导数的综合应用 公开课教案

§3.4 导数的综合应用 基础知识 自主学习

要点梳理

1.利用导数研究函数单调性的步骤

(1)求导数

)('

x f ；

(2)在函数)(x f 的定义域内解不等式)('x f >0或)('

x f <0； (3)根据(2)的结果确定函数)(x f 的单调区间

2．求可导函数极值的步骤

(1)确定函数的定义域；(2)求导数

)('x f ；(3)解方程)('

x f ＝0，求

出函数定义域内的所有根；(4)列表检验)('x f 在)('

x f ＝0的根x 0

左右两侧值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在x 0

处取极大值，如果左负右正，那么)(x f 在x 0

处取极小值．

3．求函数f (x)在闭区间[a ，b]内的最大值与最小值

(1)确定函数

)(x f 在闭区间[a ，b]内连续、可导；

(2)求函数)(x f 在开区间(a ，b)内的极值；

(3)求函数)(x f 在[a,b]端点处的函数值f (a)，f (b);

(4)比较函数

)(x f 的各极值与f (a)，f (b)的大小，其中最大的一个是最

大值,最小的一个是最小值. 4．利用导数解决实际生活中的优化问题

(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问 题的数学模型，写出相应的函数关系式y ＝)(x f ；

(2)求导数

)('

x f ，解方程)('

x f ＝0；

(3)判断使)('

x f ＝0的点是极大值点还是极小值点；

(4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中 作答．一般地，对于实际问题，若函数在给定的定 义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．

基础自测

1．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________． 2．若

)(x f ＝x 3

＋3ax 2

＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为

__________________________．

3．若函数

)(x f ＝x ＋asin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为

4.设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )

A ．a>－3

B ．a<－3

C ．a>－13

D ．a<－1

3

题型分类 深度剖析

题型一 利用导数的几何意义解题 例1 设函数

)(x f ＝ax 3

＋bx 2

＋cx ＋d (a 、b 、c 、d ∈R)的图象关于原点对称，

且当x ＝1时f(x)有极小值－2

3. (1)求a 、b 、c 、d 的值；

(2)当x ∈[－1,1]时，问图象上是否存在两点使过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论． 解 (1)∵

)(x f 的图象关于原点对称，

∴f (－x)＝－f (x)，

∴－ax 3＋bx 2－cx ＋d ＝－ax 3－bx 2－cx －d ， ∴bx 2＋d ＝0恒成立， ∴b ＝0，d ＝0.∴

)(x f ＝ax 3

＋cx ，

∴f ′(x)＝3ax 2＋c. ∵当x ＝1时，

)

(x f 有极小值为－2

3， ∴⎩⎨⎧

3a ＋c ＝0，a ＋c ＝－23，

解得⎩⎨⎧

a ＝1

3，

c ＝－1.

变式训练1已知函数

)(x f ＝－x 3

＋ax 2

＋bx ＋c 图象上的点P(1，

f (1))处的切线方程为y ＝－3x ＋1，函数g(x)＝f (x)－ax 2＋3是奇函数． (1)求函数f (x)的表达式； (2)求函数f (x)的极值．

解 (1)

)('

x f ＝－3x 2

＋2ax ＋b ，

∵函数)(x f 在x ＝1处的切线斜率为－3，

∴f ′(1)＝－3＋2a ＋b ＝－3，即2a ＋b ＝0， 又f (1)＝－1＋a ＋b ＋c ＝－2，得a ＋b ＋c ＝－1，

又函数g(x)＝－x 3＋bx ＋c ＋3是奇函数，g(0)＝0，∴c ＝－3. ∴a ＝－2，b ＝4，c ＝－3，∴)(x f ＝－x 3

－2x 2

＋4x －3.

(2)

)('

x f ＝－3x 2

－4x ＋4＝－(3x －2)(x ＋2)，

令f ′(x)＝0，得x ＝2

3或x ＝－2， f ′(x)，

随x 的变化情况如下表：

∴

)(x f 极小值＝f (－2)＝－11，

)(x f 极大值

＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－4127

题型二 用导数研究函数的性质

例2 已知a 是实数，函数f (x)＝x(x －a)．

(1)求函数

)(x f 的单调区间；

(2)设g(a)为)(x f 在区间[0,2]上的最小值．

(i)写出g(a)的表达式；

(ii)求a 的取值范围，使得－6≤g(a)≤－2. 解 (1)函数的定义域为[0，＋∞)，

)

('x f ＝x ＋x －a 2x ＝3x －a

2x

(x>0)．

若a ≤0，则

)('

x f >0，f (x)有单调递增区间[0，＋∞)；

若a>0，令f ′(x)＝0，得x ＝a

3.

当0a

3时，f ′(x)>0. 所以f(x)有单调递减区间[0，a

3]，

单调递增区间[a

3,＋∞]. (2) (i)若a ≤0，

)(x f 在[0,2]上单调递增，

所以g(a)＝f (0)＝0.

若0

⎥⎤0，a 3上单调递减，