二阶和三阶行列式(一)
二阶三阶行列式计算方法
二阶三阶行列式计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个数学工具，用于描述矩阵的性质和变换。
在实际应用中，行列式经常用于求解线性方程组、计算矩阵的逆、判断矩阵是否可逆等问题。
本文将介绍二阶三阶行列式的计算方法。
二阶行列式二阶行列式是一个2×2的矩阵，它的计算方法如下：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$$其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{21}$、$a_{22}$是矩阵中的元素。
例如，对于矩阵$\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$，它的二阶行列式为：$$\begin{vmatrix}1 &2 \\3 & 4\end{vmatrix} = 1\times4 - 2\times3 = -2$$三阶行列式三阶行列式是一个3×3的矩阵，它的计算方法如下：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}$$其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{13}$、$a_{21}$、$a_{22}$、$a_{23}$、$a_{31}$、$a_{32}$、$a_{33}$是矩阵中的元素。
第一节 二阶与三阶行列式
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
n 阶行列式定义
将n2个数排成n行n列的数表，按下列规
则计算出的数，即
D ( 1) a1 p1 a 2 p2 a np n n! a n1 a nn
2 D1 ( 1) ( 1) 1 x1 , 2 D ( 1) ( 2) 2
( 1) D2 x2 2 ( 1) ( 2) D
2
1 , 2
2 2 ( 1) ( 1) D3 x3 2 D ( 1) ( 2)
ci 2 ai 1b12 ai 2b22 ainbn 2 , (i 1,2,, n)
D
a11 a 21 a n1 1
a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn 1 1
再证唯一性.假设
x j c j , j 1,2,, n 也是(1)的解.
在(2)两端同时乘以cj
a11 a1 j c j a1n cjD an1 anj c j ann
a11 (a11c1 a1 j c j a1n cn ) a1n an1 (an1c1 anj c j anncn ) ann
例6.2 问λ在什么条件下,方程组
ì λx1 + x2 = 0, ï ï í ï ï î x1 + λx2 = 0
有非零解？
解 由定理6.5知，若方程组有非零解，则其系数行列
式必为零.
D
1
1
0 2 1 0,
一二阶与三阶行列式-PPT精品文档
三阶行列式
a11 D a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13
a a a a a a a a a a 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32
a 33
a a a a a a a a a 13 22 31 12 21 33 11 23 32
a 11 A a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a11a22a33 a12a23a31a13a21a32 a 33 a13a22a31a12a21a33a11a23a32
例：
2 1 1
0 4 8
1 1 3
118 0(1 ) (1 ) 4 )3 2(
a b b a 1 a 11 11 2 1 21 x 2 a a a a A a 21 11 22 12 21
a 12 a 22
b1 b2
2.
a11x1 a12x2 a13x3 b 1 类似地，为讨论三元线性方程组 a21x a22x2 a23x3 b 1 2 a x a x a x b 31 1 32 2 33 3 3
a 13 a 23 a 33
a 14 a 24 a 34
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 a41 a43 a44
1 2 M A 1 M 12 12 12
a 43 aa444 4
a11 a12 a13 M44 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a 12 a 22
算出来是一个数。
(2) 记忆方法：对角线法则 主对角线上两元素之积 － 副对角线上两元素之积
A
矩阵论基础1.1二阶和三阶行列式
矩阵论基础1.1⼆阶和三阶⾏列式第⼀节⼆阶和三阶⾏列式在介绍⾏列式概念之前，我们先构造⼀个数学玩具：把4个数放在⼀个正⽅形的四个⾓上，在加上两条竖线，即，规定这个玩具对应于⼀个结果：两个对⾓线上的数的乘积之差。
即例如所在⽅向的对⾓线称为主对⾓线，所在⽅向的对⾓线称为副对⾓线。
定义1 4个数称为⼀个⼆阶⾏列式；所在的⾏称为第⼀⾏，记为（r来源于英⽂row），所在的列称为第⼆列，记为（c来源于英⽂column），因其共有两⾏两列，所以称为⼆阶⾏列式，是第⼆⾏第⼀列的元素。
⼀般地⽤表⽰第i⾏第j列的元素，i是⾏标，j是列标。
可叙述为：⼆阶⾏列式的对应值等于主对⾓线上两元素之积减去的副对⾓线上⼆元素之积所得的差, 这⼀计算法则称为对⾓线法则.此玩具的⽤途在于：求解⽅程组⽤消元法，先消去所在的项，⽅程(2)´a11，⽅程(1)´a21得（3）-（4），得再消去所在的项，⽅程(2)´a12，⽅程(1)´a22得（5）-（6），得我们发现其规律为：若记是⽅程组的系数⾏列式，则是⽤常数项替代D中的第⼀列所得的⾏列式；是⽤常数项替代D中的第⼆列所得的⾏列式。
若D≠0，⽅程组的恰好是：,此规律被称为Cramer定理。
例1 求解⼆元线性⽅程组解：,,,因此 , .同理类推，⽤对⾓线法则可以定义3阶⾏列式如下：其中来⾃三条主对⾓线上三个元素的乘积，前⾯加正号；来⾃三条副对⾓线上三个元素的乘积，前⾯加负号。
例2 计算3阶⾏列式解：D=1×2×2+3×1×1+3×1×（-1）-1×2×3-（-1）×1×1-2×1×3=-7D1=6×2×2+4×1×1+11×1×（-1）-1×2×11-（-1）×1×6-2×1×4=-7D2=1×4×2+3×11×1+3×6×（-1）-1×4×3-（-1）×11×1-2×6×3=-14D3=1×2×11+3×1×6+3×1×4-6×2×3-4×1×1-11×1×3=--21实际上，D，D1，D2，D3来⾃线性⽅程组。
§1二阶与三阶行列式
性质
总结词
二阶行列式具有交换律、结合律、代数余子式等性质。
详细描述
二阶行列式满足交换律，即|A|=|AT|，其中AT是矩阵A的转置矩阵。结合律表现为|AB|=|A|*|B|，其中A、B为可 乘矩阵。代数余子式是去掉一个二阶行列式中的一个元素后得到的二阶行列式，其值等于原行列式除以被去掉元 素所在的行和列的乘积。
等于零、代数余子式的乘积等于零等。
应用
03
代数余子式在计算高阶行列式的值、求解线性方程组等领域有
广泛的应用。
转置行列式
定义
转置行列式是将n阶行列式的行和列互换后得到的新 行列式。
性质
转置行列式的值等于原行列式的值，即|A|=|AT|。
应用
转置行列式在求解线性方程组、判断矩阵是否可逆等 领域有广泛的应用。
性质
线性性质
三阶行列式满足线性性质，即|ka b c| = k|a b c|，其中k是标量。
交换律
|a b c| = |c b a|。
结合律
(|a b c| + |d e f|) = |a b c| + |d e f||a d|。
分配律
|a+b c d| = |a b c| + |b c d||a b c|。
矩阵的转置
行列式可以用于计算矩阵的转置，通过计算转置矩阵的行列式，可以得到原矩阵 的行列式。
05
CATALOGUE
二阶与三阶行列式的扩展
高阶行列式
定义
高阶行列式是n阶方阵的展开式，其一般形式为D=∑(-1)^t * M(t1,t2,...,tn) * A(t1,t2,...,tn)，其中t为对角线上的元素下标的排列顺序，M为排列数，A为n阶行列式中 元素的下标构成的排列。
二阶与三阶行列式
(2)对角线法则 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
2
3 (4) 7 0,
21
12 D1 1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 3. 7
二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标
a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算
a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32 D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31.
称列）的数表
a11 a12
a21 a22
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶
二阶和三阶行列式
a11 D
a12
a13 a23 a33 a43
a12
a14 a24 a34 a44
a13 a23 a33
a21 a22 a31 a32 a41 a42
a11
a21 a23 M 12 a31 a33 a41 a43
1 2
a24 a34 a44
A12 1 M 12 M 12
M 44 a21 a22 a31 a32
a41 a42 a43 a44
a 32 的代数余子式 A32 ( 1)32 M 32 a13 的代数余子式 A ( 1)13 M 13 13
a21 a31 a41
完
a22b1 a12 a21b1 x2 a11a22 a12a21
a11 a12 D a11a22 a12a21 , a21 a22
a12 a22
主对角线 a11 a21 称 D 为二阶行列式。 副对角线
(-)
a13 a11 a33 a31
(+)
a12 a32
(+) (+)
a23 a21 a22
(-)
(-)
三元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 设有三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b 31 1 32 2 33 3 3
解 计算二阶行列式
D
2 1 3 2
7 , D1
5 11
1 2
21 , D2
2
5
3 11
7 .
由 D 7 0 知方程组有唯一解：
D1 D2 x1 3 , x2 1. D D
二阶与三阶行列式
2 3 4 1 . 3 4 1 2 4 1 2 3
解 把所有列都加到第一列上去，然后，从第一列提 取公因子，再把第二、三、四行都减去第一行.
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 10 1 10 2 10 3 10
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
1 1 10 1 1
2 3 4 1
3 4 1 2
3
4 1 2 3 4 1 0 1 1 3 10 2 0 2 2 2 3 0 1 1 1
4
1 2
2r2 r3 0 1 1 3 10 120. r1 r4 0 0 3 1 0 0 0 4
例5.5 设
a11 D am1 c11 cn1 a11
D1 am1
0 x2
x2 x1
x3 x1 x3 x3 x1 x3
n2
x3 x1
xn
xn x1
1 x2 x1 x3 x1 xn x1 x2 x2
n2
1 x3 x3
n2
1 xn
n2
( x2 x1 )( x3 x1 )
a11 ai1 D a j1 an1 a j2 an 2 a jn ann a12 ai 2 a1n ain a j1 kai1 a j 2 kai 2 an1 an 2 a jn kain ann a11 ai1 a12 ai 2 a1n ain .
例5.3 计算
a b c d a ab abc abcd D . a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
二、三阶行列式
则三元线性方程组的解为: 则三元线性方程组的解为
D1 x1 = , D
D2 x2 = , D
D3 x3 = . D
例
解线性方程组 x1 − 2 x2 + x3 = −2, 2 x1 + x2 + −3 x3 = 1, − x + x − x = 0. 1 2 3
由于方程组的系数行列式 1 −2 1 D= 2 1 − 3 = 1 × 1 × ( − 1) + ( − 2 ) × ( − 3 ) × ( − 1) −1 1 −1
f (1) = 0, f (2 ) = 3, f (− 3 ) = 28.
思考题解答
解 设所求的二次多项式为
1
2 3
D= 4 0 5 −1 0 6
= 1× 0 × 6 − 2× 4× 6
+ 2 × 5 × ( − 1)
+ 3 × 4 × 0 − 3 × 0 × ( −1) = −58
− 1× 5 × 0
例4
实数 a , b 满足什么条件时有
a
b 0
D= −b a 0 =0 1 0 1
a 1
b 0 0 1
a11 a12 D = a21 a22 a31 a32
三阶行列式的计算
a13 a23 .列标 a33 行标
对角线法则 a11 a12
a13 a23 a33
a21 a31
a22 a32
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32.
− 1 × 1 × 4 − 2 × ( −2 ) × ( −2 ) − ( −4 ) × 2 × ( −3 )
1.1二阶三阶行列式
在排列32514中,
3排在首位,逆序数为0
2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;
5的前面比5大的数0个,故逆序数为0; 1的前面比它大的数有3个,故逆序数均为3.
4的前面比它大的数有1个,故逆序数均为1. 3 2 5 1 4
0 1 0 3 1
于是排列32514的逆序数为
N (32514) 0 1 0 3 1 5.
nn 1 , 2 当 n 4k ,4k 1
12 (n 1) n
时为偶排列； 时为奇排列.
当 n 4k 2,4k 3
方法2 分别计算出排在1,2 , , n 1, n 前面比它大的数 n 码之和即分别算出 1,2 , , n 1, n 这 个元素 的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数.
设排列为 2）
欲 a1 al a b1 bm b c1 cn 即 a1 al a b1 bm b c1 cn 对换 a , b
a1 al b b1 bm a c1 cn
m 次相邻对换
a1 al b b1 bm a c1 cn a1 al ab1 bm bc1 cn ,
（6）式称为数表（5）所确定称为三阶行列式. a11 a12 a13 记为 a a a
21 22 23
a31
a32
a33
2、计算
1)对角线法则 a11 a12 a13
a21 a31 a22 a32 a23 a33
a11 D a21
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
1-1 二阶与三阶行列式
二、三阶行列式
a11x1+a12x2+a13x3=b1 3 1 方程组 a21x1+a22x2+a23x3=b2 的解为 x1 = D , x2 = D2 , x3 = D , D D D a x +a x +a x =b 31 1 32 2 33 3 3
其中 D=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31, D1=b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32−b1a23a32−a12b2a33−a13a22b3, D2=a11b2a33+b1a23a31+a13a21b3−a11a23b3−b1a21a33−a13b2a31, D3=a11a22b3+a12b2a31+b1a21a32−a11b2a32−a12a21b3−b1a22a31. a11 a12 a13 为了便于记忆和计算, 我们用符号 a21 a22 a23 表示代数和 a31 a32 a33 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31.
Henan Agricultural University
一、二元线性方程组与二阶行列式
a11x1+a12x2=b1 , 用消元法解二元线性方程组 a21x1+a22x2=b2
得
b a22 −a12b2 a11b2 −b a21 1 1 . , x2 = x1 = a11a22 −a12a21 a11a22 −a12a21
3 1 令λ2−3λ=0, 则λ=0, λ=3. (1)当λ=0 或 λ=3时, D=0; (2)当λ≠0 且 λ≠3时, D≠0. 例3 1 2 4 0 −1 0 3 5 =1×0×6 +2×5×(−1) +3×4×0 6 −1×5×0−2×4×6−3×0×(−1) =−10−48 =−58.
二阶三阶行列式
二阶三阶行列式1.引言1.1 概述二阶行列式和三阶行列式是线性代数中常见的概念。
行列式是一个整数或实数的方阵，它具有很多重要的性质和应用。
二阶行列式是一个2×2的方阵，而三阶行列式是一个3×3的方阵。
在本文中，我们将介绍二阶行列式和三阶行列式的定义以及计算方法，并总结它们的特点和重要性。
在二阶行列式部分，我们将详细介绍二阶行列式的定义和计算方法。
二阶行列式的定义是由其中的四个元素按一定的规则相乘再相减得到的一个数值。
计算二阶行列式可以使用简单的公式，即将对角线上的两个元素相乘再相减。
我们将提供详细的计算示例，并讨论二阶行列式在几何学和线性方程组中的应用。
在三阶行列式部分，我们将进一步介绍三阶行列式的定义和计算方法。
三阶行列式的计算比较复杂，需要按一定的规则进行乘法和加减运算。
我们将解释这些规则，并提供实际的计算例子。
此外，我们还将探讨三阶行列式在向量空间和线性方程组中的应用，以及它们与二阶行列式之间的关系。
通过本文的学习，读者将能够理解二阶行列式和三阶行列式的概念和计算方法。
同时，他们还将认识到行列式在数学和实际应用中的重要性。
了解行列式可以帮助我们解决各种问题，包括求解线性方程组、计算向量的正交性和计算面积和体积等。
行列式是线性代数中的基础知识，对于进一步学习和应用线性代数的内容具有重要的意义。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将首先介绍二阶行列式的概念和定义，详细阐述其计算方法。
然后，我们将进一步探讨三阶行列式的定义和计算方法。
在分析和比较二阶行列式与三阶行列式的异同之后，我们将总结这两者的特点和应用。
本文的主要目的是通过对二阶和三阶行列式的研究，帮助读者更好地理解和应用行列式的相关概念和计算方法。
具体来说，本文的内容安排如下：2. 正文2.1 二阶行列式2.1.1 定义在这一部分中，我们将引入二阶行列式的概念，并详细解释其定义。
通过具体的例子，我们将展示如何构建并计算二阶行列式。
线性代数二阶与三阶行列式
1 1 1
1 2 1 11 1 2 2 1 1 31
5 0,
同理可得
2 2 1
1 2 1
D1 1 1 3 5, D2 2 1 3 10,
0 1 1
1 0 1
1 2 2
D3 2 1 1 5, 1 1 0
故方程组的解为:
得一个关于未知数 a, b, c 的线性方程组, 又 D 20 0, D1 40, D2 60, D3 20. 得 a D1 D 2, b D2 D 3, c D3 D 1
故所求多项式为
f x 2x2 3x 1.
副对角线
a21
a22
对于二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
若记
D a11 a12 ,
系数行列式
a21 a22
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D a11 a12 , a21 a22
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
称列）的数表
a11 a12
a21 a22
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶
行列式，并记作 a11 a12
(5)
a21 a22
即
D a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 a11
a12
a11a22 a12a21.
D2
a11 a21
b1 . b2
则二元线性方程组的解为
二阶与三阶行列式
（1）二阶行列式—--导学案供稿人—赵艳波学习目标：1.了解行列式产生的背景；2.经历引入二阶行列式的过程；3.掌握二阶行列式展开法则及用二阶行列式解（系数行列式的值不为零的）二元一次方程组的方法，体验二阶行列式这一特定算式的特征． 学习重点：二阶行列式的展开、用二阶行列式解二元一次方程组．学习难点：二阶行列式的展开、用二阶行列式解二元一次方程组 学习过程一 知识链接：行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具．行列式概念第一次在西方出现，是1693年在莱布尼茨给洛必达的一系列信中出现的，据此，莱布尼茨得到了发明行列式的荣誉．然而，1683年在日本数学家关孝和（被誉为“算圣”、“日本的牛顿”）的著作《解伏题元法》中就有了行列式的概念．德国数学家莱布尼茨是与牛顿齐名的微积分的创始人，同时他又是数学史上最伟大的符号学者之一，堪称符号大师，他曾说：“要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠实地描绘事物内在本质，从而最大限度地减少人的思维劳动”．他创造的数学符号有商“ba”、比“a :b ”、相似“∽”、全等“≌”、并“ ”、交“ ”等，最有名的要算积分和微分符号了． 二 新知导学：1．二阶行列式的引入设二元一次方程组（*）⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a（其中y x ,是未知数，2121,,,b b a a 是未知数的系数且不全为零，21,c c 是常数项．）用加减消元法解方程组（*）．当01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221122112211221b a b a c a c a y b a b a b c b c x ，引入记号21a a 21b b 表示算式1221b a b a -，即 21a a 21b b 1221b a b a -=． 2.行列式的相关概念：行列式 二阶行列式 行列式的展开式行列式的值 行列式的元素 对角线法则=D 21a a21b b ，=x D 21c c21b b ，=y D 21a a21c c ，则当=D21a a 21b b =01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解，可用二阶行列式表示为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DD y D D x y x ． 三．新知探究例1．展开并化简下列行列式： （1）8521 （2）8125（3）θθsin cos θθcos sin -（4）11-a 112++-a a说明：①正确运用对角线法则展开；②由（1）（2）可知，行列式中元素的位置是不能随意改变的．例2．用行列式解下列二元一次方程组：（1）⎩⎨⎧-=+=+61548115y x y x（2）⎩⎨⎧=-+=--012053y x y x说明：①当所给方程组的形式不是方程组（*）的形式时，应先化为方程组（*）的形式，才能得到正确的x D 和y D ；②注意到这两个方程组的系数行列式的值均不为零．知识拓展①二阶行列式展开的逆向使用的问题；如：算式ac b 42-可用怎样的二阶行列式来表示等．②二阶行列式的值为零时，行列式中的元素有何特征？ ③举例说明，当二元一次方程组的系数行列式的值为零时，方程组的解会有怎样的可能 四．知识巩固与检测1.展开并化简下列行列式： （1）4321--； （2）122m ； （3）yx yy y x --+2.将下列各式用行列式表示：（1）mn ab +； （2）y x y x sin cos cos sin +3.用行列式解下列二元一次方程组： （1）⎩⎨⎧=-=+1232y x y x ； （2）⎩⎨⎧=-+=+-09205.07.05.1y x y x五．学后体会：六．学后作业1.计算下列行列式的值 （1）=-2431 （2）=-xx xx sin cos cos sin（3）=a b b a log 11log （4）=+-+-yx x x y x aa a a 11 2.用行列式表示下式（1）=-ac b 42（2）=+-242x x 3.如果121lg +x x 有意义，求实数x 的范围。
1-1 二阶与三阶行列式
ai j
行标
即元素 aij 位于第 i 行第 j 列.
列标
二阶行列式的计算 —— 对角线法则
主对角线 副对角线
a11 a12 a11a22 a12a21 a21 a22
例1 计算行列式 D
5 10
29 8
.
解 D 5 8 29 ( 10) 330 例2 当 a 为何值时，行列式 解 因为
三阶行列式的计算 —— 对角线法则
a11 D a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号, 虚线上的三个元素的乘积冠负号.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a2 3 a 1 a
2
a 1
3
的值不为 0？
a 3a a(a 3),
2
要使行列式的值不为 0，必有 a 0 且 a 3.
二、三阶行列式
定义2 设有 9 个数排成 3 行 3 列的数表 a11 a12 a13 a21 a22 a23 , a31 a32 a33 记 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 , 称为该数表所确定的三阶行列式.
注意 对角线法则仅适用于二阶与三阶行列式的计算，但 对于三阶以上的行列式则不适用.
1
2 4
例3 计算行列式 D 2 2 1 . 3 4 2
第一节二阶与三阶行列式-PPT精品文档
a a a 0 当a 时,方程组有唯一解： 11 22 12 21
b a b a 1 22 2 12 x 1 a a a a 11 22 12 21 b a b a 2 11 1 21 x 2 a a a a 11 22 12 21
当 D
a 11 a 21
a 12 a 22
D 30 D 1 2 15 于是方程组的解为：x 2 , x 1 1 2 D 15 D 15
2、三阶行列式
a 11 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
a a a a a a a a a 11 22 33 12 23 31 13 21 32 a a a a a a a a a 13 22 31 12 21 33 11 23 32
0 时，
x1 方程组的解是：
D1 D2 , x2 D D
上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得。 为便于记忆，引进如下记号： 称其为二阶行列式 据此，解中的分子可分别记为：
a 11 a 12 a 21 a 22
a a a a 11 22 12 21
b a 1 a 12 11 b 1 D , D 1 2 b a a 2 22 21 b 2
称为三阶行列式. “
( i , j 1 , 2 , 3 ) 称为它的元素。 数a ij
”三元素乘积取正号；
“
”三元素乘积取负号。
1 2 4 例2 计算行列式 D 2 2 1 3 4 2
解：由对角线法，有D=1.2.(-2)+2.1.(-3)+(-4).(-2).41.1.4-2.(-2).(-2)-(-4).2.(-3) =-4-6+32-4-8-24=-14 例3 解线性方程组
二阶和三阶行列式(一)
12n n n n nn n a x a x a x +++= （1。
2。
1) 1b ，（1．2．2)引入符号称为三阶行列式(（1。
2。
2)的系数行列式)。
当系数行列式0≠D 时，三元一次方程组（1.2.2）有惟一解， 其中 DD x D Dx D D x 332211,,===3、三阶行列式的对角线法则：＝312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++补充：三阶行列式具有以下特点:（1)三阶行列式值的每一项都是位于不同行，不同列的三个元素的乘积,除去符号，每项的三个元素按它们在行列式中的行的顺序排成332211p p p a a a ，其中第一个下标（行标）都按自然顺序排列成123，而第二个下标（列标）排列成 321p p p ，它是自然数1,2,3的某个排列；（2）各项所带的符号只与列标的排列有关：带正号的三项列标排列:123 ，231,312 ；带负号的三项列标排列是：132,213，321．前三个排列为偶排列，而后三个排列为奇排列,因此各项所带符号可以表示为t)1(-，其中111122133121122223323113223332a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，，，111213212223313233a a a D a a a a a a =112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---1121312222333233,b a a D b a a b a a =1111322122331333,a b a D a b a a b a =1112132122231323a ab D a a b a a b =简记为)det(ij a D =。
1_1_二阶三阶行列式
(1) × a21 − (2) × a11 得： y=
§1.1 二阶三阶行列式
二元线性方程组 { a11 x + a12 y = b1 a21 x + a22 y = b2 (1) (2)
用消元法解： (1) × a22 − (2) × a12 得： x= b1 a22 − a12 b2 a11 a22 − a12 a21 a11 b2 − b1 a21 a11 a22 − a12 a21
§1.1 二阶三阶行列式 6/12 ▹ ◃ △ ▽
三元线性方程组 a11 x + a12 y + a13 z = b1 a21 x + a22 y + a23 z = b2 a x + a y + a z = b 31 32 33 3 用消元法解： (2) × a13 − (1) × a23 得： (a21 a13 − a11 a23 )x + (a22 a13 − a12 a23 )y = b2 a13 − b1 a23 (3) × a13 − (1) × a33 得： (a31 a13 − a11 a33 )x + (a32 a13 − a12 a33 )y = b3 a13 − b1 a33
4/12 ▹ ◃ △ ▽
(1) × a21 − (2) × a11 得： y=
§1.1 二阶三阶行列式
定义二阶行列式： a11 a12 = a11 a21 − a12 a22 a21 a22 则方程的解可简单地表示为： b1 b2 x= a11 a21 a12 a22 , a12 a22 a11 a21 y= a11 a21 b1 b2 a12 a22
3/12 ▹ ◃ △ ▽
高等数学附录1二阶三阶行列式简介
当主对角线元素相等且副对角线元素 也相等时，二阶行列式的值为零。
对于二阶行列式，主对角线元素之积 减去副对角线元素之积等于行列式的 值。
典型例题分析与解答
例题1
计算二阶行列式 |3 1|，|2 4| 的值。
解答
根据二阶行列式的定义，该行列式的值为 3*4 - 1*2 = 10 。
例题2
已知二阶行列式 |a 4|，|2 b| 的值为 -6，求a和b的值。
工程领域
在工程中，线性方程组常用于描述物理系统的状态或行为，如电路中的电流电压关系、力学中的力平衡等。 通过求解线性方程组，可以得到系统的稳定状态或行为规律。
计算机科学领域
在计算机科学中，线性方程组常用于图像处理、机器学习等领域。通过求解线性方程组，可以实现图像的变 换、数据的拟合等任务。
05 矩阵与行列式关系探讨
矩阵概念引入及基本运算回顾
矩阵定义与表示方法
由数字组成的矩形阵列，常用大写字母表示，如A、B等。
矩阵基本运算
包括加法、减法、数乘和乘法等，需满足相应运算规则。
矩阵转置
将矩阵的行和列互换得到的新矩阵，记为$A^T$。
矩阵秩、逆矩阵与行列式关系
矩阵秩
矩阵中非零子式的最高阶数，反映了矩阵的行或列向量组的线性 无关性。
关键知识点总结回顾
二阶行列式的定义
由2x2矩阵通过特定运算得到的数值，表示两个向量在二 维空间中的相对位置关系。
二阶、三阶行列式的计算方法
通过展开式或对角线法则进行计算。
ABCD
三阶行列式的定义
由3x3矩阵通过特定运算得到的数值，表示三个向量在三 维空间中的相对位置关系。
行列式的性质
包括行列式与矩阵转置的关系、行列式的乘法性质、行 列式的加法性质等。
01 第一节 二阶与三阶行列式
第一章 行列式历史上，行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的.如今，它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是一种常用的计算工具.特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具.第一节 二阶与三阶行列式二阶行列式与三阶行列式的内容在中学课程中已经涉及到,本节主要对这些知识进行复习与总结,它们是我们学习和讨论更高阶行列式计算的基础.分布图示★引言★ 二阶行列式 ★ 简例 ★ 二元线性方程组 ★ 例1★ 三阶行列式★ 例2 ★ 例3 ★ 三元线性方程组 ★ 例4★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题1-1内容要点一、二阶行列式2112221122211211a a a a a a a a -=二、二阶线性方程组⎩⎨⎧=+=+)2()1(22221211212111b x a x a b x a x a三、三阶行列式 333231232221131211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++三阶行列式有6项，每一项均为不同行不同列的三个元素之积再冠于正负号，其运算的规律性可用“对角线法则”或“沙路法则”来表述之。
四、三元线性方程组类似于二元线性方程组的讨论，对三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111,bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 记D =,333231232221131211a a a a a a a a a 1D =,333232322213121a a b a a b a a b2D =,333312322113111a b a a b a a b a 3D =,332312222111211b a a b a a b a a 若系数行列式D 0≠，则该方程组有唯一解：.,,332211DD x DD x DD x ===例题选讲例1 (E01) 解方程组.328322121⎩⎨⎧-=-=+x x x x解 D 2132-=13)2(2⨯--⨯=,7-=1D 2338--=)3(3)2(8-⨯--⨯=,7-=2D 3182-=18)3(2⨯--⨯=.14-=因,07≠-=D故所给方程组有唯一解1x DD 1=77--=,1=2x DD 2=714--=.2=例2 (E02) 计算三阶行列式61504321- 解 =-61504321601⨯⨯)1(52-⨯+043⨯⨯+)1(03-⨯⨯-051⨯⨯-624⨯⨯- 4810--=.58-=例3 (E03) 求解方程.094321112==xx D 解 方程左端 =D 23x x 4+18+12-x 9-22x -,652+-=x x由0652=+-x x 解得2=x 或.3=x例4 (E04) 解三元线性方程组.013222321321321⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-x x x x x x x x x解 由于方程组的系数行列式=D 111312121---- =)1(11-⨯⨯)1()3()2(-⨯-⨯-+121⨯⨯+11)1(⨯⨯--1)3(1⨯-⨯-)1(2)2(-⨯⨯--5-=,0≠1D =11311122----,5-=2D =11312121----,10-=3D =011112221---,5-=故所求方程组的解为:,111==DD x ,222==DD x.133==DD x课堂练习1.设,14011a aD = 试给出0>D 的充分必要条件. 2.求一个二次多项式)(x f ，使 .28)3(,3)2(,0)1(=-==f f f。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
带正号的三项列标排列：123 ,231,312；带负号的三项列标排列是：132,213,321．前三个排列为偶排列，而后三个排列为奇排列，因此各项所带符号可以表示为 ，其中 为列标排列的逆序数；
(3)因1,2,3共有6个不同的排列，所以对应行列式右端是6项的代数和．
3、n阶行列式的定义
教学难点：
1、二阶行列式、三阶行列式的定义及其计算；
2、用二阶行列式、三阶行列式计算线性方程组；
教学思路及教学方法：
1、先由解二元一次方程组引入二阶行列式、再由解三元一次方程组引入三阶行列式；
2、分析三阶行列式的项与符号规律，给出n阶行列式的定义；
3、本节重点是分析分析三阶行列式的项与符号规律以便引入n阶行列式，要把主要精力花在这一部分，利用对角线法则计算二阶三阶行列式不要太花时间、应强调对角线法则对于高阶行列式不适用。
解：D＝ ＝
＝0 ＝0， ＝3。
因此可得：（1）当 ＝0， ＝3时D＝0；
（2）当 0， 3时D 0。
例3：用行列时法解线性方程组：
解：因为D＝
所以
例4：用对角线展开法计算：
解： ＝2×2×（－2）＋3×3×1＋（－1）×（－5）×1－1×2×1－3×（－1）×（－2）－3×（－5）×2＝－8＋9＋5－2－6＋30＝28
例5：用行列式解线性方程组：
解：系数行列式
所以线性方程组有唯一解。又
所以方程组的解为：
四、课时小结：
1、二阶行列式、三阶行列式的定义及其计算；
2、二阶行列式、三阶行列式计算线性方程组；
3、n阶行列式的定义。
五、课堂练习和课后作业：
六、板书设计：
§二阶行列式、三阶行列式
一、二阶行列式
二、三阶行列式
三、例题讲解及课堂练习
教案编号:NO1
课题:§7.1二阶与三阶行列式
教学时间:
教学班级:
授课类型:讲授新课
教学目的的要求：
1、理解并掌握二阶行列式、三阶行列式的定义及其计算；
2、会用二阶行列式、三阶行列式计算线性方程组；
3、n阶行列式的定义。
教学重点：
1、二阶行列式、三阶行列式的定义及其计算；
2、用二阶行列式、三阶行列式计算线性方程组；
引入符号
称为三阶行列式（（1.2.2)的系数行列式）。
当系数行列式 时，三元一次方程组(1.2.2)有惟一解，
其中
3、三阶行列式的对角线法则：
＝
补充：
三阶行列式具有以下特点：
（1）三阶行列式值的每一项都是位于不同行，不同列的三个元素的乘积，除去符号，每项的三个元素按它们在行列式中的行的顺序排成 ，其中第一个下标（行标）都按自然顺序排列成123，而第二个下标（列标）排列成 ，它是自然数1,2,3的某个排列；
因此，三阶行列式可以写成
其中 为排列 的逆序数，即，上式表示对1，2，3三个数的所有排列 求和。
4、n阶行列式的定义
称由 个数 （ ）排成 行 列组成的记号
为 阶行列式，简记为 。
三、例题讲解
例1：计算 ＝5×2－（－1）×3＝13
例2：设D＝ ，问（1）当 为何值时D＝0；（2）当 为何值时D 0。
当 时，求得方程组(1.2.1)的解为
或，
根据二阶行列式的定义，方程组(1.2.1)的解中的分子也可用二阶行列式表示．若记
其中 表示将 中第 列换成(1.2.1)式右边的常数项所得到的行列式．
于是，当系数行列式 时，二元一次方程组(1.2.1)有惟一解：
或
2、三阶行列式
求解三元一次方程组
（1．2．2）
七、课考，来解决师生互动问题。
教学过程
一、教学引入：
1、线性方程组的表达形式
设含有n个未知数，n个方程的线性方程组为
二、讲授新课：
1、二阶行列式
讨论二元线性方程组的解法
(1.2.1)
引入符号
称D为二阶行列式（（1.2.1）的系数行列式），它代表一个数，简记为D＝det( )，其中数 称为行列式D的第 （行标）第 （列标）列的元素。