走向高考高考一轮总复习人教A版数学阶段性测试题十二

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2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学12-2

人教
A
版
5 答案： 5
第12章第二节
高考数学总复习
参数方程与普通方程的互化
[例 3]
x＝cosα， y＝1＋sinα
(2010· 陕西理，15)已知圆 C 的参数方程为 (α 为参数)，以原点为极点、x 轴正半轴为极
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轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρsinθ＝1，则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为____________．分析：将参数方程化为普通方程，将极坐标方程化为直角坐标方程，则不难求出直线与圆的交点．
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方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝φ(t)〔或x＝f(t)〕．
第12章
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第12章
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平面直角坐标系中的伸缩变换
1 x′＝ x 2 后，对应曲线 [例 1] 曲线 C 经过伸缩变换 y′＝3y 的方程为 x2＋y2＝1，则曲线 C 的方程为________．
第二节
高考数学总复习
解析：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为 x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，直线方程为 3x＋4y＋a |3×1＋4×0＋a| ＝0，又圆与直线相切，所以＝1，解得 a 2 2 3 ＋4 ＝2 或 a＝－8.
答案：2 或－8
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第12章第二节人教
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第12章
第二节
高考数学总复习
(2)空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之 x＝rsinφcosθ 间的变换关系为y＝rsinφsinθ z＝rcosφ

人教A版高考数学一轮总复习单元检测卷全套全册

单元质检卷一集合、常用逻辑用语及不等式(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.(2019四川成都二模,1)设全集U=R,集合A={x|-1<x<3},B={x|x≤-2或x≥1},则A∩(∁U B)=() A.{x|-1<x<1} B.{x|-2<x<3}C.{x|-2≤x<3}D.{x|x≤-2或x>-1}2.已知不等式ax2-5x+b>0的解集为x x<-或x>,则不等式bx2-5x+a>0的解集为() A.B.C.{x|-3<x<2}D.{x|x<-3或x>2}3.已知x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则()A. p:∃x0∈A,2x0∈BB. p:∃x0∉A,2x0∈BC. p:∃x0∈A,2x0∉BD. p:∀x∉A,2x∉B4.(2019湖南株洲质检二)已知命题p:∀x>0,e x>x+1,命题q:∃x∈(0,+∞),ln x≥x,则下列命题正确的是() A.p∧q B.( p)∧qC.p∧( q)D.( p)∧( q)5.(2019浙江,5)设a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.(2019江西南昌二模)设正实数x,y满足x>,y>2,不等式≥m恒成立,则m的最大值为()A.2B.4C.8D.16二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2019山东济南历下区检测)若2<a<5,3<b<10,则t=的取值范围为.8.已知函数f(x)=log a(x+3)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+4=0上,其中mn>0,则的最小值为.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)已知正数x,y满足x+y=1.(1)求xy的最大值;(2)求的最小值.10.(15分)已知集合A={x|x2-(2a-2)x+a2-2a≤0},B={x|x2-5x+4≤0}.(1)若A∩B=⌀,求a的取值范围;(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求a的取值范围.11.(15分)已知平面区域D由以P(1,2),R(3,5),Q(-3,4)为顶点的三角形内部和边界组成.(1)写出表示区域D的不等式组;(2)设点(x,y)在区域D内变动,求目标函数z=2x+y的最小值;(3)若在区域D内有无穷多个点(x,y)可使目标函数z=mx+y(m<0)取得最小值,求m的值.参考答案单元质检卷一集合、常用逻辑用语及不等式(A)1.A∵∁U B={x|-2<x<1};∴A∩(∁U B)={x|-1<x<1}.故选A.2.C由题意知a>0,且,-是方程ax2-5x+b=0的两根,解得∴bx2-5x+a=-5x2-5x+30>0,即x2+x-6<0,解得-3<x<2,故选C.3.C原命题的否定是∃x0∈A,2x0∉B.4.C令f(x)=e x-x-1,f'(x)=e x-1,x>0时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)>f(0)=0,∴e x>x+1,p真;令g(x)=ln x-x,g'(x)=-1=,x∈(0,1),g'(x)>0;x∈(1,+∞),g'(x)<0,∴g(x)max=g(1)=-1<0,所以g(x)<0,即ln x<x在(0,+∞)上恒成立,q假;故选C.5.A当a>0,b>0时,a+b≥2,若a+b≤4,则2a+b≤4,所以ab≤4,充分性成立;当a=1,b=4时,满足ab≤4,但此时a+b=5>4,必要性不成立.综上所述,“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.故选A.6.D设y-2=a,3x-2=b(a>0,b>0),=8≥16,当且仅当a=b=2,即x=,y=4时取等号.故选D.7.t<t<2<a<5,3<b<10表示的可行域如图,则t=的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率,显然OA的斜率是最大值,OB的斜率是最小值,由题意可知A(3,5),B(10,2).k OA=,k OB=,因为AB不是可行域内的点,所以t=的取值范围为t<t<.答案为t<t<.8由f(x)=log a(x+3)-1知,f(x)过定点A(-2,-1).因为点A在直线mx+ny+4=0上,所以2m+n=4.又mn>0,所以m>0,n>0,所以==+2,当且仅当,即m=,n=3时取等号,所以的最小值为9.解(1)已知x,y均为正数,所以xy≤2=,当且仅当x=y=时,等号成立.(2)=3+3+2=3+2,当且仅当,即x=-1,y=2-时,等号成立;故的最小值为3+210.解A={x|x2-(2a-2)x+a2-2a≤0}={x|a-2≤x≤a},B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}.(1)∵A∩B=⌀,a-2>4或a<1,即a>6或a<1.∴a的取值范围是(-∞,1)∪(6,+∞);(2)∵“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,∴A⫋B,则解得3≤a≤4.∴a的取值范围是[3,4].11.解(1)首先求三直线PQ、QR、RP的方程.易得直线PQ的方程为x+2y-5=0;直线QR的方程为x-6y+27=0;直线RP的方程为3x-2y+1=0.注意到△PQR内任一点(x,y)应在直线RP、PQ的上方,而在QR的下方,故应有(2)由已知得直线y=-2x+z,z取最小值时,此直线的纵截距最小.作直线l:2x+y=0,将直线l沿区域D平行移动,过点Q时z有最小值,所以z min=-2.(3)直线z=mx+y(m<0)的斜率为-m,结合可行域可知,直线z=mx+y(m<0)与直线PR重合时,线段PR上任意一点都可使z=mx+y(m<0)取得最小值,又k PR=,因此,-m=,即m=-单元质检卷一集合、常用逻辑用语及不等式(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.(2019湖南六校联考,2)已知集合A=,则∁R A=()A.[-3,1)B.(-∞,-3)∪[1,+∞)C.(-3,1)D.(-∞,-3]∪(1,+∞)2.下列各函数中,最小值为2的是()A.y=x+B.y=sin x+,x∈0,C.y=D.y=x+-3,x>13.(2019江西临川一中模拟)已知命题p:∀x∈R,x2-2ax+1>0;命题q:∃x∈R,ax2+2≤0.若p ∨q为假命题,则实数a的取值范围是()A.[1,+∞)B.(-∞,-1]C.(-∞,-2]D.[-1,1]4.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B,不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,则a+b等于()A.-3B.1C.-1D.35.(2019天津,3)设x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.(2019安徽六安质检)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上两人所得与下三人等.问各得几何?”其意思是:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,戊所得为()A.钱B.钱C.钱D.钱二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.实数x,y满足不等式组则z=|4-x-2y|的最大值为.8.已知命题p:方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根;命题q:方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根,且p∨q为真命题,p∧q为假命题,则实数m的取值范围是.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)已知命题p:“∀x∈[-1,1],不等式x2-x-m<0成立”是真命题.(1)求实数m的取值范围;(2)若q:-4<m-a<4是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围.10.(15分)已知变量x,y满足约束条件(1)画出上述不等式组所表示的平面区域;(2)求z=2x-y的最大值;(3)求z=(x+1)2+(y-4)2的最小值.11.(15分)已知函数f(x)=x2+2ax-b.(1)若b=8a2,求不等式f(x)≤0的解集;(2)若a>0,b>0,且f(b)=b2+b+a,求a+b的最小值.参考答案单元质检卷一集合、常用逻辑用语及不等式(B)1.B∵(x+3)(x-1)≤0且x≠1,∴A={x|-3≤x<1},∴∁R A=(-∞,-3)∪[1,+∞).2.D对于A,不能保证x>0.对于B,不能保证sin x=1;对于C,不能保证=1;对于D,∵x>1,∴y=x+-3=x-1+-2≥2-2=4-2=2,当且仅当x-1=,即x=3时等号成立,故选D.3.A∵p∨q为假命题,∴p,q均为假命题,若命题p为假命题,则Δ≥0,即4a2-4≥0,解得a≤-1,或a≥1;若命题q为假命题,则a≥0,∴实数a的取值范围是a≥1,故选A.4.A由题意得A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},所以A∩B={x|-1<x<2}.由根与系数的关系可知,a=-1,b=-2,则a+b=-3,故选A.5.B由x2-5x<0,得0<x<5.由|x-1|<1,得0<x<2.故“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的必要不充分条件.6.B由题意,可设甲、乙、丙、丁、戊五人分得的钱分别为a1,a2,a3,a4,a5.则a1,a2,a3,a4,a5成等差数列,设公差为d.a1+a2+a3+a4+a5=5,a1+a2=a3+a4+a5.整理上面两个算式,得,解得所以a5=a1+4d=+4×-=故选B.7.21实数x,y满足不等式组对应的平面区域如图所示.由图可知,阴影部分表示的是△ABC的三边及其内部部分.联立即C(3,1).联立得A(7,9).z=|4-x-2y|=|x+2y-4|,令a=x+2y-4得y=-x+2+,显然直线过A(7,9)时,a最大,此时a=21,直线过C(3,1)时,a最小,此时a=1,故z=|a|,故z的最大值是21.8.(-∞,-2]∪[-1,3)设方程x2+2mx+1=0的两根分别为x1,x2,由题意得得m<-1,故p为真时,m<-1.由方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根,可知Δ2=4(m-2)2-4(-3m+10)<0,得-2<m<3,故q为真时,-2<m<3.由p∨q为真命题,p∧q为假命题,可知命题p,q一真一假.当p真q假时,此时m≤-2;当p假q真时,此时-1≤m<3.故实数m的取值范围是(-∞,-2]∪[-1,3).9.解(1)由题意命题p:“∀x∈[-1,1],不等式x2-x-m<0成立”是真命题.所以m>x2-x在-1≤x≤1恒成立,即m>(x2-x)max,x∈(-1,1).因为x2-x=x-2-,所以-x2-x≤2,即m>2,所以实数m的取值范围是(2,+∞).(2)由p得,设A={m|m>2},由q得,设B={m|a-4<m<a+4},因为q:-4<m-a<4是p的充分不必要条件;所以q⇒p,但p q,∴B⫋A;所以a-4≥2,即a≥6,所以实数a的取值范围是[6,+∞).10.解(1)变量x,y满足约束条件的可行域如图:(2)直线z=2x-y经过B,那当x=2,y=4时z取最大值0.(3)由可行域可知,z=(x+1)2+(y-4)2,几何意义是可行域内的点与(-1,4)的距离的平方,显然是直线x=1与(-1,4)距离取得最小值,所以z=(x+1)2+(y-4)2的最小值4.11.解(1)因为b=8a2,所以f(x)=x2+2ax-8a2,由f(x)≤0,得x2+2ax-8a2≤0,即(x+4a)(x-2a)≤0,当a=0时,不等式f(x)≤0的解集为{x|x=0};当a>0时,不等式f(x)≤0的解集为{x|-4a≤x≤2a};当a<0时,不等式f(x)≤0的解集为{x|2a≤x≤-4a};综上所述,不等式f(x)≤0的解集为:当a=0时解集为{x|x=0},当a>0时解集为{x|-4a≤x≤2a},当a<0时,解集为{x|2a≤x≤-4a};(2)因为f(b)=b2+2ab-b,由已知f(b)=b2+b+a,可得2ab=a+2b.即=1,由a+b=(a+b)×1=(a+b)=1++2当且仅当a=b,即a=1+,b=时取等号.所以a+b的最小值为单元质检卷二函数(时间:100分钟满分:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.(2019山东日照三校一月联考,5)下列函数是偶函数且在(0,+∞)上为增函数的是()A.y=B.y=|ln x|C.y=x2+2|x|D.y=2-x2.若a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c3.函数f(x)=的图象大致为()4.(2019山东实验中学模拟,6)已知偶函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,且a=log 52,b=ln 2,c=-20.1,则f(a),f(b),f(c)满足()A.f(b)<f(a)<f(c)B.f(c)<f(a)<f(b)C.f(c)<f(b)<f(a)D.f(a)<f(b)<f(c)5.若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈恒成立,则a的最小值是()A.0B.-2C.-D.-36.已知函数f(x)=-sin x,则f(x)在[0,2π]上的零点个数为()A.1B.2C.3D.47.已知函数f(x)是偶函数,定义域为R,单调增区间为[0,+∞),且f(1)=0,则(x-1)f(x-1)≤0的解集为()A.[-2,0]B.[-1,1]C.(-∞,0]∪[1,2]D.(-∞,-1]∪[0,1]8.已知函数f(x)=|x|·e x(x≠0),其中e为自然对数的底数,关于x的方程f(x)+-λ=0有四个相异实根,则实数λ的取值范围是()A.0,B.(2,+∞)C.e+,+∞D.2e+,+∞二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.(山东高考模拟)函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,则()A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数C.f(x+3)为奇函数D.f(x+4)为偶函数10.若指数函数y=a x在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为,则a的值可能是()A.2B.C.3D.11.(2019江苏南京期中)在一次社会实践活动中,某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y(单位:千克)与时间x(单位:小时)的函数图象,则以下关于该产品生产状况的正确判断是()A.在前三小时内,每小时的产量逐步增加B.在前三小时内,每小时的产量逐步减少C.最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同D.最后两小时内,该车间没有生产该产品12.(2019山东黄岛期中)已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,且满足以下条件:①∀x∈R,f(-x)=f(x);②∀x1,x2∈(0,+∞),当x1≠x2时,都有>0;③f(-1)=0.则下列选项成立的是()A.f(3)>f(-4)B.若f(m-1)<f(2),则m∈(-∞,3)C.若>0,则x∈(-1,0)∪(1,+∞)D.∀x∈R,∃M∈R,使得f(x)≥M三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2019浙江宁波期中)已知函数f(x)=则f(f(-2))=;若f(a)=2,则实数a=.14.若函数f(x)=log a(x+5)+1(a>0且a≠1),图象恒过定点P(m,n),则m+n=;函数g(x)=ln(x2+m)的单调递增区间为.15.(2019广东广雅中学模拟)对于函数f(x),如果存在x0≠0,使得f(x0)=-f(-x0),则称(x0,f(x0))与(-x0,f(-x0))为函数图象的一组奇对称点.若f(x)=e x-a(e为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点,则实数a的取值范围是.16.(2019湖北黄冈中学模拟)某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形ABCD,腰与底边夹角为60°(如图),考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面面积为9平方米,且高度不低于米.记防洪堤横断面的腰长为x米,外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米,则其腰长x的取值范围为.四、解答题(本大题共5小题,共70分)17.(14分)(2019上海徐汇区一模)已知函数f(x)=,其中a∈R.(1)解关于x的不等式:f(x)≤-1;(2)求a的取值范围,使f(x)在区间(0,+∞)上是单调减函数.18.(14分)某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”,规则如下:①3小时以内(含3小时)为健康时间,玩家在这段时间内获得的累积经验值E(单位:exp)与游玩时间t(小时)满足关系式:E=t2+20t+16a;②3到5小时(含5小时)为疲劳时间,玩家在这段时间内获得的经验值为0(即累积经验值不变);③超过5小时为不健康时间,累积经验值开始损失,损失的经验值与不健康时间成正比例关系,比例系数为50.(1)当a=1时,写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式E=f(t),并求出游玩6小时的累积经验值;(2)该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”,记作H(t);若a>0,且该游戏厂商希望在健康时间内,这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24,求实数a的取值范围.19.(14分)国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30或30以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数75为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元.(1)写出飞机票的价格关于人数的函数;(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?20.(14分)已知二次函数y=f(x)在x=处取得最小值-(t≠0),且f(1)=0.(1)求y=f(x)的表达式;(2)若函数y=f(x)在区间上的最小值为-5,求此时t的值.21.(14分)已知函数f(x)=lg,其中x>0,a>0.(1)求函数f(x)的定义域;(2)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.参考答案单元质检卷二函数1.C A选项:当x>0时,y=,此时函数单调递减,故A错误;B选项:函数定义域为(0,+∞),故函数为非奇非偶函数,故B错误;C选项:(-x)2+2|-x|=x2+2|x|,函数为偶函数;当x>0时,y=x2+2x,此时x2和2x均为增函数,所以整体为增函数,故C正确;D选项:y=2-x=为非奇非偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,故D错误.2.D∵y=(x>0)是增函数,∴a=>b=∵y=x是减函数,∴a=<c=,∴b<a<c.3.D根据题干中的表达式得|x|≠2,故f(x)为偶函数,排除A,B,图中必有渐近线x=2或x=-2,当x从x轴正方向趋向于2时,分母趋向于0,分子趋向于4,整个分式趋向于+∞,故排除C,故选D.4.D∵0<a=log52<log5,1>b=ln2>ln,∴f(a)<f(b)<f(1),又f(c)=f(-20.1)=f(20.1)>f(1),∴f(a)<f(b)<f(c),故选D.5.C x2+ax+1≥0ax≥-(x2+1)⇔a≥-,∵函数f(x)=x+在(0,1)上是减函数,∴当x时,f(x)≥f+2=,=-,即a≥-,a的最小值是-6.B函数f(x)=-sin x在[0,2π]上的零点个数为函数y=的图象与函数y=sin x的图象在[0,2π]上的交点个数.在同一坐标系内画出两个函数的部分图象如图所示,由图象可知,两个函数的图象在区间[0,2π]上有两个不同的交点,故选B.7.C由题意可知,函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,且f(-1)=0,令x-1=t,则tf(t)≤0.∴当t≥0时,f(t)≤0,0≤t≤1;当t<0,f(t)≥0,t≤-1,∴0≤x-1≤1或x-1≤-1.∴x≤0或1≤x≤2.故选C.8.D f(x)=|x|·e x=当x>0时,由f(x)=x·e x,得f'(x)=e x+x·e x=e x(x+1)>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数;当x<0时,由f(x)=-x·e x,得f'(x)=-e x-x·e x=-e x(x+1).当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0;当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,∴当x=-1时,函数f(x)取得极大值为f(-1)=作出函数f(x)=|x|·e x(x≠0)的图象的大致形状如图所示.令f(x)=t,则方程f(x)+-λ=0化为t+-λ=0,即t2-λt+2=0, 要使关于x的方程f(x)+-λ=0有四个相异实根,则方程t2-λt+2=0的两根一个在0,上,一个在,+∞上.则+2<0,解得λ>2e+∴实数λ的取值范围是2e+,+∞.故选D.9.ABC∵f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,∴f(-x+1)=-f(x+1),①f(-x+2)=-f(x+2),②∴由①可得f[-(x+1)+1]=-f(x+1+1),即f(-x)=-f(x+2),③∴由②③得f(-x)=f(-x+2),即f(x)的周期为2,∴f(x)=f(x+2),则f(x)为奇函数,∴f(x+1)=f(x+3),则f(x+3)为奇函数,故选ABC.10.AB指数函数y=a x在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为,当a>1时,可得y min=,y max=a,那么+a=,解得a=2,当0<a<1时,可得y max=,y min=a,那么+a=,解得a=,故a的值可能是或2.故选AB.11.BD由该车间5小时某种产品的总产量y(千克)与时间x(小时)的函数图象,得:前三小时内,每小时的产量逐步减少,故①错误,②正确;最后两小时均没有生产,故③错误,④正确.故选BD.12.CD定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,且满足以下条件:①∀x∈R,f(-x)=f(x),说明函数是偶函数;②∀x1,x2∈(0,+∞),当x1≠x2时,都有>0,说明函数在(0,+∞)是增函数;③f(-1)=0.所以f(3)<f(4)=f(-4)成立,所以A不正确;若f(m-1)<f(2),可得|m-1|<2,则m∈(-1,3),所以B不正确;由题意y=是奇函数,若>0,又f(-1)=0,可得x∈(-1,0)∪(1,+∞),所以C正确;因为函数是连续函数,又是偶函数,在x>0时是增函数,所以∀x∈R,∃M∈R,使得f(x)≥M,正确;故选CD.13-2或4∵函数f(x)=f(-2)=|-2|=2,f(f(-2))=f(2)=;∵f(a)=2,∴当a≤0时,f(a)=|a|=2,解得a=-2;当a>0时,f(a)==2,解得a=4.综上,实数a的值为-2或4.14.-3(2,+∞)当x+5=1时,即x=-4,不论a为什么使函数有意义的数,函数值都为1,即恒过(-4,1),∴m=-4,n=1,∴m+n=-3;∴函数g(x)=ln(x2-4),定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),令u(x)=x2-4,u(x)>0,递增区间为(2,+∞),g(u)=ln u在定义域内为增函数,复合函数g(u(x))根据同增异减性质,函数g(x)递增区间为(2,+∞).15.(1,+∞)依题意,知f(x)=-f(-x)有非零解,由f(x)=-f(-x)得e x-a=-(e-x-a),即a=e x+>1(x≠0),所以当f(x)=e x-a存在奇对称点时,实数a的取值范围是(1,+∞). 16.[3,4]根据题意知9(AD+BC)h,其中AD=BC+2=BC+x,h=x,所以9(2BC+x)x,得BC=,由得2≤x<6.所以y=BC+2x=(2≤x<6),由y=10.5,解得3≤x≤4.因为[3,4]⊆[2,6),所以腰长x 的取值范围为[3,4].17.解(1)不等式f(x)≤-1即为-10.当a<-1时,不等式解集为(-∞,-2)∪[0,+∞);当a=-1时,不等式解集为(-∞,-2)∪(-2,+∞);当a>-1时,不等式解集为(-2,0].(2)任取0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=,∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1+2>0,x2+2>0,∴要使f(x)在(0,+∞)上单调递减,即f(x1)-f(x2)>0,只要a+1<0,即a<-1,故当a<-1时,f(x)在区间(0,+∞)上是单调减函数.18.解(1)E=f(t)=t=6时,E(6)=35.(2)0<t≤3时,H(t)=t++20,H(t)≥24⇒t+4,由0<t≤3,得a≥-t2+t=-(t-2)2+所以a∈,+∞.19.解(1)设每团人数为x,由题意得0<x≤75(x∈N*),飞机票价格为y元,则y=即y=(2)设旅行社获利S元,则S=即S=因为S=900x-15000在区间(0,30]上为增函数,故当x=30时,S取最大值12000.又S=-10(x-60)2+21000,x∈(30,75],所以当x=60时,S取得最大值21000.故当x=60时,旅行社可获得最大利润.20.解(1)设f(x)=a(a>0).因为f(1)=0,所以(a-1)=0.又因为t≠0,所以a=1,所以f(x)=(t≠0).(2)因为f(x)=(t≠0),所以当<-1,即t<-4时,f(x)在上的最小值f(x)min=f(-1)==-5,所以t=-;当-1,即-4≤t≤-1时,f(x)在上的最小值f(x)min=f=-=-5,所以t=±2(舍去);当,即t>-1时,f(x)在上的最小值f(x)min=f=-5,所以t=-(舍去).综上所述,t=-21.解(1)由x+-2>0,得>0.因为x>0,所以x2-2x+a>0.当a>1时,x2-2x+a>0恒成立,函数f(x)的定义域为(0,+∞);当a=1时,函数f(x)的定义域为{x|x>0,且x≠1};当0<a<1时,函数f(x)的定义域为{x|0<x<1-或x>1+}.(2)对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,即x+-2>1对x∈[2,+∞)恒成立,故a>3x-x2对x∈[2,+∞)恒成立.令h(x)=3x-x2,h(x)=3x-x2=-在[2,+∞)内是减函数,于是h(x)max=h(2)=2.故a>2,即a的取值范围是{a|a>2}.单元质检卷四三角函数、解三角形(A)(时间:45分钟满分:100分)一、单项选择题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)1.(2019山东日照质检)若点P(1,-2)是角α的终边上一点,则cos 2α=()A. B.-C. D.2.已知α∈R,sin α+2cos α=,则tan 2α=()A. B. C.- D.-3.(2019山东烟台一模)将函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的图象向右平移个单位长度后,所得图象关于y轴对称,且f=-,则当ω取最小值时,函数f(x)的解析式为()A.f(x)=sin2x+B.f(x)=sin2x-C.f(x)=sin4x+D.f(x)=sin4x-4.(2019上海宝山区校级月考)凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形,把四边形任何一边向两方延长,其他各边都在延长所得直线的同一旁,这样的四边形叫做凸四边形,如图,在凸四边形ABCD中,AB=1,BC=,AC⊥CD,AC=CD,当∠ABC变化时,对角线BD的最大值为() A.3 B.4C.+1D.二、多项选择题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)5.(2019广东中山期末)将函数f(x)=2sin x+-1的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象,则下列说法不正确的是()A.函数g(x)的图象关于点-,0对称B.函数g(x)的周期是C.函数g(x)在0,上单调递增D.函数g(x)在0,上最大值是16.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,下列结论正确的是()A.△ABC的边长可以组成等差数列B.>0C.D.若b+c=8,则△ABC的面积是三、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作,其中《方田》章给出的计算弧田面积的经验公式为弧田面积=(弦×矢+矢2),弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成,公式中“弦”指圆弧所对弦的长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有弧长为米,半径等于2米的弧田,则弧所对的弦AB的长是米,按照上述经验公式计算得到的弧田面积是平方米.8.(2019北京海淀区模拟)已知函数f(x)=a sin x-2cos x的一条对称轴为x=-,f(x1)+f(x2)=0,且函数f(x)在(x1,x2)上具有单调性,则|x1+x2|的最小值为.四、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2-cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈时,f(x)≥0.10.(15分)(2019浙江绍兴模拟)已知函数f(x)=sin x+sin x++sin x+,x∈R.(1)求f(2 019π)的值;(2)若f(α)=1,且0<α<π,求cos α的值.11.(15分)(2019广东揭阳二模)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,且a2=4S.(1)若C=60°,且b=1,求a边的值;(2)当=2+时,求∠A的大小.参考答案单元质检卷四三角函数、解三角形(A)1.B因为点P(1,-2)是角α的终边上一点,所以sinα==-所以cos2α=1-2sin2α=1-2×-2=-故选B.2.C∵sinα+2cosα=,∴sin2α+4sinα·cosα+4cos2α=用降幂公式化简得4sin2α=-3cos2α,∴tan2α==-故选C.3.C将函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的图象向右平移个单位长度后,可得y=sinωx-+φ的图象;∵所得图象关于y轴对称,∴-+φ=kπ+,k∈Z.∵f=-=sin(π+φ)=-sinφ,即sinφ=,|φ|<,φ=∴-=kπ+,k∈Z,得ω=-6k-2>0,k∈Z.则当ω取最小值时,取k=-1,可得ω=4,∴函数f(x)的解析式为f(x)=sin4x+.故选C.4.C设∠ABC=α,∠ACB=β,则AC2=AB2+BC2-2·AB·BC cosα=4-2cosα.由正弦定理得sinβ=所以由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2·BC·CD·cosβ+=3+4-2cosα+2=7+2 sinα-2cosα=7+2sinα-,故当α=时,取得最大值为+1.故选C.5.ABD将函数f(x)=2sin x+-1的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数g(x)=2sin2x+-1的图象,由于当x=-时,f(x)=-1,故函数g(x)的图象关于点-,-1对称,故A错误;函数g(x)的周期为=π,故B错误;在0,上,2x+,g(x)单调递增,故C正确;在0,上,2x+,g(x)的最大值趋向于1,故D错误.故选ABD.6.AD由已知可设b+c=4k,c+a=5k,a+b=6k(k>0),则a=k,b=k,c=k,∵a∶b∶c=7∶5∶3,∴2b=a+c,即△ABC的边长可以组成等差数列,故A正确;∴sin A∶sin B∶sin C=7∶5∶3,C错误;又cos A==-<0,∴△ABC为钝角三角形,=bc cos A<0,B错误;若b+c=8,则k=2,∴b=5,c=3,又A=120°,∴S△ABC=bc sin A=,D正确.故选AD.7.2由弧长为米,半径等于2米,可得圆心角为,∴OD=1米,则AB=2BD=2米;∴弧田面积S=(弦×矢十矢2)=[2(2-1)+(2-1)2]=8函数f(x)=a sin x-2cos x=sin(x+θ),其中tanθ=-, 函数f(x)的一条对称轴为x=-,可得f-=-a-2=-a-3,所以,解得a=2.∴θ=-;对称中心横坐标由x-=kπ(k∈Z),可得x=kπ+(k∈Z);又f(x1)+f(x2)=0,且函数f(x)在(x1,x2)上具有单调性,∴|x1+x2|=2kπ+,当k=0时,可得|x1+x2|=9.(1)解因为f(x)=sin2x+cos2x+sin2x-cos2x=1+sin2x-cos2x=sin2x-+1,所以函数f(x)的最小正周期为π.(2)证明由(1)可知,f(x)=sin2x-+1.当x时,2x-,sin,sin+1∈[0,+1].当2x-=-,即x=0时,f(x)取得最小值0.所以当x时,f(x)≥0.10.解(1)由题得f(x)=sin x+cos x+sin x+cos x=3sin x+,所以f(2019π)=3sin2019π+=3sinπ+=-3sin=-(2)由(1)知f(x)=3sin x+.由f(α)=1得sinα+=,又因为0<α<π,故<α<,所以cosα+=-,所以cosα=cosα+-=-11.解(1)由a2=4S,a2=4ab sin C,∴a=2b·sin C,∵C=60°且b=1,∴a=2=3.(2)当=2+时,=2-,∵a2=4S=b2+c2-2bc cos A,∴4bc sin A=b2+c2-2bc cos A,即2bc(sin A+cos A)=b2+c2,∴4sin A+==4,得sin A+=1.∵A∈(0,π),∴A+,则A+,得A=单元质检卷四三角函数、解三角形(B)(时间:45分钟满分:100分)一、单项选择题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)1.(2019广东珠海二模)已知tan α=-2,其中α为三角形内角,则cos α=()A.-B.C. D.-2.已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x,把函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把所得到的曲线向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的对称中心是()A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为()A.8B.9C.10D.74.如图,函数y=|tan x|cos x0≤x<,x≠的图象是()二、多项选择题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)5.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0<|φ|<π)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是()A.函数f(x)的图象关于直线x=对称B.函数f(x)的图象关于点-,0对称C.函数f(x)在区间-上单调递增D.函数y=1与y=f(x)-≤x≤的图象的所有交点的横坐标之和为6.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a=6,4sin B=5sin C,以下四个命题中正确命题有()A.满足条件的△ABC不可能是直角三角形B.当A=2C时,△ABC的周长为15C.当A=2C时,若O为△ABC的内心,则△AOB的面积为D.△ABC的面积的最大值为40三、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.已知△ABC是锐角三角形,a,b,c分别是A,B,C的对边.若A=2B,则(1)角B的取值范围是.(2)的取值范围是.8.已知实数a>0,若函数f(x)=a(sin x+cos x)-sin x cos x(x∈R)的最大值为,则a的值为.四、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2019重庆渝中区一模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2a cos C=b.(1)证明:A=C;(2)若B为钝角,△ABC的面积为a2,求.10.(15分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.(1)求sin B sin C;(2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长.11.(15分)(2019山东济南一中期末)已知向量a=cos x,sin x,b=cos,sin,且x∈-.(1)当x=时,求a·b及|a+b|的值;(2)若函数f(x)=a·b-2λ|a+b|的最小值是-1,求实数λ的值.参考答案单元质检卷四三角函数、解三角形(B)1.A∵tanα=-2<0,<α<π,则sinα=-2cosα,代入sin2α+cos2α=1得cos2α=,则cosα=-,故选A.2.C函数f(x)=sin2x+cos2x=sin由题意,得g(x)=sin x+=cos x,所以函数g(x)的对称中心是,k∈Z.3.B由题意得ac sin120°=a sin60°+c sin60°,即ac=a+c,得=1,得4a+c=(4a+c)=+5≥2+5=4+5=9,当且仅当,即c=2a时,取等号,故选B.4.C∵y=|tan x|cos x=∴函数y=|tan x|cos x0≤x<,x的图象是C.故选C.5.BCD由题图可知,A=2,,∴T==π,则ω=2,又2+φ=π,∴φ=,满足0<|φ|<π,则f(x)=2sin2x+.∵f=-1,∴f(x)的图象不关于直线x=对称;∵f-=0,∴f(x)的图象关于点-,0对称;由x∈-,得2x+-,则f(x)在区间-上单调递增;由f(x)=2sin2x+=1,得sin2x+=,∴2x++2kπ或2x++2kπ,k∈Z.取k=0,得x=0或;取k=1,得x=π或函数y=1与y=f(x)-x的图象的所有交点的横坐标之和为+π+6.BCD a=6,4sin B=5sin C即4b=5c,设b=5t,c=4t,由36+16t2=25t2,可得t=,满足条件的△ABC可能是直角三角形,故A错误;a=6,4sin B=5sin C,A=2C,可得B=π-3C,由正弦定理可得4b=5c,b=,由,sin C≠0,可得4cos2C-1=,解得cos C=,sin C=,可得sin A=2sin C cos C=,可得c=4,b=5,则a+b+c=15,故B正确;S△ABC=bc sin A=设△ABC的内切圆半径为R,则R=,S△AOB=cR=故C正确.以BC的中点为坐标原点,BC所在直线为x轴,可得B(-3,0),C(3,0),又4sin B=5sin C,可得4b=5c,设A(m,n),可得4=5,平方可得16(m2+n2-6m+9)=25(m2+n2+6m+9),即有m2+n2+m+9=0,化为m+2+n2=2,则A的轨迹为以-,0为圆心,半径为的圆,可得△ABC的面积的最大值为6=40,故D正确.7.(1)∵A=2B,A+B+C=π,∴C=π-3B,∵△ABC是锐角三角形,∴0<2B<且0<π-3B<,解得<B<(2)由正弦定理得,=2cos B,<B<,得<cos B<,即,令t=().=t+=g(t),则g(t)在t∈()上单调递增.∴g(t)∈的取值范围是.8设t=sin x+cos x=sin x+,则t∈[-],则t2=sin2x+cos2x+2sin x·cos x=1+2sin x·cos x,∴sin x cos x=∴g(t)=f(x)=a(sin x+cos x)-sin x cos x=at-=-t2+at+,对称轴方程为t=a>0,当0<a<时,g(t)max=g(a)=,解得a=2(舍);当a时,g(t)max=g()=-a=,解得a=a的值为9.(1)证明∵b=2a cos C,∴由正弦定理得sin B=2sin A cos C,∵B=π-(A+C),∴sin(A+C)=2sin A cos C,则sin A cos C+cos A sin C=2sin A cos C,sin A cos C-cos A sin C=0,即sin(A-C)=0,∵A,C∈(0,π),∴A-C∈(-π,π),则A-C=0,∴A=C.(2)解由(1)可得a=c,∵△ABC的面积为a2,ac sin B=a2,∴sin B=,∵sin B=,且B为钝角,<B<,<π-2A<,<A<,<sin A<,∴sin2A=sin(A+C)=sin B=,∵sin2A+cos2A=1,∴sin A=或sin A=(舍去).∴sin A=,10.解(1)由题设得ac sin B=,即c sin B=由正弦定理得sin C sin B=故sin B sin C=(2)由题设及(1)得cos B cos C-sin B sin C=-,即cos(B+C)=-所以B+C=,故A=由题设得bc sin A=,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=故△ABC的周长为3+11.解(1)因为向量a=cos x,sin x,b=cos,sin,所以a·b=cos x·cos+sin x·sin=cos x-x=cos x,|a+b|====2cos,当x=时,则a·b=cos|a+b|=2cos=2×cos(2)函数f(x)=a·b-2λ|a+b|=cos x-4λcos.由于x∈-,所以-,故f(x)=cos x-4λcos,cos,1,进而可得f(x)=2cos2-4λcos-1=2cos-λ2-2λ2-1.当1时,当且仅当cos=λ时,f(x)取得最小值,即f(x)min=-2λ2-1=-1,解得λ=0.不满足1,故舍去;当λ>1时,当且仅当cos=1时,f(x)取得最小值,即f(x)min=2-4λ-1=-1,解得λ=,不满足λ>1,故舍去;当λ<时,当且仅当cos时,f(x)取得最小值,即f(x)min=2-4λ-1=-1,解得λ=,满足λ<综上所述,λ=单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.(2019福建漳州质检二,1)=()A. B.C. D.2.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2=0,则有()A.=2B.C.=3D.23.(2019浙江嘉兴一中期中)已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(2m,m+1).若,则实数m的值为()A. B.- C.-3 D.-4.(2019安徽皖西南联盟联考)设向量a与向量b垂直,且a=(2,k),b=(6,4),则下列向量与向量a+b共线的是() A.(1,8) B.(-16,-2)C.(1,-8)D.(-16,2)5.(2019四川成都检测)已知向量a=(,1),b=(-3,),则向量b在向量a方向上的投影为()A.-B.C.-1D.16.已知菱形ABCD的边长为m,∠ABC=60°,则=()A.-m2B.-m2C.m2D.m27.(2019湖南衡阳八中期中)已知向量a=(3,-4),|b|=2,若a·b=5,则a与b的夹角为()A. B. C. D.8.(2019湖南长沙一中模拟一)已知i为虚数单位,复数z满足(1+2i)z=(1+i)(2-i),则|z|=()A. B.C. D.9.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上存在一点P使有最小值,则P点的坐标是()A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)10.(2019湖南长沙一中期中)已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c=()A.B.C.D.11.(2019天津高考模拟)在△ABC中,AB=2AC=6,,点P是△ABC所在平面内的一点,当取得最小值时,=()A. B.-9C.7D.-12.已知向量=(2,0),向量=(2,2),向量=(cos α,sin α),则向量与向量的夹角的取值范围是()A.0,B.C.D.二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.(2019四川绵阳模拟)已知向量a=(sin 2α,1),b=(cos α,1),若a∥b,0<α<,则α=.14.(2019河南名校联盟压轴卷四,14)已知向量a=(2,-1),b=(-4,2),c=(2,3),则c在a+b上的投影是.15.在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E为BC的中点,若F为该矩形内(含边界)任意一点,则的最大值为.16.(2019江西景德镇一中期中)以原点O及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB,使A=90°,则的坐标为.参考答案单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入1.A i.故选A.2.B由2=0,得=-2=2,即=2=2,所以,故选B.3.C因为=(3,1),=(2m,m+1),所以3×(m+1)=2m,∴m=-3.故选C.4.B因为向量a与向量b垂直,所以2×6+4k=0,解得k=-3,所以a+b=(8,1),则向量(-16,-2)与向量a+b共线,故选B.5.A向量b在向量a方向上的投影为|b|·cos<a,b>,∴|b|·cos<a,b>==-,故选A.6.D如图,设=a,=b.则=()=(a+b)·a=a2+a·b=m2+m·m·cos60°=m2+m2=m2.7.B由a=(3,-4)得|a|==5,∴a·b=|a||b|cos<a,b>=5×2cos<a,b>=5,解得cos<a,b>=,∴a与b的夹角为,故选B.8.C由题意得,z==1-i,|z|=故选C.9.C设P点坐标为(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1).=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,有最小值1.∴点P坐标为(3,0).10.D设c=(x,y),则c+a=(x+1,y+2),a+b=(3,-1).∵(c+a)∥b,∴2(y+2)=-3(x+1),①∵c⊥(a+b),∴3x-y=0.②联立①②两式,得x=-,y=-,故选D.11.B=||·||cos B=||2,∴||·cos B=||,,∠CAB=,以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则B(6,0),C(0,3).设P(x,y),则=x2+y2+(x-6)2+y2+x2+(y-3)2=3x2-12x+3y2-6y+45=3[(x-2)2+(y-1)2+10], 所以当x=2,y=1时取最小值,此时=(2,1)·(-6,3)=-9.故选B.12.D由题意得=(2+cosα,2+sinα),所以点A的轨迹是圆(x-2)2+(y-2)2=2,如图,当A为直线OA与圆的切点时,向量与向量的夹角分别达到最大、最小值,故选D.13向量a=(sin2α,1),b=(cosα,1),若a∥b,则sin2α-cosα=0,即2sinαcosα=cosα.又∵0<α<,∴cosα≠0,∴sinα=,∴α=14.-a+b=(-2,1),(a+b)·c=-1,所以,c在a+b上的投影是=-15以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则E2,.设F(x,y),则0≤x≤2,0≤y≤1,则=2x+y,令z=2x+y,当z=2x+y过点(2,1)时,取最大值16.(-2,5)或(2,-5)设B(x,y),=(5,2),=(x-5,y-2),因为△OAB是等腰直角三角形,且A=90°,所以=0,||=||,即解方程组得所以=(2,-5)或=(-2,5).。

高考数学一轮复习 12.3 人教 A版数学归纳法考点及自测理新人教A版.pdf

第3讲　数学归纳法【2014年高考会这样考】 1．数学归纳法的原理及其步骤． 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 考点梳理 1．归纳法由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法． 2．数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，kN*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．【助学·微博】一种表示数学归纳法的框图表示两个防范数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，第一步是递推的“基础”，第二步是递推的“依据”，两个步骤缺一不可，在证明过程中要防范以下两点： (1)第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值． (2)第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在证明n＝k＋1时，命题也成立的过程中一定要用到它，否则就不是数学归纳法．第二步关键是“一凑假设，二凑结论”．三个注意运用数学归纳法应注意以下三点： (1)n＝n0时成立，要弄清楚命题的含义． (2)由假设n＝k成立证n＝k＋1时，要推导详实，并且一定要运用n＝k成立的结论． (3)要注意n＝k到n＝k＋1时增加的项数．考点自测 1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0 等于( )． A．1 B．2 C．3 D．0 解析　边数最少的凸n边形是三角形．答案　C 2．某个命题与自然数n有关，若n＝k(kN*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得( )． A．n＝6时该命题不成立 B．n＝6时该命题成立 C．n＝4时该命题不成立 D．n＝4时该命题成立解析　其逆否命题“若当n＝k＋1时该命题不成立，则当n＝k时也不成立”为真，故“n＝5时不成立”“n＝4时不成立”．答案　C 3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是( )． A．2k＋2 B．2k＋3 C．2k＋1 D．(2k＋2)＋(2k＋3) 解析　当n＝k时，左边是共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边是共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)．答案　D 4．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(nN)能被8整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为( )． A．56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1) B．34·34k＋1＋52·52k C．34k＋1＋52k＋1 D．25(34k＋1＋52k＋1) 解析　因为要使用归纳假设，必须将34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1分解为归纳假设和能被8整除的两部分．所以应变形为56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)．答案　A 5．(2013·长春一模)已知f(n)＝1＋＋＋…＋(nN*)，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2k＋1)－f(2k)＝________. 解析　f(2k＋1)＝1＋＋＋＋…＋＋＋…＋＋＋＋…＋， f(2k)＝1＋＋＋＋…＋＋＋…＋，f(2k＋1)－f(2k)＝＋＋…＋. 答案　＋＋…＋考向一　用数学归纳法证明等式【例1】(2012·天津)已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)记Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，nN*，证明Tn＋12＝－2an＋10bn(nN*)． [审题视点] (1)利用等差数列，等比数列的通项公式，求和公式建立方程组求解；(2)可以以算代证，利用错位相减法求和，与自然数有关的问题也可以用数学归纳法证明． (1)解　设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d.由条件，得方程组，解得所以an＝3n－1，bn＝2n，nN*. (2)证明　法一　当n＝1时，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋10b1＝16，故等式成立；假设当n＝k时等式成立，即Tk＋12＝－2ak＋10bk，则当n＝k＋1时有 Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1 ＝ak＋1b1＋q(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk) ＝ak＋1b1＋qTk ＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12) ＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24 ＝－2ak＋1＋10bk＋1－12，即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1. 因此n＝k＋1时等式也成立．由可知，对任意nN*，Tn＋12＝－2an＋10bn成立．法二　由(1)得Tn＝2an＋22an－1＋23an－2＋…＋2na1， 2Tn＝22an＋23an－1＋…＋2nan＋2n＋1a1. ②－，得 Tn＝－2(3n－1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n＋2n＋2＝＋2n＋2－6n＋2＝10×2n－6n－10. 而－2an＋10bn－12＝－2(3n－1)＋10×2n－12＝10×2n－6n－10，故Tn＋12＝－2an＋10bn，nN*. (1)用数学归纳法证明等式其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是几； (2)由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．【训练1】用数学归纳法证明：对任意的nN*，＋＋…＋＝. 证明　(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝，左边＝右边，所以等式成立． (2)假设当n＝k(kN*且k≥1)时等式成立，即有＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝＝＝＝，所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切nN*等式都成立．考向二　用数学归纳法证明整除问题【例2】是否存在正整数m使得f(n)＝(2n＋7)·3n＋9对任意自然数n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由． [审题视点] 观察所给函数式，凑出推理要证明所需的项．解　由f(n)＝(2n＋7)·3n＋9得，f(1)＝36，f(2)＝3×36，f(3)＝10×36，f(4)＝34×36，由此猜想：m＝36. 下面用数学归纳法证明： (1)当n＝1时，显然成立； (2)假设n＝k(kN*且k≥1)时，f(k)能被36整除，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除；当n＝k＋1时，[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝(2k＋7)·3k＋1＋27－27＋2·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，由于3k－1－1是2的倍数，故18(3k－1－1)能被36整除，这就是说，当n＝k＋1时，f(n)也能被36整除．由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除，m的最大值为36. 应用数学归纳法证明整除性问题主要分为两类：一是整除数，二是整除代数式．这两类证明最关键的问题是“配凑”要证的式子(或是叫做“提公因式”)，即当n＝k＋1时，将n＝k时假设的式子提出来，再变形，可证．【训练2】 (2013·南京一模)已知数列{an}满足a1＝0，a2＝1，当nN*时，an＋2＝an＋1＋an.求证：数列{an}的第4m＋1项(mN*)能被3整除．证明　(1)当m＝1时，a4m＋1＝a5＝a4＋a3＝(a3＋a2)＋(a2＋a1)＝(a2＋a1)＋2a2＋a1＝3a2＋2a1＝3＋0＝3. 即当m＝1时，第4m＋1项能被3整除．故命题成立． (2)假设当m＝k时，a4k＋1能被3整除，则当m＝k＋1时， a4(k＋1)＋1＝a4k＋5＝a4k＋4＋a4k＋3＝2a4k＋3＋a4k＋2 ＝2(a4k＋2＋a4k＋1)＋a4k＋2＝3a4k＋2＋2a4k＋1. 显然，3a4k＋2能被3整除，又由假设知a4k＋1能被3整除． 3a4k＋2＋2a4k＋1能被3整除．即当m＝k＋1时，a4(k＋1)＋1也能被3整除．命题也成立．由(1)和(2)知，对于nN*，数列{an}中的第4m＋1项能被3整除．考向三　用数学归纳法证明不等式【例3】(2012·全国)函数f(x)＝x2－2x－3.定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是过两点P(4,5)、Qn(xn，f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标． (1)证明：2≤xn<xn＋1<3； (2)求数列{xn}的通项公式． [审题视点] (1)由已知须求出xn＋1与xn的关系式，然后考虑用数学归纳法证明2≤xn<3，再用比较法证明xn<xn＋1；(2)利用“不动点法”证明为等比数列，可求得的通项公式． (1)证明　用数学归纳法证明：2≤xn<xn＋1<3. 当n＝1时，x1＝2，直线PQ1的方程为 y－5＝(x－4)，令y＝0，解得x2＝，所以2≤x1<x2<3. 假设当n＝k时，结论成立，即2≤xk<xk＋1<3. 直线PQk＋1的方程为y－5＝(x－4)，令y＝0，解得xk＋2＝. 由归纳假设，知 xk＋2＝＝4－0，即xk＋1<xk＋2. 所以2≤xk＋1<xk＋2<3，即当n＝k＋1时，结论成立．由知对任意的正整数n,2≤xn<xn＋10，a1＝1，由S2＝a1＋a2＝，得a＋2a2－1＝0，a2＝－1. 又由S3＝a1＋a2＋a3＝，得a＋2a3－1＝0，a3＝－. (2)猜想an＝－(nN*) 证明：当n＝1时，a1＝1＝－，猜想成立．假设当n＝k(kN*)时，猜想成立，即ak＝－，则当n＝k＋1时， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝－，即ak＋1＝－＝－， a＋2ak＋1－1＝0，ak＋1＝－. 即n＝k＋1时猜想成立．由知，an＝－(nN*)．利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．【训练4】 (2013·绵阳一模)已知数列{xn}满足x1＝，xn＋1＝，nN*. (1)猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论； (2)证明：|xn＋1－xn|≤n－1. (1)解　由x1＝及xn＋1＝，得x2＝，x4＝， x6＝，由x2>x4>x6猜想：数列{x2n}是递减数列．下面用数学归纳法证明： (1)当n＝1时，已证命题成立． (2)假设当n＝k时命题成立，即x2k>x2k＋2，易知xk>0，那么 x2k＋2－x2k＋4＝－＝＝>0，即x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2. 也就是说，当n＝k＋1时命题也成立．结合(1)和(2)知命题成立． (2)证明　当n＝1时，|xn＋1－xn|＝x2－x1＝，结论成立．当n≥2时，易知0<xn－1<1， 1＋xn－1， (1＋xn)(1＋xn－1)＝(1＋xn－1) ＝2＋xn－1≥， |xn＋1－xn|＝＝ ≤|xn－xn－1|≤2|xn－1－xn－2|≤… ≤n－1|x2－x1|＝n－1. 规范解答19——数学归纳法的应用【命题研究】通过近三年的高考试题分析，数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，其“观察－归纳－猜想－证明”的思维模式成为高考命题的热点之一．从考查题型看，数学归纳法常与数列、函数等知识结合在一起考查，常以解答题的形式出现，具有一定的综合性和难度，属中高档题．预计在今后的高考中，对数学归纳法的考查将保持相对稳定的考查方式，考查时仍将以解答题为主．【真题探究】 (本小题满分14分)(2012·湖北)(1)已知函数f(x)＝rx－xr＋(1－r)(x>0)，其中r为有理数，且0<r<1，求f(x)的最小值； (2)试用(1)的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1＋b2＝1，则a1b1a2b2≤a1b1＋a2b2； (3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式(xα)′＝αxα－1. [教你审题] (1)求函数最值可考虑先利用导数判断函数单调性，然后再求最值，(2)对于不等式的证明要注意利用第(1)问的结论进行突破；(3)本问数学归纳法的运用相对而言难度高，运算量大，在归纳证明时一要细心运算，二要注意假设条件的恰当运用． [规范解答] (1)f′(x)＝r－rxr－1＝r(1－xr－1)，令f′(x)＝0，解得x＝1.(1分) 当0<x<1时，f′(x)1时，f′(x)>0，所以f(x)在(1，＋∞)内是增函数(3分) 故函数f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝0.(4分) (2)由(1)知，当x(0，＋∞)时，有f(x)≥f(1)＝0，即xr≤rx＋(1－r)．若a1，a2中有一个为0，则ab11ab22≤a1b1＋a2b2成立．若a1，a2均不为0，由b1＋b2＝1，可得b2＝1－b1，于是在中令x＝，r＝b1，可得b1≤b1·＋(1－b1)，(6分) 即ab11a1－b12≤a1b1＋a2(1－b1)，亦即ab11ab22≤a1b1＋a2b2. 综上，对a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，且b1＋b2＝1，总有ab11ab22≤a1b1＋a2b2(8分) (3)(2)中命题的推广形式为：设a1，a2，…，an为非负实数，b1，b2，…，bn为正有理数．若b1＋b2＋…＋bn＝1，则ab11ab22…abnn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，用数学归纳法证明如下： a．当n＝1时，b1＝1，有a1≤a1，成立． b．假设当n＝k时，成立，即若a1，a2，…，ak为非负实数，b1，b2，…，bk为正有理数，且b1＋b2＋…＋bk＝1，则ab11ab22…abkk≤a1b1＋a2b2＋…＋akbk.(10分) 当n＝k＋1时，已知a1，a2，…，ak，ak＋1为非负实数，b1，b2，…，bk，bk＋1为正有理数，且b1＋b2＋…＋bk＋bk＋1＝1，此时0<bk＋10，于是ab11ab22…abk＋1k＋1＝(ab11ab22…abkk)abk＋1k＋1 ＝(a1a2…ak)1－bk＋1·abk＋1k＋1. 因为＋＋…＋＝1，由归纳假设可得a1a2…ak≤a1·＋a2·＋…＋ak·＝(12分) 从而ab11ab22…abkkabk＋1k＋1≤ 1－bk＋1abk＋1k＋1. 又因为(1－bk＋1)＋bk＋1＝1，由得 1－bk＋1abk＋1k＋1≤ ·(1－bk＋1)＋ak＋1bk＋1 ＝a1b1＋a2b2＋…＋akbk＋ak＋1bk＋1，从而ab11ab22…abkkabk＋1k＋1≤ a1b1＋a2b2＋…＋akbk＋ak＋1bk＋1. 故当n＝k＋1时，成立．(13分) 由a，b可知，对一切正整数n，所推广的命题成立．(14分) 说明：(3)中如果推广形式中指出式对n≥2成立，则后续证明中不需讨论n＝1的情况． [阅卷老师手记] 解决数学归纳法中“归纳—猜想—证明”问题及不等式证明时要特别关注：一是需验证n＝1，n＝2时结论成立，易忽略验证n＝2；二是需要熟练掌握数学归纳法几种常见的推证技巧，才能快速正确地解决问题．除此外，应用数学归纳法时，以下几点容易造成失分： 1．把初始值搞错； 2．在推证n＝k＋1时，没有用上归纳假设； 3．对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生的变化被弄错．【试一试】设数列{an}的前n项和为Sn，并且满足2Sn＝a＋n，an>0(nN*)． (1)猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明． (2)设x>0，y>0，且x＋y＝1，证明：＋≤. (1)解　分别令n＝1,2,3，得 an>0，a1＝1，a2＝2，a3＝3. 猜想：an＝n. 由2Sn＝a＋n 可知，当n≥2时，2Sn－1＝a＋(n－1) ①－，得2an＝a－a＋1，即a＝2an＋a－1， (i)当n＝2时，a＝2a2＋12－1， a2>0，a2＝2. (ii)假设当n＝k(k≥2)时，ak＝k，那么当n＝k＋1时， a＝2ak＋1＋a－1＝2ak＋1＋k2－1 [ak＋1－(k＋1)][ak＋1＋(k－1)]＝0， ak＋1>0，k≥2，ak＋1＋(k－1)>0， ak＋1＝k＋1. 即当n＝k＋1时也成立． an＝n(n≥2)．显然n＝1时，也成立，故对于一切nN*，均有an＝n. (2)证明　要证＋≤，只要证nx＋1＋2 ＋ny＋1≤2(n＋2)．即n(x＋y)＋2＋2≤2(n＋2)，将x＋y＝1代入，得 2≤n＋2，即只要证4(n2xy＋n＋1)≤(n＋2)2，即4xy≤1. x>0，y>0，且x＋y＝1，≤＝，即xy≤，故4xy≤1成立，所以原不等式成立． A级　基础演练(时间：30分钟　满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞(nN*)成立，其初始值至少应取( )． A．7 B．8 C．9 D．10 解析　左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8. 答案　B 2．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是( )． A．假设n＝k(kN＋)，证明n＝k＋1命题成立 B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立 C．假设n＝2k＋1(kN＋)，证明n＝k＋1命题成立 D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立解析　A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．答案　D 3．用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上( )． A. B．－C.－D.＋解析　当n＝k时，左侧＝1－＋－＋…＋－，当n＝k＋1时，左侧＝1－＋－＋…＋－＋－. 答案　C 4．对于不等式<n＋1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立． (2)假设当n＝k(kN*且k≥1)时，不等式成立，即<k＋1，则当n＝k＋1时，＝1，nN*)，求证：S2n>1＋(n≥2，nN*)．证明　(1)当n＝2时，S2n＝S4＝1＋＋＋＝>1＋，即n＝2时命题成立； (2)假设当n＝k(k≥2，kN*)时命题成立，即S2k＝1＋＋＋…＋>1＋，则当n＝k＋1时，S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋>1＋＋＋＋…＋>1＋＋＝1＋＋＝1＋，故当n＝k＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，对n≥2，nN*.不等式S2n>1＋都成立． 8．(13分)已知数列{an}：a1＝1，a2＝2，a3＝r，an＋3＝an＋2(nN*)，与数列{bn}：b1＝1，b2＝0，b3＝－1，b4＝0，bn＋4＝bn(nN*)．记Tn＝b1a1＋b2a2＋b3a3＋…＋bnan. (1)若a1＋a2＋a3＋…＋a12＝64，求r的值； (2)求证：T12n＝－4n(nN*)． (1)解　a1＋a2＋a3＋…＋a12＝1＋2＋r＋3＋4＋(r＋2)＋5＋6＋(r＋4)＋7＋8＋(r＋6)＝48＋4r. 48＋4r＝64，r＝4. (2)证明　用数学归纳法证明：当nN*时，T12n＝－4n. 当n＝1时，T12＝a1－a3＋a5－a7＋a9－a11＝－4，故等式成立．假设n＝k时等式成立，即T12k＝－4k，那么当n＝k＋1时，T12(k＋1)＝T12k＋a12k＋1－a12k＋3＋a12k＋5－a12k＋7＋a12k＋9－a12k＋11＝－4k＋(8k＋1)－(8k＋r)＋(8k＋4)－(8k＋5)＋(8k＋r＋4)－(8k＋8)＝－4k－4＝－4(k＋1)，等式也成立．根据和可以断定：当nN*时，T12n＝－4n. B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分) 一、选择题(每小题5分，共10分) 1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上( )． A．k2＋1 B．(k＋1)2 C. D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2 解析　当n＝k时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2 当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2. 答案　D 2．(2013·广州一模)已知1＋2×3＋3×32＋4＋33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切nN*都成立，则a、b、c的值为( )． A．a＝，b＝c＝ B．a＝b＝c＝ C．a＝0，b＝c＝ D．不存在这样的a、b、c 解析　等式对一切nN*均成立，n＝1,2,3时等式成立，即整理得解得a＝，b＝c＝. 答案　A 二、填空题(每小题5分，共10分) 3．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．解析　本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1； 4＝1＋3＝2＋2＝3＋1； 5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1； …；一个整数n所拥有数对为(n－1)对．设1＋2＋3＋…＋(n－1)＝60，＝60， n＝11时还多5对数，且这5对数和都为12， 12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7，第60个数对为(5,7)．答案　(5,7) 4．已知数列{an}的通项公式an＝(nN*)，f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)的值是________．解析　f(1)＝1－a1＝1－＝，f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝f(1)·＝×＝＝，f(3)＝(1－a1)·(1－a2)(1－a3)＝f(2)·＝×＝，由此猜想，f(n)＝(nN*)．答案　(nN*) 三、解答题(共25分) 5．(12分)设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝a－2nan＋2，n＝1,2,3，… (1)求a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式(不需证明)； (2)记Sn为数列{an}的前n项和，试求使得Sn<2n成立的最小正整数n，并给出证明．解　(1)a2＝5，a3＝7，a4＝9，猜想an＝2n＋1. (2)Sn＝＝n2＋2n，使得Snn2＋2n. n＝6时，26>62＋2×6，即64>48成立；假设n＝k(k≥6，kN*)时，2k>k2＋2k成立，那么2k＋1＝2·2k>2(k2＋2k)＝k2＋2k＋k2＋2k>k2＋2k＋3＋2k＝(k＋1)2＋2(k＋1)，即n＝k＋1时，不等式成立；由、可得，对于所有的n≥6(nN*) 都有2n>n2＋2n成立． 6．(13分)(2012·安徽)数列{xn}满足x1＝0，xn＋1＝－x＋xn＋c(nN*)． (1)证明：{xn}是递减数列的充分必要条件是c<0； (2)求c的取值范围，使{xn}是递增数列． (1)证明　先证充分性，若c<0，由于xn＋1＝－x＋xn＋c≤xn＋c<xn，故{xn}是递减数列；再证必要性，若{xn}是递减数列，则由x2<x1可得c<0. (2)解　假设{xn}是递增数列．由x1＝0，得x2＝c，x3＝－c2＋2c. 由x1<x2<x3，得0<c<1. 由xn<xn＋1＝－x＋xn＋c知，对任意n≥1都有xn0，即xn<1－. 由式和xn≥0还可得，对任意n≥1都有－xn＋1≤(1－)(－xn)．反复运用式，得－xn≤(1－)n－1(－x1)<(1－)n－1， xn<1－和－xn<(1－)n－1两式相加，知 2－1<(1－)n－1对任意n≥1成立．根据指数函数y＝(1－)n的性质，得 2－1≤0，c≤，故0<c≤. 若00，即证xn<对任意n≥1成立．下面用数学归纳法证明当0<c≤时，xn<对任意n≥1成立． (i)当n＝1时，x1＝0<≤，结论成立． (ii)假设当n＝k(kN*)时，结论成立，即xn<. 因为函数f(x)＝－x2＋x＋c在区间内单调递增，所以xk＋1＝f(xk)<f()＝，这就是说当n＝k＋1时，结论也成立．故xnxn，即{xn}是递增数列．由知，使得数列{xn}单调递增的c的范围是.。

走向高考--年高考一轮总复习人教A版数学-

基础巩固强化一、选择题1．某机械零件加工由2道工序组成，第1道工序的废品率为a ，第2道工序的废品率为b ，假定这2道工序出废品的概率彼此无关，那么产品的合格率是( )A ．ab －a －b ＋1B ．1－a －bC ．1－abD ．1－2ab[答案] A[解析] 由于第一道工序与第二道工序出废品的概率彼此无关，故产品的合格率为p ＝(1－a )(1－b )＝ab －a －b ＋1.2．(2013·揭阳二模)把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )等于( )A.12 B.14 C.16 D.18 [答案] A[解析] A 与B 相互独立，∴P (B |A )＝P (B )＝12.3．已知随机变量ξ满足条件ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝12，D (ξ)＝125，则n 与p 的值分别为( )A ．16与45B ．20与25C ．15与45 D ．12与35[答案] C[解析] ∵ξ～B (n ，p )，∴E (ξ)＝np ＝12，D (ξ)＝np (1－p )＝125，∴n ＝15，p ＝45.4．(2013·济南模拟)位于直角坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向左或向右，并且向左移动的概率为13，向右移动的概率为23，则质点P 移动五次后位于点(1,0)的概率是( )A.4243 B.8243 C.40243 D.80243[答案] D[解析] 依题意得，质点P 移动五次后位于点(1,0)，则这五次移动中必有两次向左移动，另三次向右移动，因此所求的概率等于C 25·(13)2·(23)3＝80243，选D.5．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．2[答案] A[解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2，P (ξ＝0)＝C 27－xC 27＝(7－x )(6－x )42， P (ξ＝1)＝C 1x ·C 17－xC 27＝x (7－x )21，P (ξ＝2)＝C 2xC 27＝x (x －1)42，∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝67， ∴x ＝3.6．设两个相互独立事件A 、B 都不发生的概率为19，则A 与B 都发生的概率的取值范围是( )A ．[0，89] B ．[19，59] C ．[23，89] D ．[0，49][答案] D[解析] 设事件A 、B 发生的概率分别为P (A )＝x ，P (B )＝y ，则P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝(1－x )·(1－y )＝19⇒1＋xy ＝19＋x ＋y ≥19＋2xy .当且仅当x ＝y 时取“＝”，∴xy ≤23或xy ≥43(舍)，∴0≤xy ≤49.∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝xy ∈[0，49]．二、填空题7．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数是3的倍数”为事件A ，“两颗骰子的点数和大于8”为事件B ，则P (B |A )＝________.[答案] 512[解析] 因为“红骰子向上的点数是3的倍数”的事件为A ，“两颗骰子的点数和大于8”的事件为B ，用枚举法可知A 包含的基本事件为12个，A 、B 同时发生的基本事件为5个，即(3,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．所以P (B |A )＝512.8．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13[解析] 由条件知，⎩⎨⎧P (ξ＝x 3)＋P (ξ＝x 1)＝2P (ξ＝x 2)，P (ξ＝x 1)＋P (ξ＝x 2)＋P (ξ＝x 3)＝1.∴P (ξ＝x 2)＝13，∵P (ξ＝x i )≥0，∴公差d 取值满足－13≤d ≤13. 9．(2013·临沂模拟)随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c ________. [答案] 23[解析]由条件知，⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝1，2b ＝a ＋c ，∴a ＋c ＝23，∴P (|X |＝1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝－1)＝a ＋c ＝23. 三、解答题10．(2012·广东理，17)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中x 的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．[分析] (1)利用频率和为1，可求X 值；(2)先确定各部分人数，再确定ξ取值，利用组合知识，用古典概型求ξ的分布列，再求数学期望．[解析] (1)图中x 所在组为[80,90)即第五组，∵由频率分布直方图的性质知，10×(0.054＋x ＋0.01＋3×0.006)＝1，∴x ＝0.018.(2)成绩不低于80分的学生所占的频率为， f ＝10×(0.018＋0.006)＝0.24.所以成绩不低于80分的学生有：50f ＝50×0.24＝12人；成绩不低于90分的学生人数为：50×10×0.006＝3人，所以ξ的取值为0,1,2. P (ξ＝0)＝C 29C 212＝611，P (ξ＝1)＝C 19×C 13C 212＝922，P (ξ＝2)＝C 23C 212＝122.所以ξ的分布列为：所以ξ的数学期望E (ξ)＝0×611＋1×922＋2×122＝12.能力拓展提升11.(2013·江西理，18)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列和数学期望．[解析] (1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28种．X ＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27. (2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1,0,1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为：E (X )＝(－2)×114＋(－1)×514＋0×27＋1×27＝－314.12．(2013·山东烟台一模)从参加某次高三数学摸底考试的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制，均为整数)分成6组后，得到部分频率分布直方图(如图)，观察图形中的信息，回答下列问题．(1)补全这个频率分布直方图，并估计本次考试的平均分；(2)若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40,70)记0分，在[70,100]记1分，用X表示抽取结束后的总得分，求X的分布列和数学期望．[解析](1)设分数在[70,80)内的频率为x，根据频率分布直方图，则有(0.01＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，可得x＝0.3，所以频率分布直方图如图所示．平均分为：x －＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.(2)学生成绩在[40,70)的有(0.01＋0.015×2)×10×60＝24人，在[70,100]的有(0.03＋0.025＋0.005)×10×60＝36人，并且X 的所有可能取值是0,1,2.则P (X ＝0)＝C 224C 260＝46295；P (X ＝1)＝C 124C 136C 260＝144295；P (X ＝2)＝C 236C 260＝105295.所以X 的分布列为∴E (X )＝0×46295＋1×144295＋2×105295＝354295.13．(2013·北京理，16)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)[解析]设A i表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)，根据题意，P(A i)＝113，且A i∩A j＝∅(i≠j)．(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8，所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝213. (2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝413，P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝413，P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝513. 所以X的分布列为：故X的期望E(X)＝0×13＋1×13＋2×13＝12 13.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．14．(2013·北京海淀期末)某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A，B两个项目可供选择：(1)投资A项目一年后获得的利润X1(万元)的概率分布列如下表所示：且X11(2)投资B项目一年后获得的利润X2(万元)与B项目产品价格的调整有关，B项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p(0<p<1)和1－p.经专家测算评估：B项目产品价格一年内调整次数X(次)与X2的关系如下表所示：(1)求a，b(2)求X 2的分布列；(3)若E (X 1)<E (X 2)，则选择投资B 项目，求此时p 的取值范围． [解析](1)由题意得⎩⎨⎧a ＋0.4＋b ＝1，11a ＋12×0.4＋17b ＝12，解得a ＝0.5，b ＝0.1.(2)X 2的可能取值为4.12,11.76,20.40. P (X 2＝4.12)＝(1－p )[1－(1－p )]＝p (1－p )， P (X 2＝11.76)＝p [1－(1－p )]＋(1－p )(1－p ) ＝p 2＋(1－p )2， P (X 2＝20.40)＝p (1－p )．所以X 2的分布列为(3)由(2)可得E (X 2)＝4.12p (1－p )＋11.76[p 2＋(1－p )2]＋20.40p (1－p )＝－p 2＋p ＋11.76.因为E (X 1)<E (X 2)，所以12<－p 2＋p ＋11.76，所以0.4<p <0.6.当选择投资B 项目时，p 的取值范围是(0.4,0.6)．考纲要求1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列．2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用． 3．了解条件概率和两个事件相互独立的概念．4．理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．补充说明1．解决概率问题的步骤第一步，确定事件的性质：古典概型、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验，把所给问题归结为某一种．第二步，判断事件的运算(和事件、积事件)，确定事件至少有一个发生还是同时发生等等．第三步，运用公式求概率古典概型P (A )＝mn ；互斥事件P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )；条件概率P (B |A )＝P (AB )P (A )；独立事件P (AB )＝P (A )P (B )；n 次独立重复试验：P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k .2．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率P (X ＝k )＝C k n P k (1－P )n －k ，k ＝0,1,2，…，n ，恰好为二项式[(1－P )＋P ]n 展开式中的第k ＋1项．备选习题1．(2013·山西模拟)某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是12，构造数列{a n }，使得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (第n 次抛掷时出现正面)－1 (第n 次抛掷时出现反面)，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)，则S 4＝2的概率为( ) A.116 B.18 C.14 D.12[答案] C[解析] “S 4＝2”的含义是a 1，a 2，a 3，a 4中有3个等于1，一个等于－1，即4次抛掷硬币中有3次出现正面，∴所求概率P ＝C 34·(12)3·12＝14.2．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以的比分获胜的概率为( ) A.827 B.6481 C.49 D.89 [答案] A[解析] 设甲胜为事件A ，则P (A )＝23，P (A )＝13， ∵甲以的比分获胜，∴甲前三局比赛中胜2局，第四局胜，故所求概率为P ＝C 23·(23)2·13·23＝827.3．袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是( )A.35B.34C.12D.310[答案] C[解析] 解法1：由于取后不放回，故在第一次取到白球的条件下，口袋中还有2白2黑4个球，从中任取一球，则取到白球的概率为P ＝24＝12.解法2：设A ＝“第一次取到白球”，B ＝“第二次取到白球”，则AB 表示“两次都取到白球”．由条件知：P (A )＝35，P (AB )＝C 23C 25＝310，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝31035＝12.4．已知7件产品中有2件次品，现逐一不放回地进行检验，直到2件次品都能被确认为止．(1)求检验次数为4的概率；(2)设检验次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．[解析] (1)记“在4次检验中，前3次检验中有1次得到次品，第4次检验得到次品”为事件A ，则检验次数为4的概率P (A )＝C 12C 25C 37·1C 14＝17. (2)ξ的可能值为2,3,4,5,6，其中P (ξ＝2)＝C 22C 27＝121，P (ξ＝3)＝C 12C 15C 27·1C 15＝221， P (ξ＝4)＝P (A )＝17，P (ξ＝5)＝C 12C 35C 47·1C 13＋C 55C 57＝521，P (ξ＝6)＝C 12C 45C 57＝1021. ξ的分布列为ξ的期望E (ξ)＝2×121＋3×221＋4×321＋5×521＋6×1021＝5. [点评] 要特别注意P (ξ＝5)的情形，一种可能是前四次检验中有一次得到次品第五次为次品；另一种可能是前五次都是正品则余下的两件必都是次品．这是它与其他情形不同的地方．。

【走向高考】高考数学总复习阶段性测试题十二新人教A版

阶段性测试题十二(综合素质能力测试)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2011～2012·重庆市期末)若集合M ＝{x |log 2(x －1)<1}，N ＝{x |14<(12)x<1}，则M ∩N ＝( )A ．{x |1<x <2}B ．{x |1<x <3}C ．{x |0<x <3}D ．{x |0<x <2}[答案] A[解析] 由log 2(x －1)<1得0<x －1<2，∴1<x <3，由14<(12)x<1得0<x <2， ∴M ∩N ＝{x |1<x <2}．(理)(2011～2012·泉州五中模拟)若复数(m 2－1)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，则实数m 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－1或1[答案] C[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0m ＋1≠0，∴m ＝1.2．(文)(2011～2012·陕西师大附中模拟)若复数z ＝3＋i1－i，则复数z 在复平面上的对应点在( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限[答案] D [解析] z ＝3＋i1－i＝＋＋－＋＝2＋4i 2＝1＋2i ，其对应点(1,2)在第一象限．(理)(2011～2012·浙江宁波市期末)已知f (x )是定义在实数集R 上的增函数，且f (1)＝0，函数g (x )在(－∞，1]上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，且g (4)＝g (0)＝0，则集合{x |f (x )g (x )≥0}＝( )A ．{x ≤0或1≤x ≤4}B ．{x |0≤x ≤4}C ．{x |x ≤4}D ．{x |0≤x ≤1或x ≥4}[解析] 由条件知，当x ≥1时，f (x )≥0，当x ≤1时，f (x )≤0；当0≤x ≤4时，g (x )≥0，当x ≤0或x ≥4时，g (x )≤0，∵f (x )g (x )≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f x gx或⎩⎪⎨⎪⎧fx gx，∴1≤x ≤4或x ≤0.3．(文)(2011～2012·延边州质检)幂函数y ＝f (x )的图象经过点(4，12)，则f (14)的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] C[解析] 设f (x )＝x α，则4α＝12，∴α＝－12，∴f (14)＝(14)－12＝2.(理)在圆x 2＋y 2＝5x 内，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32有n 条弦的长度成等差数列，最短的弦长为数列的首项a 1，最长的弦长为a n ，若公差d ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤16，13，那么n 的取值集合为( ) A ．{4,5,6} B ．{6,7,8,9} C ．{3,4,5} D ．{3,4,5,6}[答案] A[解析] 由题意得a 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝4，a n ＝5， ∴d ＝a n －a 1n －1＝1n －1，∵16<d ≤13，∴16<1n －1≤13， ∴3≤n －1<6，∴4≤n <7， ∵n ∈N *，∴n ＝4,5,6.故选A.4．(文)(2011～2012·北京四中期末)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为( )A.x 29＋y 216＝1 B.x 225＋y 216＝1 C.x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1 D ．以上都不对[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2b ＝182c ＝6a 2＝b 2＋c2a >b >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3a ＝5b ＝4，故选C.(理)(2011～2012·淄博一模)一天有语文、数学、英语、政治、生物、体育六节课，体育不排在第一节上，数学不排在第六节上，这天课程表的不同排法种数为( )A ．288B ．480C ．504D ．696[答案] C[解析] 体育排在第一节的有5！种，数学排在第六节的有5！种，体育排在第一节且数学排在第六节的有4！种，故这天课程表的不同排法数为－＋＝504.5．(2011～2012·会昌中学月考)下图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是()A.12 B.23 C.34 D.45[答案] C[解析] 程序运行过程为：第一次循环i ＝2，m ＝1，n ＝11×2；第二次循环i ＝3，m ＝2，n ＝11×2＋12×3；第三次循环i ＝4，m ＝3，n ＝11×2＋12×3＋13×4，此时i <4不成立，输出n 的值，∵n ＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＝1－14＝34，∴选C.6．(文)(2011～2012·豫南九校联考)若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1]C ．(0,1)D ．(－1,0)∪(0,1][答案] B[解析] ∵f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2－a 2在[1,2]上单调递减，∴a ≤1，又函数g (x )＝(a ＋1)1－x在区间[1,2]上单调递减，∴a ＋1>1，∴a >0，∴0<a ≤1.(理)(2011～2012·安徽名校联考)已知x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4x －y －k ≥0y ≥－1，且2x －y的最小值为1，则k ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] C[解析] 令u ＝2x －y ，则y ＝2x －u ，作出可行域如图，当直线y ＝2x －u 过点(k －1，－1)时，u min ＝2(k －1)＋1＝2k －1.由2k －1＝1得k ＝1.故选C.7．(2011～2012·长安一中、西安中学、交大附中、师大附中、高新一中模拟)角α的终边经过点A (－3，a )，且点A 在抛物线y ＝－14x 2的准线上，则sin α＝( )A ．－12B.12C ．－32D.32[答案] B[解析] A (－3，a )在抛物线x 2＝－4y 的准线y ＝1上，∴a ＝1，∴A (－3，1)，∴sin α＝1－32＋12＝12. 8．(2011～2012·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )A ．2＋ 3B ．1＋ 3C ．2＋2 3D ．4＋ 3[答案] D[解析] 由“高平齐”知，侧视图中CD ＝2，由“宽相等”知侧视图中，BC ＝2，AB ＝22－12＝3，∴侧视图的面积S ＝2×2＋12×3×2＝4＋ 3.9．(2011～2012·吉林延吉市一模)设α、β、γ是三个互不重合的平面，m 、n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是( )A ．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB ．若α∥β，m ⊄β，m ∥α则m ∥βC ．若α⊥β，m ⊥α，则m ∥βD ．若m ∥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥n [答案] B[解析] 由条件知，m ⊄α，m ⊄β，过m 作平面与α、β相交，设交线依次为a 、b ，则∵α∥β，∴a ∥b ，∵m ∥α，∴m ∥a ，∴m ∥b ，∵b ⊂β，m ⊄β，∴m ∥β，故B 正确．[点评] A 中由正方体交于同一顶点的三个面两两垂直知A 错误；C 中可能有m ⊂β；D 中当m 与n 都与α、β的交线平行时，m ∥n ，故D 错．10．(文)(2011～2012·淄博一模)记集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}和集合B ＝{(x ，y )|x ＋y －2≤0，x ≥0，y ≥0}表示的平面区域分别为Ω1、Ω2，若在区域Ω1内任取一点M (x ，y )，则点M 落在区域Ω2内的概率为( )A.12πB.1πC.14D.π－24π[答案] A[解析] 如图，由题意知Ω1为⊙O 及其内部，Ω2为△OAB 及其内部，⊙O 的面积S 1＝4π，△OAB 的面积S 2＝2，∴所求概率P ＝S 2S 1＝12π.(理)(2011～2012·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)存在两条直线x＝±m 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)相交于A 、B 、C 、D 四点，若四边形ABCD 为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，2)B ．(1，3)C ．(2，＋∞)D ．(3，＋∞)[答案] C[解析] 由条件知，直线y ＝±x 与双曲线相交于四个点，由于等轴双曲线的离心率e ＝2，∴e >2，故选C.11．(文)(2011～2012·厦门市质检)如图，已知|OA →|＝3，|OB →|＝1，OA →·OB →＝0，∠AOP ＝π6，若OP →＝tOA →＋OB →，则实数t 等于( )A.13B.33C. 3 D ．3[答案] B[解析] 由向量加运的运算法则可知，过B 作OA 的平行线交OP 于点P ，过P 作OB 的平行线交OA 于Q ，则OP →＝OB →＋OQ →，∵|OB →|＝1，〈OB →，OP →〉＝π3，∴|OP →|＝2，又〈OP →，OA →〉＝π6，∴|OQ →|＝3，又|OA →|＝3，∴OQ →＝33OA →，即OP →＝33OA →＋OB →.∴t ＝33. (理)(2011～2012·泉州五中模拟)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，若O 为△ABC 内部一点，且满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则AO →·BC →＝( )A.12B.25 C.13 D.14[答案] C[解析] ∵OA →＋OB →＋OC →＝0，∴OB →＋OC →＝AO →， ∴O 为△ABC 的重心，∴AO →＝23×12(AC →＋AB →)＝13(AC →＋AB →)，∴AO →·BC →＝13(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＝13(|AC →|2－|AB →|2)＝13×(4－3)＝13. 12．(文)(2011～2012·黄冈市期末)下列四种说法中，错误．．的个数是( ) ①A ＝{0,1}的子集有3个；②“若am 2<bm 2，则a 0，∴a <b ，原命题为真命题，但a 0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点 C ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋cos β D ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(x ＋φ)都不是偶函数 [答案] D[解析] m ＝2时，f (x )＝x －1是幂函数，∴A 真；∵ln x ∈R ，∴ln 2x ＋ln x ＝(ln x ＋12)2－14≥－14，即t ＝ln 2x ＋ln x 的值域为[－14，＋∞)，因此对任意a >0，存在x 0>0，使a ＝ln 2x 0＋ln x 0，即f (x )有零点，∴B 真；当α＝π2，β＝－π4时，cos(α＋β)＝cos(π2－π4)＝22，cos α＋cos β＝cos π2＋cos(－π4)＝22，∴C 真；当φ＝π2时，f (x )＝sin(x ＋φ)＝sin(x＋π2)＝cos x 为偶函数，∴D 假．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(文)(2011～2012·大庆铁人中学期末)双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则双曲线的离心率是________．[答案] 53或54[解析] 由条件知，b a ＝34或43，由⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝34a 2＋b 2＝c 2得2516a 2＝c 2，c 2a 2＝2516，∴e ＝c a ＝54，同理由b a ＝43可得e ＝53.(理)(2011～2012·江苏无锡辅仁中学模拟)已知平面上三点A ，B ，C ，若|AB →|＝5，|BC →|＝12，|CA →|＝13，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →|BA →－BC →|＝________.[答案] －13[解析] ∵52＋122＝132，∴AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，BC →·CA →＋CA →·AB →＝CA →·(AB →＋BC →)＝CA →·AC →＝－|CA →|2，|BA →－BC →|＝|CA →|，∴原式＝－|CA →|＝－13.14．(文)(2011～2012·深圳市一调)某中学组织了“迎新杯”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出若干名学生，并将其成绩绘制成频率分布直方图如图，其中成绩的范围是[50,100]，样本数据分组为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，已知样本中成绩小于70分的个数是36，则样本中成绩在[60,90)内的学生人数为________．[答案] 90[解析] 由条件知：(0.010＋0.020)×10n ＝36，∴n ＝120，∴成绩在[60,90)内的学生人数为120×(0.020＋0.030＋0.025)×10＝90.(理)(2011～2012·绥化市一模)若a ＝⎠⎛0πsin x d x ，则二项式(a x －1x)6展开式中含x的项的系数是________．[答案] 240[解析] a ＝⎠⎛0πsin x d x ＝(－cos x )|π0＝2，二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 6·(2x )6－r·(－1x)r ＝(－1)r ·26－r·C r 6·x3－r，令3－r ＝1得r ＝2，∴系数为(－1)2·24·C 26＝240.15．(文)(2011～2012·吉林省延边市质检)已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，f (α)＝A ，f (β)＝0，|α－β|的最小值为π3，则正数ω＝________.[答案] 32[解析] ∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，满足f (α)＝A ，f (β)＝0，∴(α，f (α))为其最高点或最低点，∴|α－β|的最小值为周期T 的14，即T 4＝π3，∴T ＝4π3，又T ＝2πω，∴ω＝32.(理)(2011～2012·兰州一中期末)函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象； ④函数f (x )在某区间上具有单调性，则f (x )一定是该区间上的单函数．其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号) [答案] ②③④[解析] 由x 21＝x 22，x ∈R ⇒/ x 1＝x 2，故①假；假设f (x 1)＝f (x 2)，x 1，x 2∈A ，由单函数定义，必有x 1＝x 2，与x 1≠x 2矛盾，故②真；由映射定义知③真；∵单调函数是一一对应的函数，故若f (x )为单调函数，则f (x )一定为单函数，故④真．16．(文)(2011～2012·平顶山、许昌、新乡调研)已知函数f (x )＝xx ＋2(x >0)．观察下列计算：f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x 3x ＋4，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8，f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x 15x ＋16，…，根据以上事实，由归纳推理猜想：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n－1(x ))＝________. [答案] f n (x )＝xn－x ＋2n[解析] 观察f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )，f 4(x )的分母可以发现，每一项的常数是2n，x 的系数是2n－1，故f n (x )＝xn－x ＋2n.(理)(2011～2012·台州市质评)若{b n }是等比数列，m ，n ，p 是互不相等的正整数，则有正确的结论：⎝ ⎛⎭⎪⎫b p b n m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b m b p n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b n b m p ＝1，类比上述性质，相应地，若{a n }是等差数列，m ，n ，p是互不相等的正整数，则有正确的结论：________________.[答案] m (a p －a n )＋n (a m －a p )＋p (a n －a m )＝0[解析] 将等比数列的项轮换相除所得商的幂的乘积类比为等差数列项的轮换相减所得差的倍数相加．[点评] 可将通项公式代入按幂的运算法则(或多项式乘法运算法则)进行验证．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(文)(2011～2012·南通市调研)在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且b cos B 是a cos C ，c cos A 的等差中项．(1)求B 的大小；(2)若a ＋c ＝10，b ＝2，求△ABC 的面积． [解析] (1)由题意得，a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ，由正弦定理得，sin A cos C ＋cos A sin C ＝2sin B cos B ，即sin(A ＋C )＝2sin B cos B . ∵A ＋C ＝π－B,0<B <π，∴sin(A ＋C )＝sin B ≠0. ∴cos B ＝12，∴B ＝π3.(2)由B ＝π3得，a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即a ＋c2－2ac －b22ac＝12， ∵a ＋c ＝10，b ＝2，∴ac ＝2. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝32.(理)(2011～2012·安徽六校教育研究会联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且a cos B －b cos A ＝12c .(1)求tan A tan B的值；(2)求tan(A －B )的最大值，并判断当tan(A －B )取最大值时△ABC 的形状． [解析] (1)由a cos B －b cos A ＝12c 可得，sin A cos B －sin B cos A ＝12sin C ，∴2sin A cos B －2sin B cos A ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴sin A cos B ＝3sin B cos A ，∴tan Atan B＝3. (2)设tan B ＝t ，则tan A ＝3t 且t >0 tan(A －B )＝3t －t 1＋3t 2＝2t 1＋3t 2＝23t ＋1t≤33，此时t ＝33⇒B ＝π6⇒A ＝π3，故C ＝π2，△ABC 为直角三角形． 18．(本小题满分12分)(文)(2011～2012·河北衡水中学调研)如图，三棱锥A －BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形．(1)求证：DM ∥平面APC ； (2)求证：平面ABC ⊥平面APC ；(3)若BC ＝4，AB ＝20，求三棱锥D －BCM 的体积． [解析] (1)由已知得，MD 是△ABP 的中位线， ∴MD ∥AP ，∵MD ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ， ∴MD ∥平面APC .(2)∵△PMB 为正三角形，D 为PB 的中点， ∴MD ⊥PB ，∴AP ⊥PB ，又∵AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ，∴AP ⊥平面PBC ， ∵BC ⊂平面PBC ，∴AP ⊥BC ，又∵BC ⊥AC ，AC ∩AP ＝A ，∴BC ⊥平面APC ， ∵BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面APC . (3)由题意可知，MD ⊥平面PBC ， ∴MD 是三棱锥M －DBC 的高，在Rt △BCP 中，BC ＝4，BD ＝PD ＝5，∠BCP 为直角， ∴S △BCD ＝221，又MB ＝10，∴MD ＝MB 2－BD 2＝53， ∴V D －BCM ＝V M －DBC ＝13S △BCD ·MD ＝107.(理)(2011～2012·台州市质评)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x .(1)当a ＝3时，求函数f (x )的极大值；(2)若函数f (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．[解析] (1)f (x )＝ln x －32x 2－2x ，f ′(x )＝－3x 2＋2x －1x(x >0)，由f ′(x )>0，得0<x <13，由f ′(x )<0，得x >13.所以y ＝f (x )存在极大值f (13)＝－56－ln3.(2)f ′(x )＝－ax 2＋2x －1x(x >0)，依题意f ′(x )<0在(0，＋∞)上有解，即ax 2＋2x －1>0在(0，＋∞)上有解．当a ≥0时，显然有解；当a <0时，由方程ax 2＋2x －1＝0至少有一个正根，得－1<a <0. 所以a >－1.另解：依题意f ′(x )<0在(0，＋∞)上有解，即ax 2＋2x －1>0在(0，＋∞)上有解． ∴a >1－2x x 2在(0，＋∞)上有解，即a >(1－2xx2)min .∵x >0时，1－2x x 2＝1x 2－2x ＝(1x－1)2－1≥－1，∴a >－1.19．(本小题满分12分)(文)(2011～2012·安徽省东至县一模)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2在x ＝1处取得极值－1.(1)求b 、c 的值；(2)若关于x 的方程f (x )＋t ＝0在区间[－1,1]上有实根，求实数t 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由条件得，⎩⎪⎨⎪⎧f ＝3＋2b ＋c ＝0f ＝3＋b ＋c ＝－1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1c ＝－5，∴f (x )＝x 3＋x 2－5x ＋2.(2)设g (x )＝f (x )＋t ＝x 3＋x 2－5x ＋2＋t ，则g ′(x )＝3x 2＋2x －5＝(3x ＋5)(x －1)，由g ′(x )>0得，x <－53或x >1，由g ′(x )>0得－53<x <1，∴g (x )的单调增区间是(－∞，－53)，(1，＋∞)，g (x )的单调减区间是(－53，1)，∴函数g (x )在[－1,1]上单调递减，要使关于x 的方程f (x )＋t ＝0在区间[－1,1]上有实根，只需⎩⎪⎨⎪⎧g－g ，∴－7≤t ≤1.(理)(2011～2012·深圳市调研)如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，AB ＝2，BD ＝2，沿BD 将△BCD 折起，使二面角A －BD －C 是大小为锐角α，设C 在平面ABD 上的射影为O .(1)当α为何值时，三棱锥C －OAD 的体积最大？最大值为多少？ (2)当AD ⊥BC 时，求α的大小．[解析] (1)由题知OD 为CD 在平面ABD 上的射影． ∵BD ⊥CD ，CO ⊥平面ABD ，∴BD ⊥OD ， ∴∠ODC ＝α，V C －AOD ＝13S △AOD ·OC ＝13·(12·OD ·BD )OC＝26·OD ·OC ＝26·CD ·sin α·CD ·cos α ＝23·sin2α≤23. 当且仅当sin2α＝1，即α＝45°时取等号，∴当α＝45°时，三棱锥O －ACD 的体积最大，最大值为23. (2)法一：连接OB ，∵CO ⊥平面ABD ，AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面BOC ，∴AD ⊥OB ， ∴∠OBD ＋∠ADB ＝90°，又∵AB ⊥BD ，故∠OBD ＝∠DAB ， ∴Rt △ABD ∽Rt △BDO ，∴OD BD ＝BDAB， ∴OD ＝BD 2AB＝222＝1，在Rt △COD 中，cos α＝OD CD ＝12，得α＝60°.法二：过O 作OE ⊥AB 于E ，则OEBD 为矩形，以O 为原点，OE ，OD ，OC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0,0,0)，D (0,2cos α，0)，A (2，2cos α－2,0)，B (2，2cos α，0)，C (0,0,2sin α)，于是AD →＝(－2，2,0)，BC →＝(－2，－2cos α，2sin α)，由AD ⊥BC ，得AD →·BC →＝0，∴(－2)×(－2)＋2×(－2cos α)＋0×2sin α＝0，得cos α＝12，又α为锐角，∴α＝60°.20．(本小题满分12分)(2011～2012·开封市模拟)甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在[120,150]内为优秀，甲校：(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，若按是否优秀来判断，是否有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异.中任取3人，求优秀学生人数ξ的分布列和数学期望．附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d；[解析] (1)从甲校抽取学生1100×1051100＋1000＝55人，从乙校抽取学生105－55＝50人．∴x ＝6，y ＝7. (2)K 2＝30×75×50×55≈6.109>5.024，故有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异．(3)甲校优秀率为211，乙校优秀率为25，ξ＝0,1,2,3，ξ～B (3，25)，P (ξ＝0)＝C 03(25)0(1－25)3＝27125；P (ξ＝1)＝C 13(25)1(1－25)2＝54125；P (ξ＝2)＝C 23(25)2(1－25)1＝36125；P (ξ＝3)＝C 33(25)3(1－25)0＝8125，分布列期望：E (ξ)＝3×5＝5.21．(本小题满分12分)(文)(2011～2012·陕西师大附中模拟)已知数列{a n }，{b n }，其中a 1＝12，数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ∈N *)，数列{b n }满足b 1＝2，b n ＋1＝2b n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)是否存在自然数m ，使得对于任意n ∈N ＋，n ≥2，有1＋1b 1＋1b 2＋…＋1b n －1<m －84恒成立？若存在，求出m 的最小值．[解析] (1)因为S n ＝n 2a n (n ∈N ＋)．当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2a n －1；所以a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1. 所以(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1.即a n a n －1＝n －1n ＋1. 又a 1＝12，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13·12＝1n n ＋.当n ＝1时，上式成立．因为b 1＝2，b n ＋1＝2b n ，所以{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，故b n ＝2n. ∴a n ＝1nn ＋，b n ＝2n.(2)由(1)知，b n ＝2n.则1＋1b 1＋1b 2＋…＋1b n －1＝1＋12＋122＋…＋12n －1＝2－12n －1，假设存在自然数m ，使得对于任意n ∈N ＋，n ≥2，有1＋1b 1＋1b 2＋…＋1b n －1<m －84恒成立，即2－12n －1<m －84恒成立，∵当n ∈N *，n ≥2时，2－12n －1<2，∴m －84≥2，解得m ≥16，所以存在自然数m ，使得对于任意n ∈N ＋，n ≥2，有1＋1b 1＋1b 2＋…＋1b n －1<m －84恒成立，此时，m 的最小值为16.(理)(2011～2012·台州市质检)已知数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a n }满足a n ＝log 2b n －3n ＋11，S n 是{a n }的前n 项和．(1)求S n ；(2)设同时满足条件：①c n ＋c n ＋22≤c n ＋1(n ∈N *)；②c n ≤M (n ∈N *，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{c n }叫做“特界”数列．判断(1)中的数列{S n }是否为“特界”数列，并说明理由．[解析] (1)b n ＝b 1qn －1＝2n －1，a n ＝log 2b n －3n ＋11＝log 22n －1－3n ＋11＝10－2n ， S n ＝na 1＋n n －2d ＝－n 2＋9n .(2)由S n ＋S n ＋22－S n ＋1＝S n ＋2－S n ＋1－S n ＋1－S n2＝a n ＋2－a n ＋12＝d2＝－1<0，得S n ＋S n ＋22<S n ＋1，故数列{S n }适合条件①；又S n ＝－n 2＋9n ＝－(n －92)2＋814(n ∈N *)，故当n ＝4或5时，S n 有最大值20，即S n ≤20，故数列{S n }适合条件②. 综上，数列{S n }是“特界”数列．22．(本小题满分14分)(文)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值． [解析](1)由题设点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线． ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意直线l 2的方程为y ＝kx ＋1，与抛物线方程联立消去y ，得x 2－4kx －4＝0. 记P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.∵直线PQ 的斜率k ≠0，易得点R 的坐标为(－2k，－1)，RP →·RQ →＝(x 1＋2k ，y 1＋1)·(x 2＋2k，y 2＋1)＝(x 1＋2k )(x 2＋2k)＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2k ＋2k )(x 1＋x 2)＋4k2＋4＝－4(1＋k 2)＋4k (2k ＋2k )＋4k 2＋4＝4(k 2＋1k2)＋8，∵k 2＋1k2≥2，当且仅当k 2＝1时取到等号．RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.(理)(2011～2012·浙江六校联考)如图，过点D (0，－2)作抛物线x 2＝2py (p >0)的切线l ，切点A 在第二象限．(1)求切点A 的纵坐标；(2)若离心率为32的椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)恰好经过切点A ，设切线l 交椭圆的另一点为B ，记切线l ，OA ，OB 的斜率分别为k ，k 1，k 2，若k 1＋2k 2＝4k ，求椭圆方程．[解析] (1)设切点A (x 0，y 0)，则y 0＝x 202p，由切线l 的斜率为k ＝x 0p，得l 的方程为y ＝x 0p x －x 202p ，又点D (0，－2)在l 上，∴x 202p＝2，即点A 的纵坐标y 0＝2.(2)由(1)得A (－2p ，2)，切线斜率k ＝－2p，设B (x 1，y 1)，切线方程为y ＝kx －2，由e ＝32，得a 2＝4b 2，所以椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1，且过A (－2p ，2)，∴b 2＝p ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2x 2＋4y 2＝4b 2⇒(1＋4k 2)x 2－16kx ＋16－4b 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋x 1＝16k1＋4k 2x 0x 1＝16－4b21＋4k2，∴k 1＋2k 2＝y 0x 0＋2y 1x 1＝x 1y 0＋2x 0y 1x 0x 1＝x 1kx 0－2＋2x 0kx 1－2x 0x 1＝3k －2x 1＋4x 0x 0x 1＝3k －2x 1＋x 0＋2x 0x 0x 1＝3k －32k1＋4k 2－4p 16－4b21＋4k2＝3k －32k －4p 1＋4k 216－4b 2＝4k将k ＝－2p，b 2＝p ＋4代入得：p ＝32，所以b 2＝36，a 2＝144， ∴椭圆方程为x 2144＋y 236＝1.1．(2011～2012·深圳市一调)“2012”含有数字0,1,2，且有两个相同数字2.则含有数字0,1,2，且有两个相同的数字的四位数的个数为( )A ．18B ．24C ．27D ．36[答案] B[解析] 1°含有2个0时，先排首位有2种排法，剩下的非零数字，可排在其余3个位置中的任何一个位置上，∴共有2×3＝6种，2°含有两个1时，若首位排1，有6种不同排法，若首位排2，有3种不同排法，∴共有6＋3＝9种不同排法，3°含有两个2的四位数与含有两个1的一样多，∴共有不同的四位数字6＋9×2＝24个．2．(2011～2012·厦门市质检)若x 、y ∈R ，则“x ＝y ”是“|x |＝|y |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] x ＝y 时，|x |＝|y |；但|x |＝|y |时，x ＝±y ⇒/ x ＝y ，故选A.3．(2011～2012·大庆铁人中学期末)若命题甲：x ≠2或y ≠3；命题乙：x ＋y ≠5，则甲是乙的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件[答案] B[解析] 解法一：綈甲：x ＝2且y ＝3，綈乙：x ＋y ＝5，綈甲⇒綈乙，綈乙⇒/ 綈甲，∴綈乙是綈甲的必要不充分条件，∴甲是乙的必要不充分条件．解法二：x ＝5，y ＝0满足“x ≠2或y ≠3”，但x ＋y ＝5；x ＋y ≠5时，若x ＝2，则y ≠3，若y ＝3，则x ≠2，因此必有x ≠2或y ≠3，∴甲是乙的必要不充分条件．4．(2011～2012·浙江六校联考)已知函数f (x )＝－x 3＋3f ′(2)x ，令n ＝f ′(2)，则二项式(x ＋2x)n展开式中常数项是第________项．[答案] 5[解析] f ′(x )＝－3x 2＋3f ′(2)，则f ′(2)＝－12＋3f ′(2)，∴f ′(2)＝6，∴n ＝6，设二项式(x ＋2x )6展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r (2x )r ＝2r C r 6x6－3r2 ，令6－3r 2＝0得r ＝4，∴常数项为第5项．5．(2011～2012·滨州市沾化一中期末)已知{a n }为等差数列，a 3＝7，a 1＋a 7＝10，S n 为其前n 项和，则使S n 达到最大值的n 等于________．[答案] 6 [解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝7a 1＋a 7＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝72a 1＋6d ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－2a 1＝11，∴a n ＝13－2n ，由a n ≥0得，n ≤132，∵n ∈Z ，∴使S n 取到最大值的n 等于6.6．(2011～2012·绥化市一模)如图，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点．(1)求证：平面BDE ⊥平面SAC ；(2)当二面角E －BD －C 的大小为45°时，试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由． [解析] (1)由已知可得，SB ＝SD ，O 是BD 的中点，所以BD ⊥SO ，又因为四边形ABCD 是正方形，所以BD ⊥AC ，因为AC ∩SO ＝O ，所以BD ⊥平面SAC .又因为BD ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面SAC .(2)易知，SO ⊥平面ABCD ，AC ⊥BD .建立如图所示的空间直角坐标系．设四棱锥S －ABCD 的底面边长为2，则O (0,0,0)，S (0,0，2)，B (0，2，0)，D (0，－2，0)．所以BD →＝(0，－22，0)，设CE ＝a (0<a <2)，由已知可求得∠ECO ＝45°，则E (－2＋2a 2，0，2a 2)，BE →＝(－2＋2a 2，－2，2a 2)．设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·BE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，－2＋22a x －2y ＋22az ＝0，令z ＝1，得n ＝(a2－a，0,1)，因为SO ⊥底面ABCD ，所以OS →＝(0,0，2)是平面BDC 的一个法向量，因为二面角E －BD －C 的大小为45°，所以22·a2－a2＋1＝22，解得a ＝1，所以点E 是SC 的中点．。

【走向高考】(春季发行)高三数学第一轮总复习等比数列新人教A版

［答案］B• 8= q 3, • q = 2, n - • a n = 2 11# 1 \ n -1，• a n = (2)，［解析］• 9$= S ，…8( a i + a 2 + a 3)= a 4 + ct + ct ,5 31-=36故选B .i ｛—｝的前5项和为 —— 1 2 7 1 - 24. （2011 •江西抚州市高三模拟）等比数列｛a n ｝的前n 项和为S,若S 、S 3、S 2成等差数列，则｛a n ｝的公比等于（）A. 1 1C - 2 ［答案］C D. 2［解析］2S B = S + $,即卩 2(a 1 + a 1q + ag) = a 1 + a 1 + ag , 得q =-£故选C. 5.（文）（2011 •哈尔滨九中模拟）已知数列｛a n ｝的前n 项和S n = 2n - 1，则数列｛a n ｝的奇数项的前n 项和为（） A.n + 12 — 2 B.-3C. 22n 2n2 — 2 D 丁［答案］C［解析］当 n = 1 时，a 1 = S= 1,当 n 》2 时，a n = S — S n -1 = 2 — 2 1 = 2 1.n — 1*• a n = 2 (n € N),则数列｛a n ｝的奇数项的前 n 项和为1- 22n _1-22 =,故选C.（理）（2011 •泉州市质检 )等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,若a 1+ a 2+ a s + a 4= 1, a 5 + a e+ a 7 + a 8= 2, S= 15,则项数 n 为( )A. 12B. 14C. 15 ［答案］DD. 16,.a 5+ a 6+ a 7 + a 8 4［解析］=q = 2，由 a i + a 2+ a 3+ a 4= 1.a i 十 a 2 + a 3 + a 4得 a i (1 + q + q 2+ q 3) = 1,41 — q即 a 1 • = 1 ,「• a 1 = q — 1,1 — qn丄八二 q = 16,又•/ q 4 = 2,「. n = 16.故选 D.6.(2011 •安徽皖南八校联考)设｛a n ｝是公比为q 的等比数列，令b n = a n +1( n = 1,2，…), 若数列｛b n ｝有连续四项在集合｛ — 53,— 23,19,37,82｝中，则q 等于()A. ［答案］C［解析］集合｛ — 53 , — 23,19,37,82｝中的各元素减去1得到集合｛ — 54 ,— 24,18,36,81｝，其中一24, 36,— 54,81 或 81,— 54,36 , — 24 成等比数列，■■ q=- 2或-17.已知f (x )是一次函数,若f (3) = 5,且f (1)、f (2)、f (5)成等比数列,则f (1) + f (2) +…+ f (100)的值是 __________________________ .［答案］10000［解析］设 f (x ) = kx + b , f (3) = 3k + b = 5,由 f (1)、f (2)、f (5)成等比数列得(2 k +2b ) = (k + b ) • (5k + b )，可得 k = 2, b =— 1. /• f (n ) = 2n — 1,上上100X 99贝U f (1) + f (2) +…+ f (100) = 100X 1+ x2= 10000.& (文)(2010 •浙江金华)如果一个n 位的非零整数 a 1a 2…a n 的各个数位上的数字 a , 比，…，a n或适当调整次序后能组成一个等比数列，则称这个非零整数aa 2…a n 为n 位“等比数”.如124,913,333等都是三位“等比数”. 那么三位“等比数”共有 ______________ 个.(用数字作答)［答案］27又S n = 15,即1 —q n1 — q15,B.［解析］适当调整次序后能组成一个三位“等比数”的非零整数可分为以下几类：(1)111,222，…，999; (2)124,248,139.其中第(1)类“等比数”有9个；第⑵ 类“等比数” 有3X 6= 18个；因此，满足条件的三位“等比数”共有27个.(理)(2012 •北京东城练习)已知等差数列｛a n｝首项为a,公差为b,等比数列｛b n｝首项为b,公比为a,其中a、b都是大于1的正整数，且a i2，则a<b< ，解得a<3，即2<a<3，即不存在a满足a —2条件，由此可得a= 2.当a = 2 时，a n = 2+ ( n —1) b, b n= b X2n—1,若存在m€ N*,使得b n= a m+ 3 成立，贝U b x/ —1= 2 + ( m—1) b+ 3,即得b x2n—1= 5 —b,当b = 5 时，方程2n—1= m总有解，此时a n = 5n—3.9. （2011 •锦州模拟）在等比数列｛a n｝中，若公比q>1，且a2a8= 6, a4 + a6 = 5,则-=a72［答案］3［解析］T a2a8= 6，—a4a6= 6,又T a4 + a6= 5，且q>1 ,二a4= 2, a6= 3,a5 04 2a7 a6 310. (文)(2012 •北京东城练习)已知数列｛a n｝的前n项和为S,且S = 4a n—3(n€ N*).(1) 证明：数列｛a n｝是等比数列；⑵若数列｛b n｝满足5+ 1= a n+ b n(门€ N)，且4= 2 ,求数列｛5｝的通项公式.［解析］(1)证明：因为S= 4a n—3,所以n= 1时，a1 = 4a1 —3，解得a1= 1.因为S n= 4a n —3,贝V S n- 1 = 4a n- 1 —3(门》2),所以当n》2 时，a n= S— S1-1 = 4a n—4a n-1,4整理得a n= ［a n-1.3又a1= 1工0,4所以｛a n｝是首项为1,公比为3的等比数列.34 n—1 *(2) 因为a n= (3) ,b n +1 = a n + b n( n € N),4 n—1所以b n+1—b n= (3).可得b n= b1+ ( b2 —b1) + ( b3—b2) + …+ (b n—b n—1)n — 14n—1=3・(3)— 1(n 》2),当n = 1时符合上式，••• 3・（4）n —1— 1.3(理)(2012 •浙江绍兴质量调测 )已知数列｛a n ｝中，a 1= 1, S 是数列｛a n ｝的前n 项和，且对任意n € N *,有a n +1= kS + 1(k 为常数).(1) 当k = 2时，求a 2、a 3的值；(2) 试判断数列｛a n ｝是否为等比数列？请说明理由. ［解析］⑴当 k = 2 时，a n +1= 2S + 1,令 n = 1 得 a 2= 2Si +1,又 a = S = 1,得比=3 ；令 n = 2 得 a 3= 2S 2 +1 = 2(a 1+ a 2) + 1 = 9,「. a 3= 9.•- a 2 = 3, a 3= 9.(2)由 a n +1 = kS +1,得 a n = kS n —1+1, 两式相减，得 a n +1 — a n = ka n (n 》2),即 a n +1 = ( k +1) a n ( n >2),1, n = 1故当 k =— 1 时，a n= ... rn 上此时，｛a n ｝不是等比数列；a n + 1当k 工一1时，—=k + 1工0,此时，｛a n ｝是首项为1,公比为k + 1的等比数列.综上，当k =— 1时，｛a n ｝不是等比数列；当k 工一1时，｛a n ｝是等比数列.能力拓展提升11. （2011 •浙江温州质检）一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列，其最小角的正弦值为（）1 B.1C V 5— 1 C. 4 5+ 1PT［答案］A「a 2 且a ;=k +1k + 1,故 a n +1 = (k + 1) a n .［解析］设三内角A 0，n = 1,2，…，且 a 5 • a»5 =2n2 (n 》3)，则当 n 》l 时，log 2^+ log 2a s +^+ Iog 2&n —1=()［答案］C［解析］设等比数列｛a n ｝的首项为a,公比为q ，「a 5・ a 2n —5= ag 4 •ag 2n —6 = 22n ,即a 2•q 2n2 2n.n — 1、2 2n. 2n 、2n2n — 1=2 ? (a 1 • q ) = 2 ? a n = (2 )，: a n >0， • a n = 2， • a 2n — 1 = 2 ， • log 231 + log 2a 3 + …选C.（理）（2011 •辽宁沈阳二中检测，辽宁丹东四校联考）已知数列｛a n ｝满足log 3a n + 1 =*1log 3a n +1（ n € N ）且 a 2 + a 4 + a 6= 9，贝V log 3（ a 5 + a 7 + a 9）的值是（）3A. — 5C. 5 ［答案］A［分析］根据数列满足Iog 3a n + 1 = Iog 3a n +1（n € N *） •由对数的运算法则，得出 a n +1与a n 的关系，判断数列的类型，再结合a 2+ a 4 + a 6= 9得出a 5+ a ?+ a 9的值.［解析］由 log 3a n +1 = log 3a n + 1（n € N *）得，a n +1 = 3a n ， ■/ a n >0， •数列｛a n ｝是公比等于 3 的等比数列，•- a 5 + a 7 + a 9 = （a 2+ a 4 + a 6）X 3 3= 35，c >0，A. n (2n — 1) C. n 2B. D. (n + 1) (n — 1)+ log 2a 2n —1 = log 22+ log 223+…+ log 222n—1= 1 + 3+・・・ +(2 n - 1) =1+ 2n-12-n = n 2，故B. sin A,故选 A.1. 1 5--log 3( a5 + a7 + a9) = —log 33 = —5.33a n13. （文）（2011 •长春模拟）已知正项等比数列｛a n｝的前n项和为$，5=才，且｛b n｝a n+ 1的前n项和为T n，若对一切正整数n都有$>T n，则数列｛a n｝的公比q的取值范围是（）B. q>1A. 0<q<1C. q> 2D. 1<q< 2［答案］B左、，a3 1 1［解析］由于｛a n｝是等比数列，公比为q,所以b n= 2—= 2a n ,于是b l + b2+…+ b n = 2 a n+1 q q1 2 S n *（a i + a2 +-+ a n），即T n= = • S.又S>T n,且T n>0，所以q2=〒>1.因为a n>0对任意n€ N都qI n成立，所以q>0,因此公比q的取值范围是q>1.（理）（2011 •榆林模拟）在等比数列｛a n｝中，a n>0（n€ N+），公比q€ （0,1），且&低+ 2a§a5S S2 + a2a8= 25,又a3与a5的等比中项为2, b n= log?/,数列｛b n｝的前n项和为S，则当〒+勺+…（）+S最大时，n的值等于A. 8B. 9C. 8 或9D. 17［答案］C［解析］■/ a1a5+ 2a3a5 + a2a$= 25,2 2 ••• a3 + 2a3a5 + a5= 25,又a n>0,「・a3 + a5= 5,又q€ (0,1) , • a3>a5,a3a5= 4,「. a3= 4, a5= 1,1 1n_1 5_n•q=, a1= 16, a n= 16x(p = 2 ,b n= log 2a n= 5—n, b n+ 1 —b n=—1,• {b n}是以b1= 4为首项，一1为公差的等差数列，,n 9—n S n 9 —n--Si ~~，… ~~,2 ' n 2 'S S $•••当r K8 时，>0;当n= 9 时， =0;当n>9 时，<0,n n nS1 S2 S•当n= 8 或9 时，-+ - +•••+ 后最大.14. （2012 •江苏，6）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，一3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________ .3［答案］5［解析］本题考查等比数列及古典概型的知识.等比数列的通项公式为 a n = ( — 3) nT .所以此数列中偶数项都为负值，奇数项全为正值.若 an >8,贝y n 为奇数且(一3)n —1= 3n —1>8,贝U n —1>2,二 n 》3,二 n = 3,5,7,9 共四项满足要求.4 ..p 1 —10［点评］直接考虑情况较多时，可以从其对立面来考虑问题.11 15. (2011 •新课标全国文,17)已知等比数列｛a n ｝中，a 1 = 3 公比q =-.33(2)设 b n = log 3d + log 3a + •••+ log 3a n ,求数列｛b n ｝的通项公式. ［解析］⑴因为a n = 3x -n —1= £(2) b n = log 3a 1 + log 3a 2+・・・+ log 3a n =—(1 + 2 + ・・・+ n )n n + 1=— 2 .所以｛b n ｝的通项公式为b n =16. (文)(2011 •山东淄博一模)设｛a n ｝是公比大于1的等比数列，S 为数列｛a n ｝的前n 项和.已知 S 3= 7,且d+ 3,3 a 2, a s + 4构成等差数列.(1)求数列｛a n ｝的通项公式;(2)令 b n = ln a 3n +1, n = 1,2，…，求数列｛ b n ｝的前 n 项和 T n . ［解析］ ⑴ 设数列｛ a n ｝的公比为q (q >1),(1) S 为｛a n ｝的前n 项和，证明:Si = 1 —ch 2 ；所以S=1 —a n2解得 a= 1,q =2.a 1 + a 2+ a 3= 7, 即 a 1 — 6a2 + a 3 = —7,a1 1+ q + q 2= 7,a 1 1 — 6q + q 2 =—乙n _ 1故数列｛a n｝的通项为a n= 2 .⑵由⑴得a3n +1 = 23n,「•b n = In a3n+1 = In2 " = 3n ln2 ,又b n+1 —b n= 3In2 ,••• ｛b n｝是以b i= 3ln2为首项，以3ln2为公差的等差数列.• • • T n = b l + b2 +•••+ b nn b i + b n n 3ln2 + 3n］n2 3n n+1 ln2= 2 = 2 = 2即T n=3n n+l ln2.1(理)(2011 •安庆模拟)已知数列｛a n｝中，a i =-，点(n, 2a n+1_a n)在直线y= x上，其中n= 1,2,3 ….(1) 令b n = a n + 1 —a n —1 ,求证数列｛b n｝是等比数列;(2) 求数列｛a n｝的通项.1［解析］⑴由已知得2a n+1= a n+ n,又a1 = ,3 1 3b1= a2—a1—1 2= 4_2_ 1= _ 4,又.b n= a n+1 — a —1,…b n+1 = a n+2—a n+1 —1,.b n+1 a n+2—a n+1 —1b n a n+ 1 —a n—1a n+1+ n+l a n+ n--------------------- ——--- ——12 2a n+ 1 —a n—1a n + 1 —a n —12 = 1a n + 1 — ch —1 2 n+ 132a n — a n — i = 1 — 3x(㊁)11 1 1各式相加得a n = n — 1 — 3X ［(2)+ (㊁)+…+(2)】+ 22•等比数列的首项为 1,项数是偶数，所有的奇数项之和为85,所有的偶数项之和为170,则这个等比数列的项数为（）A. 4B. 6C. 8D. 10［答案］［解C由题意知，85q = 170 ,• q = 2,1X2n — 1•- 85 + 170 = , • n = 8.2— 13. （2011 •山东济南模拟）已知各项不为0的等差数列｛a n ｝，满足2a 3 — a 2 + 2少=0,数列｛b n ｝是等比数列，且 b 7= a 7,贝y b 6b 8等于（）1 =n —2 — 3x 1 4 x ［1 - 2 n—1］ 11 ---- 23 =2^+ n — 2. 备选题库1.已知数列｛a n ｝的前n 项的和 S 满足S = 2n — 1（ n € N *），则数列｛aj 的前n 项的和为（）nA. 4 — 1B.*4n - 1)金—1)n 2D. (2 — 1)［答案］B ［解析］n 时，a n = S n — S n -1 = (2 "一 1) — (2“ 1 — 1) = 2 又 a 1= S = 2 — 1 = 1 也满足，a n = 2 1(n € N). 设 b n = a l ,贝V b n = (2 n ) 2= 4 1 ,•••数列｛ b n ｝是首项b 1= 1,公比为4的等比数列,I x故｛b n ｝的前n 项和T n =A. 2［答案］D2［解析］由题意可知，a ? = 2( a 3+ an) = 4a.T a 7丰0,— a 7 = 4,「. b e b 8= b 7= a 7= 16.4.已知等比数列｛a n ｝的公比q >0,其前n 项的和为D.不确定［答案］A2 2 2［解析］(1)当 q = 1 时，$a 5— S =a 4= 4a 1 — 5a 1 = — a 1<0.⑵当q ^l 且q >0时，22 3a 1 4 8 3 8 a 〔qSa 5— S ^a4= 1 —q (q — q — q + q ) = 1—q (q— 1)=—a 1q 3<0.［点评］作差，依据前n 项和与通项公式化简后判断符号是解决这类问题的基本方法, 应注意对公比分类讨论.5. （2012 •广州一模）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类•如下图中的实心点个数1,5,12,22 ，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a 1 = 1,第2个五角形数记作 a 2= 5,第3个五角形数记作 a 3= 12,第4个五角形数记作 a 4C. 8D. 16B. S,则$a 5与Sa 4的大小关系是（A. S i a 5<Sa 4B. S i a 5>Sa 4C. Sa 5= S 5a 4=22，…，若按此规律继续下去，则 a 5=,若 a n = 145,则 n =12［答案］3510［解析］ a 2 — a 1 = 4, a 3 — a 2= 7, a 4— a 3 = 10, € N ）构成首项为4，公差为3的等差数列，所以观察图形可得，数列｛a n — a —1｝（ n 》2, n a 5— a 4= 13,所以 a 5= 35, a n — a n — 1= 3n —n +22 ,2(n 》2, n € N)，应用累加法得 a n — a= 4 + 7+ 10 +…+ (3 n — 2)=」^所以a n = 2曲 + 1(n 》2, n € N *)，当 a n = 145 时，亠=145，解得 n = 10.6.已知｛a n ｝是首项为◎、公比q （q z 1）为正数的等比数列，其前 n 项和为S,且有5S=4S ,设 b n = q + S.(1) 求q 的值；(2) 数列｛b n ｝能否是等比数列？若是，求出 a i 的值；若不是，请说明理由.［解析］(1)由题意知5S 2= 4S ,•-5(1 - q 2) = 4(1 - q 4)，又 q >0」q = 2.于是1若｛b n ｝是等比数列，则+ 2a 1= 0,I n +2— = f,...数列｛b n ｝是等比数列.1n + 1 221所以存在实数a 1 = - 4，使数列｛b n ｝为等比数列.7.已知数列｛ a n ｝和｛ b n ｝，数列｛a n ｝的前n 项和记为 S.若点(n , S)在函数y = — x 2+ 4x x的图象上，点(n , b n )在函数y =2的图象上.(1) 求数列｛a n ｝的通项公式； (2) 求数列｛a n b n ｝的前n 项和T. ［解析］(1)由已知得S=— n 2+ 4n , 当 n 》2 时，a n = S — S-1 = - 2n + 5,又当 n = 1 时，a 1 = S 1 = 3,符合上式.二 a n =— 2n + 5. (2)由已知得 b n = 2 , a n b n = ( — 2n + 5)2 .T n = 3X2 + 1X2 + ( — 1) X2 +…+ ( — 2n + 5) X2 , 2T n = 3X 2 2+ 1 X 2 3 +•••+ ( — 2n + 7) X2n+ ( — 2n + 5) X2两式相减可得,3 4 n + 1T n =- 6+ (2 + 2 +•+ 2) + ( — 2n + 5)X2=(7 — 2n ) X2 n +1 — 14.1-q 2 1-q 41 - qa i ⑵••• S=— l-q n1-qb n + 1b nn + 13n — 12 — 21 — 2+ ( — 2n + 5) X2 +— 6=2a 1 —a 1 1b n = q + Si = 2 + 2a 1 — a 1 ••• a 1 = -£ 此时,1…a n + 1 —a n = 1 —3X( Q)1a? —a1 = 1 —3X( Q)a s—a?= 1 —3X( 1)3。

2022版高中数学理人教A版一轮复习阶段检测：(六)第十一、十二章

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阶段滚动检测(六)(第十一、十二章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2020·三明模拟)将编号为001，002，003，…，300的300个产品，按编号从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用每小组选取的号码间隔一样的系统抽样方法抽取一个样本，若第一组抽取的编号是003，第二组抽取的编号是018，则样本中最大的编号应该是()A．283 B．286 C．287 D．288选D.样本间隔为18－3＝15，即抽取样本数为300÷15＝20，则最大的样本编号为3＋15×19＝288.2．(2020·海南模拟)统计与人类活动息息相关，我国从古代就形成了一套关于统计和整理数据的方法．据宋元时代学者马端临所著的《文献通考》记载，宋神宗熙宁年间(公元1068－1077年)，天下诸州商税岁额：四十万贯以上者三，二十万贯以上者五，十万贯以上者十九……五千贯以下者七十三，共计三百十一．由这段内容我们可以得到如表的统计表格：合计 73 35 95 51 30 19 5 3 311A ．0.5B ．2C ．5D ．10选B.因为总频数为311，所以中位数是所有数据从小到大第156个数据，156－73－35＝48，中位数大约在区间[1，3)的中点处，所以中位数大约为2.3．(2020·运城模拟)2020年2月初，由于A 地叫外卖人数的猛然增多以及商家工作人员的不足，外卖骑手的配送速度饱受批评，客户给骑手的评分(满分50分)也是参差不齐，现将某骑手一个上午得到的评分统计如图所示，则任取2个评分，至少有1个高于平均分的概率为( )A.49 B ．59 C ．29 D ．79 选D.平均分为30＋－10－5－2＋6＋7＋8＋15＋15＋16＋2010＝37；而高于37的评分有5个，则至少有1个高于平均分的概率为P ＝1－C 25 C 210＝1－29 ＝79 . 4．(2021·锦州模拟)某商场为了了解毛衣的月销售量y(单位：件)与月平均气温x(单位：℃)之间的关系，随机统计了某4个月的销售量与当月平均气温，其数据如表：由表中数据算出线性回归方程ˆy＝b x＋ˆa中的b＝－2，气象部门预测下个月的平均气温为 6 ℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量为()A．46 件B．40 件C．38 件D．58 件选 A.由题中数据，得x＝10，y＝38，回归直线ˆy＝ˆbx＋ˆa过点(x，y )，且ˆb＝－2，所以ˆa＝58，则线性回归方程为ˆy＝－2x＋58，所以当x＝6时，ˆy＝46，即下个月毛衣销售量为46件．5．(2020·胶州模拟)随机掷两枚骰子，记“向上的点数之和是偶数”为事件A，记“向上的点数之差为奇数”为事件B，则()A．A∩B≠∅B．A⊆BC．A，B互斥但不对立D．A，B对立选D.随机掷两枚骰子，记“向上的点数之和是偶数”为事件A，记“向上的点数之差为奇数”为事件B，则事件A与事件B既不能同时发生，又不能同时不发生，是对立事件，故A，B，C均错误，D正确．6．(2020·辽阳模拟)若X～B(20，0.3)，则()A．E(X)＝3B．P(X≥1)＝1－0.320C．D(X)＝4D．P(X＝10)＝C1020×0.2110选D.由X～B(20，0.3)，所以E(X)＝20×0.3＝6，所以A错误；计算P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.720，所以B错误；又D(X)＝20×0.3×0.7＝4.2，所以C错误；计算P(X＝10)＝C1020×0.310×0.710＝C1020×0.2110，所以D 正确．7．(2020·淄博模拟)某校高二期末考试学生的数学成绩ξ(满分150分)服从正态分布N(75，σ2)，且P(60＜ξ＜90)＝0.8，则P(ξ≥90)＝( ) A ．0.4 B ．0.3 C ．0.2 D ．0.1选D.因为数学成绩ξ服从正态分布N(75，σ2)，则正态分布曲线的对称轴方程为x ＝75，又P(60＜ξ＜90)＝0.8，所以P(ξ≥90)＝ 12 [1－P(60＜ξ＜90)]＝12(1－0.8)＝0.1. 8．(2020·贵港模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫2a x －3x 2 6 的展开式中，含x 3项的系数为－160，则a ＝( )A ．3B ．－13C ．13 D ．－3选C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2a x －3x 26 的展开式的通项公式为 T r ＋1＝C r 6 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a x 6－r (－3x 2)r＝(－3)r (2a)6－r C r6 x 3r －6，令3r －6＝3，求得r ＝3，可得展开式中含x 3项的系数是(－3)3(2a)3C 36＝－160，解得a ＝13.9．如图是省实验高三年级人数相同的四个班级某次地理考试成绩的频率分布直方图，其中标准差最小的是( )选C.选项A，E(x)＝55×0.02×10＋65×0.02×10＋75×0.02×10＋85×0.02×10＋95×0.02×10＝75，方差D(x)＝0.2×(55－75)2＋0.2×(65－75)2＋0.2×0＋0.2×(85－75)2＋0.2×(95－75)2＝200；选项B，E(x)＝55×0.01×10＋65×0.03×10＋75×0.02×10＋85×0.03×10＋95×0.01×10＝75，方差D(x)＝0.1×(55－75)2＋0.3×(65－75)2＋0.2×0＋0.3×(85－75)2＋0.1×(95－75)2＝140；选项C，E(x)＝55×0.01×10＋65×0.02×10＋75×0.04×10＋85×0.02×10＋95×0.01×10＝75，方差D(x)＝0.1×(55－75)2＋0.2×(65－75)2＋0.4×0＋0.2×(85－75)2＋0.1×(95－75)2＝120；选项D，E(x)＝55×0.03×10＋65×0.01×10＋75×0.02×10＋85×0.01×10＋95×0.03×10＝75，方差D(x)＝0.3×(55－75)2＋0.1×(65－75)2＋0.2×0＋0.1×(85－75)2＋0.3×(95－75)2＝260.因为方差小的标准差也小，120＜140＜200＜260，所以C的标准差最小．10．(2020·河南模拟)关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验．受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下：①先请高三年级1 000名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(x，y)(0＜x＜1，0＜y＜1)；②若卡片上的x，y能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为m；④根据统计数m估计π的值．假如本次试验的统计结果是m＝218，那么可以估计π的值约为()A ．389124B ．391124C ．389125D ．391125选D.由题意知，1 000对正实数对(x ，y)满足⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜1，0＜y ＜1，面积为1，两个数能与1构成锐角三角形三边的数对(x ，y)，满足x 2＋y 2＞1且满足⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜1，0＜y ＜1，x ＋y ＞1，面积为1－π4，因为统计两数能与1构成锐角三角形三边的数对(x ，y) 的个数m ＝218，所以2181 000 ＝1－π4 ，所以π＝391125.11．(2020·安阳模拟)2020年2月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地教师通过网络直播、微课推送等多种方式来指导学生线上学习．为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男、女学生，发现有80%的男生喜欢网络课程，有40%的女生不喜欢网络课程，且有99%的把握但没有99.9%的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男、女学生总数量可能为( ) A ．130 B ．190 C ．240 D ．250附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d.P(K 2≥k 0)0.1 0.05 0.01 0.001 k 02.7063.8416.63510.828选B.依题意，设男、女生的人数各为5x，建立2×2列联表如表所示：故K2的观测值k＝5x·5x·3x·7x ，由题可知 6.635＜10x21＜10.828，所以139.335＜10x＜227.388.只有B符合题意．12．(2020·焦作模拟)某种微生物的繁殖速度y与生长环境中的营养物质浓度x相关，在一定条件下可用回归模型y＝2lg x进行拟合．在这个条件下，要使y增加2个单位，则应该()A．使x增加1个单位B．使x增加2个单位C．使x增加到原来的2倍D．使x增加到原来的10倍选D.由y＝2lg x，得y＋2＝2lg x＋2＝2(lg x＋1)＝2lg 10x，所以应该使x增加到原来的10倍．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．(2020·太原模拟)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从乙车间的产品中抽取了4件，则n＝________．因为甲、乙、丙三个车间生产的产品的数量之比依次为120∶80∶60＝6∶4∶3，现用分层抽样的方法抽出的样本中乙车间抽4件，所以由分层抽样性质，得：46＋4＋3＝4n，解得n＝13.答案：1314．(2020·韶关模拟)某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如表(单位：吨)：有________吨．由于 1 000吨生活垃圾中投错的有30＋20＋100＋20＋100＋30＝300(吨)，故投错的比例约为3001 000＝0.3.故每天产生20 000吨垃圾，估计该市生活垃圾投放错误的有20 000×0.3＝6 000(吨).答案：6 00015．甲、乙两人进行飞镖比赛，规定命中6环以下(含6环)得2分，命中7环得4分，命中8环得5分，命中9环得6分，命中10环得10分(两人均会命中)，比赛三场，每场两人各投镖一次，累计得分最高者获胜．已知甲命中6环以下(含6环)的概率为13 ，命中7环的概率为14 ，命中8环的概率为16 ，命中9环的概率为16 ，命中10环的概率为112 ，乙命中各环对应的概率与甲相同，且甲、乙比赛互不干扰．若第一场比赛甲得2分，乙得4分，第二场比赛甲、乙均得5分，则三场比赛结束时，乙获胜的概率为________．由题意，若三场比赛结束时，乙获胜，则第三场比赛乙至多落后甲1分，当甲乙都得2分时，乙获胜，概率为P 1＝13 ×13 ＝19 ；当乙得4分时，则甲至多得5分，乙获胜，概率为P 2＝14 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋14＋16 ＝316；当乙得5分时，则甲至多得6分，乙获胜，概率为P 3＝16 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋14＋16＋16 ＝1172 ；当乙得6分时，则甲至多得6分，乙获胜，概率P 4＝16 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋14＋16＋16 ＝1172；当乙得10分时，乙获胜，概率为P 5＝112 ×1＝112 ；故乙获胜的概率为 P ＝P 1＋P 2＋P 3＋P 4＋P 5＝1116 .答案：111616．某学科考试共有100道单项选择题，有甲、乙两种计分法．某学生有a 道题答对，b 道题答错，c 道题未作答，则甲计分法的得分为X＝a －b 4 ，乙计分法的得分为Y ＝a ＋c 5 .某班50名学生参加了这科考试，现有如下结论：①同一学生的X 分数不可能大于Y 分数；②任意两个学生X 分数之差的绝对值不可能大于Y 分数之差的绝对值；③用X 分数将全班排名次的结果与用Y 分数将全班排名次的结果是完全相同的；④X 分数与Y 分数是正相关的．其中正确的有________．(写出所有正确结论的序号) 根据题意，a ＋b ＋c ＝100，且a ，b ，c ∈N ；又X ＝a －b 4 ，Y ＝a ＋c5，所以X －Y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 4 －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 5 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 4＋c 5 ≤0，所以同一学生的X 分数不可能大于Y分数，①正确；又|△X|－|△Y|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－b 14－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－b 24 －⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋c 15－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 25＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（a 1－a 2）＋14（b 2－b 1）－⎪⎪⎪⎪⎪⎪（a 1－a 2）＋15（c 1－c 2），且14 (b 2－b 1)与15 (c 1－c 2)的大小不确定，所以②错误；又因为X ＝a －14 b ，Y ＝a ＋c5 ，所以Y ＝a ＋c 5 ＝a ＋100－a －b 5 ＝45 a －15 b ＋20＝45⎝⎛⎭⎪⎫a －14b ＋20＝45 X ＋20，所以X 与Y 正相关，因此全班按X 或Y 的值排列，名次不变，所以③④正确．答案：①③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2020·泸州模拟)为了研究的需要，某科研团队进行了如下动物性试验：将试验核酸疫苗注射到小白鼠身体中，通过正常的生理活动产生抗原蛋白，诱导机体持续作出免疫产生抗体，经过一段时间后用某种科学方法测算出动物体内抗体浓度，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求抗体浓度百分比的中位数；(2)为了研究“小白鼠注射疫苗后出现副作用R症状”，从试验中分层抽取了抗体浓度在[2.5，3.5)，[5.5，6.5)中的6只小白鼠进行研究，并且从这6只小白鼠中选取了2只进行医学观察，求这2只小白鼠中恰有1只抗体浓度在[5.5，6.5)中的概率．(1)由频率分布直方图得：[1.5，3.5)的频率为：0.15＋0.20＝0.35，[3.5，4.5)的频率为0.30，所以抗体浓度百分比的中位数为 3.5＋0.5－0.350.3×1＝4.(2)从试验中分层抽取了抗体浓度在[2.5，3.5)，[5.5，6.5)中的6只小白鼠进行研究，则从抗体浓度在[2.5，3.5)中抽取：6×0.200.20＋0.10＝4只，抗体浓度在[5.5，6.5)中抽取：6×0.100.20＋0.10 ＝2只，从这6只小白鼠中选取了2只进行医学观察，基本事件总数n ＝C 26 ＝15，这2只小白鼠中恰有1只抗体浓度在[5.5，6.5)中包含的基本事件个数m ＝C 14 C 12 ＝8，所以这2只小白鼠中恰有1只抗体浓度在[5.5，6.5)中的概率P ＝m n ＝815.18．(12分)(2020·宁德模拟)A ，B 两同学参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加了8次测验，成绩(单位：分)记录如下： A 71 62 72 76 63 70 85 83 B 73 84 75 73 78 76 85 B 同学的成绩不慎被墨迹污染(，分别用m ，n 表示).(1)用茎叶图表示这两组数据，现从A ，B 两同学中选派一人去参加数学竞赛，你认为选派谁更好？请说明理由(不用计算)； (2)若B 同学的平均分为78，方差s 2＝19，求m ，n.(1)A ，B 两同学参加了8次测验，成绩(单位：分)的茎叶图如图：由茎叶图可知，B 同学的平均成绩高于A 同学的平均成绩，所以选派B 同学参加数学竞赛更好． (2)因为B x ＝18(73＋84＋75＋73＋70＋m ＋80＋n ＋76＋85)＝78，所以m ＋n ＝8，①，因为s 2＝18[2×(－5)2＋62＋(－3)2＋(m －8)2＋(n ＋2)2＋(－2)2＋72]＝19，所以(m －8)2＋(n ＋2)2＝4，②，联立①②解得，m＝8，n＝0(舍去其他解).19．(12分)(2020·西安模拟)3月底，我国新冠肺炎疫情得到有效防控，但海外确诊病例却持续暴增，防疫物资供不应求，某医疗器械厂开足马力，日夜生产防疫所需物品．已知该厂有两条不同生产线A和B生产同一种产品各10万件，为保证质量，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图所示：该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩达到[90，100)的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩达到[80，90)的产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到[60，80)的产品，质量等级为合格．将这组数据的频率视为整批产品的概率．(1)从等级为优秀的样本中随机抽取两件，求抽取的两件产品中至少有一件是A生产线生产的概率；(2)请完成列联表，并判断能否在误差不超过0.05的情况下认为产品等级是否达到良好及以上与生产产品的生产线有关？A生产线生产的产品B生产线生产的产品总计良好及以上合格总计附：K2＝（a＋b）（c＋d）（a＋d）（b＋c），其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.01 0.005生产线生产的产品有3件，记为C，D，E；从这5件产品中随机抽取两件，基本事件为：ab，aC，aD，aE，bC，bD，bE，CD，CE，DE共10个；抽取的两件产品中至少有一件是A生产线生产的基本事件为ab，aC，aD，aE，bC，bD，bE共7个．故所求的概率为P＝710；(2)根据题意填写列联表，40×（6×8－14×12）2 20×20×18×22＝4011≈3.636＜3.841，所以不能在误差不超过0.05的情况下认为产品等级是否达到良好及以上与生产产品的生产线有关．20．(12分)(2020·龙潭区模拟)全国文明城市，一块在国内含金量最高，综合性最强，影响力最大的“金字招牌”．为进一步提升城市整体竞争力，提升城市品质和管理水平，提升市民文明素质，提升人民群众幸福指数，2019年吉林市决定再次参加创建“全国文明卫生城”测评．为确保创建全国文明城市各项目标顺利完成，“创城办”不断加大宣传力度和管理力度等，在期间通过网络对江城市民进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次)，通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人中，得分统计结果如表所示：μ近似为这100人得分的平均值，利用该正态分布求P(37.5＜ξ≤79.5)；(注：同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)在(1)的条件下，“创城办”为鼓励市民参与“创建”，对参加问卷调查的市民制定了如下奖励方案：①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：获赠的话费，求X的分布列与数学期望．附：参考数据：①35×2＋45×13＋55×21＋65×25＋75×24＋85×11＋95×4＝6 550；②198 ≈14；③若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 3.(1)由题意得，μ＝35245135521652575248511954100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝65.5， σ＝198 ≈14，所以P(37.5＜ξ≤79.5)＝P(μ－2σ＜ξ≤μ＋σ)≈0.954 5－0.954 5－0.682 72＝0.818 6.(2)由题意知P(ξ＜μ)＝P(ξ≥μ)＝12 ，获赠话费X 的可能取值为20，40，50，70，100，P(X ＝20)＝12 ×23 ＝13 ，P(X ＝40)＝12 ×23 ×23 ＝29 ，P(X ＝50)＝12 ×13 ＝16， P(X ＝70)＝12 ×23 ×13 ＋12 ×13 ×23 ＝29 ，P(X ＝100)＝12 ×13 ×13 ＝118 ，则X 的分布列为：E(X)＝20×13 ＋40×29 ＋50×16 ＋70×29 ＋100×118＝45.21．(12分)某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室100颗种子浸泡后的发芽数，得到表中资料：(1)从3月m ，n ，求事件“⎩⎪⎨⎪⎧25≤m ≤30，25≤n ≤30”的概率；(2)该小组发现种子的发芽数y(颗)与昼夜温差x(℃)呈线性相关关系，试求线性回归方程ˆy＝ˆb x ＋ˆa ． (参考公式：线性回归方程ˆy＝ˆb x ＋ˆa 中系数计算公式ˆb ＝，ˆa＝y －ˆb x .其中x ，y 表示样本均值．参考数据：10×23＋11×25＋13×30＋12×26＋9×16＝1 351；102＋112＋132＋122＋92＝615).(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件共有C 25 ＝10种结果，满足条件“⎩⎪⎨⎪⎧25≤m ≤30，25≤n ≤30”的有：(25，30)，(25，26)，(30，26)共3个，所以要求的概率是p ＝310；(2)由表中数据，计算x ＝15 ×(10＋11＋13＋12＋9)＝11，y ＝15×(23＋25＋30＋26＋16)＝24，计算ˆb＝＝1 351－5×11×24615－5×112＝3110＝3.1，ˆa＝y－ˆb x＝24－3.1×11＝－10.1，所以y关于x的线性回归方程为ˆy＝3.1x－10.1.22．(12分)(2020·金安区模拟)某企业对某种产品的生产线进行了改造升级，已知该种产品的质量以其质量指标值m衡量，并依据质量指标值m划分等级如表：量指标值，得到如图的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图估计这100件产品的质量指标值m的平均数(同一区间数据用该区间数据的中点值代表)；(2)用分层抽样的方法从样本质量指标值m在区间[150，200)和[200，250)内的产品中随机抽取4件，再从这4件中任取2件作进一步研究，求这2件都取自区间[200，250)的概率；(3)该企业统计了近100天中每天的生产件数，得下面的频数分布表：B两种设备可供选择．A 设备每台每天最多可以加工30件，每天维护费用为500元/台；B 设备每台每天最多可以加工4件，每天维护费用为80元/台．该企业现有两种购置方案：方案一：购买100台A 设备和800台B 设备；方案二：购买200台A 设备和450台B 设备．假设进一步加工后每件产品可以增加25元的收入，在抽取的这100天的生产件数(同一组数据用该区间数据的中点值代表)的前提下，试依据使用A ，B 两种设备后的日增加的利润(日增加的利润＝日增加的收入－日维护费用)的均值为该公司决策选择哪种方案更好？(1)由题意得m ＝175×0.05＋225×0.15＋275×0.2＋325×0.3＋375×0.2＋425×0.1＝312.5；(2)因为区间[150，200)和[200，250)上的频率之比为1：3，所以应从区间[150，200)上抽取1件，记为A 1，从区间[200，250)上抽取3件，记为B 1，B 2，B 3，则从中任取两件的情况有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共6种，其中两件都取自区间[200，250)上的情况有(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共3种；所以其概率为P ＝36 ＝12.(3)每天生产件数的频数分布表为：若采用方案一，使用100台A 设备和800台B 设备每天可进一步加工的件数为30×100＋4×800＝6 200(件)，可得实际加工件数的频数分布表为：25×（6 000×20＋6 200×80）100 －500×100－80×800＝40 000(元)；若采用方案二，使用200台A 设备和450台B 设备每天可进一步加工的件数为30×200＋4×450＝7 800(件)，可得实际加工件数的频数分布表为：所以方案二中使用A ，B 设备进一步加工后的日增加的利润均值为 25×（6 000×20＋7 000×30＋7 800×50）100 －500×200－80×450＝44 000(元).综上所述，公司应该选择方案二．关闭Word 文档返回原板块。

走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学12-2

基础巩固强化一、选择题1．(文)极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A ．两个圆 B ．两条直线C ．一个圆和一条射线D ．一条直线和一条射线[答案] C[解析] 原方程等价于ρ＝1或θ＝π，前者是半径为1的圆，后者是一条射线．(理)(2013·北京西城期末)在极坐标系中，已知点P (2，π6)，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是( )A ．ρsin θ＝1B ．ρsin θ＝ 3C ．ρcos θ＝1D ．ρcos θ＝ 3[答案] A[解析] 点P (2，π6)的直角坐标为(3，1)， ∵所求直线平行于极轴，∴所求直线的斜率k ＝0.所求直线的普通方程为y ＝1，化为极坐标方程为ρsin θ＝1，故选A.2．(文)设极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴为x 轴正半轴，则直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t .(t 为参数)被圆ρ＝3截得的弦长为( )A.125B.125 5C.95 5 D.9510[答案] B[解析] 圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝9，直线的参数方程化为普通方程为x －2y ＋3＝0，则圆心(0,0)到直线的距离d ＝35.所以弦长为232－d 2＝1255.(理)已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t .(t 为参数)上，则|PF |＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] D[解析] 将抛物线的参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，则焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，又P (3，m )在抛物线上，由抛物线的定义知|PF |＝3－(－1)＝4.3．(文)(2013·北京海淀期末)已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－2－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ(θ为参数)，则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别为( )A.π4，(1,0) B.π4，(－1,0) C.3π4，(1,0)D.3π4，(－1,0)[答案] C[解析] ∵直线l 的普通方程为x ＋y ＝0， ∴直线l 的倾斜角为3π4.又∵圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝4， ∴圆心坐标为(1,0)，故选C.(理)(2013·山西太原测评)若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2t ，y ＝－1－t (t 为参数)被曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数，θ∈R )所截，则截得的弦的长度是( ) A.355 B.655 C.322 D ．6 2[答案] B[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2t ，y ＝－1－t ，∴x ＋2y ＋3＝0.∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ，∴(x －1)2＋(y －1)2＝9， ∴圆心(1,1)到直线x ＋2y ＋3＝0的距离 d ＝|1＋2＋3|5＝655，弦长为232－(655)2＝655，故选B.4．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－3t .(t 为参数)，则直线的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] D[解析] 由直线的参数方程知，斜率k ＝y －2x －1＝－3t 3t ＝－33＝tan θ，θ为直线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为150°.5．(文)在极坐标系中，过点(2，π3)且与极轴平行的直线的方程是( )A ．ρcos θ＝ 3B ．ρsin θ＝ 3C ．ρ＝3cos θD ．ρ＝3sin θ[答案] B[解析] 设P (ρ，θ)是所求直线上任意一点，则ρsin θ＝2sin π3，∴ρsin θ＝3，故选B.(理)(2013·安徽理，7)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2 C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1 D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1 [答案] B[解析] 由题意可知，圆ρ＝2cos θ可化为普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别为x ＝0和x ＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2，故选B.6．(2012·淮南市二模)已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ.(θ为参数)和直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋b .(t 为参数，b 为实数)，若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b ＝( )A. 2 B ．－ 2 C ．0 D ．±2[答案] D[解析] 将曲线C 和直线l 的参数方程分别化为普通方程为x 2＋y 2＝4和y ＝x ＋b ，依题意，若要使圆上有3个点到直线l 的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到|b |2＝1，解得b ＝±2.二、填空题7．若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋kt .(t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s .(s为参数)垂直，则k ＝______.[答案] －1[解析] l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt .(t 为参数)化为普通方程为y －2＝－k2(x －1)，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s .(s 为参数)化为普通方程为y －1＝－2x ，∵l 1⊥l 2，∴－k 2·(－2)＝－1，k ＝－1.8．(文)(2013·江西理，15)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t y ＝t2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．[答案] ρcos 2θ－sin θ＝0[解析] 由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2得曲线在直角坐标系下的方程为y ＝x 2.由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(理)(2013·陕西理，15)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)[解析] 由三角函数定义知yx ＝tan θ(x ≠0)，y ＝x tan θ，由x 2＋y 2－x ＝0得，x 2＋x 2tan 2θ－x ＝0，x ＝11＋tan 2θ＝cos 2θ，则y ＝x tan θ＝cos 2θtan θ＝sin θcos θ，又θ＝π2时，x ＝0，y ＝0也适合题意，故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．[解法探究] 因为直线OP 与圆的交点为P ，所以点P 与直径两端点构成直角三角形，故可通过解直角三角形求得参数方程．将圆x 2＋y 2－x ＝0配方得，(x －12)2＋y 2＝14， ∴圆的直径为1.设P (x ，y )，则|OP |＝cos θ， x ＝|OP |cos θ＝cos 2θ， y ＝|OP |sin θ＝sin θcos θ.∴圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ，(θ为参数)．9．(文)(2012·深圳调研)在极坐标系中，点P (1，π2)到直线l ：ρcos(θ＋π4)＝322上的点的最短距离为________．[答案] 2 2[解析] 注意到点P (1，π2)的直角坐标是(0,1)，直线l ：ρcos(θ＋π4)＝322的直角坐标方程是x －y －3＝0，因此点P (1，π2)到直线l 上的点的最短距离，即点P 到直线l 的距离，等于|0－1－3|2＝2 2.(理)在极坐标系中，圆ρ＝4cos θ的圆心C 到直线ρsin(θ＋π4)＝22的距离为________．[答案]2[解析] 注意到圆ρ＝4cos θ的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4x ，圆心C 的坐标是(2,0)．直线ρsin(θ＋π4)＝22的直角坐标方程是x ＋y －4＝0，因此圆心(2,0)到该直线的距离等于|2＋0－4|2＝ 2.三、解答题10．(文)(2012·河南六市联考)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋4t ，y ＝2＋3t .(t 为参数)．(1)将C 1化为直角坐标方程；(2)曲线C 1与C 2是否相交？若相交，求出弦长，若不相交，请说明理由．[解析] (1)∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴x 2＋y 2＝4x ，所以C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0. (2)C 2的直角坐标方程为3x －4y －1＝0， C 1表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆．圆心C 1(2,0)到直线C 2的距离 d ＝|3×2－4×0－1|32＋42＝1<2. 所以C 1与C 2相交．相交弦长|AB |＝222－12＝2 3.(理)已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α.(t 为参数)，圆C 2：ρ＝1.(极坐标轴与x 轴非负半轴重合)(1)当α＝π3时，求直线C 1被圆C 2所截得的弦长；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A .当a 变化时，求A 点的轨迹的普通方程．[解析] (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)， C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.法1：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1.解得C 1与C 2的交点为(1,0)，(12，－32)，所以截得的弦长为(1－12)2＋(－32)2＝1.法2：原点O 到直线C 1的距离为|0－0－3|(3)2＋1＝32，又圆C 2的半径为1，所以截得的弦长为21－(32)2＝2×12＝1.(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0. A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，故当α变化时，A 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2α，y ＝－sin αcos α.(α为参数)．所以A 点轨迹的普通方程为x 2＋y 2－x ＝0.能力拓展提升一、填空题11．(2013·广东理，14)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos ty ＝2sin t(t为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．[答案] ρsin(θ＋π4)＝ 2[解析] ∵曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t ，(t 为参数)，∴其普通方程为x 2＋y 2＝2.又点(1,1)在曲线C 上，∴曲线l 的斜率k ＝－1.故l 的方程为x ＋y －2＝0，化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝2，即ρsin(θ＋π4)＝ 2.12．(文)极坐标系中，点A 在曲线ρ＝2sin θ上，点B 在曲线ρcos θ＝－2上，则|AB |的最小值为________．[答案] 1[解析] ρ＝2sin θ⇒ρ2＝2ρsin θ ∴x 2＋y 2－2y ＝0，即x 2＋(y －1)2＝1； ∵ρcos θ＝－2，∴x ＝－2，易知圆心(0,1)到直线x ＝－2的距离为2，圆半径为1，故|AB |min＝1.(理)在极坐标系中，设P 是直线l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝4上任一点，Q 是圆C ：ρ2＝4ρcos θ－3上任一点，则|PQ |的最小值是________．[答案]2－1[解析] 直线l 方程化为x ＋y －4＝0，⊙C 方程化为x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1.圆心C (2,0)到直线l 的距离d ＝|2＋0－4|2＝2， ∴|PQ |min ＝2－1.13．(文)(2013·广东深圳一模)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋1(t 为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ－ρcos θ＝3，则C 1与C 2的交点在直角坐标系中的坐标为________．[答案] (2,5)[解析] 将曲线C 1的参数方程和曲线C 2的极坐标方程分别转化为直角坐标方程C 1：y ＝x 2＋1，C 2：y －x ＝3，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋1，y －x ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，故交点坐标为(2,5)．(理)以椭圆x 225＋y 216＝1的焦点为焦点，以直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝4t 为渐近线的双曲线的参数方程为________________．[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sec θ，y ＝22tan θ.(θ≠k π＋π2) [解析] ∵椭圆的焦点(±3,0)，∴双曲线中c ＝3，又直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝4t .化为y ＝22x ，它是双曲线的渐近线，∴b a ＝22，∴a 2＝1，b 2＝8，∴a ＝1，b ＝22，∴双曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sec θ，y ＝22tan θ.(θ≠k π＋π2)． 14．(2013·广东广州调研)已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ＋2(θ为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＋ρcos θ＝1，则直线l 被圆C 所截得的弦长是________．[答案] 2[解析] 圆C 的参数方程化为普通方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的极坐标方程化为平面直角坐标方程为x ＋y ＝1，圆心到直线的距离d ＝|0＋2－1|2＝22，故圆C 截直线l 所得的弦长为212－d 2＝ 2.二、解答题15．(文)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标坐标系取相等的单位长度．已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6.(1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆ρ＝2相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．[解析] (1)直线的参数方程是⎩⎨⎧ x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t .(t 是参数)(2)因为点A 、B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2，圆ρ＝2化为直角坐标系的方程x 2＋y 2＝4.将直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4整理得到t 2＋(3＋1)t －2＝0①因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2，∴|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝2.(理)(2013·辽宁五校协作体联考)已知直线l 是过点P (－1,2)，方向向量为n ＝(－1，3)的直线，圆方程ρ＝2cos(θ＋π3)．(1)求直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆相交于M ，N 两点，求|PM |·|PN |的值．[解析] (1)∵n ＝(－1，3)，∴直线的倾斜角α＝2π3.∴直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋t cos 2π3，y ＝2＋t sin 2π3(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝－1－12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)．(2)∵ρ＝2(12cos θ＋32sin θ)＝cos θ＋3sin θ，∴ρ2＝ρcos θ＋3ρsin θ.∴x 2＋y 2－x ＋3y ＝0，将直线的参数方程代入得t 2＋(3＋23)t ＋6＋23＝0.∴|t 1t 2|＝6＋23，即|PM |·|PN |＝6＋2 3.16．(文)(2013·贵州六校联考)已知圆C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 2的极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋π3)．(1)将圆C 1的参数方程化为普通方程，将圆C 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)圆C 1、C 2是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝sin φ，得x 2＋y 2＝1，又∵ρ＝2cos(θ＋π3)＝cos θ－3sin θ，∴ρ2＝ρcos θ－3ρsin θ.∴x 2＋y 2－x ＋3y ＝0，即(x －12)2＋(y ＋32)2＝1.(2)圆心距d ＝(0－12)2＋(0＋32)2＝1<2，得两圆相交．设交点为A ，B ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－x ＋3y ＝0 得A (1,0)，B (－12，－32)，∴|AB |＝(1＋12)2＋(0＋32)2＝ 3.(理)已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．[解析] (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点为(1,0)，(12，－32)．(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0.A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α，(α为参数)，消去参数得P 点轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116，故P 点轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．考纲要求1．了解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2．了解极坐标的基本概念．会在极坐标系中用极坐标来刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．4．了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别．5．了解参数方程，了解参数的意义．6．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．补充说明1．极坐标系的概念在平面内取一个定点O为极点，引一条射线Ox为极轴，再选定一个长度单位和角度单位(通常取弧度)及正方向(通常取逆时针方向)，就建立了一个极坐标系．对于极坐标系内任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序实数对(ρ，θ)就叫做点M的极坐标．如无特别说明时，ρ≥0，θ∈R.2．柱坐标系(1)如图，空间直角坐标系O－xyz中，设P是空间任意一点，它在xoy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)来表示点Q在平面xoy上的极坐标．则点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．把建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的这种对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ<2π，－∞<z <＋∞.(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .3．球坐标系(1)如图空间直角坐标系O －xyz 中，设P 是空间任意一点，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在xOy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ，则点P 用有序数组(r ，φ，θ)表示．把空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立的这种对应关系的坐标系叫做球坐标系或空间极坐标系，有序数组(r ，φ，θ)叫做点P 的球坐标，记作P (r ，φ，θ)，其中r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.备选习题1．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α.(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为________．[答案] 2[解析] 曲线C 1的参数方程可化为x 24＋y 23＝1，曲线C 2的极坐标方程ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0化为直角坐标方程为x －y ＋1＝0.直线x －y ＋1＝0过点(0,1)，位于椭圆C 1内，故C 1与C 2有2个交点．2．已知曲线C 1：ρ＝2sin θ，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－35t ＋2，y ＝45t .(t 为参数)． (1)化C 1为直角坐标方程，化C 2为普通方程；(2)若M 为曲线C 2与x 轴的交点，N 为曲线C 1上一动点，求|MN |的最大值．[解析] (1)曲线C 1的方程化为ρ2＝2ρsin θ又x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ所以曲线C 1的直角坐标方程x 2＋y 2－2y ＝0，因为曲线C 2的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－35t ＋2，y ＝45t .消去参数t 得曲线C 2的普通方程4x ＋3y －8＝0.(2)在曲线C 2的方程中，令y ＝0得x ＝2，即M 点的坐标为(2,0)，又曲线C 1为圆，其圆心坐标为C 1(0,1)，半径r ＝1，则|MC 1|＝5，∴|MN |≤|MC 1|＋r ＝5＋1，|MN |的最大值为5＋1.3．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t .(t 为参数)，若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋π4)，求直线l 被曲线C 所截的弦长．[解析] 将方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t .(t 为参数)化为普通方程得，3x ＋4y ＋1＝0，将方程ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4化为普通方程得，x 2＋y 2－x ＋y ＝0，它表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，半径为22的圆，则圆心到直线的距离d ＝110，弦长为2r 2－d 2＝212－1100＝75.4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合．设点O 为坐标原点，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2＋2t .(参数t ∈R )与曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝2sin θ.(1)求直线l 与曲线C 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，证明：OA →·OB→＝0. [解析] (1)由直线的参数方程消去参数t 得普通方程y ＝2x ＋2；由曲线C 的极坐标方程得曲线C 的普通方程为x 2＝2y ，(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋2，x 2＝2y .消去y 得x 2－4x －4＝0，x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝－4，∴y 1y 2＝x 212·x 222＝4，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0. 5．(2012·河北郑口中学模拟)在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，设曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)，直线l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝4.(1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的最大距离．[解析] (1)将C 化为普通方程是x 23＋y 2＝1，将l 化为直角坐标方程是x ＋y －4＝0.(2)在x 23＋y 2＝1上任取一点A (3cos α，sin α)，则点A 到直线l 的距离为d ＝|3cos α＋sin α－4|2＝|2sin (α＋60°)－4|2，它的最大值为3 2. 6．(2013·福建漳州一模)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝22a ，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos φ，y ＝－1＋sin φ，(φ为参数，0≤φ≤π)． (1)求C 1的直角坐标方程；(2)当C 1与C 2有两个不同公共点时，求实数a 的取值范围．[解析] (1)将曲线C 1的极坐标方程变形， ρ(22sin θ＋22cos θ)＝22a ，即ρcos θ＋ρsin θ＝a ，∴曲线C 1的直角坐标方程为x ＋y －a ＝0.(2)曲线C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1(－1≤y ≤0)，为半圆弧，如图所示，曲线C 1为一组平行于直线x ＋y ＝0的直线，当直线C 1与C 2相切时，由|－1－1－a |2＝1得a ＝－2±2，舍去a ＝－2－2，得a ＝－2＋2，当直线C 1过A (0，－1)、B (－1,0)两点时，a ＝－1. ∴由图可知，当－1≤a <－2＋2时，曲线C 1与曲线C 2有两个公共点．。

(精品人教)2020年高考数学一轮复习第十二单元数列综合单元A卷文

注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．数列{}na的通项公式为()()132nna n=--，则{}na的第5项是（）A．13 B．13-C．15-D．152．记nS为数列{}n a的前n项和．“任意正整数n，均有0na>”是“{}n S为递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）…，设第n个图形的边长为na，则数列{}n a的通项公式为（）A．13nB．131n-C．13nD．113n-4．若数列{}n a满足12a=，111nnnaaa++=-，则2018a的值为（）A．2 B．3-C．12-D．135．数列{}n a满足()11nn na a n++=-⋅，则数列{}n a的前20项的和为（）A．100-B．100 C．110-D．110A B C D7．在数列{}n a中，11a=-，2a=，21n n na a a++=+，则5a等于（）A．0B．1-C．2-D．3-8．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（）A．65 B．184 C．183 D．1769．已知数列{}n a的各项均为整数，82a=-，134a=，前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列，则15a=（）A．8 B．16 C．64 D．12810．设数列{}n a的前n项和为n S，若2nS n n=--，则数列()21nn a⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前40项的和为（）A．3940B．3940-C．4041D．4041-11．已知等差数列{}n a的前n项和为n T，34a=，627T=，数列{}n b满足1123n nb b b b b+=+++⋅⋅⋅+，121b b==，设n n nc a b=+，则数列{}n c的前11项和为（）A．1062 B．2124 C．1101 D．110012．已知数列{}n a满足11a=，()12n na a n+-≥∈*N，则（）A．21na n≥+B．2nS n≥C．12nna-≥D．12nnS-≥二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．记nS为数列{}n a的前n项和，若21n nS a=+，则6S=_____________．14．已知数列{}n a的首项12a=，且()11122n na a n+=+∈*N，则数列11na⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前10项的和为_____．15．已知数列{}n a前n项和为n S，若22nn nS a=-，则=nS_________．16．已知nS为数列{}n a的前n项和，10a=，若()()1112n nn na a+⎡⎤=+-+-⎣⎦，则100S=_____．※推荐※下载※※ 推荐 ※ 下载 ※三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1，n a ，n S 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n n n a b na ⋅=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S ，52S ，4S 成等差数列，521322a a a =+-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n b -=，求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．19．（12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项11a =，且1a ，2a ，6a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；※ 推荐 ※ 下载 ※（2）记11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（12分）设正项数列{}n a 的前n 项和n S满足1n a +，()n ∈*N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围．21．（12分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S a n =-∈*N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；※ 推荐 ※ 下载 ※（2）若lg n n b a =，求数列{}n n a b +的前n 项和n T ．22．（12分）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a λ=-（0n λ>∈*N ，）．（1）证明：数列{}n a 为等比数列，并求n a ；（2）若24,log n n n a n b a n λ⎧⎪==⎨⎪⎩，是奇，是偶，（n ∈*N ），求数列{}n b 的前n 项和n T ．※ 推荐 ※ 下载 ※单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A ）第十二单元数列综合一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】B【解析】求数列{}n a 的某一项，只要把n 的值代入数列的通项即得该项． 2．【答案】A【解析】∵“0n a >”⇒“数列{}n S 是递增数列”，所以“0n a >”是“数列{}n S 是递增数列”的充分条件．如数列{}n a 为1-，0，1，2，3，4，…，显然数列{}n S 是递增数列，但是n a 不一定大于零，还有可能小于等于零，所以“数列{}n S 是递增数列”不能推出“0n a >”， ∴“0n a >”是“数列{}n S 是递增数列”的不必要条件．∴“0n a >”是“数列{}n S 是递增数列”的充分不必要条件．故答案为A ． 3．【答案】D【解析】本题主要考查了等比数列的判定和等比数列的通项的求法，属于基础题．4．【答案】B【解析】12a =由题，111n n n a a a ++=-，所以121131a a a +==--，2321112a a a +==--，3431113a a a +==-，454121a a a +==-，故数列{}n a 是以4为周期的周期数列，故20185044223a a a ⨯+===-．故选B ． 5．【答案】A【解析】由()11nn n a a n ++=-，得211a a +=-，343a a +=-，565a a +=-，…192019a a +=-，∴n a 的前20A ．6．【答案】B【解析】令1n =，则11a =，代入选项，排除A ，D 选项．令2n =，则得212a =-，排除C 选项．故选B ．7．【答案】C【解析】因为21n n n a a a ++=+，所以3121a a a =+=-，4321a a a =+=-，5432a a a =+=-．故选C ．8．【答案】B【解析】由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996，设首项为1a ，结合等差数列前n 项和公式：811878828179962S a d a ⨯=+=+⨯=，解得：165a =，则81765717184a a d =+=+⨯=．即第八个孩子分得斤数为184．本题选择B 选项． 9．【答案】B【解析】设由前12项构成的等差数列的公差为d ，从第11项起构成的等比数列的公比为q ，由()2212131124d 423d a a a -+===-+，解得1d =或34d =，又数列{}n a 的各项均为整数，故1d =，所以13122a q a ==，所以111012213n n n n a n --≤⎧=⎨≥⎩，，，故415216a ==，故选B ．10．【答案】D【解析】根据2n S n n =--，可知当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-------=-⎣⎦，当1n =时，112a S ==-，上式成立，所以2n a n =-，所以()221112(+11nn a n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭），所以其前n 项和11111111234+111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=--+-++-=--=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭L ，所以其前40项和为404041T =-．故选D ． 11．【答案】C【解析】设数列{}n a 的公差为d ，则112461527a d a d +=+=⎧⎨⎩，解得121a d ==⎧⎨⎩，数列{}n a 的通项公式为1n a n =+，当2n ≥时，1n n n b b b +-=，∴12n n b b +=，即{}n b 从第二项起为等比数列，∴()222n n b n -=≥，数列{}n b 的通项公式为：21,1 2,2n n n b n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩，分组求和可得数列{}n c 的前11项和为()()29101123412112227721101S =+++++++++=+=+L L ．本题选择C 选项． 12．【答案】B【解析】由题得212a a -≥，322a a -≥，432a a -≥，432a a -≥，∴()213243121n n a a a a a a a a n --+-+-++-≥-L ，∴()121n a a n -≥-，21n a n ∴≥-， ∵123135a a a ≥≥≥，，，，21n a n ≥-，∴12313521n a a a a n ++++≥++++-L L ，※ 推荐 ※ 下载 ※∴()21212n nS n n ≥+-=．故选B ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】63-【解析】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+，两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以1-为首项，以2为公比的等比数列，所以()66126312S --==--．故答案是63-．14．【答案】1023【解析】由11122n n a a +=+，得()11112n n a a +-=-，∴{}1n a -为等比数列，()111111122n n n a a --⎛⎫⎛⎫-=-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1121n n a -=-，101012102312S -==-，故答案为1023． 15．【答案】2nn ⋅【解析】∵1n n n a S S -=-，故()122n n n n S S S -=--，整理得到122n n n S S -=+，也即是11122n n n n S S --=+，故2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．又12a =，∴()11122n nS a n n =+-⨯=即·2n n S n =． 16．【答案】101223-【解析】由()()()1112nnn n a a n +⎡⎤=+-+-∈⎣⎦*N ，当n 为奇数时，有()12nn a +=-；当n 为偶数时，有122n n n a a +=+， ∴数列{}n a 的所有偶数项构成以2-为首项，以4为公比的等比数列， ()()10013599246100S a a a a a a a a =+++⋯+++++⋯+()()()246982469824610022222a a a a a a a a =+++⋯+++++⋯+++++⋯+()()24698246100100322222a a a a a =+++⋯+-++++⋯+()()()5049101992144142232214143----=⨯-⨯-+=--．故答案是101223-．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）12n n a -=；（2）21122n n T n n -++-=．【解析】（1）由已知1，n a n S 成等差数列得21n n a S =+，① 当1n =时，111211a S a =+=+，∴11a =，当 2n ≥时，1121n n a S --=+，② ①-②得122n n n a a a --=，∴12nn a a -=， ∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴1111122n n n n a a q ---==⨯=．（2）由12n n n a b na ⋅=+得12n nb n a =+， ∴1212111242n n nT b b b n a a a =+++=++++++L L ()12111242n n a a a ⎛⎫=+++++++ ⎪⎝⎭L L()21112212212212n n n n n n --+=+=++--． 18．【答案】（1）21n a n =-，()n ∈*N ；（2）12362n n n T -+=-．【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由3S ，52S ，4S 成等差数列，可知345S S S +=，由521322a a a =+-得：120a d -=，1420a d --= 解得:11a =，2d =，因此21n a n =-，()n ∈*N ．（2）令()11212n n n n a c n b -⎛⎫==- ⎪⎝⎭．则12n n T c c c =++⋯+，∴()21111113521222n n T n -⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ，①()23111111352122222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，② ①-②，得()2111111122122222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ()1111212122n nn -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+---⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2332nn +=-※ 推荐 ※ 下载 ※∴12362n n n T -+=-． 19．【答案】（1）32n a n =-；（2）31n nS n =+．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，∵1a ，2a ，6a 成等比数列，∴2216a a a =⋅∴()()21115a d a a d +=⋅+， ∵11a =，∴23d d =，∵0d ≠，∴3d =，∴32n a n =-．（2）由（1）知()()1111323133231bn n n n n ⎛⎫==-⎪-+-+⎝⎭， ∴1211111111113447323133131n n n S b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 20．【答案】（1）21n a n =-，()n ∈*N ；（2）1132n T ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，．【解析】（1）①1n =时，由11a +，得11a =，②2n ≥时，由已知，得()241n n S a =+，∴()21141n n S a --=+，两式作差，得()()1120n n n n a a a a --+--=，又∵{}n a 是正项数列，∴12n n a a --=，∴数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列．∴21n a n =-，()n ∈*N ．（2）∵()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭，∴12111111111111123235221212212n n T b b b n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ．又因为数列{}n T 是递增数列，当1n =时n T 最小，113T =，∴1132n T ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，．21．【答案】（1）12n n a -=；（2）()1lg2212n n n n T -=+-．【解析】（1）由()21n n S a n =-∈*N ，可得1121S a =-，∴1121a a =-，∴11a =．又2221S a =-，∴12221a a a +=-，∴22a =． ∵数列{}n a 是等比数列，∴公比212a q a ==，∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=．（2）由（1）可知，()lg 1lg2n n b a n ==-，∴数列{}n n b a +的前n 项和 ()()()1122n n n T b a b a b a =++++++L()()()-101lg221lg22n n ⎡⎤=+++++-+⎣⎦L ()()1lg22lg21lg2122n n -=+++-++++⎡⎤⎣⎦L L()1lg2212n n n -=+-．22．【答案】（1）12n n a λ-=⨯；（2）()()()()()14214344211334n n n n nn T n n n +⎧-+⎪+⎪=⎨--+⎪+⎪⎩，是偶，是奇．【解析】（1）由题意可知112S a λ=-，即1a λ=；当2n ≥时，()()1112222n n n n n n n a S S a a a a λλ---=-=---=-，即12n n a a -=； ∴数列{}n a 是首项为λ，公比为2的等比数列，∴12n n a λ-=⨯．（2）由（1）可知当4λ=时12n n a +=，从而121n n n b n n +⎧⎪=⎨+⎪⎩，是奇，是偶，n 为偶数时，()2414312142nn n n T ⎛⎫- ⎪++⎝⎭=+-； n 为奇数时，()()1211141431122142n n n n n n T T b n +++⎛⎫+- ⎪+++⎝⎭=-=+-+- ()()()142115234n n n n +-++=+--()()()14211334n n n +--+=+，综上，()()()()()14214344211334n n n n nn T n n n +⎧-+⎪+⎪=⎨--+⎪+⎪⎩，是偶，是奇．。

高考数学一轮复习测试卷12-人教版高三全册数学试题

2015届高三一轮复习测试卷十二文科数学X 围：等差数列、等比数列班级:某某:座号:一、选择、填空（每题5分，共60分）1．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( )．A ．64B ．81C ．128D ．2432．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )．A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝－3，ac ＝9C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－93．在等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( )．A ．4B ．8C ．16D ．324．(2011·某某卷)若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n，则公比为( )．A ．2B ．4C ．8D ．165．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＝32，a 11＋a 12＋a 13＝118，则a 4＋a 10等于( )．A ．45B ．50C ．75D ．606．在等差数列{a n }中，设公差为d ，若前n 项和为S n ＝－n 2，则通项和公差分别为( )．A ．a n ＝2n －1，d ＝－2B ．a n ＝2n －1，d ＝2C ．a n ＝－2n ＋1，d ＝－2D ．a n ＝－2n ＋1，d ＝27．在等比数列{a n }中，若2a 4＝a 6－a 5，则公比q 是________．8．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝120，则a 5＋a 6＝________. 9．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5＝________. 10．若数列{a n }是等差数列，a 3，a 10是方程x 2－3x －5＝0的两根，则a 5＋a 8＝________.11．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝________.12．三个数a ，b ，c 成等比数列，公比q ＝3，又a ，b ＋8，c 成等差数列，则这三个数依次为________．二、解答题（每题20分，共40分）13．已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0.(1)求{a n }的通项公式；(2)若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n 项和公式．14．(2011·课标全国卷)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 32＝9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．2015届高三一轮复习测试卷十二文科数学X 围：等差数列、等比数列时间：2014年10月3日班级:某某:座号:一、选择、填空（每题5分，共60分）1．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( )．A ．64B ．81C ．128D ．243解析由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q ＝3，a 1q ＋a 1q 2＝6，，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2，∴a 7＝a 1q 6＝64，选A.答案 A2．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )．A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝－3，ac ＝9C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－9解析 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号．∴ac ＝b 2＝9.答案 B3．在等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( )．A ．4B ．8C ．16D ．32解析由等比数列的性质得a 2·a 6＝a 42＝42＝16.答案 C4．(2011·某某卷)若等比数列{a n}满足a n a n＋1＝16n，则公比为( )．A．2 B．4 C．8 D．16解析由a n a n＋1＝16n，知a1a2＝16，a2a3＝162，后式除以前式得q2＝16，∴q＝±4.∵a1a2＝a12q＝16>0，∴q>0，∴q＝4.答案 B5．在等差数列{a n}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝118，则a4＋a10等于( )．A．45 B．50 C．75 D．60解析由已知：a1＋a2＋a3＋a11＋a12＋a13＝150，∴3(a1＋a13)＝150，∴a1＋a13＝50.∵a4＋a10＝a1＋a13，∴a4＋a10＝50.答案 B6．在等差数列{a n}中，设公差为d，若前n项和为S n＝－n2，则通项和公差分别为( )．A．a n＝2n－1，d＝－2 B．a n＝2n－1，d＝2C．a n＝－2n＋1，d＝－2 D．a n＝－2n＋1，d＝2解析a n＝S n－S n－1＝－n2－[－(n－1)2]＝－2n＋1(n>1，n∈N*)．当n＝1时，a1＝S1＝－1满足上式，显然d＝－2.答案 C7．在等比数列{a n}中，若2a4＝a6－a5，则公比q是________．解析法一由已知得2a1q3＝a1q5－a1q4，即2＝q2－q，∴q＝－1或q＝2.法二∵a5＝a4q，a6＝a4q2，∴由已知条件得2a4＝a4q2－a4q，即2＝q2－q，∴q＝－1或q＝2.答案－1或28．在等比数列{a n}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝120，则a5＋a6＝________.解析根据等比数列的性质：a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列．∴a 5＋a 6＝(a 3＋a 4)·a 3＋a 4a 1＋a 2＝120×12030＝480. 9．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5＝________. 解析 S 9S 5＝92a 1＋a 952a 1＋a 5＝92·2a 552·2a 3＝9a 55a 3＝95·a 5a 3＝1. 10．若数列{a n }是等差数列，a 3，a 10是方程x 2－3x －5＝0的两根，则a 5＋a 8＝________. 解析 ∵数列{a n }为等差数列，∴a 3＋a 10＝a 5＋a 8.∵a 3＋a 10＝3，∴a 5＋a 8＝3.答案 311．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝________. 解析由等比数列的性质得a 3a 11＝a 72，∴a 72＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4.∴b 7＝a 7＝4.再由等差数列的性质知b 5＋b 9＝2b 7＝8.答案 812．三个数a ，b ，c 成等比数列，公比q ＝3，又a ，b ＋8，c 成等差数列，则这三个数依次为________．解析 ∵a ，b ，c 成等比数列，公比是q ＝3，∴b ＝3a ，c ＝a ·32＝9a .又由等差中项公式有：2(b ＋8)＝a ＋c ，∴2(3a ＋8)＝a ＋9a .∴a ＝4.∴b ＝12，c ＝36.答案 4,12,36二、解答题（每题20分，共40分）13．已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0.(1)求{a n }的通项公式；(2)若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n 项和公式．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 3＝－6，a 6＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0.解得a 1＝－10，d ＝2.所以a n ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12.(2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8，所以－8q ＝－24，q ＝3.所以数列{b n }的前n 项和公式为S n ＝b 11－q n1－q＝4(1－3n )．14．(2011·课标全国卷)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 32＝9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．解 (1)设数列{a n }的公比为q .由a 32＝9a 2a 6得a 32＝9a 42，所以q 2＝19. 由条件可知q >0，故q ＝13. 由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n . (2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n＝－(1＋2＋…＋n )＝－n n ＋12. 故1b n ＝－2n n ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. 1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝－2n n ＋1. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为－2n n ＋1.。

走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学12-3

基础巩固强化一、选择题1．(2012·安徽“江南十校”联考)已知集合M ＝{x ||2x －1|<2}，N ＝{x |x －2x －1<1}，则M ∩N 等于( )A ．{x |1<x <32} B ．{x |12<x <1}C ．{x |－12<x <32} D ．{x |－12<x <32，且x ≠1}[答案] A[解析] 由|2x －1|<2得－2<2x －1<2，则－12<x <32；由x －2x －1<1得(x －2)－(x －1)x －1<0，即－1x －1<0，则x >1.因此M ∩N ＝{x |1<x <32}，选A.2．不等式|x －2|－|x －1|>0的解集为( ) A ．(－∞，32) B ．(－∞，－32) C ．(32，＋∞) D ．(－32，＋∞) [答案] A[解析] 原不等式等价于|x －2|>|x －1|，则(x －2)2>(x －1)2，解得x <32.3．设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x ||x －b |>2，x ∈R }．若A ⊆B ，则实数a 、b 必满足( )A ．|a ＋b |≤3B ．|a ＋b |≥3C．|a－b|≤3 D．|a－b|≥3[答案] D[解析]由题意可得集合A＝{x|a－1<x<a＋1}，集合B＝{x|xb＋2}，又因为A⊆B，所以有a＋1≤b－2或b＋2≤a－1，即a－b≤－3或a－b≥3.因此选D.4．(文)若不等式|ax＋2|<4的解集为(－1,3)，则实数a等于() A．8B．2C．－4D．－2[答案] D[解析]由－4<ax＋2<4，得－6<ax<2.∴(ax－2)(ax＋6)<0，其解集为(－1,3)，∴a＝－2.[点评]可用方程的根与不等式解集的关系求解．(理)对于实数x、y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为()A．5B．4C．8D．7[答案] A[解析]由题易得，|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2)－2|≤|x－1|＋|2(y－2)|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.二、填空题5．(2013·天津)设a＋b＝2，b>0，则12|a|＋|a|b的最小值为________．[答案]3 4[解析]因为12|a|＋|a|b＝a＋b4|a|＋|a|b≥a4|a|＋2b4|a|·|a|b＝a4|a|＋1≥－14＋1＝34，当且仅当b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2，b ＝4时取等号，故12|a |＋|a |b 的最小值是34.6．(文)不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－∞，2)[解析] 由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2，所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.(理)(2013·昆明重点中学检测)已知不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈[2,6]恒成立，则实数a 的取值范围是________．[答案] [－1,2][解析] 设y ＝2x －1，x ∈[2,6]，则y ′＝－2(x －1)2<0，则y ＝2x －1在区间[2,6]上单调递减，则y min ＝26－1＝25，故不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈[2,6]恒成立等价于15|a 2－a |≤25成立，等价于⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2≤0，a 2－a ＋2≥0.解得－1≤a ≤2，故a 的取值范围是[－1,2]．7．(2013·陕西)设a ，b ∈R ，|a －b |>2，则关于实数x 的不等式|x －a |＋|x －b |>2的解集是________．[答案] (－∞，＋∞)[解析] ∵|x －a |＋|x －b |≥|a －b |>2， ∴|x －a |＋|x －b |>2恒成立，则解集为R .8．(2012·陕西)若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．[答案] －2≤a ≤4[解析] |x －a |＋|x －1|≥|a －1|，则只需要|a －1|≤3，解得－2≤a ≤4.9．若a >0，b >0，则p ＝(ab )a ＋b2，q ＝a b ·b a 的大小关系是________． [答案] p ≥q[解析] ∵a >0，b >0，∴p ＝(ab )a ＋b2>0，q ＝a b ·b a >0， p q ＝(ab )a ＋b 2a b b a＝a a －b 2·b b －a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2.若a >b ，则ab >1，a －b 2>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2>1；若a 1；若a ＝b ，则ab ＝1，a －b 2＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2＝1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2≥1，即p q ≥1.∵q >0，∴p ≥q . [点评] 可运用特值法，令a ＝1，b ＝1，则p ＝1，q ＝1，有p ＝q ；令a ＝2，b ＝4，有p ＝83＝512，q ＝24×42＝256，∴p >q ，故填p ≥q .三、解答题10．(文)已知函数f (x )＝|x －7|－|x －3|. (1)作出函数f (x )的图象；(2)当x <5时，不等式|x －8|－|x －a |>2恒成立，求a 的取值范围．[解析](1)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，(x ≤3)，10－2x ，(3<x <7)，－4(x ≥7)，图象如图所示：(2)∵x <5，∴|x －8|－|x －a |>2，即8－x －|x －a |>2，即|x －a |<6－x ，对x <5恒成立．即x －6<x －a <6－x 对x <5恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <6，a >2x －6.对x <5恒成立．又∵x <5时，2x －6<4，∴4≤a <6. ∴a 的取值范围为[4,6)． (理)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －3|. (1)作出函数y ＝f (x )的图象；(2)若对任意x ∈R ，f (x )≥a 2－3a 恒成立，求实数a 的取值范围． [解析] (1)①当x ≤－1时，f (x )＝－x －1－x ＋3＝－2x ＋2； ②当－1<x <3时，f (x )＝x ＋1＋3－x ＝4； ③当x ≥3时，f (x )＝x ＋1＋x －3＝2x －2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2，x ≤－1，4，－1<x <3，2x －2，x ≥3.∴y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知f (x )的最小值为4，由题意可知a 2－3a ≤4，即a 2－3a －4≤0，解得－1≤a ≤4.故实数a 的取值范围为[－1,4].能力拓展提升一、填空题11．(文)(2013·石家庄模拟)若不等式|3x －b |<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围为________．[答案] (5,7)[解析] ∵|3x －b |<4，∴b －43<x <b ＋43.由题意得⎩⎨⎧0≤b －43<1，3<b ＋43≤4，解得5<b <7，∴b 的取值范围是(5,7)．(理)若a 、b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y ，当且仅当a x ＝b y 时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f (x )＝2x ＋91－2x(x ∈(0，12))的最小值为________． [答案] 25[解析] 依据给出的结论可知f (x )＝42x ＋91－2x ≥(2＋3)22x ＋(1－2x )＝25等号在22x ＝31－2x，即x ＝15时成立．12．(文)(2013·山东师大附中三模)不等式|2x ＋1|＋|x －1|<2的解集为________．[答案] (－23，0)[解析] 当x ≤－12时，原不等式等价为－(2x ＋1)－(x －1)<2，即－3x <2，x >－23，此时－23<x ≤－12.当－12<x <1时，原不等式等价为(2x ＋1)－(x －1)<2，即x <0，此时－12<x <0.当x ≥1时，原不等式等价为(2x ＋1)＋(x －1)<2，即3x <2，x <23，此时不等式无解．综上，不等式的解集为－23<x <0.(理)不等式|x ＋log 3x |<|x |＋|log 3x |的解集为________． [答案] {x |0<x <1}[解析] 由对数函数定义得x >0，又由绝对值不等式的性质知，|x ＋log 3x |≤|x |＋|log 3x |，当且仅当x 与log 3x 同号时等号成立，∵x >0，∴log 3x >0，∴x >1，故原不等式的解集为{x |0<x <1}．二、解答题13．(文)(2013·福建理，21)设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．[解析] (1)因为32∈A ，且12∉A ，所以|32－2|<a ，且|12－2|≥a ，解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1. (2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号．所以f (x )的最小值为3.(理)(2013·福建龙岩模拟)已知函数f (x )＝|x －3|，g (x )＝－|x ＋4|＋m .(1)已知常数a <2，解关于x 的不等式f (x )＋a －2>0；(2)若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，求实数m 的取值范围．[解析] (1)由f (x )＋a －2>0得|x －3|>2－a ， ∴x －3>2－a 或x －3<a －2，∴x >5－a 或x <a ＋1. 故不等式的解集为(－∞，a ＋1)∪(5－a ，＋∞) (2)∵函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方， ∴f (x )>g (x )恒成立，即m <|x －3|＋|x ＋4|恒成立． ∵|x －3|＋|x ＋4|≥|(x －3)－(x －4)|＝7， ∴m 的取值范围为m <7.14．(2013·新课标Ⅱ理，24)设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.[解析] (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得， a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1. 15．(文)设不等式|2x －1|<1的解集是M ，a 、b ∈M . (1)试比较ab ＋1与a ＋b 的大小；(2)设max 表示数集A 中的最大数．h ＝max{2a ，a 2＋b 2ab ，2b}，求证：h ≥2.[解析] 由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，解得0<x <1. 所以M ＝{x |0<x <1}．(1)由a 、b ∈M ，得0<a <1,00. 故ab ＋1>a ＋b .(2)由h ＝max{2a ，a 2＋b 2ab ，2b}，得h ≥2a ，h ≥a 2＋b 2ab ，h ≥2b，所以h 3≥2a ·a 2＋b 2ab ·2b＝4(a 2＋b 2)ab ≥8，故h ≥2.(理)已知a 、b 为正实数． (1)求证：a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ；(2)利用(1)的结论求函数y ＝(1－x )2x ＋x 21－x (0<x <1)的最小值．[解析] (1)证法一：∵a >0，b >0，∴(a ＋b )(a 2b ＋b 2a )＝a 2＋b 2＋a 3b ＋b3a≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.∴a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．证法二：∵a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab ＝a 3－a 2b －(ab 2－b 3)ab ＝a 2(a －b )－b 2(a －b )ab ＝(a －b )2(a ＋b )ab. 又∵a >0，b >0，∴(a －b )2(a ＋b )ab ≥0，当且仅当a ＝b 时等号成立．∴a 2b ＋b 2a ≥a ＋b . (2)解：∵0<x <1，∴1－x >0，由(1)的结论，函数y ＝(1－x )2x ＋x 21－x ≥(1－x )＋x ＝1.当且仅当1－x ＝x 即x ＝12时等号成立．∴函数y＝(1－x)2x＋x21－x(0<x<1)的最小值为1.考纲要求1．理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)．2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.3．了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明．4．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法．补充说明1．证明不等式常用的方法(1)比较法：依据a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0来证明不等式的方法称作比较法．其基本步骤：作差→配方或因式分解→判断符号→得出结论．(2)综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理论证得出命题成立的方法．它是由因导果法．(3)分析法：从要证明结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明过的定理、性质等)，从而得出要证明的命题成立的方法，它是执果索因的方法．分析法与综合法常常结合起来运用，看由已知条件能产生什么结果，待证命题需要什么条件，两边凑一凑找出证明途径．常常是分析找思路，综合写过程．(4)反证法：证明不等式时，首先假设要证明的命题不成立，把它作为条件和其它条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理、性质等基本原理进行正确推理，逐步推证出一个与命题的条件或已证明过的定理、性质，或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设不正确，从而肯定原命题成立的方法称为反证法．(5)放缩法：证明不等式时，根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明目的，这种方法称为放缩法．2．柯西不等式(1)一般形式：设a1、a2、…、a n、b1、b2、…、b n为实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2.当且仅当b i＝0，或存在一个实数k，使得a i＝kb i(i＝1、2、…、n)时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式：①代数形式：设a、b、c、d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.上式等号成立⇔ad＝bc.②向量形式：设α、β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|.当且仅当β是零向量或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．③三角形式：设x1、x2、y1、y2∈R，则x21＋y21＋x22＋y22≥(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，其几何意义是三角形两边之和大于第三边．3．排序不等式设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1、c 2、…、c n 为b 1、b 2、…、b n 的任一排列，则有a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1≤a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，且反序和等于顺序和⇔a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n .即反序和≤乱序和≤顺序和．4．贝努利不等式设x >－1，且x ≠0，n 为大于1的自然数，则(1＋x )n >1＋nx . 备选习题1．设a 、b 、c 为正数，且a ＋2b ＋3c ＝13，则3a ＋2b ＋c 的最大值为( )A.1693B.133C.1333D.13[答案] C[解析] (a ＋2b ＋3c )[(3)2＋12＋(13)2] ≥(3a ＋2b ＋c )2，∵a ＋2b ＋2c ＝13，∴(3a ＋2b ＋c )2≤1693， ∴3a ＋2b ＋c ≤1333，当且仅当a 3＝2b 1＝3c 13取等号，又∵a ＋2b ＋3c ＝13，∴a ＝9，b ＝32，c ＝13时，3a ＋2b ＋c 取最大值1333.2．(2013·陕西检测)若不等式|x ＋1|＋|x －m |<6的解集为∅，则实数m 的取值范围为________．[答案] [5，＋∞)∪(－∞，－7][解析] ∵不等式的解集为空集，|x ＋1|＋|x －m |≥|m ＋1|，∴只需|m ＋1|≥6，∴m 的取值范围为[5，＋∞)∪(－∞，－7]．3．(2013·云南玉溪一中月考)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|－m .(1)当m ＝5时，求f (x )>0的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≥2的解集是R ，求m 的取值范围．[解析] (1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|>5，⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x ＋1＋x －2>5，或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x <2，x ＋1－x ＋2>5，或⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－x －1－x ＋2>5. 解得原不等式的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．(2)不等式f (x )≥2即|x ＋1|＋|x －2|≥m ＋2，∵x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，不等式|x ＋1|＋|x －2|≥m ＋2的解集是R ，∴m ＋2≤3，m 的取值范围是(－∞，1]．4．(1)解关于x 的不等式x ＋|x －1|≤3；(2)若关于x 的不等式x ＋|x －1|≤a 有解，求实数a 的取值范围．[解析] 设f (x )＝x ＋|x －1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1(x ≥1)，1 (x <1).(1)当x ≥1时，2x －1≤3，∴1≤x ≤2，又x <1时，不等式显然成立，∴原不等式的解集为{x |x ≤2}．(2)由于x ≥1时，函数y ＝2x －1是增函数，其最小值为f (1)＝1；当x <1时，f (x )＝1，∴f (x )的最小值为1.因为x ＋|x －1|≤a 有解，即f (x )≤a 有解，所以a ≥1.5．(2013·辽宁理，24)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．[解析] (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2<x <4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5；所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a .2a ，x ≥a .∵a >1，∴x ≤0时，h (x )＝－2a <－2，x ≥a 时，h (x )＝2a >2，而已知不等式|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，∴不等式|h (x )|≤2化为⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤4x －2a ≤2，0<x <a ，即⎩⎨⎧a －12≤x ≤a ＋12，0<x <a ， ∵a >1，∴a －12>0，a ＋12<a ，∴由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又∵|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，∴⎩⎨⎧ a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.[点评] 第(2)问是求解的难点，可借助图象帮助理解．作出h (x )的图象如图．∵a >1，|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，∴|h (x )|≤2，即|4x －2a |≤2.此不等式的解集为{x |1≤x ≤2}．。

2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学12-3

(2011·江西文，15)对于x∈R，不等式|x＋10|－|x－
2|≥8的解集为________．
－12， x≤－10，解析：令 y＝|x＋10|－|x－2|＝2x＋8，－10<x<2， 12， x≥2. 则可画出函数图象如图所示：
人教
A
版
第12章
第三节
高考数学总复习
人教
A
由图象可以观察出使 y≥8 的 x 的取值范围为[0，＋ ∞)． ∴|x＋10|－|x－2|≥8 的解集为[0，＋∞)．
第12章第三节人教
A
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高考数学总复习
三、不等式的解法 (1)含绝对值不等式解法 ①|ax＋b|≤c(c>0)⇔－c≤ax＋b≤c， |ax＋b|≥c(c>0)⇔ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c， ②|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c 型不等式解法．
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第12章
第三节
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第12章
第三节
高考数学总复习
(2011·陕西长安五校一模)如果存在实数x使不等式|x ＋1|－|x－2|<k成立，则实数k的取值范围是________．分析：存在x使f(x)<k成立，即不等式f(x)<k有解，只要使k>f(x)的最小值．
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第12章第三节人教
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高考数学总复习
解法二：在数轴上到点－1 和 2 距离的和为 4 的点 3 5 3 5 为－，，故使|x＋1|＋|x－2|≤4 的点 x 在－和之间， 2 2 2 2 3 5 ∴－ ≤x≤ . 2 2
3 5 答案：[－， ] 2 2