2021年上海市曹杨二中高一(上)期末数学试卷
上海市曹杨第二中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题(解析版)
（1）求函数 的表达式，写出定义域D；
（2）判断函数 的单调性，并加以证明．
【答案】（1） ； .
（2）单调递增；证明见解析；
【解析】
【分析】（1）根据条件可得 ，即可得到答案；
（2）易得： 在 单调递增，利用函数单调性的定义，即可得到答案；
【小问1详解】
，
， ，
，定义域为 .
（1）求集合A和集合B；
（2）求 ，求实数m的取值范围．
【答案】（1） ； 或 .
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）解分式不等式和绝对值不等，化简集合，即可得到答案；
（2）根据 可得 ，从而得到关于 的不等式，即可得到答案；
【小问1详解】
， ，
或 ，
或 ，
或 .
【小问2详解】
, ,
或 ，且 ，
或 .
（1）若在水中首次投放1个单位的物质N，计算物质N能持续有效发挥作用的时长；
（2）若 时在水中首次投放1个单位的物质N， 时再投放1个单位的物质N，试判断当 时，水中含有物质N的浓度是否始终不超过3mol/L，并说明理由．
【答案】（1）物质N能持续有效发挥作用的时长为12小时；
（2）当 时，水中含有物质N的浓度始终不超过3mol/L.
则当 时， 成立，而函数 是奇函数，当 时， ，当 时， ，
因此， 在 上的最大值只能在 上取得
而当 时， ， 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 ，即 时， 在 上单调递增， ，
由 解得 ，于是得 ，
当 ，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
而 ，此时不存在 使得 成立，
综上得 ，即 ，
2020-2021学年上海市普陀区曹杨二中高一(上)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年上海市普陀区曹杨二中高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. 已知实数x 、y ，则“|x|+|y|≤1”是“{|x|≤1|y|≤1”的( )条件A. 充要B. 充分不必要C. 必要不充分D. 既不充分也不必要2. 函数f(x)=a −x 与g(x)=−log a x 在同一坐标系中的图象可能是( )A.B.C.D.3. 函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3是幂函数，对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，且x 1≠x 2，满足f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，若a ，b ∈R ，且a +b >0，ab <0，则f(a)+f(b)的值( )A. 恒大于0B. 恒小于0C. 等于0D. 无法判断4. 设函数f(x)的定义域为D ，若函数f(x)满足条件：存在[a,b]⊆D ，使f(x)在[a,b]上的值域是[a 2,b2]，则称f(x)为“倍缩函数”，若函数f(x)=log 2(2x +t)为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是( )A. (0,14)B. (−∞,14)C. (0,14]D. (−∞,14]二、单空题（本大题共12小题，共60.0分）5. 设集合A ={x|x −1>0}，集合B ={x|x ≤3}，则A ∩B = ．6. 集合A ={x|x 2−2x −3<0}，B ={x|x >a}，若A ⊆B ，则a 的取值范围是 ．7. 已知函数f(x)与y =ln(x −1)是互为反函数，则f(x)= ______ ．8. 方程lgx =4−x 的根x ∈(k,k +1)，k ∈Z ，则k = ______ ．9. 函数，满足f(x)>1的x 的取值范围是______．10. 已知扇形的圆心角为π3，半径为2，则该扇形的面积为______ ．11. 若关于x 的不等式|x +1|−|x −1|>a 对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是______ ． 12. 化简：cos(π−α)sin(π2+α)⋅sin(3π2−α)cos(π+α)⋅cot(2π+α)tan(α−π2)= ______ ．13. 已知f(x)=log 2(1−ax 2)在[3,4]上是严格减函数，则实数a 的取值范围是______ ． 14. 已知函数f(x)=|x 2+3x|，x ∈R ，若方程f(x)=a|x|恰有3个互异的实数根，则实数a 的取值范围为______ ．15. 设方程x 2−2ax −1=0的两根为x 1、x 2，且x 1<−2，0<x 2<12，则实数a 的取值范围是______ ．16. 已知f(x)=√x −1，其反函数为f −1(x)，若f −1(x)−a =f(x +a)有实数根，则a的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 17. 已知sinα+cosα=15，0<α<π．(1)求sinα−cosα的值； (2)求tanα−cotα的值．18. 已知实数x 满足9x −12⋅3x +27≤0．(1)求x 的取值范围；(2)若函数f(x)=log 2(2x)⋅log √2√x2，求f(x)的是大值和最小值，并求此时x 的值．19.培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N.已知向水中每投放1个单位的物质N，x(单位：天)时刻后水中含有物质N的量增加ymol/L，y与x的函数关系可近似地表示为y={8−16x+2,0≤x≤612−x,6<x≤12.根据经验，当水中含有物质N的量不低于4mol/L时，物质N才能有效发挥作用．(1)若在水中首次投放1个单位的物质N，计算物质N能持续有效发挥作用几天？(2)若在水中首次投放1个单位的物质N，第8天再投放1个单位的物质N，试判断第8天至第12天，水中所含物质N的量是否始终不超过6mol/L，并说明理由．20.设函数f(x)=a x−a−x(x∈R,a>0且a≠1)．(1)若0<a<1，判断y=f(x)的奇偶性和单调性；(2)若f(1)<0，求使不等式f(x2+tx)+f(4−x)<0恒成立时实数t的取值范围；(3)若f(1)=32，g(x)=a2x+a−2x−2mf(x)且g(x)在[1,+∞)上的最小值为−2，求实数m的值．21.已知函数f(x)=x2−1−k|x−1|，k∈R．(1)若y=f(x)为偶函数，求k的值；(2)若y=f(x)有且仅有一个零点，求k的取值范围；(3)求y=f(x)在区间[0,2]上的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：当|x|+|y|≤1时，则{|x|≤1|y|≤1，故充分性成立，当|x|=1，|y|=1时，满足{|x|≤1|y|≤1，但是|x|+|y|=2，故必要性不成立，所以“|x|+|y|≤1”是“{|x|≤1|y|≤1”的充分不必要条件．故选：B ．利用充分条件与必要条件的定义进行分析判断即可．本题考查了充分条件与必要条件的判断，涉及了不等式性质的应用，解题的关键是掌握充分条件与必要条件的判断方法，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：f(x)=(1a )x ，g(x)的定义域为(0,+∞)，排除A ， 若0<a <1，则f(x)为增函数，g(x)为增函数， 若a >1，则f(x)为减函数，g(x)为减函数， 即f(x)，g(x)的单调性相同，排除C ，D ， 故选：B ．根据指数函数和对数函数的图象和性质，结合单调性进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，结合指数函数和对数函数的单调性是解决本题的关键，是基础题．3.【答案】A【解析】解：由已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m 2+m−3是幂函数，可得m 2−m −1=1，解得m =2或m =−1，当m =2时，f(x)=x 3；当m =−1时，f(x)=x −3． 对任意的x 1、x 2∈(0,+∞)，且x 1≠x 2，满足f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，所以函数是单调增函数，∴m =2，f(x)=x 3，所以f(x)是奇函数，a+b>0，ab<0，可知a，b异号，不妨设a>0，b<0，a>−b，所以f(a)>f(−b)=−f(b)，则f(a)+f(b)>0．故选：A．利用幂函数的定义求出m，利用函数的单调性和奇偶性求解即可本题考查幂函数的性质以及幂函数的定义的应用，同时考查函数的奇偶性．4.【答案】A【解析】解：∵函数f(x)=f(x)=log2(2x+t)为“倍缩函数”，且满足存在[a,b]⊆D，使f(x)在[a,b]上的值域是[a2,b2 ]，∴f(x)在[a,b]上是增函数；∴{log2(2a+t)=a2 log2(2b+t)=b2，即{2a+t=2a22b+t=2b2，∴a，b是方程2x−2x2+t=0的两个根，设m=2x2=√2x，则m>0，此时方程为m2−m+t=0即方程有两个不等的实根，且两根都大于0；∴{(−1)2−4t>0t>0，解得：0<t<14，∴满足条件t的范围是(0,14)，故选：A．根据“倍缩函数”的定义，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围．本题主要考查函数的值域问题，利用对数函数和指数函数的性质，是解决本题的关键．5.【答案】{x|1<x≤3}【分析】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．根据交集定义求出即可．【解答】解：∵A={x|x>1}，B={x|x≤3}，∴A∩B={x|1<x≤3}，故答案为：{x|1<x≤3}．6.【答案】{a|a⩽−1}【解析】【分析】本题主要考查集合子集关系的应用，利用不等式的解法以及数轴是解决此类问题的关键．先求出集合A，根据A⊆B，即可求出a的取值范围．【解答】解：∵A={x|x2−2x−3<0}={x|−1<x<3}，B={x|x>a}，若A⊆B，则a≤−1，故答案为：{a|a⩽−1}．7.【答案】e x+1，x∈R【解析】解：由y=ln(x−1)得x−1=e y，所以x=e y+1，所以函数y=ln(x−1)的反函数为y=e x+1，所以f(x)=e x+1，x∈R．故答案是：e x+1，x∈R．先求函数y=ln(x−1)的反函数，求出f(x)．本题考查了函数的反函数的求法，是基础题．【解析】解：设函数f(x)=lgx+x−4，则函数f(x)单调递增，∵f(4)=lg4+4−4=lg4>0，f(3)=lg3+3−4=lg3−1<0，∴f(3)f(4)<0，在区间(3,4)内函数f(x)存在零点，∵方程lgx=4−x的解在区间(k,k+1)(k∈Z)，∴k=3，故答案为：3．设函数f(x)=lgx+x−4，判断解的区间，即可得到结论．本题主要考查方程根的存在性，根据方程构造函数，利用函数零点的条件判断，零点所在的区间是解决本题的关键．9.【答案】x<−1或x>1【解析】解：①x>0时，f(x)=x12>1，得x>1；②x≤0时，f(x)=2−x−1>1，即2−x>2，得x<−1，综上可得x的取值范围是x<−1或x>1．故答案为：x<−1或x>1．分x>0和x≤0两种情况，分别代入解析式，解不等式即可得到x的取值范围．本题考查分段函数的求值和解不等式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．10.【答案】2π3【解析】解：根据扇形的弧长公式可得l=αr=π3×2=2π3根据扇形的面积公式可得S=12lr=12×2π3×2=2π3．故答案为：2π3．先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积．本题考查扇形的弧长与面积公式，正确运用公式是解题的关键．11.【答案】(−∞,−2)【解析】解：由题意，设f(x)=|x +1|−|x −1|，x ∈R ， 则f(x)={2,x ≥12x,−1<x <1−2,x ≤−1，画出f(x)的图象，如图所示：由图象知，f(x)的最小值为f(x)min =−2，所以不等式|x +1|−|x −1|>a 对任意x ∈R 恒成立，实数a 的取值范围是(−∞,−2)． 故答案为：(−∞,−2)．设f(x)=|x +1|−|x −1|，x ∈R ，求出f(x)的最小值f(x)min ，从而求出不等式|x +1|−|x −1|>a 恒成立时实数a 的取值范围．本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了绝对值不等式应用问题，是基础题．12.【答案】1【解析】解：cos(π−α)sin(π2+α)⋅sin(3π2−α)cos(π+α)⋅cot(2π+α)tan(α−π2)=−cosαcosα⋅−cosα−cosα⋅cotα−cotα=1，故答案为：1．由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果． 本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．13.【答案】(0,116)【解析】解：∵已知f(x)=log 2(1−ax 2)在[3,4]上是严格减函数， ∴y =1−ax 2在[3,4]上大于零且是是严格减函数， ∴a >0，且y =1−ax 2在[3,4]上的最小值1−16a >0，∴0<a<1，16).故答案为：(0,116由题意利用复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，求得a的范围．本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，属于基础题．14.【答案】(0,3)∪(3,+∞)【解析】解：函数f(x)=|x2+3x|，当x=0时，满足f(x)=a|x|，故方程f(x)=a|x|有一个根为0；当x≠0时，则方程f(x)=a|x|恰有2个互异的实数根，即方程a=|x+3|(x≠0)恰有2个互异的实数根，等价于函数y=a与y=|x+3|(x≠0)的图象有2个不同的交点，作出函数y=|x+3|(x≠0)的图象如图所示，由图象可知，实数a的取值范围为(0,3)∪(3,+∞)．故答案为：(0,3)∪(3,+∞)．首先判断出x=0是方程的一个根，从而将问题转化为方程a=|x+3|(x≠0)恰有2个互异的实数根，即函数y=a与y=|x+3|(x≠0)的图象有2个不同的交点，作出函数图象，由图象即可得到答案．本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点问题常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解)．)15.【答案】(−∞,−34【解析】解：设f(x)=x2−2ax−1，∵关于x的方程x2−2ax−1=0的两根为x1、x2，，且x1<−2，0<x2<12∴{f(−2)<0f(0)<0f(12)>0，即{4+4a −1<0−1<0(12)2−2a ×12−1>0， 解得a ∈(−∞,−34).故答案为：(−∞,−34).构造函数，结合函数的图象，建立不等式，即可得出结论．本题主要考查的是方程根的分布问题，对于此类题目可以转化为求抛物线零点分布的问题，利用函数思想解答，是中档题．16.【答案】[34,+∞)【解析】解：因为y =f −1(x)−a 与y =f(x +a)互为反函数，若y =f −1(x)−a 与y =f(x +a)有实数根，则y =f(x +a)与y =x 有交点，所以√x +a −1=x ，即a =x 2−x +1=(x −12)2+34≥34，故答案为：[34,+∞)．因为y =f −1(x)−a 与y =f(x +a)互为反函数若y =f −1(x)−a 与y =f(x +a)有实数根⇒y =f(x +a)与y =x 有交点⇒方程√x +a −1=x ，有根．进而得出答案． 本题主要考查函数的性质，函数与方程的关系，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为：sinα+cosα=15，则两边平方，可得：(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=125，解得：2sinαcosα=−2425<0，因为：0<α<π，可得：sinα>0，cosα<0，可得：sinα−cosα=√( sinα−cosα)2=√1−2sinαcosα√1−(−2425)=75． (2)因为由(1)可得sinαcosα=−1225，所以tanα−cotα= sinαcosα−cosαsinα=(sinα−cosα)(sinα+cosα)sinαcosα=75×15−1225=−712．【解析】(1)将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可得2sinαcosα=−2425<0，结合0<α<π，可得：sinα>0，cosα<0，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解sinα−cosα的值．(2)由(1)可得sinαcosα的值，利用同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．本题主要考查了同角三角函数的基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.【答案】解：(1)由9x −12⋅3x +27≤0，得(3x )2−12⋅3x +27≤0， 即(3x −3)(3x −9)≤0，∴3≤3x ≤9，解得x 的取值范围为：1≤x ≤2；(2)因为f(x)=log 2(2x)⋅log √2√x 2=(log 2x +1)(log 2x −2) =(log 2x)2−log 2x −2=(log 2x −12)2−94，∵1≤x ≤2，∴0≤log 2x ≤1，当log 2x =12，即x =√2时，f(x)min =−94，当log 2x =1或log 2x =0，即x =1或2时，f(x)max =−2．【解析】(1)问题转化为(3x −3)(3x −9)≤0，求出x 的范围即可；(2)将f(x)的解析式配方，结合二次函数的性质求出f(x)的最大值和最小值即可． 本题考查了对数函数以及二次函数的性质，考查函数的单调性问题，是中档题．19.【答案】解：(1)由题意x ，(单位：天)时刻后水中含有物质N 的量为y ={8−16x+2,0≤x ≤612−x,6<x ≤12． 解y ≥4，得2≤x ≤8．所以若在水中首次投放1个单位的物质N ，物质N 能持续有效发挥作用7天．(2)设第x(8≤x ≤12)天水中所含物质N 的量为ymol/L ，则y =(12−x)+[8−16(x−8)+2]=20−x −16x−6，y =14−[(x −6)+16x−6]≤14−2√(x −6)×16x−6=6，当且仅当 x −6=16x−6，即 x =10∈[8,12]时，等号成立．即当x =10时，y max =6． 所以第8天至第12天，水中所含物质N 的量始终不超过6mol/L ．【解析】(1)由题意x ，(单位：天)时刻后水中含有物质N 的量列出分段函数的解析式，推出在水中首次投放1个单位的物质N ，物质N 能持续有效发挥作用的天数．(2)设第x(8≤x ≤12)天水中所含物质N 的量为ymol/L ，化简函数的解析式，利用基本不等式求解函数的最大值，推出结果即可．本题考查函数模型的运用，基本不等式的应用，考查学生的计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)f(x)的定义域为R ，关于原点对称，且f(−x)=a −x −a x =−f(x)， ∴f(x)为奇函数，∵0<a <1，∴y =a x 递减，y =−a −x 递减，故f(x)是减函数；(2)f(x)=a x −a −x (a >0且a ≠1)．∵f(1)<0，∴a −1a <0，又a >0，且a ≠1，∴0<a <1，故f(x)在R 上单调递减，不等式化为f(x 2+tx)<f(x −4)，∴x 2+tx >x −4，即x 2+(t −1)x +4>0恒成立，∴△=(t −1)2−16<0，解得−3<t <5；(3)∵f(1)=32，∴a −1a =32，即2a 2−3a −2=0， 解得a =2或a =−12(舍去)，∴g(x)=a 2x +a −2x −2mf(x)=(2x −2−x )2−2m(2x −2−x )+2，令t =f(x)=2x −2−x ，由(1)可知f(x)=2x −2−x 为增函数，∵x ≥1，∴t ≥f(1)=32，令ℎ(t)=t 2−2mt +2=(t −m)2+2−m 2(t ≥32)，若m ≥32，当t =m 时，ℎ(t)min =2−m 2=−2，∴m =2；若m <32时，当t =32时，ℎ(t)min =−2，解得m =2512>32，无解；综上，m =2．【解析】(1)根据奇函数定义判断，(2)根据奇函数，单调性转化为x 2+tx >x −4，即x 2+(t −1)x +4>0恒成立，△=(t −1)2−16<0，求解．(3)令t =f(x)=2x −2−x ，由(1)可知f(x)=2x −2−x 为增函数，转化求解． 本题考查了函数的性质，运用解决综合问题，属于难题．21.【答案】解：(1)因为y =f(x)为偶函数，所以f(−1)=f(1)，解得k =0， 经检验k =0符合题意；(2)由题意得，方程x 2−1−k|x −1|=0有且仅有一个解，显然，x =1已是该方程的解，当x ≥1时，方程变为(x −1)( x +1−k)=0，当x <1时，方程变为(x −1)( x +1+k)=0，从而关于x 的方程x +1−k =0(x ≥1)有且仅有一个等于1的解或无解，且x +1+k =0(x <1)无解，又x =1时，k =2，此时x =−3也是方程的解，不合题意，所以关于x 的方程x +1−k =0(x ≥1)无解，且x +1+k =0(x <1)无解， 所以，k <2且k ≤−2，综上，k ≤−2，即实数k 的取值范围为(−∞,−2]．(3)当x ∈[0,2]时，f(x)={x 2+kx −k −1,0≤x ≤1x 2−kx +k −1,1<x ≤2， 因为y =f(x)在区间[0,2]上图象由两段抛物线段组成，且这两个抛物线开口均向上， 所以其最大值只可能是f(0)、f(2)、f(1)其中之一，又f(0)=−k −1，f(1)=0，f(2)=−k +3，显然f(2)>f(0)，所以当k <3时，所求最大值为f(2)=−k +3；当k ≥3时，所求最大值为f(1)=0．【解析】(1)因为y =f(x)为偶函数，所以f(−1)=f(1)，由此解得k 的值；(2)由题意得，方程x 2−1−k|x −1|=0有且仅有一个解，显然，x =1已是该方程的解．故关于x 的方程x +1−k =0(x ≥1)有且仅有一个等于1的解或无解，且x +1+k=0(x<1)无解，从而求得实数k的取值范围；(3)当x∈[0,2]时，求出f(x)的分段函数的形式，所以其最大值只可能是f(0)、f(1)、f(2)其中之一．再由f(2)>f(0)，可得函数的最大值．本题主要考查二次函数的性质应用，函数的零点的定义，函数的奇偶性，体现了分类讨论和等价转化的数学思想，属于中档题．。
上海市曹杨二中2020-2021学年高一上学期期末数学试题
上海市曹杨二中2020-2021学年高一上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{|1}A x x =≥,{|}B x x a =≥,若A B ⊆,则实数a 的取值范围是________. 2．若函数()1f x =+()g x =,则()()f x g x +=________. 3．函数()2||f x x ax =+为偶函数,则实数a 的值为________.4．函数()()21f x x x =≤-的反函数是()1f x -=__________.5．在直角坐标系xOy 中，终边在坐标轴上的角α的集合是________.6．已知函数22,3()log ,3x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩,则((3))f f =________.7．若幂函数22()()mm f x x m --=∈Z 在(0,)+∞是单调减函数,则m 的取值集合是________.8．若不等式||1x m -<成立的充分不必要条件是12x <<,则实数m 的取值范围是________.9．已知等腰三角形的周长为常数l ,底边长为y ,腰长为x ,则函数()y f x =的定义域为________.10．已知角α的终边上一点()P m，且sin α=，则tan α的值为________. 11．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，11()42x xf x =-+，则此函数的值域为__________. 12．对于函数f （x ），若存在x 0∈R ，使f （x 0）=x 0，则称x 0是f （x ）的一个不动点，已知f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a 的取值范围______.二、单选题13．若0a <，0b >，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．22a b < B<C ．11a b < D ．2abb a +≥14．函数ln ||y x =与y = ）A ．B ．C ．D ．15．已知函数1()|lg |2x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有两个零点1x ，2x ，则有（ ） A ．120x x < B ．121=x x C ．121x x > D ．1201x x << 16．对于函数()f x ,若存在区间[,]A m n =,使得{|(),}y y f x x A A =∈=,则称函数()f x 为“可等域函数”,区间A 为函数的一个“可等域区间”.给出下列四个函数:①()||f x x =;②2()21f x x =-;③()|12|x f x =-;④2()log (22)f x x =-.其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4三、解答题17．已知一个扇形的周长为定值a ,求其面积的最大值,并求此时圆心角α的大小. 18．（1）若方程()230x m x m +-+=，m R ∈，在x ∈R 上有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）若方程()230x m x m +-+=，m R ∈，在x ∈R 上有且仅有一个实数根，求m的取值范围.19．设函数()|1|||f x x x a =-+-.（1）若1a =-,解不等式()3f x ≥;（2）若不等式()3f x ≥对一切x ∈R 恒成立,求实数a 的取值范围.20．给定函数()f x ，若存在实数对(),a b ，使得对定义域内的所有x ，()()++-=f a x f a x b 恒成立，则称()f x 为“H 函数”.（1）判断函数()13=f x x ，()23f x =是不是“H 函数”；（2）若()()301=≠-m f x m x 是一个“H 函数”，求所有满足条件的有序实数对(),a b ； （3）若定义域为R 的函数()f x 为“H 函数”,且存在满足条件的有序实数对()()0,0,1,2，当[]0,1时,函数()f x 的值域为[]1,2，求当[]2012,2012x ∈-时, 函数()f x 的值域参考答案1．(,1]-∞【解析】【分析】根据子集的定义和不等式的性质,即可求得答案.【详解】集合{|1}A x x =≥,{|}B x x a =≥,A B ⊆,∴1a ≤.∴实数a 的取值范围是(,1]-∞.故答案为:(,1]-∞.【点睛】本题考查了根据集合的包含关系求解参数,在集合运算比较复杂时,可以使用数轴来辅助分析问题..2．1+01x ≤≤【分析】因为()1f x =()g x =-,故1()()f x g x =++,此时()()f x g x +的定义域,是()f x 和()g x 定义域的交集,即可求得答案.【详解】函数()1f x =()g x =-∴()()(11f x g x +=++-=+此时()()f x g x +的定义域,是()f x 和()g x 定义域的交集∴100x x -≥⎧⎨≥⎩,即01x ≤≤,∴ 1()()f x g x =+,01x ≤≤故答案为:1+01x ≤≤.【点睛】本题考查求解函数解析式,掌握函数定义域的求法是解题关键,考查了计算能力,属于基础题.3．0【分析】根据偶函数的定义,建立方程关系进行求解,即可求得答案.【详解】()2||f x x ax =+为偶函数,∴()()f x f x -=,即2||2||x ax x ax --=+,则0a =,故答案为:0.【点睛】本题主要考查了根据奇偶性求解函数解析式,掌握偶函数定义是解本题关键,考查了计算能力,属于基础题.4．)1x ≥【分析】先求出x =1y ≥,,x y 互换即可得到反函数()1fx -的表达式. 【详解】根据题意，令()21y x x =≤-,反解x 可得,1x y =≥,由反函数的定义知, ,x y 互换可得,())11f x x -=≥.故答案为:)1x ≥【点睛】本题考查反函数的概念;反函数性质的合理运用是求解本题的关键;属于基础题.5．|,2n n παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z 【分析】分别写出终边在x 轴上的角的集合、终边在y 轴上的角的集合,进而可得到终边在坐标轴上的角的集合.【详解】终边在x 轴上的角的集合为{|,}k k αα=π∈Z ,终边在y 轴上的角的集合为|,2k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z , 故终边在坐标轴上的角α的集合是:|,2n n παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z 故答案为:|,2n n παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z 【点睛】本题考查终边相同的角的表示方法,掌握终边相同角的集合写法是解题关键,属于基础题. 6．3【分析】由已知得3(3)28f ==,从而((3))(8)f f f =,由此能求出结果. 【详解】函数22,3()log ,3x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩,∴3(3)28f ==,2((3))(8)log 83f f f ===.故答案为:3.【点睛】本题考查了分段函数的求值以及分类讨论思想.求分段函数的函数值时,注意判断自变量的范围,自变量在哪一段的范围内,就选择哪一段的解析式求值,如果自变量不确定在哪一段的范围内,就必须要分类讨论.7．{}0,1【分析】由幂函数()f x 为(0,)+∞上递减,推知220m m --<,解得12m -<<，结合m 为整数,即可求得答案.【详解】幂函数22()()m m f x x m --=∈Z 在区间(0,)+∞上是减函数,∴220m m --<,解得12m -<<,m 为整数,∴0,1m =∴满足条件的m 的值的集合是{0,1},故答案为:{0,1}.【点睛】本题考查根据幂函数的单调性求解析式,掌握幂函数的基础知识是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.8．[1,2]【分析】根据不等式的性质,以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论.【详解】由||1x m -<得11m x m -≤≤+,12x <<是不等式||1x m -<成立的充分不必要条件,∴满足1112m m -≤⎧⎨+≥⎩,且等号不能同时取得, 即21m m ≤⎧⎨≥⎩,解得12m ≤≤, 故答案为:[1,2].【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,根据不等式之间的关系是解决本题的关键. 9．,42l l ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据周长得出x 、y 、l 三者的关系,再根据三角形的三边大小关系及不等式的性质即可得出.【详解】由题意得:2y x l +=,20x y >>,解得:42l l x <<, 故答案为:,42l l ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】熟练不等式的基本性质和三角形的三边大小关系是解题的关键,考查了计算能力,属于基础题.10．或0 【分析】利用正弦函数的定义求出m ,利用正切函数的定义求出tan α的值.【详解】角α的终边上一点()P m根据正弦函数的定义得:sin 4m α==解得0m =或m =当0m =时,tan 0α=;当m =, tan 3α=-当m =, tan 3α=则tan α的值为:或0故答案为: 3±或0. 【点睛】 本题考查三角函数的定义,掌握三角函数的定义是解本题关键,考查学生的计算能力,是基础题.11．11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【分析】可求出0x ≥时函数值的取值范围，再由奇函数性质得出0x ≤时的范围，合并后可得值域．【详解】 设12x t =，当0x ≥时，21x ≥，所以01t <≤，221124y t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭， 所以104y ≤≤，故当0x ≥时，()10,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以当0x <时，()1,04f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，故函数()f x 的值域是11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 故答案为：11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查指数函数的性质，考查函数的奇偶性，求奇函数的值域，可只求出0x ≥时的函数值范围，再由对称性得出0x ≤时的范围，然后求并集即可．12．10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】不动点实际上就是方程f （x 0）=x 0的实数根，二次函数f （x ）=x 2+ax +4有不动点，是指方程x =x 2+ax +4有实根，即方程x =x 2+ax +4有两个不同实根，然后根据根列出不等式解答即可．【详解】解：根据题意，f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，得x =x 2+ax +4在[1，3]有两个实数根，即x 2+（a ﹣1）x +4=0在[1，3]有两个不同实数根，令g （x ）=x 2+（a ﹣1）x +4在[1，3]有两个不同交点，∴2(1)0(3)01132(1)160g g a a ≥⎧⎪≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪-->⎪⎩，即24031001132(1)160a a a a +≥⎧⎪+≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪-->⎪⎩， 解得：a ∈10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭； 故答案为：10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用，属于中档题． 13．C【解析】【分析】已知0a <,0b >,根据不等式的基本性质,逐项检验,即可求得答案.【详解】对于A ,因为0a <,0b >,可取3a =-,1b =,则22a b >.故A 错误;对于B , 因为0a <,0b >,可取9a =-,1b =,>故B 错误;对于C ,若0a <,则10a <,而0b >,则10b >,故11a b<,故C 正确;对于D ，若0a <,0b >,故0a b <,0b a <,则有0a b b a+<,故D 错误; 故选C.【点睛】 本题考查不等式的性质,关键是熟悉不等式的性质,对于不成立的不等式,可以举出反例,进行判断.14．C【解析】【分析】根据函数ln ||y x =是偶函数,且在(0,)+∞上单调递增,排除A 、B ;再根据y =示一个半圆(圆位于x 轴下方的部分),可得结论.【详解】由于函数ln ||y x =是偶函数,且在(0,)+∞上单调递增,故排除A 、B ;由于y =即221(0)y x y +=<,表示一个半圆(圆位于x 轴下方的部分), 故选:C.【点睛】本题主要考查函数的图像特征,掌握函数基础知识是解题关键,属于基础题.15．D【解析】【分析】 先将1()|lg |2x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有两个零点转化为|lg |y x =与2x y -=有两个交点,然后在同一坐标系中画出两函数的图像得到零点在(0,1)和(1,)+∞内,即可得到112lg x x --=和222lg x x -=,然后两式相加即可求得12x x 的范围.【详解】1()|lg |2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有两个零点1x ,2x ,即|lg |y x =与2x y -=有两个交点 由题意0x >,分别画2x y -=和|lg |y x =的图像∴ 发现在(0,1)和(1,)+∞有两个交点不妨设1x 在(0,1)内，2x 在(1,)+∞内，∴ 在(0,1)上有112lg x x -=-,即112lg x x --=——①在(1,)+∞有222lg x x -=——② ①②相加有211222lg x x x x ---= 21x x >,∴2122x x --<即21220x x ---<∴12lg 0x x <∴1201x x <<故选:D .【点睛】本题主要考查确定函数零点所在区间的方法,转化为两个函数的交点问题.函数的零点等价于函数与x 轴的交点的横坐标,等价于对应方程的根.16．B【解析】【分析】根据存在区间[,]A m n =,使得{|(),}y y f x x A A =∈=,则称函数()f x 为“可等域函数”,区间A 为函数的一个“可等域区间”,对四个函数逐一判断,即可得到答案.【详解】在①中,如在区间(0,)+∞、(1,2)都是()||f x x =的可等域区间,故①不合题意;在②中,2()211f x x =-≥-,且()f x 在0x ≤时递减,在0x ≥时递增,若0[,]m n ∈,则1[,]m n -∈,于是1m =-,又()11f -=,(0)1f =-,而(1)1f =,故1n =,[1,1]-是一个可等域区间;若0n ≤,则222121n m m n ⎧-=⎨-=⎩,解得m =,0n =>,不合题意, 若0m ≥,则221x x -=有两个非负解,但此方程的两解为1和12-,也不合题意, 故函数2()21f x x =-只有一个等可域区间[1,1]-,故②成立;在③中,函数()|12|x f x =-的值域是[0,)+∞,所以0m ≥,函数()|12|xf x =-在[0,)+∞上是增函数,考察方程21x x -=,由于函数2x y =与1y x =+只有两个交点(0,1),(1,2),即方程21x x -=只有两个解0和1,因此此函数只有一个等可域区间[0,1],故③成立;在④中,函数2()log (22)f x x =-在定义域(1,)+∞上是增函数,若函数有2()log (22)f x x =-等可域区间[,]m n ,则()f m m =,()f n n =,但方程2log (22)x x -=无解(方程2log x x =无解),故此函数无可等域区间,故④不成立. 综上只有②③正确.故选:B.【点睛】本题考查了函数的新定义.解题关键是理解所给的函数新定义:“可等域区间”的“可等域函数”,考查了分析能力和计算能力,属于中等题. 17．2α=时,扇形面积最大为2a 16. 【分析】设扇形面积为S ,半径为r ,圆心角为α,则扇形弧长为2a r -,,1(2)2S a r r =-,结合二次函数的图像与性质求解最值即可.设扇形面积为S ,半径为r ,圆心角为α,则扇形弧长为2a r -, 所以221(2)2416a a S a r r r ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭. 故当4a r =且2α=时,扇形面积最大为2a 16. 【点睛】本题重点考查了扇形的面积公式、弧长公式、二次函数的最值等知识,属于基础题. 18．()19m >或1m <;()29m =或1m =.【分析】 ()1根据一元二次函数的性质知,方程()230x m x m +-+=的判别式>0∆,解关于m 的不等式即可;()2根据一元二次函数的性质知,方程()230x m x m +-+=的判别式0∆=,解关于m 的不等式即可;【详解】()1根据一元二次函数的性质知,只需方程()230x m x m +-+=的判别式>0∆, 即()2340m m -->,解得9m >或1m <,所以所求m 的取值范围为9m >或1m <； ()2根据一元二次函数的性质知,只需方程()230x m x m +-+=的判别式0∆=， 即()2340m m --=,解得9m =或1m =,所以所求m 的取值范围为9m =或1m =.【点睛】本题考查一元二次方程根的存在性及根的个数的判断;属于基础题.19．（1）35,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭（2）(,2][4,)-∞-⋃+∞(1)利用1a =-,化简不等式,通过分类讨论取得绝对值求解即可.(2)利用函数恒成立,转化求解即可.【详解】(1)当1a =-时,不等式()3f x ≥,即|1||1|3x x -++≥,①当1x ≥时,不等式即115x x -++≥,解得52x ≥; ②当11x -<<时,不等式即115x x ---≥,无解;③当1x ≤-时,不等式即113x x ---≥,解得32x ≤-; 综上,不等式()5f x ≥的解集为35,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. (2)()|1||||(1)()||1|f x x x a x x a a =-+-≥---=-,∴min ()|1|f x a =-.()3f x ≥对任意x ∈R 恒成立,∴|1|3a -≥,解得2a ≤-或4a ≥,即实数a 的取值范围为(,2][4,)-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查函数恒成立绝对值不等式的解法,考查分类讨论思想以及转化思想的应用,考查计算能力.20．()1是,理由见解析;()2()1,0;()3[]2012,2012-【分析】()1分别假设函数()13=f x x ，()23f x =是“H 函数”，列出方程对任意x ∈R 恒成立即可;()2根据题中的定义,列出方程对任意,1x R x ∈≠恒成立,通过整理化简,令未知数的系数和常数项的对应相等求出满足条件的有序实数对(),a b 即可;()3根据题中的定义,列出两个恒等式成立,将1x +用x 替换,两等式结合得到函数值的递推关系,用不完全归纳法求出值域.【详解】()1函数()13=f x x ，()23f x =是“H 函数”,理由如下: 对于函数()13=f x x ,因为()()()()336f a x f a x a x a x a ++-=++-=,所以要使对定义域内的所有x ，()()++-=f a x f a x b 恒成立,只需实数对(),a b 满足6a b =即可,这样的实数对(),a b 有无数对,故函数()13=f x x 是“H 函数”;对于函数()23f x =,因为()()336f a x f a x ++-=+=对任意x ∈R 恒成立, 所以要使对定义域内的所有x ，()()++-=f a x f a x b 恒成立,只需实数对(),a b 满足,6a R b ∈=即可, 这样的实数对(),a b 有无数对,故函数()23f x =是“H 函数”.()2因为()()301=≠-m f x m x 是一个“H 函数”, 所以对于任意,1x R x ∈≠()()++-=f a x f a x b 恒成立,因为()()()()2221111m a m m f a x f a x a x a x a x -++-=+=+-----, 所以对于任意,1x R x ∈≠()()22211m a b a x -=--恒成立,解得1,0a b ==,所以所求的有序实数对(),a b 为()1,0.()3由题意知, ()()()()0,112f x f x f x f x -+=++-=,因为()()()()11222f x f x f x f x ++-=⇔+-=,即有()()22f x f x -++=,当[]0,1x ∈时,[]21,2x -∈,因为函数()f x 的值域为[]1,2,()()22f x f x -=-,所以()2f x -的值域为[]0,1,即[]0,2x ∈时,()[]0,2f x ∈, 因为()()()()022f x f x f x f x ⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩所以()()22f x f x +=+, 所以[]2,4x ∈时,()[]2,4f x ∈；[]4,6x ∈时,()[]4,6f x ∈，依次类推,[]2,22x k k ∈+时,()[]2,22f x k k ∈+,所以[]2010,2012x ∈时,()[]2010,2012f x ∈,即有[]0,2021x ∈时,()[]0,2012f x ∈,又因为()()0f x f x -+=,所以[]2012,0x ∈-时,()[]2012,0f x ∈-，综上可知, 当[]2012,2012x ∈-时, 函数()f x 的值域为[]2012,2012-.【点睛】本题考查函数的新定义和函数恒成立问题、函数与方程的综合应用;着重考查学生的知识迁移和转化能力;属于综合型强、难度大型试题。
2025届上海曹杨二中高一数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析
2025届上海曹杨二中高一数学第一学期期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．若，则角的终边在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限2．函数()2log 10f x x x =+-的零点所在区间为( ) A.()5,6 B.()6,7 C.()7,8D.()8,93．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线1:360l ax y ++=，2:2(1)60l x a y +++=与圆:C 22221(0)x y x b b ++=->的位置关系是“平行相交”，则实数b 的取值范围为A.32(2,)2B.32(0,)2C.(0,2)D.32(2,)232(,)2⋃+∞ 4．已知命题“x R ∃∈，使()212102x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（） A.1a <- B.13a -<< C.3a >-D.31a -<<5．已知偶函数()f x 在[0,)+∞单调递减，则使得1(2)()2xf f >-成立的x 的取值范围是A.(1,1)-B.(,1)(1,)-∞-+∞C.(,1)-∞-D.(1,)+∞6．已知集合{1,2,3,4,5},{2,3,5},{2,5}U A B ===，则（）A.A B ⊆B.{1,3,4}UB =C.{2,5}AB =D.{3}A B ⋂=7．两圆()2221x y +-=和2242110x y x y +++-=的位置关系是 A.相离 B.相交 C.内切D.外切8．当0a ≠时，函数y ax b =+和y b ax =的图像只可能是 （ ）A. B.C. D.9．已知函数()sin()(0,0,1)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，下列结论正确的个数是（）①4πϕ=-②将()f x 的图象向右平移1个单位，得到函数2sin 4y x π=的图象③()f x 的图象关于直线1x =-对称 ④若124x x -<，则12()()4f x f x -<A.0个B.1个C.2个D.3个10．已知函数()sin 1f x a x bx =++（,a b ∈R ），对于给定的一个实数0x ，点00((),())A f x f x -的坐标可能是（） A.(2，1) B.(2，-2) C.(2，-1)D.(2，0)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
高中上海市曹杨中学高一上学期期末复习卷一数学试题
上海市曹杨中学【精品】高一上学期期末复习卷一数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．满足{}{},,,,a b M a b c d ⋃=的所有集合M 的个数是________．2．关于x 的不等式()()221110m x m x ----<的解集为R ，则实数m 的取值范围为______ .3．已知幂函数()()223m m f x x m --=∈Z 为偶函数，且在()0,∞+上是减函数，则()f x 的解析式为________．4．已知{}{}0,1,P M x x P ==⊆，则P 与M 的关系为________．5．设220,0,12b a b a ≥≥+=，则的最大值为6．已知α，β满足1122αβ-<<<，则2αβ-的取值范围是________． 7．若0a >，0b > ，则关于x 的不等式1b a x-<<的解集为________．8．若x ，y ∈R ＋，且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 9．函数()2320y x x x=+>的最小值为________． 10．函数()22f x x x =--在[],a b 上的值域是[]3,1-，则+a b 的取值范围是________． 11．()f x 是定义在R 上的函数，（1）若存在1212,,x x R x x ∈<，使()()12f x f x <，则函数()f x 在R 上单调递增； （2）若存在1212,,x x R x x ∈<，使()()12f x f x ≥，则函数()f x 在R 上不可能单调递增；（3）对任意1212,,x x R x x ∈<，使()()12f x f x ≥，则函数()f x 在R 上单调递增； （4）函数()f x 对任意实数x 都有()()1f x f x <+，那么()f x 在R 上是增函数． 以上命题正确的序号是________． 12．设2()lg()1f x a x=+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是_____________ 13．设函数(),()f x g x 的定义域分别为,f g D D ,且fg D D ⊂≠.若对于任意f x D ∈,都有()()g x f x =,则称函数()g x 为()f x 在g D 上的一个延拓函数.设2()2f x x x =+,(],0x ∈-∞,()g x 为()f x 在R 上的一个延拓函数,且()g x 是偶函数,则()g x =____________ .二、单选题14．设()y f x =和()y g x =是两个不同幂函数，集合()()(){},M x y f x g x ==，则集合M 中元素个数为（ ） A ．1或2或0B ．1或2或3C ．1或2或3或4D ．0或1或2或315．若()22f x x ax =-+与()1ag x x =+，在区间[]1,2是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．()()1,00,1- B ．()(]1,00,1- C ．()1,0- D ．(]0,116．设定义域为R 的函数()()()lg 1101x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，则关于x 的方程()()20f x bf x c ++=，有7个不同实数根的充要条件是（ ）A ．0b <且0c >B ．0b <且0c <C ．0b <且0cD ．0b ≥且0c三、解答题17．已知关于x 的不等式250ax x a-<-的解集为M ． （1）当4a =时，求集合M ；（2）若3M ∈且5M ∉，求实数a 的取值范围． 18．求下列函数的值域（1）5121x y =-+ （2）22211x y x -=+ （3）2123y x x =+- （4）y （5）y x =- （6）y x =+（7）222231x x y x x ++=++ （8）23y x x =++- （9）y = （10） 141,02xxy x -⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭（11）()212log 32y x x =+-19．已知函数()224422f x x ax a a =-+-+在区间[0,2]上的最小值为3，求a 的值．20．已知函数22x x a y x++=．（1）当4a =时，求函数()f x 在区间1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域；（2）求函数()f x 在区间1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值．21．已知函数()12x m f x x +-=-，0m >且()11f =-．（1）求实数m 的值；（2）判断函数()y f x =在区间(],1m -∞-上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （3）求实数k 的取值范围，使得关于x 的方程()f x kx =分别为： ①有且仅有一个实数解；②有两个不同的实数解；③有三个不同的实数解． 22． 函数2()1ax b f x x +=+是定义在(),-∞+∞上的奇函数，且12()25f =． （1）求实数a ，b ，并确定函数()f x 的解析式；（2）判断()f x 在（-1，1）上的单调性，并用定义证明你的结论；（3）写出()f x 的单调减区间，并判断()f x 有无最大值或最小值？如有，写出最大值或最小值．（本小问不需要说明理由）23．在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，函数()2f x x px q =++与()212g x x x =+在同一点取得相同的最小值，那么()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是多少？24．已知函数()()2232log ,log f x x g x x =-=.(1)当[]1,4x ∈时，求函数()()()1h x f x g x =+⋅⎡⎤⎣⎦的值域；(2)如果对任意的[]1,4x ∈，不等式()()2f x f kg x ⋅>⋅恒成立，求实数k 的取值范围．25．已知函数()221xf x x =+，用定义判断：（1）()f x 的奇偶性；（2）()f x 的单调性、并求出最值． 26．设函数()a f x x x=+，()222g x x x a =-+-，其中0a >． （1）若1x =是关于x 的不等式()()f x g x >的解，求a 的取值范围； （2）求函数()af x x x=+在(]0,2x ∈上的最小值； （3）若对任意的(]12,0,2x x ∈，不等式()()12f x g x >恒成立，求a 的取值范围； （4）当32a =时，令()()()(),0,h x f x g x x =+∈+∞，试研究函数()h x 的单调性，求()h x 在该区间上的最小值．27．已知定义域为R 的函数()122x x b f x a+-+=+是奇函数．（1）求b 的值；（2）判断并证明函数()f x 的单调性；（3）若对任意t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围．参考答案1．4 【解析】 【分析】先从集合等式中到,c M d M ∈∈，而,a b 可在M 中或不在M 中，从而可得M 的个数. 【详解】因为{}{},,,,a b M a b c d ⋃=，故,c M d M ∈∈，故,a b 可在M 中或不在M 中， 所以M 的个数为{},a b 的子集的个数即224=. 故答案为4. 【点睛】本题考虑集合子集个数的计算，一般地，如果集合中元素的个数为n ，则其子集的个数为2n ，此类问题为基础题. 2．3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦【分析】分210m -=以及210m -≠两种情况讨论. 【详解】当210m -=时，1m =±，若1m =，原不等式变为：10-<，满足；若1m =-，原式变为：210x -<，此时解集不为R ，不满足；当210m -≠时，因为解集为R ，所以()()()2214110m m ∆=-----<⎡⎤⎣⎦，解得： 315m -<<； 综上：3,15m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦.【点睛】形如20ax bx c ++<在实数集上恒成立的问题，首先需要考虑的是a 是否为零，也就是说()2f x ax bx c =++是二次函数还是一次函数，这一定要分析清楚，其次才是分析恒成立.3．()4f x x -=【分析】根据函数的单调性可得m 满足的不等式，再根据其为整数可得具体的值，代入检验可得()f x 的解析式.【详解】因为()f x 在()0,∞+上为减函数，故2230m m --<，所以13m -<<. 因为m 为整数，故0,1,2m =.当0m =时，()3f x x -=，其为奇函数，舍去；当1m =时，()4f x x -=，其为偶函数，符合；当2m =时，()3f x x -=，其为奇函数，舍去.故答案为()4f x x -=.【点睛】幂函数在()0,∞+上的单调性和奇偶性是由幂指数决定的，解题中注意根据给定的性质确定幂指数的性质，此类问题为基础题. 4．P M ∈ 【分析】M 中的元素为P 的子集，从而可得P 与M 的关系.【详解】{}{}{}{}{},0,1,0,1M x x P =⊆=∅，所以P M ∈.故答案为：P M ∈. 【点睛】一般地，元素与集合之间的关系用,∈∉，集合与集合之间的关系用,⊆⊄，但集合可以作为另一个集合的元素，因此关系判断的关键是弄清楚集合中元素的属性. 5．1 【详解】 令,则,而由可得,所以,令,由,可得,,所以时，的最大值为1,所以t 最大值也为1.6．31,22⎛⎫-⎪⎝⎭ 【分析】利用不等式的性质可得2αβ-的范围. 【详解】因为1111,2222αβ-<<-<<，αβ<，故10αβ-<-<， 所以3122αβα-<-+<即31222αβ-<-<，故答案为：31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查不等式的性质，注意不可算出2α再求2αβ-的范围，因为有αβ<这样的限制，此类题属于基础题. 7．11,,b a ⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】可将该不等式转化为一元二次不等式组，从而可求原不等式的解集. 【详解】不等式1b a x -<<等价于1010b xa x⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩即1010bx x ax x +⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，故()()1010x bx x ax ⎧+>⎪⎨->⎪⎩，整理得到1010x x bx x a ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩或或，该不等式组的解为1x b <-或1x a >.故原不等式的解集为11,,b a ⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：11,,b a ⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查分式不等式解的求法，一般地，分式不等式可以转化为一元二次不等式来求解，注意转化时分母不为零. 8．18 【解析】 【分析】转化已知280x y xy +-=为右边是1的式子，然后去乘以x y +，再利用基本不等式求得最小值. 【详解】由280x y xy +-=得28x y xy +=，281x y xy+=，即281y x +=，所以()2828101010818x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当28x yy x=，即12,6x y ==时等号成立.故最小值为18. 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求和式的最小值，主要的方法是“1”代换的方法，属于基础题.9．23362【分析】通过单调性的定义可判断函数的单调性，再利用单调性可求函数的最小值. 【详解】 令()()2320f x x x x=+>，设120x x <<，则()()221212123322f x f x x x x x -=+--()()1212121223x x x x x x x x -+-⎡⎤⎣⎦=，若任意的1202x x <<≤，则120x x -<，120x x >， ()312122623434308x x x x x +-<⨯-≤⨯-=，故()()120f x f x ->即()()12f x f x >，所以()f x在0,2⎛ ⎝⎦上为减函数，若任意的122x x ≤<，则120x x -<，120x x >， ()312121623434308x x x x x +->⨯-≥⨯-=，故()()120f x f x -<即()()12f x f x <，所以()f x在,+2⎫∞⎪⎪⎣⎭上为增函数. 所以()f x 在()0,∞+上的最小值为223326222f ⎛⎛== ⎝⎭⎝⎭故答案为23362.【点睛】函数的最值，一般要依据函数的单调性来求，如果函数不是基本初等函数，那么单调性的判断可以依据复合函数的单调性或依据定义来判断，后者需作差后利用“逼近”的方法来寻找单调性的分界点，如本题中，为了确定()121223x x x x +-的符号，可令12,x x 近似相等，从而得到代数式3143x -变号的分界点为12x =，从而得到两个区间⎛ ⎝⎦及⎫∞⎪⎪⎣⎭，在这两个区间上讨论函数的单调性即可． 10．[]4,0- 【分析】在平面直角坐标系画出()22f x x x =--的图像，结合图像可得,a b 满足的条件，从而得到+a b 的取值范围.【详解】函数()22f x x x =--的图像如图所示，作出直线1y =，它和()f x 的图像相切于顶点()1,1C -，作出直线3y =-，令223x x --=-，解得3x =-或1x =，故()()3,3,1,3A B ---. 因为()f x 的值域为[]3,1-，故3a =-或1b =， 若3a =-，则11b -≤≤，此时42a b -≤+≤-， 若1b =，则31a -≤≤-，此时40a b -≤+≤， 故40a b -≤+≤. 故答案为：[]4,0-. 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，注意根据值域可初步确定定义域的某个端点，从而得到定义域区间两个端点之间的关系，本题属于中档题. 11．（2） 【分析】依据单调性的定义及反例可得正确的选项. 【详解】对于（1）（3），根据单调性的定义，只有对任意的1212,,x x R x x ∈<，总有()()12f x f x <， 函数()f x 才在R 上单调递增，故（1）（3）错误；对于（2），如果函数()f x 在R 上单调递增，则必有()()12f x f x <，与()()12f x f x ≥矛盾，故函数()f x 在R 上不可能单调递增，故（2）正确；对于（4），取函数()3,021,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩，因171366f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在R 不是单调递增函数，但()5,1122,1x x f x x x ⎧+≤-⎪+=⎨⎪+>-⎩， 当1x ≤-时，()()()()531,,122f x x f x x f x f x +=+=++>成立， 当10x -<≤时，()()()()312,,12f x x f x x f x f x +=+=++>成立，当0x ≥时，()()()()12,1,1f x x f x x f x f x +=+=++>也成立， 故（4）错. 故答案为（2） 【点睛】本题考查函数单调性的定义的理解，注意单调性定义的关键词“任意的12,x x ”，本题属于基础题. 12．()1,0- 【分析】先根据奇函数性质求参数a ，再解对数不等式得结果. 【详解】由f(x)是奇函数可得a ＝－1， ∴f(x)＝lg，定义域为(－1,1)．由f(x)<0，可得0<<1，∴－1<x<0.【点睛】利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．13．22x x - 【分析】设函数()(),f x g x 的定义域分别为,f g D D ,且fg D D ⊂≠.若对于任意f x D ∈,都有()()g x f x =,则称函数()g x 为()f x 在g D 上的一个延拓函数.设()22f x x x =+,(],0x ∈-∞,()g x 为()f x 在R 上的一个延拓函数,且()g x 是偶函数,则()g x =【详解】因为()22f x x x =+,(],0x ∈-∞,()g x 为()f x 在R 上的一个延拓函数,且()g x 是偶函数,当0x ≤时，()()22g x f x x x ==+，0x >时，0x -<，()()()222g x x x x x g x 2-=--=-=，所以()22g x x x =-，故答案为22x x -.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及新定义问题，属于中档题. 本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--．14．B 【分析】考虑不同幂函数构成的方程，解方程后可得图像的交点及交点的个数，从而得到正确的选项. 【详解】取()()133,f x x g x x ==，由133x x =可得0x =或1x =或1x =-，故()()()(){}133,=0,0,1,1,1,1M x y x x ⎧⎫⎪⎪==--⎨⎬⎪⎪⎩⎭；取()()132,f x x g x x ==，由132x x =可得0x =或1x =，故()()(){}132,=0,0,1,1M x y x x ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，取()()23,f x x g x x -==，由23x x -=可得1x =，故(){}(){}23,=1,1M x y xx -==，注意，任意幂函数的图像必过()1,1点，故()1,1M ∈，任意两个幂函数的图像不可能有4个交点，故M 中元素个数为1或2或3， 故选B. 【点睛】本题考查幂函数的图像和性质，解答本题的关键是熟悉三类幂函数（即幂指数小于0、大于等于0小于1及大于等于1）在第一象限内的图像和性质，此类问题属于中档题. 15．D 【分析】根据两个函数的单调性得到a 的不等式组，其解即为a 的取值范围. 【详解】因为()22f x x ax =-+、()1ag x x =+在[]1,2是减函数，故10a a ≤⎧⎨>⎩，所以01a <≤， 故选D. 【点睛】本题考查二次函数的单调性及分式函数的单调性，前者取决于对称轴的问题，后者取决于平移前反比例函数的比例系数的正负，此类问题属于基础题. 16．C 【分析】画出()f x 的图像，根据方程有7个不同的实数根可得方程20t bt c ++=有一个零根和正根，从而得到,b c 满足的条件. 【详解】令()t f x =，考虑方程20t bt c ++=的根，该方程必有解，设解为12,t t t t ==，由题设方程()1t f x =和方程()2t f x =的解即为方程()()20fx bf x c ++=的解，因为方程()()20fx bf x c ++=的解有7个不同的解，根据()f x 的图像（如图所示）可得，直线1y t =与()y f x =的图像有3个不同公共点， 直线2y t =与()y f x =的图像有4个不同公共点， 故10t =，20t >， 所以0c ，20t b =->即0b <，故选C.【点睛】复合方程()g f x m =⎡⎤⎣⎦的解的个数问题，其实质就是方程组()()g t m t f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩的解的个数问题，可先利用图像变换等工具刻画()f x 的图像特征，结合原来方程解的个数得到t 的限制条件，再利用常见函数的性质（如二次函数等）刻画()g t 的图像特征从而得到参数的取值范围． 17．（1）()5,2,24⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；（2）(]51,9,253⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）代入4a =后将分式不等式转化为高次不等式，求解后可得M . （2）根据3M ∈且5M ∉可得关于a 的不等式组，其解为实数a 的取值范围. 【详解】（1）因为4a =，故24504x x -<-即()()()45220x x x --+<， 所以2x <-或524x <<，故M 为()5,2,24⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.（2）因为3M ∈且5M ∉，故350955025a aa a -⎧<⎪⎪-⎨-⎪≥⎪-⎩或250a -=，故()()()()35901250a a a a ⎧-->⎪⎨--≤⎪⎩，解得513a ≤<或925a <≤，故a 的取值范围为(]51,9,253⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】一般地，()()0f x g x >等价于()()0f x g x >，而()()0f x g x ≥则等价于()()()00f x g x g x ⎧≥⎪⎨≠⎪⎩，注意分式不等式转化为整式不等式时分母不为零.解本题时还应注意5M ∉对应的a 满足的条件中容易遗漏250a -=这个情况.18．（1）()4,1-；（2）[)1,2-；（3）()1,0,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦；（4）50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（5）(],1-∞；（6）(],2-∞；（7）102,3⎛⎤⎥⎝⎦；（8）[)5,+∞；（9）[)0,3；（10）(]1,3；（11）[)2,-+∞. 【分析】根据函数的特点，可利用换元法、基本初等函数的性质（如单调性等）、反表示、分离常数法等可求题设中的11个函数的值域. 【详解】（1）函数的定义域为R ，当x ∈R 时，211x +>， 故50521x <<+，所以541121x-<-<+，故函数的值域为()4,1-. （2）函数的定义域为R ，由22211x y x -=+可以得到2221yx y x +=-，整理得到212y yx +=-. 因210,02y yx +≥∴≥-,即12y -≤<，故函数的值域为[)1,2-.（3）函数2123y x x =+-的定义域为()(),31,-∞-⋃+∞，当()(),31,x ∈-∞-+∞，[)()2234,00,x x +-∈-+∞，故()211,0,234x x ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥+-⎝⎦， 所以函数的值域为()1,0,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.（4）函数的定义域为[]1,4-，令223253424t x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，当[]1,4x ∈-时，2504t ≤≤，故502y ≤≤，所以函数的值域为50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （5）函数的定义域为(],1-∞，因为y x =为(],1-∞的增函数，y =(],1-∞上的减函数，故y x =-(],1-∞上的增函数，当1x =时，函数的函数值1，故函数的值域为(],1-∞.（6）函数的定义域为(],1-∞，令t =，则21x t =-，0t ≥， 所以()221212y t t t =-+=--+，因为0t ≥，故2y ≤，故函数的值域为(],2-∞. （7）函数的定义域为R ，又2222231211x x y x x x x ++==+++++，而221331244x x x ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭， 所以214013x x <≤++，故1023y <≤，故函数的值域为102,3⎛⎤⎥⎝⎦. （8）函数的定义域为R ， 当2x -≤时，125y x =-≥ ； 当23x <<时，235y x x =++-=， 当3x ≥时，215y x =-≥，综上，函数的值域为[)5,+∞. （9）函数的定义域为(],2-∞，当(],2x ∈-∞时，039x <≤，故0939x ≤-<，所以03y ≤<， 所以函数的值域为[)0,3.（10）函数可变形为2111,022x xy x ⎛⎫⎛⎫=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则01t <≤且21y t t =++，所以13y <≤，故函数的值域为(]1,3.（11）函数的定义域为()1,3-，令()223421t x x x =--=-++，因为()1,3x ∈-，故04t <≤，故1122log log 42t ≥=-，故函数的值域为[)2,-+∞. 【点睛】函数值域的求法，应根据函数的特点选取合适的方法来求，主要的方法有：（1）换元法：当函数是简单函数的复合时（如指对数函数与分式函数、二次函数、幂函数的复合），可用此法把值域归结为简单函数的值域问题；（2）单调性法：如果函数在给定的区间上是单调的，则可直接求出函数的值域； （3）反表示法：如果可以用y 来表示x ，则可以根据x 的范围求出y 的范围（就是函数的值域）；（4）分离常数法：如果函数是分式的形式，则可以分离常数，把函数的值域归结为一个简单的函数的值域.19．1a =5a =． 【分析】将f （x ）转化为顶点式，求得对称轴，讨论区间和对称轴的关系，结合函数单调性，得最小值所对应方程，解方程可得a 的值 【详解】函数()f x 的表达式可化为()()24222a f x x a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭． ① 当022a<<，即04a <<时，()f x 有最小值22a -，依题意应有223a -=，解得12a =-，这个值与04a ≤≤相矛盾．②当2a 0≤，即a 0≤时，()2022f a a =-+是最小值，依题意应有2223a a -+=，解得1a =±a 0≤，∴1a = ③当2a 2≥ ，即a 4≥时，()2216822f a a a =-+-+是最小值， 依题意应有2168223a a a -+-+=，解得5a =a 4≥，∴5a =+综上所述，1a =-5a =． 【点睛】本题考查了二次函数求最值，解题中要注意对称轴和区间的关系，考查分类讨论的思想方法和运算能力.20．（1）[]6,7；（2）()min9144161216166164a a f x a aa ⎧+≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，，，.【分析】（1）讨论函数()42f x x x =++在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦的单调性后可得()f x 的值域. （2）就116a ≤、11616a <<、16a ≥三种情况分别讨论函数的单调性后可得函数的最小值. 【详解】（1）由题设有()42f x x x=++ 设12144x x ≤<≤，()()12121244f x f x x x x x -=+--()1212124x x x x x x -=-，当任意的12124x x ≤<≤时，120x x -<，121240,0x x x x -<>， 故()()120f x f x ->即()()12f x f x >，故()f x 在1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数.当任意的1224x x ≤<≤时，120x x -<，121240,0x x x x ->>， 故()()120f x f x -<即()()12f x f x <，故()f x 在[]2,4为增函数.故()()min 26f x f ==，因()125,4744f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故()max 7f x =， 故()f x 的值域为[]6,7. .（2）设任意的12144x x ≤<≤，则()()()()12121212x x x x a f x f x x x ---=， 若116a ≤，则对任意的12144x x ≤<≤， 总有120x x -<，120x x a ->，120x x >，所以()()120f x f x -<即()()12f x f x <，所以()f x 为1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增函数，故()f x 的最小值为19444f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 若16a ≥，则对任意的12144x x ≤<≤， 总有120x x -<，120x x a -<，120x x >，所以()()120f x f x ->即()()12f x f x >，所以()f x 为1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的减函数，故()f x 的最小值为()464a f =+. 若11616a <<，则对任意的1214x x ≤<≤总有120x x -<，120x x a -<，120x x >，所以()()120f x f x ->即()()12f x f x >，所以()f x为14⎡⎢⎣上的减函数，124x x ≤<≤，总有120x x -<，120x x a ->，120x x >，所以()()120f x f x -<即()()12f x f x <，所以()f x为4⎤⎦上的增函数，故()f x的最小值为2f=.综上，()min9144161216166164a a f x a aa ⎧+≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，，，【点睛】 函数()()0af x x a x=+>常称为“双勾函数”，它在(，()上是减函数，在)+∞，(,-∞上是增函数，注意()()0af x x a x=+<不是双勾函数，该函数在()0,∞+上是增函数，在(),0-∞上是减函数．注意在高中数学的初始阶段，函数的单调性的证明只能依据定义，并且在运用该函数时需要证明其单调性，不可直接使用. 21．（1）1m =；（2）函数()f x 在区间(],0-∞上是单调递增函数，证明见解析； （3）答案不唯一，见解析 【分析】（1）将已知条件()11f =-，解得1m =，再结合m 是正数，可得1m =； （2）将（1）的结论代入得(](],1,0m -∞-=-∞,根据函数单调性的定义，可设(]12,,0x x ∈-∞，且12x x <，通过作差化简整理，最后得到()()120f x f x -<，说明函数在区间(],1m -∞-上是增函数；（3）首先，方程()f x kx =有一个解0x =，然后分0x >和0x <加以讨论：当0x >且2x ≠时，方程转化为2x kx x =-，解得12x k=+，解不等式得12k <-或0k >，当0x <时，则2x kx x -=-，解得12x k=-，解不等式得102k <<；最后综合可得方程()f x kx =解集的情况． 【详解】（1）由()11f =-，得11m=--，1m =，∵0m >，∴1m =． （2）由（1），1m =，从而()2xf x x =-，只需研究()f x 在(],0-∞上的单调性． 当(],0x ∈-∞时，()2xf x x -=-． 设(]12,,0x x ∈-∞，且12x x <，则()()12121222x x f x f x x x ---=---()()()1212222x x x x -=--， ∵120x x <≤，∴120x x -<，120x -<，220x -<， ∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <． ∴函数()f x 在区间(],0-∞上是单调递增函数．（3）原方程即为2xkx x =- ……① 0x =恒为方程①的一个解．若0x <时方程①有解，则2x kx x -=-，解得12x k=-， 由120k-<，得102k <<；若0x >且2x ≠时方程①有解，则2x kx x =-，解得12x k=+，由120k +>且122k+≠，得12k <-或0k >．综上可得，当1,02k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，方程()f x kx =有且仅有一个解； 当11,,22k ⎛⎫⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭时，方程()f x kx =有两个不同解； 当10,2k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，方程()f x kx =有三个不同解． 【点睛】本题考查了函数零点的分布与单调性等知识点，属于难题． 22．（1）2()1x f x x ∴=+（2）见解析（3）单调减区间为(][),1,1,-∞-+∞x=-1时，min12y =-，当x=1时，min 12y =． 【解析】试题分析：（1）先根据函数为奇函数（）求出值，再利用12()25f =求出值，即可其解析式；（2）利用函数的单调性定义进行判定与证明；（3）结合（2）问容易得到单调递减区间，进而写出最值.解题思路:（1）求解析式的一种主要方法是待定系数法；（2）利用函数单调性的定义证明函数的单调性的一般步骤为：设值代值、作差变形、判定符号、下结论. 试题解析：（1）()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-．即2211ax b ax bx x -++=-++，ax b ax b -+=--，0b ∴=2()1ax f x x ∴=+，又12()25f =，1221514a∴=+，1a =，2()1xf x x ∴=+ （2）任取12,(1,1)x x ∈-，且12x x <，1212121222221212()(1)()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++ 12121211,11,0x x x x x x -<<<∴-<<-<，1210x x ->2110x +>，2210x +>，12()()0f x f x ∴-<，12()()f x f x <，()f x ∴在（-1，1）上是增函数．（3）单调减区间为(][),1,1,-∞-+∞ 当x=-1时，min 12y =-，当x=1时，.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的解析式；3.函数的单调性与最值. 23．4 【分析】先考虑函数()g x 在何处取何最小值，从而得到()f x 在何处取何最小值，求出,p q 后可求()f x 的最大值.【详解】设12122x x ≤<≤，()()121222121122g x g x x x x x -=+-- ()()2221121222221212121122x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-=-+=--- ⎪⎝⎭，当任意的12112x x ≤<≤时，120x x -<，221212111,1x x x x >>，故2212121120x x x x --<， 故()()120g x g x ->即()()12g x g x >，故()g x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数.当任意的1212x x ≤<≤时，120x x -<，221212111,1x x x x <<，故2212121120x x x x -->， 故()()120g x g x -<即()()12g x g x <，故()g x 在[]1,2为增函数. 所以()g x 在1x =取最小值且最小值为()13g =. 故()f x 在1x =取最小值且最小值为3.所以21234pp q ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得24p q =-⎧⎨=⎩，故()224f x x x =-+，因为1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，故()()max 24f x f ==.【点睛】对于函数()y g x =的单调性的讨论，需要对()()12g x g x -因式分解后才能找到决定()()12g x g x -正负的核心代数式（如221212112x x x x --），为了找到该代数式变号的分界点，可令12,x x 近似相等，从而得到代数式3122x -变号的分界点为11x =，从而得到两个区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦及[]1,2，在这两个区间上讨论函数的单调性即可． 24．(1)[]0,2；(2) (),3-∞-. 【分析】（1）利用配方法化简函数，根据函数的定义域，换元得到t ＝2log x ∈[0,2]，由二次函数的性质，即可求出函数的值域；（2）先利用对数运算化简不等式，换元，再通过分离参数法，转化为最值问题，利用基本不等式求出最值，即可求出实数k 的取值范围． 【详解】(1)h (x )＝(4－22log x )·2log x ＝－2(2log x －1)2＋2，因为x ∈[1,4]，所以t ＝2log x ∈[0,2]，2()2(1)2h x t =--+，故函数h (x )的值域为[0,2]． (2)由f (x 2)·f＞k ·g (x )，得(3－42log x )(3－2log x )＞k ·2log x ，令2log t x =，因为x ∈[1,4]，所以t ＝2log x ∈[0,2]， 所以(3－4t )(3－t )＞k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ； ②当t ∈(0,2]时，()()343t t k t--<恒成立，即9415k t t<+-， 因为9412t t +，当且仅当94t t=，即32t =时取等号，所以9415t t+-的最小值为－3.所以k ＜－3.综上，实数k 的取值范围为(－∞，－3)． 【点睛】本题主要考查含有对数式的二次函数的值域的求法，利用分离参数法解决不等式恒成立问题，以及利用基本不等式求最值．意在考查学生的转化与化归思想和数学运算能力．25．（1）奇函数；（2）在(][),1,1,-∞-+∞单调递减，在()1,1-单调递增；min 1y =-；max 1y =. 【分析】（1）依据定义可判断该函数为奇函数.（2）先考虑函数在[)0,+∞上的单调性，该单调性可依据定义来判断，再根据函数为奇函数得到函数在(],0-∞上的单调性，根据单调性可求函数的最小值. 【详解】（1）函数的定义域为R ，因为()()221xf x f x x -=-=-+，故()f x 为R 上的奇函数. （2）设任意的1201x x ≤<≤，()()()()()()12121222122111x x x x f x f x x x ---=++，因为1201x x ≤<≤，故120x x -<，1210x x -<，()()2212110x x ++>，所以()()120f x f x -<，所以()f x 在[]0,1为增函数， 同理可证：()f x 在[)1,+∞上为减函数，因为()f x 为R 上的奇函数，故()f x 在(),1-∞-为减函数，在[]1,0-上为增函数， 所以()f x 在[]1,1-上为增函数.所以当1x ≤-时，()()110f f x -=-≤<， 而当1x ≥时，()0f x >且()()011f x f <≤=， 而当11x -≤≤时，()()()1111f f x f -=-≤≤=，故当x ∈R 时，min 1y =-，max 1y =. 【点睛】函数的最值问题，往往需要讨论函数的单调性，后者应利用定义来讨论，注意讨论函数最值时，要观察函数的图像是否具有渐近线（如本题中当1x ≤-时，()0f x <总成立，x 轴为图像的渐近线）.26．（1）1a >；（2）min04()242a f x a a ⎧<<⎪=⎨+≥⎪⎩；（3）4a > ；（4）在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增；最小值为6-， 【分析】（1）在不等式()()f x g x >中令1x =，则可以得到关于a 的不等式，其解即为a 的取值范围.（2）就是4a ≥、04a <<分类讨论函数的单调性后可求()f x 在(]0,2上的最小值. （3）由()()min max f x g x >可得实数a 的取值范围.（4）设任意120x x <<，考虑()()12h x h x -的符号后可得()h x 的单调性，从而可求()h x 的最小值. 【详解】（1）由题设有()()11f g >，故13a a +>-，故1a >. （2）若4a ≥，设任意的1202x x <<≤，则()()()()12121212x x x x a f x f x x x ---=，因为1202x x <<≤，故120x x a -<，120x x -<，所以()()120f x f x ->即()()12f x f x >，所以()f x 为(]0,2上的减函数， 故()f x 的最小值为()222a f =+. 若04a <<，则设任意的1202x x <<≤，则()()()()12121212x x x x a f x f x x x ---=，因为120x x <<≤120x x a -<，120x x -<，所以()()120f x f x ->即()()12f x f x >，所以()f x为(上的减函数， 同理可证：()f x为2⎤⎦上的增函数.所以()f x的最小值为f=，故()min42,42a f x a a ⎧<<⎪=⎨+≥⎪⎩. （3）因为对任意的(]12,0,2x x ∈，不等式()()12f x g x >恒成立， 故()()()min max 28f x g x g a >==-.由（2）可知：当04a <<时，由()min f x =4a ≥时，由()min 22af x =+，所以048a a <<⎧⎪⎨>-⎪⎩或4282a aa ≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩即044a a <<⎧⎨>⎩（无解）或4a >， 故4a >.（4）若32a =，则()220323h x xx =+-， 设任意的1202x x <<≤，则()()()()1212121212216x x x x x x h x h x x x -+-⎡⎤⎣⎦-=，因为1202x x <<≤，故()1212160x x x x +-<，120x x -<，所以()()120h x h x ->即()()12h x h x >，所以()h x 为(]0,2上的减函数， 同理可证()h x 为[)2,+∞上的增函数， 所以()h x 在()0,∞+上的最小值为()26h =-． 【点睛】 函数()()0af x x a x=+>常称为“双勾函数”，它在(，()上是减函数，在)+∞，(,-∞上是增函数，注意()()0af x x ax=+<不是双勾函数，该函数在()0,∞+上是增函数，在(),0-∞上是减函数．注意在高中数学的初始阶段，函数的单调性的证明只能依据定义.27．（1）1b=；（2）单调递减，证明略；（3）13k<-【分析】（1）根据()()f x f x-=恒成立可求得1b=.（2）()f x为减函数，利用单调性的定义可证明该结论.（3）函数不等式可以转化为2320t t k-->在R上恒成立，从而可求实数k的取值范围. 【详解】（1）()()112122,2222x x xx x xb b bf x f xa a a--++-+-+⨯-+-==-=-++⨯+，因为()f x为奇函数，故1122222x xx xb ba a+-+⨯-+=-+⨯+，化简得到()()1222240x xab a b a b+⨯-+-+-⨯=恒成立，所以22a bab=⎧⎨=⎩，解得21ab=⎧⎨=⎩或21ab=-⎧⎨=-⎩，当21ab=-⎧⎨=-⎩，()1121212222x xx xf x++--+==---，此时()f x的定义域不为R，当21ab=⎧⎨=⎩，()12122xxf x+-+=+，满足定义域为R，故1b=.（2）()f x为减函数，证明如下：设任意的12x x<，()()()()()21121212121111322121221212121x xx xx x x xf x f x++++⨯----=-=++++，因为12x x<，故21220x x->，而()()121121210x x++++>，故()()12f x f x->即()()12f x f x>，所以()f x为R上的减函数.（3）因为()f x为奇函数，故不等式()()22220f t t f t k-+-<等价于()()2222f t t f t k-<-+，而()f x 为R 上的减函数，2222t t t k ->-+即2320t t k -->对任意t R ∈. 所以4120k ∆=+<，故13k <-． 【点睛】含参数的偶函数（或奇函数），可通过取自变量的特殊值来求参数的大小，注意最后检验必不可少，也可以利用()()f x f x =-（或()()f x f x -=-）恒成立来求参数的大小.解函数不等式要利用函数的单调性、奇偶性去掉对应法则f ．。
上海曹杨二中数学高一上期末经典练习题(专题培优)
一、选择题1．(0分)[ID ：12119]已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则A ．-2B ．2C ．-98D ．98 2．(0分)[ID ：12118]已知a =21.3，b =40.7，c =log 38，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<3．(0分)[ID ：12113]已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f <-，则x 的取值范围是（ ）A ．1,110⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,10,10C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()()0,110,⋃+∞4．(0分)[ID ：12085]已知0.11.1x =， 1.10.9y =，234log 3z =，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x y z >>B ．y x z >>C ．y z x >>D ．x z y >>5．(0分)[ID ：12121]若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]6．(0分)[ID ：12105]已知131log 4a =，154b=，136c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>7．(0分)[ID ：12081]设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8．(0分)[ID ：12058]已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩ 00x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．69．(0分)[ID ：12052]根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073D ．109310．(0分)[ID ：12033]若二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭11．(0分)[ID ：12070]定义在[]7,7-上的奇函数()f x ，当07x <≤时，()26x f x x =+-，则不等式()0f x >的解集为A ．(]2,7B ．()(]2,02,7- C ．()()2,02,-+∞D ．[)(]7,22,7--12．(0分)[ID ：12061]若0.33a =，log 3b π=，0.3log c e =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>13．(0分)[ID ：12046]已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()2ln f x x x=-的零点，则()0g x 等于（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．414．(0分)[ID ：12079]已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()UP Q ⋃=A ．{1}B ．{3，5}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，5}15．(0分)[ID ：12050]已知定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞-上是减函数，若()()2g x f x =-是奇函数，且()20g =，则不等式()0xf x ≤的解集是（ ）A ．][(),22,-∞-⋃+∞B ．][)4,20,⎡--⋃+∞⎣C ．][(),42,-∞-⋃-+∞D ．][(),40,-∞-⋃+∞二、填空题16．(0分)[ID ：12225]若155325a b c ===，则111a b c+-=__________． 17．(0分)[ID ：12223]若函数()1f x mx x =--有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是______.18．(0分)[ID ：12214]如果函数()22279919mm y m m x--=-+是幂函数，且图像不经过原点，则实数m =___________.19．(0分)[ID ：12208]已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，11()42x xf x =-+，则此函数的值域为__________. 20．(0分)[ID ：12201]已知函数2()log f x x =，定义()(1)()f x f x f x ∆=+-，则函数()()(1)F x f x f x =∆++的值域为___________.21．(0分)[ID ：12177]已知偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，则不等式()0xf x >的解集为______．22．(0分)[ID ：12175]若函数()()()()22,0,0x x x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩为奇函数，则()()1f g -=________．23．(0分)[ID ：12163]对于函数()y f x =，若存在定义域D 内某个区间[a ，b ]，使得()y f x =在[a ，b ]上的值域也为[a ，b ]，则称函数()y f x =在定义域D 上封闭，如果函数4()1xf x x=-+在R 上封闭，则b a -=____． 24．(0分)[ID ：12149]若存在实数(),m n m n <，使得[],x m n ∈时，函数()()2log x a f x a t =+的值域也为[],m n ，其中0a >且1a ≠，则实数t 的取值范围是______.25．(0分)[ID ：12137]已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m 的取值范围为______．三、解答题26．(0分)[ID ：12308]已知函数2()(8)f x ax b x a ab =+--- 的零点是-3和2 (1)求函数()f x 的解析式.(2)当函数()f x 的定义域是0,1时求函数()f x 的值域.27．(0分)[ID ：12269]已知函数2()log (421)x xf x a a =+⋅++，x ∈R ．（Ⅰ）若1a =，求方程()3f x =的解集；（Ⅱ）若方程()f x x =有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围．28．(0分)[ID ：12262]已知函数()f x 是二次函数,(1)0f -=,(3)(1)4f f -==. (1)求()f x 的解析式;(2)函数()()ln(||1)h x f x x =-+在R 上连续不断,试探究,是否存在()n n ∈Z ,函数()h x 在区间(,1)n n +内存在零点,若存在,求出一个符合题意的n ,若不存在,请说明由. 29．(0分)[ID ：12256]某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入.政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益M 、养鸡的收益N 与投入a（单位：万元）满足25,1536,49,3657,a M a ⎧⎪=⎨<⎪⎩1202N a =+.设甲合作社的投入为x （单位：万元），两个合作社的总收益为()f x （单位：万元）. （1）若两个合作社的投入相等，求总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大?30．(0分)[ID ：12230]设全集为R ，集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <6}，求∁R (A ∪B )，∁R (A ∩B )，(∁R A )∩B ，A ∪(∁R B )．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A 2．C 3．C 4．A 5．B 6．C 7．B 8．C 9．D 10．A 11．B 12．A 13．B15．C二、填空题16．1【解析】故答案为17．【解析】【分析】令可得从而将问题转化为和的图象有两个不同交点作出图形可求出答案【详解】由题意令则则和的图象有两个不同交点作出的图象如下图是过点的直线当直线斜率时和的图象有两个交点故答案为：【点睛】本18．3【解析】【分析】根据幂函数的概念列式解得或然后代入解析式看指数的符号负号就符合正号就不符合【详解】因为函数是幂函数所以即所以所以或当时其图象不过原点符合题意;当时其图象经过原点不合题意综上所述:故19．【解析】【分析】可求出时函数值的取值范围再由奇函数性质得出时的范围合并后可得值域【详解】设当时所以所以故当时因为是定义在上的奇函数所以当时故函数的值域是故答案为：【点睛】本题考查指数函数的性质考查函20．【解析】【分析】根据题意以及对数的运算性质得出进而可由基本不等式可得出从而可得出函数的值域【详解】由题意即由题意知由基本不等式得（当且仅当时取等号）所以（当且仅当时取等号）即所以的值域为故答案为：【21．【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出的图象利用数形结合进行求解即可【详解】偶函数的图象过点且在区间上单调递减函数的图象过点且在区间上单调递增作出函数的图象大致如图：则不等式等价为或即或即22．【解析】根据题意当时为奇函数则故答案为23．6【解析】【分析】利用定义证明函数的奇偶性以及单调性结合题设条件列出方程组求解即可【详解】则函数在R上为奇函数设即结合奇函数的性质得函数在R上为减函数并且由题意可知：由于函数在R上封闭故有解得：所以24．【解析】【分析】由已知可构造有两不同实数根利用二次方程解出的范围即可【详解】为增函数且时函数的值域也为相当于方程有两不同实数根有两不同实根即有两解整理得：令有两个不同的正数根只需即可解得故答案为：【25．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没三、解答题26．28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 019)＝－2. 故选A2．C解析：C 【解析】 【分析】利用指数函数2xy =与对数函数3log y x =的性质即可比较a ，b ，c 的大小． 【详解】1.30.7 1.4382242c log a b =<<===<，c a b ∴<<． 故选：C ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．C解析：C【分析】利用偶函数的性质将不等式()()lg 1f x f <-变形为()()lg 1f x f <，再由函数()y f x =在[)0,+∞上的单调性得出lg 1x <，利用绝对值不等式的解法和对数函数的单调性即可求出结果. 【详解】由于函数()y f x =是偶函数，由()()lg 1f x f <-得()()lg 1f x f <， 又函数()y f x =在[)0,+∞上是增函数，则lg 1x <，即1lg 1x -<<，解得11010x <<. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，同时也涉及了对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4．A解析：A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接比较. 【详解】 解：0.1x 1.11.11=>=， 1.100y 0.90.91<=<=，22334z log log 103=<<，x ∴，y ，z 的大小关系为x y z >>． 故选A ． 【点睛】本题考查三个数的大小的比较，利用指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．B解析：B 【解析】 由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍), 即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.6．C解析：C【分析】首先将b 表示为对数的形式，判断出0b <，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较32与,a c 的大小，即可得到,,a b c 的大小关系. 【详解】因为154b=，所以551log log 104b =<=，又因为(133331log log 4log 3,log 4a ==∈，所以31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又因为131133336,82c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以c a b >>. 故选：C. 【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.7．B解析：B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．8．C解析：C 【解析】 【分析】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根，进而可得答案. 【详解】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，如图所示，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根11t =-，214t =，34t =， 则()1f x =- 有一个解，()14f x =有一个解，()4f x =有三个解， 故方程()()3ff x =有5个解.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方程()3f t =的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.9．D解析：D 【解析】试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log n a a M n M =.10．A解析：A 【解析】 【分析】由已知可知，()f x 在()1，-+∞上单调递减，结合二次函数的开口方向及对称轴的位置即可求解． 【详解】∵二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，∴()f x 在()1，-+∞上单调递减， ∵对称轴12x a=， ∴0112a a<⎧⎪⎨≤-⎪⎩，解可得102a -≤<，故选A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及函数单调性的定义的简单应用，解题中要注意已知不等式与单调性相互关系的转化，属于中档题.11．B解析：B 【解析】 【分析】当07x <≤时，()f x 为单调增函数，且(2)0f =，则()0f x >的解集为(]2,7，再结合()f x 为奇函数，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-⋃．【详解】当07x <≤时，()26xf x x =+-，所以()f x 在(0,7]上单调递增，因为2(2)2260f =+-=，所以当07x <≤时，()0f x >等价于()(2)f x f >，即27x <≤，因为()f x 是定义在[7,7]-上的奇函数，所以70x -≤< 时，()f x 在[7,0)-上单调递增，且(2)(2)0f f -=-=，所以()0f x >等价于()(2)f x f >-，即20x -<<，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-⋃ 【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题．应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反．12．A解析：A 【解析】因为00.31,1e <，所以0.3log 0c e =<，由于0.30.3031,130log 31a b ππ>⇒=><<⇒<=<，所以a b c >>，应选答案A ．13．B解析：B 【解析】 【分析】根据零点存在定理判断023x <<，从而可得结果. 【详解】 因为()2ln f x x x=-在定义域内递增， 且()2ln 210f =-<，()23ln 303f =->， 由零点存在性定理可得023x <<，根据[]x 表示不超过实数x 的最大整数可知()02g x =， 故选：B. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.14．C解析：C 【解析】试题分析：根据补集的运算得{}{}{}{}2,4,6,()2,4,61,2,41,2,4,6UP UP Q =∴⋃=⋃=．故选C.【考点】补集的运算.【易错点睛】解本题时要看清楚是求“⋂”还是求“⋃”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．15．C解析：C 【解析】 【分析】由()()2g x f x =-是奇函数，可得()f x 的图像关于()2,0-中心对称，再由已知可得函数()f x 的三个零点为-4，-2，0，画出()f x 的大致形状，数形结合得出答案. 【详解】由()()2g x f x =-是把函数()f x 向右平移2个单位得到的，且()()200g g ==，()()()4220f g g -=-=-=，()()200f g -==，画出()f x 的大致形状结合函数的图像可知，当4x ≤-或2x ≥-时，()0xf x ≤，故选C. 【点睛】本题主要考查了函数性质的应用，作出函数简图，考查了学生数形结合的能力，属于中档题.二、填空题16．1【解析】故答案为 解析：1 【解析】155325a b c ===因为，1553log 25,log 25,log 25a b c ∴===，252525111log 15log 5log 3a b c∴+-=+-25log 251==，故答案为1. 17．【解析】【分析】令可得从而将问题转化为和的图象有两个不同交点作出图形可求出答案【详解】由题意令则则和的图象有两个不同交点作出的图象如下图是过点的直线当直线斜率时和的图象有两个交点故答案为：【点睛】本 解析：0,1【解析】 【分析】 令0f x，可得1mx x =-，从而将问题转化为y mx =和1y x =-的图象有两个不同交点，作出图形，可求出答案. 【详解】由题意，令()10f x mx x =--=，则1mx x =-， 则y mx =和1y x =-的图象有两个不同交点， 作出1y x =-的图象，如下图，y mx =是过点()0,0O 的直线，当直线斜率()0,1m ∈时，y mx =和1y x =-的图象有两个交点. 故答案为：0,1.【点睛】本题考查函数零点问题，考查函数图象的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.18．3【解析】【分析】根据幂函数的概念列式解得或然后代入解析式看指数的符号负号就符合正号就不符合【详解】因为函数是幂函数所以即所以所以或当时其图象不过原点符合题意;当时其图象经过原点不合题意综上所述:故解析：3 【解析】 【分析】根据幂函数的概念列式解得3m =,或6m =,然后代入解析式,看指数的符号,负号就符合,正号就不符合. 【详解】因为函数()22279919mm y m m x--=-+是幂函数,所以29191m m -+=,即29180m m -+=,所以(3)(6)0m m --=, 所以3m =或6m =-, 当3m =时,12()f x x-=,其图象不过原点,符合题意;当5m =时,21()f x x =,其图象经过原点,不合题意. 综上所述:3m =. 故答案为:3 【点睛】本题考查了幂函数的概念和性质,属于基础题.19．【解析】【分析】可求出时函数值的取值范围再由奇函数性质得出时的范围合并后可得值域【详解】设当时所以所以故当时因为是定义在上的奇函数所以当时故函数的值域是故答案为：【点睛】本题考查指数函数的性质考查函解析：11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】可求出0x ≥时函数值的取值范围，再由奇函数性质得出0x ≤时的范围，合并后可得值域． 【详解】设12x t =，当0x ≥时，21x ≥，所以01t <≤，221124y t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭， 所以104y ≤≤，故当0x ≥时，()10,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以当0x <时，()1,04f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，故函数()f x 的值域是11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故答案为：11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查指数函数的性质，考查函数的奇偶性，求奇函数的值域，可只求出0x ≥时的函数值范围，再由对称性得出0x ≤时的范围，然后求并集即可．20．【解析】【分析】根据题意以及对数的运算性质得出进而可由基本不等式可得出从而可得出函数的值域【详解】由题意即由题意知由基本不等式得（当且仅当时取等号）所以（当且仅当时取等号）即所以的值域为故答案为：【 解析：[)2,+∞【解析】【分析】根据题意以及对数的运算性质得出()21log 2F x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，进而可由基本不等式可得出124x x ++≥，从而可得出函数()F x 的值域. 【详解】由题意，()()()()22212log 1log F x f x f x x x =+-=+-，即()222211log log 2x x F x x x x ++⎛⎫==++⎪⎝⎭，由题意知，0x >，由基本不等式得12x x +≥=（当且仅当1x =时取等号）， 所以124x x ++≥（当且仅当1x =时取等号），即221log 2log 42x x ⎛⎫++≥= ⎪⎝⎭，所以()F x 的值域为[)2,+∞. 故答案为：[)2,+∞. 【点睛】本题考查了函数值域的定义及求法，对数的运算性质，基本不等式的运用，考查了计算能力，属于基础题.21．【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出的图象利用数形结合进行求解即可【详解】偶函数的图象过点且在区间上单调递减函数的图象过点且在区间上单调递增作出函数的图象大致如图：则不等式等价为或即或即 解析：()(),20,2-∞-⋃【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象，利用数形结合进行求解即可． 【详解】偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，∴函数()f x 的图象过点()2,0-，且在区间(),0-∞上单调递增，作出函数()f x 的图象大致如图：则不等式()0xf x >等价为()00x f x >⎧>⎨⎩或()00x f x <⎧<⎨⎩，即02x <<或2x <-，即不等式的解集为()(),20,2-∞-⋃， 故答案为()(),20,2-∞-⋃ 【点睛】本题主要考查不等式的解集的计算，根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象是解决本题的关键．22．【解析】根据题意当时为奇函数则故答案为 解析：15-【解析】根据题意，当0x <时，()()(),f x g x f x =为奇函数，()()()()()()()()()211113(323)15f g f f f f f f f -=-=-=-=-=-+⨯=-，则故答案为15-.23．6【解析】【分析】利用定义证明函数的奇偶性以及单调性结合题设条件列出方程组求解即可【详解】则函数在R 上为奇函数设即结合奇函数的性质得函数在R 上为减函数并且由题意可知：由于函数在R 上封闭故有解得：所以解析：6 【解析】 【分析】利用定义证明函数()y f x =的奇偶性以及单调性，结合题设条件，列出方程组，求解即可. 【详解】44()()11x xf x f x x x--=-==-+-+，则函数()f x 在R 上为奇函数设120x x ≤<，4()1xf x x=-+()()()2112121212444()()01111x x x x f x f x x x x x --=-+=>++++，即12()()f x f x > 结合奇函数的性质得函数()f x 在R 上为减函数，并且(0)0f = 由题意可知：0,0a b <>由于函数()f x 在R 上封闭，故有4141()()a bab f a b f b aa b-=-⎧⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩-=+⎪⎪⎩ ，解得：3,3a b =-=所以6b a -= 故答案为：6 【点睛】本题主要考查了利用定义证明函数的奇偶性以及单调性，属于中档题.24．【解析】【分析】由已知可构造有两不同实数根利用二次方程解出的范围即可【详解】为增函数且时函数的值域也为相当于方程有两不同实数根有两不同实根即有两解整理得：令有两个不同的正数根只需即可解得故答案为：【解析：10,4⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】由已知可构造()2log xa a t x +=有两不同实数根，利用二次方程解出t 的范围即可.【详解】()2()log x a f x a t =+为增函数，且[],x m n ∈时，函数()()2log xa f x at =+的值域也为[],m n ，(),()f m m f n n ∴==，∴相当于方程()f x x =有两不同实数根,()2log x a a t x ∴+=有两不同实根，即2x x a a t =+有两解， 整理得：20x x a a t -+=， 令,0xm a m => ，20m m t ∴-+=有两个不同的正数根， ∴只需1400t t ∆=->⎧⎨>⎩即可，解得104t <<，故答案为：10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性，对数方程，一元二次方程有两正根，属于中档题.25．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没解析：{|2m m >或2}3m <- 【解析】 【分析】分类讨论m 的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m 的范围. 【详解】解：∵函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则函数2(2)2y mx m x m =+-+-有最大值或最小值，且y 取最值时，0y >.当0m =时，22y x =--，由于y 没有最值，故()f x 也没有最值，不满足题意. 当0m >时，函数y 有最小值，没有最大值，()f x 有最大值，没有最小值.故y 的最小值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->，求得 2m >；当0m <时，函数y 有最大值，没有最小值，()f x 有最小值，没有最大值.故y 的最大值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->，求得23m <-. 综上，m 的取值范围为{|2m m >或2}3m <-. 故答案为：{|2m m >或2}3m <-. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题.三、解答题 26．（1）2()3318f x x x =--+（2）[12,18]【解析】 【分析】 【详解】 （1）832,323,5b a aba b a a----+=--⨯=∴=-= ,()23318f x x x =--+ （2）因为()23318f x x x =--+开口向下，对称轴12x =- ,在[]0,1单调递减，所以()()max min 0,18,1,12x f x x f x ====当当 所以函数()f x 的值域为[12,18] 【点睛】本题将函数的零点、解析式、最大小值等有关知识与性质有机整合在一起，旨在考查函数的表示、零点、最大小值等基础知识及综合运用．求解时先依据函数零点与方程的根之间的关系，求出函数解析式中的参数的值；解答第二问时，借助二次函数的图像和性质，运用数形结合的数学思想求出最大小值从而使得问题获解．27．（Ⅰ）{}1（Ⅱ）13a -<<-【解析】 【分析】（Ⅰ）将1a =代入直接求解即可；（Ⅱ）设2x t =，得到()()2110t a t a +-++=在()0,+∞有两个不同的解，利用二次函数的性质列不等式组求解即可. 【详解】（Ⅰ）当1a =时，()()2log 4223xxf x =++=，所以34222x x ++=， 所以4260x x +-=，因此()()23220xx+-=，得22x = 解得1x =， 所以解集为{}1．（Ⅱ）因为方程()2log 421x xa a x +⋅++=有两个不同的实数根， 即4212x x x a a +⋅++=，设2x t =，()()2110t a t a +-++=在()0,+∞有两个不同的解，令()()()211f t t a t a =+-++，由已知可得()()()2001021410f a a a ⎧>⎪-⎪->⎨⎪⎪=--+>⎩解得13a -<<- 【点睛】本题主要考查了对数函数与指数函数的复合函数的处理方式，考查了函数与方程的思想，属于中档题.28．(1)2()(1)f x x =+;(2)存在,1-. 【解析】 【分析】（1）由(3)(1)f f -=,知此二次函数图象的对称轴为1x =-, 由(1)0f -=可设出抛物线的解析式为2()(1)f x a x =+，再利用(1)4f =求得a 的值；（2）利用零点存在定理，证明(0)(1)0h h ⋅<即可得到n 的值. 【详解】(1)由(3)(1)f f -=,知此二次函数图象的对称轴为1x =-, 又因为(1)0f -=,所以(1,0)-是()f x 的顶点, 所以设2()(1)f x a x =+，因为(1)4f =,即2(11)4a +=，所以设1a = 所以2()(1)f x x =+(2)由(1)知2()(1)ln(||1)h x x x =+-+因为2(1)(11)ln(|1|1)ln(2)0h -=-+--+=-<2(0)(01)ln(|0|1)10h =+-+=>即(0)(1)0h h ⋅<因为函数()()ln(||1)h x f x x =-+在R 上连续不断, 由零点存在性定理,所以函数()h x 在(1,0)-上存在零点. 所以存在1n =-使得函数()h x 在区间(,1)n n +内存在零点. 【点睛】本题考查一元二次函数的解析式、零点存在定理，考查函数与方程思想考查逻辑推理能力和运算求解能力.29．（1）87万元；（2）甲合作社投入16万元，乙合作社投入56万元 【解析】 【分析】（1）先求出36x =，再求总收益；（2）（2）设甲合作社投入x 万元(1557)x ≤≤，乙合作社投入72x -万元，再对x 分类讨论利用函数求出如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大.【详解】（1）两个合作社的投入相等，则36x =， 1(36)436253620872f =++⨯+=（万元） （2）设甲合作社投入x 万元(1557)x ≤≤，乙合作社投入72x -万元.当1536x ≤≤时，11()425(72)2048122f x x x x x =++-+=-++， 令t x =，得156t ≤≤，则总收益2211()481(4)8922g t t t t =-++=--+， 当4t =即16x =时，总收益取最大值为89；当3657x <≤时，11()49(72)2010522f x x x =+-+=-+， ()f x 在(36,57]上单调递减，所以()(36)87f x f <=.因为8987>，所以在甲合作社投入16万元，乙合作社投入56万元时，总收益最大，最大总收益为89万元.【点睛】本题主要考查函数的应用和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和应用能力.30．见解析【解析】【分析】根据题意，在数轴上表示出集合,A B ，再根据集合的运算，即可得到求解.【详解】解：如图所示．∴A ∪B ＝{x |2<x <7}，A ∩B ＝{x |3≤x <6}．∴∁R (A ∪B )＝{x |x ≤2或x ≥7}，∁R (A ∩B )＝{x |x ≥6或x <3}．又∵∁R A ＝{x |x <3或x ≥7}，∴(∁R A )∩B ＝{x |2<x <3}．又∵∁R B ＝{x |x ≤2或x ≥6}，∴A∪(∁R B)＝{x|x≤2或x≥3}．【点睛】本题主要考查了集合的交集、并集与补集的混合运算问题，其中解答中正确在数轴上作出集合,A B，再根据集合的交集、并集和补集的基本运算求解是解答的关键，同时在数轴上画出集合时，要注意集合的端点的虚实，着重考查了数形结合思想的应用，以及推理与运算能力.。
2024年上海市曹杨第二中学高一上学期期末考试数学试卷含答案
上海市曹杨二中2023学年度第一学期高一年级期终考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}13,5A =,，则A =____________.2.函数()f x =的定义域为_________.3.函数21xy =-的反函数为____________.4.已知扇形的弧长为4cm ，面积为24cm ，则该扇形的圆心角的大小为___________.5.已知正数a 、b 满足a +b =1，则a ·b 的最大值为_____．6.已知πsin sin8x =，且π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则x =___________.7.已知lg 2a =，103b=，则24log 5可以用a 、b 表示为_________.8.已知a ∈R ，()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当0x <时，()3axf x =.若()3log 24f =，则=a _________.9.已知a ∈R ，若函数()3312,1,1a x a x y x x ⎧-+>=⎨≤⎩的值域为R ，则a 的取值范围是________.10.对于实数x ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，并记{}[]x x x =-，例如{}10=，{}1.230.23=.则关于x 的方程{}10x x ⋅=在区间[]0,2024上解的个数为_________.11.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)0f -=，若对任意的()12,,0x x ∈-∞，当12x x ≠时，都有112212()()x f x x f x x x ⋅-⋅<-成立，则不等式()0f x <的解集为_____．12.已知b ∈R ，设函数()2log 2f x x x b=++在区间[](),10t t t +>上的最大值为()t M b .若(){}2tb M b ≥=R ，则正实数t 的最大值为_________.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分.13.若0a b <<，则下列不等式中不成立的是（）A.11a b >； B.11a b a>-；C.a b >；D.22a b >．14.已知0a >且1a ≠，则“2a >”是“函数()2log a y a x =-是严格增函数”的（）.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C .充要条件D.既非充分条件又非必要条件15.设方程2|lg |x x -=的两个根为12,x x ，则A.120x x < B.121=x x C.121x x > D.1201x x <<16.已知函数()y f x =满足()()111f x f x +=+，且当[]0,1x ∈时，()f x x =.若在区间(]1,1-上关于x 的方程()0f x mx m --=有且仅有一解，则实数m 的取值范围是（）.A.1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭B.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.{}10,2∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.已知1a ≤，设集合111A x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，集合()(){}210B x x a x a =--->.（1）分别求集合A 和B ；（2）若A B A = ，求a 的取值范围.18.（1）已知m ∈R ，若sin α、cos α是关于x 的一元二次方程()210x mx m -++=的两实根，求m 的值；（2）已知()0,πα∈，且1sin cos 3αα-=，求sin cos αα及()11πcos 2πcos 2αα++⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.19.某机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行试验，研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同：若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度1y （单位：毫克/升）与时间t （单位：小时）满足关系式16y at =-（0a >，a 为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度2y （单位：毫克/升）与时间t （单位：小时）满足关系式22014614t t y t t ≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩，，，现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和.（1）若1a =，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；（2）若小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于6毫克/升，求正数a 的取值范围.20.已知k ∈R ，设()()14122x xf x k k k =⋅+-⋅++.（1）若0k =，求函数()y f x =的值域；（2）已知0k <，若函数()y f x =的最大值为12，求k 的值；（3）已知01k <<，若存在两个不同的正实数m 、n ，使得当函数()y f x =的定义域为[],m n 时，其值域为1122m n ++⎡⎤⎣⎦，，求k 的取值范围.21.已知函数()y f x =的定义域为D .若存在实数a ，使得对于任意1x D ∈，都存在2x D ∈，使得()12x f x a +=，则称函数()y f x =具有性质()P a .（1）分别判断：2x y =及21y x =+是否具有性质()0P ；（结论不需要证明）（2）若函数()y f x =的定义域为D ，且具有性质()1P ，证明：“1D ∈”是“函数()y f x =存在零点”的充分非必要条件；（3）已知t ∈R ，设()22g x tx x =+，若存在唯一的实数a ，使得函数()y g x =，[]0,2x ∈具有性质()P a ，求t 的值.上海市曹杨二中2023学年度第一学期高一年级期终考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）【1题答案】{}2,4【2题答案】【3题答案】()()2log 11y x x =+>-【4题答案】2【5题答案】14【6题答案】7π8【7题答案】13a a b-+【8题答案】2-【9题答案】1235a <≤【10题答案】2014【11题答案】()()101-∞-⋃，，；【12题答案】13二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分.【13题答案】B 【14题答案】A 【15题答案】D 【16题答案】D三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【17题答案】（1）{}01A x x =<<，{1B x x a =>+或}2x a <（2）(]1,1,12⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦【18题答案】（1）1m =-；（2）49；4【19题答案】（1）当2t =时血液中药物的浓度最高，最大值为8（2）50,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【20题答案】（1）1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭（2）1k =-（3）13,23⎛⎫⎪⎪⎝⎭【21题答案】（1）2x y =不具有性质()0P ，21y x =+具有性质()0P （3）12-或354--。
2020-2021上海曹杨第二中学附属学校高中必修一数学上期末第一次模拟试卷(附答案)
2020-2021上海曹杨第二中学附属学校高中必修一数学上期末第一次模拟试卷(附答案)一、选择题1．已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>2．已知函数3()3(,)f x ax bx a b =++∈R .若(2)5f =，则(2)f -=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<4．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ） A ．12BC．2D ．25．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg /mL ．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg 0.2≈﹣0.7，1g 0.3≈﹣0.5，1g 0.7≈﹣0.15，1g 0.8≈﹣0.1） A ．1B ．3C ．5D ．76．已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<7．若函数()2log ,?0,? 0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1eB ．eC ．21e D ．2e8．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为0ktP P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8B ．9C ．10D ．149．已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞， 10．已知函数()ln f x x =，2()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11．若函数()[)[]1,1,0{44,0,1xx x f x x ⎛⎫∈- ⎪=⎝⎭∈，则f (log 43)＝( ) A ．13B ．14C ．3D ．412．对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()152x -三个值中的最小值，则()f x （ ）A ．无最大值，无最小值B ．有最大值2，最小值1C ．有最大值1，无最小值D ．有最大值2，无最小值二、填空题13．已知幂函数(2)my m x =-在(0,)+∞上是减函数，则m =__________．14．已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x 都有21()213xf f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦，则52(log )f =__________.15．已知函数2,1,(){1,1,x ax x f x ax x -+≤=->若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 ．16．已知函数2()log f x x =，定义()(1)()f x f x f x ∆=+-，则函数()()(1)F x f x f x =∆++的值域为___________.17．已知函数()()g x f x x =-是偶函数，若(2)2f -=，则(2)f =________18．若函数()()22f x x x a x a =+--在区间[]3,0-上不是单调函数，则实数a 的取值范围是______. 19．已知函数1,0()ln 1,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解()a b c a b c <<、、，则()a b c +的取值范围为______；20．已知函数()f x 为R 上的增函数，且对任意x ∈R 都有()34x f f x ⎡⎤-=⎣⎦，则()4f =______. 三、解答题21．已知函数31()31x xf x -=+. （1）证明：()f x 为奇函数；（2）判断()f x 的单调性，并加以证明； （3）求()f x 的值域.22．已知函数()221f x x ax =-+满足()()2f x f x =-.(1)求a 的值； (2)若不等式()24x xf m ≥对任意的[)1,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围；(3)若函数()()()22log log 1g x f x k x =--有4个零点，求实数k 的取值范围. 23．已知集合{}{}{}|2318,|215,|1A x x B x x C x x a x a =≤-≤=-<=≤≥+或． （1）求,A B A B I U ；（2）若()R C C A ⊆，求实数a 的取值范围．24．已知函数2()()21xx a f x a R -=∈+是奇函数.（1）求实数a 的值；（2）用定义法证明函数()f x 在R 上是减函数；（3）若对于任意实数t ，不等式()2(1)0f t kt f t -+-≤恒成立，求实数k 的取值范围.25．记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．（1）若，求集合； （2）若且，求的取值范围．26．已知函数()()()9log 91xkx R x k f =++∈是偶函数.（1）求k 的值； （2）若不等式()102x a f x --≥对(],0x ∈-∞恒成立，求实数a 的取值范围. （注：如果求解过程中涉及复合函数单调性，可直接用结论，不需证明）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：2log 1a e =>，()21ln 20,1log b e ==∈，12221log log 3log 3c e ==>， 据此可得：c a b >>. 本题选择D 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．2．D解析：D 【解析】 【分析】令()3g x ax bx =+，则()g x 是R 上的奇函数，利用函数的奇偶性可以推得(2)f -的值．【详解】令3()g x ax bx =+ ，则()g x 是R 上的奇函数，又(2)3f =，所以(2)35g +=， 所以(2)2g =，()22g -=-，所以(2)(2)3231f g -=-+=-+=，故选D. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．解析：A 【解析】 【分析】 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.4．A解析：A 【解析】 【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数， 但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ， 故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.5．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型0.70.2x ≤ 求【详解】因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg /mL , x 小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg /mL 的，由题意知100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车， 所以()3002%1.x-<，0.70.2x <，两边取对数得，lg 0.7lg 0.2x < ，lg 0.214lg 0.73x >= ，所以至少经过5个小时才能驾驶汽车. 故选：C 【点睛】本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于基础题.6．D解析：D 【解析】 【分析】可以得出11ln 32,ln 251010a c ==，从而得出c ＜a ，同样的方法得出a ＜b ，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】()ln 2ln 322210a f ===, ()1ln 255ln 5510c f ===,根据对数函数的单调性得到a>c, ()ln 333b f ==,又因为()ln 2ln8226a f ===，()ln 3ln 9336b f ===，再由对数函数的单调性得到a<b,∴c ＜a ，且a ＜b ；∴c ＜a ＜b ． 故选D ． 【点睛】考查对数的运算性质，对数函数的单调性．比较两数的大小常见方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果.7．A解析：A 【解析】 【分析】直接利用分段函数解析式，认清自变量的范围，多重函数值的意义，从内往外求，根据自变量的范围，选择合适的式子求解即可. 【详解】因为函数2log ,0(),0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，因为102>，所以211()log 122f ==-，又因为10-<，所以11(1)f ee--==， 即11(())2f f e=，故选A. 【点睛】该题考查的是有关利用分段函数解析式求函数值的问题，在解题的过程中，注意自变量的取值范围，选择合适的式子，求解即可，注意内层函数的函数值充当外层函数的自变量.8．C解析：C 【解析】 【分析】根据已知条件得出415ke-=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200kt e -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值. 【详解】由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0ktP P e -=⋅，所以()400180%kP Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =， 则由000.5%ktP P e -=，得ln 5ln 0.0054t =-， 所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=， 故正整数n 的最小值为14410-=.故选：C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.9．D解析：D 【解析】试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围． 详解：f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0； ∴f （x ）在R 上单调递增；由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1； 即对任意θ∈0,2π⎛⎤⎥⎝⎦都有m ﹣1＜sinθ成立；∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.10．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】因为函数()ln f x x =，()23g x x =-+，可得()()•f x g x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除,A D ；又()0,1x ∈时，()()0,0f x g x <>,所以()()•0f x g x <,排除B , 故选C. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.11．C解析：C 【解析】 【分析】根据自变量范围代入对应解析式，化简得结果.【详解】f (log 43)＝log434=3,选C. 【点睛】本题考查分段函数求值，考查基本求解能力，属基础题.12．D解析：D 【解析】 【分析】由题意画出函数图像，利用图像性质求解 【详解】画出()f x 的图像，如图（实线部分），由()1152y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得()1,2A ． 故()f x 有最大值2，无最小值 故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的图像及性质，考查对最值的理解，属中档题．二、填空题13．-3【解析】【分析】根据函数是幂函数可求出m 再根据函数是减函数知故可求出m 【详解】因为函数是幂函数所以解得或当时在上是增函数；当时在上是减函数所以【点睛】本题主要考查了幂函数的概念幂函数的增减性属于解析：-3 【解析】 【分析】根据函数是幂函数可求出m,再根据函数是减函数知0m <，故可求出m. 【详解】 因为函数是幂函数所以||21m -=，解得3m =-或3m =. 当3m =时，3y x =在(0,)+∞上是增函数； 当3m =-时，y x =在(0,)+∞上是减函数，所以3m =-. 【点睛】本题主要考查了幂函数的概念，幂函数的增减性，属于中档题.14．【解析】【分析】由已知可得＝a 恒成立且f （a ）＝求出a ＝1后将x ＝log25代入可得答案【详解】∵函数f （x ）是R 上的单调函数且对任意实数x 都有f ＝∴＝a 恒成立且f （a ）＝即f （x ）＝﹣+af （a ）解析：23 【解析】 【分析】由已知可得()221xf x ++＝a 恒成立，且f （a ）＝13，求出a ＝1后，将x ＝log 25代入可得答案． 【详解】∵函数f （x ）是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有f[()221x f x ++]＝13， ∴()221xf x ++＝a 恒成立，且f （a ）＝13， 即f （x ）＝﹣x 221++a ，f （a ）＝﹣x221++a ＝13， 解得：a ＝1，∴f （x ）＝﹣x221++1， ∴f （log 25）＝23， 故答案为：23． 【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的求法和函数求值的问题，正确理解对任意实数x ，都有()21213x f f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦成立是解答的关键，属于中档题．15．【解析】【分析】【详解】故答案为 解析：【解析】 【分析】 【详解】故答案为.16．【解析】【分析】根据题意以及对数的运算性质得出进而可由基本不等式可得出从而可得出函数的值域【详解】由题意即由题意知由基本不等式得（当且仅当时取等号）所以（当且仅当时取等号）即所以的值域为故答案为：【 解析：[)2,+∞【解析】 【分析】根据题意以及对数的运算性质得出()21log 2F x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，进而可由基本不等式可得出124x x ++≥，从而可得出函数()F x 的值域. 【详解】由题意，()()()()22212log 1log F x f x f x x x =+-=+-，即()222211log log 2x x F x x x x ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭， 由题意知，0x >，由基本不等式得1122x x x x+≥⋅=（当且仅当1x =时取等号）， 所以124x x ++≥（当且仅当1x =时取等号），即221log 2log 42x x ⎛⎫++≥= ⎪⎝⎭，所以()F x 的值域为[)2,+∞. 故答案为：[)2,+∞. 【点睛】本题考查了函数值域的定义及求法，对数的运算性质，基本不等式的运用，考查了计算能力，属于基础题.17．6【解析】【分析】根据偶函数的关系有代入即可求解【详解】由题：函数是偶函数所以解得：故答案为：6【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求函数值难度较小关键在于根据函数奇偶性准确辨析函数值的关系解析：6 【解析】 【分析】根据偶函数的关系有()(2)2g g =-，代入即可求解. 【详解】由题：函数()()g x f x x =-是偶函数， (2)(2)24g f -=-+=，所以(2)(2)24g f =-=，解得：(2)6f =. 故答案为：6 【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求函数值，难度较小，关键在于根据函数奇偶性准确辨析函数值的关系.18．【解析】【分析】将函数转化为分段函数对参数分类讨论【详解】转化为分段函数：为更好说明问题不妨设：其对称轴为；其对称轴为①当时因为的对称轴显然不在则只需的对称轴位于该区间即解得：满足题意②当时此时函数 解析：()()9,00,3-⋃【解析】 【分析】将函数转化为分段函数，对参数a 分类讨论. 【详解】()()22f x x x a x a =+--，转化为分段函数： ()222232,2,x ax a x a f x x ax a x a ⎧-+≥=⎨+-<⎩. 为更好说明问题，不妨设：()2232h x x ax a =-+，其对称轴为3a x =； ()222g x x ax a =+-，其对称轴为x a =-.①当0a >时， 因为()h x 的对称轴3ax =显然不在[]3,0-，则 只需()g x 的对称轴位于该区间，即()3,0a -∈-，解得：()0,3a ∈，满足题意. ②当0a =时，()223,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，此时函数在区间[]3,0-是单调函数，不满足题意. ③当0a <时，因为()g x 的对称轴x a =-显然不在[]3,0- 只需()h x 的对称轴位于该区间即可，即()3,03a∈- 解得：()9,0a ∈-，满足题意. 综上所述：()()9,00,3a ∈-⋃. 故答案为：()()9,00,3-⋃. 【点睛】本题考查分段函数的单调性，难点在于对参数a 进行分类讨论.19．【解析】【分析】画出的图像根据图像求出以及的取值范围由此求得的取值范围【详解】函数的图像如下图所示由图可知令令所以所以故答案为：【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质考查数形结合的数学思想方法属解析：)22,2e e ⎡--⎣【解析】 【分析】画出()f x 的图像，根据图像求出+a b 以及c 的取值范围，由此求得()a b c +的取值范围. 【详解】函数()f x 的图像如下图所示，由图可知1,22a ba b +=-+=-.令2ln 11,x x e -==，令ln 10,x x e -==，所以2e c e <≤，所以)2()22,2a b c c e e ⎡+=-∈--⎣. 故答案为：)22,2e e ⎡--⎣【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.20．【解析】【分析】采用换元法结合函数的单调性计算出的解析式从而即可求解出的值【详解】令所以又因为所以又因为是上的增函数且所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查用换元法求解函数的解析式并求值难度一般已知 解析：82【解析】 【分析】采用换元法结合函数的单调性计算出()f x 的解析式，从而即可求解出()4f 的值. 【详解】令()3xf x t -=，所以()3xf x t =+，又因为()4f t =，所以34t t +=，又因为34ty t =+-是R 上的增函数且1314+=，所以1t =， 所以()31xf x =+，所以()443182f =+=.故答案为：82. 【点睛】本题考查用换元法求解函数的解析式并求值，难度一般.已知()()f g x 的解析式，可考虑用换元的方法（令()g x t =）求解出()f x 的解析式.三、解答题21．（1）证明见详解；（2）函数()f x 在R 上单调递，证明见详解；（3）(1,1)- 【解析】 【分析】（1）判断()f x 的定义域，用奇函数的定义证明可得答案；（2）判断()f x 在R 上单调递增，用函数单调性的定义证明可得答案；（2）由312()13131x x x f x -==-++，可得30x＞，可得231x +及231x-+的取值范围，可得()f x 的值域.【详解】证明：（1）易得函数()f x 的定义域为R ,关于原点对称，且3113()()3131x xx x f x f x -----===-++，故()f x 为奇函数；（2）函数()f x 在R 上单调递增，理由如下：在R 中任取12x x ＜，则1233x x -＜0，131x +＞0，231x +＞0，可得1212121212123131222(33)()()(1)(1)31313131(31)(31)x x x x x x x x x x f x f x ----=-=---=++++++＜0 故12()()0f x f x -＜，函数()f x 在R 上单调递增；（3）由312()13131x x x f x -==-++，易得30x ＞，311x +＞，故231x +0＜＜2，231x +-2＜-＜0，故2131x-+-1＜＜1， 故()f x 的值域为(1,1)-.【点睛】本题主要考查函数单调性及奇偶性的判断与证明及求解函数的值域，综合性大，属于中档题.22．(1)1；(2)1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；(3)1k >-.【解析】 【分析】（1）由题得()f x 的图像关于1x =对称，所以1a =；（2）令2x t =，则原不等式可化为()2112m t t ⎛⎫≤-≥ ⎪⎝⎭恒成立，再求函数的最值得解；（3）令2log (0)t x t =≥，可得11t =或21t k =+，分析即得解.【详解】(1)∵()()2f x f x =-，∴()f x 的图像关于1x =对称，∴1a =.(2)令2(2)xt t =≥，则原不等式可化为()2112m t t ⎛⎫≤-≥ ⎪⎝⎭恒成立. ∴2min 1114m t ⎛⎫≤-= ⎪⎝⎭，∴m 的取值范围是1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.(3)令2log (0)t x t =≥，则()y g x =可化为()()()22111y t k t k t t k =-+++=---，由()()110t t k ---=可得11t =或21t k =+，∵()y g x =有4个零点，121=|log |t x =有两个解， ∴221=|log |t k x =+有两个零点，∴10,1k k +>∴>-. 【点睛】本题主要考查二次函数的对称性的应用，考查不等式的恒成立问题和对数函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 23．（1）{}{}|13,|3A B x x A B x x ⋂=≤<⋃=≤；（2）[]1,2a ∈ 【解析】 【分析】（1）首先求得[]()1,3,,3A B ==-∞，由此求得,A B A B ⋂⋃的值.（2）(),1R C C a a =+，由于()[],11,3a a +⊆，故113a a ≥⎧⎨+≤⎩，解得[]1,2a ∈.【详解】解：{}{}|13,|3A x x B x x =≤≤=<， （1）{}{}|13,|3A B x x A B x x ⋂=≤<⋃=≤；（2）∵{}|1C x x a x a =≤≥+或，∴{}|1R C C x a x a =<<+， ∵()R C C A ⊆，∴113a a ≥⎧⎨+≤⎩，∴[]1,2a ∈．24．(1) 1a =;(2)证明见解析；(3) 13k k ≥≤-或 【解析】 【分析】（1）根据函数是奇函数，由(0)0f =，可得a 的值； （2）用定义法进行证明，可得函数()f x 在R 上是减函数；（3）根据函数的单调性与奇偶性的性质，将不等式()2(1)0f t kt f t -+-≤进行化简求值，可得k 的范围. 【详解】解：(1)由函数2()()21xx a f x a R -=∈+是奇函数，可得：(0)0f =，即：1(0)02a f -==，1a =； （2）由(1)得：12()21xx f x -=+，任取12x x R ∈,且12x x ＜，则122112*********(22)()()=2121(21)(21)xx x x x x x x f x f x -----=++++， Q 12x x ＜，∴21220x x -＞，即：2112122(22)()()=(21)(201)x x x x f x f x --++＞， 12()()f x f x ＞，即()f x 在R 上是减函数；（3）Q ()f x 是奇函数，∴不等式()2(1)0f t kt f t -+-≤恒成立等价为()2(1)(1)f t kt f t f t -≤--=-恒成立，Q ()f x 在R 上是减函数，∴21t kt t -≥-,2(1)10t k t -++≥恒成立，设2()(1)1g t t k t =-++，可得当0∆≤时，()0g t ≥恒成立， 可得2(1)40k +-≥，解得13k k ≥≤-或， 故k 的取值范围为：13k k ≥≤-或. 【点睛】本题主要考查函数单调性的判断与证明及函数恒成立问题，体现了等价转化的数学思想，属于中档题. 25．（1）（2）【解析】 试题分析：（1）当时，利用分式不等式的解法，求得；（2）根据一元二次不等式的求解方法，解得，由于，故.，则.试题解析：（1）当时， 原不等式为：集合（2）易知：，；由，则，∴的取值范围为26．（1）12k =-（2）(]9,log 2-∞ 【解析】 【分析】(1)由偶函数定义()()f x f x -=,代入解析式求解即可;(2)题设条件可等价转化为()9log 91xa x ≤+-对(],0x ∈-∞恒成立,因此设()()9log 91x g x x =+-,求出其在(],0x ∈-∞上的最小值即可得出结论.【详解】(1)∵函数()()()9log 91xkx R x k f =++∈ 是偶函数.∴()()f x f x -=, ∴()()99log 91log 91xx kx kx -+-=++,∴()()999912log 91log 91log 91x xxx kx x --+-=+-+==+,∴12k =-. (2)由(1)知,()()91log 912xf x x =+-, 不等式1()02f x x a --≥即为()9log 91x a x ≤+-, 令()()9log 91xg x x =+-,(],0x ∈-∞,则()()()99991log 91log log 199x xx xx g x -+=+-==+, 又函数()g x 在(],0-∞上单调递减,所以()()9min 0log 2g x g ==, ∴a 的取值范围是(]9,log 2-∞. 【点睛】本题考查函数奇偶性的定义运用以及不等式恒成立问题,属于中档题.解决不等式恒成立问题时,一般首选参变分离法,将恒成立问题转化为最值问题求解.。
2021-2022学年上海市曹杨第二中学高一下学期数学期末考试卷含详解
20.如图，在 中， 为 边上一点，且 ．
（1）设 ，求实数 、 的值；
（2）若 ，求 的值；
（3）设点 满足 ，求证： ．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析.
【分析】(1)根据向量的减法运算和线性表示即可求解；(2)利用数量积的运算律求解；(2)用基底 表示出向量 ，再用数量积运算律表示出模长，即可得证.
函数 的最小正周期为 .
2.在等差数列 中，若 ，且 ，则 _____．
【答案】
【分析】根据等差数列的通项公式求解即可.
【详解】设公差为 ，依题意得 ，
即 解得 ，所以 ，
故答案为：2.
3.某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_____．
13.下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是
A.频率就是概率B.频率是随机的，与试验次数无关
C.概率是稳定的，与试验次数无关D.概率是随机的，与试验次数有关
【答案】C
【分析】根据频率、概率的概念，可得结果.
【详解】频率指的是：在相同条件下重复试验下，
事件A出现的次数除以总数，是变化的
概率指的是：在大量重复进行同一个实验时，
故答案为： .
8.设数列 的前 项和为 ，若 ，则 ______．
【答案】
【分析】根据数列 的关系求出数列 的通项公式以及前 项和为 ，再用极限求解.
【详解】当 时， 即 ，
当 时，
得到 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，
所以 ，
故答案为：3.
9.已知甲袋中有2个白球、3个红球、5个黑球；乙袋中有4个白球、3个红球、3个黑球，各个球的大小与质地相同．若从两袋中各取一球，则2个球颜色不同的概率为_____．
【数学】上海市普陀区曹杨第二中学2020-2021学年高一下学期期末考试试卷 (解析版)
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】①当φ＝ 时，f（x）＝2sin（x+ ）＝2cosx，
∵f（﹣x）＝2cos（﹣x）＝2cosx＝f（x），∴f（x）为偶函数，
②当f（x）为偶函数时，φ＝ +kπ，k∈Z，
综上所述，φ＝ 是f（x）为偶函数的充分不必要条件．
【答案】
【解析】 ，
，
所以 ，
解得 ．故答案为： ．
10．已知数列{an}为等比数列，函数 过定点（a1，a2），设bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，则Sn的最大值为1．
【答案】1
【解析】函数 过定点（a1，a2），
令x＝2＝0，解得x＝2，
当x＝2时，y＝1，
所以a1＝2，a2＝1，
【解析】∵函数f（x）＝sin（π﹣ωx）+cos（ωx）＝sinωx+cosωx＝ sin（ωx+ ）（ω＞0），
当x∈（π，2π）时，ωx+ ∈（ωπ+ ，2ωπ+ ），
f（x）在（π，2π）内没有零点，∴2ωπ+ ≤π，或ωπ+ ≥π且2ωπ+ ≤2π，
解得0＜ω≤ ，或 ≤ω≤ ．
综上可得，ω的取值范围是（0， ]∪[ ， ]．
A．m＜nB．m＞nC．mn＜1D．mn＞2
【答案】A
【解析】∵ ，
∴ ， ，即 ，
∵A为三角形内角，
∴ ，
∵B＜C，
∴ ， ，
∵（m2﹣1）tan2B﹣2tanB+m2﹣1＝0，
∴（m2﹣1）（1+tan2B）﹣2tanB＝0，
∴ ＝ ，
2021-2022学年上海市上海中学高一上学期期末考数学试卷(含详解)
2021-2022年上海中学高一上期末一、填空题1.若函数()f x 满足()112x f x -+=，则()4f =______．2.函数()()2ln 4f x x=-的单调增区间是______．3.已知θ是第四象限角，5cos 13θ=，则2021cos 2πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭______．4.函数()()()42log 4log 2f x x x =⋅的最小值为______．5.已知函数()()12f x xx α=≤≤的最大值与最小值之差为12，则α=______．6.已知()f x 是偶函数，且方程()30f x -=有五个解，则这五个解之和为______．7.不等式()()2021202142x x --->-的解为______．8.设()f x 是定义在区间[]22-,上的严格增函数．若()()2212f a f a ->+，则a 的取值范围是______．9.若π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，记22cos sin P θθ=-，33cos sin Q θθ=-，44cos sin R θθ=-，则P 、Q 、R 的大小关系为______．10.在函数()125236x x xf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图像上，有______个横、纵坐标均为整数的点．11.设()111f x x x x=++-，若存在a ∈R 使得关于x 的方程()()()20f x af x b ++=恰有六个解，则b 的取值范围是______．12.若定义域为(]0,I m =的函数()e xf x =满足：对任意能构成三角形三边长的实数,,a b c I ∈，均有()f a ，()f b ，()f c 也能构成三角形三边长，则m 的最大值为______．（e 2.718281828≈是自然对数的底）二、选择题13.2021- 的始边是x 轴正半轴，则其终边位于第（）象限．A.一B.二C.三D.四14.设函数()f x 的定义域为R ．则“()f x 在R 上严格递增”是“()()g x f x x =+在R 上严格递增”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C .充分必要D.既不充分也不必要15.将函数()()lg 2f x x =的图像向左、向下各平移1个单位长度，得到()g x 的函数图像，则()g x =（）A.()lg 211x +- B.1lg 5x +⎛⎫⎪⎝⎭C.()lg 211x -- D.1lg 5x -⎛⎫⎪⎝⎭16.设函数()2xf x x =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 在()f x 的图像上，且32210x x x x -=-≠．对于ABC ，下列说法正确的是（）①一定是钝角三角形②可能是直角三角形③不可能是等腰三角形③可能是等腰三角形A.①③B.①④C.②③D.②④三、解答题17.求函数()f x =18.已知0a >，b R ∈，且函数()12xf x b a=+-有奇偶性，求a ，b 的值．19.某厂商计划投资生产甲、乙两种商品，经市场调研发现，如图所示，甲、乙商品的投资x 与利润y （单位：万元）分别满足函数关系11ay k x =与22ay k x =．（1）求1k ，1a 与2k ，2a 的值；（2）该厂商现筹集到资金20万元，如何分配生产甲、乙商品的投资，可使总利润最大？并求出总利润的最大值．21.设函数()1122f x x ax x x ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭，其中a R ∈．（1）若当1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时()f x 取到最小值，求a 的取值范围．（2）设()f x 的最大值为()M a ，最小值为()L a ，求()()()g a M a L a =-的函数解析式，并求()g a 的最小值．23.对于函数()f x ，若实数0x 满足()00f x x =，则称0x 是()f x 的不动点．现设()2f x x a =+．（1）当2a =-时，分别求()f x 与()()f f x 的所有不动点；（2）若()f x 与()()ff x 均恰有两个不动点，求a 的取值范围；（3）若()f x 有两个不动点，()()ff x 有四个不动点，证明：不存在函数()g x 满足()()()f x g g x =．2021-2022年上海中学高一上期末一、填空题1.若函数()f x 满足()112x f x -+=，则()4f =______．【1题答案】【答案】4【解析】【分析】根据题意，令3x =，结合指数幂的运算，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足()112x f x -+=，令3x =，可得()()3131424f f -+===.故答案为：4.2.函数()()2ln 4f x x =-的单调增区间是______．【2题答案】【答案】(2,0]-【解析】【分析】先求出函数的定义域，再换元，利用复合函数单调性的求法求解【详解】由240x ->，得22x -<<，所以函数的定义域为(2,2)-，令24t x =-，则ln y t =，因为24t x =-在(2,0]-上递增，在[0,2)上递减，而ln y t =在(0,)+∞上为增函数，所以()f x 在(2,0]-上递增，在[0,2)上递减，故答案为：(2,0]-3.已知θ是第四象限角，5cos 13θ=，则2021cos 2πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭______．【3题答案】【答案】1213-【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求出sin θ的值，在利用诱导公式可求得结果.【详解】因为θ是第四象限角，5cos 13θ=，则12sin 13θ==-，所以，202112cos cos sin 2213ππθθθ⎛⎫⎛⎫-=-==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：1213-.4.函数()()()42log 4log 2f x x x =⋅的最小值为______．【4题答案】【答案】18-##-0.125【解析】【分析】化简函数为()2442(log )3log 1f x x x =++，4log t x R =∈，得到()2231f t t t =++，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数()()()4242log 4log 2(log 1)(log 1)f x x x x x =⋅=++24444(log 1)(2log 1)2(log )3log 1x x x x =++=++，令4log t x R =∈，可得()22312312()48f t t t t =++=+-，当34t =-时，()min 31()48f t f =-=-，即函数()f x 的最小值为18-.故答案为：18-.5.已知函数()()12f x x x α=≤≤的最大值与最小值之差为12，则α=______．【5题答案】【答案】23log 2或1-.【解析】【分析】根据幂函数的性质，结合题意，分类讨论，利用单调性列出方程，即可求解.【详解】由题意，函数()()12f x xx α=≤≤，当0α>时，函数()f x 在[]1,2上为单调递增函数，可得1212α-=，解得23log 2α=；当0α=时，显然不成立；当0α<时，函数()f x 在[]1,2上为单调递减函数，可得1122α-=，解得1α=-，综上可得，23log 2α=或1α=-.故答案为：23log 2或1-.6.已知()f x 是偶函数，且方程()30f x -=有五个解，则这五个解之和为______．【6题答案】【答案】15【解析】【分析】根据函数的奇偶性和图象变换，得到函数()3=-y f x 的图象关于3x =对称，进而得出方程其中其中一个解为3x =，另外四个解满足14236x x x x +=+=，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 是偶函数，可函数()f x 的图象关于0x =对称，根据函数图象的变换，可得函数()3=-y f x 的图象关于3x =对称，又由方程()30f x -=有五个解，则其中一个解为3x =，不妨设另外四个解分别为1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则满足2314322x x x x ++==，即14236x x x x +=+=，所以这五个解之和为66315++=.故答案为：15.7.不等式()()2021202142x x --->-的解为______．【7题答案】【答案】()(),23,4∞-⋃【解析】【分析】根据幂函数的性质，分类讨论即可【详解】将不等式()()2021202142x x --->-转化成2021202111(()42x x >--（Ⅰ）1041021142x x x x ⎧>⎪-⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪--⎩，解得34x <<；（Ⅱ）104102xx ⎧>⎪⎪-⎨⎪<⎪-⎩，解得2x <；（Ⅲ）1041021142x x x x ⎧<⎪-⎪⎪<⎨-⎪⎪>⎪--⎩，此时无解；综上，不等式的解集为：(,2)(3,4)-∞故答案为：(,2)(3,4)-∞ 8.设()f x 是定义在区间[]22-,上的严格增函数．若()()2212f a f a ->+，则a 的取值范围是______．【8题答案】【答案】6[,1)2--.【解析】【分析】根据题意，列出不等式组222122212222a a a a ⎧->+⎪-≤-≤⎨⎪-≤+≤⎩，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 是定义在区间[]22-,上的严格增函数，因为()()2212f a f a ->+，可得222122212222a a a a ⎧->+⎪-≤-≤⎨⎪-≤+≤⎩，解得12a -≤<-，所以实数a 的取值范围是6[,1)2--.故答案为：[,1)2--.9.若π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，记22cos sin P θθ=-，33cos sin Q θθ=-，44cos sin R θθ=-，则P 、Q 、R 的大小关系为______．【9题答案】【答案】P R Q =<【解析】【分析】利用平方差公式和同角三角函数的平方关系可得P 、R 的关系，然后作差，因式分解，结合已知可判断P 、Q 的大小关系.【详解】44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin R P θθθθθθθθ=-=+-=-=又2233cos sin (cos sin )P Q θθθθ-=---(cos sin )(cos sin )(cos sin )(1cos sin )θθθθθθθθ=-+--+(cos sin )(cos sin 1cos sin )θθθθθθ=-+--(cos sin )(cos 1)(1sin )θθθθ=---因为π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos sin 0,cos 10,1sin 0θθθθ->-<->所以0P Q -<，即P Q<所以P 、Q 、R 的大小关系为P R Q =<.故答案为：P R Q=<10.在函数()125236x x xf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图像上，有______个横、纵坐标均为整数的点．【10题答案】【答案】3【解析】【分析】由题可得函数为减函数，利用赋值法结合条件及函数的性质即得.【详解】因为()125236x x xf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数在R 上单调递减，又()0001250=3236f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()11112512236f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()222125252=23618f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()3331253=1236f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且当3x >时，()()0,1f x ∈，当0x <时，令,N *x n n =-∈，则()12536151222Z 236251010n n nn n n nn n f n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++=++=++∉ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上，函数()125236xxxf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图像上，有3个横、纵坐标均为整数的点．故答案为：3.11.设()111f x x x x=++-，若存在a ∈R 使得关于x 的方程()()()20f x af x b ++=恰有六个解，则b 的取值范围是______．【11题答案】【答案】2,)++∞【解析】【分析】作出f (x )的图像，当0x <时，min ()1f x =+，当0x >时，min ()2f x =.令()t f x =，则20t at b ++=，则该关于t的方程有两个解1t、2t，设1t＜2t，则11)t∈+，21,)t∈+∞.令2()g t t at b=++，则(2)01)0gg>⎧⎪⎨+<⎪⎩，据此求出a的范围，从而求出b的范围．【详解】当1≥x时，11()11f x x xx x=++-=+，当01x<<时，112()11f x x xx x x=++-=+-，当0x<时，112()11f x x xx x x=--+-=--+，则f(x)图像如图所示：当0x<时，2()11f x xx=--+≥+，当0x>时，min()2f x=．令()t f x=，则20t at b++=，∵关于x的方程()()()20f x af x b++=恰有六个解，∴关于t的方程20t at b++=有两个解1t、2t，设1t＜2t，则11)t∈+，21,)t∈+∞，令2()g t t at b=++，则(2)4201)91)0g a bg a b=++>⎧⎪⎨+=++++<⎪⎩，∴42ba-->且a<，要存在a满足条件，则42b--<，解得2b>+．故答案为：2,)++∞．12.若定义域为(]0,I m =的函数()e xf x =满足：对任意能构成三角形三边长的实数,,a b c I ∈，均有()f a ，()f b ，()f c 也能构成三角形三边长，则m 的最大值为______．（e 2.718281828≈是自然对数的底）【12题答案】【答案】ln 4##2ln 2【解析】【分析】不妨设三边的大小关系为：0a b c <≤≤，利用函数的单调性，得出()f a ，()f b ，()f c 的大小关系，作为三角形三边则有任意两边之和大于第三边，再利用基本不等式求出边的范围得出m 的最大值即可.【详解】()e xf x =在(]0,I m =上严格增，所以(()1,e m f x ⎤∈⎦，不妨设0a b c <≤≤，因为对任意能构成三角形三边长的实数,,a b c I ∈，均有()f a ，()f b ，()f c 也能构成三角形三边长，所以e e e ,a b c a b c +>+>，因为e e e a b c +≥=>，所以24e e a b c +>，因为对任意,,a b c I ∈都成立，所以24e e c c ≥，所以e 4c ≤，所以ln 4c ≤，所以ln 4m ≤，所以m 的最大值为ln 4．故答案为：ln 4.二、选择题13.2021- 的始边是x 轴正半轴，则其终边位于第（）象限．A.一 B.二C.三D.四【13题答案】【答案】B 【解析】【分析】将2021- 转化为()0,360内的角，即可判断.【详解】20213606139-=-⨯+ ，所以2021- 的终边和139 的终边相同，即落在第二象限.故选：B14.设函数()f x 的定义域为R ．则“()f x 在R 上严格递增”是“()()g x f x x =+在R 上严格递增”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要【解析】【分析】利用特例法、函数单调性的定义结合充分条件、必要条件的定义判断可得出合适的选项.【详解】若函数()f x 在R 上严格递增，对任意的1x 、2R x ∈且12x x <，()()12f x f x <，由不等式的性质可得()()1122f x x f x x +<+，即()()12g x g x <，所以，()()g x f x x =+在R 上严格递增，所以，“()f x 在R 上严格递增”⇒“()()g x f x x =+在R 上严格递增”；若()()g x f x x =+在R 上严格递增，不妨取()12f x x =-，则函数()()12g x f x x x =+=在R 上严格递增，但函数()12f x x =-在R 上严格递减，所以，“()f x 在R 上严格递增”⇐/“()()g x f x x =+在R 上严格递增”.因此，“()f x 在R 上严格递增”是“()()g x f x x =+在R 上严格递增”的充分不必要条件.故选：A.15.将函数()()lg 2f x x =的图像向左、向下各平移1个单位长度，得到()g x 的函数图像，则()g x =（）A.()lg 211x +-B.1lg 5x +⎛⎫⎪⎝⎭C.()lg 211x -- D.1lg 5x -⎛⎫⎪⎝⎭【15题答案】【答案】B 【解析】【分析】根据函数的图象变换的原则，结合对数的运算性质，准确运算，即可求解.【详解】由题意，将函数()()lg 2f x x =的图像向左、向下各平移1个单位长度，可得()221lg[2(1)]1lg(22)1lg lg 105x x g x x x ++=+-=+-==.故选：B.16.设函数()2xf x x =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 在()f x 的图像上，且32210x x x x -=-≠．对于ABC ，下列说法正确的是（）①一定是钝角三角形②可能是直角三角形③不可能是等腰三角形③可能是等腰三角形A.①③B.①④C.②③D.②④【解析】【分析】结合0BA BC ⋅<uu r uu u r，得到90ABC ∠> ，所以ABC 一定为钝角三角形，可判定①正确，②错误；根据两点间的距离公式和函数的变化率的不同，得到AB BC <，可判定③正确，④不正确.【详解】由题意，函数()2xf x x =+为单调递增函数，因为点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 在()f x 的图像上，且32210x x x x -=-≠，不妨设123x x x <<，可得12123232(,),(,)BA x x y y BC x x y y =--=--，则12321232()()()()BA BC x x x x y y y y ⋅=--+--，因为123x x x <<，可得1232()()0x x x x --<，31221222313222(()()[())][2()]()2x x x x x x x x y y y y -+----+-=又由因为12220x x -<，120x x -<，32220x x ->，320x x ->，所以31221232[())][())22(22(]0xxxxx x x x -+-+-<-，所以12321232()()()()0BA BC x x x x y y y y ⋅=--+--<所以90ABC ∠> ，所以ABC 一定为钝角三角形，所以①正确，②错误；由两点间的距离公式，可得AB BC ==根据指数函数和一次函数的变化率，可得点A 到B 的变化率小于点B 到C 点的变化率不相同，所以AB BC <，所以ABC 不可能为等腰三角形，所以③正确，④不正确.故选：A.三、解答题17.求函数()f x =【17题答案】【答案】定义域为(1,)+∞，值域为[1,)+∞，递减区间为(1,2]，递增区间为[2,)+∞.【解析】【分析】由函数的解析式有意义列出不等式，可求得其定义域，由2331(1)111x x x x x -+=-+---，结合基本不等式，可求得函数的值域，令()1(1)11g x x x =-+--，根据对勾函数的性质和复合函数的单调性的判定方法，可求得函数的单调区间.【详解】由题意，函数()f x =23301x x x -+≥-且10x -≠，因为方程223333(024x x x -+=-+>，所以10x ->，解得1x >，所以函数()f x 的定义域为(1,)+∞又由2233(1)(1)11(1)1111x x x x x x x x -+---+==-+----，因为10x ->，所以1(1)1111x x -+-≥=-，当且仅当111x x -=-时，即2x =时，等号成立，所以23311x x x -+≥-，所以函数()f x 的值域为[1,)+∞，令()1(1)11g x x x =-+--，根据对勾函数的性质，可得函数()g x 在区间(1,2]上单调递减，在[2,)+∞上单调递增，结合复合函数的单调性的判定方法，可得()f x 在(1,2]上单调递减，在[2,)+∞上单调递增.18.已知0a >，b R ∈，且函数()12x f x b a=+-有奇偶性，求a ，b 的值．【18题答案】【答案】()f x 为奇函数，11,2a b ==，【解析】【分析】由函数奇偶性的定义列方程求解即可【详解】若()f x 为奇函数，则()()0(R)f x f x x -+=∈，所以11022x x b b a a-+++=--恒成立，即212122x x x b a a+=--⋅-，所以22222212[2(1)2]x x x x a b a a a -⋅+=--⋅++⋅-恒成立，所以21222(1)ab a b a =⎧⎨-=-+⎩，解得112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以当()f x 为奇函数时，11,2a b ==，若()f x 为偶函数，则()()(R)f x f x x -=∈，所以1122x x b b a a-+=+--恒成立，得22x x -=，得0x =，不合题意，所以()f x 不可能是偶函数，综上，()f x 为奇函数，11,2a b ==，19.某厂商计划投资生产甲、乙两种商品，经市场调研发现，如图所示，甲、乙商品的投资x 与利润y （单位：万元）分别满足函数关系11ay k x =与22ay k x =．（1）求1k ，1a 与2k ，2a 的值；（2）该厂商现筹集到资金20万元，如何分配生产甲、乙商品的投资，可使总利润最大？并求出总利润的最大值．【19题答案】【答案】（1）1 1.5k =，11a =，23k =，212a =（2）分配生产乙商品的投资为1万元，甲商品的投资为19万元，此时总利润的最大值为31.5万元.【解析】【分析】（1）代入点的坐标，求出1k ，1a 与2k ，2a 的值；（2）在第一问的基础上，表达出总利润的关系式，利用配方求出最大值.【小问1详解】将()()1,1.5,3,4.5代入11ay k x =中，111 1.53 4.5a k k =⎧⎨⋅=⎩，解得：111.51k a =⎧⎨=⎩，将()()4,6,9,9代入22ay k x =中，22224699a a k k ⎧⋅=⎨⋅=⎩，解得：22312k a =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以1 1.5k =，11a =，23k =，212a =.【小问2详解】设分配生产乙商品的投资为m （0≤m ≤20）万元、甲商品的投资为()20m -万元，此时的总利润为w ，则())12231.5203131.52w m m =-+⋅=-+，因为0≤m ≤20，1=，即1m =时，w 取得最大值，即分配生产乙商品的投资为1万元，甲商品的投资为19万元，此时总利润的最大值为31.5万元.21.设函数()1122f x x ax x x ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭，其中a R ∈．（1）若当1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时()f x 取到最小值，求a 的取值范围．（2）设()f x 的最大值为()M a ，最小值为()L a ，求()()()g a M a L a =-的函数解析式，并求()g a 的最小值．【21题答案】【答案】（1）3(3,)4-（2）()()()33,[,)2452(3,0]2513(3,)2243,(,3]2a a g a a x g a g a a x a a ∞∞⎧∈+⎪⎪⎪=--∈-⎪=⎨⎪=--∈-⎪⎪⎪-∈--⎩，最小值为12.【解析】【分析】（1）求得函数的导数()22(1)1a x f x x--'=，令()2(1)1h x a x =--，要使得函数()f x 在1(,2)2x ∈取到最小值，则函数()f x 必须先减后增，列出方程组，即可求解；（2）由（1）知()2(1)1h x a x =--，若10a -≤时，得到函数()f x 在1[,2]2上单调递减，得到()32g a a =；若10a ->时，令()0h x =，求得x =12≤2≥，122<<三种情况讨论，求得函数的解析式，利用一次函数、换元法和二次函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：由函数()11(1)f x x ax a x x x =+-=-+，可得()2221(1)1(1)a x f x a x x--'=--=，令()2(1)1h x a x =--，要使得函数()f x 在1(,2)2x ∈取到最小值，则函数()f x 必须先减后增，则满足()()11()11024(2)4110h a h a ⎧=--<⎪⎨⎪=-->⎩，解得334a -<<，即实数a 的取值范围为3(3,)4-.【小问2详解】解：由（1）知()22(1)1a x f x x--'=，设()2(1)1h x a x =--，若10a -≤时，即1a ≥时，()0h x <，即()0f x '<，函数()f x 在1[,2]2上单调递减，所以1515()(),(2)2222()2M a f a f a L a ==-==-，可得()()()32g a M a L a a =-=；若10a ->时，即1a <时，令()0h x =，即2(1)10a x --=，解得x =x =12≤时，即3a ≤-时，()0h x >在1[,2]2x ∈恒成立，即()0f x '>，可得函数()f x 在1[,2]2上单调递增，所以5151(2)2,()()22(2)2f a L a f a M a ==-==-，可得()()()32g a M a L a a =-=-；2≥时，即314a ≤<时，()0h x <在1[,2]2x ∈恒成立，即()0f x '<，可得函数()f x 在1[,2]2上单调递减，所以1515()(,(2)2222()2M a f a f a L a ==-==-，可得()()()32g a M a L a a =-=；③当122<<时，即334a -<<时，当1[2x ∈时，()0h x <，即()0f x '<，()f x 单调递减；当2]x ∈时，()0h x >，即()0f x '>，()f x 单调递增，所以当x =()f x取得最小值，即()L a =，又由1515(),(2)22222f a f a =-=-，可得13((2)22f f a -=，（i ）当30a -<≤时，1()(2)02f f -<，即1((2)2f f <，所以5()(2)22M a f a ==-，此时()()()522g a M a L a a --==-；（ii ）当304a <<时，1()(2)02f f ->，即1((2)2f f >，所以151()()222M a f a ==-，此时()()()5122g a M a a L a --==-，综上可得，函数()g a 的解析式为()()()33,[,)2452(3,0]2513(3,)2243,(,3]2a a g a a x g a g a a x a a ∞∞⎧∈+⎪⎪⎪=--∈-⎪=⎨⎪=--∈-⎪⎪⎪-∈--⎩，当3a ≤-时，()9(3)2g a g ≥-=；当34a ≥时，()39(48g a g ≥=；当30a -<≤时，令[1,2)t =，则21a t =-，可得()21222t t t ϕ-+=，根据二次函数的性质，可得当1t =时，函数()t ϕ取得最小值，最小值为()112ϕ=；当304a <<时，令1(,1)2t =，则21a t =-，可得()21222t t t ϕ-+=，则()()112t ϕϕ>=，综上可得，函数()g a 的最小值为12.23.对于函数()f x ，若实数0x 满足()00f x x =，则称0x 是()f x 的不动点．现设()2f x x a =+．（1）当2a =-时，分别求()f x 与()()f f x 的所有不动点；（2）若()f x 与()()ff x 均恰有两个不动点，求a 的取值范围；（3）若()f x 有两个不动点，()()f f x 有四个不动点，证明：不存在函数()g x 满足()()()f x g g x =．【23题答案】【答案】（1）123415152,1,22x x x x --+==-==（2）31,44⎡⎫-⎪⎢⎣⎭（3）见详解.【解析】【小问1详解】因为2a =-，所以()f x x =即220x x --=，所以122,1x x ==-，所以()f x 的不动点为122,1x x ==-；解(())f f x x =，22242(())(2)(2)242f f x f x x x x x =-=--=-+=，所以42420x x x --+=，因为()f x x =是(())f f x x =的解，所以上述四次方程必有因式22x x --，利用长除法或者双十字相乘法因式分解得22(2)(1)0x x x x --+-=，所以123,4152,1,2x x x -±==-=，所以(())f f x 的不动点为123,4152,1,2x x x -±==-=；【小问2详解】由2()f x x a x =+=得20x x a -+=，由222422(())()()2f f x f x a x a a x ax a a x =+=++=+++=、得42220x ax x a a +-++=，因为()f x x =是(())f f x x =的解，所以上述四次方程必有因式2x x a -+，利用长除法或者双十字相乘法因式分解得22()(1)0x x a x x a -++++=，因为()f x 与(())f f x 均恰有两个不动点，所以①12140,144340a a a ∆=->∆=--=--<或②1140a ∆=->且20x x a -+=和210x x a +++=有同根，由①得3144a -<<，②中两方程相减得210x +=，所以12x =-，故34a =-，综上，a 的取值范围是31,44⎡⎫-⎪⎢⎣⎭；【小问3详解】（3）设()f x 的不动点为,a b ，(())f f x 的不动点为a b c d ,,,，所以(),(),(),()f a a f b b f c c f d d ==≠≠，设()(())h x f f x =，则()(())h c f f c c ==，所以(())((())()h f c f f f c f c ==，所以()f c 是()(())h x f f x =的不动点，同理，()f d 也是()(())h x f f x =的不动点，只能(),()f c d f d c ==，假设存在()(())f x g g x =，则()()g a a g b b =⎧⎨=⎩或()()g a bg b a =⎧⎨=⎩，因为()y f x =过点(,),(,)c d d c ，所以(),()g c c g d d ≠≠，否则()(())()f c g g c g c c ===矛盾，且(),()g c d g d c ≠≠，否则()(())()f c g g c g d d ===，所以一定存在(),(),(),()g c t g t d g d s g s c ====，,S t 与cd 均不同，所以((())g g g t t =，所以(())f f t t =，所以(())f f x 有另外不动点，矛盾，故不存在函数()g x 满足()(())f x g g x =．。
上海曹杨中学数学高一上期末经典练习题(答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12115]已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]2,0-B ．(],8∞--C ．[)2,∞+D ．(],0∞- 2．(0分)[ID ：12110]已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．(0分)[ID ：12090]若函数2()2f x mx mx =-+的定义域为R ，则实数m 取值范围是（ ） A ．[0,8) B ．(8,)+∞ C ．(0,8)D ．(,0)(8,)-∞⋃+∞4．(0分)[ID ：12087]已知函数()y f x =在定义域()1,1-上是减函数，且()()211f a f a -<-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,2D ．()0,∞+5．(0分)[ID ：12085]已知0.11.1x =， 1.10.9y =，234log 3z =，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x y z >>B ．y x z >>C ．y z x >>D ．x z y >>6．(0分)[ID ：12128]设4log 3a =，8log 6b =，0.12c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>7．(0分)[ID ：12105]已知131log 4a =，154b=，136c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>8．(0分)[ID ：12057]设函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a 取值范围是( ) A ．()()1,00,1-⋃ B ．()(),11,-∞-⋃+∞ C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃9．(0分)[ID ：12055]用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：x1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 ()f x-63-2.625-1.459-0.141.34180.5793则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.910．(0分)[ID ：12051]函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4} D ．{1,4,16,64}11．(0分)[ID ：12036]已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（ ）A ．(1)(2)(0)f f f -<<B ．(1)(0)(2)f f f -<<C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-< 12．(0分)[ID ：12044]函数()f x 是周期为4的偶函数,当[]0,2x ∈时，()1f x x =-,则不等式()0xf x >在[]1,3-上的解集是 ( ) A ．()1,3B ．()1,1-C ．()()1,01,3- D ．()()1,00,1-13．(0分)[ID ：12123]函数y ＝11x -在[2，3]上的最小值为( ) A ．2 B ．12 C ．13D ．－1214．(0分)[ID ：12029]对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()152x -三个值中的最小值，则()f x （ ） A ．无最大值，无最小值 B ．有最大值2，最小值1 C ．有最大值1，无最小值D ．有最大值2，无最小值15．(0分)[ID ：12040]下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是 A ．11y x=- B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=二、填空题16．(0分)[ID ：12227]已知1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集为______．17．(0分)[ID ：12216]已知函数()f x 满足1121-+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x f f x x x ，其中x ∈R 且0x ≠，则函数()f x 的解析式为__________18．(0分)[ID ：12201]已知函数2()log f x x =，定义()(1)()f x f x f x ∆=+-，则函数()()(1)F x f x f x =∆++的值域为___________.19．(0分)[ID ：12179]已知常数a R +∈，函数()()22log f x x a =+，()()g x f f x =⎡⎤⎣⎦，若()f x 与()g x 有相同的值域，则a 的取值范围为__________.20．(0分)[ID ：12174]函数{}()min 2f x x =-，其中{},min ,{,a a ba b b a b≤=>，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，则实数m 的取值范围是______________.21．(0分)[ID ：12169]已知()f x ､()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()2x f x g x x -=-，则(1)(1)f g +=__________.22．(0分)[ID ：12165]已知函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=，若关于x 的不等式()()f x g x >恰有两个非负整数．．．．解，则实数a 的取值范围是__________．23．(0分)[ID ：12158]对数式lg 25﹣lg 22+2lg 6﹣2lg 3＝_____．24．(0分)[ID ：12192]定义在R 上的函数()f x 满足()()2=-+f x f x ，()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()2f x x =，则方程()12f x x =-在[]6,10-上所有根的和为________．25．(0分)[ID ：12173]定义在R 上的奇函数()f x ，满足0x >时，()()1f x x x =-，则当0x ≤时，()f x =______．三、解答题26．(0分)[ID ：12306]节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业,积极响应国家要求,探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为32mg/m ,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为31.94mg/m .设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为0r ,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为1r ,则第n 次改良后所排放的废气中的污染物数量n r ,可由函数模型()0.5001)*(5n pn r r r r p R n N +-∈⋅=-∈，给出,其中n 是指改良工艺的次数.（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型;（2）依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08mg/m ,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标. （参考数据:取lg 20.3=）27．(0分)[ID ：12294]已知函数()2()log 21xf x kx =+-为偶函数. （1）求实数k 的值； （2）若不等式1()2f x a x >-恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若函数1()2()24f x x x h x m +=+⋅，[1,2]x ∈，是否存在实数m ，使得()h x 的最小值为2，若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由. 28．(0分)[ID ：12281]已知幂函数35()()m f x x m N -+=∈为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设函数()()21g x f x x λ=+-，若()0<g x 对任意[1,2]x ∈恒成立，求实数λ的取值范围.29．(0分)[ID ：12267]已知函数()212xxk f x -=+（x ∈R ）（1）若函数()f x 为奇函数，求实数k 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式()()240f ax f x +-≥对[]1,2x ∈-恒成立，求实数a的取值范围.30．(0分)[ID ：12261]泉州是全国休闲食品重要的生产基地,食品产业是其特色产业之一,其糖果产量占全国的20%.现拥有中国驰名商标17件及“全国食品工业强县”2个(晋江､惠安)等荣誉称号,涌现出达利､盼盼､友臣､金冠､雅客､安记､回头客等一大批龙头企业.已知泉州某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料200千克,配料的价格为1元/千克,每次购买配料需支付运费90元.设该厂每隔()*x x ∈N天购买一次配料.公司每次购买配料均需支付保管费用,其标准如下:6天以内(含6天),均按10元/天支付;超出6天,除支付前6天保管费用外,还需支付剩余配料保管费用,剩余配料按3(5)200x -元/千克一次性支付. (1)当8x =时,求该厂用于配料的保管费用P 元;(2)求该厂配料的总费用y (元)关于x 的函数关系式,根据平均每天支付的费用,请你给出合理建议,每隔多少天购买一次配料较好.附:80()f x x x=+在单调递减,在)+∞单调递增.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A 2．B 3．A 4．B 5．A 6．D 7．C 8．C 9．C 10．D11．C12．C13．B14．D15．D二、填空题16．【解析】当时解得；当时恒成立解得：合并解集为故填：17．【解析】【分析】用代换可得联立方程组求得再结合换元法即可求解【详解】由题意用代换解析式中的可得……（1）与已知方程……（2）联立（1）（2）的方程组可得令则所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函18．【解析】【分析】根据题意以及对数的运算性质得出进而可由基本不等式可得出从而可得出函数的值域【详解】由题意即由题意知由基本不等式得（当且仅当时取等号）所以（当且仅当时取等号）即所以的值域为故答案为：【19．【解析】【分析】分别求出的值域对分类讨论即可求解【详解】的值域为当函数值域为此时的值域相同；当时当时当所以当时函数的值域不同故的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查对数型函数的值域要注意二次函数的值20．【解析】【分析】【详解】试题分析：由可知是求两个函数中较小的一个分别画出两个函数的图象保留较小的部分即由可得x2﹣8x+4≤0解可得当时此时f（x）＝|x﹣2|当或时此时f（x）＝2∵f（4﹣2）＝21．【解析】【分析】根据函数的奇偶性令即可求解【详解】､分别是定义在上的偶函数和奇函数且故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性属于容易题22．【解析】【分析】由题意可得f（x）g（x）的图象均过（﹣11）分别讨论a＞0a＜0时f（x）＞g（x）的整数解情况解不等式即可得到所求范围【详解】由函数可得的图象均过且的对称轴为当时对称轴大于0由题23．1【解析】【分析】直接利用对数计算公式计算得到答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查了对数式的计算意在考查学生的计算能力24．【解析】【分析】结合题意分析出函数是以为周期的周期函数其图象关于直线对称由可得出函数的图象关于点对称据此作出函数与函数在区间上的图象利用对称性可得出方程在上所有根的和【详解】函数满足即则函数是以为周25．【解析】【分析】由奇函数的性质得设则由函数的奇偶性和解析式可得综合2种情况即可得答案【详解】解：根据题意为定义在R上的奇函数则设则则又由函数为奇函数则综合可得：当时；故答案为【点睛】本题考查函数的奇三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，可知函数在(],0-∞上是减函数，根据不等式在[)1,x ∈+∞上恒成立，可得：21x a x +≤-在[)1,+∞上恒成立，可得a 的范围. 【详解】()f x 为偶函数且在[)0,+∞上是增函数()f x ∴在(],0-∞上是减函数对任意[)1,x ∈+∞都有()()21f x a f x +≤-恒成立等价于21x a x +≤-2121x x a x ∴-+≤+≤- 311x a x ⇒-+≤≤-()()max min 311x a x ∴-+≤≤-当1x =时，取得两个最值3111a ∴-+≤≤- 20a ⇒-≤≤ 本题正确选项：A 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.2．B解析：B 【解析】试题分析：设()ln(1)g x x x =+-，则()1xg x x'=-+，∴()g x 在()1,0-上为增函数,在()0,∞+上为减函数，∴()()00g x g <=，1()0()f x g x =<，得0x >或10x -<<均有()0f x <排除选项A ，C ，又1()ln(1)f x x x =+-中,10ln(1)0x x x +>⎧⎨+-≠⎩，得1x >-且0x ≠，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B. 考点：1、函数图象；2、对数函数的性质. 3．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意可得出，不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ，从而可看出m ＝0时，满足题意，m ≠0时，可得出280m m m ⎧⎨=-<⎩＞，解出m 的范围即可． 【详解】∵函数f （x ）的定义域为R ； ∴不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ； ①m ＝0时，2>0恒成立，满足题意；②m ≠0时，则280m m m ⎧⎨=-<⎩＞； 解得0＜m <8；综上得，实数m 的取值范围是[0,8)故选：A ． 【点睛】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集为R 时，判别式△需满足的条件．4．B解析：B 【解析】 【分析】利用函数的单调性和定义域得出不等关系组，即得解. 【详解】已知函数()y f x =在定义域()1,1-上是减函数，且()()211f a f a -<-，2112121113111a aa a a ->-⎧⎪∴-<-<∴<<⎨⎪-<-<⎩故选：B 【点睛】本题考查了利用函数的单调性解不等式，考查了学生转化划归，数学运算能力，属于基础题.5．A解析：A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接比较. 【详解】解：0.1x 1.1 1.11=>=， 1.100y 0.90.91<=<=，22334z log log 103=<<，x ∴，y ，z 的大小关系为x y z >>． 故选A ． 【点睛】本题考查三个数的大小的比较，利用指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．D解析：D 【解析】 【分析】由对数的运算化简可得2log a =log b =，结合对数函数的性质，求得1a b <<，又由指数函数的性质，求得0.121c =>，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对数的运算公式，可得24222log 31log 3log 3log log 42a ====28222log 61log 6log 6log log 83b ====，2<<，所以222log log log 21<<=，即1a b <<，由指数函数的性质，可得0.10221c =>=， 所以c b a >>. 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质，求得,,a b c 的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．C解析：C 【解析】 【分析】首先将b 表示为对数的形式，判断出0b <，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较32与,a c 的大小，即可得到,,a b c 的大小关系. 【详解】因为154b=，所以551log log 104b =<=，又因为(133331log log 4log 3,log 4a ==∈，所以31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又因为131133336,82c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以c a b >>. 故选：C. 【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.8．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】因为函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,所以220log log a a a >⎧⎨>-⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩，解得1a >或10a -<<，即实数的a 取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故选C. 9．C解析：C【解析】【分析】利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解.【详解】根据表中数据可知()1.750.140f =-<，()1.81250.57930f =>，由精确度为0.1可知1.75 1.8≈，1.8125 1.8≈，故方程的一个近似解为1.8，选C.【点睛】不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解.10．D解析：D【解析】【分析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项.【详解】设关于()f x 的方程()()20mfx nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =. 而()2f x ax bx c =++的图象关于2b x a =-对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2b x a =-对称．而选项D 中41616422++≠.故选D . 【点睛】 对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得到方程组()()0f t g x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征.11．C解析：C【解析】【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，转化出()y f x =的一个单调区间，再结合偶函数关于y 轴对称得[]02，上的单调性，结合函数图像即可求得答案 【详解】 ()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，令2t x =-，则[]20t ，∈-，即()f t 在[]20-，上是减函数 ()y f x ∴=在[]20-，上是减函数函数()y f x =是偶函数， ()y f x ∴=在[]02，上是增函数()()11f f -=,则()()()012f f f <-<故选C【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．12．C解析：C【解析】若[20]x ∈-，，则[02]x -∈，，此时1f x x f x -=--（），（）是偶函数，1f x x f x ∴-=--=（）（）， 即1[20]f x x x =--∈-（），，， 若[24]x ∈， ，则4[20]x -∈-，， ∵函数的周期是4，4413f x f x x x ∴=-=---=-（）（）（），即120102324x x f x x x x x ---≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪-≤≤⎩，（），， ，作出函数f x （）在[13]-， 上图象如图， 若03x ≤＜，则不等式0xf x （）＞ 等价为0f x （）＞ ，此时13x ＜＜，若10x -≤≤ ，则不等式0xfx （）＞等价为0f x （）＜ ，此时1x -＜＜0 ， 综上不等式0xf x （）＞ 在[13]-， 上的解集为1310.⋃-（，）（，）故选C.【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和周期性求出对应的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．13．B解析：B【解析】y ＝11x -在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为12，选B. 14．D解析：D【解析】【分析】由题意画出函数图像，利用图像性质求解【详解】画出()f x 的图像，如图（实线部分），由()1152y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得()1,2A ． 故()f x 有最大值2，无最小值故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的图像及性质，考查对最值的理解，属中档题．15．D解析：D【解析】试题分析：11y x=-在区间()1,1-上为增函数；cos y x =在区间()1,1-上先增后减；()ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数；2x y -=在区间()1,1-上为减函数，选D. 考点：函数增减性二、填空题16．【解析】当时解得；当时恒成立解得：合并解集为故填：解析：3{|}2x x ≤ 【解析】当20x +≥时，()()()22525x x f x x x +++≤⇔++≤，解得 322x -≤≤ ；当20x +<时，()()()22525x x f x x x +++≤⇔-+≤，恒成立，解得：2x <-，合并解集为32x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭ ，故填：32x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭. 17．【解析】【分析】用代换可得联立方程组求得再结合换元法即可求解【详解】由题意用代换解析式中的可得……（1）与已知方程……（2）联立（1）（2）的方程组可得令则所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函 解析：()11(1)31f x x x =-≠-- 【解析】【分析】用x -代换x ，可得1121x x f f x x x +-⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组，求得113x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再结合换元法，即可求解. 【详解】由题意，用x -代换解析式中的x ，可得1121x x f f x x x +-⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…….（1） 与已知方程1121-+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x f f x x x ，……（2） 联立（1）（2）的方程组，可得113x f x x +⎛⎫=-⎪⎝⎭， 令1,1x t t x +=≠，则11x t ，所以()1131f t t =--， 所以()11(1)31f x x x =-≠--. 故答案为：()11(1)31f x x x =-≠--. 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，解答中用x -代换x ，联立方程组，求得113x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭是解答的关键，着重考查了函数与方程思想，以及换元思想的应用，属于中档试题.18．【解析】【分析】根据题意以及对数的运算性质得出进而可由基本不等式可得出从而可得出函数的值域【详解】由题意即由题意知由基本不等式得（当且仅当时取等号）所以（当且仅当时取等号）即所以的值域为故答案为：【 解析：[)2,+∞【解析】【分析】根据题意以及对数的运算性质得出()21log 2F x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，进而可由基本不等式可得出124x x++≥，从而可得出函数()F x 的值域. 【详解】由题意，()()()()22212log 1log F x f x f x x x =+-=+-，即()222211log log 2x x F x x x x ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，由题意知，0x >，由基本不等式得12x x +≥=（当且仅当1x =时取等号）， 所以124x x ++≥（当且仅当1x =时取等号），即221log 2log 42x x ⎛⎫++≥= ⎪⎝⎭， 所以()F x 的值域为[)2,+∞.故答案为：[)2,+∞.【点睛】本题考查了函数值域的定义及求法，对数的运算性质，基本不等式的运用，考查了计算能力，属于基础题.19．【解析】【分析】分别求出的值域对分类讨论即可求解【详解】的值域为当函数值域为此时的值域相同；当时当时当所以当时函数的值域不同故的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查对数型函数的值域要注意二次函数的值 解析：(]0,1【解析】【分析】分别求出(),()f x g x 的值域，对a 分类讨论，即可求解.【详解】()()222,log log a R f x x a a +∈=+≥，()f x 的值域为2[log ,)a +∞，()()22log ([()])g x f f x f x a ==+⎡⎤⎣⎦，当22201,log 0,[()]0,()log a a f x g x a <≤<≥≥，函数()g x 值域为2[log ,)a +∞，此时(),()f x g x 的值域相同；当1a >时，2222log 0,[()](log )a f x a >≥，222()log [(log )]g x a a ≥+，当12a <<时，2222log 1,log (log )a a a a <∴<+当22222,log 1,(log )log a a a a ≥≥>，222log (log )a a a <+，所以当1a >时，函数(),()f x g x 的值域不同，故a 的取值范围为(]0,1.故答案为:(]0,1.【点睛】本题考查对数型函数的值域，要注意二次函数的值域，考查分类讨论思想，属于中档题. 20．【解析】【分析】【详解】试题分析：由可知是求两个函数中较小的一个分别画出两个函数的图象保留较小的部分即由可得x2﹣8x+4≤0解可得当时此时f （x ）＝|x ﹣2|当或时此时f （x ）＝2∵f （4﹣2）＝解析：02m <<【解析】【分析】【详解】试题分析：由{},min ,{,a a b a b b a b ≤=>可知{}()min 2f x x =-是求两个函数中较小的一个，分别画出两个函数的图象，保留较小的部分，即由2x ≥-可得x 2﹣8x +4≤0，解可得44x -≤≤+当44x -≤+2x ≥-，此时f （x ）＝|x ﹣2|当4x +＞或04x ≤-＜2x -＜，此时f （x ）＝∵f （4﹣2其图象如图所示，02m ＜＜时，y ＝m 与y ＝f （x ）的图象有3个交点故答案为02m ＜＜考点：本小题主要考查新定义下函数的图象和性质的应用，考查学生分析问题、解决问题的能力和数形结合思想的应用.点评：本小题通过分别画出两个函数的图象，保留较小的部分，可以很容易的得到函数的图象，从而数形结合可以轻松解题.21．【解析】【分析】根据函数的奇偶性令即可求解【详解】､分别是定义在上的偶函数和奇函数且故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性属于容易题 解析：32【解析】【分析】根据函数的奇偶性，令1x =-即可求解.【详解】()f x ､()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数, 且()()2x f x g x x -=- ∴13(1)(1)(1)(1)212f g f g ----=+=+=, 故答案为：32【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，属于容易题. 22．【解析】【分析】由题意可得f （x ）g （x ）的图象均过（﹣11）分别讨论a ＞0a ＜0时f （x ）＞g （x ）的整数解情况解不等式即可得到所求范围【详解】由函数可得的图象均过且的对称轴为当时对称轴大于0由题 解析：310,23⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】由题意可得f （x ），g （x ）的图象均过（﹣1，1），分别讨论a ＞0，a ＜0时，f （x ）＞g （x ）的整数解情况，解不等式即可得到所求范围．【详解】由函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=可得()f x ，()g x 的图象均过(1,1)-，且()f x 的对称轴为2a x =，当0a >时，对称轴大于0.由题意可得()()f x g x >恰有0，1两个整数解，可得(1)(1)310(2)(2)23f g a f g >⎧⇒<≤⎨≤⎩；当0a <时，对称轴小于0.因为()()11f g -=-,由题意不等式恰有-3，-2两个整数解，不合题意，综上可得a 的范围是310,23⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故答案为：310,23⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，指数函数的图像的应用，属于中档题．23．1【解析】【分析】直接利用对数计算公式计算得到答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查了对数式的计算意在考查学生的计算能力解析：1【解析】【分析】直接利用对数计算公式计算得到答案.【详解】()()22522lg62lg3lg5lg2lg5lg2lg36lg9lg5lg2lg41lg -+=+-+-=-+=lg ﹣ 故答案为：1【点睛】本题考查了对数式的计算，意在考查学生的计算能力.24．【解析】【分析】结合题意分析出函数是以为周期的周期函数其图象关于直线对称由可得出函数的图象关于点对称据此作出函数与函数在区间上的图象利用对称性可得出方程在上所有根的和【详解】函数满足即则函数是以为周 解析：16【解析】【分析】结合题意分析出函数()y f x =是以4为周期的周期函数，其图象关于直线1x =对称，由()()22f x f x -=-+可得出函数()y f x =的图象关于点()2,0对称，据此作出函数()y f x =与函数12y x =-在区间[]6,10-上的图象，利用对称性可得出方程()12f x x =-在[]6,10-上所有根的和. 【详解】函数()y f x =满足()()2f x f x =-+，即()()()24f x f x f x =-+=+，则函数()y f x =是以4为周期的周期函数；()()2f x f x =-，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称；由()()2f x f x =-+，()()2f x f x =-，有()()22f x f x -=-+，则函数()y f x =的图象关于点()2,0成中心对称；又函数12y x =-的图象关于点()2,0成中心对称，则函数()y f x =与函数12y x =-在区间[]6,10-上的图象的交点关于点()2,0对称，如下图所示：由图象可知，函数()y f x =与函数12y x =-在区间[]6,10-上的图象共有8个交点， 4对交点关于点()2,0对称，则方程()12f x x =-在[]6,10-上所有根的和为4416⨯=. 故答案为：16.【点睛】本题考查方程根的和的计算，将问题转化为利用函数图象的对称性求解是解答的关键，在作图时也要注意推导出函数的一些基本性质，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.25．【解析】【分析】由奇函数的性质得设则由函数的奇偶性和解析式可得综合2种情况即可得答案【详解】解：根据题意为定义在R 上的奇函数则设则则又由函数为奇函数则综合可得：当时；故答案为【点睛】本题考查函数的奇 解析：()1x x +【解析】【分析】由奇函数的性质得()00f =，设0x <，则0x ->，由函数的奇偶性和解析式可得()()()1f x f x x x =--=+，综合2种情况即可得答案．【详解】解：根据题意，()f x 为定义在R 上的奇函数，则()00f =， 设0x <，则0x ->，则()()()1f x x x -=-+，又由函数为奇函数，则()()()1f x f x x x =--=+， 综合可得：当0x ≤时，()()1f x x x =+；故答案为()1x x +【点睛】本题考查函数的奇偶性以及应用，注意()00f =，属于基础题．三、解答题26．（1）()0.50.5*20.065n n r n N -=-⨯∈ （2）6次 【解析】【分析】（1）先阅读题意，再解方程求出函数模型对应的解析式即可； （2）结合题意解指数不等式即可.【详解】解:（1）由题意得02r =,1 1.94r =,所以当1n =时,()0.510015p r r r r +=--⋅, 即0.51.942(2 1.94)5p +=--⋅,解得0.5p =-,所以0.50.520.065*()n n r n -=-⨯∈N , 故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为()0.50.5*20.065n n r n -=-⨯∈N . （2）由题意可得,0.50.520.0650.08n n r -=-⨯≤, 整理得,0505..1950..206n -≥,即0.50.5532n -≥, 两边同时取常用对数,得lg3205055.lg .n -≥, 整理得5lg 2211lg 2n ≥⨯+-, 将lg 20.3=代入,得5lg 230211 5.31lg 27⨯+=+≈-, 又因为*n ∈N ,所以6n ≥.综上,至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.【点睛】本题考查了函数的应用，重点考查了阅读能力及解决问题的能力，属中档题.27．（1）12k =（2）0a ≤（3）存在，316m =- 【解析】【分析】（1）利用公式()()0f x f x --=，求实数k 的值；（2）由题意得()2log 21x a <+恒成立，求a 的取值范围；（3）()214x x h x m =++⋅，[1,2]x ∈，通过换元得21y mt t =++，[2,4]t ∈，讨论m 求函数的最小值，求实数m 的值.【详解】（1）f x （）是偶函数()()0f x f x ∴--=，()()22log 21log 210x x kx kx -∴++-++=，22112log (21)0210212x x kx x k x x R k k -+∴==∴-=∈∴-=∴=+. （2）由题意得()2log 21x a <+恒成立， ()2211log 2100x x a +>∴+>∴≤.（3）()214x x h x m =++⋅，[1,2]x ∈，令2x t =，则21y mt t =++，[2,4]t ∈，1°当0m =时，1y t =+的最小值为3，不合题意，舍去；2°当0m >时，21y mt t =++开口向上，对称轴为102t m=-<， 21y mt t ∴=++在[2,4]上单调递增min 432y m ∴=+=，104m ∴=-<，故舍去； 3°当0m <时，21y mt t =++开口向下，对称轴为102t m =->， 当132m -≤即16m ≤-时，y 在4t =时取得最小值， min 3165216y m m ∴=+=∴=-，符合题意； 当132m->即106m -<<时，y 在2t =时取得最小值，min 14324y m m ∴=+=∴=-，不合题意，故舍去； 综上可知，316m =-. 【点睛】本题考查复合型指，对数函数的性质，求参数的取值范围，意在考查分类讨论的思想，转化与化归的思想，以及计算能力，本题的难点是第三问，讨论m ，首先讨论函数类型，和二次函数开口方向讨论，即分0m =，0m >，和0m <三种情况，再讨论对称轴和定义域的关系，求最小值. 28．（Ⅰ）2()f x x =（Ⅱ）3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（I ）根据幂函数的奇偶性和在区间(0,)+∞上的单调性，求得m 的值，进而求得()f x 的解析式.（II ）先求得()g x 的解析式，由不等式()0<g x 分离常数λ得到122x x λ<-，结合函数122x y x =-在区间[]1,2上的单调性，求得λ的取值范围. 【详解】 （Ⅰ）∵幂函数35()()m f x x m -+=∈N 为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增， 350m ∴-+>，且35m -+为偶数.又N m ∈，解得1m =，2()f x x ∴=.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2()()2121g x f x x x x λλ=+-=+-.当[1,2]x ∈时，由()0<g x 得122x x λ<-. 易知函数122x y x =-在[1,2]上单调递减， min 1123222224x x λ⎛⎫∴<-=-=- ⎪⨯⎝⎭. ∴实数λ的取值范围是3,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查幂函数的单调性和奇偶性，考查不等式在给定区间上恒成立问题的求解策略，属于中档题.（1）1k =（2）30a -≤≤【解析】【分析】（1）根据()00f =计算得到1k =，再验证得到答案.（2）化简得到()()24f x f ax -≥-对[]1,2x ∈-恒成立，确定函数单调递减，利用单调性得到240x ax +-≤对[]1,2x ∈-恒成立，计算得到答案.【详解】（1）因为()f x 为奇函数且定义域为R ，则()00f =，即002021k -=+，所以1k =. 当1k =时因为()f x 为奇函数，()()12212121x x x x f x f x -----===-++，满足条件()f x 为奇函数. （2）不等式()()240f ax f x +-≥对[]1,2x ∈-恒成立 即()()24f x f ax -≥-对[]1,2x ∈-恒成立， 因为()f x 为奇函数，所以()()24f x f ax -≥-对[]1,2x ∈-恒成立（*） 在R 上任取1x ，2x ，且12x x <， 则()()()21121212122221212()()12121212x x x x x x x x f x f x ----=-=++++， 因为21x x >，所以1120x +>，2120x +>，21220x x ->，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在区间(1,)-+∞上单调递减；所以（*）可化为24x ax -≤-对[]1,2x ∈-恒成立，即240x ax +-≤对[]1,2x ∈-恒成立.令()24g x x ax =+-， 因为()g x 的图象是开口向上的抛物线，所以由()0g x ≤有对[]1,2x ∈-恒成立可得：()()10,20,g g ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩即140,4240,a a --≤⎧⎨+-≤⎩ 解得：30a -≤≤，所以实数a 的取值范围是30a -≤≤.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.(1)78;(2)221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩,N x ∈,9天. 【解析】【分析】（1）由题意得第6天后剩余配料为(86)200400-⨯=(千克),从而求得P ； （2）由题意得221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩其中N x ∈. 求出分段函数取得最小值时，对应的x 值，即可得答案.【详解】(1)第6天后剩余配料为(86)200400-⨯=(千克), 所以3(85)6040078200P ⨯-=+⨯=; (2)当6x ≤时,200109021090y x x x =++=+, 当6x >时,23(5)2009060200(6)3167240200x y x x x x -=+++⋅⋅-=++, 所以221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩其中N x ∈. 设平均每天支付的费用为()f x 元, 当06x ≤≤时,2109090()210x f x x x +==+, ()f x 在[0,6]单调递减,所以min ()(6)225f x f ==;当6x >时,2316724080()3167x x f x x x x ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭,可知()f x 在单调递减,在)+∞单调递增,又89<<,(8)221f =,2(9)2203f =,所以min 2()(9)2203f x f == 综上所述,该厂9天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少.【点睛】本题考查构建函数模型解决实际问题、函数的单调性和最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对勾函数图象的应用.。
上海市曹杨二中2023届高一上数学期末含解析
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．若点1(,)M a b 和1(,)N b c 都在直线:1l x y +=上，又点1(.)P c a 和点1(,)Q b c ，则A.点P 和Q 都不直线l 上B.点P 和Q 都在直线l 上C.点P 直线l 上且Q 不在直线l 上D.点P 不在直线l 上且Q 在直线l 上2．最小正周期为2π，且在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的函数是（）A.y = sin x + cos xB.y = sin x - cos xC.y = sin x cos xD.y = sin cos xx3．函数()2tan(3)2f x x π=+的最小正周期为A.2πB.4πC.2D.44．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的表面积为A.(442)π+B.(642)π+C.(842)π+D.(122)π+5．已知函数()3()log 91x f x x =++，则使得()2311log 10f x x -+-<成立的x 的取值范围是（） A.2⎛ ⎝⎭ B.(,0)(1,)-∞⋃+∞C.(0,1)D.(,1)-∞6．函数f (x )=ln(-x )-13x -2的零点所在区间为（ ） A.(-3，-e )B.(-4，-3)C.(-e ，-2)D.(-2，-1)7．设全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =，则()U B A ⋂=（） A.{2}B.{4,6}C.{1,3,5}D.{4,6,7,8}8．设{}{}{}1234512145U A B ===，，，，，，，，，，则U A B ⋃（ ）A.{}1B.{}2C.{}123，，D.{}1245，，， 9．若()4tan 3πα+=-，α是第二象限角，则1sin sin 22παπα=+-⋅（） A.35B.3C.5D.5310．已知集合{}13,5A =,，{}2,,B a b =，若{}1,3A B =，则a b +的值为A.4B.7C.9D.10 11．x R ∀∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，十八世纪，函数[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”，则[][]4.8 3.5--=（）A.0B.1C.7D.8 12．已知函数()()13,1ln 2,1a x x f x x a x ⎧-+<=⎨-≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A.(],4-∞-B.()4,1-C.[)4,1-D.()0,1二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．若扇形的面积为9，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为______14．函数2()(0)2x f x x x =+>的最小值是________. 15．给出下列四个命题：①函数y ＝2sin(2x －3π)的一条对称轴是x ＝512π； ②函数y ＝tan x 的图象关于点(2π，0)对称； ③正弦函数在第一象限内为增函数；④存在实数α，使sin α＋cos α＝32. 以上四个命题中正确的有____(填写正确命题前面的序号).16．若函数()sin(2)f x x θ=+的图象关于直线6x π=-对称，则||θ的最小值是________.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（1）当tan 3α=，求2cos 3sin cos ααα-的值； （2）设()()cos sin 2119cos sin 22f παπααππαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值. 18．已知()224f x x x kx =-++ ()1若2k =，求方程()0f x =的解；()2若关于x 的方程()0f x =在区间()0,4上有两个不相等的实根1x 、2x ：①求实数k 的取值范围；②证明：12112x x +< 19．函数()cos()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）将()f x 的图象向右平移12个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的π倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，若()1g x a =-在7π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个解，求a 的取值范围. 20．已知函数f （x ）2211x x x x -≤⎧=⎨⎩，，＞ （1）求f （f （﹣1））；（2）画出函数的图象并求出函数f （x ）在区间[0，4）上的值域21．2021年8月，国务院教育督导委员会办公室 印发《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》，通知指出，加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理（简称“五项管理”），是深入推进学生健康成长的重要举措．宿州市要对全市中小学生“体能达标”情况进行摸底，采用普查与抽样相结合的方式进行．现从某样本校中随机抽取20名学生参加体能测试，将这20名学生随机分为甲、乙两组，其中甲、乙两组学生人数之比为3：2，测试后，两组各自的成绩统计如下：甲组学生的平均成绩为75分，方差为16；乙组学生的平均成绩为80分，方差为25（1）估计该样本校学生体能测试的平均成绩；（2）求这20名学生测试成绩的标准差s ．（结果保留整数）22．已知()4cos sin 1(0)6f x x x πωωω⎛⎫=⋅-+> ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期为π. （1）求关于x 的不等式()1f x >的解集；（2）求()f x 在[]0,π上的单调区间.参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、B【解析】由题意得：1111a b b c ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，易得点1,Q b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足1 1b c+= 由方程组得1111b a b c b ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，两式相加得11c a +=，即点1,P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 在直线:1l x y +=上， 故选B.2、B【解析】选项A 、B 先利用辅助角公式恒等变形，再利用正弦函数图像的性质判断周期和单调递增区间即可，选项C 先利用二倍角的正弦公式恒等变形，再利用正弦函数图像的性质判断周期和单调递增区间即可，选项D 直接利用正切函数图象的性质去判断即可.【详解】对于选项A ,sin cos y x x =+π24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，最小正周期为2π2π1T ==, 单调递增区间为()πππ2π2π+242k x k k -≤+≤∈Z ，即()3ππ2π2π+44k x k k -≤≤∈Z ， 该函数在3ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则选项A 错误； 对于选项B ,sin cos y x x =-π24x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最小正周期为2π2π1T ==, 单调递增区间为()πππ2π2π+242k x k k -≤-≤∈Z ，即()π3π2π2π+44k x k k -≤≤∈Z ， 该函数在π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为单调递增，则选项B 正确； 对于选项C ,1sin cos sin 22y x x x ==，最小正周期为2ππ2T ==, 单调递增区间为()ππ2π22π+22k x k k -≤≤∈Z ，即()ππππ+44k x k k -≤≤∈Z ， 该函数在ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为单调递增，则选项C 错误； 对于选项D ,sin tan cos x y x x ==，最小正周期为πT =,在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭为单调递增，则选项D 错误； 故选：B .3、C【解析】分析：根据正切函数的周期求解即可 详解：由题意得函数的最小正周期为22T ππ== 故选C点睛：本题考查函数tan()(0)y A x ωϕω=+>的最小正周期，解答此类问题时根据公式T πω=求解即可 4、D【解析】由三视图知几何体为圆柱挖去一个圆锥所得的组合体，且圆锥与圆柱的底面直径都为4，高为2，则圆锥的母线长为222222+=，∴该几何体的表面积S =π×22+2π×2×2+π×2×22=(12+42)π， 故选D.5、C【解析】令21t x x =-+，则3()1log 10f t -<，从而33log (91)1log 10t t ++-<，即可得到133log (91)log (91)1t t ++<++，然后构造函数3()log (91)t g t t =++，利用导数判断其单调性，进而可得23114x x ≤-+<，解不等式可得答案 【详解】令21t x x =-+，则221331()244t x x x =-+=-+≥， 3()1log 10f t -<，所以33log (91)1log 10t t ++-<，所以133log (91)log (91)1t t ++<++，令3()log (91)tg t t =++，则9ln 929'()11(91)ln 391t tt t g t ⨯=+=+++， 所以90t >，所以'()0g t >，所以()g t 在3[,)4+∞单调递增，所以由()(1)g t g <，得314t ≤<， 所以23114x x ≤-+<，解得01x <<， 故选：C【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查函数单调性的应用，解题的关键是换元后对不等式变形得133log (91)log (91)1t t ++<++，再构造函数3()log (91)t g t t =++，利用函数的单调性解不等式.6、A【解析】先计算(3)0f ->，()0f e -<，根据函数的零点存在性定理可得函数1()ln()23f x x x =---的零点所在的区间 【详解】函数1()ln()23f x x x =---，0x <时函数是连续函数， (3)ln3120f -=+->，()1203e f e -=+-<， 故有(3)()0f f e --<，根据函数零点存在性定理可得， 函数1()ln()23f x x x =---的零点所在的区间为(3,)e --，故选：A【点睛】本题主要考查函数的零点存在性定理的应用，不等式的性质，属于基础题7、B【解析】根据题意和补集的运算可得{4678}U A =，，，，利用交集的概念和运算即可得出结果. 【详解】由题意知，{4678}U A =，，， 所以(){46}U B A =，.故选：B8、C【解析】先由补集的概念得到U B ，再由并集的概念得到结果即可 【详解】根据题意得{}U 23B =，，则{}U 123A B ⋃=，， 故选：C9、C 【解析】由题知43sin ,cos 55αα==-，再根据诱导公式与半角公式计算即可得答案. 【详解】解：因为()4tan tan 3παα+==-，α是第二象限角， 所以43sin ,cos 55αα==-，所以1122531cos sin sin cos cos 122225παπαααα====+-+⎛⎫⋅⋅+- ⎪⎝⎭. 故选：C10、A【解析】可知，或，所以．故选A考点：交集的应用11、D【解析】根据函数的新定义求解即可.【详解】由题意可知[][]4.8 3.5--=4－(－4)＝8.故选：D.12、C【解析】分段函数值域为R ，在x ＝1左侧值域和右侧值域并集为R.【详解】当()1,ln 2x f x x a ≥=-，∴当1≥x 时，()2f x a ≥-，∵()f x 的值域为R ，∴当1x <时，()()13f x a x =-+值域需包含(),2a -∞-， ∴10132a a a ->⎧⎨-+≥-⎩，解得41a -≤<， 故选：C.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、6【解析】先由已知求出半径，从而可求出弧长【详解】设扇形所在圆的半径为r ，因为扇形的面积为9，圆心角为2弧度，所以21292r ⨯=，得3r =， 所以该扇形的弧长为236⨯=，故答案为：614、2【解析】直接利用基本不等式即可得出答案.【详解】解：因为0x >， 所以22()2222x x f x x x =+≥⋅=， 当且仅当22x x=，即2x =时，取等号， 所以函数2()(0)2x f x x x =+>的最小值为2. 故答案为：2.15、①②【解析】对于①,将x ＝512π代入得55sin 1,6312x πππ⎛⎫-=∴= ⎪⎝⎭是对称轴,命题正确; 对于②,由正切函数的图象可知, 命题正确;对于③, 正弦函数在2,22k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上是增函数，但在第一象限不能说是增函数，所以③不正确； 对于④, sin cos 2sin 4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,最大值为2,不正确; 故填①②.16、6π 【解析】根据正弦函数图象的对称性求解．【详解】依题意可知2()62k k ππθπ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭Z ， 得5()6k k πθπ=+∈Z ， 所以5||6k πθπ=+， 故当1k =-时，||θ取得最小值6π. 故答案为：6π． 【点睛】本题考查三角函数的对称性．正弦函数sin y x =的对称轴方程是,2x k k Z ππ=+∈，对称中心是(,0),k k Z π∈三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（1）45-；（2【解析】（1）利用商数关系，化弦为切，即可得到结果；（2）利用诱导公式化简，代入3π即可得到结果. 【详解】（1）因为22222cos 3sin cos 13tan cos 3sin cos sin cos tan 1αααααααααα---==++，且tan 3α=， 所以，原式=21334315-⨯=-+ （2）∵()()()cos sin 2119cos sin 22sin sin f tan sin cos παπαααααππαααα⎛⎫+-- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,tan 33f ππ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，涉及到正余弦的齐次式（弦化切），诱导公式，属于中档题.18、（1）2x =-（2）()7,2--①，②见解析【解析】()1当k 2=时，分类讨论，去掉绝对值，直接进行求解，即可得到答案()2讨论两个根1x 、2x 的范围，结合一元二次方程根与系数之间的关系进行转化求解【详解】()1当2k =时，()2242f x x x x =-++， 当2x ≥时，()2224f x x x =+-， 由()22240f x x x =+-=，得220x x +-=，得1x =舍或2x =-； 当2x <时，()24f x x =+，由240x +=得2(x =-舍)；故当2k =时，方程()0f x =的解是2x =- ()2不妨设1204x x <<<，因为()22224,244,02x kx x f x x x kx kx x ⎧+-≥=-++=⎨+<<⎩， 若1x 、[)22,4x ∈，与122x x =-矛盾，若1x 、()20,2x ∈，与4y kx =+是单调函数矛盾，则12024x x <<≤<；则140kx +=…① 222240x kx +-=…② 由①，得：142k x =-<-， 由②，得：(]2222242427,2x k x x x -==-+--； k ∴的取值范围是()7,2--；联立①、②消去k 得：22214240x x x -⋅-=，即212212440x x x x --=， 即2122122x x x x =+，则212112x x x +=， 224x ≤<,222x ∴<，即12112x x +< 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，根据条件判断根的范围，以及利用一元二次方程与一次方程的性质进行转化是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题综合性较强，属于中档试题19、（1）132,244k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z （2）01a <≤或122a +≤< 【解析】（1）根据图像可得函数的周期，从而求得ω，再根据314f ⎛⎫=-⎪⎝⎭可求得ϕ，从而可得函数解析式，再根据余弦函数的单调性借口整体思想即可求出函数的单调增区间； （2）根据平移变换和周期变换可得π()sin 4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()1g x a =-在7π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个解，即为1y a =-与πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象在7π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的交点，令,,244t x t πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，则作出函数sin y t =在,24t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的简图，结合图像即可得出答案. 【小问1详解】解：由题图得2π2T ω==，πω∴=，()cos(π)f x x ϕ∴=+， 33πcos 144f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3ππ2π4k ϕ∴+=+，k ∈Z ， π2π4k ϕ∴=+，k ∈Z ， 又0πϕ<<，π4ϕ∴=，π()cos π4f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭， 令π2ππ2ππ4k x k ≤+≤+，k ∈Z ， 解得132244k x k -≤≤+，k ∈Z ， ∴函数()f x 的单调递减区间为132,244k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ； 【小问2详解】解：将()f x 的图象向右平移12个单位长度得到1ππcos πsin π244y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再将πsin π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的所有点的横坐标伸长为原来的π倍（纵坐标不变），得到函数π()sin 4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象， 若()1g x a =-在7π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个解，则1y a =-与πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象在7π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的交点， 令,,244t x t πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，则作出函数sin y t =在,24t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的简图，结合图像可得112a ≤-<或110a -<-≤，所以a 的取值范围为01a <≤或122a +≤<.20、（1）9（2）图像见解析；值域为[1，16）【解析】(1)先求出(1)f -的值，然后再求((1))f f -的值.(2)在同一坐标系中分别作出函数22,y x y x =-=的图像，在根据各自的定义域选取相应的图像，然后可根据函数图像得出函数在[0，4）上的值域.【详解】（1）∵f （﹣1）＝3，f （3）＝9，∴f （f （﹣1））＝f （3）＝9（2）图象如下：∵f （0）＝2，f （4）＝16，f （1）＝1，根据数图像，可得函数()f x 在区间[0，4）上值域为[1，16）【点睛】本题考查求分段函数的函数值和作出分段函数的图像，并根据函数图像求函数的值域，属于基础题.21、（1）77 （2）5s ≈【解析】（1）由已知可得甲、乙两组学生的人数分别为12、8，求得总分进而可得平均成绩.（2）方法一：由()2211ni s x x n ==-∑变形得()22211n i i s x nx n ==-∑，设甲组学生的测试成绩分别为123,,x x x ，，12x ，乙组学生的测试成绩分别为131415,,x x x ，，20x ．根据方差公式计算可得()22221212121675x x x +++=⨯+，()222213142082580x x x +++=⨯+．计算求得20人的方差，进而得出标准差.方法二：直接使用权重公式计算即可得出结果.【小问1详解】由题知，甲、乙两组学生的人数分别为12、8，则这20名学生测试成绩的平均数75128087720x ⨯+⨯==，故可估计该样本校学生体能测试的平均成绩为77【小问2详解】 方法一：由()2211ni s x x n ==-∑变形得()22211n i i s x nx n ==-∑，设甲组学生的测试成绩分别为123,,x x x ，，12x ，乙组学生的测试成绩分别为131415,,x x x ，，20x 由甲组学生的测试成绩的方差()2222211212112751612s x x x ⎡⎤=+++-⨯=⎣⎦，得()22221212121675x x x +++=⨯+ 由乙组学生的测试成绩的方差()2222221314201880258s x x x ⎡⎤=+++-⨯=⎣⎦，得()222213142082580x x x +++=⨯+故这20名学生的测试成绩的方差 ()()22222222121213262012020s x x x x x x x ⎡⎤=+++++++-⨯⎣⎦()()222112167582580207720⎡⎤=⨯++⨯+-⨯⎣⎦ 25.6=所以5s =≈（方法二）直接使用权重公式()()2221281675772580772020s ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦ 681225.65=+=所以5s =≈.22、（1）++,62x k x k k Z ππππ⎧⎫<<∈⎨⎬⎩⎭（2）单调递增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为5,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）首先利用两角差的正弦公式及二倍角公式将函数化简，再根据函数的最小正周期求出ω，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）由x 的取值范围，求出26x π-的范围，再跟正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 解：因为()4cos sin 1(0)6f x x x πωωω⎛⎫=⋅-+> ⎪⎝⎭所以()4cos sin cos cos sin 166f x x x x ππωωω⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭2cos 2cos 1x x x ωωω=⋅-+12cos 222cos 22sin 2226x x x x x πωωωωω⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()2sin 26f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由0>ω及()f x 的最小正周期为π，所以222Tπω==，解得1ω=； ()2sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ 由()1f x >得1sin 262x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭，()5+22+2666k x k k Z πππππ∴<-<∈，解得()++62k x k k Z ππππ<<∈， ∴所求不等式的解集为++,62x k x k k Z ππππ⎧⎫<<∈⎨⎬⎩⎭小问2详解】 解：()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]0,x π∈，112,666x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦sin y t =在,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和311,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，在3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减， 令2662x πππ-≤-≤，解得03x π≤≤；令3112266x πππ≤-≤，解得56x ππ≤≤；令32262x <-<πππ，解得536x <<ππ； 所以()f x 在[]0,π上的单调递增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为5(,)36ππ；。
上海市曹杨第二中学2021-2022学年高一数学理上学期期末试题含解析
上海市曹杨第二中学2021-2022学年高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的函数解析式为()A．y＝x(x>0) B．y＝x(x>0)C．y＝x(x>0) D．y＝x(x>0)参考答案：C2. 在边长为的正三角形ABC中，设, , , 则等于（）A．0 B．1 C．3 D．－3参考答案：D略3. 已知集合M={(x，y)|4x＋y=6}，P={(x，y)|3x＋2y=7}，则M∩P等于（）A．(1，2) B．{(1，2)} C．{1，2} D．{1}∪{2}参考答案：B略4. 函数y=x2﹣x﹣2的零点为（）A．﹣1、2 B．1、﹣2 C．1、2 D．无零点参考答案：A【考点】二次函数的性质；函数的零点．【分析】令y=0，可得x2﹣x﹣2=0，解方程可得函数的零点．【解答】解：令y=0，可得x2﹣x﹣2=0，∴x=﹣1或2∴函数y=x2﹣x﹣2的零点为﹣1、2故选A．5. 幂函数在时是减函数，则实数m的值为( )(A) 或 (B) (C) (D) 或参考答案：B6. 下列各组函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的是（）A.与B.f(x)=x与C.f(x)=x与D.与g(x)=x+2参考答案：C7. 计算的结果为（）(A)-5 (B)(C)5 (D )参考答案：B8. 已知函数ｆ（ｘ)是定义在区间［－２，２］上的偶函数，当ｘ∈［０，２］时，ｆ(ｘ)是减函数，如果不等式ｆ（１－ｍ）＜ｆ（ｍ）成立，求实数ｍ的取值范围Ａ．Ｂ．［１，２］Ｃ．［－１，０］Ｄ．（）参考答案：A9. 已知函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣a|（a≠0），，则f（x），h（x）的奇偶性依次为( )A．偶函数，奇函数B．奇函数，偶函数C．偶函数，偶函数D．奇函数，奇函数参考答案：D考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的定义，根据绝对值的性质，判断f（﹣x）与f（x）的关系，可以判断f （x）的奇偶性，分类讨论h（﹣x）与h（x）的关系，可以判断h（x）的奇偶性解答：解：∵f（x）=|x+a|﹣|x﹣a|（a≠0），∴f（﹣x）=|﹣x+a|﹣|﹣x﹣a|=|x﹣a|﹣|x+a|=﹣f（x）∴f（x）为奇函数；∵，当x＞0时，﹣x＜0，h（﹣x）=（﹣x）2+（﹣x）=x2﹣x=﹣h（x），当x＜0时，﹣x＞0，h（﹣x）=﹣（﹣x）2+（﹣x）=﹣x2﹣x=﹣h（x）当x=0时，h（0）=0，也满足h（﹣x）=﹣h（x）故h（x）为奇函数；故选D点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，其中熟练掌握函数奇偶性的定义是解答的关键10. △ABC中，D在AC上，且，P是BD上的点，，则m的值是（）A．B．C．D．1参考答案：A【考点】向量在几何中的应用．【分析】由已知可得，进而可得=，由P是BD上的点，可得m+=1，即可得到m．【解答】解：∵，∴，∴=，∵P是BD上的点，∴m+=1．∴m=．故选：A【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，三点共线的充要条件，难度中档．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 三棱锥中，，是等腰直角三角形，.若为中点，则与平面所成的角的大小等于参考答案：12. 若函数y=a x（a＞0，a≠1）在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为6，则实数a= ．参考答案：2【考点】指数函数的图象与性质．【分析】两种情况：（1）当a＞1时，函数y=a x在区间[1，2]上是增函数，所以ymax=a2 y min=a，由于最小值和最大值之和6，所以建立方程a2+a=6解得：a=2或﹣3（负值舍去）（2）0＜a＜1，函数y=a x在区间[1，2]上是减函数，所以：ymax=a ymin=a2，由于最小值和最大值之和6，所以建立方程，即a2+a=6，解得：a=2或﹣3，因为0＜a＜1，所以都舍去．【解答】解：（1）当a＞1时，函数y=a x在区间[1，2]上是增函数，所以ymax=a2 y min=a，由于最小值和最大值之和6，即：a2+a=6，解得：a=2或﹣3（负值舍去）；（2）0＜a＜1，函数y=a x在区间[1，2]上是减函数，所以：ymax=a ymin=a2，由于最小值和最大值之和6，即：a2+a=6，解得：a=2或﹣3，而0＜a＜1，故都舍去；故答案为：2．13. 已知函数的定义域为，的定义域为，则。
2022-2023学年上海市曹杨高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年上海市曹杨第二中学高一上学期期末数学试题一、填空题1．若120角的终边经过点()1,P a -，则实数a 的值为_______.【分析】利用三角函数的定义以及诱导公式求出a 的值.【详解】由诱导公式得()tan120tan 18060tan 603=-=-=-，另一方面，由三角函数的定义得tan1201aa ==-=-a =【点睛】本题考查诱导公式与三角函数的定义，解题时要充分利用诱导公式求特殊角的三角函数值，并利用三角函数的定义求参数的值，考查计算能力，属于基础题.2．函数()f x =________． 【答案】[2，+∞）【详解】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域. 详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞. 点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题. 3．已知幂函数()f x 的图象过点1(2,)4，则()f x 的单调减区间为______．【答案】(0,)+∞【分析】由已知可设()f x x α=,由题意有1(2)4f =，解得2α=-,即2()f x x -=,再结合函数()f x 的单调性可得解.【详解】解:因为()f x 为幂函数,设()f x x α=,由函数()f x 的图象过点1(2,)4，则124α=,即2α=-, 即2()f x x -=,故()f x 的单调减区间为(0,)+∞, 故答案为 (0,)+∞.【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法及幂函数的单调性，重点考查了幂函数的定义，属基础题.4．设a 为常数，集合()21,1A x y y x ⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭，集合(){},B x y x a ==，则A B ⋂的元素个数为__________． 【答案】1【分析】由交集定义可确定A B ⋂，由此可得元素个数.【详解】()221,,111x aA B x y a a y x ⎧⎫=⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎛⎫⋂==⎨⎨⎬⎨⎬ ⎪+=⎝⎭⎩⎭⎪⎪⎪+⎩⎩⎭，A B ∴的元素个数为1.故答案为：1.5．设a 、b 为常数，若关于x 的不等式230ax x --<的解集为()1,b -，则b =__________． 【答案】32【分析】分别讨论0a =、0a ≠，其中0a ≠时，根据解集为()1,b -得0a >，1,x x b 均为230ax x --=的根，即可列式求解.【详解】当0a =，不等式230ax x --<的解集为()3,-+∞，与题意不符； 当0a ≠，不等式230ax x --<的解集为()1,b -，则0a >，∴1,x x b 为230ax x --=的根，且1b >-，则1131b ab a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⋅=-⎪⎩，解得32,2a b ==.故答案为：326．设函数()210y x x =+≥的反函数为()1y f x -=．若()12f a -=，则=a __________．【答案】5【分析】根据反函数的性质即可求解.【详解】2()1f x x =+，0x ≥,且()12f a -=所以2(2)21f a =+=，所以5a =， 故答案为：5.7．己知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，()21xf x =-，则函数()y f x =的值域为__________． 【答案】()1,1-【分析】根据函数的奇偶性得到函数解析式，画出函数图像，根据图像得到值域.【详解】当0x >时，0x -<，则()()()2121x xf x f x --=--=--=-+，故()21,021,0x x x f x x -⎧-+>=⎨-≤⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知，函数值域为()1,1-. 故答案为：()1,1-8．己知函数()y f x =满足：对任意非零实数x ，均有2112f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()3f =__________．【答案】7【分析】取13x x +=，则2221127⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭x x x x ，得到答案.【详解】2112f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，取13x x +=，则2221127⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭x x x x ，即()37f =.故答案为：7 9．若sin cos 1sin cos 2αααα-=+，则2sin cos cos ααα+=__________．【答案】25##0.4【分析】根据sin cos 1sin cos 2αααα-=+得到tan 3α=，变换22tan 1sin cos cos 1tan ααααα++=+，计算得到答案.【详解】sin cos tan 11sin cos tan 12αααααα--==++，解得tan 3α=，22222sin cos cos tan 1312sin cos cos sin cos 1tan 105αααααααααα++++====++.故答案为：2510．已知13a <<，设函数()y f x =的表达式为()4f x x x=+．若存在[]11,x a ∈，[]2,3x a ∈，使得()()12452f x f x ⋅≥，则实数a 的最大值为__________． 917- 【分析】先分析出()()12max max 452f x f x ⋅≥，由()()1,3f f 的值可得()()45132f f ⋅<，转化为()()2145a f f ⋅≥，求出实数a 的最大值. 【详解】因为存在[]11,x a ∈，[]2,3x a ∈，使得()()12452f x f x ⋅≥， 所以只需()()12max max 452f x f x ⋅≥. 由对勾函数的性质可知：()4f x x x=+在[]1,2上单减，在[]2,3上单增. 而()1145f =+=，()4133333f =+=，且()4f x x x =+在[]1,3上的最小值为()42242f =+=，()4f x x x=+在[]1,3上的最大值为()15f =，所以()0f x >恒成立. 所以()()1max 15f x f ==. 设()()43f m m f m=+=，解得：43m =.因为()()13f f >，()()136545135332f f ⋅=⨯=<， 所以要使()()12452f x f x ⋅≥成立，只需()()451243f f a a ⎧⋅≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，即4554243a a a ⎧⎛⎫⨯+≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪≤⎪⎩解得：a ≤由13a <<，所以1a ≤<故实数a.. 11．若实数a 、b 、c 满足221a b c +=≤，则a b c +-的最大值为__________． 【答案】12##0.5【分析】利用基本不等式得到a b +≤a b c +-转化为a b c c +-≤，利用二次函数求出最大值.【详解】因为()()2222222a b a ab b a b +=++≤+，所以a b +a b +≤所以a b c c +-≤.因为221a b c +=≤，所以01c≤≤，所以01≤≤.因为212a b c c +-≤=-+⎭，=a b c +-取得最大值12.故答案为：12.12．已知a ∈R ，若函数()()1,122,1a x y x x a x a x ⎧-<⎪=-⎨⎪--≥⎩，恰有两个零点，则a 的取值范围是__________． 【答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】令0y =，对两根的来源进行分析，对a 分类讨论，分别求出对应的范围.【详解】当0a =时，令0y =可得：1102x x <⎧⎪⎨=⎪-⎩或()()1000x x x ≥⎧⎨--=⎩，均无解，不符合题意；当0a ≠时，令0y =可得：1102x a x <⎧⎪⎨-=⎪-⎩或()()120x x a x a ≥⎧⎨--=⎩ 若01a <<，由1102x a x<⎧⎪⎨-=⎪-⎩解得：121x a =-<符合题意.因为函数()y f x =恰有两个零点，所以()()120x x a x a ≥⎧⎨--=⎩只有一解，所以21x a =≥符合题意，此时12a ≥. 即112a ≤<. 若0a ≤或1a ≥时，1102x a x<⎧⎪⎨-=⎪-⎩无解；要使函数()y f x =恰有两个零点，则()()120x x a x a ≥⎧⎨--=⎩有两解， 所以需21a a >≥，解得：1a ≥. 综上所述：12a ≥. 所以a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、单选题13．已知α是第四象限的角，则点()tan ,cos P αα在（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】根据题意，由α所在象限可判断三角函数的符号，可得tan 0,cos 0αα<> ，可得答案． 【详解】根据题意，α 是第四象限角，则tan 0,cos 0αα<>， 则点()tan ,cos P αα在第二象限, 故选：B ．14．己知非零实数,a b 满足a b >，则下列不等式中恒成立的是（ ）． A ．22a b > B ．11a b> C ．22a b ab > D ．22a b b a> 【答案】D【分析】通过反例可知ABC 错误；采用作差法可知D 正确. 【详解】对于A ，若1a =，2b =-，则22a b <，A 错误； 对于B ，若2a =，1b =，则11a b<，B错误； 对于C ，若0a >，0b <，则220a b ab <<，C 错误； 对于D ，332222a b a b b a a b--=，3y x =为R 上的增函数，33a b ∴>，220a b b a ∴->，即22a bb a >，D 正确. 故选：D.15．“北溪”管道泄漏事件的爆发，使得欧洲能源供应危机成为举世瞩目的国际公共事件．随着管道泄漏，超过8万吨类似甲烷的气体扩散到海洋和大气中，将对全球气候产生灾难性影响．假设海水中某种环境污染物含量P （单位：mg/L ）与时间t （单位：天）之间的关系为：0e ktP P -=⋅，其中0P 表示初始含量，k 为正常数．令2121P P t t μ-=-为[]12,t t 之间的海水稀释效率，其中1P 、2P 分别表示当时间为1t 、2t 时的污染物含量．某研究团队连续20天不间断监测海水中该种环境污染物含量，按照5天一期进行记录，共分为四期，即[]0,5、[]5,10、[]10,15、[]15,20分别记为Ⅰ期、Ⅱ期、Ⅲ期、Ⅳ期，则稀释效率最高的是（ ）． A ．Ⅰ期 B ．Ⅱ期C ．Ⅲ期D ．Ⅳ期【答案】A【分析】根据题意分别表示出1234,,,μμμμ，然后利用指数函数的性质比较可得结论.【详解】由于0e ktP P -=⋅，其中0P 表示初始含量，k 为正常数，令2121P P t t μ-=-为[]12,t t 之间的海水稀释效率，所以第Ⅰ期的55001(e 1)(1e )505k k P P μ----==-，同理第Ⅱ期的5502e (1e )5k k P μ---=第Ⅲ期的10503e (1e )5k k P μ---=，第Ⅳ期的15504e (1e )5k k P μ---=，因为0k >，所以051015k k k >->->-， 所以510151e e e k k k --->>>， 所以1234μμμμ>>>， 所以稀释效率最高的是Ⅰ期， 故选：A16．已知函数()y f x =是区间(),-∞+∞上的严格减函数，且其零点为0x ，则“00x >”是“存在非零实数a ，使得()()()f x a f x f a +<+对任意x ∈R 成立”的（ ）． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】C【分析】根据题意，先判断充分性，再判断必要性即可求解.【详解】由题意，函数()y f x =是区间(),-∞+∞上的严格减函数，且零点为0x ，则()0=0f x . 先判断充分性：由00x >，则令0a x =，则有()()()()()00f x a f x x f x f x f x +=+<=+， 故存在非零实数a ，使得()()()f x a f x f a +<+对任意x ∈R 成立.所以“00x >”是“存在非零实数a ，使得()()()f x a f x f a +<+对任意x ∈R 成立”的充分条件. 再判断必要性：存在非零实数a ，使得()()()f x a f x f a +<+对任意x ∈R 成立，因此有()()()00f x a f x f a +<+，即()()0f x a f a +<， 所以0x a a +>，即00x >.所以“00x >”是“存在非零实数a ，使得()()()f x a f x f a +<+对任意x ∈R 成立”的必要条件. 综上所述，“00x >”是“存在非零实数a ，使得()()()f x a f x f a +<+对任意x ∈R 成立”的充要条件. 故选：C.三、解答题17．己知集合212x A xx ⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，集合{}2B x x a =-≤． (1)当1a =-时，求A B ⋃；(2)若“x B ∈”是“x A ∉”的充分条件，求实数a 的取值范围． 【答案】(1){}|32A B x x ⋃=-≤<； (2){|4a a ≤-或}4a ≥.【分析】（1）解出集合,A B ，进而求A B ⋃；（2）先求出UA ，利用集合的包含关系列不等式，即可求解.【详解】（1）{}2|1|222x A x x x x ⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭，{}{}|||2|22B x x a x a x a =-≤=-≤≤+. 当1a =-时，{}|31B x x =-≤≤.因为{}|22A x x =-<<，所以{}|32A B x x ⋃=-≤<. （2）因为{}|22A x x =-<<，所以{U|2A x x =≤-或}2x ≥.因为“x B ∈”是“x A ∉”的充分条件， 所以UB A ⊆，所以22a +≤-或22a -≥，解得：4a ≤-或4a ≥.所以实数a 的取值范围为{|4a a ≤-或}4a ≥.18．己知函数()y f x =的表达式为()()21f x x x x a =-+-．(1)若1a =，求方程()1f x =的解集；(2)若函数()y f x =在区间(),-∞+∞上是严格减函数，求实数a 的取值范围． 【答案】(1){}[)11,-⋃+∞ (2)(],1-∞-【分析】（1）对x 分类讨论得()f x 的分段函数，再解分段函数方程即可；（2）函数()y f x =在区间(),-∞+∞上是严格减函数，由分段函数为减函数列不等式求解即可. 【详解】（1）()()()()221,121,a x a x a f x x x x a x a x a x a ⎧-+≥⎪=-+-=⎨---<⎪⎩，当1a =，即()21,121,1x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，故当1,1x f x；当21,2111x f x x x .故所求解集为{}[)11,-⋃+∞.（2）∵函数()y f x =在区间(),-∞+∞上是严格减函数，则有112a a a <⎧⎪⎨-≥⎪⎩,解得1a ≤-，故实数a 的取值范围为(],1-∞-19．提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v 和车流密度x 满足关系式：50,030665,30120160x x v k x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪-⎩(0)k >．研究表明：当隧道内的车流密度120x =时造成堵塞，此时车流速度0v =． (1)若车流速度40v ≥，求车流密度x 的取值范围；(2)定义隧道内的车流量为y x v =⋅，求隧道内的车流量y 的最大值，并指岀当车流量最大时的车流密度x ．【答案】(1)(0,56](2)y 的最大值为2600，此时车流密度为80.【分析】(1)根据120x =时，0v =求出k 的值，然后分段讨论车流速度40v ≥时车流密度x 的取值，进而得出结论；(2)根据题意得出y 关于x 的函数表达式，根据x 的取值范围讨论车流量y 的最大值，最后进行比较得出结果.【详解】（1）由题意可知：当120x =时，0v =， 所以065160120k=--，解得：2600k =，所以50,0306260065,30120160x x v x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪-⎩，当030x <≤时，50406xv =-≥，解得：60x ≤，所以030x <≤； 当30120x <≤时，26006540160v x=-≥-，解得：56x ≤，所以3056x <≤，综上：车流速度40v ≥，车流密度x 的取值范围为(0,56].（2）由题意可得：25,0306260065,30120160x x x y x v x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⋅=⎨⎪-<≤⎪-⎩，当030x <≤时，()()22211503001503750666x y x x x x =-=--=--+，由二次函数的性质可知：当30x =时，y 取最大值为1350； 当当30120x <≤时，1600x -> 26004040(160)64006565()65[]160160160x x x y x x x x x x -+=-=-=+---640065[(160)200]160x x =-++- 640065[(160)200]160x x=--+--6522002600⎛⎫≤-= ⎪ ⎪⎝⎭（当且仅当6400160160x x -=-，即80x =时取等） 所以当80x =时，y 取最大值为2600，综上可知： y 的最大值为2600，此时车流密度为80.20．设a 是大于1的常数，()x xf x a m a -=+⋅，己知函数()y f x =是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若对任意的实数x ，关于x 的不等式()()2220f x x f x k -+++<均成立，求实数k 的取值范围；(3)证明：关于x 的方程()1x f x a x-=-有且仅有一个实数解；设此实数解为0x ，试比较0x 与()0log 2a x -的大小． 【答案】(1)1m =- (2)9,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭(3)见解析【分析】（1）由()y f x =是奇函数可得()000=0f a m a =+⋅，即可求出实数m 的值；（2）由函数的奇偶性化简抽象不等式，利用单调性可得2230x x k -->对任意的实数x 恒成立，即()Δ9420k =+⨯⋅-<，解不等式即可得出答案.（3）设()()11x x g x f x a a x x -=--=-，进而得唯一实数根01,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =，即0010x a x -=，故00log 0a x x +=，再结合0012x x +>得()00001log 2log log a a a x x x x -<=-=得答案.【详解】（1）己知函数()x x f x a m a -=+⋅是奇函数，()000=0f a m a =+⋅，解得：1m =-所以()()1x x f x a a a -=->.（2）对任意的实数x ，关于x 的不等式()()2220f x x f x k -+++<均成立，则()()222f x x f x k -+<-+，因为函数()y f x =是奇函数，所以()()()2222f x x f x k f x k -+<-+=--，因为()x x f x a a -=-，1a >，所以()x x f x a a -=-在R 上单调递增，所以222x x x k -+<--对任意的实数x 恒成立，所以2230x x k -->对任意的实数x 恒成立，所以()Δ9420k =+⨯⋅-<，解得：98k <-.实数k 的取值范围为9,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；（3）设()()11x xg x f x a a x x -=--=-，因为当(),0x ∈-∞时，()0g x <，所以()0g x =在区间(),0∞-上无实数根，当()0,x ∈+∞时，因为()110g a =-<，110a g a a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， 所以01,1x a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =，又()1x g x a x =-在()0,∞+上单调递减，所以()0g x =存在唯一实数根01,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； 所以方程()1x f x a x -=-有且仅有一个实数解. 因为0010x a x -=，所以00log 0a x x +=， 又0012x x +>，所以0012x x -<， 所以()00001log 2log log a aa x x x x -<=-=. 所以()00log 2a x x -< 21．已知函数()y f x =在区间[)1,+∞上有定义，实数a 、b 满足1a b ≤<．若()y f x =在区间(],a b 上不存在最小值，则称函数()y f x =在区间(],a b 上具有性质P ．(1)若函数y x m =-在区间(]1,2上具有性质P ，求实数m 的取值范围；(2)已知函数()y f x =满足()()()11f x f x x +=-∈R ，且当12x <≤时，()f x x =．试判断函数()y f x =在区间(]1,4上是否具有性质P ，并说明理由；(3)已知对满足1a b ≤<的任意实数a 、b ，函数()y f x =在区间(],a b 上均具有性质P ，且对任意正整数n ，当(),1x n n ∈+时，均有()()()()()()11f n f x f x f n f n f n -+-+=-+．证明：当1x ≥时，()()2f x f x >．【答案】(1){}1m m ≤；(2)()y f x =在区间(]1,4具有性质P ；(3)证明见详解.【分析】（1）分别讨论m 与1和2的关系，即可得出()f x 是否存在最小值，从而求出m 的取值范围；（2）由题目条件可得出()y f x =在区间(]1,4上如果有最小值，则最小值必在区间(]3,4上取到，找到函数在区间(]3,4上单调性，确定最小值是否存在；（3）首先证明对于任意*n ∈N ，()(1)f n f n <+，当(],1x n n ∈+时，()()(1)f n f x f n <≤+，(]2,222x n n ∈+，21n n ≥+，再证得结果．【详解】（1）,,m x x m y x m x m x m-<⎧=-=⎨-≥⎩，当(1,2]m ∈时，函数在区间()1,m 上单调递减，在区间(],2m 上单调递增，y x m =-存在最小值()f m ；当m>2时，y x m =-在区间(]1,2上单调递减，最小值为(2)f ；当1m 时，y x m =-在区间(]1,2上单调递增，不存在最小值；所以实数m 的取值范围为{}1m m ≤．（2）因为1x >时，()()()11f x f x f x +=-<，当12x <≤时，()f x x =．所以()f x 在区间(]1,4上如果有最小值，则最小值必在区间(]3,4上取到.另一方面，由()()11f x f x +=-可得()()11f x f x =--，故,12()2,234,34x x f x x x x x <≤⎧⎪=-<≤⎨⎪-<≤⎩，()f x 在区间(]3,4上单调递增，不存在最小值，所以()y f x =在区间(]1,4具有性质P ．（3）对于任意*n ∈N ， 当(,1)x n n ∈+时，有|()()||()(1)||()(1)|f n f x f x f n f n f n -+-+=-+,所以[][]()()()(1)0f n f x f x f n --+≥，若(1)()()f n f x f n +≤≤成立，()(1)f n f n ≥+，()f x 在区间(],1n n +上有最小值(1)f n +，所以()f x 在区间(],a b 上有最小值()f b ，不具有性质P ，不合题意，所以()(1)f n f n <+，当(],1x n n ∈+时，()()(1)f n f x f n <≤+，故()f x 在区间(],a b 上没有最小值，满足题意，当1x =时，()()21f f >显然成立；当1x >时，则一定存在*n ∈N ，使得(],1x n n ∈+时，则(]2,222x n n ∈+，21n n ≥+，()()()()221f x f n f n f x ∴>≥+≥，即(2)()f x f x >．所以综上所述：当1x ≥时，(2)()f x f x >．【点睛】方法点睛：（1）含有绝对值的函数求最值，首先去掉绝对值，转化为分段函数，由每一段的单调性考查最值情况；（2）具有递推关系的函数，需要根据自变量的取值范围进行推理，用已知段的函数变形表示；（3）绝对值不等式a b a b +≤+，注意等号成立条件0ab ≥，a b a b -≤+等号成立条件0ab ≤.。