27.2.3切线长定理
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我们把圆的切线上某一点与切点之间的线 段的长叫做这点到圆的切线长。
A
如右图，线段PA， PB叫做点P到⊙O的 切线长，对吗？
B
想一想：切线和切线长是什么关系？
活动 二
如图，纸上有一⊙O ，PA为⊙O的一条切线，
沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为
B。
A
3、PA、PB有何关系？
PA=PB
O
4、∠APO和∠ BPO有何关系？
∴DA=DE （切线长定理）
同理可证 CE=CB，PA=PB
又∵C△PCD=PD+PC+CD =PD+PC+DE+CE
D
A
=PA+PB P =7+7
·O E
=14 cm
C B
练习：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和
圆ຫໍສະໝຸດ BaiduO分别相切于点L、M、N、P
求证： AD+BC=AB+CD 证明：∵四边形ABCD的边AB、
3、切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等， 垂直关系提供了理论依据。
4、圆的外切四边形的两组对边的和相等．
A
F E
B
D
C
练习2、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B 为切点，∠OAB＝30°． （1）求∠APB的度数； （2）当OA＝3时，求AP的长．
A
O
P
B
总结
课堂小结
1、切线长概念 我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的 长叫做这点到圆的切线长。
2、切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相 等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
A
在解决有关圆的切线长
问题时，往往需要我们 O M
P
构建基本图形。
B
（1）分别连接圆心和切点
（2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
练习：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，
直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。
（1）写出图中所有的垂直关系
A
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（2）写出图中所有的全等三角形 E O C D
应用新知
1、判断
（1）过一点可以做圆的两条切线。（×）
（2）切线长就是切线的长。（×）
2、已知PA、PB与⊙O相切
于点A、B，⊙O的半径为2
A
（1）若四边形OAPB的周
长为10，则PA= 3 。
（2）若∠APB=60°，
2 30
4° 2
则PA= 2 3。 ∠AOB=
B
思考
已知：PA、PB分别与⊙O切于点AB，连接AB交OP
于点M，那么OP除了平分∠APB以外，还有什么作用？
请说明理由。
A
(1)OP垂直平分AB
即 OP⊥AB，AM=BM
OM
P
(2)OP平分
⌒ AB
B
即
⌒⌒ AM = BM
切线长定理为证明线段相
(3)OP平分∠AOB 即 ∠AOP=∠BOP
等，角相等，弧相等，垂 直关系提供了理论依据。
归纳：作辅助线方法
P
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
B
（3）写出图中所有的等腰三角形
△ABP △AOB （4）写成图中所有和∠OAB相等的角
∠OBA ∠APO ∠BPO
例题
例：如图，PA、PB分别切⊙ O于A、B，
CD与⊙O切于点E，分别交PA，PB于C、
D，已知PA=7cm，求△PCD的周长． 解： ∵PA、DC为⊙O的切线
M I
B
D
C
与三角形各边都相切的圆 叫做这个三角形的内切圆
三角形内切圆的圆心叫做这个三 角形的内心
这个三角形叫做圆的外切三角形
A
三角形的内心就是三角形的
D
三个内角角平分线的交点
F
三角形的内心到三角形的三边的
I
距离相等
B
┐ E
C
三角形的外接圆： 三角形的内切圆：
A A
O
B
C
B
I C
D
练习1：已知,△ABC 中,BC=14cm,AC=9cm,AB=13cm, 它的内切圆分别和BC、AC、AB切 于点D、E、F,求AF、BD和CE的长。
27.2.3直线与圆的位置关系
切线长定理
复习
1、切线的判定定理
经过半径的外端且垂直于这条半径的直 线是圆的切线。
O
2、切线的性质归纳
AB
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那 么它一定满足第三个条件。这三个条件是：
(1)过圆心； (2)过切点； (3)垂直于切线。
知二求一
O AB
切线长概念
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
B
切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它 们的切线长相等，这一点和圆心的连线平 分两条切线的夹角。
A 符号语言:
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
B
归纳：切线长定理为证明线段相等、 角相等提供新的方法
P
B
∠APO=∠ BPO
利用图形轴对称性解释
推理论证
已知：从⊙O外的一点P引两条切线PA， PB，切点分别是A、B. 求证： AP=BP， ∠OPA=∠OPB
证明：连接OA，OB
A
∵PA，PB与⊙O相切，
点A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB
即 ∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP
可能大家都会想到
A
这样一个圆，它与
三角形的三条边都
相切，那么这样的
圆存在吗？如果存
在，我们又如何把
它画出来呢？
B
C
问题：如图△ABC，要求画△ABC的 内切圆，如何画？
已知：△ABC
求作：和△ABC的各边都相切的圆
作法：1、作∠B、∠C的平分线BM、 CN，交点为I
A
2、过点I作ID⊥BC，垂足为D N 3、以I为圆心，ID为半径作⊙I ⊙I就是所求的圆
N
C
BC、CD、DA和圆⊙O
D
分别相切于点L、M、N、P
∴AL=AP，LB=MB,
P
OM
NC=MC，DN=DP
A
∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP
L
B
即 AB+CD=AD+BC
补充结论：圆的外切四边形的两组对边之和相等．
思考:
如图是一张三角形的铁皮，如何在 它上面截取一个面积最大的圆形铁皮？
A
如右图，线段PA， PB叫做点P到⊙O的 切线长，对吗？
B
想一想：切线和切线长是什么关系？
活动 二
如图，纸上有一⊙O ，PA为⊙O的一条切线，
沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为
B。
A
3、PA、PB有何关系？
PA=PB
O
4、∠APO和∠ BPO有何关系？
∴DA=DE （切线长定理）
同理可证 CE=CB，PA=PB
又∵C△PCD=PD+PC+CD =PD+PC+DE+CE
D
A
=PA+PB P =7+7
·O E
=14 cm
C B
练习：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和
圆ຫໍສະໝຸດ BaiduO分别相切于点L、M、N、P
求证： AD+BC=AB+CD 证明：∵四边形ABCD的边AB、
3、切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等， 垂直关系提供了理论依据。
4、圆的外切四边形的两组对边的和相等．
A
F E
B
D
C
练习2、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B 为切点，∠OAB＝30°． （1）求∠APB的度数； （2）当OA＝3时，求AP的长．
A
O
P
B
总结
课堂小结
1、切线长概念 我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的 长叫做这点到圆的切线长。
2、切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相 等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
A
在解决有关圆的切线长
问题时，往往需要我们 O M
P
构建基本图形。
B
（1）分别连接圆心和切点
（2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
练习：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，
直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。
（1）写出图中所有的垂直关系
A
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（2）写出图中所有的全等三角形 E O C D
应用新知
1、判断
（1）过一点可以做圆的两条切线。（×）
（2）切线长就是切线的长。（×）
2、已知PA、PB与⊙O相切
于点A、B，⊙O的半径为2
A
（1）若四边形OAPB的周
长为10，则PA= 3 。
（2）若∠APB=60°，
2 30
4° 2
则PA= 2 3。 ∠AOB=
B
思考
已知：PA、PB分别与⊙O切于点AB，连接AB交OP
于点M，那么OP除了平分∠APB以外，还有什么作用？
请说明理由。
A
(1)OP垂直平分AB
即 OP⊥AB，AM=BM
OM
P
(2)OP平分
⌒ AB
B
即
⌒⌒ AM = BM
切线长定理为证明线段相
(3)OP平分∠AOB 即 ∠AOP=∠BOP
等，角相等，弧相等，垂 直关系提供了理论依据。
归纳：作辅助线方法
P
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
B
（3）写出图中所有的等腰三角形
△ABP △AOB （4）写成图中所有和∠OAB相等的角
∠OBA ∠APO ∠BPO
例题
例：如图，PA、PB分别切⊙ O于A、B，
CD与⊙O切于点E，分别交PA，PB于C、
D，已知PA=7cm，求△PCD的周长． 解： ∵PA、DC为⊙O的切线
M I
B
D
C
与三角形各边都相切的圆 叫做这个三角形的内切圆
三角形内切圆的圆心叫做这个三 角形的内心
这个三角形叫做圆的外切三角形
A
三角形的内心就是三角形的
D
三个内角角平分线的交点
F
三角形的内心到三角形的三边的
I
距离相等
B
┐ E
C
三角形的外接圆： 三角形的内切圆：
A A
O
B
C
B
I C
D
练习1：已知,△ABC 中,BC=14cm,AC=9cm,AB=13cm, 它的内切圆分别和BC、AC、AB切 于点D、E、F,求AF、BD和CE的长。
27.2.3直线与圆的位置关系
切线长定理
复习
1、切线的判定定理
经过半径的外端且垂直于这条半径的直 线是圆的切线。
O
2、切线的性质归纳
AB
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那 么它一定满足第三个条件。这三个条件是：
(1)过圆心； (2)过切点； (3)垂直于切线。
知二求一
O AB
切线长概念
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
B
切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它 们的切线长相等，这一点和圆心的连线平 分两条切线的夹角。
A 符号语言:
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
B
归纳：切线长定理为证明线段相等、 角相等提供新的方法
P
B
∠APO=∠ BPO
利用图形轴对称性解释
推理论证
已知：从⊙O外的一点P引两条切线PA， PB，切点分别是A、B. 求证： AP=BP， ∠OPA=∠OPB
证明：连接OA，OB
A
∵PA，PB与⊙O相切，
点A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB
即 ∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP
可能大家都会想到
A
这样一个圆，它与
三角形的三条边都
相切，那么这样的
圆存在吗？如果存
在，我们又如何把
它画出来呢？
B
C
问题：如图△ABC，要求画△ABC的 内切圆，如何画？
已知：△ABC
求作：和△ABC的各边都相切的圆
作法：1、作∠B、∠C的平分线BM、 CN，交点为I
A
2、过点I作ID⊥BC，垂足为D N 3、以I为圆心，ID为半径作⊙I ⊙I就是所求的圆
N
C
BC、CD、DA和圆⊙O
D
分别相切于点L、M、N、P
∴AL=AP，LB=MB,
P
OM
NC=MC，DN=DP
A
∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP
L
B
即 AB+CD=AD+BC
补充结论：圆的外切四边形的两组对边之和相等．
思考:
如图是一张三角形的铁皮，如何在 它上面截取一个面积最大的圆形铁皮？