第一章、拓扑学基础

第一章、拓扑学基础

1.1拓扑空间

概念拓扑空间是一个二元组(S, O)，这里S是给定集合，O是由S的一些子集构成的集类，其元素称为开集，并满足如下开集公理：

T1 ∅, S∈O（即，∅, S是开集）；

T2 若U1，U2∈O，则U1⋂U2∈O（即，O对有限交封闭）；

T3 开集的任意并集还是开集（即，O对任意并封闭）。

註记满足上述开集公理的O，也称为集合S上的拓扑，

（S, O）为相应的拓扑空间，也记为S。

例子实数集合ℝ上的标准拓扑：开集定义为若干个开区间的并集。

不难验证：这里定义的开集满足开集公理。

只需说明：两个开区间的交集为空集或开区间。

例子离散拓扑与平凡拓扑对给定的集合S，定义下列两个拓扑：

(S,O1): O1由S的所有子集构成，它是S上的拓扑（最大拓扑）。

(S,O2): O2={∅，S}，它是S上的拓扑（最小拓扑）。

练习给出实数集合ℝ上三种不同的拓扑空间结构。

练习设S是一个集合，O由∅，S及S的某个固定子集A的所有子集构成。

验证O是S上的拓扑。从而，(S，O)是一个拓扑空间。

概念设(S, O)是拓扑空间，称A⊂S是闭集，如果S\A是开集。

拓扑空间S的所有闭集构成集合，记为C。

命题拓扑空间S中的闭集满足闭集公理

C1 ∅, S∈C；

C2 若A1，A2∈C，则A1⋃A2∈C（即，C对有限并封闭）；

C3 闭集的任意交集还是闭集（即，C对任意交封闭）。

证明：利用下列等式可证。

S\(A1⋃A2)=(S\A1)⋂(S\A2)，S\(B i

i。

i)=(S\B i)

註记开集公理与闭集公理是等价的：若S中的某些子集指定为闭集，并满足闭集公理。则S是拓扑空间，其开集由闭集的余集所构成。

概念对拓扑空间S，点u∈S的开邻域是指包含u的开集U；子集A⊂S的开邻域是指包含A的开子集；一个点（或子集）的邻域是一个子集，

它包含该点（或该子集）的一个开邻域。

例子对拓扑空间ℝ，U=(-1，1)是0的开邻域；W=[-1，1]是0的邻域。

概念设S是一个拓扑空间。称S是第一可数空间，如果对∀u∈S，存在点u的邻域的序列{U1，…，U n，…}={U n}，使得对u的任意邻域 U，必有n满足U n⊂U（也称{U n}为点u处的邻域基）。

子集ℬ⊂O称为S的拓扑基，如果任何开集可以表示成ℬ中若干个

成员的并。称S是第二可数空间，如果S有可数拓扑基。

例子ℝ是第二可数空间，它有可数拓扑基，由下列开区间构成：

(a，b)，这里a，b是有理数。

（註这里用到有理数在实数集中的稠密性）

结论任何第二可数空间，也是第一可数空间。

证明：设ℬ={B n}是可数拓扑基，s∈S。令ℬ(s)={B n；s∈B n}即可。

引理（Lindelof引理）设S是第二可数空间，A是S的子集。

则A的任意开覆盖，都有可数子覆盖。

证明：设ℬ={B n}是S的可数拓扑基，A有开覆盖{Uα}。

即，Uα是S的开集，且A⊂⋃Uα。对∀p∈A，存在α，n使p∈B n⊂Uα。

此时，选定一个α(n)使得p∈B n⊂Uα(n)。于是所有这些Uα(n)构成

A的一个可数开覆盖。

概念设S是拓扑空间，A⊂S是子集。

A的闭包cl(A)是所有包含A的闭集的交；

A的内部int(A)是所有包含于A中的开集的并；

A的边界bd(A)定义为：bd(A)=cl(A)⋂cl(S\A)。

註记闭包cl(A)及边界bd(A)是闭子集；int(A)是开子集。

概念称A⊂S是S的稠密子集，如果cl(A)=S；

称A⊂S是S的无处稠密子集，如果S\cl(A)在S中稠密；

称S是可分的拓扑空间，如果它有可数的稠密子集；

称u∈S是A的聚点，如果u的任意邻域中包含A\{u}的点；

称A的所有聚点的集合为A的导集，记为der(A)；

称A的点a是孤立点，如果存在a的邻域U，使U⋂A={a}。

结论 A⊂S是无处稠密的⇔int(cl(A))=∅。

证明：⇒反证。若V=int(cl(A))≠∅，它是S的开子集。

从而有S=cl(S\cl(A))⊂cl(S\V)=S\V，这与V≠∅相矛盾。

⇐利用等式S\int(cl(A))=cl(S\cl(A))(下面命题)推导如下：

反证。若S≠cl(S\cl(A))，则V=S\cl(S\cl(A))是S的非空开集。

但是，V=S\(S\int(cl(A)))=int(cl(A))，与假设矛盾。

例子ℝ是可分的拓扑空间：有理数集合是ℝ的稠密子集。

命题设S是拓扑空间，A⊂S是子集，则有下列结论

(1)u∈cl(A)⇔对u的任意邻域U，有U⋂A≠∅；

(2)u∈int(A)⇔存在u的邻域U，使得u∈U⊂A；

(3)u∈bd(A)⇔对u的任意邻域U，有U⋂A≠∅，且U⋂(S\A)≠∅。

证明：只证明(1)，(2)-(3)的证明是类似的。

由定义，u∉cl(A)⇔存在闭子集C⊃A，使u∉C⇔存在u的邻域U，

使得U⋂A=∅。从而结论(1)成立。

命题设A，B是S的子集，则有下列结论

(1)A⊂B⇒int(A)⊂int(B)，cl(A)⊂cl(B)，der(A)⊂der(B)；

(2)S\cl(A)=int(S\A)，S\int(A)=cl(S\A)，cl(A)=A⋃derA=A⋃bd(A)；

(3)cl(∅)=int(∅)=∅，cl(S)=int(S)=S，cl(cl(A))=cl(A)，

int(int(A))=int(A)；

证明：由定义及上述命题不难直接验证，这些结论成立。

命题设A，B，A i（i∈I）是S的子集，则有下列结论

(1)cl(A⋃B)=cl(A)⋃cl(B)，der(A⋃B)=der(A)⋃der(B)，

int(A⋃B)⊃int(A)⋃int(B)；

(2)cl(A⋂B)⊂cl(A)⋂cl(B)，der(A⋂B)⊂der(A)⋂der(B),

int(A⋂B)=int(A)⋂int(B)；

(3)cl(A i

i∈I，

i∈I)⊂cl(A i)

i∈I)⊃cl(A i)

i，cl(A i

int(A i

i∈I。

i∈I)⊂int(A i)

i∈I)⊃int(A i)

i，int(A i