汽车行驶的路程.ppt

第一章 导数及其应用
1．5 定积分的概念
第一章 导数及其应用
1．5.1 曲边梯形的面积 1．5.2 汽车行驶的路程
第一章 导数及其应用
学习导航
学习目标 实例 ―了―解→
定积分的实际背景及“以直代曲”、 “以不变代变”的 思想方法
―会―求→
曲边梯形的面积和 汽车行驶的路程
重点难点 重点：求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程． 难点：“以直代曲 ”，“以不变代变”的思想的运用．
等分,则每个小区间[3
i－1， n
3ni](i＝1,2，…，n)的长度为 Δx＝3n.分别过各分点作 x 轴的垂 线，把原曲边梯形分成 n 个小曲边梯形．
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(2)近似代替 以每个小区间的左端点函数值为高作n个小矩形． 则当n很大时，用n个小矩形面积之和Sn近似代替曲边梯形 的面积S.
s＝
＝ 81＋1n1＋21n＋4＝8＋4＝12.
所以这段时间内行驶的路程为 12 km.
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【名师点评】 把变速直线运动的路程问题，化归为求匀速 直线运动的路程问题，采用方法仍然是分割、近似代替、求 和、取极限，求变速直线运动的路程和曲边梯形的面积，虽 然它们的意义不同，但都可以归纳为求一个特定形式和的极 限，通过这样的背景问题，能更好体会后面所要学习的定积 分的概念．
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新知初探思维启动
1．连续函数与曲边梯形 (1)连续函数 如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条__连__续__不__断__的 曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数． (2)曲边梯形 把由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线____y＝__f_(_x_)__所围 成的图形称为曲边梯形．
【名师点评】 根据步骤“分割→近似代替→求和→取极 限”求曲边梯形的面积S，实质是用n个小矩形面积的和Sn来 逼近，Sn的极限即为所求曲边梯形的面积S.
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跟踪训练 1．求直线x＝0，x＝3，y＝0与二次函数f(x)＝－x2＋2x＋3所 围成的曲边梯形的面积．
解：(1)如图,分割,将区间[0,3]n
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题型二 求变速直线运动的路程
例2 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速
度为v(t)＝3t2＋2(单位：km/h),那么该汽车在0≤t≤2(单位:
h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？ 【解】 (1)分割 在时间区间[0,2]上等间隔地插入 n－1 个分点，将它等分成 n
把区间[0,1]等分成 n 个小区间i－n 1，ni (i＝1,2，…，n)，其
长度 Δx＝1n，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，其面积分别 记为 ΔSi(i＝1,2，…，n)．
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(2)近似代替
用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积．
ΔSi≈
fi－n
1·Δx＝1＋i－n
12
·1n(i＝
个小区间．记第 i 个小区间为2i－n 1，2ni(i＝1,2，…，n)，其
长度为 Δt＝2ni－2i－ n 1＝2n.每个时间段上行驶的路程记为 Δsi(i
n
＝1,2，…，n)，则显然有 s＝ Δsi.
i＝1
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(2)近似 代替
取
ξi
＝
2i n
(i
＝
1,2
，
…
，
n)
．
于
1＋
9
＝－ 9(1－1n)(1－21n)＋ 9(1－1n)＋ 9.
∴ S≈ Sn＝－ 9(1－1n)(1－21n)＋ 9(1－1n)＋ 9.
(4)取极 限 S＝ ＝
[－ 9(1－1n)(1－21n)＋ 9(1－1n)＋ 9]
＝－ 9(1－ 0)(1－ 0)＋ 9(1－ 0)＋ 9
＝ 9，
即所求曲边梯形面积为 9.
是
Δsi≈
Δsi′
＝
v2ni
·Δt
＝
32ni2 ＋ 2·2n＝2n4i32 ＋4n(i＝ 1,2，…， n)．
(3)求和
n
n
sn ＝ Δ si′ ＝
i＝1
i＝1
2n4i32＋4n
＝
24 n3
(12
＋
22
＋
…
＋
n2)
＋
4
＝
24 n n3·
n＋
1 6
2n＋
1＋
4＝
81＋1n
1＋21n
＋
4.
(4)取极 限
(3)求和
Sn＝
n 3
f(
i＝1
i－ n
1 )Δx
＝ n [－9
i＝1
ห้องสมุดไป่ตู้
i－ n2
12＋
2×3
i－ n
1＋
3]×3n
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＝－2n73 [12＋22＋…＋(n－1)2]＋1n82[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋9
＝－2n73 ×16(n－
1)n(2n－
1)＋1n82 ×n
n－ 2
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想一想 2.如果物体作曲线运动，能否用上述方法求它的路程？ 提示：不能．
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典题例证技法归纳
题型探究
题型一 求曲边梯形的面积 例1 求抛物线 f(x)＝1＋x2 与直线 x＝0，x＝1，y＝0 所
围成的平面图形的面积 S. 【解】 (1)分割
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跟踪训练
2．一辆汽车在直线形公路上变速行驶，汽车在时刻t的速度
为v(t)＝－t2＋5(单位：km/h)．试计算这辆汽车在0≤t≤2(单
位：h)这段时间内汽车行驶的路程s(单位：km)．
解：(1)分割
将区间
[0,2]分成
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想一想 1.上述曲边梯形的曲边y＝f(x)有什么要求？ 提示：在[a，b]上连续．
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2．曲边梯形的面积与变速直线运动的路程 (1)求曲边梯形面积的步骤：__分__割__、__近__似__代__替__、 _求__和___、__取__极__限____． (2)如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以 采用__分__割___、__近__似__代__替___、__求__和___、_取__极__限___的方法，求 出它在a≤t≤b内的路程s.
1,2，…，
n)．
(3)求和
n
n
∑ i ＝ 1ΔSi≈∑ i＝ 1
1n1＋i－n
12
.
(4)取极限
n
S＝lim∑ n→ ∞i＝ 1
1n·1＋i－n
12
n
＝1＋lim∑ n→ ∞ i＝ 1
i－ n
12·1n
＝1＋lim n→ ∞
131－1n 1－21n
＝1＋13＝43.
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