高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第5讲 椭圆课件 理 新人教A版
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2017版高考数学人教A版(全国)一轮复习 课件 第九章 平面解析几何 第5讲
A.椭圆
B.双曲线 C.抛物线
D.圆
(2)已知 F1，F2 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P 为
椭圆 C 上的一点，且P→F1⊥P→F2.若△PF1F2 的面积为 9，则 b＝
________.
第十一页，编辑于星期六：二十点 八分。
解析 (1)由条件知|PM|＝|PF|. ∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R＞|OF|. ∴P 点的轨迹是以 O，F 为焦点的椭圆.
标准方程 ax22＋by22＝1(a>b>0) ay22＋bx22＝1(a>b>0) 图形
第四页，编辑于星期六：二十点 八分。
范围 －a≤x≤a－b≤y≤b －b≤x≤b－a≤y≤a
对称 性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， A1(0，－a)，A2(0，a)，
性
B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b，0)，B2(b，0)
质 轴 长轴 A1A2 的长为 2a ；短轴 B1B2 的长为 2b
焦距
|F1F2|＝ 2c
离心 率
a，b，c 的关系
e＝ac∈ (0，1) c2＝ a2－b2
第五页，编辑于星期六：二十点 八分。
诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
第二十五页，编辑于星期六：二十点 八分。
(2)由题意知 F1(－c，0)，F2(c，0)，其中 c＝ a2－b2，因为过
第二十页，编辑于星期六：二十点 八分。
【训练 2】 (1)已知椭圆 E 经过点 A(2，3)，对称轴为坐 标轴，焦点 F1，F2 在 x 轴上，离心率 e＝12，则椭圆 E 的方程为________. (2)(2014·安徽卷)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2＋by22＝ 1(0<b<1)的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 E 于 A， B 两点.若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x 轴，则椭圆 E 的方程 为________.
高考数学一轮复习 《第九章 平面解析几何》9-5椭圆课件
2
2
Байду номын сангаас答案 D
解析
→ → 设点D(0，b)，则 DF1 ＝(－c，－b)， DA ＝(－
→ → → → a，－b)，DF2 ＝(c，－b)，由3DF1 ＝DA ＋2DF2 得－3c＝－a 1 ＋2c，即a＝5c，故e＝ . 5 5．(09·广东)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在 x轴上，离心率为 3 ，且G上一点到G的两个焦点的距离之 2
2 2
答案
1 2
解析
由题意△ABF2的周长为8，根据椭圆的定义得4a
2 2 2
＝8，即a＝2.又c ＝a －b ＝1，所以椭圆的离心率e＝ 1 . 2
c ＝ a
x y 4．(2011·金华十校)方程为 2 ＋ 2 ＝1(a>b>0)的椭圆 a b 的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D是它短轴上的 → → → 一个端点，若3 DF1 ＝ DA ＋2 DF2 ，则该椭圆的离心率为 ( ) 1 A. 2 1 C. 4 1 B. 3 1 D. 5
∴b ＝a －c ＝25－9＝16， x y 故动圆圆心的轨迹方程为 ＋ ＝1. 25 16 x y (2)椭圆 ＋ ＝1上一点P到左焦点距离为6，F是该 25 16 → 1 → → →| 椭圆的左焦点，若点M满足OM＝ (OP ＋OF)，则|OM 2 ＝________.
2 2 2 2
2
2
2
【答案】
•
• • • • • • •
x y y x ＋ ＝ 1 ， ＋ 2 2 2 2＝1.(其中a>b>0) a b a b 3．椭圆的几何性质
2
2
2
2
x y 4．方程：Ax ＋By ＝1或 ＋ ＝1(A>0，B>0，A≠B)也表 A B
高考数学一轮复习第九章解析几何5椭圆课件新人教A版理
5
6
2
2.(2020 广西南宁二模)已知椭圆 C: 2 +y2=1(a>1)的左、右焦点分
别为 F1,F2,过 F1 的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为
8,则 a 为( B )
A.√2
B.2
C.2√2
D.4
-8知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
6
2
2
3.已知椭圆 C:2 + 2 =1(a>b>0)的左焦点为 F(-c,0),上顶点为 B,
5
+
2
2
4
3
4
5
6
=1 上 y 轴右侧的一点,且以点 P 及焦点
F1,F2 为顶点的三角形的面积等于 1,则点 P 的坐标
√15
√15
,1 或
,-1
2
2
为
.
-12考点1
考点2
考点3
考点 1
椭圆的定义及其标准方程
例1(1)(2020广西来宾模拟)如图,已知椭圆C的中心为坐标原点
O,F(-2 √5 ,0)为椭圆C的左焦点,P为椭圆C上一点,满足|OP|=|OF|,
2
2
A. +y =1
2
2
C. 4 +
2
3
2
B.
3
2
+
=1 D. 5 +
2
=1
2
2
4
=1
-18考点1
考点2
考点3
2
解析:(1)(方法一)椭圆
25
+
2
人教版高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何-第五节 椭圆-第2课时 椭圆的几何性质
底和下底分别粘有一个乒乓球,乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓
球厚度忽略不计）,一个平面与两个乒乓球均相切,且此平面截球筒边缘所得的
图形为一个椭圆,则该椭圆的离心率为( B )
A.
15
3 2 6 1
B. C. D.
4
2
5
5
[解析]不妨设椭圆方程为
+
= − ,
= > > ,由题意得ቊ
= ,∠ = ∘ ,∴ ∘ =
= .
= ,即椭圆的离心率
2
4.曲线
25
2
+
9
=
2
1与
9−
+
2
25−
= 1 0 < < 9 的关系是() B
A.有相等的焦距,相同的焦点
B.有相等的焦距,不同的焦点
C.有不等的焦距,不同的焦点
D.以上都不对
∈ [−, ], ∈ [−, ]
_____________________
顶点
1 −, 0 ,2 , 0 1 0, − ,2 0,
1 0, − ,2 0, 1 −, 0 ,2 , 0
轴长
焦点
焦距
离心率
1 2 = 2
1 2 = 2
长轴长:____________,短轴长:____________
∠ 最大,故∠ = < = ,即 < (为坐标原点),又 > ,所以
< < .故答案为 , .
球厚度忽略不计）,一个平面与两个乒乓球均相切,且此平面截球筒边缘所得的
图形为一个椭圆,则该椭圆的离心率为( B )
A.
15
3 2 6 1
B. C. D.
4
2
5
5
[解析]不妨设椭圆方程为
+
= − ,
= > > ,由题意得ቊ
= ,∠ = ∘ ,∴ ∘ =
= .
= ,即椭圆的离心率
2
4.曲线
25
2
+
9
=
2
1与
9−
+
2
25−
= 1 0 < < 9 的关系是() B
A.有相等的焦距,相同的焦点
B.有相等的焦距,不同的焦点
C.有不等的焦距,不同的焦点
D.以上都不对
∈ [−, ], ∈ [−, ]
_____________________
顶点
1 −, 0 ,2 , 0 1 0, − ,2 0,
1 0, − ,2 0, 1 −, 0 ,2 , 0
轴长
焦点
焦距
离心率
1 2 = 2
1 2 = 2
长轴长:____________,短轴长:____________
∠ 最大,故∠ = < = ,即 < (为坐标原点),又 > ,所以
< < .故答案为 , .
新课标高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.5椭圆课件文
线，垂足恰为左焦点 F1，A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 AB∥OP(O 是坐标原点)，则 该椭圆的离心率是( )
2
1
A. 4
B.2
2 C. 2
3 D. 2
第十九页，共50页。
解：左焦点为 F1(－c，0)，PF1⊥x 轴，
当 x＝－c 时，ac22＋yb2P2＝1⇒yP2＝b21－ac22＝ba42⇒yP＝ba2(负值不合
设所求椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)， 因为所求椭圆过点 P(－3，2)，所以有a92＋b42＝1. 又 a2－b2＝c2＝5， 所以联立上述两式，解得ab22＝ ＝1150，. 所以所求椭圆的标准方程为1x52 ＋1y02 ＝1.
第十三页，共50页。
(3)由于焦点的位置不确定，可设所求的椭圆方程为 ax22＋by22＝1(a＞b＞0)或ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，
第十页，共50页。
类型一 椭圆的定义及其标准方程
求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于 10； (2)过点 P(－3，2)，且与椭圆x92＋y42＝1 有相同的焦点； (3)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且点 P 到两焦 点的距离分别为 5，3，过点 P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的 一个焦点．
又因为 S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sin 60°
＝12×43b2×
3 2
＝ 33b2＝3 3，所以 b＝3.故填 3.
第二十九页，共50页。
点 拨： 椭圆的焦点三角形是描述椭圆上的点到焦点的 距离，焦距之间的相互制约关系的一个载体．由于 其位置、边的特殊性决定了它易于同椭圆的定义、 长轴长、离心率等几何量发生联系，内容丰富多彩．
2
1
A. 4
B.2
2 C. 2
3 D. 2
第十九页，共50页。
解：左焦点为 F1(－c，0)，PF1⊥x 轴，
当 x＝－c 时，ac22＋yb2P2＝1⇒yP2＝b21－ac22＝ba42⇒yP＝ba2(负值不合
设所求椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)， 因为所求椭圆过点 P(－3，2)，所以有a92＋b42＝1. 又 a2－b2＝c2＝5， 所以联立上述两式，解得ab22＝ ＝1150，. 所以所求椭圆的标准方程为1x52 ＋1y02 ＝1.
第十三页，共50页。
(3)由于焦点的位置不确定，可设所求的椭圆方程为 ax22＋by22＝1(a＞b＞0)或ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，
第十页，共50页。
类型一 椭圆的定义及其标准方程
求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于 10； (2)过点 P(－3，2)，且与椭圆x92＋y42＝1 有相同的焦点； (3)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且点 P 到两焦 点的距离分别为 5，3，过点 P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的 一个焦点．
又因为 S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sin 60°
＝12×43b2×
3 2
＝ 33b2＝3 3，所以 b＝3.故填 3.
第二十九页，共50页。
点 拨： 椭圆的焦点三角形是描述椭圆上的点到焦点的 距离，焦距之间的相互制约关系的一个载体．由于 其位置、边的特殊性决定了它易于同椭圆的定义、 长轴长、离心率等几何量发生联系，内容丰富多彩．
人教版高三数学一轮复习精品课件2：9.5 椭圆
c2＝a2－b2
[典例透析]
考向一 椭圆的定义及应用
例1 (1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一 点N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨 迹是( )
A．圆B．椭圆来自C．双曲线D．抛物线
(2)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2＋by22＝1(0＜b＜1)的左、右焦 点，过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2| 成等差数列，则|AB|＝_______.
所以 S△PF1F2＝12|PF1||PF2|＝12×2b2＝b2＝9 所以 b＝3.
[答案]
(1)B
4 (2)3
(3)3
拓展提高 1.椭圆定义的应用范围 (1) 确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆． (2)解决与焦点有关的距离问题． 2.焦点三角形的应用 椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三 角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求 |PF1||PF2|；通过整体代入可求其面积等．
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！
[要点梳理]
1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点 的轨迹(或集合)叫做____椭__圆____．这两个定点叫做椭圆的__焦__点_ ，两焦点间的距离叫做椭圆的_焦__距__．
• 2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
ax22＋by22＝1 (a＞b＞0) ay22＋bx22＝1 (a＞b＞0)
图形
范围 －a≤x≤a－b≤x≤b －b≤y≤b－a≤y≤a
性
对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点
质
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，A1(0，－a)，A2(0，a)
[典例透析]
考向一 椭圆的定义及应用
例1 (1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一 点N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨 迹是( )
A．圆B．椭圆来自C．双曲线D．抛物线
(2)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2＋by22＝1(0＜b＜1)的左、右焦 点，过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2| 成等差数列，则|AB|＝_______.
所以 S△PF1F2＝12|PF1||PF2|＝12×2b2＝b2＝9 所以 b＝3.
[答案]
(1)B
4 (2)3
(3)3
拓展提高 1.椭圆定义的应用范围 (1) 确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆． (2)解决与焦点有关的距离问题． 2.焦点三角形的应用 椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三 角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求 |PF1||PF2|；通过整体代入可求其面积等．
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！
[要点梳理]
1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点 的轨迹(或集合)叫做____椭__圆____．这两个定点叫做椭圆的__焦__点_ ，两焦点间的距离叫做椭圆的_焦__距__．
• 2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
ax22＋by22＝1 (a＞b＞0) ay22＋bx22＝1 (a＞b＞0)
图形
范围 －a≤x≤a－b≤x≤b －b≤y≤b－a≤y≤a
性
对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点
质
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，A1(0，－a)，A2(0，a)
高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何 第五节 椭圆
数学表达式:P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做
椭圆.这两个定点叫做椭圆的 焦点 ,两焦点间的距离叫做椭圆
的 焦距 ,焦距的一半称为 半焦距
.
微思考在椭圆的定义中,若2a=|F1F2|或2a<|F1F2|,动点M的轨迹是什么?
垂直于长轴的焦点弦最短,弦长为 2
2
.
常用结论
1.若点P在椭圆上,点F为椭圆的一个焦点,则
(1)b≤|OP|≤a;
(2)a-c≤|PF|≤a+c.
2.焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角
形.r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆
2
A.x2+25=1
2
2
B.x2+25=1 或25+y2=1
2 2
C.25+y =1
D.以上都不对
2
(2)过点(√3,-√5),且与椭圆
25
2
+ =1 有相同焦点的椭圆的标准方程为
9
)
.
答案 (1)A
2
2
(2)20 + 4 =1
解析 (1)设过两点 P
3
,-4
5
和Q
4
- 5 ,3
的椭圆的标准方程为
第九章
第五节 椭圆
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做
椭圆.这两个定点叫做椭圆的 焦点 ,两焦点间的距离叫做椭圆
的 焦距 ,焦距的一半称为 半焦距
.
微思考在椭圆的定义中,若2a=|F1F2|或2a<|F1F2|,动点M的轨迹是什么?
垂直于长轴的焦点弦最短,弦长为 2
2
.
常用结论
1.若点P在椭圆上,点F为椭圆的一个焦点,则
(1)b≤|OP|≤a;
(2)a-c≤|PF|≤a+c.
2.焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角
形.r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆
2
A.x2+25=1
2
2
B.x2+25=1 或25+y2=1
2 2
C.25+y =1
D.以上都不对
2
(2)过点(√3,-√5),且与椭圆
25
2
+ =1 有相同焦点的椭圆的标准方程为
9
)
.
答案 (1)A
2
2
(2)20 + 4 =1
解析 (1)设过两点 P
3
,-4
5
和Q
4
- 5 ,3
的椭圆的标准方程为
第九章
第五节 椭圆
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实
高考数学一轮复习第9章平面解析几何第5讲椭圆第1课时课件文
B．x32＋y2＝1
C．1x22 ＋y82＝1
D．1x22 ＋y42＝1
12/13/2021
第三十一页，共四十八页。
解析：选 A．由椭圆的定义可知△AF1B 的周长为 4a，所以 4a＝4 3，故 a＝ 3，又由 e＝ac＝ 33得 c＝1，所以 b2＝a2－ c2＝2，则 C 的方程为x32＋y22＝1，故选 A．
12/13/2021
第十二页，共四十八页。
＝x2＋4(1－x52)－1 ＝x52＋3． 因为－ 5≤x≤ 5， 所以当 x＝0 时， P→F1·P→F2取最小值为 3， 当 x＝± 5时，P→F1·P→F2取最大值 4． 所以P→F1·P→F2的范围为[3，4]． 答案：[3，4]
12/13/2021
第十三页，共四十八页。
考点一 椭圆的定义与应用
(1)已知椭圆x42＋y22＝1 的两个焦点是 F1，F2，点 P 在该
椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2 的面积是( )
A． 2
B．2
C．2 2
D． 3
(2)一个椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，P(2， 3)
是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的
点分别为 F1，F2，过 F2的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，则△F1AB 的周长为( )
A．12
B．16
C．20
D．24
12/13/2021
第六页，共四十八页。
解析：选 C．△F1AB 的周长为 |F1A|＋|F1B|＋|AB| ＝|F1A|＋|F2A|＋|F1B|＋|F2B| ＝2a＋2a＝4a． 在椭圆2x52＋1y62 ＝1 中，a2＝25，a＝5， 所以△F1AB 的周长为 4a＝20，故选 C．
2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第5讲椭圆课件理新人教A版
长轴 A1A2 的长为_2_a__ 短轴 B1B2 的长为_2_b__
|F1F2|＝__2_c__
c
e＝__a__，e∈(0，1)
c2＝__a_2_－__b_2__
3. 点与椭圆的位置关系 已知点 P(x0，y0)，椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)，则 (1)点 P(x0，y0)在椭圆内⇔xa202＋by202<1； (2)点 P(x0，y0)在椭圆上⇔xa202＋by202＝1； (3)点 P(x0，y0)在椭圆外⇔xa202＋by202>1.
m＝4，所以椭圆 x2＋y42＝1 的焦点坐标为(0，± 3)，故选 B. 【答案】 B
角度二 求椭圆离心率的值(范围) (2017·高考全国卷Ⅲ)已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的
左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx－ay＋2ab＝0 相切，则 C 的离心率为 ( )
答案：20
椭圆的定义及应用
[典例引领] (1)(2019·豫北六校联考)设 F1，F2 分别是椭圆 E：xa22＋by22＝ 1(a>b>0)的左，右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点， |AF1|＝3|F1B|，且|AB|＝4，△ABF2 的周长为 16，则|AF2|＝ ________． (2)(2018·徐州模拟)已知 F1、F2 是椭圆 C：xa22＋yb22＝1(a＞b＞0) 的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且 PF1⊥PF2，若△PF1F2 的面积为 9，则 b＝________．
4．椭圆中四个常用结论 (1)P 是椭圆上一点，F 为椭圆的焦点，则|PF|∈[a－c，a＋c]， 即椭圆上的点到焦点距离的最大值为 a＋c，最小值为 a－c； (2)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2ab2，通径是最短 的焦点弦； (3)P 是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2 为椭圆的 两焦点，则△PF1F2 的周长为 2(a＋c)． (4)设 P，A，B 是椭圆上不同的三点，其中 A，B 关于原点对称， 直线 PA，PB 斜率存在且不为 0，则直线 PA 与 PB 的斜率之积 为定值－ba22.
|F1F2|＝__2_c__
c
e＝__a__，e∈(0，1)
c2＝__a_2_－__b_2__
3. 点与椭圆的位置关系 已知点 P(x0，y0)，椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)，则 (1)点 P(x0，y0)在椭圆内⇔xa202＋by202<1； (2)点 P(x0，y0)在椭圆上⇔xa202＋by202＝1； (3)点 P(x0，y0)在椭圆外⇔xa202＋by202>1.
m＝4，所以椭圆 x2＋y42＝1 的焦点坐标为(0，± 3)，故选 B. 【答案】 B
角度二 求椭圆离心率的值(范围) (2017·高考全国卷Ⅲ)已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的
左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx－ay＋2ab＝0 相切，则 C 的离心率为 ( )
答案：20
椭圆的定义及应用
[典例引领] (1)(2019·豫北六校联考)设 F1，F2 分别是椭圆 E：xa22＋by22＝ 1(a>b>0)的左，右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点， |AF1|＝3|F1B|，且|AB|＝4，△ABF2 的周长为 16，则|AF2|＝ ________． (2)(2018·徐州模拟)已知 F1、F2 是椭圆 C：xa22＋yb22＝1(a＞b＞0) 的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且 PF1⊥PF2，若△PF1F2 的面积为 9，则 b＝________．
4．椭圆中四个常用结论 (1)P 是椭圆上一点，F 为椭圆的焦点，则|PF|∈[a－c，a＋c]， 即椭圆上的点到焦点距离的最大值为 a＋c，最小值为 a－c； (2)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2ab2，通径是最短 的焦点弦； (3)P 是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2 为椭圆的 两焦点，则△PF1F2 的周长为 2(a＋c)． (4)设 P，A，B 是椭圆上不同的三点，其中 A，B 关于原点对称， 直线 PA，PB 斜率存在且不为 0，则直线 PA 与 PB 的斜率之积 为定值－ba22.
高考数学(理)一轮复习人教A版-第九章 平面解析几何-第5节 椭 圆 第2课时
考点二 椭圆性质的应用
[训练 2] (1)(2018·贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面 积的最大值为 1，则椭圆长轴长的最小值为( ) A．1 B. 2 C．2 D．2 2
解析 (1)设 a，b，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 依题意知，当三角形的高为 b 时面积最大， 所以12×2cb＝1，bc＝1， 而 2a＝2 b2＋c2≥2 2bc＝2 2 (当且仅当 b＝c＝1 时取等号)，故选 D. 答案 (1)D
考点三 直线与椭圆(多维探究)
弦及弦中点问题的解决方法 (1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数关系 表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、 斜率．
考点三 直线与椭圆(多维探究)
解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，先把直
命题角度 2
直线与椭圆的位置关系(易错警示)
解得 k2＜4， 综上可得43＜k2＜4，
则
23＜k＜2
或－2＜k＜－
3 2.
则满足条件的斜率 k 的取值范围为－2，－ 23∪ 23，2.
考点三 直线与椭圆(多维探究)
1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭 圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问
考点二 椭圆性质的应用
利用椭圆几何性质的注意点及技巧 (1)在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标 准方程中 x，y 的范围，离心率的范围等不等关系．(2)求解与椭圆几 何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长 轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．
点，当坐标原点 O 位于以 MN 为直径的圆外时，求直线 l 斜率的取值范围．
高考数学(理科)人教1轮复习课件：第九章 平面解析几何 第5讲 椭圆 第1课时 椭圆的定义、标准方程及其几
＝x20－y20 a2＝ba22（xa20－2－ax2 20） ＝－ba22＝－12. 所以 a2＝2b2＝2(a2－c2)，
即
a2＝2c2.所以
e＝ac＝
2 2.
2．(2018·新余模拟)椭圆 C 的两个焦点分别是 F1，F2，若 C 上
的点 P 满足|PF1|＝32|F1F2|，则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是
考点一 椭圆的定义与标准方程
(1)已知椭圆x42＋y22＝1 的两个焦点是 F1，F2，点 P 在该
椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2 的面积是( )
A. 2
B．2
C．2 2
D. 3
(2)一个椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，P(2， 3)
是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的
B. x 2 ＋y2＝1 10
C.x2＋y2＝1 54
D. x2 ＋ y2 ＝1 100 91
解析：选 A.设动圆的半径为 r，圆心为 P(x，y)， 则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r. 所以|PC1|＋|PC2|＝10>|C1C2|， 即 P 在以 C1(－3，0)，C2(3，0)为焦点，长轴长为 10 的椭圆上， 得点 P 的轨迹方程为2x52＋1y62 ＝1.
6 A. 3
3 B. 3
C.
2 3
D.13
(2)已知椭圆 mx2＋4y2＝1 的离心率为 22，则实数 m 等于(
)
A．2
B．2 或83
C．2 或 6
D．2 或 8
【解析】 (1)以线段 A1A2 为直径的圆的方程为 x2＋y2＝a2，
由原点到直线 bx－ay＋2ab＝0 的距离 d＝ b22a＋b a2＝a，
2020版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第5讲椭圆课件理新人教A版
1．已知椭圆
x2 10－m
＋
y2 m－2
＝1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于
()
A．4
B．5
C．7
D．8
答案 D
答案
解析 椭圆焦点在y轴上，∴a2＝m－2，b2＝10－m. 又c＝2，∴m－2－(10－m)＝c2＝4.∴m＝8.
解析
2．(2018·广西模拟)若椭圆C：
x2 a2
＋
y2 b2
答案 5
答案
解析 由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3. ∵△ABF2的周长为16，∴4a＝16，∴a＝4. 则|AF1|＋|AF2|＝2a＝8， ∴|AF2|＝8－|AF1|＝8－3＝5.
解析
触类旁通 椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹 是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通 常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求 |PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等.
小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点
处．
(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a为
斜边，a2＝b2＋c2.
(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a. (4)过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦之长为2ab2.
(5)椭圆离心率e＝
1－ba22.
解析
2．已知椭圆C：
x2 9
＋
y2 4
＝1，点M与椭圆C
的焦点不重合．若M关于椭圆
C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在椭圆C上，则|AN|＋|BN|＝
3x，∴C的离心率为e＝ca＝
高三数学一轮复习第九章平面解析几何第五节椭圆课件文
2.已知F1,F2是椭圆 1x 62 + y9 2 =1的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B两点.
在△AF1B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
答案 A 根据椭圆的定义,知△AF1B的周长为4a=16,故所求的第三边
的长度为16-10=6. 3.椭圆x2+my2=1(m>0)的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m等于
1.如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点, 把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于 点P,则点P的轨迹是 ( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 答案 A 由折叠过程可知点M与点F关于直线CD对称,故|PM|=|PF|,所 以|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=r>|OF|(r为圆O的半径).故由椭圆的定义 可知,点P的轨迹为椭圆.
(2)由题意及椭圆的定义知4a=4 ,3则a= ,又3 =c c= ,3∴c=1,∴b2=2,
a 33
∴C的方程为 x 2 + y 2 =1.
32
(3)∵|PF1|+|PF2|=2a, P F ⊥1 P ,F 2
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,
∴(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2, ∴2|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2,
()
A. x 2 + y 2 =1
32
C. x 2 + y 2 =1
12 8
B.x 2 +y2=1
3
D.x 2 +y 2 =1
高三数学一轮复习第九章平面解析几何第五节椭圆课件理【2019-2020最新】
1
m
4
m
3.(2016课标全国Ⅰ,5,5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭
圆中心到l的距离为其短轴长的 1 ,则该椭圆的离心率为 ( )
4
A. 1 B. 1 C. 2 D. 3
3
2
3
4
答案 B 如图,|OB|为椭圆中心到l的距离,则|OA|·|OF|=|AF|·|OB|,即bc=
a· b ,所以e= c = 1 .故选B.
A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0)
长轴A1A2的长为⑦ 2a ;短轴B1B2的长为⑧ 2b
|F1F2|=⑨ 2c
e= ac ,e∈ (0,1)
c2= a2-b2
3.点P(x0,y0)和椭圆的位置关系
(1)P(x0,y0)在椭圆内⇔
x02 a2
+by022
<1;
(2)P(x0,y0)在椭圆上⇔
x02 a2
+y02
b2
=1;
(3)P(x0,y0)在椭圆外⇔
x02 a2
+y02b2Fra bibliotek>1.
判断下面结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆. (×) (2)椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形. (√) (3)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆. (√)
2
a2
4.设e是椭圆 x2 + y2 =1的离心率,且e= 2 ,则实数k的值是
.
4k
3
答案 20 或 36
95
解析 当k>4时,有e= 1 4 = 2 ,解得k= 36 ;当0<k<4时,有e= 1 k = 2 ,解得
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ay22＋bx22＝1(a>b>0)
图形
范围 －a≤x≤a－b≤y≤b －b≤x≤b－a≤y≤a
对称 性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， A1(0，－a)，A2(0，a)，
性
B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b，0)，B2(b，0)
质 轴 长轴 A1A2 的长为 2a ；短轴 B1B2 的长为 2b
第5讲 椭 圆
最新考纲 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画 现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定 义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
知识梳理 1.椭圆的定义
在平面内与两定点 F1，F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)
的点的轨迹叫做 椭圆 .这两定点叫做椭圆的 焦点 ，两焦 点间的距离叫做椭圆的 焦距 .
所以 c＝1，则 F1(－1，0)，F2(1，0)， 由题意可得点 P 到 x 轴的距离为 1，所以 y＝±1， 把 y＝±1 代入x52＋y42＝1，得 x＝± 215，又 x＞0，
所以 x＝
215，∴P
点坐标为
215，1或
215，－1.
答案
215，1或
215，－1
考点一 椭圆的定义及其应用 【例 1】 (1)已知△ABC 的顶点 B，C 在椭圆x32＋y2＝1 上，顶
解析 (1)点 P 在线段 AN 的垂直平分线上， 故|PA|＝|PN|，又 AM 是圆的半径， ∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|， 由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆. (2)设动圆的半径为 r，圆心为 P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2| ＝9－r.所以|PC1|＋|PC2|＝10＞|C1C2|， 即 P 在以 C1(－3，0)，C2(3，0)为焦点，长轴长为 10 的椭圆上， 得点 P 的轨迹方程为2x52 ＋1y62 ＝1. 答案 (1)B (2)2x52 ＋1y62 ＝1
2.已知椭圆2x52 ＋my22＝1(m>0)的左焦点为 F1(－4，0)，则 m＝
()
A.2
B.3
C.4
D.9
解析 依题意有25－m2＝16，∵m>0，∴m＝3.选B.
答案 B
3.已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为 F1，F2，离心率
为 33，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点.若△AF1B 的周长为 4 3，
＝ 33.故选 D. 答案 D
5.(人教 A 选修 1－1P42A6 改编)已知点 P 是椭圆x52＋y42＝
1 上 y 轴右侧的一点，且以点 P 及焦点 F1，F2 为顶点 的三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为________.
解析 设 P(x，y)，由题意知 c2＝a2－b2＝5－4＝1，
集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a＞0，c
＞0，且 a，c 为常数：
(1)若 a＞c ，则集合 P 为椭圆； (2)若 a＝c ，则集合 P 为线段； (3)若 a＜c ，则集合 P 为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ax22＋by22＝1(a>b>0)
规律方法 椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确 认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通 常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用 定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其 面积等.
【训练1】 (1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆
4.设椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，
F2，P 是 C 上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则 C 的离心率为( )
A.
3 6
B.13
C.12
D.
3 3
解析 在 Rt△PF2F1 中，令|PF2|＝1，因为∠PF1F2＝
30°，所以|PF1|＝2，|F1F2|＝ 3.故 e＝22ac＝|PF|1F|＋1F|2P| F2|
解析 (1)由椭圆的方程得 a＝ 3.设椭圆的另一个焦点为 F， 则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC 的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋ |BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4 3. (2)由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，P→F1⊥P→F2， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2， ∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2， ∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2.∴|PF1||PF2|＝2b2， ∴S△PF1F2＝12|PF1||PF2|＝12×2b2＝b2＝9.∴b＝3. 答案 (1)C (2)3
上任一点，且点N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点
P，则动点P的轨迹是( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
(2)(2016·保定一模)与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆 C2 ： (x － 3)2 ＋ y2 ＝ 81 内 切 的 动 圆 圆 心 P 的 轨 迹 方 程 为
________.
则 C 的方程为( A )
A.x32＋y22＝1
B.x32＋y2＝1 C.1x22 ＋y82＝1
D.1x22 ＋y42＝1
解析 由椭圆的定义可知△AF1B 的周长为 4a，所以 4a＝4 3，
故 a＝ 3，又由 e＝ac＝ 33，得 c＝1，所以 b2＝a2－c2＝2， 则 C 的方程为x32＋y22＝1，故选 A.
点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，
则△ABC 的周长是( )
A.2 3
B.6
C.4 3
D.12
(2)已知 F1，F2 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的两个焦点，
P 为椭圆 C 上的一点，且P→F1⊥P→F2.若△PF1F2 的面积为 9， 则 b＝________.
焦距
离心 率
a，b，c 的关系
|F1F2|＝ 2c e＝ac∈ (0，1) c2＝ a2－b2
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数的点的轨 迹是椭圆.( × ) (2)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆.( × ) (3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.( √ ) (4)方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭 圆.( √ ) (5)ax22＋by22＝1(a>b>0)与ay22＋bx22＝1(a>b>0)的焦距相同.( √ )