随机信号分析第2章--随机信号
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f (x;t)为其一维概率密度函数。
13
二维概率分布
为了描述随机信号在任意两个时刻 t1 和t2 的状态之间的内在联系，可以引入二维随机 向量 ( X (t1), X (t2 )) 的分布函数 F (x1, x2;t1,t2 )
F(x1, x2;t1,t2 ) PX (t1) x1; X (t2 ) x2
第二章 随机信号
1
本章的主要内容 随机信号的基本概念 随机信号的概率分布函数 随机信号的概率密度函数 随机信号基本的矩函数 正交 互不相关与统计独立
2
几个简单的定义 对接收机的噪声电压作观察
样本函数：x1(t), x2 (t),, xn (t) 都是时间的函数， 称为样本函数。
3
例 用投币实验产生信号。进行投币实验并规定 正面对应250Hz的余弦波，反面对应250Hz的 正弦波。可见，实验有2种结果波形：
X (t1),, X (tn )构成n维随机变量。类似地，可 以定义n维概率分布函数和概率密度函数。
F (x1, x2 ,, xn;t1, t2 ,,tn ) PX (t1) x1; X (t2 ) x2;; X (tn ) xn
f
(x1,
x2
,,
xn
;
t1,
t2
,, tn
)
nF
(x1,
x2 ,, x1x2
f
(u1,u2 ,,un;t1,t2 ,,tn )
1
n
(A0 ) 2
exp
u12
u22 un2 A0
19
基本数字特征 随机变量的矩函数是确定值；随机信号的矩函
数是确定性时间函数。 对随机信号矩函数的计算方法：先把时间t固定，
再用对随机变量的矩函数计算方法来计算。
20
1、均值函数
X (t) E X (t)
定义2 ：设随机实验E的样本空间S ，若对于每个
元素 s S ，总有一个确知的时间函数 X (t, s) 与 它对应，这样，对于所有的 s S ，就可以得到一
簇时间t的函数，称它为随机信号。簇中的每一个 函数称为样本函数。
8
定义的理解： 上面两种对随机信号的定义，从两个角度描述
了随机信号。具体的说，作观测时，常用定义2， 这样通过观测的实验样本来得到随机信号的统计特 性；对随机信号作理论分析时，常用定义1，这样 可以把随机信号看成为n 维随机变量，n越大，采样 时间越小，所得到的统计特性越准确。
第n个婴儿的性别记为Xn（ξ），一个二值随机 变量
5
随机性：一次实验，随机信号必须取一个 样本函数，但所取的样本函数是哪一个， 带有随机性。但是，能肯定为所有可能波 形中的一个。因此，随机信号不仅是时间t 的函数，还是实验可能结果的函数，记做 X(t,s)，简写作X(t)。
6
§2.1随机信号的定义及分类
18
例1.1 随机信号U(t)的一维概率密度函数为
f (u,t)
1
A0
exp
u2 A0
不同时刻的随机变量彼此统计独立，求其n维
概率密度函数。
解：t1,t2 ,,tn 时刻，随机变量 X (t1), X (t2 ),, X (tn ) 统计独立，则
f (u1, u2 ,, un;t1, t2 ,, tn ) f (u1;t1). f (u2;t2 ),, f (un;tn )
合概率密度； （2）任意t1和t2时随你信号的二维联合概率密
度函数。 解：X(t1)与X(t2)的取值
X (t1) scions((550000tt11))
p 0.5 p 0.5
X (t2 ) scions((550000tt22))
p 0.5 p 0.5
f (x1, x2;t1,t2 ) 0.25 (x1 cos(500 t1), x2 cos(500t2 ))
12
基本概率特性
一、一维概率分布 随机信号 X (t) 在任意 t T 时刻的取值 X (t)
是一维随机变量。概率 PX (t) x 是取值 x ，时
刻 t 的函数，记做
F(x;t) PX (t) x
称为随机信号 X (t) 的一维概率分布函数。 若有F(x;t) 偏导数存在，则有
f (x;t) F(x;t) x
0t2
cos0t1
0t2
2
1 2
cos(0t1
0t2
)
34
(3) 一、二阶密度函数 令 X1 X (t1) Acos(0t1)
称为随机信号X(t)的二维概率分布函数。
若 F (x1, x2;t1,t2 ) 对 x1, x2 的二阶混合偏导 存在，则
f
(x1,
x2;t1,t2 )
2F (x1, x2;t1,t2 ) x1x2
称为随机信号X(t)的二维概率密度函数。
14
n维概率分布 随机信号X(t)在n个时刻t1,t2,tn 的取值
差函数。
X (t) E X 2 (t)
x2 f (x;t)dx
2 X
(t)
VarX
(t)
E
(
X
(t)
X
(t))
2
且
2 X
(t )
E
X
2 (t)
X 2 (t)
物理意义：如果 X (t) 表示噪声电压，则均方值
函数
E[ X
2 (t)]
和方差函数
2 X
(t)
分别表示消耗在
单位电阻上的瞬时功率统计平均值和瞬时交流
(t1,t2 )
C(t1,t2 ) C(t1,t1)C(t2,t2 )
5、互相关函数和互协方差函数
两个随机信号X(t)和Y(t)的互相关函数定义为
RXY (t1, t2 ) E X (t1)Y (t2 ) xyf (x, y;t1, t2 )dxdy
两个随机信号的互协方差函数定义为
sin 0tEcos cos0tEsin
Ecos
2π
cos f ( )d
2π
cos
1 d 0
0
0
2π
同理：Esin 0
X (t) 0
(2) 自相关函数
RX (t1,t2 ) EX (t1) X (t2 ) Esin(0t1 ) sin(0t2 )
E
1 2
cos0t1
一.随机信号的定义 在概率论中，我们对随机变量及其特性进
行了研究，此时随机变量在实验中的结果与时 间 t 无关。而在实际中，经常会遇到随机变量 会随着时间 t 而变化，这时的随机变量就称为 随机信号。记为X(t,s)
随机变量 随机信号
与时间无关 与时间有关
7
定义1：若对于每个特定的时间 ti (i 1,2,) ，X (ti , s) 都是随机变量，则称 X (t, s) 为随机信号， X (ti , s) 称 为随机信号在 t ti 时刻的状态。
xf (x;t)dx
显然，X (t)是某个平均函数，随机信号的各样本 函数在它附近起伏变化。
物理意义：描述了所有样 本函数在各个时刻的摆动 中心。
21
2、均方值函数和方差函数
随机信号X(t)在任一时刻t的取值是一个随
机变量X(t)。 X(t)的二阶原点矩称为随机信号
的均方值函数；二阶中心矩称为随机信号的方
x1(t) cos(500 t) 与 x2 (t) sin(500 t) ，于
是，该实验产生的是这两种可能波形中的一种， 是一个随机函数。 这样一个信号就是随机信号，记为：
X (t, s) cos(500t I (s) 2)
其中，I (s) 是取值0、1等概的随机变量。
4
例 医院登记新生儿性别，男婴记为1，女婴记 为0。这份记录可能是：10011010……，也可 能是：001010110 ……，等等。可见这份记录 本质上式无穷多种数列中的某个不能事先确知 的数列，它是具有某种统计规律的随机数列。
0.25 (x1 cos(500 t1), x2 sin(500 t2 )) 17
0.25 (x1 sin(500 t1), x2 cos(500 t2 )) 0.25 (x1 sin(500 t1), x2 sin(500 t2 )) 而代入t1=0.5ms，t2=1ms f (x1, x2;t1,t2 ) 0.25 (x1 0.707, x2 ) 0.25 (x1 0.707, x2 1) 0.25 (x1 0.707, x2 ) 0.25 (x1 0.707, x2 1)
CXY (t1, t2 ) E X (t1) X (t1) Y (t2 ) Y (t2 )
RXY (t1, t2 ) X (t1)Y (t2 )
(x X (t1))( y Y (t2 )) f (x, y;t1, t2 )dxdy
26
自相关函数与互相关函数图
27
检测淹没在随机噪声中的周期信号
随机变量 0 与相位随机变量 ，以时间参量
t建立随机信号 W (t, s) Asin(0t )
，观察信号随参量t的各次过程，其样本函数 呈现出正弦函数规律。W (t) 称为正弦随机信 号。
无数个正弦样本函数组成了正弦随机信号，符合 定义2中对于随机信号的描述。
33
(1)均值
X (t) Esin(0t ) Esin 0t cos cos0t sin
实随机变量 X (t) 与之对应，就称依赖于参量 t
的随机变量族X (t), t T 为实随机信号或随机
过程。
11
二、随机信号的分类 1.按时间参量来分类
时间连续的随机信号：时间t是连续的。 如：正弦随机信号，二进制传 输信号 时间离散的随机信号：时间t是离散的。 如：贝努里随机信号 2.按信号状态取值分类 取值连续的随机信号：X(t)值是连续的 如：正弦随机信号 取值离散的随机信号：X(t)值是离散的 如：贝努里随机信号，二进制传输信号 还有很多的分类方法
功率统计平均值。
22
3、自相关函数 先比较两个具有相同均值函数和方差函数的随 机信号。
23
上述的随机信号均值函数和方差函数相同，但 从样本函数看，两者明显不同。X(t)时间变化 慢，不同时刻的两个状态之间依赖性强（相关 性强）。Y(t)随时间变化快，不同时刻的两个 状态之间依赖性弱（相关性弱）。因此，均值 函数和方差函数不能反映随机信号内部变化的 快慢，相关性的强弱。
一般用自相关函数来描述随机信号任意两个状 态之间的相关程度。
24
自相关函数描述的是随机信号任意两个时刻 的状态之间的内在联系。
R(t1, t2 ) E
X (t1) X (t2 )
ห้องสมุดไป่ตู้
x1x2
f
(x 1
,
x2 ; t1 ,
t2
)dx1dx2
4、自协方差函数和相关系数函数
自协方差函数是随机信号任意两个时刻的随机 变量的二阶混合中心矩。反映了任意两时刻 的起伏值之间的相关程度。
X(0.001)=T=1， p=0.5
f X (0.001) (x) 0.5 (x) 0.5 (x 1)
f (x;t) 0.5 (x cos(500t)) 0.5 (x sin(500t))
E X (t) 0.5cos(500t) 0.5sin(500t)
16
分析投币实验。求 （1）t1=1ms与t2=0.5ms时随机信号的二维联
9
可以从四个方面对定义进行理解： 1. 一个时间函数族（t和s都是变量） 2. 一个确知的时间函数（t是变量而s固定） 3. 一个随机变量（t固定而s是变量） 4. 一个确定的量（t和s都固定）
10
一般性数学定义
给定参量集T与概率空间 , F, P ，若对 于每个 t T ，都有一个定义在 , F, P 上的
28
互相关函数
29
互相关函数在检测技术中的应用
30
（1）确定延迟时间； （2）识别传输路径； （3）检测淹没在外来噪声中的信号； （4）系统脉冲响应的测定。
31
典型随机信号举例
随机正弦信号 贝努里随机序列 半随机二进制传输信号 泊松过程
32
正弦随机信号
给定具有某种分布的振幅随机变量A，角频率
C(t1,t2 ) EX (t1) X (t1)X (t2 ) X (t2 )
C(t1, t2 ) (x1 X (t1))(x2 X (t2 )) f (x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
C(t,t) E ( X (t) X (t))2 Var( X (t))
25
相关系数函数定义为
xn ; t1, t2 xn
,,
tn
)
15
例 分析投币实验：正面（记为H）对应250Hz 的频率的余弦波cos(500πt)，反面（记为T） 对应250Hz的正弦波sin(500πt)。求：
（1）t=1 ms时随机信号的概率密度函数； （2）任意t时刻随机信号的概率密度函数与均
值。 解： X(0.001)=H=0， p=0.5
13
二维概率分布
为了描述随机信号在任意两个时刻 t1 和t2 的状态之间的内在联系，可以引入二维随机 向量 ( X (t1), X (t2 )) 的分布函数 F (x1, x2;t1,t2 )
F(x1, x2;t1,t2 ) PX (t1) x1; X (t2 ) x2
第二章 随机信号
1
本章的主要内容 随机信号的基本概念 随机信号的概率分布函数 随机信号的概率密度函数 随机信号基本的矩函数 正交 互不相关与统计独立
2
几个简单的定义 对接收机的噪声电压作观察
样本函数：x1(t), x2 (t),, xn (t) 都是时间的函数， 称为样本函数。
3
例 用投币实验产生信号。进行投币实验并规定 正面对应250Hz的余弦波，反面对应250Hz的 正弦波。可见，实验有2种结果波形：
X (t1),, X (tn )构成n维随机变量。类似地，可 以定义n维概率分布函数和概率密度函数。
F (x1, x2 ,, xn;t1, t2 ,,tn ) PX (t1) x1; X (t2 ) x2;; X (tn ) xn
f
(x1,
x2
,,
xn
;
t1,
t2
,, tn
)
nF
(x1,
x2 ,, x1x2
f
(u1,u2 ,,un;t1,t2 ,,tn )
1
n
(A0 ) 2
exp
u12
u22 un2 A0
19
基本数字特征 随机变量的矩函数是确定值；随机信号的矩函
数是确定性时间函数。 对随机信号矩函数的计算方法：先把时间t固定，
再用对随机变量的矩函数计算方法来计算。
20
1、均值函数
X (t) E X (t)
定义2 ：设随机实验E的样本空间S ，若对于每个
元素 s S ，总有一个确知的时间函数 X (t, s) 与 它对应，这样，对于所有的 s S ，就可以得到一
簇时间t的函数，称它为随机信号。簇中的每一个 函数称为样本函数。
8
定义的理解： 上面两种对随机信号的定义，从两个角度描述
了随机信号。具体的说，作观测时，常用定义2， 这样通过观测的实验样本来得到随机信号的统计特 性；对随机信号作理论分析时，常用定义1，这样 可以把随机信号看成为n 维随机变量，n越大，采样 时间越小，所得到的统计特性越准确。
第n个婴儿的性别记为Xn（ξ），一个二值随机 变量
5
随机性：一次实验，随机信号必须取一个 样本函数，但所取的样本函数是哪一个， 带有随机性。但是，能肯定为所有可能波 形中的一个。因此，随机信号不仅是时间t 的函数，还是实验可能结果的函数，记做 X(t,s)，简写作X(t)。
6
§2.1随机信号的定义及分类
18
例1.1 随机信号U(t)的一维概率密度函数为
f (u,t)
1
A0
exp
u2 A0
不同时刻的随机变量彼此统计独立，求其n维
概率密度函数。
解：t1,t2 ,,tn 时刻，随机变量 X (t1), X (t2 ),, X (tn ) 统计独立，则
f (u1, u2 ,, un;t1, t2 ,, tn ) f (u1;t1). f (u2;t2 ),, f (un;tn )
合概率密度； （2）任意t1和t2时随你信号的二维联合概率密
度函数。 解：X(t1)与X(t2)的取值
X (t1) scions((550000tt11))
p 0.5 p 0.5
X (t2 ) scions((550000tt22))
p 0.5 p 0.5
f (x1, x2;t1,t2 ) 0.25 (x1 cos(500 t1), x2 cos(500t2 ))
12
基本概率特性
一、一维概率分布 随机信号 X (t) 在任意 t T 时刻的取值 X (t)
是一维随机变量。概率 PX (t) x 是取值 x ，时
刻 t 的函数，记做
F(x;t) PX (t) x
称为随机信号 X (t) 的一维概率分布函数。 若有F(x;t) 偏导数存在，则有
f (x;t) F(x;t) x
0t2
cos0t1
0t2
2
1 2
cos(0t1
0t2
)
34
(3) 一、二阶密度函数 令 X1 X (t1) Acos(0t1)
称为随机信号X(t)的二维概率分布函数。
若 F (x1, x2;t1,t2 ) 对 x1, x2 的二阶混合偏导 存在，则
f
(x1,
x2;t1,t2 )
2F (x1, x2;t1,t2 ) x1x2
称为随机信号X(t)的二维概率密度函数。
14
n维概率分布 随机信号X(t)在n个时刻t1,t2,tn 的取值
差函数。
X (t) E X 2 (t)
x2 f (x;t)dx
2 X
(t)
VarX
(t)
E
(
X
(t)
X
(t))
2
且
2 X
(t )
E
X
2 (t)
X 2 (t)
物理意义：如果 X (t) 表示噪声电压，则均方值
函数
E[ X
2 (t)]
和方差函数
2 X
(t)
分别表示消耗在
单位电阻上的瞬时功率统计平均值和瞬时交流
(t1,t2 )
C(t1,t2 ) C(t1,t1)C(t2,t2 )
5、互相关函数和互协方差函数
两个随机信号X(t)和Y(t)的互相关函数定义为
RXY (t1, t2 ) E X (t1)Y (t2 ) xyf (x, y;t1, t2 )dxdy
两个随机信号的互协方差函数定义为
sin 0tEcos cos0tEsin
Ecos
2π
cos f ( )d
2π
cos
1 d 0
0
0
2π
同理：Esin 0
X (t) 0
(2) 自相关函数
RX (t1,t2 ) EX (t1) X (t2 ) Esin(0t1 ) sin(0t2 )
E
1 2
cos0t1
一.随机信号的定义 在概率论中，我们对随机变量及其特性进
行了研究，此时随机变量在实验中的结果与时 间 t 无关。而在实际中，经常会遇到随机变量 会随着时间 t 而变化，这时的随机变量就称为 随机信号。记为X(t,s)
随机变量 随机信号
与时间无关 与时间有关
7
定义1：若对于每个特定的时间 ti (i 1,2,) ，X (ti , s) 都是随机变量，则称 X (t, s) 为随机信号， X (ti , s) 称 为随机信号在 t ti 时刻的状态。
xf (x;t)dx
显然，X (t)是某个平均函数，随机信号的各样本 函数在它附近起伏变化。
物理意义：描述了所有样 本函数在各个时刻的摆动 中心。
21
2、均方值函数和方差函数
随机信号X(t)在任一时刻t的取值是一个随
机变量X(t)。 X(t)的二阶原点矩称为随机信号
的均方值函数；二阶中心矩称为随机信号的方
x1(t) cos(500 t) 与 x2 (t) sin(500 t) ，于
是，该实验产生的是这两种可能波形中的一种， 是一个随机函数。 这样一个信号就是随机信号，记为：
X (t, s) cos(500t I (s) 2)
其中，I (s) 是取值0、1等概的随机变量。
4
例 医院登记新生儿性别，男婴记为1，女婴记 为0。这份记录可能是：10011010……，也可 能是：001010110 ……，等等。可见这份记录 本质上式无穷多种数列中的某个不能事先确知 的数列，它是具有某种统计规律的随机数列。
0.25 (x1 cos(500 t1), x2 sin(500 t2 )) 17
0.25 (x1 sin(500 t1), x2 cos(500 t2 )) 0.25 (x1 sin(500 t1), x2 sin(500 t2 )) 而代入t1=0.5ms，t2=1ms f (x1, x2;t1,t2 ) 0.25 (x1 0.707, x2 ) 0.25 (x1 0.707, x2 1) 0.25 (x1 0.707, x2 ) 0.25 (x1 0.707, x2 1)
CXY (t1, t2 ) E X (t1) X (t1) Y (t2 ) Y (t2 )
RXY (t1, t2 ) X (t1)Y (t2 )
(x X (t1))( y Y (t2 )) f (x, y;t1, t2 )dxdy
26
自相关函数与互相关函数图
27
检测淹没在随机噪声中的周期信号
随机变量 0 与相位随机变量 ，以时间参量
t建立随机信号 W (t, s) Asin(0t )
，观察信号随参量t的各次过程，其样本函数 呈现出正弦函数规律。W (t) 称为正弦随机信 号。
无数个正弦样本函数组成了正弦随机信号，符合 定义2中对于随机信号的描述。
33
(1)均值
X (t) Esin(0t ) Esin 0t cos cos0t sin
实随机变量 X (t) 与之对应，就称依赖于参量 t
的随机变量族X (t), t T 为实随机信号或随机
过程。
11
二、随机信号的分类 1.按时间参量来分类
时间连续的随机信号：时间t是连续的。 如：正弦随机信号，二进制传 输信号 时间离散的随机信号：时间t是离散的。 如：贝努里随机信号 2.按信号状态取值分类 取值连续的随机信号：X(t)值是连续的 如：正弦随机信号 取值离散的随机信号：X(t)值是离散的 如：贝努里随机信号，二进制传输信号 还有很多的分类方法
功率统计平均值。
22
3、自相关函数 先比较两个具有相同均值函数和方差函数的随 机信号。
23
上述的随机信号均值函数和方差函数相同，但 从样本函数看，两者明显不同。X(t)时间变化 慢，不同时刻的两个状态之间依赖性强（相关 性强）。Y(t)随时间变化快，不同时刻的两个 状态之间依赖性弱（相关性弱）。因此，均值 函数和方差函数不能反映随机信号内部变化的 快慢，相关性的强弱。
一般用自相关函数来描述随机信号任意两个状 态之间的相关程度。
24
自相关函数描述的是随机信号任意两个时刻 的状态之间的内在联系。
R(t1, t2 ) E
X (t1) X (t2 )
ห้องสมุดไป่ตู้
x1x2
f
(x 1
,
x2 ; t1 ,
t2
)dx1dx2
4、自协方差函数和相关系数函数
自协方差函数是随机信号任意两个时刻的随机 变量的二阶混合中心矩。反映了任意两时刻 的起伏值之间的相关程度。
X(0.001)=T=1， p=0.5
f X (0.001) (x) 0.5 (x) 0.5 (x 1)
f (x;t) 0.5 (x cos(500t)) 0.5 (x sin(500t))
E X (t) 0.5cos(500t) 0.5sin(500t)
16
分析投币实验。求 （1）t1=1ms与t2=0.5ms时随机信号的二维联
9
可以从四个方面对定义进行理解： 1. 一个时间函数族（t和s都是变量） 2. 一个确知的时间函数（t是变量而s固定） 3. 一个随机变量（t固定而s是变量） 4. 一个确定的量（t和s都固定）
10
一般性数学定义
给定参量集T与概率空间 , F, P ，若对 于每个 t T ，都有一个定义在 , F, P 上的
28
互相关函数
29
互相关函数在检测技术中的应用
30
（1）确定延迟时间； （2）识别传输路径； （3）检测淹没在外来噪声中的信号； （4）系统脉冲响应的测定。
31
典型随机信号举例
随机正弦信号 贝努里随机序列 半随机二进制传输信号 泊松过程
32
正弦随机信号
给定具有某种分布的振幅随机变量A，角频率
C(t1,t2 ) EX (t1) X (t1)X (t2 ) X (t2 )
C(t1, t2 ) (x1 X (t1))(x2 X (t2 )) f (x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
C(t,t) E ( X (t) X (t))2 Var( X (t))
25
相关系数函数定义为
xn ; t1, t2 xn
,,
tn
)
15
例 分析投币实验：正面（记为H）对应250Hz 的频率的余弦波cos(500πt)，反面（记为T） 对应250Hz的正弦波sin(500πt)。求：
（1）t=1 ms时随机信号的概率密度函数； （2）任意t时刻随机信号的概率密度函数与均
值。 解： X(0.001)=H=0， p=0.5