《数学分析》第八章_不定积分

12 x 3 312 x 1 3 C .
12
12
.
例10 求1c1osxdx.
解 1c1osxdx1c1oxcs1o xcsoxsdx
11ccoo2sxsxdx1sicn2oxsxdx s1 i2n xd xs1 i2n xd(sx i)n
coxt 1 C. sin x
.
例11 求 si2nxco5x s d.x
解决方法 改变中间变量的设置方法.
过程 令 xsitn d xco td ,st
x5 1x2dx (st)i5n 1si2tn co tdst
si5ntco2tsd t （应用“凑微分”即可求出结果） .
定理2 设 x (t)是 单 调 的 、 可 导 的 函 数 ，
并且(t)0，又 设 f[(t) ](t)具 有 原 函 数 ，
解（三） sin2xdx2six ncoxsdx
2coxs(dcx o)sco x2 sC .
.
例2
求
3
1 dx. 2x
解
1 1 1 (32x),
32x 232x
3
1 dx 2x
1 2312x(32x)dx
1 2
1du u
1lnuC 2
1ln3(2x)C. 2
一般地 f(axb)dxa1[f(u)du ]uaxb
则有换元公式
f(x)dx
f[(t)] (t)dt t(x)
其 中 (x)是 x(t)的 反 函 数 .
证 设 (t)为f[(t) ](t)的原函数,
1six n1si5n xC. 2 10
.
例13 求cscxdx.
解（一）
cscxdx
1 dx sinx
1 2sinxcosx
dx
22
1 tan2xcos2x2
d
2x
1 tanx
2
d
tanx 2
lntanxC lnx (c c x o )s C t c . 2
（使用了三角函数恒等变形）
.
解 si2nxco5x s d xsi2x n c4 o xs (d sx i)n s2 ix n (1 s2 ix ) n 2 d (sx )in (s 2 x i2 s n 4 i x n s6 i x ) d n (s x )in
1si3x n 2 si5x n 1si7x n C . 357
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.
.
例12 求co3sxco2sxd.x
解 cA o cs B o 1 s [cA o B )s c (o A B s)(], 2
co 3xc so 2x s1(cxo cso 5x )s, 2
c3 o x cs2 o xs d 1 2 x (cx o cs 5 o x )d sx
f[(x)](x)d x[f(u)d]u u(x)
第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
g(x)dx 化为 f[(x) ](x)d.x
观察重点不同，所得结论不同.
.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例1 求sin2xd.x
解（一）si1nc2xod2sxx12C;sin2xd(2x)
2
解（二） sin2xdx2six ncoxsdx 2six n(dsix)n six n 2C;
1 1xC12(1 1x)2C2
1 1x2(1 1x)2C.
.
例5 求
a2
1
x2dx.
解
a2
1
x2dx
1 a2
1
1
x a2
2dx
1 a
1
1
x a
2d
x a
1arctaxnC.
a
a
.
例6
求
x2
1 dx. 8x25
解
x2
81x25dx(x41)2
dx 9
1 32
x
3
1 42
1dx13
.
例3
求
1 dx. x(12lnx)
解 x(112lnx)dx121lnxd(lnx)
1 212 1ln xd(12ln x)
u 1 2 lx n
1
2
1 du u
12lnuC1 2ln1(2lnx)C.
.
例4
求
x (1 x)3dx.
解
x (1 x)3dx
(x11x)31dx
[(1 1x)2(1 1x)3]d(1x)
§2 换元积分法和分部积分法
.
一、第一类换元法
问题 cos2xdxsi2n xC ,
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t2xdx 1dt, 2
cos2xdx
12costdt
1sint 2
C1sin2xC. 2
.
在一般情况下：
设 F (u)f(u),则 f(u )d u F (u )C .
如果 u(x)（可微）
d [( F x ) ] f [( x ) ( ] x ) dx
f [( x )( ] x ) d F x [( x ) C ]
[ f(u )d]u u (x) 由此可得换元法定理
.
定理1 设 f(u)具 有 原 函 数 ， u(x)可 导 ，
则 有 换 元 公 式
ex1xd(x1)ex1x C.
x
.
例9
求
1 2x3
d.x 2x1
原式 2 x 3 2 2 x x 3 1 2 2 x x 3 1 2 x 1 dx
1 4 2x3 d x1 4 2x1 dx 1 8 2 x 3 d ( 2 x 3 ) 1 8 2 x 1 d ( 2 x 1 )
f(u)1u,
f(u)1uduu12u2 C,
f(x)x1x2C. 2
.
例15 求
1 4 x2 arcsixndx.
2
解
4 x21arcsinxdx
2
1
x
d
1
x2
arcsixn
2
2
2
arc1sixnd(arcs2xin)
lnarcsxinC. 2
2
.
二、第二类换元法 问题 x5 1x2dx ?
1
x42
3
d 1
x34
1arcx ta 4nC.
3
3
.
例7
求
1 1 exdx.
解
1
1 e
x dx
11exexexdx
11exex dxdx1exexdx
dx 1 1exd(1ex)
xln 1(ex)C .
.
例8 求 (1x12)ex1xdx.
解
x1x
1 1x2,
(1x12)ex1xdx
解（二）
cscxdx
1 sinx
dx
ssiinn2xxdx
1c1o2x sd(cox)s u cx os
11u2 du1211u11udu
1ln1uC1ln1coxsC. 2 1u 2 1coxs
类似地可推出 sx e c d ln x x (ts a x ) e C n .c
.
例14 设 f(s2ixn )co 2x,s求 f (x). 解 令 usi2nxco 2x s1u ,