0，那么它分别与x轴和y轴的交点可以用以下方式求得：1. 交x轴时，直线的交点为(-C/A, 0)2. 交y轴时，直线的交点为(0, -C/B)以上就是直线方程的一些基本知识点总结，通过掌握这些知识，我们可以更好地理解和运用直线方程，从而解决各种相关问题。
直线方程知识点归纳总结高中
直线方程知识点归纳总结（高中）1. 直线的一般方程直线的一般方程可以表示为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是实数，且A和B不同时为0。
例如，2x + 3y - 5 = 0就是一条直线的一般方程。
2. 直线的斜截式方程直线的斜截式方程可以表示为y = mx + b，其中m是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。
例如，y = 2x + 3就是一条直线的斜截式方程，斜率为2，截距为3。
3. 直线的点斜式方程直线的点斜式方程可以表示为y - y₁ = m(x - x₁)，其中m是直线的斜率，(x₁, y₁)是直线上的一点。
例如，y - 2 = 3(x - 4)就是一条直线的点斜式方程，斜率为3，通过点(4, 2)。
4. 直线的两点式方程直线的两点式方程可以表示为(y - y₁)/(x - x₁) = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)，其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)是直线上的两个点。
例如，(y - 1)/(x - 2) = (3 - 1)/(5 - 2)就是一条直线的两点式方程，通过点(2, 1)和(5, 3)。
5. 直线的垂直平行关系如果两条直线的斜率相等且截距不同，那么它们是平行的。
如果两条直线的斜率互为倒数，那么它们是垂直的。
6. 直线的角平分线直线的角平分线是指将一个角平分成两个相等的角的直线。
对于两条直线l₁和l₂，如果l₁和l₂的斜率之积为-1，那么l₁和l₂是互相垂直的。
7. 直线的距离公式直线Ax + By + C = 0到点(x₁, y₁)的距离可以用公式d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)来计算。
8. 直线与坐标轴的交点直线与x轴的交点可以通过令y = 0来求解。
直线与y轴的交点可以通过令x = 0来求解。
这些交点可以作为直线的特殊点，用于确定直线的方程。
9. 直线的平移与旋转直线的平移可以通过改变直线的截距来实现。
北京市第四中学2016高考理科数学总复习例题讲解：平面解析几何初步 01直线方程和两条直线的位置关系
直线方程和两条直线的位置关系（无答案）——北京四中：苗金利一、知识要点：1、 直线的倾斜角和斜率；2、 直线方程的几种形式；3、 两条直线的位置关系.二、典型例题例1.直线22x my m +=+与直线1mx y m +=+平行的充要条件 是（ ）（A ）12m = （B ）12m =- （C ）1m = （D ）1m =-例2.直线420mx y +-=与250x y n -+=互相垂直，垂足为(1,)p ，则m n p -+=（ ）（A ）-4 （B ）0 （C ）20 （D ）24例3.若三条直线1:0l x y -=，2:20l x y +-=，3:5150l x ky --=围成三角形，则实数k 的取值范围是（ ）（A ）k R ∈ （B ）k R ∈且1,0k k ≠±≠（C ）k R ∈且5,1k k ≠±≠ （D ）k R ∈且5,10k k ≠±≠-例4.两条平行线10Ax By C ++=与22Ax By ++20C =间的距离为（ ）（A（B （C（D例5.过(1,2)P 引直线l ，使它与两点(2,3)A ，(4,5)B -的距离 相等，则l 的方程为（ ）（A ）460x y +-=（B ）460x y +-=（C ）3270x y +-=或460x y +-=（D ）2370x y +-=或460x y +-=例6.两直线111a x b y +=，221a x b y +=的交点坐标为(2,3)，则 过点11(,)A a b 、22(,)B a b 的直线方程是_____________________.例7.直线过点P （2，1），与x ，y 轴正半轴交于A ，B 两点，O 为原点,求满足下列条件的直线l 方程；(1)△ABC 面积最小； (2)PB PA ⋅最小.。
北京市北京四中选修一第二单元《直线和圆的方程》检测(有答案解析)
一、选择题1．下列命题中，正确的是（ ）A ．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan αC ．若直线倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则斜率k 的取值范围是(,[1,)-∞⋃+∞ D ．当直线的倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，直线的斜率在这个区间上单调递增.2．过点)引直线l 与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（ ）A ．B ．C ．D 3．如果直线:5l y kx =-与圆22240x y x my +-+-=交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线20x y +=对称，则直线l 被圆截得的弦长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．4．若P 是直线l ：3490x y +-=上一动点，过P 作圆C ：2240x y x ++=的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（ ）A B ．CD ．5．过点()引直线l 与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当OA OB ⊥值时，直线l 的斜率等于（ ）.A ．3B ．3-C ．3±D 6．圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0被直线l ：ax ＋y －1－2a ＝0截得的弦长取得最小值时，此时a 的值为（ ） A ．3B ．－3C ．13D ．－137．设有一组圆()()()224*:1k C x y k k k N -+-=∈，给出下列四个命题：①存在k ，使圆与x 轴相切 ②存在一条直线与所有的圆均相交 ③存在一条直线与所有的圆均不相交 ④所有的圆均不经过原点 其中正确的命题序号是（ ） A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④8．圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值为（ ）A ．1B ．2CD ．9．已知点()1,0A m -，()()1,00B m m +>，若圆C ：2288280x y x y +--+=上存在一点P ，使得PA PB ⊥，则实数m 的取值范围是( ) A ．3m ≥ B ．3m 7≤≤ C ．27m -<≤D ．46m ≤≤10．设点M 为直线2x =上的动点，若在圆22:3O x y +=上存在点N ，使得30OMN ∠=︒，则M 的纵坐标的取值范围是（ ）A ．[1,1]-B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[-D ．22⎡-⎢⎣⎦11．若过点(2,1)P 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y -+=的距离是（ ）A B C D12．已知函数22()()4)()f x x a a a R =-+-∈，若关于x 的不等式()2f x ≤有解，则实数a 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．D二、填空题13．点P (－3，1)在动直线mx ＋ny ＝m ＋n 上的投影为点M ，若点N (3，3)那么|MN |的最小值为__________.14．与两圆22(2)1x y ++=，22(2)1x y -+=都相切，且半径为3的圆一共有________个15．将直线:10l x y +-=，20l nx y n +-=:，3:0l x ny n +-=（n *∈N ，2n ≥）围成的三角形面积记为n S ，则n n lim S →∞=___________．16．当直线:(21)(1)740()l m x m y m m R +++--=∈被圆22:(1)(2)25C x y -+-=截得的弦最短时，m 的值为____________.17．过点()4,1P 作直线l 分别交x 轴，y 轴正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点.当OA OB ＋取最小值时，直线l 的方程为___________.18．定义点()00,P x y 到直线()22:00l Ax By C A B ++=+≠的有向距离d =.已知点12,P P 到直线l 的有向距离分别是12,d d ，给出以下命题：①若120-=d d ，则直线12PP 与直线l 平行；②若120d d +=，则直线12PP 与直线l 平行；③若120d d +=，则直线12PP 与直线l 垂直；④若120<d d ，则直线12PP 与直线l 相交.其中正确命题的个数是_______.19．经过点P （2，1）作直线l 分别交x 轴、y 轴的正半轴于A 、B 两点，当△AOB 面积最小时，直线l 的方程为_____.20．直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0，1)之间的距离的最大值为________.三、解答题21．已知三条直线123121323:20,:20,:210,,,l x y l x l x y l l A l l B l l C -=+=+-=⋂=⋂=⋂=．（1）求ABC 外接圆的方程；（2）若圆22:20D x y ax +-=与ABC 的外接圆相交，求a 的取值范围．22．如图，已知圆22:4O x y +=和点()2,2A ，由圆O 外一点(),P a b 向圆O 引切线PQ ，Q 为切点，且PQ PA =．（1）求证：3a b +=； （2）求PQ 的最小值；（3）以P 为圆心作圆，使它与圆O 有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程． 23．在ABC 中，已知(1,1),(3,2)A B -（1）若直线l 过点(2,0),M 且点,A B 到l 的距离相等，求直线l 的方程； （2）若直线m ：260x y --=为C ∠的平分线，求直线BC 的方程. 24．已知圆1C ：2246120x y x y +--+=． （1）过点()3,5P 作圆1C 的切线l ，求l 的方程；（2）若圆2C ：222440x y x y ++--=与圆1C 相交于A ，B 两点，求AB .25．已知圆C ：(x ＋3)2＋(y －4)2＝16，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m －2)y －3m －4＝0(m ∈R ). （1）若圆C 截直线l 所得弦AB 的长为211m 的值；（2）若圆C 与直线l 相离，设MN 为圆C 的动直径，作MP ⊥l ，NQ ⊥l ，垂足分别为P ，Q ，当m 变化时，求四边形MPQN 面积的最大值. 26．已知圆C ：220x y ax ++=过点326,22⎛-⎝⎭.（1）求圆C 的标准方程及其圆心、半径；（2）若直线0x y ++=分别与x 轴，y 轴交于M 、N 两点，点P 为圆C 上任意一点，求MNP △面积的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据直线斜率与倾斜角存在的关系tan k α=对每个选项逐一分析，需要注意直线有倾斜角但不一定有斜率. 【详解】 倾斜角的范围为0,2π⎛⎫⎪⎝⎭时，直线斜率0k >，倾斜角的范围为,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭时，直线斜率0k <，故A 错误；直线的倾斜角=2πα时，直线斜率不存在，故B 错误；直线倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则斜率tan k α=的范围为(,[1,)-∞⋃+∞，故C 正确；斜率tan k α=在,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭和2,23ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，故D 错误. 故选：C. 【点睛】关于直线的倾斜角与直线斜率之间的关系需要注意： （1）当直线倾斜角为=2πα时，直线的斜率不存在；（2）倾斜角的范围为0,2π⎛⎫⎪⎝⎭时，直线斜率0k >，直线斜率随着倾斜角增大而增大；倾斜角的范围为,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭时，直线斜率0k <，直线斜率随着倾斜角增大而增大； （3）利用倾斜角的范围研究斜率的范围，或者利用斜率的范围研究倾斜角的范围，需要利用函数tan k α=分析定义域与值域的关系.2．A解析：A 【分析】由y =221x y +=()0y ≥，由题知直线斜率存在，设直线l 的斜率为k ，10k -<<，设直线l为0(y k x -=，然后根据圆的弦长公式||AB =以及圆心O 到直线l的距离d =12AOBSd AB =，进而化简求解即可 【详解】由y =221x y +=()0y ≥，∴曲线y =x 轴上方的部分（含与x 轴的交点），由题知，直线斜率存在，设直线l 的斜率为k 若直线与曲线有两个交点，且直线不与x 轴重合，则10k -<<，∴直线l的方程为：0(y k x -=-，即0kx y --= 则圆心O 到直线l的距离d ==直线l 被半圆所截得的弦长为||AB ===12AOBSd AB ====令211t k =+ 则AOBS=，当3t 4=，即21314k =+时，AOBS 有最大值为12此时，21314k =+ 3k ∴=±又10k -<<，k ∴=综上所述，直线l的斜率是3-故答案为：A 【点睛】关键点睛：通过圆的弦长公式||AB=和圆心O到直线l的距离d=得出12AOBS d AB==211tk=+，可得AOBS=，进而利用二次函数的性质求解即可，属于中档题3．C解析：C【分析】由题意推出圆心在直线上，求出m，求出圆的半径与弦心距，利用圆心距、半径、半弦长满足勾股定理，求出弦长.【详解】因M、N关于直线20x y+=对称，故圆心(1,)2m-在直线20x y+=上，4m∴=.又因为直线20x y+=与:5l y kx=-垂直，21K∴-⨯=-，12K∴=，设圆心(1,2)-，到直线1502x y--=的距离为d，d∴==圆的半径为3r==.4MN∴==.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对称性可知圆心在直线20x y+=上.4．B解析：B【分析】画出图象，根据对称性可得四边形PACB面积2PACS S=，利用勾股定理可得PA=PC最小时，PA最小，面积最小，根据点到直线距离公式，即可【详解】圆C ：22(2)4x y ++=，圆心为（-2，0）半径2AC r ==，画出图象，如图所示：因为直线与圆相切，所以90PAC PBC ∠=∠=︒，且PAC PBC ≌ 所以四边形PACB 面积12222PACS S AC PA PA ==⨯⨯⨯=，又2224PA PC AC PC =-=-所以当PC 最小时，PA 最小，四边形PACB 面积的最小值， 由图象可得，PC 最小值即为点C 到直线3490x y +-=的距离， 所以min 223(2)9334PC ⨯--==+，所以min 945PA =-所以四边形PACB 面积的最小值225S PA == 故选：B 【点睛】解题的关键是画出图象，根据几何关系，得到PC 最小时，面积最小，再求解，将动点问题转化为点到直线距离问题，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.5．A解析：A 【分析】方法一：利用AOB 的面积，求点到直线的距离，再求直线的斜率；方法二：设直线方程20kx y k -+=，利用点到直线的距离求弦长以及面积，利用三角形的面积取得最大值时，求直线的斜率.. 【详解】方法一：根据三角形的面积公式和圆的弦的性质求解. 由于21y x =-()2210x y y +=≥，直线l 与()2210x y y +=≥交于AB 两点，11sin 22ACB S AOB =∠≤△，且当90AOB ∠=︒时， AOBS取得最大值，此时2AB =，点O 到直线l 的距离为22， 则30OCB ∠=︒，所以直线l 的斜角为30°，则斜率为33. 方法二：由21y x =-，得()2210x y y +=≥.所以曲线21y x =-表示单位圆在x 轴上方的部分（含与x 轴的交点），设直线l 的斜率为k ，要保证直线l 与曲线有两个交点，且直线不与x 轴重合， 则01k <<，直线l 的方程为(02y k x -=+，即20kx y k -+=. 则原点O 到l 的距离221k d k =+，l 被半圆截得的半弦长为222221111k k k k ⎛⎫--= ⎪ ⎪++⎝⎭则()()22222222211111ABO kk k k S k k k--=⋅=+++△()()()22222216141k k k-+++-=+()22246211k k =-+-++ 令211t k =+，则3462ABO S t t =-+-△， 当3t 4=，即21314k =+时，ABO S 有最大值为12. 此时由21314k =+，解得33k =. 故选：A 【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆的位置关系，本题第一种方程，重点是分析几何关系，即点到直线的距离后就可知道斜率，第二种方程，重点是由条件可知当OA OB ⊥时，此时AOB 的面积最小，即用斜率k 表示面积，求最值，得到直线的斜率. 6．C解析：C 【分析】先判断直线l 恒过点(2,1)P ，可得直线l 垂直于直线PC 时，截得的弦长最短，利用直线垂直的性质可得答案. 【详解】直线:120+--=l ax y a 可化为:(2)(1)0-+-=l a x y ， 故直线l 恒过点(2,1)P .圆22:6890+--+=C x y x y 的圆心为(3,4)C ，半径为4. 当直线l 垂直于直线PC 时，截得的弦长最短， 因为直线PC 的斜率41332PC k -==-， ax ＋y －1－2a ＝0的斜率为a -， 此时1313PC l k k a a ⋅=-=-⇒=.故选：C . 【点睛】方法点睛：判断直线过定点主要形式有：（1）斜截式，0y kx y =+，直线过定点()00,y ； （2）点斜式()00,y y k x x -=-直线过定点()00,x y ； （3）化为()(),,0tf x y g x y +=的形式，根据()(),0,0f x yg x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 求解.7．C解析：C 【分析】取特殊值1k =，圆与x 轴相切，①正确；利用圆心()1,k 恒在直线0kx y 上，该线与圆一定相交，可判定②③的正误；利用反证法说明④错误. 【详解】选项①中，当1k =时，圆心()1,1，半径1r =，满足与x 轴相切，正确； 选项②③中，圆心()1,k 恒在直线0kx y 上，该线与圆一定相交，故②正确，③错误；选项④中，若()0,0在圆上，则241k k +=，而*k N ∈，若k 是奇数，则左式是偶数，右式是奇数，方程无解，若k 是偶数，则左式是奇数，右式是偶数，方程无解，故所有的圆均不经过原点，正确. 故选：C. 【点睛】本题解题关键是发现圆心()1,k 恒在直线0kx y 上，确定该线与圆一定相交，再结合特殊值法和反证法逐个击破即可.8．C解析：C 【分析】求出圆心到直线距离，减去半径得解. 【详解】圆心为(1,0)-，直线方程为5y x =+，所以d == ，圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值d r -=故选C ． 【点睛】圆上的点到直线的距离的最值的几何求法通常运用圆心到直线的距离加减半径得到.属于基础题.9．B解析：B【分析】根据题意，分析圆C 的圆心坐标以及半径，设AB 的中点为M ，由AB 的坐标分析M 的坐标以及|AB |的值，可得以AB 为直径的圆；进而分析，原问题可以转化为圆C 与圆M 有公共点，结合圆与圆的位置关系，分析可得答案． 【详解】根据题意，圆2288280C x y x y +--+=：，即()()22444x y -+-=； 其圆心为()4,4，半径2r =， 设AB 的中点为M ，又由点()()1,0,1,0,A m B m -+则()1,0,2M AB m =， 以AB 为直径的圆为()2221x y m -+=，若圆2288280C x y x y +--+=：上存在一点P ，使得PA ⊥PB ，则圆C 与圆M 有公共点，又由5MC ==， 即有25m -≤且25m +≥,即37m ≤≤， 又0,37m m >∴≤≤，故选：B. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意将圆问题转化为圆与圆的位置关系，属于基础题．10．C解析：C 【分析】在OMN=，从而得到M y =ONM ∠的取值范围，求出M y 的取值范围，即可得解； 【详解】解：设()2,M M y ，在OMN 中，由正弦定理得sin sin OM ONONM OMN=∠∠因为30OMN ∠=︒，ON =12==整理得M y =由题意知0150ONM ︒<∠<︒，所以(]sin 0,1ONM ∠∈，所以sin 1ONM ∠=时，M y 取得最值，即直线MN 为圆22:3O x y +=的切线时，M y 取值最值，所以22,22M y ⎡⎤∈-⎣⎦故选：C【点睛】本题考查直线与圆的综合应用，解答的关键转化到OMN 中利用正弦定理计算，考查转化思想；11．C解析：C 【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0a a a >，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y -+=的距离. 【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=. 由题意可得()()22221a a a -+-=， 可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心()1,1到直线230x y -+=的距离均为11123255d -⨯+==； 圆心()5,5到直线230x y -+=的距离均为25253255d -⨯+== 圆心到直线230x y -+=的距离均为22555d -==； 所以，圆心到直线230x y -+=的距离为25. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的圆心是解题的关键，考查计算能力.12．A解析：A 【分析】 令22y x =-，则222(0)x y y +=≥，将问题转化为圆222x y +=与圆22()(4)2x a y a -+--=有交点，利用圆心距与半径的关系可得解.【详解】 令22y x =-，则222(0)x y y +=≥，所以()2f x ≤有解化为22()(4)2x a y a -+--≤有解，则问题转化为半圆222(0)x y y +=≥与圆22()(4)2x a y a -+--=有交点，因为圆22()(4)2x a y a -+--=的圆心在直线4y x =+上，如图：22(4)22a a ++≤，即2440a a ++≤，即2(2)0a +≤，解得2a =-. 故选：A【点睛】 关键点点睛：令22y x =-，将问题转化为半圆222(0)x y y +=≥与圆22()(4)2x a y a -+--=有交点是解题关键.二、填空题13．【分析】由动直线方程可得动直线经过定点从而得到的轨迹为以线段为直径的圆然后判断点N 在圆外进而得到所求最小值【详解】解：直线mx ＋ny ＝m ＋n 显然经过定点的轨迹为以线段为直径的圆圆心坐标为半径为2在圆解析：2【分析】由动直线方程可得动直线经过定点()A 1,1,从而得到M 的轨迹为以线段PA 为直径的圆，然后判断点N 在圆外，进而得到所求最小值. 【详解】解：直线mx ＋ny ＝m ＋n 显然经过定点()A 1,1,M ∴的轨迹为以线段PA 为直径的圆，圆心坐标为()1,1C -,半径为2，2CN ==>,N ∴在圆外，2min MN ∴=,故答案为： 2. 【点睛】本题关键要分析出动直线经过定点，从而判定M 的轨迹，然后判定N 在圆的外部是不可缺少的.14．7【分析】根据两圆相离可以判定出与两圆都相切且半径为3的圆有7个【详解】解：因为两圆是相离的所以与两圆都相切且半径为3的圆的情况如下：与两圆都内切的有1个是以原点为圆心即；与两圆都外切的有2个设切点解析：7 【分析】根据两圆相离，可以判定出与两圆都相切且半径为3的圆有7个． 【详解】解：因为两圆221:(2)1O x y ++=，222:(2)1O x y -+=是相离的，所以与两圆都相切且半径为3的圆的情况如下：与两圆都内切的有1个，是以原点为圆心，即229x y +=；与两圆都外切的有2个，设切点为(0,)b 4b =⇒=±∴22(9x y +±=，同理，利用圆与圆的圆心距和半径的关系可得：与圆1O 外切于圆2O 内切的圆有2个；与圆1O 内切于圆2O 外切的圆有2个；分别为223()(92x y ++±=和223()(92x y -+=，共7个，故答案为：7．【点睛】由圆心距判断两圆的位置关系相离，再利用直观想象可得与两圆都相切的情况，包括内切和外切两类.15．【分析】求出三条直线的交点坐标从而可求得三角形的面积再求极限即可【详解】由得即同理可得到直线的距离为∴∴故答案为：【点睛】本题考查数列的极限解题关键是求出三角形的面积解析：1 2【分析】求出三条直线的交点坐标，从而可求得三角形的面积n S，再求极限即可。
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第一讲 直线及其方程北京四中 李伟考纲导读1．在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素。
2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
3．掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式，了解斜截式与 一次函数的关系。
知识要点一、直线1.曲线与方程：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.注意：①点00(,)P x y 在曲线:(,)0C f x y =上00(,)0f x y ⇔=.②区别轨迹和轨迹方程两个不同的概念，轨迹是“形”，轨迹方程 是“数”.③求曲线的方程的一般步骤：建系、列式、代入、化简、证明（化简 前后解集没变可省略证明）④求未知曲线的方程的常用方法：（1）直接法；（2）间接法；（3）参数法.2.直线方程（1）相关概念和公式直线的方程：以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，反之，这条 直线上的点的坐标都是这个方程的解，此时，方程叫直线的方程， 直线叫方程的直线。
直线的倾斜角：在直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果 把x 轴绕交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角叫做 这条直线的倾斜角，通常用α表示，当直线和x 轴平行或重合时，规定 直线的倾斜角为0o ，于是倾斜角的取值范围：0180≤α<o o .直线的斜率：倾斜角不是90o 的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直 线的斜率，常用k 表示，斜率的计算公式：①tan (=90)k =︒αα时斜率不存在 ②211221=()y -y k x x x -x =时斜率不存在 直线的方向向量：直线上的向量AB u u u r 及与它平行的向量都称为直线的方向向量，当直线AB 的斜率k 存在时，(1,)k 为其方向向量。
（2）直线方程的几种形式点斜式：y-y 0=k(x-x 0)（斜率k 存在时）斜截式：y=kx+b （斜率k 存在时）两点式：111212=y -y x -x y -y x -x （1212,y y x x ≠≠） 截距式：1x y a b+=(0)ab ≠（截距不是距离） 一般式：Ax+By+C ＝0(220A B +≠) 点向式：直线方向向量为(),v a b =r ，00x x y y a b --=； 点法式：直线的法向量为()()()()0000,,,:0=⇒-+-=rn A B P x y l A x x B y y 注意：①使用直线方程注意适用条件，尤其是斜率k 是否存在②121121y y y y x x x x --=--表示的不是整条直线，不包括点()11,x y ， ③直线方程的最终表达形式是一般式或斜截式；④几个常用直线系：平行直线系：0y k x b =+；过定点直线系：()00y y k x x -=-或0x x =（其中()00,x y 为定点） 过两直线交点的直线系：()112220+++λ++=A x B y C A x B y C （除2220A x B y C ++=）典型例题分析例1．已知两点(3,4)A -，(3,2)B ，过点(2,1)P -的直线l 与线段 AB 有公共点.（1）求直线l 的斜率k 的取值范围；（2）求直线l 的倾斜角α的取值范围.解析：例2．过点(0,1)M 作直线，使它被两条直线1:3100l x y -+=和 2:280l x y +-=所截，且截得的线段恰好被M 平分，求此直线方程. 法一：法二：例3．如图，过点(2,1)P 作直线l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于,A B 两 点，求AOB ∆面积的最小值及此时直线l 的方程；法一：法二：。
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第一讲 直线及其方程
北京四中 李伟
考纲导读
1．在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素。
2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
3．掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式，了解斜截式与 一次函数的关系。
知识要点
一、直线
1.曲线与方程：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.
注意：
①点00(,)P x y 在曲线:(,)0C f x y =上00(,)0f x y ⇔=.
②区别轨迹和轨迹方程两个不同的概念，轨迹是“形”，轨迹方程 是“数”.
③求曲线的方程的一般步骤：建系、列式、代入、化简、证明（化简 前后解集没变可省略证明）
④求未知曲线的方程的常用方法：（1）直接法；（2）间接法；
（3）参数法.
2.直线方程
（1）相关概念和公式
直线的方程：以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，反之，这条 直线上的点的坐标都是这个方程的解，此时，方程叫直线的方程， 直线叫方程的直线。
直线的倾斜角：在直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果 把x 轴绕交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角叫做 这条直线的倾斜角，通常用α表示，当直线和x 轴平行或重合时，规定 直线的倾斜角为0，于是倾斜角的取值范围：0180≤α<.
直线的斜率：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直 线的斜率，常用k 表示，斜率的计算公式：
①tan (=90)k =︒αα时斜率不存在 ②211221
=
()y -y k x x x -x =时斜率不存在
直线的方向向量：直线上的向量AB 及与它平行的向量都称为直线的 方向向量，当直线AB 的斜率k 存在时，(1,)k 为其方向向量。
（2）直线方程的几种形式
点斜式：y-y 0=k(x-x 0)（斜率k 存在时）
斜截式：y=kx+b （斜率k 存在时）
两点式：111212=y -y x -x y -y x -x （1212,y y x x ≠≠） 截距式：1x y a b
+=(0)ab ≠（截距不是距离） 一般式：Ax+By+C ＝0(220A B +≠)
点向式：直线方向向量为(),v a b =，00x x y y a b --=； 点法式：直线的法向量为()()()()0000,,,:0=⇒-+-=n A B P x y l A x x B y y 注意：
①使用直线方程注意适用条件，尤其是斜率k 是否存在
②121121
y y y y x x x x --=--表示的不是整条直线，不包括点()11,x y ， ③直线方程的最终表达形式是一般式或斜截式；
④几个常用直线系：
平行直线系：0y k x b =+；
过定点直线系：()00y y k x x -=-或0x x =（其中()00,x y 为定点） 过两直线交点的直线系：()112220+++λ++=A x B y C A x B y C （除2220A x B y C ++=）
典型例题分析
例1．已知两点(3,4)A -，(3,2)B ，过点(2,1)P -的直线l 与线段 AB 有公共点.
（1）求直线l 的斜率k 的取值范围；
（2）求直线l 的倾斜角α的取值范围.
解析：
例2．过点(0,1)M 作直线，使它被两条直线1:3100l x y -+=和 2:280l x y +-=所截，且截得的线段恰好被M 平分，求此直线方程. 法一：
法二：
例3．如图，过点(2,1)P 作直线l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于,A B 两 点，求AOB ∆面积的最小值及此时直线l 的方程；
法一：
法二：。