北京四中高中数学-d01直线及其方程

第一讲 直线及其方程

北京四中 李伟

考纲导读

1．在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素。

2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。

3．掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式，了解斜截式与 一次函数的关系。

知识要点

一、直线

1.曲线与方程：

（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.

注意：

①点00(,)P x y 在曲线:(,)0C f x y =上00(,)0f x y ⇔=.

②区别轨迹和轨迹方程两个不同的概念，轨迹是“形”，轨迹方程 是“数”.

③求曲线的方程的一般步骤：建系、列式、代入、化简、证明（化简 前后解集没变可省略证明）

④求未知曲线的方程的常用方法：（1）直接法；（2）间接法；

（3）参数法.

2.直线方程

（1）相关概念和公式

直线的方程：以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，反之，这条 直线上的点的坐标都是这个方程的解，此时，方程叫直线的方程， 直线叫方程的直线。

直线的倾斜角：在直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果 把x 轴绕交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角叫做 这条直线的倾斜角，通常用α表示，当直线和x 轴平行或重合时，规定 直线的倾斜角为0，于是倾斜角的取值范围：0180≤α<.

直线的斜率：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直 线的斜率，常用k 表示，斜率的计算公式：

①tan (=90)k =︒αα时斜率不存在 ②211221

=

()y -y k x x x -x =时斜率不存在

直线的方向向量：直线上的向量AB 及与它平行的向量都称为直线的 方向向量，当直线AB 的斜率k 存在时，(1,)k 为其方向向量。

（2）直线方程的几种形式

点斜式：y-y 0=k(x-x 0)（斜率k 存在时）

斜截式：y=kx+b （斜率k 存在时）

两点式：111212=y -y x -x y -y x -x （1212,y y x x ≠≠） 截距式：1x y a b

+=(0)ab ≠（截距不是距离） 一般式：Ax+By+C ＝0(220A B +≠)

点向式：直线方向向量为(),v a b =，00x x y y a b --=； 点法式：直线的法向量为()()()()0000,,,:0=⇒-+-=n A B P x y l A x x B y y 注意：

①使用直线方程注意适用条件，尤其是斜率k 是否存在

②121121

y y y y x x x x --=--表示的不是整条直线，不包括点()11,x y ， ③直线方程的最终表达形式是一般式或斜截式；

④几个常用直线系：

平行直线系：0y k x b =+；

过定点直线系：()00y y k x x -=-或0x x =（其中()00,x y 为定点） 过两直线交点的直线系：()112220+++λ++=A x B y C A x B y C （除2220A x B y C ++=）

典型例题分析

例1．已知两点(3,4)A -，(3,2)B ，过点(2,1)P -的直线l 与线段 AB 有公共点.

（1）求直线l 的斜率k 的取值范围；

（2）求直线l 的倾斜角α的取值范围.

解析：

例2．过点(0,1)M 作直线，使它被两条直线1:3100l x y -+=和 2:280l x y +-=所截，且截得的线段恰好被M 平分，求此直线方程. 法一：

法二：

例3．如图，过点(2,1)P 作直线l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于,A B 两 点，求AOB ∆面积的最小值及此时直线l 的方程；

法一：

法二：