27.2.3切线长定理
切线及切线长定理(解析版)
切线及切线长定理（解析版）【要点梳理】要点一、直线与圆的位置关系1.切线的定义：直线与圆有唯一的公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点.此时直线与圆的位置关系称为相切.2．直线和圆的三种位置关系：(1)相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交．这条直线叫做圆的割线.(2)相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切．这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点．(3)相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离．3．直线与圆的位置关系的判定和性质．一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：如果⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线l 的距离为 d，那么，（1）d＜r直线l 与⊙O相交；直线l 与⊙O相切；直线l 与⊙O相离.要点二、切线的性质和判定定理1．切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.要点诠释：切线的性质中要注意：圆的切线是与过切点的半径垂直，不是与任意半径都垂直.2．切线判定：过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：（1）切线的判定中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.（2）切线证明的两种基本类型：①有交点，连半径，证垂直；②无交点，做垂直，证半径。
要点三、切线长定理1．切线长：经过圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点到切点间的线段长叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.【同步训练】类型一、切线的判定与性质1如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交 BC 于D，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D．求证：AC 是⊙D 的切线．【答案与解析】证明：过点 D 作DF⊥AC 于 F．∵∠B＝90°，∴ DB⊥AB．∵ AD 平分∠BAC，∴ DF＝BD．∴ AC 与⊙D 相切．2如图，△ABC 中，∠ACB=90°，以 AC 为直径的⊙O 交AB 于D，E 为BC 中点. 求证：DE 是⊙O 切线.【答案与解析】证明：连结 OD、CD，则: OA=OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∵ AC 是圆 O 的直径，∴ ∠ADC=90°.∴ △CDB 是直角三角形.∵ E 是 BC 的中点，∴ DE=EB=EC，∴ ∠ECD=∠EDC。
切线长定理教案
观察与猜想：
1、图中⊙O的切线有几条？
线段PA、PB的长叫做切线长。
2、PA＝PB吗？
3、∠APO＝∠BPO吗？
3、发现规律
在以上基础上进行理论证明：
已知：如图PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B
求证：PA=PB，∠APO＝∠BPO
解题步骤：分析题意，注意引导学生作辅助线（连结OA、OB，证明全等）。
设计说明：
引起认知冲突,激发学生的求知欲，同时对前面学习相关内容回忆梳理.
在活动中培养学生参与数学活动，从而激发学习兴趣
根据实例由特特殊到一般，运用动态的变换方法，通过合情推理发现图形的性质，通过演绎推理证明这一性质
培养学生归纳总结知识的能力
对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中的关键，它是灵活应用知识的基础．
27.2.3切线（二）
切线长定理
湖南省衡阳市衡山县实验中学刘玉兰
教学目标：
知识与技能
1、掌握切线长定理的概念和性质。
2、会运用切线长定理解决简单的实际问题。
过程与方法:
1、在教学中，学生通过自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结.
2、在教学中，以“观察——猜想——证明——分析——应用——归纳”为主线，以学生为主体，展开活动式教学．在活动中促进学生对知识的学习,在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。
这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。
三、运用提高．
想一想：根据下面图形，你还可以得到什么结论？
(1)写出图中所有的垂直关系；
(2)写出图中所有的全等三角形；
(3)写出图中所有的相似三角形；
27.2.3 第2课时 切线长定理及三角形的内切圆(课件)2024-2025九年数学下(华东师大版)
推理验证
已知：如图，PA、PB 是☉O 的两条切线，A、B 为切点.
求证：PA = PB，∠APO =∠BPO.
证明：∵ PA、PB 是☉O 的两条切线， A
∴ OA⊥PA，OB⊥PB.
O.
∵ OA = OB，OP = OP，
∴ Rt△OAP≌Rt△OBP(HL).
∴ PA = PB，∠APO =∠BPO.
∴∠
DOE= ∠
AOB= ×130°=65°.
1-1. (易错题) 如图，直线AB，AD 分别与⊙ O 相切于点B，
D，C 为⊙ O 上一点， 且∠ BCD=130°，则∠ A的度
数是(
A. 70°
B. 85°
C. 80°
D. 100°
)
1-2. 如图，PA，PB切⊙ O 于A，B 两点，CD 切⊙ O 于点
(2)若∠ P=50°，求∠ DOE 的度数.
解：如图27.2-22，连结OA，OC，OB.
∵ PA，PB，DE 是⊙ O 的切线，
∴ OA ⊥ PA，OB ⊥ PB，OC ⊥ DE.
∴∠ DAO= ∠ EBO=90°.∴∠ P+ ∠ AOB=180°.
∴∠ AOB=180°－50°=130°.
易知∠ AOD= ∠ DOC，∠ COE= ∠ BOE，
圆心 I 应满足什么条件？
(2) 在△ABC 的内部，如何找到满足条件的圆心 I 呢？
三角形角平分线的这个
圆心 I 为什么呢？
到三角形三边的距离相等，都等于 r.
性质，你还记得吗？
圆心 I 应是三角形的
三角形三条角平分线交
三条角平分线的交点.
于一点，这一点到三角
华东师大九年级下第27章 切线长定理教学课件(20PPT)
15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月下午12时22分21.8.2612:22August 26, 2021
16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021年8月26日星期四12时22分46秒12:22:4626 August 2021
O
D
P
（2）写出图中与∠OAC相等的角
B
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
（3）写出图中所有的全等三角形
△AOP≌△BOP， △AOC≌△BOC， △ACP≌△BCP （4）写出图中所有的等腰三角形
△ABP，△AOB
例3：设△ABC的边BC=8，AC=11，AB=15，内切圆
⊙I和BC,AC,AB分别相切于点D,E,F.
27.2.4切线长定理
情境引入
1.切线的判定定理和性质定理是什么？ 2.大家知道，过圆上一点可以作圆的切线有且只有一 条．借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线. 那么，过圆外一点P能作圆的几条切线呢？
A
O
P
B
切线长概念
过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫
做这点到圆的切线长.
A
O
·
A
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，B是切点，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线.
∴OP垂直平分AB.
2、若延长PO交⊙O于点C，连接CA，CB，你又能得出
什么新的结论?并给出证明. B
CA=CB
.
P
C
O
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点， ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB. 又∵ PC=PC. ∴△PCA≌△PCB ，∴BC=AC.
初中数学 什么是切线长定理
初中数学什么是切线长定理
初中数学中，切线长定理是与圆相关的一个重要概念。
下面我将详细介绍切线长定理的定义、性质和相关概念。
1. 切线长定理的定义：
-切线长定理：在一个圆上，一个角的顶点在切点上，另外两个顶点在圆上，这个角的两条边分别与切线相交，那么这两条切线的长度相等。
2. 切线长定理的性质：
-定理性质1：切线长度相等。
如果一个圆上的两条切线与同一个角相交，且角的顶点在切点上，那么这两条切线的长度相等。
3. 切线长定理的相关概念：
-切点：切线与圆相交的点称为切点。
-切线长度：切线的长度即为从切点到圆心的距离。
切线长定理是初中数学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解和应用几何知识，解决与切线和圆相关的问题。
在应用切线长定理时，需要注意定理的定义和性质，并运用几何知识进行推理和分析。
例如，如果我们需要判断两条切线的长度是否相等，我们可以先找到这两条切线与同一个角相交，并且角的顶点在切点上。
然后根据切线长定理的性质，我们可以得出这两条切线的长度相等。
希望以上内容能够满足你对切线长定理的了解。
切线长定理课件
切线长定理的再一个推论
总结词
切线长定理的再一个推论是，若两圆在 同一直线上相切，则它们的切线互相平 行。
VS
详细描述
这个推论是切线长定理的进一步应用。当 两圆在同一直线上相切时，它们的切线不 仅长度相等，而且平行。这个推论在解决 涉及直线和圆的问题时非常有用，特别是 在几何证明和解析几何中。通过掌握这个 推论，学生可以更好地理解几何图形的性 质和关系，提高解决几何问题的能力。
切线长定理的另一个推论
总结词
切线长定理的另一个推论是，若两圆相切于同一点，则该点的切线与两圆心的连线垂直 。
详细描述
这个推论说明了当两圆在同一点相切时，该点的切线与两圆心的连线之间此，该点的切
线与两圆心的连线互相垂直。这个推论在证明几何定理和解决几何问题时非常有用。
切线长定理在数学、物理、工程等领 域有着广泛的应用，通过学习和掌握 这个定理，我们可以更好地理解和应 用相关领域的知识。
通过本次课件的学习，我们深入了解 了切线长定理的证明过程和实际应用 ，掌握了利用切线长定理解决实际问 题的技巧和方法。
展望
随着数学和其他学科的发展，切线长定理的应用范围将会更加广泛，我 们可以通过不断学习和探索，深入了解这个定理的更多应用和推广。
切线长定理的证明方法二
利用三角形的全等定理进行证明。首先，作辅助线连接圆心和切点，将切线分为两段。然后，根据三角形的全等定理，证明三 角形全等，从而得到切线长的平方等于半径的平方和。
切线长定理的证明方法三
利用向量进行证明。首先，根据向量的数量积公式，向量的数 量积等于两向量的模长乘以其夹角的余弦值。然后，利用切线 的性质，切线和半径垂直，从而夹角为90度。结合数量积公式 ，可以证明切线长的平方等于半径的平方和。
27.2 3. 第2课时 切线长定理及三角形的内切圆
27.2 3. 第2课时切线长定理及三角形的内切圆A．68° B．52° C．76°D．38°4．如图K－19－4，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP交⊙O于点C，︵上不与点A，C重合的一个动点，连结AD，D是ABCCD.若∠APB＝80°，则∠ADC的度数是链接听课例2归纳总结( )图K－19－4A．15° B．20° C．25°D．30°5．如图K－19－5，在△MBC中，∠MBC＝90°，∠C＝60°，MB＝2 3，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为( )图K－19－5A. 2B. 3 C．2 D．36．如图K－19－6所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(3，0)，(0，4)，则Rt△ABO的内心的坐标是( )图K－19－6A．(32，2) B．(1，2)C．(1，1) D．无法确定7．如图K－19－7，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则( )图K－19－7A．EF＞AE＋BF B．EF＜AE＋BFC．EF＝AE＋BF D．EF≤AE＋BF二、填空题8．如图K－19－8，△ABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于点D，E，F，如果AF＝2 cm，BD＝6 cm，CE＝4 cm，那么BC＝________cm，AC＝________cm，AB＝________cm.图K－19－89．如图K－19－9，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D.若PA＝5，则△PCD的周长为________.图K－19－910．2019·湖州如图K－19－10，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是________．图K－19－1011．如图K－19－11，在△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是它的内切圆，∠BOC＝105°，AB＝12，则BC的长为________．图K－19－11三、解答题12．如图K－19－12，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，AB交OP于点C.求证：OP⊥AB且AC＝BC.图K－19－1213．如图K－19－13，点E是△ABC的内心，AE的延长线与BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D.求证：(1)△BFD∽△ABD；(2)DE＝DB.图K－19－1314．2019·绵阳如图K－19－14，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上(点D不与点A，B重合)．直线AD 交过点B的切线于点C，过点D作⊙O的切线DE 交BC于点E.(1)求证：BE＝CE；(2)若DE∥AB，求sin∠ACO的值．图K－19－14素养提升思维拓展能力提升分类思想如图K－19－15，在四边形ABCD中，AD ∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝24 cm，BC＝26 cm，AB为⊙O的直径．动点P从点A开始沿AD边向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3 cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t s，当t为何值时，直线PQ与⊙O相切、相离、相交？图K－19－15教师详解详析[课堂达标]1．[答案] B2．[答案] B3．[解析] C∵⊙I是△ABC的内切圆，D，E，F都为切点，∴ID⊥AB，IF⊥AC，∴∠IDA＝∠IFA＝90°，∴∠A＋∠DIF＝180°.∵∠DIF＝2∠DEF＝2×52°＝104°，∴∠A＝180°－104°＝76°.4．[解析] C因为PA，PB是⊙O的两条切线，由切线长定理得∠APO＝∠OPB＝12∠APB＝40°. 连结OA，则∠OAP＝90°，所以∠AOP ＝90°－40°＝50°，所以∠ADC ＝12∠AOP＝25°.故选C.5．[解析] C在Rt△MBC中，∵∠C＝60°，MB＝2 3，∴BC＝2.∵AB为⊙O的直径，且AB⊥BC，∴BC为⊙O的切线．又∵CD也为⊙O 的切线，∴CD＝BC＝2.6．[答案] C7．[解析] C如图所示，连结OA，OB，则AO，BO分别是∠CAB与∠CBA的平分线，则∠EAO ＝∠OAB.又因为EF∥AB，所以∠EOA＝∠OAB＝∠EAO，所以AE＝OE，同理可求出OF＝BF，则EF＝AE＋BF.8．[答案] 10689．[答案] 10[解析] ∵PA，PB为⊙O的两条相交切线，∴PA＝PB.同理可得CA＝CE，DE＝DB.∵△PCD的周长＝PC＋CE＋DE＋PD，∴△PCD的周长＝PC＋CA＋BD＋PD＝PA＋PB＝2PA，∴△PCD的周长＝10.10．[答案] 70°[解析] ∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，∴OB平分∠ABC，∠ODB＝90°.∵∠ABC ＝40°，∴∠OBD＝20°，∴∠BOD＝70°.故填70°.11．[答案] 612．证明：∵PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO(切线长定理)，∴OP⊥AB，AC＝BC(等腰三角形“三线合一”)．13．证明：(1)如图．∵E是△ABC的内心，∴∠1＝∠2.又∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3.又∵∠D为△BFD与△ABD的公共角，∴△BFD∽△ABD.(2)连结BE，如图．∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠EBF.又∵∠BED＝∠1＋∠ABE，∠DBE＝∠EBF＋∠3，由(1)得∠1＝∠3，∴∠BED＝∠DBE，∴DE＝DB.14．[解析] (1)连结OD，利用切线长定理得到BE ＝DE，利用切线的性质得OD⊥DE，AB⊥CB，再根据等角的余角相等得到∠CDE＝∠ACB，则CE＝DE，从而得到BE＝CE；(2)过点O作OH⊥AD于点H，如图．设⊙O的半径为r，先证明四边形OBED为正方形得DE ＝CE＝r，再利用△AOD和△CDE都为等腰直角三角形得到OH＝DH＝22r，CD＝2r，接着根据勾股定理计算出OC＝5r，然后根据正弦的定义求解．解：(1)证明：连结OD，如图．∵BE，DE为⊙O的切线，∴BE＝DE，OD⊥DE，AB⊥BC，∴∠ADO＋∠CDE＝90°，∠A＋∠ACB＝90°.∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∴∠CDE＝∠ACB，∴CE＝DE，∴BE＝CE.(2)过点O作OH⊥AD于点H，如图．设⊙O的半径为r.∵DE∥AB，∴∠DOB＝∠DEB＝90°，∴四边形OBED为矩形．又∵＝OD，∴四边形OBED为正方形，∴DE＝BE＝r.易得△AOD和△CDE都为等腰直角三角形，∴OH＝DH＝22r，CD＝2r.在Rt△OCB中，OC＝（2r）2＋r2＝5r.在Rt△OCH中，sin∠OCH＝OHOC＝22r5r＝1010，即sin ∠ACO 的值为1010. [素养提升]解：设运动t s 时，直线PQ 与⊙O 相切于点G ，过P 作PH ⊥BC 于点H ，则PH ＝AB ＝8，BH ＝AP ＝t ，可得HQ ＝|26－3t －t|＝|26－4t|，由切线长定理，得AP ＝PG ，QG ＝BQ ，则PQ ＝PG ＋QG ＝AP ＋BQ ＝t ＋26－3t ＝26－2t.由勾股定理，得PQ 2＝PH 2＋HQ 2，即(26－2t)2＝82＋(26－4t)2，化简，得3t 2－26t ＋16＝0，解得t 1＝23，t 2＝8， 所以当t ＝23或t ＝8时，直线PQ 与⊙O 相切． 因为t ＝0时，直线PQ 与⊙O 相交，当t ＝263时，点Q 运动到点B ，点P 尚未运动到点D ，但也停止运动，直线PQ 也与⊙O 相交， 所以可得以下结论：当t ＝23或t ＝8时，直线PQ 与⊙O 相切； 当0≤t ＜23或8＜t ≤263时，直线PQ 与⊙O 相交； 当23＜t ＜8时，直线PQ 与⊙O 相离．。
切线长定理内容
切线长定理内容
切线长定理是几何学中的一个定理,它描述的是当两个物体相对运动时,如果物体A的切线速度与物体B的速度方向相反,那么物体A 的切线长度一定比物体B的长度长。
切线长定理的公式为:
L_A / L_B = (v_A^2 / c^2) - (v_B^2 / c^2)
其中,L_A表示物体A的切线长度,L_B表示物体B的切线长
度,v_A表示物体A的相对速度,v_B表示物体B的相对速度,c表示光速。
切线长定理说明了一个物体的切线长度与其相对速度有关,而与物体的质量、形状等因素无关。
这个定理在物体运动分析、机械力学、相对论等领域都有广泛的应用。
(完整)切线长定理与弦切角定理.知识精讲(-) -教师版
中考内容中考要求A B C直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系;会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题;能利用直线和圆的位置关系解决简单问题 能解决与切线有关的问题⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩概念切线长定理定理相关结论概念切线长定理与弦切角定理弦切角定理定理相交弦定理圆幂定理切割线定理割线定理一、切线长定理1、切线长的概念在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 2、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．BAPO【注意】在新课讲解时需要讲解为什么从圆外一点引圆的两条切线．切线长定理与弦切角定理中考大纲知识精讲知识网络图3、相关结论（1）圆的两条平行切线,切点间的线段是直径. （2)圆外切四边形的两组对边和相等. （3）圆外切平行四边形是菱形。
（4）圆心和圆外这点的连线垂直平分两切点的连线. 【注意】：切线是直线，切线长是线段长;二、弦切角定理(选讲） 1、弦切角顶点在圆上,一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角. 2、弦切角定理定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
推论：两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等【注意】1、明确弦切角所夹的弧是在弦切角内部的一条弧。
2、弦切角必须具备的三个条件：（1）顶点在圆上（2)一边与圆相切(3)一边与圆相交3、弦切角和圆周角的联系与区别弦切角可以看做是圆周角的一边绕顶点旋转到圆相切时所成的角，顶点都在圆上。
弦切角的一边是过顶点的弦，另一边是切线上以切点为端点的一条射线，而圆周角的两边均是弦。
三、圆幂定理(选讲） 1、相交弦定理（1)相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等． 如图,弦AB 和CD 交于⊙O 内一点P ，则PA PB PC PD ⋅=⋅．P ODC A【证明】如图，AB 、CD 为⊙O 的两条任意弦.相交于点P ，连接AD 、BC ，由于B ∠与D ∠同为弧AC 所对的圆周角，因此由圆周角定理知:B D ∠=∠，同理A C ∠=∠，所以PAD PCB ∽△△. 所以有：PA PDPC PB=，即：PA PB PC PD ⨯=⨯．PDCBA（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项． 2、切割线定理如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的切线，AD 是⊙O 的割线，则题意中满足2AB AC AD =⋅．ODCB A3、割线定理从从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于A 、B ；C 、D ,则有··PA PB PC PD =1、圆的切线长定理是解决圆内求线段长、角度数，证明线段相等和成比例等的重要工具,在解题过程中常： (1）连结圆心和切点构造直角三角形; （2）连结圆心和圆外这一点构造角平分线； （3）连结两切点等构造等腰三角形或垂直关系。
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理讲义
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理【典型例题】例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。
在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。
解：由切线长定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理∴，，例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。
27.2.3切线长定理
F
E
B
D
C
练习2、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B 为切点，∠OAB＝30°． （1）求∠APB的度数； （2）当OA＝3时，求AP的长． A
O B P
总结
课堂小结
1、切线长概念 我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的 长叫做这点到圆的切线长。
2、切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相 等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 3、切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等， 垂直关系提供了理论依据。 4、圆的外切四边形的两组对边的和相等．
练习：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和 圆⊙O分别相切于点L、M、N、P 求证： AD+BC=AB+CD
证明： ∵四边形ABCD的边AB、 D BC、CD、DA和圆⊙O 分别相切于点L、M、N、P
N O
L
C M B
∴AL=AP，LB=MB, NC=MC，DN=DP A ∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP 即 AB+CD=AD+BC
27.2.3直线与圆的位置关系
切线长定理
复习
1、切线的判定定理
经过半径的外端且垂直于这条半径的直 线是圆的切线。
2、切线的性质归纳
O A B
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那 么它一定满足第三个条件。这三个条件是： (1)过圆心； (2)过切点； (3)垂直于切线。
知二求一
O
A B
切线长概念
三角形的内心就是三角形的 三个内角角平分线的交点
三角形的内心到三角形的三边的
距离相等
C
27.2.3.2切线长定理
27.2.3切线长定理导学案学习目标1.了解切线长定理的探究与演绎推理，会运用切线长定理进行计算和证明.2.知道三角形的内切圆和内心以及圆的外切三角形的意义.学习策略1.在操作与测量中发现分析，总结归纳，在例题探究中规范推理过程.2.注意独立思考与分组交流结合，共同探究加深理解.学习过程一.复习回顾：1.什么是圆的切线？圆的切线有什么性质？2.怎样判断一条直线是圆的切线？3.过圆外一点画圆的切线，可以画几条？二.新课学习：1.自学教材P53，回答以下问题：1、自己任意画一个圆，并在圆外任意取一点，过这点画圆的两条切线，测量到切点的线段长度，对比分析测量结果.2、切线长的定义是什么？3、结合1中的测量对比，猜想切线长的关系：4、并运用轴对称的性质分析总结切线长定理：5. 自己运用切线的性质定理结合全等三角形的知识演绎证明切线长定理.2.自学教材P54，回答以下问题：1、什么是三角形的内切圆？什么是三角形的内心？什么是圆的外切三角形？2、三角形的内心怎样确定？3.怎样画三角形的内切圆？自己任意画三角形，并画其内切圆：三.尝试应用：1. 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C，D，若PA=4，则△PCD 的周长为（）A．5 B．7 C．8 D．102. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB=60°，PO=2，则⊙O的半径等于.3.如图所示，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，连接PO，交⊙O于点D，交AB于点C，根据以上条件，请写出三个你认为正确的结论，并对其中的一个结论给予证明．四.自主总结：（1）切线长定理：（2）相关概念：三角形的内切圆：、内心：和圆的外切三角形： .五.达标测试一．选择题（共4小题）1．下列说法中不正确的是（）A．三角形只有一个外接圆B．三角形只有一个内切圆C．三角形的内心到三个顶点的距离相等D．三角形的内心到这个三角形三边的距离相等2．如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（）A．B．C．D．3．如图，已知△ABC的内切圆O与三边分别切于D、E、F，∠A=60°，CB=6cm，△ABC的周长为16cm，则DF的长等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm4．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（）A．5 B．7 C．8 D．10二．填空题（共3小题）5．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为．6．如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm，则此光盘的直径是cm．7．若一三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的内切圆半径为．三．解答题（共3小题）8．如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB，BC，CA分别相切于点D、E、F．（1）求证：BE=CE；（2）若∠A=90°，AB=AC=2，求⊙O的半径．9．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm．求：（1）∠BOC的度数；（2）BE+CG的长；（3）⊙O的半径．10．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是AB上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．若PA=4，求△PED的周长．1.【分析】分别根据三角形外接圆以及内切圆和内心的性质判断得出即可．【解答】解：A、三角形只有一个外接圆，此选项正确，不合题意；B、三角形只有一个内切圆，此选项正确，不合题意；C、三角形的内心到这个三角形三边的距离相等，错误，符合题意；D、此选项正确，不合题意．故选：C．2.【分析】根据等边三角形三线合一，可以构造一个由其内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成的30°的直角三角形，利用锐角三角函数关系求出内切圆半径即可．【解答】解：∵内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成一个30°的直角三角形，∴∠OBD=30°，BD=，∴tan∠BOD==，∴内切圆半径OD=×=a．故选：A．3.【分析】利用三角形内切圆的性质以及切线长定理得出BD=BE，CE=CF，AD=AF，进而得出△ADF是等边三角形，即可得出答案．【解答】解：∵△ABC的内切圆O与三边分别切于D、E、F，CB=6cm，△ABC的周长为16cm，∴BD=BE，CE=CF，AD=AF，∵BE+EC=BD+FC=6，∴AD=AF=（AB+AC+BC﹣BC﹣BD﹣CF）=（16﹣6﹣6）=2，∵∠A=60°，∴△ADF是等边三角形，∴DF=2．故选：A．4.【分析】由切线长定理可得PA=PB，CA=CE，DE=DB，由于△PCD的周长=PC+CE+ED+PD，所以△PCD的周=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，故可求得三角形的周长．【解答】解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，∴PA=PB，同理可得：CA=CE，DE=DB．∵△PCD的周长=PC+CE+ED+PD，∴△PCD的周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，∴△PCD的周长=10，故选D．5.【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长．【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC=AP，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP=BD，∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2．故答案为：2．6.【分析】先画图，根据题意求出∠OAB=60°，再根据直角三角形的性质和勾股定理求得OB，从而得出光盘的直径．【解答】解：∵∠CAD=60°，∴∠CAB=120°，∵AB和AC与⊙O相切，∴∠OAB=∠OAC，∴∠OAB=∠CAB=60°∵AB=3cm，∴OA=6cm，∴由勾股定理得OB=3cm，∴光盘的直径6cm．故答案为：6．7.【分析】根据勾股定理的逆定理推出∠C=90°，连接OE、OQ，根据圆O是三角形ABC的内切圆，得到AE=AF，BQ=BF，∠OEC=∠OQC=90°，OE=OQ，推出正方形OECQ，设OE=CE=CQ=OQ=a，得到方程12﹣a+5﹣a=13，求出方程的解即可．【解答】解：∵AC2+BC2=25+144=169，AB2=169，∴AC2+BC2=AB2，∴∠C=90°，连接OE、OQ，∵圆O是三角形ABC的内切圆，∴AE=AF，BQ=BF，∠OEC=∠OQC=∠C=90°，OE=OQ，∴四边形OECQ是正方形，∴设OE=CE=CQ=OQ=a，∵AF+BF=13，∴12﹣a+5﹣a=13，∴a=2，故答案为：2．8.【分析】（1）利用切线长定理得出AD=AF，BD=BE，CE=CF，进而得出BD=CF，即可得出答案；（2）首先连结OD、OE，进而利用切线的性质得出∠ODA=∠OFA=∠A=90°，进而得出四边形ODAF是正方形，再利用勾股定理求出⊙O的半径．【解答】解法一：（1）证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F∴AD=AF，BD=BE，CE=CF，∵AB=AC，∴AB﹣AD=AC﹣AF，即BD=CF，∴BE=CE；解法二：（1）证明：连结OB、OC、OE∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠OBC=∠OCB，∴OB=OC，又∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为E，∴OE⊥BC，∴BE=CE；（2）解：连结OD、OE，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∴∠ODA=∠OFA=∠A=90°，又∵OD=OF，∴四边形ODAF是正方形，设OD=AD=AF=r，则BE=BD=CF=CE=2﹣r，在△ABC中，∠A=90°，∴，又∵BC=BE+CE，∴（2﹣r）+（2﹣r）=，得：r=，∴⊙O的半径是．9.【分析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；（2）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长；（3）最后由三角形面积公式即可求得OF的长．【解答】解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠OBE+∠OCF=90°，∴∠BOC=90°；（2）由（1）知，∠BOC=90°．∵OB=6cm，OC=8cm，∴由勾股定理得到：BC==10cm，∴BE+CG=BC=10cm．（3）∵OF⊥BC，∴OF==4.8cm．10.【分析】由PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，根据切线长定理得到PA=PB=4，同理得DC=DA，EC=EB，再根据三角形周长的定义得到△PED的周长=PD+DE+PE，然后利用等相等代换得到△PDE的周长=PD+DA+EB+PE=PA+PB．【解答】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，∴PA=PB=4，∵过点C的切线分别交PA、PB于点D、E，∴DC=DA，EC=EB，∴△PED的周长=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=4+4=8．。
(完整版)切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
相交弦定 COO 中，AB 为直径，CDLABPC = PA- PB.理的推论/于P.|（特殊情况）|127用相交弦定理切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］ 1. 切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线 上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
（PA 长）2. 切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等； （2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得4.弦切角定理： 弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5. 弄清和圆有关的角： 圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6. 遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定7. 与圆有关的比例线段 定理 已知结论证法OO 中，AB CD 为弦，交 PA- PB= PC- PD. 连 结 AC 、 BD ,证： 于 P.△ APCo A DPB.到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角 互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
直线AB 切OO 于P , PC PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个）相交弦定8. 圆幕定理：过一定点P向OO作任一直线，交OO于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数］L「一厂| （R为圆半径），因为--「叫做点对于OO的幕，所以将上述定理统称为圆幕定理。
解：由切线长定理知：AF= AB= 1, EF= CE 设CE为x，在Rt △ ADE中，由勾股定理+巴“丄A1_3「£)5 = 1--恥二1 + —二一4=4 4 43- = 3：5P T2=PA- PBPBPD为OO的两条割线，PA- PB= PC- PD交OO于A COO 中，割线PB交OO 于P'C - P'D = r2A, CD为弦OP'2PA- PB= OP—r2r为OO的半径连结TA、TB ,证：△PTB^A PAT过P作PT切OO于T,用两次切割线定理（记忆的方法方法）延长P'O交OO于M延长OP'交OO于N,用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证OO中，PT切OO于T,割线PB交OO于A【典型例题】例1.如图1,正方形ABCD的边长为1,以BC为直径。
27.2.3切线长定理
A
O P
M B
C
课堂小结
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它 们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角。 ∵PA、PB分别切⊙O于A、B
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB OP垂直平分AB 切线长定理为证明线段相等，角 相等，弧相等，垂直关系提供了理论 依据。必须掌握并能灵活应用。
∴周长为24cm
变式：如图所示PA、PB分别切 圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于 C、D，已知PA=7cm， (1)求△PCD的周长． (2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数
A D P ·O E
C
B
例2、如图，已知：在△ABC中，∠B＝90°，O是 AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆交AB于点E， 与AC切与点D。求证：DE∥OC C
过圆外一点可以引圆的几条切线？
A
O。
P
B
合作交流 探究新知
圆的切线上某一点和切点之间的线段的长叫做这点 到圆的切线长。
A
O
· B P
B
切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联 系呢？ 切线:不可以度量。切线长：可以度量。
A
1 2
O B
P
思考：已知⊙O切线PA、PB，A、B 为切点，把圆沿着直线OP对折,你能 发现什么?
探究：PA、PB是⊙O的两条切
线，A、B为切点，直线OP交于 E ⊙O于点D、E，交AB于C。 （1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC （3）写出图中所有相等的线段 O
A
C D B
P
OA=OB=OD=OE, PA-=PB, AC=BC, AE=BE
华东师大版九年级下册数学课件：27.2.3切线长定理(共29张PPT)
切线长定理的基本图形的研究
A
PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为
切点，直线OP交于⊙O于点D、E， E 交AB于C。
O CD
P
（1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
B
（2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
是△ABC的内心, 求∠BOC的度数. A
O
B
C
(2) 在△ABC中, ∠BAC=550, 点O是△ABC的
内心, 求∠BOC的度数 .
例4：如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、
AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm, BC=14cm， CA=13cm，求AF、BD、CE的长。
(13﹣x)+(9﹣x)=14
B
。
P
O
A
例1: 如图，已知AB、AC是⊙O的切线，B、C为
切点，连结BC交AO于D. ⑴若AD=6，AO=8，求切线AB的长； ⑵若BC=4，∠BAO=30°，求⊙O的直径。
B
A
D ·O
C
小红为了测量一个锅盖的直径，她用了下面的方法: 将锅盖平放在水平桌上,用一个锐角为300的三角板 和一个刻度尺,按如图所示的方法得到相关的数据, 测得PA=10cm,即求出锅盖的直径．
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它
们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切
线的夹角。
B
。
P
O
几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B
A
PA = PB ∠OPA=∠OPB
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提 供了新的方法
(完整版)圆切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1. 切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2. 切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
直线AB切OO于P, PG PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4. 弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5. 弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6. 遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
已知OO 中，AB CD为弦，交PA- PB= PG- PD. 连结AG、BD, 证：于P.△ APS A DPB.结论证法OO 中，AB为直径，CDL ABPC= PA- PB. 于P. 用相交弦定理•3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另2OO 中，割线PB 交OO 于P'C - P'D = r —延长P'O 交OO 于 M 延 2 A , CD 为弦 OP' 长OP'交OO 于N,用相交PA- PB= OP — r 2 弦定理证；过P 作切线用r 为OO 的半径 切割线定理勾股定理证8.圆幕定理：过一定点P 向OO 作任一直线，交OO 于两点，贝洎定点P 到两交点的两条线段之积为常数 |一_亠-| （R 为圆半径），因为OP 2 -R 2叫做点对于OO 的幕，所以将上述定理统称为圆幕定理。
切割线定 T , PT 2= PA - PB 连结 TA 、TB , 证： △ PTB^A PAT 理推论 PBPD 为OO 的两条割线，PA- PB= PC- PD 交OO 于A C 过P 作PT 切OO 于T ,用 两次切割线定理。
切线长定理
径，已知∠BAC＝35°，∠P的度数为( D ) A．35° B．45° C．60°
D．70°
3．如图，AB，AC切⊙O于B，C两点，∠A＝50°，点P是圆上异 于B，C的一动点，则∠BPC的度数是( C ) A．65° B．115° C．65°或115° D．130°或50°
4．如图，PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 为切点． 1 求证：∠ABO＝ ∠APB. 2
第27章 圆
27．2 与圆有关的位置关系
27．2.3 切 线
第3课时 切线长定理
知识点❶：切线长定理 1．如图，从⊙O 外一点 P 引⊙O 的两条切线 PA，PB，切点分别为 A， B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦 AB 的长是( B ) A．4 B．8 C．4 3 D．8 3
2．如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直
解：(1)∵PA 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，∴PA⊥AB，∴∠BAP ＝90°，∵∠BAC＝30°，∴∠CAP＝90°－∠BAC＝60°，又∵PA， PC 切⊙O 于点 A，C，∴PA＝PC，∴△PAC 为等边三角形，∴∠P＝ 60° (2)连结 BC，则∠ACB＝90°，在 Rt△ACB 中，AB＝2，∠BAC ＝30°，∴AC＝AB·cos∠BAC＝2cos30°＝ 3，∴PA＝AC＝ 3
解：30( 3－1) cm
8．如图，以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆，与梯形上底AD、
下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E，若半圆O的半径为2，
梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是( A．9 B．10 C．12 D．14 )D
9．如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交 于点E，F，则( C ) A．EF＞AE＋BF B．EF＜AE＋BF C．EF＝AE＋BF D．EF≤AE＋CF
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可能大家都会想到
A
这样一个圆，它与
三角形的三条边都
相切，那么这样的
圆存在吗？如果存
在，我们又如何把
它画出来呢？
B
C
问题：如图△ABC，要求画△ABC的 内切圆，如何画？
已知：△ABC
求作：和△ABC的各边都相切的圆
作法：1、作∠B、∠C的平分线BM、 CN，交点为I
A
2、过点I作ID⊥BC，垂足为D N 3、以I为圆心，ID为半径作⊙I ⊙I就是所求的圆
M I
B
D
C
与三角形各边都相切的圆 叫做这个三角形的内切圆
三角形内切圆的圆心叫做这个三 角形的内心
这个三角形叫做圆的外切三角形
A
三角形的内心就是三角形的
D
三个内角角平分线的交点
F
三角形的内心到三角形的三边的
I
距离相等
B
┐ E
C
三角形的外接圆： 三角形的内切圆：
A A
O
B
C
B
I C
D
练习1：已知,△ABC 中,BC=14cm,AC=9cm,AB=13cm, 它的内切圆分别和BC、AC、AB切 于点D、E、F,求AF、BD和CE的长。
应用新知
1、判断
（1）过一点可以做圆的两条切线。（×）
（2）切线长就是切线的长。（×）
2、已知PA、PB与⊙O相切
于点A、B，⊙O的半径为2
A
（1）若四边形OAPB的周
长为10，则Байду номын сангаасA= 3 。
（2）若∠APB=60°，
2 30
4° 2
则PA= 2 3。 ∠AOB=
B
思考
已知：PA、PB分别与⊙O切于点AB，连接AB交OP
27.2.3直线与圆的位置关系
切线长定理
复习
1、切线的判定定理
经过半径的外端且垂直于这条半径的直 线是圆的切线。
O
2、切线的性质归纳
AB
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那 么它一定满足第三个条件。这三个条件是：
(1)过圆心； (2)过切点； (3)垂直于切线。
知二求一
O AB
切线长概念
∴DA=DE （切线长定理）
同理可证 CE=CB，PA=PB
又∵C△PCD=PD+PC+CD =PD+PC+DE+CE
D
A
=PA+PB P =7+7
·O E
=14 cm
C B
练习：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和
圆⊙O分别相切于点L、M、N、P
求证： AD+BC=AB+CD 证明：∵四边形ABCD的边AB、
P
B
∠APO=∠ BPO
利用图形轴对称性解释
推理论证
已知：从⊙O外的一点P引两条切线PA， PB，切点分别是A、B. 求证： AP=BP， ∠OPA=∠OPB
证明：连接OA，OB
A
∵PA，PB与⊙O相切，
点A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB
即 ∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP
A
在解决有关圆的切线长
问题时，往往需要我们 O M
P
构建基本图形。
B
（1）分别连接圆心和切点
（2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
练习：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，
直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。
（1）写出图中所有的垂直关系
A
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（2）写出图中所有的全等三角形 E O C D
P
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
B
（3）写出图中所有的等腰三角形
△ABP △AOB （4）写成图中所有和∠OAB相等的角
∠OBA ∠APO ∠BPO
例题
例：如图，PA、PB分别切⊙ O于A、B，
CD与⊙O切于点E，分别交PA，PB于C、
D，已知PA=7cm，求△PCD的周长． 解： ∵PA、DC为⊙O的切线
我们把圆的切线上某一点与切点之间的线 段的长叫做这点到圆的切线长。
A
如右图，线段PA， PB叫做点P到⊙O的 切线长，对吗？
B
想一想：切线和切线长是什么关系？
活动 二
如图，纸上有一⊙O ，PA为⊙O的一条切线，
沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为
B。
A
3、PA、PB有何关系？
PA=PB
O
4、∠APO和∠ BPO有何关系？
N
C
BC、CD、DA和圆⊙O
D
分别相切于点L、M、N、P
∴AL=AP，LB=MB,
P
OM
NC=MC，DN=DP
A
∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP
L
B
即 AB+CD=AD+BC
补充结论：圆的外切四边形的两组对边之和相等．
思考:
如图是一张三角形的铁皮，如何在 它上面截取一个面积最大的圆形铁皮？
3、切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等， 垂直关系提供了理论依据。
4、圆的外切四边形的两组对边的和相等．
A
F E
B
D
C
练习2、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B 为切点，∠OAB＝30°． （1）求∠APB的度数； （2）当OA＝3时，求AP的长．
A
O
P
B
总结
课堂小结
1、切线长概念 我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的 长叫做这点到圆的切线长。
2、切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相 等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
B
切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它 们的切线长相等，这一点和圆心的连线平 分两条切线的夹角。
A 符号语言:
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
B
归纳：切线长定理为证明线段相等、 角相等提供新的方法
于点M，那么OP除了平分∠APB以外，还有什么作用？
请说明理由。
A
(1)OP垂直平分AB
即 OP⊥AB，AM=BM
OM
P
(2)OP平分
⌒ AB
B
即
⌒⌒ AM = BM
切线长定理为证明线段相
(3)OP平分∠AOB 即 ∠AOP=∠BOP
等，角相等，弧相等，垂 直关系提供了理论依据。
归纳：作辅助线方法