相似三角形与圆的结合
相似三角形的内切圆与外接圆
相似三角形的内切圆与外接圆在数学中，当两个三角形的对应角相等，并且对应边成比例时，我们称这两个三角形为相似三角形。
在相似三角形中，存在着一些特殊的圆，即内切圆和外接圆。
本文将讨论相似三角形与它们的内切圆和外接圆之间的关系。
一、相似三角形的内切圆内切圆是能够与三角形的三条边都相切的圆。
对于相似三角形而言，它们的内切圆有一个重要的性质：内切圆的半径与三角形的相似比例相等。
假设有两个相似三角形ABC和DEF，且它们的相似比例为k，则内切圆的半径R满足以下关系：R(ABC) / R(DEF) = k这个结论可以通过相似三角形的性质来证明。
因为相似三角形的对应角相等，所以它们的切点、顶点和圆心共线，从而可以得到三角形的内切圆。
二、相似三角形的外接圆外接圆是能够与三角形的三个顶点相切的圆。
对于相似三角形而言，它们的外接圆有一个重要的性质：外接圆的半径与三角形的相似比例的倒数相等。
仍假设有两个相似三角形ABC和DEF，且它们的相似比例为k，则外接圆的半径r满足以下关系：r(ABC) / r(DEF) = 1 / k这个结论可以通过相似三角形的性质来证明。
因为相似三角形的对应角相等，所以它们的顶点、圆心和切点共线，从而可以得到三角形的外接圆。
三、内切圆与外接圆的关系在相似三角形中，内切圆和外接圆之间存在着一定的关系。
如果两个三角形是相似的，它们的内切圆和外接圆的圆心可以看做是同一个点。
实际上，内切圆和外接圆的圆心都位于相似三角形的相似中心上。
相似中心是一个点，使得从它出发，分别向两个相似三角形的对应顶点连线的比等于相似比例。
通过这个性质，我们可以进一步得到内切圆和外接圆的半径之间的关系。
设R为内切圆的半径，r为外接圆的半径，则有：R / r = k其中，k为相似比例。
结论综上所述，相似三角形的内切圆与外接圆之间存在着一些关系。
内切圆的半径与相似比例相等，而外接圆的半径与相似比例的倒数相等。
此外，内切圆和外接圆的圆心可以看做是同一个点，即相似三角形的相似中心。
共边共角相似三角形在圆中的应用
共边共角相似三角形在圆中的应用一、基本概念：1.定义：如图，△ABC与△ACD有一条公共边AC和一个公共角∠ A，这样的两个三角形叫做共边共角三角形.这样的两个三角形若又有一个角对应相等，则两个三角形相似，那么这样的两个三角形称为共边共角相似三角形.2.性质定理：共边共角的两个相似三角形的公共边是夹公共角的另一条对应边的比例中项.如图1，在△ABC中，∠ACD=∠B，则△ACD∽△ABC，那么可得：AC2= AD·AB .特别地，当△ABC是直角三角形，且CD⊥AB时(如图2)，AC2 =AD·AB，即为射影定理.二、应用举例：例1.如图3，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B 两点，OP与AB相交于M，C是上一点. 求证：∠OPC=∠OCM .分析：若∠OPC=∠OCM，又∠O=∠O，所以必有△OCM∽△OPC，显然，这一结论只有通过“两边对应成比例，夹角相等”来实现.为此，应当设法证明= ，即OC2= OM·OP.这由OA2= OM·OP, OA= OP 即得.评析：图中△OCM与△OPC 为共边共角相似三角形.例2. 已知⊙C的半径为R，⊙O 过点C，且与⊙C相交于A、B 两点. D为⊙O上一点，弦AB、CD 相交于点E. 求证：CE·CD为定值分析：如图4，由于CE是线段CD的一部分，可构造以C为公共顶点的共边共角三角形.由于⊙C的半径已知为R，所以，只要能与R建立联系，即可得证. 为此，连结AC、AD 由∠ACE是公共角，及∠CAE =∠D，即得△ACE ∽△DCA，从而，CE·CD = R2为定值.评析：图中，△ACE与△D CA 是共边共角相似三角形.例3. 在圆内接四边形ABCD中，BC= CD= 4cm, AC交BD于E，AE=6 cm, 设BE=xcm ,DE = ycm , x、y 均为整数，求x、y 的值解：如图5, 由相交弦定理: x·y = AE·CE = 6CE ,图5故要求x、y的值，必须先求CE的长. 注意到∠3 =∠1，联想到△CBE与△CAB是共边共角的相似三角形，可得：BC2 = CE·CA∴ 42= CE·（CE + 6），可得CE=2 或CE=－8（舍去），从而，x·y = 6×2 =12 ，∴x=3, y =4 或x=4, y=3 .评析：△CBE与△CAB是共边共角相似三角形例4.已知AC、AB是⊙O 的弦, AB＞AC.⑴如图6, 能否在AB 上确定一点E,使AC2 = AE·AB, 为什么?⑵如图7, 在条件⑴的结论下延长EC到P, 连结PB.如果PB=PE, 试判断PB和⊙O 的位置关系, 并说明理由.⑶在条件⑵的情况下, 如果E 是PD的中点, 那么C是PE的中点吗?为什么?分析：⑴观察图6，联想共边共角相似三角形的特征，那么只要AB上的点满足：∠ACE=∠B即可.为此连结并延长CE交⊙O于点C ' （如图6），所以只要=.故，满足题目要求的点E是存在的.作法：在优弧上取=.连CC’ ,交AB于点E,即可. 且AC2 = AE·AB.这里，△ACE与△ACB是共边共角相似三角形⑵由⑴及PB =PE 可得∠3 =∠A，过B⊙O的直径，那么可证PB是⊙O的切线( 如图7);⑶连结BD，即可证明△PBC与△PBD是共边共角的相似三角形，那么PB2 = PC·PD，又PD=2PE, PE=PB, 可得C是PE的中点 .评析：⑴中，△ACE与△ACB是共边共角相似三角形；⑶中，△PBC与△PBD是共边共角相似三角形.参考习题1. 如图8，已知⊙O的内接四边形ABCD，D 是的中点，BC、AD的延长线相交于点E，DH切⊙O于D，交EB于点H.⑴求证：DH平分∠CDE；⑵在图中的已知线段中找出两条线段，使它们的积等于DE2，并加以证明.2.已知如图9，在△ABC中, AB=AC, 过点A（图8）的直线与△ABC的外接圆O交于D, 与BC 的延长线交于点F, DE是BD的延长线,连接CD.求证: ⑴ DF平分∠EDC; ⑵ AB2=AD·AF;⑶ AF2－AB2=AF·DF.3.如图10，PA切⊙O于A ，割线PBC交⊙O于B、C两点，D为PC的中点, AD的延长线交⊙O 于E，又BE2 =DE·AE，求证：⑴PA =PD; ⑵ 2PB2 = AD ·DE [ 提示: 由切割线定理证PA =2PB ,∴ B是PD的中点]4.如图11，ΔABC内接于⊙O，AB = AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AC、BD相交于点E，（1）求证：ΔABE≌ΔACD；（2）若AB = 6cm,BC = 4 cm,求AE的长.5 .如图12，PA为⊙O的切线，从PA的中点B做割线BCD，交圆于点C、D，连结PC、PD 分别交圆于点E、F. 求证：∠APD = ∠EFD.6.已知如图13，A 是⊙O上一点，割线PC交⊙O于B、C两点，PD是PB和PC 的比例中项，PA=PD，连结AD并延长交⊙O于E,求证：BE= CE.（图9）（图10）（图11）（图12）（图13）。
相似三角形的外接圆与外切圆
相似三角形的外接圆与外切圆相似三角形的外切圆与外接圆相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
在几何学中，外接圆和外切圆是与三角形相关的两个重要概念。
本文将探讨相似三角形的外接圆和外切圆，并分析它们的性质和应用。
一、外接圆（Circumcircle）外接圆是指与三角形的三个顶点都相切的圆。
在相似三角形中，如果两个三角形的对应顶角相等，那么它们的外接圆是相等的。
外接圆具有以下性质：1. 外接圆的半径等于三角形三边的中线之积除以四倍三角形的面积。
2. 外接圆的圆心位于三角形的外部，且与三角形的三个顶点连线的垂直平分线相交于同一点，这个点就是外接圆的圆心。
3. 外接圆的直径等于三角形的最长边。
外接圆有着广泛的应用。
在解决与三角形相关的问题时，外接圆可以帮助我们求解三角形的面积、证明三角形的性质等。
二、外切圆（Incircle）外切圆是指与三角形的三条边都相切的圆。
在相似三角形中，如果两个三角形的对应边成比例，那么它们的外切圆也是相等的。
外切圆具有以下性质：1. 外切圆的半径等于三角形的面积除以半周长（三边之和的一半）。
2. 外切圆的圆心位于三角形的内部，且与三角形的三边的垂直平分线相交于同一点，这个点就是外切圆的圆心。
外切圆在实际问题中也有重要的应用。
比如在工程测量、建筑设计等领域，外切圆可以帮助我们确定构建物体的最佳位置、确定装置的最佳适配度等。
三、相似三角形的外接圆和外切圆的关系在相似三角形中，外接圆和外切圆之间存在一定的关系。
1. 如果两个三角形相似，那么它们的外接圆和外切圆是相似的，并且比例相等。
2. 如果两个相似三角形的比例因子为k，那么它们的外接圆和外切圆的比例因子也为k。
综上所述，相似三角形的外接圆和外切圆在几何学中有着重要的地位和应用。
它们不仅有助于我们求解三角形的面积和证明三角形的性质，还在实际问题中有着广泛的应用。
因此，深入理解和掌握相似三角形的外接圆和外切圆的性质和关系，有助于我们更好地应用它们解决实际问题。
圆与相似三角形相关的证明题
圆与相似三角形相关的证明题1. 在图中，已知PC=PD，PD切圆O于D，PB交圆O于A，连结AC和BC。
要证明AC·PB=PC·BC。
证明：由于PD是圆O的切线，所以∠PDC=∠ACB。
又因为PC=PD，所以∠PCD=∠PDC。
因此，∠ACB=∠PCD。
又因为∠BCP=∠PBD，所以三角形PBD和PBC相似。
因此，PB·PC=PD2。
由于三角形ACD和BDC相似，所以AC·BD=CD2。
将BD替换为PD+PC，得到AC·(PD+PC)=CD2，即AC·PB=PC·BC。
因此，原命题成立。
2. 在图中，已知AB∥CD，DC延长线交EB延长线于F，EB与圆O相交于F，DF交圆O于G。
要证明AD·ED=BE·DF。
证明：由于AB∥CD，所以∠___∠EAD。
又因为EB是圆O的切线，所以∠___∠EDF。
因此，∠___∠EAD。
又因为AB是圆O的直径，所以∠EAB=90°。
因此，三角形EAB和EDF相似。
因此，AD·ED=BE·DF。
因此，原命题成立。
3. 在图中，___于P，PE⊥AB于E，AC⊥CD，BD⊥CD。
要证明①PE：AC=PB：PA，②PE2=AC·BD。
证明：①由于PE⊥AB，所以∠APE=90°。
又因为AC⊥CD，所以∠ACP=90°。
因此，∠APE=∠ACP。
又因为∠APB=90°，所以三角形APE和APB相似。
因此，PE：AC=PB：PA。
②由于PE⊥AB，所以∠APE=90°。
又因为BD⊥CD，所以∠___°。
因此，四边形AEPD和BEPC是直角四边形。
因此，PE2=AE2-AP2=AC·BD。
因此，原命题成立。
4. 在图中，ABC是内接于圆O的三角形，BD是圆O的直径，AF⊥BD于F，AF延长线与BC交于G。
相似三角形与圆的关系
相似三角形与圆的关系相似三角形与圆的关系是几何学中十分重要的一个概念。
在这篇文章里，我们将探讨相似三角形与圆之间的关联以及应用。
一、相似三角形的基本概念相似三角形指的是具有相同形状但尺寸不同的三角形。
其特点是对应角相等，对应边成比例。
我们用符号"∼"表示相似关系。
例如，三角形ABC与三角形DEF在形状上相似可以表示为：△ABC∼△DEF。
二、相似三角形与圆的内切关系当一个圆完全内切于一个三角形时，这个三角形与圆的关系是非常特殊的。
我们把这个圆称为三角形的内切圆。
内切圆与三角形的三边都相切，且各切点处的切线互相垂直。
三、相似三角形与圆的外切关系与内切圆相反，当一个三角形完全外切于一个圆时，这个圆称为三角形的外切圆。
外切圆与三角形的三边都有公切线，且切线相交于圆的圆心。
四、相似三角形与圆的面积关系利用相似三角形的性质，我们可以推导出相似三角形与圆的面积关系。
假设有两个相似的三角形，它们的对应边长比为k，那么它们的面积比就是k的平方。
同样地，如果一个小三角形与一个大三角形相似，那么它们的面积比就是两个三角形对应边长的比的平方。
五、相似三角形与圆的应用相似三角形与圆的关系在实际生活中有许多应用。
例如，通过利用相似三角形的特性，我们可以测量无法直接获取的高度，如高楼或者山脉。
通过测量一个影子与其高度的比例，利用相似三角形原理可以得到物体的实际高度。
此外，在工程设计中，相似三角形与圆的关系也有实际应用。
例如，在建筑设计中，我们可以利用相似三角形的性质来计算建筑物的比例。
圆的外切或内切关系也可以用于定位和绘图。
总结：相似三角形与圆的关系是几何学中重要的一个主题。
通过了解相似三角形的基本概念、内切关系和外切关系，我们可以更好地理解相似三角形与圆的联系。
此外，相似三角形与圆的面积关系以及实际应用也是我们需要探索和学习的内容。
相似三角形的研究对于几何学的发展具有重要的意义，并在实际中有广泛的应用。
2020春浙教版九年级中考数学复习测试：6.20圆与相似三角形的结合
第20讲圆与相似三角形的结合[学生用书P129]月球有多大？我们用三角函数可以测定月球的大小，当我们已知月球离地球的距离是三十八万四千千米，就可以用相似测定月球直径的大小．如图①，把一枚硬币(直径2.4 cm)放在离眼睛2.6 m的地方，大致能够把整个月面遮住．(试一试！)①②如图②，由△OAB∽△OCD，可得CDAB＝OFOE(相似三角形对应高的比等于相似比)．把AB＝0.024 m，OF＝384 000 000 m，OE＝2.6 m代入，得CD＝0.024×384 000 0002.6≈3 500 000(m)．就是说，月球的直径约是3 500 km.类型之一圆的基本性质与相似三角形例1[2018·南京中考]如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连结DE.过点A作AF⊥DE，垂足为F.⊙O经过点C，D，F，与AD相交于点G.(1)求证：△AFG∽△DFC；(2)若正方形ABCD的边长为4，AE＝1，求⊙O的半径．【思路生成】(1)欲证明△AFG∽△DFC，只要证明∠F AG＝∠FDC，∠AGF ＝∠FCD；(2)首先证明CG是直径，再求CG长度即可解决问题；解：(1)证明：在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，∴∠CDF＋∠ADF＝90°，∵AF⊥DE，∴∠AFD＝90°，∴∠DAF＋∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠CDF，∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，∴∠FCD＋∠DGF＝180°，又∵∠FGA＋∠DGF＝180°，∴∠FGA＝∠FCD，∴△AFG∽△DFC；(2)如答图，连结CG.答图∵∠EAD＝∠AFD＝90°，∠EDA＝∠ADF，∴△EDA∽△ADF.∴EAAF＝DADF，即EADA＝AFDF.∵△AFG∽△DFC，∴AGDC＝AF DF.∴AGDC＝EADA.在正方形ABCD中，DA＝DC，∴AG＝EA＝1，DG＝DA－AG＝4－1＝3. ∴CG＝DG2＋DC2＝32＋42＝5.∵∠CDG＝90°，∴CG是⊙O的直径．∴⊙O的半径为5 2.圆与相似三角形的综合运用主要体现在以下几个方面：(1)证明圆中的比例式或等积式；(2)运用相似的性质进行圆的有关计算；(3)运用相似证明圆的切线．判定圆中的相似三角形(1)圆中的角主要有圆心角和圆周角，特别是直径所对的圆周角都是直角，利用圆心角、圆周角等寻找或构造相似三角形是基本思路；(2)利用圆的切线的判定或性质，或切线长定理寻找或构造相似三角形也是重要的方法．1．[太原竞赛]如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝11，BC＝5，以C为圆心，BC为半径作圆交BA的延长线于D，则AD的长为__73__．答图【解析】如答图，延长AC与圆相交于E，F，则AF＝5－11，AE＝5＋11，又AB＝6，由相交弦定理AD·AB＝AE·AF得AD＝AE·AFAB＝（5－11）（5＋11）6＝73.2．[第19届江苏竞赛]如图，AB为圆的直径，若AB＝AC＝5，BD＝4，则AE BE＝__724__．【解析】如答图，连结AD，答图∵AB为圆的直径，∴∠E＝90°，AD⊥BC，而AB＝AC＝5，BD＝4，则AD＝3，BD＝DC，∴BC＝2BD＝8，∵∠ACD＝∠BCE，∴Rt△CDA∽Rt△CEB，∴ADBE＝CDCE＝CABC，即3BE＝4CE＝58，所以BE＝245，CE＝325，则AE＝CE－AC＝325－5＝75，所以AEBE＝724.3．[苏州中考]如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E ，连结CD 交OE 于点F .(1)求证：△DOE ∽△ABC ； (2)求证：∠ODF ＝∠BDE ；(3)连结OC ，设△DOE 的面积为S 1，四边形BCOD 的面积为S 2，若S 1S 2＝27，求OEOD 的值．解：(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. ∵DE ⊥AB ，∴∠DEO ＝90°.∴∠DEO ＝∠ACB . ∵OD ∥BC ，∴∠DOE ＝∠ABC ，∴△DOE ∽△ABC ；(2)证明：∵△DOE ∽△ABC ，∴∠ODE ＝∠A .∵∠A 和∠BDC 是BC ︵所对的圆周角，∴∠A ＝∠BDC ，∴∠ODE ＝∠BDC .∴∠ODF ＝∠BDE ；(3)∵△DOE ∽△ABC ，∴S △DOE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OD AB 2＝14，即S △ABC ＝4S △DOE ＝4S 1， ∵OA ＝OB ，∴S △BOC ＝12S △ABC ， 即S △BOC ＝2S 1.∵S 1S 2＝27，S 2＝S △BOC ＋S △DOE ＋S △DBE ＝2S 1＋S 1＋S △DBE ，∴S △DBE ＝12S 1，∴BE ＝12OE ， 即OE ＝23OB ＝23OD ，∴OE OD ＝23.4．[2018·宁波中考]如图1，直线l ：y ＝－34x ＋b 与x 轴交于点A (4，0)，与y 轴交于点B ，点C 是线段OA 上一动点⎝ ⎛⎭⎪⎫0<AC <165，以点A 为圆心，AC 长为半径作⊙A 交x 轴于另一点D ，交线段AB 于点E .连结OE 并延长交⊙A 于点F .(1)求直线l 的函数表达式和tan ∠BAO 的值． (2)如图2，连结CE ，当CE ＝EF 时． ①求证：△OCE ∽△OEA ； ②求点E 的坐标．(3)当点C 在线段OA 上运动时，求OE ·EF 的最大值．解：(1)∵直线l ：y ＝－34x ＋b 与x 轴交于点A (4，0)， ∴－34×4＋b ＝0，∴b ＝3，∴直线l 的函数表达式为y ＝－34x ＋3， ∴B (0，3)，∴OA ＝4，OB ＝3，在Rt△AOB中，tan∠BAO＝OBOA＝3 4.(2)①证明：如答图①，连结DE，DF，∵CE＝EF，∴∠CDE＝∠FDE，∴∠CDF＝2∠CDE，∵∠OAE＝2∠CDE，∴∠OAE＝∠ODF，∵四边形CEFD是⊙O的圆内接四边形，∴∠OEC＝∠ODF，∴∠OEC＝∠OAE，∵∠COE＝∠EOA，∴△COE∽△EOA；②如答图①，过点E作EM⊥OA于M，由①知，tan∠OAB＝3 4，设EM＝3m，则AM＝4m，∴OM＝4－4m，AE＝5m，∴E(4－4m，3m)，AC＝5m，∴OC＝4－5m，由①知，△COE∽△EOA，∴OCOE＝OEOA，∴OE2＝OA·OC＝4(4－5m)＝16－20m，∵E(4－4m，3m)，∴(4－4m)2＋9m2＝16－20m，解得m ＝0(舍)或m ＝1225，∴4－4m ＝5225，3m ＝3625， ∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫5225，3625.(3)如答图②，设⊙A 的半径为r ，设射线EA 与⊙A 相交于H ，过点O 作OG ⊥AB 于G ，连结FH ，答图①答图②∵A (4，0)，B (0，3)，∴OA ＝4，OB ＝3， ∴AB ＝5，∴12AB ×OG ＝12OA ×OB ，∴OG ＝125， ∴AG ＝OG tan ∠OAB＝125×43＝165， ∴EG ＝AG －AE ＝165－r ，∵EH 是⊙A 直径， ∴EH ＝2r ，∠EFH ＝90°＝∠EGO ， ∵∠OEG ＝∠HEF ，∴△OEG ∽△HEF ， ∴OE HE ＝EG EF ，∴OE ·EF ＝HE ·EG ＝2r ⎝ ⎛⎭⎪⎫165－r ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫r －852＋12825，∴r ＝85时，OE ·EF 取最大值为12825.类型之二 圆的切线与相似三角形例2 [2018·成都]如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的⊙O 分别交AB ，AC 于点E ，F ，连结OF 交AD 于点G .(1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)设AB ＝x ，AF ＝y ，试用含x ，y 的代数式表示线段AD 的长； (3)若BE ＝8，sin B ＝513，求DG 的长．【思路生成】(1)连结OD ，由AD 为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD 与AC 平行，得到OD 与BC 垂直，即可得证；(2)连结DF ，由(1)得到BC 为⊙O 的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到△ABD 与△ADF 相似，由相似得比例，即可表示出AD ；(3)连结EF ，设圆的半径为r ，由sin B 的值，利用锐角三角函数定义求出r 的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF 与BC 平行，得到sin ∠AEF ＝sin B ，进而求出DG 的长即可．解：(1)证明：如答图，连结OD ，答图∵AD为∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，又⊙O过点D，∴BC为⊙O的切线；(2)如答图，连结DF，由(1)知BC为⊙O的切线，∴∠FDC＝∠DAF，∴∠CDA＝∠CFD，∴∠AFD＝∠ADB，∵∠BAD＝∠DAF，∴△ABD∽△ADF，∴ABAD＝ADAF，即AD2＝AB·AF＝xy，则AD＝xy；(3)如答图，连结EF，在Rt△BOD中，sin B＝ODOB＝513，设圆的半径为r，可得rr＋8＝513，解得r＝5，∴AE＝10，AB＝18，∵AE是直径，∴∠AFE＝∠C＝90°，∴EF ∥BC ，∴∠AEF ＝∠B ，∴sin ∠AEF ＝AF AE ＝513，∴AF ＝AE ·sin ∠AEF ＝10×513＝5013，∵AF ∥OD ，∴AG DG ＝AF OD ＝50135＝1013，即DG ＝1323AD ，∴AD ＝AB ·AF ＝18×5013＝301313，则DG ＝1323×301313＝301323.5．[2018·淄博中考]如图，以AB 为直径的⊙O外接于△ABC ，过A 点的切线AP 与BC 的延长线交于点P .∠APB 的平分线分别交AB ，AC 于点D ，E ，其中AE ，BD (AE <BD )的长是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个实数根．(1)求证：P A ·BD ＝PB ·AE ；(2)在线段BC 上是否存在一点M ，使得四边形ADME 是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．解：(1)证明：∵AP 为⊙O 的切线，AB 是直径，∴∠BAP ＝90°，即∠BAC ＋∠EAP ＝90°，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，即∠BAC ＋∠DBP ＝90°，∴∠EAP＝∠DBP，又∵PD平分∠APB，∴∠APE＝∠BPD，∴△APE∽△BPD，∴P AAE＝PBBD，∴P A·BD＝PB·AE；(2)存在．如答图，过点D作DM⊥BC于点M，连结EM，答图∵PD平分∠APB，又AD⊥P A，DM⊥PM，∴DM＝DA，∵∠AED＝∠EAP＋∠APE，∠ADE＝∠DBP＋∠BPD，又由(1)知∠EAP＝∠DBP，∠APE＝∠BPD，∴∠AED＝∠ADE，∴AD＝AE，∴DM＝AE，∵DM⊥BC，AC⊥BC，∴DM∥AC，∴四边形ADME为菱形，易得x2－5x＋6＝0的两个根为2，3，∵AE<BD，∴BD＝3，AE＝2，∵四边形ADME为菱形，∴DM＝AE＝AD＝2，在Rt△BDM中，BD＝3，DM＝2，∴BM＝32－22＝5，∵DM∥AC，∴BDDA＝BM MC，∴32＝5MC，∴MC＝253，∴S菱形ADME ＝AE·MC＝2×235＝453.6．[2018·遂宁中考]如图，过⊙O外一点P作⊙O的切线P A切⊙O于点A，连结PO并延长，与⊙O交于C，D两点，M是半圆CD的中点，连结AM交CD于点N，连结AC，CM.(1)求证：CM2＝MN·MA；(2)若∠P＝30°，PC＝2，求CM的长．解：(1)证明：∵在⊙O中M点是半圆CD的中点，∴∠CAM＝∠DCM，又∵∠M是公共角，∴△CMN∽△AMC，∴CMAM＝MNMC，∴CM2＝MN·MA；(2)如答图，连结OA，DM，答图∵P A是⊙O的切线，∴∠P AO＝90°，又∵∠P＝30°，∴OA＝12PO＝12(PC＋CO)，设⊙O的半径为r，∵PC＝2，∴r＝12(2＋r)，解得r＝2，又∵CD是直径，∴∠CMD＝90°，∵M点是半圆CD的中点，∴CM＝DM，∴△CMD是等腰直角三角形，∴在Rt△CMD中，由勾股定理得CM2＋DM2＝CD2，∴2CM2＝(2r)2＝16，解得CM＝2 2.类型之三证明圆中的比例式或乘积式例3[天津竞赛]如图，BC是半圆O的直径，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E.(1)求证：AC·BC＝2BD·CD；(2)若AE＝3，CD＝25，求弦AB和直径BC的长．【思路生成】(1)连结OD交AC于点F，由于D是弧AC的中点，∠ACD＝∠ABD＝∠CBD，由垂径定理知，AF＝CF＝12AC.∠CFD＝∠BDC＝90°，则有△CDF∽△BCD；(2)延长BA，CD交于点G，易得Rt△CDE∽Rt△CAG，由比例线段解得CE ＝5，在Rt△ACG中，由勾股定理得AG＝4，由割线定理知，GA·GB＝GD·GC，即4(AB＋4)＝25×45，解得AB＝6.在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC的值．解：(1)证明：如答图，连结OD交AC于点F，答图∵D是弧AC的中点，∴∠ACD＝∠ABD＝∠CBD，且AF＝CF＝12AC.∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，又∵∠CFD＝90°，∴△CDF∽△BCD.∴CFBD＝CDBC，∴CF·BC＝BD·CD.∴AC·BC＝2BD·CD；(2)如答图，延长BA，CD交于点G，由(1)得∠ABD＝∠CBD，∠BDC＝90°，∴△BCG为等腰三角形，∴BD平分CG，∴CG＝2CD＝45，∴Rt△CDE∽Rt△CAG，∴CECG＝CDCA，即CE45＝25CE＋3，解得CE＝5或CE＝－8(舍去)．在Rt△ACG中，由勾股定理得AG＝CG2－AC2＝（45）2－（3＋5）2＝4，∵GA·GB＝GD·GC，即4(AB＋4)＝25×45，解得AB＝6.在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝AB2＋AC2＝62＋（3＋5）2＝10.7．如图，已知四边形ABCD为圆的内接四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD.答图证明：如答图，在BD上取一点E，使∠BCE＝∠ACD，即得△BEC∽△ADC，可得BE BC ＝AD AC ，即AD ·BC ＝BE ·AC ，①又∵∠ACB ＝∠DCE ，可得△ABC ∽△DEC ，即得AB AC ＝DE DC ，即AB ·CD ＝DE ·AC ，②由①＋②，可得AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC (BE ＋DE )＝AC ·BD .8．[江苏竞赛]如图，AB ，AC ，AD 是圆中的三条弦，点E 在AD 上，且AB ＝AC ＝AE .请你说明以下各式成立的理由：(1)∠CAD ＝2∠DBE ；(2)AD 2－AB 2＝BD ·DC .证明：(1)如答图，延长BE 交圆于点F ，连结AF ，则∠DBF ＝∠DAF ，答图∵AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ＝∠DAF ＋∠F ，∴AF ︵＝AC ︵＋CF ︵＝AB ︵＋DF ︵，∵AB ＝AC ，∴AB ︵＝AC ︵，∴CF ︵＝DF ︵，即点F 是CD ︵的中点，∴∠CAD ＝2∠DAF ＝2∠DBE ；(2)如答图，连结BC 交AD 于点G ，∵AB ＝AC ，∴∠ADB ＝∠ABC ，∠BAG ＝∠DAB ，∴△BAG ∽△DAB .∴AB AG ＝AD AB ，即AB 2＝AG ·AD .∴AD 2－AB 2＝AD 2－AG ·AD ＝AD (AD －AG )＝AD ·DG ，∵∠BDA ＝∠ADC ，∠DBG ＝∠DAC ，∴△BDG ∽△ADC .∴BD AD ＝DG DC ，∴AD ·DG ＝BD ·DC .∴AD 2－AB 2＝BD ·DC .相似三角形解决圆中计算问题作辅助线构造直角是证明圆中三角形相似的常见方法．圆中三角形的相似常见的基本图形如下图所示．类型之四 利用相似三角形解决圆中的计算问题例4 [2018·武汉中考]如图，P A 是⊙O 的切线，A 是切点，AC 是直径，AB 是弦，连结PB ，PC ，PC交AB 于点E ，且P A ＝PB .(1)求证：PB 是⊙O 的切线；(2)若∠APC ＝3∠BPC ，求PE CE 的值．【思路生成】(1)连结OB ，OP ，△OAP 与△OBP 三边对应相等，这两个三角形全等，得∠OBP ＝∠OAP ＝90°，故PB 是⊙O 的切线；(2)连结BC ，AB 与OP 交于点H ，易证OP ⊥AB ，∠OPC ＝∠PCB ＝∠CPB ，由△OAH ∽△CAB 得OH CB ＝12；由△HPB ∽△BPO ，求得HP OH ；再由△HPE ∽△BCE ，可得PE CE 的值．解：(1)证明：如答图，连结OB ，OP ，在△OAP 和△OBP 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OB ，OP ＝OP ，AP ＝BP ，∴△OAP ≌△OBP (SSS )，∴∠OBP ＝∠OAP ，∵P A 是⊙O 的切线，∴∠OBP ＝∠OAP ＝90°，∴PB 是⊙O 的切线；(2)如答图，连结BC ，AB 与OP 交于点H ，答图∵∠APC ＝3∠BPC ，设∠BPC ＝x ，则∠APC ＝3x ，∠APB ＝x ＋3x ＝4x ， 由(1)知∠APO ＝∠BPO ＝2x ，∴∠OPC ＝∠CPB ＝x ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，由P A ＝PB ，∠APH ＝∠BPH 可得OP ⊥AB ，∴∠AHO ＝∠ABC ＝90°，即OP ∥BC ，∴∠OPC ＝∠PCB ＝∠CPB ＝x ，∴CB ＝BP ，易证△OAH∽△CAB，∴OHCB＝OAAC＝12，设OH＝a，则CB＝BP＝2a，易证△HPB∽△BPO，∴HPBP＝BPOP，设HP＝ya，则ya2a＝2aa＋ya，解得y1＝－1－172(舍)或y2＝－1＋172，∵OP∥CB，易证△HPE∽△BCE，∴PECE＝HPCB＝ya2a＝－1＋174.9．[2018·鄂州中考]如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AC 与BD交于点E，P为CB延长线上一点，连结P A，且∠P AB＝∠ADB.(1)求证：AP是⊙O的切线；(2)若AB＝6，tan∠ADB＝34，求PB的长；(3)在(2)的条件下，若AD＝CD，求△CDE的面积．解：(1)证明：如答图，连结OA，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，又∵∠P AB＝∠ADB，∠OCA＝∠ADB，∴∠OAC＝∠P AB，∵BC为⊙O的直径，∴∠CAB＝90°，∴∠OAC＋∠OAB＝90°，∴∠P AB＋∠OAB＝90°，即OA⊥AP，∴AP是⊙O的切线；(2)如答图，过点B作BF⊥AP于点F，答图∵∠ACB＝∠P AB＝∠ADB，AB＝6，tan∠ADB＝3 4，∴BC＝10，BFAF＝34，设BF＝3a，AF＝4a，又∵AB＝6，∴(3a)2＋(4a)2＝62，∴a＝65，∴BF＝3a＝185，AF＝4a＝245，∵OA⊥AP，BF⊥AP，∴BF∥OA，∴BFOA＝BPOP，即1855＝BPBP＋5，解得PB＝907；(3)如答图，连结OD交AC于点G，∵CD＝AD，∴OD⊥AC，并且CG＝AG＝12AC＝4，在Rt△COG中，由勾股定理可得OG＝OC2－CG2＝52－42＝3，∴DG＝OD－OG＝5－3＝2，S△CDG＝12CG·DG＝12×4×2＝4.显然Rt△CDG∽Rt△CED，∴S△CDES△CDG＝⎝⎛⎭⎪⎫CDCG2＝⎝⎛⎭⎪⎫2542＝54，∴S△CDE ＝54S△CDG＝54×4＝5.圆与相似三角形的综合运用(1)证明圆的切线的常用辅助线是作过切点的半径，证明直线与这条半径垂直；(2)运用切线的性质时，常连结切点和圆心．类型之五圆与相似三角形的综合运用例5 [2017·温州中考]如图，已知线段AB ＝2，MN ⊥AB 于点M ，且AM ＝BM ，P 是射线MN 上一动点，E ，D 分别是P A ，PB 的中点，过点A ，M ，D 的圆与BP 的另一交点为C (点C 在线段BD 上)，连结AC ，DE .(1)当∠APB ＝28°时，求∠B 和CM ︵所对的圆心角的度数．(2)求证：AC ＝AB .(3)在点P 的运动过程中．①当MP ＝4时，取四边形ACDE 一边的两端点和线段MP 上一点Q ，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q 为锐角顶点，求所有满足条件的MQ 的值；②记AP 与圆的另一个交点为F ，将点F 绕点D 旋转90°得点G ，当点G 恰好落在MN 上，连结AG ，CG ，DG ，EG ，直接写出△ACG 与△DEG 的面积比．【思路生成】(1)根据三角形ABP 是等腰三角形，可得∠B 的度数，再连结MD ，根据MD 为△P AB 的中位线，可得∠MDB ＝∠APB ＝28°；(2)由等角的补角相等，得∠ACB ＝∠B ，则AC ＝AB ；(3)①由垂直平分线的性质，分类讨论符合条件的点Q 的个数，利用相似和勾股定理分别求出MQ 的长度；②利用旋转的性质，平行四边形的性质，锐角三角比求出各边的长度，用面积公式求出比值．解：(1)∵MN ⊥AB ，AM ＝BM ，∴P A ＝PB ，∴∠P AB ＝∠B ，答图①∵∠APB ＝28°，∴∠B ＝76°，如答图①，连结MD ，∵MD 为△P AB 的中位线，∴MD ∥AP ，∴∠MDB ＝∠APB ＝28°，∴CM ︵所对的圆心角的度数为2∠MDB ＝56°.(2)证明：∵∠BAC ＝∠MDC ＝∠APB ，又∵∠BAP ＝180°－∠APB －∠B ，∠ACB ＝180°－∠BAC －∠B ， ∴∠BAP ＝∠ACB ，∵∠BAP ＝∠B ，∴∠ACB ＝∠B ，∴AC ＝AB .(3)①记MP 与圆的另一个交点为R ，∵MD 是Rt △MBP 的中线，∴DM ＝DP ，∴∠DPM＝∠DMP＝∠RCD，∴RC＝RP，∵∠ACR＝∠AMR＝90°，∴AM2＋MR2＝AR2＝AC2＋CR2，∴12＋MR2＝22＋PR2，∴12＋(4－PR)2＝22＋PR2，∴PR＝138，∴MR＝198，Ⅰ.当∠ACQ＝90°时，AQ为圆的直径，∴Q与R重合，∴MQ＝MR＝19 8；Ⅱ.如答图②，当∠QCD＝90°时，在Rt△QCP中，由PR＝CR可知PQ＝2PR＝134，∴MQ＝34；答图②答图③Ⅲ.如答图③，当∠QDC＝90°时，∵BM＝1，MP＝4，∴BP＝17，∴DP＝12BP＝172，∵△PBM∽△PQD，∴MPPB＝DPPQ，∴PQ＝178，∴MQ＝158；Ⅳ.如答图④，当∠AEQ＝90°时，答图④由AE＝PE，可得AQ＝PQ，设MQ＝x，则x2＋1＝(4－x)2，解得x＝15 8，∴MQ＝15 8；综上所述，MQ的值为198或34或158；②△ACG和△DEG的面积之比为6－233.理由：如答图⑤，过C作CH⊥AB于H，答图⑤∵DM∥AF，DE∥AB，∴四边形AMDE 是平行四边形，四边形AMDF 是等腰梯形，∴DF ＝AM ＝DE ＝1，又由对称性可得GE ＝GD ，并且DG ＝DF ，∴△DEG 是等边三角形， ∴∠EDF ＝90°－60°＝30°，∴∠DEF ＝75°＝∠MDE ，∴∠GDM ＝75°－60°＝15°，∴∠GMD ＝∠PGD －∠GDM ＝15°， ∴∠GMD ＝∠GDM ，∴GM ＝GD ＝1，由∠B ＝∠BAP ＝∠DEF ＝75°，得∠BAC ＝30°，从而CH ＝12AC ＝12AB ＝1＝MG ，AH ＝3，∴CG ＝MH ＝3－1，∴S △ACG ＝12CG ×CH ＝3－12，∵S △DEG ＝34，∴S △ACG ∶S △DEG ＝6－233.10．[2018·温州中考]如图，已知P 为锐角∠MAN内部一点，过点P 作PB ⊥AM 于点B ，PC ⊥AN 于点C ，以PB 为直径作⊙O ，交直线CP 于点D ，连结AP ，BD ，AP 交⊙O 于点E .(1)求证：∠BPD ＝∠BAC .(2)连结EB ，ED ，当tan ∠MAN ＝2，AB ＝25时，在点P 的整个运动过程中．①若∠BDE ＝45°，求PD 的长；②若△BED 为等腰三角形，求所有满足条件的BD 的长．(3)连结OC ，EC ，OC 交AP 于点F ，当tan ∠MAN ＝1，OC ∥BE 时，记△OFP的面积为S 1，△CFE 的面积为S 2，请写出S 1S 2的值． 解：(1)证明：∵PB ⊥AM ，PC ⊥AN ，∴∠ABP ＝∠ACP ＝90°，∴∠BAC ＋∠BPC ＝180°，又∠BPD ＋∠BPC ＝180°，∴∠BPD ＝∠BAC .(2)①如答图①，∵∠APB ＝∠BDE ＝45°，∠ABP ＝90°，∴BP ＝AB ＝25，∵∠BPD ＝∠BAC ，∴tan ∠BPD ＝tan ∠BAC ，∴BD DP ＝2，∴BP ＝5PD ，∴PD ＝2；②Ⅰ.当BD ＝BE 时，∠BED ＝∠BDE ，∴∠BPD ＝∠BED ＝∠BDE ＝∠BPE ＝∠BAC ，∴tan ∠BPE ＝2， ∵AB ＝25，∴BP ＝5，∴BD ＝2；Ⅱ.当BE ＝DE 时，∠EBD ＝∠EDB ，∵∠APB＝∠BDE，∠DBE＝∠APC，∴∠APB＝∠APC，∴AC＝AB＝25，如答图①过点B作BG⊥AC于点G，则四边形BGCD是矩形，答图①∵AB＝25，tan∠BAC＝2，∴AG＝2，∴BD＝CG＝25－2；Ⅲ.当BD＝DE时，∠DEB＝∠DBE＝∠APC，∵∠DEB＝∠DPB＝∠BAC，∴∠APC＝∠BAC，设PD＝x，则BD＝2x，∴ACPC＝2，而AG＝2，CD＝BG＝4，∴2x＋24－x＝2，∴x＝32，∴BD＝2x＝3，综上所述，当BD＝2，3或25－2时，△BDE为等腰三角形．(3)如答图②，过点O作OH⊥DC于点H，答图②∵tan∠BPD＝tan∠MAN＝1，∴BD＝PD，设BD＝PD＝2a，PC＝2b，则OH＝a，CH＝a＋2b，AC＝4a＋2b，∵OC∥BE且∠BEP＝90°，∴∠PFC＝90°，∴∠P AC＋∠APC＝∠OCH＋∠APC＝90°，∴∠OCH＝∠P AC，∴△ACP∽△CHO，∴OHCH＝PCAC，即OH·AC＝CH·PC，∴a(4a＋2b)＝2b(a＋2b)，∴a＝b，即CP＝2a，CH＝3a，则OC＝10a，∵△CPF∽△COH，∴CFCH＝CPOC，即CF3a＝2a10a，则CF＝3105a，OF＝OC－CF＝2105a，∵BE∥OC且BO＝PO，∴OF为△PBE的中位线，∴EF＝PF，∴S1S2＝OFCF＝23.例6[全国数学联赛题]如图，已知四边形ABCD外接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE＝EC，AB＝2AE，且BD＝23，求四边形ABCD的面积．【思路生成】先求△ABD的面积，再证△ABD与△BCD的面积相等即可．解：如答图，连结AO，交BD于H，连结OB，答图∵AE＝EC，AB＝2AE，∴AB2＝2AE2＝AE·AC，∴ABAC＝AEAB，又∠EAB＝∠BAC，∴△ABE∽△ACB，∴∠ABE＝∠ACB＝∠ADB，∴AB＝AD.∵AB ＝AD ，∴AO ⊥BD ，∴BH ＝HD ，∵BO ＝2，BD ＝23，∴BH ＝HD ＝ 3.∴OH ＝OB 2－BH 2＝4－3＝1，AH ＝OA －OH ＝2－1＝1.∴S △ABD ＝12BD ·AH ＝12×23×1＝3，∵E 是AC 的中点，∴S △ABE ＝S △BCE ，S △ADE ＝S △CDE ，∴S △ABD ＝S △BCD ，∴S 四边形ABCD ＝2S △ABD ＝2 3.[学生用书P67]【思维入门】1．[余姚自主招生]如图，AB 是半圆的直径，点C 是AB ︵的中点，点E 是AC ︵的中点，连结EB ，CA 交于点F ，则EF BF ＝( D )A.13B.14C.1－22 D.2－12【解析】 连结AE ，CE ，作AD ∥CE ，交BE 于点D ，答图∵点E 是AC ︵的中点，设AE ＝CE ＝x ，根据平行线的性质得∠ADE ＝∠CED ＝45°，∴△ADE 是等腰直角三角形，则AD ＝2x ，又∠DAF ＝∠ACE ＝∠CAE ＝∠CBE ，而∠CAB ＝∠CBA ＝45°，∴∠DAB ＝∠DBA ，∴BD ＝AD ＝2x ，∴BE ＝(2＋1)x .∵∠EAC ＝∠ABE ，∠AEF ＝∠BEA ，∴△AEF ∽△BEA ，∴AE BE ＝EF EA ，∴EF ＝(2－1)x ，BF ＝2x .∴EF BF ＝2－12.2．[雨花区自主招生]如图，BC 是半圆O 的直径，EF ⊥BC 于点F ，BF FC ＝5，又AB ＝8，AE ＝2，则AD 的长为( B )A ．1＋ 3 B.1＋32 C.32 D ．1＋ 2 【解析】 如答图，连结BE .答图∵BC是直径．∴∠AEB＝∠BEC＝90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得BE2＝AB2－AE2＝82－22＝60.∵BFFC＝5，∴设FC＝x，则BF＝5x，BC＝6x，又∵BE2＝BF·BC，即30x2＝60，解得x＝2，∴EC2＝FC·BC＝6x2＝12，∴EC＝23，∴AC＝AE＋EC＝2＋23，∵AD·AB＝AE·AC，∴AD＝AE·ACAB＝2（2＋23）8＝1＋32.3．[天津中考]如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A，D的⊙O与边AB，AC，BC分别相交于点E，F，M.对于如下五个结论：①∠FMC＝45°；②AE＋AF＝AB；③EDEF＝BABC；④2BM2＝BE·BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是(C)A．2个B．3个C．4个D．5个【解析】如答图，连结AM，根据等腰三角形的三线合一，得AD⊥BC，答图再根据90°的圆周角所对的弦是直径，得EF，AM是直径，根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，得四边形AEMF是矩形，∴①根据等腰直角三角形ABC的底角是45°，易得∠FMC＝45°，正确；②根据矩形和等腰直角三角形的性质，得AE＋AF＝AB，正确；③连结FD，可以证明△EDF是等腰直角三角形，则③中左右两边的比都是等腰直角三角形的直角边和斜边的比，正确；④根据BM＝2BE，得左边＝4BE2，故需证明AB＝4BE，根据已知条件它们之间不一定有这种关系，错误；⑤正确．所以①②③⑤共4个正确．4．[麻城自主招生]如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且DE∥BC.已知AE＝22，AC＝32，BC＝6，则⊙O的半径是(D)A．3 B．4C．4 3 D．2 3【解析】如答图，延长EC交⊙O于点F，连结DF.则根据90°的圆周角所对的弦是直径，得DF是直径，答图∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴DEBC＝AEAC.则DE＝4.由Rt△ADE∽Rt△DFE，得EF＝DE2AE＝4 2.根据勾股定理，得DF＝DE2＋EF2＝16＋32＝43，则圆的半径是2 3.5．[淮安自主招生]如图，△ABC中，∠C＝90°，O为AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点E，与AC相切于点D，已知AD＝2，AE＝1，那么BC＝__125__．答图【解析】 如答图，连结OD ，∵AC 为⊙O 的切线，∴OD ⊥AC ，在Rt △ADO 中，设OD ＝R ，∵AD ＝2，AE ＝1，∴22＋R 2＝(R ＋1)2，解得R ＝32，∴AO ＝52，AB ＝4，又∵∠C ＝90°，∴OD ∥BC ，∴△AOD ∽△ABC ，∴OD BC ＝OA AB ，即BC ＝4×3252＝125.6．[2018·柳州]如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，过点A 作⊙O 的切线交BC 的延长线于点D .(1)求证：△DAC ∽△DBA ；(2)过点C 作⊙O 的切线CE 交AD 于点E ，求证：CE ＝12AD ；(3)若点F 为直径AB 下方半圆的中点，连结CF 交AB于点G，且AD＝6，AB＝3，求CG的长．解：(1)证明：∵AB是⊙O直径，∴∠ACD＝∠ACB＝90°，答图∵AD是⊙O的切线，∴∠BAD＝90°，∴∠ACD＝∠DAB＝90°，∵∠D＝∠D，∴△DAC∽△DBA；(2)证明：∵EA，EC是⊙O的切线，∴AE＝CE，∴∠DAC＝∠ECA，∵∠ACD ＝90°，∴∠ACE ＋∠DCE ＝90°，∠DAC ＋∠D ＝90°，∴∠D ＝∠DCE ，∴DE ＝CE ，∴AD ＝AE ＋DE ＝CE ＋CE ＝2CE ，∴CE ＝12AD ；(3)如答图，过点G 作GH ⊥BD 于H ，在Rt △ABD 中，AD ＝6，AB ＝3，∴tan ∠ABD ＝AD AB ＝2，∴tan ∠ABD ＝GH BH ＝2，∴GH ＝2BH ，∵点F 是直径AB 下方半圆的中点，∴∠BCF ＝45°，∴∠CGH ＝90°－∠BCF ＝45°，∴CH ＝GH ＝2BH ，∴BC ＝BH ＋CH ＝3BH ，在Rt △ABC 中，tan ∠ABC ＝AC BC ＝2，∴AC ＝2BC ，根据勾股定理得，AC 2＋BC 2＝AB 2，∴4BC 2＋BC 2＝9，∴BC ＝355，∴3BH ＝355，∴BH ＝55，∴GH＝2BH＝25 5，在Rt△CHG中，∠BCF＝45°，∴CG＝2GH＝2105.【思维拓展】7．[瓯海区自主招生]如图，已知：P A切⊙O于A，若AC为⊙O的直径，PBC为⊙O的割线，E为弦AB的中点，PE的延长线交AC于F，且∠FPB＝45°，点F到PC的距离为5，则FC的长为(C)A．10 B．12 C．5 5 D．5 6【解析】设PB＝x，∵P A切⊙O于A，∴AP⊥AC，∴∠P AC＝90°，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵∠FPB＝45°，∴BE＝PB＝x，AB＝2x，PH＝FH＝5，∵∠C＋∠BAC＝90°，∠P AB＋∠BAC＝90°，∴∠C＝∠P AB，∴△APB∽△CAB，∴AB BC ＝PB AB ，即2x BC ＝x 2x ，解得BC ＝4x ，∴CH ＝PC －PH ＝PB ＋BC －PH ＝5x －5，∵FH ∥AB ，∴△CFH ∽△CAB ，∴FH AB ＝CH CB ，即52x ＝5x －54x ，解得x ＝3，∴CH ＝5x －5＝10，在Rt △CFH 中，CF ＝FH 2＋CH 2＝52＋102＝5 5.8．[成都自主招生]如图，过⊙O 直径AB 上的点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ，再过D 点作圆的切线l ，然后过C 点作l 的垂线交l 于点E ，若AC ＝a ，CB ＝b ，那么CE长为( A )A.2ab a ＋bB.abC.a ＋b 2D. a 2＋b 22 【解析】 如答图，连结OD ，答图∵AB ＝AC ＋BC ＝a ＋b ，∴OD＝12(a＋b)，∴OC＝OA－AC＝12(a＋b)－a＝12(b－a)，∵CD⊥AB，∴∠DCO＝90°，在Rt△DCO中，CD＝OD2－OC2＝ab，∵l与⊙O相切于点D，∴OD⊥l，∵CE⊥l，∴OD∥CE，∴∠ODC＝∠ECD，∴Rt△ODC∽Rt△DCE，∴CDCE＝ODCD，即abCE＝12（a＋b）ab，∴CE＝2ab a＋b.9．[第23届“希望杯”竞赛]如图，已知A，B，C三点在同一圆上，并且AB是⊙O的直径，若点C到AB的距离CD＝5，则⊙O的直径最小值是__10__．【解析】AD·DB＝CD2＝25，AB2＝(AD＋BD)2＝(AD －BD)2＋4AD·BD≥4AD·BD＝100，当AD＝BD时，AB取得最小值10.10．[成都中考]如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB＝8，P 是弦AB 所对的优弧上的动点，连结AP ，过点A作AP 的垂线交射线PB 于点C ，当△P AB 是等腰三角形时，线段BC 的长为__8或5615或853__．【解析】 Ⅰ.当BA ＝BP 时，则AB ＝BP ＝BC ＝8，即线段BC 的长为8.Ⅱ.当AB ＝AP 时，如答图①，延长AO 交PB 于点D ，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，则AD ⊥PB ，AE ＝12AB ＝4，∴BD ＝DP ，答图①在Rt △AEO 中，AE ＝4，AO ＝5，∴OE ＝3，∵∠OAE ＝∠BAD ，∠AEO ＝∠ADB ＝90°，∴△AOE ∽△ABD ，∴AO AB ＝OE BD ，∴BD ＝245，∴BD ＝PD ＝245，即PB ＝485，∵AB＝AP＝8，∴∠ABD＝∠P，∵∠P AC＝∠ADB＝90°，∴△ABD∽△CP A，∴BDAB＝P ACP，∴CP＝403，∴BC＝CP－BP＝403－485＝5615；Ⅲ.当P A＝PB时，如答图②，连结PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连结OB，则PF⊥AB，答图②∴AF＝FB＝4，在Rt△OFB中，OB＝5，FB＝4，∴OF＝3，∴FP＝8，∵∠P AF＝∠ABP＝∠CBG，∠AFP＝∠CGB＝90°，∴△PFB∽△CGB，∴PFFB＝CGBG＝21，设BG＝t，则CG＝2t，∵∠CAG＝∠APF，∠AFP＝∠AGC＝90°，∴△APF∽△CAG，∴AFPF＝CGAG，∴2t8＋t＝12，解得t＝83，在Rt△BCG中，BC＝5t＝85 3，综上所述，当△P AB是等腰三角形时，线段BC的长为8或5615或853.11．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于E，交AC于点P，求证：点P平分线段DE.答图证明：如答图，连结OD，∵OC∥AD，∴∠COD＝∠ADO，∠COB＝∠DAO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO，∴∠COD＝∠COB，∵OD＝OB，OC＝OC，∴△ODC≌△OBC，∴∠ODC＝∠OBC.∵OB是⊙O的半径，BC是⊙O的切线，∴BC⊥OB.∴∠OBC＝90°，∴∠ODC＝90°，∴CD⊥OD，∴CD是⊙O的切线．过A作⊙O的切线AF，交CD的延长线于点F，则F A⊥AB. ∵DE⊥AB，CB⊥AB，∴F A∥DE∥CB，∴FDFC＝AEAB.在△F AC中，∵DP∥F A，∴DPF A＝DCFC，即DPDC＝F AFC.∵F A，FD是⊙O的切线，∴F A＝FD，。
第20讲圆与相似三角形的结合复习课件(共38张PPT)
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圆与类似三角形的综合运用 (1)证明圆的切线的常用辅助线是作过切点的半径，证明 直线与这条半径垂直； (2)运用切线的性质时，常连结切点和圆心．
CD＝235.
又∵CF＝FD，∴CF＝12CD＝12×235＝265，
∴EF＝CF－CE＝265－3＝76，
7
∴在 Rt△AFE 中，sin∠EAF＝EAFE＝63＝178.
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2．如图6－20－4，在△ABC中，BA＝ BC，以AB为直径作半圆O，交AC于点D.连 结DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E.
∴AD＝3，BD＝
3.∴B2E＝
33，∴BE＝23
3 .
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(3)如答图②，当 E 与 A 重合时，∵AB 是直径，AD⊥CD， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴C，D，B 共线．
∵AC⊥AB，∴在 Rt△ABC 中，AB＝2 3，AC＝2， ∴tan∠ABC＝AACB＝ 33，∴∠ABC＝30°， ∴α＝∠DAB＝90°－∠ABC＝60°， 当E′在BA的延长线上时，可得∠D′AB>∠DAB＝60°， ∵0°<α<90°，∴α的取值范围是60°<α<90°.
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判定圆中的类似三角形 例1 如图6－20－1，AC是⊙O的直径， 弦BD交AC于点E. (1)求证：△ADE∽△BCE； (2)如果AD2＝AE•AC，求证：CD＝CB.
相似三角形四点共圆条件
相似三角形四点共圆条件哎呀，今天咱们聊聊一个有趣的话题，叫做“相似三角形四点共圆条件”。
听起来是不是有点复杂？别担心，咱们就把它简单化，轻松聊聊。
想象一下，你和朋友在公园里玩三角形拼图，突然你发现这三角形不仅好看，而且有个神奇的特性，那就是如果这三个三角形是相似的，那么它们的四个顶点竟然可以在同一个圆上，这可是个了不起的事情呢！先说说什么叫相似三角形。
其实就是那些形状一样但大小不同的三角形，比如你把一块比萨饼切得小一点，再切得小一点，这不就是相似三角形吗？无论你怎么缩放，这些小三角形和原来的大三角形都是“心有灵犀”的，形状上绝对不打架。
你知道吗？数学界可是很喜欢这种“心有灵犀”的关系，没事就爱研究。
然后啊，咱们再说说四点共圆条件。
这听起来就像是个数学的魔法。
想象一下，在一个圆圈里，有四个小朋友，他们拉着手，围成一个大圈，哈哈，是不是感觉特别温馨？四点共圆的意思就是，四个点能够同时在一个圆上，形成一种神奇的联系。
这个时候，你可能会想，这些点是怎么凑到一起的呢？关键就在于这些点之间的角度关系。
咱们进入核心。
你想啊，如果四个点都可以在一个圆上，那么它们之间的角度就得有个特殊的关系，才能让它们手拉手不散架。
这就需要满足一种条件：那就是如果一个三角形的内角和另一个三角形的内角相等，那么这四个点就可以共圆了。
简单说，就是这几个三角形之间的比例关系得好，才能齐心协力，找到同一个圆圈。
就像好朋友一起去旅游，得有个统一的计划，才能玩的开心！数学里还有个有趣的现象，就是这些相似三角形如果在一起聚会，它们的边长比也是一致的。
就像一群身高不一的朋友，只要他们之间的比例相同，不管个子高矮，都能一起玩得不亦乐乎！这种感觉太赞了，几何也变得生动有趣起来。
咱们可以用这个条件来推导出各种各样的结果，就像解谜一样，越解越上瘾。
你可能会好奇，这有什么实际应用呢？很多设计、建筑都离不开这个原理。
就像设计师在画图的时候，常常用相似三角形来确保结构的稳固。
圆与相似三角形综合题解题技巧
圆与相似三角形综合题解题技巧
圆与相似三角形的综合题是高中数学中的重点难点之一。
一般来说，这类题目需要我们掌握以下的解题技巧：
一、圆相关定理
1.圆的性质：圆周上任意两点距离相等，圆心到圆周上任意一点的距离相等。
2.圆心角定理：圆周上两点的连线所对的圆心角是不变量。
3.圆的切线定理：切线与半径垂直，切点在圆心角的平分线上。
二、相似三角形相关定理
1.角度相等定理：若两个角分别相等，则两个三角形相似。
2.比例定理：若两个角分别相等，则两个三角形对应边的长度成比例。
3.三角形内角和定理：一个三角形内角的度数和是180度。
基于以上的定理，我们可以通过以下步骤解决圆与相似三角形的综合题：
1.根据圆心角定理，求出圆心角。
2.根据角度相等定理或比例定理，确定相似三角形的相似比例。
3.利用三角形内角和定理，求出三角形另一个角的度数。
4.根据三角形内角和定理和已知角度，求出第三个角的度数。
5.利用已知角度和比例定理，求出相似三角形的边长。
6.应用圆的切线定理、圆心角定理或其他定理，求出需要求解的量。
需要注意的是，在解题过程中，我们需要注意角度单位是否一致，如角度一般用度数表示，而弧度制需要换算。
同时，我们还需要注意图形的几何位置关系，如切线与圆周、圆心角的平分线等。
综上所述，圆与相似三角形的综合题需要我们掌握相关的定理和解题技巧，同时需要注意单位和几何位置关系。
微专题 圆与三角形相似的综合
类型 7：相交弦模型及其结论 7. 如图，在⊙O 中，弦 AB，CD 交于点 P.
求证：(1)△ ADP∽△CBP；
(2)PA·PB＝PC·PD.
类型 8：割线模型及其结论 8. (1)如图①，PB，PD 是⊙O 的割线，求证：PA·PB＝PC·PD；
(2)如图②，PB 是⊙O 的割线，PC 是⊙O 的切线，切点为 C. 求证：PA·PB＝PC2.
(2)若CAFE＝23 Rt△ ) 5. 如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为△ ABC 的高. 求证：AC2＝
AD·AB.
类型 6：圆中三角形相似与辅助线 6. 如图，△ABC 内接于⊙O，AD 是 BC 边上的高，AE 是⊙O 的
直径，求证：AB·AC＝AD·AE.
(1)求证：△ COD∽△CBE；
(1)求证：△ COD∽△CBE；
(2)求半圆 O 的半径 r 的长.
类型 4：圆与平行四边形的综合 4. 如图，以▱ ABCD 的边 CD 为直径作⊙O，⊙O 与边 BC 相交
于点 F，⊙O 的切线 DE 与边 AB 相交于点 E. (1)求证：△ ADE∽△CDF；
微专题 圆与三角形相似综合
类型 1：先证切线，再证三角形相似 1. 如图，C 为⊙O 上一点，AB 为直径，AD 和直线 CE 互相垂直，
垂足为点 D，且 AC 平分∠DAB. (1)求证：DC 为⊙O 的切线；
(2)若⊙O 的半径为 3，AD＝4，求 AC 的长.
解：如图，连接 BC，
类型 2：切线的性质与三角形相似证明及计算 2.如图，AB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，切点为 A，OP∥
BC. (1)求证：△ ABC∽△POA；
(2)若 OP＝10，BC＝4，求⊙O 半径的长.
相似三角形的内切圆与外接圆性质
相似三角形的内切圆与外接圆性质相似三角形是几何学中非常重要的概念，它们具有许多有趣的性质。
其中，内切圆和外接圆是相似三角形中的两个特殊圆，它们与相似三角形的关系也是我们需要探究的。
本文将着重讨论相似三角形的内切圆与外接圆的性质。
一、内切圆的性质内切圆是指一个圆与三角形的三边分别相切于三点。
对于相似三角形来说，它们有一个共同的内切圆，并且它们的内切圆有以下三个特殊性质：1. 内切圆的圆心与相似三角形的三角形的角平分线交于一点。
这个点被称为内切圆的圆心，通常记作I。
它是相似三角形的一个重要几何中心，被称为内心。
2. 相似三角形的内切圆的半径是相似三角形的三边距离内心的长度之比的乘积的平方根。
设相似三角形的三边长度为a，b，c，内切圆的半径为r，那么有如下关系：r = √(a*b*c/(a+b+c))3. 内切圆与相似三角形的三边之间存在一种特殊的关系，即内切圆的半径与三角形的三边的长度有以下关系：r = (s-a)/tan(A/2) = (s-b)/tan(B/2) = (s-c)/tan(C/2)其中，s是相似三角形的半周长，即s = (a+b+c)/2，A、B、C分别是相似三角形的三个内角。
二、外接圆的性质外接圆是指一个圆与三角形的三个顶点共同在圆上，即三角形的三条边的中垂线交于一点。
相似三角形的外接圆也有一些有趣的性质：1. 外接圆的圆心是相似三角形的三个顶点的垂直平分线交点。
这个点被称为外接圆的圆心，通常记作O。
它是相似三角形的另一个重要几何中心，被称为外心。
2. 相似三角形的外接圆的半径与相似三角形的三边之间存在一种特殊的关系，即外接圆的半径等于相似三角形任意一边长度的一半的余弦值的倒数。
设相似三角形的三边长度分别为a，b，c，外接圆的半径为R，那么有如下关系：R = a/(2*sin(A)) = b/(2*sin(B)) = c/(2*sin(C))其中，A、B、C分别是相似三角形的三个内角。
三角形的外切圆与相似性质
三角形的外切圆与相似性质三角形是几何学中最基本的图形之一，而外接圆又是与三角形密切相关的一个概念。
外接圆是指一个圆与三角形的三个顶点相切，也就是通过三角形的三个顶点构建出的圆。
在研究三角形的几何性质时，外接圆常常被引入，因为它与三角形有着重要的相似性质。
首先，外接圆与三角形的三个顶点相关联。
对于任意一个三角形，都可以找到唯一一个与之相切的圆，这个圆被称为该三角形的外接圆。
外接圆与三角形的三个顶点有严格的联系，因为它们可以唯一确定外接圆的位置和大小。
换句话说，通过三角形的三个顶点，我们可以准确地构建出它的外接圆。
其次，外接圆与三角形的边长相关。
外接圆的直径等于三角形的最长边。
这是一个重要的结论，因为它能够将三角形的几何性质与外接圆联系起来。
通过外接圆的直径，我们可以计算出三角形最长边的长度，从而得到关于三角形边长的重要信息。
此外，外接圆还与三角形的角度相关。
外接圆的圆心被称为三角形的外心，外心是三角形三条高线的交点。
外接圆的半径等于三角形任意一边的中线，中线是连接该边中点与对角的顶点的线段。
因此，外接圆不仅与三角形的边长有关，还与三角形的角度有关。
通过外接圆的半径，我们可以推导出三角形的各个角的度数。
在三角形的几何学中，外接圆是一个重要的概念，它能够帮助我们研究三角形的性质。
通过外接圆，我们可以更深入地理解三角形的特点，并且利用其与三角形的相似性质来推导出一系列有用的结论。
例如，根据外接圆的性质，我们可以通过外接圆与三角形顶点的关系来推导出三角形内切圆的性质。
内切圆是与三角形的三条边相切的圆，它的圆心被称为三角形的内心。
根据外接圆的性质，我们可以发现三角形的内心是外接圆的圆心与三角形的三个顶点之间的垂直平分线的交点。
此外，内切圆的半径等于三角形的任意一条边与内心的距离，也就是该边的内切角的二分之一。
除了内切圆的性质，外接圆还能够帮助我们推导出三角形的其他重要性质，例如三角形的重心、垂心等。
这些性质对于解题和求解三角形的面积、周长等问题有着重要的作用。
相似三角形的外接圆与外心
相似三角形的外接圆与外心相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，对应边的比例相等。
在相似三角形中，外接圆和外心有一些特殊的性质。
本文将对相似三角形的外接圆和外心进行探讨。
一、相似三角形的外接圆相似三角形中的外接圆是指可以同时通过两个三角形的三个顶点的圆。
这个圆称为相似三角形的外接圆。
要确定相似三角形的外接圆，需要使用相似三角形的性质以及圆的性质。
1. 任意一个三角形的外接圆都是通过三个顶点，因此相似三角形的外接圆肯定也是通过相似三角形的三个顶点的。
2. 相似三角形的对应角度相等，对应边比例相等。
因此，相似三角形的外接圆的圆心就是这两个三角形的外接圆心。
3. 由于相似三角形的对应边比例相等，因此相似三角形的外接圆的半径也是相等的。
综上所述，相似三角形的外接圆的圆心就是两个三角形的外接圆心，半径也相等，因此两个三角形的外接圆是同一个圆。
二、相似三角形的外心相似三角形的外心是指可以同时通过两个三角形的三条边的交点，这个交点称为相似三角形的外心。
要确定相似三角形的外心，同样需要使用相似三角形的性质以及圆的性质。
1. 相似三角形的对应角度相等，对应边比例相等。
因此，两个三角形的外心一定在相似三角形的外接圆上。
2. 由于相似三角形的对应边比例相等，可使用圆心角和弧度角的性质来确定外心的位置。
圆心角是指圆心所对的弦所对应的角，弧度角是指弧所对的圆心角的角度。
3. 对于相似三角形的外心，由于对应边的比例相等，可以得出两个三角形所对应的圆心角是相等的，即它们所对应的弦是相等的。
而这两个弦的交点就是外心。
通过以上性质，可以得出相似三角形的外心是相似三角形的外接圆上的一个点，可以通过这个点来确定外接圆的位置。
总结：相似三角形的外接圆和外心与这两个三角形的外接圆和外心有密切关系。
外接圆的圆心就是两个三角形的外接圆心，半径也相等；外心是两个三角形外接圆上的一个点，通过这个点可以确定外接圆的位置。
这些特殊性质使得相似三角形的外接圆和外心有着重要的应用，例如在解决几何问题时可以利用这些性质来推导出一些结论和定理。
四点共圆和相似三角形的关系
四点共圆和相似三角形的关系好嘞，今天咱们聊聊四点共圆和相似三角形之间的有趣关系，嘿嘿，这可不是枯燥的数学课，而是个奇妙的数学小故事，听我慢慢道来。
想象一下，你和几个小伙伴在公园里野餐，正好碰上一个玩球的家伙。
他的球在空中划出一条优美的弧线，哇，那真是太好看了！这时，你发现，球的轨迹其实跟四点共圆有点像。
四点共圆，顾名思义，就是在一个圆上有四个点，这几个点可不是随便放的，它们之间有着深厚的联系。
就像朋友之间的默契，彼此心知肚明，恰到好处。
这四个点，如果它们在同一个圆上，那就说明它们的关系非比寻常，嘿，真有意思。
咱们说说相似三角形。
想想看，你和你的好朋友一起玩拼图，两个三角形一个大一个小，但形状完全一样。
这就是相似三角形的魔力，虽然大小不同，但角度却是一样的，感觉就像你和朋友穿着相同的T恤，只是一个的衣服是S号，另一个是L号，哈哈，真是太有趣了。
相似三角形之间有个秘密，只要保持比例，大小不是问题。
嘿，这可跟四点共圆有些关系哦。
再想象一下，四个点围成的那个圈，仿佛是一个神秘的舞台，而相似三角形就是舞台上的舞者。
它们在舞台上翩翩起舞，展示着优美的身姿。
这两个概念之间有着千丝万缕的联系，犹如老朋友一样，走到一起就能碰撞出火花。
四个点可以让你想到相似三角形，因为它们的角度是可以互相对应的，这就像是你和朋友的合照，虽然身高差别很大，但脸型却总有些相似。
你还可以把四个点看成是一场聚会，大家都围坐在一个圆桌旁，轻松聊天，分享各自的故事。
在这个聚会中，某些朋友会发现，他们的故事其实有很多相似之处，就像相似三角形的角度一样。
尽管他们来自不同的地方，但只要分享起来，总会发现有许多共同点。
你想啊，如果这四个点能够恰好共圆，那他们的关系就更加亲密无间，简直就像是兄弟姐妹一样。
这四个点代表着不同的特征，可能是不同的性格、爱好或者经历，但它们共同构成了一个完整的故事，正如那几个相似三角形，虽然各有特点，但终究都在一个大主题下，展现出完美的和谐。
相似三角形与圆的面积比例
相似三角形与圆的面积比例相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。
在数学中，我们常常会遇到需要计算相似三角形的面积比例的问题。
而在这些问题中，如果结合了圆形，便会产生一些有趣的性质和定理。
一、相似三角形的面积比例给定两个相似三角形，假设它们的边长比例为a:b，那么它们的面积比例为(a^2):(b^2)。
这个结论可以通过几何推导或者利用面积的性质来证明。
我们先来看一个简单的例子。
假设有两个相似三角形，它们的两条边的长度比例为2:3，求它们的面积比例。
设相似三角形的面积分别为S1和S2，根据面积的性质，我们有S1/S2=(边长比例)^2=(2/3)^2=4/9。
所以，这两个相似三角形的面积比例为4:9。
二、现在，我们来探讨一下相似三角形和圆的面积比例。
假设有一个固定大小的圆和一个相似于它的三角形，我们想要知道它们的面积比例。
首先，我们需要知道相似三角形的面积比例可以表示为边长比例的平方。
因此，如果可以将这个相似三角形转化为一个带有圆形的问题，我们就可以得到相似三角形与圆的面积比例。
考虑一个等腰直角三角形，它的两条直角边长度为a。
我们可以将这个等腰直角三角形每个直角顶点到斜边的距离定义为圆的半径。
那么，这个等腰直角三角形将与半径为a的圆相似。
根据相似三角形的面积比例定理，这个等腰直角三角形的面积与半径为a的圆的面积的比例为(斜边长度/半径)^2=(a/a)^2=1:1。
这意味着，无论这个等腰直角三角形的大小如何变化，它的面积与半径为a的圆的面积始终保持相等。
三、应用举例在实际问题中，我们可以利用相似三角形与圆的面积比例来解决一些有关面积或者比例的题目。
例1：已知一个半径为4的圆与一个相似三角形的面积比例为1:4，求该相似三角形的面积。
解：根据相似三角形与圆的面积比例，我们可以得到(圆的面积/相似三角形的面积)=1/4。
而已知圆的半径为4，代入圆的面积公式S=πr^2，我们可以得到(π*4^2)/(相似三角形的面积)=1/4。
圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)
圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合类型一：圆与相似三角形的综合1．如图，BC是⊙A的直径，△DBE的各个顶点均在⊙A上，BF⊥DE于点F.求证：BD·BE＝BC·BF.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E.(1)求证：点E是边BC的中点；(2)求证：BC2＝BD·BA；(3)当以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．解：(1)连结OD，∵DE为切线，∴∠EDC＋∠ODC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ECD＋∠OCD＝90°.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠EDC＝∠ECD，∴ED＝EC.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDE＋∠EDC＝90°，∠B＋∠ECD＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴ED＝EB，∴EB＝EC，即点E为边BC的中点(2)∵AC为直径，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴ABBC＝BCBD，∴BC2＝BD•BA(3)当四边形ODEC为正方形时，∠OCD＝45°.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°－∠OCD＝90°－45°＝45°，∴Rt△ABC为等腰直角三角形类型二：圆与解直角三角形的综合3．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，交AC的延长线于点F.(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)已知CF＝5，cosA＝25，求BE的长．解：(1)连结OD.∵CD＝DB，CO＝OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，AB＝2OD.∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，即OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线(2)∵OD∥AB，∴∠COD＝∠A，∴cos∠COD＝cosA＝25.在Rt△DOF中，∵∠ODF＝90°，∴cos∠FOD＝ODOF＝25.设⊙O的半径为r，则rr＋5＝25，解得r＝103，∴AB＝2OD＝AC ＝203.在Rt△AEF中，∵∠AEF＝90°，∴cosA＝AEAF＝AE5＋203＝25，∴AE＝143，∴BE ＝AB－AE＝203－143＝24．(2015·资阳)如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连结DE.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)连结AE，若∠C＝45°，求sin∠CAE的值．解：(1)连结OD，BD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB ＝90°.∵E为BC的中点，∴DE＝BE，∴∠EDB＝∠EBD，∴∠ODB＋∠EDB＝∠OBD＋∠EBD，即∠EDO＝∠EBO.∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO＝90°，∴∠ODE ＝90°，∴DE是⊙O的切线(2)过点E作EF⊥CD于点F，设EF＝x，∵∠C＝45°，∴△CEF，△ABC都是等腰直角三角形，∴CF＝EF＝x，∴BE＝CE＝2x，∴AB＝BC＝22x.在Rt△ABE中，AE＝AB2＋BE2＝10x，∴sin∠CAE＝EFAE＝10105．如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于点E，过点O作FG⊥AB，交AC于点F，交AB于点H，交⊙O于点G.(1)求证：OF·DE＝OE·2OH；(2)若⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，求阴影部分的面积．(结果保留根号)解：(1)∵BD是直径，∴∠DAB＝90°.∵FG⊥AB，∴DA∥FO，∴△FOE∽△ADE，∴FOAD＝OEDE，即OF•DE＝OE•AD.∵O是BD的中点，DA∥OH，∴AD＝2OH，∴OF•DE＝OE•2OH (2)∵⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，∴OE＝4，ED＝8，OF＝6，∴OH＝6.在Rt△OBH中，OB＝2OH，∴∠OBH＝30°，∴∠BOH＝60°，∴BH＝BO•sin60°＝12×32＝63，∴S阴影＝S扇形GOB－S△OHB＝60×π×122360－12×6×63＝24π－183类型三：圆与二次函数的综合6．如图，在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C(0，2)，过点C作圆的切线交x轴于点D.(1)求过A，B，C三点的抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．解：(1)y＝－12x2－32x＋2(2)以AB为直径的圆的圆心坐标为O′(－32，0)，∴O′C＝52，O′O＝32.∵CD为圆O′的切线，∴O′C⊥CD，∴∠O′CO＋∠DCO＝90°.又∵∠CO′O＋∠O′CO＝90°，∴∠CO′O＝∠DCO，∴△O′CO∽△CDO，∴O′OOC＝OCOD，∴322＝2OD，∴OD＝83，∴点D的坐标为(83，0) (3)存在．抛物线的对称轴为直线x＝－32，设满足条件的圆的半径为|r|，则点E的坐标为(－32＋r，r)或F(－32－r，r)，而点E在抛物线y＝－12x2－32x＋2上，∴r＝－12(－32＋|r|)2－32(－32＋|r|)＋2，∴r1＝－1＋292，r2＝－1－292(舍去)．故存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为－1＋2927．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过A，B，C 三点的圆的圆心M(1，m)恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为.设⊙M与y轴交于点D，抛物线的顶点为E.(1)求m的值及抛物线的解析式；(2)设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin(α－β)的值；(3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意，可知C(0，－3)，－b2a＝1，∴抛物线的解析式为y＝ax2－2ax－3(a＞0)．过点M作MN⊥y轴于点N，连结CM，则MN＝1，CM＝5，∴CN＝2，于是m＝－1.同理，可求得B(3，0)，∴a×32－2a×3－3＝0，解得a＝1.∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3 (2)由(1)得，A(－1，0)，E(1，－4)，D(0，1)，∴△BCE为直角三角形，BC＝32，CE＝2，∴OBOD＝31＝3，BCCE＝322＝3，∴OBOD＝BCCE，即OBBC＝ODCE，∴Rt△BOD∽Rt △BCE，得∠CBE＝∠OBD＝β，因此sin(α－β)＝sin(∠DBC－∠OBD)＝sin∠OBC＝COBC＝22(3)显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点O(0，0)．过点A作AP2⊥AC交y轴的正半轴于点P2，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得P2(0，13)．过点C作CP3⊥AC交x轴的正半轴于点P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3(9，0)．故在坐标轴上存在三个点P1(0，0)，P2(0，13)，P3(9，0)，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似。
相似三角形与圆综合
圆与相似三角形结合教学案例在十堰市历年数学中考中，总是把相似三角形和圆结合的题目作为次压轴题来考，因此特设计了圆与相似三角形结合的复习题对学生进行巩固训练。
教学目标：1、训练学生在圆中对相似三角形判定定理与性质的灵活应用2、能运用相似三角形的性质解决圆中实际问题.教学重点：训练学生在圆中对相似三角形判定定理与性质的灵活应用教学难点：能运用相似三角形的性质解决圆中实际问题.教学过程：一．复习引入1．已知⊙O 的半径为35厘米，⊙O '的半径为5厘米．⊙O 与⊙O '相交于点D 、E ．若两圆的公共弦DE 的长是6厘米（圆心O 、O '在公共弦DE 的两侧），则两圆的圆心距O O '的长为（ B ）（A ）2厘米 （B ）10厘米 （C ）2厘米或10厘米 （D ）4厘米2．如图，两个等圆⊙O 和⊙O '的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB 等于 （ A ）（A ）ο30 （B ）ο45 （C ）ο60 （D ）ο903．已知圆的内接正六边形的周长为18，那么圆的面积为 （ C ）（A ）18π （B ）9π （C ）6π （D ）3π二．例题讲解：例1、已知：如图，BC 为半圆O 的直径，AD ⊥BC ，垂足为D ，过点B 作弦BF 交AD 于点E ，交半圆O 于点F ，弦AC与BF 交于点H ，且AE=BE. 求证：（1）︵AB =︵AF ；（2）AH ·BC=2AB ·BE.例2、△ABC 内接于圆O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于D 点，交⊙O 的切线BE 于F ，连结BD ，CD ． 求证：(1)BD 平分∠CBE ；(2)AB ·BF ＝AF ·DC ．二．当堂训练1．如图，PC 与⊙O 交于B ，点A 在⊙O 上，且∠PCA =∠BAP ．(1)求证：P A 是⊙O 的切线． (2)△ABP 和△CAP 相似吗？为什么？(3)若PB :BC =2:3，且PC =20，求P A 的长．答：．(1)作直径AC '，连接BC '，证∠P AC '=90o 即可；(2)△ABP ∽△CAP ，理由略；(3)P A =4102．已知：如图， AD 是⊙O 的弦，OB ⊥AD 于点E ，交⊙O 于点C ，OE =1，BE =8，AE :AB =1:3．(1)求证：AB 是⊙O 的切线；(2)点F 是ACD 上的一点，当∠AOF =2∠B 时，求AF 的长．3． 已知：如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=o ，4AC =，43BC =，以AC 为直径的O e 交AB 于点D ，点E 是BC 的中点，连结OD ，OB 、DE 交于点F ．(1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)求EF ：FD 的值．AB CDEFO作业1．如图，在两个半圆中，大圆的弦MN与小圆相切，D为切点，且MN∥AB，MN＝a，ON、CD分别为两圆的半径，求阴影部分的面积．2．如图，在Rt ABC△中，斜边1230BC C=∠=，°，D为BC的中点，ABD△的外接圆O⊙与AC交于F点，过A作O⊙的切线AE交DF的延长线于E点．（1）求证：AE DE⊥；（2）计算：AC AF·的值．解：A EFODB。
圆中相似三角形的基本模型
圆中相似三角形的基本模型在数学的世界里，有一种神奇的现象，就是圆中相似三角形。
听起来很复杂对吧？别担心，咱们用轻松的方式聊聊。
想象一下，咱们在一个美丽的公园，阳光明媚，微风拂面。
你看那儿，有个小朋友在玩飞盘，飞盘像个圆形的太阳，越飞越高。
圆的形状真是让人觉得神奇，跟我们的生活也有很多联系。
什么是圆中相似三角形呢？简单来说，就是在一个圆里，不同的三角形却能有相同的形状。
比如，你在画一个三角形，然后再画一个三角形，虽然它们大小不一样，但形状却一模一样。
这种相似，就像穿着同款衣服的朋友，虽然一个高一个矮，但都那么帅气。
听起来有趣吧？这个现象可是有趣又重要，尤其在几何中，能帮助我们理解形状之间的关系。
再说说这相似三角形的特点。
在圆里，任何角都能跟其它角形成一定的关系。
就像打麻将，虽然牌面不同，但大家都懂怎么玩。
你看到那三角形的角度，哇，简直就像三位好朋友在一起，互相欣赏。
每个角都在那儿，形成一种完美的和谐。
这就像生活中的朋友关系，虽然性格不同，却能一起开心地玩耍。
你可能会问，为什么这相似性那么重要呢？嘿，听我说！在生活中，很多事情都需要用到这相似性。
比如说，当你做菜的时候，不同的材料虽然味道不同，但配合在一起却能形成一道绝妙的佳肴。
数学中的相似性也是如此。
通过了解这些三角形的相似性，咱们可以解决很多实际问题。
就像你在解谜一样，找到每个角的位置，然后拼凑出完美的答案。
再想象一下，咱们在海滩上，沙子在阳光下闪闪发光。
你捡起一个贝壳，发现它的形状跟另一个贝壳一模一样，虽然大小不同。
哎呀，这不就是自然界中的相似性吗？无论是贝壳还是三角形，生活中的美妙之处在于它们之间的联系。
每次看到这些相似的形状，心里总是忍不住想笑，真是大自然的调皮！在学校里，老师常常教我们这些几何知识。
虽然当时觉得有点无聊，但回过头来想想，其实挺有意思的。
就像小时候的玩具，不觉得重要，但长大后发现那是童年的回忆。
圆中相似三角形就是这样一个有趣的存在，让我们在学习中找到乐趣。
圆与三角形相似结合的中考题
已知△ABC内接于△O，若△A = 50°，则△BOC等于( )A. 50°B. 65°C. 100°D. 130°（正确答案）在△O中，弦AB与弦CD相交于点P，若△APB = 60°，△CPD = 45°，则△AOC的大小为( )A. 75°B. 105°（正确答案）C. 120°D. 135°已知△ABC的三边a、b、c满足关系式a² + c² - b² = ac，则( )A. △ABC是直角三角形B. △ABC是等腰三角形C. △ABC是等边三角形D. △ABC可以外接一个圆（正确答案）圆内接四边形ABCD中，若△A△△B△△C = 2△3△4，则△D的度数是( )A. 60°B. 90°（正确答案）C. 120°D. 30°已知△ABC外接圆的半径为R，且满足2R(sin²A - sin²C) = (√3a - b)sin B，则△C的大小为( )A. 30°B. 45°C. 60°（正确答案）D. 75°在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD = AE，若△AED = 60°，则△ADE的外接圆与△ABC 的外接圆的位置关系是( )A. 内切B. 外切（正确答案）C. 相交D. 相离已知圆内接四边形ABCD的边长依次为a、b、c、d，且满足a² + b² + c² + d² = 2ac + 2bd，则四边形ABCD是( )A. 矩形B. 菱形（正确答案）C. 正方形△ABC内接于△O，AD是△O的直径，若△CAD = 30°，则△B的大小为( )A. 30°B. 60°（正确答案）C. 90°D. 120°在△O中，弦AB把圆周分成两条弧，其中一条弧所对的圆心角为120°，则弦AB所对的圆周角为( )A. 120°B. 60°（正确答案）C. 30°D. 60°或120°。
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E D
C
B
A
B
E
D C
B
A
B
B
B
相似三角形与圆的结合
1、 如图，圆中的弦AB 、CD 相交于E 点，
已知CE=4，BE=5，DB=6；求：弦AC 的长
2、 如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于E ，观察图形， 你能得到哪些结论，请将你所得的结论写下来，和同学交流， 看谁写的多写的对。
3、 已知：如图，ABCD 是圆内节四边形，AC 、BD 相交于点E ，
求证：AD •BE=BC •AE
4、 已知：如图，△AOB 中，∠AOB=90°，OC ⊥AB 于C ， OA=3cm ，OB=4cm ，以O 为圆心，以2.4cm 为半径作⊙O 。
求证：⊙O 与AB 相切
5、 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 外一点，
CB 交⊙O 于D ，AD 2=CD •BD
求证：AC 是⊙O 的切线
6、 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 切⊙O 于B ，
AC 交⊙O 于E ，AD 交⊙O 于F ， 求证：AE •AC=AF •AD
7、 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CA 与⊙O 相切于点A ，
CE ∥AB 交⊙O 于D 、E. 求证；BE 2
=CD •AB
8、 如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC
的外接圆的直径； 求证：AB •AC=AD •AE
19、如图，4531===∠=∠∠=∠BC DE AB D B ，，， （1）ABC ∆∽ADE ∆吗？说明理由。
（2）求AD 的长。
20、如图4，已知AB 为⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BC ，连接OC ，弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线．
21、已知:如图,ΔABC 中,AD=DB,∠1=∠2. 求证:
AE AC DE AB =
22、如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ⊥EC 交AB 于F ，连接FC (),AE AB >试证明：
EF 平分∠AFC.
23、已知，如图20，AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,连接AC,过点C 作直线CD ⊥AB 于D(AD<DB),
点E 是DB 上任意一点(点D 、B 除外)，直线CE 交⊙O 于点F,连接AF 与直线CD 交于点G. (1)求证： 2
AC =AG ·AF;
(2)若点E 是AD(点A 、D 除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给
予证明；若不成立，请说明理由.
A
B C
D O
E
G
F
四、探究题：( 6分)
24、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形
纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D 处．已知折痕55CE =，且3tan 4EDA ∠=．
（1）判断OCD △与ADE △是否相似？请说明理由； （2）求直线CE 与x 轴交点P 的坐标；
（3）是否存在过点D 的直线l ，使直线l 、直线CE 与x 轴所围成的三角形和直线l 、直线CE 与y 轴所围成的三角形相似？如
果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．
O
A
B
C
D O
x
y
C B E
D
A。