2020中考将军饮马+变式最值
中考数学常见几何模型专题09 最值模型-将军饮马(解析版)
专题09 最值模型---将军饮马最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，将军饮马问题是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
本专题就最值模型中的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：【最值原理】两点之间线段最短。
上图中A’是A关于直线m的对称点。
例1．（2022·湖南娄底·中考真题）菱形ABCD的边长为2，45ABC∠=︒，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ PQ+的最小值为______．【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG 的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，mABmmABm菱形ABCD 的边长为2，45ABC ∠=︒，Rt BEC ∴中，EC =∴PQ +QC 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题的关键．例2．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点P 为矩形ABCD 的对角线AC 上一动点，点E 为BC 的中点，连接PE ，PB ，若4AB =，BC =PE PB +的最小值为________．【答案】6【分析】作点B 关于AC 的对称点B '，交AC 于点F ，连接B E '交AC 于点P ，则PE PB +的最小值为B E '的长度；然后求出B B '和BE 的长度，再利用勾股定理即可求出答案．【详解】解：如图，作点B 关于AC 的对称点B '，交AC 于点F ，连接B E '交AC 于点P ，则PE PB +的最小值为B E '的长度；⊥AC 是矩形的对角线，⊥AB =CD =4，⊥ABC =90°，在直角⊥ABC 中，4AB =，BC =⊥tanAB ACB BC ∠===，⊥30ACB ∠=︒，由对称的性质，得2B B BF '=，B B AC '⊥，⊥12BF BC ==⊥2B B BF '==⊥BE EF ==60CBF ∠=︒，⊥⊥BEF 是等边三角形，⊥BE BF B F '==，⊥BEB '∆是直角三角形，⊥6B E '==，⊥PE PB +的最小值为6；故答案为：6．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P 使得PE PB +有最小值．例3．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 为AD 的中点，将△CDE 沿CE 翻折得△CME ，点M 落在四边形ABCE 内．点N 为线段CE 上的动点，过点N 作NP //EM 交MC 于点P ，则MN +NP 的最小值为________．【答案】85【分析】过点M 作MF ⊥CD 于F ，推出MN +NP 的最小值为MF 的长，证明四边形DEMG 为菱形，利用相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】解：作点P 关于CE 的对称点P ′，由折叠的性质知CE 是⊥DCM 的平分线，⊥点P ′在CD 上，过点M 作MF ⊥CD 于F ，交CE 于点G ，⊥MN +NP =MN +NP ′≤MF ，⊥MN +NP 的最小值为MF 的长，连接DG ，DM ，由折叠的性质知CE 为线段 DM 的垂直平分线，⊥AD =CD =2，DE =1，⊥CE⊥12CE ×DO =12CD ×DE ， ⊥DO ⊥EO ⊥MF ⊥CD ，⊥EDC =90°，⊥DE ⊥MF ，⊥⊥EDO =⊥GMO ，⊥CE 为线段DM 的垂直平分线，⊥DO =OM ，⊥DOE =⊥MOG =90°，⊥⊥DOE ⊥⊥MOG ，⊥DE =GM ，⊥四边形DEMG 为平行四边形，⊥⊥MOG =90°，⊥四边形DEMG 为菱形，⊥EG =2OE GM = DE =1，⊥CG ， ⊥DE ⊥MF ，即DE ⊥GF ，⊥⊥CFG ⊥⊥CDE ，⊥FG CG DE CE =，即1FG = ⊥FG =35，⊥MF =1+35=85， ⊥MN +NP 的最小值为85．故答案为：85． 【点睛】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用勾股定理和相似三角形的判定和性质求线段长度是解题的关键．例4．（2022·江苏南京·模拟预测）【模型介绍】古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营,A B ．他总是先去A 营，再到河边饮马，之后，再巡查B 营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点B 关于直线l 的对称点B '，连结AB '与直线l 交于点P ，连接PB ，则AP BP +的和最小．请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线l 上另取任一点P '，连结'AP ，BP '，B P ''，⊥直线l 是点B ，B '的对称轴，点P ，P '在l 上，（1）⊥PB =__________，P B '=_________，⊥AP PB AP PB '+=+=____________．在AP B ''∆中，⊥AB AP P B ''''<+，⊥AP PB AP P B '''+<+，即AP BP +最小．【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点,A B 在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P 为AB '与l 的交点，即A ，P ，B '三点共线）．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．【模型应用】（2）如图④，正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 的中点，F 是AC 上一动点．求EF FB +的最小值．解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点B 与D 关于直线AC 对称，连结DE 交AC于点F，则EF FB+的最小值就是线段ED的长度，则EF FB+的最小值是__________．（3）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为14cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂的最短路程为_____cm．（4）如图⑥，在边长为2的菱形ABCD中，60ABC∠=︒，将ABD∆沿射线BD的方向平移，得到A B D'''∆，分别连接A C'，A D'，B C'，则A C B C''+的最小值为____________．模型2.平移型将军饮马（将军过桥模型）【模型解读】已知，如图1将军在图中点A 处，现要过河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN 长度恒定，只要求AM +NB 最小值即可．问题在于AM 、NB 彼此分离，所以首先通过平移，使AM 与NB 连在一起，将AM 向下平移使得M 、N 重合，此时A 点落在A ’位置（图2 ）．问题化为求A ’N +NB 最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．图1 图2 图3【最值原理】两点之间线段最短。
2020中考数学复习 最值问题-将军饮马问题 (51张PPT)
02、将军饮马模型系列 ————“一定两动”之点到点
当P'、N、M、P''共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P'P''长，连接OP'、 OP''，可得△OP'P''为等边三角形，所以P'P''=OP'=OP=8．
02、将军饮马模型系列 ————“两定两动”之点到点
在OA、OB上分别取点M、N使得四边 形PMNQ的周长最小。
05、将军过桥
【分析】 考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可。问题 在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与 NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A 点落在A'位置。
问题化为求A'N+NB最小值，显 然，当共线时，值最小，并得出 桥应建的位置．
05、将军过桥
通过几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起，是解决问题的关键~
此处M点为折点，作点P关于OA对称 的点P'，将折线段PM+MN转化为 P'M+MN，即过点P'作OB垂线分别 交OA、OB于点M、N，得PM+MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段 最短）
03、几何图形中的将军饮马
寻找几何图形中 端点关于折点所在直线的对称点位置
03、几何图形中的将军饮马 ----正方形中的“将军饮马”
则PC+PD的最小值为（ ）
A．4
B．5 C．6
D．7
03、几何图形中的将军饮马 ----正方形中的“将军饮马”
【分析】作点C关于P点所在直线AB的对称点C'，当C'、P、D共线时， PC+PD最小，最小值为5，故选B．
中考数学专题利用”将军饮马“解决线段最值问题
针对训练 2. 在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O为坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴 的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点，且E、F为边OA上的两个动点，且 EF＝2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．
在平面直角坐标系中矩形oacb的顶点o为坐标原点顶点ab分别在x轴y轴轴的正半轴上oa3ob4d为边ob的中点且ef为边oa上的两个动点且ef2当四边形cdef的周长最小时求点ef的坐标
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
模型一 “一线两点”型(一个动点＋两个定点) (1)异侧线段和最小值问题 模型分析
5. 如图，抛物线的顶点D(-1，4)，抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交 于点C(0，3)．已知点E(0，-3)，点F为抛物线对称轴上一动点，当△CEF的周长取得 最小值时，点F的坐标为___________．
第5题图
(3)同侧线段差最大值问题
模型分析 问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA-PB|的值最大． 解题思路：当A、B、P三点不共线时，根据三角形任意两边之差小于第三边可得|PAPB|<AB，当A、B、P三点共线时，|PA-PB|＝AB，则|PA-PB|的最大值为线段AB的 长．连接AB并延长，与直线l的交点即为点P.
针对训练 1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2，点G、H分别是边BC、 CD上的动点，则四边形EFGH周长的最小值为________．
第1题图
中考培优竞赛专题经典讲义最值问题之将军饮马问题
2
2
2
∵ C( 1 ， 0) ，∴ CN＝ 3﹣ 1 ﹣ 3 ＝ 1，在 Rt△ DNC 中，由勾股定理得： DC＝ 31 ，
2
22
2
即 PA＋ PC 的最小值是 31 ． 2
【 思考 】
若把题中条件点“ C 的坐标为 ( 1 ， 0) ”改为“点 C 为 OA 边上一动点”，其它条件不变，那么此时 2
∴ OE＝ 1 OA′＝ 2，A′E＝
2
4
2
2 ＝2 3 ．
2
∴ AM ＋MP ＋ PN 的最小值为 2 3 ．
【巩固练习】
1、如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ ABE 是等边三角形，点
上有一点 P，使 PD ＋ PE 的和最小，则这个最小值为
．
E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC
；
(2) 求△ AMN 的周长最小值．
解：作 A 关于 BC 和 ED 的对称点 A′，A″，连接 A′A″，交 BC 于 M ，交 ED 于 N，则 A′A″即为△ AMN 的周
长最小值． ⑴作 EA 延长线的垂线，垂足为 H，∠ BAE＝ 120°，∴∠ AA′A″＋∠ AA″A′＝ 60°，
PA＋ PC 最小值又是多少呢？
解答：∵ PA＋ PC＝PC ＋PD＝ CD≥ DN ＝ 3 3 ，∴ PA＋ PC 的最小值为 3 3 ．
2
2
例题 2、某长方体的长、宽、高分别为 4、 3、 5，
(1) 如图 1，点 A、 B 分别为该长方体的两个顶点，已知蚂蚁从点
A 沿长方体侧面爬到点 B，则最短路线
则 Rt△A′HA 中，∵∠ EAB＝ 120°，∴∠ HAA ′＝60°， ∵ A′H⊥ HA，∴∠ AA″H＝ 30°，∴ AH ＝ 1 AA′＝ 1，∴ A′H＝ 3 ， A″H＝ 1＋ 4＝5，
2020中考数学复习微专题：最值问题(将军饮马)突破与提升策略
2020中考数学复习微专题：最值问题（将军饮马）突破与提升策略【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？A B将军军营河【问题简化】如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？P【问题分析】这个问题的难点在于P A+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．P O B AMN【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．P''A当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．A【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
2020中考数学总复习：将军饮马型最值问题-解题技巧总结精选全文
图T3-13
1
10
3
3
(3)∵y=- x2+ x,∴抛物线的对称轴为直线 x=5.
∵A,O 两点关于对称轴对称,∴PA=PO,
当 P,O,D 三点在一条直线上时,PA+PD=PO+PD=OD,此时△ PAD 的周长最小.
如图,OD 与对称轴的交点即为满足条件的点 P,
由(2)可知 D 点坐标为(10,5).
1
1
1
∵S△ PAB=3S 矩形 ABCD,∴2AB·h=3AB·AD,
2
∴h=3AD=2,∴动点 P 在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的线段 l 上,如图,作点 A
关于直线 l 的对称点 A',连接 AA',BA',则 BA'即为所求的最短距离.在 Rt△ ABA'中,
AB=4,AA'=2+2=4,∴BA'= 2 + '2 = 42 + 42 =4 2,即 PA+PB 的最小值为
)
D.80°
[答案]D
[解析]分别作A关于直线BC和CD的对称点A',A″,连接A'A″,交BC于E,交CD于F,则
A'A″长即为△AEF周长的最小值.作DA延长线AH,易知∠DAB=130°,∠HAA'=50°.
又∠EA'A=∠EAA',∠FAD=∠A″,且∠EA'A+∠EAA'=∠AEF,∠FAD+∠A″=
图T3-4
.
[答案] 2 5
[解析]如图,在 CB 上截取 CM=CA,连接 DM.
= ,
在△ CDA 与△ CDM 中, ∠ = ∠,
专题三 将军饮马中一定两动模型与最值问题 2020年中考数冲刺难点突破 将军饮马与最值问题(解析版)
2020年中考数冲刺难点突破 将军饮马与最值问题专题三 将军饮马中一定两动模型与最值问题【专题说明】一定两动型可转化为两点之间线段最短和点到直线的垂线段最短问题，进而求最值。
关键是作定点（或动点）关于动折点所在直线的对称点，通过等量代换转化问题。
【模型展示】【模型】三、一定两动之点线在OA 、OB 上分别取M 、N 使得PM +MN 最小。
此处M 点为折点，作点P 关于OA 对称的点P ’，将折线段PM +MN 转化为P ’M +MN ，即过点P ’作OB 垂线分别交OA 、OB 于点M 、N ，得PM +MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 【精典例题】1、如图，在边长为1的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，将ABD ∆沿射线BD 的方向平移得到A B D '''∆，分别连接A C '，A D '，B C '则A C B C ''+的最小值为____.BB【答案】3 【详解】如图，过C 点作BD 的平行线l ，以l 为对称轴作B 点的对称点1B ，连接1AB 交直线l 于点1C根据平移和对称可知11A C B C AC BC +=+''，当11,,A B C 三点共线时11AC BC +取最小值，即1AB ，又1AB 1BB ==，根据勾股定理得，13AB =，故答案为32、点P 是定点，在OA 、OB 上分别取M 、N ，使得PM+MN 最小。
3、点P 是定点，在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．BBBB3、如图，抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B 在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；（3）试求出AM+AN的最小值．∵DB=BC=AC=5，CM=BN，∴△ACM≌△DBN，∴AM=DN，∴AM+AN=DN+AN，而DN+AN≥AD（当且仅当点A、N、D共线时取等号），∴DN+AN的最小值=22+=，6561∴AM+AN的最小值为61．4、如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．【答案】（1）结论：CF=2DG，理由见解析；（2）△PCD的周长的最小值为10+226．【详解】（1）结论：CF=2DG．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，∵DE=AE，∴AD=CD=2DE，∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴DGCF=DEDC=12，∴CF=2DG．（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．5、如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（）A．B．C．9 D．【答案】A【详解】解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P′，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于AC对称，∴P′D=P′B，∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度．∵直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=9，CE=13CD=3，∴BE=2293=310．故选A．6、如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为______．【答案】（32，32）．【详解】解：作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，则此时，PM+PN最小，∵OA垂直平分NN′，∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，∴△NON′是等边三角形，∵点M是ON的中点，∴N′M⊥ON，∵点N（3，0），∴ON=3，∵点M是ON的中点，∴OM=1.5，∴PM=32，∴P（32，32）．故答案为：（32，32）．。
专题三 将军饮马中一定两动模型与最值问题 2020年中考数冲刺难点突破 将军饮马与最值问题(解析版)
2020年中考数冲刺难点突破 将军饮马与最值问题专题三 将军饮马中一定两动模型与最值问题【专题说明】一定两动型可转化为两点之间线段最短和点到直线的垂线段最短问题，进而求最值。
关键是作定点（或动点）关于动折点所在直线的对称点，通过等量代换转化问题。
【模型展示】【模型】三、一定两动之点线在OA 、OB 上分别取M 、N 使得PM +MN 最小。
此处M 点为折点，作点P 关于OA 对称的点P ’，将折线段PM +MN 转化为P ’M +MN ，即过点P ’作OB 垂线分别交OA 、OB 于点M 、N ，得PM +MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 【精典例题】1、如图，在边长为1的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，将ABD ∆沿射线BD 的方向平移得到A B D '''∆，分别连接A C '，A D '，B C '则A C B C ''+的最小值为____.BB【答案】3 【详解】如图，过C 点作BD 的平行线l ，以l 为对称轴作B 点的对称点1B ，连接1AB 交直线l 于点1C根据平移和对称可知11A C B C AC BC +=+''，当11,,A B C 三点共线时11AC BC +取最小值，即1AB ，又1AB 1BB ==，根据勾股定理得，13AB =，故答案为32、点P 是定点，在OA 、OB 上分别取M 、N ，使得PM+MN 最小。
3、点P 是定点，在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．BBBB3、如图，抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B 在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；（3）试求出AM+AN的最小值．∵DB=BC=AC=5，CM=BN，∴△ACM≌△DBN，∴AM=DN，∴AM+AN=DN+AN，而DN+AN≥AD（当且仅当点A、N、D共线时取等号），∴DN+AN的最小值=22+=，6561∴AM+AN的最小值为61．4、如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．【答案】（1）结论：CF=2DG，理由见解析；（2）△PCD的周长的最小值为10+226．【详解】（1）结论：CF=2DG．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，∵DE=AE，∴AD=CD=2DE，∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴DGCF=DEDC=12，∴CF=2DG．（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．5、如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（）A．B．C．9 D．【答案】A【详解】解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P′，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于AC对称，∴P′D=P′B，∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度．∵直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=9，CE=13CD=3，∴BE=2293=310．故选A．6、如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为______．【答案】（32，32）．【详解】解：作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，则此时，PM+PN最小，∵OA垂直平分NN′，∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，∴△NON′是等边三角形，∵点M是ON的中点，∴N′M⊥ON，∵点N（3，0），∴ON=3，∵点M是ON的中点，∴OM=1.5，∴PM=32，∴P（32，32）．故答案为：（32，32）．。
2020年安徽中考常见最值问题——将军饮马1(共16张)
解：设△PAB中AB边上的高是PE
1
1
S△PAB
3
S矩形ABCD
53 3
5
1
5
S△PAB 2 AB PE 2 PE
PE= 2
动点P在与AB平行且与AB的距离是2的对称点B'，连接AB'，则AB'就是所求的最短距离。
在Rt△ABE中，∵AB=5，BB'=2+2=4，
C．5 2 ；
D． 41 ．
————竹竹子子系系本本科科生生
0
PRAT 01 将军饮马1
• 总结：
特征：
（1）两个定点一个动点，即“两定一动” （2）定点在动点轨迹l（即对称轴）的同侧 （ 3 ） 求 动 点 到 两 个 定 点 距 离 和 的 最 小 值 （ 如 ： PA + P B ）
l P
解法：
Q
点
坐标
即
为
x y
-1 x
3
解得：xy
=
-1 2
∴Q(−1,2)。
————竹竹子子系系本本科科生生
0
PRAT 01 将军饮马1
• 总结：
特征：
（1）两个定点一个动点，即“两定一动” （2）定点在动点轨迹l（即对称轴）的同侧 （ 3 ） 求 动 点 到 两 个 定 点 距 离 和 的 最 小 值 （ 如 ： PA + P B ）
AB' AB2 BB'2 52 42 41
即PA PB的最小值为 41
————竹竹子子系系本本科科生生
0
引例：
如图，在矩形
ABCD
中，AB＝5，AD＝3，动点
P
满足 S△PAB
2020中考数学热门考点将军饮马问题
中考数学将军饮马专题班级________________ 姓名______________ 日期______________ 例1.如图，直线y=32x+4与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，点P 为OA 上一动点，当PC+PD 最小时，点P 的坐标为_________，此时PC+PD 的最小值为_________.例2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为（0，1），点B 的坐标为（23，﹣2），点P 在直线y=﹣x 上运动，当|PA ﹣PB|最 大时点P 的坐标为_________，|PA ﹣PB|的最大值是_________.变式训练1-1已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A （5，0）， OB=54，点P 是对角线OB 上的一个动点，D （0，1），当CP+DP 最短 时，点P 的坐标为（ ）A ．（0，0）B ．（1，）C ．（，）D ．（，）变式训练1-2如图，菱形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，AC=2， BD=2,E 为AB 的中点，P 为对角线AC 上一动点，则PE+PB 的 最小值为__________.变式训练1-3如图，已知直线y=x+1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y=21x 2+bx+c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为（1，0）． （1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM ﹣MC|的值最大，求出点M 的坐标.例3如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，若点M、N分别是线段AC、AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为．例4.如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，点M、N分别是射线OA、OB 上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）A．B．C．6 D．3当堂练习1.要在街道旁建奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短？小聪以街道为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，A点坐标为（0，3），B点坐标为（6，5），则A、B两点到奶站距离之和的最小值是．第1题第2题第3题2.如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是（ ） A ．（0，）B ．（0，）C ．（0，2）D ．（0，）3.如图，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=3，动点P 满足S △PAB =31S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和PA+PB 的最小值为（ ） A ．B ．C ．5D ．4.已知抛物线y=x 2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为（，3），P 是抛物线y=x 2+1上一个动点，则△PMF 周长的最小值是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6第4题 第5题5.如图，点A （a ，3），B （b ，1）都在双曲线y=上，点C ，D ，分别是x 轴，y 轴上的动点，则四边形ABCD 周长的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ．6.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D 、E 分别是AB 、BC 边上的动点，则AE+DE 的最小值为（ ） A ． B ． C ．5 D ．第6题 第7题 第8题7.如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的动点，则DA+DE 的最小值为 ．8.如图，等腰△ABC 的底边BC=20，面积为120，点F 在边BC 上，且BF=3FC ，EG 是腰AC 的垂直平分线，若点D 在EG 上运动，则△CDF 周长的最小值为 ．9.如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC=120°，M 是BC 边的一个三等分点，P 是对角线AC 上的动点，当PB+PM 的值最小时，PM 的长是（ ） A ．B ．C ．D ．第9题第10题第11题10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（）A．B．C．D．611.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN 的最小值是（）A．6B．10 C．2D．212.如图，△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是形，P、E、F分别为线段AB、AD、DB上的任意点，则PE+PF的最小值是．。
2020年中考数学压轴题线段和差最值问题汇总--将军饮马问题及其11种变形汇总
2020年中考数学压轴题线段和差最值问题汇总---------将军饮马专题古老的数学问题“将军饮马”，“费马点”，“胡不归问题”，“阿氏圆”等都运用了化折为直的数学思想这类问题也是中考试题当中比较难的一类题目，常常出现在填空题压轴题或解答题压轴题中，那么如何破解这类压轴题呢？【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：1.定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题．2．确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．3.定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．4．全局最短路径问题：求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”。
【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】“化曲为直”题型一：两定一动，偷过敌营。
题型二：两定一动，将军饮马。
例1：如图， AM ⊥EF ，BN ⊥EF ，垂足为M 、N ，MN ＝12m ，AM ＝5m ，BN ＝4m ， P 是EF 上任意一点，则PA ＋PB 的最小值是______m ．分析：这是最基本的将军饮马问题，A ，B 是定点，P 是动点，属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点A 关于EF 的对称点A ’，根据两点之间，线段最短，连接A ’B ，此时A ’P ＋PB 即为A ’B ，最短．而要求A ’B ，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决． 解答：作点A 关于EF 的对称点A ’，过点A ’作A ’C ⊥BN 的延长线于C ．易知A ’M ＝AM ＝NC ＝5m ，BC ＝9m ，A ’C ＝MN ＝12m ，在Rt △A ’BC 中，A ’B ＝15m ，即PA ＋PB 的最小值是15m ．例2：如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，且AE = 2，求EM+EC 的最小值解：点C 关于直线AD 的对称点是点B ，连接BE ，交AD 于点M ，则ME+MD 最小， 过点B 作BH ⊥AC 于点H ，则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = BC 2 - CH 2 = 62 - 32 = 3 3在直角△BHE 中，BE = BH 2 + HE 2 = (33)2 + 12 = 27DB CD CBP E D C B A E D C B AA （3对应练习题1．如图，在△ABC 中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC+ED 的最小值是 。
2020中考数学总复习：将军饮马型最值问题 解题技巧总结
4.如图T3-5,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任
意一点,则PK+QK的最小值为
.
图T3-5
[答案] 3 [解析]如图,作点 P 关于 BD 的对称点 P',则 PK+QK=P'K+QK.当 P',K,Q 三点共线, 且 P'Q⊥CD 时,PK+QK 取得最小值.过点 A 作 AE⊥CD 于点 E.∵在菱形 ABCD 中,AB=AD=2,∠BAD=120°,∴∠ADC=60°,∴AE=AD·sin∠ADC=2×23 = 3. ∵P'Q⊥CD,AE⊥CD,AB∥CD,∴P'Q=AE= 3.∴PK+QK 的最小值为 3.
MD=1AM=1,所以 MN=2,NQ=MN·
2
图T3-2
cosN=2×23 = 3.
2.如图T3-3,在矩形ABCD中,AD=4,∠DAC=
30°,点P,E分别在AC,AD上,则PE+PD的最小
值是
.
[答案] 2 3 [解析]如图,作点 D 关于直线 AC 的对称点 D'.当 D',P,E 三点共线, 且 D'E⊥AD 时,PE+PD 最小.易得 CD=433,∠ADD'=60°,DD'=4,所以 D'E=2 3.
图T3-3
3.[2019·合肥二模]如图T3-4,△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,CD平分∠ACB交
AB于点D,点E是AC的中点,点P是CD上一动点,则PA+PE的最小值是
.
图T3-4
[答案] 2 5
[解析]如图,在 CB 上截取 CM=CA,连接 DM. ������������ = ������������,
2020中考数学专题8——最值问题之将军饮马 -含答案
【模型解析】2020 中考专题 8——最值问题之将军饮马班级姓名.总结：以上四图为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到：“两点之间，线段最短”解决。
特点：①动点在直线上；②起点，终点固定；方法：作定点关于动点所在直线的对称点。
【例题分析】例1.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(3，3 )，点C 的坐标为(1，0)，点2P 为斜边OB 上的一动点，则PA＋PC 的最小值为．例 2.如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE 上分别找一点M、N．(1)当△AMN 的周长最小时，∠AMN＋∠ANM＝；(2)求△AMN 的周长最小值．例3.如图，正方形ABCD 的边长为 4，点E 在边BC 上且CE＝1，长为 2 的线段MN 在AC 上运动．(1)求四边形BMNE 周长最小值；(2)当四边形BMNE 的周长最小时，则tan∠MBC 的值为．例4.在平面直角坐标系中，已知点A(一 2，0)，点B(0，4)，点E 在OB 上，且∠OAE＝∠OB A．如图，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△AE′O′，连接A'B、BE'．当AB＋BE'取得最小值时，求点E'的坐标．例5.如图，已知正比例函数y＝kx(k＞0)的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为(0，4)，P 为y 轴上的一个动点，M、N 为函数y＝kx(k＞0)的图像上的两个动点，则AM＋MP＋PN 的最小值为．【巩固训练】1.如图1 所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P，使PD＋PE 的和最小，则这个最小值为．图1 图2 图3 图42.如图2，在菱形ABCD 中，对角线AC＝6，BD＝8，点E、F、P 分别是边AB、BC、AC 上的动点，PE＋PF 的最小值是．3.如图3，在边长为2 的等边△ABC 中，D 为BC 的中点，E 是AC 边上一点，则BE＋DE 的最小值为．4.如图 4，钝角三角形ABC 的面积为 9，最长边AB＝6，BD 平分∠ABC，点M、N 分别是BD、BC 上的动点，则CM＋MN 的最小值为．5.如图5，在△ABC 中，AM 平分∠BAC，点D、E 分别为AM、AB 上的动点，＝6，则BD＋DE的最小值为(1)若AC＝4，S△ABC(2)若∠BAC＝30°，AB＝8，则BD＋DE 的最小值为．(3)若AB＝17，BC＝10，CA＝21，则BD＋DE 的最小值为．6.如图6，在△ABC中，AB＝BC＝4，S△ABC＝4一点，则PK＋QK 的最小值为．，点P、Q、K 分别为线段AB、BC、AC 上任意图6 图7 图8 图97.如图7，AB 是⊙O 的直径，AB＝8，点M 在⊙O 上，∠MAB＝20°，N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点，则PM＋PN 的最小值为．8.如图 8，在锐角△ABC 中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D，M、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM＋MN 的最小值是．9.如图 9，圆柱形玻璃杯高为 12cm、底面周长为 18cm，在杯内离杯底 4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．10.如图 10，菱形OABC 中，点A 在x 轴上，顶点C 的坐标为(1，OC、OB 上，则CE＋DE＋DB 的最小值是．)，动点D、E 分别在射线图10 图11 图12 图1311.如图 11，点A(a，1)、B(－1，b)都在双曲线y＝－3(x＜0)上，点P、Q 分别是x 轴、y 轴上x的动点，当四边形PABQ 的周长取最小值时，PQ 所在直线的解析式是．12.如图12，点P 是∠AOB 内任意一点，OP＝5cm，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是5cm，则∠AOB 的度数是．13.如图13，∠AOB＝30°，点M、N 分别在边OA、OB 上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q 分别在边OB、OA 上，则MP＋PQ＋QN 的最小值是．14.如图 14，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点D 是AB 边的中点，过D 作DE⊥BC 于点E． (1)点P 是边BC 上的一个动点，在线段BC 上找一点P，使得AP＋PD 最小，在下图中画出点P； (2)在(1)的条件下，连接CD 交AP 于点Q，求AQ 与PQ 的数量关系；图 143315. 在矩形 ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，G 为边 AD 的中点．(1) 如图 1，若 E 为 AB 上的一个动点，当△CGE 的周长最小时，求 AE 的长．(2) 如图 2，若 E 、F 为边 AB 上的两个动点，且 EF ＝4，当四边形 CGEF 的周长最小时，求 AF的长．16. 如图，抛物线 y = - 1x 2+ 2x + 4 交y 轴于点B ，点A 为x 轴上的一点，OA =2，过点A 作直线MN ⊥ AB2 交抛物线与 M 、N 两点. （1） 求直线 AB 的解析式；（2） 将线段 AB 沿 y 轴负方向平移 t 个单位长度，得到线段 A 1B 1 ，求 MA 1 + MB 1 取最小值时实数 t 的值.33172020 中考专题 8——最值问题之将军饮马参考答案例1.解：作A 关于OB 的对称点D，连接CD 交OB 于P，连接AP，过D 作DN⊥OA 于N，则此时PA＋PC 的值最小，∵DP＝PA，∴PA＋PC＝PD＋PC＝CD，∵B(3，)，∴AB＝，OA＝3，∵tan∠AOB＝AB＝3，∴∠AOB＝30°，∴OB＝2AB＝2 ，OA 31 1 3 3由三角形面积公式得：×OA×AB＝2×OB×AM，∴AM＝2，∴AD＝2×2＝3，2∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAM＝30°，∵∠BAO＝90°，∴∠OAM＝60°，∵DN⊥OA，∴∠NDA＝30°，∴AN＝1AD＝23，由勾股定理得：2DN＝33 ，2∵C(1，0)，∴CN＝3﹣1﹣2 23＝1，在Rt△DNC 中，由勾股定理得：DC＝，2 2即PA＋PC 的最小值是31．2例2.解：作A 关于BC 和ED 的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC 于M，交ED 于N，则A′A″即为△AMN 的周长最小值．⑴作EA 延长线的垂线，垂足为H，∠BAE＝120°，∴∠AA′A″＋∠AA″A′＝60°，∠AA′A″＝∠A′AM，∠AA″A′＝∠EAN，∴∠CAN＝120°－∠AA′A″－∠AA″A′＝60°，也就是说∠AMN＋∠ANM＝180°－60°＝120°.⑵过点A′作EA 延长线的垂线，垂足为H，∵AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，∴AA′＝2BA＝2，AA″＝2AE＝4，则Rt△A′HA 中，∵∠EAB＝120°，∴∠HAA′＝60°，∵A′H⊥HA，∴∠AA″H＝30°，∴AH＝1AA′＝1，∴A′H＝2，A″H＝1＋4＝5，∴A′A″＝2 ，例3.解：作EF∥AC 且EF＝于P，，连结DF 交AC 于M，在AC 上截取MN＝，延长DF 交BC 作FQ⊥BC 于Q，作出点E 关于AC 的对称点E′，则CE′＝CE＝1，将MN 平移至E′F′处，3332242 - 22 3 3 则四边形 MNE ′F ′为平行四边形，当 BM ＋EN ＝BM ＋FM ＝BF ′时，四边形 BMNE 的周长最小， 由∠FEQ ＝∠ACB ＝45°，可求得 FQ ＝EQ ＝1，∵∠DPC ＝∠FPQ ，∠DCP ＝∠FQP ，∴△PFQ ∽△PDC ， ∴PQ PQ + QE + EC ＝ PQ ，∴ CD PQ PQ + 2 1 ＝ ，解得：PQ ＝ 4 2 ，∴PC ＝ 8 ，3 3由对称性可求得 tan ∠MBC ＝tan ∠PDC ＝ 2 ．3例 4.【提示】将△AEO 向右平移转化为△AEO 不动，点 B 向左平移，则点 B 移动的轨迹为一平行于 x 轴的直线，所以作点 E 关于该直线的对称点 E 1，连接 AE 1，与该直线交点 F 即为最小时点 B 的位置，求出 BF 长度即可求出点 E 向右平移的距离．例 5.解：如图所示，直线 OC 、y 轴关于直线 y ＝kx 对称，直线 OD 、直线 y ＝kx 关于 y 轴对称，点A ′是点 A 关于直线 y ＝kx 的对称点．作 A ′E ⊥OD 垂足为 E ，交 y 轴于点 P ，交直线 y ＝kx 于 M ，作 PN ⊥直线 y ＝kx 垂足为 N ， ∵PN ＝PE ，AM ＝A ′M ，∴AM ＋PM ＋PN ＝A ′M ＋PM ＋PE ＝A ′E 最小(垂线段最短)， 在 RT △A ′EO 中，∵∠A ′EO ＝90°，OA ′＝4，∠A ′OE ＝3∠AOM ＝60°， ∴OE ＝1OA ′＝2，A ′E ＝ ＝2 ．2 ∴AM ＋MP ＋PN 的最小值为 2 ．333337【巩固训练】答案1.解：连接BD，∵点B 与D 关于AC 对称，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE 最小．∵正方形ABCD 的面积为 12，∴AB＝2又∵△ABE 是等边三角形，∴BE＝AB＝2，，故所求最小值为2 ．2.解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC＝6，BD＝8，∴AB＝5，作E 关于AC 的对称点E′，作E′F⊥BC 于F 交AC 于P，连接PE，则E′F 即为PE＋PF 的最小值，∵1⋅AC⋅BD＝AD⋅E′F，∴E′F＝24，∴PE＋PF 的最小值为24.2 5 53.解：作B 关于AC 的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC 于E，此时BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D，根据两点之间线段最短可知B′D 就是BE＋ED 的最小值，∵B、B′关于AC 的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，∵三角形ABC 是边长为2，D 为BC 的中点，∴AD⊥BC，AD＝，BD＝CD＝1，BB′＝2AD＝2 ，作B′G⊥BC 的延长线于G，∴B′G＝AD＝，在Rt△B′BG 中，BG＝3，∴DG＝BG﹣BD＝3﹣1＝2，在Rt△B′DG 中，B′D＝．故BE＋ED 的最小值为7 ．4.解：过点C 作CE⊥AB 于点E，交BD 于点M，过点M 作MN⊥BC 于N，∵BD 平分∠ABC，ME⊥AB 于点E，MN⊥BC 于N，∴MN＝ME，∴CE＝CM＋ME＝CM＋MN 是最小值．∵三角形ABC 的面积为 9，AB即CM＋MN 的最小值为 3．＝6，∴12×6⋅CE＝9，∴CE＝3．333335.提示：作点E 关于AM 的对称点E′，BH⊥AC 于H，易知BD＋DE 的最小值即为BH 的长. 答案：(1)3；(2)4；(3)8．6.解：如图，过A 作AH⊥BC 交CB 的延长线于H，∵AB＝CB＝4，S△ABC＝4，∴AH＝2，∴cos∠HAB＝AH＝2 3＝3，∴∠HAB＝30°，∴∠ABH＝60°，∴∠ABC＝120°，AB 4 2∵∠BAC＝∠C＝30°，作点P 关于直线AC 的对称点P′，过P′作P′Q⊥BC 于Q 交AC 于K，则P′Q 的长度＝PK＋QK 的最小值，∴∠P′AK＝∠BAC＝30°，∴∠HAP′＝90°，∴∠H＝∠HAP′＝∠P′QH＝90°，∴四边形AP′QH 是矩形，∴P′Q＝AH＝2 ，即PK＋QK 的最小值为2 ．7.解：作点N 关于AB 的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′，则MN′与AB 的交点即为PM＋PN 的最小时的点，PM＋PN 的最小值＝MN′，∵∠MAB＝20°，∴∠MOB＝2∠MAB＝2×20°＝40°，∵N 是弧MB 的中点，∴∠BON＝12∠MOB＝1×40°＝20°，2由对称性，∠N′OB＝∠BON＝20°，∴∠MON′＝∠MOB＋∠N′OB＝40°＋20°＝60°，∴△MON′是等边三角形，∴MN′＝OM＝OB＝1AB＝18 ＝4，2 2∴PM＋PN 的最小值为 4，22338.解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD 于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′＋M′N′为所求的最小值．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴M′H＝M′N′，∴BH 是点 B 到直线AC 的最短距离，∵AB＝4，∠BAC＝45°，∴BH＝AB sin45°＝4×2＝2 ．2∵BM＋MN 的最小值是BM′＋M′N′＝BM′＋M′H＝BH＝2 ．9.解：沿过A 的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C 作CQ⊥EF 于Q，作A 关于EH 的对称点A′，连接A′C 交EH 于P，连接AP，则AP＋PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE＝A′E，A′P＝AP，∴AP＋PC＝A′P＋PC＝A′C，∵CQ＝1×182cm＝9cm，A′Q＝12cm﹣4cm＋4cm＝12cm，在Rt△A′QC 中，由勾股定理得：A′C＝15cm，故答案为：15．10.解：连接AC，作B 关于直线OC 的对称点E′，连接AE′，交OC 于D，交OB 于E，此时CE＋DE＋BD 的值最小，∵四边形OCBA 是菱形，∴AC⊥OB，AO＝OC，即A 和C 关于OB 对称，∴CE＝AE，∴DE＋CE＝DE＋AE＝AD，∵B 和E′关于OC 对称，∴DE′＝DB，∴CE＋DE＋DB＝AD＋DE′＝AE′，过C 作CN⊥OA 于N，∵C(1，)，∴ON＝1，CN＝，由勾股定理得：O C＝2，即AB＝BC＝OA＝OC＝2，∴∠CON＝60°，∴∠CBA＝∠COA＝60°，∵四边形COAB 是菱形，∴BC∥OA，∴∠DCB＝∠COA＝60°，∵B 和E′关于OC 对称，∴∠BFC＝90°，∴∠E′BC＝90°﹣60°＝30°，∴∠E′BA＝60°＋30°＝90°，CF＝1BC＝1，由勾股定理得：BF＝2＝E′F，在Rt△EBA 中，由勾股定理得：AE′＝4，即CE＋DE＋DB 的最小值是 4．310 ⎩⎩11.解：把点 A (a ，1)、B (﹣1，b )代入 y ＝﹣ 3(x ＜0)得 a ＝﹣3，b ＝3，则 A (﹣3，1)、B (﹣1，x3)，作 A 点关于 x 轴的对称点 C ，B 点关于 y 轴的对称点 D ，所以 C 点为(﹣3，﹣1)，D 点为(1， 3)，连结 CD 分别交 x 轴、y 轴于 P 点、Q 点，此时四边形 PABQ 的周长最小，设直线 CD 的解析式为 y ＝kx ＋b ，则⎧-3k + b = -1 ，解得⎧k = 1，所以直线 CD 的解析式为 y ＝x ＋2．⎨k + b = 3 ⎨b = 212.解：分别作点 P 关于 OA 、OB 的对称点 C 、D ，连接 CD ，分别交 OA 、OB 于点 M 、N ，连接 OC 、OD 、PM 、PN 、MN ，如图所示：∵点 P 关于 OA 的对称点为 D ，关于 OB 的对称点为 C ，∴PM ＝DM ，OP ＝OD ，∠DOA ＝∠ POA ；∵点 P 关于 OB 的对称点为 C ，∴PN ＝CN ，OP ＝OC ，∠COB ＝∠POB ， ∴OC ＝OP ＝OD ，∠AOB ＝1∠COD ，2∵△PMN 周长的最小值是 5cm ，∴PM ＋PN ＋MN ＝5，∴DM ＋CN ＋MN ＝5，即 CD ＝5＝OP ， ∴OC ＝OD ＝CD ，即△OCD 是等边三角形，∴∠COD ＝60°，∴∠AOB ＝30°；13 解：作 M 关于 OB 的对称点 M ′，作 N 关于 OA 的对称点 N ′，连接 M ′N ′，即为 MP ＋PQ ＋QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N ′OQ ＝∠M ′OB ＝30°，∠ONN ′＝60°， ∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∴∠N ′OM ′＝90°， ∴在 Rt △M′ON′中，M ′N ′＝ ．故答案为 ．10314.解：(1)作点 A 关于BC 的对称点 A′，连 DA′交BC 于点P.(2)由(1)可证得PA 垂直平分CD，∴AQ＝CQ＝3PQ15.解：(1)∵E 为AB 上的一个动点，∴作G 关于AB 的对称点M，连接CM 交AB 于E，那么E 满足使△CGE 的周长最小；∵在矩形ABCD 中，AB＝6，BC＝8，G 为边AD 的中点，∴AG＝AM＝4，MD＝12，而AE∥CD，∴△AEM∽△DCM，∴AE：CD＝MA：MD，∴AE＝CD ⨯MA＝2；MD(2)∵E 为AB 上的一个动点，∴如图，作G 关于AB 的对称点M，在CD 上截取CH＝4，然后连接HM 交AB 于E，接着在EB 上截取EF＝4，那么E、F 两点即可满足使四边形CGEF 的周长最小．∵在矩形ABCD 中，AB＝6，BC＝8，G 为边AD 的中点，∴AG＝AM＝4，MD＝12，而CH＝4，∴DH＝2，而AE∥CD，∴△AEM∽△DHM，∴AE：HD＝MA：MD，∴AE＝HD ⨯MAMD＝2，3∴AF ＝4＋2＝14．3 316.解：（1）依题意，易得B（0，4），A（2，0），则AB解析式：y=-2x+4（2）∵AB⊥MN∴直线MN：y =1x - 12⎧y =-1x2+ 2x + 4⎪与抛物线联立可得：⎨⎪y =⎩21x - 1 2解得：M（-2，-2）将AB向负方向平移t个单位后，A1（2，-t），B1（0，4-t）则A1 关于直线x=-2 的对称点A2 为（-6，-t）当A2、M、B1 三点共线时，MA1 +MB1取最小值∴t =143。
2020 中考 将军饮马+变式最值
使用日期：2020年 月 日 2020 中考 数学 培优压轴题训练 第 讲 “将军饮马”型最值问题模型分析：情景模式 作图方法 证明过程题目： A ，B 为定点，在直线l 上找一点P ，使得PA+PB 的值最小？原型变式①题目：如图，A 为定点，在直线1l ，2l 上分别找一点P ，Q ，使得AP+PQ+QA 的值最小？变式②题目：如图，A ，B 为定点，在直线1l ，2l 上分别找一点P ，Q ，使得AP+PQ+QB 的值最小？变式③变式④例1 （中考题-改编）如图，已知点A （-4，8）和点B （2，n ）在抛物线2ax y =上.（1）求a 的值；（2）在x 轴上找一点Q ，使得AQ+BQ 最短，求出点Q 的坐标；（3）平移抛物线，记平移后A 的对应点为A '，点B 的对应点为 B '，当抛物线向左平移到某个位置时，B C C A '+'最短，求此时抛物线的函数解析式.例2 如图，抛物线3518532+-=x x y 和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长.例3 （2017 花都一模16题）如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为 .例4 如图，∠MON=20°，A为射线OM上一点，OA=4，D为射线ON上一点，OD=8，C为射线AM 上任意一点，B是线段OD上任意一点，那么折线ABCD的长AB+BC+CD的最小值是 .例5如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，3），点C的坐标为（12，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA＋PC的最小值为______ ．例6 已知，如图，二次函数()0322≠-+=a a ax ax y 图象的顶点为H ，与x 轴交于A ，B 两点(B 在A 点右侧)，点H 、B 关于直线333:+=x y l 对称． (1)A 坐标为 ；B 坐标为 ；H 坐标为 ；(2)求二次函数解析式；(3)过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于K 点， M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，连接HN 、NM 、MK ，求HN+NM+MK 和的最小值．例7 如图，地上放着一个长、宽、高分别为50cm 、40cm 、30cm 的箱子，位于角A 处的一只蚂蚁发现了位于角B 处的一只苍蝇，问：蚂蚁沿着箱面怎样爬才能使它到B 处的路程最短，最短路程是多少？（结果精确到0.01cm ）例8 如图所示，已知一个圆柱体杯子高为6，直径为 18，点O 是CD 的中点，一只蚂蚁在A 处（杯子外面），想吃到杯子内部点O 处的糖，当P 在何处即PC= 时，蚂蚁爬行的路程最短．例9 圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁从底面圆周上的点B出发沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC的中点D．问蚂蚁沿怎样的路线爬行，使路程最短？最短的路程是多少？【巩固练习】1.已知点A（1，1）和点B（3，2），在直线y=-x上有一个点P，满足PA+PB最小，则PA+PB的最小值是 .2.如图，长方体的长、宽、高分别为8、4、5，一只蚂蚁沿长方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的路程最短为 .3.邮递员从邮局出发，分别到村庄A、B、C投递邮件，其所走的顺序为邮局A→B→C→邮局，则邮局应建在公路l的何位置，可使邮递员走的路程最短？4.八（二）班举行元旦文艺晚会，桌子摆成两条直线（如图中所示的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，OB 桌面上摆满了糖果，坐在C处的小花先拿桔子再拿糖果，然后送给D处的小红，最后回到C处．请你帮助她设计一条行走路线，使其所走的总路程最短（尺规作图，并写出作法，不需说明理由）5.如图：有一圆锥形粮仓，其轴截面是边长为6m的正三角形ABC，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上点B出发，沿着圆锥的侧面爬行到达母线AC的中点P，则蚂蚁爬行的最短路程是 .6.如图，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为______cm（结果不取近似值）.7.已知点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的动点，若⊙O的半径长为1，则 AP+BP的最小值为__________.8. 如图所示，有一圆柱体高为10cm ，底面圆的半径为4cm ， 1AA ，1BB 为相对的两条母线，在1AA 上有一只蜘蛛在Q 点，QA=3cm ；在1BB 上有一只苍蝇在P 点，1PB =2cm ，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P 点吃苍蝇，最短的路径是 cm.（结果用带和根号的式子表示）9. 已知直线l 为x+y=8，点P （x ，y ）在l 上，点A 的坐标为（6，0）．在直线l 上有一点P ，使OP+PA 的和最小，求点M 的坐标．10. （2018 越秀八下期末16题）如图，在边长为2的等边三角形中，D 是BC 的中点，点E 在线段AD 上，连接BE ，在BE 的下方作等边△BEF ，连接DF.当△BDF 的周长最小时，∠DBF 的度数是 .11. 如图，∠AOB=α，P 在∠AOB 内，OP=2，M 和N 分别为OA ，OB 上一动点，当△PMN 的周长为最小值2时，α= .12. 如图，在平面直角坐标系中，直线x=4与y=32x+b 的图象交于点A （4，341），直线y=-21x+4与直线y=32x+b 交于点B ，与x 轴交于点C ． （1）求点B 的坐标； （2）直线l ：y=-21x+4与y 轴交于点D ，在直线x=4上是否存在点P 使得△PDC 是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．（3）在平面直角坐标系中，点Q 从点B 出发沿适当路径运动到直线x=4上的点M ，然后再沿适当路径运动到y 轴上的点N ，最后再沿适当路径运动到点C ．当Q 点的运动路径最小时，求点M ，N 的坐标及运动路径的最小值；。
中考数学复习专题之二“将军饮马”模型解决最值问题
专题二 “将军饮马”模型解决最值问题【实战精例1】（2019•广西）如图，AB 为O 的直径，BC 、CD 是O 的切线，切点分别为点B 、D ，点E 为线段OB 上的一个动点，连接OD ，CE ，DE ，已知AB =2BC =，当CE DE +的值最小时，则CEDE的值为( )A ．910B ．23C D 【实战精例2】 （滨州·中考真题）如图，等边ABC ∆的边长为6，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的动点，E 是AC 边上一点，若2AE =，EM CM +的最小值为 ．一、“将军饮马”模型问题：如图，在定直线l上找一动点P，使点P到两定点A和B的距离之和最小，即PA+PB 最小。
【简析1】如图，作出定点B关于定直线l的对称点C，连接AC与定直线l的交点Q即为所要寻找的点，且最小值等于AC。
类型一：“两定一动“--和最小【经典剖析1】（2021秋•官渡区期末）如图，已知点D、E分别是等边三角形ABC中+的最小值为()AD=，点F是线段AD上的动点，则BF EFBC、AB边的中点，6A．3 B．6 C．9 D．12【经典剖析2】如图，直线8=+分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C，D分别y x为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC PD+值最小时，点P的坐标为()A．(4,0)−−D．(1,0)−C．(2,0)−B．(3,0)【经典剖析3】 已知(1,1)A −、(2,3)B 两点，在y 轴上存在点P 使得AP BP +的值最小，则点P 的坐标为( ) A ．1(0,)4B ．1(0,)3C ．1(0,)4−D ．1(0,)3−【经典剖析4】如图，边长为a 的等边ABC ∆中，BF 是AC 上中线且BF b =，点D 在BF上，连接AD ，在AD 的右侧作等边ADE ∆，连接EF ，则AEF ∆周长的最小值是( )A ．1223a b +B ．12a b +C ．12a b +D ．32a类型二：两定一动“--差最大--定点同侧类型三：“两定一动“--差最大【经典剖析1】（2019秋•龙口市期末）如图，已知点(0,1)B−，点P为x轴上一A，(2,3)点，当||−最大值时，点P的坐标为．PB PA类型四：“两动一定“--最短距离【经典剖析1】如图，四边形ABCD中，130∠=∠=°，在BC，CD上B DBAD∠=°，90分别找一点M，N，使AMN∠+∠的度数为()∆的周长最小时，则ANM AMNA．80°B．90°C．100°D．130°【经典剖析2】如图，30=，点E，F分别是BA，∠=°，点D是它内部一点，BD mABC∆周长的最小值为()BC上的两个动点，则DEFA．0.5m B．m C．1.5m D．2m类型五：“两动两定“--最短距离【经典剖析1】（2021春•江岸区校级月考）如图所示，50AOB ∠=°，30BOC ∠=°，12OM =，4ON =．点P 、Q 分别是OA 、OB 上动点，则MQ PQ NP ++的最小值是 ．类型六：“两定点一定长①”【类型七】“两定点一定长②”【经典剖析1】如图，在矩形ABCD 中，4AB = ，7BC= ，E 为CD 的中点，若P Q 、为BC 边上的两个动点，且2PQ =，若想使得四边形APQE 的周长最小，则BP 的长度应为__________.问题作法图形原理在直线l 上求两点M,N （M 在N 左侧），使MN=a ，使AM+MN+NB 最短将A 向右移a 个单位到A’，作A ’关于l 对称点A’’，连接A’’B 与交点即为N ，左移a 个单位，即为M 。
(完整版)将军饮马问题的11个模型及例题
5.搭桥模型 已知：如图，直线m∥n,A、B分别为m上方和n下方的定
点，（直线AB不与m垂直）
要求：在m、n之间求作垂线段PQ，使得AP+PQ+BQ最小.
分析：PQ为定值，只需AP+BQ最小，可通过平移，使
P、Q“接头”，转化为基本模型
解：如图，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至
【小结】“两点一线”大多考查基本模型2和4，需作一次对称点，连线得交点.
变式训练1-1
已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），
OB=4 ，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短
时，点P的坐标为（ ）
A．（0，0）B．（1， ）C．（ ， ）D．（ ， ）
要求：确定PQ的位置，使得四边形APQB周长最小
分析：AB长度确定，只需AP+PQ+QB最小，通过作A点
关于l的对称点，转化为上述模型3
解：作A点关于l的对称点A´，将点A´沿着平行于l
的方向，向右移至A´´，使A´A´´=PQ=a，连接A´´B
交l于Q，在l上截取QP=a（P在Q左边），线段
PQ即为所求，此时四边形APQB周长的最小值为
点到l的距离不相等）
要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大
解：作点B关于直线l的对称点B´，连接B´A并延长交
于点P，点P即为所求；
理由：根据对称的性质知l为线段BB´的中垂线，由中垂
线的性质得：PB=PB´，要使︱PA-PB︱最大，则需
︱PA-PB´︱值最大 ，从而转化为模型3.
专题一 将军饮马中两定一动模型与最值问题 2020年中考数冲刺难点突破 将军饮马与最值问题(解析版)
2020年中考数冲刺难点突破将军饮马与最值问题专题一将军饮马中两定一动模型与最值问题【专题说明】这类问题的解法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两定点中的一个映射到直线的另一侧，转化为两点之间线段最短问题。
1、如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】在中，，AD是的中线，可得点B和点D关于直线AD对称，连结CE，交AD于点P，此时最小，为EC的长，故选B.2、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AB＝8，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值_____．【答案】10【详解】解：如图：连接DE 交AC 于点P ，此时PD ＝PB ，PB +PE ＝PD +PE ＝DE 为其最小值，∵四边形ABCD 为正方形，且BE ＝2，AB ＝8，∵∵DAB ＝90°，AD ＝AB ＝8，AE ＝AB -BE ＝6，在Rt∵ADE 中，根据勾股定理，得DE ＝22AD AE +＝2286+＝10．∵PB +PE 的最小值为10．故答案为10．3、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边BC 交x 轴于点D ，AD x ⊥轴，反比例函数(0)k y x x=>的图象经过点A ，点D 的坐标为(3,0)，AB BD =．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P 为y 轴上一动点，当PA PB +的值最小时，求出点P 的坐标．91245，轴，（2）过点B 作BE AD ⊥垂足为E ，∵90B =∠，AB BD =，BE AD ⊥∵1322AE ED AD ===， ∵39322OD BE +=+=， ∵93(,)22B ，则点B 关于y 轴的对称点193(,)22B -，直线1AB 与y 轴的交点就是所求点P ，此时PA PB +最小， 设直线AB 1的关系式为y kx b =+，将 (3,3)A ,193(,)22B -，代入得， 339322k b k +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 解得：15k =，125b =， ∵直线1AB 的关系式为11255y x =+， 当0x =时，125y =， ∵点12(0,)5P 答：点P 的坐标为12(0,)5．4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使∵BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【详解】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∵﹣2a=2，解得a=﹣1，∵抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∵直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∵顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∵MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∵此时∵BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∵点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∵直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∵直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∵直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.5、如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点0(1)A ，,(50)B ，,4(0)C ，．（1）求抛物线的解析式和对称轴；的值为最小的点P坐标（请在图1中探索）；（2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足PA PC（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由.（请在图2中探索）【答案】（1）2545442y x x -+＝，函数的对称轴为：3x ＝；（2）点8(3)5P ，；（3）存在，点E 的坐标为12(2,)5-或12,)5(4-． 【详解】解：1（）根据点0(1)A ，,(50)B ，的坐标设二次函数表达式为：()()()21565y a x x a x x +--＝﹣＝， ∵抛物线经过点4(0)C ，， 则54a ＝，解得：45a ＝， 抛物线的表达式为：()()2224416465345555245y x x x x x --+--+＝=＝ ， 函数的对称轴为：3x ＝；2（）连接B C 、交对称轴于点P ，此时PA PC +的值为最小，设BC 的解析式为：y kx b +＝，将点B C 、的坐标代入一次函数表达式：y kx b +＝得：05,4k b b =+⎧⎨=⎩。
2020年中考数学压轴题线段和差最值问题汇总--将军饮马问题及其11种变形汇总
2020年中考数学压轴题线段和差最值问题汇总---------将军饮马专题古老的数学问题“将军饮马”，“费马点”，“胡不归问题”，“阿氏圆”等都运用了化折为直的数学思想这类问题也是中考试题当中比较难的一类题目，常常出现在填空题压轴题或解答题压轴题中，那么如何破解这类压轴题呢？【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：1.定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题．2．确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．3.定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．4．全局最短路径问题：求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”。
【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】“化曲为直”题型一：两定一动，偷过敌营。
题型二：两定一动，将军饮马。
例1：如图， AM ⊥EF ，BN ⊥EF ，垂足为M 、N ，MN ＝12m ，AM ＝5m ，BN ＝4m ， P 是EF 上任意一点，则PA ＋PB 的最小值是______m ．分析：这是最基本的将军饮马问题，A ，B 是定点，P 是动点，属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点A 关于EF 的对称点A ’，根据两点之间，线段最短，连接A ’B ，此时A ’P ＋PB 即为A ’B ，最短．而要求A ’B ，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决． 解答：作点A 关于EF 的对称点A ’，过点A ’作A ’C ⊥BN 的延长线于C ．易知A ’M ＝AM ＝NC ＝5m ，BC ＝9m ，A ’C ＝MN ＝12m ，在Rt △A ’BC 中，A ’B ＝15m ，即PA ＋PB 的最小值是15m ．例2：如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，且AE = 2，求EM+EC 的最小值解：点C 关于直线AD 的对称点是点B ，连接BE ，交AD 于点M ，则ME+MD 最小， 过点B 作BH ⊥AC 于点H ，则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = BC 2 - CH 2 = 62 - 32 = 3 3在直角△BHE 中，BE = BH 2 + HE 2 = (33)2 + 12 = 27DB CD CBP E D C B A E D C B AA （3对应练习题1．如图，在△ABC 中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC+ED 的最小值是 。
“线段最值”系列之（2）——将军饮马问题及变式
“线段最值”系列之（2）——将军饮马问题及变式唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:"白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河"诗中隐含着一个有趣的数学问题.这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦，一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题.如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营，请问怎样走才能使总的路程最短?这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它，从此，这个被称为"将军饮马"的问题广泛流传.将此实际问题抽象成以下数学问题问题1：如图1，在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.简析：如图2，作出定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与定直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB最小，且最小值等于AC.解决这个的主要思想是：“对称转化”，即通过作其中一个定点关于定直线的对称定点，转化两点之间的距离最值，再结合本质原理“两点之间，线段最短”.二、模型变形变式1（异侧型）：问题2：如图3，已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定（长度为d）,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。
简析：如图4，过点A作平行于直线m的线段AC使AC=d，连接BC交直线m于一点即为点Q，过点A作CQ的平行线交直线m于点P；因为线段PQ长度恒定，所以PA+PQ+QB最小值就转化为PA+QB的值最小，由平行四边形性质可知PA=CQ，所以PA+QB就转化为CQ+QB的最小值，结合“两点之间线段最短”即可解释.上面对于问题2的解决，主要思想是“平移转化”！变式2（同侧型）：问题3：如图5，已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定（长度为d）,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小.简析：如图6，过点A作平行于直线m的线段AC使AC=d，作点B关于直线m的对称点B’，连接B’C交直线m于一点即为点Q，过点A作CQ的平行线交直线m于点P；因为线段PQ长度恒定，所以PA+PQ+QB最小值就转化为PA+QB的值最小，由平行四边形性质和对称性质可知PA=CQ、BQ=BQ’，所以PA+QB就转化为CQ+QB’的最小值，结合“两点之间线段最短”即可解释.上面对于问题3的解决，主要思想是“对称转化”和“平移转化”！变式3（过河问题）：问题4：如图7，已知A、B是两个定点，两条平行直线l与m之间的距离为定值d，在定直线l上找一动点M，在定直线m上找一动点N，且MN始终垂直于定直线l（或m），使AM+MN+NB最小.简析：如图8，主要思想是平移转化，同学们请自行尝试解释.初中阶段所学过的具有轴对称特征的图形均可作为“将军饮马”问题的背景，关键是找到“那条河”，然后利用对称转化、平移转化等思想就可轻松解决问题，下面让我们进入实战演练.三、实战演练例1.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为．简析：第一步：作图，此图为饮马模型，找到“那条河”了吗？只不过它斜着的，即为AC，因此只要作出点B或点E关于AC的对称点，再利用两点之间线段最短就可解释.因为正方形为轴对称图形，AC 就是对称轴之一，所以点B关于AC的对称点就是点D，连接DE与AC交于点Q即为所求；第二步：计算，利用勾股定理易得△BEQ周长的最小值为6.例2.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点（E点在F点左边），且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.简析：（1）第一步：作图.这是典型的“饮马问题模型”，首先找到“那条河”，再利用对称转化即可解决.如图，可以作点D关于轴的对称点D'，连接CD'与x轴交于点E，此时△CDE的周长是最小的.这样，你只需求出的长，就可以确定点E的坐标了.第二步：计算.利用一次函数或相似均可求解，点E的坐标为（1,0）.第一步：作图，此问题为饮马问题变式2，利用“平移转化”和“对称转化”解决问题.如图11，取CG=2，作点D关于x轴的对称点D’，连接GD’，交x轴于一点即为点E，再过点C作GD’的平行线交x轴于一点即为点F；第二步：计算，同上亦可采用函数法和相似法求解，解得E、F点坐标分别为（三分之一，0）、（三分之七，0）.四、配套练习1．如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为．2.如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD 上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，EM+CM的最小值为____________.3.如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°,N是弧MB的中点,P是直径AB上的一动点，若MN=1，则△PMN周长的最小值为__________.4.如图，在菱形中ABCD，AB=6，∠ABC=60度，点M、N分别在AB、AD边上，AM=AN=2，P是对角线BD上的动点，则PM+PN 的最小值是 .4.如图，在菱形中ABCD，AB=6，∠ABC=60度，点M、N分别在AB、AD边上，AM=AN=2，P是对角线BD上的动点，则PM+PN 的最小值是 .6.如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=3.动点P满足S矩形ABCD=3S△PAB.则PA+PB最小值为____.。
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讲“将军饮马”型最值问题
例 1 （中考题 - 改编）如图，已知点 A（-4 ，8）和点 B（2 ，n ）在抛物线y ax2上.
（ 1 ）求 a 的值；
（2）在 x 轴上找一点 Q，使得 AQ+BQ 最短，求出点 Q 的坐标；
（3 ）平移抛物线，记平移后 A 的对应点为A，点 B 的对应点为B ，当抛物线向左平移到某个位置时，AC CB 最短，求此时抛物线的函数解析式
例 2 如图，抛物线y 3x2 18x 3和 y 轴的交点为 A，M 为OA 的中点，若有一动点 P，自 M 点处出发，55 沿直线运动到 x 轴上的某点（设为点 E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后又沿直
例 3 （2017 花都一模 16 题）如图，四边形 ABCD 中，∠ BAD=120 °，∠ B= ∠ D=90 °，在 BC、CD 上分别找一点 M、N，使△ AMN 周长最小时，则∠ AMN+ ∠ANM 的度数为 .
例 4 如图，∠ MON=20 °， A 为射线 OM 上一点， OA=4 ， D 为射线 ON 上一点， OD=8 ， C 为射线 AM 上线运动到点 A ，求使点 P 运动的总路程最短的点 E，点 F 的坐标，并求出这个最短路程的长 .
任意一点， B 是线段 OD 上任意一点，那么折线 ABCD 的长 AB+BC+CD 的最小值是 .
例 5 如图，在平面直角坐标系中， Rt △ OAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为（ 3 ，3 ），1
点 C的坐标为（，0），点 P 为斜边 OB 上的一动点，则 PA＋PC 的最小值为 __________ ．
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例 6 已知，如图，二次函数y ax2 2ax 3a a 0 图象的顶点为 H ，与 x 轴交于 A ，B 两点(B 在 A 点右3侧 ) ，点 H 、 B 关于直线l : y3x3 对称．
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(1)A 坐标为； B 坐标为；H 坐标为；
(2) 求二次函数解析式；
(3) 过点 B 作直线 BK∥AH 交直线l 于K 点， M、N 分别为直线 AH 和直线l上的两个动点，连接 HN、NM 、 MK ，求 HN+NM+MK 和的最小值．
例 7 如图，地上放着一个长、宽、高分别为 50cm 、40cm 、 30cm
的箱子，位于角 A 处的一只蚂蚁发现了位于角 B 处的一只苍蝇，问：蚂蚁沿着箱面怎样爬才能使它到 B 处的路程最短，最短路程是多少？（结果精确到 0.01cm ）
例 8 如图所示，已知一个圆柱体杯子高为18
6 ，直径为18，点 O 是 CD 的中点，一只蚂蚁在 A 处（杯子外面），想吃到杯子内部点 O 处的糖，当 P 在何处即 PC= 时，蚂蚁爬行的路程最短．
例 9 圆锥的底面半径为 1 ，母线长为 3 ，一只蚂蚁从底面圆周上的点 B 出发沿圆锥侧面爬到过母线 AB 的轴截面上另一母线 AC 的中点 D ．问蚂蚁沿怎样的路线爬行，使路程最短？最短的路程是多少？
【巩固练习】
1. 已知点 A（1，1）和点 B（3 ， 2 ），在直线 y=-x 上有一个点 P，满足 PA+PB 最小，则 PA+PB 的最小值是 .
建在
公路 l 的何位置，可使邮递员走的路程最短？
2. 如图，长方体的长、宽、高分别为 8 、4 、5 ，一只蚂蚁沿长方体表面从顶点 A 爬到顶点 B ，则它走过的路程最短为 .
4.八（二）班举行元旦文艺晚会，桌子摆成两条直线（如图中所示的A O ，BO ），AO 桌面上摆满了桔子， OB
桌面上摆满了糖果，坐在 C 处的小花先拿桔子再拿糖果，然后送给 D 处的小红，最后回到 C 处．请你帮助她设计一条行走路线，使其所走的总路程最短（尺规作图，并写出作法，不需说明理由）
5.如图：有一圆锥形粮仓，其轴截面是边长为 6m 的正三角形 ABC ，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上点 B 出发，
沿着圆锥的侧面爬行到达母线 AC 的中点 P ，则蚂蚁爬行的最短路程是 .
6. 如图，在边长为 2cm 的正方形 ABCD 中，点 Q 为 BC 边的中点，点 P 为对角线 AC 上一动点，连接
PB 、 PQ ，则△PBQ 周长的最小值为cm（结果不取近似值） .
7. 已知点 A 是半圆上的一个三等分点，点 B 是弧 AN 的中点，点 P 是半径 ON 上的动点，若⊙ O 的半径长为 1 ，则 AP+BP 的最小值为 ________
8. 如图所示，有一圆柱体高为 10cm ，底面圆的半径为 4cm ， AA 1， BB 1为相对的两条母线，在 AA 1上有 只蜘蛛在 Q 点， QA=3cm ；在BB 1上有一只苍蝇在 P 点， PB 1 =2cm ，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到 P 点吃苍蝇， 最短的路径是 cm. （结果用带和根号的式子表示）
9. 已知直线 l 为 x+y=8 ，点 P （x ，y ）在 l 上，点 A 的坐标为（ 6 ， 0 ）．在直线 l 上有一点 P ，使 OP+PA 的 和最小，求点 M 的坐标．
10. （2018 越秀八下期末 16 题）如图，在边长为 2 的等边三角形中， D 是BC
的中点，点
E
在线段 AD 上， 连接 BE ，在 BE 的下方作等边△ BEF ，连接 DF.当△ BDF 的周长最小时，∠ DBF 的度数是 .
11. 如图，∠ AOB= α，P 在∠AOB 内， OP=2 ，M 和 N 分别为 OA ，OB 上一动点，当 △PMN 的周长为最小 值 2 时， α= .
使用日期： 2020 年 月 日 2020 中考 数学 培优压轴题训练
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41 1 12. 如图，在平面直角坐标系中，直线 x=4 与 y= x+b 的图象交于点 A （4 ， ），直线 y=- x+4 与直 3
3 2 线 y= x+b 交于点 B ，与 x 轴交于点 C ．
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（ 1 ）求点 B 的坐标；
1 （2）直线 l ：y=- x+4 与 y 轴交于点 D ，在直线 x=4 上是否存在点 P 使得△PDC 是等腰直角三角形？若存 2
在，请直接写出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由．
（3 ）在平面直角坐标系中，点 Q 从点 B 出发沿适当路径运动到直线 x=4 上的点 M ，然后再沿适当路径运动到 y 轴上的点 N ，最后再沿适当路径运动到点 C ．当 Q 点的运动路径最小时，求点 M ，N 的坐标及运动路径的最 小值；。