2020中考将军饮马+变式最值

讲“将军饮马”型最值问题

例 1 （中考题 - 改编）如图，已知点 A（-4 ，8）和点 B（2 ，n ）在抛物线y ax2上.

（ 1 ）求 a 的值；

（2）在 x 轴上找一点 Q，使得 AQ+BQ 最短，求出点 Q 的坐标；

（3 ）平移抛物线，记平移后 A 的对应点为A，点 B 的对应点为B ，当抛物线向左平移到某个位置时，AC CB 最短，求此时抛物线的函数解析式

例 2 如图，抛物线y 3x2 18x 3和 y 轴的交点为 A，M 为OA 的中点，若有一动点 P，自 M 点处出发，55 沿直线运动到 x 轴上的某点（设为点 E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后又沿直

例 3 （2017 花都一模 16 题）如图，四边形 ABCD 中，∠ BAD=120 °，∠ B= ∠ D=90 °，在 BC、CD 上分别找一点 M、N，使△ AMN 周长最小时，则∠ AMN+ ∠ANM 的度数为 .

例 4 如图，∠ MON=20 °， A 为射线 OM 上一点， OA=4 ， D 为射线 ON 上一点， OD=8 ， C 为射线 AM 上线运动到点 A ，求使点 P 运动的总路程最短的点 E，点 F 的坐标，并求出这个最短路程的长 .

任意一点， B 是线段 OD 上任意一点，那么折线 ABCD 的长 AB+BC+CD 的最小值是 .

例 5 如图，在平面直角坐标系中， Rt △ OAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为（ 3 ，3 ），1

点 C的坐标为（，0），点 P 为斜边 OB 上的一动点，则 PA＋PC 的最小值为 __________ ．

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例 6 已知，如图，二次函数y ax2 2ax 3a a 0 图象的顶点为 H ，与 x 轴交于 A ，B 两点(B 在 A 点右3侧 ) ，点 H 、 B 关于直线l : y3x3 对称．

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(1)A 坐标为； B 坐标为；H 坐标为；

(2) 求二次函数解析式；

(3) 过点 B 作直线 BK∥AH 交直线l 于K 点， M、N 分别为直线 AH 和直线l上的两个动点，连接 HN、NM 、 MK ，求 HN+NM+MK 和的最小值．

例 7 如图，地上放着一个长、宽、高分别为 50cm 、40cm 、 30cm

的箱子，位于角 A 处的一只蚂蚁发现了位于角 B 处的一只苍蝇，问：蚂蚁沿着箱面怎样爬才能使它到 B 处的路程最短，最短路程是多少？（结果精确到 0.01cm ）

例 8 如图所示，已知一个圆柱体杯子高为18

6 ，直径为18，点 O 是 CD 的中点，一只蚂蚁在 A 处（杯子外面），想吃到杯子内部点 O 处的糖，当 P 在何处即 PC= 时，蚂蚁爬行的路程最短．

例 9 圆锥的底面半径为 1 ，母线长为 3 ，一只蚂蚁从底面圆周上的点 B 出发沿圆锥侧面爬到过母线 AB 的轴截面上另一母线 AC 的中点 D ．问蚂蚁沿怎样的路线爬行，使路程最短？最短的路程是多少？

【巩固练习】

1. 已知点 A（1，1）和点 B（3 ， 2 ），在直线 y=-x 上有一个点 P，满足 PA+PB 最小，则 PA+PB 的最小值是 .

建在

公路 l 的何位置，可使邮递员走的路程最短？

2. 如图，长方体的长、宽、高分别为 8 、4 、5 ，一只蚂蚁沿长方体表面从顶点 A 爬到顶点 B ，则它走过的路程最短为 .

4.八（二）班举行元旦文艺晚会，桌子摆成两条直线（如图中所示的A O ，BO ），AO 桌面上摆满了桔子， OB

桌面上摆满了糖果，坐在 C 处的小花先拿桔子再拿糖果，然后送给 D 处的小红，最后回到 C 处．请你帮助她设计一条行走路线，使其所走的总路程最短（尺规作图，并写出作法，不需说明理由）

5.如图：有一圆锥形粮仓，其轴截面是边长为 6m 的正三角形 ABC ，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上点 B 出发，

沿着圆锥的侧面爬行到达母线 AC 的中点 P ，则蚂蚁爬行的最短路程是 .

6. 如图，在边长为 2cm 的正方形 ABCD 中，点 Q 为 BC 边的中点，点 P 为对角线 AC 上一动点，连接

PB 、 PQ ，则△PBQ 周长的最小值为cm（结果不取近似值） .

7. 已知点 A 是半圆上的一个三等分点，点 B 是弧 AN 的中点，点 P 是半径 ON 上的动点，若⊙ O 的半径长为 1 ，则 AP+BP 的最小值为 ________

8. 如图所示，有一圆柱体高为 10cm ，底面圆的半径为 4cm ， AA 1， BB 1为相对的两条母线，在 AA 1上有 只蜘蛛在 Q 点， QA=3cm ；在BB 1上有一只苍蝇在 P 点， PB 1 =2cm ，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到 P 点吃苍蝇， 最短的路径是 cm. （结果用带和根号的式子表示）

9. 已知直线 l 为 x+y=8 ，点 P （x ，y ）在 l 上，点 A 的坐标为（ 6 ， 0 ）．在直线 l 上有一点 P ，使 OP+PA 的 和最小，求点 M 的坐标．

10. （2018 越秀八下期末 16 题）如图，在边长为 2 的等边三角形中， D 是BC

的中点，点

E

在线段 AD 上， 连接 BE ，在 BE 的下方作等边△ BEF ，连接 DF.当△ BDF 的周长最小时，∠ DBF 的度数是 .

11. 如图，∠ AOB= α，P 在∠AOB 内， OP=2 ，M 和 N 分别为 OA ，OB 上一动点，当 △PMN 的周长为最小 值 2 时， α= .

使用日期： 2020 年 月 日 2020 中考 数学 培优压轴题训练

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41 1 12. 如图，在平面直角坐标系中，直线 x=4 与 y= x+b 的图象交于点 A （4 ， ），直线 y=- x+4 与直 3

3 2 线 y= x+b 交于点 B ，与 x 轴交于点 C ．

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（ 1 ）求点 B 的坐标；

1 （2）直线 l ：y=- x+4 与 y 轴交于点 D ，在直线 x=4 上是否存在点 P 使得△PDC 是等腰直角三角形？若存 2

在，请直接写出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由．

（3 ）在平面直角坐标系中，点 Q 从点 B 出发沿适当路径运动到直线 x=4 上的点 M ，然后再沿适当路径运动到 y 轴上的点 N ，最后再沿适当路径运动到点 C ．当 Q 点的运动路径最小时，求点 M ，N 的坐标及运动路径的最 小值；